1.1.2 余弦定理
#高中数学必修五：1.1.2-1《余弦定理》(人教A版必修5)
∠B=120o，求 AC
A
B
120°
解：由余弦定理得
A 2 C A 2 B B 2 C 2 A B B cC B os C
3222232co1s2o0 19
AC 19
答：岛屿A与岛屿C的距离为 19 km.
例1、在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,c= 3 ,1
解三角形。
cosA<0，A为钝角，△ABC为钝角三角形。 练习2：在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，
求边长c的取值范围。
解：∵coCsa2b2c2 0
a2c2b2
coBs
0
2bc
2ac
3c 5
∴
余弦定理：
推论:
a2b2c22bcco As
cos
b2 A
c2 a2 2bc
b2a2c22acco BscosBc2 a2 b2
例2、已知△ABC的三边为 7 、2、1，
求它的最大内角。
解：设三角形的三边分别为a= 7 ,b=2,c=1
则最大内角为∠A
由余弦定理得coAs b2 c2 a2
2bc
22 12
2
7
221
120
练习1：在△ABC中，已知a=12,b=8,c=6, 判断△ABC的形状。
a2b2c2
设
C a B ,C b A ,A c B
由向量减法的三角形法则得
c ab
c 2 cc (a b )(a b )
﹚
aa 2a b b2b22a ab bcoCs
a2b22ac bo C s
c2a2 b 22 acbo Cs
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
高中数学：第一章 1.1 1.1.2 余弦定理
1．1.2余弦定理预习课本P5～6，思考并完成以下问题(1)余弦定理的内容是什么？(2)已知三角形的两边及其夹角如何解三角形？(3)已知三角形的三边如何解三角形？[新知初探]余弦定理余弦定理公式表达a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos_B，c2＝a2＋b2－2ab cos_C余弦定理语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍推论cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab[点睛]余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形()(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形()(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一()解析：(1)正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．(2)正确．当a2>b2＋c2时，cos A＝b2＋c2－a22bc<0.因为0<A<π，故A一定为钝角，△ABC为钝角三角形．(3)错误．当△ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此△ABC唯一确定．★答案★：(1)√(2)√(3)×2．在△ABC中，已知a＝9，b＝23，C＝150°，则c等于()A.39B．8 3C．10 2 D．7 3解析：选D由余弦定理得：c＝92＋(23)2－2×9×23×cos 150°＝147＝7 3.3．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于()A．60°B．45°C．120°D．30°解析：选C由cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴A＝120°.4．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝3b＝12，则c的值为()A．4 B．8C．4或8 D．无解解析：选C由3a＝3b＝12，得a＝4，b＝43，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.已知两边与一角解三角形[典例] (1)在△ABC 中，已知b ＝60 cm ，c ＝60 3 cm ，A ＝π6，则a ＝________cm ；(2)在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________. [解析](1)由余弦定理得： a ＝602＋(603)2－2×60×603×cos π6＝4×602－3×602＝60(cm)．(2)由余弦定理得：(5)2＝52＋BC 2－2×5×BC ×910，所以BC 2－9BC ＋20＝0，解得BC ＝4或BC ＝5. [★答案★] (1)60 (2)4或5已知三角形的两边及一角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好．[活学活用]在△ABC 中，a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，解这个三角形． 解：根据余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos 45°＝8， ∴b ＝2 2.又∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝8＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12，∴A ＝60°，C ＝180°－(A ＋B )＝75°.已知三角形的三边解三角形[典例] 在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，c ＝3＋3，解此三角形． [解] 法一：由余弦定理的推论得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(6)2＋(3＋3)2－(23)22×6×(3＋3)＝22，∴A ＝45°.同理可求B ＝30°，故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－30°＝105°. 法二：由余弦定理的推论得cos A＝b2＋c2－a22bc＝(6)2＋(3＋3)2－(23)22×6×(3＋3)＝22，∴A＝45°.由正弦定理asin A＝bsin B知23sin 45°＝6sin B，得sin B＝6·sin 45°23＝12.由a>b知A>B，∴B＝30°.故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°.(1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．[活学活用]在△ABC中，若a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则角C＝()A．60°B．45°C．135°D．45°或135°解析：选D∵cos C＝a2＋b2－c22ab，∴cos2C＝a4＋b4＋c4－2a2c2－2b2c2＋2a2b24a2b2.∵a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，∴a4＋b4＋c4－2c2a2－2c2b2＝0，∴cos2C＝2a2b24a2b2＝12，∴cos C＝±22，∴C＝45°或135°.利用余弦定理判断三角形形状[典例]在△ABC中，若b解：[法一化角为边]将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bc cos B cos C.由余弦定理并整理，得b2＋c2－b2⎝⎛⎭⎫a2＋b2－c22ab2－c2⎝⎛⎭⎫a2＋c2－b22ac2＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c 22ab，∴b 2＋c 2＝[(a 2＋b 2－c 2)＋(a 2＋c 2－b 2)]24a 2＝4a 44a2＝a 2.∴A ＝90°.∴△ABC 是直角三角形． [法二 化边为角]由正弦定理，已知条件可化为sin 2C sin 2B ＋sin 2C sin 2B ＝2sin B sin C cos B cos C . 又sin B sin C ≠0，∴sin B sin C ＝cos B cos C ，即cos(B ＋C )＝0. 又∵0°<B ＋C <180°，∴B ＋C ＝90°，∴A ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．利用余弦定理判断三角形形状的两种途径(1)化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断．(2)化角的关系：将条件转化为角与角之间关系，通过三角变换得出关系进行判断． [活学活用]在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形.正、余弦定理的综合应用 1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B . (1)求角B 的大小；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c . 解：(1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 故cos B ＝22，因此B ＝45°.(2)sin A ＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64. 故由正弦定理得a ＝b ·sin Asin B ＝1＋ 3.由已知得，C ＝180°－45°－75°＝60°， c ＝b ·sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.题点二：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 2．在△ABC 中，求证a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C . 证明：法一：(化为角的关系式)a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝(2R ·sin A )2·2sin B ·cos B ＋(2R ·sin B )2·2sin A ·cos A ＝8R 2sin A ·sin B (sin A ·cos B ＋cos A sin B )＝8R 2sin A sin B sin C ＝2·2R sin A ·2R sin B ·sin C ＝2ab sin C .∴原式得证．法二：(化为边的关系式)左边＝a 2·2sin B cos B ＋b 2·2sin A cos A ＝a 2·2b 2R ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b 2·2a 2R ·b 2＋c 2－a 22bc ＝ab 2Rc (a 2＋c 2－b 2＋b 2＋c 2－a 2)＝ab 2Rc ·2c 2＝2ab ·c 2R＝2ab sin C ＝右边， ∴原式得证．题点三：正、余弦定理与三角函数、平面向量的交汇应用3．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A a ＝3cos C c . (1)求C 的大小；(2)如果a ＋b ＝6，CA u u u r ·CB u u u r＝4，求c 的值． 解：(1)∵a sin A ＝c sin C，sin A a ＝3cos Cc ， ∴sin C ＝3cos C ．∴tan C ＝ 3. 又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵CA u u u r ·CB u u u r ＝|CA u u u r |·|CB u u u r |cos C ＝12ab ，又∵CA u u u r ·CB u u u r＝4，∴ab ＝8. 又∵a ＋b ＝6，由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12， ∴c ＝2 3.正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往往结合基本的三角恒等变换，同时注意三角形中的一些重要性质，如内角和为180°、大边对大角等．层级一 学业水平达标1．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选B ∵(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( ) A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：选C 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大， 所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析：选C 由c 2－a 2－b 22ab>0得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43B ．8－4 3C ．1D.23解析：选A 由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝43.5．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．1<a <3 B ．1<a <5 C.3<a < 5D ．不确定解析：选C 若a 为最大边，则b 2＋c 2－a 2>0，即a 2<5，∴a <5，若c 为最大边，则a 2＋b 2>c 2，即a 2>3，∴a >3，故3<a < 5.6．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________. 解析：∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120° ＝a 2＋c 2＋ac ， ∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0. ★答案★：07．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________. 解析：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴(3)2＝a 2＋12－2a ×1×cos2π3， ∴a 2＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0， ∴a ＝1，或a ＝－2(舍去)．∴a ＝1. ★答案★：18．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：因为b ＋c ＝7，所以c ＝7－b . 由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14， 解得b ＝4. ★答案★：49．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b . 解：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝82－2×15－2×15×12＝19.∴b ＝19.10．(2017·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值． 解：(1)在△ABC 中，因为a >b ， 故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， 所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513. 故sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝22×⎝⎛⎭⎫1213－513＝7226. 层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，有下列关系式：①a sin B ＝b sin A ；②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；④b ＝c sin A ＋a sin C . 一定成立的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C 对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B ＝sin C sin A ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝cos C sin A ＋cos A sin C ，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则a ，b 的大小关系为( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．不能确定解析：选A 在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab .∵c ＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，∴a 2－b 2＝ab >0，∴a 2>b 2，∴a >b .3．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c ，则△ABC 是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B ∵cos 2B 2＝a ＋c2c ，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c ，∴cos B ＝ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则AB u u u r ·BC u u u r的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5D ．－5解析：选D 由余弦定理得：cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝52＋72－822×5×7＝17.因为向量AB u u u r 与BC u u u r的夹角为180°－∠ABC ，所以AB u u u r ·BC u u u r ＝|AB u u u r |·|BC u u u r|cos(180°－∠ABC )＝5×7×⎝⎛⎭⎫－17＝－5. 5．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析：∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝22，∴sin C ＝22，∴AD ＝AC sin C ＝ 3. ★答案★： 36．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为________．解析：由余弦定理可得49＝AC 2＋25－2×5×AC ×cos 120°，整理得： AC 2＋5·AC －24＝0，解得AC ＝3或AC ＝－8(舍去)， 再由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝35. ★答案★：357．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B＝2c －a b . (1)求sin C sin A 的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长． 解：(1)由正弦定理可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k ， 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B， 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A＝2. (2)由sin C sin A＝2，得c ＝2a . 由余弦定理及cos B ＝14， 得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2， 所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，所以a ＝1，因此b ＝2.8．在△ABC 中，已知BC ＝15，AB ∶AC ＝7∶8，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长．解：由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x .在△ABC 中，由正弦定理，得7x sin C ＝8x sin B， ∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32， ∴∠C ＝60°(∠C ＝120°舍去，否则由8x >7x ，知B 也为钝角，不合要求)．再由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x×15cos 60°，∴x2－8x＋15＝0，∴x＝3或x＝5，∴AB＝21或AB＝35.在Rt△ADB中，AD＝AB sin B＝437AB，∴AD＝123或AD＝20 3.。
高三数学余弦定理5
c2 a2 b2 cos B 2ac
a2 b2 c2 cosC 2ab
应用： １、已知两条边和一个夹角，求第三条边。
２、已知三条边，求三个角。判断三角形的形状。
四类解三角形问题： （1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边 和角。 （3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他 两个角； （4）已知三边，求三个角。
必做题：等腰三角形的底边长为a，腰长 为2a,求腰上的中线长。 选做题：已知一钝角三角形的边长是三个连 续自然数，求该三角形的三边长。
（1）若三角形的三个角的比是1：2：3，最 大的边是20，则最小的边是_____.
（2）若A,B,C是⊿ABC的三个内角，则 sinA+sinB____sinC.
2 2 2 a b c 2bc cos A 即：
证明：在三角形ABC中，AB、BC、CA的长分别为c,a,b.
AB AC CB AB AB ( AC CB ) ( AC CB ) AC 2 AC CB CB
2 2 2 2
AC 2 AC CB cos(180 C ) CB
13
猜想：AB² =AC² +BC² －2AC×BC×cosC 对任意三角形是否成立？
研究：在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝c，BC=a，CA=b, ∵ BC AC AB
BC
2
( AC AB ) 2
2 2
BC AC AB 2 AC AB
2
| AC |2 | AB |2 2 | AC | | AB | cos A
0
b 2 2ab cosC a 2 即c 2 a 2 b 2 2ab cosC
1.1.2余弦定理黑底白字
变式训练3 如图所示,在△ABC中,已知BC=15 4 3 AB:AC=7:8,sinB= , 求BC边上的高AD的长. 7
思悟升华
1.解斜三角形时,要注意将正弦定理与余弦定 理有机结合起来,要根据条件灵活选用正,余弦 定理. 2.要注意三角形中常见的结论: (1)A+B+C=π; (2)大边对大角,反之亦然; (3)两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
余弦定理习题
1.在△ABC中, 角B, C的对边分别是a ,b,c,则 下列等式不成立的是( A.a =b +c -2bccosA B.b =c +a -2acosB b +c -a C.cosA= 2bc 2 2 2 a +b +c D.cosC= 2ab
2 2 2 2 2 2 2 2 2
)
2.已知△ABC满足B 60 , AB=3,AC= 7, BC的长等于( ) A.2 B.1 C.1或2 D.无解
3.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C= .
3 4.在△ABC中, AB 2, BC 1, cos C , 4 则AC .
5.在△ABC中,sinA=2cosBsinC,则三角 形为 .
6.在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大 角和sinC.
典例导语
类型一 例1 利用余弦定理解三角形 在 ABC中,已知b=3,c=2 3,A =30 ,
求边a, 角C和角B.
变式训练1 已知在 ABC中,a:b:c=2: 6:( 3+1), 求 ABC的各角度数.
类型二
判断三角形的形状
例2 在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=2bc且 sinA=2sinBcosC,是确定△ABC的形状.
1.1.2余弦定理
∠B=120o，求 AC
A
B
120° 解：由余弦定理得
AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC cos B
6 3.4 2 6 3.4 cos120
2 2 o
C
67.96
AC 8.24
答：岛屿A与岛屿C的距离为8.24 km.
在直角三角形 ABD中, 有c 2 AD 2 BD 2
而AD b sinC BD a CD a b cos C
c (b sinC ) (a b cos C )
2 2 2
c
b C
B
a
D
b 2 sin2 C a 2 b 2 cos 2 C 2abcos C
巩固提高
4.在ABC中, 若a b c, 且c a b , 则ABC为（）
2 2 2
A.直角三角形 C .钝角三角形
B .锐角三角形 D.不存在
5.已知一个锐角三角形的 边长分别为 ,3, x, 则x的 2 取值范围是
6在ABC中, a b 2, b c 2, 且最大角的正 弦值 3 等于 , 则三角形的三 边长为 2
A 2.在三角形ABC中，a 2 c 2 b 2 ab, 则角C的大小为 _______
C b A c ab 1 2 2 2 a c b ab cos C C 60 2ab 2
a2 b2 c2 解析： C cos 2ab
a
B
三.判断三角形的形状
2 2 2
2 B 45 2 C 180 A B 180 60 45 75
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理人教A版必修5
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
探究 2 已知三边(三边关系)解三角形 例 2 (1)在△ABC 中，若 a＝7，b＝4 3，c＝ 13，则 △ABC 的最小角为( )
πππ π A.3 B.6 C.4 D.12 (2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为 120°，求此三角形的 最大边长． 答案 (2)见解析
2．做一做
(1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 5π
若 a＝1，b＝ 7，c＝ 3，则 B＝____6____. (2) 已知 △ABC 的 三边 分 别为 2,3,4 ， 则此 三 角形是
___钝__角___三角形．
π (3)在△ABC 中，若 a2＋b2－c2＝ab，则角 C 的大小为 ___3_____．
解析 (1)因为 c<b<a，所以最小角为角 C. 所以 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝429×＋74×8－4 133＝ 23， 所以 C＝π6，故选 B.
(2)已知 a－b＝4，且 a>b，且 a＝b＋4，又 a＋c＝2b， 则 b＋4＋c＝2b，所以 b＝c＋4，则 b>c，从而 a>b>c，所以 a 为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.
解 利用边的关系判断， 由正弦定理，得sinC＝c，
sinB b 由 2cosAsinB＝sinC，得 cosA＝2ssininCB＝2cb， 又 cosA＝b2＋2cb2c－a2，∴2cb＝b2＋2cb2c－a2，即 a＝b.
又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab， ∴b＝c， 综上 a＝b＝c，∴△ABC 为等边三角形．
#高中数学必修五：1.1.2-2《余弦定理》(人教A版必修5)
＝
a2＋42－c2 8a
＝
8－c2＋42－c2 88－c
＝
108－ －2cc.②
由①②知8－ 2cc＝180－－c2c，整理得5c2－36c＋64＝0.
∴c＝156或c＝4(舍)，∴a＝8－c＝254.故a＝254，c＝156.
1．余弦定理的正确理解
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这
3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝ 60°，则a＝________.
4．在△ABC中，若(a＋b)2＝c2＋ab，则 角C等于________．
解析：∵(a＋b)2＝c2＋ab，∴c2＝a2＋b2 ＋ab.
又c2＝a2＋b2－2abcosC.∴a2＋b2＋ab＝ a2＋b2－2abcosC.
②确定三角形的形状．
解答本题先由正弦定理将边转化为角，然 后由三角恒等式进行化简，得出结论；也 可先由余弦定理及同角三角函数关系转化 成边之间的关系，然后由边的关系确定三
则 条 件 转 化 为 4R2·sin2C·sin2B ＋ 4R2·sin2C·sin2B
＝8R2·sinB·sinC·cosB·cosC， 又sinB·sinC≠0， ∴sinB·sinC＝cosB·cosC， 即cos(B＋C)＝0. 又0°<B＋C<180°， ∴B＋C＝90°， ∴A＝90°，故△ABC为直角三角形．
解：∵sinC>0 且 sinC＋cosC<0， ∴cosC<0， 则 cosC＝－ 1－sin2C＝－45. 由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcosC， 得 c2＝4＋25－2×2×5×(－45)＝45， ∴c＝3 5.
[ (c ＋ a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，求△ABC的最大内 角的正弦值．
1.1.2余弦定理
知识导图
学法指导 1.重点掌握余弦定理及其推论，并能通过向量法证明此定理． 2．注意弄清楚正、余弦定理的作用，在解三角形中灵活选择， 实现边和角的相互转化.
知识点一 余弦定理及其推论
文字 三角形中任意一边的平__方__等于其他两边的平__方__的_和___
三边(a，b，c)
余弦定理
由余__弦___定__理_求出角___A_，_；B再利用 A＋B＋ C＝180°求出角 C，在有解时只有一解
两边和其中 一边的对角 (如 a，b，A)
由 正__弦__定__理__ 求 出 角 B ； 由
正弦定理、__A_＋__B_＋__C__＝__1_8_0_°_求出角 C；再利用 余弦定理 正__弦__定__理__或_余__弦__定__理_求 c，可有两解、
状元随笔 (1)已知两边和夹角可直接用余弦定理求解．
(2)已知两边和其中一边的对角，求解时既可以先由正弦定理求 另一边对角，也可以由余弦定理得第三边 a 的方程，先求出 a.
(3)由余弦定理可建立 b＋c 与 bc 的关系，从而求出 b、c.
方法归纳
1．已知两边及其中一边的对角解三角形的方法 (1)先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定 理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边．要注意判断解的情况． (2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方 程的方法求出此边长．
2．已知两边及其夹角解三角形的方法 方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形 内角和定理求出其他两角． 方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形 内角和定理求出其他两角． 特别提醒：解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以 用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，用正弦定理 方便，若只求边，用余弦定理方便．
1.1.2余弦定理
解 法一 在△ABC 中，由 cos2A2＝b＋2cc， 得1＋c2os A＝b＋2cc，∴cos A＝bc. 根据余弦定理，得b2＋2cb2c－a2＝bc. ∴b2＋c2－a2＝2b2，即 a2＋b2＝c2.
∴△ABC 是直角三角形.
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解析 ∵c2＝a2＋b2－2abcos C ＝16＋36－2×4×6×－12 ＝76， ∴c＝ 76＝2 19. 答案 D
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2.在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________.
解析 ∵a2－c2＋b2＝ab， ∴c2＝a2＋b2－ab. 又∵c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴2cos C＝1. ∴cos C＝12.
又由 A∈(0°，180°)，得 A＝60°，故选 C.
答案 C
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2.在△ABC 中，若 AB＝ 13，BC＝3，∠C＝120°，则 AC＝( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 在△ABC 中，若 AB＝ 13，BC＝3，∠C＝120°， AB2＝BC2＋AC2－2AC·BCcos C， 可得：13＝9＋AC2＋3AC， 解得 AC＝1 或 AC＝－4(舍去).故选 A.
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【迁移 2】 若三角形三边长之比是 1∶ 3∶2，则其所对角之比
是( A )
A.1∶2∶3
B.1∶ 3∶2
C.1∶ 2∶ 3
D. 2∶ 3∶2
解析 设三角形三边长分别为 m， 3m，2m(m＞0)，最大角为 A，
则 cos A＝m2＋（ 32mm）· 32－m （2m）2＝0，
人教版高中数学课件-高中数学必修五课件：1.1.2-2《余弦定理》(人教A版必修5)
[解] 设 b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k，其中 k>0.易解得
a＝72k，b＝52k，c＝32k，
3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝ 60°，则a＝________.
4．在△ABC中，若(a＋b)2＝c2＋ab，则角 C等于________．
解析：∵(a＋b)2＝c2＋ab，∴c2＝a2＋b2＋ ab.
又c2＝a2＋b2－2abcosC.∴a2＋b2＋ab＝a2 ＋b2－2abcosC.
由正弦定理sianA＝sincC得
sinC＝csianA＝5×7
3 2 ＝5143，
∴最大角 A 为 120°，sinC＝5143.
[例3] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝ 2bccosBcosC，试判断三角形的形状．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
① 边 角 之 间 的 关 系 ： b2sin2C ＋ c2sin2B ＝ 2bccosBcosC；
利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角 形的问题： 各角
(1)已知三边，求
第；三边和其他两个角
(2)已知两边和它们的夹角，求 ．
1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8， 则△ABC的形状是
( )
A．锐角三角形 形
B．直角三角
C．钝角三角形
D．非钝角三角形
解 析 ： 因 为 AB2 ＋ BC2 － AC2 ＝ 52 ＋ 62 － 82<0，
[分析] 由条件知C为边a、b的夹角，故应 由余弦定理来求c的值．
1.1.2余弦定理2
§ 1.1.2 余弦定理
引入
正弦定理可解决的几类问题 :
(1)已知两角和任一边, 解三角形; (2)已知两边和其中一边对角, 解三角形.
例1、在ABC中, b 60, c 34, A 41 , 解 三角形 ?
0
新课
如图, 在ABC中, CB a, CA b, AB c.
0
新课
正弦定理可解决的几类问题 :
(1)已知两角和任一边, 解三角形;
SSA? AAS,ASA
(2)已知两边和其中一边对角, 解三角形.
余边和它们的夹角, 解三角形; (2)已知三边, 解三角形.
SSS SAS
新课
练习、在ABC中 :
(1)b 8, c 3, A 60 , 求a;
0
(2)a 2, b 2 , c 3 1, 求A.
结束
A
b
c
C
a
B
新课
余弦定理 :
三角形中任何一边的平方等于其他两边 的平方的和减去这两边与它们的夹角的 余弦的积的两倍.即
a 2 b 2 c 2 2bc cos A, b 2 a 2 c 2 2ac cos B, c 2 a 2 b 2 2ab cos C.
新课
余弦定理的推论 :
b c a cos A , 2bc a 2 c2 b2 cos B , 2ac 2 2 2 a b c cos C . 2ab
2 2 2
新课
1、在ABC中, b 60, c 34, A 41 , 解
0
三角形(角度精确到1 , 边长精确到1).
0
2、在ABC中, a 7, b 10, c 6, 解三 角形(角度精确到1 ).
1.1.2余弦定理-人教A版高中数学必修五课件
试一试
若三角形的三边为7，8，3，试判断此三角形的形
状.
钝角三角形
四.小结
四类解三角形问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和 角。 （3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两 个角； （4）已知三边，求三个角。
五、题型探究
题型一 余弦定理的简单应用
解：由余弦定理知，有 cos B a 2 c 2 b2 , 2ac
代入c a cos B, 得c a a 2 c 2 b2 , b2 c 2 a 2 2ac
△ABC是以A为直角的直角三角形，sin C c a
又 b a sin C, b a c c. a
△ ABC也是等腰三角形
又 2cos Asin B sin C,且sin B 0 cos A sin C c . 2sin B 2b
由余弦定理，有 cos A b2 c 2 a 2 , 2bc
c b2 c 2 a 2 ,即c 2 b2 c 2 a 2 , a b
2b
2bc
又 (a b c)(a b c) 3ab，且a b
例3、在△ABC中，a2>b2+c2，那么A是( A )
A、钝角
B、直角
C、锐角
D、不能确定
结论：一般地,判断△ABC是锐角，直角还是钝角
三角形,可用如下方法.
设a是最长边,则由 cos
A
b2
c2
a2
可得
2bc
（1）A为直角⇔a²=b²+c²
（2）A为锐角⇔a²<b²+c²
（3）A为钝角⇔a²>b²+c²
又 2cos Asin B sin C,
高中数学必修五 第一章余弦定理
【例】在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，
求证：a2 b2
c2
sin A B
. sin C
【规范解答】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,
b2=a2+c2-2accosB，
∴a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.
整理得：a2 b2
c2
a cos B bcos A， c
【解析】∵c4-2(a2+b2)c2+a4+a2b2+b4=0，
∴［c2-(a2+b2)］2-a2b2=0，∴c2-(a2+b2)=±ab，
cos C a2 b2 ∴cC2=1210°或60°.
2ab
2
角形中最大内角，
由余弦定理
∴C=120°. cos C a2 b2 c2 1，
2ab
2
正、余弦定理的综合应用 【名师指津】正、余弦定理的综合应用
正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系，要解 三角形，必须已知三角形的一边的长，对于两个定理，根据实 际情况可以选择性地运用，也可以综合运用，要注意以下关系 式的运用：
【例3】在△ABC中，若sinA-2sinBcosC=0，试判断△ABC的 形状.
【规范解答】方法一：∵sinA-2sinBcosC=0,∴由正弦定
理知a=2bcosC,再由余弦定理得 a a2 b2 c2 ,
2b
2ab
∴b2=c2,b=c,.故△ABC为等腰三角形.
方法二：由sinA=sin(B+C),∴有sinBcosC+cosBsinC2sinBcosC=0,即sinCcosB-cosCsinB=0,sin(CB)=0,∴C-B=0,即C=B.故△ABC为等腰三角形.
1.1.2 余弦定理0
§1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理
临澧县第一中学 于坤华
知识梳理
1．余弦定理
1.1.2 余弦定理
三 角 形 中 任 何 一 边 的 平方 等 于 其 他 两 边 的 平方 的 和 减 去 这 两 边 与 它 们
的 夹角的余弦的积的 两倍 ．
即 a2＝ b2＋c2－2bccos A ，b2＝ c2＋a2－2cacos B ，c2＝ a2＋b2－2abcos C .
例 2 在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，判断三角形的形状．
解
因为 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5， 所以可令 a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0)．c 最大，cos
C＝2k22＋×24kk×2－4k5k2<0，
所以 C 为钝角，从而三角形为钝角三角形.
思考 余弦定理作为勾股定理的推广，你能否考虑借助勾股定理来证明余弦定理？
C
b
a
当角C为锐角时
A
b
c
当角C为钝角时
A
A
c
BC
aD
BD
小结 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边
与它们的夹角的余弦的积的两倍．
即 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
例 题 讲 解：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 1.1.2 余弦定理
例 3 在△ABC 中，有(1)a＝bcos C＋ccos B；(2)b＝ccos A＋acos C；(3)c＝acos B＋bcos A；
这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．
第一章 1.1.2 第2课时 正弦定理和余弦定理
第2课时 正弦定理和余弦定理学习目标 1.熟练掌握正弦、余弦定理及其变形形式.2.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．知识点一 正弦定理、余弦定理及常见变形 1．正弦定理及常见变形(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径)； (2)a ＝b sin A sin B ＝c sin A sin C ＝2R sin A ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .2．余弦定理及常见变形 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ； (2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.知识点二 有关三角形的隐含条件 (1)由A ＋B ＋C ＝180°可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， (2)由大边对大角可得sin A ＞sin B ⇔A ＞B .(3)由锐角△ABC 可得任意两内角之和大于π2，进而可得sin A ＞cos B .1．当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形．( × ) 2．△ABC 中，若cos 2A ＝cos 2B ，则A ＝B .( √ ) 3．在△ABC 中，恒有a 2＝(b －c )2＋2bc (1－cos A )．( √ )4．△ABC 中，若c 2－a 2－b 2>0，则角C 为钝角．( √ )题型一 利用正弦、余弦定理解三角形例1 在△ABC 中，若c cos B ＝b cos C ，cos A ＝23，求sin B 的值．解 由c cos B ＝b cos C ，结合正弦定理， 得sin C cos B ＝sin B cos C ，故sin(B －C )＝0，∵0<B <π，0<C <π， ∴－π<B －C <π，∴B －C ＝0，B ＝C ，故b ＝c .∵cos A ＝23，∴由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2·23＝23b 2，得3a 2＝2b 2，再由余弦定理，得cos B ＝66，故sin B ＝306. 引申探究1．对于本例中的条件，c cos B ＝b cos C ，能否使用余弦定理？ 解 由余弦定理，得c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab .化简得a 2＋c 2－b 2＝a 2＋b 2－c 2， ∴c 2＝b 2，从而c ＝b .2．本例中的条件c cos B ＝b cos C 的几何意义是什么？ 解 如图，作AD ⊥BC ，垂足为D . 则c cos B ＝BD ，b cos C ＝CD .∴c cos B ＝b cos C 的几何意义为边AB ，AC 在BC 边上的射影相等． 反思感悟 (1)边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段． (2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式．跟踪训练1 在△ABC 中，已知b 2＝ac ，a 2－c 2＝ac －bc . (1)求A 的大小； (2)求b sin B c的值．解 (1)由题意及余弦定理知， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝ac ＋bc －ac 2bc ＝12，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)由b 2＝ac ，得b c ＝ab ，∴b sin Bc ＝sin B ·a b ＝sin B ·sin A sin B ＝sin A ＝32. 题型二 判断三角形形状例2 在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＋b a ＝cos B ＋cos A cos B ，试判断三角形的形状．解 方法一 由正弦定理知，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，R 为△ABC 外接圆半径． ∵a ＋b a ＝cos B ＋cos Acos B ， ∴sin A ＋sin B sin A ＝cos B ＋cos Acos B，∴sin A cos B ＋sin B cos B ＝sin A cos B ＋sin A cos A ， ∴sin B cos B ＝sin A cos A ， ∴sin 2B ＝sin 2A ， ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．方法二 由a ＋b a ＝cos B ＋cos A cos B ，得1＋b a ＝1＋cos Acos B ，b a ＝cos Acos B，由余弦定理，得cos A cos B ＝b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac＝a b ·b 2＋c 2－a2a 2＋c 2－b 2，∴b a ＝a (b 2＋c 2－a 2)b (a 2＋c 2－b 2). a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， a 2c 2－a 4＝b 2c 2－b 4， c 2(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)． ∴a 2＝b 2或c 2＝a 2＋b 2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．反思感悟 (1)要结合题目特征灵活选择使用正弦定理还是使用余弦定理． (2)变形要注意等价性，如sin 2A ＝sin 2B ⇏2A ＝2B . c 2(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2) ⇏c 2＝a 2＋b 2.跟踪训练2 在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定答案 C解析 由正弦定理知，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∴sin 2A ＋sin 2B <sin 2C 可化为 a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0. ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0.∴角C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．题型三 利用正弦、余弦定理进行求值、化简和证明 例3 在△ABC 中，有 (1)a ＝b cos C ＋c cos B ； (2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A ，这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．证明 方法一 (1)由正弦定理，得 b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴b cos C ＋c cos B ＝2R sin B cos C ＋2R sin C cos B ＝2R (sin B cos C ＋cos B sin C ) ＝2R sin(B ＋C ) ＝2R sin A ＝a . 即a ＝b cos C ＋c cos B .同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A . 方法二 (1)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a ＝2a 22a ＝a .∴a ＝b cos C ＋c cos B .同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A .反思感悟 证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系．跟踪训练3 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝ . 答案 1解析 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a cos A c ＝4cos A 3＝1.求三角形一角的值典例 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3或2π3C.π3D.π6或5π6 答案 B解析 ∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，代入已知等式得2ac ·cos B tan B ＝3ac ， 即sin B ＝32，则B ＝π3或2π3. [素养评析] 选择运算方法是数学运算素养的内涵之一．运算从一点出发可以有无限个方向．一个式子也可以有无限个变形，逐个试探肯定不现实．那么如何选择运算方向才能算得出，算得快？要点有3个：①公式要熟，如本例至少应知道cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，tan B ＝sin Bcos B .②观察联想，如看到a 2＋c 2－b 2应联想到a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B .③权衡选择，如本例也可把所有的边都化为相应角的正弦，但权衡运算繁简，不如整体把a 2＋c 2－b 2化为2ac cos B 简单.1．在△ABC 中，若b 2＝a 2＋c 2＋ac ，则B 等于( ) A ．60° B ．45°或135° C ．120° D ．30°答案 C解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2＋ac ， ∴ac ＝－2ac cos B ，cos B ＝－12，又0°<B <180°， ∴B ＝120°.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B <c sin C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定答案 C解析 根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，故C 是钝角，△ABC 是钝角三角形．3．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶3∶2，则cos B 等于( ) A.1116 B.79 C.2116 D.2916 答案 A解析 依题意设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝2k (k >0)，则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16k 2＋4k 2－9k 22×4k ×2k ＝1116.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c cos A ＋a cos C ＝2c ，若a ＝b ，则sin B 等于( ) A.154 B.14 C.34D.32答案 A解析 ∵c cos A ＋a cos C ＝2c ，∴由正弦定理可得sin C cos A ＋sin A cos C ＝2sin C ， ∴sin(A ＋C )＝2sin C ， ∴sin B ＝2sin C ，∴b ＝2c ， 又a ＝b ，∴a ＝2c .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4c 2＋c 2－4c 22×2c 2＝14，∵B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝154.1．熟悉正弦、余弦定理的各种变形，注意观察题目条件的结构特征，根据这些特征尽量使用正弦、余弦定理各种变形整体代换，可以有效减少计算量． 2．对所给条件进行变形，主要有两种方向 (1)化边为角． (2)化角为边．一、选择题1．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( ) A ．能组成直角三角形 B ．能组成锐角三角形 C ．能组成钝角三角形 D ．不能组成三角形答案 B解析 设最大角为θ，则最大边对应的角的余弦值为 cos θ＝52＋62－722×5×6＝15>0，所以能组成锐角三角形．2．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，则sin B 等于( ) A.154 B.14 C.32 D.12答案 A解析 由2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，得2(a 2＋c 2－b 2)＋ac ＝0. 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， ∴4ac cos B ＋ac ＝0.∵ac ≠0，∴4cos B ＋1＝0，cos B ＝－14，又B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝154. 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 C解析 ∵a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， ∴13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°， 即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23 答案 A解析 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C ， ∴(a ＋b )2－c 2＝2ab (1＋cos C ) ＝2ab (1＋cos 60°)＝3ab ＝4， ∴ab ＝43.5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2－b 2＝ab ，C ＝π3，则sin Asin B 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 由余弦定理得c 2－b 2＝a 2－2ab cos C ＝a 2－ab ＝ab ，所以a ＝2b ，所以由正弦定理得sin Asin B ＝a b＝2. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则C 等于( )A.π3B.3π4C.2π3D.5π6 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B 和3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b ，即b ＝35a ，又b ＋c ＝2a ，∴c ＝75a ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝2π3.7．若△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为( )A.922B.924C.928 D ．9 2答案 B解析 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，θ为长度为2,3的两边的夹角，则sin θ＝1－cos 2θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924.8．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( )A.1010 B.105 C.31010 D.55答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理，得 AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC ·cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3×cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC ，得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC ＝3×sinπ45＝3×225＝31010.二、填空题9．在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，c ＝2，则csin C ＝ .答案 2解析 ∵由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝3，∴b ＝3，∴由正弦定理得，c sin C ＝b sin B ＝332＝2. 10．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ，则B ＝ .答案 45°解析 由正弦定理，得a 2＋c 2－2ac ＝b 2，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22. 又因为B 为三角形的内角，所以B ＝45°.11．在△ABC 中，a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ .答案 30°解析 由sin C ＝23sin B 及正弦定理，得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32， 又0°<A <180°，所以A ＝30°.三、解答题12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，a 2＋c 2－b 2＝65ac . 求2sin 2A ＋C 2＋sin 2B 的值． 考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合题点 正弦、余弦定理与三角变换的综合解 由已知得a 2＋c 2－b 22ac ＝35， 所以cos B ＝35， 又因为角B 为△ABC 的内角，所以sin B >0，所以sin B ＝1－cos 2B ＝45，所以2sin 2A ＋C 2＋sin 2B ＝2cos 2B 2＋sin 2B ＝1＋cos B ＋2sin B cos B＝1＋35＋2×45×35＝6425. 13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ,C 的对边,且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．解 (1)∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，∴2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. ∵0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°，由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝3，∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. 又∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°，∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°，∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为正三角形．14．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定答案 A解析 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc＝⎝⎛⎭⎫b －c 22＋3c 242bc >0，∴0°<A <90°，即角A 是锐角．15．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A a ＝3cos C c. (1)求C 的大小；(2)如果a ＋b ＝6，CA →·CB →＝4，求c 的值．考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合题点 正弦、余弦定理与平面向量的综合解 (1)由正弦定理，sin A a ＝3cos C c 可化为sin A 2R sin A ＝3cos C 2R sin C，即tan C ＝ 3.又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3. (2)CA →·CB →＝|C A →||CB →|cos C ＝ab cos C ＝4， 且cos C ＝cos π3＝12.∴ab ＝8. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab ＝62－3×8＝12.∴c ＝2 3.。
1.1.2余弦定理
思考
在解三角形的过程中，求某一个角 有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理， 两种方法有什么利弊呢？
正弦定理 在已知三边和一个角的情况下：求另一个角余弦定理
(1)用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要 进行判断取舍。 (2)用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断取舍。
（六）课堂小结，类比升华
（五）典例剖析，拓展提升
类型三 正、余弦定理的综合应用 [例 3] 如图所示，在四边形 ABCD 中，AD⊥CD，AD＝10，AB ＝14，∠BDA＝60° ，∠BCD＝135° ，求 BC 的长．
[解] 在△ABD 中，由余弦定理得 AB2＝AD2＋BD2－2AD· BD· cos∠ ADB， 设 BD＝x，则有 142＝102＋x2－2×10xcos60° ， 即 x2－10x－96＝0， 解得 x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16. ∵AD⊥CD，∠BDA＝60° ， ∴∠CDB＝30° . 在△BCD 中，由正弦定理得 16 BC＝sin135° · sin30° ＝8 2.
定理 内 容 定理
正弦定理
a b c ＝ ＝ sin A sin B sin C =2R
余弦定理 a2＝ b2＝
b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcosC
； ；
c2 ＝
.
正弦定理 ①已知两角和任一边，求另
余弦定理 ①已知三边，求各
解决的 一角和其他两条边； 问题 ②已知两边和其中一边的对 角，求另一边和其他两角.
2018/4/12
B
C
（二）抽象概括，建模探究
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA 的夹角为∠C，求边c.
1.1.2余弦定理
练习1：在△ABC中，已知 a 3 3, c 2, B 150°求b
解：
b 2 a 2 c 2 2 ac cos B
(3 3) 2 2 2 2 3 3 2 cos150
3 27 4 12 3 ( ) 2
=31+18 =49
∴b=7
练习2：
解：由例2可知 A=45°
方法二： 方法一：
，
思考
在解三角形的过程中，求某一个角有时
既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有 什么利弊呢？ 余弦定理 正弦定理
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 ㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
b ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc a cos A 解： 2bc
2 2 2
( 2) 2 ( 3 1) 2 2 2 2 2 ( 3 1)
242 34 2( 3 1) 2 2 ( 3 1) 2 2( 3 1)
2 1 2 2
∴A=45°
例3：在△ABC中，已知c a=2 3 1,b= 解三角形。 2
b
A c B
五、余弦定理基本应用
1.已知两边及它们的夹角，求第三边； 2.已知三边，求三个角。 例1：隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人 员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，再 利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计 算求出山脚的长度BC。
转化：在 △ABC中，
3, c 6 2,
3.在△ABC中，已知 a 2 , b 2 , A=45°，求边长c，B，C。
在△ABC中， a 7, b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
第一部分 第一章 1.1 1.1.2 余弦定理
＝4＋9－2×2×3cos 60°＝7. ∴| AB |＝ 7 . 问题4：由问题3的推导方法，能否用b，c，A表示a?
提示：能．
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1．余弦定理 文字表述 三角形中任何一边的平方 等于其他两边的平方的和 公式表达 cosA a2＝ b2＋c2－2bc· cosB b2＝ a2＋c2－2ac· cosC c2＝ a2＋b2－2ab·
1.1 第 一 章 解 三 角 形 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 1.1. 2
理解教材新知 考点一 把握热点考向 考点二 考点三
余 弦 定 理
应用创新演练
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△ABC中，若AC＝2，BC＝3，C＝60°.
问题1：这个三角形确定吗？ 提示：确定． 问题2：能否直接利用正弦定理求得AB? 提示：不能．
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[精解详析]
(1)由余弦定理得
b2＋c2－a2 2 22＋ 6＋ 22－2 32 1 cos A＝ 2bc ＝ ＝2， 2×2 2× 6＋ 2 a2＋c2－b2 2 32＋ 6＋ 22－2 22 2 cos B＝ 2ac ＝ ＝2， 2×2 3× 6＋ 2 ∴A＝60° ，B＝45° ， ∴C＝180° －A－B＝180° －60° －45° ＝75° .
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6＋ 2 当 c＝ 2 时，由余弦定理得 6＋ 2 2 b2＋c2－a2 2＋ 2 －3 1 cos A＝ 2bc ＝ ＝ . 6＋ 2 2 2× 2× 2 ∵0° <A<180° ，∴A＝60° .∴C＝75° . 6－ 2 当 c＝ 2 时，由余弦定理得
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6－ 2 2 b2＋c2－a2 2＋ 2 －3 1 cos A＝ 2bc ＝ ＝－2. 6－ 2 2× 2× 2 ∵0° <A<180° ，∴A＝120° ，C＝15° . 6＋ 2 6－ 2 故 c＝ 2 ，A＝60° ，C＝75° c＝ 2 ，A＝120° 或 ， C＝15° .
高中数学必修五第一章《正弦定理和余弦定理》1.1.2 第1课时余弦定理及其直接应用
1.1.2 余弦定理第1课时 余弦定理及其直接应用学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.知识点一 余弦定理思考1 根据勾股定理，在△ABC 中，C ＝90°，则c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .① 试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？ 答案 当a ＝b ＝c 时，C ＝60°，a 2＋b 2－2ab cos C ＝c 2＋c 2－2c ·c cos 60°＝c 2，即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC ，都有c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .思考2 在c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 中，ab cos C 能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？ 答案 ab cos C ＝|CB →||CA→CB →，CA →＝CB →·CA →.∴a 2＋b 2－2ab cos C ＝CB →2＋CA →2－2CB →·CA →＝(CB →－CA →)2＝AB →2＝c 2. 猜想得证.梳理 余弦定理的公式表达及语言叙述特别提醒：余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立.(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中的三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量. 知识点二 适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题思考1 观察知识点一梳理表格第一行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案 每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角.故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形.思考2 观察知识点一梳理表格第三行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案 每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形.梳理 余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形.1.勾股定理是余弦定理的特例.(√)2.余弦定理每个公式中均涉及三角形的四个元素.(√)3.在△ABC 中，已知两边及夹角时，△ABC 不一定唯一.(×)类型一 余弦定理的证明例1 已知△ABC ，BC ＝a ，AC ＝b 和角C ，求c 的值. 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的理解解 如图，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，由AB →＝CB →－CA →，知c ＝a －b ， 则|c |2＝c ·c ＝(a －b )·(a －b ) ＝a ·a ＋b ·b －2a ·b ＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos C . 所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即c ＝a 2＋b 2－2ab cos C .反思与感悟 所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方. 跟踪训练1 例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？ 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的理解解 如图，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A (0,0)，B (c ,0)， C (b cos A ，b sin A )，∴BC 2＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A ， 即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 类型二 用余弦定理解三角形 命题角度1 已知两边及其夹角例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，cos(A ＋B )＝13，则c 等于( ) A.4 B.15 C.3D.17考点 用余弦定理解三角形 题点 已知两边及其夹角解三角形 答案 D解析 由三角形内角和定理可知 cos C ＝－cos(A ＋B )＝－13，又由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×⎝⎛⎭⎫－13＝17， 所以c ＝17.反思与感悟 已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角.跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A . 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知两边及其夹角解三角形解 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8－43， 所以c ＝6－ 2.由正弦定理，得sin A ＝a sin C c ＝12，因为b >a ，所以B >A ， 所以A 为锐角，所以A ＝30°. 命题角度2 已知三边例3 在△ABC 中，已知a ＝26，b ＝6＋23，c ＝43，求A ，B ，C . 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知三边解三解形解 根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝(6＋23)2＋(43)2－(26)22×(6＋23)×(43)＝32. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝(26)2＋(6＋23)2－(43)22×26×(6＋23)＝22， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.∴B ＝π－A －C ＝π－π6－π4＝7π12，∴A ＝π6，B ＝7π12，C ＝π4.反思与感悟 已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝b 2＋a 2－c 22ba 先求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理.跟踪训练3 在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5，判断三角形的形状. 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知三边解三角形解 因为a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5， 所以可令a ＝2k ，b ＝4k ，c ＝5k (k >0). c 最大，cos C ＝(2k )2＋(4k )2－(5k )22×2k ×4k <0，所以C 为钝角，从而三角形为钝角三角形.1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35，则三角形的第三边长为( )A.52B.213C.16D.4 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知两边及其夹角解三角形 答案 B解析 设第三边长为x ，则x 2＝52＋32－2×5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝52，∴x ＝213. 2.在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12考点 用余弦定理解三角形 题点 已知三边解三角形 答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角且C 为锐角， 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32. 又∵C 为锐角，∴C ＝π6.3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34 C.32 D.78 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知三边解三角形 答案 D解析 设顶角为C ，周长为l ，因为l ＝5c ，所以a ＝b ＝2c ， 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4c 2＋4c 2－c 22×2c ×2c ＝78.4.在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则c 2＝ .考点 用余弦定理解三角形 题点 已知两边及其夹角解三角形 答案 30－4 6解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(32)2＋(23)2－2×32×23×13＝30－4 6.5.在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝ .考点 余弦定理及其变形应用 题点 用余弦定理求边或角的取值范围 答案 1解析 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴(3)2＝a 2＋12－2a ×1×cos 2π3，∴a 2＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0.∴a ＝1或a ＝－2(舍去).∴a ＝1.1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角，解三角形. (2)已知三边求三角形的任意一角.2.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角. (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角. (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.一、选择题1.在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的变形应用 答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ca ＝2a 22a ＝a ＝2.2.在△ABC 中，已知B ＝120°，a ＝3，c ＝5，则b 等于( ) A.4 3 B.7 C.7 D.5 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知两边及其夹角解三角形 答案 C解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，∴b ＝7. 3.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A.90° B.120° C.135° D.150° 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知三边解三角形答案 B解析 设中间角为θ，则θ为锐角，cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求.4.在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.23 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的变形应用 答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ×2a＝34.5.若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A.19 B.14 C.－18 D.－19 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的变形应用 答案 D解析 设三角形的三边分别为a ，b ，c ， 依题意得，a ＝5，b ＝6，c ＝7.∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝－ac ·cos B . 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，∴－ac ·cos B ＝12(b 2－a 2－c 2)＝12(62－52－72)＝－19，∴AB →·BC →＝－19.6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C 等于( )A.1B.2C.12D.34考点 用余弦定理解三角形 题点 已知三边解三角形 答案 A解析 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a cos Ac＝4cos A3＝1.7.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从点O 沿OD 走到点D 用了2 min ，从点D 沿DC 走到点C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为( ) A.50 m B.45 m C.507 m D.47 m 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知两边及其夹角解三角形 答案 C解析 依题意得OD ＝100 m ， CD ＝150 m ， 连接OC ，易知∠ODC ＝180°－∠AOB ＝60°， 因此由余弦定理，得OC 2＝OD 2＋CD 2－2OD ×CD ×cos ∠ODC ， 即OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12，解得OC ＝507(m).8.若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43B.8－4 3C.1D.23 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的变形应用 答案 A解析 (a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4， 又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴3ab ＝4，∴ab ＝43.二、填空题9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2<c 2，且sin C ＝32，则C ＝ .考点 余弦定理及其变形应用 题点 用余弦定理求边或角的取值范围 答案2π3解析 因为a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以三角形是钝角三角形，且C >π2.又因为sin C ＝32，所以C ＝2π3. 10.在△ABC 中，A ＝60°，最大边长与最小边长是方程x 2－9x ＋8＝0的两个实根，则边BC 的长为 .考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理与一元二次方程结合问题 答案57解析 设内角B ，C 所对的边分别为b ，c .∵A ＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b ，c .由条件可知b ＋c ＝9，bc ＝8，∴BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ＝92－2×8－2×8×cos 60°＝57，∴BC ＝57.11.在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是 . 考点 余弦定理解三解形 题点 已知三边解三角形 答案3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC＝22，∵C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin C ＝22.∴AD ＝AC ·sin C ＝3. 三、解答题12.在△ABC 中，已知A ＝120°，a ＝7，b ＋c ＝8，求b ，c . 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的变形应用解 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )，所以49＝64－2bc ⎝⎛⎭⎫1－12，即bc ＝15, 由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝8，bc ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3，c ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝5，c ＝3. 13.在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .(1)求B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值.考点 用余弦定理解三角形题点 余弦定理解三角形综合问题解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得a 2＋c 2－b 2＝2ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22. 又0<B <π，所以B ＝π4. (2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以C ＝3π4－A,0<A <3π4. 所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎫3π4－A＝2cos A ＋cos3π4cos A ＋sin 3π4sin A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4. ∵0<A <3π4，∴π4<A ＋π4<π， 故当A ＋π4＝π2， 即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1. 四、探究与拓展14.已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1无公共点，则△ABC 的形状是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定考点 判断三角形形状 题点 利用余弦定理判断三角形形状答案 B解析 ∵直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1无公共点，∴圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2>1，即a 2＋b 2－c 2<0，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0， 又C ∈(0，π)，∴C 为钝角.故△ABC 为钝角三角形.15.在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，则AC 边上的中线长为 . 考点 用余弦定理解三角形题点 已知三边解三角形答案 7解析 由条件知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝92＋82－722×9×8＝23， 设中线长为x ，由余弦定理，知x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2×AC 2×AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49， 所以x ＝7.所以AC 边上的中线长为7.。
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C) CB
c 2 a 2 b 2 2ab cosC
定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减
去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
定理内容及其适用
a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 a 2 c 2 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cosC
(3)由于 a∶b∶c＝1∶ 3∶2，可设 a＝x，b＝ 3x，c＝ 2x. b2＋c2－a2 3x2＋4x2－x2 3 由余弦定理得 cosA ＝ ＝ ＝ 2 ， 2bc 2· 3x· 2x π ∴A＝6. 1 π π 同理 cosB＝2，cosC＝0，∴B＝3，C＝2. π π π ∴A＝ ，B＝ ，C＝ . 6 3 2
• 1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则 △ABC的形状是 • ( ) • A．锐角三角形 B．直角三角形 • C．钝角三角形 D．非钝角三角形 • 解析：因为AB2＋BC2－AC2＝52＋62－82<0， • ∴AC边所对角B为钝角，故选C. • 答案：C
2．在△ABC 中，AB＝3，BC＝ 13，AC＝4.则 AC 边上的高 为( ) 3 A.2 2 3 C. 2 3 B.2 3 D．3 3
在 Rt ABD 中
AB 2 AD 2 BD 2 ( AC sin C ) 2 (CB CD ) 2 AC 2 CB 2 2CB AC cosC
AC 2 sin 2 C CB 2 2CB AC cosC AC 2 cos2 C
c 2 a 2 b 2 2ab cosC
当角C为锐角时 证明：过A作AD 在Rt ADC 中 CB交CB 于D C A
b
a D
c
AD AC sin C, CD AC cosC
在 Rt ABD 中
B
AB 2 AD 2 BD 2
( AC sin C ) 2 (CB CD ) 2 AC 2 sin 2 C CB 2 2CB AC cosC AC 2 cos2 C AC 2 CB 2 2CB AC cosC
b
C
c
a
B
[解]
cos15° ＝cos(45° －30° )＝
6＋ 2 . 4
由余弦定理知，c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2 2×( 6＋ 2)＝8－4 3. ∴c＝ 8－4 3＝ 6－ 22＝ 6－ 2.
a c 由正弦定理得sinA＝sinC， 6－ 2 2× 4 asinC asin15° 1 sinA＝ ＝ ＝ ＝ ， c c 2 6－ 2 1 ∵b>a，sinA＝2，∴A＝30° .∴B＝180° －A－C＝135° .
b2 c2 a2 cos A 2bc 2 2 2 a c b cos B 2bc 2 2 2 a b c cosC 2ab
余弦定理可以解决以下三有 关三角形的问题： （1）已知三边求三个角； （2）已知两边和它们的夹角， 求第三边和其他两个角。 （3）判断三角形的形状。
几何法证明
坐标法证明
证明：以CB所在的直线为X轴， 过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立 如图所示的坐标系，则A、B、C三点 的坐标分别为：
A(b cosC, b sin C ), B(a,0), C (0,0)
AB 2 (b cosC a) 2 (b sin C 0) 2 b cos C 2ab cosC a b sin C
c a b 2ab cosC
2 2 2
几何法证明
当角C为钝角时 证明：过A作AD CB交BC的延长线于D 在Rt ACD 中 AD AC sin(180 C ) AC sin C
CD AC cos( 180 C ) AC cosC
A c b D C a B
(3)由于 a∶b∶c＝1∶ 3∶2，可设 a＝x，b＝ 3x，c＝ 2x. b2＋c2－a2 3x2＋4x2－x2 3 由余弦定理得 cosA ＝ ＝ ＝ 2 ， 2bc 2· 3x· 2x π ∴A＝6. 1 π π 同理 cosB＝2，cosC＝0，∴B＝3，C＝2. π π π ∴A＝ ，B＝ ，C＝ . 6 3 2
5．在△ABC 中： (1)a＝1，b＝1，C＝120° ，求 c； (2)a＝3，b＝4，c＝ 37，求最大角； (3)a∶b∶c＝1∶ 3∶2，求 A、B、C.
解：(1)由余弦定理得 1 c ＝a ＋b －2abcosC＝1 ＋1 －2×1×1×(－ )＝3，∴c＝ 2
2 2 2 2 2
3； (2)显然 C 角最大， a2＋b2－c2 32＋42－37 1 ∴cosC＝ ＝ ＝－ ，∴C＝120° ； 2ab 2 2×3×4
共2课时 珠海市金海岸中学 唐云辉
复习
1、向量的数量积： a b a b cos A 2、勾股定理：
a b c
2 2
2
b C
c B
证明：
AB AC CB
AB AB ( AC CB)(AC CB) AC AC 2 AC CB CB CB 2 2 2 AB AC CB
思考题：若 ABC为任意三角形，已知角C，BC=a, CA=b,求AB边c. A
解： AB AC CB
b
C
c a
B
AB AB ( AC CB)(AC CB)
AC AC 2 AC CB CB CB
AB 2 AC 2 2 AC 2
CB cos(1800
a
c 2 b2 a 2
课题引入
当
C 90 时
A
A b
c a b
2 2
当
2
b
C
c c a
B
C 90 时
2 2 2
c a b
当
C 90 时
c a b
2 2
2
AB边的大小与BC、AC边的大 小和角C的大小有什么关系呢？ 怎样用它们表示AB呢？
向余弦定理 cosA＝ ＝2，sinA＝ 2 ，AC 边 2×3×4 3 3 上的高＝AB· sinA＝3× ＝ 3. 2 2
答案：B
• 3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝60°，则a＝________.
• • • • •
4．在△ABC中，若(a＋b)2＝c2＋ab，则角C等于________． 解析：∵(a＋b)2＝c2＋ab，∴c2＝a2＋b2＋ab. 又c2＝a2＋b2－2abcosC.∴a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcosC. ∴－2cosC＝1，∴cosC＝－ ，∴C＝120°. 答案：120°
2 2 2 2 2
a 2 b 2 2ab cosC
c a b 2ab cosC
2 2 2
余弦定理的适用
利用余弦定理，可以解决：
（1）已知三边，求三个角； （2）已知两边及夹角，求第三边和其他两个角. （3）判断三角形形状
A
a2＋b2－c2 cosC＝ 2ab c2=a2＋b2－2abcosC.
5．在△ABC 中： (1)a＝1，b＝1，C＝120° ，求 c； (2)a＝3，b＝4，c＝ 37，求最大角； (3)a∶b∶c＝1∶ 3∶2，求 A、B、C.
解：(1)由余弦定理得 1 c ＝a ＋b －2abcosC＝1 ＋1 －2×1×1×(－ )＝3，∴c＝ 2
2 2 2 2 2
3； (2)显然 C 角最大， a2＋b2－c2 32＋42－37 1 ∴cosC＝ ＝ ＝－ ，∴C＝120° ； 2ab 2 2×3×4
[点评] 本题中比例系数k的引入是解题的关键．
方法 2：将已知等式变形为 b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B) ＝2bccosBcosC，
2 2 2 2 2 2 a ＋ b － c a ＋ c － b 即有 b2＋c2－b2· ( 2ab )2－c2· ( 2ac )2
a2＋c2－b2 a2＋b2－c2 ＝2bc· · ， 2ac 2ab
• 1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是 • ( • A．锐角三角形 B．直角三角形 • C．钝角三角形 D．非钝角三角形 • 解析：因为AB2＋BC2－AC2＝52＋62－82<0， • ∴AC边所对角B为钝角，故选C. • 答案：C
)
2．在△ABC 中，AB＝3，BC＝ 13，AC＝4.则 AC 边上的高 为( ) 3 A.2 2 3 C. 2 3 B.2 3 D．3 3
9＋16－13 1 3 解析：由余弦定理 cosA＝ ＝2，sinA＝ 2 ，AC 边 2×3×4 3 3 上的高＝AB· sinA＝3× ＝ 3. 2 2
答案：B
• 3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝60°， 则a＝________. • 4．在△ABC中，若(a＋b)2＝c2＋ab，则角C等 于________． • 解析：∵(a＋b)2＝c2＋ab，∴c2＝a2＋b2＋ab. • 又 c2 ＝ a2 ＋ b2 － 2abcosC.∴a2 ＋ b2 ＋ ab ＝ a2 ＋ b2－2abcosC. • ∴－2cosC＝1，∴cosC＝－ ，∴C＝120°. • 答案：120°
2 2 2 2 2 2 2 [ a ＋ b － c ＋ a ＋ c － b ] 2 2 即 b ＋c ＝ 4a2
4a4 2 ＝ 2＝a ，即 b2＋c2＝a2，∴△ABC 为直角三角形． 4a
• [点评] 判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系 进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边 关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系， 从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已 知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得 出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状．