22.2.5华师大版九年级数学上册22.2.5 根与系数之间的关系 课件
合集下载
华师大版九年级上册课件：22.2.5 根与系数之间的关系 精品省一等奖课件
1、以方程X +3X-5=0的两个根的相反数为根的方程是 B ） （ A、y2＋3y-5=0 C、y2＋3y＋5=0 B、 D、 y2－3y-5=0 y2－3y＋5=0
2
分析:设原方程两根为
新方程的两根之和为 ( x1 ) ( x2 ) 3 新方程的两根之积为 ( x1 ) ( x2 ) 5 故所求方程为y －3y-5=0
(10 2 x) (8 x) 10 8 (1 30%)
（花圃的宽度为1m）
增长率问题
问题2：阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净 收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年 长率应为多少？ 1、翻一番，你是如何理解的？ （翻一番，即为原净收入的2倍，若设原值为1 那么两年后的值就是2） 2、“平均年增长率”你是如何理解的。 （“平均年增长率”指的是每一年净收入增长 的百分数是一个相同的值。即每年按同样的百 分数增加）
( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 4 x1 x 2 ＝ 12
2
另外几种常见的求值
x1 x2 1 1 1. x1 x 2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 1
2 2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2
2
x1 , x 2 则: x1 x2 3, x1 x2 5
2 2、点p(m,n)既在反比例函数 y ( x 0) 的 x
图象上, 又在一次函数
y x 2 的图象上,
则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1): 解:由已知得,
{n m 2
2 n m
2
当m= 分析:1. 2.
1
一元二次方程的根与系数的关系课件华东师大版九年级数学上册
22.2.5 一元二次方程的根 与系数的关系
九年级上
学习目标
1. 理解一元二次方程根与系数的关系；
重点
2. 了解一元二次方程根与系数的关系的简单应用.
难点
新课引入
1. 求出一元二次方程 x2 + 3x - 4 = 0 的两根 x1 和 x2，并计算 x1 + x2 和 x1·x2 的值． 2. 观察它们与方程的系数有什么关系？
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等
于常数项与二次项系数的比．
注意：满足上述关系的前提条件 b2 - 4ac ≥ 0.
针对训练
1. 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和 与积：
(1) x2 - 6x - 15 = 0； (2) 3x2 + 7x - 9 = 0；(3) 5x - 1 = 4x2.
(1) am2 + bm + c = 0；(2) an2 + bn + c = 0；(3) m + n = - ；
(4) an2 + bm + c = 0；(5) am2 + bn＋c＝0；(6) mn = .
3. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 - (2m - 2)x + m2 - 2m = 0 的两实数根为 x1，x2，且 x12+x22 = 10，求 m 的值. 解：由题意可知 Δ = ( 2m - 2 )2 - 4(m²- 2m) = 4 > 0， ∴无论 m 取任何值，方程有两个不相等的实数根. ∵x1 + x2 = 2m - 2， x1x2 = m²- 2m， ∴x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10， ∴(2m - 2)2 - 2(m2 - 2m) = 10， ∴m2 - 2m - 3 = 0， ∴m = -1或 m = 3.
九年级上
学习目标
1. 理解一元二次方程根与系数的关系；
重点
2. 了解一元二次方程根与系数的关系的简单应用.
难点
新课引入
1. 求出一元二次方程 x2 + 3x - 4 = 0 的两根 x1 和 x2，并计算 x1 + x2 和 x1·x2 的值． 2. 观察它们与方程的系数有什么关系？
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等
于常数项与二次项系数的比．
注意：满足上述关系的前提条件 b2 - 4ac ≥ 0.
针对训练
1. 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和 与积：
(1) x2 - 6x - 15 = 0； (2) 3x2 + 7x - 9 = 0；(3) 5x - 1 = 4x2.
(1) am2 + bm + c = 0；(2) an2 + bn + c = 0；(3) m + n = - ；
(4) an2 + bm + c = 0；(5) am2 + bn＋c＝0；(6) mn = .
3. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 - (2m - 2)x + m2 - 2m = 0 的两实数根为 x1，x2，且 x12+x22 = 10，求 m 的值. 解：由题意可知 Δ = ( 2m - 2 )2 - 4(m²- 2m) = 4 > 0， ∴无论 m 取任何值，方程有两个不相等的实数根. ∵x1 + x2 = 2m - 2， x1x2 = m²- 2m， ∴x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10， ∴(2m - 2)2 - 2(m2 - 2m) = 10， ∴m2 - 2m - 3 = 0， ∴m = -1或 m = 3.
22.2.5. 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共17张PPT)初中数学华师大版九年级上册
新课导入
试一试
求出一元二次方程 x2 + 3x – 4 = 0的两根 x1 和 x2，计算 x1 + x2 和 x1·x2 的值. 它们与方程的系数 有什么关系？
x2 + 3x – 4 = 0 的两根为 x1 = 1 和 x2 = – 4，于
是 x1 + x2 = – 3， x1·x2 = – 4.
相反数
相等
x2 + 3x – 4 = 0
二次项系数为 1 一次项系数 常数项
对于任何一个二次项系数为 1 的一元二次方程，是否都 有这样的结果呢？
探索
推进新课
我们来考察方程 x2 + px + q = 0（p2 – 4q ≥ 0）. 由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根 分别为
p x1
p2 2
3.已知 α，β 是方程 x2 – 3x – 5 = 0的两根，不解 方程，求下列代数式的值.
（1）1 + 1 （2） α2 + β2 （3） α – β
解：（1）1 + 1 = + = 3 = 3；
5 5
（2）α2 + β2 = (α + β)2 – 2αβ = 32 – 2× (–5) = 19；
教学反思
本节课先由学生探究特殊一元二次方程的 根与系数的关系，再猜想一般一元二次方程的 根与系数的关系，并从理论上加以推导证明， 加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑 思维能力.
（3）(α – β)2 = (α + β)2 – 4αβ = 29，
= 29.
课堂小结
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 – 4ac ≥ 0)的根与系数的关系：
22.2.5一元二次方程根与系数的关系 课件 华东师大版数学九年级上册
b
4
c
x1 x2 ，x1 x2 1.
a
3
a
4
4
（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1 = ( 1) 1 .
3
3
2
x2 x1 x12 x2 2 x1 x2 2 x1 x2
34
（2）
x1 x2 p，
x1 x2 q.
证明：利用公式法求方程的两根 x =
x1 =
p p 2 4q
2
x2 =
-p
q
知识要点1
一元二次方程的根与系数的关系
如果 x2 + px + q = 0 的两个根为 x1， x2，那么
x1+ x2= -p，
x1 x2= q
问题2 如果 ax2 + bx + c = 0 ( a、b、c 是常数，a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，
那么
c
b
x1 + x2 = ， x1 • x2 .
a
a
注意：a ≠ 0，b2 - 4ac≥0
典例讲解
例1
利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、
两根之积.
(1) x2 – 6x – 15 = 0；
(2)
3x2
+ 7x - 9 = 0；
(3) 5x – 1 = 4x2.
x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = - 15.
解得 m = 16.
设另一个根为 x1，则
16
∴ x1 = .
4
c
x1 x2 ，x1 x2 1.
a
3
a
4
4
（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1 = ( 1) 1 .
3
3
2
x2 x1 x12 x2 2 x1 x2 2 x1 x2
34
（2）
x1 x2 p，
x1 x2 q.
证明：利用公式法求方程的两根 x =
x1 =
p p 2 4q
2
x2 =
-p
q
知识要点1
一元二次方程的根与系数的关系
如果 x2 + px + q = 0 的两个根为 x1， x2，那么
x1+ x2= -p，
x1 x2= q
问题2 如果 ax2 + bx + c = 0 ( a、b、c 是常数，a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，
那么
c
b
x1 + x2 = ， x1 • x2 .
a
a
注意：a ≠ 0，b2 - 4ac≥0
典例讲解
例1
利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、
两根之积.
(1) x2 – 6x – 15 = 0；
(2)
3x2
+ 7x - 9 = 0；
(3) 5x – 1 = 4x2.
x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = - 15.
解得 m = 16.
设另一个根为 x1，则
16
∴ x1 = .
初中数学华东师大版九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》优质课公开课比赛获奖课件面试试讲课件
2.两根均为负数的一元二次方程是（ A.7x2-12x+5=0 B.6x2-13x-5=0 2 2 C.4x +21x+5=0 D.x +15x-8=0
）
1、完成P35练习题
1、完成习题22.2第10、11题.
初中数学华东师大版九年级上册 《一元二次方程的根与系数的关系》 优质课公开课比赛获奖课件面试试讲课件
22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系
完成下列表格 方程
2
x1 x2 x1+x2 x1•x2
2 -5
x
x 5x 6 0 2 3
2
3 x 10 0
5 -3
6 -10
和 的值与方程的系数 观察x1 x2 x1 x2 有什么关系？
2
一元二次方程的根与系数的关系
1、二次项系数为1的一元二次方程， 两根之和等于一次项系数的相反数； 两根之积等于常数项。
2、一元二次方程 a x bx c 0 (a 0, b 4ac 0)的根与系数的关系。
b x1 x2 a
c x1 x2 a
2
2
1.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之 积: （1）x2-3x=15 （2）5x2-1=4x2 （3）x2-3x+2=10 （4）4x2-144=0 （5）3x（x-1）=2（x-1） 2 2 （6）（2x-1） =（3-x）
x x 和 x x 的值与方程的系数
1 2 1 2
有什么关系？
二次项系数为1的一元二次方程， 两根之和等于一次项系数的相反数； 两根之积等于常数项。
对于任何一个二次项系数为1的一 元二次方程，是否都有这样的关系？
华师大版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》课件
17．在解某个二次项系数为1的方程时，甲看错了一次项系数， 得出的两个根为－9，－1；乙看错了常数项，得出的两根为8， 2.则这个方程为____x_2_－__1_0_x_＋__9_＝__0_____．
18．若关于x的一元二次方程x2－4x＋k－3＝0的两个实数根为x1， x2，且满足x1＝3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
解：x1＋x2＝23，x1·x2＝－13
(3)2x2＋3＝7x2＋x； 解：x1＋x2＝－15，x1·x2＝－35
(4)5x－5＝6x2－4. 解：x1＋x2＝56，x1·x2＝16
知识点2：一元二次方程根与系数的运用
6．已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，则 x12x2＋x1x22的值为(A ) A．－3 B．3 C．－6 D．6
22.2 一元二次方程的解法
22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系
1．若一元二次方程 x2＋px＋q＝0 的两根为 x1，x2，则 x1＋x2 ＝___－__p__，x1x2＝__q____．
2．一元二次方程在应用根与系数的关系时应注意两个条件：(1)
方程必须是___一___般_____形式；(2)Δ_≥___0. 3．若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 x1，x2，则 x1 ＋x2＝__－__ba___，x1x2＝__ac__．
13．(2014·攀枝花)若方程 x2＋x－1＝0 的两实根为 α，β，那么下
列说法不正确的是(D )
A．α＋β＝－1
B．αβ＝－1
C．α2＋β2＝3
D.1α＋1β＝－1
14．(2014·来宾)已知一元二次方程的两根分别是2和－3，则这
18．若关于x的一元二次方程x2－4x＋k－3＝0的两个实数根为x1， x2，且满足x1＝3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
解：x1＋x2＝23，x1·x2＝－13
(3)2x2＋3＝7x2＋x； 解：x1＋x2＝－15，x1·x2＝－35
(4)5x－5＝6x2－4. 解：x1＋x2＝56，x1·x2＝16
知识点2：一元二次方程根与系数的运用
6．已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，则 x12x2＋x1x22的值为(A ) A．－3 B．3 C．－6 D．6
22.2 一元二次方程的解法
22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系
1．若一元二次方程 x2＋px＋q＝0 的两根为 x1，x2，则 x1＋x2 ＝___－__p__，x1x2＝__q____．
2．一元二次方程在应用根与系数的关系时应注意两个条件：(1)
方程必须是___一___般_____形式；(2)Δ_≥___0. 3．若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 x1，x2，则 x1 ＋x2＝__－__ba___，x1x2＝__ac__．
13．(2014·攀枝花)若方程 x2＋x－1＝0 的两实根为 α，β，那么下
列说法不正确的是(D )
A．α＋β＝－1
B．αβ＝－1
C．α2＋β2＝3
D.1α＋1β＝－1
14．(2014·来宾)已知一元二次方程的两根分别是2和－3，则这
华师大版九年级上册数学课件《方程根与系数的关系》
新课讲解
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
【思考1】
从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0 ( x1，x2为 已知数 ) 的两根为 x1 和 x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形 式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗?
方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
重要结论 2.以实数 x1，x2 为两根的二次项系数为1的一元二次方程是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
新课讲解
【思考2】
一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未 必是1， 它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢?
新课讲解
由求根公式知
知识x点1 b
b2 4ac 2a
x2 b
b2 4ac 2a
x1 x2 b
b2 4ac b
2a
b2 4ac 2a
2b b 2a a
x1 x2 b
b2 4ac b
2a
b2 4ac 2a
(b)2
( b2 4a 2
4ac )2
4ac 4a 2
c a
新课讲解
方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
x1
x2
b a
,
x1x2
c a
.
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，
∴另一个根为4，q的值为8.
课堂小结
若方程x2+px+q=0有两个实根x1，x2，则
x1+x2= -p, x1x2=q.
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则
华师大版九年级数学上册22.2 一元二次方程的解法 第5课时 一元二次方程的根与系数的关系
10．(10分)关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为
x1，x2.
(1)求m的取值范围；
(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值．
解：(1)m≤143
(2)m＝－3
11．已知一元二次方程的两根之和是 3，两根之积是－2，则这个方程是
(C)
A．x2＋3x－2＝0
B．x2＋3x＋2＝0
C．2，－3 D．2，3
8．(2分)如果关于x的一元二次方程x2＋4x＋a＝0的两个不相等实数根
x1，x2满足x1x2－2x1－2x2－5＝0，那么a的值为( B )
A．3
B．－3
C．13
D．－13
9．(2分)已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则这个方程的另
一个根是___－__3___．
解：(1)k>－1且k≠0 (2)不存在符合条件的实数k，理由略
20．(12分)已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数 根． (1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值； 若不存在，请你说明理由； (2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值． 解：(1)存在，a＝24
A．5
B．－5
C．1
D．－1
14．菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO，BO的长分
别是关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＋3＝0的根，则m的值为( A )
A．－3
B．5
C．5或－3
D．－5或3
15．(2014·莱芜)若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互为倒数，
则k＝__－__1___．
C．x2－3x－2＝0
x1，x2.
(1)求m的取值范围；
(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值．
解：(1)m≤143
(2)m＝－3
11．已知一元二次方程的两根之和是 3，两根之积是－2，则这个方程是
(C)
A．x2＋3x－2＝0
B．x2＋3x＋2＝0
C．2，－3 D．2，3
8．(2分)如果关于x的一元二次方程x2＋4x＋a＝0的两个不相等实数根
x1，x2满足x1x2－2x1－2x2－5＝0，那么a的值为( B )
A．3
B．－3
C．13
D．－13
9．(2分)已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则这个方程的另
一个根是___－__3___．
解：(1)k>－1且k≠0 (2)不存在符合条件的实数k，理由略
20．(12分)已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数 根． (1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值； 若不存在，请你说明理由； (2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值． 解：(1)存在，a＝24
A．5
B．－5
C．1
D．－1
14．菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO，BO的长分
别是关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＋3＝0的根，则m的值为( A )
A．－3
B．5
C．5或－3
D．－5或3
15．(2014·莱芜)若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互为倒数，
则k＝__－__1___．
C．x2－3x－2＝0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 x kx k 2 0 5、已知方程 的两个实数根 2 2 x x 是 1, 2 且 x1 x2 4 求k的值。
解：由根与系数的关系得
X1+X2=-k， X1×X2=k+2 又 K2X 1 2+ X 2 2 = 4 )2 -2X
1X2=4
解得：k=4 或k=－2 ∵ △= K2-4k-8 当k=4时， △＜0 当k=-2时，△＞0 ∴ k=-2
22.2.5 一元二次方程的
根与系数的关系
练习题
１、口答
不解方程，求下列方程的两根和与两 根积。 ⑴.X －3X+1=0
（3).X2+5X-10=0
2
⑵.X －2X=2
2
2、 求值
则：
x1 x2
2 1 2 2
2
4
x1 x2
2
1
x x ( x1 x2 ) 2 x1 x2 ＝ 14
3.(x1 1)(x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1
小结：
求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和,
两根之积的形式,再整体代入.
3、解答
已知关于x的方程 x (m 1) x 2m 1 0 当m= －1 时,此方程的两根互为相反数.
( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 4 x1 x2 ＝ 12
2
另外几种常见的求值
x1 x2 1 1 1. x1 x 2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 1
2 2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2
即
2
{
m· n=－2 m+n=－2
∴所求一元二次方程为
x 2x 2 0
小结1.一元二次方程的来自准形式ax2+bx+c=0(a≠0)
2.两根和 3.两根积
x1+x2= － b/a x1· x2=c/a
2
当m= 分析:1. 2.
1
时,此方程的两根互为倒数.
x1 x2 m 1 0， m 1
x1 x2 2m 1 1， m 1
4、求方程中的待定系数
如果2是方程
x 6x m 0
2
4 ｍ=____ 8。 的一个根，则另一个根是___
（还有其他解法吗？)
2
x1 , x 2 则: x1 x2 3, x1 x2 5
2 2、点p(m,n)既在反比例函数 y ( x 0) 的 x
图象上, 又在一次函数
y x 2 的图象上,
则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1): 解:由已知得,
{n m 2
2 n m
1、以方程X +3X-5=0的两个根的相反数为根的方程是 B ） （ A、y2＋3y-5=0 C、y2＋3y＋5=0 B、 D、 y2－3y-5=0 y2－3y＋5=0
2
分析:设原方程两根为
新方程的两根之和为 ( x1 ) ( x2 ) 3 新方程的两根之积为 ( x1 ) ( x2 ) 5 故所求方程为y －3y-5=0
即( X 1+ X 2
2(k+2）=4
K2-2k-8=0
思考
• 1
1、对于一元二次方程2 x x 6
2
两根的和、两根的积分别是多少？
思考
一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0) 变形，得 X2+b/ax+c/a=0(a≠0) 根据根与系数的关系，得 X1+X2=- b/a，X1•x2=c/a