一题多解直线与圆锥曲线问题的处理方法

一题多解

直线与圆锥曲线问题的处理方法

商丘一高 郭 永

直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力，下面结合实例来对直线与圆锥曲线问题加以研究

例1如图，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4，0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |+|F 2B |=10，椭圆上不同的两点A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)满足条件 |F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列

(1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标；

(3)设弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx +m ，求m 的取值范围

解 (1)由椭圆定义及条件知，2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得a =5,又c =4,

所以b =2

2

c a -=3 故椭圆方程为9

252

2y x +=1 (2)由点B (4,y B )在椭圆上，得|F 2B |=|y B 59 因为椭圆右准线方程为x =4

25,离心率为54

，

根据椭圆定义，有|F 2A |=54(425－x 1),|F 2C |=54(4

25

－x 2)，

由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列，得

54(425－x 1)+54(425－x 2)=2×5

9,由此得出 x 1+x 2=8 设弦AC 的中点为P (x 0,y 0),则x 0=2

2

1x x +=4

(3)解法一 由A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)在椭圆上

得221122

22925925 925925 x y x y ⎧+=⨯ ⎪⎨+=⨯⎪⎩①②

①－②得9(x 12－x 22)+25(y 12－y 22)=0, 即9×)()2(25)2(

2

12

12121x x y y y y x x --⋅+++=0(x 1≠x 2) 将

k

x x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ (k ≠0) 代入上式，得9×4+25y 0(－k

1

)=0 (k ≠0) 即k =

36

25

y 0(当k =0时也成立) 由点P (4，y 0)在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m , 所以m =y 0－4k =y 0－

925y 0=－9

16y 0

由点P (4，y 0)在线段BB ′(B ′与B 关于x 轴对称)的内部， 得－

59＜y 0＜59,所以－516＜m ＜5

16 解法二 因为弦AC 的中点为P (4,y 0)，所以直线AC 的方程为

y －y 0=－

k

1

(x －4)(k ≠0) ③

将③代入椭圆方程9

252

2y x +=1,得 (9k 2+25)x 2－50(ky 0+4)x +25(ky 0+4)2－25×9k 2=0

所以x 1+x 2=259)4(5020++k k =8,解得k =36

25

y 0 (当k =0时也成立)

(以下同解法一)

例2：若抛物线21y ax =-上总存在关于直线0x y +=对称的两点，求a 的范围

解法一 （对称曲线相交法）

曲线21y ax =-关于直线0x y +=对称的曲线方程为21x ay -=-

如果抛物线21y ax =-上总存在关于直线0x y +=对称的两点，则两曲线

21y ax =-与21x ay -=-必有不在直线0x y +=上的两个不同的交点(如图所示)，从而可

由

22

1

1

y ax x ay ⎧=-⎨-=-⎩22()y x a x y ⇒+=- ∵ 0,x y +≠ ∴ 1y x a

=-

代入2

1y ax =-得 2

1

10ax x a

-+

-=有两个不同的解， ∴ 2

13(1)4(1)04

a a a ∆=--->⇒>

解法二 （对称点法）

设抛物线2

1y ax =-上存在异于于直线0x y +=的交

点

的点00(,)A x y ，且00(,)A x y 关于直线0x y +=的对称

点

00(,)A y x '--也在抛物线21y ax =-上

则

2002

00(1)1(2)

()1

y ax x a y ⎧=-⎨-=--⎩ 必有两组解

(1)-(2)得 220000()y x a x y +=- 必有两个不同解

∵000y x +≠，∴00()1a x y -=有解

从而有 200[(1)]1a x ax --=有两个不等的实数解

即 220010a x ax a --+=有两个不等的实数解

∴ 22()4(1)a a a ∆=---+>

∵ 0a ≠， ∴ 4

a >

解法三 （点差法）

设抛物线2

1y ax =-上以1122(,),(,)A x y A x y '为

端点的弦关于直线0x y +=对称，且以00(,)M x y 为中点是抛物线21y ax =-（即21

(1)x y a

=

+）内的点 从而有 1201202,2x x x y y y +=+=

由211222

(1)1(2)

1

y ax y ax ⎧=-⎨

=-⎩ (1)-(2)得 22

121

2()y y a x x -=- ∴ 12

12012

()2AA y y k a x x ax x x '-=

=+=-

由0001111121,(,)2222AA k ax x y M a a a a

'=⇒=⇒=

=-⇒- 从而有 21113

()(1)224

a a a a <-

+⇒>