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【成才之路】2015-2016学年高中数学 第二章 平面解析几何初步综合测试A(含解析)

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【成才之路】高中数学 第2章 解析几何初步综合能力检测 北师大版必修2

【成才之路】高中数学 第2章 解析几何初步综合能力检测 北师大版必修2

【成才之路】2014-2015学年高中数学 第2章 解析几何初步综合能力检测 北师大版必修2本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1． 若直线l 的倾斜角是直线y ＝x －3的倾斜角的两倍，且经过点(2,4)，则直线l 的方程为( )A ．y ＝2xB ．x ＝4C ．x ＝2D ．y ＝2x －3[答案] C[解析] 直线y ＝x －3的斜率为1，其倾斜角等于45°，于是直线l 的倾斜角等于90°，其斜率不存在，又因为它过点(2,4)，故l 的方程为x ＝2.2．若点P (3,4)和点Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝2，b ＝－1 C ．a ＝4，b ＝3 D ．a ＝5，b ＝2 [答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3＝－1，a ＋32－b ＋42－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝2.3．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( ) A ．a <－2 B ．－23<a <0C ．－2<a <0D ．－2<a <23[答案] D[解析] 由D 2＋E 2－4F >0，得a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，解得－2<a <23.4．若直线(1＋a )x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为( ) A ．1，－1 B ．2，－2 C ．1D ．－1[答案] D[解析] 将圆x2＋y2－2x＝0的方程化为标准式(x－1)2＋y2＝1，∴其圆心为(1,0)，半径为1.若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离d等于圆的半径r，∴|1＋a＋1|＋a2＋1＝1，∴a＝－1.5．已知A(2,5，－6)，点P在y轴上，|PA|＝7，则点P的坐标是( )A．(0,8,0) B．(0,2,0)C．(0,8,0)或(0,2,0) D．(0，－8,0)[答案] C[解析] 点P在y轴上，可设为(0，y,0)，因为|PA|＝7，A(2,5，－6)，所以22＋y－2＋62＝7，解得y＝2或8.故选C.6．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于( )A．3 3 B．2 3C． 3 D．1[答案] B[解析] 本题考查了直线与圆位置关系处理方法，弦长等知识，如图所示．设AB的中点为D，则OD⊥AB，由点到直线距离公式得|OD|＝|－5|32＋42＝1.∴AD2＝OA2－OD2＝4－1＝3，∴|AD|＝3，∴弦长|AB|＝2 3.7．已知A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－5)2＋(y－5)2＝4}，则A∩B等于( ) A．∅B．{(0,0)}C．{(5,5)} D．{(0,0)，(5,5)}[答案] A[解析] 集合A是圆O：x2＋y2＝1上所有点组成的，集合B是圆C：(x－5)2＋(y－5)2＝4上所有点组成的．又O (0,0)，r 1＝1，C (5,5)，r 2＝2，|OC |＝52，∴|OC |>r 1＋r 2＝3.∴圆O 和圆C 相离，无公共点．∴A ∩B ＝∅.8．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y ＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＋y 2＋kx －y ＝0得(1＋k 2)x 2＋2kx ＝0，∵两交点恰好关于y 轴对称，∴－2k1＋k 2＝0，∴k ＝0.9．从原点向圆x 2＋y 2－6x ＋274＝0作两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为( ) A ．23π B ．π C ．32π D ．43π [答案] B[解析] 如图所示，数形结合，圆心C (3,0)半径r ＝32，在Rt △OCA 中，OC ＝3，CA ＝32，∴∠OCA ＝60°从而∠ACB ＝120°，劣弧AB 长l ＝120π180×32＝π.10．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6[答案] B[解析] 考题分析：本题考查圆的相关知识．圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0得圆心(3,4)，半径为5. 由题意知，AC 为圆的直径且BD ⊥AC ，∴|BD |＝252－12＝46，|AC |＝10. ∴S 四边形ABCD ＝12×46×10＝206，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．直线l 过点(－5，－10)且在圆x 2＋y 2＝25上截得的弦长为52，则直线l 的方程为________________．[答案] x －y －5＝0或7x －y ＋25＝0[解析] 若直线l 的斜率不存在，则其直线方程为x ＝－5，此时直线l 与圆相切，不符合题意．故设直线l 的斜率为k ，其方程为y ＋10＝k (x ＋5)，即kx －y ＋5k －10＝0 由(|5k －10|1＋k 2)2＋(522)2＝25可得k ＝1或k ＝7. 即x －y －5＝0或7x －y ＋25＝0为所求．12．光线从点M (3，－2)照射到y 轴上一点P (0,1)后，被y 轴反射，则反射光线所在的直线方程为________．[答案] x －y ＋1＝0[解析] 点M (3，－2)关于y 轴的对称点为M ′(－3，－2)，故反射光线所在的直线方程为直线M ′P ，其方程为y －1＝1－－0－－x ＝x ，即x －y ＋1＝0.13．若圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的圆心C 到直线l 的距离为2，且l 与直线3x ＋4y －1＝0平行，则直线l 的方程为________．[答案] 3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0[解析] 圆心为(－1,2)．设所求的直线方程为3x ＋4y ＋D ＝0(D ≠－1)，由点到直线的距离公式，得－＋4×2＋D |32＋42＝2，即|5＋D |5＝2，解得D ＝5或－15.故所求的直线方程为3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0.14．以点A (2，－1)为圆心，在直线3x －4y ＋10＝0上截得的弦长为6的圆的一般方程是________．[答案] x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0[解析] 点A 到直线的距离d ＝|6＋4＋10|5＝4.又弦长为6，∴圆的半径为5.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝25，即x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0.15．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ∶y ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为________．[答案] (x －3)2＋y 2＝4[解析] 设圆心C (a,0)，由已知a >0作CD ⊥AB ，则由|AB |＝22⇒AD ＝2，|CD |＝|a －1|2.|CA |＝|a －1|，由勾股定理得：(2)2＋(|a －1|2)2＝(|a －1|)2⇒a ＝3或a ＝－1，又a >0，∴a ＝3，∴r ＝3－1＝2， ∴⊙C 的方程为(x －3)2＋y 2＝4.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．[解析] (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，当然相等． 则(a ＋1)×0＋0＋2－a ＝0， ∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0；若a ≠2，由题设l 在两轴上的截距存在， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即x ＋y ＋2＝0.∴l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋a －2≤0，∴a ≤－1.综上可知，a 的取值范围是a ≤－1.17．(本小题满分12分)一束光线l 自A (－3,3)发出，射到x 轴上，被x 轴反射后与圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0有公共点．求：(1)反射光线通过圆心C 时，光线l 所在直线的方程； (2)在x 轴上，反射点M 的横坐标的取值范围． [解析] 圆C 的方程可化为(x －2)2＋(y －2)2＝1.(1)圆心C 关于x 轴的对称点为C ′(2，－2)，过点A ，C ′的直线方程为x ＋y ＝0，此即为光线l 所在直线的方程．(2)点A 关于x 轴的对称点为A ′(－3，－3)，设过点A ′的直线为y ＋3＝k (x ＋3)．当该直线与圆C 相切时，有|2k －2＋3k －3|1＋k 2＝1，解得k ＝43或k ＝34.所以过点A ′的圆C 的两条切线方程分别为y ＋3＝43(x ＋3)，y ＋3＝34(x ＋3)．分别令y ＝0，得x 1＝－34，x 2＝1，所以在x 轴上反射点M 的横坐标的取值范围是[－34，1]．18．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心在直线x －3y ＝0上，且圆C 与y 轴相切，若圆C 截直线y ＝x 得弦长为27，求圆C 的方程．[解析] 设C (a ，b )，半径为r >0，点C 在x －3y ＝0上， ∴a －3b ＝0， 又C 与y 轴相切， ∴r ＝|a |，又圆C 在y ＝x 上截弦长为27， 则圆心到y ＝x 的距离d ＝|a －b |2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －3b ＝0，r 2＝a 2，a －b 22＋7＝r 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r ＝3.∴圆C 方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9， 或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.19．(本小题满分12分)(1)已知直线l ：3x －y ＋1＝0，求l 关于x 轴对称的直线方程； (2)已知圆M ：x 2＋y 2＝4，求过点P (2,4)与圆M 相切的切线方程．[解析] (1)方法一：∵所求直线与l 关于x 轴对称， 又k 1＝3，∴所求直线斜率为－ 3. ∵直线l 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎪⎫－13，0，∴所求直线为y ＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13， 即3x ＋y ＋1＝0.方法二：在直线l 上取两点(0,1)，(3，4)， ∵所求直线与l 关于x 轴对称，∴点(0，－1)和(3，－4)在所求直线上． ∴所求直线的斜率为k ＝－3， ∴所求直线为y ＋1＝－3x ， 即3x ＋y ＋1＝0.(2)∵点P (2,4)不在圆O 上， ∴可设切线PT 为y ＝k (x －2)＋4， ∵d ＝r ，∴|－2k ＋4|1＋k 2＝2，解得k ＝34. ∴y ＝34(x －2)＋4，即3x －4y ＋10＝0.∵过圆外一点作圆的切线应该有两条，∴另一条直线的斜率不存在，易求另一条切线为x ＝2.20．(本小题满分13分)直线y ＝kx 与圆x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0相交于两个不同点A ，B ，当k 取不同的实数值时，求AB 中点的轨迹．[解析] 方法一：联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0，y ＝kx ，消去y ，得(1＋k 2)x 2－(6＋4k )x ＋10＝0.设此方程的两根为x 1，x 2，AB 的中点坐标为P (x ，y )， 由根与系数的关系和中点坐标公式得x ＝x 1＋x 22＝6＋4k ＋k 2＝3＋2k1＋k2，① 又∵P 点在直线y ＝kx 上， ∴y ＝kx ，即k ＝y x.②将②代入①，得x ＝3＋yx1＋y x2(x ≠0)，整理得x 2＋y 2－3x －2y ＝0.∵点P 始终在圆x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0的内部，∴点P 的轨迹是圆x 2＋y 2－3x －2y ＝0位于圆x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0内的部分弧． 方法二：∵直线y ＝kx 过坐标原点，圆x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0的圆心为C (3,2)， 设AB 的中点为M ，则MC ⊥AB ， ∴点M 在以OC 为直径的圆上， 此圆的圆心为(32，1)，半径为132，其方程为(x －32)2＋(y －1)2＝134，即x 2＋y 2－3x －2y ＝0.又∵点M 在圆x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0的内部，∴轨迹是圆x 2＋y 2－3x －2y ＝0位于圆x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0内的部分弧． 21．(本小题满分14分)已知点P (2,0)及圆C ：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0. (1)若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程．(2)设过点P 的直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，当|MN |＝4时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程．(3)设直线ax －y ＋1＝0与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点P (2,0)的直线l 2垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)直线l 斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则方程为y －0＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0.又圆C 的圆心为(3，－2)，半径r ＝3，由|3k ＋2－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝－34. 所以直线方程为y ＝－34(x －2)，即3x ＋4y －6＝0.当l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经验证x ＝2也满足条件． 即直线l 的方程为3x ＋4y －6＝0或x ＝2.(2)由于|CP |＝5，而弦心距d ＝r 2－|MN |22＝5，所以d ＝|CP |＝ 5. 所以P 恰为MN 的中点．故以MN 为直径的圆Q 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.(3)把直线y ＝ax ＋1代入圆C 的方程，消去y ，整理得(a 2＋1)x 2＋6(a －1)x ＋9＝0. 由于直线ax －y ＋1＝0交圆C 于A ，B 两点， 故Δ＝36(a －1)2－36(a 2＋1)>0， 即－2a >0，解得a <0.则实数a 的取值范围是(－∞，0)． 设符合条件的实数a 存在，由于l 2垂直平分弦AB ，故圆心C (3，－2)必在l 2上．所以l 2的斜率k PC ＝－2，而k AB ＝a ＝－1k PC，所以a ＝12.由于12∉(－∞，0)，故不存在实数a ，使得过点P (2,0)的直线l 2垂直平分弦AB .。

《成才之路》2015-2016学年人教B版高中数学必修2习题第二章平面解析几何初步2.3.4Word版含解析

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第二章 2.3.4一、选择题1．(2015·辽宁锦州市高一期末测试)圆x2＋y2＝1和圆x2＋y2－6y＋5＝0的位置关系是()A．外切B．内切C．外离D．内含[答案] A[解析]圆x2＋y2＝1的圆心C1(0,0)，半径r1＝1，圆x2＋y2－6y＋5＝0的圆心C2(0,3)，半径r2＝2，∴两圆心的距离|C1C2|＝(0－0)2＋(3－0)2＝3，∴|C1C2|＝r1＋r2＝3，故两圆外切．故选A．2．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋4)2＝4外切，则正实数r的值为()A．1 B．2C．3 D．4[答案] C[解析]两圆心的距离d＝5，由题意，得r＋2＝5，∴r＝3.3．(2015·甘肃天水一中高一期末测试)圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B 两点，则AB的垂直平分线的方程是()A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0[答案] C[解析]圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标分别为(2，－3)和(3,0)，AB 的垂直平分线必过两圆圆心，只有选项C正确．4．两圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0和C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有() A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] B[解析]⊙C1圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2，⊙C2圆心C2(2,1)，半径r2＝2，|C1C2|＝13，0<13<4，∴两圆相交．5．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上与点(0，－5)距离最大的点的坐标是()A．(1，－2) B．(3，－2)C ．(2，－1)D ．(2＋2，2－3)[答案] B [解析] 验证法：所求的点应在圆心(2，－3)与点(0，－5)确定的直线x －y －5＝0上，故选B.6．动点P 与定点A (－1,0)，B (1,0)连线的斜率之积为－1，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)C ．x 2＋y 2＝1(x ≠0)D ．y ＝1－x 2[答案] B[解析] 直接法，设P (x ，y )，由k P A ＝y x ＋1，k PB ＝y x －1及题设条件y x ＋1·y x －1＝－1(x ≠±1)知选B.二、填空题7．(2015·陕西西安市一中高一期末测试)圆x 2＋y 2＋6x －7＝0和圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的位置关系是________．[答案] 相交[解析] 圆x 2＋y 2＋6x －7＝0的圆心为O 1(－3,0)，半径r 1＝4，圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的圆心为O 2(0，－3)，半径为r 2＝6，∴|O 1O 2|＝(－3－0)2＋(0＋3)2＝32，∴r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2.故两圆相交．8．两圆x 2＋y 2－6x ＝0和x 2＋y 2＝4的公共弦所在直线的方程是____________．[答案] x ＝23[解析] 两圆的方程x 2＋y 2－6x ＝0和x 2＋y 2＝4相减，得公共弦所在直线的方程为x ＝23. 三、解答题9．判断下列两圆的位置关系．(1)C 1：x 2＋y 2－2x －3＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(2)C 1：x 2＋y 2－2y ＝0，C 2：x 2＋y 2－23x －6＝0；(3)C 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0，C 2：x 2＋y 2＋12x ＋6y －19＝0；(4)C 1：x 2＋y 2＋2x －2y －2＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －6y －3＝0.[解析] (1)∵C 1：(x －1)2＋y 2＝4，C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝2.∴圆C 1的圆心坐标为(1,0)，半径r 1＝2，圆C 2的圆心坐标为(2，－1)，半径r 2＝2，d＝|C1C2|＝(2－1)2＋(－1)2＝ 2.∵r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，∴r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交．(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，圆C2的圆心坐标为(3，0)，r2＝3，d＝|C1C2|＝3＋1＝2.∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，r1＝2，圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，r2＝8，d＝|C1C2|＝(2＋6)2＋(3＋3)2＝10.∵r1＋r2＝10，∴d＝r1＋r2，两圆外切．(4)∵C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，r2＝4，d＝|C1C2|＝(2＋1)2＋(3－1)2＝13.∵r1＋r2＝6，r2－r1＝2，∴r2－r1<d<r1＋r2，两圆相交．10．已知圆C1：x2＋y2－2x－4y－13＝0，C2：x2＋y2－2ax－6y＋a2＋1＝0(其中a>0)相外切，且直线l：mx＋y－7＝0与C2相切．求：(1)圆C2的标准方程；(2)m的值．[解析](1)由题知C1：(x－1)2＋(y－2)2＝18，C2：(x－a)2＋(y－3)2＝8.因为C1与C2相外切，所以圆心距d＝r1＋r2，即(a－1)2＋(3－2)2＝32＋22，所以a＝8或－6(舍去)．所以圆C2的标准方程为(x－8)2＋(y－3)2＝8.(2)由(1)知圆心C2(8,3)，因为l与C2相切，所以圆心C2到直线l的距离d＝r，即|8m＋3－7|m2＋1＝22，所以m ＝1或17.一、选择题1．半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程是( )A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x ＋4)2＋(y －6)2＝6或(x －4)2＋(y －6)2＝6C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ＋4)2＋(y －6)2＝36或(x －4)2＋(y －6)2＝36[答案] D[解析] 由题意可设圆的方程为(x －a )2＋(y －6)2＝36， 由题意，得a 2＋9＝5，∴a 2＝16，∴a ＝±4.2．过圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0内的点M (3,0)作一条直线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －3＝0B ．x －y －3＝0C ．x ＋4y －3＝0D ．x －4y －3＝0[答案] A[解析] 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的圆心C (1，－2)，当CM ⊥l 时，l 截圆所得的弦最短，k CM ＝－2－01－3＝1，∴k l ＝－1，故所求直线l 的方程为y －0＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0. 二、填空题3．⊙O ：x 2＋y 2＝1，⊙C ：(x －4)2＋y 2＝4，动圆P 与⊙O 和⊙C 都外切，动圆圆心P 的轨迹方程为______________________．[答案] 60x 2－4y 2－240x ＋225＝0[解析] ⊙P 与⊙O 和⊙C 都外切，设⊙P 的圆心P (x ，y )，半径为R ，则|PO |＝x 2＋y 2＝R ＋1，|PC |＝(x －4)2＋y 2＝R ＋2， ∴(x －4)2＋y 2－x 2＋y 2＝1，移项、平方化简得：60x 2－4y 2－240x ＋225＝0.4．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝49－x 2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋m }，且A ∩B ≠∅，则m 的取值范围是________________．[答案] －7≤m ≤7 2[解析] 由A ∩B ≠∅，即直线y ＝x ＋m 与半圆y ＝49－x 2有交点，如图所示．如图可知，－7≤m ≤7 2.三、解答题5．求经过两圆x 2＋y 2－2x －3＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0的交点，且圆心在直线2x －y ＝0上的圆的方程．[解析] 解法一：由两圆方程联立求得交点A (1，－2)，B (3,0)，设圆心C (a ，b )，则由|CA |＝|CB |及C 在直线2x －y ＝0上，求出a ＝13，b ＝23. ∴所求圆的方程为3x 2＋3y 2－2x －4y －21＝0.解法二：同上求得A (1，－2)、B (3,0)，则圆心在线段AB 的中垂线y ＝－x ＋1上，又在y＝2x 上，得圆心坐标⎝⎛⎭⎫13，23.∴所求圆的方程为3x 2＋3y 2－2x －4y －21＝0.6．求⊙C 1：x 2＋y 2－2y ＝0与⊙C 2：x 2＋y 2－23x －6＝0的公切线方程．[解析] ⊙C 1：x 2＋(y －1)2＝12，圆心C 1(0,1)，半径r ＝1，⊙C 2：(x －3)2＋y 2＝32，圆心C 2(3，0)，半径R ＝3，圆心距|C 1C 2|＝2，∴|C 1C 2|＝R －r ，故两圆内切，其公切线有且仅有一条过该两圆的公共点(切点)，又由内切两圆的连心线过切点且垂直于两圆的公切线知，切点在直线C 1C 2上， ∵C 1C 2：x ＋3y －3＝0，∴切线斜率k ＝ 3.设切线方程为y ＝3x ＋b ，由圆心C 1(0,1)到切线距离d ＝1，得|－1＋b |2＝1，∴b ＝3或－1.由C 2(3，0)到切线距离d ′＝3，得|3＋b |2＝3， ∴b ＝3或－9，∴b ＝3，∴公切线方程为y ＝3x ＋3，即3x －y ＋3＝0.7．已知圆A ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆B 平分圆A 的周长，且圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，求满足上述条件的半径最小的圆B 的方程．[解析] 解法一：设圆B 的半径为r ，∵圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，∴圆B 的圆心可设为(t,2t )，则圆B 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝r 2，即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0. ①∵圆A 的方程x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0. ②∴②－①，得两圆的公共弦方程(2＋2t )x ＋(2＋4t )y －5t 2＋r 2－2＝0. ③又∵圆B 平分圆A 的周长，∴圆A 的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将x ＝－1，y ＝－1代入方程③，并整理得：r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5⎝⎛⎭⎫t ＋352＋215≥215，所以t ＝－35时，r min ＝215. 此时，圆B 的方程是⎝⎛⎭⎫x ＋352＋⎝⎛⎭⎫y ＋652＝215. 解法二：如图，设圆A 、圆B 的圆心分别为A 、B .则A (－1，－1)，B 在直线l ：y ＝2x 上，连接AB ，过A 作MN ⊥AB ，且MN 交圆于M 、N 两点．∴MN 为圆A 的直径．∵圆B 平分圆A ，∴只需圆B 经过M 、N 两点．∵圆A 的半径是2，设圆B 的半径为r ，∴r ＝|MB |＝|AB |2＋|AM |2＝|AB |2＋4.欲求r 的最小值，只需求|AB |的最小值．∵A 是定点，B 是l 上的动点，∴当AB ⊥l ，即MN ∥l 时，|AB |最小．于是，可求得B ⎝⎛⎭⎫－35，－65，r min ＝215， 故圆B 的方程是⎝⎛⎭⎫x ＋352＋⎝⎛⎭⎫y ＋652＝215.。

成才之路高中数学北师大必修二练习：章 解析几何初步 基础知识检测

成才之路高中数学北师大必修二练习：章 解析几何初步 基础知识检测

第二章基础知识检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1． 下列说法正确的是( )A ．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大B ．若两直线关于x 轴对称，则此二直线斜率互为倒数C ．若与x 轴不垂直的两直线关于y 轴对称，则此二直线斜率互为相反数D ．若两直线垂直，则此二直线斜率互为负倒数 [答案] C[解析] A 倾斜角为钝角时，斜率小于0；倾斜角为锐角时，斜率大于0.B 两直线关于x 轴对称，斜率一正一负，不可能互为倒数．D 分别平行于x ，y 轴的两直线垂直，其中一直线斜率不存在．2．直线ax ＋2y －1＝0与x ＋(a －1)y ＋2＝0平行，则a 等于( ) A ．32B ．2C ．－1D ．2或－1[答案] D[解析] 由a ·(a －1)－2×1＝0得a 2－a －2＝0， ∴a ＝2或－1.3．已知A (－4,2,3)关于xOz 平面的对称点为A 1，A 1关于z 轴的对称点为A 2，则|AA 2|等于( )A ．8B ．12C ．16D ．19 [答案] A[解析] A 1(－4，－2,3)，A 2(4,2,3)， ∴|AA 2|＝(4＋4)2＋(2－2)2＋(3－3)2＝8.4．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3)D ．(2，－3)[解析] 该题考查圆的一般方程与标准方程的互化． 将一般式化为标准式(x －2)2＋(y ＋3)2＝13. ∴圆心坐标为(2，－3)．5．直线3x ＋4y －2＝0与直线6x ＋8y －5＝0间的距离是( ) A ．3 B ．7 C ．110D ．12[答案] C[解析] 根据两平行线间距离公式得|－2－(－52)|32＋42＝110.6．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴相切于原点，则( ) A ．D ＝0，E ＝0，F ≠0 B ．E ＝0，F ＝0，D ≠0 C ．D ＝0，F ＝0，E ≠0 D ．F ＝0，D ≠0，E ≠0 [答案] C[解析] ∵方程表示的圆与x 轴切于原点，∴这个圆过原点且圆心在y 轴上，∴F ＝0，D ＝0，E ≠0. 7． 不论a 为何实数，直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] D[解析] 由(a －3)x ＋2ay ＋6＝0，得(x ＋2y )a ＋(6－3x )＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，6－3x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过定点(2，－1)．从而该直线恒过第四象限．8．已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2[解析] 由圆心在直线x ＋y ＝0上，不妨设为C (a ，－a )，∴r ＝|a －(－a )|2＝|a －(－a )－4|2，解得a ＝1，r ＝2， ∴圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.9．过点P (4,2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的外接圆方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5B ．(x －4)2＋(y －2)2＝20C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝20[答案] A[解析] 由条件O ，A ，B ，P 四点共圆，从而OP 中点(2,1)为所求圆的圆心，半径r ＝12|OP |＝5，故所求圆方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.10．使得方程16－x 2－x －m ＝0有实数解，则实数m 的取值范围是( ) A ．－42≤m ≤4 2 B ．－4≤m ≤4 2 C ．－4≤m ≤4 D ．4≤m ≤4 2[答案] B [解析] 设f (x )＝16－x 2，g (x )＝x ＋m ，在同一坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图形，如图所示．则m 是直线y ＝x ＋m 在y 轴上的截距．由图可知－4≤m ≤4 2.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．(山东高考)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． [答案] 2 2[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系、弦长最值问题、转化与化归思想． 点(3,1)在圆内，要使弦长最短，须圆心C (2,2)与点N (3,1)所在直线与弦垂直，此时|CN |＝2，则弦长为24－2＝2 2.12．直线ax ＋y －4＝0与x －y －2＝0相交于第一象限，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－1,2)[解析] 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y －4＝0x －y －2＝0得x ＝61＋a ，y ＝4－2a1＋a. ∵x >0，y >0.∴－1<a <2.13．过点A (0,1)与B (4,0)的直线l 1与过点(4,1)，(3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 为________．[答案] 4[解析] 当围成四边形内接于一个圆时，l 1⊥l 2， ∴k 1·k 2＝－1，而k 1＝－14，∴k 2＝4.14．过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．[答案] (2，2)[解析] 本题考查直线与圆的知识．设P (x ，y )，画出示意图：由OA ＝1，∠APO ＝30°知OP ＝2，即x 2＋y 2＝2，与x ＋y －22＝0，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2，所以P 点坐标为(2，2)．解决直线与圆问题通常采用数形结合的方法．15．直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，且不通过第四象限，则直线l 的斜率取值范围是________．[答案] [0,2][解析] 方程x 2＋y 2－2x －4y ＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心(1,2)，r ＝5，由题意知l 过圆心，又不过第四象限，所以满足条件的直线应位于l 1与l 2之间(包含l 1，l 2，如图)，k 1＝0，k 2＝2－01－0＝2，∴0≤k l ≤2.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0.求：(1)直线l 的方程；(2)直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.则点P 的坐标是(－2,2)，由于所求直线l 与x －2y －1＝0垂直，可设直线l 的方程为2x ＋y ＋C ＝0.把点P 的坐标代入得2×(－2)＋2＋C ＝0，即C ＝2.故所求直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0.(2)由直线l 的方程知它在x 轴，y 轴上的截距分别是－1，－2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝12×1×2＝1.17．(本小题满分12分)过点A (4，－3)作圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线方程．[解析] ∵(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， ∴点A 在圆外．(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ，则切线方程为y ＋3＝k (x －4)．因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径1，所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，解得k ＝－158.所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)，即15x ＋8y －36＝0.(2)若切线斜率不存在，圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4.综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4.18．(本小题满分12分)如下图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ＝a ，E 是PC 的中点，AC 与BD 交于点G .(1)试建立适当的空间直角坐标系，求P ，A ，E ，G 的坐标； (2)求|EG |.[解析] (1)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则A (a,0,0)，P (0,0，a )，C (0，a,0)． 因为E 是PC 的中点， 所以E 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2. 因为在正方形ABCD 中，G 是AC 的中点， 所以G 点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0. (2)|EG |＝⎝⎛⎭⎫a 2－02＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 22＋⎝⎛⎭⎫0－a 22 ＝22a . 19．(本小题满分12分)直线y ＝－33x ＋1和x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点P (m ，12)使得△ABP 和△ABC 的面积相等，求m 的值．[解析] 如图所示，∵直线y ＝－33x ＋1和x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，∴A (3，0)，B (0,1)，∴|AB |＝2.又∵△ABP 和△ABC 的面积相等， ∴CP ∥AB ，故可设CP 的方程为：y ＝－33x ＋c (c >1)． 依题意由S △ABP ＝S △ABC 得|c －1|1＋13＝3，∴c ＝3， ∴直线CP 的方程为y ＝－33x ＋3， 又点P (m ，12)在直线y ＝－33x ＋3上，所以12＝－33m ＋3，解得m ＝532.所以m 的值为532.20．(本小题满分13分)已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值．[解析] 设点P 、Q 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)． 由OP ⊥OQ ，得k OP ·k OQ ＝－1， ∴y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0① 又P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0的实数解，即x 1、x 2是方程5x 2＋10x ＋4m －27＝0②的两个根． ∴x 1＋x 2＝－2③ x 1x 2＝4m －275.④又P 、Q 在直线x ＋2y －3＝0上， ∴y 1y 2＝12(3－x 1)·12(3－x 2)＝14[9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2]． 将③④代入，得y 1y 2＝m ＋125.⑤将④⑤代入①，解得m ＝3.将m ＝3代入方程②，检验得Δ>0成立，∴m ＝3.21．(本小题满分14分)已知圆心为C 的圆经过点A (－1,1)和B (－2，－2)，且圆心在直线L ：x ＋y －1＝0上，(1)求圆心为C 的圆的标准方程；(2)设点P 在圆C 上，点Q 在直线x －y ＋5＝0上，求|PQ |的最小值； (3)若直线kx －y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为8，求k 的值． [解析] (1)AB 中点M ⎝⎛⎭⎫－32，－12，k AB ＝3， 则AB 中垂线l 的方程为y ＋12＝－13⎝⎛⎭⎫x ＋32， 即y ＝－13x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－13x －1，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.∴l 与L 的交点即为圆心C (3，－2)，半径r ＝|AC |＝5， ∴圆C 的标准方程为：(x －3)2＋(y ＋2)2＝25. (2)∵圆心C 到直线x －y ＋5＝0的距离为 d ＝|3＋2＋5|2＝52>r ，∴直线与圆C 相离，则|PQ |的最小值为d －r ＝52－5. (3)由条件可知：圆心C 到直线的距离为d ＝52－42＝3.根据点到直线的距离公式得：|3k ＋2＋5|k 2＋1＝3，解得：k ＝－2021.。

【成才之路】高中数学 第2章综合素质检测 新人教A版选修1-2

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第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有如下一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，这个推理的结论显然是错误的，是因为( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误[答案] C[解析] 推理形式不完全符合三段论推理的要求，故推出的结论是错误的．2．已知数列{an }的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a 4，猜想an＝( )A.2(n＋1)2B.2n(n＋1)C.22n－1D.22n－1 [答案] B[解析] 考查归纳推理．a2＝S2－S1＝22a2－1∴a2＝13a3＝S3－S2＝32·a3－22·a2＝9a3－4×13∴a3＝16a4＝S4－S3＝42·a4－32a3＝16a4－9×16∴a4＝110由此猜想an＝2n(n＋1)3．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，问第100项为( ) A ．10 B ．14 C ．13D ．100[答案] B[解析] 设n∈N *，则数字n 共有n 个 所以n(n ＋1)2≤100即n(n ＋1)≤200， 又因为n∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.4．如果x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴相切于原点，那么( ) A ．F ＝0，D≠0，E≠0 B ．E ＝0，F ＝0，D≠0 C ．D ＝0，F ＝0，E≠0D ．D ＝0，E ＝0，F≠0[答案] C[解析] ∵圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴相切于原点， ∴圆过原点，F ＝0，又圆心在y 轴上，∴D＝0，E≠0. 5．已知a<b<0，下列不等式中成立的是( ) A ．a 2<b 2B.a b <1 C ．a<4－bD.1a <1b [答案] C[解析] ∵a<b<0，∴－b>0,4－b>4，∴a<4－b.6．已知f 1(x)＝cosx ，f 2(x)＝f 1′(x)，f 3(x)＝f 2′(x)，f 4(x)＝f 3′(x)，…，f n (x)＝f n －1′(x)，则f 2020(x)等于( )A ．sinxB ．－sinxC ．cosxD ．－cosx[答案] D[解析] 由已知，有f 1(x)＝cosx ，f 2(x)＝－sinx ，f 3(x)＝－cosx ，f 4(x)＝sinx ，f 5(x)＝cosx ，…，可以归纳出：f 4n (x)＝sinx ，f 4n ＋1(x)＝cosx ，f 4n ＋2(x)＝－sinx ，f 4n ＋3(x)＝－cosx(n∈N *)．所以f 2020(x)＝f 3(x)＝－cosx.7．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n∈N *)，则a 20等于( ) A ．0 B ．－ 3 C. 3D.32[答案] B [解析] a 2＝0－30＋1＝－3，a 3＝－3－3－3·3＋1＝3，a 4＝0，所以此数列具有周期性，0，－3，3依次重复出现．因为20＝3×6＋2，所以a 20＝－ 3.8．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n×3n －1＝3n (na －b)＋c 对一切n∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c [答案] A[解析]令n ＝1,2,3，得⎩⎨⎧3(a －b)＋c ＝1，9(2a －b)＋c ＝7，27(3a －b)＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.9．已知f(x)＝x 3＋x ，a ，b ，c∈R，且a ＋b>0，a ＋c>0，b ＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值( )A ．一定大于零B ．一定等于零C ．一定小于零D ．正负都有可能[答案] A[解析] f(x)＝x3＋x是奇函数，且在R上是增函数，由a＋b>0得a>－b，所以f(a)>f(－b)，即f(a)＋f(b)>0，同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0，所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.10．用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”，下列各假设中正确的是( ) A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c中至多有一个是偶数D．假设a，b，c中至多有两个偶数[答案] B[解析] 对命题的结论“a，b，c中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设a，b，c都不是偶数”．因为“至少有一个”即有一个、两个或三个，因此它的否定应是“都不是”．11．已知数列{an }的通项公式an＝1(n＋1)2(n∈N*)，记f(n)＝(1－a1)(1－a 2)(1－a3)…(1－an)，通过计算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值，由此猜想f(n)＝( )A.n＋22(n＋1)B.n＋24nC.2n－1(n＋1)2D.n＋1n(n＋1)[答案] A12．若sinAa＝cosBb＝cosCc，则△ABC是( )A．等边三角形B．有一个内角是30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一个内角是30°的等腰三角形[答案] C[解析] ∵sinA a ＝cosB b ＝cosCc，由正弦定理得， sinA a ＝sinB b ＝sinC c ，∴sinB b ＝cosB b ＝cosC c ＝sinCc ， ∴sinB＝cosB ，sinC ＝cosC ，∴∠B＝∠C＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．对于“求证函数f(x)＝－x 3在R 上是减函数”，用“三段论”可表示为：大前提是“对于定义域为D 的函数f(x)，若对任意x 1，x 2∈D 且x 2－x 1>0，有f(x 2)－f(x 1)<0，则函数f(x)在D 上是减函数”，小前提是“________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________”，结论是“f(x)＝－x 3在 R 上是减函数”．[答案] 对于任意x 1，x 2∈R 且x 2－x 1>0，有f(x 2)－f(x 1)＝－x 32＋x 31＝－(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 21)＝－(x 2－x 1)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x 122＋34x 21<0 14．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：________________________________________________________________________.[答案] 在四面体A －BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)15．已知数列{a n }，a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3，则a 2、a 3、a 4、a 5分别为________，猜想a n ＝________.[答案]37，38，39，310，3n ＋5.16．已知函数f(x)＝x 2－cosx ，对于⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1>x 2；②x 21>x 22；③|x 1|>x 2.其中能使f(x 1)>f(x 2)恒成立的条件序号是______． [答案] ②[解析] 易知函数f(x)是偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，故能使f(x 1)>f(x 2)恒成立的条件只有②x 21>x 22.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知：a 、b 、c∈R，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[解析] 证明：由a 2＋b 2≥2ab，b 2＋c 2≥2bc，c 2＋a 2≥2ca. 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca.∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca)＝(a ＋b ＋c)2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1， 即a 2＋b 2＋c 2≥13.18．(本题满分12分)设{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，若c n ＝a n＋b n ，请证明数列{c n }不是等比数列．[证明] 假设数列{c n }是等比数列，则 (a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1)．①因为{a n }，{b n }是等比数列，设公比分别为p ，q ，则有a 2n ＝a n －1·a n ＋1，b 2n ＝b n －1·b n ＋1.②整理①式，并将②代入得 2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1.所以2a n b n ＝a n p·b n q ＋a n p ·b n q ，即2＝p q ＋q p.因为p≠q，所以pq＋qp≠2，得出矛盾，所以假设不成立．故数列{cn}不是等比数列．19．(本题满分12分)若x>0，y>0，用分析法证明：(x2＋y2)12>(x3＋y3)13.[证明] 要证(x2＋y2)12>(x3＋y3)13，只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6，即证3x4y2＋3y4x2>2x3y3.又因为x>0，y>0，所以x2y2>0，故只需证3x2＋3y2>2xy.而3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy成立，所以(x2＋y2)12>(x3＋y3)13成立．20．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋2，……[证明] 2cos π4＝2·22＝ 22cos π8＝21＋cosπ42＝2·1＋222＝2＋ 22cosπ16＝21＋cosπ82＝21＋122＋22＝2＋2＋ 2 … 2cosπ2n ＋1＝2＋2＋2＋…n 个根号 21．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ·a n －1＝2·a n －1－1. (1)求a 2，a 3，a 4；(2)求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式． [解析] (1)由a n ·a n －1＝2·a n －1－1得 a n ＝2－1a n －1，代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得 a 2＝2－13＝53，a 3＝2－35＝75，a 4＝2－57＝97.(2)证明：由a n ·a n －1＝2·a n －1－1变形，得 (a n －1)·(a n －1－1)＝－(a n －1)＋(a n －1－1)， 即1a n －1－1a n －1－1＝1， 所以{1a n －1}是等差数列． 由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1，变形得a n －1＝22n －1， 所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的通项公式． 22．(本题满分14分)已知函数f(x)对任意实数a 、b 都有f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)是R 上的增函数．(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.[解析] (1)证明：设任意x1，x2∈R，且x2>x1，则有x2－x1>0，利用已知条件“当x>0时，f(x)>1”得f(x2－x1)>1，而f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，即f(x2)>f(x1)，所以f(x)是R上的增函数．(2)由于f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，所以f(2)＝3. 由f(3m2－m－2)<3得f(3m2－m－2)<f(2)．由f(x)是R上的增函数，得3m2－m－2<2，解得－1<m<43.。

高中数学 第二章 平面解析几何初步综合测试A(含解析)新人教B版必修2

高中数学 第二章 平面解析几何初步综合测试A(含解析)新人教B版必修2

【成才之路】2015-2016学年高中数学 第二章 平面解析几何初步综合测试A 新人教B 版必修2时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．数轴上三点A 、B 、C ，已知AB ＝2.5，BC ＝－3，若A 点坐标为0，则C 点坐标为( ) A ．0.5 B ．－0.5 C ．5.5 D ．－5.5[答案] B[解析] 由已知得，x B －x A ＝2.5，x C －x B ＝－3，且x A ＝0，∴两式相加得，x C －x A ＝－0.5，即x C ＝－0.5.2．(2015·福建南安一中高一期末测试)已知直线经过点A (0,4)和点B (1,2)，则直线AB 的斜率为( )A ．3B ．－2C ．2D ．不存在[答案] B[解析] 由斜率公式得，直线AB 的斜率k ＝2－41－0＝－2.3．已知点A (1,2,2)、B (1，－3,1)，点C 在yOz 平面上，且点C 到点A 、B 的距离相等，则点C 的坐标可以为( )A ．(0,1，－1)B ．(0，－1,6)C ．(0,1，－6)D ．(0,1,6)[答案] C[解析] 由题意设点C 的坐标为(0，y ，z )， ∴1＋y －22＋z －22＝1＋y ＋32＋z －12，即(y －2)2＋(z －2)2＝(y ＋3)2＋(z －1)2. 经检验知，只有选项C 满足．4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是( ) A ．－32B ．－23C ．25D ．2[答案] A[解析] 由题意，得过两点(－1,1)和(3,9)的直线方程为y ＝2x ＋3.令y ＝0，则x ＝－32， ∴直线在x 轴上的截距为－32，故选A ．5．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2[答案] C[解析] 当k ＝3时，两直线显然平行；当k ≠3时，由两直线平行，斜率相等，得－k －34－k＝2k －32.解得k ＝5，故选C ．6．在平面直角坐标系中，正△ABC 的边BC 所在直线的斜率为0，则AC 、AB 所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0C ． 3D ．2 3[答案] B[解析] 如图所示．由图可知，k AB ＝3，k AC ＝－3，∴k AB ＋k AC ＝0.7．直线3x －2y ＋m ＝0与直线(m 2－1)x ＋3y ＋2－3m ＝0的位置关系是( ) A ．平行B ．垂直C ．相交D ．与m 的取值有关[答案] C[解析] 由3×3－(－2)×(m 2－1)＝0，即2m 2＋7＝0无解．故两直线相交． 8．若点(2,2)在圆(x ＋a )2＋(y －a )2＝16的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－2<a <2 B ．0<a <2 C ．a <－2或a >2 D ．a ＝±2[答案] A[解析] 由题意，得(2＋a )2＋(2－a )2<16， ∴－2<a <2.9．(2015·辽宁沈阳二中高一期末测试)设A 、B 是x 轴上的点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －7＝0[答案] A[解析] 由题意知，点P 在线段AB 的垂直平分线x ＝2上．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －y ＋1＝0，得y ＝3.∴P (2,3)．令x －y ＋1＝0中y ＝0，得x ＝－1， ∴A (－1,0)．又∵A 、B 关于直线x ＝2对称， ∴B (5,0)．∴直线PB 的方程为y 3－0＝x －52－5，即x ＋y －5＝0.10．设m >0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交 C ．相切或相离 D ．相交或相切[答案] C[解析] ∵m >0，∴圆心(0,0)到直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0的距离d ＝|1＋m |2＋2＝1＋m2，圆x 2＋y 2＝m 的半径r ＝m ，由1＋m 2－m ＝1－2m ＋m2＝1－m22≥0，得d ≥r ，故选C ．11．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公切线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] C[解析]x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心为(2，－1)，半径为2，圆x2＋y2＋4x－4y－1＝0的圆心为(－2,2)，半径为3，故两圆外切，即两圆有三条公切线．12．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )A．1.4 m B．3.5 mC．3.6 m D．2.0 m[答案] B[解析]圆半径OA＝3.6 m，卡车宽1.6 m，∴AB＝0.8 m，∴弦心距OB＝ 3.62－0.82≈3.5 m.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．若点(2，k)到直线3x－4y＋6＝0的距离为4，则k的值等于________．[答案]－2或8[解析]由题意，得|6－4k＋6|32＋－42＝4，∴k＝－2或8.14．以点A(2,0)为圆心，且经过点B(－1,1)的圆的方程是________．[答案](x－2)2＋y2＝10[解析]由题意知，圆的半径r＝|AB|＝－1－22＋1－02＝10.∴圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10.15．若直线x ＋3y －a ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为________． [答案] －1或3[解析] 圆心为(1,0)，半径r ＝1，由题意，得|1－a |1＋3＝1，∴a ＝－1或3.16．(2015·山东莱州市高一期末测试)已知直线l 垂直于直线3x ＋4y －2＝0，且与两个坐标轴构成的三角形的周长为5个单位长度，直线l 的方程为________．[答案] 4x －3y ＋5＝0或4x －3y －5＝0[解析] 由题意可设直线l 的方程为y ＝43x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ，令y ＝0，得x ＝－34b .∴三角形的周长为|b |＋34|b |＋54|b |＝5，解得b ＝±5，故所求直线方程为4x －3y ＋5＝0或4x －3y －5＝0.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)正方形ABCD 的对角线AC 在直线x ＋2y －1＝0上，点A 、B 的坐标分别为A (－5,3)、B (m,0)(m >－5)，求B 、C 、D 点的坐标．[解析] 如图，设正方形ABCD 两顶点C 、D 坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．∵直线BD ⊥AC ，k AC ＝－12，∴k BD ＝2，直线BD 方程为y ＝2(x －m )，与x ＋2y －1＝0联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15＋45m y ＝25－25m，点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋45m ，25－25m ，∵|AE |＝|BE |， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋45m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25－25m －32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋45m －m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25－25m 2， 平方整理得m 2＋18m ＋56＝0，∴m ＝－4或m ＝－14(舍∵m >－5)，∴B (－4,0)．E 点坐标为(－3,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3＝－5＋x 122＝3＋y12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝1.即点C (－1,1)， 又∵⎩⎪⎨⎪⎧－3＝－4＋x 222＝0＋y22，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2y 2＝4，即点D (－2,4)．∴点B (－4,0)、点C (－1,1)、点D (－2,4)．18．(本题满分12分)已知一直线通过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，求这条直线的方程．[解析] 设直线方程为y －2＝k (x ＋2)，令x ＝0得y ＝2k ＋2，令y ＝0得x ＝－2－2k，由题设条件12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－2k ·||2k ＋2＝1，∴2(k ＋1)2＝|k |，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >02k 2＋3k ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k <02k 2＋5k ＋2＝0，∴k ＝－2或－12，∴所求直线方程为：2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.19．(本题满分12分)已知直线y ＝－2x ＋m ，圆x 2＋y 2＋2y ＝0. (1)m 为何值时，直线与圆相交？ (2)m 为何值时，直线与圆相切？ (3)m 为何值时，直线与圆相离？[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋mx 2＋y 2＋2y ＝0，得5x 2－4(m ＋1)x ＋m 2＋2m ＝0.Δ＝16(m ＋1)2－20(m 2＋2m )＝－4[(m ＋1)2－5]， 当Δ>0时，(m ＋1)2－5<0， ∴－1－5<m <－1＋ 5. 当Δ＝0时，m ＝－1±5，当Δ<0时，m <－1－5或m >－1＋ 5.故(1)当－1－5<m <－1＋5时，直线与圆相交； (2)当m ＝－1±5时，直线与圆相切；(3)当m <－1－5或m >－1＋5时，直线与圆相离．20．(本题满分12分)求与圆C 1：(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点A (4，－1)，且半径为1的圆C 2的方程．[解析]解法一：由圆C 1：(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，知圆心为C 1(2，－1)， 则过点A (4，－1)和圆心C 1(2，－1)的直线的方程为y ＝－1， 设所求圆的圆心坐标为C 2(x 0，－1)， 由|AC 2|＝1，即|x 0－4|＝1， 得x 0＝3，或x 0＝5，∴所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1，或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 解法二：设所求圆的圆心为C 2(a ，b )， ∴a －42＋b ＋12＝1，①若两圆外切，则有a －22＋b ＋12＝1＋2＝3，②联立①、②解得a ＝5，b ＝－1， ∴所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1； 若两圆内切，则有a －22＋b ＋12＝2－1＝1，③联立①、③解得a ＝3，b ＝－1， ∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝1.∴所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1，或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1.21．(本题满分12分)(2014·甘肃庆阳市育才中学高一期末测试)已知两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0.求：(1)它们的公共弦所在直线的方程； (2)公共弦长．[解析] (1)由两圆方程x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0相减，得x －y ＋4＝0. 故它们的公共弦所在直线的方程为x －y ＋4＝0.(2)圆x 2＋y 2＋6x －4＝0的圆心坐标为(－3,0)，半径r ＝13， ∴圆心(－3,0)到直线x －y ＋4＝0的距离d ＝|－3－0＋4|12＋－12＝22， ∴公共弦长l ＝2132－222＝5 2.22．(本题满分14分)(2015·湖南郴州市高一期末测试)已知圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0.(1)若圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值；(2)在(1)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程． [解析] (1)圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∴m <5.设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，得5y 2－16y ＋m ＋8＝0， ∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝m ＋85.x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2，∵OM ⊥ON ，∴k OM ·k ON ＝－1， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0， ∴16－8×165＋8＋m ＝0，∴m ＝85.(2)以MN 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0， 即x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0.又x 1＋x 2＝4－2y 1＋4－2y 2＝8－2(y 1＋y 2)＝85，∴以MN 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－85x －165y ＝0.。

【成才之路】高中数学 第2章 平面向量综合能力检测 北师大版必修4

【成才之路】高中数学 第2章 平面向量综合能力检测 北师大版必修4

【成才之路】2014-2015学年高中数学 第2章 平面向量综合能力检测 北师大版必修4本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·陕西文，2)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B ． 2 C ．－2或 2 D ．0[答案] C[解析] 本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等．由a ∥b 知1×2＝m 2，即m ＝2或m ＝－ 2.2．若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10) D ．(－6，－10)[答案] A[解析] 本题考查向量的线性运算． BC →＝BA →＋AC →＝BA →－CA →＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．平面向量的坐标运算即对应坐标相加减．3．已知|a |＝63，|b |＝13，且a·b ＝－3，则a 与b 的夹角为( )A ．2π3B ．5π6C ．π3D ．π6[答案] B[解析] 设θ为向量a 与b 的夹角，则由cos θ＝a·b |a ||b |可得，cos θ＝－363×13＝－32，又θ∈[0，π]，所以θ＝5π6.选B. 4．设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | [答案] C[解析] 本题考查向量共线的条件． 若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a 与b 方向相反． 则存在b ＝λa .反之则不然．5．(2014·重庆理，4)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3D ．152[答案] C[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算与向量的垂直，因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，又因为(2a －3b )⊥c ，所以，(2a －3b )·c ＝0，即(2k －3，－6)·(2,1)＝0，解得k ＝3，本题根据条件也可以转化为2a ·c －3b ·c ＝0化简求解．6．直线(3－2)x ＋y ＝3和直线x ＋(2－3)y ＝2的位置关系是( ) A ．相交但不垂直 B ．垂直 C ．平行 D ．重合[答案] B[解析] 直线(3－2)x ＋y ＝3的方向向量为(1，2－3)，直线x ＋(2－3)y ＝2的方向向量为(1，2＋3)，则(1，2－3)·(1，2＋3)＝1＋(2－3)(2＋3)＝1＋(－1)＝0，所以两直线垂直．选B.7．已知作用在A 点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，且A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3终点的坐标为( )A ．(1,9)B ．(9,1)C ．(8,0)D ．(0,8)[答案] B[解析] F ＝(8,0)，设终点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝8，y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1.8．在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是( ) A ．|AC →|2＝AC →·AB →B ．|BC →|2＝BA →·BC →C ．|AB →|2＝AC →·CD → D ．|CD →|2＝AC →·AB →BA →·BC →|AB →|2[答案] C[解析] ∵AC →·AB →＝AC →·(AC →＋CB →) ＝AC →2＋AC →·CB →＝AC →2，∴|AC |→2＝AC →·AB →成立；同理|BC →|2＝BA →·BC →成立； 而AC →·AB →|AB →|·BA →·BC→|BA →|＝|AD →|·|BD →|＝|CD |2＝|CD →|2.故选C.9．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( )A ．2 3B ．32C ．33D ． 3[答案] D[解析] 本题考查了向量的运算． ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋ 3 BD →，∴AC →·AD →＝(AB →＋ 3 BD →)·AD →＝AB →·AD →＋ 3 BD →·AD →， 又∵AB ⊥AD ，∴AB →·AD →＝0，∴AC →·AD →＝ 3 BD →·AD →＝3|BD →|·|AD →|·cos∠ADB ＝3|BD →|·cos∠ADB ＝3·|AD →|＝ 3.10．对向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，定义一种新的运算“*”的意义为a *b ＝(x 1y 2，x 2y 1)，它仍是一个向量；则对任意的向量a ，b ，c 和任意实数λ，μ，下面命题中：①a *b ＝b *a ； ②(a *b )*b ＝a *(b *b )； ③(λa )*(μb )＝(λμ)(a *b )； ④(a ＋b )*c ＝a *c ＋b *c 正确命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0[答案] B[解析] 代入验证知①②不成立，③④成立，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________.(用a ，b ，c 表示)[答案] a ＋c －b[解析] OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a ＋c －b .12．(2013·江苏，10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[答案] 12[解析] 本题考查平面向量基本定理应用． 由已知DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，从而λ1＋λ2＝12.13．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________，DE →·DC →的最大值为________．[答案] 1 1[解析] 本题考查平面向量的数量积． 建立平面直角坐标系如图：则CB →＝(0，－1)，设E (x 0,0)， 则DE →＝(x 0，－1)，∴DE →·CB →＝(x 0，－1)·(0，－1)＝1， 又DC →＝(1,0)，∴DE →·DC →＝x 0，而0≤x 0≤1， ∴DE →·DC →最大值为1.14．在直角坐标系中，已知PA →＝(3,1)，PB →＝(5,10)，若点A 关于向量PB →所在直线的对称点是A ′，则向量PA ′→＝________.[答案] (－1,3)[解析] 设AA ′与向量PB →所在直线相交于点M ，则|PM →|＝|PA →|cos 〈PA →，PB →〉＝PA →·PB →|PB →|＝5，所以PM →＝15PB →＝(1,2)，从而AM →＝PM →－PA →＝(－2,1)，PA ′→＝PM →＋MA ′→＝PM →＋AM →＝(－1,3)．15．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________．[答案] 5[解析] 本题主要考查向量的坐标知识在解析几何中应用，如图，建立平面直角坐标系，根据题意设CD ＝a ，则A (2,0)，B (1，a )，P (0，y )，则PA →＝(2，－y )，PB →＝(1，a －y )， PA →＋3PB →＝(2，－y )＋(3,3a －3y )＝(5,3a －4y )，故|PA →＋3PB →|＝25＋a －4y2的最小值即当3a ＝4y 时，|PA →＋3PB →|min ＝5.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)如图所示，M ，N ，P 分别是△ABC 三边上的点，且BM →＝14BC →，CN →＝14CA →，AP →＝14AB →，设AB →＝a ，AC →＝b ，试将MN →，MP →，PN →用a ，b 表示，并计算MP →＋PN →－MN →.[解析] 由题设得AP →＝14AB →＝14a ，CN →＝14CA →＝－14AC →＝－14b ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，BM →＝14BC →＝14(b －a )，所以MN →＝MC →＋CN →＝34BC →＋14CA →＝34(b －a )－14b ＝－34a ＋12b .同理可得MP →＝－12a －14b ，PN →＝－14a ＋34b .将它们代入得MP →＋PN →－MN →＝0. 17．(本小题满分12分)已知a ，b 是两个非零向量，若a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，试求a 与b 的夹角θ.[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b a －5b ＝0，a －4ba －2b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0.①②由①－②得46a ·b －23b 2＝0， 即2a ·b －b 2＝0，即2a ·b ＝b 2， 代入①式得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b2b 2＝12.∴a 与b 的夹角为θ＝60°.18．(本小题满分12分)已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1.(1)求向量n ；(2)设向量a ＝(1,0)，向量b ＝(cos x ，sin x )，其中x ∈R ，若n ·a ＝0，试求|n ＋b |的取值范围．[解析] (1)设n ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x ＋y 2·x 2＋y 2＝cos 3π4＝－22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)． (2)∵a ＝(1,0)，n ·a ＝0， ∴n ＝(0，－1)．∴n ＋b ＝(cos x ，sin x －1)． ∴|n ＋b |＝x2＋x －2＝2－2sin x ＝2·1－sin x . ∵－1≤sin x ≤1， ∴0≤1－sin x ≤ 2. ∴0≤|n ＋b |≤2，即|n ＋b |的取值范围是[0,2]．19．(本小题满分12分)在直角坐标系中，已知OA →＝(4，－4)，OB →＝(5,1)，OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|，求MB →的坐标．[解析] 设点M 的坐标为M (x ，y )． ∵OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|， ∴OM →⊥MB →，∴OM →·MB →＝0.又OM →＝(x ，y )，MB →＝(5－x,1－y )， ∴x (5－x )＋y (1－y )＝0. 又点O 、M 、A 三点共线，∴OM →＝λOA →，∴x 4＝y －4.∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋y －y ＝0，x 4＝y－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴MB →＝OB →－OM →＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．20．(本小题满分13分)设0<|a |≤2，f (x )＝cos 2x －|a |sin x －|b |的最大值为0，最小值为－4，且a 与b 的夹角为45°，求|a ＋b |.[解析] f (x )＝1－sin 2x －|a |sin x －|b | ＝－(sin x ＋|a |2)2＋|a |24－|b |＋1.∵0<|a |≤2，∴当sin x ＝－|a |2时，|a |24－|b |＋1＝0.当sin x ＝1时，－|a |－|b |＝－4.由⎩⎪⎨⎪⎧|a |24－|b |＋1＝0，－|a |－|b |＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝2，|b |＝2.∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×2×2·cos45°＋22＝8＋42， ∴|a ＋b |＝22＋ 2.21．(本小题满分14分)如图所示，在Rt △ABC 中，已知BC ＝a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ →与BC →的夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大？并求出这个最大值．[解析] 解法一：∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0.∵AP →＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →， ∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →) ＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC → ＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP → ＝－a 2＋AP →·(AB →－AC →)＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2cos θ.当θ＝0°时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．设|AB →|＝c ，|AC →|＝b ，则A (0,0)，B (c,0)，C (0，b )， 且|PQ →|＝2a ，|BC →|＝a ，设P 点的坐标为(x ，y )， 则Q (－x ，－y )．∴BP →＝(x －c ，y )，CQ →＝(－x ，－y －b )，BC →＝(－c ，b )，PQ →＝(－2x ，－2y )．∴BP →·CQ →＝－x (x －c )－y (y ＋b ) ＝－x 2－y 2＋cx －by ，cos θ＝BC →·PQ →|BC →||PQ →|＝2cx －2by 2a 2＝cx －bya 2， 即cx －by ＝a 2cos θ. ∴BP →·CQ →＝－a 2＋a 2cos θ.故当cos θ＝1时，即θ＝0°(PQ →与BC →同向)时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.。

【成才之路】人教B版高中数学必修2习题 第二章 平面解析几何初步 2.4.2 Word版含解析[ 高考]

【成才之路】人教B版高中数学必修2习题 第二章 平面解析几何初步 2.4.2 Word版含解析[ 高考]

第二章 2.4 2.4.2一、选择题1．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy坐标平面的对称点，则|AB|等于()A．10B．10C．38 D．38[答案] A[解析]A(2，－3,5)关于xOy坐标面的对称点B(2，－3，－5)∴|AB|＝(2－2)2＋[－3－(－3)]2＋[5－(－5)]2＝10.2．已知三点A(－1,0,1)、B(2,4,3)、C(5,8,5)，则()A．三点构成等腰三角形B．三点构成直角三角形C．三点构成等腰直角三角形D．三点构不成三角形[答案] D[解析]∵|AB|＝29，|AC|＝229，|BC|＝29，而|AB|＋|BC|＝|AC|，∴三点A、B、C共线，构不成三角形．3．(2015·湖南郴州市高一期末测试)已知A(1,0,2)、B(1，－3,1)，点M在z轴上且到A、B 两点的距离相等，则M点坐标为()A．(－3,0,0) B．(0，－3,0)C．(0,0，－3) D．(0,0,3)[答案] C[解析]设M(0,0，c)，由|AM|＝|BM|得：12＋02＋(c－2)2＝12＋(－3)2＋(c－1)2，∴c＝－3，选C．4．已知正方体的每条棱都平行于坐标轴，两个顶点为A(－6，－6，－6)、B(8,8,8)，且两点不在正方体的同一个面上，正方体的对角线长为()A．14 3 B．314C．542 D．42 5[答案] A[解析]d(A，B)＝(－6－8)2＋(－6－8)2＋(－6－8)2＝14 3.5．(2015·湖南益阳市高一期末测试)已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( )A ．－3或4B ．3或－4C ．6或－2D ．6或2[答案] C[解析] |AB |＝(x －2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝26，∴(x －2)2＝16，∴x －2＝±4，∴x ＝6或－2.6．(2015·辽宁葫芦岛市高一期末测试)在空间直角坐标系中，已知点P (0,0，3)和点C (－1,2,0)，则在y 轴上到点P 和点C 的距离相等的点M 的坐标是( )A ．(0,1,0)B ．(0，－12，0)C ．(0，12，0) D ．(0,2,0) [答案] C[解析] 设M (0，y,0)，由题意得y 2＋(3)2＝12＋(y －2)2，∴y ＝12，故选C ． 二、填空题7．(2015·辽宁锦州市高一期末测试)空间直角坐标系中点A (－2,1,3)、B (－1,2,1)，点P 在x 轴上，且|P A |＝|PB |，则点P 的坐标为________．[答案] －4[解析] 设点P 的坐标为(x,0,0)，由题意得(x ＋2)2＋(0－1)2＋(0－3)2 ＝(x ＋1)2＋(0－2)2＋(0－1)2，解得x ＝－4.8．在空间中，已知点A (－2，3,4)在y 轴上有一点B 使得|AB |＝7，则点B 的坐标为________．[答案] (0,3＋29，0)或(0,3－29，0)[解析] 设点B 的坐标为(0，b,0)， 由题意得(0＋2)2＋(b －3)2＋(0－4)2＝7，解得b ＝3±29.∴点B 的坐标为(0,3＋29，0)或(0,3－29，0)．三、解答题9．已知一长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点O ，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，其中顶点A 1、B 1、C 1、D 1分别位于第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，且棱长AA 1＝2，AB ＝6，AD ＝4.求长方体各顶点的坐标．[解析] 由题意，可建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，∴A 1(3,2,1)、B 1(－3,2,1)、C 1(－3，－2,1)、D 1(3，－2,1)，A (3,2，－1)、B (－3,2，－1)、C (－3，－2，－1)、D (3，－2，－1)．10．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点．求|MN |的长．[解析] 如图所示，以C 为原点，以CA 、CB 、CC 1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系C －xyz ，∵CA ＝CB ＝1，AA 1＝2，∴N (1,0,1)、M (12，12，2)， 由两点间的距离公式得|MN |＝(1－12)2＋(0－12)2＋(1－2)2＝62. 故|MN |的长为62.一、选择题1．(2015·福建八县一中高一期末测试)在空间直角坐标系中一点P (1,3,4)到x 轴的距离是( )A ．5B ．17C ．10D ．26[答案] A[解析] 点P 在x 轴上的射影Q 的坐标为(1,0,0)，∴点P 到x 轴的距离为|PQ |＝(1－1)2＋(3－0)2＋(4－0)2＝5.2．设A (3,3,1)、B (1,0,5)、C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( )A ．534B ．532C ．532D ．132[答案] C[解析] ∵AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫2，32，3，C (0,1,0)， ∴|CM |＝(2－0)2＋⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－0)2＝532. 二、填空题3．若点A (－1,2，－3)关于y 轴的对称点为B ，则AB 的长为________．[答案] 210[解析] ∵A (－1,2，－3)关于y 轴的对称点B (1,2,3)，∴|AB |＝[1－(－1)]2＋(2－2)2＋[3－(－3)]2＝210.4．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A (3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于________．[答案] 2393 [解析] ∵|AM |＝(3－0)2＋(－1－1)2＋(2－2)2 ＝13，∴对角线|AC 1|＝213，设棱长为x ，则3x 2＝(213)2，∴x ＝2393. 三、解答题5．已知点P 1、P 2的坐标分别为(3,1，－1)、(2，－2，－3)，分别在x 、y 、z 轴上取点A 、B 、C ，使它们与P 1、P 2两点距离相等，求A 、B 、C 的坐标．[解析] 设A (x,0,0)、B (0，y,0)、C (0,0，z )，由|AP 1|＝|AP 2|得，(x －3)2＋1＋1＝(x －2)2＋4＋9 ∴x ＝－3，同理，由|BP 1|＝|BP 2|得y ＝－1，由|CP 1|＝|CP 2|得z ＝－32，∴A (－3,0,0)、B (0，－1,0)、C (0,0，－32)． 6．(1)在z 轴上求与点A (－4,1,7)和B (3,5，－2)等距离的点的坐标；(2)在yOz 平面上，求与点A (3,1,2)、B (4，－2，－2)和C (0,5,1)等距离的点的坐标．[解析] (1)设所求点P 为(0,0，c )由题设|P A |＝|PB |， ∴16＋1＋(c －7)2＝9＋25＋(c ＋2)2解之得c ＝149，∴P (0,0，149)． (2)设所求点为P (0，b ，c )∵|P A |＝|PB |＝|PC |，∴⎩⎨⎧ 9＋(b －1)2＋(c －2)2＝16＋(b ＋2)2＋(c ＋2)29＋(b －1)2＋(c －2)2＝0＋(b －5)2＋(c －1)2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3b ＋4c ＋5＝04b －c －6＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1c ＝－2∴P (0,1，－2)． 7．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝4，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 中点，求M 、N 两点间的距离．[解析] 建立如图所示空间直角坐标系，据题设条件有：|A 1C 1|＝22，∵|MC 1|＝2|A 1M |，∴|A 1M |＝232， ∴M (23，23，4)． 又C (2,2,0)、D 1(0,2,4)，N 为CD 1中点∴N (1,2,2)，∴|MN |＝(1－23)2＋(2－23)2＋(2－4)2＝533.。

《成才之路》2015-2016学年人教B版高中数学必修2习题综合测试AWord版含解析

《成才之路》2015-2016学年人教B版高中数学必修2习题综合测试AWord版含解析

本册综合测试(A)时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知点A(a,3)、B(－1，b＋2)且直线AB的倾斜角为90°，则a、b的值为()A．a＝－1，b∈R且b≠1B．a＝－1，b＝1C．a＝3，b＝1 D．a＝3，b＝－1[答案] A[解析]∵直线AB的倾斜角为90°，∴AB⊥x轴，∴a＝－1，b∈R且b≠1.2．不论m为何值，直线(m－2)x－y＋3m＋2＝0恒过定点()A．(3,8) B．(8,3)C．(－3,8) D．(－8,3)[答案] C[解析]直线方程(m－2)x－y＋3m＋2＝0可化为m(x＋3)－2x－y＋2＝0，∴x＝－3时，m∈R，y＝8，故选C．3．(2015·陕西西安市一中高一期末测试)垂直于同一条直线的两条直线一定()A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能[答案] D[解析]如图正方体ABCD－A1B1C1D1，AD⊥AB，BC⊥AB，AD∥BC，BB1⊥AB，AD与BB1异面，AA1⊥AB，AA1与AD相交，故选D.4．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得()A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α[答案] B[解析]已知两条不相交的空间直线a和b，可以在直线a上任取一点A，使得A∉b.过A 作直线c∥b，则过a、b必存在平面α，且使得a⊂α，b∥α.5．若点P(a，b)在圆C：x2＋y2＝1的外部，则有直线ax＋by＋1＝0与圆C的位置关系是()A ．相切B ．相离C ．相交D ．相交或相切[答案] C[解析] ∵点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝1的外部，∴a 2＋b 2>1. ∴圆C 的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋1＝0的距离d ＝1a 2＋b 2<1， 即直线ax ＋by ＋1＝0与圆C 相交．6．如图，在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )[答案] C[解析] 当a >0时，直线y ＝ax 的斜率k ＝a >0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距等于a >0，此时，选项A 、B 、C 、D 都不符合；当a <0时，直线y ＝ax 的斜率k ＝a <0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距等于a <0，只有选项C 符合，故选C ．7．已知平面α外不共线的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，则正确的结论是( ) A ．平面ABC 必平行于α B ．平面ABC 必不垂直于α C ．平面ABC 必与α相交D ．存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内 [答案] D[解析] 平面ABC 与平面α可能平行也可能相交，排除A 、B 、C ，故选D.8．(2015·甘肃天水一中高一期末测试)圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0的位置关系是( )A ．内切B ．外离C ．内含D ．相交[答案] A[解析] 圆O 1的圆心O 1(2,3)，半径r 1＝1，圆O 2的圆心O 2(4,3)，半径r 2＝3.|O 1O 2|＝(4－2)2＋(3－3)2＝2，r 2－r 1＝2，∴|O 1O 2|＝r 2－r 1，故两圆内切．9．光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，则有( )A ．a ＝13，b ＝6B ．a ＝－13，b ＝－6C ．a ＝3，b ＝－16D ．a ＝－3，b ＝16[答案] B[解析] 由题意，直线y ＝－3x ＋b 与直线y ＝ax ＋2关于直线y ＝－x 对称，故直线y ＝ax＋2上点(0,2)关于y ＝－x 的对称点(－2,0)在直线y ＝－3x ＋b 上，∴b ＝－6，y ＝－3x －6上的点(0，－6)，关于直线y ＝－x 对称点(6,0)在直线y ＝ax ＋2上，∴a ＝－13选B.10．(2015·福建南安一中高一期末测试)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A ．2B ．94C ．3D ．92[答案] C[解析] 由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，且直角梯形的上底长为1，下底长为2，高为2，四棱锥的高为x ，其体积为13×(1＋2)×22·x ＝3，∴x ＝3.11．圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0上的动点P 到直线y ＝－x 的最小距离为( ) A ．22－1 B ．2 2 C ． 2 D ．1 [答案] A[解析] 圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0可化为(x －2)2＋(y －2)2＝1，故圆心坐标为(2,2)，半径r ＝1.圆心(2,2)到直线y ＝－x 的距离d ＝|2＋2|2＝2 2.故动点P 到直线y ＝－x 的最小距离为22－1.12．一个几何体的三视图如下图所示，该几何体的表面积为( )A ．280B ．292C ．360D ．372 [答案] C[解析] 该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面的面积之和．S ＝2×(10×8＋10×2＋8×2)＋2×(6×8＋8×2)＝360.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2015·云南曲靖市陆良县二中高一期末测试)两平行直线l 1：3x ＋4y －2＝0与l 2：6x ＋8y －5＝0之间的距离为________．[答案]110[解析] 直线l 2的方程可化为3x ＋4y －52＝0，故两平行直线l 1、l 2之间的距离d ＝|－2－(－52)|32＋42＝110. 14．一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则它的体积为__________． [答案] 4[解析] 由已知得，正四棱柱的底面边长为1，高为4，体积V ＝12×4＝4.15．若点P 在坐标平面xOy 内，点A 的坐标为(0,0,4)且d (P ，A )＝5，则点P 的轨迹方程为________．[答案] x 2＋y 2＝9[解析] 设P (x ，y,0)，则d (P ，A )＝(x －0)2＋(y －0)2＋(0－4)2＝5，即x 2＋y 2＝9. 16．设m 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m ∥n ；②m ∥α；③n ∥α.以其中两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题：__________________.[答案] ①②⇒③或(①③⇒②)三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)设A (1，－2，x )，B (x,3,0)，C (7，x,6)，且A 、B 、C 三点能构成直角三角形，求x 的值．[解析] AB 2＝2x 2－2x ＋26，BC 2＝2x 2－20x ＋94，AC 2＝2x 2－8x ＋76， 由(2x 2－2x ＋26)＋(2x 2－20x ＋94)＝2x 2－8x ＋76得x 2－7x ＋22＝0无解；由(2x 2－2x ＋26)＋(2x 2－8x ＋76)＝2x 2－20x ＋94得x 2＋5x ＋4＝0，∴x 1＝－4，x 2＝－1； 由(2x 2－20x ＋94)＋(2x 2－8x ＋76)＝2x 2－2x ＋26得x 2－13x ＋72＝0无解， ∴x 的值为－4或－1.18．(本题满分12分)(2015·甘肃天水市泰安县二中高一月考)直线l 经过直线x ＋y －2＝0和直线x －y ＋4＝0的交点，且与直线3x －2y ＋4＝0平行，求直线l 的方程．[解析] 解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0x －y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝3.即直线l 过点(－1,3)．∵直线l 的斜率为32，∴直线l 的方程为y －3＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋9＝0.解法二：由题意可设直线l 的方程为x －y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 整理得(1＋λ)x ＋(λ－1)y ＋4－2λ＝0， ∵直线l 与直线3x －2y ＋4＝0平行，∴－2(1＋λ)＝3(λ－1)， ∴λ＝15.∴直线l 的方程为65x －45y ＋185＝0，即3x －2y ＋9＝0.19．(本题满分12分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，AC ∩BD ＝E ，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6，求证：平面PBD ⊥平面P AC ．[解析] ∵P A ⊥平面ABCD ， BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥P A ．又tan ∠ABD ＝AD AB ＝33.tan ∠BAC ＝BCAB＝ 3.∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°， ∴∠AED ＝90°，即BD ⊥AC ． 又P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ． ∵BD ⊂平面PBD .所以平面PBD ⊥平面P AC ．20．(本题满分12分)在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在的直线方程为y ＝0.若B 的坐标为(1,2)，求△ABC 三边所在直线方程及点C 坐标．[解析] BC 边上高AD 所在直线方程x －2y ＋1＝0， ∴k BC ＝－2，∴BC 边所在直线方程为：y －2＝－2(x －1)即2x ＋y －4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得A (－1,0)， ∴直线AB ：x －y ＋1＝0，点B (1,2)关于y ＝0的对称点B ′(1，－2)在边AC 上， ∴直线AC ：x ＋y ＋1＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝02x ＋y －4＝0，得点C (5，－6)． 21．(本题满分12分)降水量是指水平地面上单位面积所降雨水的深度，用上口直径为38 cm ，底面直径为24 cm ，深度为35 cm 的圆台形容器(轴截面如图)来测量降水量，若在一次降水中，此桶盛得的雨水正好是桶深的17，则本次降雨的降水量是多少？(精确到mm)[解析] 如图，作BE ⊥CD 于点E ，交MN 于点G ，作AH ⊥CD 于H ，交MN 于点P ，则BG BE ＝17，四边形ABEH 、PGEH 均为矩形．∴BG ＝17·BE ＝17×35＝5(cm)．EH ＝PG ＝AB ＝24 cm.又∵四边形ABCD 为等腰梯形， ∴MN ＝PG ＋2GN .又∵EC ＝12(CD －AB )＝12(38－24)＝7(cm)，∴GN ＝17EC ＝1(cm)，∴MN ＝PG ＋2GN ＝24＋2＝26(cm)． ∴此次降雨中雨水的体积为 V ＝13π[(MN 2)2＋(AB 2)2＋(MN 2·AB 2)]·BG＝13π×5×(132＋122＋13×12) ＝23453(cm 3)， 降雨中雨水面的面积S ＝π(CD2)2＝361π(cm 2)．∴此次降雨的降水量为h ＝V S ＝2345π3×361π≈2.2(cm)＝22(mm)．即本次降雨的降水量约是22 mm.22．(本题满分14分)已知⊙C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0. (1)若⊙C 的切线在x 轴、y 轴上截距相等，求切线的方程；(2)从圆外一点P (x 0，y 0)向圆引切线PM ，M 为切点，O 为原点，若|PM |＝|PO |，求使|PM |最小的P 点坐标．[解析] ⊙C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， 圆心C (－1,2)，半径r ＝2. (1)若切线过原点设为y ＝kx ， 则|－k －2|1＋k 2＝2，∴k ＝0或43.若切线不过原点，设为x ＋y ＝a ， 则|－1＋2－a |2＝2，∴a ＝1±22， ∴切线方程为：y ＝0，y ＝43x ，x ＋y ＝1＋22和x ＋y ＝1－2 2.(2)x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋1＝x 20＋y 20，∴2x 0－4y 0＋1＝0，|PM |＝x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋1＝5y 20－2y 0＋14∵P 在⊙C 外，∴(x 0＋1)2＋(y 0－2)2>4， 将x 0＝2y 0－12代入得5y 20－2y 0＋14>0， ∴|PM |min ＝510.此时P ⎝⎛⎭⎫－110，15.。

【成才之路】2015-2016学年高中数学 综合素质检测2 北师大版

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第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知抛物线C ：y 2＝x 与直线l ：y ＝kx ＋1，“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同的交点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 由(kx ＋1)2＝x ，得k 2x 2＋(2k －1)x ＋1＝0，则当k ≠0时，Δ＝(2k －1)2－4k2＝－4k ＋1>0，得k <14且k ≠0.故“k ≠0”推不出“直线l 与抛物线C 有两个不同的交点”，但“直线l 与抛物线C 有两个不同的交点”能推出“k ≠0”．故选B.2．若直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围为( )A ．{－1，－52，1，52} B ．(－∞，－52)∪(52，＋∞) C ．{－52，52} D ．(－∞，－1)∪[52，＋∞) [答案] A [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1x 2－y 2＝4得(1－k 2)x 2＋2kx －5＝0，所以1－k 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0k 2＋－k2＝20－16k 2＝0，解得k ＝±1或k ＝±52. 3．(2014·洛阳市期末)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( )A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 216＝1C.x 220＋y 25＝1 D ．x 25＋y 220＝1[答案] C[解析] 由椭圆过点(2,2)，排除A 、B 、D ，选C.4．(2015·新课标Ⅰ文，5)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12[答案] B[解析] 因为y 2＝8x ，抛物线方程为y 2＝2px ，焦点坐标为(p2，0)，所以焦点为(2,0)．因为E 右焦点与抛物线焦点重合，所以c ＝2，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝16－4，则椭圆方程为x 216＋y 212＝1，抛物线准线为x ＝－p2＝－2，当x ＝－2时，y ＝±3，则|AB |＝2×3＝6.故本题正确答案为B.5．(2015·湖南文，6)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B ．54 C.43 D ．53[答案] D[解析] 由题利用双曲线的渐近线方程经过的点(3，－4)，得到a 、b 关系式，然后求出双曲线的离心率即可．因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b ＝4a ，∴9(c 2－a 2)＝16a 2，∴e ＝c a ＝53，故选D.6．(2014·宁夏银川一中二模)从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积( )A ．5B ．10C ．20D ．15[答案] B[解析] 设P (x 0，y 0)，则由抛物线定义知x 0＋1＝5， ∴x 0＝4故y 0＝4，所以S △MPF ＝12×5×4＝10.7．已知a >b >0，e 1，e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b2＝1的离心率，则lg e 1＋lg e 2( )A ．大于0且小于1B ．大于1C ．小于0D ．等于1[答案] C[解析] ∵lg e 1＋lg e 2＝lg a 2－b 2a ＋lg a 2＋b 2a＝lg a 4－b 4a 2<lg a 2a2＝lg1＝0，∴lg e 1＋lg e 2<0.8．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60cm ，灯深40cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454xC ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y[答案] C[解析] 如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则抛物线过点(40,30)，302＝2p ×40,2p ＝452，所以抛物线的方程应为y 2＝452x ，所给选项中没有y 2＝452x ，但方程x 2＝－452y 中的“2p ”值为452，所以选项C 符合题意．9．(2014·山东省烟台市期末)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x2＋2相切，则此双曲线的离心率等于( )A ．2B ．3 C. 6 D ．9[答案] B[解析] 由题意双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝bax ，代入抛物线方程y ＝x 2＋2整理得x 2－b ax ＋2＝0，因渐近线与抛物线相切，∴Δ＝(－b a)2－8＝0， 即(b a)2＝8，∴此双曲线的离心率e ＝c a＝1＋b a2＝1＋8＝3.故选B.10．已知椭圆x 24＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且倾斜角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点，对以下结论：①△ABF 2的周长为8；②原点到l 的距离为1；③|AB |＝83.其中正确结论的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] A[解析] ①由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AF 2|＝4，|BF 1|＋|BF 2|＝4，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，所以△ABF 2的周长＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，①正确； ②由条件，得F 1(－2，0)，因为过F 1且倾斜角为45°的直线l 的斜率为1，故直线l 的方程为y ＝x ＋2，原点到l 的距离d ＝|2|2＝1，故②正确；③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2x 24＋y 22＝1，消去y ，得3x 2＋42x ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，解得x 1＋x 2＝－423，x 1·x 2＝0，所以|AB |＝1＋1·x 1＋x 22－4x 1x 2＝83，故③正确．二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．若抛物线y 2＝mx 与椭圆x 29＋y 25＝1有一个共同的焦点，则m ＝________.[答案] ±8[解析] 椭圆焦点为(－2,0)和(2,0)，因为抛物线与椭圆有一个共同焦点，故m ＝±8. 12．已知双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与该双曲线的右支交于A ，B 两点，若|AB |＝5，则△ABF 1的周长为________．[答案] 26[解析] 由双曲线的定义，知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝8，|BF 1|－|BF 2|＝8， ∴|AF 1|＋|BF 1|－(|AF 2|＋|BF 2|)＝16. 又∵|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＝5， ∴|AF 1|＋|BF 1|＝16＋5＝21.∴△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝21＋5＝26.13．(2014·哈三中二模)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y 2＝8x 的准线的一个交点的纵坐标为－1，则双曲线的离心率为________．[答案]52[解析] 抛物线y 2＝8x 的准线方程x ＝－2，∴交点坐标为(－2，－1)，∴双曲线的渐近线方程y ＝12x ，即b a ＝12，∴e ＝1＋b 2a 2＝52. 14．曲线x 2＋(y －1)2＝4与直线y ＝k (x －2)＋4有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．[答案] (512，＋∞)[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －＋4，x 2＋y －2＝4，得(1＋k 2)x 2＋2k (3－2k )x ＋(3－2k )2－4＝0， Δ＝4k 2(3－2k )2－4(1＋k 2)[(3－2k )2－4]＝48k －20. ∴Δ>0，即k >512时，直线与曲线有两个不同的交点．15．一个正三角形三个顶点都在抛物线y 2＝4x 上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为________．[答案] 48 3[解析] 设△ABC 的顶点C 在原点，则直线AB ⊥x 轴，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝±33x ，y 2＝4x ，得A (12,43)，B (12，－43)， ∴S △ABC ＝12×83×12＝48 3.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．求下列双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(62，6)的双曲线；(2)以椭圆3x 2＋13y 2＝39的焦点为焦点，以直线y ＝±x2为渐近线的双曲线．[答案] (1)x 218－y 22＝1 (2)x 28－y 22＝1[解析] (1)∵双曲线x 216－y 24＝1的焦点为(±25，0)，∴设所求双曲线方程为：x 2a 2－y 220－a2＝1(20－a 2>0)又点(62，6)在双曲线上， ∴72a2－620－a2＝1，解得a 2＝18或80(舍去)， ∴所求双曲线方程为x 218－y 22＝1.(2)椭圆3x 2＋13y 2＝39可化为x 213＋y 23＝1，其焦点坐标为(±10，0)， ∴所求双曲线的焦点为(±10，0)，设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)∵双曲线的渐近线为y ＝±12x ，∴b a ＝12，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝10－a 2a 2＝14， ∴a 2＝8，b 2＝2，即所求的双曲线方程为：x 28－y 22＝1.17．如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB |＝18m ，拱顶离水面的距离为8m ，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF .若矩形的长|CD |＝9m ，那么矩形的高|DE |不能超过多少m 才能使船通过拱桥？[答案] 6m[解析] 如图，以O 点为原点，过O 且平行于AB 的直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系．则B (9，－8)，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．∵点B 在抛物线上，∴81＝－2p ·(－8)， ∴p ＝8116，∴抛物线的方程为x 2＝－818y ，∴当x ＝92时，y ＝－2，∴|DE |＝6，∴当矩形的高|DE |不超过6m 时，才能使船通过拱桥．18．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．求证：(1)x 1x 2为定值； (2)1|FA |＋1|FB |为定值． [证明] (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为F (p 2，0)，设直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0.由根与系数的关系，得x 1x 2＝p 24(定值)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2＝p 2，x 1x 2＝p 24，也成立．(2)由抛物线的定义，知|FA |＝x 1＋p2，|FB |＝x 2＋p2.1|FA |＋1|FB |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋p p2x 1＋x 2＋x 1x 2＋p 24＝x 1＋x 2＋pp2x 1＋x 2＋p＝2p(定值)．当AB ⊥x 轴时，|FA |＝|FB |＝p ，上式仍成立．19．(2014·云南景洪市一中期末)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |.(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．[答案] (1)43 (2)22[解析] (1)求椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，消去y 化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b21＋b2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1| 即43＝2|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝－b 2＋b22－－2b 21＋b2＝8b 4＋b22，解得b ＝22. 20．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝233，过A (a,0)，B (0，－b )的直线到原点的距离是32. (1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋5(k ≠0)交双曲线于不同的点C ，D ，且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．[答案] (1)x 23－y 2＝1 (2)±7[解析] (1)双曲线的离心率e ＝c a ＝233.①过A ，B 的直线为x a －y b＝1， 即bx －ay －ab ＝0. ∵原点到直线AB 的距离为32，∴|－ab |a 2＋b2＝ab c ＝32， ②由①②，得b ＝1.∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋1a 2＝43. ∴a 2＝3，∴双曲线的方程为x 23－y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 2＝1y ＝kx ＋5，得(1－3k 2)x 2－30kx －78＝0.∴x 1＋x 2＝30k 1－3k2.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，CD 的中点M (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝15k 1－3k 2，y 0＝kx 0＋5＝51－3k2. ∴MB 的斜率k MB ＝y 0＋1x 0＝－1k. ∴x 0＋ky 0＋k ＝0， 即15k 1－3k 2＋5k1－3k2＋k ＝0. 解得k 2＝7，∴k ＝±7.21．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．[答案] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ (2)k 值不存在 [解析] (1)由已知条件，直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x2＋22kx ＋1＝0.①∵直线l 与椭圆有两个不同的交点，∴Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，爱看书的康强解得k <－22或k >22. 即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. (2)设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)， 则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 由方程①，x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝221＋2k2.③又A (2，0)，B (0,1)，∴AB →＝(－2，1)． ∵OP →＋OQ →与AB →共线， ∴x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)，④将②③代入④式，解得k ＝22. 由(1)知k <－22或k >22，故没有符合题意的常数k .。

高中数学 第二章平面解析几何初步综合测试B 新人教B版

高中数学 第二章平面解析几何初步综合测试B 新人教B版

【成才之路】2014-2015学年高中数学 第二章平面解析几何初步综合测试B 新人教B 版必修2时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．直线x ＋(m ＋1)y ＋3＝0与直线mx ＋2y －1＝0平行，则m 的值为( ) A ．1 B ．－2 C ．2或－1 D ．－2或1[答案] D[解析] 由题意，得1×2－m (m ＋1)＝0，即m 2＋m －2＝0，解得m ＝－2或1. 经检验知当m ＝－2或1，满足题意．2．已知A (1－t,1－t ，t )，B (2，t ，t )，则A 、B 两点间距离的最小值是( ) A.55 B.555 C.355D.115[答案] C [解析] |AB |＝1＋t 2＋2t －12＋0＝5t 2－2t ＋2＝5t －152＋95≥355.∴选C. 3．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a 、b 满足( ) A ．a ＋b ＝1 B ．a －b ＝1 C ．a ＋b ＝0 D ．a －b ＝0[答案] D[解析] ∵0°≤α<180°，sin α＋cos α＝0，∴α＝135°，∴a －b ＝0. 4．直线2x ＋y －3＝0关于点A (1,1)对称的直线方程是( ) A ．2x ＋y ＋3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．2x ＋y ＝0 D ．2x ＋y －9＝0[答案] B[解析] ∵点A (1,1)在直线2x ＋y －3＝0上，∴直线2x ＋y －3＝0关于点A (1,1)对称的直线仍是它本身，故选B.5．直线(m ＋2)x ＋my ＋1＝0与直线(m －1)x ＋(m －4)y ＋2＝0互相垂直，则m 的值为( )A.12 B ．－2 C ．－12或2D ．－2或12[答案] C[解析] 由题意，得(m ＋2)(m －1)＋m (m －4)＝0， 解得m ＝－12或2.6．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心 [答案] C[解析] 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式． 圆心C (0,0)到直线kx －y ＋1＝0的距离d ＝11＋k2≤1< 2.所以直线与圆相交，故选C.7．圆x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝12B ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝12C ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝2 D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝2 [答案] C[解析] 已知圆的半径为2，故对称圆的半径也为2，排除A 、B ，两圆心的连线的中点在直线2x －y ＋3＝0上，排除D ，故选C.8．方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．k ＝4或k ＝－1 B ．k >4或k <－1 C ．－1<k <4 D ．以上都不对[答案] B[解析] 方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8＝0，可化为(x ＋k )2＋(y ＋2)2＝k 2－3k －4，由题意，得k 2－3k －4>0，∴k >4或k <－1.9．圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5 D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5 [答案] B[解析] 设所求圆的圆心坐标为(a ，b )，由题意，知所求圆的半径与已知圆的半径相等，所求圆的圆心(a ，b )与已知圆圆心(1，－2)关于原点(0,0)对称，∴所求圆的圆心坐标为 (－1,2)，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.10．已知直线x ＋3y －7＝0，kx －y －2＝0与x 轴，y 轴围成的四边形有外接圆，则实数k 的值是( )A ．－3B ．3C ．－6D ．6[答案] B[解析] 由题意，知两直线垂直， ∴1·k ＋3·(－1)＝0，∴k ＝3.11．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －1)2＝1 [答案] B[解析] 设圆心坐标为(x ，y )，由题意知x >0，y ＝1. 由点到直线的距离公式，得|4x －3|42＋32＝1， ∴4x －3＝±5，∵x >0，∴x ＝2.故所求圆的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.12．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移一个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( )A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或11[答案] A[解析] 直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移一个单位后为2(x ＋1)－y ＋λ＝0，即2x－y ＋2＋λ＝0，又直线2x －y ＋2＋λ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则|－2－2＋2＋λ|5＝5，解得λ＝－3或7.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知直线l 上有三点A (3,1)、B (4,2)、C (6，y )，则y ＝__________. [答案] 4[解析] k AB ＝2－14－3＝1，k BC ＝y －26－4＝y －22，由题意，得y －22＝1，∴y ＝4.14．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是________． [答案] x －y ＋1＝0[解析] 由x 2＋2x ＋y 2＝0得圆心C (－1,0)， 所求直线与x ＋y ＝0垂直，∴所求直线的斜率为1， ∴所求直线的方程为x －y ＋1＝0.15．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于____________．[答案]254[解析] ∵点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，故过点A 的圆的切线方程为x ＋2y －5＝0，令x ＝0，得y ＝52，令y ＝0，得x ＝5， ∴S △＝12×52×5＝254.16．一束光线从点A (－2,2)出发，经x 轴反射到圆C ：(x －4)2＋(y －6)2＝1上的最短路程是______．[答案] 9[解析] A 关于x 轴对称点A 1(－2，－2)，⊙C 的圆心C (4,6)，|A 1C |＝10， ∴最短路程为|A 1C |－1＝9.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m 、n 的值，使(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[解析] (1)由题设条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝02m －m －1＝0m 2－16≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝7.(2)由题设可知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0－m －2n ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4n ≠2.(3)由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋8m ＝0－8＋n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0n ＝8.18．(本题满分12分)已知直线l 1：x ＋2y －3＝0与l 2：2x －y －1＝0的交点是P ，直线l 过点P 及点A (4,3)．(1)求l 的方程；(2)求过点P 且与l 垂直的直线l ′的方程．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝02x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1.∴P (1,1)，∴l 的方程为：y －13－1＝x －14－1，即l ：2x －3y ＋1＝0.(2)∵所求直线l ′与l 垂直， ∴斜率为－32.又∵l ′过点(1,1)，∴所求直线l ′的方程为y －1＝－32(x －1)，即3x ＋2y －5＝0.19．(本题满分12分)(2014·山东东营广饶一中高一期末测试)已知点A (－1,2)和B (3,4)．求：(1)线段AB 的垂直平分线的方程；(2)以AB 为直径的圆的方程． [解析] (1)k AB ＝4－23－－1＝12，∴线段AB 的垂直平分线的斜率为－2.又线段AB 的中点坐标为(1,3)，故线段AB 的垂直平分线的方程为y －3＝－2(x －1)， 即2x ＋y －1＝0. (2)所求圆的半径r ＝1－32＋3－42＝5，故以AB 为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.20．(本题满分12分)如图所示，在Rt △ABC 中，已知A (－2,0)，直角顶点B (0，－22)，点C 在x 轴上．(1)求Rt △ABC 外接圆的方程；(2)求过点(－4,0)且与Rt △ABC 外接圆相切的直线的方程．[解析] (1)由题意可知点C 在x 轴的正半轴上，可设其坐标为(a,0)，又AB ⊥BC ，则k AB ·k BC ＝－1，即－222·22a＝－1，解得a ＝4. 则所求圆的圆心为(1,0)，半径为3，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9.(2)由题意知直线的斜率存在，故设所求直线方程为y ＝kx ＋4，即 kx －y ＋4k ＝0. 当圆与直线相切时，有d ＝|5k |k 2＋1＝3，解得k ＝±34，故所求直线方程为y ＝34(x －4)或y ＝－34(x －4)，即3x －4y －12＝0或3x ＋4y －12＝0.21．(本题满分12分)一圆与两平行直线x ＋3y －5＝0和x ＋3y －3＝0都相切，圆心在直线2x ＋y ＋1＝0上，求圆的方程．[解析] 两平行直线之间的距离为|－5＋3|1＋9＝210，∴圆的半径为110，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝110，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋1＝0|a ＋3b －5|10＝110|a ＋3b －3|10＝110，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－75b ＝95.故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋752＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －952＝110.22．(本题满分14分)已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是多少？[解析] 解法一：将圆的一般方程化为标准方程得(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1,1)，r ＝1，如图所示，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，Rt△PAC 的面积S Rt △PAC ＝12|PA |·|AC |，|PA |越来越大，从而S 四边形PACB ＝|PA |·|AC |也越来越大．当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB 变小，显然，当点P 到达一个特殊的位置，即CP 垂直于直线3x ＋4y ＋8＝0时，S 四边形PACB 取得最小值．此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，∴|PA |＝|PC |2－|AC |2＝32－12＝22，故(S 四边形PACB )最小值＝2·12·|PA |·|AC |＝2 2.解法二：设点P 的坐标为(x ，y )， 则|PC |＝x －12＋y －12，由勾股定理及|AC |＝1， 得|PA |＝|PC |2－|AC |2＝x －12＋y －12－1，故S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝2·12·|PA |·|AC |＝|PA |＝x －12＋y －12－1.欲求S 四边形PACB的最小值，只需求|PA |的最小值，即定点C (1,1)与直线上动点P (x ，y )的距离的平方的最小值，也就是点C (1,1)，到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的平方，这个最小值d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|3×1＋4×1＋8|32＋422＝9. 故(S 四边形PACB )最小值＝9－1＝2 2.。

【成才之路】高中数学 第2章 解析几何初步基础知识检测 北师大版必修2

【成才之路】高中数学 第2章 解析几何初步基础知识检测 北师大版必修2

【成才之路】2014-2015学年高中数学 第2章 解析几何初步基础知识检测 北师大版必修2本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1． 下列说法正确的是( )A ．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大B ．若两直线关于x 轴对称，则此二直线斜率互为倒数C ．若与x 轴不垂直的两直线关于y 轴对称，则此二直线斜率互为相反数D ．若两直线垂直，则此二直线斜率互为负倒数 [答案] C[解析] A 倾斜角为钝角时，斜率小于0；倾斜角为锐角时，斜率大于0.B 两直线关于x 轴对称，斜率一正一负，不可能互为倒数．D 分别平行于x ，y 轴的两直线垂直，其中一直线斜率不存在．2．直线ax ＋2y －1＝0与x ＋(a －1)y ＋2＝0平行，则a 等于( ) A ．32 B ．2 C ．－1 D ．2或－1[答案] D[解析] 由a ·(a －1)－2×1＝0得a 2－a －2＝0， ∴a ＝2或－1.3．已知A (－4,2,3)关于xOz 平面的对称点为A 1，A 1关于z 轴的对称点为A 2，则|AA 2|等于( )A ．8B ．12C ．16D ．19[答案] A[解析] A 1(－4，－2,3)，A 2(4,2,3)， ∴|AA 2|＝＋2＋－2＋－2＝8.4．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3) D ．(2，－3)[答案] D[解析] 该题考查圆的一般方程与标准方程的互化．将一般式化为标准式(x －2)2＋(y ＋3)2＝13. ∴圆心坐标为(2，－3)．5．直线3x ＋4y －2＝0与直线6x ＋8y －5＝0间的距离是( ) A ．3 B ．7 C ．110 D ．12[答案] C[解析] 根据两平行线间距离公式得|－2－－5232＋42＝110. 6．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴相切于原点，则( ) A ．D ＝0，E ＝0，F ≠0 B ．E ＝0，F ＝0，D ≠0 C ．D ＝0，F ＝0，E ≠0 D ．F ＝0，D ≠0，E ≠0[答案] C[解析] ∵方程表示的圆与x 轴切于原点，∴这个圆过原点且圆心在y 轴上，∴F ＝0，D ＝0，E ≠0. 7． 不论a 为何实数，直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] D[解析] 由(a －3)x ＋2ay ＋6＝0，得(x ＋2y )a ＋(6－3x )＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，6－3x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过定点(2，－1)．从而该直线恒过第四象限． 8．已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2[答案] B[解析] 由圆心在直线x ＋y ＝0上，不妨设为C (a ，－a )，∴r ＝|a －－a2＝|a －－a －4|2，解得a ＝1，r ＝2，∴圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.9．过点P (4,2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的外接圆方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －2)2＝20 C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝20[答案] A[解析] 由条件O ，A ，B ，P 四点共圆，从而OP 中点(2,1)为所求圆的圆心，半径r ＝12|OP |＝5，故所求圆方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.10．使得方程16－x 2－x －m ＝0有实数解，则实数m 的取值范围是( ) A ．－42≤m ≤4 2 B ．－4≤m ≤4 2 C ．－4≤m ≤4 D ．4≤m ≤4 2[答案] B[解析] 设f (x )＝16－x 2，g (x )＝x ＋m ，在同一坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图形，如图所示．则m 是直线y ＝x ＋m 在y 轴上的截距．由图可知－4≤m ≤4 2.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．(山东高考)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． [答案] 2 2[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系、弦长最值问题、转化与化归思想． 点(3,1)在圆内，要使弦长最短，须圆心C (2,2)与点N (3,1)所在直线与弦垂直，此时|CN |＝2，则弦长为24－2＝2 2.12．直线ax ＋y －4＝0与x －y －2＝0相交于第一象限，则实数a 的取值范围是________． [答案] (－1,2)[解析] 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y －4＝0x －y －2＝0得x ＝61＋a ，y ＝4－2a1＋a. ∵x >0，y >0.∴－1<a <2.13．过点A (0,1)与B (4,0)的直线l 1与过点(4,1)，(3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 为________．[答案] 4[解析] 当围成四边形内接于一个圆时，l 1⊥l 2， ∴k 1·k 2＝－1，而k 1＝－14，∴k 2＝4.14．过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．[答案] (2，2)[解析] 本题考查直线与圆的知识．设P (x ，y )，画出示意图：由OA ＝1，∠APO ＝30°知OP ＝2，即x 2＋y 2＝2，与x ＋y －22＝0，联立解得⎩⎨⎧x ＝2y ＝2，所以P 点坐标为(2，2)．解决直线与圆问题通常采用数形结合的方法．15．直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，且不通过第四象限，则直线l 的斜率取值范围是________．[答案] [0,2][解析] 方程x 2＋y 2－2x －4y ＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心(1,2)，r ＝5，由题意知l 过圆心，又不过第四象限，所以满足条件的直线应位于l 1与l 2之间(包含l 1，l 2，如图)，k 1＝0，k 2＝2－01－0＝2，∴0≤k l ≤2.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0.求：(1)直线l 的方程；(2)直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.则点P 的坐标是(－2,2)，由于所求直线l 与x －2y －1＝0垂直，可设直线l 的方程为2x ＋y ＋C ＝0.把点P 的坐标代入得2×(－2)＋2＋C ＝0，即C ＝2.故所求直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0.(2)由直线l 的方程知它在x 轴，y 轴上的截距分别是－1，－2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝12×1×2＝1.17．(本小题满分12分)过点A (4，－3)作圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线方程．[解析] ∵(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， ∴点A 在圆外．(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ，则切线方程为y ＋3＝k (x －4)．因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径1，所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，解得k ＝－158.所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)，即15x ＋8y －36＝0.(2)若切线斜率不存在，圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4.综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4.18．(本小题满分12分)如下图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ＝a ，E 是PC 的中点，AC 与BD 交于点G .(1)试建立适当的空间直角坐标系，求P ，A ，E ，G 的坐标； (2)求|EG |.[解析] (1)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则A (a,0,0)，P (0,0，a )，C (0，a,0)． 因为E 是PC 的中点， 所以E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.因为在正方形ABCD 中，G 是AC 的中点，所以G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，0. (2)|EG |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 22 ＝22a . 19．(本小题满分12分)直线y ＝－33x ＋1和x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点P (m ，12)使得△ABP 和△ABC 的面积相等，求m 的值．[解析] 如图所示，∵直线y ＝－33x ＋1和x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，∴A (3，0)，B (0,1)，∴|AB |＝2.又∵△ABP 和△ABC 的面积相等， ∴CP ∥AB ，故可设CP 的方程为：y ＝－33x ＋c (c >1)． 依题意由S △ABP ＝S △ABC 得|c －1|1＋13＝3，∴c ＝3，∴直线CP 的方程为y ＝－33x ＋3， 又点P (m ，12)在直线y ＝－33x ＋3上，所以12＝－33m ＋3，解得m ＝532.所以m 的值为532.20．(本小题满分13分)已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值．[解析] 设点P 、Q 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)． 由OP ⊥OQ ，得k OP ·k OQ ＝－1， ∴y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0① 又P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0的实数解，即x 1、x 2是方程5x 2＋10x ＋4m －27＝0②的两个根． ∴x 1＋x 2＝－2③x 1x 2＝4m －275.④ 又P 、Q 在直线x ＋2y －3＝0上， ∴y 1y 2＝12(3－x 1)·12(3－x 2)＝14[9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2]． 将③④代入，得y 1y 2＝m ＋125.⑤将④⑤代入①，解得m ＝3.将m ＝3代入方程②，检验得Δ>0成立，∴m ＝3. 21．(本小题满分14分)已知圆心为C 的圆经过点A (－1,1)和B (－2，－2)，且圆心在直线L ：x ＋y －1＝0上，(1)求圆心为C 的圆的标准方程；(2)设点P 在圆C 上，点Q 在直线x －y ＋5＝0上，求|PQ |的最小值； (3)若直线kx －y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为8，求k 的值． [解析] (1)AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，k AB ＝3，则AB 中垂线l 的方程为y ＋12＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，即y ＝－13x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－13x －1，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.∴l 与L 的交点即为圆心C (3，－2)，半径r ＝|AC |＝5， ∴圆C 的标准方程为：(x －3)2＋(y ＋2)2＝25. (2)∵圆心C 到直线x －y ＋5＝0的距离为d ＝|3＋2＋5|2＝52>r ， ∴直线与圆C 相离，则|PQ |的最小值为d －r ＝52－5. (3)由条件可知：圆心C 到直线的距离为d ＝52－42＝3.根据点到直线的距离公式得：|3k ＋2＋5|k 2＋1＝3，解得：k ＝－2021.。

【成才之路】高中数学 第2章 解析几何初步基础巩固 北师大版必修2

【成才之路】高中数学 第2章 解析几何初步基础巩固 北师大版必修2

【成才之路】2014-2015学年高中数学 第2章 解析几何初步基础巩固 北师大版必修2一、选择题1．已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切 C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能 [答案] A[解析] 本题考查了点与圆的位置关系．因为32－4×3＝－3<0，所以点P (3,0)在圆内，故过点P (3,0)的直线l 与圆相交． 本题不需要求解直线方程，只需判断点与圆的位置关系，便可得出答案．2．圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．0条 [答案] B[解析] 由x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0，得圆心和半径分别为O 1(－2,2)，r 1＝1. 由x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0，得圆心和半径分别为O 2(2,5)，r 2＝4.因为d (O 1，O 2)＝5，r 1＋r 2＝5，即r 1＋r 2＝d (O 1，O 2)，所以两圆外切，由平面几何知识得两圆有3条公切线．3．(广东高考)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0[答案] A[解析] 设直线方程为x ＋y ＋m ＝0，直线与圆相切，则|m |2＝1，m ＝－2或m ＝2(由直线与圆的切点在第一象限知不合题意，故舍去)，所以选A.4．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9[答案] D[解析] 设动圆圆心为(x ，y )． 当两圆内切时，x －2＋y ＋2＝4－1＝3， 即(x －5)2＋(y ＋7)2＝9； 当两圆外切时，x －2＋y ＋2＝4＋1＝5， 即(x －5)2＋(y ＋7)2＝25.故应选D.二、填空题5．已知A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x a ＋y b ＝1}，若A ∩B 是单元素集，则a ，b 满足的关系式为________．[答案] a 2＋b 2＝a 2b 2[解析] ∵A ∩B 是单元素集，∴直线x a ＋y b ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切，由点到直线的距离公式可得： |－ab |a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝a 2b 2. 6．圆心在直线2x ＋y ＝0上，且与直线x ＋y －1＝0切于点(2，－1)，则圆的方程是________________________．[答案] (x －1)2＋(y ＋2)2＝2[解析] ∵圆与直线x ＋y －1＝0相切，并切于点M (2，－1)．如图所示，则圆心必在过点M (2，－1)且垂直于x ＋y －1＝0的直线l 上，l 的方程是y ＋1＝x －2，即y ＝x －3，联立方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －3，2x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2， 即圆心O 1(1，－2)，r ＝－2＋－1＋2＝ 2. 则方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.7．一个圆过(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝13与(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1的交点，且圆心在y 轴上，则这个圆的方程为________．[答案] x 2＋y 2－2y ＋12＝0[解析] 设圆的方程为(x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋4)＋λ(x 2＋y 2＋6x ＋4y )＝0，∴圆心坐标为(－2＋3λ1＋λ，－1＋2λ1＋λ)． ∵圆心在y 轴上，∴2＋3λ＝0.∴λ＝－23，代入圆的方程化简即可． 三、解答题8．设点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上．(1)求x －2＋y 2的最小值； (2)求y ＋2x ＋1的最小值． [解析] (1)式子x －2＋y 2的几何意义是圆上的点与定点(2,0)的距离．因为圆心(0,1)与定点(2,0)的距离是22＋12＝5，圆的半径是1，所以x －2＋y 2的最小值是5－1.(2)式子y ＋2x ＋1的几何意义是点P (x ，y )与定点(－1，－2)连线的斜率．如图，当为切线l 1时，斜率最小．设y ＋2x ＋1＝k ，即kx －y ＋k －2＝0，由直线与圆相切，得|－1＋k －2|k 2＋1＝1， 解得k ＝43.故y ＋2x ＋1的最小值是43.。

【成才之路】高中数学 第二章综合素质检测 北师大版选修1-1

【成才之路】高中数学 第二章综合素质检测 北师大版选修1-1

【成才之路】2014-2015学年高中数学 第二章综合素质检测 北师大版选修1-1时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点M 与点F (3,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小2，则点M 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝－12x B ．y 2＝6x C ．y 2＝12x D ．y 2＝－6x[答案] C[解析] 由抛物线的定义知，点M 的轨迹是F 为焦点，直线x ＋3＝0为准线的抛物线，其方程为y 2＝12x .2．(2014·洛阳市期末)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( )A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 216＝1C.x 220＋y 25＝1 D.x 25＋y 220＝1 [答案] C[解析] 由椭圆过点(2,2)，排除A 、B 、D ，选C.3．(2014·山东省博兴二中质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( )A. 2B. 3 C ．2 D ．2 3[答案] B[解析] ∵抛物线y 2＝43x 的焦点(3，0)为双曲线的右焦点，∴c ＝3， 又b a＝2，结合a 2－b 2＝c 2，得a ＝1，∴e ＝3，故选B.4．(2014·宁夏银川一中二模)从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积( )A ．5B ．10C ．20 D.15[答案] B[解析] 设P (x 0，y 0)，则由抛物线定义知x 0＋1＝5， ∴x 0＝4故y 0＝4，所以S △MPF ＝12×5×4＝10.5．已知a >b >0，e 1，e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b2＝1的离心率，则lg e 1＋lg e 2( )A ．大于0且小于1B ．大于1C ．小于0D ．等于1[答案] C[解析] ∵lg e 1＋lg e 2＝lg a 2－b 2a ＋lg a 2＋b 2a＝lg a 4－b 4a 2<lg a 2a2＝lg1＝0，∴lg e 1＋lg e 2<0.6．(2014·江西文，9)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A 、O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 [答案] A[解析] 如图设双曲线的右焦点F ，右顶点B ，设渐近线OA 方程为y ＝b ax ，由题意知，以F 为圆心，4为半径的圆过点O ，A ， ∴|FA |＝|FO |＝r ＝4.∵AB ⊥x 轴，A 为AB 与渐近线y ＝b ax 的交点， ∴可求得A 点坐标为A (a ，b )．∴在Rt △ABO 中，|OA |2＝OB 2＋AB 2＝a 2＋b 2＝c ＝|OF |＝4，∴△OAF 为等边三角形且边长为4，B 为OF 的中点，从而解得|OB |＝a ＝2，|AB |＝b ＝23，∴双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.7．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60cm ，灯深40cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454xC ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y[答案] C[解析] 如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则抛物线过点(40,30)，302＝2p ×40,2p ＝452，所以抛物线的方程应为y 2＝452x ，所给选项中没有y 2＝452x ，但方程x 2＝－452y 中的“2p ”值为452，所以选项C 符合题意．8．过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条[答案] B[解析] 过P 与x 轴平行的直线y ＝1与抛物线只有一个交点；过P 与抛物线相切的直线x ＝0，y ＝14x ＋1与抛物线只有一个交点．9．(2014·山东省烟台市期末)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x2＋2相切，则此双曲线的离心率等于( )A ．2B ．3 C. 6 D ．9[答案] B[解析] 由题意双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝bax ，代入抛物线方程y ＝x 2＋2整理得x 2－b ax ＋2＝0，因渐近线与抛物线相切，∴Δ＝(－b a)2－8＝0， 即(b a)2＝8，∴此双曲线的离心率e ＝c a＝1＋b a2＝1＋8＝3.故选B.10．F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[分析] 此题若用坐标法求解运算相当繁琐，而且一时难以理出思路．本题易借助几何图形的几何性质加以解决．[答案] A[解析]延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A ，如图所示．则△APF 1是等腰三角形，∴|PF 1|＝|AP |，从而|AF 2|＝|AP |＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a .∵O 是F 1F 2的中点，Q 是AF 1的中点， ∴|OQ |＝12|AF 2|＝a .∴Q 点的轨迹是以原点O 为圆心，半径为a 的圆．故选A.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．若抛物线y 2＝mx 与椭圆x 29＋y 25＝1有一个共同的焦点，则m ＝________.[答案] ±8[解析] 椭圆焦点为(－2,0)和(2,0)，因为抛物线与椭圆有一个共同焦点，故m ＝±8. 12．已知双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与该双曲线的右支交于A ，B 两点，若|AB |＝5，则△ABF 1的周长为________．[答案] 26[解析] 由双曲线的定义，知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝8，|BF 1|－|BF 2|＝8， ∴|AF 1|＋|BF 1|－(|AF 2|＋|BF 2|)＝16. 又∵|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＝5， ∴|AF 1|＋|BF 1|＝16＋5＝21.∴△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝21＋5＝26.13．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线l ：x ＋y ＝1交于M 、N 两点，过原点与线段MN 中点的直线斜率为22，则mn＝________. [答案]22[解析] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴mx 21＋ny 21＝1① mx 22＋ny 22＝1②又y 2－y 1x 2－x 1＝－1，∴①－②得：m －n ·y 1＋y 2x 1＋x 2＝0， ∵y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝22， ∴m ＝22n ，∴m n ＝22. 14．(2014·哈三中二模)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y 2＝8x 的准线的一个交点的纵坐标为－1，则双曲线的离心率为________．[答案]52[解析] 抛物线y 2＝8x 的准线方程x ＝－2，∴交点坐标为(－2，－1)，∴双曲线的渐近线方程y ＝12x ，即b a ＝12，∴e ＝1＋b 2a 2＝52. 15．(2014·唐山市一模)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则|AB |＝________.[答案]163[解析] 设AB所在的直线y ＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －y 2＝4x 消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x 1x 2＝1，设A (x 1，y 2)，B (x 2，y 2)，∵A 到准线的距离为4，∴x 1＋1＝4，∴x 1＝3，∴x 2＝13，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝3＋13＋2＝163.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．求下列双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线；(2)以椭圆3x 2＋13y 2＝39的焦点为焦点，以直线y ＝±x2为渐近线的双曲线．[答案] (1)x 212－y 28＝1 (2)x 28－y 22＝1[解析] (1)∵双曲线x 216－y 24＝1的焦点为(±25，0)，∴设所求双曲线方程为：x 2a 2－y 220－a2＝1(20－a 2>0)又点(32，2)在双曲线上， ∴18a－420－a＝1，解得a 2＝12或30(舍去)， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.(2)椭圆3x 2＋13y 2＝39可化为x 213＋y 23＝1，其焦点坐标为(±10，0)， ∴所求双曲线的焦点为(±10，0)，设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)∵双曲线的渐近线为y ＝±12x ，∴b a ＝12，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝10－a 2a 2＝14， ∴a 2＝8，b 2＝2，即所求的双曲线方程为：x 28－y 22＝1.17．如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB |＝18m ，拱顶离水面的距离为8m ，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF .若矩形的长|CD |＝9m ，那么矩形的高|DE |不能超过多少m 才能使船通过拱桥？[答案] 6m[解析] 如图，以O 点为原点，过O 且平行于AB 的直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系．则B (9，－8)，设抛物线方程为x 2＝－2py (y >0)．∵点B 在抛物线上，∴81＝－2p ·(－8)， ∴p ＝8116，∴抛物线的方程为x 2＝－818y ，∴当x ＝92时，y ＝－2，∴|DE |＝6，∴当矩形的高|DE |不超过6m 时，才能使船通过拱桥．18．已知A 、B 、D 三点不在一条直线上，且A (－2,0)、B (2,0)，|AD →|＝2，AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AC →，求点E 的轨迹方程．[答案] x 2＋y 2＝1(y ≠0) [解析] 如图设点E 的坐标为(x ，y )， ∵AE →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴由向量加法的平行四边形法则可知，点E 为BD 的中点，连结OE ， 又O 为AB 的中点，∴OE ＝12AD ＝1.即动点E 到定点O 的距离为定值1，由圆的定义知，点E 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1(y ≠0)．[点评] 平面向量在解析几何中的应用，是高考考查的重要内容，本题借助于图形，将数与形有机地结合起来，找到了突破口，即点E 到定点O 的距离等于定值1这一关键，从而求出了动点E 的轨迹方程，充分体现了数形结合这一重要思想．19．(2014·云南景洪市一中期末)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |.(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值． [答案] (1)43 (2)22[解析] (1)求椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程式为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2设A (x 1，y 1)，B (x 1，y 1)，则A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，消去y 化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b21＋b2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1| 即43＝2|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝－b 2＋b22－－2b 21＋b2＝8b 41＋b2， 解得b ＝22. 20．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝233，过A (a,0)，B (0，－b )的直线到原点的距离是32. (1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋5(k ≠0)交双曲线于不同的点C ，D ，且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．[答案] (1)x 23－y 2＝1 (2)±7[解析] (1)双曲线的离心率e ＝c a ＝233.①过A ，B 的直线为x a －y b＝1， 即bx －ay －ab ＝0. ∵原点到直线AB 的距离为32， ∴|－ab |a 2＋b2＝ab c ＝32，②由①②，得b ＝1.∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋1a 2＝43.∴a 2＝3，∴双曲线的方程为x 23－y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 2＝1y ＝kx ＋5，得(1－3k 2)x 2－30kx －78＝0. ∴x 1＋x 2＝30k 1－3k.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，CD 的中点M (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝15k 1－3k 2， y 0＝kx 0＋5＝51－3k2. ∴MB 的斜率k MB ＝y 0＋1x 0＝－1k. ∴x 0＋ky 0＋k ＝0， 即15k 1－3k 2＋5k1－3k2＋k ＝0. 解得k 2＝7，∴k ＝±7.21．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．[答案] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ (2)k 值不存在 [解析] (1)由已知条件，直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x2＋22kx ＋1＝0.①∵直线l 与椭圆有两个不同的交点，∴Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22.即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. (2)设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)， 则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 由方程①，x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝221＋2k2.③又A (2，0)，B (0,1)，∴AB →＝(－2，1)． ∵OP →＋OQ →与AB →共线， ∴x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)，④将②③代入④式，解得k ＝22. 由(1)知k <－22或k >22，故没有符合题意的常数k . 反馈练习一、选择题1．若方程x 2a －y 2b＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则下列关系成立的是( )A.－b >aB.－b <aC.b >－aD.b <－a[答案] A[解析] 方程x 2a －y 2b＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴b <0，∴－b >a .2．“直线与双曲线有唯一的公共点”是“直线与双曲线相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 直线与双曲线有唯一的公共点⇒直线与双曲线相切或直线平行于双曲线的一条渐近线，故选B.3．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48[答案] C[解析] 设抛物线为y 2＝2px ，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线x ＝－p2，由|AB |＝2p ＝12，知p＝6，所以F 到准线距离为6，所以三角形面积为S ＝12×12×6＝36.4．等腰Rt △ABO 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2[答案] B[解析] 由抛物线的对称性质及OA ⊥OB 知，直线OA 的方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得A (2p,2p )，则B (2p ，－2p )，∴|AB |＝4p ，∴S △ABO ＝12·4p ·2p ＝4p 2.5．(2014·太原模拟)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1、F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1F 1F 2PF 2|＝，则曲线C 的离心率等于( )A.23或32B.23或2 C.12或2 D.12或32[答案] D [解析] 因为|PF 1F 1F 2PF 2|＝，所以设|PF 1|＝4x ，|F 1F 2|＝3x ，|PF 2|＝2x ，x >0.因为|F 1F 2|＝3x ＝2c ，所以x ＝23c .若曲线为椭圆，则有2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6x ， 即a ＝3x ，所以离心率e ＝c a ＝c 3x ＝c 3×23c＝12. 若曲线为双曲线，则有2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝2x ，即a ＝x ， 所以离心率e ＝c a ＝c x ＝c 23c＝32，所以选D.6．(2014·山西省高三四校联考)已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( )A ．4B ．3C ．2 D.1[答案] B[解析] 解方程2x 2－5x ＋2＝0得x ＝2或12.当e ＝2时，m <0表示焦点在x 轴上的双曲线；当e ＝12时，m >0，可表示焦点在x 轴或y 轴上的椭圆，故选B.7．已知动圆P 过定点A (－3,0)，并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．线段B ．直线C ．圆D ．椭圆[答案] D[解析] 如下图，设动圆P 和定圆B 内切于M ，则动圆的圆心P 到两点，即定点A (－3,0)和定圆的圆心B (3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA |＋|PB |＝|PM |＋|PB |＝|BM |＝8.∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，故选D.8．(2014·陕西工大附中四模)F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与双曲线的左、右两支．．．．．分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 5D.7[答案] D[解析] 如图，由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， |BF 1|－|BF 2|＝2a ，∴|AB |＝|BF 1|－|AF 1|＝|BF 1|－|AF 1|＋|AF 2|－|BF 2|＝(|BF 1|－|BF 2|)＋(|AF 2|－|AF 1|)＝4a ，∴|BF 2|＝4a ，|BF 1|＝6a ， 在△BF 1F 2中，∠ABF 2＝60°，由余弦定理，|BF 1|2＋|BF 2|2－|F 1F 2|2＝2|BF 1|·|BF 2|·cos60°，∴36a 2＋16a 2－4c 2＝24a 2，∴7a 2＝c 2， ∵e>1，∴e ＝c a＝7，故选D.9．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54 D.74[答案] C[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由|AF |＋|BF |＝3得，x 1＋x 2＋12＝3，∴x 1＋x 2＝52，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x 1＋x 22＝54. 10．(2014·银川九中一模)已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4[答案] C[解析] 由渐近线方程为y ＝x 知，b2＝1，∴b ＝2，∵点P (3，y 0)在双曲线上，∴y 0＝±1，y 0＝1时，P (3，1)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴PF 1→·PF 2→＝0，y 0＝－1时，P (3，－1)，PF 1→·PF 2→＝0，故选C.二、填空题11．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，M 是这条抛物线上的一个动点，P (3,1)是一个定点，则|MP |＋|MF |的最小值是____________．[答案] 4[解析] 过P 作垂直于准线的直线，垂足为N ，交抛物线于M ，则|MP |＋|MF |＝|MP |＋|MN |＝|PN |＝4为所求最小值．12．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为________．[答案]x 216＋y 212＝1 [解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝42m ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝16n 2＝12，∴所求椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.13．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值为________．[答案] 32[解析] 当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y 2＝4x ，得y 1＝－4，y 2＝4，∴y 21＋y 22＝32.当直线的斜率存在时，其方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝k x －，得ky 2－4y －16k ＝0，∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－16，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋32>32，综上可知y 21＋y 22≥32. ∴y 21＋y 22的最小值为32.14．(2014·天津和平区期末质检)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成两段，则此双曲线的离心率为________．[答案]233[解析] y 2＝2bx 的焦点为(b2，0)，x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点为(c,0)，由题意可知：c －b 2＝38×2c ，即c ＝2b ，而e 2＝(c a )2＝c 2a 2＝c 2c 2－b 2＝4b 23b 2＝43，则e ＝233. 15．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．[答案] [2，＋∞)[解析] 设双曲线的斜率为正的一条渐近线的斜率为k ，则k ≥3，即b a≥ 3.所以e 2＝1＋b 2a2≥1＋(3)2＝4，所以e ≥2.三、解答题16．已知三点P (5,2)，F 1(－6,0)，F 2(6,0)． (1)求以F 1、F 2为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；(2)设点P ，F 1，F 2关于直线y ＝x 的对称点分别为P ′，F ′1，F ′2，求以F ′1，F ′2为焦点且过点P ′的双曲线的标准方程；(3)求过(2)中的点P ′的抛物线的标准方程． [答案] (1)x 245＋y 29＝1(2)y 220－x 216＝1 (3)y 2＝252x 或x 2＝45y [解析] (1)由题意，可设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其半焦距c ＝6.∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝112＋22＋12＋22＝65， ∴a ＝35，b 2＝a 2－c 2＝45－36＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 245＋y 29＝1.(2)点P (5,2)，F 1(－6,0)，F 2(6,0)关于直线y ＝x 的对称点分别为P ′(2,5)，F ′1(0，－6)，F ′2(0,6)，设所求双曲线的标准方程为y 2a 1－x 2b 1＝1(a 1>0，b 1>0)，由题意知半焦距c 1＝6.∵2a 1＝||P ′F ′1|－|P ′F ′2||＝|112＋22－12＋22|＝45， ∴a 1＝25，b 21＝c 21－a 21＝36－20＝16. 故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1. (3)设抛物线方程为y 2＝2px 或x 2＝2p 1y ， ∵抛物线过P ′(2,5)， ∴25＝4p 或4＝10p 1， ∴p ＝254或p 1＝25.∴抛物线方程为y 2＝252x 或x 2＝45y .17．已知双曲线过点P (－32，4)，它的渐近线方程为y ＝±43x .(1)求双曲线的标准方程；(2)设F 1和F 2为该双曲线的左、右焦点，点P 在此双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝41，求∠F 1PF 2的余弦值．[答案] (1)x 29－y 216＝1 (2)941[解析] (1)由渐近线方程知双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为－32的点P ′的纵坐标的绝对值为4 2.∵42>4，∴双曲线的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2－y 2b2＝1.∵双曲线过点P (－32，4)， ∴18a 2－16b2＝1① 又∵b a ＝43②，由①②，得a 2＝9，b 2＝16， ∴所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，则d 1·d 2＝41.又由双曲线的几何性质知|d 1－d 2|＝2a ＝6.由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝d 21＋d 22－|F 1F 2|22d 1d 2＝d 1－d 22＋2d 1d 2－|F 1F 2|22d 1d 2＝941.18．(2014·韶关市曲江一中月考)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．[答案] (1)x 225＋y 216＝1 (2)(32，－65)[解析] (1)将点(0,4)代入椭圆C 的方程，得16b2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35，则a 2－b 2a 2＝925，∴1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x－3)代入椭圆方程得x 225＋x －225＝1，即x 2－3x －8＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝3，所以线段AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝32，纵坐标为45(32－3)＝－65，即所截线段的中点坐标为(32，－65)． 19.如右图，已知抛物线y 2＝4x ，焦点为F ，顶点为O 点，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．[答案] y 2＝x －12[解析] 设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，易求y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)， ∵M 是FQ 的中点，∴x ＝1＋x 22，y ＝y 22，∴x 2＝2x －1，y 2＝2y ，又Q 是OP 的中点． ∴x 2＝x 12，y 2＝y 12，∴x 1＝2x 2，y 1＝2y 2，∴x 1＝4x －2，y 1＝4y .∵点P 在抛物线y 2＝4x 上， ∴(4y )2＝4(4x －2)，∴点M 的轨迹方程为y 2＝x －12.20．(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A 、B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程． [答案] (1)x 24＋y 23＝1 (2)x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0[解析] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a >0，b >0)，∵c ＝1，c a ＝12，∴a ＝2，b ＝3，∴所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y23＝1.消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k3＋4k2，x 1·x 2＝－83＋4k2，由AM →＝2MB →得x 1＝－2x 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k 3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k2，消去x 2得(8k 3＋4k 2)2＝43＋4k2， 解得k 2＝14，∴k ＝±12，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.21．(2014·郑州市质检)已知平面上的动点R (x ，y )及两定点A (－2,0)，B (2,0)，直线RA 、RB 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1·k 2＝－34， 设动点R 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点S (4,0)的直线与曲线C 交于M 、N 两点，过点M 作MQ ⊥x 轴，交曲线C 于点Q . 求证：直线NQ 过定点，并求出定点坐标．[答案] (1)x 24＋y 23＝1(y ≠0) (2)D (1,0)[解析] (1)由题知x ≠±2，且k 1＝yx ＋2，k 2＝y x －2，则y x ＋2·y x －2＝－34， 整理得，曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)设NQ 与x 轴交于D (t,0)，则直线NQ 的方程为x ＝my ＋t (m ≠0)， 记N (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由对称性知M (x 2，－y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12x ＝my ＋t 消去x 得：(3m 2＋4)y 2＋6mty ＋3t 2－12＝0，所以Δ＝48(3m 2＋4－t 2)>0，且y 1,2＝－6mt ±Δ3m 2＋， 故⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6mt3m 2＋4，y 1·y 2＝3t 2－123m 2＋4，由M 、N 、S 三点共线知k NS ＝k MS ，即y 1x 1－4＝－y 2x 2－4， 所以y 1(my 2＋t －4)＋y 2(my 1＋t －4)＝0， 整理得2my 1y 2＋(t －4)(y 1＋y 2)＝0， 所以2m 3t 2－12－6mt t －43m 2＋4＝0，即24m (t －1)＝0，t ＝1，所以直线NQ 过定点D (1,0)．。

【成才之路】高中数学 第二章综合检测 新人教B版必修5

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(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的)1．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＝12，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 9的值为( ) A ．48 B ．54 C ．60 D ．66[答案] B[解析] ∵a 4＋a 6＝a 1＋a 9＝12， ∴S 9＝9a 1＋a 92＝9a 4＋a 62＝9×6＝54.2．若等比数列{a n }的公比q >0，且q ≠1，又a 1<0，那么( ) A ．a 2＋a 6>a 3＋a 5 B ．a 2＋a 6<a 3＋a 5 C ．a 2＋a 6＝a 3＋a 5D ．a 2＋a 6与a 3＋a 5的大小不能确定 [答案] B[解析] (a 2＋a 6)－(a 3＋a 5)＝(a 2－a 3)－(a 5－a 6) ＝a 2(1－q )－a 5(1－q )＝(1－q )(a 2－a 5) ＝a 1q (1－q )2(1＋q ＋q 2)． ∵q >0，且q ≠1，又a 1<0， ∴(a 2＋a 6)－(a 3＋a 5)<0. 即a 2＋a 6<a 3＋a 5.3．△ABC 中三内角A 、B 、C 成等差数列，三边a 、b 、c 成等比数列，则三内角的公差等于( )A ．0°B ．15°C ．30°D ．45°[答案] A[解析] ∵A 、B 、C 成等差数列，则B ＝60°. 又三边成等比数列，∴b 2＝ac ，则有sin 2B ＝sin A sinC . 34＝－12[cos(A ＋C )－cos(A －C )]， 即cos(A －C )＝1，∴A －C ＝0°，∴A ＝C .又∵B ＝60°，∴A ＝B ＝C ＝60°，故选A.4．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n3 C.n 22＋3n4 D ．n 2＋n[答案] A[解析] ∵a 1，a 3，a 6成等比数列，则(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋5d )，a 1d ＝4d 2，∴d ＝12，∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝2n ＋n 2－n 4＝n 24＋74n .5．某工厂去年产值为a ，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为( )A ．1.14aB ．1.15a C ．11×(1.15－1)a D ．10(1.16－1)a[答案] C[解析] 本题是等比数列实际应用问题，考查建模能力和实际问题中求通项还是前n 项和的区别能力．设从去年开始，每年产值构成数列为{a n }，则a 1＝aa n ＝a (1＋10%)n －1(1≤n ≤5)，从今年起到第5年是求该数列a 2到a 6的和应为S 6－a 1＝a 1.16－11.1－1－a ＝11×(1.15－1)a .6．212＋414＋818＋…＋102411024等于( )A ．204610231024B ．200710231024C ．104711024D ．204611024[答案] A[解析] 212＋414＋818＋…＋102411024＝(2＋4＋8＋…＋1024)＋(12＋14＋18＋…＋11024)＝21－2101－2＋12[1－1210]1－12＝211－2＋1－(12)10＝2046＋210－1210＝2046＋10231024＝204610231024.7．等差数列{a n}中，a1>0，若其前n项和为S n，且有S14＝S8，那么当S n取最大值时，n 的值为( )A．8 B．9C．10 D．11[答案] D[解析] 解法一：∵S14＝S8，∴a9＋a10＋…＋a14＝0，∴a11＋a12＝0，∵S14＝S8，a1>0，∴d≠0.故a11>0，a12<0，∴S11最大．解法二：∵a1>0，S14＝S8，∴d<0.∴点(n，S n)是抛物线上的点，且抛物线的对称轴为n＝11，抛物线的开口向下，∴n＝11时，S n取最大值，故选D.8．正项数列{a n}满足a2n＋1＝a2n＋4(n∈N*)，且a1＝1，则a7的值为( )A．4 B．5 C．6 D．7[答案] B[解析] ∵a2n＋1＝a2n＋4(n∈N*)，∴a2n＋1－a2n＝4，又a1＝1，∴a21＝1.∴数列{a2n}是首项为1，公差为4的等差数列，∴a2n＝1＋4(n－1)＝4n－3.∴a27＝4×7－3＝25，又a7>0，∴a7＝5.9．若等比数列{a n}的前n项和S n＝2010n＋t(t为常数)，则a1的值为( )A．2008 B．2009C．2010 D．2011[答案] B[解析] ∵等比数列{a n}的前n项和S n＝2010n＋t，∴a1＝S1＝2010＋t，a2＝S2－S1＝20102＋t－2010－t＝2009×2010，a3＝S3－S2＝20103＋t－20102－t＝2009×20102，又a1a3＝a22，∴(2010＋t)×2009×20102＝(2009×2010)2，∴t＝－1，∴a1＝2010＋t＝2009.10．若log32，log3(2x－1)，log3(2x＋11)成等差数列，则x的值为( )A．7或－3 B．log37C．log27 D．4[答案] C[解析] 由已知得，2log 3(2x －1)＝log 32＋log 3(2x ＋11)，整理得(2x )2－4·2x－21＝0，解得2x＝7，∴x ＝log 27.11．已知0<a <b <c <1，且a 、b 、c 成等比数列，n 为大于1的整数，则log a n ，log b n ，log c n 成( )A ．等差数列B ．等比数列C ．各项倒数成等差数列D ．各项倒数成等比数列[答案] C[解析] ∵b 2＝ac ，∴1log a n ＋1log c n ＝log n a ＋log n c＝log n (ac )＝log n b 2＝2log n b ＝2log b n. 12．把数列{2n ＋1}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环分为：(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)，(23)，(25,27)，(29,31,33)，(35,37,39,41)，(43)，…则第104个括号内各数之和为( )A ．2036B ．2048C ．2060D ．2072[答案] D[解析] 由观察会发现，每十个数都是一个循环，一个循环里有10个数组成，104个括号有26个小循环，则第104个括号内有四个数，则这四个数为数列3,5,7,9…的第257项，第258项，第259项，第260项，分别为3＋(257－1)×2,3＋(258－1)×2,3＋(259－1)×2,3＋(260－1)×2，即515,517,519,521，其和为2072.二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．已知{a n }为等差数列，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________. [答案] 15[解析] 由等差数列的性质得，a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝22，又a 6＝7，a 5＝22－7＝15. 14．已知数列1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值为________． [答案] 52[解析] a 1＋a 2＝5，b 22＝1×4，b 2＝±2，而b 2是第三项，第一项和第五项都是正数，故b 2＝2， ∴a 1＋a 2b 2＝52.15．(2011·湖北理)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．[答案]6766[解析] 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.16．在等差数列{a n }中，S n 为它的前n 项和，若a 1＞0，S 16＞0，S 17＜0, 则当n ＝________时，S n 最大．[答案] 8 [解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧S 16＝16a 1＋a 162＝8a 8＋a 9＞0S 17＝17a 1＋a 172＝17a 9＜0，∴a 8＞0而a 1＞0，∴数列{a n }是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列，从而n ＝8时，S n 最大．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1022，求公差d .[解析] ∵a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n n －12d ，又a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1022， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n －1d ＝－512 ①n ＋12n n －1d ＝－1022 ②把(n －1)d ＝－513代入②，得n ＋12n ·(－513)＝－1022，解得n ＝4，∴d ＝－171.18．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和为S n ＝2－2a n ，n ∈N *.求证：数列{a n }为等比数列，并求通项a n .[证明] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－2a 1，∴a 1＝23；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2－2a n )－(2－2a n －1) ＝2a n －1－2a n .∴a n a n －1＝23. 故{a n }是以 a 1＝23为首项，以q ＝23为公比的等比数列．∴a n ＝a 1qn －1＝(23)n. 19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝1，S 11＝33. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(14)a n .求证：{b n }是等比数列，并求其前n 项和T n .[解析] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1S 11＝33，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝111a 1＋11×102d ＝33，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12d ＝12，∴a n ＝n2.(2)∵b n ＝(14)n 2 ＝12n ，∴b n ＋1b n ＝12，∴{b n }是以b 1＝12为首项，12为公比的等比数列，前n项和T n ＝121－12n 1－12＝1－12n .20．(本小题满分12分)设数列{a n }满足a 1＝1,3(a 1＋a 2＋…＋a n )＝(n ＋2)a n ，求通项a n .[解析] ∵3(a 1＋a 2＋…＋a n )＝(n ＋2)a n ， ∴3S n ＝(n ＋2)a n ，∴3S n －1＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)，两式相减，得 3a n ＝(n ＋2)a n －(n ＋1)a n －1， ∴(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1，即a n a n －1＝n ＋1n －1(n ≥2)．∴a 2a 1＝31，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n a n －1＝n ＋1n －1(n ≥2)，将以上各式相乘，得 a n a 1＝n n ＋12，又a 1＝1，∴a n ＝n n ＋12. 又a 1＝1满足上式，∴a n ＝n n ＋12(n ∈N *)．21．(本小题满分12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项的和为S n ，且210S 30－(210＋1)·S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项； (2)求{nS n }的前n 项和T n .[解析] (1)解法一：当q ＝1时，S 10＝10a 1，S 20＝20a 1，S 30＝30a 1， ∴210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝210·30a 1－(210＋1)·20a 1＋10a 1 ＝210·30a 1－210·20a 1－20a 1＋10a 1 ＝10a 1·210－10a 1＝10a 1(210－1)， ∵a 1>0，∴10a 1(210－1)≠0.∴q ≠1. 由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0得210· a 11－q 301－q －(210＋1) · a 11－q 201－q ＋a 11－q 101－q＝0，∴210(1－q 30)－(210＋1)·(1－q 20)＋1－q 10＝0， ∴210－210q 30－210＋210q 20－1＋q 20＋1－q 10＝0， 即q 10(q 10－1)(210q 10－1)＝0，∴210q 10－1＝0，∴210q 10＝1，∵q >0，∴q ＝12.∴a n ＝a 1qn －1＝12·(12)n －1＝12n . 解法二：由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，得 210(S 30－S 20)＝S 20－S 10，即210(a 21＋a 22＋…＋a 30)＝a 11＋a 12＋…＋a 20. 可得210·q 10(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝a 11＋a 12＋…＋a 20. ∵a n >0，∴210q 10＝1.解得q ＝12.故a n ＝a 1qn －1＝12n ，(n ＝1,2…) (2)因为{a n }是首项a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，故S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n ，nS n ＝n －n2n .则数列{nS n }的前n 项和T n ＝(1＋2＋…＋n )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋222＋…＋n 2n ， ①T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1. ②①－②，得T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＋n 2n ＋1＝n n ＋14－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＋n 2n ＋1，即T n ＝n n ＋12－2＋12n －1＋n 2n .22．(本小题满分14分)已知f (x )＝3x 2－2x ，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .[解析] (1)由点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上得S n ＝3n 2－2n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝1＝1，满足上式． 所以a n ＝6n －5(n ∈N *)． (2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝36n －5[6n ＋1－5]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12[1－17＋17－113＋113－119＋…＋16n －5－16n ＋1]＝12－126n ＋1<12.因此，使得12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1<m 20(n ∈N *)成立的m 必须且仅须满足12≤m 20，即m ≥10，故满足要求的最小整数m ＝10.。

(成才之路)人教A版数学必修2练习第二章综合检测题

(成才之路)人教A版数学必修2练习第二章综合检测题

第二章综合检测题时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(09·湖南文)平面六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A．3B．4C．5 D．6[答案] C[解析]AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与AB平行与CC1相交的有：CD、C1D1与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1，第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条．2．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．平行B．相交C．垂直D．异面[答案] C[解析]1°直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；2°l⊂α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错；3°l∥α时，在α内不存在直线与l相交．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．3．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1、h2、h，则h1h2h＝()A.3∶1∶1B.3∶2∶2C.3∶2∶ 2D.3∶2∶ 3[答案] B[解析]如图，三棱锥A－A1B1C1与四棱锥A－BCC1B1的各棱长全都相等，拼成三棱柱ABC－A1B1C1，其中BCC1B1为正方形．显然三棱柱的高h与三棱锥A－A1B1C1的高h2相等．设棱长为a ，则∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－ABC ＝VA －BCC 1 ＝12VA －BCC 1B 1， ∴13·34a 2h 2＝16a 2·h 1，即h 1h 2＝3，故选B.4．设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题： ① ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥M ⇒b ⊥M ② ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥M b ⊥M ⇒a ∥b ③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥M a ⊥b ⇒b ∥M ④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥M a ⊥b ⇒b ⊥M 其中正确的命题是( ) A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②④[答案] A[解析] 由线面垂直的判定定理的推论及性质定理可知①②正确；③可能有b ⊂M ；④b 与M 各种位置关系都有可能，选A.5．若一个正n 边形的两条对角线与平面α平行，则此n 边形所在平面β也与α平行，那么此正n 边形可以是( )A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形[答案] A[解析] ∵正六边形，正八边形，正七边形中总存在相互平行的对角线，当这两条对角线与α平行时，β与α不一定平行，∴选A.6．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D －ABC 的体积为( )A.a 36 B.a 312 C.312a 3D.212a 3 [答案] D[解析] 设AC 与BD 交点为E ， 则DE ＝BE ＝22a ，又∵折起后BD ＝a ，∴BD 2＝DE 2＋BE 2，故△BDE 是直角三角形，于是V D －ABC ＝13×12a 2×22a ＝212a 3.7．给出下列命题，①夹在两个平面间的平行线段相等，则此二平面必平行； ②两平面分别与第三个平面相交且交线平行，那么此二平面平行；③如果两条相交直线a 、b 与另两条相交直线c ，d 分别平行(即a ∥c ，b ∥d )，那么a 、b 所在平面与c ，d 所在平面平行；④两个不重合平面α、β中，一个平面α内不共线三点到另一个平面β的距离相等，那么α∥β.其中正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] A[解析] 如图(一)α∩β＝l ，AC ⊂α，BD ⊂β，AC ∥BD ∥l ，AB 綊CD ，故①错；如图(二)，三棱柱两侧面α，β都与第三个侧面γ相交，α∩γ＝l 1，β∩γ＝l 2，l 1∥l 2，∴②错；如图(三)，平面α内，a ∩b ＝A ，c ∩d ＝B ，a ∥c ，b ∥d ，故③错；如图(四)α∩β＝l ，A ，B ，C ∈α，A ，B ，C 到l 的距离都相等，此时A ，B ，C 到β的距离也都相等，∴④错．8．(09～10学年济南市高考模拟)一个正三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的全面积为( )A ．24＋ 3B ．24＋2 3C ．14 3D ．12 3 [答案] B[解析] 由三视图可知，该正三棱柱的侧棱长为4，底面正三角形的高为3，则底面三角形的边长为2，所以该棱柱的全面积S ＝(2×3)×4＋2×⎝⎛⎭⎫12×2×3＝24＋2 3. 9．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的余弦值为( )A.33B.13 C ．0D ．－12[答案] C[解析] 取BC 中点E ，连AE 、DE ，可证BC ⊥AE ，BC ⊥DE ，∴∠AED 为二面角A －BC －D 的平面角又AE ＝ED ＝2，AD ＝2，∴∠AED ＝90°，故选C.10．如图所示，点P 在正方形ABCD 所在平面外，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ，则PB 与AC 所成的角是( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°[答案] B[解析] 将其还原成正方体ABCD －PQRS ，显见PB ∥SC ，△ACS 为正三角形，∴∠ACS ＝60°.11．半径为2cm 的半圆纸片卷成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面( )A ．4cmB ．2cmC ．23cm D.3cm [答案] D[解析] 半圆弧的长等于圆锥O 1O 的底面圆O 周长，∴2π＝2π·OA 1，∴OA 1＝1， 又l ＝2，∴∠A 1O 1O ＝30°，∴∠BO 1A 1＝60°， 设B 在桌面上射影为D ，则BD ＝l ·sin60°＝3cm.12．空间A 、B 、C 、D 四点不共面，平面α与A 、B 、C 、D 四点的距离相等，这样的平面α有( )A ．0个B ．4个C ．3个D ．7个[答案] D[解析] 三个点在一侧，另一点在α的另一侧(A ，B ，C )与D ，(A ，B ，D )与C ，(A ，C ，D )与B ，(B ，C ，D )与A ；两个点在α的一侧，另两点在α的另一侧，(A ，B )与(C ，D )，(A ，C )与(B ，D )，(A ，D )与(B ，C )如图所示：一类如：B ，C ，D 所在平面β与α平行，A ，B 到α距离AA ′＝BB ′， 另一类如：AB ∥α，CD ∥α，B ，D 到α距离BB ′＝DD ′.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别是E 、F 、G 、H ，若BD ⊥AC ，且BD 、AC 的长分别为2和4，则EG 2＋HF 2的值是__________．[答案] 10[解析] EH ∥BD ，EF ∥AC ，∵BD ⊥AC ，∴EF ⊥EH ，四边形EFGH 为矩形， EH ＝12BD ＝1，EF ＝12AC ＝2，∴EG 2＋HF 2＝2(EH 2＋EF 2)＝10.14．直线AB 、AD ⊂α，直线CB 、CD ⊂β，点E ∈AB ，点F ∈BC ，点G ∈CD ，点H ∈DA ，若直线HE ∩FG ＝M ，则点M 必在直线__________上．[答案] BD[解析] 如图，∵HE ∩FG ＝M ，∴M 是α与β公共点，又α∩β＝BD ，∴M ∈BD .15．如图，四棱锥S －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱SB ⊥底面ABCD ，并且SB ＝3，用α表示∠ASD ，则sin α＝________.[答案]55[解析] 由已知得SA ＝2，SD ＝5，AD ＝1， ∴sin α＝AD SD ＝55.16．由直线x ＝0，y ＝2，y ＝x 所围成的封闭图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的表面积等于__________．[答案] 4(3＋2)π[解析] 如图，直线x ＝0即y 轴和直线y ＝x ，y ＝2围成直角三角形OAB ，OA ＝2，AB ＝2，绕x 轴旋转一周形成旋转体的表面积，由以下三部分构成，①OA 旋转形成圆柱的底面面积S 1＝π·OA 2＝4π； ②AB 旋转形成圆柱的侧面面积S 2＝2π×2×2＝8π；③OB 旋转形成圆锥的侧面∵OB ＝22，∴S 3＝π×2×22＝42π，∴S ＝S 1＋S 2＋S 3＝12π＋42π＝4(3＋2)π.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，M、N分别为AB和CD 的中点，求证：MN∥β.[解析]条件中没有明确AB、CD是否共面，故应分两种情况讨论．当AB、CD不共面时，解决问题的方法是添加分别与AB、CD共面的第三线(即空间四边形ABDC的对角线)，将空间问题转化为平面问题是解决立体几何问题的重要策略．于是：(1)若AB与CD共面，则由MN∥BD∥AC，知MN∥β.(2)若AB与CD异面(图)，连AD，取AD中点F，连NF、MF.在△ABD中，MF是中位线，∴MF∥BD，∴MF∥β，同理FN∥β.∴面MNF∥β.又MN⊂面MNF，∴MN∥β.由(1)、(2)知，MN∥β.18．(本小题满分12分)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上有两点A，B，线段AD⊂α，线段BC⊂β，并且AD⊥l，BC⊥l，如果AB＝3，BC＝4，AD＝5，求CD的长．[解析]∵BC⊥l，∴△ABC为Rt△，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，又AD⊥l，α⊥β，AD ⊂α，∴AD⊥β，又AC⊂β，∴AD⊥AC，在Rt△DAC中，AD＝5，AC＝5，∴CD＝5 2.19．(本小题满分12分)(09·北京文)如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；(2)当PD＝2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．[解析](1)∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC.∴AC⊥平面PDB.∴平面AEC⊥平面PDB.(2)设AC ∩BD ＝O ，连接OE . 由(1)知AC ⊥平面PDB 于O .∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角． ∵O ，E 分别为DB ，PB 的中点， ∴OE ∥PD ，OE ＝12PD .又∵PD ⊥底面ABCD ，∴OE ⊥底面ABCD ，OE ⊥AO . 在Rt △AOE 中，OE ＝12PD ＝22AB ＝AO ，∴∠AEO ＝45°，即AE 与平面PDB 所成的角为45°.[点评] 新课标对立体几何的难度要求降低了许多，对三种角(异面直线所成的角，线面角，二面角)只要了解最基本的最简单易找的就可以，不要增大难度，重点在线线、线面、面面平行与垂直上下功夫，请再练习下题：如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形．已知AB ＝3，AD ＝2，P A ＝2，PD ＝22，∠P AB ＝60°.(1)证明AD ⊥平面P AB ；(2)求异面直线PC 与AD 所成的角的正切； (3)求二面角P －BD －A 的正切．[解析] (1)∵P A ＝2，AD ＝2，PD ＝22，∴P A 2＋AD 2＝PD 2，∴AD ⊥P A .在矩形ABCD 中，AD ⊥AB .又P A ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面P AB .(2)由题设，BC ∥AD ，所以∠PCB (或其补角)是异面直线PC 与AD 所成的角． 在△P AB 中，由P A ＝2，AB ＝3，∠P AB ＝60°得，PB ＝7. 由(1)知AD ⊥平面P AB ，PB ⊂平面P AB ，所以AD ⊥PB ，因而BC ⊥PB ，于是△PBC 是直角三角形，故tan ∠PCB ＝PB BC ＝72.(3)过点P 作PH ⊥AB 于H ，过点H 作HE ⊥BD 于E ，连结PE . 因为AD ⊥平面P AB ，PH ⊂平面P AB ， 所以AD ⊥PH .又AD ∩AB ＝A ， 因而PH ⊥平面ABCD ，∴PH ⊥BD ， ∴BD ⊥平面PHE ，∴BD ⊥PE .从而∠PEH 是二面角P －BD －A 的平面角． 由题设可得，PH ＝P A ·sin60°＝3，AH ＝P A ·cos60°＝1， BH ＝AB －AH ＝2，BD ＝AB 2＋AD 2＝13， HE ＝AD BD ·BH ＝413.于是在Rt △PHE 中，tan ∠PEH ＝PH HE ＝394.20．(本小题满分12分)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点．试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F .[分析] 若D 1E ⊥平面AB 1F ，则应有D 1E ⊥AB 1，D 1E ⊥AF ，若D 1E ⊥AB 1，则由于AB 1⊥A 1B ，∴AB 1⊥平面A 1BCD 1，这一点不难获证；若D 1E ⊥AF ，∵AF ⊥D 1D ，∴AF ⊥平面D 1DE ，于是只须AF ⊥DE .∵E 为BC 中点，四边形ABCD 为正方形，故只须F 为CD 中点即可．[解析] 取CD 中点F ，∵ABCD 为正方形，E 为BC 中点，∴AF ⊥DE ；∵AF ⊥D 1D ，D 1D ∩DE ＝D ，∴AF ⊥平面D 1DE ，∴AF ⊥D 1E ；∵A 1B ⊥AB 1，AB 1⊥A 1D 1，A 1D 1∩A 1B ＝A 1， ∴AB 1⊥平面A 1BCD 1，又D 1E ⊂平面A 1BCD 1，∴AB 1⊥D 1E ， ∵AB 1∩EF ＝A ，∴D 1E ⊥平面AB 1F .21．(本小题满分12分)(2010·辽宁文，19)如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，B 1C ⊥A 1B .(1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；(2)设D 是A 1C 1上的点，且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D DC 1的值． [解析] (1)因为侧面BCC 1B 1是菱形，所以B 1C ⊥BC 1， 又已知B 1C ⊥A 1B ，且A 1B ∩BC 1＝B ， 所以B 1C ⊥平面A 1BC 1，又B 1C ⊂平面AB 1C 所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1 .(2)设BC 1交B 1C 于点E ，连结DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线．因为A 1B ∥平面B 1CD ，A 1B ⊂平面A 1BC 1，平面A 1BC 1∩平面B 1CD ＝DE ，所以A 1B ∥DE . 又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点． 即A 1D ∶DC 1＝1.22．(本小题满分14分)(09·福建文)如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求证：AB⊥DE；(2)求三棱锥E－ABD的体积．[解析](1)证明：在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，作BH⊥AD，垂足为H，则BH＝3，AH＝1，∴DH ＝3，∴BD＝BH2＋DH2＝2 3.∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.又∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD.∴AB⊥平面EBD.∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.(2)解：由(1)知AB⊥平面BDE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴S△BDE＝S△ABD＝12AB·BD＝12×2×42－22＝23，∴V E－ABD＝V A－BDE＝13×S△BDE×AB＝433.高∴考-试╬题﹥库。

《成才之路》2015-2016学年人教B版高中数学必修2习题第二章平面解析几何初步2.2.2第1课时Word版含解析

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第二章 2.2.2 第1课时一、选择题1．在x 轴上截距为2，在y 轴上截距为－2的直线方程为( ) A ．x －y ＝2 B ．x －y ＝－2 C ．x ＋y ＝2 D ．x ＋y ＝－2[答案] A[解析] 所求直线方程为x 2＋y－2＝1，即x －y ＝2.2．若过原点的直线l 的斜率为－3，则直线l 的方程是( ) A ．x －3y ＝0 B ．x ＋3y ＝0 C ．3x ＋y ＝0 D ．3x －y ＝0 [答案] C[解析] 由点斜式方程可得直线l 的方程为y ＝－3x ，即3x ＋y ＝0. 3．与直线3x －2y ＝0的斜率相等，且过点(－4,3)的直线方程为( ) A ．y －3＝32(x ＋4)B ．y ＋3＝32(x －4)C ．y －3＝－32(x ＋4)D ．y ＋3＝－32(x －4)[答案] A[解析] ∵直线3x －2y ＝0的斜率为32，所求直线过点(－4,3)，故其方程为y －3＝32(x ＋4)．4．(2015·广东清远市高一期末测试)过点(1,2)且斜率为3的直线方程为( ) A ．y ＝3x －3 B ．y ＝3x －2 C ．y ＝3x －1 D ．y ＝x －1 [答案] C[解析] 由题意可得所求直线的方程为y －2＝3(x －1)，即y ＝3x －1.5．直线y ＝－2x －7在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a 、b 的值是( ) A ．a ＝－7，b ＝－7 B ．a ＝－7，b ＝－72C ．a ＝－72，b ＝7D ．a ＝－72，b ＝－7[答案] D[解析] 令x ＝0，得y ＝－7，即b ＝－7， 令y ＝0，得x ＝－72，即a ＝－72.6．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 为( ) A ．1 B ．2 C ．－12D ．2或－12[答案] D[解析] 由题知直线过点(1,0)， ∴2m 2＋m －3＝4m －1， 则m ＝－12或m ＝2.二、填空题7．直线y ＝32x －2的截距式方程是________．[答案] x 43＋y－2＝1[解析] 令x ＝0，得y ＝－2， 令y ＝0，得x ＝43，故直线y ＝32x －2的截距式方程是x 43＋y－2＝1.8．直线l 过点(－1，－1)和(2,5)，点(1 007，b )在直线l 上，则b 的值为________． [答案] 2 015[解析] 由直线的两点式得方程y ＋16＝x ＋13，点(1 007，b )在直线l 上，则有b ＋16＝1 007＋13，解得b ＝2 015. 三、解答题9．求与两坐标轴围成面积是12，且斜率为－32的直线方程．[解析] 设直线方程为y ＝－32x ＋b ，令y ＝0得x ＝23b ，由题意知12·|b |·|23b |＝12，∴b 2＝36，∴b ＝±6，∴所求直线方程为y ＝－32x ±6.10．如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李，行李费用y (元)与行李质量x (kg)的关系用直线AB 的方程表示．试求：(1)直线AB 的方程；(2)旅客最多可免费携带多少行李？[解析] (1)由图知，点A (60,6)、B (80,10)在直线AB 上．所以由直线方程的两点式或斜截式可求得直线AB 的方程为x －5y －30＝0. (2)依题意，令y ＝0，得x ＝30. 即旅客最多可免费携带30 kg 行李.一、选择题1．直线bx ＋ay ＝1(b ≠0)在x 轴上的截距是( ) A ．1bB ．bC ．1|b |D ．|b |[答案] A[解析] 令y ＝0，得bx ＝1，∵b ≠0， ∴x ＝1b，故选A ．2．方程y ＝ax ＋1a表示的直线可能是( )[答案] B[解析] 直线的斜率和截距同号，由图象选B. 3．经过A (2,1)、B (6，－2)两点的直线方程不是( ) A ．y －1＝－34(x －2)B ．3x ＋4y －10＝0C ．x 103＋y52＝1D ．y －11＋2＝x －26－2[答案] D[解析] 经过A (2,1)、B (6，－2)两点的直线方程为y －1－2－1＝x －26－2，故D 不对．4．已知过点A (－2，m ＋1)和B (m,3)的直线与直线y ＝－2x ＋1的斜率相等，则m 的值为( )A ．0B ．－6C ．2D ．10[答案] B[解析] 由题意，得m ＋1－3－2－m ＝－2，解得m ＝－6.二、填空题5．(2015·广东珠海市高一期末测试)过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．[答案] 2x －y ＝0或x ＋y －3＝0[解析] 当截距为0时，其方程为y ＝2x ； 当截距不为0时，设其方程为x a ＋ya ＝1，∴1a ＋2a＝1， ∴a ＝3，故所求方程为x ＋y －3＝0.6．已知直线l 方程为y ＋1＝25(x －52)，且l 的斜率为a ，在y 轴上的截距为b ，则|a ＋b |等于________．[答案] 85[解析] 由y ＋1＝25(x －52)得y ＝25x －2，∴a ＝25，b ＝－2，∴|a ＋b |＝85.三、解答题7．求斜率为34且与两坐标轴围成的三角形周长为12的直线方程．[解析] 设直线方程为y ＝34x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－43b .∴|b |＋|－43b |＋b 2＋(－43b )2＝12.∴|b |＋43|b |＋53|b |＝12，∴b ＝±3.∴所求直线方程为y ＝34x ±3.8．已知直线l 经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程． [解析] 依题意，直线l 的斜率存在且不为0，设其斜率为k ，则可得直线的方程为y ＋2＝k (x －3)．令x ＝0，得y ＝－2－3k ；令y ＝0，得x ＝2k＋3.由题意得－2－3k ＝3＋2k ，解得k ＝－1或k ＝－23.∴l 的方程为y ＋2＝－(x －3)或y ＋2＝－23(x －3)．即为y ＝－x ＋1或y ＝－23x .9．有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10 min 内只进水，不出水，在随后的30 min 内既进水又出水，得到时间x (min)与水量y (L)之间的关系如图所示．求y 与x 的函数关系．[解析] 当0<x <10时，直线段过点O (0,0)、A (10,20)．∴k OA ＝2010＝2.∴此时方程为y ＝2x .当10≤x ≤40时，直线段过点A (10,20)、B (40,30)， ∴k AB ＝30－2040－10＝13.∴此时方程为y －20＝13(x －10)即y ＝13x ＋503.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (0<x <10)13x ＋503(10≤x ≤40).。

【成才之路】高中数学 2.2.4平面与平面平行的性质练习 新人教A版必修2

【成才之路】高中数学 2.2.4平面与平面平行的性质练习 新人教A版必修2

【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.2.4平面与平面平行的性质练习新人教A版必修2基础巩固一、选择题1．若两个平面与第三个平面相交有两条交线且两条交线互相平行，则这两个平面( ) A．有公共点B．没有公共点C．平行D．平行或相交[答案] D2．有一正方体木块如图所示，点P在平面A′C′内，棱BC平行于平面A′C′，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，则N为( )A．0 B．1C．2 D．无数[答案] B[解析] ∵BC∥平面A′C′，∴BC∥B′C′，在平面A′C′上过P作EF∥B′C′，则EF∥BC，∴沿EF、BC所确定的平面锯开即可．又由于此平面唯一确定，∴只有一种方法，故选B．3．下列命题中不正确的是( )A．平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线[答案] A[解析] 对于A，直线a可能与β平行，也可能在β内，故A不正确；三角形的两条边必相交，这两条相交边所在直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知B，D也正确，故选A．4．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理正确的是( )A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥bB．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥βC ．a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α⇒α∥βD ．α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b [答案] D[解析] 选项A 中，α∩β＝a ，b ⊂α，则a ，b 可能平行也可能相交，故A 不正确； 选项B 中，α∩β＝a ，a ∥b ，则可能b ∥α且b ∥β，也可能b 在平面α或β内，故B 不正确；选项C 中，a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α，根据面面平行的判定定理，再加上条件a ∩b ＝A ，才能得出α∥β，故C 不正确；选项D 为面面平行性质定理的符号语言，故选D ．5．已知两条直线m ，n 两个平面α，β，给出下面四个命题： ①α∩β＝m ，n ⊂α⇒m ∥n 或者m ，n 相交； ②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ； ③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α；④α∩β＝m ，m ∥n ⇒n ∥β且n ∥α. 其中正确命题的序号是( ) A ．① B ．①④ C ．④ D ．③④[答案] A6．平面α∥平面β，△ABC ，△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′，BB ′，CC ′共点于O ，O 在α、β之间．若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，OA OA ′＝，则△A ′B ′C ′的面积为( )A ．39B ．33 C ．239D ．233[答案] C[解析] 如图∵α∥β，∴BC ∥B ′C ′，AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′， 且由AB A ′B ′＝OA OA ′＝32知相似比为32， 又由AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，知S △ABC ＝12AB ·CD ＝12AB ·(AC ·sin60°)＝32，∴S △A ′B ′C ′＝239.二、填空题7．(2015·东莞模拟)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH 为截面，则四边形EFGH 的形状为________.[答案] 平行四边形[解析] ∵平面ABFE ∥平面CDHG ， 又平面EFGH ∩平面ABFE ＝EF ， 平面EFGH ∩平面CDHG ＝HG ， ∴EF ∥HG . 同理EH ∥FG ，∴四边形EFGH 的形状是平行四边形．8．已知平面α∥平面β，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，直线AB ，CD 交于点S ，且SA ＝8，SB ＝9，CD ＝34.(1)若点S 在平面α，β之间，则SC ＝________. (2)若点S 不在平面α，β之间，则SC ＝________. [答案] (1)16 (2)272[解析] (1)如图a 所示，因为AB ∩CD ＝S ，所以AB ，CD 确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD ．因为α∥β，所以AC ∥BD ．于是SA SB ＝SC SD ，即SA AB ＝SC CD. 所以SC ＝SA ·CD AB ＝8×349＋8＝16.(2)如图b 所示，同理知AC ∥BD ，则SA SB ＝SC SD， 即89＝SC SC ＋34，解得SC ＝272. 三、解答题9. (2013·山东)如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E 为PB 的中点．求证：CE ∥平面PAD ．[分析] 证明线面平行，有两种思路：(1)利用线面平行的判定定理，通过线线平行证明线面平行；(2)利用面面平行的性质，证明线面平行．所以本题可以从两个角度考虑，一是在平面PAD 中找与CE 平行的直线，二是构造过CE 且与平面PAD 平行的平面．[解析] 方法一：如图所示，取PA 的中点H ，连接EH ，DH .因为E 为PB 的中点， 所以EH ∥AB ，EH ＝12AB ．又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以EH ∥CD ，EH ＝CD ．因此四边形DCEH 是平行四边形， 所以CE ∥DH .又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ， 因此CE ∥平面PAD ．方法二：如图所示，取AB 的中点F ，连接CF ，EF ，所以AF ＝12AB ．又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD ．又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形， 因此CF ∥AD ．又CF ⊄平面PAD ，所以CF ∥平面PAD ．因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥PA ． 又EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ． 因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面PAD ． 又CE ⊂平面CEF ，所以CE ∥平面PAD ．10.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ 与平面PAO 平行？[解析] 如图，设平面D 1BQ ∩平面ADD 1A 1＝D 1M ，点M 在AA 1上，由于平面D 1BQ ∩平面BCC 1B 1＝BQ ，平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，由面面平行的性质定理可得BQ ∥D 1M .假设平面D 1BQ ∥平面PAO ，由平面D 1BQ ∩平面ADD 1A 1＝D 1M ，平面PAO ∩平面ADD 1A 1＝AP ，可得AP ∥D 1M ，所以BQ ∥AP .因为P 为DD 1的中点，所以Q 为CC 1的中点．故当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO .能力提升一、选择题1．若AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线AC 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．AC 在此平面内D ．平行或相交[答案] A[解析] 利用中位线性质定理得线线平行，进而得直线与平面平行． 2．下列说法正确的个数是( )①夹在两个平行平面间的平行线段长度相等；②夹在两个平行平面间的等长线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个也平行；④平行于同一条直线的两个平面平行．A．1 B．2C．3 D．4[答案] A[解析] 只有①正确．②中的两条线段还可能相交或异面；③中的直线还可能在另一个平面内；④中的两个平面还可能相交．3．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，过点B的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线[答案] D[解析] 由直线a和点B确定一个平面γ，γ∩β＝b，则b就是唯一的一条满足条件的直线，选D．4．设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C( )A．不共面B．不论A、B如何移动，都共面C．当且仅当A、B分别在两直线上移动时才共面D．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面[答案] B二、填空题5．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________.[答案] 平行四边形[解析] ∵平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，∴AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1，又A1B1∥C1D1，∴AB∥CD，同理可证AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．6.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列结论中正确的为________.①AC ⊥BD ； ②AC ∥截面PQMN ； ③AC ＝BD ；④异面直线PM 与BD 所成的角为45°. [答案] ①②④[解析] ∵MN ∥PQ ，∴PQ ∥平面ACD ，又平面ACD ∩平面ABC ＝AC ，∴PQ ∥AC ，从而AC ∥截面PQMN ，②正确；同理可得MQ ∥BD ，故AC ⊥BD ，①正确；又MQ ∥BD ，∠PMQ ＝45°，∴异面直线PM 与BD 所成的角为45°，故④正确．根据已知条件无法得到AC ，BD 长度之间的关系．故填①②④.三、解答题7．(2015·广东汕头模拟)直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝2CD ＝2.若P 为A 1B 1的中点，求证：DP ∥平面ACB 1，且DP ∥平面BCB 1.[证明] 由P 为A 1B 1的中点，得PB 1∥AB ，且PB 1＝12AB ．又∵DC ∥AB ，DC ＝12AB ，∴DC ∥PB 1，且DC ＝PB 1. ∴四边形DCB 1P 为平行四边形． 从而CB 1∥DP .又CB 1⊂面ACB 1，DP ⊄面ACB 1，所以DP ∥面ACB 1. 同理，DP ∥平面BCB 1.8．如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)若MN ＝BC ＝4，PA ＝43，求异面直线PA 与MN 所成的角的大小． [解析] (1)取PD 的中点H ，连接AH ，NH ，∵N 是PC 的中点，∴NH 綊12DC ．由M 是AB 的中点，且DC 綊AB ，∴NH 綊AM ，即四边形AMNH 为平行四边形． ∴MN ∥AH .由MN ⊄平面PAD ，AH ⊂平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD ．(2)连接AC 并取其中点O ，连接OM 、ON ， ∴OM 綊12BC ，ON 綊12PA ．∴∠ONM 就是异面直线PA 与MN 所成的角， 由MN ＝BC ＝4，PA ＝43，得OM ＝2，ON ＝2 3. ∴MO 2＋ON 2＝MN 2，∴∠ONM ＝30°， 即异面直线PA 与MN 成30°的角．。

高中数学 第二章 平面解析几何初步过关测试卷 新人教B

高中数学 第二章 平面解析几何初步过关测试卷 新人教B

2014-2015学年高中数学 第二章 平面解析几何初步过关测试卷 新人教B 版必修2（100分，60分钟）一、选择题(每题5分，共30分）1. 过点P (1,2)，且与原点O 距离最大的直线l 的方程是( ) A.2x +y -4＝0 B.x +2y -5＝0 C.x +3y -7＝0 D.x -2y +3＝02. Rt △ABO 的三个顶点分别为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，则其内切圆的方程为( )A.(x -1) 2+(y +2) 2＝4B.()221112x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭C.225224x y ⎛⎛-+-= ⎝⎭⎝⎭D.222x y ⎛⎛+-= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3. 已知直线l 的方程为f (x ，y )＝0，P 1 (x 1，y 1)和P 2 (x 2，y 2)分别是直线l 上和直线l 外的点，则方程f (x ，y )-f (x 1，y 1)-f (x 2，y 2)＝0表示( ) A.与l 重合的直线 B.过点P 1与l 垂直的直线 C.过点P 2且与l 平行的直线 D.不过点P 2但与l 平行的直线4. M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝a 2 (a ＞0)内异于圆心的一点，则直线x 0 x ＋y 0 y ＝a 2与 该圆的位置关系为( )A.相切B.相交C.相离D.相切或相交 5. 点P (x ,2,1)到点A (1,1,2)、B (2,1,1)的距离相等，则x 等于( ) A.12 B.1 C.32 D.2 6. 若a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点 ( )A.（-16，12）B.（12，-16）C.（12，16）D.（16，-12） 二、填空题（每题5分，共20分）7. 设点P 在直线x +3y ＝0上，且P 到原点的距离与P 到直线x +3y ＝2的距离相 等，则点P 的坐标为_________．8. 圆(x -2)2 + (y +1)2＝4上的点到直线x -y +2＝0的最近、最远距离分别是_______．9. 已知a ，b ∈R ，且a ＋b ＋1＝0，则(a -2)2＋(b -3)2的最小值是_________.10. 将圆x 2＋y 2＝1沿x 轴正方向移动1个单位长度后得到圆C ，则圆C 的方程 是，若过点(3,0)的直线l 和圆C 相切，则直线l 的斜率是__________． 三、解答题（11，12题每题12分，其余每题13分，共50分） 11．如图1，已知△ABC 的顶点为A (2, 4)，B (0，-2)，C (-2, 3)， 求：(1) AB 边上的高所在直线的方程； (2) △ABC 的面积．图112. 已知圆C：x2＋y2-2x＋4y-4＝0，是否存在斜率为1的直线l与圆C交于点A、B，且以AB为直径的圆恰好过坐标原点O?13. 已知直线l的方程为(2＋λ)x＋(1-2λ)y＋4-3λ＝0，λ∈R.(1) 求证：不论λ取何实数，直线l必过定点；(2) 若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．14. 有一种大型货物，A、B两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得货物后，运回的费用是每单位距离A地的运费是B地运费的3倍，已知A、B两地距离10千米，顾客选择在A地或B地购货的标准是包括运费和价格的总费用较低．求P地居民在选择A地或B地购货的总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点？第二章过关测试卷答案及点拨一、1. B 点拨：直线l⊥OP，kop＝2，kl＝-12，直线l的方程为y-2＝-12(x-1)，即x＋2y-5＝0.故选B.2. D 点拨：设内切圆的圆心为(a，b)，半径为r，如答图1所示，则有a＝b＝r.因为|OA|＝1，|OB|＝2，所以|AB|r＝2OA OB AB+-＝122+-＝32-，所以a＝b＝32-，所以内切圆的方程为11,26⎛⎫-⎪⎝⎭，故选D.答图13. C 点拨：∵P1在l上，∴f(x1，y1)＝0.∵P2不在l上，∴f(x2，y2)≠0，∴f(x，y)-f(x1，y1)-f(x2，y2)＝f(x，y)-f(x2，y2)＝0.∴方程表示过点P2且平行于l的直线，故选C.4. C 点拨：点M在圆内，则x02＋y02＜a2，又圆心(0,0)到直线x0x＋y0y-a2＝0的距离d2＞a，故直线与圆相离．故选C.5. B 点拨=x ＝1.故选B.6. B 点拨：由已知a＝1-2b，代入ax＋3y＋b＝0，得(1-2b)x＋3y＋b＝0，即b(1-2x)＋3y＋x＝0.则120,30,xy x-=⎧⎨+=⎩得1216xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.即过定点11,26⎛⎫-⎪⎝⎭．故选B.二、7.31,55⎛⎫-⎪⎝⎭或31,55⎛⎫-⎪⎝⎭点拨：根据题意可设P(-3m，m)=解之得m＝±15.所以点P的坐标为31,55⎛⎫-⎪⎝⎭或31,55⎛⎫-⎪⎝⎭．2点拨：由圆的方程(x-2)2+(y+1)2＝4易知圆心坐标为(2，-1)，半径r＝2.而圆心(2，-1)到直线x-y+2＝0的距离为=故圆上的点到直线的最远距离为22.9. 18 点拨：设点P（a,b）,则P(a，b)在直线x＋y＋1＝0上，设A(2,3)，则|PA|＝|PA|的最小值为点A(2,3)到直线x+y+1＝0的距离d＝，故(a-2)2+(b-3)2的最小值是18.10.（x-1)2+y2=1;点拨：平移之后，圆C的方程为(x-1)2＋y2＝1.设过点(3,0)的直线l的方程为y＝k(x-3)，即kx-y-3k＝0，由直线l与圆C＝1，即4k2＝k2＋1，∴k三、11. 解：(1)∵ABk＝2402---＝3，∴AB边上的高所在直线的斜率为-13.∴AB边上的高所在直线的方程为()1323y x-=-+，即x＋3y-7＝0.(2) 方法一：|AB|=直线AB的方程为422402y x--=---，即3x-y-2＝0，∵点C到直线AB的距离d.∴△ABC的面积为12|AB|·d＝11.方法二：直线AC的方程为423422y x--=---，即x-4y+14＝0.设直线AC与y轴的交点为D，则D(0，72)，|BD|＝112.∴S△ABC＝S△ABD＋S△CBD＝12·|BD|·|2-(-2)|＝11.12. 解：存在.设直线l：y＝x＋b与圆C交于点A、B，且以AB为直径的圆恰好过坐标原点O.可设过A、B两点且以AB为直径的圆的方程为x2＋y2-2x＋4y-4＋λ(x-y＋b)＝0，即x2＋y2＋(λ-2)x＋(4-λ)y-4＋λb＝0，圆心坐标为-24,22λλ--⎛⎫-⎪⎝⎭．∵以AB为直径的圆恰好过坐标原点O，∴404222bbλλλ-+=⎧⎪⎨---=-+⎪⎩，消去λ整理得b2＋3b-4＝0，解得b＝1或b＝-4.∴直线x-y+1＝0或x-y-4＝0与圆C交于点A、B，且以AB为直径的圆恰好过坐标原点O.13. (1) 证明：直线方程可化为2x＋y＋4＋λ(x-2y-3)＝0.由240230x yx y++=--=⎧⎨⎩，解得12xy=-=-⎧⎨⎩.∵(2＋λ)·(-1)＋(1-2λ)·(-2)＋4-3λ＝0，∴点(-1，-2)的坐标适合方程(2＋λ)x＋(1-2λ)y＋4-3λ＝0. ∴不论λ取何实数，直线l必过定点(-1，-2)．(2) 解：由(1)知直线l必过定点(-1，-2)．方法一：由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)，k≠0.令x＝0，得y＝k-2；令y＝0，得x＝2k-1.由k-2＝2k-1，解得k＝2或k＝-1.∴直线l的方程为y＋2＝2(x＋1)或y＋2＝-(x＋1)，即2x-y＝0或x＋y＋3＝0.方法二：设直线l在两坐标轴上的截距为a.①当a＝0时，直线l过点(0,0)和(-1，-2)，直线l的方程为2x-y＝0.②当a ≠0时，设直线l 的方程为x ya a +＝1， 由直线l 过定点(-1，-2)，得12a a--+＝1，解得a ＝-3， ∴直线l 的方程为33x y+--＝1，即x ＋y ＋3＝0. 综上，直线l 的方程为2x -y ＝0或x ＋y ＋3＝0.14. 解：如答图2，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点O 为原点建立直角坐标系．答图2∵|AB |＝10，∴A (-5,0)，B (5,0)．设P (x ，y )，P 到A 、B 两地购货的运费分别是3a 、a (元/千米)．由P 地到A 、B 两地购货总费用相等，得3a a =化简整理，得222251544x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.①当P 点在以25,04⎛⎫-⎪⎝⎭为圆心，154为半径的圆上时，居民到A 、B 两地的购货费用相等； ②当P 点在上述圆内时，到A 地购货合算；③当P 点在上述圆外时，到B 地购货合算．。

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【成才之路】2015-2016学年高中数学 第二章 平面解析几何初步综
合测试A 新人教B 版必修2
时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．数轴上三点A 、B 、C ，已知AB ＝2.5，BC ＝－3，若A 点坐标为0，则C 点坐标为( )
A ．0.5
B ．－0.5
C ．5.5
D ．－5.5 [答案] B
[解析] 由已知得，x B －x A ＝2.5，x C －x B ＝－3，且x A ＝0，∴两式相加得，x C －x A ＝－0.5，即x C ＝－0.5.
2．(2015·福建南安一中高一期末测试)已知直线经过点A (0,4)和点B (1,2)，则直线AB 的斜率为( )
A ．3
B ．－2
C ．2
D ．不存在 [答案] B
[解析] 由斜率公式得，直线AB 的斜率k ＝2－41－0
＝－2. 3．已知点A (1,2,2)、B (1，－3,1)，点C 在yOz 平面上，且点C 到点A 、B 的距离相等，则点C 的坐标可以为( )
A ．(0,1，－1)
B ．(0，－1,6)
C ．(0,1，－6)
D ．(0,1,6) [答案] C
[解析] 由题意设点C 的坐标为(0，y ，z )， ∴1＋
y －2＋z －2＝1＋y ＋2＋z －2， 即(y －2)2＋(z －2)2＝(y ＋3)2＋(z －1)2.
经检验知，只有选项C 满足．
4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是( )
A ．－32
B ．－23
C ．25
D ．2
[答案] A
[解析] 由题意，得过两点(－1,1)和(3,9)的直线方程为y ＝2x ＋3.令y ＝0，则x ＝－
32
， ∴直线在x 轴上的截距为－32
，故选A ． 5．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )
A ．1或3
B ．1或5
C ．3或5
D ．1或2
[答案] C [解析] 当k ＝3时，两直线显然平行；当k ≠3时，由两直线平行，斜率相等，得－k －34－k ＝k －2.解得k ＝5，故选C ．
6．在平面直角坐标系中，正△ABC 的边BC 所在直线的斜率为0，则AC 、AB 所在直线的斜率之和为( )
A ．－2 3
B ．0
C ． 3
D ．2 3
[答案] B
[解析] 如图所示．
由图可知，k AB ＝3，k AC ＝－3，∴k AB ＋k AC ＝0.
7．直线3x －2y ＋m ＝0与直线(m 2－1)x ＋3y ＋2－3m ＝0的位置关系是( )
A ．平行
B ．垂直
C ．相交
D ．与m 的取值有关 [答案] C
[解析] 由3×3－(－2)×(m 2－1)＝0，即2m 2＋7＝0无解．故两直线相交．
8．若点(2,2)在圆(x ＋a )2＋(y －a )2＝16的内部，则实数a 的取值范围是( )
A ．－2<a <2
B ．0<a <2
C ．a <－2或a >2
D ．a ＝±2 [答案] A
[解析] 由题意，得(2＋a )2＋(2－a )2<16，
∴－2<a <2.。

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