函数思想在解题中的应用论文

函数思想在解题中的应用

摘要：

在整个中学数学中，函数是重要的内容，是使各个知识模块组成有机整体的重要纽带。函数思想是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究（一般借助函数的性质、图象等），从而使问题获得解决。本文从几个实例出发浅谈函数思想在解决方程、不等式、数列、解析几何以及函数问题中的应用。

Abstract：Throughout the secondary school mathematics, functions are important elements, is composed of various modules of organic whole important link. Function is movement changes views, analyses and studies on specific issues in the relationship, with the function form, and considered this number represented, so that the problem is solved. Starting from the examples in this article talking about the function thought in solving equations, inequalities, sequences, analytic geometry and functions in the application.

关键词：函数解题方程不等式数列解析几何

一函数思想在方程、不等式问题中的应用

1 方程、不等式问题与函数知识有着内在的紧密联系，方程和不等式知识是

研究函数性质的依赖基础。例如，求解一函数的定义域及值域问题本质上是求解不等式组的问题，证明函数单调性可以归结到证明不等式问题。反之，方程及不等式问题又是在函数思想下进行研究的。如如解方程就是求函数f(x)零点，解不等式f(x)<0就是求函数f(x)的正负区间。在应用题和证明题的解答过程中，以函数思想为桥梁转化其他问题为函数问题可以达到化难为易,避繁就简的目的。

例1文献[1]已知b＞a＞e，求证b a

>

a b

分析与简解：观察发现要求证的不等式b a

>两边均是指数式，而指数式

a b

与对数式关系密切，从而想到将指数式化成对数式，又因为条件中出现了唯一的一个数字“e”，所以考虑在不等式两边同时取以 e 为底的对数。

解：要证b a

>，在两边同时取以e 为底的对数

a b

只需证 ln ln b a a b >，即ln ln a b

b a

>

构造函数 ln ()x

f x x

=

，x>e '2

1ln ()x

f x x

-=

, 显然当 x ＞e 时，f （'x ）＜0 所以 （fx ）在区间（e ，+∞）上单调递减。

而 b ＞a ＞e ，所以 ()()f b f a > 即

ln ln a b

b a

>

，得证。 例2 文献[2]中设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()0f x x -=的两根

12,x x 满足

121

0x x a <<<

。

（1） 当x ∈(0,1x )时，证明x

02

x x <。 证明：（1）设12()()()f x x a x x x x -=--，

当1(0,)x x ∈时，由于1,2x x 满足12()()0x x x x -->， 因为0a >，所以()0f x x ->，既()x f x < 又1111()[()]()x f x x x x f x x x a x x -=-+-=-+-

122()()[1()]

x x x x a x x =--+-， 由于121

0x x x a

<<<<

，所以10x x -> 2221()110a x x ax ax ax +-=+->->

所以11()0,()x f x f x x ->< ，综上得证。

（2）由题设得02b

x a

=

-，其中12,x x 是方程()0f x x -=的根。即12

,x x 是

2(1)0

ax b x c +-+=的根，

12120()1

122a x x b b x x x a a a +--+=-

=-=1

212ax ax a

+-=，因为21ax <，所以 11022

ax x

x a <=。

说明：

这是二次方程的实根分布问题,实质上是二次函数

2()f x ax bx c =++的零点分布问题，通过把条件:“方程()0

f x x -=的两根12,x x 满足

121

0x x a <<<

”

转化为二次函数()0f x x -=的特点的函数值符号.即:通过构造二次函数化归为二次方程的实根分布实现了函数、方程、不等式之间的相互转化。

2 方程f(x)=0的实根就是函数y=f(x)的图象与x 轴交点的横坐标,因此通常利用函数的图象研究方程的实数根问题。不等式与函数密切相关,构造函数容易沟通不等 式的条件和结论之间的联系,从而用非常规方法巧证之。要解某些结构比较复杂的方程,我们不妨仔细观察、分析方程的结构,从中挖掘方程中隐含的函数思想;然后构造函数,利用函数的性质巧解之。

例3 在文献[3]中，求证:方程2sin 1x x +=在(0，1)内至少有一个实数根。 分析：

通过画出函数sin y x =和21y x =-+地图象,我们发现它们在(0、1)内一定有交点，但这不是严格的证明过程。

因此，我们不妨构造函数2sin 1y x x =+- 显然,函数()f x 在[0,1]连续 又因为(0)0,(1)sin10f f <=>

所以，函数f(x)的图象在(0，1)内至少与x 轴有一个交点。 即方程2sin 1x x +=在(0，1)内至少有一个实数根。

二 函数思想在数列问题中的应用

由函数的定义可知:在数列中,通项an 与前n 项和Sn 都是定义域为正

整数集N*的一些特殊函数,因而利用函数思想解决数列问题,往往能够起到意想不到的效果。数列可以看作是以正整数集或它的有限子集为定义域