高中数学(教案 课内预习学案 课内探究学案 课后练习与提高)数学归纳法 新人教A版选修12

2. 3数学归纳法
一、预习目标：
理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法．能较好地理解“归纳奠基”和“归纳递推”两者缺一不可。

二、预习内容：
提出问题：
问题1：前面学习归纳推理时，我们有一个问题没有彻底解决．即对于数列，已知，( n=1,2,3…)，通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想出其通项公式
，但却没有进一步的检验和证明．
问题2：大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？(多媒体演示多米诺骨牌游戏)
这是一个码放骨牌游戏，码放时保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…最后，不论有多少块骨牌都能全部倒下．讨论问题：
问题1、问题2有什么共同的特征？其结论成立的条件的共同特征是什么
结论成立的条件：结论对第一个值成立；结论对前一个值成立，则对紧接着的下一个值也成立．
上面两个条件分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一个？你能举反例说明吗？
在上述两个条件中，第一个条件是归纳递推的前提和基础，没有它，后面的递推将无从谈起；第二个步骤是核心和关键，是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带．
如在前面的问题1中，如果不是1，而是2，那么就不可能得出，因此第一
步看似简单，但却是不可缺少的．而第二步显然更加不可缺少．这一点在多米诺骨牌游戏中也可清楚地看出．
解决问题：
由上，证明一个与自然数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)证明当n取第一个值()时命题成立；
(2)假设n=k(k≥,)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
由以上两个步骤，可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立．
这种证明方法叫做数学归纳法，它是证明与正整数n(n取无限多个值)有关、具有内在递推关系的数学命题的重要工具．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容
课内探究学案
一、 学习目标
（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。

（2）初步理解数学归纳法原理。

（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。

（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。

二、学习过程：
例1、证明等差数列通项公式d n a a n )1(1-+=：
解析：（1）让学生理解数学归纳法的严密性和合理性；（2）掌握从到
时等式左边的变化情况。

证明：(1) 当n ＝1时等式成立；
(2) 假设当n ＝k 时等式成立, 即d k a a k )1(1-+=, 则d a a k k +=+1=d k a ]1)1[(1-++, 即n ＝k ＋1时等式也成立
由 （1）、（2）可知， 等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=对任何n ∈*
N 都成立．
点评：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意以下三句话： 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。

变式训练1 .在数列{n a }中, 1a ＝1, n
n n a a a +=
+11(n ∈*
N ), 先计算2a ，3a ，4a 的值，再推测通项n a 的公式, 最后证明你的结论．
例2、 用数学归纳法证明
()．
解析：（1）进一步让学生理解数学归纳法的严密性和合理性，从而从感性认识 上升为理性认识； （2）掌握从到
时等式左边的变化情况，合理的进行添项、拆项
合并项等。

证明：（1）时：左边，右边，左边=右边，等式成立。

右边=+++++=
6
]
1)1(2][1)1)[(1(k k k
∴当
时等式也成立。

由 （1）、（2）可知，对一切
，原等式均成立
点评：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意以下三句话： 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。

变式训练2：用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n －1）＝2
n ．
反思总结：
1．归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明；
2．数学归纳法作为一种证明方法，用于证明一些与正整数
有关数学命题，它的基本
思想是递推思想，它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；
3．递推归纳时从到
，必须用到归纳假设，并进行适当的恒等变换。

注意
明等式时第一步中时左右两边的形式，第二步中
时应增加的式子；第二步中
证明
命题成立是全局的主体，主要注意两个“凑”：一是“凑”
时的形式（这
样才好利用归纳假设），二是“凑”目标式。

当堂检测： 1．观察式子：213122+<，221151233++<，2221117
12344
+++<，，则可归纳出式子
为（ ） Ａ．22211
111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ．2
2211111(2)2321n n n ++++<+≥ Ｃ．22
2111211(2)23n n n n -++++<≥ Ｄ．22
211121(2)2321
n n n n +
+++
<+≥ 答案：Ｃ
2．用数学归纳法证明：首项是1a ，公比是q 的等比数列的通项公式是
1
1-=n n q
a a ，前n 项和公式是).1(1)
1(1≠--=
q q
q a s n n 课后练习与提高 一、选择题
1．用数学归纳法证明)14(3
1
)12(53122
222-=-++++n n n 过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左边增加的项为 （ ） A.2
)2(k B.2
)32(+k C. 2
)12(+k D. 2
)22(+k
2．凸n 边形有f(n)条对角线，凸n+1边形对角线 的条数f(n +1)为 （ ） A. f(n)+n +1 B. f(n)+n C. f(n)+n -1 D. f(n)+n -2
3．用数学归纳法证明不等式
)2(24
1321312111≥>++++++n n n n n 的过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左边 （ ） A.增加了一项
)
1(21
+k
B.增加了一项
)
1(21
121+++k k C.增加了“
)1(21121+++k k ”，又减少了“11
+k ” D.增加了“
)1(21+k ”，又减少了“1
1
+k ”
二、填空题 4．已知数列
)1(1,431,321,211+⨯⨯⨯n n ，计算得 ,4
3
,32,21321===s s s ，由此可猜测=n s _______．
5．若f(k)=++-+- 4131211,21
121k
k --则)1(+k f = )(k f + _______． 三、解答题
6．由下列不等式：112>，111123++>，1113123
72++++
>，11
1
1223
15
++++>，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．
参考答案：1. C 2. C 3. C 4.
1+n n 5.2
21121+-+k k 6．解：根据给出的几个不等式可以猜想第n 个不等式，即一般不等式为：
1111()23212n n
n *+
+++>∈-N ． 用数学归纳法证明如下： （1）当1n =时，1
12
>
，猜想成立； （2）假设当n k =时，猜想成立，即111123
212
k
k
++++
>-， 则当1n k =+时，
111111111
11
1
21
123
21221
212221
21222
k k k k k k k k k k k k ++++++++++++>++++>+=-+-+-，即当1n k =+时，猜想也正确，所以对任意的n *∈N ，不等式成立．。