1.1 矩阵的概念
高中数学选修4-2《矩阵与变换》.1.1 矩阵的概念
1.了解提出矩阵概念的一些实际背景；
2.掌握矩阵行、列、元素等概念，知道零 矩阵、矩阵的相等等相关知识；
3.会用矩阵表示一些简单的实际问题。
何为矩阵?
y P(1,3)
3
O
1
1 3
x
简记为13
某电视台举行的歌唱比赛,甲、乙两选手 初赛、复赛成绩如表：
初赛 复赛
甲
80
90
乙
5.妻子的怀疑、外人的讥讽 “其妻献疑”“河曲智叟笑而止之”
愚公面对困难的解决办法：
没有地方放置土石 “投诸渤海之尾，隐土之北” 不惧路途遥远
劳动力缺乏 “率子孙荷担者三夫”“遗男，始龀，跳往助之”
——团结一切力量
智叟的嘲讽 “虽我之死，有子存焉……子子孙孙，无穷 匮也”“山不加增，何苦而不平” ——移山的信念会永远传承下去
4.投诸渤海之北
（古：之于
今：各个，许多 ）
5.遂率子孙荷担者三夫
（古：挑
今：荷花 ）
6.曾不能毁山之一毛
（古：草木
今：毛发）
7.北山愚公长息
（古：叹气
今：休息 ）
8.虽我之死
（古：即使
今：虽然 ）
9.惧其不已也
（古：停止
今：已经 ）
四、词类活用 1.面山而居 名词作动词，向着。 2.聚室而谋 使动用法，使……聚。
细读感悟
在疏通文意的基础上，概括故事情节。
第一段： 故事背景，介绍两座山。 第二段： 开端和发展，愚公决心移山，得到全
家的支持，并排除疑难，立即行动。 第三段： 高潮，愚公驳斥智叟的观点。 第四段： 结尾，神仙帮忙移走了两座山。
朗读第一段，说说介绍了两座山的什么 内容，有何作用。
矩阵的知识点总结
矩阵的知识点总结一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个由数字排成的矩形阵列。
它由m行n列的数域（通常是实数域或复数域）中的元素所组成，用A=(aij)m×n表示。
1.2 矩阵的分类按行、列的数量可以将矩阵分为行矩阵、列矩阵和方阵；按元素的类型可以分为实矩阵和复矩阵。
1.3 矩阵的转置矩阵A的转置记作A^T，其中A^T的行数等于A的列数，A^T的列数等于A的行数。
1.4 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大数目。
二、性质2.1 矩阵的加法性质设A、B是同一维数的矩阵，则它们的和A+B也是同一维数的矩阵，它的元素是A和B 对应元素的和。
2.2 矩阵的数乘性质设A是m×n的矩阵，k是数，则kA是m×n的矩阵，它的元素是k与A中对应元素的乘积。
2.3 矩阵的乘法性质设A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，那么它们的乘积AB是m×p的矩阵。
2.4 矩阵的逆若存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记作A^-1。
2.5 矩阵的行列式对于n阶方阵A，其行列式是一个标量，通常用det(A)或|A|表示，代表了矩阵A的某种代数性质。
三、运算3.1 矩阵的加法设A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，那么A+B=(aij+bij)m×n。
3.2 矩阵的数乘设A=(aij)m×n，k是数，则kA=(kaij)m×n。
3.3 矩阵的乘法设A=(aij)m×n，B=(bij)n×p，那么AB=(cij)m×p，其中cij=∑(k=1→n)aij*bkj。
3.4 矩阵的转置对于n×m的矩阵A，它的转置矩阵是m×n的矩阵，且满足(a^T)ij=aji。
四、特殊矩阵4.1 方阵每个元素是一个标量的矩阵，其中行数和列数相等。
4.2 零矩阵所有元素都是零的矩阵。
高考数学中的矩阵转化
高考数学中的矩阵转化数学在高考中是一个非常重要的科目，其中矩阵转化是非常重要的一个知识点，它是数字化科学的重要工具之一。
矩阵在现代科学中有着广泛的应用，从人工智能、机器学习到经济学和社会学等领域都能看到它的身影。
本文将探讨高考中的矩阵转化，分析其基本概念、相关性质和应用。
一、矩阵与矩阵转化的基本概念1.1 矩阵的基本概念矩阵是由 m 行 n 列的数表组合而成的，其中每个数是由 a(i,j)表示，其中 i 表示行，j 表示列。
这样，我们就可以用矩阵的方式来表示线性方程组。
例如，下面的矩阵表示一个2 行3 列的矩阵：其中，a(1,1)表示矩阵第一行第一列的数值，a(1,2)表示矩阵第一行第二列的数值，以此类推。
1.2 矩阵的转置矩阵的转置操作是将矩阵的行和列对调，从而形成新的矩阵。
例如，下面的矩阵 A 和其转置矩阵 AT ：1.3 矩阵的加法和减法矩阵加法和减法的操作是将两个矩阵中对应的元素相加或相减，从而得到一个新的矩阵。
例如，下面的矩阵 A 和 B 相加的结果 C：二、矩阵的性质2.1 矩阵乘法的结合律和分配律矩阵乘法满足结合律和分配律。
即，对于任意的矩阵 A、B 和C，有以下性质：- (AB)C = A(BC)（结合律）- A(B+C) = AB+AC（左分配律）- (A+B)C = AC+BC（右分配律）2.2 矩阵的对角线矩阵的对角线是指从左上角到右下角的一条线。
对于一个 n 行n 列的矩阵，其主对角线是从左上角到右下角的一条线，次对角线是从左下角到右上角的一条线。
2.3 矩阵的行、列和秩矩阵的行是由相同的元素组成的一行数，而列则是由相同的元素组成的一列数。
矩阵的秩是其行或列的最大线性无关组数，秩也与行和列的行列式有着密切的关系。
三、矩阵转化的应用3.1 线性变换矩阵在线性代数中的应用非常广泛，最常见的应用就是表示线性变换。
例如，将一个三维空间中的点沿着 x 轴旋转 45 度，就可以使用一个矩阵来表示这个线性变换。
矩阵知识点总结大学
矩阵知识点总结大学一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是指一个按照矩形排列的数字元素集合。
一般地，矩阵用符号“A”、“B”、“C”等来表示，其中每个元素用小写字母加标记来表示其位置，如a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
矩阵A的元素一般用a_ij来表示，其中i表示元素所在的行数，j表示元素所在的列数。
如下所示：A = [a_11, a_12, ..., a_1n][a_21, a_22, ..., a_2n][..., ..., ..., ...][a_m1, a_m2, ..., a_mn]矩阵的大小一般用m×n来表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵的元素一般用小写字母a、b、c、d等来表示。
1.2 特殊矩阵⑴方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵。
n阶方阵指的是行数和列数均为n的方阵。
⑵零矩阵：所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，通常用0表示。
⑶单位矩阵：对角线上的元素全为1，其他元素均为0的方阵称为单位矩阵，通常用I表示。
⑷对角矩阵：除了对角线上的元素外，其他元素均为0的矩阵称为对角矩阵。
1.3 矩阵的运算规则矩阵的运算包括加法、乘法和数乘三种，具体规则如下：⑴矩阵的加法：若A、B是同型矩阵，则它们的和记为A+B，定义为A+B=[a_ij+b_ij]，其中a_ij和b_ij分别是A和B对应位置的元素。
⑵矩阵的数乘：若A是一个矩阵，k是一个数，则它们的数乘记为kA，定义为kA=[ka_ij]，其中a_ij是A的元素。
⑶矩阵的乘法：若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积记为A·B，定义为A·B=C，其中C是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素c_ij等于A的第i行和B的第j列对应元素的乘积的和。
1.4 矩阵的转置若A是一个m×n的矩阵，其转置记作A^T，定义为A^T=[a_ji]，其中a_ji表示A的第i 行第j列的元素。
矩阵代数简单介绍
线性代数复习1.1 矩阵的概念给定数域K 上nK 个数ij a ),,,2,1;,,2,1(n j m i ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=把它们按一定次序排成一个n 行K 列的长方形数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nK n n KK a a a a a a a a a A 212222111211 ，称为数域K 上的一个n 行K 列的矩阵，简称为K n ⨯矩阵。
其中ij a 称为矩阵的第i 行、第j 列的元素。
1k ⨯矩阵（只有一行）称为k 维行向量；1⨯n 矩阵（只有一列）称为n 维列向量。
零矩阵、方阵、对角矩阵、单位阵所有元素为零的矩阵称为零矩阵，记为0。
00,0==+A A A 。
如果矩阵的行、列数都是n ，则称A 为n 阶方阵；n 阶方阵A 的元素按次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记为|A|。
在n 阶方阵中，若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵，记为Λ；若对角矩阵的主对角线元素全为1，则称之为单位阵，记为I ；特别地，I λ称为数量矩阵1.2 矩阵的运算 ●矩阵的加、减运算以及数乘运算当矩阵A 和B 的行数和列数相等时，它们可以进行加、减运算；A ＋B 等于所有对应位置的元素相加、减。
数乘运算就是数k 乘矩阵A 中所有元素得到的矩阵。
AB B A +=+，)()(C B A C B A ++=++，A O A =+，OA A =-+)(，A A )()(kl l k =，AA A l k l k +=+)(，B A B A k k k +=+)(，A A =1，OA =0，A A -=-)1(．●矩阵相乘记sm ij a A ⨯=)(，ns ij b B ⨯=)(，nm ij c C ⨯=)(，且ABC =，那么A 和B 相乘得到的矩阵C 的元素可用公式表示为∑==sk kjikij b ac 1，),,1;,,1(n j m i ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=。
注意，在一般情况下矩阵乘法不满足交换律和消去律，即BAAB ≠；ACAB A =≠且0不能推出CB =。
线性代数 第一章、矩阵
张一 98 90 87 72 李二 89 90 86 98 王三 97 84 75 87 刘六 85 88 85 88
解： 用矩阵表示为
98
89
90 90
87 86
72
98
97 84 75 87
85 88 85 88
11
几种比较特殊的矩阵：
行矩阵：只有一行的矩阵
列矩阵：只有一列的矩阵
L
L L L
称为线性变换的系数矩阵。
am1
am 2
0 0 3
14
数量矩阵：对角矩阵中当 1 2 n时
例如：
5 0 0 0
0
5
0
0
就是一个数量矩阵
0 0 5 0
0
0
0
5
也就是说，数量矩阵是对角矩阵的一种特例
15
单位矩阵：当数量矩阵中对角线上的常数为1，
称为单位矩阵，用字母 E 或 En 表示
1 0 L 0
即
M M O M
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
称为由变量x1 ,x2 , ... ,xn到变量y1 ,y2 , ... ,ym的
变换为线性变换。线性变换由 m 个 n元函数
组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称
之为线性变换。
17
a11 a12 L
其中,由系数构成的矩阵
A
a21
a22
0
0
L
1
特点:从左上角到右下角的直线(主对角线)上
的元素都是1，其他元素都是0。
16
定义1.4
线性变换：
如果变量y1 ,y2 ,... ,ym可由变量x1 ,x2 ,... ,xn线性表示,
线性代数第一章 矩阵
16 150 160 140
丁 25
16 180 150 150
甲乙丙丁 单价 20 50 30 25 重量 16 20 16 16
200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150
第一章 矩阵
§1.1 矩阵概念
例2. 四个城市间的单向航线如图所示.
1
4
甲 220 185 200
乙 105 120 110
第二次
两次累计:
产品
发到各商场的数量
ABC
甲 420
乙
第一章 矩阵
§1.2 矩阵的基本运算
§1.2 矩阵的基本运算
一. 矩阵的线性运算
1. 加法
例3.
产品
发到各商场的数量
ABC
甲 200 180 190
乙 100 120 100
第一次
产品
发到各商场的数量
例如A =
1 0
1 0
,B=
1 1
0 0
,
AB =
2 0
0 0
,
A2 =
1 0
1 0
= A, B2 =1 10ຫໍສະໝຸດ 0=B,(AB)2 =
4 0
0 0
,
A2B2 = AB =
2 0
0 0
,
第一章 矩阵
§1.2 矩阵的基本运算
例:
1 设A = BC, 其中B = 2 , C = [1 2 3],
2
3
若用aij表示从i市到j市航线的条数, 则上图信息可表示为
a11 a12 a13 a14
01 1 1
a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
第一章线性代数
2. 初等矩阵的性质 定理1.1. 定理1.1. 对m×n矩阵A施行一次初等行变换 矩阵A施行一次初等行 相当于在A 相当于在A的左边乘以相应的初等 矩阵; 施行一次初等列 矩阵; 对A施行一次初等列变换相 当于在A 当于在A的右边乘以相应的初等矩 阵.
第一章 矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵 一. 逆矩阵的概念 1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 定义: 为方阵, 若存在方阵B AB = BA = E, 则称A可逆, 并称B 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵. 逆矩阵. 2. 逆矩阵是唯一的， A−1. 逆矩阵是唯一的， 记为A 记为 3. 性质:设A, B为同阶可逆方阵, 数k ≠ 0. 则 性质: 为同阶可逆方阵, (1) (A−1)−1 = A. (2) (AT)−1 = (A−1)T. (A (3) (kA)−1 = k−1A−1. (4) (AB)−1 = B−1A−1.
则λA =
λA11 λA12 … λA1r λA21 λA22 … λA2r
… … … … . λAs1 λAs2 … λAsr
第一章 矩阵
§1.3 分块矩阵
3. 分块乘法
设A为m×l矩阵, B为l ×n矩阵, 将它们分块如下 矩阵, 矩阵, A11 A12 … A1t B11 B12 … B1r A21 A22 … A2t B21 B22 … B2r A= … … … … , B= … … … … , As1 As2 … Ast Bt1 Bt2 … Btr 其中A 的列数分别与B 其中Ai1, Ai2, …, Ait的列数分别与B1j, B2j, …, Btj的 行数相等. 行数相等. C11 C12 … C1r t C21 C22 … C2r 其中C 则AB = … … … … , 其中Cij = Σ AikBkj , k=1 Cs1 Cs2 … Csr (i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, r.)
(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档
列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij
a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中
矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;
矩阵分析知识点总结
矩阵分析知识点总结一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是由数个数排成的矩形阵列。
矩阵可以用大写字母表示。
1.2 矩阵的基本要素- 元素：矩阵中的每一个数称为矩阵的元素。
- 维数：矩阵的行数和列数称为矩阵的维数。
行和列的个数分别称为行数和列数。
1.3 矩阵的类型- 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。
- 零矩阵：所有元素都是 0 的矩阵称为零矩阵。
- 对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其它元素都是 0 的矩阵称为对角矩阵。
1.4 矩阵的表示- 横标法：按行标的顺序把元素排列成一串数，两个 4× 3 的矩阵可以表示为 12 个数。
- 纵标法：按纵标的顺序把元素排列成一串数。
1.5 矩阵的运算- 矩阵的加法- 矩阵的数乘- 矩阵的乘法1.6 矩阵的转置- 行变列，列变行，得到的新矩阵称为原矩阵的转置。
- 性质： (AT)T = A1.7 矩阵的逆- 若矩阵 A 有逆矩阵 A-1, 则 A × A-1 = A-1 × A = E- 矩阵 A 有逆矩阵的充分必要条件是 A 是可逆的。
- 克拉默法则：若一个 n 阶矩阵可逆，且 Ax = b，则 x = A-1b1.8 矩阵的秩- 行最简形矩阵都是行等价的。
其秩等于不为零的行数。
- 同样列最简形矩阵都是列等价的。
其秩等于不为零的列数。
- 行秩等于列秩。
1.9 矩阵的特征值和特征向量- 特征值：如果数λ和非零向量 x ,使得Ax = λx 成立，则称λ 是矩阵 A 的特征值。
非零向量x 称为特征值λ 对应的特征向量。
- 矩阵 A 所有特征值的集合称为 A 的谱。
- 若λ1，λ2，···，λn 互不相同，相应的特征向量组 x1，x2，···，xn 线性无关，则它们构成一组 A 的特征向量基。
1.10 矩阵的奇异值- 奇异值：对于矩阵A(λ1, λ2, ···, λn)，λ1，λ2，···,λn称为矩阵 A 的奇异值。
矩阵与行列式的计算与性质
矩阵与行列式的计算与性质矩阵与行列式是线性代数中重要的数学概念，对于许多数学和工程问题的建模与求解都非常关键。
本文将介绍矩阵与行列式的基本概念，以及它们的计算方法和一些常见的性质。
一、矩阵的定义与基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一种按照行和列排列的数表。
一个m行n列的矩阵常记作A=[a_ij]，其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
1.2 矩阵的分类根据矩阵的特点，可以将其分为以下几种类型：1）零矩阵：所有元素都为0的矩阵。
2）对角矩阵：只有主对角线上的元素不为零，其余元素都为零的矩阵。
3）上三角矩阵：主对角线以下的元素都为零的矩阵。
4）下三角矩阵：主对角线以上的元素都为零的矩阵。
5）方阵：行数等于列数的矩阵。
6）转置矩阵：将矩阵的行与列对换得到的新矩阵。
二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法和减法给定两个相同大小的矩阵A和B，它们的和（差）矩阵记作C=A±B，即C=[c_ij]，其中c_ij=a_ij±b_ij。
2.2 矩阵的数乘给定一个矩阵A和一个标量k，它们的数乘记作B=kA，即矩阵B 的每个元素等于k乘以矩阵A对应元素。
2.3 矩阵的乘法给定一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积矩阵C=A*B是一个m行p列的矩阵。
矩阵C的第i行第j列的元素c_ij等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列元素对应乘积的和。
三、行列式的定义与性质3.1 行列式的定义对于一个n阶方阵A=[a_ij]，其中a_ij是方阵A中第i行第j列的元素，方阵A的行列式记作det(A)或|A|，计算方法如下：1）当n=1时，det(A)=a_11；2）当n>1时，det(A)=a_11*A_11+a_12*A_12+...+a_1n*A_1n，其中A_11、A_12、...、A_1n是n-1阶子矩阵的行列式。
3.2 行列式的性质行列式具有以下几个重要的性质：1）行列式与转置：det(A)=det(A^T)，其中A^T表示矩阵A的转置矩阵。
高等代数课件北大版第四章矩阵
高等代数课件(北大版)第四章矩阵第一节：矩阵的概念及基本运算矩阵是现代数学的重要基础，是线性代数理论的核心概念之一。
在数学和应用领域有着重要的应用价值。
1.1 矩阵的定义定义1.1：矩阵是一个有规律的数表，其中的每一个数称为矩阵的一个元素，通常用一个大写字母表示。
例如:$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$$其中 $a_{ij}$ 称为矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素。
1.2 矩阵的基本运算1.2.1 矩阵的加法定义1.2：设 $A=(a_{ij})_{m \times n},B=(b_{ij})_{m \times n}$，则其和 $C=A+B$ 定义为矩阵 $C$ 的元素为 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$。
例如：$$A=\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\7 & 8 & 9\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}-1 & -2 & -3 \\-4 & -5 & -6 \\-7 & -8 & -9\end{pmatrix},$$则 $C=A+B$ 得：$$C=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$1.2.2 矩阵的数乘定义1.3：设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$，$k \in K$，则矩阵 $kA$ 定义为矩阵 $kA$ 的元素为 $ka_{ij}$。
1-1矩阵
a11 a21
a12 L a1n a22 L a2n
L L L L am1 am2 L amn
的矩阵， 称为 m 行 n 列 的矩阵， 矩阵. 简称 m× n 矩阵.
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n 记作： 记作： A = M M M a am1 L amn m1
0 O L 0 的方阵, 称为对角形矩阵， 对角形矩阵， 的方阵, 称为对角形矩阵 L L L ann L
简称对角阵 对角阵。 简称对角阵。 显然， 显然，由对角线上的元素就足以确定对角形矩 阵本身，故上述矩阵可记作： 阵本身，故上述矩阵可记作：
Λ = diag (a11 , a22 , L , ann )
简记为： 简记为：A = (aij ) = Am×n = (aij ) m×n 的元素。 这 m×n 个数称为 A 的元素。
同型矩阵： 同型矩阵： 如
5 4 1 1 0 3 同型矩阵。 4 2 4 与 0 2 1 为同型矩阵。
相等矩阵：两个矩阵的行数、列数相同。 相等矩阵：两个矩阵的行数、列数相同。 两个矩阵同型，且元素对应相等。 两个矩阵同型，且元素对应相等。
1 3 1×1+ 3× 4 1× 0 + 3×3 1× 2 + 3×1 13 9 5 1 0 2 BA = 2 1 = 2×1+1× 4 2× 0 +1×3 2× 2 +1×1 = 6 3 5 4 3 1 3 0 3×1+ 0× 4 3× 0 + 0×3 3× 2 + 0×1 3 0 6
注意： 矩阵乘法不满足交换律。 注意： AB ≠ BA ，即矩阵乘法不满足交换律。
矩阵知识点总结图解
矩阵知识点总结图解一、矩阵的定义1.1 矩阵的概念矩阵是一个由m行n列的数域中的数字组成的矩形数组。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：\[ \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\a_{31} & a_{32} \\\end{bmatrix}\]1.2 矩阵的基本术语- 行数：矩阵中的行数为m。
- 列数：矩阵中的列数为n。
- 元素：矩阵中的每个数字称为元素，如矩阵中的a11、a12等。
- 维数：一个m行n列的矩阵的维数为m×n。
1.3 矩阵的表示矩阵可以用方括号表示，矩阵中的元素用逗号隔开，例如：\[ A = \begin{bmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\\end{bmatrix}\]二、矩阵的基本运算2.1 矩阵的加法对于两个相同维数的矩阵A和B，它们的加法定义为矩阵中相应位置元素的和。
即：\[ A + B = \begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \\\end{bmatrix}\]2.2 矩阵的数乘对于一个m行n列的矩阵A和一个数k，它们的数乘定义为矩阵中每个元素与k的乘积。
即：\[ kA = \begin{bmatrix}ka_{11} & ka_{12} & ka_{13} \\ka_{21} & ka_{22} & ka_{23} \\\end{bmatrix}\]2.3 矩阵的乘法对于一个m行n列的矩阵A和一个p行q列的矩阵B，若n=p，则它们的乘法定义为：\[ AB = C \]其中C是一个m行q列的矩阵，其中元素cij的计算方式为：\[ c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj} \]2.4 矩阵的转置一个m行n列的矩阵A的转置是一个n行m列的矩阵，其中元素aij转置为aji。
《多元统计分析》第一章 矩阵代数
5
矩阵秩的基本性质
v (1) rank(A)=0 A=0。 v (2) 若A为p×q矩阵, 且A≠0，则1≤rank(A)≤min{p,q}。 v (3) rank(A)=rank(A′)。 v (4) 若A和C为非退化方阵，则
，
3 5
0 1
1 1
5
矩阵的运算
v 若A=(aij)：p×q，B=(bij)：p×q，则A与B的和定义为 A+B=(aij+bij)：p×q
v 常数c与A的积定义为
cA=(caij)：p×q
v 若A=(aij)：p×q，B=(bij)：q×r，则A与B的积定义为
AB
tr(A)=λ1+λ2+⋯ +λp
3
《多元统计分析》MOOC
1.5 正定矩阵、非负定矩阵和 矩阵函数值的SAS输出
王学民
正定矩阵和非负定矩阵
设A是对称矩阵，则定义 二次型：x′Ax，其中x是一向量。 正定矩阵：x′Ax>0，若对一切x≠0。记作A>0。 非负定矩阵：x′Ax≥0，若对一切x。记作A≥0。
4 5
8 9
15 20
30 20
20 40
求它的逆矩阵、特征值、特 征向量、行列式和迹。
3
当p=1时，A=a 是一个正数
当p=1时，A=a 是一个非负数。
1
基本性质
(1) A>0(或≥0) A′=A，λi >0(或≥0)，i=1,2,⋯,p。 (2) 设A≥0，则A的秩等于A的正特征值个数。
1.1 矩阵的概念及旋转变换
1 3 ,
2 1矩阵
80 90 60 85 ,
2 2矩阵
2 3 3 2
m 4
2 3矩阵
课题：选修4-2
1.矩阵的概念及旋转变换
树自信，誓拼搏，升大学回报父母 !
特殊的矩阵
所有元素均为 0的矩阵, 记为 0 零矩阵：
a11
a12 称为行矩阵（仅有一行），
课题：选修4-2
1.矩阵的概念及旋转变换
树自信，誓拼搏，升大学回报父母 !
例１： 用矩阵表示如图所示的 ABC,
其中A(1,0)，B(0,2),C(2,0).
y
2
B
C
A
0
2
1
x
课题：选修4-2
1.矩阵的概念及旋转变换
树自信，誓拼搏，升大学回报父母 !
练一练
0 1 3 4 现用矩阵M 表示平面中的图形， 0 2 2 0 请问该图形有什么几何 特征？
课题：选修4-2
1.矩阵的概念及旋转变换
树自信，誓拼搏，升大学回报父母 !
练一练
2 x mn 已知A ,B y 3 2 x y 试求x, y, m, n的值。 x y , 若A B , m n
课题：选修4-2
1.矩阵的概念及旋转变换
树自信，誓拼搏，升大学回报父母 !
点O叫做旋转中心. 旋转变换只改变几何图形的位置，不会 改变几何图形的形状. 图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.
课题：选修4-2
1.矩阵的概念及旋转变换
树自信，誓拼搏，升大学回报父母 !
练习 1、在直角坐标系下，将每个点绕原点逆 时针旋转120o的旋转变换对应的二阶矩阵 是 ； 1 3
矩阵与行列式的运算与应用
矩阵与行列式的运算与应用矩阵与行列式是线性代数中的重要概念，在数学和工程学科中得到广泛应用。
本文将重点讨论矩阵与行列式的运算规则以及它们在实际问题中的应用。
一、矩阵的定义与基本运算1.1 矩阵的定义矩阵是由一组数按照矩形排列形成的二维数据表，通常用大写字母表示。
一个矩阵由行和列组成，行数与列数分别称为矩阵的行数和列数。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]其中aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
1.2 矩阵的基本运算矩阵之间可以进行加法和数乘两种基本运算。
1.2.1 矩阵的加法两个具有相同行数和列数的矩阵可以进行加法运算。
对应位置的元素相加得到结果矩阵。
例如，对于矩阵A和矩阵B：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]B = [b11 b12b21 b22b31 b32]它们的和矩阵C为：C = [a11+b11 a12+b12a21+b21 a22+b22a31+b31 a32+b32]1.2.2 矩阵的数乘矩阵与一个数相乘，即将矩阵的每个元素与该数相乘。
例如，对于矩阵A和一个数k，它们的积矩阵D为：D = [k*a11 k*a12k*a21 k*a22k*a31 k*a32]二、行列式的定义与性质2.1 行列式的定义行列式是一个数，用于描述一个方阵的某些性质。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|。
2.2 行列式的性质行列式具有以下性质：2.2.1 行列式与矩阵的转置若A为一个n阶方阵，则det(A) = det(A^T)，即行列式与矩阵的转置结果相等。
2.2.2 行列式与矩阵的乘法若A、B是两个同阶矩阵，则有det(AB) = det(A) * det(B)，即两个矩阵的乘积的行列式等于两个矩阵的行列式的乘积。
2.2.3 行列式的行列互换对于n阶方阵A，若交换A中两行（或两列），则行列式的符号改变。
三、矩阵与行列式的应用3.1 线性方程组的求解利用矩阵与行列式的运算方法，可以简化线性方程组的求解过程。
矩阵知识点总结大纲
矩阵知识点总结大纲一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义1.2 矩阵的元素1.3 矩阵的维数1.4 矩阵的转置1.5 矩阵的特殊矩阵二、矩阵运算2.1 矩阵的加法2.2 矩阵的数乘2.3 矩阵的乘法2.4 矩阵的转置2.5 矩阵的幂2.6 矩阵的逆2.7 矩阵的行列式2.8 矩阵的秩三、线性方程组与矩阵3.1 矩阵的行简化阶梯形式3.2 矩阵的列简化阶梯形式3.3 矩阵的增广矩阵3.4 矩阵的系数矩阵3.5 矩阵的齐次线性方程组3.6 矩阵的非齐次线性方程组四、矩阵的应用4.1 线性代数4.2 计算机图形学4.3 信号处理4.4 优化问题4.5 统计学4.6 量子力学五、矩阵分析5.1 矩阵的迹5.2 矩阵的本征值与本征向量5.3 矩阵的相似矩阵5.4 矩阵的对角化5.5 矩阵的奇异值分解5.6 矩阵的正交矩阵六、矩阵的特征6.1 矩阵的周期性6.2 矩阵的稀疏性6.3 矩阵的对称性6.4 矩阵的正定性6.5 矩阵的随机性七、矩阵的发展历程7.1 矩阵的起源7.2 矩阵的发展7.3 矩阵的应用八、矩阵的未来发展8.1 矩阵的应用领域拓展8.2 矩阵的理论深化8.3 矩阵的计算方法改进九、矩阵的教学与研究9.1 矩阵的教学模式9.2 矩阵的教学资源9.3 矩阵的研究方向十、矩阵的未来前景10.1 矩阵的应用前景10.2 矩阵的教学前景10.3 矩阵的研究前景十一、矩阵的总结与展望11.1 矩阵的总结11.2 矩阵的展望结语矩阵知识点总结一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个按照长方形排列的数表。
其中的元素可以是数字、符号或数学式。
矩阵是线性代数的基本概念，应用非常广泛，涉及几何学、概率论、微分方程以及物理学和工程学等各个学科。
1.2 矩阵的元素矩阵的元素是矩阵中的一个具体数值或符号。
1.3 矩阵的维数一个矩阵的维数是指矩阵的行数与列数。
如果一个矩阵有m行n列，则称其为m×n阶矩阵。
矩阵与行列式的基本概念及应用知识点总结
矩阵与行列式的基本概念及应用知识点总结矩阵(Matrix)是现代数学的重要概念之一，它是由m行n列的数（或变量）按一定规律排列成的矩形阵列。
行列式(Determinant)是矩阵的一个重要性质，用于线性代数中求解方程组、矩阵求逆以及计算特征值等问题。
一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是由m行n列的数（或变量）按一定规律排列成的矩形阵列。
一般用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。
矩阵的元素用小写字母表示，如a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
1.2 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、减法、数乘和乘法。
矩阵的加法和减法要求矩阵的行数和列数相等，对应位置上的元素进行相加或相减。
数乘指的是矩阵中的每个元素都乘以一个常数。
矩阵的乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，乘法结果的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
1.3 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
转置后的矩阵记作A^T，即A的转置。
转置后，原矩阵的行向量变成了新矩阵的列向量，原矩阵的列向量变成了新矩阵的行向量。
二、行列式的基本概念2.1 行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的数学运算。
对于一个n阶方阵A，其行列式定义为一个数D，记作|A|或det(A)。
行列式的计算方法有代数余子式法、行列式按行（列）展开法等。
2.2 行列式的性质行列式具有很多重要的性质。
其中包括行列式的可加性、行列式的数乘性、行列式的转置性质等。
这些性质在行列式的计算和应用中起到了重要的作用。
三、矩阵与行列式的应用3.1 解线性方程组矩阵与行列式在解线性方程组中有着广泛的应用。
通过行列式的性质和高斯消元法，可以快速求解线性方程组的解。
3.2 求矩阵的逆行列式的概念在求矩阵的逆中起到了关键的作用。
如果一个n阶矩阵A的行列式不等于零，那么A是可逆的，可以通过行列式的计算求解矩阵的逆。
矩阵的逆在许多应用中都有着重要的地位。
3.3 计算特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的一个重要概念。
1.1 矩阵的概念
n 阶单位矩阵 E 在矩阵代数中占有很重要的地 在初等代数中的作用相似. 位, 它的作用与 “1” 在初等代数中的作用相似. EA = AE = A . 如
(7)
三角形矩阵
主对角线下 (上) 方的元素全为零的方阵称为 上 上 (下) 三角形矩阵 例如 三角形矩阵.
a11 a12 ⋯ a1n a11 a22 ⋯ a2n a21 a22 , . ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ a a ⋯ a ann n1 n 2 nn
2 −1 5 −1 3 7 , 5 7 4
对称矩阵
0 2 −3 −2 0 7 . 3 −7 0
1 2 − 4 3 − 9 8 5 2 , 4 2 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
３×４矩阵
1 3 −9 5 3
2 0 8 . −1 5
二、几种常用的特殊矩阵
(1) 行矩阵和列矩阵 只有一行的矩阵称为行矩阵 也称为行向量). 也称为行向量 只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量 如 A = ( a11 ，a12 ，···，a1n ). ， 只有一列的矩阵称为列矩阵 (也称为列向量 也称为列向量 只有一列的矩阵称为列矩阵 也称为列向量). 如
c
c ⋱
为常数） （c 为常数）. c n
n 阶数量矩阵
(6) 单位矩阵 的对角矩阵称为单 主对角线上的元素全为 1 的对角矩阵称为单 位矩阵, 位矩阵 简记为 E 或 I . 如
1 En =
1 ⋱
. 1 n
a11 a 21 B= . ⋮ a m1
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矩阵的概念
数学
语文
英语
引例 1 考试成绩表 假设我们记录 4 名学生甲、
乙、丙、丁的 3 门课程(数学、语文、英语)的期末考 试成绩. 满分为100分，期末考试成绩如表 1.1 所示. 表 1.1
成绩 学生 课程
期末考试成绩表
数学
90
语文
86
英语
95
甲 乙 丙 丁
78
92
80
93
70
96
第一炼油厂 第二炼油厂 第三炼油厂
燃料油 柴油 汽油 0.762 0.190 0.286 0.476 0.476 0.381 0.286 0.381 0.571
这些数据按原来的排列顺序可以组成一个 3 3 的数 表，并称之为 3 阶矩阵：
0.762 0.476 0.286 0.190 0.476 0.381 0.286 0.381 0.571
aij = 0 , i j ,
主对角线
为 n 阶对角矩阵, 其中未标记出的元全为零, 即 i, j = 1, 2, … , n ,
对角矩阵常记为 A = diag( a11 , a22 , … , ann ). 例如
3 0 0 diag(3,1,2) 0 1 0 . 0 0 2
上三角矩阵 (4)
a11 a 21 a 22 a a a nn n1 n 2
下三角矩阵
对称矩阵与反对称矩阵
在方阵 A = ( aij )n 中, 如果 aij = aji ( i , j = 1, 2, …, n) 则称 A 为对称矩阵. 如果 A 还是实矩阵, 则
4. A (aij )mn ,若aij F,则称 A是数域F上的一个 m n矩阵.
三、几种特殊的矩阵
(1) 对角矩阵
主对角线上的元不全为零，其余的元全都为 零的方阵称为对角矩阵，如
a11 a22 A . a nn
称 A 为实对称矩阵. 如果 aij = -aji (i , j = 1, 2, … ,
n) , 则称 A 为反对称矩阵. 例如
2 1 5 1 3 7 5 7 4
实对称矩阵
0 2 3 2 0 7 3 7 0
反 对 称 矩 阵
其中第一行表示各炼油厂利用一吨原油生产的燃料油 数量. 其中的不同数值则反映出各炼油厂在工艺和技
术上的不同. 第二、三行也有类似含义. 矩阵的各列
反映出各炼油厂生产的各类油品的构成情况.
二、矩阵的概念
定义 1.1 设 F 是由一些数组成的集合，其中包
含0和1. 如果 F 中的任意两个数(这两个数也可以
对角矩阵
(2) 数量矩阵
主对角线上的元全相等的对角矩阵称为数量矩阵.
例如
c
c
n 阶数量矩阵 , 其中 c 为常数. c n
特别地，主对角线上的元全为 1 的对角矩阵
称为单位矩阵, 简记为 E 或 I . 例如
1 En 1 . 1 n
n 阶单位矩阵 E 在矩阵代数中占有很重要的地 位, 它的作用与 “1” 在初等代数中的作用相似. 如 EA = AE = A .
(3) 三角矩阵
主对角线下 (上) 方的元全为零的方阵称为 上12 a1n a 22 a 2 n a nn
相同)的和、差、积、商(除数不为零)仍然是 F 中的数 则 F 就称为一个数域.
注：全体整数组成的集合不是一个数域；
全体有理数组成的集合Q、全体实数组成的集 合R 和全体复数组成的集合 C 都是数域，分别称为
有理数域、实数域和复数域.
定义 1.2 由 m n 个数 aij , ( i = 1 , 2 , … , m ;
j = 1 , 2 , … , n ) 排成的一个 m 行 n 列的数表
a11 a21 a m1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
称为一个 m n 矩阵. 其中 aij 称为矩阵的第 i 行第 j 列的元 ( i = 1 , 2 , … , m ; j = 1 , 2 , … , n ) .
注：通常用大写的拉丁字母 A、B、C 等表示矩阵.
有时为了指明矩阵的行数和列数，也可以将 m 行 n 列的矩阵A 记作 Am n . 例如 5× 2 矩阵
1 2 4 3 9 8 5 2 4 2 1 0
３×４矩阵
1 3 9 5 3
第一章 矩 阵
第一节 一、引例
引例 1 考试成绩表 假设我们记录 4 名学生甲、
乙、丙、丁的 3 门课程 (数学、语文、英语 )的期末考试 引例 2 生产原料表 设有三个炼油厂以原油作为 成绩. 満分为 100分，期末考试成绩如表 1.1 所示 . 主要原料，利用一吨原油生产的燃料油、柴油和汽油 表 1.1 期末考试成绩表 数量如表 1.2 所示 ( 单位： t ):
66
74
75
更简单地，可将这个表记为下面的形式
90 78 92 66
矩阵.
86 80 93 74
95 70 96 75
这样的一个矩形数表就称为一个 4 行 3 列或 4 3 的
引例 2 生产原料表 设有三个炼油厂以原油作为
主要原料，利用一吨原油生产的燃料油、柴油和汽油 数量如表 1.2 所示 ( 单位：t ): 表 1.2 生产原料表
2 0 8 1 5
1.当矩阵 A的第i行第 j列的元为aij 时,可表示成 A (aij )或A (aij ) mn .
2.当m n时,称矩阵 A为n阶矩阵或n阶方阵. 显然一阶矩阵就是一个数.
3.元全为零的m n矩阵称为零矩阵,记作Omn 或O.
注：反称矩阵的主对角线上的元aii 0.
事实上,由定义aii aii ,i 1, 2,,故aii 0.