2015年全国高中数学联赛模拟试题05

（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.函数2223()45x x y x R x x ++=∈++的值域是2.函数tan(2013)tan(2014)tan(2015)y x x x =-+在[0,]π中的零点个数为3.设12,P P 是平面上的两点,21k P +是2k P 关于1P 的对称点,22k P +是21k P +关于2P 的对称点,*k N ∈, 若12||1PP =,则20132014||P P =4.设动点(,0),(1,)P t Q t ,其中参数[0,1]t ∈,则线段PQ 扫过的平面区域的面积是5.从正十二边形的顶点中取出4个顶点,它们两两不相邻的概率是6.一个球外接于四面体ABCD ，另一半径为1的球与平面ABC 相切，且两球内切于点D ，已知3AD =,4cos ,cos cos 5BAC BAD CAD ∠=∠=∠=，则四面体ABCD 的体积为21212007=2+,,,=____AB y px AB x P y y y y y y .设是抛物线的一条焦点弦，且与轴不垂直，是轴上异于O 的一点满足O,P,A,B 四点共圆，点A,B,P 的纵坐标分别为y 则8. 用s σ（）表示非空整数集S 中所有元素的和，设{}1211,,A a a a = 是正整数集， 且1211a a a << ，若对每个正整数1500n ≤，存在A 的子集S ，使得()S n σ=， 则满足上述要求的10a 的最小值为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分. 9. （本小题满分16分）已知,,x y z 是正实数,求证:0222z y x z y xx y y z z x---++≥+++10. （本小题满分20分）设12,,,,n x x x 是不同的正实数.证明：12,,,,n x x x 是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数(2)n ≥，都有2221112212121n nn k k k x x x x x x x x x -=+-=-∑11. （本小题满分20分）已知直线x y =与椭圆C ：1111622=+y x 交于B A ,两点，过椭圆C 的右焦点F 、倾斜角为α的直线l 交弦AB 于点P ，交椭圆C 于点N M ,．（1）用α表示四边形MANB 的面积；（2）求四边形MANB 的面积取到最大值时直线l 的方程．（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）如图，ABC ∆的外心为O ，E 是AC 的中点，直线OE 交AB 于D ，点,M N 分别是BCD ∆的外心与内心，若2AB BC =，证明：DMN ∆为直角三角形.二、（本小题满分40分）对给定的自然数m 与n ，m ＜n ，任意一个由n 个连续整数组成的集合都含有两个不同的数，它们的乘积能被mn 整除． 三、（本小题满分50分）求证：数列*1=3cos arccos()3n n a n n N ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的每一项都是整数，但都不是3的倍数四、（本小题满分50分）圆周上有n 个点，用弦两两连结起来，其中任何3条弦都不在圆内共点，求由此形成的互不重叠的圆内区域的个数．第一试参考解答一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.函数2223()45x x y x R x x ++=∈++的值域是 解：由22223(1)(42)53045x x y y x y x y x x ++=⇒-+-+-=++(1)1y =时,该方程有解(2)1y ≠时,因为x R ∈,所以22(42)4(1)(53)0420y y y y y ∆=----≥⇒-+≤22y ≤≤所以, 22y ≤≤且1y ≠综合(1)(2) 22y ≤,故答案为[2法二：222223(2)2(2)345(2)1x x x x y x x x +++-++==++++,令2tan x θ+=,则 2222tan 2tan 3sin 2sin cos 3cos 2sin 2cos 2tan 1y θθθθθθθθθ-+==-+=-++2)4πθ=-,故该函数的值域为[2法三：2222223452(1)2(1)14545(1)2(1)2x x x x x x y x x x x x x ++++-++===-++++++++(1)1x =-时,1y = (2)1x ≠-时,212(1)21y x x =-++++,因为22|(1)||1|1|1|x x x x ++=++≥++所以211x x ++≤-+211x x ++≥+所以2(1)221x x +++≤-+或2(1)221x x +++≥+所以22(1)21x x ≤≤++++202(1)21x x ≠++++即2112(1)21x x ≤≤++++且202(1)2x x ≠+++所以, 22y ≤≤且1y ≠综合(1)(2) 22y ≤≤,故答案为[2法四：求导2222(21)'(45)x x y x x +-=++,该函数在区间(,1]-∞-及[1)-+∞上单调递增,在区间[11--上单调递减,计算即得答案为[22.函数tan(2013)tan(2014)tan(2015)y x x x =-+在[0,]π中的零点个数为 解:tan(2013)tan(2014)tan(2015)y x x x =-+ sin 2013sin 2015sin 2014sin 4028sin 2014cos 2013cos 2015cos 2014cos 2013cos 2015cos 2014x x x x x x x x x x x =+-=-2sin 2014(2cos 2014cos 2013cos 2015)cos 2013cos 2014cos 2015x x x x x x x-=由于22cos 2014cos 2013cos 2015cos 40281cos 2013cos2015x x x x x x -=+-1sin 2013sin 20150x x =-≠所以,sin 20140x =在[0,]π上的零点个数即是因为sin 2014y x =的最小正周期为1007π,故[0,]π之间函数sin 2014y x =的图象有1007个周期,每个周期有两个零点,考虑到两个端点为闭区间,故答案为20153.设12,P P 是平面上的两点,21k P +是2k P 关于1P 的对称点,22k P +是21k P +关于2P 的对称点,*k N ∈,若12||1PP =,则20132014||P P = 解:设n P 点对应的复数为n z 由题意:2121212222,2k k k k z z z z z z ++++=+=所以,2222122212()2(1)()k k k z z z z z z k z z +-=-⇒=+--211221212[2(1)()](21)2k z z z k z z k z kz +=-+--=--+所以,2221221212()(21)2k k z z z k z z k z kz ++-=+-+--214()k z z =- 所以,2122222121|||||4()|4k k k k P P z z k z z k ++++=-=-=,所以, 20132014||4024P P =4.设动点(,0),(1,)P t Q t ,其中参数[0,1]t ∈,则线段PQ 扫过的平面区域的面积是解:直线PQ 的方程为2(1)0tx t y t +--=,0t =时,直线方程为0y =,1t =时,直线方程为1x =,故不妨设01t <<,直线方程为1()(2)[(1)]11t xy x t x t t t-=-=--+---,对每个01x ≤≤,当(0,]t x ∈变化时02y x <≤--所以,线段PQ扫过的平面区域是函数2y x =--及直线0,1,0x x y ===围成的封闭图形,由积分的几何意义3121200141(2[2(1)]236x dx x x x --=-+-=⎰,故答案为16 5.从正十二边形的顶点中取出4个顶点,它们两两不相邻的概率是解:将这十二个点依次标为1212,,,A A A ,从十二个点中取4个点的方法数为412C ,取出的四个点两两不相邻的包含以下两类,(1)如果不取12A 点,则从1211,,A A A 这11个点中取4个点,两两不相邻,则方法数为48C (相当于把4个点插到7个点中(2)如果取12A 点,由于不能取111,A A ,故从2310,,A AA 这9个点中取三个点,两两不相邻,方法数为37C (相当于把三个点插到6个点中)故所求概率为4387412733C C C += 6.一个球外接于四面体ABCD ，另一半径为1的球与平面ABC 相切，且两球内切于点D ，已知3AD =,4cos ,cos cos 5BAC BAD CAD ∠=∠=∠=，则四面体ABCD 的体积为21212007=2+,,,=____AB y px AB x P y y yy y y .设是抛物线的一条焦点弦，且与轴不垂直，是轴上异于O 的一点满足O,P,A,B 四点共圆，点A,B,P 的纵坐标分别为y 则 22122121212:=-,-2-=0,,2,=-,,,,AB pl ky x y pky p y y y y y y p PA PB k k ≠解：设直线与抛物线方程联立得：由于是方程的两根，且则有设直线的斜率为()1010122112--==,2p y y y y y y p则k ()202222-=,,,,p y y k A P O B y 因为四点共圆， ,APB AOB ∠=∠所以，tan tan APB AOB∠=∠()()()()()()()()1020222112012121242102012102022122-2--2--+-tan ==2-2-1++4--1+p y y p y y p y y y y y y y k k y y APB p y y p y y k k p p y y y y y y ⎡⎤⎣⎦∠=⋅ ()()211221042122-2-=0tan ==+43p y y y y y y y AOB p p y y p ⇒∠令()()()()()()()()()()()()21120122112012422102010202221212012102012012002--+2--+1=+4--3+4--3+3-3+=+4--,-=+=4=4p y y y y y y y y y y y y y y p p y y y y pp y y y y y y y y y y y p y y y y p y y y y y y y ⎡⎤⎣⎦⇒=⇒⇒⇐∴而8. 用s σ（）表示非空整数集S 中所有元素的和，设{}1211,,A a a a = 是正整数集，且1211a a a << ，若对每个正整数1500n ≤，存在A 的子集S ，使得()S n σ=，则满足上述要求的10a 的最小值为 ． 8.解：令12(111)k k S a a a k =+++≤≤ 若11,k k a s ->+则不存在S A ⊂，使1()1k S S σ-=+所以 1121k k k k S S a S --=+≤+（1）又由题设得 111S a ==，于是由（1）及归纳法易得21(111)k k S k ≤-≤≤ 若10750S <，则11750a ≤（否则750无法用()S σ表示出），1110111500,S S a =+<所以10750.S ≥ 又8821255,S ≤-=于是109101082495a a a S S ≥+=-≥，所以10248.a ≥ 另一方面，令{}1,2,4,8,16,32,64,128,247,248,750A =当762552222n ≤=++++ 时，可找到{}1,2,4,,128S ⊂ ，使().S n σ=当255247502n ≤+=时，存在{}1,2,4,,128,247S ⊂ ，使().S n σ= 当502248750n ≤+=时，存在{}1,2,4,,128,247248S ⊂ ，，使().S n σ= 当750750n ≤+时，存在S A ⊂，使().S n σ=于是，10a 的最小值为248。