2013届高考数学二轮突破知精讲精练小题训练(二)

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2013突破卷高考数学应用题真题解析

2013突破卷高考数学应用题真题解析一、Introduction在高考数学中，应用题一直是考生们备受关注的部分。

2013年的高考数学应用题突破卷是其中一道经典题目。

本文将对这道题目进行解析，帮助考生们更好地理解应用题的解题思路和方法。

二、题目描述题目：某天，小明和小华都到公园散步。

两人开始时分别站在一座高大的喷泉的两侧。

喷泉的高度为10米，水流以每秒2米的速度向上喷出。

小明和小华同时宣布：“我们只要在两个相邻的整秒钟，同时喷水高度差最多为1米，我们就认为见面了！”假设小明和小华都以1米/秒的速度向对方走去，求小明和小华相遇所需要的时间。

三、解题过程首先，我们需要找到小明和小华相遇的条件，即在两个相邻的整秒钟内，两人喷水高度差最多为1米。

考虑喷水高度的变化规律，我们可以将喷水高度表示为一个函数。

假设t表示时间（秒），h(t)表示喷水高度（米）。

由于喷水高度每秒上升2米，我们可以得到喷水高度函数为h(t) = 2t + 10。

其中，10是喷水的起始高度。

小明和小华相遇的条件可以表示为：|h(t1) - h(t2)| ≤ 1，其中t1和t2为相邻的整秒钟。

接下来，我们需要解方程|h(t1) - h(t2)| ≤ 1，求出两人相遇所需的时间。

根据喷水高度函数h(t) = 2t + 10，我们可以将|h(t1) - h(t2)| ≤ 1改写为|2t1 + 10 - (2t2 + 10)| ≤ 1。

化简后可得|2(t1 - t2)| ≤ 1。

由于t1和t2为相邻的整数秒，所以t1 - t2 = 1。

将其代入上式，得到|2| ≤ 1，显然不符合要求。

因此，我们需要再找到两个相邻整秒钟的组合，使得|h(t1) - h(t2)| ≤ 1。

通过尝试不同的组合，我们可以得到以下结果：1) 当t1 = 1秒，t2 = 0秒时，有|h(1) - h(0)| = |2(1) + 10 - (2(0) + 10)| = |2| = 2，不符合要求。

2013届高考数学二轮复习精选教材回扣保温特训2(苏教)

保温特训(二) 函数与导数基础回扣训练1．函数y ＝ 1x ＋2的定义域是________． 2．函数y ＝f (x )是偶函数，则在点(－a ，f (a ))、(－a ，－f (－a ))、(－a ，－f (a ))、(a ，－f (－a ))中，一定在函数y ＝f (x )图象上的点是________．3．已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ＜0ln x ，x ＞0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝________. 5．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.6．函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2 x ，0＜x ＜1－2(x －1)(x －3)，x ≥1的值域是________． 7．(2012·苏中八校学情调查)函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________．8．设a ＞0，a ≠1，函数f (x )＝ax 2＋x ＋1有最大值，则不等式log a (x －1)＞0的解集为________．9．(2012·泰州学情调研)设g (x )是定义在R 上以1为周期的函数，若函数f (x )＝x ＋g (x )在区间[3,4]时的值域为[－2,5]，则f (x )在区间[2,5]上的值域为________．10．设函数f (x )，g (x )的定义域分别为M ，N ，且M 是N 真子集，若对任意的x ∈M ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )是f (x )的“拓展函数”．已知函数f (x )＝13log 2x ，若g (x )是f (x )的“拓展函数”，且g (x )是偶函数，则符合条件的一个g (x )的解析式是________．11．已知曲线y ＝(a －3)x 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，函数f (x )＝x 3－ax 2－3x ＋1在[1,2]上单调递增，则a 的取值范围为________．12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为－1.有以下命题：①f (x )是奇函数；②若f (x )在[s ，t ]内递减，则|t －s |的最大值为4；③f (x )的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝0.④若对∀x ∈[－2，2]，k ≤f ′(x )恒成立，则k 的最大值为 2.其中正确命题的序号为________．13．(2012·南京师大阶段测试)定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1|x －2|，x ≠2，1，x ＝2，若关于x的方程f 2(x )＋af (x )＋b ＝3有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则下列结论错误的有________(填序号)①x 21＋x 22＋x 23＝14；②a ＋b ＝2；③x 1＋x 3＞2x 2；④x 1＋x 3＝4.14．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (－1)＝0，当x ＞0时，(x 2＋1)f ′(x )－2xf (x )＜0，则不等式f (x )＞0的解集为________．考前名师叮嘱1．导数法是研究函数单调性的重要工具，利用导数研究函数单调性要注意两个方面：一是求导之后函数的定义域可能会发生变化，要在函数定义域内分析导函数的符号；二是若求函数的单调区间可以直接转化为f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)的解集求解，若函数在区间M 上单调递增(递减)，则应该转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在区间M 上恒成立问题求解；2．复合函数法判断函数单调性的关键在于将其分解为两个基本函数之后准确判断这两个函数的单调性，再利用“同增异减”的判断法则判断单调性；3．用数形结合法求解函数最值，其实质就是利用函数图象或者借助几何图形求解函数最值，关键在于把握函数解析式的结构特征，常见的转化有两种：一是分段函数类型通常利用函数图象求解；二是利用数与形的对应，将函数最值转化为几何最值求解，通常是利用函数解析式的几何意义，如利用直线的斜率、动点与定点的距离等，在求解过程中正确作出函数图象或者准确利用代数式的几何意义，用几何知识直接确定最值是关键；4．导数求函数极值或最值时要列表，同时注意：一是函数定义域；二是准确求导；三是注意极值一定在区间内部，而最值则可能是极值点或区间端点．参考答案保温特训(二)1．解析要使函数有意义，则1x ＋2≥0，解得x ＞－2，故所求定义域是(－2，＋∞)．答案 (－2，＋∞) 2．解析当x ＝－a 时，y ＝f (－a )＝f (a )，即点(－a ，f (a ))一定在函数y ＝f (x )图象上．答案 (－a ，f (a ))3．解析根据函数极大值与导函数的关系，借助二次函数图象求解．因为f (x )在x＝a 处取到极大值，所以x ＝a 为f ′(x )的一个零点，且在x ＝a 的左边有f ′(x )＞0，右边有f ′(x )＜0，所以导函数f ′(x )的开口向下，且a ＞－1，即a 的取值范围是(－1,0)．答案 (－1,0)4．解析 f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1e ＝f (－1)＝e －1＝1e . 答案 1e5．解析本小题主要考查导数的概念及几何意义．由题意易知f (1)＝52，f ′(1)＝12.答案 36．解析 0＜x ＜1时，值域为(－∞，0)；x ≥1时，值域为(－∞，2]，故原函数的值域是(－∞，0)∪(－∞，2]＝(－∞，2]．答案 (－∞，2]7．解析函数定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x＜0，解得0＜x ＜1，所以递减区间是(0,1)．答案 (0,1)8．解析因为x 2＋x ＋1有最小值，函数f (x )＝ax 2＋x ＋1有最大值，所以0＜a ＜1，所以log a (x －1)＞0＝log a 1⇔0＜x －1＜1，解得1＜x ＜2.答案 (1,2) 9．解析当x ∈[2,3]时，x ＋1∈[3,4]，所以f (x ＋1)＝x ＋1＋g (x ＋1)＝x ＋1＋g (x )∈[－2,5]，所以f (x )＝x ＋g (x )∈[－3,4]；当x ∈[4,5]时，x －1∈[3,4]，所以f (x －1)＝x －1＋g (x －1)＝x －1＋g (x )∈[－2,5]，所以f (x )＝x ＋g (x )∈[－1,6]，所以f (x )在区间[2,5]上的值域为[－3,6]．答案 [－3,6]10．解析由题意可知，x ＞0时，g (x )＝13log 2x ，又函数g (x )是偶函数，故x ＜0时，g (x )＝13log 2(－x )，所以g (x )＝13log 2|x |.答案 g (x )＝13log 2|x |(其它符合条件的函数也可以)11．解析由已知条件可得方程y ′＝3(a －3)x 2＋1x ＝0(x ＞0)，即3(a －3)x 3＋1＝0有大于0的实数根，即得x 3＝－13(a －3)＞0，解得a ＜3，又由函数f (x )＝x 3－ax 2－3x ＋1在[1,2]上单调递增，可得不等式f ′(x )＝3x 2－2ax －3≥0在[1,2]上恒成立，即得a ≤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 在[1,2]上恒成立，由函数y ＝x －1x 在[1,2]上单调递增可得，该函数的最小值为0，∴a ≤0，综上可得实数a 的取值范围为(－∞，0]．答案 (－∞，0]12．解析由题意可知f (0)＝0，f ′(x )＝－1的两根为1或－1，即c ＝0,3x 2＋2ax＋b ＋1＝0的两根为1或－1，所以－2a 3＝0，b ＋13＝－1，解得a ＝0，b ＝－4，所以f (x )＝x 3－4x ，是奇函数，所以①③正确；f ′(x )＝3x 2－4，又f ′(x )≤0，解得在⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23上递减，即|t －s |的最大值为43，所以②错误；k ≤3x 2－4，∀x ∈[－2,2]恒成立，所以k ≤(3x 2－4)min ＝－4，∀x ∈[－2,2]，即k 的最大值为－4，所以④错误，综上可得正确命题是①③答案 ①③13．解析作出函数f (x )的图象如图，方程f 2(x )＋af (x )＋b ＝3有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，即方程t 2＋at ＋b －3＝0有两个相同的实数根1，由韦达定理可得1＋1＝－a,1×1＝b －3，解得a ＝－2，b ＝4，且x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3，故①x 21＋x 22＋x 23＝14；②a ＋b ＝2；④x 1＋x 3＝4均正确，x 1＋x 3＝2x 2，故③不正确．答案 ③14．解析因为⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )x 2＋1′＝(x 2＋1)f ′(x )－2xf (x )(x 2＋1)2，而(x 2＋1)f ′(x )－2xf (x )＜0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )x 2＋1′＜0，令g (x )＝f (x )x 2＋1，则函数g (x )在(0，＋∞)单调递减，且也为奇函数，g (－1)＝－g (1)＝0，作出函数g (x )的大致示意图，由图可知g (x )＞0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)，即为不等式f(x)＞0的解集．答案(－∞，－1)∪(0,1)。

2013年高考新课标全国Ⅱ卷数学(理)试题精解精析(解析版)

本解析为名师解析团队原创，授权独家使用，如有盗用，依法追责！第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题.每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合M=｛x|(x-1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N= （）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （）（A）（B）-（C）（D）-（4）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄l ,l β⊄则（）（A ）α∥β且l ∥α （B ）α⊥β且l ⊥β（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+a x ）(1+x)5的展开式中x 2的系数为5，则a =（A ）-4 （B ）-3 （C ）-2 （D ）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s= （A）1+ + +…+（B）1+ + +…+（C）1+ + +…+（D）1+ + +…+（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为(A) (B) (C)(D)（8）设a=log36,b=log510,c=log714,则（A）c＞b＞a （B）b＞c＞a（C）a＞c＞b (D)a＞b＞c【考点定位】本小题主要考查对数的运算、对数换底公式、对数函数的性质等基础知识，属中低档题，熟练对数部分的基础知识是解答好本类题目的关键.（9）已知a＞0，x ，y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A) (B) (C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=32x ax bx c +++,下列结论中错误的是（A ）∃0x R ∈, f(0x )=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若0x 是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, 0x ）单调递减（D ）若0x 是f （x ）的极值点，则 'f (0x )=0（11）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（A ）24y x =或28y x = （B ）22y x =或28y x =（C ）24y x =或216y x = （D ）22y x =或216y x =（12）已知点A （-1，0）；B （1，0），C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ）（0，1） (B)（1-，12） ( C)（1-，1]3 (D)[13,12）本解析为名师解析团队原创，授权独家使用，如有盗用，依法追责！第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答. 本解析为名师解析团队原创，授权独家使用，如有盗用，依法追责！二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅u u u r u u u r =_______.及平面向量的坐标运算是解答好本类题目的关键.（14）从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为1 14，则n=________.（15）设θ为第二象限角，若tan（θ+）=12，则sinθ+cosθ=_________.（16）等差数列{a n}的前n项和为S n ，已知S10=0，S15 =25，则nS n 的最小值为________.本解析为名师解析团队原创，授权独家使用，如有盗用，依法追责！三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.（18）如图，直棱柱ABC-111A B C 中，D ，E 分别是AB ，BB1的中点，1AA =AC=CB=22AB.（Ⅰ）证明：1BC //平面1A CD ；（Ⅱ）求二面角D-1A C -E 的正弦值.们的逻辑推理能力、空间想象能力，考查分析问题以及解决问题的能力. （19）（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内经销该农产品的数量，T表示利润.（Ⅰ）将T表示为x的函数（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值需求量落入该区间的频率作,则取x=105，且x=105的概率等于需求量为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x[100,110)落入[100，110)，求T的数学期望.(20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：22221(0)x ya ba b+=>>右焦点的直线30x y+-=交M于A,B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12.(Ι)求M的方程；（Ⅱ）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形面积的最大值（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)=x e-ln(x+m).(Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f(x)>0.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号. （22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC⋅AE=DC⋅AF,B、E、F、C四点共圆.（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：2cos2sinxyββ=⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为β=α与α=2π（0＜α＜2π），M为PQ的中点.（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.（24）（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）ab+bc+ac≤13；（Ⅱ）2221a b cb c a++≥。

安徽省财经大学附中2013版高考数学二轮复习专题训练：选考内容附答案

安徽财经大学附中2013版高考数学二轮复习专题训练：选考内容本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．曲线4sin()4x π=+与曲线122122x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的位置关系是( ) A ．相交过圆心 B ．相交C ．相切D ．相离【答案】D2．不等式|x-1|+|x-2|≥5的解集为( ) A ．﹛x|x ≤-1或x ≥4﹜B ．﹛x|x ≤1或x ≥2﹜C ．﹛x|x ≤1﹜D ．﹛x|x ≥2﹜【答案】A3．直线l 的极坐标方程为2cos sin 3ρθρθ=+，圆C的极坐标方程为)4πρθ=+．则直线l 和圆C 的位置关系为( ) A ．相交但不过圆心 B ．相交且过圆心 C ．相切D ．相离【答案】A4．一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm 和18cm 两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为( ) A ．11cm B ．33cmC ．66cmD ．99cm【答案】B5．在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程； ②41tan πθθ==与表示同一条曲线； ③ρ=3与ρ=-3表示同一条曲线。

在这三个结论中正确的是( )A ．①③B ．①C ．②③D ． ③【答案】D6．如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE,BE ，∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于C 、D ，若∠AEB=030,则∠PCE 等于( )A. 0150B. 075C. 0105D. 060【答案】C7．若存在Ｘ满足不等式a X X <-+-34，则a 的取值范围是( )A ．a ≥1B ． a ＞1C ．a ≤1D ．a<1【答案】B8．直线2()1x t t y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为( )A B ．1404C D 【答案】C9．直线的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．与有关，不确定【答案】B10．不等式|1||2|x x a -++≤的解集非空, 则实数a 的取值范围是( ) A ． 3a > B ． 3a ≥C ．4a ≤D ．4a ≥【答案】B11．不等式3≤l5 - 2xl<9的解集是( )A ．（一∞，-2)U(7,+co)B ．[1,4]C ．[-2,1】U 【4,7】D ． (2,1][4,7)-【答案】D12．不等式31<的解集是( )A ．{}|516x x << B ．{}|618x x <<C ．{}|720x x <<D ．{}|822x x <<【答案】B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．如图，已知A B 是⊙O 的一条弦，点P 为A B 上一点，P C O P ⊥，P C 交⊙O 于C ，若4A P =，2PB =，则P C 的长是【答案】2214．在已知极坐标系中，已知圆与直线相切，则实数。

2013高考数学第二轮复习学案_第1--8讲答案

1第1讲二次函数一、课前热身1、D 2 110 3、D 4、（－∞，－1）二、例题探究例1．解：令sin t x =，[1,1]t ∈-，∴221()(2)24a y t a a =--+-+，对称轴为2at =，（1）当112a -≤≤，即22a -≤≤时，2max 1(2)24y a a =-+=，得2a =-或3a =（舍去）．（2）当12a>，即2a >时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递增，由max 111242y a a =-+-+=，得103a =．（3）当12a <-，即2a <-时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递减，由max 111242y a a =---+=，得2a =-（舍去）．综上可得：a 的值为2a =-或103a =．例2．解法一：由题知关于x 的方程22(21)20x a x a --+-=至少有一个非负实根，设根为12,x x则120x x ≤或121200x x x x ∆≥⎧⎪>⎨⎪+>⎩，得94a ≤≤．解法二：由题知(0)0f ≤或(0)0(21)020f a >⎧⎪--⎪->⎨⎪∆≥⎪⎩，得94a ≤．例3．解：（1）2()3f x x x =--，0x 是()f x 的不动点，则2000()3f x x x x =--=，得01x =-或03x =，函数()f x 的不动点为1-和3．（2）∵函数()f x 恒有两个相异的不动点，∴2()(1)0f x x ax bx b -=++-=恒有两个不等的实根，224(1)440b a b b ab a ∆=--=-+>对b R ∈恒成立， ∴2(4)160a a -<，得a 的取值范围为(0,1)．（3）由2(1)0ax bx b ++-=得1222x x b a +=-，由题知1k =-，2121y x a =-++，2设,A B 中点为E ，则E 的横坐标为21(,)2221b b a a a -++，∴212221b b a a a -=++，∴2112142a b a a a=-=-≥-++，当且仅当12(01)a a a =<<，即2a =时等号成立，∴b的最小值为4-．冲刺强化训练(1)1、A2、A3、C4、，或它们的某个子集。

2013届高考数学(浙江专用)冲刺必备：第二部分专题二第一讲冲刺直击高考含答案

限时：50分钟满分：78分一、选择题（共10个小题,每小题5分，共50分)1．(2012·大纲全国卷）若函数f（x）＝sin 错误!（φ∈[0,2π]）是偶函数，则φ＝( )A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析:选C ∵若f(x）为偶函数,则f(0)＝±1，即sin 错误!＝±1，∴错误!＝kπ＋错误!(k∈Z）．∴φ＝3kπ＋错误!（k∈Z）．只有C项符合．2．函数f(x)＝sin x在区间[a，b］上是增函数，且f(a）＝－1,f（b)＝1，则cos a＋b2＝( ）A．0 B。

错误!C．－1 D．1解析：选D 不妨设a＝－错误!，则b＝错误!,cos 错误!＝cos 0＝1.3．设函数y＝3sin(2x＋φ）(0<φ〈π，x∈R）的图像关于直线x＝错误!对称，则φ等于( )A 。

π6B 。

π3C 。

错误! D.错误!解析：选D 由题意知，2×错误!＋φ＝k π＋错误!,所以φ＝k π－错误!，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝错误!。

4．函数f (x )＝sin x cos x ＋错误!cos 2x －错误!的一个单调递减区间是（ )A 。

错误!B 。

错误!C 。

错误!D 。

错误!解析：选C 因为f (x ）＝sin x cos x ＋3cos 2x －错误!＝错误!sin 2x ＋错误!cos 2x ＝sin 错误!,所以当2k π＋错误!≤2x ＋错误!≤2k π＋错误!，k ∈Z ，即k π＋错误!≤x ≤k π＋错误!，k ∈Z 时，函数f (x )单调递减．5．使f (x )＝sin(2x ＋y ）＋3cos （2x ＋y ）为奇函数，且在错误!上是减函数的y 的一个值是（ )A.π3B.错误! C 。

错误! D.错误!解析：选D ∵f （x )＝sin(2x ＋y )＋错误!cos(2x ＋y ）＝2sin错误!为奇函数，∴f（0)＝0，∴sin y＋错误!cos y＝0，∴tan y＝－错误!，又函数f(x）在错误!上是减函数，易知选项D满足条件故选D。

2013高考数学百题精练(附答案)

百题精练数学试题（一）一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{1,3},A =集合{1,2,4,5}B =，则集合A B ⋃=（）A ．{1，3，1，2，4，5}B ．{1}C ．{1,2,3,4,5}D ．{2,3,4,5}2．化简1327()125-的结果是（）A ．35B ．53C ．3D ．53．若幂函数()af x x =在()0,+∞上是增函数，则（） A ．a >0 B ．a <0 C ．a =0 D ．不能确定4．与||y x =为同一函数的是（）A ．2y =B ．y =C ．{,(0),(0)x x y x x >=-<D ．log a x y a =5．设()338x f x x =+-, 用二分法求方程3380(1,2)x x x +-=∈在内近似解的过程中, 计算得到(1)0,(1.5)0,(1.25)0,f f f <>< 则方程的根落在区间（） A ．（1，1．25） B ．（1．25，1．5）C ．（1．5，2）D ．不能确定6．下列各式错误．．的是（） A ．0.80.733>B ．0.50.5log 0.4log 0.6>C ．0.10.10.750.75-<D ．lg1.6lg1.4>7．已知753()2f x ax bx cx =-++，且(5),f m -= 则(5)(5)f f +-的值为（）A ．4B ．0C ．2mD ．4m -+8．函数)6(log 26.0x x y -+=的单调增区间是（）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-21,2D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,219．函数111+--=x y 的图象是下列图象中的（）10．定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为（） A ．9 B ．14 C ．18 D ．21 11那么函数 f （x ）一定存在零点的区间是（） A ．（-∞，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，+∞）12．某研究小组在一项实验中获得一组关于y 、t 之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y 与t 之间关系的是（）A ．2ty =B ．22y t =C ．3y t =D ．2log y t =（二）一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一y t项是符合题目要求的。

高考数学(理)二轮专题练习【专题8】(2)数形结合思想(含答案)

第2讲数形结合思想1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围．(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围．(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式．(5)构建立体几何模型研究代数问题．(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题．(7)构建方程模型，求根的个数．(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域．(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．热点一利用数形结合思想讨论方程的根例1 (2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)答案 B解析先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为(12，1)．思维升华用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，解得b ＝4，c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0.作出函数y ＝f (x )及y ＝x 的函数图象如图所示，由图可得交点有3个．热点二利用数形结合思想解不等式、求参数范围例2 (1)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________．(2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (1)(－1,0)∪(0,1) (2)⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 (1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．(2)作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.思维升华求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答．(1)设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是__________．(2)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________. 答案 (1)[2－1，＋∞) (2) 2解析 (1)集合A 是一个圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m ＋1|2＝1，又m >0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是m ≥2－1. (2)令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)．又因为点(－2，－2)在直线上，所以k ＝22＋21＋2＝ 2.热点三利用数形结合思想解最值问题例3 (1)已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，则四边形P ACB 面积的最小值为________．(2)已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是( )A ．[2,4]B ．[2,16]C ．[4,10]D ．[4,16]答案 (1)22 (2)B解析 (1)从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形P AC 的面积S Rt △P AC ＝12|P A |·|AC |＝12|P A |越来越大，从而S 四边形P ACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形P ACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l 时，S 四边形P ACB 应有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|P A |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.所以(S 四边形P ACB )min ＝2×12×|P A |×|AC |＝2 2.(2)画出可行域如图，所求的x 2＋y 2－6x ＋9＝(x －3)2＋y 2是点Q (3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线x －y －1＝0(x ≥0)的距离d 的平方，最大值为|QA |2＝16. ∵d 2＝(|3－0－1|12＋(－1)2)2＝(2)2＝2.∴取值范围是[2,16]．思维升华 (1)在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值．(2)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．(1)(2013·重庆)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 (2)若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则yx的最小值是____．答案 (1)B (2)2解析 (1)由题意，知圆的圆心坐标为(3，－1)，圆的半径长为2，|PQ |的最小值为圆心到直线x ＝－3的距离减去圆的半径长，所以|PQ |min ＝3－(－3)－2＝4.故选B.(2)可行域如图所示．又yx 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k . 由图知，过点A 的直线OA 的斜率最小．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得A (1,2)，所以k OA ＝2－01－0＝2.所以y x 的最小值为2.1．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的．2．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的．3．利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象．4．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等.真题感悟1．(2013·重庆)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17答案 A解析设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2. 而|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.2．(2014·江西)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45π B.34π C ．(6－25)π D.54π 答案 A解析 ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离， ∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45， ∴圆C 的最小半径为25， ∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.3．(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]答案 D解析函数y ＝|f (x )|的图象如图． ①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立． ②当a >0时，只需在x >0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度．显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立．即a ≥x －2成立，所以a ≥－2. 综上所述：－2≤a ≤0.故选D.4．(2014·天津)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．答案 (0,1)∪(9，＋∞)解析设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点．当4个交点横坐标都小于1时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同解x 1，x 2，消y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，故Δ＝a 2－10a ＋9>0，且x 1＋x 2＝a －3<2，x 1x 2＝a <1，联立可得0<a <1. 当4个交点横坐标有两个小于1，两个大于1时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a (x －1)有两组不同解x 3，x 4. 消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，故Δ＝a 2－10a ＋9>0，且x 3＋x 4＝a －3>2，x 3x 4＝a >1，联立可得a >9，综上知，0<a <1或a >9. 押题精练1．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 (数形结合法) ∵a >0，∴a 2＋1>1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．2．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 A解析 f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4 (x <－3)，2x ＋2 (－3≤x <1)，4 (x ≥1).画出函数f (x )的图象，如图，可以看出函数f (x )的最大值为4，故只要a 2－3a ≥4即可，解得a ≤－1或a ≥4.正确选项为A.3．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.答案 [－1,1] [0，π4]∪[3π4，π)解析如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则k P A ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k P A <0，故k <0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k >0时，α为锐角．又k P A ＝－2－(－1)1－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，∴－1≤k ≤1. 又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k <0时，3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈[0，π4]∪[3π4，π)．4．(2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．答案2解析由题意知原点O 到直线x ＋y －2＝0的距离为|OM |的最小值．所以|OM |的最小值为22＝ 2. 5．(2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为________．答案－33解析 ∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12.当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0. 由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33.6．设函数f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝bx 2－ln x (a ，b ∈R )，已知它们在x ＝1处的切线互相平行． (1)求b 的值；(2)若函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤0，g (x )，x >0，且方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．解函数g (x )＝bx 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)， (1)f ′(x )＝3ax 2－3a ⇒f ′(1)＝0， g ′(x )＝2bx －1x ⇒g ′(1)＝2b －1，依题意得2b －1＝0，所以b ＝12.(2)x ∈(0,1)时，g ′(x )＝x －1x <0，即g (x )在(0,1)上单调递减，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x >0，即g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，g (x )取得极小值g (1)＝12；当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有四个解；当a <0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，即f (x )在(－∞，－1)上单调递减， x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，即f (x )在(－1,0)上单调递增，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ，又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(1)所示，从图象可以看出F (x )＝a 2不可能有四个解．当a >0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，－1)上单调递增， x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0，即f (x )在(－1,0)上单调递减，所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a .又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(2)所示，从图(2)看出，若方程F (x )＝a 2有四个解，则12<a 2<2a ，所以，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，2.。

(新课标)山东省2013高考数学二轮复习

（新课标）山东省2013高考数学二轮复习（研热点聚焦突破+析典型预测高考+巧演练素能提升）第一部分专题五概率与统计1-5-2第二讲统计、统计案例理一、选择题1．某中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要从该中学抽取一个容量为10的样本，将学生按一、二、三年级依次编号为1，2，…，270，如果抽得号码有下列四种情况：①5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；③30，57，84，111，138，165，192，219，246；④11，38，60，90，119，146，173，200，227，254.以上四组号码中可能是由分层抽样得到，而不可能是由系统抽样得到的是( )A．①②B．②③C．①③ D．①④解析：通过分析四种情况可知，①、④是分层抽样，②、③是系统抽样，故选D.答案：D2．(2012年高考湖北卷)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10，40)的频率为( )A．0.35 B．0.45C．0.55 D．0.65解析：根据频率的定义求解．由表知[10，40)的频数为2＋3＋4＝9，所以样本数据落在区间[10，40)的频率为920＝0.45.答案：B3．一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450，430，460，440，450，440，470，460，则该组数据的方差为( )A．120 B．80C．15 D．150解析：根据题意知，该组数据的平均数为450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋4608＝450，所以该组数据的方差为18×(02＋202＋102＋102＋02＋102＋202＋102)＝150.答案：D4．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其回归方程为y ^＝－3＋bx ，若∑10i ＝1x i ＝17，∑10i ＝1y i ＝4，则b 的值为( )A ．2B ．1C ．－2D ．－1解析：依题意知，x -＝1710＝1.7，y -＝410＝0.4，而直线y ^＝－3＋bx 一定经过点(x -，y -)，所以－3＋b ×1.7＝0.4，解得b ＝2.答案：A5．(2012年高考安徽卷)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：由条形统计图得到相关数据，然后利用平均数、中位数、方差、极差的概念求解．由条形统计图知：甲射靶5次的成绩分别为：4，5，6，7，8；乙射靶5次的成绩分别为：5，5，5，6，9，所以x -甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6；x -乙＝5＋5＋5＋6＋95＝6. 所以x -甲＝x -乙．故A 不正确．甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B 不正确．s 2甲＝15[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝15×10＝2，s 2乙＝15[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝15×12＝125，因为2<125，所以s 2甲<s 2乙.故C 正确．甲的成绩的极差为：8－4＝4，乙的成绩的极差为：9－5＝4，故D 不正确．故选C. 答案：C 二、填空题6．(2012年大同模拟)将容量为n 的样本中的数据分为6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和为27，则n ＝________．解析：依题意得，前三组的频率总和为2＋3＋42＋3＋4＋6＋4＋1＝920，因此有27n ＝920，即n ＝60.答案：607．(2012年唐山质检)考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x (cm)与肱骨长度y (cm)的线性回归方程为y ^＝1.197x －3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm 时，肱骨长度的估计值为________cm.解析：根据回归方程y ^＝1.197x －3.660.将x ＝50代入得y ＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm.答案：56.198．(2012年海淀模拟)甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温(单位：℃)用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是________，气温波动较大的城市是________．解析：根据茎叶图可知，甲城市上半年的平均温度为9＋13＋17×2＋18＋226＝16，乙城市上半年的平均温度为12＋14＋17＋20＋24＋276＝19，故两城市中平均温度较高的是乙城市，观察茎叶图可知，甲城市的温度更加集中在峰值附近，故乙城市的温度波动较大．答案：乙乙三、解答题9．以下是某地最新搜集到的二手楼房的销售价格y (单位：万元)和房屋面积x (单位：m 2)的一组数据：若销售价格y 和房屋面积x 具有线性相关关系． (1)求销售价格y 和房屋面积x 的回归直线方程；(2)根据(1)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格．解析：(1)由题意知，x -＝80＋105＋110＋115＋1355＝109，y -＝18.4＋22＋21.6＋24.8＋29.25＝23.2.设所求回归直线方程为y ^＝bx ＋a ，则b ＝∑10i ＝1（x i －109）（y i －23.2）∑ni ＝1（x i －109）2＝3081 570≈0.196 2，a ＝y -－bx -＝23.2－0.196 2×109＝1．814 2，故回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2.(2)由(1)知，当x ＝150时，估计房屋的销售价格为y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．10．(2012年长春模拟)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：(1)求出表中M 、p 及图中a 的值；(2)若该校高一学生有360人，试估计他们参加社区服务的次数在区间[15，20)内的人数；(3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多1人参加社区服务次数在区间[20，25)内的概率．解析：(1)由题可知10M ＝0.25，25M ＝n ，m M ＝p ，2M＝0.05.又10＋25＋m ＋2＝M ，解得M ＝40，n ＝0.625，m ＝3，p ＝0.075. 则[15，20)组的频率与组距之比a 为0.125.(2)参加社区服务的次数在区间[15，20)内的人数为360×0.625＝225.(3)在样本中，处于[20，25)内的人数为3，可分别记为A ，B ，C ，处于[25，30)内的人数为2，可分别记为a ，b .从该5名学生中取出2人的取法有(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(a ，b )，共10种；至多1人在[20，25)内的情况有(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(a ，b )共7种，所以至多1人参加社区服务次数在区间[20，25)内的概率为710.11．2012年元旦、春节前夕，各个物流公司都出现了爆仓现象，直接原因就是网上疯狂的购物．事实上，现在网上购物已经成为人们购物的一种新方式，正所谓“不上街并不是不逛街”，利用网络，人们可以足不出户地选购自己所需的商品，方便快捷，但也有一些隐患，比如网络欺骗、所得商品与网上宣传的有差距等．某商家针对人们在网上购物的态度在某城市进行了一次调查，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人对网上购物持赞成态度，另外27人持反对态度；男性中有21人赞成网上购物，另外33人持反对态度．(1)估计该地区对网上购物持赞成态度的比例；(2)有多大的把握认为该地区对网上购物持赞成态度与性别有关；(3)根据以上结论，能否有更好的调查方式来估计该地区对网上购物持赞成态度的比例，并说明理由．附：表1K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋c ）（b ＋d ）（a ＋b ）（c ＋d ）解析：(1)接受调查的124人中，有64人对网上购物持赞成态度，所以该地区对网上购物持赞成态度的估计值为64124＝1632.(2)2×2列联表：表2K 2＝124×（43×33－27×21）270×54×64×60≈6.201，因为6.201>3.841，所以有95%的把握认为该地区对网上购物持赞成态度与性别有关．(3)该项调查是在某城市进行的，具有一定的局限性，所以应该先确定该地区城市人口、农村人口的比例，在此基础上进一步确定城市人口、农村人口中的性别比例；然后利用分层抽样的方法抽取样本，最后进行统计，这样得到的结果会更加可靠．。

2013届高考数学(浙江专用)冲刺必备：第二部分专题二第二讲冲刺直击高考含答案

限时：50分钟满分:78分一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分）1．(2012·广州模拟）已知sin 2α＝－错误!，α∈错误!,则sin α＋cos α＝( )A ．－错误! B.错误! C ．－错误! D 。

错误! 解析：选B ∵α∈⎝ ⎛）－π40，∴cos α〉0〉sin α且cos α〉｜sin α｜，则sin α＋cos α＝错误!＝错误!＝错误!。

2．若sin 错误!＝错误!，则cos 错误!等于( ）A.错误! B ．－错误! C.错误! D ．－错误!解析:选D 据已知可得cos 错误!＝sin 2α＝－cos 2错误!＝－错误!＝－错误!。

3．(2012·福州模拟)在△ABC 中，角A ，B ,C 所对的边分别为a ,b ，c ,若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C 等于( )A 。

错误! B.错误! C.错误! D.错误!解析：选B 依题意得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝5，又错误!＝错误!，所以sin C ＝错误!＝错误!＝错误!。

4．已知tan θ>1，且sin θ＋cos θ〈0，则cos θ的取值范围是（) A。

错误! B.错误!C.错误!D。

错误!解析：选A 依题意，结合三角函数图像进行分析可知，2kπ＋错误!〈θ<2kπ＋错误!，k∈Z，因此－错误!〈cos θ<0。

5．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,若错误!<cos A，则△ABC为( ）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形解析：选A 依题意得错误!〈cos A，sin C<sin B cos A，所以sin(A ＋B)<sin B cos A,即sin B cos A＋cos B sin A－sin B cos A〈0，所以cos B sin A<0.又sin A>0,于是有cos B〈0，B为钝角,△ABC是钝角三角形．6．若α∈错误!，且sin2α＋cos 2α＝错误!，则tan α的值等于( )A.错误!B。

高考数学二轮复习专题15 周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用(精讲精练)(解析版)

专题15周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用【命题规律】从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想．【核心考点目录】核心考点一：函数单调性的综合应用核心考点二：函数的奇偶性的综合应用核心考点三：已知()f x =奇函数M +核心考点四：利用轴对称解决函数问题核心考点五：利用中心对称解决函数问题核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题核心考点七：类周期函数核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性核心考点九：函数性质的综合【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【解析】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=，所以()2cos3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++-=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x x π=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =-=-=-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【答案】D【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- ．因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-．因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-．所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ ．故选：D3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于()f x ，因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，所以()()3f x f x -=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f -=，故C 正确；对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=-，(4)()g x g x -=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-=+⇔--=+⇔--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x -+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误．故选：BC ．[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法．由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC ．故选：BC ．[方法三]：因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误．故选：BC ．【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．4．（2022·全国·统考高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a _____，b =______．【答案】12-；ln 2．【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性若0a =，则()f x 的定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称a ∴≠若奇函数的1()||1f x ln a b x =++-有意义，则1x ≠且101a x+≠-1x ∴≠且11x a≠+，函数()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，111a ∴+=-，解得12a =-，由(0)0f =得，102ln b +=，2b ln ∴=，故答案为：12-；2ln ．[方法二]：函数的奇偶性求参111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x-+--=++=+=+---1()1ax a f x lnb x++-=++ 函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x lnln b x x--++∴+-=++=-+2222(1)201a x a lnb x -+∴+=-22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=-1222241,22b ln b ln a b ln ln-==-⇒=∴=-=[方法三]：因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由101a x+≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211xf x x x+=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意．故答案为：12-；ln 2．【方法技巧与总结】1、单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <；②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若()f x是增函数，则()f x-为减函数；若()f x是减函数，则()f x-为增函数；②若()f x和()g x均为增（或减）函数，则在()f x和()g x的公共定义域上()()f xg x+为增（或减）函数；③若()0f x>且()f x为增函数，则函数为增函数，1()f x为减函数；④若()0f x>且()f x为减函数，则函数为减函数，1()f x为增函数．2、奇偶性技巧（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数()f x是偶函数⇔函数(f x的图象关于y轴对称；函数()f x是奇函数⇔函数()f x的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数()y f x=在0x=处有意义，则有(0)0f=；偶函数()y f x=必满足()(||)f x f x=．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）若函数()f x的定义域关于原点对称，则函数()f x能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记1()[()()]2g x f x f x=+-，1()[()()]2h x f x f x=--，则()()()f xg xh x=+．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f xg x f x g x f x g x f x g x+-⨯÷．对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶．（7）复合函数[()]y f g x=的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．（8）常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-．③函数2()log log (1aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++④函数()log )a f x x =+或函数()log )a f x x =．注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+．②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-．③函数(||)f x 类型的一切函数．④常数函数3、周期性技巧4、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-．5、对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-．（2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．【核心考点】核心考点一：函数单调性的综合应用【典型例题】例1．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数()224,1,1,1x ax x f x x x⎧-++⎪=⎨>⎪⎩ 是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上的减函数，则a 的取值范围是（）A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．(],1-∞-C ．11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．(),1-∞-【答案】A【解析】显然当1x >时，()1f x x=为单调减函数，()()11f x f <=当1x时，()224f x x ax =-++，则对称轴为()221ax a =-=⨯-，()123f a =+若()f x 是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上减函数，则12231a a ⎧≤-⎪⎨⎪+≥⎩解得11,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，故选：A ．例2．（2023·全国·高三专题练习）设函数()()11sin 1e e 4x xf x x x --=-+--+，则满足()()326f x f x +-<的x 的取值范围是（）A ．()3,+∞B ．()1,+∞C ．(),3-∞D ．(),1-∞【答案】B【解析】假设()sin e e ,R x xg x x x x -=+--∈，所以()()sin e e x xg x x x --=-+-+，所以()()0g x g x +-=，所以()g x 为奇函数，而()()()11sin 1e e 13x xf x x x --=-+---+是()g x 向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以()f x 的对称中心为()1,3，所以()()62f x f x =+-，由()()11sin 1e e 4x xf x x x --=-+--+求导得()()()11111cos 1e e 1e +cos 11e x x x xf x x x ----'=-++-=+--因为111e 2e x x --+≥=，当且仅当111ee x x --=即1x =，取等号，所以()0,f x '≥所以()f x 在R 上单调递增，因为()()()()3262f x f x f x f x +-<=+-得()()322f x f x -<-所以322x x -<-，解得1x >，故选：B例3．（2023·全国·高三专题练习）已知02,1,1b a b a b <<<≠≠，且满足log b a a b =，则下列正确的是（）A ．1ab >B ．1(1)b a a b +<+C ．11a b a b a a b b ++->-D ．52+>a b 【答案】B【解析】由log b a a b =，可得1log log log b a b a b a==，所以log 1b a =，或log 1b a =-，∴b a =（舍去），或1b a=，即1ab =，故A 错误；又02b a b <<<，故120a a a<<<，∴1a <<，对于函数(11y x x x=+<<，则2221110x y x x-'=-=>，函数(11y x x x =+<<单调递增，∴1a b a a ⎛+=+∈ ⎝⎭，故D 错误；∵02b a b <<<，11a b<=<∴1212a b b <<<+<，令()()ln 12x g x x x=<<，则()21ln 0xg x x -'=>，∴函数()()ln 12xg x x x=<<单调递增，∴()ln 1ln 1b a a b +<+，即()()1ln ln 1b a a b +<+，∴()1ln ln 1ab a b +<+，即1(1)b a a b +<+，故B 正确；∵011b a b <<<<+，∴函数,x x y a y b ==-单调递增，故函数x x y a b =-单调递增，∴11a a b b a b a b ++-<-，即11a b a b a a b b ++-<-，故C 错误．故选：B ．核心考点二：函数的奇偶性的综合应用【典型例题】例4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 在(],3-∞上单调递增，且()3f x +为偶函数，则不等式()()12f x f x +>的解集为（）A ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()5,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．()1,+∞【答案】B【解析】∵()3f x +为偶函数，∴()()33f x f x -+=+，即函数()f x 关于3x =对称，又函数()f x 在(],3-∞上单调递增，∴函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，由()()12f x f x +>，可得1323x x +-<-，整理得，23850x x -+>，解得1x <或53x >．故选：B ．例5．（2023·全国·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，不等式()()24f x f x ≥的解集为（）A ．(][),04,-∞+∞UB ．[]0,4C ．(][),02,-∞⋃+∞D ．[]0,2【答案】C【解析】根据题意，当0x ≥时，()2f x x =，所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上为增函数，因为20x ≥，所以24()f x x =，24124xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以221()42x f x f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以不等式()()24f x f x ≥可化为2()2x f f x ⎛⎫≥⎪⎝⎭，所以22x x ≥，解得0x ≤或2x ≥，所以不等式()()24f x f x ≥的解集为(][),02,-∞⋃+∞，故选：C例6．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数()f x 的定义域为R ，且当0x ≥时，()11x f x x -=+，则使不等式()2122f a a -<成立的实数a 的取值范围是（）A ．()1,3-B ．()3,3-C ．()1,1-D ．(),3-∞【答案】A【解析】当0x ≥时，()()12121111x x f x x x x +--===-+++，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()132f =，不等式()2122f a a -<即为()()223f a a f -<．又因为()f x 是偶函数，所以不等式()()223f a a f -<等价于()()223f a a f -<，则223a a -<，所以，222323a a a a ⎧-<⎨->-⎩，解得13a -<<．综上可知，实数a 的取值范围为()1,3-，故选：A ．例7．（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，且(2)2f -=-，则不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．10,100⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(0,100)D ．(100,)+∞【答案】D【解析】因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，又(2)2f -=-，(2)2f =，所以不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，可化为()2(lg )422f x f >=，即()(lg )2f x f >，又因为()f x 在(,0]-∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，所以lg 2x >，解得100x >．故选：D ．例8．（2023春·广西·高三期末）()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则()()20232022f f +-=（）A ．－1B ．12-C ．12D ．1【答案】A【解析】()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则1111111222222f x fx f x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=-++⇒-+++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．∴()()40451404512023202212222f f f f ⎛⎫⎛⎫+-=++-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：A例9．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）若函数f （x ）=e e sin x x x x --+-，则满足()()22ln 102x f a x f ⎛⎫-++≥⎪⎝⎭恒成立的实数a 的取值范围为（）A ．12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1(ln 2,)4-+∞C ．[7,)4+∞D ．[3,)2+∞【答案】A【解析】因为()e e sin ()x x f x x x f x ---=-+=-，所以()f x 是R 上的奇函数，由()e +e cos 1x x f x x -'=+-cos 11cos 0x x ≥-=+≥，所以()f x 是R 上的增函数，所以2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于：22(2ln(1))22x x f a x f f ⎛⎫⎛⎫-+≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22ln(1)2x a x -+≥-，所以22ln(1)2x a x ≥-++，令2()2ln(1)2x g x x =-++，则问题转化为：max ()a g x ≥，因为()()g x g x -=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2xx -++是R 上的偶函数，所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可．当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =-++，()()22122()111x x x x g x x x x x +---+'=-+==-+++，则当()0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<；所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==-，即12ln 22a ≥-，故选：A ．核心考点三：已知()f x =奇函数+M 【典型例题】例10．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知()34f x ax =+（a ，b 为实数），()3lg log 102022f =，则()lg lg3f =______．【答案】-2014【解析】()()3lg log 10lg lg32022f f =-=，因为()()34g x f x ax =-=+所以()()lg lg3lg lg3g g -=-，其中()()lg lg3lg lg342018g f -=--=，所以()()lg lg34lg lg32018g f -=-=，解得：()lg lg32014f =-故答案为：-2014例11．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数()2sin 414x xf x x -=++，且()5f a =，则()f a -=（）A ．2B ．3C ．－2D ．－3【答案】D 【解析】设()2sin 44x x g x x -=+，因为()()()()()22sin 4sin 444x x x x g x g x x x -----==-=-+-+，所以()g x 为奇函数，因为()()14g a f a =-=，所以()()14g a f a -=--=-，则()3f a -=-．故选：D ．例12．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）A ．4B ．8C ．12D ．16【答案】B 【解析】由题设，()(0)()()4f x x f f x f x -==+--且(0)()()(0)4f x f x f x f +==+-，∴(0)4f =，则()()8f x f x +-=，∴()()4m x f x =-为奇函数，令2sin ()cos 1()()4xm h x g x x x =-++=，∴2sin()2sin ()()()()cos()1cos 1x xh x m x m x h x x x --=+-=--=--++，即()h x 是奇函数，∴()h x 在[2021,2021]-上的最小、最大值的和为0，即max min ()4()40g x g x -+-=，∴max min ()()8g x g x +=．故选：B核心考点四：利用轴对称解决函数问题【典型例题】例13．（2022·全国·高三专题练习）若1x 满足25x x =-，2x 满足2log 5x x +=，则12x x +等于（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】由题意1152xx -=，故有2225log x x -=故1x 和2x 是直线5y x =-和曲线2x y =、曲线2log y x =交点的横坐标．根据函数2x y =和函数2log y x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，故曲线2x y =和曲线2log y x =的图象交点关于直线y x =对称．即点（x 1，5﹣x 1）和点（x 2，5﹣x 2）构成的线段的中点在直线y =x 上，即12125522x x x x +-+-=，求得x 1+x 2=5，故选：D ．例14．（2021春·高一单元测试）设函数()21228log (1)31f x x x =+++，则不等式212(log )(log )2f x f x +≥的解集为（）A ．（0，2]B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2，＋∞）D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦∪[2，＋∞）【答案】B【解析】由题意，函数()21228log (1)31f x x x =+++的定义域为R ，且()()2211222288log [()1]log (1)3()131f x x x f x x x -=-++=++=-++，所以函数()f x 为R 的偶函数，且在[0,)+∞上为单调递减函数，令2log t x =，可得12log x t =-，则不等式212(log )(log )2f x f x +≥可化为()()2f t f t +-≥，即()22f t ≥，即()1f t ≥，又因为()1281log 2131f =+=+，且()f x 在[0,)+∞上单调递减，在R 为偶函数，所以11t -≤≤，即21log 1x -≤≤，解得122x ≤≤，所以不等式的解集为1[,2]2．故选：B ．例15．（2021春·西藏拉萨·高三校考阶段练习）已知函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，则()()0.52310.5log 9log 2f f f -⎛⎫ ⎪⎝⎭、、的大小关系（）A ．()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．0.5321(log )(0.5)(log 9)2f f f ->>C ．0.5321(0.5)(log (log 9)2f f f ->>D ．0.5231(log 9)(0.5)(log 2f f f ->>【答案】A【解析】令()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数；()ln 3(33)2sin x x g x x -'=-+，当(0,)x π∈时，()0g x '>，()g x 在(0,)π上是增函数，将()g x 图像向右平移一个单位得到()f x 图像，所以()f x 关于直线1x =对称，且在(1,1)π+单调递增．∵23log 94<<，0.50.5-=()3312log 2log 22,32-=+∈，∴0.52314log 92log 0.512->>->>，∴()()0.5231log 92log 0.52f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝⎭，又∵()f x 关于直线1x =对称，∴3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭．故选：A核心考点五：利用中心对称解决函数问题【典型例题】例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 的图象关于点()1,0对称，当[]0,1x ∈时，()22x f x =-，则()()()()0122022f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】C【解析】()f x 图象关于点()1,0对称，()()2f x f x ∴=--，又()f x 为R 上的偶函数，()()f x f x ∴=-，()()()22f x f x f x ∴=--=--，()()()()42f x f x f x f x ∴+=-+=--=⎡⎤⎣⎦，()f x \是周期为4的周期函数，()()()311220f f f ∴=-==-=，又()01f =，()()201f f =-=-，()()()()()()()()()012202250501232020f f f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=+++++⎡⎤⎣⎦()()()()()()2021202250510100121010f f f f f +=⨯+-++++=+-=．故选：C ．例17．（2021春·安徽六安·高三校考阶段练习）已知函数()()()33sin cos tan 1221sin 2sin x x x f x x xππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++-+，函数()1y g x =-为奇函数，若函数()y f x =与()y g x =图象共有6个交点为()11,x y 、()22,x y 、L 、()66,x y ，则()61i i i x y =+=∑（）A ．0B ．6C ．12D ．24【答案】B【解析】因为()()()cos sin tan 111sin 1sin sin sin x x x f x x xx x-⋅-=++=++，函数()f x 的定义域为,Z 2k x x k π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，()()()11sin 1sin 1sin sin f x x x x x-=-++=--+-，所以，()()2f x f x +-=，故函数()f x 的图象关于点()0,1对称，因为函数()1y g x =-为奇函数，则()()110g x g x --+-=，即()()2g x g x +-=，故函数()g x 的图象也关于点()0,1对称，函数()y f x =与()y g x =图象共有6个交点为()11,x y 、()22,x y 、L 、()66,x y ，且这六个点也关于点()0,1对称，所以，()610236i i i x y =+=+⨯=∑．故选：B ．例18．（2021春·贵州黔东南·高一凯里一中校考期中）已知函数()1f x -是奇函数，若函数11y x=+与()y f x =图象的交点分别为()11,x y ，()22,x y ，…，()66,x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（）A ．12B ．10C ．8D ．6【答案】D【解析】由题可得()f x 关于点(0,1)对称，11y x=+的图象也关于点(0,1)对称，即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y --也为交点，同理若()22,x y 为交点，则点()22,2x y --也为交点，……则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()112266x y x y x y ++++⋅⋅⋅++=()()()111122122x y x y x y ⎡++-+-++⎣()()()226666226x y x y x y ⎤+-+-+⋯+++-+-=⎦，故选：D ．例19．（2022春·湖北恩施·高一恩施市第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ，L ，2023x ，且122023x x x m +++= ，则不等式23(2)1x m x m -+-≤的解集为（）A ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]0,3C ．(),0∞-D ．∅【答案】A【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，且函数()f x 的图象与x 轴交点关于原点对称，不妨设1232023x x x x <<<< ，则()202401,2,32023i i x x i -+== ，所以1220230m x x x =+++= ，则不等式23(2)1x m x m -+-≤，即为23210x x --≤，解得113x -≤≤，所以不等式23(2)1x m x m -+-≤的解集为1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：A ．例20．（2021春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数())()3sin lnf x x x x x R =++∈，函数()g x 满足()()()20g x g x x R +-=∈，若函数()()()1h x f x g x =--恰有2021个零点，则所有这些零点之和为（）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【答案】D【解析】函数()g x 满足()(2)0g x g x +-=，则函数()g x 的图象关于点(1,0)对称，且g （1）0=，函数())3sin lnf x x x x =+++，则))33()()sin()lnsin ln ()f x x x x x x x f x ⎡⎤-=-+-+=-+=-⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 为奇函数，其图象关于点(0,0)对称，又函数(1)=-y f x 是由函数()y f x =向右平移一个单位得到的函数，故函数(1)=-y f x 的图象关于点(1,0)对称，令()(1)()0h x f x g x =--=，则(1)()f x g x -=，因为函数()g x 与(1)f x -的图象都关于点(1,0)对称，所以两个函数图象的交点也关于点(1,0)对称，因为函数()(1)()h x f x g x =--恰有2021个零点，所以2021个零点除1x =之外的个零点关于(1,0)对称，则所有这些零点之和为20202120212⨯+=．故选：D ．核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题【典型例题】例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，()22f x +为偶函数，()1f x +为奇函数，且当[]0,1x ∈时，()f x ax b =+．若()41f =，则3112i f i =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑（）A ．12B ．0C ．12-D ．1-【答案】C【解析】因为()22f x +为偶函数，所以()()2222f x f x -+=+，用1122x +代替x 得：()()13f x f x -+=+，因为()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，故()()31f x f x +=-+①，用2x +代替x 得：()()53f x f x +=-+②，由①②得：()()51f x f x +=+，所以函数()f x 的周期4T =，所以()()401f f ==，即1b =，因为()()11f x f x -+=-+，令0x =得：()()11f f =-，故()10f =，()10f a b =+=，解得：1a =-，所以[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，因为()()11f x f x -+=-+，令12x =，得2123f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1111222f ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，所以3122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()()2222f x f x -+=+，令14x =得：12214422f f ⎛⎫⎛⎫-⨯+=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即235212f f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为4T =，所以7714222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()()11f x f x -+=-+，令32x =得：151222f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2721f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，311111122235722222i f i f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=--+=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑．故选：C例22．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x -为偶函数，()()20f x f x -+-=，当[]2,1x ∈--时，()14xf x ax a =--（0a >且1a ≠），且()24f -=．则()131k f k ==∑（）A ．16B ．20C ．24D ．28【答案】C【解析】因为()2f x -是偶函数，所以()2(2)f x f x --=-，所以()(4)f x f x =--，所以函数()f x 关于直线2x =-对称，又因为()()20f x f x -+-=，所以()()2f x f x --=-，所以()(2)f x f x =---，所以()f x 关于点(1,0)-中心对称，由()(4)f x f x =--及()(2)f x f x =---得(4)(2)f x f x --=---所以(4)(2)()f x f x f x --=---=-所以函数()f x 的周期为4，因为当[]2,1x ∈--时，()14x f x ax a=--（0a >且1a ≠），且()24f -=，所以21424a a -=+-，解得：2a =或4a =-，因为0a >且1a ≠，所以2a =．所以当[]2,1x ∈--时，()1()242xf x x =--，所以(2)4,(1)0f f -=-=，(3)(1)0f f -=-=，(0)(2)4f f =--=-，(1)(14)(3)0f f f =-=-=，(2)(2)4f f =-=，(3)(1)0f f =-=，(4)(0)4f f ==-，所以(1)(2)(3)(4)8f f f f +++=，所以()131(1)+3824k f k f ==⨯=∑，故选：C ．例23．（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，且当01x ≤≤时，()21f x x =-．若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有三个公共点，那么实数a 的取值的集合为（）A ．51,4k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）B ．521,24k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）C ．52,214k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（Z k ∈）D ．5,14k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（Z k ∈）【答案】B【解析】定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，所以()f x 的图像关于1x =对称，且()f x 为周期是2的偶函数，当11x -≤≤时，()21f x x =-，所以画出函数图像如下图所示：①当1a =±时，结合图像可知y x a =+与()21f x x =-（[)1,1x ∈-）有两个公共点；②当y x a =+与()21f x x =-（[)1,1x ∈-）相切时，满足21x a x +=-，即210x x a ++-=，令()1410a ∆=--=，解得54a =．当54a =时，结合图像可知y x a =+与()y f x =（x R ∈）有两个公共点；由图像可知，51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y x a =+与()y f x =（x R ∈）有三个公共点；又因为()f x 周期2T =，可知521,24a k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）．故选：B ．例24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（）A ．()4,+∞B ．()6,+∞C ．()1,4D ．()4,6【答案】D【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数，又函数()log 1a g x x =+的图象可由函数log a y x =的图象向左平移一个单位可得，所以函数()log 1a g x x =+的图象的对称轴为=1x -，当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，所以函数()f x 的图象也关于=1x -对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在=1x -右侧的图象，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则由函数图象的对称性可得两图象在=1x -右侧有5个交点，则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈．故选：D ．例25．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，x ∀∈R ，恒有(4)()f x f x +=-，且当[2,0)x ∈-时，()f x x =--1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)f f f f f +++++= （）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】B【解析】因为(4)(),(8)(4)()f x f x f x f x f x +=-+=-+=，所以()f x 的最小正周期是8，因为(0)0,(2)(2)1,(3)(1)0f f f f f ==--=-=--=，(4)(0)0,(1)(3)f f f f =-==--=(3)0f =，(5)(1)0f f =-=，(6)(2)1f f =-=，(7)(3)0,(8)(4)0f f f f =-==-=，又()f x 是周期为8的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++++++==(2008)(2009)(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)0f f f f f f f f +++++++=，(2016)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(0)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f f f f f +++++=+++++00(1)0001=++-+++=-，所以(0)(1)(2)(2020)(2021)1f f f f f +++++=- ．故选：B例26．（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，且当01x ≤≤时，()21f x x =-．若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有三个公共点，那么实数a 的取值的集合为（）A ．51,4k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）B ．521,24k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）C ．52,214k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（Z k ∈）D ．5,14k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（Z k ∈）【答案】B【解析】定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，所以()f x 的图像关于1x =对称，且()f x 为周期是2的偶函数，当11x -≤≤时，()21f x x =-，所以画出函数图像如下图所示：①当1a =±时，结合图像可知y x a =+与()21f x x =-（[)1,1x ∈-）有两个公共点；②当y x a =+与()21f x x =-（[)1,1x ∈-）相切时，满足21x a x +=-，即210x x a ++-=，令()1410a ∆=--=，解得54a =当54a =时，结合图像可知y x a =+与()y f x =（x R ∈）有两个公共点；由图像可知，51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y x a =+与()y f x =（x R ∈）有三个公共点；又因为()f x 周期2T =，可知521,24a k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）．故选：B ．例27．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（）A ．()4,+∞B ．()6,+∞C ．()1,4D ．()4,6【答案】D【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数，又函数()log 1a g x x =+的图象可由函数log a y x =的图象向左平移一个单位可得，所以函数()log 1a g x x =+的图象的对称轴为=1x -，当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，所以函数()f x 的图象也关于=1x -对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在=1x -右侧的图象，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则由函数图象的对称性可得两图象在=1x -右侧有5个交点，则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈．故选：D ．例28．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，x ∀∈R ，恒有(4)()f x f x +=-，且当[2,0)x ∈-时，()f x x =--1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)f f f f f +++++= （）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】B【解析】因为(4)(),(8)(4)()f x f x f x f x f x +=-+=-+=，所以()f x 的最小正周期是8，因为(0)0,(2)(2)1,(3)(1)0f f f f f ==--=-=--=，(4)(0)0,(1)(3)f f f f =-==--=(3)0f =，(5)(1)0f f =-=，(6)(2)1f f =-=，(7)(3)0,(8)(4)0f f f f =-==-=，又()f x 是周期为8的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++++++==(2008)(2009)(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)0f f f f f f f f +++++++=，(2016)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(0)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f f f f f +++++=+++++00(1)0001=++-+++=-，所以(0)(1)(2)(2020)(2021)1f f f f f +++++=- ．故选：B核心考点七：类周期函数【典型例题】例29．（2022·天津一中高三月考）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[]2,3B ．[]1,3C ．[]1,4D ．[]2,4【答案】B 【解析】因为当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，所以()2min 142m f x m ≥-+，当[)[)4,2,40,2x x ∈--+∈时，()()()112424f x f x f x =+=+()()[)[)2342144,40,1411,41,242x x x x x +-⎧⎡⎤+-++∈⎪⎣⎦⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩当[)40,1x +∈时，()()()211114444416f x x x ⎡⎤=+-+≥-⨯=-⎣⎦，当[)41,2x +∈时，()342111424x f x +-⎛⎫=-≥-⎪⎝⎭，因此当[)4,2x ∈--时，()2min 1113442m f x m m =-≥-+∴≤≤，选B ．例30．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()18≥-f x t t恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ．(](],10,3-∞- B．((,-∞ C ．[)[)1,03,-+∞ D．))⎡+∞⎣ 【答案】C 【解析】因为[]4,2x ∈--，所以[]40,2x +∈，因为[]0,2x ∈时，()22f x x x =-，所以()()()22442468f x x x x x +=+-+=++，因为函数()f x 满足()() 23f x f x +=，所以()()()4329f x f x f x +=+=，所以()()()21146899f x f x x x =+=++，[]4,2x ∈--，又因为[]4,2x ∈--，()13t 18f x t ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭恒成立，故()131t 189minf x t ⎛⎫-≤=- ⎪⎝⎭，解不等式可得t 3≥或1t 0-≤<．例31．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)2213,0,1{ln ,1,2x x x f x x x x -+∈=∈，若当[)4,2x ∈--时，函数()22f x t t ≥+恒成立，则实数t 的取值范围为A ．30t -≤≤B ．31t -≤≤C ．20t -≤≤D ．01t ≤≤【答案】C 【解析】当[)0,2x ∈时，()min 0f x =，又()()22f x f x +=，因此当[)4,2x ∈--时，函数()min 0f x =，从而20220t t t ≥+⇒-≤≤，选C ．核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性【典型例题】例32．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立．有以下结论：①()00f =；②()f x 是R 上的偶函数；③若()22f =，则()11f =；④当0x >时，恒有()0f x <，则函数()f x 在R 上单调递增．则上述所有正确结论的编号是________【答案】①③【解析】对于①令0x y ==，则()()()0000f f f +=+，解得()00f =，①正确；对于②令y x =-，则()()()00f f x f x =+-=，∴()()f x f x -=-，∴()f x 是R 上的奇函数，②错误；对于③令1x y ==，则()()()()211212f f f f =+==，∴()11f =，③正确；对于④设12x x >，则120x x ->，∴()()()12120f x x f x f x -=+-<，则()()()122f x f x f x <--=，∴()f x 在R 上单调递减，④错误．故答案为：①③．例33．（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤--<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（）A ．()3,1-B ．()()3,11,1---C ．()(),11,1-∞--D ．()(),31,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】由()()121221()[0f x f x x x x x --<，得()()11221212()[0x f x x f x x x x x --<，因为121200x x x x ->>，，所以()()11220x f x x f x -<，即()()1122x f x x f x <，设()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递减，而()()()()()1114222g x x f x f g +=++>==，则012x <+<，解得：11x -<；因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x -=--==，则()g x 为R 上的偶函数，故()g x 在(,0)-∞上单调递增，()()()()11142g x x f x g +=++>=-，则210x -<+<，解得：31x -<<-；综上，原不等式的解集为(),111)3(,--- ．故选：B ．例34．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =-，12b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c<<C ．b c a<<D ．c a b<<【答案】C 【解析】。

2013届高考数学(浙江专用)冲刺必备：第二部分专题五第二讲冲刺直击高考含答案

限时:50分钟满分:78分一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分）1．（2012·温州质检）已知双曲线错误!－错误!＝1(a>0，b〉0）的右焦点为F,若过F点且斜率为错误!的直线与双曲线的渐近线平行，则此双曲线的离心率为( )A。

错误!B。

错误!C．2 D．2错误!解析：选A 由题知，双曲线的一条渐近线的斜率为错误!，即错误!＝错误!，所以e＝错误!＝错误!＝错误!。

2．已知椭圆错误!＋错误!＝1(a>b〉0)的两顶点为A（a，0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为( ）A.错误!B.错误!C。

错误!D。

错误!解析:选B 由题意得a2＋b2＋a2＝(a＋c）2,即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝错误!，又因为e>0，故所求的椭圆的离心率为错误!。

3．（2012·沈阳模拟）已知椭圆错误!＋y2＝1的两焦点为F1、F 2，点M 在椭圆上，1MF ·2MF ＝0，则M 到y 轴的距离为（ ) A.错误! B 。

错误!C.错误!D.错误!解析：选B 由条件知，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝3,即y 2＝3－x 2，代入椭圆方程得错误!＋3－x 2＝1，解得x 2＝83，则｜x |＝错误!，此即点M 到y 轴的距离． 4．已知抛物线y 2＝2px (p 〉0)上一点M (1，m )(m >0）到其焦点的距离为5，双曲线错误!－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于( )A 。

错误!B 。

错误!C.错误! D 。

错误!解析：选A ∵点M （1,m ）在抛物线上，∴m 2＝2p ，而M 到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义点M 到准线x ＝－错误!的距离也为5，∴1＋错误!＝5,∴p ＝8，由此可以求得m ＝4，双曲线的左顶点为A （－错误!，0)，∴k AM ＝错误!，而双曲线的渐近线方程为y ＝±错误!，根据题意，错误!＝错误!,∴a ＝错误!。

(新课标)山东省2013高考数学二轮复习

（新课标）山东省2013高考数学二轮复习（研热点聚焦突破+析典型预测高考+巧演练素能提升）第一部分专题一客观题专题攻略 1-1-3第三讲不等式、线性规划、计数原理与二项式定理理一、选择题1．(2012年高考福建卷)下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2＋14)>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg(x 2＋14)≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．答案：C2．(2012年高考广东卷)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1解析：利用线性规划求最值．可行域如图中阴影部分所示．先画出直线l 0：y ＝－3x ，平移直线l 0，当直线过A 点时z ＝3x ＋y 的值最大，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.∴A 点坐标为(3，2)．∴z max ＝3×3＋2＝11.答案：B3．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2 B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D.ab <a <a ＋b2<b解析：代入a ＝1，b ＝2，则有0<a ＝1<ab ＝2<a ＋b2＝1.5<b ＝2，我们知道算术平均数a ＋b2与几何平均数ab 的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可．答案：B4．(2012年高考辽宁卷)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!解析：把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．答案：C5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1， x ≥1，x 2－2x －2，x <1，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞) 解析：∵f (x 0)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥12x 0＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0<1，x 20－2x 0－2>1，解得x 0∈(－∞，－1)∪[1，＋∞)．答案：B6．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤22x ＋y －2≥0，那么x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，4]B ．[1，5]C ．[45，4]D ．[45，5]解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤22x ＋y －2≥0所表示的平面区域，如图中的阴影部分所示，显然，原点O 到直线2x ＋y －2＝0的最短距离为|－2|22＋12＝25，此时可得(x 2＋y 2)min ＝45；点(1，2)到原点O 的距离最大，为12＋22＝5，此时可得(x 2＋y 2)max ＝5.故选D.答案：D7．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5解析：依题意得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ×4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2b a ＝4a b a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92.答案：C8．(2012年高考福建卷)若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：利用线性规划作出可行域，再分析求解．在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.答案：B 二、填空题9．如果(3x 2－2x3)n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为________．解析：由T r ＋1＝C r n (3x 2)n －r·(－2x3)r＝C rn ·3n －r·(－2)r ·x2n －5r，∴2n －5r ＝0，∴n ＝5r2(r ＝0，1，2，…n )，故当r ＝2时，n min ＝5. 答案：510．某实验室至少需要某种化学药品10 kg ，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋3 kg ，价格为12元；另一种是每袋2 kg ，价格为10元．但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为________元．解析：设购买每袋3 kg 的药品袋数为x ，购买每袋2 kg 的药品袋数为y ，花费为z 元，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≥100≤x ≤50≤y ≤5x ∈Z，y ∈Z，作出不等式组表示的平面区域，结合图形可知，当目标函数z＝12x＋10y对应的直线过整数点(2，2)时，目标函数z＝12x＋10y取得最小值12×2＋10×2＝44，故在满足需要的条件下，花费最少为44元．答案：4411．(2012年唐山模拟)在具有5个行政区域的地图(如图)上，给这5个区域着色共使用了4种不同的颜色，相邻区域不使用同一颜色，则有________种不同的着色方法．解析：已知一共使用了4种不同的颜色，因为有5块区域，故必有2块区域的颜色相同．分成两类情况进行讨论：若1，5块区域颜色相同，则有C14C13C12＝24种不同的着色方法；若2，4块区域颜色相同，同理也有24种不同的着色方法．故共有48种不同的着色方法．答案：48。

2013届高考数学(浙江专用)冲刺必备：第二部分专题四第二讲冲刺直击高考含答案

限时：60分钟满分：90分1．(满分15分）如图,四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，且PA＝AD＝1,AB＝2，∠PAB＝120°，∠PBC＝90°。

(1）求证：平面PAD⊥平面PAB；（2)求三棱锥D－PAC的体积;（3)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．解：(1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB且AD∥BC，∵BC⊥PB，∴DA⊥PB,且AB∩PB＝B，∴DA⊥平面PAB，又∵DA⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.（2）由（1）知DA⊥平面PAB，且AD∥BC，∴BC⊥平面PAB.∴V D－PAC＝V P－DAC＝V P－ABC＝V C－PAB＝错误!S△PAB·BC＝错误!·错误!PA·AB·sin∠PAB·BC＝错误!×1×2×错误!×1＝错误!.（3）由(1)知DA⊥平面PAB，∵AD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAB.在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则PE⊥平面ABCD ，连接EC ,则∠PCE 为直线PC 与平面ABCD 所成的角，在Rt △PEA 中，∵∠PAE ＝60°，PA ＝1，∴PE ＝错误!，在△PAB 中，∵PB 2＝PA 2＋AB 2－2PA ·AB cos 120°＝7，∴PC ＝错误!＝2错误!。

在Rt △PEC 中，sin θ＝错误!＝错误!＝错误!。

即直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值为错误!.2．（满分15分）在直角梯形A 1A 2A 3D 中,A 1D ＝10，A 2A 3＝16，A 1A 2＝8，A 1A 2⊥A 1D ，A 1A 2⊥A 2A 3，且B ，C 分别是边A 1A 2,A 2A 3上的一点，沿线段BC ,CD ，DB 分别将△BCA 2,△CDA 3，△DBA 1翻折上去恰好使A 1，A 2,A 3重合于一点A .(1)求证：AB ⊥CD ;（2)求AC 与平面BCD 所成角的正弦值．解：（1）证明:由题意∠BAC ＝∠BAD ＝π2，故BA ⊥平面ACD ,所以AB ⊥CD .(2）由题意得，A1D＝A3D＝10A1B＝A2B＝4A2C＝A3C＝8作点A在平面BCD内的射影点O,由V A－BCD＝V B－ACD得，S△BCD·AO＝S△ACD·AB又S△ACD＝错误!×8×8＝32，S△BCD＝错误!(8＋10)×8－错误!×4×10－错误!×8×4＝36,所以AO＝错误!＝错误!设AC与平面BCD所成角为α，则sin α＝错误!＝错误!＝错误!.3．（满分15分)如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AA1⊥底面ABCD，AB＝2,AA1＝BC＝4,∠ABC＝60°，点E为BC中点，点F为B1C1中点．（1）求证：平面A1ED⊥平面A1AEF；（2）设二面角A1－ED－A的大小为α,直线AD与平面A1ED 所成的角为β,求sin（α＋β）的值．解：(1)证明：∵AB＝BE＝2且∠ABC＝60°，∴∠AEB＝60°.∵CE＝CD＝2且∠BCD＝120°，∴∠CED＝30°，∴∠AED＝90°,∴AE⊥ED.∵AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥ED，∴ED⊥面A1AEF,∴平面A1ED⊥平面A1AEF.（2)∵ED⊥面A1AEF,∴A1E⊥ED，AE⊥ED,∴∠A1EA为二面角A1－ED－A的平面角，即∠A1EA＝α.sin α＝错误!＝错误!，cos α＝错误!。

2013全国各地高考理科数学试题及详解汇编(二).pptx

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1
11
中点．
（Ⅰ）在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l
平面 ADD1A1；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交 AB 于点 M ，交 AC 于点 N ，求二面角 A A1M N 的余弦值
．
C
D
AP
B
C1
D1
A1
B1
20．(本小题满分 13 分)
D． 2
4．（5分）高三某班团支部换届进行差额选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、组织委员和宣传委员，并且要求乙是上届组织委员不能连任原职，则
换届后不同的任职结果有（）
A．16 种
B．18 种
C．20 种
D．22 种
5．（5分）若在区域
为（）
A．
B．
内任取一点 P，则点 P 恰好在单位圆x2+y2=1 内的概率
C．
D．
6．（5分）设直线 l 的方程为：x+ysinθ﹣2013=0（θ∈R），则直线 l 的倾斜角 α 的范围是（）
A． [0，π）
B．
C．
D．
7．（5 分）下列命题正确的有 ①用相关指数R2 来刻画回归效果越小，说明模型的拟合效果越好； ②命题 p：“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定¬p：“∀x∈R，x ﹣2 x﹣1≤0”；
①若 A, B,C 三个点共线， C 在线段上，则 C 是 A, B,C 的中位点；
②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点 A, B,C, D 共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．

2013高中数学精讲精练(新人教A版)第08章__直线和圆的方程

2013高中数学精讲精练第八章直线和圆的方程【知识图解】【方法点拨】1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题．2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题.3．熟练运用待定系数法求圆的方程．4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质．5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想．6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识．第1课直线的方程【考点导读】理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程．高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考. 【基础练习】1. 直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角范围是50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭2. 过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是10320-+=-=或x y x y3.直线l 经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为42=-=-+或y x y x4.无论k 取任何实数，直线()()()14232140k x k y k +--+-=必经过一定点P ，则P 的坐标为（2，2）【范例导析】例1.已知两点A （－1，2）、B （m ，3）（1）求直线AB 的斜率k ；（2）求直线AB 的方程；（3）已知实数m 1⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况.解:（1）当m =－1时，直线AB 的斜率不存在．当m ≠－1时，11k m =+，（2）当m =－1时，AB ：x =－1，当m ≠1时，AB ：()1211y x m -=++. （3）①当m =－1时，2πα=；②当m ≠－1时，∵(1,1k m ⎫=∈-∞⋃+∞⎪⎪+⎣⎭∴2,,6223ππππα⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦故综合①、②得，直线AB 的倾斜角2,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦例2.直线l 过点P(2,1),且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B 、O 为坐标原点. (1)当△AOB 的面积最小时,求直线l 的方程; (2)当|PA|²|PB|取最小值时,求直线l 的方程.分析：引进合适的变量,建立相应的目标函数,通过寻找函数最值的取得条件来求l 的方程.解（1）设直线l 的方程为y -1=k (x -2),则点A(2-1k ,0),B(0,1-2k ),且2-1k>0, 1-2k >0,即k <0. △AOB 的面积S=12(1-2k )(2-1k )=12[(-4k )+1k -+4]≥4,当-4k =1k -,即k =12-时, △AOB 的面积有最小值4,则所求直线方程是x +2y -4=0.(2)解法一:由题设,可令直线方程l 为y -1=k (x -2). 分别令y =0和x =0,得A(2-1k,0),B(0,1-2k ), ∴|PA|²4=,当且仅当k 2=1,即k =±1时, |PA|²|PB|取得最小值4.又k <0, ∴k =-1,这是直线l 的方程是x +y -3=0. 解法二:如下图,设∠BAO=θ,由题意得θ∈(0,2π),且|PA|²|PB|=||||44sin cos sin 2PE PF θθθ⋅=≥ 当且仅当θ=4π时, |PA|²|PB|取得最小值4,此时直线l 的斜率为-1, 直线l 的方程是x +y -3=0.点评 ①求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量.②在研究最值问题时，可以从几何图形开始，找到取最值时的情形，也可以从代数角度出发，构建目标函数，利用函数的单调性或基本不等式等知识来求最值.例3.直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段中点为P （－1，2）.求直线l 的方程.分析本题关键是如何使用好中点坐标，对问题进行适当转化.解：解法一设直线l 交l 1于A （a ，b ），则点（－2－a ，4－b ）必在l 2，所以有4303(2)5(4)50a b a b ++=⎧⎨-----=⎩，解得25a b =-⎧⎨=⎩ 直线l 过A(-2,5),P(-1,2),它的方程是3x ＋y ＋1＝0.解法二由已知可设直线l 与l 1的交点为A （－1＋m ，2＋n ），则直线l 与l 2的交点为B （－1－m ，2－n ），例2图且l 的斜率k ＝nm ，∵A,B 两点分别l 1和l 2上，∴4(1)(2)303(1)5(2)50m n m n -++++=⎧⎨-----=⎩，消去常数项得－3m ＝n ，所以k ＝－3，从而直线l 的方程为3x ＋y ＋1＝0.解法三设l 1、l 2与l 的交点分别为A,B ，则l 1关于点P （－1，2）对称的直线m 过点B ，利用对称关系可求得m 的方程为4x ＋y ＋1＝0，因为直线l 过点B ，故直线l 的方程可设为3x －5y －5＋λ（4x ＋y ＋1）＝0.由于直线l 点P （－1，2），所以可求得λ＝－18，从而l 的方程为3x －5y －5－18（4x ＋y ＋1）＝0，即3x ＋y ＋1＝0.点评本题主要复习有关线段中点的几种解法，本题也可以先设直线方程，然后求交点，再根据中点坐标求出直线l 的斜率，但这种解法思路清晰，计算量大，解法一和解法二灵活运用中点坐标公式，使计算简化，对解法二还可以用来求已知中点坐标的圆锥曲线的弦所在直线方程，解法三是利用直线系方程求解，对学生的思维层次要求较高。

(新课标)山东省高考数学二轮复习 (研热点聚焦突破+析典型预测高考+巧演练素能提升) 第一部分

（新课标）山东省2013高考数学二轮复习（研热点聚焦突破+析典型预测高考+巧演练素能提升）第一部分专题七解析几何1-7-3第三讲圆锥曲线的综合问题理一、选择题1．已知椭圆x 225＋y 216＝1的焦点是F 1、F 2，如果椭圆上一点P 满足PF 1⊥PF 2，则下面结论正确的是( )A ．P 点有两个B ．P 点有四个C ．P 点不一定存在D ．P 点一定不存在解析：设椭圆的基本量为a ，b ，c ，则a ＝5，b ＝4，c ＝3.以F 1F 2为直径构造圆，可知圆的半径r ＝c ＝3<4＝b ，即圆与椭圆不可能有交点，所以椭圆上一定不存在点P 满足PF 1⊥PF 2.故选D.答案：D2．在抛物线C ：y ＝2x 2上有一点P ，若它到点A (1，3)的距离与它到抛物线C 的焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2，1)B ．(1，2)C ．(2，1)D ．(－1，2)解析：由题知点A 在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P ，使得该点到点A 与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P 是直线x ＝1与抛物线的交点，故所求P 点的坐标是(1，2)．答案：B3．对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a ，0)满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，2] C ．[0，2]D ．(0，2)解析：设点Q 的坐标为(y 204，y 0)，由|PQ |≥|a |，得y 2＋(y 204－a )2≥a 2，整理得y 20(y 20＋16－8a )≥0，∵y 20≥0，∴y 20＋16－8a ≥0，即a ≤2＋y 208恒成立．而2＋y 208的最小值为2，所以a ≤2.选B.答案：B4．(2012年临沂质检)已知P 是双曲线x 29－y 216＝1右支上的一点，M ，N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：由题知双曲线的两个焦点分别是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M ，F 1三点共线以及P ，N ，F 2三点共线时所求的值最大，此时|PM |－|PN |＝(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝9.答案：D5．(2012年海淀模拟)点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线解析：如图1，令定点A 为定圆的圆心，动点M 为定圆半径AP 的中点，故|AM |＝|MP |，此时M 的轨迹为一个圆，圆心为A ，半径为AM ，故A 可能．如图2，以F 1为定圆的圆心，F 1P 为其半径，在F 1P 上截|MP |＝|MA |，∵|PF 1|＝r ，∴|MF 1|＋|PM |＝|MF 1|＋|MA |＝r >|F 1A |，由椭圆的定义可知，M 的轨迹是以F 1、A 为焦点的椭圆，故B 可能．如图3，以F 1为定圆的圆心，F 1P 为其半径，延长F 1P 到点M ，使得|MP |＝|MA |，则有|MF 1|－|PM |＝r ，∴|MF 1|－|MA |＝r <|FA |，由双曲线的定义可知，M 的轨迹是以F 1、A 为焦点的双曲线的右支，故C 可能．如图4，定点A 在定圆F 上，则满足题意的点M 的轨迹是以F 为端点的一条射线，故D 不可能．答案：D 二、填空题6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点O ，则k 1·k 2的值为________．解析：设点M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，k 1＝y 0－y 1x 0－x 1，k 2＝y 0＋y 1x 0＋x 1，即k 1·k 2＝y 20－y 21x 20－x 21. 又x 20a 2－y 20b 2＝1，x 21a 2－y 21b 2＝1，所以x 20－x 21a 2－y 20－y 21b 2＝0，即y 20－y 21x 20－x 21＝b 2a 2，所以k 1·k 2＝b 2a2. 又离心率为e ＝2，所以k 1·k 2＝c 2－a 2a2＝e 2－1＝3.故填3. 答案：37．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1、F 2，点P (x 0，y 0)满足x 202＋y 20≤1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为________．解析：当P 在原点处时，|PF 1|＋|PF 2|取得最小值2；当P 在椭圆上时，|PF 1|＋|PF 2|取得最大值22，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为[2，22]．答案：[2，22]8．(2012年济南模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)及定点A (a ，b )，B (－a ，0)，ab ≠0，b 2≠2pa ，M 是抛物线上的点．设直线AM 、BM 与抛物线的另一个交点分别为M 1、M 2，当M 变动时，直线M 1M 2恒过一个定点，此定点坐标为________．解析：设M (y 202p ，y 0)，M 1(y 21，2p ，y 1)，M 2(y 22，2p ，y 2)由点A ，M ，M 1共线可知y 0－b y 202p －a ＝y 1－y 0y 212p －y 202p，得y 1＝by 0－2pay 0－b，同理由点B ，M ，M 2共线得y 2＝2pay 0. 设(x ，y )是直线M 1M 2上的点，则y 2－y 1y 222p －y 212p ＝y 2－yy 222p－x ，即y 1y 2＝y (y 1＋y 2)－2px ，又y 1＝by 0－2pa y 0－b ，y 2＝2pay 0，则(2px －by )y 20＋2pb (a －x )y 0＋2pa (by －2pa )＝0.当x ＝a ，y ＝2pa b时上式恒成立，即定点为(a ，2pab)．答案：(a ，2pab)三、解答题9．已知平面内的动点P 到定点F (1，0)和定直线x ＝2的距离之比为常数22. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与轨迹C 交于M ，N 两点，直线FM 与FN 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π.证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解析：(1)设P (x ，y )，则（x －1）2＋y 2|x －2|＝22，化简得x 2＋2y 2＝2，即x 22＋y 2＝1.(2)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1，且k FM ＝kx 1＋m x 1－1，k FN ＝kx 2＋mx 2－1.由已知α＋β＝π，可得k FM ＋k FN ＝0，即kx 1＋m x 1－1＋kx 2＋m x 2－1＝0. 化简，得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0，所以2k ·2m 2－22k 2＋1－4km （m －k ）2k 2＋1－2m ＝0，整理，得m ＝－2k ，所以直线l 的方程为y ＝k (x －2)，因此直线l 过定点，该定点的坐标为(2，0)．10．(2012年长春模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B两点．(1)当椭圆的半焦距c ＝1，且a 2、b 2、c 2成等差数列时，求椭圆的方程； (2)在(1)的条件下，求弦AB 的长； (3)当椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点O 时，求椭圆长轴长的取值范围．解析：(1)由已知得2b 2＝a 2＋c 2＝b 2＋2c 2，又∵c ＝1，∴b 2＝2，a 2＝3， ∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x 23＋y 22＝1得5x 2－6x －3＝0，∴x 1＋x 2＝65，x 1·x 2＝－35.∴|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1·x 2＝835. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x 2a 2＋y 2b2＝1得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0，由Δ＝4a 2b 2(a 2＋b 2－1)>0，得a 2＋b 2>1. 此时x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1·x 2＝a 2（1－b 2）a 2＋b 2. ∵以线段AB 为直径的圆经过坐标原点O ， ∴OA →·OB →＝0，∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0， ∴2x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，即a 2＋b 2－2a 2b 2＝0，故b 2＝a 22a 2－1，由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2，得b 2＝a 2－a 2e 2，∴2a 2＝1＋11－e2. 由33≤e ≤22得54≤a 2≤32，∴5≤2a ≤ 6. 11．(2012年安庆模拟)已知直线l ：x ＋y ＋8＝0，圆O ：x 2＋y 2＝36(O 是坐标原点)，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝32，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的长轴长相等．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(3，0)作直线l ，与椭圆C 交于A ，B 两点，设OS →＝OA →＋OB →(O 是坐标原点)，是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线长相等？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由．解析：(1)∵圆心O 到直线l ：x ＋y ＋8＝0的距离为d ＝82＝42，直线l 被圆O 截得的弦长2a ＝2R 2－d 2＝4， ∴a ＝2，又c a ＝32，a 2－b 2＝c 2，解得b ＝1，c ＝3， ∴椭圆C 的方程为：x 24＋y 2＝1.(2)∵OS →＝OA →＋OB →，∴四边形OASB 是平行四边形．假设存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线长相等，则四边形OASB 为矩形，因此有OA →⊥OB →，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝0.直线l 的斜率显然存在，设过点(3，0)的直线l 的方程为：y ＝k (x －3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3）x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，由Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)>0，可得－5k 2＋1>0，即k 2<15.x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2(x 1－3)(x 2－3)＝(1＋k 2)x 1x 2－3k 2(x 1＋x 2)＋9k 2＝(1＋k 2)36k 2－41＋4k 2－3k 224k 21＋4k2＋9k 2，由x 1x 2＋y 1y 2＝0得：k 2＝441，∴k ＝±24141，满足Δ>0.即直线l 的方程为y ＝±24141(x－3)．。

2013年全国高考理科数学试题专项突破(共18部分)

2013年全国高考理科数学试题分类汇编1：集合一、选择题1 （重庆数学（理）试题）已知全集{}1,2,3,4U=,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则()=U AB ð( ) A.{}134，， B.{}34， C. {}3 D. {}4*D2 （普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则A.()01，B.(]02，C.()1,2D.(]12， *D 3 （天津数学（理）试题）已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞(B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1]*D4 （福建数学（理）试题）设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( )A.*,A N B N ==B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或C.{|01},A x x B R =<<=D.,A Z B Q ==*D5 （高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ⋃=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞(B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞(D) [2,)+∞*B.6 （山东数学（理）试题（含答案））已知集合A ={0,1,2},则集合B={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是(A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9*C7 （高考陕西卷（理））设全集为R , 函数()f x M , 则C M R 为(A) [-1,1](B)(-1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞- (D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-*D8 （大纲版数学（理））设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为(A)3 (B)4 (C)5 (D)6*B9 （高考四川卷（理））设集合{|20}A x x =+=,集合2{|40}B x x=-=,则A B =( )(A){2}- (B){2} (C){2,2}- (D)∅*A10（高考新课标1（理））已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<,则 ( )A.A ∩B=∅B.A ∪B=RC.B ⊆AD.A ⊆B *B.11（高考湖北卷（理））已知全集为R ,集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,{}2|680B x x x =-+≤,则R A C B =( )A.{}|0x x ≤ B.{}|24x x ≤≤C. {}|024x x x ≤<>或D.{}|024x x x <≤≥或*C12（新课标Ⅱ卷数学（理））已知集合{}{}2|(1)4,,1,0,1,2,3M x x x R N =-<∈=-,则=N M(A){}2,1,0 (B){}2,1,0,1- (C){}3,2,0,1- (D){}3,2,1,0*A13（广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N =( )A .{}0 B.{}0,2 C.{}2,0-D.{}2,0,2-*D14（浙江数学（理）试题）设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S,则=⋃T S C R )(A.(2,1]-B. ]4,(--∞C. ]1,(-∞D.),1[+∞*C15（广东省数学（理）卷）设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,Xn =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立,若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉ B.(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈ *B (一)必做题(9~13题)16（高考北京卷（理））已知集合A={-1,0,1},B={x |-1≤ x <1},则A ∩B= ( )A.{0}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}*B17（上海市春季高考数学试卷(含答案)）设全集U R =,下列集合运算结果为R 的是( ) (A)u ZN ð (B)u N N ð (C)()u u ∅痧 (D){0}u ð*A 二、填空题18（江苏卷（数学））集合}1,0,1{-共有___________个子集.*8三、解答题19（重庆数学（理）试题）对正整数n ,记{}1,2,3,,mI n =,,m m m P I k I ⎫=∈∈⎬⎭.(1)求集合7P 中元素的个数;(2)若m P 的子集A 中任意两个元素之和不是．．整数的平方,则称A 为“稀疏集”.求n 的最大值,使m P 能分成两人上不相交的稀疏集的并.*全国高考理科数学试题分类汇编2：函数一、选择题20 （高考江西卷（理））函数的定义域为A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]*D21 （重庆数学（理）试题）若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( )A.(),a b 和(),b c 内B.(),a -∞和(),a b 内C.(),b c 和(),c +∞内D.(),a -∞和(),c +∞内*A22 （上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数12()f x x -=的大致图像是( )*A23 （高考四川卷（理））设函数()f x =a R ∈,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( )(A)[1,]e (B)1[,-11]e -， (C)[1,1]e + (D)1[-1,1]e e -+*A24 （高考新课标1（理））已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是A.(,0]-∞B.(,1]-∞C.[2,1]-D.[2,0]-*D25 ．（大纲版数学（理））函数()()21=log 10f x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的反函数()1=f x - (A)()1021x x >- (B)()1021xx ≠- (C)()21x x R -∈ (D)()210x x ->*A 26 （浙江数学（理）试题）已知y x ,为正实数,则A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B.y x y x lg lg )lg(222∙=+ C.y x y x lg lg lg lg 222+=∙ D.y x xy lg lg )lg(222∙=*D27 （山东数学（理）试题）已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时,21()f x x x=+,则(1)f -=(A) 2- (B) 0 (C) 1 (D) 2*A28 （高考陕西卷（理））在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m )的取值范围是(A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30] (D) [20,30]*C 29（重庆数学（理）试题）y =()63a -≤≤的最大值为( )A.9B.92 C.3 B 30（大纲版数学（理））已知函数()f x 的定义域为()1,0-,则函数()21f x -的定义域为(A)()1,1- (B)11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(C)()-1,0 (D)1,12⎛⎫⎪⎝⎭*B31（高考湖南卷（理））函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为A.3B.2C.1D.0 *B32（高考四川卷（理））函数231x x y =-的图象大致是( )*C33（辽宁数学（理）试题）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值,{}min ,p q 表示,p q 中的较小值,记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=(A)2216a a -- (B)2216a a +- (C)16- (D)16*B34（广东省数学（理）卷）定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4 B.3C.2D.1*C35（安徽数学（理）试题）若函数3()=+b +f x x x c 有极值点1x ,2x ,且11()=f x x ,则关于x 的方程213(())+2()+=0f x f x b 的不同实根个数是(A)3 (B)4 (C) 5 (D)6*A36（天津数学（理）试题）函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2(C) 3 (D) 4*B37（高考北京卷（理））函数f (x )的图象向右平移1个单位长度,所得图象与y =e x关于y 轴对称,则f (x )=A.1e x +B. 1e x -C. 1ex -+ D. 1ex --*D38（上海市春季高考数学试卷(含答案)）设-1()f x 为函数()f x =,下列结论正确的是( )(A) 1(2)2f -= (B) 1(2)4f -= (C) 1(4)2f -= (D) 1(4)4f -=*B39（大纲版数学（理））若函数()21=f x x ax x ++在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是 (A)[-1,0] (B)[1,)-+∞ (C)[0,3] (D)[3,)+∞*D二、填空题40（上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数2log (2)y x =+的定义域是_________*(2,)-+∞ 41（高考上海卷（理））方程1313313x x-+=-的实数解为________*3log 4x =. 42（高考上海卷（理））对区间I 上有定义的函数()g x ,记(){|(),}g I y y g x x I ==∈,已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=,且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==,若方程()0f x x -=有解0x ,则0_____x =*02x =.43（高考新课标1（理））若函数()f x =22(1)()xx ax b -++的图像关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值是______.*16.44（上海市春季高考数学试卷(含答案)）方程28x=的解是_______________*3 45（高考湖南卷（理））设函数(),0,0.x x x f x a b c c a c b =+->>>>其中(1)记集合{}(,,),,M a b c a b c a =不能构成一个三角形的三条边长，且=b ,则(,,)a b c M ∈所对应的()f x 的零点的取值集合为____.(2)若,,a b c ABC ∆是的三条边长，则下列结论正确的是______.(写出所有正确结论的序号) ①()(),1,0;x f x ∀∈-∞>②,,,x x x x R xa b c ∃∈使不能构成一个三角形的三条边长； ③若()()1,2,0.ABC x f x ∆∃∈=为钝角三角形，则使*(1)]10(， (2)①②③46（江苏卷（数学））已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时,x x x f 4)(2-=,则不等式xx f >)(的解集用区间表示为___________.*()()+∞-,50,547（高考上海卷（理））设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时,2()97a f x x x=++,若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为_______*87a ≤-. 三、解答题48（安徽数学（理）试题）设函数22()(1)f x ax a x =-+,其中0a >,区间|()>0I x f x =(Ⅰ)求的长度(注:区间(,)αβ的长度定义为βα-); (Ⅱ)给定常数(0,1)k ∈,当时,求l 长度的最小值.*解: (Ⅰ))1,0(0])1([)(22a a x x a a x x f +∈⇒>+-=.所以区间长度为21a a+. (Ⅱ) 由(Ⅰ)知,aa a al 1112+=+=恒成立令已知k kk k k k a k k -1110-111.1-10),1,0(2>+∴>⇒>++≤≤<∈.22)1(11)1(1111)(k kk k l k a a a a g -+-=-+-≥⇒-=+=⇒这时时取最大值在所以2)1(111k kl k a -+--=取最小值时，当. 49（上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分,第3小题满分6分.已知真命题:“函数()y f x =的图像关于点( )P a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+- 是奇函数”.(1)将函数32()3g x x x =-的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标; (2)求函数22()log 4xh x x=- 图像对称中心的坐标; (3)已知命题:“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a 和b,使得函数()y f x a b =+- 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).*(1)平移后图像对应的函数解析式为32(1)3(1)2y x x =+-++, 整理得33y x x =-, 由于函数33y x x =-是奇函数, 由题设真命题知,函数()g x 图像对称中心的坐标是(1 2)-，. (2)设22()log 4xh x x=-的对称中心为( )P a b ，,由题设知函数()h x a b +-是奇函数. 设()(),f x h x a b =+-则22()()log 4()x a f x b x a +=--+,即222()log 4x a f x b a x +=---. 由不等式2204x aa x +>--的解集关于原点对称,得2a =. 此时22(2)()log (2 2)2x f x b x x+=-∈--，，. 任取(2,2)x ∈-,由()()0f x f x -+=,得1b =, 所以函数22()log 4xh x x=-图像对称中心的坐标是(2 1)，. (3)此命题是假命题. 举反例说明:函数()f x x =的图像关于直线y x =-成轴对称图像,但是对任意实数a 和b ,函数()y f x a b =+-,即y x a b =+-总不是偶函数. 修改后的真命题: “函数()y f x =的图像关于直线x a =成轴对称图像”的充要条件是“函数()y f x a =+是偶函数”.全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数一、选择题50 （浙江数学（理）试题）已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43C.43-D.34-*C51 （高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定*B52 （天津数学（理）试题）在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠(B)C 53 （山东数学（理）试题）将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为(A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π-*B54 （辽宁数学（理）试题）在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56π *A55 （大纲版数学（理））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是(A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2x π=对称(C)()f x()f x 既奇函数,又是周期函数*C 56 （山东数学（理）试题）函数cos sin y x x x =+的图象大致为*D57 （高考四川卷（理））函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )(A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π*A58 （上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是( ) (A)sin y x = (B)cos y x = (C)sin 2y x = (D)cos 2y x =*B59（重庆数学（理）试题）04cos50tan 40-= ( )A.2D.1*C 60（高考湖南卷（理））在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A.12π B.6π C.4π D.3π*D61（高考湖北卷（理））将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A.12πB.6πC.3πD.56π*B 二、填空题62（浙江数学（理）试题）A B C ∆中,090=∠C ,M 是BC 的中点,若31sin =∠BAM ,则=∠BAC sin ________. 63（高考新课标1（理））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______*. 64（福建数学（理）试题）如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________65（上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数2sin y x =的最小正周期是_________*2π66（高考四川卷（理））设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是________67（高考上海卷（理））若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=,则sin()________x y +=*2sin()3x y +=. 68（高考上海卷（理））已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c,若22232330a ab b c ++-=,则角C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)*1arccos 3C π=-69（大纲版数学（理））已知α是第三象限角,1sin 3a =-,则cot a =____________.* 70（江苏卷（数学））函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为___________.*π71（上海市春季高考数学试卷(含答案)）在ABC ∆中,角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、,若5 8 60a b B ===，，,则b=_______*772（安徽数学（理）试题）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.*π3273（新课标Ⅱ卷数学（理））设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=____*74（高考江西卷（理））函数2sin 2y x x =+的最小正周期为T 为_________.*π 75（上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数4sin 3cos y x x =+的最大值是_________*5 三、解答题76（高考北京卷（理））在△ABC 中,a =3,b ∠B =2∠A .(I)求cos A 的值; (II)求c 的值.*解:(I)因为a =3,b =2,∠B =2∠A . 所以在△ABC 中,由正弦定理得3s i n A =.所以2s i n c o s6s i n A A A =.故cos A =. (II)由(I)知cos A =,所以sin A ==.又因为∠B=2∠A,所以21c o s 2c o s 13BA =-=.所以sin B ==. 在△ABC中,sin sin()sin cos cos sin 9C A B A B A B =+=+=. 所以sin 5sin a C c A ==.77（高考陕西卷（理））已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.*解:(Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x . 最小正周期ππ==22T . 所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π. (Ⅱ)上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈.]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f . 所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.78（重庆数学（理）试题）在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且222ab c +=.(1)求C ; (2)设()()2cos cos cos cos cos A B A B ααα++==求tan α的值.【答案】由题意得79（天津数学（理）试题）已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.*80（辽宁数学（理）试题）设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x =求的最大值*81（高考上海卷（理））(6分+8分)已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>;(1)若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增,求ω的取值范围;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.*(1)因为0ω>,根据题意有 34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2)()2sin(2)f x x =,()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈, 即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π, 故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=.82（大纲版数学（理））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(I)求B(II)若1sin sin 4A C =,求C .*83（高考四川卷（理））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影.*解:()I 由()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得 ()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦, 即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-, 则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =- ()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =, 由正弦定理,有sin sin a b A B =,所以,sin sin 2b A B a ==. 由题知a b >,则A B >,故4B π=. 根据余弦定理,有(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭, 解得1c =或7c =-(舍去). 故向量BA 在BC方向上的投影为cos 2BA B =84（山东数学（理）试题）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =.(Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.*解:(Ⅰ)由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得()222(1cos )b ac ac B =+-+, 又6a c +=,2b =,7cos 9B =,所以9ac =,解得3a =,3c =. (Ⅱ)在△ABC中,sin 9B ==, 由正弦定理得sin sin 3a B A b ==, 因为a c =,所以A 为锐角,所以1cos 3A ==因此 sin()sin cos cos sin 27A B A B A B -=-=.85（安徽数学（理）试题）已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π. (Ⅰ)求ϖ的值; (Ⅱ)讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性.*解: (Ⅰ)2)42sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++=++=+⇒πωωωωωωx x x x x x122=⇒=⇒ωπωπ.所以1,2)42si n (2)(=++=ωπx x f (Ⅱ)；解得，令时，当8242]4,4[)42(]2,0[ππππππππ==++∈+∈x x x x 所以.]28[]8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在πππx f y =86（福建数学（理）试题）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π,图像的一个对称中心为(,0)4π,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像.(1)求函数()f x 与()g x 的解析式; (2)是否存在0(,)64x ππ∈,使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定0x 的个数;若不存在,说明理由.(3)求实数a 与正整数n ,使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点.*解:(Ⅰ)由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π,0ω>,得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π,(0,)ϕπ∈ 故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=,得2πϕ=,所以()cos 2f x x = 将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得cos y x =的图象,再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x = (Ⅱ)当(,)64x ππ∈时,1sin 2x <<,10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >> 问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-,(,)64x ππ∈则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈,所以()0G x '>,()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<,()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断,故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x , 即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 (Ⅲ)依题意,()sin cos 2F x a x x =+,令()sin cos 20F x a x x =+= 当sin 0x =,即()x k k Z π=∈时,cos 21x =,从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解,所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x =-,()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况令cos 2()sin xh x x =-,(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况 22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=,令()0h x '=,得2x π=或32x π= 当x 变化时,()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时,()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时,()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时,()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时,()h x 趋向于+∞ 故当1a >时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点,在(,2)ππ内有2个交点; 当1a <-时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内无交点; 当11a -<<时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性,可知当1a ≠±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点,从而不存在正整数n ,使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点;当1a =±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点,由周期性,20133671=⨯,所以67121342n =⨯= 综上,当1a =±,1342n =时,函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点87（江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.已知(c o s ,s i n )(c o s a b ααββ=＝，,παβ<<<0.(1)若||2a b -=,求证:a b ⊥;(2)设(0,1)c =,若a b c +=,求βα,的值.*解:(1)∵2||=-b a ∴2||2=-b a 即()22222=+-=-b b a a b a , 又∵1sin cos ||2222=+==αα,1sin cos ||2222=+==ββ∴222=-∴0=∴⊥ (2)∵)1,0()sin sin ,cos (cos =++=+βαβα ∴⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα即⎩⎨⎧-=-=βαβαsin 1sin cos cos 两边分别平方再相加得:βsin 221-= ∴21sin =β ∴21sin =α ∵παβ<<<0 ∴πβπα61,65==88（广东省数学（理）卷）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值; (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.*(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;(Ⅱ)222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3c os5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=-所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭. 89（高考湖南卷（理））已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=.(I)若α是第一象限角,且()5f α=求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.*解: (I)533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f . 51cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且(II)21)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒-≥⇒≥πx x x x x x g x f Z k k k x k k x ∈+∈⇒++∈+⇒],322,2[]652,62[6ππππππππ90（江苏卷（数学））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为min /50m .在甲出发min 2后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留min 1后,再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ,山路AC 长为m 1260,经测量,1312cos =A ,53cos =C . (1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?*解:(1)∵1312cos =A ,53cos =C ∴），（、20π∈C A ∴135sin =A ,54sin =C ∴[]6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π 根据s i n B s i n C AC AB =得m C AC AB 1040sin sinB== (2)设乙出发t 分钟后,甲.乙距离为d,则1312)50100(1302)50100()130(222⨯+⨯⨯-++=t t t t d ∴)507037(20022+-=t t d ∵13010400≤≤t 即80≤≤t ∴3735=t 时,即乙出发3735分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由正弦定理sinB sinA ACBC =得50013565631260sin sinB ===A AC BC (m) 乙从B 出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V min /m ,则350710500≤-v ∴3507105003≤-≤-v ∴14625431250≤≤v ∴为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在⎥⎦⎤⎢⎣⎡14625,431250范围内法二:解:(1)如图作BD ⊥CA 于点D , 设BD =20k ,则DC =25k ,AD =48k , AB =52k ,由CBAAC =63k =1260m, 知:AB =52k =1040m. (2)设乙出发x 分钟后到达点M , 此时甲到达N 点,如图所示.则:AM =130x ,AN =50(x +2), 由余弦定理得:MN 2=AM 2+AN 2-2 AM ·AN cos A =7400 x 2-14000 x +10000, 其中0≤x≤8,当x =3537(min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由(1)知:BC =500m,甲到C 用时:126050 =1265 (min). 若甲等乙3分钟,则乙到C 用时:1265 +3=1415 (min),在BC 上用时:865 (min) . 此时乙的速度最小,且为:500÷865 =125043 m/min. 若乙等甲3分钟,则乙到C 用时:1265 -3=1115 (min),在BC 上用时:565 (min) . 此时乙的速度最大,且为:500÷565 =62514m/min. 故乙步行的速度应控制在[125043 ,62514]范围内.91（高考湖北卷（理））在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos 23cos 1A B C -+=. (I)求角A 的大小;(II)若ABC ∆的面积S =,5b =,求sin sin B C 的值.*解:(I)由已知条件得:cos23cos 1A A += 22cos 3cos 20A A ∴+-=,解得1cos 2A =,角60A =︒(II)1sin 2S bc A ==4c ⇒=,由余弦定理得:221a =,()222228sin a R A== 25sin sin 47bc B C R ∴==92（新课标Ⅱ卷数学（理））△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+.(Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.C BADMN*93（高考新课标1（理））如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan ∠PBA *(Ⅰ)由已知得,∠PBC=o 60,∴∠PBA=30o,在△PBA 中,由余弦定理得2PA =o 1132cos3042+-=74,∴; (Ⅱ)设∠PBA=α,由已知得,PB=sin α,在△PBA 中,由正弦定理得o sin sin(30)αα=-,化简得4sin αα=, ∴tan α,∴tan PBA ∠ 94（上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在y 轴正半轴上,点n P 在x 轴上,其横坐标为n x ,且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列,记1n n n P AP θ+∠=,n N *∈.(1)若31arctan3θ=,求点A 的坐标;(2)若点A的坐标为(0,求nθ的最大值及相应n的值.[解](1)(2)*[解](1)设(0)A t，,根据题意,12nnx-=.由31arctan3θ=,知31tan3θ=, 而3443343223443()4tan tan()321xxt x x tt tOAP OAPxx t x x tt tθ--=∠-∠===+⋅++⋅, 所以241323tt=+,解得4t=或8t=. 故点A的坐标为(0 4)，或(0 8)，. (2)由题意,点nP的坐标为1(2 0)n-，,1tannnOAP-∠=.111212tan tan()1n nnn n n nOAP OAPθ--+-=∠-∠===. 因为2n≥所以tannθ≤=, 当且仅当n=,即4n=时等号成立. 易知0tan2ny xπθ<<=，在(0)2π，上为增函数, 因此,当4n=时,nθ最大,其最大值为arctan4.95（高考江西卷（理））在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.(1) 求角B的大小;若a+c=1,求b的取值范围*解:(1)由已知得cos()cos cos cos0A B A B A B-++=即有s i n i n3s i n c o sA A B=因为s i n0A≠,所以s i n c o s0B B=,又cos0B≠,所以t a n B=, 又0Bπ<<,所以3Bπ=. (2)由余弦定理,有2222cosb ac ac B=+-. 因为11,cos 2a c B +==,有22113()24b a =-+. 又01a <<,于是有2114b ≤<,即有112b ≤<.全国高考理科数学试题分类汇编4：数列一、选择题96 （高考上海卷（理））在数列{}n a 中,21nn a =-,若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++,(1,2,,7;1,2,,12i j ==)则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )(A)18(B)28(C)48(D)63*A.97 （大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-,则{}n a 的前10项和等于(A)()10613--- (B)()101139-- (C)()10313-- (D)()1031+3-*C 98 （高考新课标1（理））设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ,n n n A B C ∆的面积为n S ,1,2,3,n =,若11111,2b c b c a >+=,111,,22n n n nn n n n c a b a a a b c +++++===,则( )A.{S n }为递减数列B.{S n }为递增数列C.{S 2n -1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D.{S 2n -1}为递减数列,{S 2n }为递增数列*B99 （安徽数学（理）试题）函数=()y f x 的图像如图所示,在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是(A){}3,4 (B){}2,3,4 (C) {}3,4,5 (D){}2,3*B100 （福建数学（理）试题）已知等比数列{}n a 的公比为q,记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是( )A.数列{}n b 为等差数列,公差为mq B.数列{}n b 为等比数列,公比为2mqC.数列{}n c 为等比数列,公比为2m qD.数列{}n c 为等比数列,公比为mm q*C101 （新课标Ⅱ卷数学（理））等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12310a a S +=,95=a ,则=1a(A)31 (B)31- (C)91 (D)91-*C 102 （高考新课标1（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==,则m = ( )A.3B.4C.5D.6*C103 （辽宁数学（理）试题）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题:{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为(A)12,p p (B)34,p p (C)23,p p (D)14,p p *D104 （高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于A.-24B.0C.12D.24*A二、填空题105（高考四川卷（理））在等差数列{}n a 中,218a a -=,且4a 为2a 和3a 的等比中项,求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和.*解:设该数列公差为d ,前n 项和为n s .由已知,可得 ()()()21111228,38a d a d a d a d +=+=++. 所以()114,30a d d d a +=-=, 解得14,0a d ==,或11,3a d ==,即数列{}n a 的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3. 所以数列的前n 项和4n s n =或232n n n s -=106（新课标Ⅱ卷数学（理））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知10150,25S S ==,则n nS 的最小值为________. *49-107（高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+.记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥,以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式: 三角形数 ()211,322N n n n =+ 正方形数 ()2,4N n n = 五边形数 ()231,522N n n n =- 六边形数 ()2,62N n n n =-可以推测(),N n k 的表达式,由此计算()10,24N =___________.*1000108（江苏卷（数学））在正项等比数列}{n a 中,215=a ,376=+a a ,则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为_____________.*12109（高考湖南卷（理））设n S 为数列{}n a 的前n 项和,1(1),,2n n n n S a n N *=--∈则(1)3a =_____; (2)12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________.*116-;10011(1)32- 110（福建数学（理）试题）当,1x R x ∈<时,有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得:11111222222011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式:23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:122311111111()()...()_____2223212nn n n n n n C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+*113[()1]12n n +-+ 111（重庆数学（理）试题）已知{}n a 是等差数列,11a =,公差0d ≠,n S 为其前n 项和,若125,,a a a 成等比数列,则8_____S =*64112（上海市春季高考数学试卷(含答案)）若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n 项和n =S __________.*25766n n -113（广东省数学（理）卷）在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____*20114（高考陕西卷（理））观察下列等式:211=22123-=- 2221263+-= 2222124310-+-=-照此规律, 第n 个等式可为___)1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n （）（ ____. *)1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n （）（ 115（高考新课标1（理））若数列{n a }的前n 项和为S n =2133n a +,则数列{n a }的通项公式是n a =______. *n a =1(2)n --.116（安徽数学（理）试题）如图,互不-相同的点12,,,n A A X 和12,,,n B B B 分别在角O 的两条边上,所有n n A B 相互平行,且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等.设.n n OA a =若121,2,a a ==则数列{}n a 的通项公式是_________.**,23N n n a n∈-=117（高考北京卷（理））若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,则公比q =_______;前n 项和S n =___________.*2,122n +-118（普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）已知等比数列{}n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和,若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根,则6S =____________.*63三、解答题119（安徽数学（理）试题）设函数22222()1(,)23nn n x x x f x x x R n N n=-+++++∈∈,证明: (Ⅰ)对每个nn N ∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =;(Ⅱ)对任意n p N ∈,由(Ⅰ)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<.*解: (Ⅰ) 224232224321)(0nx x x x x x f n x y x nn n ++++++-=∴=> 是单调递增的时，当是x 的单调递增函数,也是n的单调递增函数. 011)1(,01)0(=+-≥<-=n n f f 且.10)(],1,0(321>>>≥=∈⇒n n n n x x x x x f x ，且满足存在唯一x x x x x x x x x x x x x f x n n n -⋅++-<--⋅++-=++++++-≤∈-1141114122221)(,).1,0(2122242322 时当]1,32[0)23)(2(1141)(02∈⇒≤--⇒-⋅++-≤=⇒n n n n n n n n x x x x x x x f 综上,对每个nn N ∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =;(证毕) (Ⅱ) 由题知4321)(,012242322=++++++-=>>≥+nxx x x x x f x x nn n n n n n n pn n0)()1(4321)(2212242322=+++++++++++-=+++++++++++p n x n x nx x x x x x f pn pn n pn np n p n p n p n p n p n p n 上式相减:22122423222242322)()1(432432p n x n x n x x x x x n x x x x x pn p n n p n n p n p n p n p n p n nnn n n n ++++++++++=++++++++++++++ ）（）（2212244233222)()1(-4-3-2--p n x n x nx x x x x x x x x x pn pn n pn nnn p n np n np n np n p n n +++++++++=+++++++++ nx x n p n n p n n 1-111<⇒<+-=+. 法二:120（高考上海卷（理））(3 分+6分+9分)给定常数0c >,定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+,数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.(1)若12a c =--,求2a 及3a ;(2)求证:对任意*1,n n n N a a c +∈-≥,; (3)是否存在1a ,使得12,,,n a a a 成等差数列?若存在,求出所有这样的1a ,若不存在,说明理由.*:(1)因为c >,1(2)a c =-+,故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=,3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+ (2)要证明原命题,只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立, ()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+ 即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++ 若x c +≤,显然有2|4||x c x c x c ++≥++成立; 若x c +>,则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立综上,()f x x c ≥+恒成立,即对任意的*n N ∈,1n n a a c +-≥ (3)由(2)知,若{}n a 为等差数列,则公差0d c ≥>,故n 无限增大时,总有0n a >此时,1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+ 故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++, 即1112|4|||8a c a c a c ++=++++, 当10a c +≥时,等式成立,且2n ≥时,0n a >,此时{}n a 为等差数列,满足题意; 若10a c +<,则11|4|48a c a c ++=⇒=--, 此时,230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+也满足题意; 综上,满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--.121（江苏卷（数学））本小题满分10分.设数列{}122,3,3,34444n a ：，-，-，-，-，-，-，，-1-1-1k k kk k 个（），，（）,即当1122k k k k n -+<≤（）（）()k N +∈时,11k n a k -=（-）,记12n n S a a a =++()n N +∈,对于l N +∈,定义集合{}l P 1n n n S a n N n l +=∈≤≤是的整数倍，，且 (1)求集合11P 中元素的个数; (2)求集合2000P 中元素的个数.*本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力. (1)解:由数列{}n a 的定义得:11=a ,22-=a ,23-=a ,34=a ,35=a ,36=a ,47-=a ,48-=a ,49-=a ,410-=a ,511=a ∴11=S ,12-=S ,33-=S ,04=S ,35=S ,66=S ,27=S ,28-=S ,69-=S ,1010-=S ,511-=S ∴111a S ∙=,440a S ∙=,551a S ∙=,662a S ∙=,11111a S ∙-= ∴集合11P 中元素的个数为5 (2)证明:用数学归纳法先证)12()12(+-=+i i S i i 事实上, ①当1=i。

2013年高考数学(理)二轮专练二中档小题(三)

中档小题(三)1．(2013·江西省高三上学期七校联考)若集合P ＝{x |3<x ≤22}，非空集合Q ＝{x |2a ＋1≤x <3a －5}，则能使Q ⊆(P ∩Q )成立的所有实数a 的取值范围为( )A ．(1，9)B ．[1，9]C ．[6，9)D ．(6，9]2．(2013·荆州市质量检测)设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导数是f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝3xC ．y ＝－3xD ．y ＝4x3．(2013·南昌市第一次模拟测试)双曲线x 2b 2－y 2a 2＝－1(a >0，b >0)与抛物线y ＝18x 2有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直实轴的弦长为233，则双曲线的离心率等于( ) A ．2 B.233C.322D. 34．(2013·长春市第一次调研测试)若x ∈(1，4)，设a ＝x 12，b ＝x 23，c ＝ln x ，则a 、b 、c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．b >c >a5．(2013·郑州市第二次质量检测)已知A (1，2)，B (3，4)，C (－2，2)，D (－3，5)，则向量AB →在向量CD →上的投影为( )A.105B.2105C.3105 D.41056．(2013·安徽省“江南十校”联考)已知函数f (x )＝x a的图象过点(4，2)，令a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ），n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 013＝( )A. 2 012－1B. 2 013－1C. 2 014－1D. 2 014＋17．(2013·广州市调研测试)在区间[1，5]和[2，4] 上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为( )A.12B.1532C.1732D.3132 8．(2013·郑州市第一次质量检测)把70个面包分五份给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的16是较小的两份之和，则最小的一份为( )A ．2B ．8C ．14D ．209．(2013·高考北京卷)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0，表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)10．(2013·东北三校第一次联合模拟考试)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin(4x ＋π6)B ．y ＝2sin(2x ＋π3)＋2C ．y ＝2sin(4x ＋π3)＋2D ．y ＝2sin(4x ＋π6)＋211．(2013·安徽省“江南十校”联考)从某校高中男生中随机抽取100名学生，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图)．若要从身高在[60，70)，[70，80)，[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，则这2人的身高不在同一组内的概率为________．12．(2013·武汉市武昌区联合考试)已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆，如图所示，则该几何体的全面积为________．13．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.14．(2013·武汉市高中毕业生调研测试)从圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋24＝0外一点P 向该圆引切线PT ，T 为切点，且|PT |＝|PO |(O 为坐标原点)，则(1)|PT |的最小值为________；(2)|PT |取得最小值时点P 的坐标为________．备选题1．(2013·洛阳市统一考试)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA ＝23，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．64π2．(2013·海淀区第二学期期中练习)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，又点A (－1，0)，则|PF ||PA |的最小值是( )A.12B.22C.32 D.2323．(2013·高考安徽卷)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．4．(2013·湖南省五市十校联合检测)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动．Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．答案：1．【解析】选D.依题意， P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1<3a －52a ＋1>33a －5≤22，解得6<a ≤9，即实数a 的取值范围是(6，9]．2．【解析】选A.由已知得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2为偶函数，∴a ＝0，∴f (x )＝x 3－2x ，f ′(x )＝3x 2－2.又f ′(0)＝－2，f (0)＝0，∴y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .3．【解析】选B.双曲线与抛物线x 2＝8y 的公共焦点F 的坐标为(0，2)，由题意知点(33，2)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝413b 2－4a2＝－1，得a 2＝3，故e ＝c a ＝233. 4．【解析】选B.由于x >1，所以x 23>x 12>1，即b >a >1.又1<x <4，所以1<x <2，0<ln x <1，所以b >a >c .5．【解析】选 B.依题意得AB →＝(2，2)，CD →＝(－1，3)，|CD →|＝10，AB →·CD →＝－2＋6＝4，向量AB →在向量CD →上的投影等于410＝2105.6．【解析】选C.由f (4)＝2可得4a＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ）＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 013＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 013＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 014－2 013)＝ 2 014－1.7．【解析】选 B.方程x2a2＋y 2b2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2>b 2e ＝c a＝a 2－b 2a <32，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2>b 2a 2<4b 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a >ba <2b ，又a ∈[1，5]，b ∈[2，4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故所求的概率P ＝S 阴影2×4＝1532.8．【解析】选A.由题意知，中间一份为14，设该等差数列的公差为d (d >0)，则这五份分别是14－2d ，14－d ，14，14＋d ，14＋2d .又16(14＋14＋d ＋14＋2d )＝14－2d ＋14－d ，解得d ＝6.故14－2d ＝2.9．【解析】选C.当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此，m <0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23.10．【解析】选D.由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值为4，最小值为0，可知k ＝2，A ＝2，由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，可得ω＝4，由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y＝2sin(4x ＋π6)＋2.11．【解析】身高在[60，70)的男生人数为0.030×10×100＝30，同理[70，80)的人数为20，[80，90]的人数为10，所以按分层抽样选取6人，各小组依次选3人，2人，1人，分别记为a ，b ，c ；A ，B ，M ；从这6人中选取2人共有15种结果，其中身高不在同一组内的结果有11种．故概率P ＝1115.【答案】111512．【解析】由三视图知该几何体为上底直径为2，下底直径为6，高为23的圆台，则几何体的全面积S ＝π×1＋π×9＋π×(4＋12)＝26π.【答案】26π13．【解析】当n ＝1时，S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n ＋13－(23a n －1＋13)＝23(a n －a n －1)， ∴a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2， ∴{a n }是以1为首项的等比数列，其公比为－2，∴a n ＝1×(－2)n －1，即a n ＝(－2)n －1.【答案】(－2)n －114．【解析】圆C 的标准方程为：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设P (x ，y )，由|PT |＝|PO |得(x －3)2＋(y －4)2－1＝x 2＋y 2，得3x ＋4y －12＝0，P 的轨迹为直线：3x ＋4y －12＝0，当圆心C 到直线的距离最小时，切线PT 取最小值，|PT |min ＝125，此时P 点坐标为(3625，4825)．【答案】(1)125 (2)(3625，4825)备选题 1．【解析】选C.取SC 的中点E ，连接AE 、BE ，依题意，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，即AB ⊥BC .又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，又SA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面SAB ，BC ⊥SB ，AE ＝12SC ＝BE ，∴点E 是三棱锥S ABC 的外接球的球心，即点E 与点O 重合，OA ＝12SC ＝12SA 2＋AC 2＝2，球O 的表面积为4π×OA 2＝16π.2．【解析】选B.依题意知x ≥0，则焦点F (1，0)，|PF |＝x ＋1，|PA |＝（x ＋1）2＋y2＝（x ＋1）2＋4x ，当x ＝0时，|PA ||PF |＝1；当x >0时，1<|PA ||PF |＝1＋4x （x ＋1）2≤1＋4x （2x ）2＝2(当且仅当x ＝1时取等号)．因此当x ≥0时，1≤|PA ||PF |≤2，22≤|PF ||PA |≤1，|PF ||PA |的最小值是22.3．【解析】设C (x ，x 2)，由题意可取A (－a ，a )，B (a ，a )，则CA →＝(－a －x ，a －x 2)，CB →＝(a －x ，a －x 2)，由于∠ACB ＝π2，所以CA →·CB →＝(－a －x )(a －x )＋(a －x 2)2＝0，整理得x 4＋(1－2a )x 2＋a 2－a ＝0，即y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（1－2a ）≥0，a 2－a ≥0，（1－2a ）2－4（a 2－a ）>0，解得a ≥1.【答案】[1，＋∞) 4．【解析】令Q (c ，d )，由新的运算可得OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝(2x ，12sin x )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12sin x )，⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2x ＋π3d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin(12c －π6)，所以y ＝f (x )＝12sin(12x －π6)，易知y ＝f (x )的值域是[－12，12]．【答案】[－12，12]。

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小题训练 (二)
时量：40分钟满分：75分
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1.若2－i 2＋i ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，则y x 等于( A )
A ．－43 B.34
C ．－34 D.43
解析：因为
2－i 2＋i ＝3－4i 5＝35－4
5
i ＝x ＋y i ，所以x ＝35，y ＝－45，所以y x ＝－4
3
A.
2.已知集合A ＝{x |y ＝log 2(x －1)}，B ＝{y |y ＝2x ＋1，x ∈A }，则A ∩B ＝( C ) A ．∅ B ．(1,3)
C ．(3，＋∞)
D ．(1，＋∞)
解析：因为A ＝{x |y ＝log 2(x －1)}＝{x |x －1>0}＝{x |x >1}＝(1，＋∞)， B ＝{y |y ＝2x ＋1，x ∈A }＝{y |y >3}＝(3，＋∞)，所以A ∩B ＝(3，＋∞)，故选C. 3.⎠⎛1
－1(1－x 2
＋x )d x ＝( B ) A ．π B .π
2
C ．π＋1
D ．π－1
解析：原式＝⎠⎛1－11－x 2d x ＋⎠⎛1
－1x d x ＝⎠
⎛1－11－x 2d x . y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)表示一个半径为1的半圆，故原式＝π2
.
4.若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，ca ，ab ，bc 成等比数列，且a ＋b ＋c ＝15，则a ＝( D ) A ．－20 B ．5 C ．－5 D ．20
解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c.①
又ca ，ab ，bc 成等比数列，所以c 2＝ab.② 又a ＋b ＋c ＝15，③
由①②③解得a ＝20，故选D .
5.将函数f(x)＝sin (2x ＋π3)的图象沿x 轴向右平移π
6个单位，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝( B )
A ．sin (2x ＋π
6) B ．sin 2x
C ．sin (2x －π
6
) D ．cos 2x
6.一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为( A )
A .32
B .12
C ．1
D ．2
7.设函数f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1且f (2)＝2a －3a ＋1，则( D )
A ．a <23
B ．a <2
3且a ≠－1
C ．a >23或a <－1
D ．－1<a <23
解析：因为f (x )以3为周期，且为奇函数，所以f (2)＝f (－1)＝－f (1)<－1，即
2a －3a ＋1<－1，所以3a －2a ＋1
<0，所以－1<a <2
3
，故选D.
8.已知抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ，准线为l ，O 为坐标原点．过抛物线C 上的一点A 作准线l 的垂线，垂足为M .若△AMF 与△AOF 的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为( D )
A ．(2,22)
B ．(2，2)
C ．(2，±2)
D ．(2，±22)
解析：如图，由题设知，|OF |＝1，|AF |＝|AM |，
则
S △AMF
S △AOF ＝1
2
|AF |·|AM |·sin ∠MAF 1
2
|OF |·|AF |·sin (π－∠MAF )＝3，得|AF |＝|AM |＝3，设A (x 0，y 0)，
则x 0＋1＝3，得x 0＝2，代入y 20＝4x 0得y 0＝±
22，故选D. 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上． (一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)
9.直线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋4t y ＝－1－3t (t 为参数)被曲线ρ＝2cos(θ＋π4)所截得的弦长为 75 .
解析：直线方程化为普通方程得3x ＋4y ＋1＝0，
曲线ρ＝2cos(θ＋π
4)化为直角坐标系方程为x 2＋y 2－x ＋y ＝0，
即(x －12)2＋(y ＋12)2＝12，
圆心到直线的距离d ＝1
25＝1
10，
则弦长为2r 2－d 2＝2
12－1100＝75
. 10.如图，平行四边形ABCD 中，AE ∶EB ＝1∶2，△AEF 的面积为
6，则△ADF 的面积为 18 .
解析：由题意可得△AEF ∽△CDF ，且相似比为1∶3，由△AEF 的面积为6，得△CDF 的面积为54，又S △ADF ∶S △CDF ＝1∶3，所以S △ADF ＝18.
11.若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4
a 对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 (－∞，0)∪{2} .
(二)必做题(12～16题)
12.若抛物线y 2
＝2px 的焦点与双曲线x 26－y 2
3
＝1的右焦点重合，则p 的值为 6 .
解析：双曲线x 26－y 2
3＝1的右焦点F (3,0)是抛物线y 2＝2px 的焦点，所以，p
2＝3，p ＝6.
13.已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域是 [1,9] . 解析：因为f (x )＝3x －b 的图象经过点(2,1)，所以32－b ＝1，则b ＝2，
所以f (x )＝3x －2，x ∈[2,4]为增函数，
所以32－2≤f (x )≤34－2，即1≤f (x )≤9，故f (x )的值域为[1,9]．
14.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据：
在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是 7 .
解析：a －
＝44，
S ＝1
8[(－4)2＋(－3)2＋(－1)2＋(－1)2＋02＋22＋32＋42]
＝1
8
×56＝7. 15.已知在平面直角坐标系中，A (－2,0)，B (1,3)，O 为原点，且OM →＝αOA →＋βOB →
(其中α＋β＝1，α，β均为实数)．若N (1,0)，则|MN →
|的最小值为 322
.
解析：由OM →＝αOA →＋βOB →
，且α＋β＝1，得M 、A 、B 三点共线，则|MN →
|的最小值即为点N 到直线AB 的距离d . 因为AB 的方程为x －y ＋2＝0，N (1,0)，所以|MN →
|min ＝d ＝|1－0＋2|12＋1
2＝322 16.已知定义在[a ，b ]上的函数f (x )，其图象是一条连续不断的曲线，且同时满足下列条件：①f (x )的值域为G ，且G ⊆[a ，b ]；②对任意不同的实数x ，y ∈[a ，b ]都有|f (x )－f (y )|<|x －y |，则f (a )与a 的大小关系是 f (a )≥a ；关于x 的方程f (x )＝x 在区间[a ，b ]上的根的个数为 1 个．
解析：设g (x )＝f (x )－x ，
由①知，g (a )＝f (a )－a ≥0，g (b )＝f (b )－b ≤0，所以g (x )在[a ，b ]上必有零点．若g (x )在[a ，b ]上存在两个或两个以上的零点x 1，x 2，
即g(x1)＝f(x1)－x1＝0，g(x2)＝f(x2)－x2＝0，
则f(x1)－x1＝f(x2)－x2，
得|f(x1)－f(x2)|＝|x1－x2|，与②矛盾，
故g(x)在[a，b]上只有一个零点，即方程f(x)＝x在[a，b]上只有唯一实根．。

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