概率论与数理统计 第一章1.1随机事件
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随机现象 从亚里士多德时代开始, 哲学家们就已经认识 到随机性在生活中的作用, 但直到20世纪初, 人们才认识到随即现象亦可以 通过数量化方法 来进行研究. 概率论就是以数量化方法来研究 随机现象及其规律性的一门数学学科,而我们 已学过的微积分等课程 则是研究确定性现象的
数学学科.
完
随机现象的统计规律性
事件的关系与运算
注:(1) 事件的关系与运算可用维恩图形象表之
(2) 事件的和与积的运算可推广到有限个事 件或可数无限个事件的情形.
A B A B, (3) 事件的和与积的另一记法:
A B AB.
事件的关系与运算
8. 完备事件组 设 A1 , A2 ,, An , 是有限或可数个事件,若其 满足:
用 S 的某一子集来表示,常用字母 A, B, 等 表示. 某事件 A 发生,就是属于该集合的某一样本 点在试验中出现. 若记 s 为试验中出现的样本 点,则
事件的集合表示 某事件 A 发生,就是属于该集合的某一样本 点在试验中出现. 若记 s 为试验中出现的样本 点,则 事件 A 发生
s A.
样本空间 2. 在将一枚硬币抛掷三次,观察正面H、反面T 出现情况的试验中,有8个样本点,样本空间:
S { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }.
3. 在抛掷一枚骰子,观察其出现的点数的试验中, 有6个样本点:1点,2点,3点,4点,5点,6点, 样本空间可简记为 S {1,2,3,4,5,6}.
随机现象 若在其边界上 2. 设有一块长方形的金属板, 持续施加确定的温度, 则金属板必然因受热 产生确定的温度分布 . 3. 异性电荷相互吸引, 同性电荷相互排斥. …… 另一类则是我们事先无法准确预知其结果的 现象,称为随机现象.
随机现象 我们无法 1. 在相同的条件下抛掷同一枚硬币, 事先预知将出现正面还是反面; 我们无法 2. 在相同的条件下抛掷同一枚骰子, 事先预知六面中哪一面朝上; 3. 将来某日某种股票的价格是多少? …… 从亚里士多德时代开始, 哲学家们就已经认识 到随机性在生活中的作用, 但直到20世纪初,
(1) Ai Aj , i j , i , j 1,2,;
( 2) Ai S .
i
则称 A1 , A2 ,, An , 是一个完备事件组. 显然, A 与 A 构成一个完备事件组. 完
事件的运算规律
由集合的运算律,易给出事件间的运算律. 设
A, B , C 为同一随机试验 E 中的事件,则有
(1) (2) (3) (4)
叙述事件 ABC 的意义. 什么条件下 ABC C 成立 ? 什么条件下 C B ? 什么条件下 A B 成立 ?
解 (1) ABC 是指当选的学生是三年级男生, 但 不是运动员.
例 1 在管理系学生中任选一名学生, 令事件 A 表 示选出的是男生, 事件 B 表示选出的是三年级学 生, 事件 C 表示该生是运动员. (2) 什么条件下 ABC C 成立 ?
由于随机现象的结果事先不能预知, 初看似乎 毫无规律. 然而人们发现 同一随机现象大量重 其每种可能的结果 出现的频率具有 复出现时,
稳定性, 从而表明随机现象也有其固有的规律
性. 人们把随机现象在大量重复出现时 所表现 出的量的规律性 称为随机现象的统计规律性.
随机现象的统计规律性
概率论与数理统计是研究 随机现象统计规律性 的一门学科. 为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需 对随机现象进行重复观察,我们把对随机现象
(2) 若观察取出的两个球的号码,则样本点为:
e ij (取出第 i 号与第 j 号球), 1 i j 5,
2 于是样本空间共有 C5 10 个样本点,样本空间
S {eij | 1 i j 5}.
同一个随机试验,试验的 注:这个例子表明, 样本点与样本空间 是根据观察的内容而确定的.
样本空间
6. 设随机试验为 从装有三个白球(记号为1,2, 3). 于两个黑球(记号为4,5)的袋中任取两球. 则样本点为 (1) 若观察取出的两个球的颜色,
e00 (两个白球), e11 (两个黑球), e01 (一白一黑),
于是样本空间 S {e00 , e11 , e01 }.
样本空间
完
随机事件
在随机试验中,人们除了关心试验的结果本身外,
往往还关心试验的结果 是否具备某一指定的可观
察的特征,概率论中将这一可观察的特征称为一 个事件 , 它分三类:
随机事件
1. 随机事件:在试验中可能发生也可能不发生的 事件; 2. 必然事件:在每次试验中都必然发生的事件; 3. 不可能事件:在任何一次试验中都不可能发 生的事件. 例如,在抛掷一枚骰子的试验中,我们也许会关
A : “点数为奇数”,B : “点数小于5”.
则 A B {1,2,3,4,5}; A B {1,3};
A - B {5}.
6. 若 A B , 则称事件 A 与 B 是互不相 容的(或互斥的).
7. 若 A B S 且 A B ,
事件的关系与运算
完
样本空间
尽管一个随机试验 将要出现的结果是不确定的, 我们把随机试验 但其所有可能结果是明确的, 常记为 的每一种可能的结果 称为一个样本点, . 它们的全体称为样本空间,记为 S (或 ). 例如: S {正面,反面} 或
e2 反面). S {e1 , e2 }(e1 正面,
试验表明:虽然每次投掷硬币事先无法准确预 知将出现正面还是反面,但大量重复试验时,
随机现象的统计规律性 试验表明:虽然每次投掷硬币事先无法准确预 知将出现正面还是反面,但大量重复试验时, 发现出现正面和反面的次数大致相等,即各占 并且随着试验次 总试验次数的比例大致为0.5, 数的增加,这一比例更加稳定地趋于0.5.
完
事件的关系与运算 因事件是一个集合,故事件间的关系与运算可按
集合之间的关系和运算来处理. 下面给出这些关
系与运算 在概率论中的提法和含义.
1. A B : 事件B 包含事件A 或 事件A包含于事
件B 或 A是B 的子事件,其含义: 事件 A 发生必 然导致事件 B 发生. 显然 A S . 2. A B (即 A B , 且 B A) : 称事件 A 与事 件 B 相等.
事件的集合表示 某事件 A 发生, 就是属于该集合的某一样本 点在试验中出现. 若记 s 为试验中出现的样本 点,则 事件 A 发生
s A.
称仅含一个样本点的事件为基本事件;称含有两 个或两个以上样本点的事件为复合事件. 显然,样本空间 S 作为事件是必然事件, 空集
作为一个事件是不可能事件.
随机事件
1. 随机事件:在试验中可能发生也可能不发生的 事件; 2. 必然事件:在每次试验中都必然发生的事件; 3. 不可能事件:在任何一次试验中都不可能发
生的事件. 显然,必然事件与不可能事件都是确定性事件. 为讨论方便,今后将它们看作是两个特殊的随 机事件,并将随机事件简称为事件. 完
事件的集合表示
心出现的点数是否为奇数, 这里, “点数为奇数”
就是一个事件. 它在试验中可能发生也可能不发 生,即是一个随机事件. 同样,
随机事件
1. 随机事件:在试验中可能发生也可能不发生的 事件; 2. 必然事件:在每次试验中都必然发生的事件; 3. 不可能事件:在任何一次试验中都不可能发
生的事件. 前 “点数小于7”与“点数为8”也分别是一个事件, 后者 者在试验中是必然发生的,即是必然事件, 在试验中是不可能发生的, 即是不可能事件.
按定义,样本空间 S 是随机试验的 所有可能
结果(样本点)的全体,故样本空间就是所有样
本点构成的集合,每一样本点是该集合的元素.
一个事件是由具有该事件 所要求的特征的那
些可能结果所构成,故一个事件是对应于 S 中
具有相应特征的样本点(元素)构成的集合,它
是 S 的一个子集.
事件的集合表示
于是,任何一个事件都可以
(1) 交换律 A B B A,
A B B A;
(2) 结合律 ( A B) C A ( B C ),
( A B) C A ( B C );
事件的运算规律 (3) 分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C ),
样本空间
4. 观察某电话交换台 在一天内收到的呼叫次数, 其样本点有无穷多个: i 次,i 0,1,2,3,, 样本空间可简记为
S {0,1,2,3,…}.
5. 在一批灯泡中任意抽取一个,测试其寿命, 其样本点也有无穷多个(且不可数): t 小时,
0 t , 样本空间可简记为 S {t | 0 t } [0, ).
的观察称为随机试验,并简称为试验,记为E.
例如,观察某射手对固定目标进行射击; 抛一
枚硬币三次,观察出现正面的次数;记录某市
120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等 均为随
机试验.
随机现象的统计规律性
随机试验具有下列特点: 1. 可重复性:试验可以在相同的条件下重复进 行; 2. 可观察性:试验结果可观察,所有可能的结
( A B) C ( A C ) ( B C );
(4) 自反律 A A; (5) 对偶律 ( A B) A B,
( A B) A B .
注:上述各运算律可推广到 有限个或可数个事
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件的情形.
完
例 1 在管理系学生中任选一名学生, 令事件 A 表 示选出的是男生, 事件 B 表示选出的是三年级学 生, 事件 C 表示该生是运动员.
事件的关系与运算 3. A B { e | e A 或 e B }:称为事件 A 与事件 B 的和事件. 4. A B { e | e A 且 e B }:称为事件 A 与事件 B 的积事件.
事件的关系与运算
5. A - B { e | e A 且 e B }: 称为事件 A 与事件 B 的差事件.
6. 若 A B , 则称事件 A 与 B 是互不相 容的(或互斥的). 7. 若 A B S 且 A B , 则称事件 A 与 事件 B 互为对立事件,或事件 A 与事件 B 互 为逆事件. A 的对立事件记为 A , 于是
A S - A.
注:(1) 事件的关系与运算可用维恩图形象表之 (2) 事件的和与积的运算可推广到有限个事 件或可数无限个事件的情形.
随机现象
在自然界和人类社会生活中普遍存在着两类现
象, 一类是在一定条件下必然出现的现象,称 为确定性现象. 例如: 1. 一物体从高度为 h (米)处垂直下落, 则经过时
刻 t (秒) 后必然落到地面,且由
2 1 h gt 2
t 2h , 其中 g 9.8 (米/秒2). g
2. 设有一块长方形的金属板,
例如,在抛掷骰子的试验中,记事件
A : “点数为奇数”,B : “点数小于5”.
则 A B {1,2,3,4,5}; A B {1,3};
事件的关系与运算
5. A - B { e | e A 且 e B }: 称为事件 A 与事件 B 的差事件. 例如,在抛掷骰子的试验中,记事件
(3) 什么条件下 C B ? (4) 什么条件下 A B 成立 ? 解 (2) 只有在 C AB , 即 C A, C B 同时
果是明确的; 3. 不确定性:每次试验出现的结果事先不能准 确预知.
历史上,研究随机现象统计规律最著名的试验
是投掷硬币的试验.
随机现象的统计规律性 历史上,研究随机现象统计规律最著名的试验 是投掷硬币的试验. 下表是历史上投掷硬币试验
的记录.
试验者 De Morgan Buffon Pearon Pearon 投掷次数(n) 正面次数(rn)正面频率( rn ) 2048 4040 12000 24000 1061 2048 6019 12012 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005