2016-2017年广东省深圳市南山区高二(上)期末数学试卷及答案(理科)
广东省深圳市南山区高二上学期期末考试数学(理)试题
2013． 1.16
本试卷分第 Ⅰ卷（选择题）和第 Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试
时间 120 分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损
. 之后务必用黑色签字笔在答题卡指定
位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在右上角的信息栏填写自己的考号，并
16．（本小题满分 12 分） 已知函数 y a x （ a﹥ 0 且 a≠ 1）和 y lg(ax 2 x a) 。 设 p : 关于 x 的不等式 a x ﹥ 1 的解集是 ( ,0) 。 q : 函数 y lg( ax2 x a) 的定义域为 R。 如果 p 和 q 有且只有一个正确，求 a 的取值范围。
12．函数 y
x2 2x 2
（ x﹥ -1 ）的最小值是 __________ ；
x1
x2 y2 13．已知双曲线 a2 b2 1(a 0,b 0) 的一条渐近线方程为 x 2 y 0 ，
则双曲线的离心率 e 的值为
.
14．在等比数列 an 中， an ﹥ an 1 , 且 a7 a11 6, a4 a14 5,则 a6
；
a16
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明或演算步骤．
15．（本小题满分 12 分）在△ ABC中，角 A、 B、C 的对边分别为 a、 b、 c，且 cosC 3a c ， cos B b
求：（ 1） cos B ； （2）若 b= 4 2 ，且 a=c，求△ ABC的面积
1．“ x﹥ 2”是“ x﹥ 5”的
A. 充分非必要条件
B.
必要非充分条件
2015-2016年广东省深圳高级中学高二(上)期末数学试卷和答案(理科)
2015-2016学年广东省深圳高级中学高二（上）期末数学试卷（理科）一．选择题：共7小题，每小题5分，共35分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1．（5分）若，集合，则（）A．B∈a B．a⊈B C．{a}∈B D．a∈B2．（5分）如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数的值是（）A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i3．（5分）若△ABC的三边长分别为，2，，则△ABC的形状是（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m⊥α的一个充分条件是（）A．m∥n，n∥β，α⊥βB．n∥β，α∥β C．m∥n，n⊥β，α∥βD．m⊥n，n⊥β，α⊥β5．（5分）若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）若实数x，y满足条件则|x﹣3y|的最大值为（）A．6 B．5 C．4 D．37．（5分）椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.把答案填在答卷卡的相应位置上）8．（5分）已知f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+4，g（1）=2，则f（﹣1）的值是．9．（5分）经过双曲线的左顶点、虚轴上端点、右焦点的圆的方程是．三．解答题（本大题共4小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）10．（10分）已知数列{x n}的首项x1=3，通项x n=2n p+nq（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．求：（Ⅰ）p，q的值；（Ⅱ）数列{x n}前n项和S n的公式．11．（12分）已知函数f（x）=（sin2x+cos2x）2﹣2sin22x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x∈[0，]时，求y=g（x）的最大值和最小值．12．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD=．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若二面角A﹣PC﹣D的大小为60°，求AP的值．13．（12分）如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度AB=10米．现有一竹排运送一只货箱欲从桥下经过，已知货箱长20米，宽6米，高2.58米（竹排与水面持平），问货箱能否顺利通过该桥？四．选择题：共5小题，每小题5分，共25分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.14．（5分）由数字2，3，4，5，6所组成的没有重复数字的四位数中5，6相邻的奇数共有（）A．10个B．14个C．16个D．18个15．（5分）记a=1.82016+0.22016，b=22016，则它们的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．以上均有可能16．（5分）方程x3﹣6x2+9x﹣4=0的实根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．317．（5分）设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“f（k）≥k2成立时，总可推出f（k+1）≥（k+1）2成立”．那么，下列命题总成立的是（）A．若f（3）≥9成立，则当k≥1，均有f（k）≥k2成立B．若f（5）≥25成立，则当k≤5时，均有f（k）≥k2成立C．若f（7）＜49成立，则当k≥8，均有f（k）≥k2成立D．若f（4）=25成立，则当k≥4，均有f（k）≥k2成立18．（5分）路灯距离地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度从路灯在地面上的射影点O沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率为（）A．m/s B．m/s C．m/s D．m/s五.填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.把答案填在答卷卡的相应位置上）19．（5分）某纺织厂的一个车间有技术工人m名（m∈N*），编号分别为1、2、3、…、m；有n台（n∈N*）织布机，编号分别为1、2、3、…、n．定义记号a ij：若第i名工人操作了第j号织布机，规定a ij=1；否则，若第i名工人没有操作第j 号织布机，规定a ij=0．则等式a41+a42+a43+…+a4n=5的实际意义是：第名工人共操作了台织布机．20．（5分）如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D．设CP=x，△CPD的面积为f（x）．则f（x）的定义域为；f′（x）=0的解是．六．解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（10分）计算下列积分：（1）；（2）．22．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）在x∈[﹣]上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设F（x）=，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（O为坐标原点），且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．2015-2016学年广东省深圳高级中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：共7小题，每小题5分，共35分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1．（5分）若，集合，则（）A．B∈a B．a⊈B C．{a}∈B D．a∈B【解答】解：∵＞0，a6=8，，故，即，故a∈B，故选：D．2．（5分）如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数的值是（）A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i【解答】解：在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，结合所给的图形可得z1=﹣2﹣i，z2=i，则复数==﹣1+2i，故选：A．3．（5分）若△ABC的三边长分别为，2，，则△ABC的形状是（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【解答】解：设最大边对应的角为θ，则θ为△ABC的最大内角，由余弦定理可得cosθ==＞0，可得θ为锐角，故△ABC为锐角三角形，故选：A．4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m⊥α的一个充分条件是（）A．m∥n，n∥β，α⊥βB．n∥β，α∥β C．m∥n，n⊥β，α∥βD．m⊥n，n⊥β，α⊥β【解答】解：∵n∥β，α⊥β，n与α的位置关系不定，∵m∥n，∴m与α的位置关系不定，故A×；B选项与直线m无关，∴B错误；C选项，∵α∥β，n⊥β，∴n⊥α，∵m∥n，∴m⊥α，故C正确；D选项，∵n⊥β，α⊥β，∴n∥α或n⊂α，m⊥n，m与α的位置关系不确定，故D错误；故选：C．5．（5分）若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，x=1时，y=1，故排除C，D；令x=2，则y=，排除A．故选：B．6．（5分）若实数x，y满足条件则|x﹣3y|的最大值为（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：不等式表示的平面区域，如图所示先求的最大值，即求区域内的点到直线的距离的最大值．由，可得x=1，y=2由图可知，（1，2）到直线x﹣3y=0的距离最大为=∴|x﹣3y|的最大值为5故选：B．7．（5分）椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意，以F1F2为底的正三角形的两腰中点在椭圆上∵|F1F2|=2c，以F1F2为底的正三角形的两腰上的高为c，∴椭圆离心率e===﹣1故选：C．二．填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.把答案填在答卷卡的相应位置上）8．（5分）已知f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+4，g（1）=2，则f（﹣1）的值是2．【解答】解：由g（1）=2得，g（1）=f（1）+4，解得f（1）=﹣2，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=2，故答案为：2．9．（5分）经过双曲线的左顶点、虚轴上端点、右焦点的圆的方程是x2+y2﹣2x+y﹣15=0．【解答】解：双曲线的左顶点A（﹣3，0）、虚轴上端点B（0，4）、右焦点F（5，0），设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，得D=﹣2，E=，F=﹣15，即圆的一般方程为x2+y2﹣2x+y﹣15=0，故答案为：x2+y2﹣2x+y﹣15=0三．解答题（本大题共4小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）10．（10分）已知数列{x n}的首项x1=3，通项x n=2n p+nq（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．求：（Ⅰ）p，q的值；（Ⅱ）数列{x n}前n项和S n的公式．【解答】解：（Ⅰ）∵x1=3，∴2p+q=3，①又x4=24p+4q，x5=25p+5q，且x1+x5=2x4，∴3+25p+5q=25p+8q，②联立①②求得p=1，q=1（Ⅱ）由（1）可知x n=2n+n∴S n=（2+22+…+2n）+（1+2+…+n）=．11．（12分）已知函数f（x）=（sin2x+cos2x）2﹣2sin22x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x∈[0，]时，求y=g（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=（sin2x+cos2x）2﹣2sin22x=sin4x+cos4x=，…（6分）所以函数f（x）的最小正周期为．…（8分）（Ⅱ）依题意，y=g（x）=[]+1=．…（10分）因为，所以．…（11分）当，即时，g（x）取最大值；当，即x=0时，g（x）取最小值0．…（13分）12．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD=．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若二面角A﹣PC﹣D的大小为60°，求AP的值．【解答】（Ⅰ）证明：设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E．由四边形ABCD是等腰梯形得CE==1，DE==3，所以BE=DE，从而得∠DBC=∠BCA=45°，所以∠BOC=90°，即AC⊥BD．由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，因为AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC．…（7分）（Ⅱ）解：方法一：作OH⊥PC于点H，连接DH．由（Ⅰ）知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC．所以PC⊥平面DOH，从而得PC⊥OH，PC⊥DH．故∠DHO是二面角A﹣PC﹣D的平面角，所以∠DHO=60°．在Rt△DOH中，由DO=，得OH=．在Rt△PAC中，=．设PA=x，可得=．解得x=，即AP=．…（15分）方法二：（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥BD．以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．由题意知各点坐标如下：A（0，﹣，0），B（，0，0），C（0，，0），D（﹣，0，0）．由PA⊥平面ABCD，得PA∥z轴，故设点P（0，﹣，t）（t＞0）．设=（x，y，z）为平面PDC的法向量，由=（﹣，﹣，0），=（﹣，，﹣t）知取y=1，得=（﹣2，1，）．又平面PAC的法向量为=（1，0，0），于是|cos＜，＞|===．解得t=，即AP=．…（15分）13．（12分）如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度AB=10米．现有一竹排运送一只货箱欲从桥下经过，已知货箱长20米，宽6米，高2.58米（竹排与水面持平），问货箱能否顺利通过该桥？【解答】解：以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系：设抛物线方程为x2=my，根据题意知点B（5，﹣4）在抛物线上；∴25=﹣4m；∴；∴；可设C（3，﹣4），过C作AB的垂线，交抛物线于D（3，y0），则；∴；∴；∴货箱不能顺利通过该桥．四．选择题：共5小题，每小题5分，共25分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.14．（5分）由数字2，3，4，5，6所组成的没有重复数字的四位数中5，6相邻的奇数共有（）A．10个B．14个C．16个D．18个【解答】解：奇数的最后一位只能是3.5；必须含有5、6，因5、6必须相邻，则把5.6看成一个数，分2种情况讨论：①、3在末位，在2、4中任取一个，与5、6整体进行全排列，有2×2×2=8种情况，②、5在末位，则6在十位，前2位数字有A32=6种情况，∴没有重复的四位数中5，6相邻的奇数8+6=14个；故选：B．15．（5分）记a=1.82016+0.22016，b=22016，则它们的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．以上均有可能【解答】解：∵a=1.82016+0.22016，b=22016，∴b=22016=（1.8+0.2）2016=C201601.82016+C201611.820150.2+…+C201620161.800.22016＞1.82016+0.22016=a，故选：B．16．（5分）方程x3﹣6x2+9x﹣4=0的实根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：令f（x）=x3﹣6x2+9x﹣4，则f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）．由f′（x）＞0得x＞3或x＜1，由f′（x）＜0得1＜x＜3．∴f（x）的单调增区间为（3，+∞），（﹣∞，1），单调减区间为（1，3），∴f（x）在x=1处取极大值，在x=3处取极小值，又∵f（1）=0，f（3）=﹣4＜0，∴函数f（x）的图象与x轴有两个交点，即方程x3﹣6x2+9x﹣4=0有两个实根．故选：C．17．（5分）设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“f（k）≥k2成立时，总可推出f（k+1）≥（k+1）2成立”．那么，下列命题总成立的是（）A．若f（3）≥9成立，则当k≥1，均有f（k）≥k2成立B．若f（5）≥25成立，则当k≤5时，均有f（k）≥k2成立C．若f（7）＜49成立，则当k≥8，均有f（k）≥k2成立D．若f（4）=25成立，则当k≥4，均有f（k）≥k2成立【解答】解：对A，当k=1或2时，不一定有f（k）≥k2成立；对B，只能得出：对于任意的k≥5，均有f（k）≥k2成立，不能得出：任意的k ≤5，均有f（k）≤k2成立；对于C，若f（7）＜49成立不能推出任何结论；对D，∵f（4）=25≥16，∴对于任意的k≥4，均有f（k）≥k2成立．故选：D．18．（5分）路灯距离地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度从路灯在地面上的射影点O沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率为（）A．m/s B．m/s C．m/s D．m/s【解答】解：如图：设人的高度AB，则AB=1.6，人的影子长AC=h，由直角三角形相似得=，解得h=21t （m/min）=21t×（m/s）=t m/s，∴h′=m/s，故选：D．五.填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.把答案填在答卷卡的相应位置上）19．（5分）某纺织厂的一个车间有技术工人m名（m∈N*），编号分别为1、2、3、…、m；有n台（n∈N*）织布机，编号分别为1、2、3、…、n．定义记号a ij：若第i名工人操作了第j号织布机，规定a ij=1；否则，若第i名工人没有操作第j 号织布机，规定a ij=0．则等式a41+a42+a43+…+a4n=5的实际意义是：第4名工人共操作了5台织布机．【解答】解：a41+a42+a43+…+a4n=5中的第一下标4的意义是第四名工人，第二下标1，2，…，n表示第1号织布机，第2号织布机，…，第n号织布机，∵a ij=1；否则，若第i名工人没有操作第j号织布机，规定a ij=0．∴根据规定可知这名工人操作了5台织布机．故答案为：4，5．20．（5分）如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D．设CP=x，△CPD的面积为f（x）．则f（x）的定义域为（2，4）；f′（x）=0的解是3．【解答】解：由题意，DC=2，CP=x，DP=6﹣x∵△CPD，∴，解得x∈（2，4）如图，三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表示出来即f（x）==，∴f′（x）=，令f′（x）=0，解得x=3，故答案为：（2，4），3．六．解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（10分）计算下列积分：（1）；（2）．【解答】解：（1）=（1﹣x）dx+（x﹣1）dx=（x﹣x2）|+（﹣x+x2）|=2+=，（2）表示以原点为圆心以1为半径的圆的面积的四分之一，∴=．22．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）在x∈[﹣]上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设F（x）=，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（O为坐标原点），且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．【解答】解：（1）由f（x）=﹣x3+x2+b，得f′（x）=﹣3x2+2x=﹣x（3x﹣2），令f′（x）=0，得x=0或．列表如下：∵，，∴，即最大值为，∴b=0．…（4分）（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得（x﹣lnx）a≤x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，∴恒成立，即．令，求导得，，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+1﹣2lnx＞0，从而t′（x）≥0，∴t（x）在[1，e]上为增函数，∴t min（x）=t（1）=﹣1，∴a≤﹣1．…（8分）（3）由条件，，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1．∵△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴，∴﹣t2+F（t）（t3+t2）=0…（*），…（10分）是否存在P，Q等价于方程（*）在t＞0且t≠1时是否有解．①若0＜t＜1时，方程（*）为﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4﹣t2+1=0，此方程无解；…（11分）②若t＞1时，（*）方程为﹣t2+alnt•（t3+t2）=0，即，设h（t）=（t+1）lnt（t＞1），则，显然，当t＞1时，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）的值域为（h（1），+∞），即（0，+∞），∴当a＞0时，方程（*）总有解．∴对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（14分）。
广东省深圳市南山区高二数学上学期期末考试试题 理 新
广东省深圳市南山区2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题理 新人教A 版本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟. 注意事项：1、答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损.之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在右上角的信息栏填写自己的考号，并用2B 铅笔填涂相应的信息点．2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.不按要求填涂的，答案无效．3、非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案、不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁，不折叠，不破损、考试结束后，将答题卡交回．5、考试不可以使用计算器．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1、若p ：x>1；q ：x ≥1，则p 是q 的A 、充分但不必要条件B 、必要但不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 2、设a ，b ，c ，d ∈R ，且a>b ，c>d ，则下列结论中正确的是 A 、ac>bd B 、a －c>b －d C 、a+c>b+d D 、a b d c> 3、设等比数列{a n }的公比q=2，前n 项和为S n ，则42S a = A 、2 B 、4 C 、8.5 D 、7.54、与椭圆22x y 14+=共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是 A 、22x y 14-= B 、22x y 12-= C 、22x y 133-= D 、22y x 12-= 5、设x>1，则1y x x 1=+-的最小值是A 、1B 、2C 、3D 、4 6、在△ABC 中，a=2bcosC ，则这个三角形一定是A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、等腰直角三角形D 、等腰或直角三角形7、若双曲线2222x y 1a b-=(a>0，b>0)的渐近线与圆(x －2)2+y 2=1相切，则双曲线的离心率为A 、43B、3 C 、2 D8、在R 上定义运算⊗：x y x(1y)⊗=-，若不等式(x a)(x a)1-⊗+<，对任意实数都成立，则a 的取值范围为A 、－1<a<1B 、0<a<2C 、13a 22-<< D 、31a 22-<< 第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．．．．．．．．．． 9、已知命题p ：∀x ∈R ，都有sinx ≤1，则命题┐p 是_______________. 10、不等式x 2－4x+3<0的解集为_______. 11、已知抛物线C ：x 2=4y 上一点P 到定点A(0，1)的距离是2，则点P 到x 轴的距离为________.12、已知a (211)=-r ，，，b (m 11)=-r，，，若a //b r r ，则m=_____. 13、已知数列{a n }是等差数列，a 1=1，公差d ≠0，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 8=______.14、已知nn 1a ()3=，把数列{a n }的各项排列成如下的三角形状，记A(m ，n)表示第m行的第n 个数，则A(10，12)=______.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤、15、(本小题满分12分)设命题p ：关于x 的方程x 2+2ax －2a=0无实根；命题q ：关于x 的方程x 2+ax+4>0的解集为R. 如果命题“p ∧q ”为假命题，“┐q ”为假命题，求实数a 的取值范围.16、(本小题满分12分)在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C=2csinA . (1)求角C 的度数； (2)若c =△ABC，求a+b 的值.17、(本小题满分14分)已知实数x ，y 满足不等式：x y 201x 2y 2-+≥⎧⎪≤≤⎨⎪≥⎩.(1)求yx的取值范围；(2)不等式xy ≤ax 2+2y 2恒成立，求实数a 的取值范围.a 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 6 a 9…………………………………………………………18、(本小题满分14分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90o ，PA ⊥平面ABCD ，PA=3，AD=2，AB =BC=6，请建立适当的空间直角坐标系解决： (1)求证：BD ⊥平面PAC ； (2)求二面角P-BD-A 的大小.19、(本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点B(0，4)，离心率e=0.6. (1)求椭圆C 的方程；(2)若O(0，0)，P(2，2)，试探究在椭圆C 内部是否存在整点Q(平面内横、纵坐标都是整数的点为整点)，使得△OPQ 的面积S △OPQ =4?若存在，请指出共有几个这样的点(不必具体求出这些点的坐标)；否则，说明理由.20、(本小题满分14分)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且有a 1=1，S n +1= a n+1 (n ∈N*). (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若n nnb =4a ，求数列{b n }的前n 项和T n ； (3)是否存在最小正整数m ，使得不等式nk=1k k k +2<m S(T +k +1)⋅∑对任意正整数n 恒成立，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.高二数学(理)参考答案及评分标准2014、01、8一、选择题：(8×5′=40′)题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D B C A B C二、填空题：(6×5′=30′)9、∃x 0，sin x 0>1；10、(1，3)；11、1；12、－2；13、15； 14、931()3. 三、解答题：(80′)15、(本小题满分12分)解： ∵方程程x 2+2ax －2a=0无实根，∴△=4a 2+8a<0，解得－2<a<0， ∴p ：－2<a<0. ……3分 又∵不等式x 2+ax+4>0的解集为R ，∴△=a 2－16<0，解得－4<a<4， ∴q ：－4<a<4. ……6分 ∵命题“p ∧q ”为假命题，“┐q ”为假命题，∴p 为假命题，q 为真命题， ……8分 ∴a 04a 4≥⎧⎨-<<⎩或a 24a 4≤-⎧⎨-<<⎩， ……10分∴－4<a≤－2或0≤a<4. ……12分 16、(本小题满分12分)=2sinCsinA ， ……3分∵A ，C 为锐角，∴sinC =，C =3π. ……6分(2) 1S =absinC =2ab=6， ……9分 由余弦定理的：c 2=a 2+b 2－2abcosC=(a+b)2－3ab ，∴(a+b)2=25，a+b=5. ……12分 17、(本小题满分14分)解：(1)在直角坐标系中作出(x ，y)的可行域： ……4分 由y y 0x x 0-=-，可知yx是(1)的可行域 内(x ，y)与(0，0)连线的斜率，……6分 结合图形得：y[13]x∈，. ……8分 (2)由题意得：222xy 2y y y a 2()x x x-≥=-⋅2y 112()x 48=-⋅-+，……11分此时，2max y 11[2()]1x 48-⋅-+=-，在y1x=时取得； ……13分 ∴a≥－1 ……14分18、(本小题满分14分)(1)证明：由题可知，AB 、AD 、AP 两两垂直，则分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立如图的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，00)，，60)，，D(0，2，0)，P (0，0，3)， ……4分 ∴AP (003)=，，，AC 60)=，BD (20)=-u u u r，， ∴BD AP 0⋅=u u u r u u u r ，BD AC 0⋅=u u u r u u u r，∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，又PA ∩AC=A ，∴BD ⊥平面PAC. ……7分显然平面ABD 的一个法向量为m (001)=u u r ，，，设平面PBD 的法向量为n (x y z)=r，，，则n BD 0⋅=r u u u r ，n BP 0⋅=r u u u r，(2)由(1)知，BP (03)=-u u u r ，， ∴2y 03z 0⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，……11分∴y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩令x = 则n 32)=r ， ……13分∴m n 1cos m n 2|m ||n |⋅<>==u u r ru u r r uu r u u r ，. ……14分 19、(本小题满分14分)解：(1)设椭圆C 的方程为2222x y +=1a b(a>b>0)， ……1分依题意得，b=4，c 3=a 5，又a 2=b 2+c 2， ……3分∴a=5，b=4，c=3， ……4分所以椭圆C 的方程为22x y +=12516. ……5分 (2)依题意得，|OP |=OP 的方程为 y=x ， ……6分因为ΔOPQ S =4，点Q 到直线OP 的距离为 ……7分 所以点Q 在与直线OP 平行且距离为l 上， ……8分设l ：y=x+m ，则= 解得m=±4， ……10分 当m=4时，由22y =x +4x y +<12516⎧⎪⎨⎪⎩，消元得41x 2+200x<0，即200x 041-<<，x ∈Z ，∴x=―4，―3，―2，―1，相应的y 也是整数，此时满足条件的点Q 有4个， ……13分 当m=－4时，由对称性，同理也得满足条件的点Q 有4个.综上，存在满足条件的点Q ，这样的点有8个. ……14分 20、(本小题满分14分)解：(1)当n=1时，a 2= S 1+1= a 1+1=2； ……1分 当n≥2时，S n +1= a n+1，S n-1+1= a n ，兩式相减得，a n+1=2a n ， ……2分 又a 2=2a 2，所以{a n }是首项为1,公比为2的等比数列，所以a n =2n-1. ……4分(2)由(1)知a n =2n-1，所以n n 1n+1n n n n b ==4a 422-=⋅， 所以n 234n+1123n T =...2222++++，n 345n+1n+21123n 1nT = (222222)-+++++，两式相减得，n 234n+1n+211111n T =...222222++++-2n n+2n+211(1)n 1n +222=122212--=-- 所以n n+2n +2T 12=-(或写成n n n 1T 1(1)22=-+⋅或n n n+11nT 122=--均可给至8分). ……8分(3) k k k k k+1k+1k +2k +21k +21S (T +k +1)(21)(1+k +1)(21)(1)22==⋅-⋅--⋅- k+1k k+1k k+12112()(21)(21)2121==--⋅---， ……11分 所以n nk k+1k+1k=1k=1k k k +2111=2()2(1)2S (T +k +1)212121-=-<⋅---∑∑， 若不等式nk=1k k k +2<m S (T +k +1)⋅∑对任意正整数n 恒成立，则m≥2， 所以存在最小正整数m=2，使不等式nk=1k k k +2<m S (T +k +1)⋅∑对任意正整数n 恒成立. ……14分。
2015-2016深圳市上学期期末考高二理数试题
高 二 教 学 质 量 监 测数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损. 之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在信息栏填写自己的考号，并用2B 铅笔填涂相应的信息点.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3．非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。
4．考生必须保持答题卡的整洁，不折叠，不破损，考试结束后，将答题卡交回。
5．考试不可以使用计算器.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个．．．．选项符合题意）1．“21x >”是“1x >”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要2．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆的形状是 A ．钝角三角 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定3．下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是A ．2214y x -= B ．2214x y -= C ．2212y x -= D ．2212x y -= 4．已知等比数列{}n a 满足114a =，()35441a a a =-，则2a = A ．1 B ．2 C ．12 D ．182016.01.205. 若焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21，则m=A ．3B ．23C ．38 D ．32 6. 若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．57．已知命题p ：|x －1|≥2，命题q ：x ∈Z ，若“p 且q ”与“非q ”同时为假命题，则满足条件的x 为A ．{x|x ≥3或x ≤－1，x ∈Z}B ．{x|－1≤x ≤3，x ∈Z}C ．{0，1，2}D ．{－1，0，1，2，3}8．在C ∆AB 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，，6a b +=，，则c =ABC ．4D9. 设z x y =+，其中实数x ，y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最大值为6，则z 的最小值为A ．3-B ．2-C ．1-D ．010. 斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，且与抛物线相交于A,B 两点,则 AB =A. 8B. 6C. 12D. 11. 数列{}n a 满足11a =,且11()n n a a n n N ++-=+∈,则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为A.25B.2011C.1120 D. 5712. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是A. B. 3(0,]4C. D. 3[,1)4PABCDE第II 卷 非选择题（满分90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知点A (1,2，－1)，点B 与点A 关于平面xoy 对称，则线段AB 的长为__________. 14. 若对任意0x ＞，231xa x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是 . 15. 已知()(0)1xf x x x=≥+,数列{}n a 满足1(1)a f =，且1()n n a f a +=()n N +∈， 则2015a = __________.16. 设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，过 2F 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是__________.三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（本题10分）设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >，命题q ：实数x满足31x -<．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围. （2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．（本题12分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos cos 2cos a C c A b A +=.（1）求A .（2）若2a b ==求ABC ∆的面积.19．（本题12分）右图为一简单组合体，其底面ABCD 为边长2正方形，PD ⊥平面A B C D ，//EC PD ，且,PD CE = （1）若N 为线段PB 的中点，求证：EN ⊥平面PDB . （2）求平面PBE 与平面ABCD 所成的二面角的大小．20．（本题12分）在平面直角坐标系xoy 中,设点F (1,0),直线l :1x =-,点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，,RQ FP PQ l ⊥⊥.（1）求动点Q 的轨迹的方程.（2）记Q 的轨迹的方程为E ,曲线E 与直线2-=kx y 相交于不同的两点A ，B ，且弦AB 中点的纵坐标为2，求k 的值.21．（本题12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. （1）求数列{}n a 的通项公式.（2）设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.22. (本题12分) 如图，已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：22(3)(1)3x y -+-=相切． （1）求椭圆C 的方程.（2）若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且0AP AQ ⋅=.求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．。
高二数学期末试卷(理科)及答案
高二数学期末考试卷（理科）一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1、与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ） A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）2、设命题p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为3，判断命题“p ⌝”、“q ⌝”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、“a ＞b ＞0”是“ab ＜222b a +”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于 （ ）. A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或85、已知空间四边形OABC 中，c OC b OB a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（ ） A ．c b a 213221+- B ．c b a 212132++-C ．212121-+D ．213232-+6、抛物线2y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（ ）A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0 7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（ ）A.5或54 或 C. D.5或538、若不等式|x －1| <a 成立的充分条件是0<x <4,则实数a 的取值范围是 ( ) A ．a ≤1 B ．a ≤3 C ．a ≥1 D ．a ≥39、已知),,2(),,1,1(t t t t t =--=，则||-的最小值为 （ ）A ．55 B ．555 C ．553 D ．51110、已知动点P(x 、y )满足1022)2()1(-+-y x ＝|3x ＋4y ＋2|，则动点P 的轨迹是 （ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．无法确定11、已知P 是椭圆192522=+y x 上的一点，O 是坐标原点，F 是椭圆的左焦点且),(21+=4||=，则点P 到该椭圆左准线的距离为（ ） A.6 B.4 C.3 D.25高二数学期末考试卷（理科）答题卷一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）12、命题：01,2=+-∈∃x x R x 的否定是13、若双曲线 4422=-y x 的左、右焦点是1F 、2F ，过1F 的直线交左支于A 、B 两点，若|AB|=5，则△AF 2B 的周长是 .14、若)1,3,2(-=，)3,1,2(-=，则,为邻边的平行四边形的面积为 ． 15、以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，||||PA PB k +=，则动点P 的轨迹为椭圆；②双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点)0,5(A 及定直线25:4l x =的距离之比为54的点的轨迹方程为221169x y -=． 其中真命题的序号为 _________．三、解答题（本大题共6小题，共55分）16、（本题满分8分）已知命题p ：方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e ，若q p ,只有一个为真，求实数m 的取值范围．17、（本题满分8分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1，试用向量法求平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的锐二面角的余弦值。
人教版高二(理科)第一学期期末考试数学试题-含答案
2015～2016学年度第一学期期末考试试卷 高二（理） 数学 座位号第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、向量(1,2,2),(2,4,4)a b =-=--，则a b 与 （ ） A 、相交 B 、垂直 C 、平行 D 、以上都不对2、如果双曲线的半实轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率是 （ ）A 、32B 、62C 、32D 、23、已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是 （ ） A 、,sin 1x R x ∃∈≥ B 、,sin 1x R x ∀∈≥ C 、,sin 1x R x ∃∈> D 、,sin 1x R x ∀∈>4、若向量)0,2,1(=a ，)1,0,2(-=b ，则（ ）A 0120,cos >=<b aB b a ⊥C b a //D ||||b a =5、若原命题“0,0,0a b ab >>>若则”，则其逆命题、否命题、逆否命题中（ ） A 、都真 B 、都假 C 、否命题真 D 、逆否命题真6、 “2320x x -+≠”是“1x ≠” 的（ ）条件 （ ） A 、充分不必要 B 、必要不充分 C 、充要 D 、既不充分也不必要 7、若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A 、－9＜m ＜25B 、8＜m ＜25C 、16＜m ＜25D 、m ＞88、已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．1203622=+y x （x ≠0）B ．1362022=+y x （x ≠0）C ．120622=+y x （x ≠0）D ．162022=+y x （x ≠0）9、一位运动员投掷铅球的成绩是14m ，当铅球运行的水平距离是6m 时，达到最大高度4m .若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是（ ） A ． 1.75m B ． 1.85mC ． 2.15mD ． 2.25m 10、设a R ∈，则1a >是11a< 的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11.抛物线281x y -=的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y12. 若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第II 卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、经过点(1,3)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 。
广东省深圳市南山区高二数学上学期期末试卷 理(含解析)
广东省深圳市南山区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）在△ABC中，已知a=6，A=60°，C=45°，则c=（）A．2B．C．D．22．（5分）双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．（5分）等比数列{a n}中，任意的n∈N*，a n+1+a n=3n+1，则公比q等于（）A．2 B．3 C．D．﹣4．（5分）设a＞0，b＞0，且a+b=2，则+的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．4.55．（5分）设，则不等式f（x）＜x2的解集是（）A．（2，+∞）∪（﹣∞，0] B． R C．①求和点G的坐标；②求异面直线EF与AD所成的角；③求点C到截面AEFG的距离．20．（14分）P是圆x2+y2=4上任意一点，P在x轴上的射影为M点，N是PM的中点，点N的轨迹为曲线C，曲线C1的方程为：x2=8（y﹣m）（m＞0）（1）求轨迹C的方程；（2）若曲线C与曲线C1只有一个公共点，求曲线C1的方程；（3）在（2）的条件下，求曲线C和曲线C1都只有一个交点的直线l方程．广东省深圳市南山区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）在△ABC中，已知a=6，A=60°，C=45°，则c=（）A．2B．C．D．2考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，把sinA，sinC以及a的值代入计算即可求出c的值．解答：解：∵在△ABC中，a=6，A=60°，C=45°，∴由正弦定理=得：c===2，故选：D．点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据双曲线的渐近线方程的求法，直接求解即可．解答：解：双曲线的渐近线方程是，即．故选C．点评：本题考查双曲线的渐近线方程的求法，双曲线的基本性质的应用，考查计算能力．3．（5分）等比数列{a n}中，任意的n∈N*，a n+1+a n=3n+1，则公比q等于（）A．2 B．3 C．D．﹣考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：把n=1、2分别代入已知的式子，并利用等比数列的通项公式化简求出公比q的值．解答：解：∵等比数列{a n}中，任意的n∈N*，a n+1+a n=3n+1，∴a2+a1=32，a3+a2=qa2+qa1=33，两个式子相除可得，公比q=3，故选：B．点评：本题考查了等比数列的通项公式，以及递推公式的化简，属于基础题．4．（5分）设a＞0，b＞0，且a+b=2，则+的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．4.5考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得+=（+）（a+b）=（2++），由基本不等式求最值可得．解答：解：∵a＞0，b＞0，且a+b=2，∴+=（+）（a+b）=（2++）≥（2+2）=2当且仅当=即a=b=1时取等号，故选：B点评：本题考查基本不等式，属基础题．5．（5分）设，则不等式f（x）＜x2的解集是（）A．（2，+∞）∪（﹣∞，0] B． R C．，综上原不等式的解集为（2，+∞）∪（﹣∞，0]．故选A点评：本题考查了不等式的解法及分段函数，考查分类讨论的思想，本题解题的关键是对于求出的范围一定要和分段函数的范围分别并起来，本是一个基础题．6．（5分）已知x，y满足，则z=2x﹣y的最大值是（）A．B．C．D．2考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的四边形ABCD及其内部，再将目标函数z=2x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=时，目标函数z取得最大值．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD及其内部，其中A（，），B（3，），C（3，4），D（0，3）设z=F（x，y）=2x﹣y，将直线l：z=2x﹣y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（3，）=2×3﹣=故选：B点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x﹣y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．7．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，x3＜0B．“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件C．∀x∈R，2x＞0D．“x＜2”是“|x|＜2”的充分非必要条件考点：特称命题；全称命题．专题：探究型．分析：对各命题逐个进行判断．A，显然x为负数时，恒成立；B，a＞0时，|a|＞0，反之，a可以是负数；C，利用指数函数的性质，可知∀x∈R，2x＞0；D，x＜2时，|x|＜2不一定成立，反之，|x|＜2时，x＜2成立，故可得结论．解答：解：对于A，显然x为负数时，恒成立，故A为真命题；对于B，a＞0时，|a|＞0，反之，a可以是负数，所以“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件，故B为真命题；对于C，利用指数函数的性质，可知∀x∈R，2x＞0，故C为真命题；对于D，x＜2时，|x|＜2不一定成立，反之，|x|＜2时，x＜2成立，“x＜2”是“|x|＜2”的必要非充分条件，故D为假命题故选D．点评：本题考查命题的真假判断，考查四种条件的判断，解题时需对各命题逐个进行判断．8．（5分）某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是（）小时．A．B．C．D．1考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：设两船在B点碰头，设舰艇到达渔船的最短时间是x小时，由题设知AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°，由余弦定理，知（21x）2=100+（9x）2﹣2×10×9x×cos120°，由此能求出舰艇到达渔船的最短时间．解答：解：设两船在B点碰头，由题设作出图形，设舰艇到达渔船的最短时间是x小时，则AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°，由余弦定理，知（21x）2=100+（9x）2﹣2×10×9x×cos120°，整理，得36x2﹣9x﹣10=0，解得x=，或x=﹣（舍）．故选：B．点评：本题考查解三角形在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2+2x=3，则¬p是∀x∈R，x2+2x≠3．考点：命题的否定．专题：规律型．分析：根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．解答：解：∵命题p：∃x∈R，x2+2x=3是特称命题，∴根据特称命题的否定是全称命题，得¬p：∀x∈R，x2+2x≠3．故答案为：∀x∈R，x2+2x≠3．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握含有量词命题的否定的形式，比较基础．10．（5分）焦点坐标为（0，10），离心率是的双曲线的标准方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的几何量a，b，c即可求出双曲线方程．解答：解：焦点坐标为（0，10），离心率是的双曲线，可得c=10，a=8，b=6，焦点坐标为（0，10），离心率是的双曲线的标准方程为：．故答案为：．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．11．（5分）函数y=的最大值为．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：由条件利用基本不等式，求得函数y=的最大值．解答：解：函数y=≤=，当且仅当2x2=1﹣2x2，即x2=时，取等号，故函数y=的最大值为，故答案为：．点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．12．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a14=1，则S17=1．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得a1+a17=a4+a14，代入求和公式计算可得．解答：解：由等差数列的性质可得a1+a17=a4+a14=1，∴由求和公式可得S17==1故答案为：1点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．13．（5分）边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为120°．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：直接利用余弦定理求出7所对的角的余弦值，求出角的大小，利用三角形的内角和，求解最大角与最小角之和．解答：解：根据三角形中大角对大边，小角对小边的原则，所以由余弦定理可知cosθ==，所以7所对的角为60°．所以三角形的最大角与最小角之和为：120°．故答案为：120°．点评：本题考查余弦定理的应用，三角形的边角对应关系的应用，考查计算能力．14．（5分）记max{a，b}=，f（x）=max{|x﹣m|，|x+1|}，若存在实数x，使得f （x）≤1成立，则实数m的取值范围是．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；函数的性质及应用；简易逻辑．分析：存在实数x，使得f（x）≤1成立的否定是任意实数x，恒有f（x）＞1成立；从而可得m＜﹣3或m＞1；从而求实数m的取值范围．解答：解：存在实数x，使得f（x）≤1成立的否定是任意实数x，恒有f（x）＞1成立；当x＞0或x＜﹣2时，|x+1|＞1，故f（x）＞1成立；当﹣2≤x≤0时，|x+1|≤1，故|x+m|＞1在上恒成立，故m＜﹣3或m＞1；故存在实数x，使得f（x）≤1成立时，实数m的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查了命题的否定与分段函数的应用，同时考查了函数的最值，属于中档题．三、解答题（本题共6小题，共80分）15．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2﹣ac=b2．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用余弦定理表示出cosB，把已知等式变形后代入计算求出cosB值，即可求出B的度数；（2）利用正弦定理化简sinC=2sinA，得到c=2a，利用余弦定理列出关系式，求出a与c的值，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解答：解：（1）∵△ABC中，a2+c2﹣ac=b2，即a2+c2﹣b2=ac，∴cosB==，则B=；（2）把sinA=2sinC，利用正弦定理化简得：a=2c，∵b=3，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=4c2+c2﹣2c2，解得：c=，a=2，则S△ABC=acsinB=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，设数列{b n}前n项和为G n，求证：G n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．利用a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出；（2）b n==，利用“裂项求和”、“放缩法”即可得出．解答：（1）解：∵数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．∴a1=S1==1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=3n﹣2，当n=1时上式也成立，∴a n=3n﹣2．（2）证明：b n===，∴设数列{b n}前n项和为G n=+…+=＜，∴G n．点评：本题考查了数列递推式的应用、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（14分）设椭圆C：过点（0，4），离心率为（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程．考点：圆锥曲线的轨迹问题；椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆C：过点（0，4），离心率为，知，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设过点（3，0）的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），设AB的中点为M （x，y），利用点差法能够求出过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C：过点（0，4），离心率为，∴，解得a=5，b=4，c=3，∴椭圆C的方程是．（Ⅱ）设过点（3，0）的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），设AB的中点为M（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆16x2+25y2=400，得①﹣②，得16（x1+x2）（x1﹣x2）+25（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴32x（x1﹣x2）+50y（y1﹣y2）=0，∴直线AB的斜率k==﹣，∵直线AB过点（3，0），M（x，y），∴直线AB的斜率k=，∴﹣=，整理，得16x2+25y2﹣48x=0．当k不存在时，16x2+25y2﹣48x=0也成立．故过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程是16x2+25y2﹣48x=0．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用．18．（14分）已知数列{a n}中，a1=a（a＞0），a n a n+1=4n（n∈N*）（1）当a=1时，求a2，a3并猜想a2n的值；（2）若数列{a n}是等比数列，求a的值及a n；（3）在（2）的条件下，设b n=na n．求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由a1=a（a＞0），a n a n+1=4n（n∈N*），可得当a=1时，a1•a2=1×a2=4，a2a3=42，解得a2，a3．由=4，可得a n+2=4a n，即可得出a2n．（2）由于数列{a n}是等比数列，设公比为q，则a•aq=4，aq•aq2=42，a＞0，解得q，a．即可得出a n．（3）在（2）的条件下，b n=na n=，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得到．解答：解：（1）∵a1=a（a＞0），a n a n+1=4n（n∈N*），∴当a=1时，a1•a2=1×a2=4，解得a2=4，由a2a3=42，解得a3=4．∵==4，∴a n+2=4a n，可得a2n=4n．（2）∵数列{a n}是等比数列，设公比为q，则a•aq=4，aq•aq2=42，a＞0，解得q=2，a=．∴a n=．（3）在（2）的条件下，b n=na n=，∴数列{b n}的前n项和S n=，2S n=…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n]，∴﹣S n=（1+2+22+…+2n﹣1﹣n×2n）==，∴S n=．点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB=4，BC=1，BE=3，CF=4，若如图所示建立空间直角坐标系：①求和点G的坐标；②求异面直线EF与AD所成的角；③求点C到截面AEFG的距离．考点：点、线、面间的距离计算；空间中的点的坐标；异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由题意知A（1，0，0），B（1，4，0），E（1，4，4），F（0，4，4），由此能求出，又=，能求出G（0，0，1）．（2）由=（﹣1，0，0），，能求出异面直线EF与AD所成的角．（3）求出平面AEFG的法向量，利用向量法能求出点C到截面AEFG的距离．解答：解：（1）由题意知A（1，0，0），B（1，4，0），E（1，4，4），F（0，4，4），∴=（﹣1，0，1），又∵=，设G（0，0，z），∴（﹣1，0，z）=（﹣1，0，1），解得z=1，∴G（0，0，1）．（2）∵=（﹣1，0，0），，∴cos＜＞==，∴异面直线EF与AD所成的角为45°．（3）设平面AEFG的法向量，∵=（﹣1，0，1），=（0，4，3），∴，取z=4，得=（4，﹣3，4），∵C（0，4，0），，∴点C到截面AEFG的距离d===．点评：本题考查和点G的坐标的求法，考查异面直线EF与AD所成的角的求法，考查点C到截面AEFG的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（14分）P是圆x2+y2=4上任意一点，P在x轴上的射影为M点，N是PM的中点，点N的轨迹为曲线C，曲线C1的方程为：x2=8（y﹣m）（m＞0）（1）求轨迹C的方程；（2）若曲线C与曲线C1只有一个公共点，求曲线C1的方程；（3）在（2）的条件下，求曲线C和曲线C1都只有一个交点的直线l方程．考点：轨迹方程；圆锥曲线的综合．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出N的坐标，利用中点坐标公式求出P点的坐标，代入圆的方程后整理即可得到答案；（2）将（0，1）代入x2=8（y﹣m），可得m=1，即可求曲线C1的方程；（3）在（2）的条件下，可得曲线C和曲线C1都只有一个交点的直线l方程．解答：解：（1）设N（x，y），则由中点坐标公式得P（x，2y），因为P是圆x2+y2=4上任意一点，所以x2+4y2=4，整理得，．（2）将（0，1）代入x2=8（y﹣m），可得m=1，所以曲线C1的方程为x2=8（y﹣1）；（3）在（2）的条件下，曲线C和曲线C1都只有一个交点的直线l方程为y=1．点评：本题考查了轨迹方程问题，考查了代入法求轨迹方程，是中档题．。
深圳市南山区上学期期末考试题高二数学及答案上高二理数
--高 二 教 学 质 量 监 测数 学（理科）注意:本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间１2０分钟．1．答卷前,考生填、涂好学校、班级、姓名及座位号。
２．选择题用2B 铅笔作答；非选择题必须用黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，并将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题,每小题５分，满分60分.在每小题给出的四个选项中.有且只有一项是符合题目要求的.１．设命题P ：.02,2>+∈∀x R x 则P ⌝为A. 02,200>+∈∃x R x ﻩB. 02,200≤+∈∃x R x C ． 02,200<+∈∃x R x ﻩD ． 02,2≤+∈∀x R x 2． 等差数列{}n a 前n 项和为n S ，公差2-=d ,213=S 则1a 的值为:A. 10 ﻩB. 9 ﻩＣ. 6 D. 53.“21cos =α”是 “3πα=”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.不充分也不必要条件4． 已知向量(2,1,4),(1,0,2)a b →→==，且→→+b a 与→→-b a k 互相垂直，则k 的值是 A. １ ﻩC ． ﻩD. 2017.01.04--５． 在AB C ∆中,若013,3,120AB BC C ==∠=，则AC =A ．1ﻩ ﻩB ．２ﻩ ﻩﻩﻩC.3ﻩ ﻩ Ｄ.46. 若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线经过点()4,3，则此双曲线的离心率为 Ａ.37 ﻩﻩＢ． 45ﻩC.34 ﻩ D ． 357. 若b a ,均为大于1的正数,且100=ab ,则b a lg lg ⋅的最大值为A. 0 ﻩﻩﻩB. 1 ﻩ C ． 2 ﻩ D.258. 已知数列{}n a ：11=a ，()++∈+=N n a a n n ,321 ,则=n aA ． 321-+n ﻩB. 12-n Ｃ. 12+n ﻩＤ.722-+n9. 已知直线022=-+by ax ()0,0>>b a 平分圆064222=---+y x y x ,则21a b+的最小值是 A.22-ﻩB.12- ﻩC.223+ ﻩD.223-１０. 设y x ,满足约束条件,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，则y x z 2-=的取值范围为A. ()3,3- ﻩB ． []3,3- C. [)3,3- ﻩD. []2,2- 11． 如图,过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ,交其准线于点，若，且，则此抛物线的方程为1531C 2BC BF =3AF =Ａ. 23 2y x=Ｂ.D．１2. 在锐角AB C∆中,角,,A B C所对的边分别为,,a b c,，2a=, ABCS∆＝2，则b的值为B．2ﻩＣ．ﻩﻩＤ.二、填空题(每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上)11. 在中,0075,45,3===CAAC ,则BC的长为 .1２. 已知数列{}na满足：()++∈=+Nnaann,log1log133，且9642=++aaa，则)(log97531aaa++的值为 .1５. 设不等式()(2)0x a x a-+-<的解集为N，若Nx∈是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-=∈2,21Mx的必要条件，则a的取值范围为_________1６．已知椭圆()222210x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为21,FF,过1F且与x轴垂直的直线交椭圆于,A B两点，直线2AF与椭圆的另一个交点为C,若→2→22=CFAF,则椭圆的离心率为__＿______三、解答题(本大题共６小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算23y x=29y x=ABC∆----步骤.)1７．(本题满分10分)已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且满足:n n n a a S +=22，()+∈Nn（1)求321,,a a a 的值 (2）求数列{}n a 的通项公式18．(本题满分12分）在AB C ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,且B c a C b cos )2(cos -=. (1)求角Ｂ的值；(２)若c b a ,,成等差数列，且3=b ,求ABC ∆面积19．(本题满分１２分）已知递增的等比数列{}n a 满足:9,84132=+=⋅a a a a (1）求数列{}n a 的通项公式;（２）设数列{}())∈(122=:+N n a n b b n n n -，求数列{}n b 的前n 项的和n T--２0．(本题满分1２分),是平面内的一个动点，直线与交于点,（1)求动点的轨迹的方程;（2)设直线与曲线交于M 、N 两点,当线段的中点在直线上时，求直线l 的方程.2１．（本题满分1２分）如图，在以Ａ,B ,Ｃ,D ,Ｅ，F 为顶点的五面体中，面A ＢＥF 为正方形，ＡF =2ＦD ,∠ＡFD =９0°,且二面角D ﹣AF ﹣Ｅ与二面角C ﹣B Ｅ﹣F 都是6０°．(１)证明平面ABE Ｆ⊥平面EF ＤC ; (2)证明:C Ｄ//ＥＦ（3）求二面角E ﹣BC ﹣A 的余弦值.P PA PB P P C 1:+=kx y l C MN 20x y +=2１题图 22题图22.(本题满分１2分）已知Ｏ是坐标系的原点，Ｆ是抛物线C：x２＝4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AＢ的中点为Ｍ，△OAB的重心为Ｇ．(1）求动点G的轨迹方程;(2)设(1）中的轨迹与ｙ轴的交点为D,当直线AB与x轴相交时，令交点为E,求四边形ＤEＭG的面积最小时直线AB的方程.高二数学理科数学参考答案：一、选择题1—１2BBCDA DBACB ＢA二、填空题----1３.2 1４. 5- １5. 25或21≥-≤a a16. 5三、解答题１7. 解:(1）3,2,1321===a a a ……３分(2）22n n a S = +n a , ①1211n 2+++=∴+n n a a S ② ②-① 得 ()()0111=--+++n n n n a a a a …．．5分0,01>+∴>+n n n a a a 1-1=∴+n n a a ……７分{}n a ∴是首项为1,公差为１的等差数列……..8分()n n a n =⨯-+=∴111……１0分 (学生用数学归纳法做相应给分)１8．解: （1）∴-=，B c a C b cos )2(cos 由正弦定理，B C A C B cos )sin sin 2(cos sin -= ∴，B A C B C B cos sin 2sin cos cos sin =+……２分∴，）（B A C B cos sin 2sin =+……3分 又π=++C B A ∴，B A A cos sin 2sin =……４分21cos =∴B 又B 为三角形内角 ……5分 3π=∴B ……6分(2）由题意得 ,62=+=c a b ……７分 又 3π=B--()acac c a ac b c a B 292221cos 2222--+=-+==∴ ……9分9=∴ac 0439sin 21==∴∆B ac S ABC ……12分1９. 解:（1）由题意,得,84132==a a a a 又,941=+a a所以,8,141==a a ， 或 ,1,841==a a ，……3分由{}n a 是递增的等比数列,知1>q 所以,8,141==a a ，且2=q ……………4分 1111221---=⨯==∴n n n n q a a ……………５分（２）由（1）得()()nn n n a n b 212122-=-=，…………………………6分所以123123252...(21)2nn T n =⋅+⋅+⋅++-⋅所以23412123252...(21)2n n T n +=⋅+⋅+⋅++-⋅……………………8分所以1231122(22...2)(21)2n n n T n +-=⋅++++-- 0得()12326n n T n +=-+． (2)20．--(11分3分6分 (２）设MN 的中点坐标为00(,)x y ………………7分得22(21)40k x kx ++=…………………………９分11分 由0020x y +=，得1k =所以直线的方程为：…………………………1２分21. 解：（Ⅰ)证明:∵ABEF 为正方形，∴AF ⊥EF ． ∵∠AF Ｄ=90°，∴AF ⊥DF ， ∵DF∩EF=F,∴AF ⊥平面E ＦＤC ， ∵A Ｆ⊂平面A ＢEF ，∴平面ＡB ＥF ⊥平面ＥFD Ｃ; ………………………………４分 (Ⅰ)解：由ＡF ⊥D Ｆ,A Ｆ⊥EF ，1y x =+可得∠DFＥ为二面角D﹣AＦ﹣E的平面角；……………………5分由CE⊥ＢE，BE⊥EF，可得∠CEＦ为二面角C﹣ＢE﹣F的平面角．…………………………6分可得∠DFＥ=∠CEF=6０°.∵ＡB∥EF,AＢ⊄平面EFDC，ＥF⊂平面ＥＦDＣ，∴AB∥平面EFDC，……………………………………７分∵平面EFDC∩平面ＡBCD=ＣD，AB⊂平面ABCＤ，∴AB∥ＣD，∴CＤ∥ＥF，∴四边形ＥＦDC为等腰梯形．……………………………………8分以E为原点,建立如图所示的坐标系，设ＦＤ＝a,则E（０，０，0),B（0，2a，０)，C(,0，a)，Ａ（２a,2a，0）,∴=(０，２ａ,0），＝（,﹣２a，a）,＝(﹣2ａ，0，0）…………９分设平面ＢEC的法向量为＝(x１，ｙ1，ｚ1),则，则,取=（，0,﹣1).………………1０分设平面ABC的法向量为=（x２，ｙ2,z2)，则，则，取=(0，,4) (1)--设二面角Ｅ﹣BＣ﹣Ａ的大小为θ，则cosθ＝＝＝﹣，则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣.…………………………１２分22. 解:（Ⅰ)焦点F（０,1)，显然直线AB的斜率存在，设AB:ｙ=kx+1,联立ｘ2＝4y，消去y得，x2﹣4kx﹣4=0，设A(x1，y1）,B（x2,y2),G（ｘ,y）,则x１+x２=４ｋ，x1x2＝﹣4，所以，所以，消去k,得重心Ｇ的轨迹方程为;…………………………4分--(Ⅰ)由已知及(Ⅰ）知，,因为，所以DG∥ＭＥ,(注:也可根据斜率相等得到），…………5分，……6分D点到直线AB的距离,……………………7分所以四边形DEMG的面积,………………１０分当且仅当，即时取等号,………………11分此时四边形DEＭG的面积最小，所求的直线ＡB的方程为.………………1２分--。
广东省深圳市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知点，则直线的倾斜角是（ ） ()(1,0,A B AB A ． B ．C ．D ．60 120 30 150 【答案】A【分析】求出直线的斜率，根据倾斜角的范围可得答案.AB 【详解】因为点，所以，()(1,0,AB AB k ==设直线的倾斜角为，则， AB α0180α<< 所以. 60α= 故选：A.2．“”是“方程表示椭圆”的57m <<22175x y m m +=--A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】 由题意，方程表示一个椭圆，则，解得且， 22175x ym m +=--705075m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩57m <<6m ≠所以“”是“方程”的必要不充分条件，故选C.57m <<22175x y m m +=--点睛：本题考查了椭圆的标准方程，其中熟记椭圆的标准的形式，列出不等式组是解答关键，此类问题解答中容易忽视条件导致错解，同时注意有时椭圆的焦点的位置，做到分类讨论.75m m -≠-3．在棱长为1的正方体中，（ ） 1111ABCD A B C D -1AB CB CB -+=A ．1 BC D ．2【答案】B【分析】根据向量的线性运算得，即可得结果．11AB CB CB AB -+=【详解】． 11AB CB CB AB BC CB AC -+=++=+ 故选：B ．4．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是 ()A ．B ．1(1)1n n a -=-+2,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数C ． D ．2sin2n n a π=cos(1)1n a n π=-+【答案】C【分析】令，2，3，4分别代入验证：即可得出答案．1n =【详解】解：令，2，3，4分别代入验证：可知，因此不成立． 1n =3:2C a =-故选：．C 【点睛】本题考查了数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.5．在空间四边形中，，点在上，且，为的中OABC ,,OA a OB b OC c === M OB 3OM MB =N AC 点，则（ ）NM =A ．B ．131242a b c -+- 121232a b c -++C ．D ．131242a b c ++ 121232a b c -+ 【答案】A【分析】利用空间向量加减法运算即可得到答案.【详解】.()()31311314242242NM OM ON OB OA OC b a c a b c =-=-+=-+=-+-故选：A6．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>A ．B ．C ．D ． y =y =y =y =【答案】A【详解】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：2222221312,c b c a b e e a a a a-==∴==-=-=∴因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.by x a=±y =点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.22221(,0)x y a b a b-=>22220x y by x a b a -=⇒=±7．若直线（，）平分圆，则的最小值是（ ） 10ax by +-=0a >0b >()()22114x y -+-=12a b+A ．2B ．5C ．D ．【答案】C【分析】直线平分圆，得到a ,b 关系，再根据基本不等式，即可求解. 【详解】解：直线平分圆，则直线过圆心，即，1a b +=所以(时，取等号) ()1212233b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭b =故选：C.8．已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的,M N 24y x =F 23MFN π∠=MN 中点到直线的距离记为，若不等式恒成立，则的取值范围（ ） P 1:16l y =-d 22λ≥MN d λA ． B ． (-∞(],2-∞C ． D ．(,1-∞(],3-∞【答案】D【分析】令，利用余弦定理表示出弦的长，再利用抛物线定义结合梯形中位||,||MF a NF b ==MN 线定理表示出，然后利用均值不等式求解作答.d 【详解】在中，令，由余弦定理得MFN △||,||MF a NF b ==， 222||||||2||||cos MN MF NF MFNF MFN =+-⋅∠则有， 222||MN a b ab =++显然直线是抛物线的准线，过作直线的垂线，垂足分别为，如1:16l y =-24y x =,,M P N l ,,A B C 图，而为弦的中点，为梯形的中位线，由抛物线定义知，P MN PB MACN ，11||(||||)()22d PB MA NC a b ==+=+因此， 22222222||4444443222MN a b ab ab a b d a b ab a b ab b a ++=⋅=-=-≥=++++++当且仅当时取等号，又不等式恒成立，等价于恒成立，则，a b =22λ≥MN d 22MN dλ≤3λ≤所以的取值范围是. λ(,3]-∞故选：D【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．二、多选题9．若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（ ） {}n a A ． {}n a B ．{}1n n a a +-C ．(为常数) {}n pa q +,p q D ． {}2n a n +【答案】BCD【分析】根据等差数列的定义逐一进行检验即可求解.【详解】对于选项A ，数列是等差数列，取绝对值后不是等差数列，故选项A 不符合题1,1,3-1,1,3意；对于选项B ，若为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列为常数列，故{}n a 1{}n n a a +-为等差数列，故选项B 符合题意；1{}n n a a +-对于选项C ，若为等差数列，设其公差为，则为常数{}n a d 11()n n n n pa q pa q p a a pd +++--=-=列，故为等差数列，故选项C 符合题意；{}n pa q +对于选项D ，若为等差数列，设其公差为，则为常数，故{}n a d 121221n n a n a n d +++--=+为等差数列，故选项D 符合题意， {2}n a n +故选：BCD.10．圆和圆的交点为A ，B ，则有（ ）221:20x y x O +-=222:240O x y x y ++-=A ．公共弦AB 所在直线方程为 0x y -=B ．公共弦ABC ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=D ．P 为圆上一动点，则P 到直线AB 2O 1+【答案】AC【分析】A 选项，两圆方程作差即可求出公共弦方程；B 选项，求出一个圆的圆心到公共弦的距离，利用垂径定理计算即可；C 选项，线段AB 的中垂线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；D 选项，求出到公共弦的距离，加上半径即可求出最值.2O 【详解】因为圆：和圆：的交点为A ，B ， 1O 2220x y x +-=2O 22240x y x y ++-=作差得，440x y -=所以圆与圆的公共弦AB 所在的直线方程为，故A 正确； 1O 2O 0x y -=因为圆心，，所在直线斜率为， 1(1,0)O 2(1,2)O -12O O 2111=---所以线段AB 的中垂线的方程为，即，故C 正确；0(1)y x -=--10x y +-=圆：的圆心为，半径，圆心到直线的距离2O 22240x y x y ++-=2(1,2)O -2r =2(1,2)O -0x y -=P 到直线AB 与圆的公共弦AB 的长d 1O 2O为B,D 错误． =故选:AC.11．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地F 点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且A mB n 三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为F A B 、、R ，则222a b c 、、A ．B ．C ．D ．a c m R -=+a c n R +=+2a m n =+b =【答案】ABD【分析】根据条件数形结合可知，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.m a c Rn a c R=--⎧⎨=+-⎩【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得 ，（*）m a c Rn a c R=--⎧⎨=+-⎩ ，故A 正确；a c m R ∴-=+，故B 正确；a c n R +=+（*）两式相加，可得，故C 不正确；22m n a R +=-22a m n R =++由（*）可得 ，两式相乘可得 m R a c n R a c +=-⎧⎨+=+⎩()()22m R n R a c ++=- ，222a c b -=，故D 正确.()()2b m R n R b ∴=++⇒=故选ABD【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简.12．如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线1111ABCD A B C D -,E F 111,A D AA G 上一个动点，则（ ）1B CA ．三棱锥的体积为定值1A EFG -B ．线段上存在点，使平面//平面1B C G EFG 1BDCC ．当时，直线与平面134CG CB = EG ABCDD ．三棱锥1A EFG -【答案】ACD【分析】A 选项，使用等体积法，面面平行进行证明； B 选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行证明；C 选项，根据先求出的坐标，然后利用向量的夹角公式计算；134CG CB =G D 选项，找到外接球的球心，表达出半径，求出最大值.【详解】对于A 选项，因为平面//平面，而平面，故//平面11ADD A 11BCC B 1B C ⊂11BCC B 1B C ，11ADD A 因为点为面对角线上一个动点，故点到面距离不变，为， G 1B C G 11ADD A 2因为分别为棱的中点，故为定值，,E F 111A D AA ､1111122A EF S =⨯⨯=A 故三棱锥，而三棱锥的体积，A 选项正确；1112313G E A F F A E S V -⨯⨯==A 11A EFG G EFA V V --=对于B 选项，如图1，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直D DA x DC y 1DD 线为轴建立空间直角坐标系，z 则，，，，，设（），()2,2,0B ()0,0,0D ()10,2,2C ()1,0,2E ()2,0,1F (),2,G m m 02m ≤≤平面的法向量为，则，令，则，，则1BDC ()1111,,n x y z = 1111111220220n DB x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩11y =11x =-11z =-，()1111n ,,=--设平面的法向量，则，令，则EFG ()2222,,n x y z = ()()222222202210n EF x z n FG m x y m z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩ 21x =，， 21z =2322my -=所以， 2321,,12m n -⎛⎫= ⎪⎝⎭若平面//平面，则存在，使得，即，解得：，EFG 1BDC k 12n kn = ()321,1,11,,12m k -⎛⎫--= ⎪⎝⎭1k =-，52m =因为，故不合题意，02m ≤≤所以线段上不存在点，使平面//平面，B 选项错误；1B C G EFG 1BDC 对于C 选项，，，，若，即，解得(),2,G m m (0,2,0)C 1(2,2,2)B 134CG CB = ()()3,0,2,0,24m m =， 32m =此时，又，，显然平面的一个法向量，33,2,22G ⎛⎫⎪⎝⎭()1,0,2E 11,2,22EG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ABCD (0,0,1)a =设直线与平面所成角为，则C 选项正确；EG ABCD θsin cos ,a θ=对于D 选项，如图2，连接，交EF 于点J ，则为EF 的中点，1A D J 1A J =的外接球球心的投影为，1A EFG -J 过点作于点，则平面，，找到球心位置，连接，则G 1GH A D ⊥H GH ⊥11ADD A 2GH =O 1,OA OG 为外接球半径，1OA OG =过点作于点，则，，设（），O OK GH ⊥K OK JH =OJ HK =OK JH a ==0a ≤≤，OJ HK h ==由勾股定理得：，，从而2222211OA OJ A J h =+=+()2222OG h a =-+()22222h h a +=-+，解得：，2724a h +=要想半径最大，则只需最大，即最大，当最大为，此时半径的最大值为h 2a a =h2，故D 正确. =故选：ACD三、双空题13．已知数列的通项公式为：，则的最小值为_____，此时的值为_____. {}n a 103n a n =-n a n 【答案】133【分析】分类讨论去绝对值，即可根据通项公式的单调性判断求值.【详解】，已知先减后增，且. 10,4103103,43n n n a n n n ⎧-<⎪⎪=-=⎨⎪-≥⎪⎩n a 3413a a =<故的最小值为，此时的值为3.n a 13n 故答案为：；3.13四、填空题14．在等差数列中，前n 项和记作，若，则______． {}n a n S ()15265k S a a a =++k =【答案】16【分析】根据等差数列前项和公式及下标和性质以及通项公式计算可得； n 【详解】解：因为，所以，即()15265k S a a a =++()()115261552k a a a a a +=++，所以，所以()82615252k a a a a ⨯=++8263k a a a a =++，所以；()()()()826111113375151k a a a a a d a d a d a d a k d =-+=+-+++=+=+-16k =故答案为：1615．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线E 的左、1F 2F ()222:103x yE a a -=>1F 右两支分别交于A ，B 两点，若，则的面积为__________． 22::5:12:13BF AB AF =2ABF△【答案】##2.4 125【分析】根据双曲线的定义以及焦点三角形即可根据勾股定理求解，由直角三角形的面积公22a =式即可得解. 【详解】如图，因为，所以． 22::5:12:13BF AB AF =2AB BF ⊥设，，得，25BF x =12AB x =213AF x =由，得 1221BF BF AF AF -=-1112||513||x AF x x AF +-=-所以，则，13AF x =115BF x =由，得，2221212BF BF F F +=222504x c =又 ，所以，，， 12221023BF BF x a c a ⎧-==⎨=+⎩22a =25c =2225x =故的面形. 2ABF △221123025S AB BF x ===故答案为：125五、双空题16．已知数列满足，，则数列的通项公式为_____________，若数{}n a 14a =()121n n na n a +=+{}n a 列的前项和，则满足不等式的的最小值为_____________．{}(1)(2)na n n ++n n S 30n S ≥n 【答案】 612n n a n +=⋅【分析】根据给定递推公式变形构造新数列即可得解；利用裂项相消法求出，再借助数列单调性n S 计算得解.【详解】在数列中，，由得：，而， {}n a 14a =()121n n na n a +=+121n n a a n n +=⋅+141a=于是得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，则，即，{}n a n 142n n a n-=⋅12n n a n +=⋅所以数列的通项公式为；{}n a 12n n a n +=⋅显然，，121212(1)2(2)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21n n n n n n a n n n n n n n n n n n +++++⋅+⋅-+⋅===-++++++++则，324354121222222222222))))2324354121(((((2n n n n n n S n n n n n ++++-+-+-++-+-=+=-+++ 由得：，即，令，则，即数列是递增30n S ≥222302n n +-≥+22322n n +≥+222n n b n +=+12(2)13n n b n b n ++=>+{}n b 数列，由，得，而，因此，，从而得，， 22322n n +≥+32n b ≥632b =6n b b ≥6n ≥min 6n =所以满足不等式的的最小值为6.30n S ≥n 故答案为：；612n n a n +=⋅六、解答题17．已知直线，．()():12360m a x a y a -++-+=:230n x y -+=(1)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程；0a =l m n l (2)若坐标原点O 到直线的距离为1，求实数的值．m a 【答案】(1)或，120x y -+=370x y -=(2)或 1a =132a =-【分析】（1）先求出直线与的交点，然后设出直线的方程，求出直线在两坐标轴上的截距，m n l l 由截距相反列方程可求出直线的斜率，从而可求出直线的方程；l （2）利用点到直线的距离公式列方程可求出实数的值.a 【详解】（1）当时，直线， 0a =:360m x y -++=由，解得， 360230x y x y -++=⎧⎨-+=⎩219x y =-⎧⎨=-⎩所以直线与的交点为，m n (21,9)--由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，l l 9(21)y k x +=+当时，，0x =219y k =-当时，， 0y =921x k=-因为直线在两坐标轴上的截距相反，l 所以，即， 9219210k k-+-=271030k k -+=解得或， 1k =37k =所以直线的方程为或， l 921y x +=+39(21)7y x +=+即或，120x y -+=370x y -=（2）因为坐标原点O 到直线的距离为1，直线，m ()():12360m a x a y a -++-+=，1=化简得，解得或. 2211130a a +-=1a =132a =-18．如图在边长是2的正方体中，E ，F 分别为AB ，的中点．1111ABCD A B C D -1AC（1）求异面直线EF 与所成角的大小．1CD （2）证明：平面． EF ⊥1ACD 【答案】（1）；（2）证明见解析．60︒【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解； 111cos ,EF CD EF CD EF CD ⋅= （2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直. 10EF DA ⋅= 0EF DC ⋅= 【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：，，，，，(0,0,0)D 1(2,0,2)A (0,2,0)C (2,1,0)E (1,1,1)F 1(0,0,2)D ∴，，，．(1,0,1)EF =- 1(0,2,2)CD =- 1(2,0,2)DA = (0,2,0)DC = （1）， 11cos ,2EF CD = ∴1,60EF CD ︒= ∴异面直线EF 和所成的角为．1CD 60︒（2）11200120EF DA ⋅=-⨯+⨯+⨯= ∴，即1EF DA ⊥ 1EF DA ⊥，1002100EF DC ⋅=-⨯+⨯+⨯=∴即．EF DC ⊥ EF DC ⊥又∵，平面且1DA DC ⊂1DCA 1DA DC D ⋂=∴平面． EF ⊥1ACD 19．记为数列的前项和，． n S {}n a n 1122n n n S a --=()*n N ∈（1）求；1n n a a ++（2）令，证明数列是等比数列，并求其前项和．2n n n b a a +=-{}n b n n T 【答案】（1）；（2）证明见解析，. 12n -11122n n T +=-【分析】（1）运用数列的递推式：时，，时，，化简变形可得1n =11a S =2n ≥1n n n a S S -=-，进而得到所求答案. 1112n n n a a --+=-（2）由（1）的结论，将n 换为n +1，两式相减，结合等比数列的定义和求和公式，即可得到答案.【详解】（1）由，可得时，，即； 1122n n n S a --=1n =1121S a -=11a =当时，，2n ≥1n n n a S S -=-由，， 1122n n n S a --=112122n n n S a ----=两式相减可得：，即：. 11211222n n n n n a a a ----+=-1112n n n a a --+=-即有. 112n n na a ++=-（2）由（1）可得，即有， 112n n n a a ++=-21112n n n a a ++++=-两式相减可得，即. 2112n n n a a ++-=112n n b +=则，可得数列是首项为，公比为的等比数列. 1122122n n n n b b +++=={}n b 1412所以. 1111114212212n n n T +⎛⎫- ⎪⎝⎭==--【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．20．已知：圆过点，，，是直线上的任意一点，直线C ()0,1D ()2,1E -(F -P 1:2l y x =-与圆交于、两点.2:1=+l y x C A B（1）求圆的方程；C （2）求的最小值.22PA PB +【答案】（1）；（2）．22210x y x ++-=13【分析】（1）设圆的一般方程为，即可根据题意列出三个方程，解出C 220x y Dx Ey F ++++=，即可得到圆的方程； ,,D E F C （2）联立直线的方程和圆的方程可得、两点的坐标，设，再根据两点间的距离公2l C A B (),P x y 式表示出，消去，可得关于的二次函数，即可求出最小值． 22PA PB +y x 【详解】（1）设圆的一般方程为，依题意可得，C 220x y Dx Ey F ++++=．1025030E F D E F D F ⎧++=⎪-+++=⎨⎪-+==⎩2,0,1D E F ⇒===-所以圆的方程为：．C 22210x y x ++-=（2）联立或， 221002101y x x x y x y ⎧--==⎧⇒⎨⎨++-==⎩⎩21x y =-⎧⎨=-⎩不妨设，，则，(0,1),(2,1)A B --(),P x y 2y x =-∴． 222222221||||(1)(2)(1)44144132PA PB x y x y x x x ⎛⎫+=+-++++=-+=-+ ⎪⎝⎭故的最小值为．22PA PB +13【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，直线与圆的交点坐标的求法，以及两点间的距离公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．21．如图，在三棱锥中， ，为的中点，. A BCD -AB AD =O BD OA CD ⊥(1)证明：平面平面;ABD ⊥BCD(2)若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，三棱锥OCD A E AD 2DE EA =B ACD -，求平面BCD 与平面BCE 的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证明平面BCD ，又平面ABD ，从而由面面垂OA ⊥OA ⊂直的判定定理即可得证；（2）取的中点，因为为正三角形，所以，过作与交于点OD F OCD A CF OD ⊥O //OM CF BC M ，则，又由（1）知平面BCD ，所以，，两两垂直，以点为坐标原OM OD ⊥OA ⊥OM OD OA O 点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，进OM OD OA x y z 而求出平面的法向量，最后根据向量法即可求解.【详解】（1）证明：因为，为的中点，AB AD =O BD 所以，又且，OA BD ⊥OA CD ⊥BD CD D ⋂=所以平面BCD ，又平面ABD ， OA ⊥OA ⊂所以平面平面； ABD ⊥BCD（2）解：由题意，， 1112OCD S =⨯⨯=A BCD S =A 由（1）知平面BCD ，OA ⊥所以，所以OA =2， 1133B ACD A BCD BCD V V S OA --=⋅⋅==A 取的中点，因为为正三角形，所以，OD F OCD A CF OD ⊥过作与交于点，则，所以，，两两垂直，O //OM CF BC M OM OD ⊥OM OD OA以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，O OM OD OA x yz则，，，，，1，，A （0，0，2），， (0B 1-0)1,0)2C (0D 0)14(0,,)33E 因为平面，所以平面的一个法向量为， OA ⊥BCD BCD (0,0,1)m = 设平面的法向量为，又， BCE (,,)n x y z =344,0),(0,,)233BC BE == 所以由，得，令，， 00n BC n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩30244033x y y z +=⎪+=⎪⎩x =1y =-1z =所以，1,1)n =-所以 |||cos ,|||||m n m n m n⋅<>= 所以平面BCD 与平面BCE22．在平面直角坐标系中，椭圆2． ()2222:10x y C a b a b +=>>(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线A 、B 两点，D 是椭圆C 上一点，直线OD 的斜率为，且:l y mx =n 12mn =．T 是线段OD 的半径为，OP ，OQ 是的两条切T A DT T A 线，切点分别为P ，Q ，求的最大值．QOP ∠【答案】(1)； 22132x y +=(2)最大值为.QOP ∠3π【分析】（1）根据焦距易得; 1c =（2）将直线与椭圆联立得到方程组，利用弦长公式得到的表达式，再利用AB |||DT AB =，则可得到，即圆半径的表达式，根据，则,则将直线的方程与椭圆方程DT r 12mn =12n m =OD 联立，得到的表达式，利用,将上述表达式代入，利用换元法结合二次函OD sin2||QOP r r OD ∠=+数最值得到的最值，最终得到的最大值. sin 2QOP ∠QOP ∠【详解】（1）由题意得，， 22c =1c =又c e a = a ∴=b ∴=椭圆方程为：. ∴22132x y +=（2）设，， ()11,A x y ()22,B x y 联立，22132x y y mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()2281290m x +--=，()2227203681211522880m m m ∆=++=+>， 12x x +=129128x x m -=+2||AB x -==， |r AB =，直线的方程为：， 12n m=∴OD 12yx m =联立得，，2213212x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2222483m x m =+22683y m =+ ||OD ==,1sin ||2||1QOP r OD r OD r ∠==++，OD r ==令，，且， 223m t +=()2123m t =-2t>110,2t ⎛⎫∈⎪⎝⎭则ODr==1=≥=当且仅当，，即，时等号成立， 1114t =14t =22314m +=2m =±，因此， 1sin 22QOP ∠≤π26QOP ∠≤的最大值为， QOP ∴∠π3综上所述，的最大值为，此时. QOP ∴∠π32m =±【点睛】本题第二问计算量与思维量较大，对于弦长公式要做到熟练运用，角度最值转化为在一定角度范围内的角的正弦值的最值，最终结合换元法，配方法等求解函数表达式的最值，从而得到角度的最值.。
2016-2017学年广东省高二上学期期末质量检测数学(理)试题Word版含答案
2016-2017学年广东省高二上学期期末质量检测数学（理）试题一、选择题1．命题“”的否定是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】命题“”的否定是“”.故选B.2．若直线经过第一、二、三象限，则系数满足的条件为（）A. 同号B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】因为直线经过第一、二、三象限，所以，将化成，则，即，.故选B.3．已知直线平面，直线平面，下面有三个命题：①；②；③.则真命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】若直线平面，，则直线平面，又因为直线平面，所以，故①正确；若直线平面，，则或直线平面，则可能平行、相交或异面，故②错误；若直线平面，，则直线平面，又因为直线平面，所以，故③正确；故选C.4．“”是“表示的曲线是双曲线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“表示的曲线是双曲线”的充要条件是“”，即“或”，则“”是“表示的曲线是双曲线”的充分不必要条件.故选A.点睛：处理四种条件（充分条件、必要条件、必要条件、既不充分也不必要条件）的判定时，往往转化为数集间的包含关系，利用“小范围是大范围的充分不必要条件”进行判定.5．若圆关于直线对称，则直线的斜率是（）A. 6B.C.D.【答案】A【解析】将化为，因为圆关于直线对称，所以直线过圆心，则，解得，则直线的斜率是.故选D.6．如图，空间四边形中，，点在上，且是的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题解析：根据向量的减法可知，因为点在上，且是的中点，所以，,所以，故选B.【考点】向量的线性运算．【方法点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查了共线向量定理与平面向量基本定理及向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，属于中档题.题目给出了空间的一个基底，要求用基向量表示向量，先根据向量减法的三角形法则表示为，再根据共线向量定理和三角形的中线向量表达式表示出,最后用基向量表示出式中各向量即可.7．下列命题中正确的是（）A. 若为真命题，则为真命题；B. 若直线与直线平行，则C. 若命题“”是真命题，则实数的取值范围是或D. 命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”【答案】C【解析】若为真命题，则至少有一个为真命题，则不一定真命题，即选项A错误；若直线与直线平行，则，即，即选项B错误；若命题“”是真命题，则,解得或，即选项C正确；命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”，即选项D错误；故选C.8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是由半个圆锥与一个四棱锥组合而成（如图所示），其中圆锥的底面半径为1，高为，母线长为2，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，取的中点，连接，则该几何体的表面积为 .故选B.9．圆上到直线的距离等于1的点有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】圆的圆心到直线的距离，且圆的半径为3，所以圆上到直线的距离等于1的点有3个.故选C.点睛：处理圆上的点与某条直线间的位置关系或直线与圆的位置关系时，一般先研究该圆的圆心到该直线的距离问题.10．如图，三棱锥中，，，点分别是中点，则异面直线，所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：连结ND，取ND的中点E，连结ME，则ME∥AN，∴∠EMC是异面直线AN，CM所成的角，∵AN=，∴ME==EN，MC=，又∵EN⊥NC，∴，∴cos∠EMC=，∴异面直线AN，CM所成的角的余弦值为．【考点】异面直线所成角11．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，以为直径的圆的方程为，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，则，又因为以为直径的圆的方程为，所以，解得.故选B.点睛：涉及过抛物线的焦点的弦的长度问题，往往要借助抛物线的定义转化为抛物线上的点到准线的距离，比联立方程利用弦长公式进行求解减少了计算量.12．在棱长为6的正方体中，是中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（）A. 36B.C. 24D.【答案】B【解析】试题分析：因平面，则，同理平面，则，，则，，则，下面研究点在面的轨迹（立体几何平面化），在平面直角坐标系内设，设，因为，所以，化简得：，该圆与的交点纵坐标最大，交点为，三棱锥的底面的面积为18，要使三棱锥体积最大，只需高最大，当在上切时，棱锥的高最大，，.，本题应选,与原答案有出入.【考点】1.直线与平面垂直的性质定理；2.三棱锥的体积；二、填空题13．一个长方体的各顶点均在同一球面上，且同一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为__________．【答案】【解析】设该球的半径为，则，所以此球的表面积为.14．已知两圆和相交于两点，则直线的方程是__________．【答案】【解析】将化为，两圆方程相减得，即，即直线的方程是.15．是经过双曲线焦点且与实轴垂直的直线，是双曲线的两个顶点，若在上存在一点，使，则双曲线离心率的最大值为__________．【答案】【解析】由题意，设，则，因为在上存在一点，使，所以关于的方程有实数根，即关于的方程有实数根，则，解得，即，即双曲线离心率的最大值为.16．已知抛物线，为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于两点，分别为在上的射影，为的中点，给出下列命题：①；②；③；④与的交点在轴上；⑤与交于原点.其中真命题是__________．（写出所有真命题的序号）【答案】①②③④⑤【解析】因为在抛物线上，由抛物线的定义，得，又分别为在上的射影，所以，即①正确；取的中点，则，所以，即②正确；由②得平分，所以，又因为，所以，即③正确；取轴，则四边形为矩形，则与的交点在轴上，且与交于原点，即④⑤正确；故填①②③④⑤.点睛：要注意填空题的一些特殊解法的利用，可减少思维量和运算量，如本题中的特殊位置法（取轴）.三、解答题17．设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.（1）若且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）命题是一元二次不等式，解得，即.命题是分数不等式，解得，为真，也就是这两个都是真命题，故取它们的交集得；（2）是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件，即是的真子集，故，即.试题解析：（1）由得,又,所以,当时,1<,即为真时实数的取值范围是1<.为真时等价于,得,即为真时实数的取值范围是.若为真,则真且真,所以实数的取值范围是.（2）是的充分不必要条件,即,且, 等价于,且,设A=, B=, 则B A;则0<,且所以实数的取值范围是.【考点】一元二次不等式、含有逻辑连接词命题真假性的判断．18．已知圆，直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于两点.（1）当与垂直时，求出点的坐标；（2）当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）先利用与垂直得出直线的斜率和方程，再联立直线与的方程进行求解；（2）设出直线方程，利用直线和圆的弦长公式和圆心到直线的距离公式进行求解.试题解析：（1）由题意，直线的方程为，联立得，所以.（2）当直线与轴垂直时，易知符合题意；当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由，得，解得.故直线的方程为或.点睛：在解决平面解析几何问题时，合理设出直线方程往往是关键的第一步，在设直线方程时要注意该直线是否存在斜率，如本题中斜率不存在时也符合题意.19．如图，直三棱柱中，，为中点，.（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）先利用平面几何知识证得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理进行证明；（2）利用线面平行合理转化点到直线的距离，再利用几何体的体积公式进行求解.试题解析：（1）证明：在矩形中，为的中点，且，∴，，∴，∴.又，，∴平面.（2）∵，面，面，∴面，∴.由（1）知面，∴，又，且，∴平面，又，∴，，∴.点睛：在求三棱锥的体积，往往可以合理转化顶点和底面，再作出顶点到底面的垂线，如本题中的.20．已知曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，直线过点，且与交于两点.（1）求曲线的方程；（2）若为中点，求三角形的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由抛物线的定义进行求解；（2）利用点差法求出直线的的斜率和直线方程，再联立直线和抛物线方程，利用弦长公式、点到直线的距离公式和三角形的面积公式进行求解.试题解析：（1）设曲线上任意一点，由抛物线定义可知，曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）设，，则，，所以，因为为中点，所以，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即，此时直线与抛物线相交于两点.设为与轴交点，则，由消去得，所以，，所以三角形的面积为.21．如图，已知四棱锥中，平面，，且，是边的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值大小．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）先利用三角形的中位线和平行四边形及平行公理证明线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明；（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量，利用空间向量进行求解.试题解析：（1）证明：取中点，连接，，∵是边的中点，∴，且，又∵，∴，又∵，即，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴，又面，面，∴面.（2）解：在底面内过点作直线，则，又平面，以，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，则，，，，设面的一个法向量为，则，即，令，则，∴.同理可求面的一个法向量为，，由图可知，二面角是钝二面角，所以其平面角的余弦值为.22．如图，在平面直角坐标系中，已知是椭圆上的一点，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于，.（1）若点在第一象限，且直线，互相垂直，求圆的方程；（2）若直线，的斜率存在，并记为，求的值；（3）试问是否为定值？若是，求出该值.【答案】（1）；（2）；（3）36.【解析】试题分析：（1）圆的半径,直线，互相垂直，且和圆相切, 所以，即，又点在椭圆上，适合椭圆的方程，联立方程组，解之求出圆心坐标即可；（2）写出直线的方程，由圆心到直线的距离等于半径，,化简、整理得，又点适合椭圆的方程，代入化简即可;（3）由（2）知,从而可得，将，代入椭圆方程求得，，代入得，并可求得，即可求得.（1）由圆的方程知圆的半径，因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以，试题解析：即①又点在椭圆上，所以②联立①②，解得，所以，所求圆的方程为．（2）因为直线和都与圆相切，所以，，化简得，因为点在椭圆上，所以，即，所以．（3）方法一（1）当直线、不落在坐标轴上时，设，，由（2）知，所以，故，因为，，在椭圆上，所以，，即，，所以，整理得，所以，所以.方法（二）（1）当直线，不落在坐标轴上时，设，，联立，解得，所以.同理，得，由（2），得.所以.（2）当直线、落在坐标轴上时，显然有.综上：.【考点】1.椭圆的标准方程与几何性质；2.圆的标准方程；3.直线与圆的位置关系.。
2016-2017学年广东省高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
2016-2017学年广东省高二上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间之间坐标系中，平面α内有(),2,1M m -和()0,,3N m 两点，平面α的一个法向量为()3,1,2N =，则m 等于（ ）A ．2-B ．2C ．3D ．3-2.某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为（ ）A ．53B ．532 C ．5 D ．52 3.已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若直线cos 210x y θ++=与直线sin 230x y θ--=垂直，则sin θ等于（ ）A ．13B ．23C ．12D ．144.已知双曲线()220mx y m m -=＞的一条渐近线的倾斜角是直线30x y -=倾斜角的2倍，则m 等于（ ）A ．3B ．3 C.2 D ．25.已知命题:p x R ∃∈，320x -≤.若()p q ⌝∧是假命题，则命题q 可以是（ ）A ．椭圆22342x y +=的焦点在x 轴上B ．圆222410x y x y +---=与x 轴相交 C.若集合A B A ⋃=，则B A ⊆ D ．已知点()1,2A 和点()3,0B ，则直线230x y +-=与线段AB 无交点6.空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c = ，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN等于（ ）A ．211322a b c -++B ．121232a b c -+ C.221332a b c +- D ．112223a b c +-7.“11m -≤≤”是“圆()221x m y ++=与圆()2224x y -+=有公共点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件8.已知α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，给出下列命题，其中正确的命题的个数是（ ） （1）若m α⊥，m β⊂，则αβ⎰；（2）若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则a β∥；（3）如果m α⊂，n α⊄，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交； （4）若m αβ⋂=，n m ∥，且n α⊄，n β⊄，则n α∥且n β∥. A ． B ． C. D ．9.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，且3PA AD ==，6CD =，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，则点F 到平面PCE 的距离为（ ）A ．324 B ．2 C.334 D ．3210.已知直线:0l ax y b ++=与圆22:4O x y +=相交于A 、B 两点，()3,1M -，且23OA OB OM +=，则3ab 等于（ ）A ．3-B ．4- C.3 D ．411.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．143B ．6 C.7 D ．8 12.已知点A 是抛物线()2:20M y px p =＞与圆()222:4C x y a +-=在第一象限的公共点，且点A 到抛物线M 焦点F 的距离等于a .若抛物线M 上一动点到其准线与到点C 的距离之和的最小值为2a ，O 为坐标原点，则直线OA 被圆C 所截得的弦长为（ ） A ．2 B ．23 C.723 D ．726第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.底面半径为3的圆柱的侧面积是圆柱表面积的12，则该圆柱的高为 ． 14.在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的中心坐标为()1,0，其一边AB 所在直线的方程为10x y -+=，则边CD 所在直线的方程为 ．15.椭圆()222210x y a b a b +=＞＞的右顶点和上顶点分别为A 和B ，右焦点为F .若AF 、AB 、3BF 成等比数列，则该椭圆的离心率为 ．16.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11A B 上一点，若平面EBD 与平面ABCD 所成锐二面角的正切值为322，设三棱锥11A A D E -外接球的直径为a ，则a AB= ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，()1,1A -，()1,3B ，点C 在直线10x y -+=上. （1）若直线AC 的斜率是直线BC 的斜率的2倍，求直线AC 的方程； （2）点B 关于y 轴对称点为D ，若以DC 为直径的圆M 过点A ，求C 的坐标.18. （本小题满分12分）已知双曲线()22103x y m m -=＞的离心率为e ，经过第一、三象限的渐近线的斜率为k ，且2e k ≥. （1）求m 的取值范围；（2）设条件:2p e k ≥；条件()()2:2220q m a m a a -+++≤.若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是一直角梯形，90BAD ∠=︒，AD BC ∥，AB BC a ==，233PA a =，2AD a =.（1）若AE PD ⊥，E 为垂足，求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值； （2）求平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的正切值.20. （本小题满分12分）已知过点()4,0A -的动直线l 与抛物线()2:20G x py p =＞相交于B 、C 两点.当直线l 的斜率是12时，4AC AB = .（1）求抛物线G 的方程；（2）设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围.如图，四边形ABCD 是矩形，MD ⊥平面ABCD ，NB MD ∥，且2AD =，1NB =，3CD MD ==. （1）过B 作平面BFG ∥平面MNC ，平面BFG 与CD 、DM 分别交于F 、G ，求AF与平面MNC 所成角的正弦值；（2）E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求MEMN的值.22. （本小题满分12分）已知()1,0F c -、()2,0F c 分别是椭圆()222:104x y G a a +=＞的左、右焦点，点M 是椭圆上一点，且212MF F F ⊥，1243MF MF a -=.（1）求椭圆G 的方程；（2）若斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底作等腰三角形，顶点为()3,2P -，求PAB ∆的面积.2016-2017学年广东省高二上学期期末考试数学（理）试题答案一、选择题1.C 由题意得n MN ⊥，则0n MN = ，即3240m m -+++=，解得3m =.2.B 由三视图可知，俯视图是一个直角梯形，上、下底和高分别为2、3和3，其面积为()15323322⨯+⨯=. 3.D 由题意得cos 2sin 2cos 4sin cos 0θθθθθ-=-=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 4θ∴=.4.A 由已知得双曲线()2210y x m m-=＞的渐近线y mx =的倾斜角为60︒，则tan 603m =︒=，得3m =. 5.D 易判断命题p 是假命题，若()p q ∧是假命题，则q 为假命题，选项A 、B 、C 均正确，对于D ，作图知直线230x y +-=与线段AB 有交点，所以选D . 6.A 211211322322MN MO ON OA OB OC a b c =+=-++=-++.7.A 若圆()221x m y ++=与圆()2224x y -+=有公共点，则21221m -++≤≤，解得53m --≤≤或11m -≤≤，故选A .8.B 根据面面垂直的判定定理可知命题（1）正确；若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则α与β平行或相交，故命题（2）错误；如果m α⊂，n α⊄，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交或平行，故命题（3）错误；由线面平行的性质定理可知命题（4）正确.故正确命题有2个，故选B .9.A 建立如图所示的空间直角坐标系，则6,0,32EP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，6,3,02EC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面PCE 的法向量为(),,n x y z =， 则0,0,n EP n EC =⎧⎨=⎩ 即630,2630.2x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取1y =-，得()6,1,1n =-.又330,,22PF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,故点F 到平面PCE 的距离为333222422PF n d n --=== .10.B 23OA OB OM += ，∴直线l 与直线OM 垂直，且圆心O 到直线l 的距离为122233OM ⨯=，即23,2,31a b a ⎧=-⎪⎨=⎪+⎩，作图知0b ＞，解得3,4.3a b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩则34ab =-. 11.D 该几何体的直观图如图所示.连接BD ，则该几何体由直三棱柱BCD EFG -和三棱锥E ABD -组合而成，其体积为1112232238232⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=.12.C 抛物线M 上一动点到其准线与到点C 的距离之和的最小值为2a ，又2CA AF a +=，C ∴、A 、F 三点共线，且A 是线段CF 的中点，()0,4C ，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,24p A ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，则42224p p p =⇒= ，32422p p a ∴=+=， 圆心C 到直线:22OA y x =的距离为04433-=，∴所求的弦长为24722233a ⎛⎫-=⎪⎝⎭. 二、填空题13.3 设高为h ，则由题意得()166292h h πππ=+⨯，解得3h =. 14.30x y --= 直线10x y -+=上的点()1,0-关于点()1,0对称点为()3,0，设直线CD 的方程为0x y m -+=，则直线CD 过()3,0，解得3m =-，所以边CD 所在直线的方程为30x y --=.15.352- AF a c =- 、22AB a b =+、33BF a =，∴由23AF BF AB = 得()223a b a a c +=-，222b a c =- ，2230c ac a ∴-+=，则2310e e -+=，解得352e -=或352e +=（舍去）. 16.193过E 作1EF AA ∥交AB 于F ，过F 作FG BD ⊥于G ，连接EG ，则EGF ∠为平面EBD 与平面AB CD -所成锐二面角的平面角，32tan 2EGF ∠=，322EF FG ∴=，设3AB =，则3EF =，2FG ∴=，则12BF B E ==，11A E ∴=，则三棱锥11A A D E -外接球的直径19919a =++=，193a AB ∴=. 三、解答题17.解：（1） 点C 在直线10x y -+=上，∴可设点()(),11C x x x +≠， 直线AC 的斜率是直线BC 的斜率的2倍， ()2131111x x x x +-++∴=--，解得6x =， 则点()6,7C ， ∴直线AC 方程为171161y x ++=--，即85130x y --=. （2） 点B 关于y 轴对称点D ，()1,3D ∴-， 以DC 为直径的圆M 过点A ， 1AD AC k k ∴=- ，即11311111x x +++=---- ， 解得5x =-，即()5,4C --， ∴圆M 的圆心坐标为13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.18.解：（1）由已知得:43m e +=,3m k =,2e k ≥,3233m m +∴≥,解得3m ≤，0m ＞，03m ∴＜≤，即m 的取值范围(]0,3.（2）()()2222m a m a a -+++ ≤0，()()20m a m a ∴---≤，即2a m a +≤≤，p 是q 的必要不充分条件， 0,23,a a ⎧∴⎨+⎩＞≤ 解得01a ＜≤，即a 的取值范围为(]0,1.19.解：法一：（1）过点E 作EM CD ∥交PC 于M ，连接AM ，则AE 与ME 所成角即为AE 与CD 所成角. 在Rt PAD ∆中，90PAD ∠=︒，由3ADPA=得30PDA ∠=︒， 433PD a ∴=.sin 30AE AD a ∴=︒= . 2223333433a PA PE a PD a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=== ，2CD a =.32234433a a CD PE ME a PD a ∴=== . 连接AC . 在ACD ∆中，2AD a =，2AC a =，2CD a =，222AD AC CD ∴=+， 90ACD ∴∠=︒，CD AC ∴⊥，ME AC ∴⊥.又PA ⊥ 底面ABCD ，PA CD ∴⊥，ME PA ∴⊥.ME ∴⊥平面PAC .MA ⊂ 平面PAC ，ME AM ⊥ .∴在Rt AME ∆中，2cos 4ME MEA AE ∠==.∴异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为24.法二：（1）如图建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，(),0,0B a ，130,,22E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(),,0C a a ，()0,2,0D a ，230,0,3P a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，130,,22AE a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(),,0CD a a =-. 设AE 与CD 所成角为θ，则()()2222221300222cos 4130022a a a a AE CDAE CDa a a a θ⨯-++===⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为24. （2）易知，CB AB ⊥，CB PA ⊥，则CB ⊥平面PAB .∴平面PAB 的一个法向量为()0,,0BC a =. 设平面PCD 的一个法向量为(),,m x y z =，则m PC ⊥，m CD ⊥.而23,,3PC a a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(),,0CD a a =-，∴由0m PC = ，0m CD = . 得230,30.ax ay az ax ay ⎧+-=⎪⎨⎪-+=⎩,3.x y z y =⎧⎪∴⎨=⎪⎩令1y =，()1,1,3m ∴=. 设向量BC 与m 所成角为α， 则()222222011035cos 5500113BC ma a BC ma a α⨯+⨯+⨯====++++.tan 2α∴=.∴平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的正切值为2.20.解：（1）设()11,B x y ，()22,C x y ，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为()142y x =+，即24x y =-. 由22,24,x py x y ⎧=⎨=-⎩得()22880y p y -++=， 12124,8.2y y py y =⎧⎪∴⎨++=⎪⎩①② 又4AC AB = ，214y y ∴=，③由①②③及0p ＞得：11y =，24y =，2p =， 即抛物线G 的方程为24x y =.（2）易知l 的斜率存在，且不为0，设():4l y k x =+，BC 的中点坐标为()00,x y ，由()24,4x y y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得24160x kx k --=，④022C B x x x k +∴==，()200424y k x k k =+=+. ∴线段BC 的中垂线方程为()21242y k k x k k--=--， ∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为()2224221b k k k =++=+.对于方程④，由216640k k ∆=+＞得0k ＞或4k -＜，()2,b ∴∈+∞.21.解：（1）当1CF MG ==时，平面BFG ∥平面MNC .证明：连接BF ，FG ，GB ，1BN GM == ，BN GM ∥，∴四边形BNMG 是平行四边形，BG NM ∴∥，CD MD = ，CF MG =，FG CM ∴∥，BG FG G = ，∴平面BFG ∥平面MNC ，以D 为原点，DA ，DC ，DM 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系（如图），则()2,0,0A ，()0,3,0C ，()0,2,0F ，()0,0,3M ，()2,3,1N ，()2,2,0AF ∴=-，()2,3,2MN =-，()0,3,3MC =-， 设平面MNC 的一个法向量(),,n x y z =，则2320,330,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令2y =，则2z =，1x =-，()1,2,2n ∴=-，设AF 与平面MNC 所成角为θ， 则242sin cos ,2223AF n θ+===⨯. （2）设(),,E a b c ，ME MN λ=，则ME MN λ=， (),,3ME a b c =- ，()2,3,2MN =-，∴点E 的坐标为()2,3,32λλλ-，AD ⊥ 平面MDC ，AD MC ∴⊥，欲使平面ADE ⊥平面MNC ，只要AE MC ⊥，()22,3,32AE λλλ=-- ，()0,3,3MC =-，()93320λλ∴--=，得35λ=， 35ME MN ∴=. 22.解：（1）1243MF MF a -=，122MF MF a +=， 153MF a ∴=，23a MF =， 212MF F F ⊥ ，2221212MF MF F F ∴=+. 即22225499a a c =+，则2223c a =， 224c a =- ，212a ∴=，∴椭圆22:1124x y G +=. （2）设直线l 的方程为y x m =+.由221124y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22463120x mx m ++-=.① 设A 、B 的坐标分别为()11,x y 、()()2212,x y x x ＜，AB 的中点为()00,E x y ， 则120324x x m x +==-，004m y x m =+=. 因为AB 是等腰PAB ∆的底边，所以PE AB ⊥.所以PE 的斜率241334mk m -==--+，解得2m =. 此时方程①为24120x x +=，解得13x =-，20x =，所以11y =-，22y =，所以32AB =. 此时，点()3,2P -到直线:20AB x y -+=的距离3223222d --+==， 所以PAB ∆的面积1922S AB d == .。
2016-2017学年高二上学期数学(理)期末考试题及答案
2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案2017-01-04本试卷分选择题和非选择题两部分共22题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题，共计60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1. 已知命题“q p ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．q 为假C ．q 为真D ．不能判断q 的真假2．椭圆1422=+y m x 的焦距为2,则m 的值等于（ ） A ．5或3- B ．2或6 C ．5或3 D ．5或33.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是腰长 为3,底边长为2的等腰三角形，则该几何体的体积是（ ）A. π322B. π22C. π28D. π3284. 以双曲线191622=-y x 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）A ．x y 162= B ．x y 122= C ．x y 202-= D ．x y 202=5. 已知直线α⊂a，则βα⊥是β⊥a 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知l 是正方体1111DC BA ABCD -中平面11DB A 与下底面ABCD 所在平面的交线，正视图 俯视图侧视图.下列结论错误的是（ ）.A. 11D B //lB. ⊥l 平面C A 1C. l //平面111D B AD. 11C B l ⊥7. 设原命题：若向量c b a ,,构成空间向量的一组基底，则向量,a b不共线.则原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8. 已知双曲线1244922=-y x 上一点P 与双曲线的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则三角形21F PF 的面积为（ ）A ．20B ．22C ．28D ．24 9. 两个圆0222:221=-+++y x y x C 与0124:222=+--+y x y x C的公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10. 已知F 是抛物线y x=2的焦点，B A ,是该抛物线上的两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ) A ．43B ．1C ．45 D ．47 11. 正三棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为3，底面边长为3， 则该球的表面积为( )A ．π4B ．π8C ．π16D ．332π12. 如图，H 为四棱锥ABCD P -的棱PC 的三等分点，且HC PH 21=，点G 在AH 上，mAH AG =.四边形ABCD 为 平行四边形，若D P B G ,,,四点共面，则实数m 等于（ ） A ．43 B ．34 C ．41 D ．21第Ⅱ卷(非选择题，共计90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.命题“2,12≥≥∀xx ”的否定是 .14. 平面α的法向量)2,1,(1-=x n ，平面β的法向量)21,,1(2y n -=， 若α∥β，则=+y x __________________. 15. 已知点A 的坐标为)2,4(，F 是抛物线x y22=的焦点，点M 是抛物线上的动点，当MA MF +取得最小值时，点M 的坐标为 ．16. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线上存在一点P 使2112sin sin F PF c F PF a ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分）已知四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形， 侧面是全等的等腰三角形，侧棱长为3 ， 求它的表面积和体积.18.（本小题满分12分）已知直线方程为033)12()1(=-+--+m y m x m . （1）求证:不论m 取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点作一条直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.19.（本小题满分12分） 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱111,B D BB 的中点.(1) 求证：⊥EF 平面1ACB ；(2)求二面角C EF A --的余弦值.D ABC OP20.（本小题满分12分）已知圆M 满足：①过原点；②圆心在直线x y =上；③被y 轴截得的弦长为2. (1) 求圆M 的方程；(2) 若N 是圆M 上的动点，求点N 到直线8-=x y 距离的最小值.21．（本小题满分12分）． 在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点，AO ⊥平面111C B A .︒=∠90BCA ，21===BC AC AA .(1)证明：OE ∥平面11C AB ； (2)求异面直线1AB 与C A 1所成的角； (3)求11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值．22.（本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 和直线L :1=-b y a x , 椭圆的离心率23=e ， 坐标原点到直线L 的距离为552. （1）求椭圆的方程；（2）已知定点)0,1(E ，若直线)0(2≠-=k kx y 与椭圆C 相交于M 、N 两点，试判断是否存在实数k，使以MN为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由.2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案一. 选择题:1.B2.C3.A4.A5.B6.D7.B8.D9.B 10.C 11.C 12.A二. 填空题: 13. 2,1200<≥∃x x 14. 41515. )2,2( 16. ]21,1(+三. 解答题:17.解：过点P 作BC PE ⊥，垂足为E ， 由勾股定理得：221922=-=-=BE PB PE所以，棱锥的表面积 28422221422+=⨯⨯⨯+⨯=S -----5分 过点P 作ABCD PO 平面⊥，垂足为O ，连接OE . 由勾股定理得：71822=-=-=OE PE PO所以，棱锥的体积 37472231=⨯⨯⨯=V ------10分18.（1）证明：将方程033)12()1(=-+--+m y m x m 变形为 03)32(=-+++-y x m y x解方程组⎩⎨⎧=-+=+-03032y x y x 得：⎩⎨⎧==21y x 所以，不论m 取何实数值，此直线必过定点)2,1(.-----6分(2)解：设所求直线交x 轴y 轴分别为点),0(),0,(b B a A由中点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+220120ba4,2==∴b a所以直线的方程为：142=+yx即042=-+y x ------12分19． 解: （1）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系xyz D -， 可得：)1,0,0(),1,1,1(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,1(11D B C B A ，则中点 )1,21,21(),21,1,1(F E因)1,1,0(),0,1,1(),21,21,21(1=-=--=→→→AB AC EF 所以0,01=∙=∙→→→→AB EF AC EF1,AB EF AC EF ⊥⊥ 而A AB AC =⋂1 所以 ⊥EF 平面C AB 1 -------- 6分 （2）设平面AEF 的一个法向量为),,(1z y x n =→，因)21,21,21(),21,1,0(--==→→EF AE由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+0212121021z y x z y 令2=z 得 )2,1,3(1-=→n 同理平面CEF 的法向量为)2,3,1(2--=→n 由71,cos 21->=<→→n n所以二面角C EF A --的余弦值是71 -------12分20.解：(1)设圆M 的方程为)0()()(222>=-+-r r b y a xD C B A由已知可得: ⎪⎩⎪⎨⎧=+==+222221r a b a r b a ,解方程组得: ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===211或211r b a r b a 所以, 圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x -----6分 (2)当圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离为: 242811=--=d同理, 当圆M 的方程为2)1()1(22=+++y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离也为:24=d所以, 点N 到直线8-=x y 距离的最小值为23224=--------12分21.解 解法1：(1)证明：∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点， ∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AO ⊥平面A 1B 1C 1， ∴AO ⊥B 1C 1，又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO＝O ， ∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ， ∴A 1C ⊥B 1C 1.又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形， ∴A 1C ⊥AC 1，且B 1C 1∩AC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ，即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. ------8分 (3)∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC 1＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2，∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ，∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－AA 1B 1，即13·(12·A 1C 1·B 1C 1)·AO＝13·S△AA 1B·d.又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22， ∴S △AA 1B 1＝7，∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分 解法2：∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC ＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2， ∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，如图建立空间直角坐标系O －xyz ，则A(0,0，3)，A 1(0，－1，0)，E(0，－12，32)，C 1(0,1,0)，B 1(2,1,0)，C(0,2，3)．(1)∵OE →＝(0，－12，32)，AC 1→＝(0,1，－3)，∴OE →＝－12AC 1→，即OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AB 1→＝(2,1，－3)，A 1C →＝(0,3，3)， ∴AB 1→·A 1C →＝0， 即∴AB 1⊥A 1C ，∴异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. -------8分 (3)设A 1C 1与平面AA 1B 1所成角为θ，A 1C 1→＝(0,2,0)， A 1B 1→＝(2,2,0)，A 1A →＝(0,1，3)，设平面AA 1B 1的一个法向量是n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 1→·n ＝0，A 1A →·n ＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0.不妨令x ＝1，可得n ＝(1，－1，33)， ∴sin θ＝cos 〈A 1C 1→，n 〉＝22·73＝217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分22. 解：（1）直线L ：0=--ab ay bx ，由题意得：552,2322=+==b a ab ac e 又有222c b a +=， 解得：1,422==b a椭圆的方程为1422=+y x . ——5分（2）若存在，则EN EM ⊥，设),(),,(2211y x N y x M ，则：21212211)1)(1(),1(),1(y y x x y x y x EN EM +--=-⋅-=⋅)(05))(12()1()2)(2()1)(1(212122121*=+++-+=--+--=x x k x x k kx kx x x联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14222y x kx y ，得：01216)41(22=+-+kx x k ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+>+⨯⨯--=∆∴221221224112,41160)41(124)16(k x x k k x x k k 代入（*）式，解得：1617=k ，满足0>∆ —— 12分。
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2016-2017学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题P：∀x∈R，x2+2＞0．则￢P为（）A．B．C．D．∀x∈R，x2+2≤02．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n，公差d=﹣2，S3=21，则a1的值为（）A．10 B．9 C．6 D．53．（5分）“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．不充分也不必要条件4．（5分）已知向量=（2，1，4），=（1，0，2），且+与k﹣互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．5．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lga•lgb的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．8．（5分）已知数列{a n}：a1=1，，则a n=（）A．2n+1﹣3 B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n+2﹣79．（5分）若直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（）A．2﹣B．﹣1 C．3+2D．3﹣210．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为（）A．（﹣3，3）B．[﹣3，3]C．[﹣3，3）D．[﹣2，2]11．（5分）如图过拋物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A．y2=x B．y2=3x C．y2=x D．y2=9x12．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若△ABC中，AC=，A=45°，C=75°，则BC=．14．（5分）已知数列{a n}满足：，且a2+a4+a6=9，则的值为．15．（5分）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是的必要条件，则a的取值范围为．16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若=2，则椭圆的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，且满足：，（n ∈N+）（1）求a1，a2，a3的值（2）求数列{a n}的通项公式．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=（2a ﹣c）cosB．（1）求角B的值；（2）若a，b，c成等差数列，且b=3，求ABB1A1面积．19．（12分）已知递增的等比数列{a n}满足：a2•a3=8，a1+a4=9（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列，求数列{b n}的前n项的和T n．20．（12分）已知点A（﹣，0），B（，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB交于点P，且它们的斜率之积是﹣．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线x+2y=0上时，求直线l的方程．21．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（1）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（2）证明：CD∥EF（3）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．22．（12分）已知O是坐标系的原点，F是抛物线C：x2=4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，△OAB的重心为G．（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与x轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．2016-2017学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题P：∀x∈R，x2+2＞0．则￢P为（）A．B．C．D．∀x∈R，x2+2≤0【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即￢P：，故选：B2．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n，公差d=﹣2，S3=21，则a1的值为（）A．10 B．9 C．6 D．5【解答】解：公差d=﹣2，S3=21，可得3a1+×3×2×（﹣2）=21，解得a1=9，故选：B．3．（5分）“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．不充分也不必要条件【解答】解：当+2kπ时，满足但不一定成立，即充分性不成立，当时，成立，即必要性成立，则“”是“”的必要不充分条件，故选：C4．（5分）已知向量=（2，1，4），=（1，0，2），且+与k﹣互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．【解答】解：+=（3，1，6），k﹣=（2k﹣1，k，4k﹣2），∵+与k﹣互相垂直，∴3（2k﹣1）+k+6（4k﹣2）=0，解得k=，故选：D．5．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．故选：A．6．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，解得=．故选：D．7．（5分）若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lga•lgb的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．【解答】解：∵a＞1，b＞1，∴lga＞0，lgb＞0∴lga•lgb≤（）2=（）2=1当且仅当a=b=10时等号成立即lga•lgb的最大值是1故选B．8．（5分）已知数列{a n}：a1=1，，则a n=（）A．2n+1﹣3 B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n+2﹣7【解答】解：由，+3=2（a n+3），得a n+1∵a1+3=4≠0，∴数列{a n+3}是以4为首项，以2为公比的等比数列，则，∴．故选：A．9．（5分）若直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（）A．2﹣B．﹣1 C．3+2D．3﹣2【解答】解：由题意可得直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2﹣2x﹣4y ﹣6=0的圆心（1，2），故有2a+2b=2，即a+b=1．再根据+=+=3++≥3+2=2+2，当且仅当=时，取等号，故+的最小值是3+2，故选：C．10．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为（）A．（﹣3，3）B．[﹣3，3]C．[﹣3，3）D．[﹣2，2]【解答】解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点C（3，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大，代入目标函数z=x﹣2y，得z=3，∴目标函数z=x﹣2y的最大值是3．当直线y=，过点B时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，得，即B（1，2）代入目标函数z=x﹣2y，得z=1﹣2×2=﹣3∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣3．故﹣3≤z≤3，故选：B11．（5分）如图过拋物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A．y2=x B．y2=3x C．y2=x D．y2=9x【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴，求得p=，因此抛物线方程为y2=3x，故选：B12．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B．C．D．=，【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC∴bcsinA=bc=，∴bc=3，①又a=2，A是锐角，∴cosA==，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，∴b+c=2②由①②得：，解得b=c=．故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若△ABC中，AC=，A=45°，C=75°，则BC=．【解答】解：∵AC=，A=45°，C=75°，B=180°﹣A﹣C=60°，∴由正弦定理，可得：BC===．故答案为：．14．（5分）已知数列{a n}满足：，且a2+a4+a6=9，则的值为﹣5．【解答】解：由，得log3（3a n）=log3a n+1，∴a n=3a n，且a n＞0，+1∴数列{a n}是公比为3的等比数列，又a2+a4+a6=9，∴=35．∴=．故答案为：﹣5．15．（5分）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是的必要条件，则a的取值范围为．【解答】解：若x∈N是的必要条件，则M⊆N，若a=1时，不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集N=∅，此时不满足条件．若a＜1，则N=（a，2﹣a），则满足，得，此时a≤﹣，若a＞1，则N=（2﹣a，a），则满足，得，此时a≥，综上，故答案为：16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若=2，则椭圆的离心率为．【解答】解：如图，由题意，A（﹣c，），∵=2，∴，且x C﹣c=c，得x C=2c．∴C（2c，），代入椭圆，得，即5c2=a2，解得e=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，且满足：，（n ∈N+）（1）求a1，a2，a3的值（2）求数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由，取n=1，得，∵a n＞0，得a1=1，取n=2，得，解得a2=2，取n=3，得，解a3=3；（2）∵+a n，①∴，②②﹣①得（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0，∵a n＞0，∴a n+1+a n＞0，则a n+1﹣a n=1，∴{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴a n=1+（n﹣1）×1=n．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=（2a ﹣c）cosB．（1）求角B的值；（2）若a，b，c成等差数列，且b=3，求ABB1A1面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵bcosC=（2a﹣c）cosB，∴由正弦定理sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB，∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，…（2分）∴sin（B+C）=2sinAcosB，…（3分）又A+B+C=π，∴sinA=2sinAcosB，…（4分）∴，又B为三角形内角…（5分）∴…（6分）（2）由题意得2b=a+c=6，…（7分）又，∴…（9分）∴ac=9…（10分）∴…（12分）19．（12分）已知递增的等比数列{a n}满足：a2•a3=8，a1+a4=9（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列，求数列{b n}的前n项的和T n．【解答】解：（1）由题意，得a2a3=a1a4=8，又a1+a4=9，所以a1=1，a4=8，或a1=8，a4=1，由{a n}是递增的等比数列，知q＞1所以a1=1，a4=8，且q=2，∴，即a n=2n﹣1；（2）由（1）得，所以所以，两式相减，得，得．20．（12分）已知点A（﹣，0），B（，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB交于点P，且它们的斜率之积是﹣．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线x+2y=0上时，求直线l的方程．【解答】解：（1）设，由，整理得+y2=1，x≠（2）设MN的中点坐标为（x0，y0），联立得（2k2+1）x2+4kx=0，所以，由x0+2y0=0，得k=1，所以直线的方程为：y=x+121．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（1）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（2）证明：CD∥EF（3）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】证明：（1）∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC．（2）由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角，由CE⊥BE，BE⊥EF，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF．解：（3）以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，），=（﹣2a，0，0），设平面BEC的法向量=（x1，y1，z1），则，取x1=，则=（），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则，取y=，得，设二面角E﹣BC﹣A的平面角为θ．则cosθ===﹣，∴二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．22．（12分）已知O是坐标系的原点，F是抛物线C：x2=4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，△OAB的重心为G．（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与x轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）焦点F（0，1），显然直线AB的斜率存在，设AB：y=kx+1，联立x2=4y，消去y得，x2﹣4kx﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），G（x，y），则x 1+x2=4k，x1x2=﹣4，所以，所以，消去k，得重心G的轨迹方程为；（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）知，，因为，所以DG∥ME，（注：也可根据斜率相等得到），，D点到直线AB的距离，所以四边形DEMG的面积，当且仅当，即时取等号，此时四边形DEMG的面积最小，所求的直线AB的方程为．。