数二考研线性代数真题及答案合集
考研数学二(线性代数)-试卷21
考研数学二（线性代数）-试卷21(总分：58.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设A，B为两个n阶矩阵，下列结论正确的是( )．（分数：2.00）A.｜A+B｜=｜A｜+｜B｜B.若｜AB｜=0，则A=O或B=OC.｜A-B｜=｜A｜-｜B｜D.｜AB｜=｜A｜｜B｜√解析：解析：(A)、(C)显然不对，显然A，B都是非零矩阵，但AB=O，所以｜AB｜=0，(B)不对，选(D)．3.设A，B都是n阶可逆矩阵，则( )．（分数：2.00）A.(A+B) * =A * +B *B.(AB) * =B * A *√C.(A-B) * =A * -B *D.(A+B) *一定可逆解析：解析：因为(AB) * =｜AB｜(AB) -1 =｜A｜｜B｜B -1 A -1 =｜B｜B -1．｜A｜A -1 =B * A *，所以选(B)．4.设 B -1为( )．（分数：2.00）A.A -1 P 1 P 2B.P 1 A -1 P 2C.P 1 P 2 A -1√D.P 2 A -1 P 1解析：解析：B=AE 14 E 23或B=AE 23 E 14即B=AP 1 P 2或B=AP 2 P 1，所以B -1 =P 2-1 P 1-1 A -1或 B -1 =P 1-1 P 2-1 A -1，注意到E ij-1 =E ij，于是B -1 =P 2 P 1 A -1或B -1 =P 1 P 2 A -1，选(C)．5.若向量组α1，α2，α3，α4线性相关，且向量α4不可由向量组α1，α2，α3线性表示，则下列结论正确的是( )．（分数：2.00）A.α1，α2，α3线性无关B.α1，α2，α3线性相关√C.α1，α2，α4线性无关D.α1，α2，α4线性相关解析：解析：若α1，α2，α3线性无关，因为α4不可由α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，α4线性无关，矛盾，故α1，α2，α3线性相关，选(B)．6.设A是m×n矩阵，且m>n，下列命题正确的是( )．（分数：2.00）A.A的行向量组一定线性无关B.非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多组解C.A T A一定可逆D.A T A可逆的充分必要条件是r(A)=n √解析：解析：若A T A可逆，则r(A T A)=n，因为r(A T A)=r(A)，所以r(A)=n；反之，若r(A)=n，因为r(A T A)=r(A)，所以A T A可逆，选(D)．7.与矩阵A=相似的矩阵为( )（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：A的特征值为1，2，0，因为特征值都是单值，所以A可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与A相同且可以对角化，所以选(D)．8.A与B( )．（分数：2.00）A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似√D.既不相似又不合同解析：解析：显然A，B都是实对称矩阵，由｜λE-A｜=0，得A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=9，由｜λE-B｜=0，得B的特征值为λ1=1，λ2=λ3=3，因为A，B惯性指数相等，但特征值不相同，所以A，B合同但不相似，选(C)．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)（分数：2.00）填空项1:__________________10.设B，使得AB=O，则a= 1，b= 2（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：解析：因为，AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又B≠O，于是r(B)≥1，故r(A)≤2，从而a=2，b=1．11.设η为非零向量，η为方程组AX=0的解，则a= 1，方程组的通解为 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3，k(-3，1，2) T）解析：解析：AX=0有非零解，所以｜A｜=0，解得a=3，于是A= AX=0的通解为k(-3，1，2) T．12.设A｜>0且A *的特征值为-1，-2，2，则α11 +α22 +α33 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：因为｜A *｜=｜A｜2=4，且｜A｜>0，所以｜A｜=2，又AA *=｜A｜E=2E，所以A -1=A *，从而A -1的特征值为，-1，1，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，则A的特征值为-2，-1，1，于是α11 +α22 +α33 =-2-1+1=-2．13.设a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由｜λE-A｜λ+1)(λ-1) 2 =0得λ1 =-1，λ2 =λ3 =1．因为A有三个线性无关的特征向量，所以r(E-A)=1，解得a=4．三、解答题(总题数：15，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．记行列式为f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：计算该行列式可以有多种方法．例如，为了便于降阶，先把第1列的(一1)倍分别加到第2、3、4列，得故方程f(x)=0的根为x=0和x=1，于是知(B)正确．2．行列式A．(ad一bc)2B．一(ad 一bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于=一ad (ad 一bc)+bc(ad 一bc)=一(ad 一bc)2.3．设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是A的伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*=A．kA*B．kn一1A*C．k一1A*D．k一1A*正确答案：B解析：由于n阶行列式的每个元素的余子式都是一个n一1阶行列式，故|kA|的每个元素的代数余子式等于|A|的对应元素的代数余子式的kn一1倍，于是由伴随矩阵的定义知(kA)*的每个元素等于A*的对应元素的kn一1倍，即(kA)*=kn 一1A*．4．设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为A．B．C．D．正确答案：D解析：记交换单位矩阵的第1列与第2列所得初等矩阵为E(1，2)，记将单位矩阵第2列的k倍加到第3列所得初等矩阵为E(3，2(k))，则由题设条件，有AE(1，2)=B，BE(3，2(1))=C，故有AE(1，2)E(3，2(1))=C于是得所求逆矩阵为Q=E(1，2)E(3，2(1))=所以只有选项(D)正确．5．设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则A．交换A*的第1列与第2列得B*．B．交换A*的第1行与第2行得B*．C．交换A*的第1列与第2列得一B*．D．交换A*的第1行与第2行得一B*．正确答案：C解析：用排除法，以2阶方阵为例，设由此可见，交换A*的第1列与第2列得一B*，而其它选项均不对，故只有(C)正确．记P为交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得初等方阵，则由题设条件有B=PA，且|B|=一|A|，P一1=P．由A可逆知B可逆，利用B一1=|B|一1B*，得B*=|B|一1=一|A|(PA)一1=一(|A|A 一1)一1=一A*P或A*P=一B*因为用P右乘矩阵A*，等价于交换A*的第1列与第2列，故知选项(C)正确．也可利用B*=(PA)*=A*P*，及P*=|P|P一1=一P，得B*=一A*P．6．设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的一1倍加到第2列得C，记P=则A．C=P一1AP，B．C=PAP一1C．C=PTAP．D．C=PAPT．正确答案：B解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等变换与初等矩阵的关系，有B=PA．令矩阵则将E的第1列的一1倍加到第2列即得矩阵Q，于是有C=BQ，从而有C=PAQ．由于P一1=所以，C=PAQ=PAP一1，只有选项(B)正确．7．设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=0，则A．E一A不可逆，E+A不可逆．B．E一A不可逆，E+A可逆．C．E一A可逆，E+A可逆．D．E一A可逆，E+A不可逆．正确答案：C解析：由于(E一A)(E+A+A2)=E一A3=E，(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E，故由可逆矩阵的定义知：E一A和E+A均是可逆的．8．设A，B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵的伴随矩阵为A．B．C．D．正确答案：B解析：记矩阵并记|C|的(i，j)元素的代数余子式为Aij(i，j=1，2，3，4)，则计算可得：A11=0，A21=0，A31=|A|h，A41=一A|f，A12=0，A22=0，A32=一|A| g，A42=|A|e，A13=|B|d，A23=一|B|b，A33=0，A43=0，A14=一|B|c，A24=|B|a，A34=0，A44=0．于是由伴随矩阵的定义(C*的(i，j)元为Aji)，得因此选(B)．9．设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP=A．B．C．D．正确答案：A解析：由于Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α3]所以故只有选项(A)正确．10．设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵．记P1=，则A=A．P1P2．B．P1一1P2．C．P2P1．D．P2P1一1．正确答案：D解析：由题设条件有P2AP1=I，两端左乘P2一1，两端右乘P1一1，得A=P2一1P2一1，因P2一1= P2，而P1一1≠P1，故只有(D)正确．11．设区域D由曲线y=sinx，x=±，y=1围成，则(xy5一1)dxdy=A．π．B．2．C．一2．D．一π．正确答案：B解析：已知A(α1+α2，α2，α3)=(α1+α2，α2，α3)(Aα1+Aα2，A α2，α3)=(α1+α2，α2，2α3)Aα1=α1，Aα2=α2，Aα3=2α3A(α1+α2)=A α1+Aα2=α1+α2AQ=A(α1+α2，α2，α3)=(A(α1+α2)，Aα2，Aα3)=(α1+α2，α2 ，2α3)=(α1+α2，α2，α3)两端左乘Q一1，得Q一1AQ=．由已知A相似于对角矩阵diag(1，1，2)，知α1+α2，α2，α3是A的3个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2．α1+α2≠0(否则α1，α2线性相关，与α1+α2，α2，α3线性无关矛盾)，且A(α1+α2)=Aα1+Aα2=α1+α2，因此α1+α2是A的属于特征值1的一个特征向量．从而知α1+α2，α2，α3是A的3个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2，因此利用矩阵相似对角化可写出(α1+α2，α2，α3)一1A(α1+α2，α2，α3)=diag(1，1，2)，即Q一1AQ=diag(1，1，2)．因此选(B)．填空题12．设E为4阶单位矩阵，且B=(E+A)一1(E—A)，则(E+B)一1=________．正确答案：解析：由题设等式得E+B=E+(E+A)一1(E 一A)用(E+A)左乘上式两端，得(E+A)(E+B)=E+A+E一A=2E13．设α为3维列向量，αT是α的转置，若ααT=，则αTα=________．正确答案：3．解析：于是有a2=1，b2=1，c2=1，从而得αTα= [a b c]=a2+b2+c2=1+1+1=3．14．设三阶方阵A、B满足A2B一A一B=E，其中E为三阶单位矩阵，A=，则|B|=________．正确答案：解析：由题设方程移项得A2B一B=A+E，(A2一E)B=A+E，(A+E)(A—E)B=A+E，注意A+E=可逆，用(A+E)一1左乘上式两端，得(A 一E)B=E两端取行列式，得|A一E||B|=115．设矩阵A=，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*是A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则|B|=________．正确答案：解析：由于A*A=|A| E，而|A|=3，所以A*A=3E．用矩阵A右乘题设方程两端，可得3AB=6B+A，或3(A 一2E)B=A，两端取行列式，得33|A一2E||B|=|A|，由于|A一2E|=故有27|B|=3，所以|B|=16．设α1，α2，α3均为3维列向量，记矩阵A =(α1，α2，α3)，B=(α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3)．如果|A|=1，那么|B|=________．正确答案：2．解析：对行列式|B|依次作等值变形(用c1+ kcj表示第i列加上第j列的k倍)c2 一c1，c3 一c1，得|B|=|α1|+α2+α3，α2+3α3，2α2+8α3|再作等值变形c3一2c2，得|B| =| α1+α2+α3，α2+3α3，2α3|=2|α1+α2+α3，α2+3α3，α3|=2 |α1+α2，α2，α3|=2 |α1，α2，α3|=2 |A|=2．17．设矩阵A=E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则|B|=________．正确答案：2．解析：由给定矩阵方程得BA 一B=2E B(A 一E)=2E两端取行列式，得|B ||A一E|=|2E因|A一E|==2，|2E|= 22|E|=4所以有 2 |B|=4，从而得|B|=2．18．设矩阵A=则A3的秩为________．正确答案：1．解析：利用矩阵乘法，容易计算得A3=由于A3中非零子式的最高阶数为1，故由矩阵的秩的定义，即知r(A3)=1．19．设A，B为3阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A一1+B|=2，则|A+B一1|=________．正确答案：3．解析：由于A+B一1=(AB+E)B一1=A(B+A一1)B一1=A(A一1+B)B一1，两端取行列式，并利用|ABC|=|A||B||C|及|B一1|=|B|一1，得|A+B一1|=|A|．|A一1+B|．|B一1}=3×2×=3．20．设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则|BA*|=________．正确答案：一27．解析：由于互换行列式的两行，则行列式仅变号，于是知|B|=一3．再利用|A*|=|A|n一1|A|2=9，得|BA*|=|B||A*|=一27．记交换3阶单位矩阵的第1行与第2行所得初等矩阵为E12，则B=E12A，由于AA*=|A|E=3E，得BA*=E12AA*=E12(3E)=3E12，注意|E12|=一1，所以|BA*|=|3E12|= 33|E|12=一27．21．设A=(aij)是3阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则|A|=________．正确答案：一1．解析：由A≠0，不妨设a11≠0，由已知的Aij=一aij(i，j=1，2，3)，得及A=一(A*)T，其中A*为A的伴随矩阵，以下有两种方法：方法1：用AT右乘A=一(A*)T的两端，得AA*=一(A*)AT=一(AA*)T=一(|A|I)T，其中I为3阶单位矩阵，上式两端取行列式，得|A|2=(一1)3|A|3，或|A|2(1+|A|)=0，因|A|≠0，所以|A|=一1．方法2：从A=一(A*)T两端取行列式，并利用|A*|= |A|2，得|A|= (一1)3 |A*|=一|A|2，或|A| (1+|A|)=0，因|A|≠0，所以|A|=一1．22．设矩阵等价，则a=________．正确答案：2．解析：由知矩阵B的秩为2，由于矩阵与矩阵B相似，所以A的秩也为2，因此A的行列式为零，由得a=一1，或a=2．若a=一1，则A=的秩为1，不合题意；若a=2，则的秩为2，符合题意，因此a=2．23．已知向量组α1=(1，2，一1，1)，α2=(2，0，t，0)，α3=(0，一4，5，一2)的秩为2，则t=________．正确答案：3．解析：以α1，α2，α3为行作成矩阵A，并对A作初等变换：由此可知当且仅当f=3时，矩阵A的秩、也即向量组α1，α2，α3的秩等于2．由于α1，α3线性无关，故向量组α1，α2，α3的秩为2当且仅当α2可由α1，α3线性表出，即存在常数x1，x2，使得x1α1+x2α3=α2，亦即由此解得t=3．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(完整版)线性代数试题及答案
线性代数习题和答案第一部分 选择题 （共 28 分）、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
C. 3D. 46.设两个向量组 α1，α2，⋯， αs 和β 1，β2，⋯， βs 均线性相关，则（）A. 有不全为 0 的数λ 1，λ2，⋯，λs 使λ1α1+λ2α2+⋯+λs αs =0 和λ 1β 1+λ 2β 2+⋯λ s βs =0B. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ 1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+⋯+λs （ α s + β s ）=0C. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ1（α 1- β1）+λ2（α2- β2）+⋯+λs （αs - βs ）=0D.有不全为 0的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 和不全为 0的数μ 1，μ 2，⋯，μ s 使λ1α1+λ2α2+⋯+ λ s α s =0 和μ 1β1+μ2β2+⋯+μ s βs =07.设矩阵 A 的秩为 r ，则 A 中（ ）A. 所有 r- 1阶子式都不为 0B.所有 r- 1阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为 08. 设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， η1，η2是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（ ）A. m+n C. n- m a 11a 12a 13 a 11=m ，a 21a 22a 23 a 21a 11 a 12 a 13等于（2.设矩阵 A=0 ，则 A - 1 等于（ 3A. 0 1 3C. 03.设矩阵 A=a 21 a 22 a 23B. - (m+n) D. m- nB.D.21 ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A *中位于 41，2）的元素是（A. –6 C. 2 4.设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC ，则必有（ A. A =0 C. A 0 时 B=C 5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（ A. 1B. 6 D. –2 ) B. B D. |A| 0 时 B=C C 时 A=0 A T )等于( )B. 21.设行列式 =n ，则行列式10.设 A 是一个 n （≥3）阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A. 如存在数λ和向量 α使 A α=λα，则α是 A 的属于特征值λ的特征向量B. 如存在数λ和非零向量 α，使（λE- A ）α=0，则λ是 A 的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如λ 1，λ 2，λ 3是A 的 3个互不相同的特征值， α1，α2，α3依次是 A 的属于λ 1，λ2， λ3的特征向量，则 α 1，α 2， α 3有可能线性相关 11. 设λ 0是矩阵 A 的特征方程的 3重根， A 的属于λ 0的线性无关的特征向量的个数为 k ，则必有（ ）222（a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23） +（a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23） +（a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23） =.18. 设向量（ 2， -3， 5）与向量（ -4， 6， a ）线性相关，则 a= .19. 设A 是 3×4矩阵，其秩为 3，若η1，η2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2个不同的解，则它 的通解为 .20. 设 A 是 m ×n 矩阵， A 的秩为 r （<n ） ，则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个A. η1+η2 是 Ax=0 的一个解 C. η 1-η 2是 Ax=0 的一个解 9. 设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（A. 秩 （A ）<n C.A=0 11B.η1+ η2是 Ax=b 的一个解22D. 2 η 1-η 2 是 Ax=b 的一个解 ) B. 秩 (A)=n- 1D. 方程组 Ax=0 只有零解A. k ≤ 3C. k=312. 设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（A.| A| 2必为 1 C. A - 1=A T 13. 设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵，A.A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）23 A.34 1 0 0C. 0 2 30 3 5第二部分B. k<3 D. k>3 ）B.|A|必为 1D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 B=C T AC .则（ ） 34 B. 26 1 1 1 D. 1 2 0102 非选择题（共 72 分）2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每1 1 115. 3 569 25 361 111 2 316.设 A=B=.则 A+2B=1 111 2 417. 设 A =(a ij )3 × 3 ， |A|=2 ， A ij 表示 |A|中 元 素a ij 的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 则数为.21. 设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α- β）=22.设 3阶矩阵 A 的行列式 |A |=8，已知 A 有 2个特征值 -1和 4，则另一特征值为 .0 10 6223.设矩阵 A=1 3 3 ，已知 α = 1 是它的一个特征向量，则α 所对应的特征值2 10 82为24.设实二次型 f （x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形为 三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6分，共 42分）26.试计算行列式4 2 327.设矩阵 A= 110， 求矩阵 B 使其满足矩阵方程AB=A+2B.12321 3 028.给定向量组α 1=1，3 α2=， α=， α10 2 2 =4.3419试判断 α 4 是否为 α 1， α2，α3 的线性组合；若是， 则求出组合系数。
考研真题数学二(2000——2018)线代选择题、填空题
线性代选择、填空题（2018）（7）下列矩阵中与矩阵110011001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的为（ ）(A) 111011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 101011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 111010001-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭(D)101010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（8）()(),,A B n r X X X Y 设为阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，则（ ） (A) ()(),r A AB r A =(B) ()(),r A BA r A = (C) ()()(){},max ,r A B r A r B = (D) ()(),T T r A B r A B =（14）12311232233233,,,,2,2,,A A A A ααααααααααααα=++=+=-+设为阶矩阵是线性无关的向量组若则A 的实特征值为 . （2018）（2017）（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得1000010002P AP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则123(,,)A ααα= (A)12αα+ (B)232αα+ (C)23αα+(D)122αα+（2017）（8）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100020000C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则 (A) A 与C 相似，B 与C 相似(B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似（2017）（14）设矩阵41212311A a ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的一个特征向量为112⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则a =（2016）（7）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ）（A ）T A 与T B 相似（B ）1A -与1B -相似（C ）T A A +与T B B +相似（D ）1A A -+与1B B -+相似（8）设二次型222123123122313(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x =+++++的正、负惯性指数分别为1,2，则（ ） （A ）1a >（B ）2a <-（C ）21a -<<（D ）1a =与2a =-（2016）（14）设矩阵111111a a a --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦与110011101⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦等价，则_________.a = （2015）(7)．设矩阵A =211112a 14a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，b =21d d ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（ ）（A ）,a d ∉Ω∉Ω (B),a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω(8)设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换Qy x =下的标准形为（ ）(A):2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++（2015）（14）设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B =（2014）(7) 行列式（ ）(A)(B)(C)(D)（2014）(8) 设均为3维向量，则对任意常数，向量组线性无关是向量组线性无关的：（ ）(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 （2014）(14) 设二次型的负惯性指数为1，则的取值范围为_______.（2013）7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价． （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价． （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价．8．（2013）矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是（A ）2,0==b a （B ）0=a ，b 为任意常数（C ）0,2==b a （D ）2=a ，b 为任意常 （2013）14．设()ij a A =是三阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，若 ，则 ．（2012）(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 (A)123,,ααα(B) 124,,ααα (C)134,,ααα(D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -=(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = . （2012）（2011）（7）设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵。
线性代数试题(完整试题与详细答案)
线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
[考研类试卷]考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编9.doc
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[考研类试卷]考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编9一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (11)设A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵．A*为A的伴随矩阵．若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为（A）α1，α3．（B）α1，α2．（C）α1，α2，α3．（D）α2，α3，α4．2 (15)设矩阵A=，若集合Ω={1，2}，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为3 (05分)设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是（A）λ1≠0（B）λ2≠0（C）λ1=0（D）λ2=0二、填空题4 (01)设方程组有无穷多个解，则a=______．5 (02)矩阵A=的非零特征值是______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
6 (97)λ取何值时，方程组无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．7 (98)已知α1=[1，4，0，2]T，α2=[2，7，1，3]T，α3=[0，1，-1，a]T，β=[3，10，6，4]，问： (1)a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示? (2)a，b取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示?并写出此表示式．8 (00)设A=αβT，B=βTα，其中βT是β的转置．求解方程 2B2A2x=A4x+B4x+y9 (01)已知α1，α2，α3，α4是线性方程组AX=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα1，β4=α1+tα1．讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是AX=0的一个基础解系．10 (02)已知矩阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．11 (03)已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．12 (04)设有齐次线性方程组试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．13 (05)已知3阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b．c不全为零，矩阵B=(k为常数)，且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解．14 (06)已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．(1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；(2)求a，b的值及方程组的通解．15 (07)设线性方程组与方程x1+2x2+x3=a-1 ②有公共解，求a的值及所有公共解．16 (08)设n元线性方程组Ax=b，其中(Ⅰ)证明行列式｜A｜=(n+1)a n；(Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求x1；(Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．17 (09)设(Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，Aξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关.18 (10)没A=已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解．(Ⅰ)求λ，a；(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解．19 (12)设A=(Ⅰ)计算行列式｜A｜；(Ⅱ)当实数n为何值时，方程组Ax=β有无穷多解，并求其通解．20 (13)设A=，当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.21 (14)设A=，E为3阶单位矩阵．(Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系；(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．22 (16)设矩阵A=，且方程组Ax=β无解．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求方程组A T Ax=A Tβ的通解．23 (17)设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2， (Ⅰ)证明r(A)=2； (Ⅱ)若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．24 (18)已知a是常数，且矩阵A=可经初等列变换化为矩阵B=(1)求a；(2)求满足AP=B的可逆矩阵P．25 (03)若矩阵A=相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使Pr-1AP=Λ．26 (04)设矩阵A=的特征方程有一个二重根，求n的值，并讨论A是否可相似对角化．27 (06)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解． (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得Q T AQ=A．28 (07)设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，且α1=(1，-1，1)T是A 的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵b．。
考研数学二(向量、线性方程组)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学二（向量、线性方程组）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2002年)设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有【】A．α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关．B．α1，α2，α3，kβ1＋β2线性相关．C．α1，α2，α3，β1＋kβ2线性无关．D．α1，α2，α3，β1＋kβ2线性相关．正确答案：A解析：由已知，存在常数β，l，l，l，使得β1＝l1α1＋l2α2＋l3α3 (*) 如果kβ1＋β2可由α1，α2，α3线性表示，则存在常数m1，m2，m3，使得kβ1＋β2＝m1α1＋m2α2＋m3α3 (**) 将(*)式代入(**)式，可得β2＝(m1－kl1)α1＋(m2－kl2)α2＋(m3－kl3)α3 即β2可由α1，α2，α3线性表示，这与已知条件矛盾，故kβ1＋β2必不能由α1，α2，α3线性表示．再根据结论：“若α1，α2，α3线性无关，则向量β不能由α1，α2，α3线性表示α1，α2，α3，β线性无关”，便可推知α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关，因此，选项A正确．知识模块：向量2．(2003年)设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βr线性表示，则【】A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．B．当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关．C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．D．当r＞s时，向量组Ⅰ必线性相关．正确答案：D解析：利用下述熟知的结论：“若向量组Ⅰ可由Ⅱ线性表示，则秩(Ⅰ)≤秩(Ⅱ)”，由于秩(Ⅱ)≤s，得秩(Ⅰ)≤s，当r＞s时，有秩(Ⅰ)≤s＜r，即(Ⅰ)的秩小于(Ⅰ)所含向量个数，亦即(Ⅰ)线性相关．知识模块：向量3．(2004年)设A，B为满足AB＝O的任意两个非零矩阵，则必有【】A．A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关．B．A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关．C．A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关．D．A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关．正确答案：A解析：设A按列分块为A＝[α1 α2 …αn]，由B≠O知B至少有一列非零，设B的第j列(b1j，bj，…，bnj)T≠0，则AB的第j列为[α1 α2 …αn]＝＝0，即b1jα1＋b2jα2＋…＋bnjαn＝0，因为常数b1j，b2j，…，bnj不全为零，故由上式知A的列向量组线性相关，再由AB＝O取转置得BTAT ＝O，利用已证的结果可知BT的列向量组——即B的行向量组线性相关，故A 正确．知识模块：向量4．(2006年)设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是【】A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．B．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．C．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．D．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．正确答案：A解析：若α1，α2，…，αs线性相关，则存在一组不全为零的常数k1，k2，…，ks，使得k1α1＋k2α2＋…＋ksαs＝0 两端左乘矩阵A，得k1Aα1＋k2Aα2＋…＋ksAαs＝0 因k1，k2，…，k3不全为零，故由线性相关的定义，即知向量组Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．知识模块：向量5．(2007年)设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是【】A．α1－α2，α2－α3，α3－α1．B．α1＋α2，α2＋α3，α3＋α1．C．α1－2α2，α2－2α3，α3－2α1．D．α1＋2α2，α2＋2α3，α3＋2α1．正确答案：A解析：观察易知(α1－α2)＋(α2－α3)＋(α3－α1)＝0 即选项A 中3个向量之和为零向量，故为线性相关组，从而知选项A正确．知识模块：向量6．(2010年)设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示．下列命题正确的是【】A．若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s．B．若向量组Ⅰ线性无关，则r＞s．C．若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s．D．若向量组Ⅱ线性无关，则r＞s．正确答案：A解析：由于(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，所以有r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)，而r(Ⅱ)≤s，当(Ⅰ)线性无关时，就有r＝r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s，所以选项A正确．知识模块：向量7．(2012年)设函数f(χ，y)可微，且对任意χ，y都有，则使不等式f(χ，y)＜f(χ，y)成立的一个充分条件是【】A．χ1＞χ2，y1＜y2．B．χ1＞χ2，y1＞y2．C．χ1＜χ2，y1＜y2．D．χ1＜χ2，y1＞y2．正确答案：C 涉及知识点：向量8．(2013年)设A，B，C均为n阶矩阵．若AB＝C，且B可逆，则【】A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．C．矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．D．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．正确答案：B解析：因为矩阵B可逆，所以B可以表示成若干个初等矩阵之积，而用初等矩阵右乘矩阵相当于对矩阵施行初等列变换．经一次初等列变换，变换前与变换后的矩阵的列向量组可以相互线性表示，经若干次初等列变换，亦是如此，即变换前与变换后矩阵的列向量组等价，所以选B．知识模块：向量9．(2014年)设α1，α2，α3均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α1＋kα3，α2＋lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的【】A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件正确答案：A解析：记向量组(Ⅰ)：α1＋kα3；α2＋lα3 向量组(Ⅱ)：α1，α2，α3．(Ⅰ)是由(Ⅱ)线性表出的，写成矩阵形式即是：[α1＋kα3，α2＋lα3]＝[α1，α2，α3] 当(Ⅱ)线性无关时，矩阵[α1，α2，α3]为列满秩的，由于用列满秩阵左乘矩阵后，矩阵的秩不变，而矩阵的秩为2，所以此时上式等号左边矩阵的秩也为2，也就是该矩阵的列秩为2，从而知向量组(Ⅰ)线性无关，所以，(Ⅰ)线性无关是(Ⅱ)线性无关的必要条件．但(Ⅰ)线性无关不是(Ⅱ)线性无关的充分条件，例如当k＝l＝时，(Ⅰ)线性无关即向量组α1，α2线性无关，却不能保证(Ⅱ)线性无关．知识模块：向量10．(2011年)设A＝(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵．若(1，0，1，0)T是方程组Aχ＝0的一个基础解系，则A*χ＝0的基础解系可为【】A．α1，α3．B．α1，α2．C．α1，α2，α3．D．α2，α3，α4．正确答案：D解析：首先，4元齐次线性方程组A*χ＝0的基础解系所含解向量的个数为4－r(A*)，其中r(A*)为A*的秩，因此求r(A*)是一个关键．其次，由Aχ＝0的基础解系只含1个向量，即4－r(A)＝1，得r(A)＝3，于是由r(A*)与r(A)的关系，知r(A*)＝1，因此，方程组A*χ＝0的基础解系所含解向量的个数为4－r(A*)＝3，故选项A、B不对．再次，由(1，0，1，0)T是方程组Aχ＝0或χ1α1＋χ2α2＋χ3α3＋χ4α4＝0的解，知α1＋α3＝0，故α1与α3线性相关，于是只有选项D正确．知识模块：线性方程组11．(2015年)设矩阵，若集合Ω＝{1，2}则线性方程组Aχ＝b有无穷多解的充分必要条件为【】A．B．C．D．正确答案：D解析：对方程组的增广矩阵施行初等行变换(化成阶梯形)：由于方程组有无穷多解，当然不能有唯一解，所以有(a－1)(a－2)＝0，即a＝1或a＝2，此时系数矩阵的秩为2，由有解判定定理知，当且仅当a∈Ω且d∈Ω，所以选D．知识模块：线性方程组填空题12．(1997年)已知向量组α1＝(1，2，－1，1)，α2＝(2，0，t，0)，α3＝(0，－4，5，－2)的秩为2，则t＝_______．正确答案：3．解析：以α1，α2，α3为行作成矩阵A，并对A作初等变换：由此可知当且仅当t＝时，矩阵A的秩、也即向量组α1，α2，α3的秩等于2．知识模块：向量13．(2001年)设方程组有无穷多个解，则a＝_______．正确答案：－2．解析：对方程组的增广矩阵作初等行变换：由此可见：(1)当a≠1且a≠－2时，r(A)＝r()＝3，方程组有唯一解；(2)当a＝1时，r(A)＝1，r()＝2，方程组无解；(3)当a＝－2时，r(A)＝r()＝2＜3，方程组有无穷多解．故当且仅当a＝－2时方程组有无穷多解．知识模块：线性方程组解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编7(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编7(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。
若A3=O，则( )A．E—A不可逆，E＋A不可逆。
B．E—A不可逆，E+A可逆。
C．E—A可逆，E+A可逆。
D．E—A可逆，E+A不可逆。
正确答案：C解析：利用单位矩阵E，将A3=O变形为E—A3=E和A3+E=E，进一步分解为(E—A)(E＋A＋A2)=E一A3=E，(E＋A)(E—A＋A2)=E+A3=E，则E—A，E+A均可逆。
2．设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则( )A．交换A*的第1列与第2列得B*。
B．交换A*的第1行与第2行得B*。
C．交换A*的第1列与第2列得一B*。
D．交换A*的第1行与第2行得一B*。
正确答案：C解析：由题设，存在初等矩阵E12(交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使得E12A=B，由于A可逆，可知B也可逆，故B*=(E12A)*一｜E12A｜(E12A)－1=一｜A｜A－1E12－1=一A*E12－1，即A*E12=－B*，故选C。
3．设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P－1AP=。
若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则Q－1AQ=( )A．B．C．D．正确答案：B解析：4．设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则( )A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关。
B．当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关。
D．当r＞s时，向量组Ⅰ必线性相关。
正确答案：D5．设向量组，α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有( ) A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关。
考研真题数学二(2000——2018)线性代数大题
数学二线性代数（22）（本题满分11分）（2018）2221231232313(,,)(,)()(),.f x x x x x x x x x ax a =-+++++设实二次型其中是参数 (I) 123(,,)0f x x x =求的解；(II) 123(,,)f x x x 求的规范形.（23）（本题满分11分） （2018）1212=130=011.27111a a a A B a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭已知是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵(I) ;a 求(II) .AP B P =求满足的可逆矩阵（22）（本题满分11分）（2017）三阶行列式123(,,)A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+（1）证明()2r A =（2）如果123βααα=++求方程组Ax b = 的通解（23）（本题满分11分）（2017）设二次型132221232121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准型为221122y y λλ+ 求a 的值及一个正交矩阵Q .（22）（本题满分11分）（2016）设矩阵11110111a A a a a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭，0122a β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且方程组Ax β=无解。
（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求方程组T TA Ax A β=的通解。
（23）（本题满分11分）（2016） 已知矩阵011230000A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求99A（Ⅱ）设3阶矩阵123(,,)B ααα=满足2B BA =。
记100123(,,)B βββ=，将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
22、（本题满分11分）（2015）设矩阵111100a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,且O A =3.（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足E E AXA AX XA X ,22=+--为3阶单位矩阵，求X 。
考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．记行列式为f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为( )A．1。
B．2。
C．3。
D．4。
正确答案：B解析：=[(x一2)．1一(2x一2)．1]×[一6(x一2)一(一1)(x一7)]=(一x)×(一5x+5)=5x．(x—1)，故f(x)=x．(5x一5)=0有两个根x1=0，x2=1，故应选B。
2．设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*=( )A．kA*。
B．kn－1A*。
C．knA*。
D．k－1A*。
正确答案：B解析：对任何n阶矩阵都要成立的关系式，对特殊的n阶矩阵自然也要成立。
那么，当A可逆时，由A*=｜A｜A－1，有(kA)*=｜kA｜(kA)－1=kn｜A｜．A －1=kn－1｜A｜A－1=kn－1A*。
故应选B。
一般地，若A=(aij)m×n，有kA=(kaij)m×n，那么矩阵kA的第i行j列元素的代数余子式为即｜kA｜中每个元素的代数余子式恰好是｜A｜相应元素的代数余子式的kn－1倍，因此，按伴随矩阵的定义知(kA)*的元素是A*对应元素的kn－1倍。
3．设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的一1倍加至到第2列得C，记P=，则( )A．C=P－1AP。
B．C=PAP－1。
C．C=PTAP。
D．C=PAPT。
正确答案：B解析：由题设可得B=A，则C=，而P－1=，则有C=PAP－1。
故应选B。
4．设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs 线性表示。
下列命题正确的是( )A．若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s。
B．若向量组Ⅰ线性相关，则r＞s。
C．若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s。
考研数学二(线性代数)-试卷18
考研数学二（线性代数）-试卷18(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.设A为n阶方阵，齐次线性方程组Ax=0有两个线性无关的解向量，A *是A的伴随矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.A * x=0的解均是Ax=0的解B.Ax=0的解均是A * x=0的解√C.Ax=0与A * x=0没有非零公共解D.Ax=0与A * x=0恰好有一个非零公共解解析：解析：由题设知n一r(A)≥2，从而有r(A)≤n一2，故A * =0，任意n维向量均是A * x=0的解，故正确选项是(B)．3.设向量组(I)α1，α2，…，αr可由向量组(Ⅱ)β1，β2，…，βs线性表示，则 ( )（分数：2.00）A.当r＜s时，向量组(Ⅱ)必线性相关B.当r＜s时，向量组(I)必线性相关C.当r＞5时，向量组(II)必线性相关D.当r＞s时，向量组(I)必线性相关√解析：解析：利用“若向量组(I)线性无关，且可由向量组(Ⅱ)线性表示，则r≤s”的逆否命题即知．4.设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(I)A n x=0和(Ⅱ)A n+1x=0，现有命题①(I)的解必是(Ⅱ)的解；②(Ⅱ)的解必是(I)的解；③(I)的解不一定是(Ⅱ)的解；④(Ⅱ)的解不一定是(I)的解．其中，正确的是 ( )（分数：2.00）A.①④B.①②√C.②③D.③④解析：解析：当A n x=0时，易知A n+1 x=A(A n x)=0，故(I)的解必是(Ⅱ)的解，也即①正确，③错误．当A n+1 x=0时，假设A n x≠0，则有x，Ax，…，A n x均不为零，可以证明这种情况下x，Ax，…，A n x是线性无关的．由于x，Ax，…，A n x均为n维向量，而n+1个n维向量都是线性相关的，矛盾．故假设不成立，因此必有A n x=0．可知(Ⅱ)的解必是(I)的解，故②正确，④错误．故选(B)．5.向量组α1，α2，…，αs线性无关的充要条件是 ( )（分数：2.00）A.α1，α2，…，αs均不为零向量B.α1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例C.α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余向量线性表出√D.α1，α2，…，αs中任意s一1个向量均线性无关解析：解析：用反证法，若有一个向量可由其余向量线性表出，则向量组线性相关，和向量组线性无关矛盾，(A)，(B)，(D)都是向量组线性无关的必要条件，但不充分．6.n维向量组α1，α2，…，αs(3≤s≤n)线性无关的充要条件是 ( )（分数：2.00）A.存在一组全为零的数k 1，k 2，…，k s，使 k 1α1 +k 1α2+…+k sαs =0B.α1，α2，…，αs中任意两个向量都线性无关C.α1，α2，…，αs中任意一个向量都不能由其余向量线性表出√D.存在一组不全为零的数k 1，k 2，…，k s，使 k 1α1 +k 1α2+…+k sαs =0解析：解析：可用反证法证明之：必要性：假设有一向量，如αs可由α1，α2，…，αs一1线性表出，则α1，α2，…，αs线性相关，这和已知矛盾，故任一向量均不能由其余向量线性表出；充分性：假设α1，α2，…，αs线性相关←→至少存在一个向量可由其余向量线性表出，这和已知矛盾，故α1，α2，…，αs线性无关．(A)对任何向量组都有0α1 +0α2+…+0αs =0的结论．(B)必要但不充分，如α1 =[0，1，0] T，α2 =[1，1，0] T，α3 =[1，0，0] T任两个线性无关，但α1，α2，α3线性相关．(D)必要但不充分．如上例α1 +α2 +α3≠0，但α1，α2，α3线性相关．7.设有两个n维向量组(I)α1，α2，…，αs，(Ⅱ)β1，β2，…，βs，若存在两组不全为零的数k 1，k 2，…，k s，λ1，λ2，…，λs，使(k 1 +λ1 )α1 +(k 2 +λ2 )α2+…+(k s +λs )αs +(k 1一λ1 )β1 +…+(k s一λs )βs =0，则 ( )（分数：2.00）A.α1 +β1，…，αs +，α1一β1，…，αs一βs线性相关√B.α1，…，αs及β1，…，βs均线性无关C.α1，αs及β1，…，βs均线性相关D.α1 +β1，…，αs +βs，α1一β1，…，αs一βs线性无关解析：解析：存在不全为0的k 1，k 2，…，k s，λ1，λ2，…，λs使得 (k 1 +λ1 )α1 +(k 2 +λ2 )α2+…+(k s +λs )αs +(k 1一λ1 )β1 +(k 2一λ2 )β2+…+(k s一λs )βs =0，整理得k 1(α1+β1)+k 2(α2+β2)+…+k s(αs+βs)+λ1(α1一β1)+λ2(α2一β2)+…+λs (αs一βs )=0，从而得α1 +β1，…，αs +βs，α1一β1，…，αs一βs线性相关．8.已知向量组(I)α1，α2，α3，α4线性无关，则与(I)等价的向量组是 ( )（分数：2.00）A.α1 +α2，α2 +α3，α3 +α4，α4一α1B.α1一α2，α2一α3，α3一α4，α4一α1C.α1 +α2，α2一α3，α3 +α4，α4一α1D.α1 +α2，α2一α3，α3一α4，α4一α1√解析：解析：因(A)α1 +α2一(α2 +α3 )+(α3 +α4 )一(α4一α1 )=0； (B)(α1一α2 )+(α2一α3 )+(α3一α4 )+(α4一α1 )=0； (C)(α1 +α2 )一(α2一α3 )一(α3 +α4 )+(α4一α1 )=0，故均线性相关，而故α1 +α2，α2一α3，α3一α4，α4一α1线性无关，两向量组等价．故α1 +α2，α2一α3，α3一α4，α4一α1线性无关，两向量组等价．9.设向量组α2，α3，α4线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 ( )（分数：2.00）A.α1 +α2，α2 +α3，α3一α1B.α1 +α2，α2 +α3，α1 +2α2 +α3C.α1 +2α2，2α2 +3α3，3α3 +α1√D.α1 +α2 +α3，2α1—3α2 +22α3，3α1 +5α2—5α3解析：解析：因(A)α1 +α2一(α2 +α3 )+α3一α1 =0，(B)α1 +α2 +α2 +α3一(α1 +2α2 +α3 )=0，(D)一19(α1 +α2 +α3 )+2(2α1一3α2 +22α3 )+5(3α1 +5α2—5α3 )=0，故(A)，(B)，(D)的向量组均线性相关，由排除法知(C)向量组线性无关．对(C)，若存在数k 1，k 2，k 3使得 k 1 (α1 +2α2 )+k 2 (2α2 +3α3 )+k 2 (3α3 +α1 )=0，整理得：(k 1 +k 3 )α1 +(2k 1 +2k2 )α2 +(3k 2 +3k3 )α3 =0．因α1，α2，α3线性无关，得10.若向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则 ( )（分数：2.00）A.α必可由β，γ，δ线性表出B.β必可由α，γ，δ线性表出C.δ必可由α，β，γ线性表出√D.δ必不可由α，β，γ线性表出解析：解析：因α，β，γ线性无关，故α，β线性无关，而α，β，δ线性相关，故δ必可由α，β线性表出(且表出法唯一)．二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.设A是4×3矩阵，且r(A)=2，而r(AB)= 1。
考研真题数学二(2000——2018)线性代数大题
数学二线性代数（22）（本题满分11分）（2018）2221231232313(,,)(,)()(),.f x x x x x x x x x ax a =-+++++设实二次型其中是参数 (I) 123(,,)0f x x x =求的解；(II) 123(,,)f x x x 求的规范形.（23）（本题满分11分） （2018）1212=130=011.27111a a a A B a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭已知是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵(I) ;a 求(II) .AP B P =求满足的可逆矩阵（22）（本题满分11分）（2017）三阶行列式123(,,)A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+（1）证明()2r A =（2）如果123βααα=++求方程组Ax b = 的通解（23）（本题满分11分）（2017）设二次型132221232121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准型为221122y y λλ+ 求a 的值及一个正交矩阵Q .（22）（本题满分11分）（2016）设矩阵11110111a A a a a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭，0122a β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且方程组Ax β=无解。
（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求方程组T TA Ax A β=的通解。
（23）（本题满分11分）（2016） 已知矩阵011230000A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求99A（Ⅱ）设3阶矩阵123(,,)B ααα=满足2B BA =。
记100123(,,)B βββ=，将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
22、（本题满分11分）（2015）设矩阵111100a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,且O A =3.（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足E E AXA AX XA X ,22=+--为3阶单位矩阵，求X 。
考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(11)设A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵．A*为A的伴随矩阵．若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为A．α1，α3．B．α1，α2．C．α1，α2，α3．D．α2，α3，α4．正确答案：D解析：首先，4元齐次线性方程组A*x=0的基础解系所含解向量的个数为4-r(A*)，其中r(A*)为A*的秩，因此求r(A*)是一个关键．其次，由Ax=0的基础解系只含1个向量，即4-r(A)=1，得r(A)=3，于是由r(A*)与r(A)的关系，知r(A*)=1，因此，方程组A*x=0的基础解系所含解向量的个数为4-r(A*)=3，故选项(A)、(B)不对．再次．由(1，0，1，0)T是方程组Ax=0或x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0的解，知α1+α3=0，故α1与α3线性相关，于是只有选项(D)正确．知识模块：线性方程组2．(15)设矩阵A=，若集合Ω={1，2}，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为A．B．C．D．正确答案：D解析：对方程组的增广矩阵施行初等行变换(化成阶梯形)：由于方程组有无穷多解，当然不能有唯一解，所以有(a-1)(a-2)=0，即a=1或a=2，此时系数矩阵的秩为2，由有解判定定理知，当且仅当a∈Ω且d∈Ω，所以选(D)．知识模块：线性方程组3．(05分)设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是A．λ1≠0B．λ2≠0C．λ1=0D．λ2=0正确答案：B解析：由λ1≠λ2及特征值的性质知α1，α2线性无关．显然，向量组{α1，A(α1+α2)}={α1，λ1α1+λ2α2}等价于向量组{α1，λ2α2}．当λ2≠0时，它线性无关，当λ2=0时，它线性相关，故α1，A(α1+α2)线性无关λ2≠0．知识模块：矩阵的特征值和特征向量填空题4．(01)设方程组有无穷多个解，则a=______．正确答案：-2解析：对方程组的增广矩阵作初等行变换：由此可见：(1)当a≠1且a ≠-2时，r(A)==3，方程组有唯一解；(2)当a=1时，r(A)=1，=2，方程组无解；(3)当a=-2时，r(A)==2＜3，方程组有无穷多解．故当且仅当a=-2时方程组有无穷多解．知识模块：线性方程组5．(02)矩阵A=的非零特征值是______．正确答案：4解析：由A的特征方程=λ(λ-4)=λ2(λ-4)=0 知识模块：矩阵的特征值和特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．行列式=( )A．(ad—bc)2。
B．一(ad一bc)2。
C．a2d2一b2c2。
D．b2c2一a2d2。
正确答案：B解析：方法一：由行列式的展开定理按第一列展开=一ad(ad一bc)+bc(ad一bc)=一(ad一bc)2。
故选B。
方法二：利用拉普拉斯展开式，即=一(ad一bc)2。
2．设A为3阶矩阵，P=(α1，α2，α3)为可逆矩阵，使得P－1AP=，则A(α1+α2+α3)=( )A．α1+α2。
B．α2+2α3。
C．α2+α3。
D．α1+22。
正确答案：B解析：因为α1+α2+α3=(α1，α2，α3)(1，1，1)T=P(1，1，1)T，所以A(α1+α2+α3)=AP(1，1，1)T=PP－1AP(1，1，1)T=(α1，α2，α3)=α2+2α3。
3．设A，B均为二阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵。
若｜A｜=2，｜B｜=3，则分块矩阵的伴随矩阵为( )A．B．C．D．正确答案：B解析：分块矩阵的行列式=(一1)2×2｜A｜｜B｜=2×3=6。
即分块矩阵可逆。
4．设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP=，若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)则QTAQ为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：Q=(α1+α2，α2，α3)=(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)E21(1)，即Q=PE21(1)。
QTAQ=[PE21(1)]TA[PE21(1)]=E21T(1)[PTAP]E21(1)5．设A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则( )A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价。
B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价。
C．矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价。
考研数学二(线性代数)-试卷5
考研数学二（线性代数）-试卷5(总分：56.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4，且｜E+A｜=0，则｜2E+A 2｜为( )．（分数：2.00）A.0B.54 √C.-2D.-24解析：解析：因为A的每行元素之和为4，所以A有特征值4，又｜E+A｜=0，所以A有特征值-1，于是2E+A 2的特征值为18，3，于是｜2E+A 2｜=54，选(B)3.设A为m×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，且m>n，令r(AB)=r，则( )．（分数：2.00）A.r>mB.r=mC.r<m √D.r≥m解析：解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n<m，所以选(C) 4.设n维列向量组α1，α2，…，αm (m 1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是( )．（分数：2.00）A.向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βm线性表示B.向量组β1，β2，…，βm可由向量组α1，α2，…，αm线性表示C.向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价D.矩阵A=(α1，α2，…，αm )与矩阵β=(α1，α2，…，αm )等价√解析：解析：因为α1，α2，…，αm线性无关，所以向量组α1，α2，…，αm的秩为m，向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是其秩为优，所以选(D)5.设A，B为正定矩阵，C是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )．（分数：2.00）A.C T +ACB.A -1 +B -1C.A * +B *D.A-B √解析：解析：显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为A，B正定，所以A -1，B -1及A *，B *都是正定的，对任意X≠0，X T (C T AC)X=(CX) T A(CX)>0(因为C可逆，所以当X≠0时，CX≠0)，于是C T AC 为正定矩阵，同样用定义法可证A -1 +B -1与A*+B*都是正定矩阵，选(D)6.下列说法正确的是( )．（分数：2.00）A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的√解析：解析：(A)不对，如f=x 1 x 2，令，则f=y 12 -y 22；若令f=y 12 -9y 22；(B)不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同； (C)不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为0，不能保证其正惯性指数为n；选(D)，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一．二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.设(A+3E) -1 (A 2 -9E)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：(A+3E) -1 (A 2 -9E)=(A+3E) -18.设 A -1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）9.设B为三阶非零矩阵，且AB=0，则r(A)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠O，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．10.设向量组α1，α2，α3线性无关，且α1 +aα2 +4α3，2a1+α2 -α3，α2 +α3线性相关，则a= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：(α1 +aα2 +4α3，2a1+α2 -α3，α2 +α3 )=(α1，α2，α3 ) 因为α1，α2，α3线性无关，而α1+aα2+4α3，2α1+α2-α3，α2+α3线性相关，所以，解得a=5．11.a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：因为方程组无解，所以r(A) )≤3，于是r(A)2 =0，得a=-1或a=3．当a=3时，因为r(A)=r( )=2，因为)，所以方程组无解，于是a=-1．12.设A为n阶可逆矩阵，若A有特征值λ0，则(A * ) 2 +3A * +2E有特征值 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：因为A可逆，所以λ0≠0，A *对应的特征值为，于是(A * ) 2 +3A * +2E对应的特征值为13.a= 1，b= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）填空项1:__________________ （正确答案：3）解析：解析：由Aα=λαλ=5，a=2，b=3．14.设α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：令β1 = ，β3 =α3，正交规范化的向量组为三、解答题(总题数：13，分数：28.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(线性代数)-试卷13
考研数学二（线性代数）-试卷13(总分：68.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.已知2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，则D等于( )．（分数：2.00）A.0 √B.a 2C.-a 2D.na 2解析：解析：不妨设第一列元素及余子式都是a，则D=a 11 A 11 +a 21 A 21+…+a 2n,1 A 2n,1 =a 2 -a 3+…-a2 =0，应选(A)．3.行列式｜A｜非零的充分条件是( )．（分数：2.00）A.A中所有元素非零B.A中至少有n个元素非零C.A的任意两行元素之间不成比例D.以｜A｜为系数行列式的线性方程组有唯一解√解析：解析：｜A｜≠0的充要条件是r(A)=n，r(A)=n的充要条件是AX=b有唯一解，应选(D)．4.假设A是n阶方阵，其秩(A)=r＜n，那么在A的n个行向量中( )．（分数：2.00）A.必有r个行向量线性无关√B.任意r个行向量线性无关C.任意r个行向量都构成极大线性无关向量组D.任何一个行向量列向量均可由其他r个列向量线性表示解析：解析：因为矩阵的秩与行向量组的秩及列向量组的秩相等，所以由r(A)=r得A一定有r个行向量线性无关，应选(A)．5.设A为n阶方阵，B是A经过若干次初等变换后所得到的矩阵，则有( )．（分数：2.00）A.｜A｜=｜B｜B.｜A｜≠｜B｜C.若｜A｜=0，则一定有｜B｜=0 √D.若｜A｜＞0，则一定有｜B｜＞0解析：解析：因为初等变换不改变矩阵的秩，所以若｜A｜=0，即r(A)＜n，则r(B)＜n，即｜B｜=0，应选(C)．6.设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βr线性表示，则( )．（分数：2.00）A.若α1，α2，…，αr线性无关，则r≤s√B.若α1，α2，…，αr线性相关，则r≤sC.若β1，β2，…，βr线性无关，则r≤sD.若β1，β2，…，βr肛线性相关，则r≤s解析：解析：因为(Ⅰ)可由(Ⅱ)，所以(Ⅰ)的秩≤(Ⅱ)的秩，所以若α1，α2，…，αr线性无关，即(Ⅰ)的秩=r，则r≤(Ⅱ)的秩≤s，应选(A)．7.设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，E是n阶单位矩阵，若AB=E，则( )．（分数：2.00）A.B的行向量组线性无关B.B的列向量组线性无关√C.A -1 =BD.｜AB｜=｜A｜B｜解析：解析：由AB=E得r(AB)=n，从而r(A)≥n，r(B)≥n，又r(A)≤n，r(B)≤n，所以r(A)=n，r(B)=n，故B的列向量组线性无关，应选(B)．8.非齐次线性方程组AX=b中未知量个数为n，方程个数为优，系数矩阵A的秩为r，则( )．（分数：2.00）A.r=m时，方程组AX=b有解√B.r=n时，方程组AX=b有唯一解C.m=n时，方程组AX=b有唯一解D.r＜n时，方程组AX=b有无穷多解解析：解析：≥r(A)，当r=m时，r(A)≥r(A)=m；，故AX=b有解，应选(A)．9.设A为m×n矩阵且r(A)=n(n＜m)，则下列结论中正确的是( )．（分数：2.00）A.若AB=AC，则A=CB.若BA=CA，则B=C √C.A的任意n个行向量线性无关D.A的任意n个行向量线性相关解析：解析：由BA=CA得(B-C)A=O，则r(A)+r(B-C)≤n，由r(A)=n得r(B-C)=0，故B=C，应选(B)．10.设α1，α2，α3是AX=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可表示成( )．（分数：2.00）A.α1，α2，α3的一个等价向量组√B.α1，α2，α3的一个等秩向量组C.α1，α1 +α2，α1 +α2 +α3D.α1 -α2，α2 -α3，α3 -α1解析：解析：(B)显然不对，因为与α1，α2，α3等秩的向量组不一定是方程组的解；因为α1+(α1 +α2 )-(α1 +α2 +α3 )=0，所以α1，α1 +α2，α1 +α2 +α3线性相关，不选(C)；由(α1 -α2 )+(α2 -α3 )+(α3 -α1 )=0，所以α1 -α2，α2 -α3，α3 -α1线性相关，不选(D)，应选(A)．二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.设n阶矩阵A｜= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：(n-1)(-1) n-1）（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：=(-a)A 12 +bA 13 =aM 12 +bM 13．13.设A，B均为n阶方阵，｜A｜=2，｜B｜=-3，则｜A -1 B * -A * B -1｜= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：A * =｜A｜A -1 =2A -1，B * =｜B｜B -1 =-3B -1，则｜A -1 B * -A * B -1｜=｜-3A -1 B -1 -2A-1 B -1｜=(-5) n｜A -1｜.｜B -1｜14.设三阶方阵A=[A 1，A 2，A 3 ]，其中A i (i=1，2，3)为三维列向量，且A的行列式｜A｜=-2，则行列式｜-A 1 -2A 2，2A 2 +3A 3，-3A 3 +2A 1｜= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：12）解析：解析：由(-A 1 -2A 2，2A 2 +3A 3，-3A 3 +2A 1 )=(A 1，A 2，A 3 ) 得｜-A 1 -2A 2，2A 2 +3A 3，-3A 3 +2A 1｜=｜A 1，A 2，A 3｜=12．15.设A是三阶方阵，且｜A-E｜=｜IA+2E｜=｜2A+3E｜=0，则｜2A * -3E｜= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：126）解析：解析：由｜A-E｜=｜A+2E｜=｜2A+3E｜=0得｜E-A｜=0，｜-2E-A｜=0，E-A｜=0，矩阵A的特征值为λ1 =1，λ2 =-2，λ3 = ｜A｜=3，A *的特征值为2A * -3E的特征值为3，-6，-7，故｜2A * -3E｜=126．16.设A为四阶可逆方阵，将A第3列乘3倍再与第1列交换位置，得到矩阵B，则B -1 A= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由B=A =AE 3 (3)E 13得17.设A为4×3矩阵，且r(A)=2，而r(AB)= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为｜B｜B可逆，于是r(AB)=r(A)=2．18.向量组α1 =[0，4，2-k]，α2 =[2，3-k，1]，α3 =[1-k，2，3]线性相关，则实数k= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：6）得k=6．三、解答题(总题数：13，分数：32.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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2a 1
设矩阵
A
=
a
2
2a
1
， 现 矩 阵 A 满 足 方 程 AX = B ， 其 中
a2
2a n×n
X = ( x1,, xn )T ， B = (1, 0,, 0) ，
（1）求证 A= (n +1) an ；
（2） a 为何值，方程组有唯一解，并求 x1 ； （3） a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解.
Aij + aij = 0(i, j = 1,2,3) ，则 A =
．
22．本题满分 11 分）
设 A = 11
a 0
,
B
=
10
1 b
，问当
a,
b
为何值时，存在矩阵
C，使得
AC
−
CA
=
B
，并求出
所有矩阵 C． 22．本题满分 11 分）
设 A = 11
a 0
,
B
=
10
1 b
，问当
a,
b
为何值时，存在矩阵
（9）设向量组α1,α2 ,α3 线性无关，则下列向量组线性相关的是
线性相关，则
(A) α1 − α2 ,α2 − α3,α3 − α1
(B) α1 + α2 ,α2 + α3,α3 + α1
(C) α1 − 2α2 ,α2 − 2α3,α3 − 2α1 . (D) α1 + 2α2 ,α2 + 2α3,α3 + 2α1 .
（23）（本题满分 10 分）
设 A 为 3 阶 矩 阵 ， α1,α2 为 A 的 分 别 属 于 特 征 值 −1,1 特 征 向 量 ， 向 量 α3 满 足
Aα=3 α2 + α3 ，
（1）证明α1,α2 ,α3 线性无关；
（2）令 P = (α1,α2 ,α3 ) ，求 P−1AP .
2007
有
3
个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵
A
ax1 + x2 + 3x3 + bx4 = 1
的秩 r ( A) = 2 ；（Ⅱ）求 a, b 的值及方程组的通解.
（23）（本题满分 9 分）
设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量α1 =(−1, 2, −1)T ,α2 =(0, −1,1)T 是线
（Ⅰ）求二次型 f 的矩阵的所有特征值； （Ⅱ）若二次型 f 的规范形为 y12 + y22 ，求 a 的值。
2009
（7）设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵. 若 A3 = 0 ，则（ ）
( A) E − A 不可逆， E + A 不可逆. ( B) E − A 不可逆， E + A 可逆.
8 设 A 为 4 阶对称矩阵,且 A2 + A =0, 若 A 的秩为 3,则 A 相似于
1
A
1 1
0
1
B
1 −1
0
1
C
−1 −1
0
−1
D
−1
−1
0
14 设 A，B 为 3 阶矩阵，且 A = 3, B = 2, A−1 + B = 2,则 A + B−1 = __________
x1
+
2 x2
+
x3
=a
− 1 有公共解，求
a
的值及
x1
+
4 x2
+
a2 x3
= 0
所有公共解.
（24） (本题满分 11 分)
设三阶对称矩阵 A 的特征向量值 λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = −2 ， α=1 (1, −1,1)T 是 A 的属于
λ1 的一个特征向量，记 B =A5 − 4 A3 + E ，其中 E 为 3 阶单位矩阵.
得单位矩阵。记 P1 = 1 1 0 ， P2 = 0 0 1 ，则 A =（ ）
0 0 1
0 1 0
（A） P1P2
（B） P1−1P2
（C） P2 P1
（D） P2 P1−1
（8）设 A = (α1,α 2 ,α3 ,α 4 ) 是 4 阶矩阵，A* 为 A 的伴随矩阵。若 (1 ,0,1,0)T 是方程组 Ax = 0
，二次型
f
( x1,
x2 ,
x3
)
=
xT
AT A x 的秩为 2，
0
a −1
(I) 求实数 a 的值；
(II) 求正交变换 x = Qy 将 f 化为标准形.
2011
（7）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3 行
1 0 0
1 0 0
（I）验证α1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； （II）求矩阵 B .
2006
（13）设α1,α2 ,,αs 均为 n 维列向量， A 为 m × n 矩阵，下列选项正确的是 [ ]
(A) 若α1,α2 ,,αs 线性相关，则 Aα1, Aα2 ,, Aαs 线性相关.
[]
2 −1 −1 1 0 0
（10）设矩阵 A = −1
2
−1, B = 0 1
0
，则
A
与
B
−1 −1 2 0 0 0
(A) 合同且相似 (C) 不合同，但相似. （23） (本题满分 11 分)
（B）合同，但不相似. (D) 既不合同也不相似
[]
设线性方程组
x1 x1
+ +
x2 + x3 = 0 2x2 + ax3 = 0 与方程
()
1 0 0
(A)
0
2
0
0 0 1
1 0 0
(B)
0
1
0
0 0 2
则
2 0 0
(C)
0
1
0
0 0 2
2 0 0
(D)
0
2
0
0 0 1
Q−1 AQ =
(14) 设 A 为3阶矩阵， A =3 ， A* 为 A 伴随矩阵，若交换 A 的第1行与第2行得矩阵 B ，则
BA* =
（23）（本题满分 11 分）
1 1 −1 1 设 A 为 3 阶实对称矩阵， A 的秩为 2，且 A 0 0 = 0 0 。
−1 1 1 1 （I）求 A 的所有的特征值与特征向量；
（II）求矩阵 A 。
2010
7.设向量组 I :α1,α2 ,…，αr可由向量组II：β1，β2，…，βs线性表示 ，下列命题正确的是： A 若向量组 I 线性无关，则 r ≤ s B 若向量组 I 线性相关，则 r>s C 若向量组 II 线性无关，则 r ≤ s D 若向量组 II 线性相关，则 r>s
的一个基础解系，则 A* x = 0 的基础解系可为（ ）
（A） α1 ,α 3
（B）α1,α 2
（C）α1,α 2 ,α3
（D）α 2 ,α3 ,α 4
（14）二次型 f (x1, x2 , x3 ) = x12 + 3x22 + x32 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2 x3 ，则 f 的正惯性指数
3A*
0
(
D
)
.
0 3B*
2A*
0
1 0 0
（8）设
A，P
均为
3
阶矩阵，
PT
为
P
的转置矩阵，且
P
T
AP=
0
1
0
，若
0 0 2
P=（α1，α2，α3），Q=（α1 +α2，α2，α3），则 QT AQ 为（ ）
2 1 0
1 1 0
2 0 0 1 0 0
(
A)
.
1
1
0
(
B
)
.
1
2
15
λ 设A = 0
1
1 λ −1
1
（1）求λ、a.
1 a 0 , b = 1 .已知线性方程组Ax = b存在2个不同的解。 λ 1
(2)求方程组Ax = b的通解。
0 −1 4
23. 设 A = −1
3
a ，正交矩阵
Q
使 得 QT AQ 为 对 角 矩 阵 ， 若
Q
的第一列为
c1
c2
c3
c4
向
量
组
线
性
相
关
的
为
()
(A) α1,α2 ,α3
(B) α1,α2 ,α4
(C) α1,α3 ,α4
(D) α2 ,α3 ,α4
1 0 0
(8)
设A为
3
阶矩阵， P 为
3
阶可逆矩阵，且
P
−1
AP
=
0
1
0
.若
P
=
(α1,
α2
,α3
)
，
0 0 2
=Q (α1 + α2 ,α2 ,α3 )
（1）证明二次型 f 对应的矩阵为 2αα T + ββ T ；
（2）若α , β 正交且为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为
2 y12
+
y
2 2
．
2012
0
0
1
−1
(7)
设
α1