2020年冀教版数学九年级上册 28.5 弧长和扇形面积的计算(含答案)
初中数学冀教版九年级上册 28.5弧长和扇形面积的计算练习题
初中数学冀教版九年级上册第二十八章弧长和扇形面积的计算练习题一、选择题1.圆心角为的扇形的半径是3cm，则这个扇形的面积是A. B. C. D.2.一个圆锥的底面半径是4cm，其侧面展开图的圆心角是，则圆锥的母线长是A. 8cmB. 12cmC. 16cmD. 24cm3.圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知圆的周长为，扇形的圆心角为，则圆锥的全面积为A. B. C. D.4.如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为，则图中阴影部分的面积为A. B. C. D.5.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚如图，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为A. B. C. 4 D.6.如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的底面半径为A. 2cmB. 4cmC. 1cmD. 8cm7.一个扇形的半径为6，圆心角为，则该扇形的面积是A. B. C. D.8.如图，在▱ABCD中，，的半径为3，则图中阴影部分的面积是A. B. C. D.9.圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是，圆锥的高是A. B. 10cm C. 6cm D. 5cm10.钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟面上扫过的面积是A. B. C. D.二、填空题11.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为，AB的长为20cm，扇面BD的长为15cm，则弧DE的长是______．12.若圆锥的底面直径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为______．13.已知扇形的面积为，圆心角为，则它的半径为______．14.一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为______结果保留15.如图，中，，CD平分交AB于点D，O是BC上一点，经过C、D两点的分别交AC、BC于点E、F，，，则劣弧的长为______．三、解答题16.如图，在平面直角坐标系中，将点C顺时针旋转后得则．请在图中画出，并写出点A的对应点的坐标；求线段AC旋转到时扫过的面积S．17.如图，的直径，半径，D为上一动点不包括B，C两点，，，垂足分别为E，F．求EF的长．若点E为OC的中点，求劣弧CD的长度；者点P为直径AB上一动点，直接写出的最小值．18.如图，把圆锥的侧面展开得到扇形，其半径，圆心角，求的长．19.已知：扇形的圆心角为，弧长为，求扇形面积．20.如图，AB是的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若，．求的半径；求图中阴影部分的面积．答案和解析1.【答案】B【解析】解：扇形的面积公式，故选：B．根据扇形的面积公式计算可得答案．本题考查扇形的面积公式．2.【答案】B【解析】解：圆锥的底面周长为，即为展开图扇形的弧长，由弧长公式得，，解得，，即圆锥的母线长为12cm．故选：B．根据圆锥侧面展开图的实际意义求解即可．本题考查圆锥的侧面展开图，明确展开图扇形的各个部分与圆锥的关系是正确计算的前提．3.【答案】A【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，根据题意得，解得，，解得，所以圆锥的全面积．故选：A．设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，利用圆的周长公式得，解得，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，解得，然后计算底面圆的面积与扇形的面积可得到圆锥的全面积．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．4.【答案】A【解析】解：连接CD、OC、OD．，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，，，弧CD的长为，，解得：，又，、是等边三角形，在和中，，≌，．故选：A．连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积求解即可．本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，难度一般．5.【答案】B【解析】解：如图：，，点从开始至结束所走过的路径长度为弧，故选：B．根据题目的条件和图形可以判断点B分别以C和A为圆心CB和AB为半径旋转，并且所走过的两路径相等，求出一个乘以2即可得到．本题考查了弧长的计算方法，求弧长时首先要确定弧所对的圆心角和半径，利用公式求得即可．6.【答案】A【解析】解：扇形的弧长是，设底面半径是r，则，解得：．故选：A．首先利用扇形的弧长公式即可求得扇形，然后根据圆的周长公式即可求解．本题考查圆锥的计算，理解圆锥的展开图中扇形的弧长等于圆锥的底面周长是关键．7.【答案】C【解析】解：，故选：C．根据扇形的面积公式计算即可．本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积的计算公式解答．根据平行四边形的性质可以求得的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积．【解答】解：在▱ABCD中，，的半径为3，，图中阴影部分的面积是：，故选：C．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．【解答】解：设圆锥的母线长为R，根据题意得，解得．即圆锥的母线长为10cm，圆锥的高为：．故选：A．10.【答案】B【解析】解：从9点到9点15分分针扫过的扇形的圆心角是，则分针在钟面上扫过的面积是：故选：B．从9点到9点15分分针扫过的扇形的圆心角是，利用扇形的面积公式即可求解．本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键．11.【答案】【解析】解：弧DE的长为：．故答案为：．直接利用弧长公式计算得出答案．此题主要考查了弧长公式计算，正确应用弧长公式是解题关键．12.【答案】【解析】解：圆锥的侧面积故答案为．利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．13.【答案】3【解析】解：设半径为r，由题意，得，解得，故答案为：3．根据扇形的面积公式，可得答案．本题考查了扇形面积公式，利用扇形面积公式是解题关键．14.【答案】【解析】解：，故答案为．利用扇形的面积公式计算即可．本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积是扇形的半径，l是扇形的弧长．15.【答案】【解析】解：连接DF，OD，是的直径，，，，，平分交AB于点D，，，，，在中，，的半径，劣弧的长，故答案为连接DF，OD，根据圆周角定理得到，根据三角形的内角和得到，根据三角函数的定义得到，根据弧长个公式即可得到结论．本题考查了圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．16.【答案】解：如图所示，；由勾股定理得，，线段AC旋转到时扫过的面积．【解析】根据网格结构找出点A、B绕点C顺时针旋转后的对应点、的位置，再与点C 顺次连接即可，根据平面直角坐标系写出点的坐标；利用勾股定理列式求出AC，再根据扇形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了利用旋转变换作图，扇形的面积公式，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．17.【答案】解：如图，连接OD，圆的半径为．，，，四边形OFDE是矩形，．点E为OC的中点，，，，劣弧CD的长度为．延长CO交于点G，连接DG交AB于点P，则的最小值为DG．，，，的最小值为．【解析】连接OD，由，，知四边形OFDE是矩形，据此可得；先求出的度数，再利用弧长公式求解可得；延长CO交于点G，连接DG交AB于点P，则的最小值为DG，再根据及可得答案．本题主要考查圆的有关概念与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、轴对称的性质、圆的相关性质．18.【答案】解：的长为：．【解析】弧长的计算公式为，把半径和圆心角代入公式可以求出弧长．本题考查的是弧长的计算，知道圆心角和半径，代入弧长公式计算．19.【答案】解：设扇形的半径为R，则由弧长公式得：，解得：，即扇形的面积是．【解析】先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出即可．本题考查了弧长公式和扇形面积公式的应用，注意：扇形的面积弧长半径．20.【答案】解：直径，．平分AO，．又，．．在中，的半径为2；连接OF．在中，，．．．，，．【解析】本题综合考查了垂径定理和解直角三角形及扇形的面积公式．根据垂径定理得CE的长，再根据已知DE平分AO得解直角三角形求解．先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．。
辅导讲义：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积
辅导：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积一、弧长和扇形的面积：『活动一』因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C =2πR ，所以1°的圆心角所对的弧长是 .这样，在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l = . 『活动二』类比弧长的计算公式可知：在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积的计算公式为：S = . 『活动三』扇形面积的另一个计算公式比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式：S =360nπR 2化为S =180R n ·21R ，从面可得扇形面积的另一计算公式：S = . 二、圆锥的侧面积和全面积：1．圆锥的基本概念： 的线段SA 、SA 1……叫做圆锥的母线，的线段叫做圆锥的高．2.圆锥中的各元素与它的侧面展开图——扇形的各元素之间的关系：将圆锥的侧面沿母线l 剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设圆锥的底面半径为r ，这个扇形的半径等于 ，扇形弧长等于 ． 3．圆锥侧面积计算公式圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长， 这样，S 圆锥侧=S 扇形=21·2πr · l = πrl 4．圆锥全面积计算公式S 圆锥全=S 圆锥侧＋S 圆锥底面= πr l ＋πr 2=πr （l ＋r ）三、例题讲解：例1、（2011•德州，11，4分）母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为 ． 例2、（2011年山东省东营市，21，9分）如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠BAD =120°，四边形ABCD 的周长为15．A1（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积．例3、（2010广东，14，6分）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（－4，0），⊙P 的半径为2，将⊙P 沿x 轴向右平移4个单位长度得⊙P 1． （1）画出⊙P 1，并直接判断⊙P 与⊙P 1的位置关系；（2）设⊙P 1与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，求劣弧AB 与弦AB 围成的图形的面积（结果保留π）．y x－3 O 12312 3 －3－2 －1－1 －2 －4 －5 －6A BCDEF（第3题）O四、同步练习：1、（2012北海,11，3分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为： （ ）A ．10πB ．10C ．10πD ．π2、（2012北海,12，3分）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了：（ ）A ．2周B ．3周C ．4周D ．5周3、（2012湖北咸宁，7，3分）如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）．A ．-3π2B ．-32π3C ．-32π2D ．-322π34、（2012四川内江，8，3分）如图2，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分图形的面积为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π35、（2012·湖南省张家界市·14题·3分）已知圆锥的底面直径和母线长都是１０cm ，则圆锥的侧面积为________.6、（2012·哈尔滨，题号16分值 3）一个圆锥的母线长为4，侧面积为8π，则这个圆锥的底面圆的半径是 ．ABD CO图2ABC 第1题图A OD第2题图 第9题第11题7、（2012江苏省淮安市，17，3分）若圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则此圆锥的侧面积为 cm 2．8、（2012四川达州，11，3分）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面积是 .（不取近似值）9、（2012年广西玉林市，16，3）如图，矩形OABC 内接于扇形MON ，当CN =CO 时，∠NMB10、(2012广安中考试题第15题，3分)如图6，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC =3，∠ACB =90o，∠A =30o，若△RtABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线上l 时，点A 所经过的路线的长为________________（结果用含л的式子表示）．11、（2011•丹东，14，3分）如图，将半径为3cm 的圆形纸片剪掉三分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ．12、（2012贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O 中，直径AB =2，CA 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于D ，若∠C =45°，则（1）BD 的长是 ；（5分） （2）求阴影部分的面积. （5分）第12题图AC13、（2012浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上,点E 在⊙O 外,∠EAC =∠D =60°. （1）求∠ABC 的度数； （2）求证：AE 是⊙O 的切线； （3）当BC =4时，求劣弧AC 的长.14、（2012年吉林省，第23题、7分．）如图，在扇形OAB 中，∠AOB =90°，半径OA =6．将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠．点O 恰好落在弧AB 上点D 处，折痕交OA 于点C ，求整个阴影部分的周长和面积．O BCDE15、（2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.（1）请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD.（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①写出点的坐标：C、D；②⊙D的半径= （结果保留根号）；③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为（结果保留π）；④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由.参考答案例1、考点：圆锥的计算。
冀教版-数学-九年级上册-28.5 弧长和扇形面积的计算 作业
弧长和扇形面积的计算1．如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的____________.2．扇形的面积是它所在圆的面积的32，这个扇形的圆心角的度数是_________°.3．扇形的面积是S ，它的半径是r ，这个扇形的弧长是_____________.4．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米.5．如图，⊙A.⊙B.⊙C.⊙D 相互外离，它们的半径是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD ，则图中四个扇形的面积和是多少？6．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B 点从开始至结束所走过的路径长度是多少？7．圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和周长．8. 如图，把直角三角形ABC 的斜边AB 放在直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置上，设BC ＝1，AC，则顶点A 运动到A2的位置时，点A 经过的路线有多长？点A 经过的路线与直线l 所围成的图形的面积有多大？9．如图，扇形OAB 的圆心角是90°，分别以OA.OB 为直径在扇形内作半圆，则12S S 、两部分图形面积的大小关系是什么？中考链接1.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以点C为圆心，CD为半径的弧与BC交于点E，四边形ABED是平行四边形，AB=3，则扇形CDE（阴影部分）的面积是（）A．32πB．2πC．π D．3π参考答案1．192．2403．2sr4．105．∠A+∠B+∠C+∠D=360°S=π•12 =π6．解：从B 到B': 以c 为圆心的弧BB'.角BCB'=π-3π=23π所以弧BB'=r*23π=23π由对称性，弧B'B''=弧BB' 弧BB'+弧B'B''=43π7．解：圆周长=2*R+弧=20+20*6π=20+103π面积=1/6*π*100=503π8. 解：如图，把直角三角形ABC 的斜边AB 放在直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置上，设BC ＝1，ACA 运动到A2的位置时，点A 经过的路线有多长？点A 经过的路线与直线l 所围成的图形的面积有多大？Rt△ABC中，BC=1，AC=，则可得AB=2，∠CAB=30°则点A到A″所经过的路线为；点A经过的路线与直线L围成的面积为9．相等中考链接1.A。
冀教版九年级上册：28.5《弧长和扇形面积的计算》同步练习(含答案)
28.5 弧长和扇形面积的计算基础巩固JICH U GONGGU1．如果一个扇形的半径是1，弧长是π3，那么此扇形的圆心角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．如图所示的5个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A 点到B 点，甲虫沿弧ADA 1，弧A 1EA 2，弧A 2FA 3，弧A 3GB 的路线爬行，乙虫沿弧ACB 的路爬行，则下列结论正确的是( )A ．甲先到B 点B ．乙先到B 点C ．甲、乙同时到B 点D ．无法确定3．已知扇形的面积为12π，半径等于6，则它的圆心角等于__________． 4．有一个底面半径为3cm 、母线长为10cm 的圆锥，则其侧面积是__________cm 2. 5．如图，将边长为2cm 的正方形ABCD 沿直线l 向右翻动(不滑动)，当正方形连续翻动6次后，正方形的中心O 经过的路线长是__________cm.(结果保留π)6．如图所示，要把100个形状是圆锥体的实心积木的表面刷成红色，每平方厘米需油漆约0.0003L ，全部刷完共需油漆约__________L(π取3)．7．某校编排的一个舞蹈需要五把和图1形状大小完全相同的绸扇．学校现有三把符合要求的绸扇，将这三把绸扇完全展开刚好组成图2所示的一朵圆形的花．请你算一算：再做两把这样的绸扇至少需要多少平方厘米的绸布？(单面制作，不考虑绸扇的折皱，结果用含π的式子表示)能力提升NENGLI TISHENG8．如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为__________个平方单位．9．如图，一个圆锥的高为33cm，侧面展开图是半圆．求：(1)圆锥的母线长与底面半径之比；(2)∠BAC的度数；(3)圆锥的侧面积(结果保留π)．参考答案1．C 点拨：n °＝180°l π＝180°π·π3＝60°，故选C ．2．C 点拨：利用弧长公式计算可知弧ADA 1，弧A 1EA 2，弧A 2FA 3，弧A 3GB 的长度之和等于弧ACB 的长度，甲乙小虫的速度相同，所以用的时间相同．3．120° 点拨：由扇形面积公式可得n ·π·62360＝12π，所以n °＝120°.4．30π 点拨：圆锥的侧面展开图是个扇形，它的弧长等于圆锥底面周长即l ＝2π·3＝6π，而扇形的半径等于母线长10cm ，由公式S ＝12l R ，得S ＝30π.5．3π 点拨：正方形翻动一次中心O 经过的路线长就是1个半径为1，圆心角为90°的弧长，连续翻动6次，正方形的中心O 经过的路线长为6×90π×1180＝3π.6．6.757．解：三把绸扇完全展开刚好组成了一个圆，所以可得扇形的圆心角为120°， 因为大扇形的半径为30cm ， 则S 大扇形＝n πr 2360＝120×π×302360＝300π，S 小扇形＝n πr 2360＝120×π×122360＝48π，S 绸面＝S 大扇形－S 小扇形＝300π－48π＝252π， 所以，两把绸扇所需的绸布面积是 2×S 绸面＝2×252π＝504π(cm 2)． 8．π9．解：(1)设此圆锥的高为h ，底面半径为r ，母线长AC ＝l . ∵2πr＝πl ，∴lr ＝2.(2)∵lr＝2，AO⊥BC，∴圆锥高与母线的夹角为30°，则∠BAC＝60°. (3)由图可知l 2＝h 2＋r 2，h ＝33cm ， ∴(2r)2＝(33)2＋r 2，即4r 2＝27＋r 2， 解得r ＝3(cm)．∴l ＝2r ＝6(cm)．∴圆锥的侧面积为12×2π×3×6＝18π(cm 2)．文档说明(Word文档可以删除编辑)专注于可以编辑的精品文档：小学试卷教案合同协议施工组织设计、期中、期末等测试中考、高考、数学语文英语试卷、高中复习题目、本文档目的是为了节省读者的工作时间，提高读者的工作效率，读者可以放心下载文档进行编辑使用.由于文档太多，审核有可能疏忽，如果有错误或侵权，请联系本店马上删除。
专题12 弧长和扇形面积(解析版) -2021-2022学年九年级数学之专攻圆各种类型题的解法
专题12 弧长和扇形面积1.与弧长相关的计算扇形的弧长l=π180n r；注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.2.与扇形面积相关的计算（1）扇形的定义：圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.（2）扇形的面积S=2π360n r=12lr．扇形的面积与圆心角、半径有关.3.弓形的面积公式S弓形=S扇形-S三角形S弓形=S扇形+S三角形概念规律重在理解典例解析掌握方法【例题1】（2021甘肃威武定西平凉）如图，从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为dm2．【答案】2π．【解析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．连接AC,∵从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC＝90°，∴AC为直径，即AC＝4dm，AB＝BC（扇形的半径相等），∵AB2+BC2＝22，∴AB＝BC＝2dm，∴阴影部分的面积是＝2π（dm2）．【例题2】制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)【答案】管道的展直长度为2970mm．【解析】由弧长公式，可得弧AB的长因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.【例题3】如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）【答案】见解析．【解析】∵n=60，r=10cm，∴扇形的面积为扇形的周长为【例题4】如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.【答案】见解析．【解析】 ()22=24010.60.30.6336020.240.0930.91cm .OABS S ππ+=⨯+⨯⨯=+≈△弓形扇形S一、选择题1．（2021贵州毕节）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为O ，点C ，D 分别在OA ，OB 上．已知消防车道半径OC ＝12m ，消防车道宽AC ＝4m ，∠AOB ＝120°，则弯道外边缘的长为（ ）A ．8πmB ．4πmC ．πmD ．πm【答案】C各种题型 强化训练【解析】根据线段的和差得到OA＝OC+AC，然后根据弧长公式即可得到结论．∵OC＝12m，AC＝4m，∴OA＝OC+AC＝12+4＝16（m），∵∠AOB＝120°，∴弯道外边缘的长为：＝（m）．2．（2021成都）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π【答案】D【解析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．∵正六边形的外角和为360°，∴每一个外角的度数为360°÷6＝60°，∴正六边形的每个内角为180°﹣60°＝120°，∵正六边形的边长为6，∴S阴影＝＝12π．3．如图，⊙O的直径AB＝2，C是弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E为圆心，AE为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（）A．﹣4 B．7﹣4 C．6﹣D．【答案】A【解析】∵⊙O的直径AB＝2，∴∠C＝90°，∵C是弧AB的中点，∴，∴AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，∴∠EAB＝∠EBA＝22.5°，∴∠AEB＝180°﹣（∠BAC+∠CBA）＝135°，连接EO，∵∠EAB＝∠EBA，∴EA＝EB，∵OA＝OB，∴EO⊥AB，∴EO为Rt△ABC内切圆半径，∴S△ABC＝（AB+AC+BC）•EO＝AC•BC，∴EO＝﹣1，∴AE2＝AO2+EO2＝12+（﹣1）2＝4﹣2，∴扇形EAB的面积＝＝（2﹣），△ABE的面积＝AB•EO＝﹣1，∴弓形AB的面积＝扇形EAB的面积﹣△ABE的面积＝，∴阴影部分的面积＝⊙O的面积﹣弓形AB的面积＝﹣（﹣）＝﹣4．4．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，若OA＝2，则阴影部分的面积为（）A．B．C．+D．【答案】C【解析】连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，∴△AEO为等边三角形，∴S＝＝π，扇形AOE∴S＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）阴影＝﹣﹣（π﹣×1×）＝π﹣π+＝+．5．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，＝，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF 的边长为2时，则阴影部分的面积为（）A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4【答案】A【解析】连接OC，如图所示：∵在扇形AOB 中∠AOB ＝90°，＝， ∴∠COD ＝45°，∴OD ＝CD ，∴OC ＝＝4，∴阴影部分的面积＝扇形BOC 的面积﹣△ODC 的面积 ＝﹣×（2）2＝2π﹣4．6．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到12AC BD cm ==，C ，D 两点之间的距离为4cm ，圆心角为60︒，则图中摆盘的面积是（ ）A ．280cm πB ．240cm πC ．224cm πD ．22cm π【答案】B 【解析】先证明COD △是等边三角形，求解,OC OD ，利用摆盘的面积等于两个扇形面积的差可得答案．如图，连接CD ，,60,OC OD COD =∠=︒ COD ∴是等边三角形，4,CD = 4,OC OD ∴==12,AC BD == 16,OA OB ∴==所以则图中摆盘的面积 222601660440.360360AOB CODS S cm πππ⨯⨯-=-=扇形扇形． 二、填空题 1．（2021湖北荆门）如图，正方形ABCD 的边长为2，分别以B ，C 为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P ，那么图中阴影部分的面积为 ．【答案】2﹣．【解析】连接PB 、PC ，作PF ⊥BC 于F ，根据等边三角形的性质得到∠PBC ＝60°，解直角三角形求出BF 、PF ，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．解：连接PB 、PC ，作PF ⊥BC 于F ，∵PB ＝PC ＝BC ， ∴△PBC 为等边三角形， ∴∠PBC ＝60°，∠PBA ＝30°，∴BF ＝PB •cos60°＝PB ＝1，PF ＝PB •sin60°＝，则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP 的面积﹣（扇形BPC 的面积﹣△BPC 的面积）]×2＝[﹣（﹣×2×）]×2＝2﹣，故答案为：2﹣．2．（2021湖北宜昌）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为平方厘米．（圆周率用π表示）【答案】（2π﹣2）．【解析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝BC＝2厘米，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝1厘米，AD＝BD＝厘米，∴△ABC的面积为BC•AD＝（厘米2），S扇形BAC＝＝π（厘米2），∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝（2π﹣2）厘米2.3．（2021湖南怀化）如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）【答案】π﹣．【解析】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB可得出结论．∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝＝π﹣．4．（2021四川凉山）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC＝3，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为．【答案】。
冀教版九年级数学上册知识点
23章 数据分析23.1平均数和加权平均数1、一般地,我们把ｎ个数n x x x ,...,,21的和与n 的比,叫做这ｎ个数的算术平均数，简称平均数,记作-x ,读作“ｘ拔”,即)....(11n x x nx ++=-2、已知n 个数n x x x ,...,,21，若n w w w ,...,,21为一组正数,则把nnn w w w w x w x w x ......212211+++++叫做n 个数n x x x ,...,,21的加权平均数,n w w w ,...,,21分别叫做这n 个数的权重，简称权。
23.２中位数和众数1、一般地,将n 个数据按大小顺序排列,如果n 为奇数，那么把处于中间位置的数据叫做这组数据的中位数；如果ｎ为偶数，那么把处于中间位置的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。
2、一般地，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数。
一组数据的众数可能不止一个,也可能没有众数。
2３.３方差 设n 个数据n x x x ,...,,21的平均数为-x ,各个数据与平均数偏差的平方分别是22221)(,...,)(,)(------x x x x x x n 。
偏差平方的平均数叫做这组数据的方差,用2s 表示,即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++-+-=---222212)(...)()(1x x x x x x n s n当数据分布比较分散时,方差较大;当数据分布比较集中时,方差较小。
因此,方差的大小反映了数据波动（或离散程度）的大小。
２3.4用样本估计总体由于抽样的任意性，即使是相同的样本容量,不同样本的平均数一般也不同；当样本容量较小时，差异可能还较大。
但是当样本容量增大时,样本的平均数的波动变小，逐渐趋于稳定，且与总体的平均数比较接近。
因此,在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数。
同样的道理,我们也用样本的方差估计总体的方差。
2４章 一元二次方程 2４.1一元二次方程1、只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为２的整式方程，叫做一元二次方程。
冀教版九年级数学 28.5 弧长和扇形面积的计算(学习、上课课件)
知2－讲
感悟新知
知2－练
例2 [ 中考·锦州 ] 如图 28-5-2，点 A， B， C 在 ⊙ O 上， ∠ ABC=40°，连接 OA， OC．若⊙ O 的半径为 3，
则扇形 AOC(阴影部分) 的面积为( )
A.
2 3
π
B. π
C.
4 3
π
D.2π
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知2－练
解题秘方：利用圆周角定理求出∠ AOC 的度数， 再利用扇形面积公式求解即可．
(1)已知半径 r 和 n° 的圆心角，则 S 扇形 = n3π60r2.
(2)已知弧长
l
和半径
r，则
S
扇形
=
1 2
lr
(推导过程：
S 扇形 =n3π60r2 =12·n1π80r·r=12lr ).
扇形面积公式Biblioteka 的 n 与弧 长公式中的 n一样，应该理
解为1°的 n 倍，不带单位 .
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特别解读 扇形面积公式推导过程：
四边形，∠ B=58° ，∠ ACD=40° . 若⊙ O 的半 径 为 5，则 D⌒C 的 长为( C )
A．133π
B．
10 9
π
C．π
D．
1 2
π
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知识点 2 扇形的面积公式
知2－讲
1. 扇形 一条弧和经过这条弧端点的两条半径所组成的图 形叫做扇形 .
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2. 扇形面积公式
知2－讲
感悟新知
知1－练
例1 [ 中考·沈阳] 如图 28-5-1，正方形 ABCD 内接于⊙ O， AB=2 2 ，则A⌒B 的长是( )
A. π
B.32 π
初中数学 圆的弧长及扇形面积公式 (含答案)
弧长及扇形面积第一部分 知识梳理（一）、圆的弧长及扇形面积公式在半径为R 的圆中,n °的圆心角所对的弧长为C 1,以n °为圆心角的扇形面积为S 1弧长公式 ： 弧长C 1＝180n R π 扇形面积公式： S 1＝2360n R π＝12C 1R注意：计算不规则图形的面积时，要转化成规则图形的面积进行计算。
（二）、圆锥的侧面积：注意：圆锥的侧面展开图是一个扇形 其中：（1）h 是圆锥的高,r 是底面半径；（2）l 是圆锥的母线,其长为侧面展开后所得扇形的半径R ；（3）圆锥的侧面展开图是半径等于 l ,弧长等于圆锥底面 周长C 的扇形.即： ①l =R ②180n Rπ=2πr ③h 2+r 2=l 2圆锥的侧面积 S 侧面积＝ πrl圆锥的全面积 S 全面积＝ πrl ＋πr 2第二部分 中考链接一、有关弧长计算 （一）、选择题1、（2018•淄博）如图，⊙O 的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC 的长为（ ）A 、2π B. 83π C 34π D. 43π1题图2题图 3题图 4题图 5题图2、（2018•黄石）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（ ）A ．23πB ．43πC ．2πD ．83π3、（2018•沈阳）如图，正方形ABCD 内接于O ，AB=2，则的长是（ ）A ．πB ．πC ．2πD ．π4、（2018•陵城区二模）一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B 点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）A ．B ．C ．4D ．2+5、（2018•明光市二模）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，OA=2，∠OAB=30°，弦BC ∥OA ，则劣弧的长是（ ）A ．B ．C ．D ．6、（2019青岛）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（）A．π B．2π C．2π D．4π6题图 7题图 8题图7、（2019烟台）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（）A．B．πC．πD．π8、（2019泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π（二）、填空题1、（2018•潍坊）如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y=x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则的长是．．1题图 3题图 4题图5题图8题图2、（2018•连云港）一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为cm．3、（2018•永州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则的长为．4、（2018•盐城）如图，图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径OA=2cm，∠AOB=120°．则图2的周长为cm（结果保留π）．5、（2018常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O的半径是．6、（2018•温州）已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为．．7、（2018•白银）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为．8．（2019泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为cm．（三）、解答题1．（2018•湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．二、、有关扇形面积计算（一）、选择题1、（2018•德州）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）A．2B．C．πm2 D．2πm21题图2题图 3题图4题图2、（2018•广安）如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2B．π﹣C．π﹣2D．π﹣3、（2018•成都）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．6π4、（2018•绵阳）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A．（30+5）πm2B．40πm2C．（30+5）πm2D．55πm25．（2018•十堰）如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（）A．12π+18B．12π+36C．6D．66、（2018•山西）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣85题图6题图7题图8题图7、（2018•广西）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．B．C．2 D．28、（2018•威海）如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（）A．18+36πB．24+18πC．18+18πD．12+18π9题图10题图11题图12题图13题图9、（2019枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣12π10、（2019临沂）如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（）A．2+πB．2++πC．4+πD．2+π11、（2019宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）A．63﹣πB．63﹣2πC．63+πD．63+2π12. （2019四川南充）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A. 6π B. 33π C. 23π D. 2π13.（2019四川资阳）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A. 5πB. 6πC. 20πD. 24π（二）、填空题1、（2018青岛）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是．1题图2题图3题图4题图2、（2018•安顺）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为cm2．3、（2018•荆门）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB为直径的⊙O 交BC于点E，则阴影部分的面积为．4、（2018•重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）5、（2018•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．5题图6题图8题图9题图10题图6．（2018•香坊区）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为．7、（2018•哈尔滨）一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是cm2．8、(2019日照)如图，已知动点A 在函数4(0y x x=＞）的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，延长CA 交以A 为圆心AB 长为半径的圆弧于点E ，延长BA 交以A 为圆心AC 长为半径的圆弧于点F ，直线EF 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，当NF ＝4EM 时，图中阴影部分的面积等于 ．9、（2019泰安）如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A 、点C ，交OB于点D ，若OA ＝3，则阴影都分的面积为 ．10、（2019德州）如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，已知BC ＝，AC ＝3．则图中阴影部分的面积是 ．11、(2019无锡市)如图，在△ABC 中，AC ：BC ：AB ＝5：12：13，⊙O 在△ABC 内自由移动，若⊙O 的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为103，则△ABC 的周长为 ． A BABCOOCOOI HF GED11题图 12题图 12、（2019四川内江）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＜AD ，∠A ＝150°，CD ＝4，以CD 为直径的⊙O 交AD 于点E ，则图中阴影部分的面积为 ． （三）、解答题1、（2019东营）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AB 延长线上的一点，点C 在⊙O 上，且AC ＝CD ，∠ACD ＝120°．（1）求证：CD 是⊙O 的切线，（2）若⊙O 的半径为3，求图中阴影部分的面积．2、（2019无锡市）一次函数b kx y +=的图像与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴的正半轴相交于点B ，且sin ∠ABO 3OAB 的外接圆的圆心M 的横坐标为﹣3． （1）求一次函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积．xy M BAO3．（2019·武汉）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，分别交AM 、BN于D 、C 两点（1） 如图1，求证：AB 2＝4AD ·BC（2） 如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积ODEMF EMO图1 图2 4．（2019·衡阳）如图，点A 、B 、C 在半径为8的⊙O 上，过点B 作BD ∥AC ，交OA 延长线于点D ，连接BC ，且∠BCA ＝∠OAC ＝30°．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）求图中阴影部分的面积．DAOCB三、圆锥（一）、选择题2、（2018•自贡）已知圆锥的侧面积是8πcm 2，若圆锥底面半径为R （cm ），母线长为l （cm ），则R 关于l 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3、（2018•遵义）若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）A．60πB．65πC．78πD．120π4、（2018•遂宁）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是（）A．4πB．8πC．12πD．16π5、（2018•东阳市模拟）已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．50πcm2C．60πcm2D．3πcm26、（2019东营）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）A．3B．C．3 D．3（二）、填空题1、（2018烟台）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON 的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=．1题图2题图3题图7题图8题图2、（2018徐州）如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为．3、（2018•郴州）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）4、（2018•聊城）用一块圆心角为216°的扇形铁皮，做一个高为40cm的圆锥形工件（接缝忽略不计），那么这个扇形铁皮的半径是cm．5、（2018•黑龙江）用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为．6、（2018•扬州）用半径为10cm ，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为cm．7、（2018•苏州）如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD，点O，A，B，C，D 均在格点上．若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形OCD围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2，则12rr的值为8、（2019聊城）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为．9．（2019无锡市）已知圆锥的母线成为5cm，侧面积为15πcm 2，则这个圆锥的底面圆半径为cm ．答案与提示：一、弧长计算（一）、选择题1、D2、D3、A4、B5、B6、B7、D8、C1、解：如图，连接CO，∵∠BAC=50°，AO=CO=3，∴∠ACO=50°，∴∠AOC=80°，∴劣弧AC的长为=，故选：D．1题图2题图3题图6题图8题图2、解：连接OD，∵∠ABD=30°，∴∠AOD=2∠ABD=60°，∴∠BOD=120°，∴的长==，故选：D．3、解：连接OA、OB，∵正方形ABCD内接于O，∴AB=BC=DC=AD，∴===，∴∠AOB=×360°=90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，解得：AO=2，∴的长为=π，故选：A．4、BC=AB=AC=1，∠BCB′=120°，∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′=2×12014=1803ππ⨯故选B．5、连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧长为6011= 1803ππ⨯．6、解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝4，∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝2π，故选：B．7、解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，∴△ADC∽△CEB，∴＝，即＝，∵tan∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，∵直线DE与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠ABC＝30°∴AC＝2AD＝2，∴AB＝4，∴⊙O的半径为2，∴的长为：＝π，故选：D．8、解：连接OA．OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．（二）、填空题1、201923π2、2π3、24π4、83π5、26、67、πa8、6π1、解：直线y=x，点A1坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1可知B1点的坐标为（2，2），以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，OA2==4，点A2的坐标为（4，0），这种方法可求得B2的坐标为（4，4），故点A3的坐标为（8，0），B3（8，8）以此类推便可求出点A2019的坐标为（22019，0），则的长是=．故答案为：．2、1203=2 180ππ⨯3、解：∵点A（1，1），∴OA==，点A在第一象限的角平分线上，∵以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，∴∠AOB=45°，∴的长为=．故答案为．4、解：由图1得：的长+的长=的长 ∵半径OA=2cm ，∠AOB=120°则图2的周长为：=故答案为：．5、连接OB.OC ，由∠BAC=60°得∠BOC=120°，1204=1803r ππ⨯ 得：r=26、解：设半径为r ，60=2180rππ⨯，解得：r=6，故答案为：6 7、解：如图．∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a ， ∴的长=的长=的长==，∴勒洛三角形的周长为×3=πa ．故答案为πa ．(三)、解答题1、证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°， ∵OC ∥BD ，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC ⊥AD ，∴AE=ED ； （2）∵OC ⊥AD ，∴，∴∠ABC=∠CBD=36°，∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，∴．二、有关扇形面积计算1、A2、C3、C4、A5、C6、A7、D8、C9、C 10、A 11、A 12、A 13、A 1、解：连接AC ，∵从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°， ∴AC 为直径，即AC=2m ，AB=BC ，∵AB 2+BC 2=22，∴AB=BC=m ，∴阴影部分的面积是=（m 2），故选：A ．2、解：连接OB 和AC 交于点D ，如图所示：∵圆的半径为2，∴OB=OA=OC=2，又四边形OABC 是菱形，∴OB ⊥AC ，OD=OB=1， 在Rt △COD 中利用勾股定理可知：CD==，AC=2CD=2，∵sin ∠COD==，∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，∴S 菱形ABCO =OB ×AC=×2×2=2，S 扇形AOC ==，则图中阴影部分面积为S 菱形ABCO ﹣S 扇形AOC =π﹣2，故选：C ．1题图 2题图 5题图 7题图 8题图3、解：∵在□ABCD 中，∠B=60°，⊙C 的半径为3，∴∠C=120°， ∴图中阴影部分的面积是：=3π，故选：C ．4、解：设底面圆的半径为R ，则πR 2=25π，解得R=5， 圆锥的母线长==，所以圆锥的侧面积=•2π•5•=5π；圆柱的侧面积=2π•5•3=30π，所以需要毛毡的面积=（30π+5π）m 2．故选：A ．5、解：如图，连接OD ，AD ，∵点C 为OA 的中点，∴OC=OA=OD ， ∵CD ⊥OA ，∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，∴△ADO 为等边三角形，OD=OA=12，OC=CA=6，∴CD=，6，∴S 扇形AOD ==24π，∴S 阴影=S 扇形AOB ﹣S 扇形COE ﹣（S 扇形AOD ﹣S △COD ）=﹣﹣（24π﹣×6×6）=18+6π．故选：C ．6、解：利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF 的面积﹣△ABD 的面积=﹣×4×2=4π﹣4，故选：A ． 7、解：过A 作AD ⊥BC 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵AD ⊥BC ，∴BD=CD=1，AD=BD=， ∴△ABC 的面积为=，S 扇形BAC ==π，∴莱洛三角形的面积S=3×π﹣2×=2π﹣2，故选：D ．8、解：作FH ⊥BC 于H ，连接FH ，如图，∵点E 为BC 的中点，点F 为半圆的中点，∴BE=CE=CH=FH=6， 226+125Rt △ABE ≌△EHF ，∴∠AEB=∠EFH ， 而∠EFH+∠FEH=90°，∴∠AEB+∠FEH=90°，∴∠AEF=90°，∴图中阴影部分的面积=S正方形ABCD +S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF=12×12+12•π•62﹣12×12×6﹣12•65×65 =18+18π．故选：C．9、解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，故选：C．10、解：∵＝，∴AB＝AC，∵∠ACB＝75°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝BC＝2，作AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴AD经过圆心O，∴OD＝OB＝，∴AD＝2+，∴S△ABC＝BC•AD＝2+，S△BOC＝BC•OD＝，∴S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC＝2++﹣＝2+π，故选：A．12.连接OA、OB，则S阴=S扇形OAB=2606360π⨯=6π故选A13、圆所扫过的图形面积=长方形的面积+圆的面积=2π×2+π=5π二、填空题1、734-23π2、4π3、40π4、14π5、43π﹣36、8﹣2π7、6﹣π8、3 9、6π10、2.5π 11、34π 12、 13、25 14、233π+解：∵∠B=90°，∠C=30°，∴∠A=60°，∵OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠COF=120°，∵OA=2，∴扇形OGF的面积为：=∵OA为半径的圆与CB相切于点E，∴∠OEC=90°，∴OC=2OE=4，∴AC=OC+OA=6，∴AB=AC=3，∴由勾股定理可知：BC=3∴△ABC的面积为：×3×3=∵△OAF的面积为：×2×=，∴阴影部分面积为：﹣﹣π=﹣π故答案为：﹣π1题图 3题图 8题图2、解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC 绕圆心O 逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O ，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°， ∵AB=2cm ，∴OB=1cm ，OC′=，∴B′C′=，∴S 扇形B′OB ==π，S 扇形C′OC ==，∴阴影部分面积=S 扇形B′OB +S △B′C′O ﹣S △BCO ﹣S 扇形C′OC =S 扇形B′OB ﹣S 扇形C′OC =π﹣=π；3、解：连接OE 、AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，∴AE=AB=2，BE==2，∵OA=OB=OE ，∴∠B=∠OEB=30°，∴∠BOE=120°，∴S 阴影=S 扇形OBE ﹣S △BOE ，=﹣×，=﹣，=﹣，4、解：S 阴=S △ABD ﹣S 扇形BAE =×4×4﹣=8﹣2π，故答案为8﹣2π．5、解：∵矩形ABCD ，∴AD=2，∴S 阴影=S 矩形﹣S 四分之一圆=2×3﹣π×22=6﹣π，6、解：∵在⊙O 上，∠ACB=40°，∴∠AOB=2∠ACB=80°， ∴此扇形的半径为：=3．故答案为：3．7、解：设扇形的半径为Rcm ，∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm ， ∴=3π，解得：R=4，所以此扇形的面积为=6π（cm 2），故答案为：6π．8．解：作DF ⊥y 轴于点D ，EG ⊥x 轴于G ，∴△GEM ∽△DNF ，∵NF ＝4EM ，∴＝＝4，设GM ＝t ，则DF ＝4t ，∴A （4t ，），由AC ＝AF ，AE ＝AB ，∴AF ＝4t ，AE ＝，EG ＝， ∵△AEF ∽△GME ，∴AF ：EG ＝AE ：GM ，即4t ：＝：t ，即4t 2＝，∴t 2＝，图中阴影部分的面积＝+＝2π+π＝2.5π，11、解：连接OC ，作CH ⊥OB 于H ，∵∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，∴∠OAB ＝60°，AB ＝2OA ＝6， 由勾股定理得，OB ＝＝3，∵OA ＝OC ，∠OAB ＝60°，∴△AOC 为等边三角形，∴∠AOC ＝60°，∴∠COB ＝30°， ∴CO ＝CB ，CH ＝OC ＝， ∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为：π．11题图12题图 13题图解：在Rt △ABC 中，∵BC ＝，AC ＝3．∴AB ＝＝2，∵BC ⊥OC ，∴BC 是圆的切线，∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴BD ＝BC ，∴AD ＝AB ﹣BD ＝2﹣＝，在Rt △ABC 中，∵sinA ＝＝＝，∴∠A ＝30°，∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴OD ⊥AB ，∴∠AOD ＝90°﹣∠A ＝60°， ∵＝tanA ＝tan30°，∴＝，∴OD ＝1，∴S 阴影＝＝．故答案是：．13、如图，圆心O 在△ABC 内所能到达的区域是△O 1O 2O 3，∵△O 1O 2O 3三边向外扩大1得到△ACB ，∴它的三边之比也是5∶12∶13， ∵△O 1O 2O 3的面积=103，∴O 1O 2=53，O 2O 3=4，O 1O 3=133，连接AO 1 与CO 2，并延长相交于I ，过I 作ID ⊥AC 于D ，交O 1O 2于E ，过I 作IG ⊥BC 于G 交O 3O 2于F ，则I 是Rt △ABC 与Rt△O 1O 2O 3的公共内心，四边形IEO 2F 四边形IDCG 都是正方形，∴IE =IF = 1223122313O O O O O O O O O O ⨯++ =23，ED =1，∴ID =IE +ED =53，设△ACB 的三边分别为5m 、12m 、13m ，则有ID =AC BC AC BC AB ⨯++=2m =53，解得m =56，△ABC 的周长=30m =25.14、连接OE,则S 阴=S 扇形OEC +S △OED =260212123336023ππ⨯+⨯⨯=（三）、解答题 1、（1）证明：连接OC ．∵AC ＝CD ，∠ACD ＝120°∴∠A ＝∠D ＝30°．∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A ＝30°．∴∠OCD ＝∠ACD ﹣∠ACO ＝90°．即OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线． （2）解：∵∠A ＝30°，∴∠COB ＝2∠A ＝60°．∴S 扇形BOC ＝，在Rt △OCD 中，CD ＝OC ，∴，∴，∴图中阴影部分的面积为．2、作MN ⊥OB,垂足为N,连接OM,则MN=12OA=3,OA=6 ,A(-6,0)由sin ∠ABO 3则∠A=60°tan ∠BAO=OBOA∴3 ∴B （0，3）设直线AB:y=kx+b,将A,B 点的坐标代入得：3,b=3∴3x+3 S 阴=S 扇形MAO -S △MAO 2120(23)1634332ππ⨯-⨯-3、证明：（1）如图1，连接OD ，OC ，OE ．∵AD ，BC ，CD 是⊙O 的切线， ∴OA ⊥AD ，OB ⊥BC ，OE ⊥CD ，AD ＝ED ，BC ＝EC ，∠ODE ＝12∠ADC ，∠OCE ＝12∠BCD ∴AD //BC ，∴∠ODE ＋∠OCE ＝12（∠ADC ＋∠BCD ）＝90°， ∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠DOE ＝∠OCE ． 又∵∠OED ＝∠CEO ＝90°，∴△ODE ∽△COE ．∴OE ECED OE=，OE 2＝ED ·EC ∴4OE 2＝4AD ·BC ，∴AB 2＝4AD ·BC （2）解：如图2，由（1）知∠ADE ＝∠BOE ，∵∠ADE ＝2∠OFC ，∠BOE ＝∠2COF ，∴∠COF ＝∠OFC ，∴△COF 等腰三角形。
2020年中考数学必考考点专题26与弧长、扇形面积有关的问题(含解析)
专题26 与弧长、扇形面积有关的问题1.扇形弧长面积公式（1）弧长的计算公式（2）扇形面积计算公式2.弓形的面积（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。
（2）弓形的周长＝弦长＋弧长（3）弓形的面积当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，3．圆柱侧面积体积公式（1）圆柱的侧面积公式S侧=2πrh（2）圆柱的表面积公式：S表=S底×2+S侧=2πr2+2πr h专题知识回顾1802360rnrnlππ=⋅=2360rnsπ⋅=lrs21=或4.圆锥侧面积体积公式（1）圆锥侧面积计算公式 从右图中可以看出，圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，这样，圆锥侧面积计算公式:S 圆锥侧=S 扇形= = πrl（2）圆锥全面积计算公式:S 圆锥全=S 圆锥侧＋S 圆锥底面= πr l ＋πr 2=πr （l ＋r ）【例题1】（2019•湖北武汉）如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是（异于A.B ）上两点，C 是上一动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C.E 两点的运动路径长的比是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．【解析】如图，连接E B ．设OA ＝r ．易知点E 在以D 为圆心DA 为半径的圆上，运动轨迹是，点C 的运动轨迹是，由题意∠MON ＝2∠GDF ，设∠GDF ＝α，则∠MON ＝2α，利用弧长公式计算即可解决问题． 如图，连接E B ．设OA ＝r ．专题典型题考法及解析∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∵E 是△ACB 的内心，∴∠AEB ＝135°，∵∠ACD ＝∠BCD ，∴＝，∴AD ＝DB ＝r ，∴∠ADB ＝90°，易知点E 在以D 为圆心DA 为半径的圆上，运动轨迹是，点C 的运动轨迹是，∵∠MON ＝2∠GDF ，设∠GDF ＝α，则∠MON ＝2α ∴＝＝．【例题2】(2019山西）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =32，BC =2，以AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为（ ） A.2435π- B.2435π+ C.π-32 D.234π-【答案】A【解析】作DE ⊥AB 于点E ，连接OD ，在Rt △ABC 中：tan ∠CAB =3BC AB ==， ∴∠CAB =30°，∠BOD =2∠CAB =60°.在Rt △ODE 中：OE =21OD =23，DE =3OE =23.S 阴影=S △ABC -S △AOD -S 扇形BOD =2116022360AB BC OD DE OB π︒⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅︒=21136022223602ππ︒⨯--⨯⨯=-︒，故选A【例题3】（2019·贵州安顺）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r ＝2，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥母线l 的长为 ．【答案】6【解析】根据题意得2π×2＝，解德l ＝6，即该圆锥母线l 的长为6．一.选择题1.（2019•四川省广安市）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝4，以BC 为直径的半圆O 交斜边AB 于点D ，则图中阴影部分的面积为（ ）专题典型训练题A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣【答案】A．【解析】本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质、解题的关键是学会分割法求面积，中考常考题型．根据三角形的内角和得到∠B＝60°，根据圆周角定理得到∠COD＝120°，∠CDB＝90°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴∠COD＝120°，∵BC＝4，BC为半圆O的直径，∴∠CDB＝90°，∴OC＝OD＝2，∴CD＝BC＝2，图中阴影部分的面积＝S扇形COD﹣S△COD＝﹣2×1＝﹣。
冀教版九年级数学上册同步练习：28.5 弧长和扇形面积的计算
冀教版九年级数学上册同步练习：28.5 弧长和扇形面积的计算28.5 弧长和扇形面积的计算知识点 1 弧长公式l ＝n πr 180(n °为圆心角，r 为半径)1．若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是( )A ．3πB .4πC .5πD .6π2．2019·哈尔滨已知扇形的弧长为4π，半径为48，则此扇形的圆心角为______度．3．已知扇形的圆心角为120°，弧长为10π cm ，则扇形的半径为__________cm.4．如图28－5－1，已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，∠D ＝60°.当BC ＝4时，求AC︵的长． 图28－5－1知识点 2 扇形面积公式S ＝n πr 2360(n °为圆心角，r 为半径)5．扇形OBC 的圆心角为90°，半径为5，则该扇形的面积是( )A .5π4B .5π4C .4π5D .20π△ABC 旋转一周，求所得几何体的表面积．图28－5－313．2019·咸宁如图28－5－4，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OB ，OD ，若∠BOD ＝∠BCD ，则BD︵的长为( ) 图28－5－4A ．πB .32π C .2π D .3π 14．2019·枣庄如图28－5－5，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分的面积为( )图28－5－5A ．2πB .πC .π3D .2π315．如图28－5－6，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，以AB 的中点D 为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，设∠BDF ＝α(0°＜α＜90°)，当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积( )A ．由小到大B .由大到小C .不变D .先由小到大，后由大到小图28－5－6 图28－5－716．2019·宁波如图28－5－7，半圆O的直径AB＝2，弦CD∥AB，∠COD＝90°，则图中阴影部分的面积为________．17．如图28－5－8分别是边长均大于2的三角形，四边形，…，凸n边形．分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两相邻边相交，得到3个，4个，…，n个扇形．(1)三角形中3条弧长的和为________，3个扇形的面积的和为________；(2)四边形中4条弧长的和为________，4个扇形的面积的和为________；(3)凸n边形中n条弧长的和为________，n 个扇形的面积的和为________．图28－5－818．如图28－5－9所示，已知圆锥的底面半径r＝10 cm，母线长为40 cm.(1)求它的侧面展开图的圆心角和面积；(2)若一甲虫从点A出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B，请你动脑筋想一想它所爬行的最短路程是多少？图28－5－919．如图28－5－10，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③.已知∠O＝60°，OA＝1.(1)求点O所运动的路径长；(2)求点O走过的路径与直线l围成的面积．图28－5－1020．已知P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC.将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置(如图28－5－11)．(1)设AB的长为a，PB的长为b(b＜a)，求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域(图中阴影部分)的面积；(2)若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长．图28－5－111．B[解析] 此扇形的弧长为120×π×6180＝4π.2．15[解析] 设扇形的圆心角为n°，则nπ×48180＝4π，解得n＝15.3．15 [解析] 扇形的弧长l ＝n πr 180＝120×π×r 180＝10π，解得r ＝15. 4．解：∵∠ABC 与∠D 都是弧AC 所对的圆周角，∴∠ABC ＝∠D ＝60°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠BAC ＝180°－90°－60°＝30°. 连接OC .∵OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠ACO ＝30°，∴∠AOC ＝180°－2×30°＝120°，∴∠BOC ＝60°，∴△BOC 为等边三角形，∴OC ＝BC ＝4，∴AC ︵的长为120π×4180＝83π. 5．B6．B [解析] ∵一个扇形的弧长是10πcm ，面积是60π cm 2，∴S ＝12lr ， 即60π＝12×10π×r ，解得r ＝12，∴S ＝60π＝n π×122360，解得n ＝150.故选B. 7．36 [解析] 设该扇形的半径为r ，则100π×r 2360＝15π，解得r ＝36，即该扇形的半径为3 6 cm.8.23π [解析] 线段AB 扫过的面积S ＝2×30π×22360＝23π. 9．15π [解析] 圆锥的底面半径为3 cm ，则其底面周长＝6π cm ，∴其侧面展开图面积＝12×6π×5＝15π(cm 2)． 10．25 [解析] 扇形的弧长是150π×60180＝50π(cm)，设圆锥的底面半径是r cm ，则2πr ＝50π，解得r ＝25.11．42 [解析] ∵圆心角为120°，半径为6 cm 的扇形的弧长为120×π×6180＝4π， ∴圆锥的底面圆的周长为4π，因此圆锥的底面圆的半径为2， ∴这个纸帽的高为62－22＝42(cm)．故答案为4 2.12．解：由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10，斜边上的高为6×810＝4.8， 由题意易知几何体是由两个圆锥组成的，则几何体的表面积为12×2×4.8π×(6＋8)＝67.2π.13．C [解析] ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠BCD ＋∠A ＝180°.∵∠BOD ＝2∠A ，∠BOD ＝∠BCD ，∴2∠A ＋∠A ＝180°，解得∠A ＝60°，∴∠BOD ＝120°，∴BD︵的长＝120π×3180＝2π.故选C. 14．[全品导学号：27572231] D[解析] ∵∠CDB ＝30°，∴∠COB ＝60°. 又∵弦CD ⊥AB ，CD ＝23，∴OC ＝12CD sin60°＝332＝2， ∴S 阴影＝S 扇形COB ＝60×π×22360＝2π3.故选D. 15．C [解析] 如图，过点D 作DM ⊥AC 于点M ，DN ⊥BC 于点N ，连接DC .∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，∴∠A ＝∠B ＝45°，DM ＝22AD ＝24AB ，DN ＝22BD ＝24AB ，∴DM ＝DN .又∵DM ⊥AC ，DN ⊥BC ，∠ACB ＝90°，∴四边形DMCN 是正方形，∴∠MDN ＝90°，∴∠MDG ＝90°－∠GDN .∵∠EDF ＝90°，∴∠NDH ＝90°－∠GDN ，∴∠MDG ＝∠NDH .在△DMG 和△DNH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MDG ＝∠NDH ，DM ＝DN ，∠DMG ＝∠DNH ，∴△DMG ≌△DNH ，∴四边形DGCH 的面积＝正方形DMCN 的面积．∵正方形DMCN 的面积＝DM 2＝18AB 2，∴四边形DGCH 的面积＝18AB 2.∵扇形DFE 的面积＝90·π·CD 2360＝πAB 216，∴阴影部分的面积＝扇形DEF 的面积－四边形DGCH 的面积＝（π－2）AB 216(定值)． 16． π4[解析] ∵弦CD ∥AB ，∴S △ACD ＝S △OCD ，∴S 阴影＝S 扇形OCD ＝90360×π×12＝π4.故答案为π4. 17． (1)π 12π (2)2π π (3)(n －2)π n －22π [解析] (1)根据题意，设三角形三个内角的度数分别为n °1，n °2，n °3，则根据三角形内角和公式，有n °1＋n °2＋n °3＝180°.又半径为1，所以3条弧长的和l ＝n 1πr 180＋n 2πr 180＋n 3πr 180＝（n 1＋n 2＋n 3）πr 180＝π，3个扇形的面积和为S ＝n 1πr 2360＋n 2πr 2360＋n 3πr 2360＝（n 1＋n 2＋n 3）πr 2360＝π2.类似地，四边形的内角和为360°，n 边形的内角和为180°(n －2)，从而可得答案．18． 解：(1)n π×40180＝2π×10，解得n ＝90.圆锥侧面展开图的面积为12×(2π×10)×40＝400π(cm 2)．即它的侧面展开图的圆心角为90°，面积为400π cm 2.(2)如图，将圆锥的侧面展开，连接AB . 由圆锥的侧面展开图，得甲虫从点A 出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA 的中点B 所走的最短路程是线段AB 的长．在Rt △ASB 中，SA ＝40 cm ，SB ＝20 cm ，∴AB＝SA2＋SB2＝402＋202＝205 (cm)．∴甲虫所走的最短路程是20 5 cm.19．解：(1)从图①到图②，点O运动的轨迹是一个以A为圆心，OA为半径的四分之一圆弧，l1＝2π×14＝π2；从图②开始旋转到图②旋转结束，即从OA垂直于l旋转到OB′垂直于l，点O运动的轨迹是一段直线段，长度与弧AB的长度相等，l2＝2π×16＝π3；从图②旋转结束到图③，点O运动的轨迹是一个以B为圆心，OB为半径的四分之一圆弧，l3＝2π×14＝π2，∴点O所运动的路径长为π2＋π3＋π2＝43π.(2)点O走过的路径与直线l围成的面积是一个半圆与长为π3、宽为1的矩形的面积和，即π×122＋1×π3＝5π6. 20． 解：(1)∵将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P ′CB 的位置，∴△PAB ≌△P ′CB ，∴S △PAB ＝S △P ′CB ， ∴S 阴影＝S 扇形BAC ＋S △P ′CB －S △PAB －S 扇形BPP ′＝S 扇形BAC －S 扇形BPP ′＝π4(a 2－b 2)． (2)连接PP ′，由(1)知△APB ≌△CP ′B ， ∴BP ＝BP ′＝4，P ′C ＝PA ＝2，∠PBP ′＝90°，∴△PBP ′是等腰直角三角形，P ′P 2＝PB 2＋P ′B 2＝32，∴∠BP ′P ＝45°.又∵∠BP ′C ＝∠BPA ＝135°，∴∠PP ′C ＝∠BP ′C －∠BP ′P ＝135°－45°＝90°，即△PP ′C 是直角三角形，∴PC ＝P ′P 2＋P ′C 2＝6.。
【初中数学++】圆的概念及性质+课件+级数学上册
28.1圆的概念及性质
单元内容结构图
C
O●
圆
┌
B
A
D
28.1圆的概念及性质 28.2过三点的圆
28.3圆心角和圆周角 28.4垂径定理
28.5弧长和扇形面积的计算
学习目标
1、通过生活实例认识圆，经历形成圆的概念的过程，发展 几何直观； 2、探究圆的对称性； 3、通过对圆的相关概念的理解，能够从图形中识别“弦、 直径”“弧、优弧、劣弧”“半圆、等圆、等弧”.
实际上，圆绕 圆心旋转任意 角度后都与自 身重合.
学生活动三 【自主学习】
阅读课本147页，理解圆的相关概念.
知识点 3 与圆有关的概念
弦 圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦.
过圆心的弦叫做这个圆的直径. A
注意： （1）弦和直径都是线段. （2）直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最 C 长的弦，但弦不一定是直径.
︵︵
为 ABC、 ABD ;以 A 点为一个端点的劣弧有 2 条，可以表示
︵︵
为 AC、AD .
结构导图
概念
定义 平面上，到定点的距离等于定长的所有 点组成的图形.
圆的概念及 性质
圆的对称 性
与圆有关 的概念
圆是轴对称图形，也是中心对称图形. 弦、弧、等圆、等弧.
1. 下列条件中，能确定圆的是（ D ）
B
O
A
C
等圆
能够完全重合的两个圆叫做等圆.
等弧
能够完全重合的两条弧叫做等弧.
B
D
●
●
A●
C ●
⌒⌒
AB与CD是等弧，存在于等圆中.
等弧
能够完全重合的两条弧叫做等弧.
初中数学冀教版九年级上册 28.5弧长和扇形面积的计算练习题
初中数学冀教版九年级上册第二十八章弧长和扇形面积的计算练习题一、选择题1.圆心角为120°的扇形的半径是3cm，则这个扇形的面积是()A. 6πcm2B. 3πcm2C. 9πcm2D. πcm22.一个圆锥的底面半径是4cm，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是()A. 8cmB. 12cmC. 16cmD. 24cm3.圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知圆的周长为20π，扇形的圆心角为120°，则圆锥的全面积为()A. 400πB. 500πC. 600πD. 700π4.如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为13π，则图中阴影部分的面积为()A. 16π B. 316π C. 124π D. 112π+√345.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚(如图)，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为()A. 3π2B. 4π3C. 4D. 2+3π26.如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的底面半径为()A. 2cmB. 4cmC. 1cmD. 8cm7.一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是()A. 2πB. 4πC. 12πD. 24π8.如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是()A. πB. 2πC. 3πD. 6π9.圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是()A. 5√3cmB. 10cmC. 6cmD. 5cm10.钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟面上扫过的面积是()A. 18π B. 14π C. 12π D. π二、填空题11.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB的长为20cm，扇面BD的长为15cm，则弧DE的长是______．12.若圆锥的底面直径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为______cm2．13.已知扇形的面积为3π，圆心角为120°，则它的半径为______．14.一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为______.(结果保留π)15.如图，Rt△ABC中，∠A=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，O是BC上一点，经过C、D两点的⊙O分别交AC、BC于点E、F，AD=√3，∠ADC=60°，则劣弧CD⏜的长为______．三、解答题16.如图，在平面直角坐标系中，将△ABC点C顺时针旋转90°后得则△A′B′C′．(1)请在图中画出△A′B′C′，并写出点A的对应点A′的坐标；(2)求线段AC旋转到A′C时扫过的面积S．17.如图，⊙O的直径AB=16，半径OC⊥AB，D为BC⏜上一动点(不包括B，C两点)，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E，F．(1)求EF的长．(2)若点E为OC的中点，①求劣弧CD的长度；②者点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值．18.如图，把圆锥的侧面展开得到扇形，其半径OA=3，圆心角∠AOB=120°，求AB⏜的长．19.已知：扇形的圆心角为150°，弧长为20π，求扇形面积．20.如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE=2√3，∠DPA=45∘．(1)求⊙O的半径；(2)求图中阴影部分的面积．答案和解析1.【答案】B=3πcm2，【解析】解：扇形的面积公式=120π32360故选：B．计算可得答案．根据扇形的面积公式S=nπR2360本题考查扇形的面积公式．2.【答案】B【解析】解：圆锥的底面周长为2π×4=8πcm，即为展开图扇形的弧长，=8π，由弧长公式得，120×π×R180解得，R=12，即圆锥的母线长为12cm．故选：B．根据圆锥侧面展开图的实际意义求解即可．本题考查圆锥的侧面展开图，明确展开图扇形的各个部分与圆锥的关系是正确计算的前提．3.【答案】A【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，根据题意得2πr=20π，解得r=10，20π=120×π×l，解得l=30，180×20π×30=400π．所以圆锥的全面积=π×102+12故选：A．设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，利用圆的周长公式得2πr=20π，解得r=10，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等，解得l=30，然后计算底面圆的面积与于圆锥的母线长和弧长公式得到20π=120×π×l180扇形的面积可得到圆锥的全面积．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．4.【答案】A【解析】解：连接CD 、OC 、OD ．∵C ，D 是以AB 为直径的半圆周的三等分点， ∴∠AOC =∠COD =∠DOB =60°，AC =CD ， ∵弧CD 的长为13π， ∴60π⋅r 180=13π，解得：r =1， 又∵OA =OC =OD ，∴△OAC 、△OCD 是等边三角形， 在△OAC 和△OCD 中，{OA =OCOC =OD AC =CD ，∴△OAC≌△OCD(SSS)， ∴S 阴影=S 扇形OCD =60π⋅12360=π6．故选：A ．连接OC 、OD ，根据C ，D 是以AB 为直径的半圆周的三等分点，可得∠COD =60°，△OCD 是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD 的面积求解即可．本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形OCD 的面积，难度一般．5.【答案】B【解析】解：如图：BC =AB =AC =1， ∠BCB′=120°，∴B 点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′=2×120π×1180=43π，故选：B ．根据题目的条件和图形可以判断点B 分别以C 和A 为圆心CB 和AB 为半径旋转120°，并且所走过的两路径相等，求出一个乘以2即可得到．本题考查了弧长的计算方法，求弧长时首先要确定弧所对的圆心角和半径，利用公式求得即可．6.【答案】A=4πcm，【解析】解：扇形的弧长是120×6π180设底面半径是r，则2πr=4π，解得：r=2cm．故选：A．首先利用扇形的弧长公式即可求得扇形，然后根据圆的周长公式即可求解．本题考查圆锥的计算，理解圆锥的展开图中扇形的弧长等于圆锥的底面周长是关键．7.【答案】C=12π，【解析】解：S=120×π×62360故选：C．根据扇形的面积公式S=nπR2计算即可．360是解题的关键．本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=nπR23608.【答案】C【解析】【分析】本题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积的计算公式解答．根据平行四边形的性质可以求得∠C的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积．【解答】解：∵在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，∴∠C=120°，∴图中阴影部分的面积是：120×π×32=3π，360故选：C．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π⋅5=180πR180，然后解方程即可母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．【解答】解：设圆锥的母线长为R，根据题意得2π⋅5=180πR180，解得R=10．即圆锥的母线长为10cm，∴圆锥的高为：√102−52=5√3cm．故选：A．10.【答案】B【解析】解：从9点到9点15分分针扫过的扇形的圆心角是90°，则分针在钟面上扫过的面积是：90π×12360=14π.故选：B．从9点到9点15分分针扫过的扇形的圆心角是90°，利用扇形的面积公式即可求解．本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键．11.【答案】10π3cm【解析】解：弧DE的长为：120π×(20−15)180=10π3(cm)．故答案为：10π3cm．直接利用弧长公式计算得出答案．此题主要考查了弧长公式计算，正确应用弧长公式是解题关键．12.【答案】30π【解析】解：圆锥的侧面积=12×6π×10=30π(cm2).故答案为30π．利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．13.【答案】3【解析】解：设半径为r，由题意，得πr2×120360=3π，解得r=3，故答案为：3．根据扇形的面积公式，可得答案．本题考查了扇形面积公式，利用扇形面积公式是解题关键．14.【答案】4π【解析】解：S扇形=90⋅π⋅42360=4π，故答案为4π．利用扇形的面积公式计算即可．本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积=n⋅π⋅r2360=12lr(r是扇形的半径，l是扇形的弧长)．15.【答案】43π【解析】解：连接DF，OD，∵CF是⊙O的直径，∴∠CDF=90°，∵∠ADC=60°，∠A=90°，∴∠ACD=30°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCF=30°，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=30°，∴∠COD=120°，在Rt△CAD中，CD=2AD=2√3，在Rt△FCD中，CF=CDcos30∘=√3√32=4，∴⊙O的半径=2，∴劣弧CD⏜的长=120π×2180=43π，故答案为43π.连接DF，OD，根据圆周角定理得到∠ADF=90°，根据三角形的内角和得到∠AOD=120°，根据三角函数的定义得到CF=CDcos∠DCF=4，根据弧长个公式即可得到结论．本题考查了圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．16.【答案】解：(1)△A′B′C′如图所示，A′(3,0)；(2)由勾股定理得，AC=√12+32=√10，线段AC旋转到A′C时扫过的面积S=90⋅π⋅(√10)2360=5π2．【解析】(1)根据网格结构找出点A、B绕点C顺时针旋转90°后的对应点A′、B′的位置，再与点C顺次连接即可，根据平面直角坐标系写出点A′的坐标；(2)利用勾股定理列式求出AC，再根据扇形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了利用旋转变换作图，扇形的面积公式，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．17.【答案】解：(1)如图，连接OD，∵⊙O的直径AB=16，∴圆的半径为16÷2=8．∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，∴四边形OFDE是矩形，∴EF=OD=8．(2)①∵点E为OC的中点，∴OE=12OC=12OD，∴∠EDO=30°，∴∠DOE=60°，∴劣弧CD的长度为60π×8180=8π3．②延长CO交⊙O于点G，连接DG交AB于点P，则PC+PD的最小值为DG．∵∠G=12∠COD=30°，EG=12,cosG=EGDG，∴DG=EGcos30∘=8√3，∴PC+PD的最小值为8√3．【解析】(1)连接OD，由OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB知四边形OFDE是矩形，据此可得EF=OD=12AB；(2)①先求出∠DOE的度数，再利用弧长公式求解可得；②延长CO交⊙O于点G，连接DG交AB于点P，则PC+PD的最小值为DG，再根据DG=EGcos30∘及EG=12可得答案．本题主要考查圆的有关概念与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、轴对称的性质、圆的相关性质．18.【答案】解：AB⏜的长为：120π×3180=2π．【解析】弧长的计算公式为nπr180，把半径和圆心角代入公式可以求出弧长．本题考查的是弧长的计算，知道圆心角和半径，代入弧长公式计算．19.【答案】解：设扇形的半径为R，则由弧长公式得：20π=150π⋅R180，解得：R=24，即扇形的面积是12×20π×24=240π．【解析】先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出即可．本题考查了弧长公式和扇形面积公式的应用，注意：扇形的面积=12×弧长×半径．20.【答案】解：(1)∵直径AB⊥DE，∴CE=12DE=√3．∵DE平分AO，∴CO=12AO=12OE．又∵∠OCE=90°，∴sin∠CEO=COEO =12．∴∠CEO=30°．在Rt△COE中，EO=CEcos30°=√3√32=2∴⊙O的半径为2；(2)连接OF．在Rt△DCP中，∵∠DPC=45°，∴∠D=90°−45°=45°．∴∠EOF=2∠D=90°．∴S扇形OEF =90360×π×22=π．∵∠EOF=2∠D=90°，OE=OF=2，∴S Rt△OEF=12×OE×OF=2∴S阴影=S扇形OEF−S Rt△OEF=π−2．【解析】本题综合考查了垂径定理和解直角三角形及扇形的面积公式．(1)根据垂径定理得CE的长，再根据已知DE平分AO得CO=12AO=12EO解直角三角形求解．(2)先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．。
2020-2021冀教版数学九年级上册 28.5 弧长和扇形面积的计算
拓展训练 2020年冀教版数学九年级上册 28.5 弧长和扇形面积的计算基础闯关全练1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC=2，∠BAC= 30°，则劣弧的长等于 ( )A ．32πB ．3πC ．332πD ．33π2．矩形ABCD 中，AB=5，AD= 12，将矩形ABCD 按如图所示的方式在直线l 上进行两次翻转，则点B 在两次翻转过程中经过的路径的长是 ( )A.π225B.13πC.25πD.2253．如图，在半径为2的⊙O 中，点Q 为优弧MN 的中点，圆心角∠MON= 60°，在弧QN 上有一动点P ，且点P 到弦MN 所在直线的距离为x ．(1)求弦MN 的长；(2)试求阴影部分的面积y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)试分析比较，阴影部分的面积y 与的大小关系.4．如图，SO ，SA 分别是圆锥的高和母线，若SA=12 cm ，∠ASO= 30°，则这个圆锥的侧面积是__________cm ²．（结果保留π）能力提升全练1．若一个圆锥的侧面展开图是半径为12 cm 的半圆，则这个圆锥的底面半径是________cm.2．如图，∠AOB= 120°，弦AB= 23 cm ．(1)求⊙O 的半径r ；(2)求劣弧的长（结果保留π）．三年模拟全练一、选择题1．（2018河北故城运河中学期末．6，★☆☆）将一个半径为8 cm ，面积为32πcm ²的扇形铁皮围成一个圆锥形容器（不计接缝），那么这个圆锥形容器的高为 ( )A.4 cmB.34 cmC.54cmD.142 cm2．（2019湖北武汉华中师大一附中期末，6，★☆☆）如图，已知圆O 的半径为a ，点A ，B ，C 均在圆O 上，且OB ⊥AC ，则图中阴影部分的面积是 ( )A ．B ．C ．D ．三、填空题 3．(2018河北邢台南和实验中学期末，16．★☆☆)如图，点P( 3a ，a)是反比例函数x ky (k ＞0)的图像与⊙O 的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的关系式为_____.三、解答题4．（2019河北唐山路北期中，21，★★☆）已知：如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且BC=6 cm ，AC=8 cm ，∠ABD=45°.(1)求BD 的长；(2)求图中阴影部分的面积．五年中考全练一、选择题1．（2018山东滨州中考，8，★☆☆）已知半径为5的⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ABC= 25°，则劣弧的长为( )A ．B ． C. D.2．（2018四川成都中考，9，★☆☆）如图，在□ABCD 中，∠B=60°，⊙C 的半径为3，则图中阴影部分的面积是 ( )A ．πB ．2πC ．3πD ．6π二、填空题3．（2014河北中考，19，★☆☆）如图，将长为8 cm 的铁丝首尾相接围成半径为2 cm 的扇形，则__________cm²．三、解答题4．（2016福建福州中考，24，★☆☆）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接BM，CM．(1)求证：BM= CM；(2)当⊙O的半径为2时，求的长.核心素养全练y （2018山东潍坊中考）如图，点A₁的坐标为(2，0)，过点A₁作x轴的垂线交直线l：x3于点B₁，以原点O为圆心，OB₁的长为半径画弧交x轴正半轴于点A₂；再过点A₂作x轴的垂线交直线l于点B₂，以原点O为圆心，以OB₂的长为半径画弧交x轴正半轴于点A₃；……，按此作法进行下去，则的长是___________．28.5 弧长和扇形面积的计算基础闯关全练1．A 连接OB，OC，由圆周角定理得，∠BOC=2∠BAC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=2，∴，故选A．2．A 如图，连接BD，B’D，∵AB=5，AD= 12，∴BD=1312522=+∴， ∴，∴点B 在两次翻转过程中经过的路径的长是，故选A ． 3．解析 (1)∵OM= ON ，∠MON=60°，∴△MON 是等边三角形，∴MN =OM= ON=2．(2)作OH ⊥MN 于H 点，∴NH =21MN=1．在Rt △OHN 中，OH ² =ON ²-NH ²，即OH ²=2²-1²=3，∴3OH =，∴，即．(3)令MON y 扇形S =，即，∴3x =． 当3x =时，MON y 扇形S =；当3x 0<≤时，y ＜MON S 扇形；当323+≤<x 时，y ＞MON S 扇形．4．答案 72π解析 在Rt △SAO 中，由∠ASO=30°，SA= 12 cm ，得底面圆的半径r=OA=21SA=6 cm ，因为母线长l=SA = 12 cm ，所以圆锥侧S =πrl=π·6×12= 72π( cm ²).能力提升全练1．答案 6解析 设圆锥的底面半径为r cm ，根据题意得2πr=π·12，解得r=6．故圆锥的底面半径为6 cm ．2．解析 (1)作OC ⊥AB 于C ，则AC= 21AB=3cm ．∵∠AOB= 120°，OA= OB ，∴∠A= 30°.∴在Rt △AOC 中，cm ，即⊙O 的半径r 为2 cm ．(2)劣弧的长为cm.三年模拟全练一、选择题1．B 设扇形铁皮的弧长为l cm ，由题意得21l ×8=32π，解得l=8π，则底面圆的半径=ππ28=4 cm ，故圆锥形容器的高cm ，故选B ．2.C ∵OA =OC ，OB ⊥AC ．∴，， ∴π阴影部分21a S 2+=·22a 12a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π， 故选C ．二、填空题3．答案x 12y =解析 由双曲线和圆的中心对称性可知，题图中两阴影部分的面积之和恰为整个圆的面积的41． 因为阴影部分的面积为10π，所以圆的面积为40π.因为P 的坐标为( 3a ，a)，所以OP ²=（3a ）²+a ²= 10a ²．又π·OP ²= 40π，即OP ²= 40，所以10a ²= 40，解得a=±2．所以P 的坐标为(6，2)，所以k=12.所以反比例函数的关系式为x 12y =， 三、解答题4．解析 (1)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB= 90°，∵BC=6 cm ，AC=8 an ，∴AB= 10 cm ，∴OB =5 cm.连接OD ．∵OD=OB ，∴∠ODB= ∠ABD=45°.∴∠BOD=90°．∴cm ． (2)=-=∆OBD BOD S S S 扇形阴影cm ²．五年中考全练一、选择题1．C 如图，连接AO ，CO ，∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°， ∴劣弧的长，故选C ．2．C ∵在□ABCD 中，∠B=60°，⊙C 的半径为3，∴∠C= 120°． ∴题图中阴影部分的面积是，故选C ．二、填空题3．答案4解析 由题意可知扇形的周长为8 cm ．因为半径r=2 cm ，所以弧长l= 8-2×2=4 cm ，所以2)(42421l 21S cm r =⨯⨯==扇形．三、解答题4．解析 (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB= CD ，∴. ∵M 为的中点，∴． ∴，∴BM=CM ．(2)连接OM ，OB ，OC.∵，∴∠BOM=∠COM.∵正方形ABCD 内接于⊙O ，∴，∴．由弧长公式，得的长．核心素养全练答案 322019π 解析 由直线l 的解析式为x 3y ，点A ₁坐标为(2，0)，过点A ₁作x 轴的垂线交直线l 于点B ₁，可知B ₁点的坐标为(2，32)．以原点O 为圆心，OB ₁的长为半径画弧交x 轴于点A ₂，∴OA ₂=OB ₁，∴，∴点A ₂的坐标为(4，0)，可求得B ₂的坐标为（4，34）， 故点A ₃的坐标为(8，0)，B ₃的坐标为(8，38)，以此类推便可求出点2019A 的坐标为(20192，0)，∵，∴∠B ₁OA ₁=60°， ∴的长是，故答案为322019π．。
九年级数学上册28.5弧长和扇形面积的计算弧长和扇形中考创新题展示素材冀教版(new)
弧长和扇形中考创新题展示每年的中考试题,都出现与弧长和扇形有关的创新题，这些试题设计巧妙,具有创新意识.有的试题以实际问题为素材，重在考查从实际问题中抽象数学模型的能力；有的试题与旋转变换相结合，考查空间思维能力；还有的从实际课堂出发，考查类比猜想的能力.例1(宜昌市） 某校编排的一个舞蹈需要五把和图1形状完全相同的绸扇。
学校现有三把符合要求的绸扇，将这三把绸扇完全展开刚好组成图2所示的一朵圆形的花。
请你算一算：再做两把这样的绸扇至少需要多少平方米的绸布？（单面制作，不考虑绸扇的折皱，结果用含π的式子表示）分析： 计算两把的绸扇的面积，需要从实际问题中抽象出数学模型-——圆.因为三把绸扇完全展开刚好组成一个圆形的花，所以就可以计算出圆的面积后,再乘以32即可. 解：因为三把绸扇完全展开刚好组成一个圆，所以大圆的半径R=30㎝，小圆的半径=12㎝,所以S 大圆=,9003022πππ==RS 小圆=,1441222πππ==rS 绸面=S 大圆— S 小圆=756π, 所以两把绸扇所需绸布的面积为.50475632322cm S ππ=⨯=⨯绸面 例2（南安市）如图3,半圆M 的直径AB 为20cm ，现将半圆M 绕着点A 顺时针旋转180°．（1）请你画出旋转后半圆M 的图形；（2）求出在整个旋转过程中，半圆M 所扫过区域的面积（结果精确到1cm 2).分析：这是与半圆旋转变换有关的面积计算试题,第(1）问题目比较简单,第（2）问半圆M 所扫过的区域是以点A 为圆心，以AB 为半径的半圆和一个以点M 为圆心、以AB 为直径的的半圆.解:（1)如图4:（2) 半圆M 所扫过的区域的面积=.78525010212021222cm ππππ≈=⨯⨯+⨯⨯ 例3（太原市）在学习扇形的面积公式时,同学们推得S 扇形=3602R n π,并通过比较扇形面积公式与弧长公式l =180R n π得出扇形面积的另一种计算方法S 扇形=lR 21. 接着老师让同学们解决两个问题：问题一：求弧长为4π，圆心角为1200的扇形面积.问题二：某小区设计的花坛形状如图5中的阴影部分，已知弧AB 和弧CD 所在圆的圆心都是点O ，弧AB 的长为l 1和弧CD 的长为l 2,AC=BD=d ，求花坛的面积.（1)请你解答问题一；(2）在解答问题二后的全班交流中，有位同学发现扇形面积公式S 扇形=lR 21类似于三角形面积公式；类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积S=d l l )(2121+。
九年级数学上册 第28章 圆 28.5 弧长和扇形面积的计算
28.5 弧长和扇形面积的计算一、选择题1．扇形的半径为30 cm ，圆心角为120°，则此扇形的弧长是( ) A ．20π cm B ．10π cm C ．10 cm D ．20 cm2．一个扇形的圆心角是120°，面积是3π cm 2，那么这个扇形的半径是( ) A ．1 cm B ．3 cm C ．6 cm D ．9 cm3．如图43－K －1，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为2，∠ABC ＝135°，则AC ︵的长为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π3图43－K －1 图43－K －24．如图43－K －2，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65π cm 2，扇形的弧长为10π cm ，则圆锥母线长是( )A ．5 cmB ．10 cmC ．12 cmD ．13 cm5．若一个圆锥的底面圆的半径为1，母线长为3，则该圆锥侧面展开图的圆心角是( ) A ．90° B ．120° C ．150° D ．180°6．如图43－K －3，半圆O 的直径AB ＝4，P ，Q 是半圆O 上的点，弦PQ 的长为2，则AP ︵与QB ︵的长度之和为( )A.2π3 B.4π3 C.5π3D ．π图43－K－3 图43－K－47．如图43－K－4，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是( )A.252π B．13π C．25π D．25 28．如图43－K－5，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于点D，则阴影部分的面积为(结果保留π)( )A．16 B．24－4π C．32－4π D．32－8π图43－K－5二、填空题9．若圆锥的侧面展开图的弧长为24π cm，则此圆锥的底面半径为________cm.10．已知扇形的半径为6 cm，面积为10π cm2，则该扇形的弧长等于________．11．[2017·无锡]若圆锥的底面半径为3 cm，母线长是5 cm，则它的侧面展开图的面积为________cm2.12．[2017·保定二模]如图43－K－6，现有一张圆心角为108°，半径为40 cm的扇形纸片，小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，则剪去的扇形纸片的圆心角θ的度数为________．图43－K－613．如图43－K－7，圆锥的底面圆的半径为3 cm，母线长为9 cm，C为母线PB的中点，一只蚂蚁欲从点A处沿圆锥的侧面爬到点C处，则它爬行的最短距离为________．图43－K－7 图43－K－814．如图43－K－8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°后得到△ADE.若AC＝1，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是________(结果保留π).三、解答题15．如图43－K－9，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，1)，B(－3，1)，C(－1，4)．(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；(2)将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC在旋转过程中所扫过的面积(结果保留π)．图43－K－915．如图43－K －10，已知在⊙O 中，AB ＝4，AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于点F ， ∠A ＝30°.(1)求⊙O 的半径；(2)若用阴影扇形BOD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥底面圆的半径.图43－K －1017．如图43－K －11，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 在AC 上，经过A ，B ，E 三点的⊙O 交BC 于点D ，且BD ︵＝DE ︵.(1)求证：AB 为⊙O 的直径；(2)若AB ＝8，∠BAC ＝45°，求阴影部分的面积．图43－K －111．A2．B [解析] ∵扇形的圆心角是120°，面积是3π cm 2，∴3π＝120πR 2360，R 2＝9.∵R>0，∴R ＝3.3．B [解析] 如图，连接OA ，OC.∵∠ABC ＝135°， ∴∠ADC ＝45°， ∴∠AOC ＝90°， 则AC ︵的长为90π×2180＝π.故选B.4．D [解析] 设母线长为R ，由题意，得65π＝10πR2，解得R ＝13.故选D.5．B [解析] 圆锥侧面展开图的弧长是2π×1＝2π(cm )． 设圆心角的度数是n °.则n π×3180＝2π，解得n ＝120.故选B.6．B [解析] 如图，连接OP ，OQ ，则OP ＝OQ ＝2.∵OP ＝OQ ＝PQ ＝2， ∴△OPQ 为等边三角形， ∴∠POQ ＝60°， ∴∠AOP ＋∠BOQ＝120°，则AP ︵与QB ︵的长度之和为120·π·2180＝4π3.故选B. 7．A8．B [解析] 连接AD ，OD. 在等腰直角三角形ABC 中，有∠ABD＝45°. ∵AB 是半圆O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，∴△ABD 也是等腰直角三角形，∴AD ＝BD. ∵AB ＝8， ∴AD ＝BD ＝42，∴S 阴影＝S △ABC －S △ABD －S 弓形AD＝S △ABC －S △ABD －⎝ ⎛⎭⎪⎫S 扇形AOD －12S △ABD ＝12×8×8－12×42×42－90π×42360＋12×12×42×42＝16－4π＋8 ＝24－4π. 故选B. 9．1210.10π3 cm [解析] ∵12lr ＝10π，∴l ＝20πr ＝20π6＝10π3(cm )．11．15π [解析] 由圆锥的底面半径为3 cm ，得其底面周长为6π cm ，所以其侧面面积为12×6π×5＝15π (cm 2)．12．18° [解析] 由2×10π＝n π×40180，得n ＝90.∵原扇形纸片的圆心角是108°，∴剪去的扇形纸片的圆心角θ的度数为108°－90°＝18°. 故答案为18°.13.932 cm [解析] 圆锥的底面周长是6π cm ，由6π＝n π×9180，得n ＝120°，即圆锥侧面展开扇形的圆心角是120°， ∴圆锥侧面展开后∠APC＝60°.∵在圆锥侧面展开扇形中，AP ＝9 cm ，PC ＝4.5 cm ，∴∠ACP ＝90°， ∴在圆锥侧面展开扇形中，AC ＝AP 2－PC 2＝92 3 cm .故答案为923 cm .14．π2 [解析] ∵∠ACB＝90°，∠BAC ＝60°，AC ＝1，∴∠ABC ＝30°，AB ＝2，∴扇形DAB 的面积是60×π×22360＝2π3.在Rt △ABC 中，AC ＝1，∴扇形CAE 的面积是60π×12360＝π6，∴阴影部分的面积是S 扇形DAB ＋S △ABC －S △ADE －S 扇形CAE ＝2π3－π6＝π2.15．解：(1)△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1如图所示．(2)△ABC 绕着点B 顺时针旋转90°后得到的△A 2BC 2如图所示，线段BC 在旋转过程中所扫过的面积S ＝90π×13360＝13π4.16．解：(1)∵AC⊥BD 于点F ，∠A ＝30°， ∴∠BOC ＝60°，∠OBF ＝30°. ∵AB ＝4， ∴BF ＝2， ∴OB ＝BF cos 30°＝43 3，即⊙O 的半径为433.(2)设圆锥的底面圆的半径为r ，则周长为2πr ， 由(1)，知∠BOD＝120°， ∴2πr ＝120π×433180，∴r ＝439，∴这个圆锥底面圆的半径为439.17．解：(1)证明：连接AD.∵BD ︵＝DE ︵， ∴∠BAD ＝∠CAD. 又∵AB＝AC ， ∴AD ⊥BC ， ∴∠ADB ＝90°， ∴AB 为⊙O 的直径． (2)∵AB 为⊙O 的直径， ∴点O 在AB 上．连接OE. 由圆周角定理， 得∠AOE＝∠BOE＝90°. 由AB ＝8， 得OA ＝OB ＝OE ＝4.∴阴影部分的面积为12×4×4＋90π×42360＝8＋4π.。
08-28.5 弧长和扇形面积的计算九年级上册数学冀教版
第4题图
4.新考法[2023自贡中考]如图，小珍同学用半径为，圆心角为 的扇形纸片，制作一个底面半径为 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是_____ .
【析】 如图，由题意，得 的长为.设 所对的圆心角为 ，则 ，解得， 粘贴部分所对应的圆心
角度数为 ， 圆锥上粘贴部分的面积是.
【解析】 如图，连接 ， ，， ， 四边形是矩形.又， 四边形 是正方形， , ， .
第3题图
3.[2023衡水桃城区三模]如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一段圆弧经过格点 ，，，的延长线经过格点，则 的长为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 如图，连接，，,，取 的中点，连接 ， 为直径. ，， ，
知识点2 扇形的面积公式
6.一个扇形的弧长是，面积是 ，则此扇形的圆心角的度数为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 设此扇形的圆心角为 ,半径为.由 可知，又由可知 .
7.[2024承德期末]数学课上，老师将如图所示的边长为1的正方形铁丝框变形成以点为圆心， 长为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形 的面积是( )
知识点1 弧长公式
1.[2023大连中考]圆心角为 ，半径为3的扇形弧长为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 , 该扇形的弧长为 .
第2题图
2.[2023唐山路南区期中]如图，已知的半径为6， ，是的弦，若 ，则 的长为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 连接， ， ，的长为 .
7.教材P169B组变式如图，把的斜边放在直线 上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到的位置.若， ，则顶点运动到点 的位置时.求：
冀教版九年级数学上册知识点
23章 数据分析23.1平均数和加权平均数1、一般地，我们把n 个数n x x x ,...,,21的和与n 的比，叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数，记作-x ，读作“x 拔”，即)....(11n x x n x ++=-2、已知n 个数n x x x ,...,,21，若n w w w ,...,,21为一组正数，则把n 个是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项。
一元二次方程的解也叫做这个方程的根。
24.2解一元二次方程1、配方法：通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边为常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根。
配方时，先将常数项移至等号右边，然后将二次项系数化为1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
2、对于一元二次方程02=++c bx ax ：当042>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根；当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根；当042<-ac b 时，方程没有实数根。
我们把ac b 42-叫做一元二次方程02=++c bx ax 的根的判别式。
3、当042≥-ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 的两实数根可以用a ac b b x 242-±-=求出。
这。
4。
1a2在线段AB 上有一点C ，如果点C 把AB 分成的两条线段AC 和BC 满足ACBC AB AC =，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 称为线段AB 的黄金分割点，AB AC 称为黄金比。
黄金比618.0215≈-=AB AC 每条线段上的黄金分割点都有两个。
25.2 平行线分线段成比例（1) 基本事实两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例。
l 3l 2l 1F ED CB A对应线段是指两条直线被一组平行线所截得的线段（AB 与DE 、BC 与EF 、AC 与DF)，对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比。
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拓展训练2020年冀教版数学九年级上册28.5 弧长和扇形面积的计算
基础闯关全练
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC= 30°，则劣弧的长等于( )
A．B．C．D．
2．矩形ABCD中，AB=5，AD= 12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次翻转，则点B在两次翻转过程中经过的路径的长是( )
A. B.13π C.25π D.
3．如图，在半径为2的⊙O中，点Q为优弧MN的中点，圆心角∠MON= 60°，在弧QN 上有一动点P，且点P到弦MN所在直线的距离为x．
(1)求弦MN的长；
(2)试求阴影部分的面积y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)试分析比较，阴影部分的面积y与的大小关系.
4．如图，SO，SA分别是圆锥的高和母线，若SA=12 cm，∠ASO= 30°，则这个圆锥的侧面积是__________cm²．（结果保留π）
能力提升全练
1．若一个圆锥的侧面展开图是半径为12 cm的半圆，则这个圆锥的底面半径是________cm. 2．如图，∠AOB= 120°，弦AB= 2 cm．
(1)求⊙O的半径r；
(2)求劣弧的长（结果保留π）．
三年模拟全练
一、选择题
1．（2018河北故城运河中学期末．6，★☆☆）将一个半径为8 cm，面积为32πcm²的扇形铁皮围成一个圆锥形容器（不计接缝），那么这个圆锥形容器的高为( )
A.4 cm
B. cm
C.cm
D. cm
2．（2019湖北武汉华中师大一附中期末，6，★☆☆）如图，已知圆O的半径为a，点A，B，
C均在圆O上，且OB⊥AC，则图中阴影部分的面积是( )
A．B．C．D．
三、填空题
3．(2018河北邢台南和实验中学期末，16．★☆☆)如图，点P( 3a，a)是反比例函数(k＞0)的图像与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的关系式为_____.
三、解答题
4．（2019河北唐山路北期中，21，★★☆）已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O 上，且BC=6 cm，AC=8 cm，∠ABD=45°.
(1)求BD的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
五年中考全练
一、选择题
1．（2018山东滨州中考，8，★☆☆）已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC= 25°，则劣弧的长为( )
A．B． C. D.
2．（2018四川成都中考，9，★☆☆）如图，在□ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是( )
A．πB．2πC．3πD．6π
二、填空题
3．（2014河北中考，19，★☆☆）如图，将长为8 cm的铁丝首尾相接围成半径为2 cm的扇形，则__________cm²．
三、解答题
4．（2016福建福州中考，24，★☆☆）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接BM，CM．
(1)求证：BM= CM；
(2)当⊙O 的半径为2时，求的长.
核心素养全练
（2018山东潍坊中考）如图，点A ₁的坐标为(2，0)，过点A ₁作x 轴的垂线交直线l ：于点B ₁，以原点O 为圆心，OB ₁的长为半径画弧交x 轴正半轴于点A ₂；再过点A ₂作x 轴的垂线交直线l 于点B ₂，以原点O 为圆心，以OB ₂的长为半径画弧交x 轴正半轴于点A ₃；……，按此作法进行下去，则的长是___________．
28.5 弧长和扇形面积的计算
基础闯关全练
1．A 连接OB ，OC ，
由圆周角定理得，∠BOC=2∠BAC=60°，∵OB=OC ，
∴△OBC 是等边三角形，∴OB=BC=2， ∴
，
故选A ．
2．A 如图，连接BD ，B ’D ，
∵AB=5，AD= 12，∴BD=1312522=+
∴，
∴，
∴点B 在两次翻转过程中经过的路径的长是，故选A ．
3．解析 (1)∵OM= ON ，∠MON=60°，
∴△MON 是等边三角形，∴MN =OM= ON=2．
(2)作OH ⊥MN 于H 点，∴NH =MN=1．
在Rt △OHN 中，OH ² =ON ²-NH ²，
即OH ²=2²-1²=3，∴， ∴，即．
(3)令，即，∴．
当时，；
当时，y ＜MON S 扇形；
当时，y ＞MON S 扇形．
4．答案 72π
解析 在Rt △SAO 中，由∠ASO=30°，SA= 12 cm ，得底面圆的半径r=OA=SA=6 cm ，因为母线长l=SA = 12 cm ，所以=πrl=π·6×12= 72π( cm ²).
能力提升全练
1．答案 6
解析 设圆锥的底面半径为r cm ，
根据题意得2πr=π·12，
解得r=6．
故圆锥的底面半径为6 cm ．
2．解析 (1)作OC ⊥AB 于C ，则AC= AB=cm ．
∵∠AOB= 120°，OA= OB ，∴∠A= 30°.
∴在Rt △AOC 中， cm ，
即⊙O 的半径r 为2 cm ．
(2)劣弧的长为cm.
三年模拟全练
一、选择题
1．B 设扇形铁皮的弧长为l cm ，由题意得l ×8=32π，解得l=8π，则底面圆的半径==4 cm ，故圆锥形容器的高cm ，故选B ．
2.C ∵OA =OC ，OB ⊥AC ．
∴，，
∴·，
故选C ．
二、填空题
3．答案
解析由双曲线和圆的中心对称性可知，题图中两阴影部分的面积之和恰为整个圆的面积的．
因为阴影部分的面积为10π，所以圆的面积为40π.
因为P的坐标为( 3a，a)，所以OP²=（3a）²+a²= 10a²．
又π·OP²= 40π，即OP²= 40，所以10a²= 40，解得a=±2．
所以P的坐标为(6，2)，所以k=12.
所以反比例函数的关系式为，
三、解答题
4．解析(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB= 90°，
∵BC=6 cm，AC=8 an，
∴AB= 10 cm，∴OB =5 cm.
连接OD．
∵OD=OB，∴∠ODB= ∠ABD=45°.
∴∠BOD=90°．
∴cm．
(2)cm²．
五年中考全练
一、选择题
1．C 如图，连接AO，CO，
∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°，
∴劣弧的长，
故选C．
2．C ∵在□ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，
∴∠C= 120°．
∴题图中阴影部分的面积是，
故选C．
二、填空题
3．答案4
解析由题意可知扇形的周长为8 cm．因为半径r=2 cm，所以弧长l= 8-2×2=4 cm，所以．三、解答题
4．解析(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB= CD，∴.
∵M为的中点，∴．
∴，∴BM=CM．
(2)连接OM，OB，OC.
∵，∴∠BOM=∠COM.
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴，∴．
由弧长公式，得的长．
核心素养全练
答案
解析由直线l的解析式为，点A₁坐标为(2，0)，过点A₁作x轴的垂线交直线l于点B₁，可知B₁点的坐标为(2，)．
以原点O为圆心，OB₁的长为半径画弧交x轴于点A₂，∴OA₂=OB₁，
∴，∴点A₂的坐标为(4，0)，可求得B₂的坐标为（4，），
故点A₃的坐标为(8，0)，B₃的坐标为(8，)，
2，0)，
以此类推便可求出点的坐标为(2019
∵，∴∠B₁OA₁=60°，
∴的长是，
故答案为．。