导与练普通班2017届高三数学一轮复习第七篇不等式第3节二元一次不等式组与简单的线性规划问题基丛点练理
(旧教材适用)2023高考数学一轮总复习第七章不等式第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题课
答案 C
解析 由约束条件可得可行域如图中阴影部分所示，由 z＝3x＋y，得 y ＝－3x＋z，平移直线 y＝－3x，由图可得，当直线 z＝3x＋y 过点 B(1，3)时， z 取最小值为 6，故选 C.
求 z＝ax＋by 的最值时，一般先化为 y＝－abx＋bz的形式．bz 为直线 y＝－abx＋bz在 y 轴上的截距，当 b>0 时将直线上移 z 变大，当 b<0 时将直线下移 z 变大．
2．线性规划中的基本概念
名称
定义
约束条件
由变量 x，y 组成的□03 不等式(组)
线性约束条件 目标函数
线性目标函数
关于 x，y 的 □04 一次 不等式(或等式)
关于 x，y 的 □05 函数解析式 ，如 z＝2x＋3y 等
关于 x，y 的 □06 一次
解析式
可行解
满足 □07 线性约束条件的解(x，y)
2．(2021·浙江高考)若实数 x，y 满足约束条件
x＋1≥0，
x－y≤0，
则
2x＋3y－1≤0，
z＝x－12y
的最小值是(
)
A.－2 B．－32 C．－12 D．110
答案 B
解析 作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线 y＝2x 并平移，数形 结合可知，当平移后的直线经过点 A 时 z 取得最小值．由2x＋x＋13＝y－0，1＝0，得 xy＝ ＝－ 1，1，所以 A(－1，1)，zmin＝－1－12＝－32.故选 B.
2．画二元一次不等式表示的平面区域的方法 (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线． (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则 特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证．
高考数学一轮复习 第七章 不等式 推理与证明 7-3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划课件 文
x－1≥0，
5．(2015·全国卷Ⅰ)若 x，y 满足约束条件x－y≤0，
则
x＋y－4≤0，
yx的最大值为________．
[解析] 由约束条件可画出可行域，利用yx的几何意义求解． 画出可行域如图阴影所示，∵yx表示过点(x，y)与原点(0,0)的 直线的斜率， ∴点(x，y)在点 A 处时xy最大．
[跟踪演练]
x≤0， 已知由不等式组yy≥－0kx，≤2，
y－x－4≤0
确定的平面区域 Ω 的面积为
7，则 k 的值为( ) A．－3 B．－1 C．3 D．1
[解析]
x≤0， 作出不等式组y≥0，
y－x－4≤0
所表示的平面区域，如
图阴影部分所示，可知该区域是等腰直角三角形且面积为 8.由于
[答案] －23，23
3 ． (2018·山 东 聊 城 期 末 ) 如 果 点 P(x ， y) 在 平 面 区 域
2x－y＋2≥0， x－2y＋1≤0， x＋y－2≤0
上，则 x2＋(y＋1)2 的最大值和最小值分别是
()
A．3，
3 5
B．9，95
C．9,2
∴zmax＝2×6－(－3)＝15.
[答案] 15
[ 拓 展 探 究 2] ________．
本
例
条
件
不
变
，
求
y＋6 x－2
的
取
值
范
围
是
[解析] 如图，yx＋ －62的几何意义为可行域内的点 M(x，y)与点 P(2，－6)连线的斜率，由本例知 B(6，－3)，A(－6，－3)，∴kPB ＝－63－＋26＝34，kPA＝－ －36＋ －62＝－38.
2017届一轮复习全国通用 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 课件
2 , ������+2 2������ + ������+2
2
故 ������ 2,
2 2������ , + ������+2 ������+2
2 .
2 2 , 2 2
而以线段������������为直径的圆的圆心为������ 即
2 2 ������+2 2
, 所以有|������������| ≤ 1,
第六章
第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
主干知识回顾
名师考点精讲 综合能力提升
-5-
4.线性规划的相关概念及其解法
(1)线性规划的相关概念
名称 目标函 数 约束条 件 可行解 可行域 最优解 线性规 划问题 意义 欲求最大值或最小值的函数 目标函数中的变量所要满足的不 等式组 满足约束条件的解 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值 的可行解 在线性约束条件下,求线性目标函 数的最大值或最小值问题
������ 距 的最值间接求出 ������ ������ ������
z 的最值.要注意:当 b>0 时,y
������ ������ ������ ������
������ 轴上的截距 取 ������ ������ ������
最大值时,z 也取最大值;y 轴上的截距 取最小值时,z 也取最小值. 当 b<0 时,y 轴上的截距 取最大值时,z 取最小值;y 轴上的截距 取 最小值时,z 取最大值. ③求:求出使 z 取最值的点的坐标及 z 的最值; ④答:得到答案.
满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序数对(x,y),所有 这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解 集.
近年高考数学大一轮复习第七章不等式第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题学案北师大版(20
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第3节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2。
了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3。
会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。
知识梳理1。
二元一次不等式(组)表示的平面区域(1）一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不含边界直线.不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界直线，把边界直线画成实线。
（2)对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y），代入Ax＋By＋C所得值的符号都相同，所以只需取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0＋By0＋C的符号可判断Ax＋By＋C〉0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域。
（3)不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2。
线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程）组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y的解析式线性目标函数关于x,y的一次解析式［常用结论与微点提醒］1。
高考数学一轮复习教学案：第七章不等式7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
(4) 二元一次不等式所表示区域的确定方法．在直线
__________ 是否满足二元一次不等式，如果满足，则这点 否则 l 的 __________就是所求的区域．
l 的某一侧取一特殊点，检测其 __________ 区域就是所求的区域；
4． 线性规划中的基本概念
名称
定义
目标函数
欲求 __________ 的函数，叫做目标函数
7.3 二元一次不等式 (组 )与简单的线性规划问题
1． 二元一次不等式 (组 )的解集 满足二元一次不等式 (组 )的 x 和 y 的取值构成有序数对 (x， y)，所有这样 的有序数对 (x，
y)构成的集合称为二元 一次不等式 ( 组 )的__________ ．
2． 二元一次不等式表示平面区域
3．下面给出的四个点中，到直线
x－ y＋ 1＝ 0 的距离为
2，且位于 2
x＋ y－ 1<0， x－ y＋ 1>0
表示
的平面区域内的点是 ( )． A． (1,1) C． ( －1，－ 1)
B． (－ 1,1) D． (1，－ 1)
x≥ 0，
4．若 x， y 满足约束条件 x＋ 2y≥ 3， 则 z＝x－ y 的最小值是 ( )． 2x＋y≤ 3，
(2)如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最
优解一般就是多边形的某个顶点． 请做演练巩固提升 2,4
三、线性规划的实际应用 【例 3】 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 一个卫兵玩具需 5 分钟， 生产一个骑兵玩具需 7 分钟， 生产一个伞兵玩具需
个根在区间 (1,2)内，求：
(1)点 (a， b)对应的区域的面积；
新高考数学一轮复习第七章不等式3第3讲二元一次不等式组及简单的线性规划问题教学案
第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组)表示区域Ax＋By＋C>0(<0) 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0(≤0)包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝x＋2y线性目标函数关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( )(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )(5)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×[教材衍化]1．(必修5P91练习T1(1)改编)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y ＋1的最大值、最小值分别是________，________．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，画直线l 0：y ＝－2x ，平移l 0过点B 时，z max ＝4，平移l 0过点A 时，z min ＝－2.答案：4 －22．(必修5P91练习T2改编)投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金 1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为________________．(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)解析：用表格列出各数据A B 总数 产品吨数 xy资金 200x 300y 1 400 场地200x100y900x y x y x y 答案：⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0[易错纠偏](1)不会用代点法判断平面区域；(2)不明确目标函数的最值与等值线截距的关系； (3)不理解目标函数的几何意义； (4)对“最优解有无数个”理解有误．1．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是__________． 解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的最大值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x －y ＝0，平移直线经过点A (1，0)时，目标函数z ＝x －y 取得最大值，最大值为1.答案：13．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z＝y －1x ＋3的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，问题转化为区域上哪一点与点M (－3，1)连线斜率最大，观察知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52，使k MA 最大，z max＝k MA ＝52－1－52＋3＝3.答案：34．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a的值为________．解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，所以－a ＝k AB ＝1，所以a ＝－1.答案：－1二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．【解析】 (1)不等式组所表示平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1，1)，易得B (0，4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，|BC |＝4－43＝83.故S △ABC ＝12×83×1＝43.(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.【答案】 (1)C (2)(0，1]∪[43，＋∞)二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；(2)当不等式中带等号时，边界应画为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )解析：选 C.(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，与选项C 符合．故选C.求线性目标函数的最值(范围)(高频考点)线性目标函数的最值(范围)问题是每年高考的热点，属必考内容，题型多为选择题和填空题，难度适中，属中档题．主要命题角度有：(1)求线性目标函数的最值(范围)；(2)已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)； (3)求非线性目标函数的最值(范围)． 角度一 求线性目标函数的最值(范围)(2019·高考浙江卷)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．10D ．12【解析】 作出可行域如图中阴影部分所示，数形结合可知，当直线z ＝3x ＋2y 过点(2，2)时，z 取得最大值，z max ＝6＋4＝10.故选C.【答案】 C角度二 已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)(2020·嘉兴市高考模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0y －1≥0x －y ＋1≥0，若ax ＋y 的最大值为10，则实数a ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】 画出满足条件的平面区域，如图所示(阴影部分)：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x －y ＋1＝0， 解得A (3，4)，令z ＝ax ＋y ，因为z 的最大值为10，所以直线在y 轴上的截距的最大值为10，即直线过(0，10)， 所以z ＝ax ＋y 与可行域有交点， 当a ＞0时，直线经过A 时z 取得最大值．即ax ＋y ＝10，将A (3，4)代入得，3a ＋4＝10，解得a ＝2，当a ≤0时，直线经过A 时z 取得最大值，即ax ＋y ＝10，将A (3，4)代入得，3a ＋4＝10，解得a ＝2，与a ≤0矛盾，综上a ＝2.【答案】 C角度三 求非线性目标函数的最值(范围)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355 B. 2 C.322D. 5【解析】 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥02x －y －3≤0x －2y ＋3≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (1，2)、B (2，1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A 与B ，又两平行直线的斜率为1，直线AB 的斜率为－1，所以线段AB 的长度就是过A 、B 两点的平行直线间的距离，易得|AB |＝2，即两条平行直线间的距离的最小值是2，故选B.【答案】 B(1)利用线性规划求目标函数最值的步骤 ①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线，并将其平移经过可行域，找到最优解对应的点； ③将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值． 常见的目标函数有：(ⅰ)截距型：形如z ＝ax ＋by ；(ⅱ)距离型：形如z ＝（x －a ）2＋（y －b ）2；(ⅲ)斜率型：形如z ＝y －b x －a. (2)含参数的线性规划问题参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中，求解步骤为：①注意对参数取值的讨论、将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解．[提醒] 求目标函数的最值时，易弄错目标函数的几何意义而求错．如x 2＋y 2是距离的平方，易忽视平方而求错．1．(2020·温州七校联考)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ≥0|x ＋y |≤1，使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，则z 1＝ax ＋y ＋1的最小值为( )A ．0B ．－2C ．1D ．－1解析：选A.画出不等式组所表示的可行域如图中阴影所示，因为z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，所以－a ＝1，a ＝－1，所以当x ＝1，y ＝0或x ＝0，y ＝－1时，z ＝ax ＋y＝－x ＋y 有最小值－1，所以ax ＋y ＋1的最小值是0，故选A.2．(2020·温州市高考模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＋1≥0x ＋y －2≤0x ，y ≥0，则y 的最大值为________，y ＋1x ＋2的取值范围是________． 解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＋1≥0x ＋y －2≤0x ，y ≥0，对应的平面区域如图(阴影部分)：可知A 的纵坐标取得最大值2. 设z ＝y ＋1x ＋2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (－2，－1)的斜率，由图象知BD 的斜率最小，AD 的斜率最大，则z 的最大为2＋10＋2＝32，最小为0＋11＋2＝13，即13≤z ≤32，则z ＝y ＋1x ＋2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32.答案：2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，323．(2020·绍兴一中高三期中)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1y ≥2x －1x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx＋y (a ＞0，b ＞0)的最大值为35，则a ＋b 的最小值为________．解析：满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1y ≥2x －1x ≥0，y ≥0的区域是一个四边形，如图所示四个顶点分别是(0，0)，(0，1)，⎝⎛⎭⎪⎫12，0，(2，3)，由图易得目标函数在(2，3)取最大值35，即35＝2ab ＋3，所以ab ＝16，所以a ＋b ≥2ab ＝8，当a ＝b ＝4时等号成立， 所以a ＋b 的最小值为8. 答案：8线性规划的实际应用某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．【解析】 由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润z ＝2 100x ＋900y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60，100)， 所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 【答案】 216 000利用线性规划解决实际问题的步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，主要变量有哪些．由于线性规划应用题中的量较多，为了了解题目中量与量之间的关系，可以借助表格或图形；(2)设元：设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数；(3)作图：准确作图，平移找点(最优解)； (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)； (5)检验：根据结果，检验反馈．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C.设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N .目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y .画出可行域(图中所示阴影中的整点部分)，可知目标函数过点N (5，12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．[基础题组练]1．二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤12，2x ＋3y ≥－6，0≤x ≤6所表示的平面区域的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．1213解析：选C.不等式组所表示的平面区域如图阴影部分，四边形ABCD 是平行四边形，由图中数据可知其面积S ＝(4＋2)×6＝36.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( )A.23 B ．1 C.32D ．3解析：选D.作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在B (0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合．3．(2020·浙江名校联盟联考)已知实数x ，y满足⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ）（x ＋2y ）≥0x ≥1，则2x －y ( )A ．有最小值，无最大值B ．有最大值，无最小值C ．有最小值，也有最大值D ．无最小值，也无最大值解析：选A.作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．设2x －y ＝z ，则y ＝2x －z ，z 表示直线在y 轴上的截距的相反数．平移直线y ＝2x －z ，可得当直线过点A 时z 取得最小值，z 没有最大值．故选A.4．(2020·台州高三质检)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥m 表示的平面区域的面积为2，则x ＋y ＋2x ＋1的最小值为( ) A.32 B.43 C ．2D ．4解析：选B.画出不等式组所表示的区域(阴影部分)，由区域面积为2，可得m ＝0.而x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域内任意一点与点(－1，－1)连线的斜率，所以y ＋1x ＋1的最小值为0－（－1）2－（－1）＝13，所以x ＋y ＋2x ＋1的最小值为43.5．(2020·金华十校联考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，x ≥6且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[8，10]B ．[8，9]C ．[6，9]D ．[6，10]解析：选A.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义．由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10，故选A.6．(2020·温州适应性测试)在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则yx －a的最大值是( )A.25 B.23 C.16D.14解析：选A.易知a ≠0，那么目标函数可化为y ＝－1a x ＋1az .要使目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则－1a ＝k AC ＝1，则a ＝－1，故y x －a ＝yx ＋1，其几何意义为可行域内的点(x ，y )与点M (－1，0)的连线的斜率，可知⎝⎛⎭⎪⎫y x ＋1max＝k MC＝25，故选A.7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4则z ＝－x ＋y 的最小值是________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (1，1)，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，43，C (0，4)．经过点A 时，目标函数z 达到最小值． 所以z min ＝－1＋1＝0. 答案：08．(2020·杭州中学高三期中)已知点A (3，3)，O 为坐标原点，点P (x ，y )满足⎩⎨⎧3x －y ≤0x －3y ＋2≥0y ≥0，则满足条件的点P 所形成的平面区域的面积为________，OP →在OA →方向上投影的最大值为________．解析：由已知得到平面区域如图，P 所在区域即为阴影部分，由⎩⎨⎧3x －y ＝0x －3y ＋2＝0得到C (－2，0)，B (1，3)，所以其面积为12×2×3＝ 3.令OP →在OA →方向上投影为z ＝OA →·OP →|OA →|＝3x ＋3y 23＝32x ＋12y ，所以y ＝－3x ＋2z ，过点B时z 最大，所以，OP →在OA →方向上投影的最大值为32＋32＝ 3.答案： 339．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．解析：画出平面区域D ，如图中阴影部分所示．作出z ＝x ＋y 的基本直线l 0：x ＋y ＝0.经平移可知目标函数z ＝x ＋y 在点A (0，1)处取得最小值，在线段BC 处取得最大值，而集合T表示z ＝x ＋y 取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段BC 上共有5个整点，分别为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，故T 中的点共确定6条不同的直线．答案：610．(2020·温州市高考实战模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12，则z ＝2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y的最大值为________． 解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝2x －y，令u ＝x －y ，则直线u ＝x －y 在点(4，0)处u 取得最大值，此时z 取得最大值且z max ＝24－0＝16.答案：1611．(2020·杭州市高三模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x ≤1x －2y ≥0.求：(1)x 的取值范围； (2)|x |＋|y |的取值范围．解：(1)由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x ≤1x －2y ≥0作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，0≤x ≤1. (2)当x ≥0，y ≥0时，z ＝|x |＋|y |＝x ＋y 过(1，12)时有最大值为32，过O (0，0)时有最小值0； 当x ≥0，y ≤0时，z ＝|x |＋|y |＝x －y 过(1，－1)时有最大值为2，过O (0，0)时有最小值0.所以|x |＋|y |的取值范围是[0，2]．12．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图中阴影部分所示，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3，4)时z 取最小值－2，过C (1，0)时z 取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4，2)．[综合题组练]1．(2020·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥－2x －y ≤0x ≥－4，若不等式2x －y ＋m 2≥0恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[－6，6]B ．(－∞，－6]∪[6，＋∞)C ．[－7，7]D ．(－∞，－7]∪[7，＋∞)解析：选D.作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥－2x －y ≤0x ≥－4所对应的可行域(如图中阴影部分)，令z ＝－2x ＋y ，当直线经过点A (－4，－1)时，z 取得最大值，即z max ＝(－2)×(－4)＋(－1)＝7.所以m 2≥7，即实数m 的取值范围为(－∞，－7]∪[7，＋∞)，故选D.2．(2020·温州校级月考)已知二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≥0x －y －2≤0x －3y ＋4≥0所表示的平面区域为M .若M 与圆(x －4)2＋(y －1)2＝a (a >0)至少有两个公共点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5B ．(1，5) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，5 D ．(1，5]解析：选C.如图所示(阴影部分)，若使以(4，1)为圆心的圆与平面区域M 至少有两个交点，结合图形，当圆与直线x －y －2＝0相切时，恰有一个公共点，此时a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，当圆的半径增大到恰好过点C (2，2)时，圆与平面区域M 至少有两个公共点，此时a ＝5，故实数a 的取值范围是12<a ≤5.3．(2020·丽水模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同的实数解，则实数k 的取值范围是____________．解析：作出可行域，如图所示(阴影部分)，则目标函数z ＝x －2y 在点(1，0)处取得最大值1，在点(－1，1)处取得最小值－3，所以a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3，1)上有两个不同的实数解．令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）＞0，f （1）＞0，－3＜k2＜1，Δ＝k 2－4＞0⇒－103＜k ＜－2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－2 4．设a ＞0，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y －4≤0，x －y ＋2a ≥0，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤a 2}．若“点P (x ，y )∈A ”是“点P (x ，y )∈B ”的必要不充分条件，则a 的取值范围是____________．解析：由题意知B A ，从而得到圆面的半径≤圆心到相应直线的距离，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ≤3，|1＋1－4|2≥a ，|1－1＋2a |2≥a ，解得0＜a ≤ 2.答案：0＜a ≤ 25．甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者订做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异．甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费如下表所示，求组委会订做该工艺品的费用总和最低为多少元．解：设甲厂生产一等奖奖品x 件，二等奖奖品y 件，x ，y ∈N ， 则乙厂生产一等奖奖品(3－x )件，二等奖奖品(6－y )件．则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，3－x ≥0，6－y ≥0，x ，y ≥0，设费用为z 元，则z ＝500x ＋400y ＋800(3－x )＋600(6－y )＝－300x －200y ＋6 000，作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示．由图象知当直线经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即A (3，1)，故组委会订做该工艺品的费用总和最低为z min ＝－300×3－200×1＋6 000＝4 900(元)．6．已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，求ba的取值范围． 解：条件5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c 可化为：⎩⎪⎨⎪⎧3·a c ＋b c≥5，a c ＋b c≤4，b c ≥e a c .设a c＝x ，b c＝y ，则题目转化为：已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≥5，x ＋y ≤4，y ≥e x，x ＞0，y ＞0，求yx 的取值范围．求目标函数z ＝b a ＝y x的取值范围．作出不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，过原点作y ＝e x的切线，切线方程为y ＝e x ，切点P (1，e)在区域内．故当直线y ＝zx 过点P (1，e)时，z min ＝e ；当直线y ＝zx 过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，72时，z max ＝7，故b a ∈[e ，7]．。
高考数学一轮复习 第七章 不等式 第三节 二元一次不等
(B)
A.(-24,7) C.(-∞,-7)∪(24,+∞)
B.(-7,24) D.(-∞,-24)∪(7,+∞)
答案 B 根据题意知(-9+2-a)·(12+12-a)<0, 即(a+7)·(a-24)<0, 解得-7<a<24.
3.不等式组 xx
3y 6 0, y20
表示的平面区域是
(B )
x 0,
典例1 (1)不等式组x 3y 4,所表示的平面区域的面积等于
.
3x y
x y 2 0,
(2)若不等式组x
x
2y 2 0,表示的平面区域为三角形,且其面积等于
y 2m 0
4 3
,
则m的值为
.
x y 0,
(3)若不等式组
2x y
y
0,
2,
表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范
y 0
则A(0,2),B(-2,0),C(2,0),所以S阴=S△ABC= 1 ×4×2=4.
2
5.已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为 7 . 答案 7 解析 点P(x,y)在线段AB上且A(2,5),B(4,1),如图:
设z=2x-y,则y=2x-z, 当直线y=2x-z经过点B(4,1)时,z取得最大值,最大值为2×4-1=7.
(3)不等式组2yx0y 2,表示的平面区域如图所示(阴影部分).
解 2x xy y0,2得A
2 3
,
2 3
;解
y 0, 2x y
得B(1,0).
2
若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则直线x+y=a中的a的取值
高三数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件
1 y－－2 (3)z＝2· 表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(－1， x－－1 1 －2)连线的斜率的两倍， 7 3 3 7 因此kQA＝4，kQB＝8，故z的范围为[4，2]．
•【方法探究】 线性规划求最值问题，要充 分理解目标函数的几何意义，比如直线的截距 问题，两点间的距离问题，点到直线的距离， 过两点的直线的斜率等，只有把握好这点才能 准确求出．
• (2)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系 中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的 平面区域 且不 含边界，直线作图时边界直线画成 虚线 ，当我们在 坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时， 此区域应包括边界直线，此时边界直线画 成 ． •(3)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平 面点集的 实线 ，因而是各个不等式所表示平面区域 的 交集 公共部分 ．
•【方法探究】 利用线性规划解实际问题的 一般步骤 •(1) 认真分析并掌握实际问题的背景，收集有 关数据． •(2) 将影响问题的各项主要因素作为决策量， 设为未知数． •(3)根据问题特点，写出约束条件． •(4) 根据问题特点，写出目标函数，并求出最 优解或其他要求的解．
•3 ． (2009· 四川高考 ) 某企业生产甲、乙两种 产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、 B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、 每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个 生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨、 B 原料不 超过 18 吨，那么该企业可获得的最大利润是 ( ) •A．12万元 B．20万元 •C．25万元 D．27万元
•【思路导引】 本题以三峡水电为背景，实 际上谈的是电力调度分配问题，解这类问题的 重要数学模型是线性规划．由于江浙地区日均 电需求量至少需要1.35亿度，因此在安排时需 将每个电厂及其发电机组的发电能力结合起来， 显然与线性规划的整数解有关．
高三数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题练习.doc
第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题(6×5分＝30分)1．(2010·重庆高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则z ＝3x －2y 的最大值为( )A ．0B ．2C ．4D ．6解析：作出如图阴影所示的可行域，易得A (2,2)，B (0，－2)，把B 坐标代入目标函数，得z max ＝3×0－2×(－2)＝4，故选C.答案：C2．若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则yx的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：画出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0x >0y ≤2的可行域(如图所示)yx的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k ，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得A (1,2)，∴k ≥k OA ，∴yx≥2.答案：D3．(2010·改编题)已知点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤03x ＋4y ≥4y －2≤0上，点Q 在曲线(x ＋2)2＋y 2＝1上，那么|PQ |的最小值是( )A ．1B ．2C.2103－1 D.2103解析：如图，画出平面区域(阴影部分所示)，由圆心C (－2,0)向直线3x ＋4y －4＝0作垂线，圆心C (－2,0)到直线3x ＋4y －4＝0的距离为|3×－2＋4×0－4|32＋42＝2，又圆的半径为1，所以可求得|PQ |的最小值是1.答案：A4．已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤0.2x ＋3y －5≤0，4x ＋3y －1≥0，点Q (x ，y )在圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的最大值与最小值为( )A ．6,3B ．6,2C ．5,3D ．5,2解析：可行域如图阴影部分，设|PQ |＝d ，则由图中圆心C (－2，－2)到直线4x ＋3y －1＝0的距离最小，则到点A 距离最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，4x ＋3y －1＝0，得A (－2,3)．∴d max ＝|CA |＋1＝5＋1＝6，d min ＝|－8－6－1|5－1＝2. 答案：B5．(2009·福建高考)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0，(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，x ＝1，得A (1，a ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －1＝0，得B (1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，x ＋y －1＝0，得C (0,1)．∵△ABC 的面积为2，且a >－1， ∴S △ABC ＝12|a ＋1|＝2，∴a ＝3.答案：D6．(2009·陕西高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－4,2)C ．(－4,0]D ．(－2,4)解析：可行域为△ABC ，如图．当a ＝0时，显然成立．当a >0时，直线ax ＋2y －z ＝0的斜率k ＝－a2>k AC ＝－1，a <2.当a <0时，k ＝－a2<k AB ＝2，∴a >－4.综合得－4<a <2. 答案：B二、填空题(3×5分＝15分)7．(2011·济宁模拟)设z ＝x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0x －y ≤00≤y ≤k，若z 的最大值为6，则z 的最小值为________．解析：如图，x ＋y ＝6过点A (k ，k )，k ＝3，z ＝x ＋y 在点B 处取得最小值，B 点在直线x ＋2y ＝0上，B (－6,3)，∴z min ＝－6＋3＝－3. 答案：－38．(2011·安徽师大附中第一次质检)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2≥0，x ＋2y ＋1≤0，y ≥0，则z ＝(x ＋1)2＋(y －2)2的最小值是_______________________．解析：作出约束条件的可行域如图，z ＝(x ＋1)2＋(y －2)2，可看作可行域内的点到定点A (－1,2)的距离的平方，其最小值为点A (－1,2)到直线x ＋2y ＋1＝0的距离的平方，∴z min ＝(|－1＋2×2＋1|12＋22)2＝165. 答案：1659．(2011·大连调研)若P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0y ≥0y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过P 中的那部分区域的面积为________．解析：根据题意作图．图中阴影部分为所求的区域，设其面积为S ，S ＝S △AOD －S △ABC ＝12×2×2－12×1×12＝74.答案：74三、解答题(共37分)10．(12分)当x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≤x2x ＋y ＋k ≤0(k 为负常数)时，能使z ＝x ＋3y 的最大值为12，试求k 的值．解析：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)当直线y ＝－13x ＋13z 经过区域中的点A (－k 3，－k 3)时，z 取到最大值，等于－4k3.令－4k3＝12，得k ＝－9.∴所求实数k 的值为－9.11．(12分)某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台A 型或B 型电视机所得利润分别为6和4个单位，而生产一台A 型或B 型电视机所耗原料分别为2和3个单位；所需工时分别为4和2个单位，如果允许使用的原料为100单位，工时为120单位，且A 或B 型电视的产量分别不低于5台和10台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？解析：设生产A 型电视机x 台，B 型电视机y 台，则根据题意线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ≤100，4x ＋2y ≤120，x ≥5，y ≥10，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤100，2x ＋y ≤60，x ≥5，y ≥10.线性目标函数为z ＝6x ＋4y .根据约束条件作出可行域如图所示，作3x ＋2y ＝0. 当直线l 0平移至过点A 时，z 取最大值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝100，2x ＋y ＝60，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20.y ＝20.生产两种类型电视机各20台，所获利润最大．12．(13分)(2011·深圳模拟)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A 、B ，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：多少？解析：设搭载产品A x 件，产品B y 件， 预计总收益z ＝80x ＋60y . 则⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y ≤300，10x ＋5y ≤110，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域，如图．作出直线l 0：4x ＋3y ＝0并平移，由图象得，当直线经过M 点时z 能取得最大值，⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝30，2x ＋y ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝4，即M (9,4)．所以z max ＝80×9＋60×4＝960(万元)．∴搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元．。
高三数学一轮总复习 第七章 不等式 第三节 二元一次不
课时跟踪检测（三十八） 二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为________．解析：根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0. 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24. 答案：(－7,24)2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．解析：平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 ，|BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12×83×1＝43.答案：433．(2015·广东高考改编)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y的最小值为________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2表示的平面区域为如图所示的阴影部分，作直线l 0：3x ＋2y ＝0，平移直线l 0，当经过点A 时，z 取得最小值．此时⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，4x ＋5y ＝8，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，45 ，∴z min ＝3×1＋2×45＝235.54．(2016·苏州调研)若非负变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋2y ≤4，则x ＋y 的最大值为________．解析：画出可行域是如图所示的四边形OABC 的边界及内部，令z ＝x ＋y ，易知当直线y ＝－x ＋z 经过点C (4,0)时，直线在y 轴上截距最大，目标函数z 取得最大值，即z max ＝4.答案：45．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．解析：根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4.答案： 4二保高考，全练题型做到高考达标1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为________．解析：注意到直线kx －y ＝0恒过原点，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合题意得直线kx －y ＝0与直线x ＋y －4＝0垂直时满足题意，于是有k ×(－1)＝－1，由此解得k ＝1.答案：12．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，则z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最小值为________．解析：根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，而z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝2－3x －y ，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x －y 最小，最小值为132.323．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积为最大值S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π.答案：4π4．(2016·南京学情调研)已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x －1，x ＋3y －5≤0，那么点P 到直线3x －4y －13＝0的距离的最小值为________．解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x－4y －13＝0，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，到直线3x －4y －13＝0的距离最近的点是(1,0)．又点(1,0)到直线3x －4y －13＝0的距离等于|3×1－4×0－13|5＝2，即点P 到直线3x －4y －13＝0的距离的最小值为2.答案：25．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是________．解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3. 答案：－1或36．不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4.答案：47．(2016·山西质检)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．解析：作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1,0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为[－2,2]．答案：[－2,2]8．(2016·郑州第二次质量预测)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为________．解析：画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y 得，y ＝12x－b2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.答案：109.已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为：⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ]·[4×(－3)－3×2－a ]＜0，即(14－a )(－18－a )＜0.解得－18＜a ＜14.故a 的取值范围是(－18,14)．10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1. 所以z 的最大值为1， 最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a＜2.故所求a 的取值范围为(－4,2)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7,9)，显然点B 到直线x＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.答案：212．(2016·南通中学检测)已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝________.解析：画出x ，y 满足的可行域，如图中阴影部分所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k3，y ＝－k3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3，－k3.因此，目标函数z ＝x ＋3y 在点A 处取得最大值，所以－k3＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3 ＝8，所以k ＝－6. 答案：－63．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋－x －y ，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N.整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N.目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300. 作出可行域．如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元． 所以每天生产卫兵50个，骑兵50个， 伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．。
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.1 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题学案
学习资料第七章不等式、推理与证明7。
1二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题必备知识预案自诊知识梳理1。
二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的.我们把直线画成虚线以表示区域边界直线。
当我们在平面直角坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应边界直线,则把边界直线画成.(2)因为把直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x,y）代入Ax+By+C,所得的符号都,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点（x0，y0）作为测试点,由Ax0+By0+C的即可判断Ax+By+C>0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.（3）由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
2。
线性规划的相关概念问题的问题1。
二元一次不等式表示的平面区域二元一次不等式Ax+By+C≥0(A>0,B〉0）Ax+By+C≤0(A〉0,B〉0)Ax+By+C ≥0(A〉0，B<0)Ax+By+C≤0（A〉0,B<0）平面区域2.点P1（x1,y1)和P2（x2,y2)位于直线Ax+By+C=0考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√",错误的画“×”.（1）不等式x-y —1〉0表示的平面区域在直线x —y-1=0的上方.( )(2）两点（x 1，y 1），(x 2，y 2)在直线Ax+By+C=0异侧的充要条件是（Ax 1+By 1+C ）（Ax 2+By 2+C ）〈0.（ ） （3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域. ( ） （4）线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上。
( )(5）在目标函数z=ax+by (b ≠0）中,z 的几何意义是直线ax+by —z=0在y 轴上的截距.( ）2.不等式组{x -3y +6<0,x -y +2≥0表示的平面区域是（ ）3。
高考数学一轮复习 第七章 不等式 第三节 二元一次不等
第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题A组基础题组1.下面给出的四个点中,位于表示的平面区域内的点是( )A.(0,2)B.(-2,0)C.(0,-2)D.(2,0)2.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+5y的最小值为( )A.-4B.6C.10D.173.(2017北京,4,5分)若x,y满足则x+2y的最大值为( )A.1B.3C.5D.94.(2017北京朝阳一模)若x,y满足则y-x的最大值为( )A.0B.3C.4D.55.已知(x,y)满足则k=的最大值为( )A. B.C.1D.6.(2015北京,13,5分)如图,△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y 的最大值为.7.(2018北京东城期末)若x,y满足则y-2x的最小值为.8.(2016北京朝阳期末)已知正数x,y满足约束条件则z=的最小值为.9.(2016北京丰台期末)已知实数x,y满足则z=2x-y的最大值是.10.(2016北京丰台一模)已知x,y满足目标函数z=mx+y的最大值为5,则m的值为.B组提升题组11.(2015北京海淀二模)已知不等式组表示的平面区域为D,点O(0,0),A(1,0).若点M是D 上的动点,则的最小值是( )A. B. C. D.12.(2015北京东城二模)若实数x,y满足不等式组则z=2|x|+y的最大值为( )A.12B.11C.7D.813.(2015北京海淀期末)设不等式组表示的平面区域为D,则区域D上的点与坐标原点的距离的最小值是.14.(2016天津,16,13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:原料A B C肥料甲 4 8 3乙 5 5 10现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮能够产生最大的利润?并求出最大利润.答案精解精析A组基础题组1.C 将四个点的坐标分别代入不等式组满足条件的是点(0,-2).2.B 由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分).当直线2x+5y-z=0过点A(3,0)时,z min=2×3+5×0=6,故选B.3.D4.B5.C 如图,不等式组表示的平面区域为△AOB及其内部,k==表示点(x,y)和(-1,0)的连线的斜率.由图知,点(0,1)和点(-1,0)连线的斜率最大,所以k max==1.6.答案7解析由题意可知直线z=2x+3y经过点A(2,1)时,z取得最大值,即z max=2×2+3×1=7.7.答案-1解析作出不等式组所表示的平面区域,如图(阴影部分)所示,令z=y-2x,则y=2x+z,随直线l:y=2x+z,当通过点(1,1)时,z取得最小值,z min=1-2×1=-1.8.答案解析令t=2x+y,要使z=的值最小,则t=2x+y的值最大,作出不等式组表示的平面区域如图所示,注意x,y为正数,所以t=2x+y在B点取得最大值,由得B(1,2),则t的最大值为4,则z min==.9.答案 5解析作出不等式组表示的平面区域如图所示.将目标函数变形为y=2x-z.画出l0:y=2x.将l0平移至经过点A时z有最大值,联立求出A(3,1).故z max=2×3-1=5.10.答案解析作出不等式组表示的平面区域如图所示.求出图中交点A,B(1,2).①当m=0时,z=y,故z max=2,不符合题意.②当m<0时,在点A或B处均有可能取到最大值,得m=3或,均不符合题意.③若m>0,当在A处使得z=5时,得m=,经检验,符合题意,当在B(1,2)处使得z=5时,得m=3,而此时B(1,2)并不是目标函数的最优解.故舍去.综上,m=.B组提升题组11.C 作出平面区域D,如图中阴影部分.因为=cos ∠AOM,M是D上的动点,由图可知∠AOB≤∠AOM≤∠AOE,所以的最小值为cos ∠AOE,在△AOE中易得cos∠AOE=.故选C.12.B 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中A(6,-1),B(0,1),C(-2,-1),z=2|x|+y可转化为或①当x≥0时,直线z=2x+y经过点A(6,-1)时,z取最大值,即z max=11;②当x<0时,直线z=-2x+y经过点C(-2,-1)时,z取最大值,即z max=3.综上可知,z=2|x|+y的最大值为11,故选B.13.答案解析作出不等式组所表示的平面区域D,如图中的阴影部分所示,可知区域D上的点与坐标原点的距离的最小值即为原点到直线x+y-1=0的距离,即==.14.解析(1)由已知,x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:图1(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.图2解方程组得点M的坐标为(20,24).所以z max=2×20+3×24=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.。
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第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.(2015高考福建卷)若变量x,y满足约束条件则z=2x-y的最小值等于( A )(A)- (B)-2 (C)- (D)2解析:由约束条件画出可行域如图(阴影部分).当直线2x-y-z=0经过点A(-1,)时,z min=-.故选A.2.(2015哈尔滨校级三模)若A为不等式组表示的平面区域,则a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为( D )(A)9(B)3(C) (D)解析:如图,不等式组表示的平面区域是△AOB,动直线x+y=a(即y=-x+a)在y轴上的截距从-2变化到1.知△ACD是斜边为3的等腰直角三角形,△OEC是直角边为1的等腰直角三角形,所以区域的面积S=S△ACD-S△OEC=×3×-×1×1=.3.(2016浙江模拟)已知函数f(x)=log a x(a>1)的图象经过区域则a的取值范围是( C )(A)(1,] (B)(,+∞)(C)[,+∞) (D)(2,+∞)解析:作出区域D的图象,图中阴影部分如图所示.联系函数f(x)=log a x(a>1)的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点A(3,3)时,a可以取到最小值,而显然只要a大于,函数f(x)=log a x(a>1)的图象必然经过区域内的点.则a的取值范围是[,+∞).故选C.4.(2015岳阳二模)已知x,y∈R,不等式组所表示的平面区域的面积为6,则实数k的值为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:作出不等式组对应的平面区域,得k>0,由解得即A(-2k,k),由解得即B(k,k).因为平面区域的面积是6,所以·3k·k=6,即k2=4,由k>0得k=2.5.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( C )(A)1 800元(B)2 400元(C)2 800元(D)3 100元解析:设每天生产甲种产品x桶,乙种产品y桶,则根据题意得x,y的约束条件为设获利z元,则z=300x+400y.画出可行域如图.画直线l:300x+400y=0,即3x+4y=0.平移直线l,从图中可知,当直线过点M时,目标函数取得最大值.由解得即M的坐标为(4,4),所以z max=300×4+400×4=2 800(元).故选C.6.已知动点P(m,n)在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动,则z=的最小值是( D )(A)4 (B)3 (C) (D)解析:作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示.因为z=,所以z的几何意义是区域内过任意一点P(m,n)与点M(5,3)两点的直线的斜率.所以由图象可知当直线经过点A、M时,斜率最小,由得即A(2,2),此时k AM==,所以z=的最小值是.7.(2016柳州模拟)已知x,y满足不等式组则目标函数z=2x+y的最大值为.解析:作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分).由z=2x+y得y=-2x+z,平移直线y=-2x+z,由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时,直线y=-2x+z的截距最大,此时z最大.由解得即A(2,2),代入目标函数z=2x+y得z=2×2+2=6.即目标函数z=2x+y的最大值为6.答案:68.已知正实数m,n满足2<m+2n<4,则m2+n2的取值范围是.解析:作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示,令z=m2+n2,则z表示区域内的动点(m,n)到原点的距离的平方,由图可知z=m2+n2经过点D(4,0)时,z取最大值,此时z=16,而原点到直线m+2n=2的距离最短,故z min=()2=,又因为原不等式组所表示的平面区域不含边界,故m2+n2的取值范围为(,16).答案: (,16)9.(2016武汉模拟)若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的取值范围是.解析:由题意,由可求得交点坐标为(1,2),要使直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件如图所示,可得m≤1.答案:(-∞,1]10.已知D是以点A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部).如图所示.(1)写出表示区域D的不等式组.(2)设点B(-1,-6),C(-3,2)在直线4x-3y-a=0的异侧,求a的取值范围.解:(1)直线AB,AC,BC的方程分别为7x-5y-23=0,x+7y-11=0,4x+y+10=0.原点(0,0)在区域D 内,故表示区域D的不等式组为:(2)根据题意有[4×(-1)-3×(-6)-a][4×(-3)-3×2-a]<0,即(14-a)(-18-a)<0,解得-18<a<14.故a的取值范围是(-18,14).11.(2014陕西卷改编)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上,设=m+n(m,n∈R).用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.解:=(1,2),=(2,1),因为=m+n,所以(x,y)=(m+2n,2m+n),所以两式相减得m-n=y-x,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.能力提升练(时间:15分钟)12.(2015郑州二模)已知正数x,y满足则z=4-x·()y的最小值为( C )(A)1 (B)(C)(D)解析:z=4-x·()y=2-2x·2-y=2-2x-y,设m=-2x-y,要使z最小,则只需求m的最小值即可.作出不等式组对应的平面区域如图.由m=-2x-y得y=-2x-m,平移直线y=-2x-m,由平移可知当直线y=-2x-m经过点B时,直线y=-2x-m的截距最大,此时m最小.由解得即B(1,2),此时m=-2-2=-4,所以z=4-x·()y的最小值为2-4=.13.(2016衡水中学高二上第二次调研)若a≥0,b≥0,且当时,恒有ax+by≤1,则以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积等于.解析:由所确定的可行域为三角形,顶点坐标分别是A(0,0),B(1,0),C(0,1),代入ax+by≤1得所以由所确定的平面区域为边长为1的正方形,其面积为1.答案:114.变量x,y满足(1)设z=,求z的最小值;(2)设z=x2+y2,求z的取值范围.解:由约束条件作出可行域如图阴影部分所示.由解得A(1,).由解得C(1,1).由解得B(5,2).(1)因为z==,所以z的值即可行域中点与原点O连线的斜率.观察图形可知z min=k OB=.(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,d min=|OC|=,d max=|OB|=.所以2≤z≤29.即z的取值范围为[2,29].15.咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克,乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克.已知每天原料的使用限额为奶粉3 600克、咖啡2 000克、糖3 000克,甲种饮料每杯能获利润0.7元,乙种饮料每杯能获利润1.2元,每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大?解:设每天配制甲种饮料x杯、乙种饮料y杯可以获得最大利润,利润总额为z元.由条件知z=0.7x+1.2y,变量x、y满足作出不等式组所表示的可行域如图所示.作直线l:0.7x+1.2y=0,把直线l向右上方平移至经过A点的位置时,z=0.7x+1.2y取最大值.由方程组得A点坐标(200,240).答:应每天配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯方可获利最大.精彩5分钟1.(2015高考四川卷)设实数x,y满足则xy的最大值为( A )(A)(B)(C)12 (D)16解题关键:判断x,y取得最大值的点,并分类讨论确定最大值.解析:先画出可行域,再将xy转化为矩形面积S,求S的最大值.表示的可行域如图中阴影部分所示.令S=xy,不妨设在点M(x0,y0)处S取得最大值,且由图象知点M(x0,y0)只可能在线段AD,AB,BC上.①当M(x0,y0)在线段AD上时,x0∈[-2,0],此时S=xy≤0;②当M(x0,y0)在线段AB上时,x0∈[0,2],S=xy=x·=x7-=-+7x=-(x-7)2+,当x0=2时,S max=-(2-7)2+=-+=12;③当M(x0,y0)在线段BC上时,x0∈[2,4],S=xy=x·(10-2x)=-2x2+10x=-2(x-)2+,当x0=时,S max=.综上所述,xy的最大值为.2.(2015沈阳模拟)设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为6,则+的最小值为.解题关键:解决本题的关键是求出目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取最大值时,a,b所满足的条件,然后利用“1”的代换求+的最小值.解析:作出不等式组对应的平面区域如图.由z=ax+by(a>0,b>0)得y=-x+,则直线的斜率k=-<0,截距最大时,z也最大.平移直线y=-x+,由图象可知当直线y=-x+经过点A时,直线y=-x+的截距最大,此时z最大,由解得即A(4,6),此时z=4a+6b=6,即+b=1,所以+=(+)(+b)=++≥+2=+=,当且仅当=,即a=b时取等号.答案:11。