计算方法 (刘师少 著) 科学出版社

− x 2 − 1 = 0 在 x =1.5 附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代
1 x k2
2 （2） x 3 = 1 + x 2 ，迭代公式 x k +1 = 3 1 + x k
x − x ∗ = x − 9000 ≤ 0.49 < 0.5 × 10 0
m-n=0, m=4 则 n=4,故 x=9000 有 4 位有效数字
≈ 0.34 < 1
2 2
迭代收敛，且第二种迭代格式比第一种迭代格式收敛速度要快。 （3）令 f ( x) =
1 ，则 1 ，由于 f ′( x) = − 3 x −1 2 ( x − 1)
1 2 (1.5 − 1) 3 >1
f ′( x) = −
1 1 不使用除法运算； (2) 不使用开方和除法运算. c c 1 解： （1）令 = c ，取 f ( x) = 1 − c, f ′( x) = − 1 ，则 x x x2
由(3)与(4)可以看到小数点之后的 0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 1.1 设 3.14, 3.1415, 3.1416 分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数 1 解 近似值 x=3.14＝0.314×10 ,即 m=1，它的绝对误差是 －0.001 592 6…，有 1.3 ln2=0.69314718…，精确到 10 解
⎡ ⎢10 − 7 ⎢ 5 ⎢0 2 ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎣ ⎤ ⎡ ⎤ 0 ⎥ ⎡ x1 ⎤ ⎢ 7 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢5⎥ 5 ⎥⎢ ⎢ x2 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎥⎢ x ⎥ ⎢ 2 ⎥ 31⎥ ⎣ 3 ⎦ ⎢ 31⎥ ⎥ ⎢5⎦ ⎥ 5⎦ ⎣
则
1⎤ ⎡− 2 1 ⎢ A = ⎢− 6 1 4⎥ ⎥ ⎢ 5 − 1 − 3⎦ ⎥ ⎣
解：给定误差限ε＝0.5×10 3，使用二分法时，误差限为
x − x ∗ = 0.0000926⋯ ≤ 0.5 × 101−4
即 m=1,n＝4，x=3.1415 有 4 位有效数字. 这就是说某数有 s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有 s 位有效数字 1.2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.0004 －0.00200 9000 9000.00 1 解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×10 , m=1 绝对误差限：
1 1 × 10 −( n −1) = × 101−5 = 0.000025 2 × x1 2× 2
m=-2
m-n=-4,m=1 则 n=5,故 x=2.0004 有 5 位有效数字
x1 =2，相对误差限 ε r =
∗
（2）∵ －0.00200= -0.2×10 ,
-2
只要取 n＝10. 2.3 证明方程 1 -x –sinx ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 -4 0.5×10 的根要二分多少次？ 证明 令 f(x)＝1－x－sinx， ∵ f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0 ∴ f(x)=1－x－sinx=0 在[0，1]有根.又 f ′(x)=-1－cosx<0 (x∈[0.1]),故 f(x) 在[0，1]单调减少，所以 f(x) 在区间 [0，1]内有唯一实根. － 给定误差限ε＝0.5×10 4，使用二分法时，误差限为
3
2.1 用二分法求方程 x
− x − 1 = 0 在[1,
－
2]的近似根，要求误差不超过
x − x ∗ = 0.0000074 ⋯ ≤ 0.5 × 101−5
即 m=1,n＝5，x=3.1416 有 5 位有效数字. 而近似值 x=3.1415，它的绝对误差是 0.0000926…，有
1 × 10 −3 至少要二分多少？ 2
2.10 设
当 C 取何值时， x k +1
= ϕ ( x k ), (k = 0,1,2, ⋯) 产生的序列 {x k } 收敛于 2 ；
C 取何值时收敛速度最快？
解： （1） ϕ ( x )
= x + C ( x 2 − 2) ， ϕ ′( x) = 1 + 2Cx ，由已知条件知，当
f ( x) = ( x 3 − a ) 2 。 （1） 写出解 f ( x ) = 0 的 Newton 迭代格式。
(1)
迭代发散。 （4）令
f ( x) = x 3 − 1 ，则 f ′( x) = x 2 ( x 3 − 1) 2 ，由于
x2 x3 −1
= 1.5 2 1.5 3 − 1 >1
−
1
1 −c x= x− x = 2 x − cx 2 1 − 2 x
迭代格式为 注：若令 x
f ′( x) =
x k +1 = 2 x k − cxk
⎡1 2 3 1 0 0 ⎤ 解： ⎢ ⎥ ⎢2 1 2 0 1 0⎥ ⎢1 3 4 0 0 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡2 1 2 0 1 0⎤ ⎢1 2 3 1 0 0 ⎥ ⎥ 列选主 ⎢ ⎢ ⎣1 3 4 0 0 1 ⎥ ⎦
以下证明此格式是线性收敛的 因迭代函数 ϕ ( x )
5x a 5 a + 2 , 而 ϕ ′( x) == − x −3 , 又 x * = 3 a , 则 6 6x 6 3 5 a 5 1 1 ϕ ′(3 a ) == − (3 a ) −3 = − = ≠ 0 6 3 6 3 2 ==
= 1,
x 2 = −1,
x1 = 0
x n +1 = x n −
得
3.3 用高斯-约当法求逆矩阵
x n +1 = x n −
3 ( xn − a) 2 5x a = n + 2, 2 3 6 6 xn ( xn − a) 6 xn
n = 0,1, ⋯
⎡1 2 3 ⎤ ⎥ A=⎢ ⎢ 2 1 2⎥ ⎢1 3 4 ⎥ ⎣ ⎦
3.4 用矩阵的直接三角分解解方程组
⎧2 x1 + x 2 − x3 = −1 ⎪ ⎨4 x1 − x 2 + 3 x3 = 7 ⎪6 x + 9 x − x = −3 2 3 ⎩ 1
解 设系数矩阵 A 的杜利特尔分解为 A=LU，即
⎡2 1 − 1⎤ ⎡ 1 ⎢4 − 1 3 ⎥ = ⎢l ⎢ ⎥ ⎢ 21 1 ⎢ ⎣6 9 − 1⎥ ⎦ ⎢ ⎣l31 l32
−3 −3
的近似值是多少？
x − x ∗ = 0.001 592 6 ⋯ ≤ 0.5 × 101−3 .
即 n=3，故 x=3.14 有 3 位有效数字. x=3.14 准确到小数点后第 2 位. 又近似值 x=3.1416，它的绝对误差是 0.0000074…，有
精确到 10 ＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.0005, 故至少要保留小数点后三位才可以.ln2≈0.693
（1） x = 1 + 1 ，迭代公式 x k +1 = 1 + 2
1 εr = × 101− 4 ＝0.000056 2×9
(4) ∵9000.00=0.900000×10 ,
∗
4
x
（3） x
2
=
m=4，
解： （1）令
1 ，迭代公式 x k +1 = x −1
1 x2
，则
1 xk − 1
（4） x
x − x = x − (−0.00200) ≤ 0.0000049 ≤ 0.5 × 10 −5
m-n=-5, m=-2 则 n=3,故 x=-0.00200 有 3 位有效数字
x1 =2，相对误差限 ε r =
(3) ∵ 9000=0.9000×10 ,
4
1 × 101−3 =0.0025 2× 2
（2） 证明此迭代格式是线性收敛的。
ϕ ′( 2 ) = 1 + 2C 2 < 1 ，即
解：因
f ( x) = ( x 3 − a) 2 ，故 f ′( x) = 6 x 2 ( x 3 − a) ，由 Newton 迭代公式：
f ( xn ) , f ′( x n ) n = 0,1,⋯
回代求解得 x3
f ′( x) =
−
1 2
< C < 0 时，迭代收敛。
（2）当 ϕ ′( x )
= 0 时迭代至少是二阶收敛的，收敛最快。即
时收敛最快。
3
f ′( x) =
2 × 1.5 33 (1 + 1.5 2 ) 2
ϕ ′( 2 ) = 1 + 2C 2 = 0 ，所以 C = − 1
2.7 试用牛顿迭代法导出下列各式的迭代格式：
故此迭代格式是线性收敛的。 第三章 解线性方程组的直接方法习题及解答 （考试时二元）3.2 用列主元素消去法解线性方程组
⎡ 1 ⎢ 0 消元 ⎢ ⎢ ⎣ 0
0.5 1.5 2.5
1 2 3
0 1 0
0.5 − 0.5 − 0.5
0 0 1
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎧− 3x1 + 2 x 2 + 6 x3 = 4 ⎪ =7 ⎨10 x1 − 7 x 2 ⎪5 x − x + 5 x = 6 2 3 ⎩ 1
f ( x) = 1 +
f ′( x) = −
=
1 × 101−6 ＝0.000 00056 2×9
2 ，由于 x3
2 1 ≤ ≈ 0.59 < 1 ，因而迭代收敛。 3 x 1.5 3 2 − 2 2x （2）令 f ( x ) = 3 1 + x ，则 f ′( x) = (1 + x 2 ) 3 ，由于
= x 3 − 1 ，迭代公式 x k +1 =
3 xk −1
x − x = x − 9000.00 ≤ 0.0049 < 0.5 × 10 −2
m-n=-2, m=4 则 n=6,故 x=9000.00 有 6 位有效数字
相对误差限为 ε r
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。
消元 ⎢ 0 ⎢
⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
−1
⎡ 1
0 1 0 0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 6 − 0.2⎤ − 0.2 0.4 ⎥ ⎥ ⎥ − 0.2 − 0.6⎦
0.5 − 0.5 − 0.5
0 1 0
来自百度文库
消元
1 ⎤ 4⎥ ⎥ − 1 − 3⎥ ⎦
5 第二步列选主元 ，将第二和第三行交换，再消去 x 2 ，得 2
2
迭代发散。 具体计算时选第二种迭代格式，
=
1 1 ，取 f ( x) = x − , f ′( x ) = 1 ，则 c c
1 c = x ，显然迭代格式不法不符合题意。
，则
x k +1 = 3 1 + x k2
计算结果如下：
n=0,1,…
x− x= x−
（2）
x0 = 1.5, x1 = 1.481248 , x2 = 1.4727057 x3 = 1.4688173 , x4 = 1.4670480 , x5 = 1.466243 x6 = 1.4658768 x7 = 1.4657102 , x8 = 1.4656344 x9 = 1.4656000 1 x9 − x8 ≤ ×10−4 , x9 = 1.4656000 2
解：第一步列选主元 10，将第一和第二行交换，再消去 x1 ，得
⎡ 1 列选主 ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎣ 0
0.5 2.5 1.5
0 1 0 0 1 0 0 0 1
1 3 2
0.4 1.2 0.2 −2 −6 5
0 0 1
0 0 1 1 1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢10 − 7 0⎥ ⎡ x ⎤ ⎢ 7 ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎢ 61⎥ 1 6⎥ ⎢ ⎢0 − ⎢ x2 ⎥ = ⎢ ⎥ 10 ⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢10 ⎥ 5 ⎣ 3⎦ ⎢ 5 ⎥ ⎢0 5⎥ ⎢ ⎥ ⎢2⎦ ⎥ 2 ⎣ ⎦ ⎣
m=4，
2 2 lg(b − a) − lg ε − lg 0.5 + 4 lg10 k≥ −1 = − 1 = 13.287 7 lg 2 lg 2
只要取 n＝14. 2.4 方程 x 公式：
3
x * − xk ≤
1
k +1
1 (b − a ) 只要取 k 满足 k +1 (b − a) < ε 即可，亦即
2.5 对于迭代函数 ϕ ( x ) （1） （2）
1
1 1 2 令 2 = c ，取 f ( x) = c − , f ′( x) = 3 2 x x x
c−
= x + C ( x 2 − 2) ，试讨论：
1 x 2 = 3 x − c x3 = ( 3 − c x 2 )x x= x− 2 2 2 2 2 x3 3 c 2 迭代格式 x k +1 = ( − x k ) x k 2 2
2 2 lg(b − a) − lg ε − lg 0.5 + 3 lg 10 k≥ −1 = − 1 = 9.96678 lg 2 lg 2
x * − xk ≤
1
k +1
(b − a) 只要取 k 满足 1 (b − a ) < ε 即可，亦即 k +1
x − x ∗ = x − 0.20004 ≤ 0.000049 ≤ 0.5 × 10 −4