最新圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析

圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析
圆锥曲线中的三角形问题（特别是与焦半径相关的三角形问题）是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。

下举例谈谈圆锥曲线焦点三角形问题常见类型。

一、定值问题
例 1. 椭圆
上一点P ，两个焦点
)0,()0,(21c F c F ，-， 12的内切圆记为M ，求证：点P 到M 的切
线长为定值。

证明：设⊙M 与△PF 1F 2的切点为A 、B 、C ，如图1，因⊙M 是△PF 1F 2的内切圆，所以|F 1A|=|F 1C|、|F 2C|=|F 2B|，|PA|=|PB|； ∵ |F 1C|＋|F 2C|=2c ，∴ |F 1A|＋|F 2B|=2c ，由椭圆第一定义知 |PF 1|＋|PF 2|=2a ，∴ |PA|＋|F 1A|＋|PB|＋|F 2B|=2a ， ∴ 2|PA|=2a－2c 即 |PA|=a －c 为定值．证毕．
点评：圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础, 而且也是解题的重要工具.对于有些解析几何问题,若从圆锥曲线的定义上去思考，往往会收到避繁就简,捷足先登的解题效果。

例2、P ，两个焦点)0,()0,(21c F c F ，-， 12
F PF ∆的内切圆记为 。

，y)则在△PF 1F 2中由正弦定理及椭圆的定
义
有，由等比定理有即1212|||2sin sin sin()sin sin sin()PF c
αβαβαβαβ+=⇒=++++，又由合分比定理知
tan tan 22a c a c αβ-⋅=+。

由斜率公式知：12,(0),MF MF y y
k k y x c x c
==≠+-由前述不难看出，不
论
P
位于椭圆上（异于长轴两端点）何处，总有
12tan
tan
,(0).2
2
MF MF y y a c
k k y x c x c a c
α
β
-⋅=-⋅∴
⋅=-≠+-+
整理得(a －c)x 2＋(a ＋c)y 2=(a －c)c 2
(y≠0)证毕．
点评：1F 2的内切圆圆心M 始终在包含于原椭圆内的一小椭
一个重要的结论： 已知椭一点P 及两焦若
)
sin sin βαβ
++。

三、方程问题
例3. 如图2，已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x
分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P 双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程。

解析：设双曲线的方程。

在△PF 1F 2中，由余弦定理，得
||||||||||cos
F F PF PF PF PF 1221222
122=+-··π，即
，又因为，所以
122312||||s i n PF PF ·π
=，所以
||||PF PF 128·=e c a
==2
点评：
四、最值.范围问题
例4、 已知曲线C 的方程为x y 22
43
1+=，A （－1，0），B （1，0），过点B 的直线l 与曲线
C 交于M ，N 两点，若∠MAN 为钝角，求直线l 解：（1）若l ⊥x 轴，则l 的方程为，。

（2）若l 与x 轴重合，则∠MAN ＝π（不合题意）。

（3）若l 与x 轴、y C 的方程得： 222
2
2
2
1122121222
8412(34)84120()()3434k k k x k x k M x y N x y x x x x k k -+-+-=⇒+==
++设，，，，
所以AM AN
→→
·212121212(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x y y x x k x x =+++=+++--
所以
)π
⇔>⇔>cos ∠·F PF PF PF 121200；∠F 1PF 2为直角⇔=⇔=cos ∠·F PF PF PF 121200；∠F 1PF 2
例5、已知12F F ，为双曲线22
221(00)a b x y a b a b
≠-=>>且，的两个焦点，P 为双曲线右
支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．下面四个命题：①12PF F △的内切圆的圆心必在直线x a =上；②12PF F △的内切圆的圆心必在直线x b =上；③12PF F △的内切圆的圆心必在直
线OP 上； ④12PF F △的内切圆必通过点0a ()，．其中真命题的代号是
（写出所有真命
题的代号）．
解析：设12PF F △的内切圆分别与PF 1、PF 2切于点A 、B ，与F 1F 2切于点M ，则|PA|＝|PB|，|F 1A|＝|F 1M|，|F 2B|＝|F 2M|，又点P 在双曲线右支上，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|F 1M|－|F 2M|＝2a ，而|F 1M|＋|F 2M|＝2c ，设M 点坐标为（x ，0），则由|F 1M|－|F 2M|＝2a 可得（x ＋c ）－（c －x ）＝2a 解得x ＝a ，显然内切圆的圆心与点M 的连线垂直于x 轴，故①、④正确。

点评：本题主要圆锥曲线焦点三角形内切圆问题。

其中利用圆锥曲线定义和平面几何性质是问题求解的关键。