关于蚂蚁算法解决物流配送路径优化问题的探讨
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上的信息度浓度。 ａ ． 局部更新规则
：（ １ ｐ‘ ；＋ ；ｔ１ ； ） ，（ △二（＋） ｔ ＝ ｉ ＋ ｔ ） ｔ ，
（１ １） － ２１ １ －
胡卉， 关于蚂蚁算法解决物流配送路径优化问题的探讨 等：
其 △ ｉ＋＝ ：（ １ 中 ，ｔｌ艺△ ｋｔ） ｊ ） （ ， ｔ ｉ＋ ； ｔ ，
胡卉， 关于蚂蚁算法解决物流配送路径优化问题的探讨 等：
关妈算解物配路优 问的讨 于蚁法决流送径化题探
Ｓｕ ｙ Ａ ｔ ｏｉ ｍ Ｓｌ ｔｅ ｈ ｌ Ｒ ｕｉｇ ｏｌ ｉｎ Ｌ ｇ ｔ ｓ ｔｄ ｏ ｎ Ａｇｒｈ ｔ ｏ ｅ Ｖ ｉｅ ｔ Ｐ ｂｅ ｎ ｌ ｔ ｏ ｖ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｒ ｍ ｏｉｉ ｓｃ 胡 卉， 申金升， 纪寿文 Ｈ Ｈ ｉＳ Ｅ ｆ －ｈｎ， ｈｕｗ ｎ Ｕ ， Ｎ ｓｅｇＪ Ｓｏ－ ｅ ｕ Ｈ ｉ ｎ Ｉ （ 北京交通大学， 北京 １０４ ） ００４
的行为引入优化问题时， 需要介绍人工蚂蚁的概念， 它们是一 些运动的个体， 在城市间移动的过程中， 依据一定的概率函数 对下一个城市进行选择。初始时刻， 人工蚂蚁分布在随机选择 ３１算法选择— 蚂蚁算法 ． 的城市上。在每一次迭代过程中， 当蚂蚁从一个城市移动到下 蚂蚁算法是一种源于自 然界中生物世界的新的仿生类随 一个城市以及遍历完所有的城市之后， 更新路径上的信息素浓 机型 搜索算法， 算法由 利学者ＭＤｒ ，． ｎｚ ，． 该 意大 ． ｉ Ｖ ａｅｏ ｏｇ Ｍ ｉｚ Ａ ｏ 度。 如此反复迭代， 直至满足设定的算法终止条件（ 如到达一定 Ｃｌｉ 等首先提出２蚂蚁算法首先在旅行商问 ＴＰ 工件 ｏｒｉ ｏｎ １ ［ １ 。 题（ ） Ｓ和 的迭代次数） 。相关变量定义如下： 排序问题上获得成功， 之后被陆续应用到许多领域， 如图形着 ｍ 蚂蚁个数； 一 色问题、 大规模集成电路设计、 通讯网络中的负载均衡问题、 车 Ｔ 弧ｉ上的 迹强 （ ｎｔ ， 轨 度（ｅ ｉ ； ； ｊ 一边 （） ｊ ｉ ｓ） ｎ ｙ ｔ 辆调度问题等［ ３ ） 。国内对蚂蚁算法的研究始于 １９ 年初， 前 ９９ 目 、一 边弧（） ｉ上的能见度（ｓｉｙ 取城市间距离的倒 （ ， ｊ （ ｉｌ） ｖ ｂｉ ， ｉ ｔ 已取得了一些初步成果。
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Ｌｇｔｓ ｃｎｌ ｙ ４， ０ ｏｉｉ Ｔ ｈｏ ｇ ｓｃ ｅ ｏ Ｎ７ ０６ ２
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｝ 物流技术 ２０ 年 期 ０６ 第７
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Ａｇｒｈ ； ｉ ｅ ｔｎ ｌ ｉ ｍ ｆ ｓ ｌｓｌ ｉ ｏｔ ｅ ｂ ｏ ｏ ａ ｕ
ｘｉ ｊｋ 二
１ 、 ｅｓ Ｊ
车辆 ｋ 从点 ｉ 行驶到点ｉ
否则
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Ｘ 佑 二
点ｉ 的任务由车辆 ｋ 完成 否则
ｃ 从点 ｉ ｉ ； ： 它的含义可以是距离、 时间， 到点ｊ 的运输成本，
费用等， 一般根据实际情况确定， 也可同时考虑车辆数和运行 费用 ， 如下确定：
、 ， 产
１ ＝ｏ ｆ二０
艺艺ｘｗＴｔ ｒ ｋ ，＇ ；ｉ；） ＝ ．ｍ ｊ＋＋－ １． ｋ ； ｋ ． （ ｊ
９
车辆路径优化问题的具体情况， 对算法中相应的转移规则和迹 更新规则进行重新设定， 以满足具体的问题约束， 而后又针对 算法缺点， 对其进行改进， 即使用蚁群算法解决问题。
Ｌ 第ｋ ｋ 一 只蚂蚁构造路径的长度； 以下确定相关规则： （） １路径转移概率。 初始时， 每只蚂蚁都被放到随 机选择的一个城市上， 路径构造是依据一定的转移概 率进行， ｋ 第 只蚂蚁在ｔ 时刻从城市ｉ 到城市． ｌ 的转
路径， 这种能力是依靠蚂蚁留 下的分泌物信息素（ ｅｍｎ ｐ ｒ ｏ） ｈｏ ｅ
Ｄｒｏ ｏｇ５ ｉ［ １ 曾经研究给出两种确定△Ｔ １ ｉｔ ） ｊ ＋ 值的方法即 （ ｔ ，
（） ２
业； 根据各个用户的不同需求， 在配送中心将所需要的货物挑 选出来的配货作业； 考虑配送货物的质量和体积， 充分利用车 辆的载重和容积的车载货物的配装及配送路线的选择。 进行配 送系统优化， 主要就是物流配送路径的优化选择问题， 即通过 制定合理的配送路径， 快速而经济地将货物送达用户手中。配 送路径的选择是否合理， 对加快配送速度、 提高服务质量、 降低
３ 蚁群算法的构造过程 ． ３
ＴＰ Ｓ 是优化领域的经典难题 ， 已被归人 Ｎ 难解问题。 Ｐ 本文 以ＴＰ Ｓ 问题为例， 阐述蚂蚁算法的基本构造思想及运行机制１ １ ９
ＴＰ Ｓ 可用图Ｇ ， 表示， ＝ ） （Ａ Ｎ 其中Ｎ为要访问的城市集合， Ａ ｛ｊ｝ｊ 且ｉ ｊ ＝ｉ ｉＥ ＊ｊ （ ，Ｎ ， ） ， 是连接其中 任意两个城市的弧的集合； ｄ表 市ｉ 城市Ｊ 距 将蚂蚁 ； 示城 和 ｊ 间的 离。 群体觅食时 路径 选择
３ 算法设计
３ ． ２蚂蚁算法基本原理
蚂蚁有能力在没有任何可见提示下找出到食物源的最短
数， ／； 即１ ｊ ｄ
的数量；
△，一蚂 在 （） 下的 、 蚁ｋ 边弧ｉ上留 单位长度轨迹信息素 ， ｊ
ｐ一蚂蚁ｋ 转移概率； 的 ｋ ｊ ａ 轨迹的相对重要性（ － ） 一 Ｃ ０； Ｌ 日 能见度白相 年 对重要性（ － ） 一 ｐ ０ ； ｐ 轨迹的 一 持久性（ ｐ ） － （ １ １ｐ理解为轨迹的 ０ － － ， 挥 发度（ａ ｒｉ） ｅ ｐ ａｏ ； ｖ ｏ ｔｎ Ｎ一 蚂 在ｉ ｋ 蚁ｋ 城市时的可 行顶点集； Ｑ 体现蚂蚁所留 一 轨迹数量的 常数；
来实现。 蚂蚁选择该路径的概率与路径上的信息素的强度成正 比。 而信息素越多， 就会吸引更多的蚂蚁， 从而进一步提高路径 上的信息素强度， 其原理是一种正反馈机制１ ４ １
图 １蚂蚁路径搜索原理１ ４
移概率为 ：
．
蚂蚁的路径搜索原理如图 １ 所示，有两条支路 Ａ Ｂ和 Ｃ Ａ Ｂ支路 Ａ Ｂ长； Ａ和 Ｂ各有两只蚂蚁， Ｄ， Ｃ 节点 其中蚂蚁 １２ ， 由Ａ向 Ｂ 行进， ３４ 而 ， 则由Ｂ向Ａ行进。假设蚂蚁速度相同， 当蚂蚁 ２ 和蚂蚁 ４ 经过支路 Ａ Ｂ Ｄ 分别到达节点 Ｂ和 Ａ 而蚂 ， 蚁１ ３ 和 却还在支路 Ａ Ｂ的途中。 Ｃ 显然支路 Ａ Ｂ留下的信息 Ｄ 素的痕迹浓度要高于支路 Ａ Ｂ上的信息素浓度；所以当再有 Ｃ 蚂蚁到达节点 Ａ和 Ｂ时，它们选择支路 Ａ Ｂ的概率就会大， Ｄ 从而增加支路 Ａ Ｂ Ｄ 上的信息素痕迹的浓度， 形成正反馈， 这样
配送成本及增加经济效益都有较大影响。
ｃ 相对于运行时间的费用系数； ， 一 ｃ一 ｏ 车辆的固定费用， － 即增加一辆车的边际费用； ｓ车辆到达点ｉ ； ： 的时间； Ｔ： ｉ 车辆完成任务 ｉ 需要的时间； ｗ： ｉ 车辆在点 ｉ 的等待时间；
ｔ车 ｉ 辆由ｉ 驶到ｉ 时 ； ： 行 的 间；
ｒ车辆的最长工作时间； ｋ ：
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为配 心） 知任务ｉ 货运量为ｇ配 心有ｍ辆相同 送中 ， 已 的 ｉ 送中 ， 型号的车辆， 车辆的容量为ｑ有ｇｑ同时每项任务都需要在 ， ｉ； ＜
－２ － １０
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பைடு நூலகம்
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决方案。
规定的时间内完成， 完成任务 ｉ 需要的时间为 Ｔ， ｉ ｉ 任务 的开始
时间需在一定的时间范围ＥｉＴ内， ［ ， 其中Ｅ ＴＬ， ｊ Ｔ和Ｌｉ Ｔ 分别为任
务ｉ 的最早开始时间和最晚开始时间， 求解满足货运量要求的 费用（ 时间、 距离或运输成本） 最小的车辆行驶路线。附加变量
定义 ：
才１
Ｉ ＬＬＸ０ Ｌ、 ｒ ＝ ｒ ｔ ． ｊ
Ｌ 艺 ＝ｌ
／ ‘ 、
蚂蚁可以容易找到一条到食物源的最短路径。 本文求解 Ｒ Ｖ Ｐ的基本思想，是在求解旅行售货员问题
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０ 八
（ａ ｌｇ ｓａＰ ｂｍ ＴＰ Ｔ ｖｉ Ｓｅ ｎ ｌ ， 的蚂蚁算法的基础之上， ｒｅｎ ａ ｍ ｒ ｅ Ｓ） ｌ ｏ 根据
上述模型中， ３为目 式（） 标函数； 约束条件（） ４保证所使用 的车辆数不超过配送中心的最大车辆数； ） ６保证每个任 （ 和（） ５ 务点都只被一辆车访问一次； ） （ 保证每条路径都以配送中 ７ 心 为起点和终点；８保证车辆载重量不超过车辆容量；９保证 （） （） 车辆工作总时间不超过其最长工作时间。
（） 为配送中心时， １当ｉ 包括固定费用和运行费用；
ｃ ｃ ｃｑ １ ＂ Ｌ ａ ｏ ， ＝ ，＂ ； ＋ｔ ＝ ｊ ＂，
， 研究背景
物流配送过程主要包括 ： 从生产工厂进货并集结的集货作
（） 为 务 时，有 行 用， ２ 当ｉ 任 点 只 运 费 即
ｃ ｃ ｃｏ ＯＯ＝ ，－ ， ｉｏ ， ＝ ｔ ＋ ； ，０１ － Ｌ ｉ ｊ ，－ 其中：
（ ｉ ｇ ｔ ｇ ｉ ｒｔ Ｂｉ ｇ ０４ Ｃｉ ） Ｂ ｊ Ｊｏ ｎ Ｕ ｖ ｓｙ ｅｉ １０４， ａ ｅｉ ｉ ｏ ｎ ｅ ｉ， ｎ ０ ｎ ａ ｊ ｈ ｎ
〔 要］ 摘 首先对物流配送中的路径优化问题（ Ｐ Ｖ ） Ｒ 进行建 模， 在借用蚂蚁算法思想解决经典ＴＰ Ｓ 问题基础上， 构造了蚂蚁 算法解决 Ｖ Ｐ Ｒ 问题的模型、 规则， 分析并提出了问题可行解的解
〔 键词Ｉ 关 蚂蚁算 车 法； 辆路径优化（ Ｐ 蚁群算法； 行解 （ ） Ｖ ； Ｒ 可
【 Ｆ２． 中图分类号」２４ ０ 〔 文献标识码Ｊ Ａ
［章编号 １ －５ （０） －１ ０ ０５１ ｘ ０６７０２－３ 文 ］０ ２ ２ ０ ０
Ａ ｓ ａｔ ｈ ｐｐｒ ｂｓ ｓ ｏｅ ｆ ｃ ｒ ｉ Ｔｅ ｅ ｅａ ｉ ｅ ｔ ｍ ｄ ｏ ｖ ｉｅ ｔｇ ｂｔ ｃ ｒ ： ａ ｓ ｌｈ ｈ ｔ ｅ ｌ ｅ ｌ ｏ ｎ ｈ ｕ ｐ ｂ ｍ Ｒ ） ｇｔｓｃ ｓ ｃ ｔ ｍｄｌ ｕ ｓ ａ ｏｔ ｒ ｌ （ Ｐ ｉｌ ｉ ｃ ｏ ｔ ｔ ｈ ｏｅ ｒｅ ａｄ ｒｈ ｏ ｅ Ｖ ｎ ｓ ， ｒ ｓ ｏ ｉ ｎｕ ｅ ， ｎ ｌ ｉｍ ｌ ｇ ｐ ｃ ｓ Ｒ ｏ ｔ ｂｓ ｏａａ ｓ ｏ Ｔ Ｐ ｐ ｖ ｅｔ ｓｖ ｇ ｒ ｅ ｏＶ Ｐ ｈ ａｓ ｎｌｉ ｎ ａｄ ｉ ｓ ｏ ｉ ｏ ｓ ｆ ｎ ｉ ｆ ｙｓ Ｓ ｎ ｒ ｄ ｈ ｌｎ ｅ ｏ ｅ
数学模型如下 ：
２ 车辆路径优化问 Ｖ Ｐ模型的建立［ 题（Ｒ ） Ｉ ｌ ｌ
ＶＰ Ｒ 问题在数学上描述如下： Ｌ 有 项货物运输任务（ ｉ 以 表示）月， Ｌ每项任务都有自己的集货点和送货点（ ， …，， １ 如果该 任务只集货， 则卸货点为配送中心， 若该任务只送货， 则集货点
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：（ １ ｐ‘ ；＋ ；ｔ１ ； ） ，（ △二（＋） ｔ ＝ ｉ ＋ ｔ ） ｔ ，
（１ １） － ２１ １ －
胡卉， 关于蚂蚁算法解决物流配送路径优化问题的探讨 等：
其 △ ｉ＋＝ ：（ １ 中 ，ｔｌ艺△ ｋｔ） ｊ ） （ ， ｔ ｉ＋ ； ｔ ，
胡卉， 关于蚂蚁算法解决物流配送路径优化问题的探讨 等：
关妈算解物配路优 问的讨 于蚁法决流送径化题探
Ｓｕ ｙ Ａ ｔ ｏｉ ｍ Ｓｌ ｔｅ ｈ ｌ Ｒ ｕｉｇ ｏｌ ｉｎ Ｌ ｇ ｔ ｓ ｔｄ ｏ ｎ Ａｇｒｈ ｔ ｏ ｅ Ｖ ｉｅ ｔ Ｐ ｂｅ ｎ ｌ ｔ ｏ ｖ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｒ ｍ ｏｉｉ ｓｃ 胡 卉， 申金升， 纪寿文 Ｈ Ｈ ｉＳ Ｅ ｆ －ｈｎ， ｈｕｗ ｎ Ｕ ， Ｎ ｓｅｇＪ Ｓｏ－ ｅ ｕ Ｈ ｉ ｎ Ｉ （ 北京交通大学， 北京 １０４ ） ００４
的行为引入优化问题时， 需要介绍人工蚂蚁的概念， 它们是一 些运动的个体， 在城市间移动的过程中， 依据一定的概率函数 对下一个城市进行选择。初始时刻， 人工蚂蚁分布在随机选择 ３１算法选择— 蚂蚁算法 ． 的城市上。在每一次迭代过程中， 当蚂蚁从一个城市移动到下 蚂蚁算法是一种源于自 然界中生物世界的新的仿生类随 一个城市以及遍历完所有的城市之后， 更新路径上的信息素浓 机型 搜索算法， 算法由 利学者ＭＤｒ ，． ｎｚ ，． 该 意大 ． ｉ Ｖ ａｅｏ ｏｇ Ｍ ｉｚ Ａ ｏ 度。 如此反复迭代， 直至满足设定的算法终止条件（ 如到达一定 Ｃｌｉ 等首先提出２蚂蚁算法首先在旅行商问 ＴＰ 工件 ｏｒｉ ｏｎ １ ［ １ 。 题（ ） Ｓ和 的迭代次数） 。相关变量定义如下： 排序问题上获得成功， 之后被陆续应用到许多领域， 如图形着 ｍ 蚂蚁个数； 一 色问题、 大规模集成电路设计、 通讯网络中的负载均衡问题、 车 Ｔ 弧ｉ上的 迹强 （ ｎｔ ， 轨 度（ｅ ｉ ； ； ｊ 一边 （） ｊ ｉ ｓ） ｎ ｙ ｔ 辆调度问题等［ ３ ） 。国内对蚂蚁算法的研究始于 １９ 年初， 前 ９９ 目 、一 边弧（） ｉ上的能见度（ｓｉｙ 取城市间距离的倒 （ ， ｊ （ ｉｌ） ｖ ｂｉ ， ｉ ｔ 已取得了一些初步成果。
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点ｉ 的任务由车辆 ｋ 完成 否则
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车辆路径优化问题的具体情况， 对算法中相应的转移规则和迹 更新规则进行重新设定， 以满足具体的问题约束， 而后又针对 算法缺点， 对其进行改进， 即使用蚁群算法解决问题。
Ｌ 第ｋ ｋ 一 只蚂蚁构造路径的长度； 以下确定相关规则： （） １路径转移概率。 初始时， 每只蚂蚁都被放到随 机选择的一个城市上， 路径构造是依据一定的转移概 率进行， ｋ 第 只蚂蚁在ｔ 时刻从城市ｉ 到城市． ｌ 的转
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３ 蚁群算法的构造过程 ． ３
ＴＰ Ｓ 是优化领域的经典难题 ， 已被归人 Ｎ 难解问题。 Ｐ 本文 以ＴＰ Ｓ 问题为例， 阐述蚂蚁算法的基本构造思想及运行机制１ １ ９
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３ ． ２蚂蚁算法基本原理
蚂蚁有能力在没有任何可见提示下找出到食物源的最短
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△，一蚂 在 （） 下的 、 蚁ｋ 边弧ｉ上留 单位长度轨迹信息素 ， ｊ
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来实现。 蚂蚁选择该路径的概率与路径上的信息素的强度成正 比。 而信息素越多， 就会吸引更多的蚂蚁， 从而进一步提高路径 上的信息素强度， 其原理是一种正反馈机制１ ４ １
图 １蚂蚁路径搜索原理１ ４
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蚂蚁的路径搜索原理如图 １ 所示，有两条支路 Ａ Ｂ和 Ｃ Ａ Ｂ支路 Ａ Ｂ长； Ａ和 Ｂ各有两只蚂蚁， Ｄ， Ｃ 节点 其中蚂蚁 １２ ， 由Ａ向 Ｂ 行进， ３４ 而 ， 则由Ｂ向Ａ行进。假设蚂蚁速度相同， 当蚂蚁 ２ 和蚂蚁 ４ 经过支路 Ａ Ｂ Ｄ 分别到达节点 Ｂ和 Ａ 而蚂 ， 蚁１ ３ 和 却还在支路 Ａ Ｂ的途中。 Ｃ 显然支路 Ａ Ｂ留下的信息 Ｄ 素的痕迹浓度要高于支路 Ａ Ｂ上的信息素浓度；所以当再有 Ｃ 蚂蚁到达节点 Ａ和 Ｂ时，它们选择支路 Ａ Ｂ的概率就会大， Ｄ 从而增加支路 Ａ Ｂ Ｄ 上的信息素痕迹的浓度， 形成正反馈， 这样
配送成本及增加经济效益都有较大影响。
ｃ 相对于运行时间的费用系数； ， 一 ｃ一 ｏ 车辆的固定费用， － 即增加一辆车的边际费用； ｓ车辆到达点ｉ ； ： 的时间； Ｔ： ｉ 车辆完成任务 ｉ 需要的时间； ｗ： ｉ 车辆在点 ｉ 的等待时间；
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决方案。
规定的时间内完成， 完成任务 ｉ 需要的时间为 Ｔ， ｉ ｉ 任务 的开始
时间需在一定的时间范围ＥｉＴ内， ［ ， 其中Ｅ ＴＬ， ｊ Ｔ和Ｌｉ Ｔ 分别为任
务ｉ 的最早开始时间和最晚开始时间， 求解满足货运量要求的 费用（ 时间、 距离或运输成本） 最小的车辆行驶路线。附加变量
定义 ：
才１
Ｉ ＬＬＸ０ Ｌ、 ｒ ＝ ｒ ｔ ． ｊ
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蚂蚁可以容易找到一条到食物源的最短路径。 本文求解 Ｒ Ｖ Ｐ的基本思想，是在求解旅行售货员问题
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（ａ ｌｇ ｓａＰ ｂｍ ＴＰ Ｔ ｖｉ Ｓｅ ｎ ｌ ， 的蚂蚁算法的基础之上， ｒｅｎ ａ ｍ ｒ ｅ Ｓ） ｌ ｏ 根据
上述模型中， ３为目 式（） 标函数； 约束条件（） ４保证所使用 的车辆数不超过配送中心的最大车辆数； ） ６保证每个任 （ 和（） ５ 务点都只被一辆车访问一次； ） （ 保证每条路径都以配送中 ７ 心 为起点和终点；８保证车辆载重量不超过车辆容量；９保证 （） （） 车辆工作总时间不超过其最长工作时间。
（） 为配送中心时， １当ｉ 包括固定费用和运行费用；
ｃ ｃ ｃｑ １ ＂ Ｌ ａ ｏ ， ＝ ，＂ ； ＋ｔ ＝ ｊ ＂，
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物流配送过程主要包括 ： 从生产工厂进货并集结的集货作
（） 为 务 时，有 行 用， ２ 当ｉ 任 点 只 运 费 即
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〔 键词Ｉ 关 蚂蚁算 车 法； 辆路径优化（ Ｐ 蚁群算法； 行解 （ ） Ｖ ； Ｒ 可
【 Ｆ２． 中图分类号」２４ ０ 〔 文献标识码Ｊ Ａ
［章编号 １ －５ （０） －１ ０ ０５１ ｘ ０６７０２－３ 文 ］０ ２ ２ ０ ０
Ａ ｓ ａｔ ｈ ｐｐｒ ｂｓ ｓ ｏｅ ｆ ｃ ｒ ｉ Ｔｅ ｅ ｅａ ｉ ｅ ｔ ｍ ｄ ｏ ｖ ｉｅ ｔｇ ｂｔ ｃ ｒ ： ａ ｓ ｌｈ ｈ ｔ ｅ ｌ ｅ ｌ ｏ ｎ ｈ ｕ ｐ ｂ ｍ Ｒ ） ｇｔｓｃ ｓ ｃ ｔ ｍｄｌ ｕ ｓ ａ ｏｔ ｒ ｌ （ Ｐ ｉｌ ｉ ｃ ｏ ｔ ｔ ｈ ｏｅ ｒｅ ａｄ ｒｈ ｏ ｅ Ｖ ｎ ｓ ， ｒ ｓ ｏ ｉ ｎｕ ｅ ， ｎ ｌ ｉｍ ｌ ｇ ｐ ｃ ｓ Ｒ ｏ ｔ ｂｓ ｏａａ ｓ ｏ Ｔ Ｐ ｐ ｖ ｅｔ ｓｖ ｇ ｒ ｅ ｏＶ Ｐ ｈ ａｓ ｎｌｉ ｎ ａｄ ｉ ｓ ｏ ｉ ｏ ｓ ｆ ｎ ｉ ｆ ｙｓ Ｓ ｎ ｒ ｄ ｈ ｌｎ ｅ ｏ ｅ
数学模型如下 ：
２ 车辆路径优化问 Ｖ Ｐ模型的建立［ 题（Ｒ ） Ｉ ｌ ｌ
ＶＰ Ｒ 问题在数学上描述如下： Ｌ 有 项货物运输任务（ ｉ 以 表示）月， Ｌ每项任务都有自己的集货点和送货点（ ， …，， １ 如果该 任务只集货， 则卸货点为配送中心， 若该任务只送货， 则集货点
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