第1章(线性规划及其基本性质)1
1-线性规划的基本性质
域 F中有一组不全为 0的数 ai (i 1,2, , m) 使 a1P1 a2P2 L amPm 0
成立，则称这组向量在 F上线性相关，否则称 这组向量在 F上线性无关。
37
基本概念与基本定理
2. 秩：
设A是m n矩阵。若A的n个列向量中有r个线
日销量
产品
B1=3
A1=5
4
A2=7
1
A3=8
7
B2=4
11 9 4
B3=5 B4=8
3
10
2
8
10
5
6
线性规划的数学模型
设从生产点i到销售点j的调运数量为 xij 吨,
则目标函mi数n z为: 4x11 11x12 3xm13inz10x41x41111x12 3x13 10x14
min z x42x111911xx2212 23xx1233108xx1244x721x391 x224x232x23 8x24 7x31 4x32
39
基本概念与基本定理
线性规划的基本概念：
1. 可行解：满足上述约束条件（1.3.1）和 （1.3.2）的解。
2. 最优解：满足上述约束条件（1.3.3）的
可行解。 AX b
(1.3.1)
X 0
(1.3.2)
min z CX (1.3.3)
40
基本概念与基本定理
3. 基：已知A是约束条件的m n 系数矩阵， 其秩为m。若B是A中 mm非奇异子矩阵 （即可逆矩阵，有 B 0 ）,则称B是线性 规划问题的一个基，B是由A中m个线性 无关的系数列向量组成的。
2. 若原模型中约束条件为不等式，如何化为 等式:
1.线性规划
通常是求最大值或 最小值；
2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不
等式或等式。
【例1.2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天， 轮流休息。根据统计，商场每天至少需要的营业员如表1.2所示。
表1.2 营业员需要量统计表
min f (x), s.t. x∈.
约束条件
可行解域
线性规划（Linear Programming,缩写为LP） 是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广 泛，其方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便， 应用领域更广泛和深入。 线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运 行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼 顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标 材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企 业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得 最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大）。
运筹学的主要内容
数 学 规 划 组 合 优 化 随 机 优 化
线性规划 非线性规划 整数规划 动态规划 多目标规划 双层规划 最优计数问题 网络优化 排序问题 统筹图 对策论 排队论 库存论 决策分析 可靠性分析
学 科
内
容
许多生产计划与管理问题都可以归纳为最优 化问题, 最优化模型是数学建模中应用最广泛的 模型之一,其内容包括线性规划、整数线性规划、 非线性规划、动态规划、变分法、最优控制等. 近几年来的全国大学生数学建模竞赛中，几 乎每次都有一道题要用到此方法. 此类问题的一般形式为： 目标函数
星 期 需要 人数 星 期 需要 人数
一
二 三 四
300
300 350 400
第1章 线性规划基本性质
1. X1≥0, X2 ≥0 2. 2X1 + 3X2 ≤ 100 3. 4X1 + 2X2 ≤ 120
所有约束条件的的交集为R.
A B R
10 60
现在,问题变为在R内找一点, O 使目标函数值最大.如何找?…
C
20 30 40 50
Ｘ1
§1.2 线性规划的图解法
Ｘ2
（三）目标函数的图形表示 Z = 6X1 + 4X2 将上式改写： X2 ＝－3X1/2 ＋ Z/4 令Z为参量，使其取不同 的值，则得到以－3/2为斜率的 一族平行等值线. 如令: 60, 则经过点(10,0)和(0,15); Z=0, 则经过原点; Z=120,则经过点(20,0)和(0,30);
0.8X1 + X2≥1.6 X1 X2 ≤2 ≤1.4
X1 ≥0, X2 ≥0
§1.1 线性规划的一般模型
所谓线性规划问题： 就是求一组变量 ( x1 , x2 , , xn ) 的值，它们 在满足一组线性等式或不等式的限制条件下，使某 一线性函数的值达到极大或极小。而线性规划就是 研究并解决这类问题的一门理论和方法。 请问在企业中有哪些问题属于线性规划问题？
§1.2 线性规划的图解法
maxZ = 6X1 + 4X2 2X1 + 3X2 ≤ 100 --① 4X1 + 2X2 ≤ 120 --② X1≥0, X2 ≥0 （一）建立坐标系 （二）约束条件的图形表示
Ｘ2
60 50 40 30 20 10
两个概念:
1.可行解:满足约束条件的点. 2.可行域:全部可行解的集合, 即区域OABCO,用R表示.
X1 ≥0, X2 ≥0
§1.1 线性规划的一般模型
Chap 1 线性规划基本性质
标准化3
min z = x1 +2 (x2′-x 2〃 ) +3 x3′ x1 +2 (x2′-x 2〃 ) + x3′ ≤ 5 2x1 +3 (x2′-x 2〃 ) + x3′ ≥ 6 x1 + (x2′-x 2〃 ) + x3 ′ ≤ 2 x1, x2′, x 2〃, x3′ ≥0
24
第三节 线性规划的标准型
14
第二节 线性规划的图解法
三 、解的可能性
• 唯一最优解：只有一个最优点。 • 多重最优解：无穷多个最优解。若在两个顶点同时 得到最优解，则它们连线上的每一点都是最优解。
例1的数学模型变为 max z = 3x1 +4 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 s.t. 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0
例如 max z = 3x1 +2 x2 -2x1 + x2 ≤2 s.t. x1 -3 x2 ≤3 x1 ≥0, x2 ≥0
-1
3 2
z =12 z =6 x1 -3 x2 =3 x1
1
1 -1
16
2
3
第二节 线性规划的图解法
三 、解的可能性（续）
• 无可行解：若约束条件相互矛盾，则可行域为空集
22
第三节 线性规划的标准型
• 例
min z = x1 +2 x2 -3 x3 x1 +2 x2 - x3 ≤5 2x1 +3 x2 - x3 ≥6 s.t. -x - x + x ≥ -2 1 2 3 x1 ≥0, x3 ≤0 min z = x1 +2 x2 +3 x3′ x1 +2 x2 + x3′ ≤ 5 2x1 +3 x2 + x3′ ≥ 6 -x1 - x2 - x3′ ≥ -2 x1 ≥0, x3′ ≥ 0
第一章 线性规划
第1章线性规划Chapter 1 Linear Programming本章内容提要线性规划是运筹学的重要内容。
本章介绍线性规划数学模型、线性规划的基本概念以及求解线性规划数学模型的基本算法——单纯形法。
学习本章要求掌握以下内容：⏹线性规划模型的结构⏹线性规划的标准形式，非标准形式转化为标准形式⏹线性规划的图解以及相应的概念。
包括：约束直线，可行半空间，可行解，可行域，凸集，极点，目标函数等值线，最优解⏹线性规划的基本概念。
包括：基，基础解，基础可行解，基变量，非基变量，进基变量，离基变量，基变换⏹单纯形法原理。
包括：基变量和目标函数用非基变量表出，检验数，选择进基变量的原则，确定离基变量的方法，主元，旋转运算⏹单纯形表。
包括初始单纯形表的构成，单纯形表运算方法⏹初始基础可行解，两阶段法⏹退化的基础可行解§1.1 运筹学和线性规划1.1.1 运筹学运筹学（Operations Research）是二十世纪三十年代二次大战期间由于战争的需要发展起来的一门学科。
当时，英国组织了一批自然科学和工程科学的学者，和军队指挥员一起，研究大规模战争提出的一些问题。
如轰炸战术的评价和改进、反潜艇作战研究等，研究结果在战争实践中取得了明显得效果。
这些研究当时在英国称为Operational Research，直译为作战研究。
战争结束以后，这些研究方法不断发展完善，并逐步形成学科理论体系，其中一些主要的理论和方法包括：线性规划，网络流，整数规划，动态规划，非线性规划，排队论，决策分析，对策论，计算机模拟等。
这些理论和方法在经济管理领域也得到了广泛应用，Operations Research也转义成为“作业研究”。
我国将Operations Research译成“运筹学”，非常贴切地将Operations Research这一英文术语所包含的作战研究和作业研究两方面的涵义都体现了出来。
现在，运筹学已经成为管理科学重要的基础理论和应用方法，是管理科学专业基本的必修课程之一。
线性规划的数学模型和基本性质
1．线性规划介绍
美国科学院院士DANTZIG（丹齐克），1948年在 研究美国空军资源的优化配置时提出线性规划及其通用 解法 “单纯形法”。被称为线性规划之父。
线性规划之父的Dantzig (丹齐克)。据说，一次上课，Dantzig迟到 了，仰头看去，黑板上留了几个几个题目，他就抄了一下，回家后埋头 苦做。几个星期之后，疲惫的去找老师说，这件事情真的对不起，作业 好像太难了，我所以现在才交，言下很是 惭愧。几天之后，他的老师 就把他召了过去，兴奋的告诉他说他太兴奋了。Dantzig很不解 , 后来 才知道原来黑板上的题目根本就不是什么家庭作业，而是老师说的本领 域的未解决的问题，他给出的那个解法也就是单纯形法。这个方法是上 个世纪前十位的算法。
s.t.
2．线性规划数学模型
线性规划问题应用 市场营销(广告预算和媒介选择，竞争性定价，新产品 开发，制定销售计划) 生产计划制定(合理下料，配料，“生产计划、库存、 劳力综合”) 库存管理(合理物资库存量，停车场大小，设备容量) 运输问题 财政、会计(预算，贷款，成本分析，投资，证券管理) 人事(人员分配，人才评价，工资和奖金的确定) 设备管理(维修计划，设备更新) 城市管理(供水，污水管理，服务系统设计、运用)
1．线性规划介绍
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高?
某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
第1章 线性规划
第1章线性规划本章介绍了什么是线性规划，线性规划数学模型的概念及其建立数学模型方法；阐述了线性规划的图解法、解的概念及解的形式；详细介绍了普通单纯形法、人工变量单纯形法及单纯形法计算公式。
1．考核知识点（1） 基本概念：数学模型、决策变量、目标函数、约束条件、标准型、图解法、基矩阵、基变量、非基变量、可行解、基解、基可行解、最优解、基最优解、唯一解、多重解、无界解、无可行解、单纯形法、最小比值、入基变量、出基变量、解的判断、大M法、两阶段法、改进单纯形法。
（2） 建立简单的线性规划数学模型。
（3） 求解线性规划的图解法。
（4） 基、可行基及最优基的定义。
（5） 可行解、基本解、基可行解、最优解、基本最优解的定义及其相互关系。
（6） 有唯一解、有无穷多解、无界解、无可行解的判断。
（7） 求解线性规划的单纯形法。
（8） 求解线性规划的人工变量法。
（9） 单纯形法中的5个计算公式。
2．学习要求（1） 深刻领会线性规划的各种基与解的基本概念，它们之间的相互关系。
（2）掌握图解法的计算步骤，注意怎样将目标函数表达成一条直线，这条直线如何平移使得目标函数值上升或下降。
（3） 熟练掌握单纯形法计算的全过程，特别应注意如何列出单纯形表，如何由一个基可行解换到另一个基可行解，基可行解是最优解、无界解或多重解的判断准则。
（4） 理解在什么情况下加入人工变量，人工变量起何作用，用大M法计算时目标函数的变化，两阶段法计算时目标函数的构成，掌握这两种计算方法的全过程，在什么情形下线性规划无可行解。
（5） 理解用矩阵形式代替单纯形表，并用矩阵公式求解线性规划。
3．重点建立线性规划数学模型，有关线性规划解的概念、解的形式，单纯形法计算、大M法、两阶段法。
4．难点解析（1）建立线性规划数学模型建立数学模型是学习线性规划的第一步也是关键的一步。
建立正确的数学模型要掌握3个要素：研究的问题是求什么，即设置决策变量；问题要达到的目标是什么即建立目标函数，目标函数一定是决策变量的线性函数并且求最大值或求最小值；限制达到目标的条件是什么，即建立约束条件。
运筹学课程讲义
运筹学课程讲义第一部分 线性规划 第一章 线性规划的基本性质 1.1 线性规划的数学模型一、 线性规划问题的特点胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。
桌子售价50元/个，椅子售价30元/个。
生产桌子和椅子需木工和油漆工两种工种。
生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。
生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。
该厂每月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。
问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？213050m ax x x z +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,50212034212121x x x x x x 例：某工厂生产某一种型号的机床。
每台机床上需要 2.9m 、2.1m 、1.5m 的轴，分别为1根、2根和1根。
这些轴需用同一种圆钢制作，圆钢的长度为74m 。
如果要生产100台机床，问应如何安排下料，才能用料最省？二、 数学模型的标准型 1. 繁写形式 2. 缩写形式 3. 向量形式 4. 矩阵形式三、 任一模型如何化为标准型？1. 若原模型要求目标函数实现最大化，如何将其化为最小化问题？2. 若原模型中约束条件为不等式，如何化为等式？3. 若原模型中变量x k 是自由变量，如何化为非负变量？4. 若原模型中变量x j 有上下界，如何化为非负变量？⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≤+--≥-+----=无约束321321321321321,0,052010651535765max x x x x x x x x x x x x x x x z 令'''3'3''3'331'1,0,,,Z Z x x x x x x x =-≥-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-=+-++=+-+-=+-+-+--+-++-=0,,,,,,,5201010651533507765min 7654''3'32'17''3'32'15''3'32'164''3'32'1765''3'32'1'x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Mx Mx x x x x x z 1. 2图解法该法简单直观，平面作图适于求解二维问题。
第一章 线性规划
欢迎阅读第一章 线性规划§1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。
此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。
自从1947年G . B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。
特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。
1.1 线性规划的实例与定义C 三B 为其中c 和x 为n 维列向量，b 为m 维列向量，A 为n m ⨯矩阵。
例如线性规划的Matlab 标准型为1.3 线性规划问题的解的概念一般线性规划问题的标准型为∑==nj j j x c z 1min(3) ∑==≤n j ij ij m i b x a 1,,2,1 s.t. (4)可行解 满足约束条件（4）的解),,,(21n x x x x =，称为线性规划问题的可行解，而使目标函数（3）达到最小值的可行解叫最优解。
可行域 所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R 。
1.4 线性规划的图解法图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。
我们先应用图解法来求解例1。
如上图所示，阴影区域即为LP 问题的可行域R 。
对于每一固定的值z ，使目标函数值等于z 的点构成的直线称为目标函数等位线，当z 变动时，我们得到一族平行直线。
让等位线沿目标函数值减小的方向移动，直到等位线与可行域有交点的最后位置，此时的交点（一个或多个）即为LP 的最优解。
对于例1，显然等位线越趋于右上方，其上的点具有越大的目标函数值。
不难看出，本例的最优解为T x )6,2(*=，最优目标值26*=z 。
从上面的图解过程可以看出并不难证明以下断言：（1）可行域R 可能会出现多种情况。
第一章 线性规划
B1 5 1 5
B2 4 2 20
B3 3 3 35
B4 2 4 50
B5 1 5 65
B6 0 7 10
毛坯 需要量 3000 5000
85 70 余料长度
4、营养问题 例5.假定一个成年人每天需要从食物中获取3000大 卡热量、65克蛋白质、800毫克钙和75克脂肪。如 果市场上只有8种食物可供选择，他们每千克所含热 量和营养成分以及市场价格见表所示，问如何选择才 能在满足营养的前提下使购买食品的费用最小。
◦ 1、画出满足约束条件的可行区域，可行区域的点称为可 行解 ◦ 2、任取一点f=f0，画出等值线 ◦ 3、平移等值线，使目标函数达到最优。
1、把数学模型转化为标准型 2、确定基变量，在所有约束方程中只出现一次并 且系数为1的为基变量，其余为非基变量。 3、列出初始单纯型表 4、换基迭代：
红星玻璃制品厂是一个有3个工人的生产两种类型手工艺窗户的小厂。 窗户一种是木框架的，一种是铝框架的。3个工人的分工是：张三制作木 框架，每天做4个；李四制作铝框架，每天做6个；王二制作和切割玻璃， 每天制作18平方米的玻璃。又知每生产一个木框架窗户使用3平方米玻璃， 每一个铝框架窗户使用2平方米玻璃。又知每生产一个木框架窗户可获得 30元的利润，每生产一个铝框架窗户可获得50元的利润。由于工厂产量小， 可假设每天生产出来的产品都可以卖出去。现请为该厂制定一个每天的生 产计划，使其获利最大。 木框架窗户 铝框架窗户 工人的生产能力
5、检查检验数：若、确定最优解
◦ 原则上检验数大的变量入基，采用θ法则确定出基变量， 入基与出基交叉点处的变量为旋转元，用方框圈起。 ◦ 将旋转元所在行的所有元素都除以旋转元，将旋转元变为 1 ◦ 利用旋转元所在行的元素把旋转元所在列的所有元素都变 为0
第一章 线性规划
第一章 线性规划
(Linear Programming, LP)
概述
• 线性规划问题的提出最早是1939年由前苏联 数学家康托洛维奇在研究铁路运输的组织问题、 工业生产的管理问题时提出来的。
（5）若bi < 0，则－bi > 0
举例: 化下列线性规划为标准形
max z=2x1+2x2－4x3 x1 + 3x2－3x3 ≥30 x1 + 2x2－4x3≤80 x1、x2≥0，x3无限制
max z=2x1+2x2－4x3’+4x3” x1 + 3x2－3x3’+3x3” –x4 = 30 x1 + 2x2－4x3+ 4x3” + x5 = 80 x1、x2 、x3’、x3” 、x4、x5 ≥0
称X0为该线性规划对应与基B的一个基本解。
同样，在A中任选m个线性无关的列向量都可以组成一个基， 对应基一个基本解。对于一个LP最多有多少呢？从n个中 选m个进行组合，即：
Cnm=n！/[（n－m）！m！] 因此，基本解是有限的。
举例：找出下列LP所有的基及其对应的基本解 max z=6x1+4x2 2x1 + 3x2≤100 4x1 + 2x2≤120 x1、x2≥0
资源
产品
甲
乙 资源限制
A
1
B
2
C
0
单位产品利润(元/件) 50
1
300kg
1
400kg
1
250kg
100
• 决策变量：x1、x2——分别代表甲、乙两
运筹学 第01章 线性规划问题
线性规划建模步骤
设定决策变量 明确约束条件并用决策变量的线性等式或 不等式表示 用变量的线性函数表示要达到的目标，并 确定是求极小还是求极大 根据变量的物理性质确定变量是否具有非 负性 注：其中最关键是设定决策变量这一步
生产计划问题(1)
某工厂用三种原料生产三种产品，已知的 条件如下表所示，试制订总利润最大的日 生产计划
线性规划问题解的有关概念(2)
基本解：令模型中所有非基变量的值等于零后，由 模型的约束方程组得到的一组解。 基本可行解：满足非负条件的基本解称为基本可行 解。 可行基：对应于基本可行解的基称为可行基。 退化解：基本可行解的非零分量个数小于m时，称 为退化解。 最优基：若对应于基B的基本可行解X是线性规划的 最优解，则称B为线性规划的最优基
人员安排问题(1)
医院护士24小时值班，不同时段需要的护 士人数不等（见下表）。每个护士每天连 续值班8小时，在各时段开始时上班。问最 少需要多少护士？
序号 1 2 3 4 时段 06—10 10—14 14—18 18—22 最少人数 60 70 60 50
5 6
22—02 02—06
20 30
人员安排问题(2)
设xj为第j时段开始值班的护士人数
目标函数为：使人数最少，则有
min f ( X ) x1 x2 x3 x4 x5 x6 x6 x1 60 x x 70 1 2 x2 x3 60 s.t. x3 x4 50 x x 20 5 4 x5 x6 30 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0且为整数
运筹学
第一章 线性规划问题
本章重点
线性规划建模 线性规划的图解法 线性规划的标准形式 单纯形法 两阶段法 大M法
《管理运筹学》第二课后习题答案
《管理运筹学》第⼆课后习题答案《管理运筹学》(第⼆版)课后习题参考答案第1章线性规划(复习思考题)1.什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划(Linear Programming, LP)是运筹学中最成熟的⼀个分⽀，并且是应⽤最⼴泛的⼀个运筹学分⽀。
线性规划属于规划论中的静态规划，是⼀种重要的优化⼯具，能够解决有限资源的最佳分配问题。
建⽴线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、⽬标函数。
决策变量是决策问题待定的量值，取值⼀般为⾮负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策⽅案的可⾏性；⽬标函数是决策者希望实现的⽬标，为决策变量的线性函数表达式，有的⽬标要实现极⼤值，有的则要求极⼩值。
2.求解线性规划问题时可能出现⼏种结果，哪种结果说明建模时有错误？答：(1)唯⼀最优解：只有⼀个最优点；(2)多重最优解：⽆穷多个最优解；(3)⽆界解：可⾏域⽆界，⽬标值⽆限增⼤；(4)没有可⾏解：线性规划问题的可⾏域是空集。
当⽆界解和没有可⾏解时，可能是建模时有错。
3.什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：⽬标函数极⼤化，约束条件为等式，右端常数项b i 0，决策变量满⾜⾮负性。
如果加⼊的这个⾮负变量取值为⾮零的话，则说明该约束限定没有约束⼒，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为⾮零的话，则说明型约束的左边取值⼤于右边规划值，出现剩余量。
4.试述线性规划问题的可⾏解、基础解、基可⾏解、最优解的概念及其相互关系。
答：可⾏解：满⾜约束条件AX b，X 0的解，称为可⾏解。
基可⾏解：满⾜⾮负性约束的基解，称为基可⾏解可⾏基：对应于基可⾏解的基，称为可⾏基。
最优解：使⽬标函数最优的可⾏解，称为最优解。
最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。
它们的相互关系如右图所⽰：5.⽤表格单纯形法求解如下线性规划。
8x 1 3X 2 x 32s. t. 6X 1 X 2 X 3 8X i , X 2,X 3 0解：标准化max Z 4X -IX 2 2x 38X 13X 2 X 3X 42s.t.6X 1X 2X 3X 5 8X 1,X 2 ,X 3,X 4,X s列出单纯形表故最优解为X* （0,0,2,0,6）T，即X i 0,X 2 0, X 3 2，此时最优值为 Z （X*）4 .6. 表1 —15中给出了求极⼤化问题的单纯形表，问表中 a 1,a 2,c 1,c 2,d 为何值及变量属于哪⼀类型时有：（1）表中解为唯⼀最优解；（2）表中解为⽆穷多最优解之⼀；（3）下⼀步迭代将以X i 代替基变量X s ；（ 4）该线性规划问题具有⽆界解；（5）该线性规划问题⽆可⾏解。
第1章线性规划(1-2)
1.1线性规划的模型结构 1.1线性规划的模型结构
实际问题中线性的含义： 一是严格的比例性， 生产某产品对资源的消耗量和 可获取的利润，同其生产数量严格成比例； 二是可叠加性，如生产多种产品时，可获取的总利 润是各项产品的利润之和，对某项资源的消耗量应等 于各产品对该项资源的消耗量的和。在实际处理不符 合条件的问题时，为方便可将其看作近似满足线性条 件。
【问题导入】 生产优化—产品组合问题 问题导入】 生产优化—
如果征得管理部门的同意，不盈利的产品要 停止生产并撤出生产能力来生产研发部刚开 发的两个新产品：绿色时尚系列茶几A 发的两个新产品：绿色时尚系列茶几A 和餐 桌B。现在管理部门要考虑下列两个问题： 1.公司是否应该生产这两个新产品？ 1.公司是否应该生产这两个新产品？ 2.如果生产，两个新产品的产品生产组合如 2.如果生产，两个新产品的产品生产组合如 何？——每周分别生产多少数量？ 何？——每周分别生产多少数量？
线性规划问题的解可能出现下列情况： 4. 可行域无界 这里，线性规划问题的可行域无界是指最大化问题 的目标函数值可以无限增大，或最小化问题的目标 函数值可以无限减小。
1.3应用Excel求解线性规划问题 1.3应用 应用Excel求解线性规划问题
图解法 单纯形法 Excel的 规划求解” Excel的“规划求解”
1.3应用Excel求解线性规划问题 1.3应用 应用Excel求解线性规划问题
首先，根据问题建立电子表格模型具体步骤如下：
1.收集问题的数据。 1.收集问题的数据。 2.在电子表格的数据单元格中输入数据。 2.在电子表格的数据单元格中输入数据。 3.确定对活动水平需要作出的决策并且指定可变单元显示这些 3.确定对活动水平需要作出的决策并且指定可变单元显示这些 决策。 4.确定对这些决策的约束条件并引入需具体化这些约束条件的 4.确定对这些决策的约束条件并引入需具体化这些约束条件的 输出单元格。 5.选择要输入目标单元格的完全绩效测度。 5.选择要输入目标单元格的完全绩效测度。 6.使用SUMPRODUCT函数为每个输出单元格（包括目标单元格） 6.使用SUMPRODUCT函数为每个输出单元格（包括目标单元格） 输入合适的值。
线性规划基本性质
在线性规划问题中，最优基解一 定是基可行解，但基可行解不一
定是最优基解。
04
2023
PART 03
线性规划的几何解释
REPORTING
线性规划在几何上的表示
线性规划问题可以用一组不等式和等式来表示，这些不等式 和等式可以看作是定义了一个多维空间中的半空间和超平面 。
在几何上，这些半空间和超平面可以表示为一个凸多面体， 称为可行域。
01 Excel内置了线性规划求解工具，可以通过“工具 ”菜单中的“规划求解”选项进行操作。
02 Excel的线性规划求解工具支持多种约束条件，包 括等式约束、不等式约束和整数约束等。
03 Excel的线性规划求解工具可以处理包含多个决策 变量和目标函数的问题。
MATLAB实现
MATLAB提供了优化工具箱， 其中包括线性规划求解器。
在线性规划问题中，变量的取值范围 是有限的，通常表示为闭区间。
凸性
凸性是指目标函数和约束集都是凸集， 即对于任意两个点，连接它们的线段 仍在集合内。
VS
凸性是线性规划问题的一个重要性质， 因为凸集的性质可以简化问题的求解 过程。
有效解与最优解
有效解是指满足所有约束条件的解，即在该解处， 目标函数取得非负值。
PuLP可以与其他Python库集成，如NumPy和SciPy，以提供更
03
高级的功能和算法。
2023
PART 06
线性规划的案例分析
REPORTING
案例一：生产计划问题
目标函数
最大化总利润或最小化总成本。
约束条件
包括资源限制、市场需求、产品组合等。
解决方案
通过求解线性规划模型，找到最优的生产计划方 案。
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z=5
z=0
1
z=3
z=0
2
z=6
3
x1
x1+x2=2
z=2
z=3=x1+3x2
-1
2013-7-22
1 线性规划及其基本性质
1-31
多重解的图解（图1.5）
x2 x1+x2=2
-x1+x2=1
2
Q2(1/2, 3/2) Q3 1
例 图解问题 max z=3x1+3x2 s.t. - x1+x2 ≤1 x1+x2 ≤2 x1 ≥0 x2 ≥0
2013-7-22 1 线性规划及其基本性质 1-19
1 ) 问题的经济意义
上述两例的内在实质和外在形式都存在着某种对 称性。 从经济学的角度看，资源利用问题的实质是要以 预定的代价取得最大的效果。饮食配制问题的经
济意义与资源利用问题相反，这类问题是要对预
定的效果花费最小的代价。
2013-7-22 1 线性规划及其基本性质 1-20
2013-7-22
1 线性规划及其基本性质
1-29
多重解的图解（图1.3）
x2
-x1+x2=1 2 Q2(1/2, 3/2)
Q3 1
例1.3 图解变形 1 max z=x1+3x2 s.t. - x1+ x2 ≤1 x1+3x2≤5 x1 ≥0 x2 ≥0
x1+3x2≤5
Q1 4 z=3
-1
O
1
2
1 线性规划及其基本性质
1-2
1 线性规划及其基本性质
线性规划问题及其数学模型
线性规划问题的解
线性规划问题的几何意义
2013-7-22 1 线性规划及其基本性质 1-3
1.1.1 问题的提出
在生产和消费活动中经常提出一类问 题，如何在一定的条件下，或是使获取的 最多，或是使支出的最少，即所谓的最优 化问题。下面考察两个典型的例子来了解 这类问题的实际背景。
x2
-x1+x2=1
2
例 图解问题 min z = x1+3x2 (OR) max z= -3x1+3x2 s.t. -x1+x2 ≤1 x1, x2 ≥0
Q1 1
z= 6
-1 z=3 O 1 z= -3 z=0 2 3
z=0
-1
z= -6
z= -9
z=3
x1
2013-7-22
1 线性规划及其基本性质
j
a1j a2j
┇
… … … … … …
1-17
n
a1n a2n
┇
营养 标准
1 2
┇
b1 b2
┇
i
┇
ai1
┇
ai2
┇
aij
┇
ain
┇
bi
┇
m
价 格
2013-7-22
am1 am2
amj
amn
bm
c1
c2
cj
cn
1 线性规划及其基本性质
饮食配制问题的建模
该问题是要确定每种食品各吃多少，仿照上
例可设 x1 , x2 ,…, xj , …, xn为各种食品的摄入量，
1
-1
O
1
2
3
x1
x1+x2=2
-1
x1+x2= -1
1-37
2013-7-22
1 线性规划及其基本性质
线性规划原理和性质的演示(图1.9)
x2
例1.3 图解问题 max z=x1+3x2 s.t. - x1+ x2 ≤1 x1+x2 ≤-1 x1+x2 ≤ 2 (or) x1+3x2≤5 x1+x2≤+ x1, x2 ≥0
1 2
2 Q2 Q3 1
-1
O
Q1
3
z=0
-1
4 z=3
Q1 5
z=5
x1
2013-7-22
1 线性规划及其基本性质
1-38
2 ) 问题的几何解释(图1.10)
2013-7-22
1 线性规划及其基本性质
1-39
3 ) 问题求解结果的图构(图1.11)
多重解
问 题 的 求 解
2013-7-22
有最优解
M1 M2 M3
单位 产品利润
8 16 12
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1 线性规划及其基本性质
1-12
生产计划问题的设置
设 x1 和 x2 分别为计 划期内产品 P1 和 P2 的月产量，z 为每月 利润，生产计划问
表1.1 生产计划问题
产品 原料
P1 1 4 0 2
P2 2 0 4 3
原料 数量
M1 M2 M3
有可行解 无 界 解 唯一解
无可行解
1 线性规划及其基本性质
1-40
1.1.3 问题的标准形式
线性规划问题的标准形式 实际问题的标准化
2013-7-22
1 线性规划及其基本性质
1-41
1. 线性规划问题的标准型
线性规划问题的标准形式定义为 max z=c1 x1 + c2 x2+…+cj xj+…+cn xn (1.1) s.t. a11x1+a12x2+…+a1 jxj+…+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+…+a2 jxj+…+a2nxn = b2 (1.2) …… am1x1+am2x2+…+amjxj+…+amnxn=bm x1 , x2 , … , xj ,… , xn≥0 (1.3) 其中：aij，bi，cj都是常数，xj 是未知变量,并 有 bi≥0,（i =1,2,…,m；j =1,2,…,n）, n≥m≥0。
-2
O
2 z =0 z =2
x1+2x2=8 Q1 8 x1 4 6 z =6 z =8 zz=10 z =13 z =14 =9
-2
2013-7-22
1 线性规划及其基本性质
1-28
( 2 ) 多重解
线性规划问题不止一个最优解，就会有 无穷多个最优解，这时为多重解。如果将 例1.3问题中的目标函数或某个约束条件稍 加改动，就会出现这种情况。
本科生必修课系列教案
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资源与环境工程学院 采矿工程系矿山系统工程教研室
石忠民课题组 编著
武汉理工大学
2013-7-22
1 线性规划及其基本性质
WHUT CHINA
1-1
1 线性规划及其基本性质
线性规划问题及其数学模型
线性规划问题的解 线性规划问题的几何意义
2013-7-22
2013-7-22
1 线性规划及其基本性质
1-11
1. 生产计划问题
例 1.1 某企业利用 3 种原 表1.1 生产计划问题
产品 原料
材料 M1、M2 和 M3 生产
2 种产品 P1 和 P2 ，相关
P1 1 4 0 2
P2 2 0 4 3
原料 数量
的技术工艺参数和经济指
标等如表1.1 所示。问该 企业如何确定产品 P1 和 P2的产量使利润总额最大？
则问题可用数学模型表示为： min z=c1 x1 + c2 x2+…+cj xj+…+cn xn s. t. a11x1+a12x2+…+a1 jxj+…+a1nxn≥b1 a21x1+a22x2+…+a2 jxj+…+a2nxn≥b2 …… am1x1+am2x2+…+amjxj+…+amnxn≥bm x1 , x2 , … , xj ,… , xn≥0
2013-7-22 1 线性规划及其基本性质 1-18
3. 配置问题
在任何社会，人的需求作为一种欲望都是无止境的，而 用来满足人们需求的资源确实有限的，因此，资源具有 稀缺性。
资源配置是指资源的稀缺性决定了任何一个社会都必须
通过一定的方式把有限的资源合理分配到社会的各个领 域中去，以实现资源的最佳利用，即用最少的资源耗费， 生产出最适用的商品和劳务，获取最佳的效益。
优解必定是可行域的某个顶点，这种情况简称唯
一解，如例1.3 中的问题，例1.1 的生产计划问题
也属于这种情况。
2013-7-22
1 线性规划及其基本性质
1-27
唯一解的图解（图1.2）
x2 4x1=16
4
Q4 2 Q3 4x2=12
Q2(4, 2)
例 图解生产计划问题 max z=2x1+3x2 s.t. x1+2x2 ≤8 4x1 ≤16 4x2 ≤12 x1 , x2 ≥0
2013-7-22 1 线性规划及其基本性质
变形 1 max z=x1+3x2 s. t. - x1+ x2 ≤1 x1+3x2 ≤5 x1 , x2≥0 变形 3 max z=x1+3x2 s. t. - x1+ x2 ≤1 x1+x2 ≤-1 x1 , x2≥0
1-26
( 1 ) 唯一解
线性规划问题通常只有一个最优解，这个最
3
5
z=0
-1
z=5
x1
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1 线性规划及其基本性质
1-30
多重解的图解（图1.4）