第11周周末练习(学生版)：基本不等式
基本不等式习题及答案
基本不等式习题及答案基本不等式习题及答案不等式是数学中重要的概念之一，它描述了数值之间的大小关系。
在初等数学中，我们学习了许多基本的不等式，它们在解决实际问题和推导其他数学知识时起着重要的作用。
在本文中，我们将探讨一些基本的不等式习题，并给出相应的答案。
1. 习题一：证明对于任意的正实数a和b，有(a+b)² ≥ 4ab。
解答：我们可以使用平方差公式来证明这个不等式。
根据平方差公式，我们有(a+b)² = a² + 2ab + b²。
由于a和b都是正实数，所以a²和b²都大于等于0。
因此，我们只需要证明2ab大于等于0即可。
由于a和b都是正实数，所以它们的乘积ab也是正实数。
根据乘法的性质，正实数的乘积仍然是正实数，因此2ab大于等于0。
所以，我们证明了(a+b)²≥ 4ab。
2. 习题二：证明对于任意的正实数a，b和c，有(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc。
解答：我们可以使用AM-GM不等式来证明这个不等式。
根据AM-GM不等式，对于任意的正实数x和y，有(x+y)/2 ≥ √(xy)。
将x替换为a+b，y替换为b+c，我们有(a+b+b+c)/2 ≥ √((a+b)(b+c))。
进一步简化得到(a+2b+c)/2 ≥ √((a+b)(b+c))。
同样地，将x替换为b+c，y替换为c+a，我们有(b+c+c+a)/2 ≥ √((b+c)(c+a))。
进一步简化得到(2b+2c+a)/2 ≥ √((b+c)(c+a))。
将x替换为c+a，y替换为a+b，我们有(c+a+a+b)/2 ≥ √((c+a)(a+b))。
进一步简化得到(2c+2a+b)/2 ≥ √((c+a)(a+b))。
将上述三个不等式相乘，我们得到((a+2b+c)/2)((2b+2c+a)/2)((2c+2a+b)/2) ≥ (√((a+b)(b+c)))(√((b+c)(c+a)))(√((c+a)(a+b)))。
基本不等式题型练习含答案
基本不等式题型练习含答案题目1：解不等式2x + 5 > 9。
解答1： 2x + 5 > 9 首先，将不等式两边都减去5。
2x > 4 然后，将不等式两边都除以2。
x > 2 所以，不等式的解集为x > 2。
题目2：解不等式3 - 2x ≤ 7。
解答2： 3 - 2x ≤ 7 首先，将不等式两边都减去3。
-2x ≤ 4 然后，将不等式两边都除以-2。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x ≥ -2 所以，不等式的解集为x ≥ -2。
题目3：解不等式4x + 3 < 19。
解答3： 4x + 3 < 19 首先，将不等式两边都减去3。
4x < 16 然后，将不等式两边都除以4。
x < 4 所以，不等式的解集为x < 4。
题目4：解不等式5 - 3x > 8。
解答4： 5 - 3x > 8 首先，将不等式两边都减去5。
-3x > 3 然后，将不等式两边都除以-3。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x < -1 所以，不等式的解集为x < -1。
题目5：解不等式2x - 1 ≤ 5x + 3。
解答5： 2x - 1 ≤ 5x + 3 首先，将不等式两边都减去2x。
-1 ≤ 3x + 3 然后，将不等式两边都减去3。
-4 ≤ 3x 最后，将不等式两边都除以3。
-4/3 ≤ x 所以，不等式的解集为x ≥ -4/3。
题目6：解不等式4 - 2x ≥ 10 - 3x。
解答6： 4 - 2x ≥ 10 - 3x 首先，将不等式两边都加上3x。
4 + x ≥ 10 然后，将不等式两边都减去4。
x ≥ 6 所以，不等式的解集为x ≥ 6。
题目7：解不等式2(3x + 1) > 4x + 6。
解答7： 2(3x + 1) > 4x + 6 首先，将不等式两边都展开。
高中数学 第11周 基本不等式周末培优 理 新人教A版必修5
第11周 基本不等式（测试时间：50分钟，总分：100分）班级：____________ 姓名：____________ 座号：____________ 得分：____________ 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2017山东理）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是A ．21log ()2a ba ab b +<<+ B ．21log ()2a b a b a b<+<+ C ．21log ()2a b a a b b +<+<D ．21log ()2a ba b a b +<+<【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以1a >，01b <<，所以12a b<，22log ()log 1a b +>=， 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+，故选B ． 【名师点睛】比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较．本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断． 2．若1a >，2b >，且2ab a b =+，则a b +的最小值为A ．B ．1C ．2D ．3【答案】D3．已知向量(3,2)=-a ，(,1)x y =-b 且∥a b ，若x ，y 为正数，则yx 23+的最小值是A ．53B ．83C ．16D ．8【答案】D【解析】因为∥a b ，所以3(1)2y x -=-，即332=+y x ，等号成立的条件为y x x y 49=，即⎩⎨⎧=+=33232y x y x ，解得21,43==y x ， 所以yx 23+的最小值为8，故选D ．4．若正实数a ，b 满足1a b +=，则 A ．11a b+有最大值4 B ．ab 有最小值14CD ．22a b + 【答案】C由14ab ≤a b =，12a b ==时，等号成立），故D 错误． 故选C ．5．在ABC △中，A ，B ，C 分别为边a ，b ，c 所对的角，且a ，b ，c 成等差数列，则角B 适合的条件是A B ．03B π<≤C ．02B <≤D ．2B π<<π 【答案】B【解析】因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+，所以2222222222()323()16114cos 22884842()a c a c a c b a c ac a c ac B ac ac ac ac ac ++-+-+-+====-≥-=， 当且仅当a b c ==时等号成立．又B 为三角形的内角，所以03B π<≤．故选B ．6．已知等比数列{}n a 中，2109a a =，则57a a + A ．有最小值6B ．有最大值6C ．有最小值6或最大值6-D ．有最大值6-【答案】C7．已知三个实数,,a b c 成等比数列，若有1a b c ++=成立，则实数b 的取值范围是 A BC 11,0)(0,]3D 【答案】C【解析】由题设可得2b ac =，1a c b +=-，所以由基本不等式可得22(1)4b b -≥，即23210b b +-≤，解得11b -≤≤，又0b ≠，故10b -≤<或103b <≤， 故实数b 11,0)(0,]3．故选C ．【名师点睛】解答本题的关键是运用基本不等式建立关于参数b 的不等式22(1)4b b -≥，然后求出不等式23210b b +-≤的解集，容易出现错误的地方是忽视等比数列中的项非零而得到113b -≤≤，从而错选答案B ，这是许多同学都容易忽视的地方． 8．已知221x y +=，则下列结论错误的是 A ．xy 的最大值为12B ．xy 的最小值为12-C ．x y +D ．x y +没有最小值【答案】D9．（2017天津理）已知函数23,1()2,1x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩．设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C．[-D．39[]16- 【答案】A【解析】不等式()||2xf x a ≥+可化为()()2x f x a f x -≤+≤ (*)， 当1x ≤时，(*)式即22332x x x a x x -+-≤+≤-+，即2233322x x a x x -+-≤≤-+， 又22147473()241616x x x -+-=---≤-（当14x =时取等号），223339393()241616x x x -+=-+≥（当34x =时取等号），所以47391616a -≤≤，当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+．又3232()22x x x x --=-+≤-x =，222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤． 综上，47216a -≤≤．故选A ．【名师点睛】首先将()||2xf x a ≥+转化为()()22x x f x a f x --≤≤-，涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的取值范围．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将正确的答案填在题中的横线上．10．（2017天津理）若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为________________．【答案】4【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；②,a b +∈R ，a b +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．11．已知0x >，0y >，2x y +=，则x y +的取值范围是________________．【解析】因为2x y +=，且0x >，0y >，所以2x y +<，又22x y x y x y +++≥+=，所以43x y +≥，当且仅当x y =，即2=3x y =时，等号成立，故x y +12．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________________． 【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x+⨯=+≥⨯， 当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．故填30． 【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 13．（2017山东）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点（1，2），则2a b +的最小值为________________． 【答案】8 【解析】由直线1(0,0)x ya b a b +=>> 过点（1，2）可得121a b+=，所以1242(2)()448b a a b a b aba b +=++=++≥+=． 当且仅当4b aa b=，即4,2b a ==时等号成立． 【名师点睛】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提条件：“一正”“二定”“三相等”，在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．14．直线20(0,0)mx ny m n -+=>>被圆222210x y x y ++-+=截得弦长为2，则41m n+的最小值为________________． 【答案】92【方法点睛】当函数或代数式具有“和是定值”、“积是定值”的结构特点时，常利用基本不等式求其最大、最小值．在具体题目中，一般很少考查基本不等式的直接应用，而是需要对式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式得出结果．三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分10分）已知实数x ，y 满足1111x y+=+．（1）若0x >，0y >，求2x y +的最小值； （2）求关于x 的不等式2y x ≥的解集． 【答案】（1）1；（2）1(,1)(1,](0,1]2-∞---．【解析】（1）由1111x y +=+及0x >，0y >，可得1x y x+=．因为0x>，所以11222111x x y x x x x ++=+=++≥=，（3分）当且仅当12x x =，即x =时取等号，此时1y =+2x y +的最小值为1．（5分） （2）由（1）可得1x y x +=，且1x ≠-，原不等式可化为12x x x +≥，即120x x x+-≥． 所以2210x x x--≤，即(21)(1)0x x x +-≤且1x ≠-．（8分） 所以原不等式的解集为1(,1)(1,](0,1]2-∞---．（10分）16．（本小题满分10分）某企业要建造一个容积为18m 3，深为2m 的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得总造价最低？最低总造价为多少？【答案】将水池的地面设计成边长为3m 的正方形时总造价最低，最低总造价为5400元． 【解析】设底面的长为x m ，宽为y m ，水池总造价为z 元， 则由容积为18m 3，可得216xy =， 因此9xy =，（3分）所以2009150(2222)z x y =⨯+⨯+⨯1800600()1800600y x =++≥+⨯5400=．（7分） 当且仅当3x y ==时取等号，（8分）所以将水池的地面设计成边长为3m 的正方形时总造价最低，最低总造价为5400元．（10分） 17．（本小题满分10分）已知实数a ，b 满足0a >，0b > （1）证明：448a b +≥；（2）是否存在实数a ，b ，使得24a b +=成立？若存在，请求出实数a ，b 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）不存在．【解析】（1）11a b+=a b +≥可得2ab ≥，最后再由基本不等式可得442228a b a b +≥≥，等号成立的条件都是a b =，从而可证得448a b +≥；（2）同样两次应用基本不等式得24a b +≥，但两次应用基本不等式时等号成立的条件不可能实现，故不存在实数a ，b ，使得24a b +=．【名师点睛】利用基本不等式求最值，要注意结论应用的前提是：“一正”“二定”“三相等”，所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用定理求最值时，和或者积为定值，“三相等”是指等号成立．在连续使用基本不等式时，注意等号要同时成立，最后的最值才能取到．。
2021年高考数学总复习同步练习：基本不等式
2021年高考数学总复习同步练习：基本不等式一、选择题1．下列命题中正确的是( ) A ．函数y ＝x ＋1x 的最小值为2 B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最小值为2－4 3 D ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最大值为2－4 3D [由x ＞0知3x ＋4x ≥43，当且仅当3x ＝4x ，即x ＝233时等号成立，则2－3x －4x ≤2－43，因此函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最大值为2－43，故选D.]2．若log 2x ＋log 2y ＝1，则2x ＋y 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．22 D ．4 D [由log 2x ＋log 2y ＝1得，x ＞0，y ＞0且xy ＝2.∴2x ＋y ≥22xy ＝4，当且仅当2x ＝y ，即x ＝1，y ＝2时等号成立，故选D.] 3．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92D ．5C [由a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2知1a ＋4b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b ≥92，当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a ＝43时等号成立，故选C.]4．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则( ) A ．R <P <Q B ．Q <P <R C ．P <Q <RD ．P <R <QC[∵a>b>1，∴lg a>lg b>0，12(lg a＋lg b)>lg a·lg b，即Q>P.∵a＋b2>ab，∴lga＋b2>lg ab＝12(lg a＋lg b)＝Q，即R>Q，∴P<Q<R.]5．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A．80元B．120元C．160元D．240元C[设容器底面矩形的长和宽分别为a和b，容器的总造价为y元，则ab ＝4，y＝4×20＋10×2(a＋b)＝20(a＋b)＋80，∵a＋b≥2ab＝4(当且仅当a＝b ＝2时等号成立)，∴y≥160，故选C.]二、填空题6．(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为．14[由题知a－3b＝－6，因为2a＞0,8b＞0，所以2a＋18b≥2×2a×18b＝2×2a－3b＝14，当且仅当2a＝18b，即a＝－3b，a＝－3，b＝1时取等号．]7．已知函数y＝x＋mx－2(x＞2)的最小值为6，则正数m的值为．4[∵x＞2，∴x－2＞0，∴y＝x＋mx－2＝x－2＋mx－2＋2≥2(x－2)×mx－2＋2＝2m＋2，当且仅当x－2＝mx－2，即x＝2＋m时等号成立．由题意知2m＋2＝6，解得m＝4.]8．已知实数a＞0，b＞0，2是8a与2b的等比中项，则1a＋2b的最小值是．5＋26[由题意知8a×2b＝2，即23a＋b＝2，∴3a＋b＝1，∴1a＋2b＝(3a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋2b＝5＋6ab＋ba≥5＋2b a ·6ab ＝5＋26，当且仅当6a b ＝ba ，即b ＝6a ＝6－2时等号成立．] 三、解答题9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值． [解] (1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0， ∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52. (2)∵0<x <2，∴2－x >0，∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值为 2. 10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[解] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64， 当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1， 则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8yx ＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.1．(2019·上海高考改编)若x ，y ∈R ＋，且1x ＋2y ＝3，则yx 的最大值为( )A.32B.34C.94D.98 D [由x ，y ∈R ＋得3＝1x ＋2y ≥21x ·2y ， ∴2y x ≤94，即y x ≤98，当且仅当1x ＝2y ＝32，即x ＝23，y ＝34时等号成立，故选D.] 2．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 C [由题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab ， 当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时等号成立． ∴ab ≥22ab，即ab ≥22，故选C.] 3．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x ＞0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是 ．4 [设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋4x 0，x 0＞0.则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2x 0≥4，当且仅当x 0＝2x 0，即x 0＝2时等号成立．]4．某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 的值最大，则x ，y 的值各为多少？ [解] (1)由题意可得xy ＝1 800，b ＝2a ， 则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a＝(3x －8)y －33＝1 808－3x －83y (x ＞3，y ＞3)． (2)S ＝1 808－3x －83×1 800x ＝1 808－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4 800x≤1 808－23x ×4 800x ＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x ＝4 800x ，即x ＝40时等号成立，S 取得最大值，此时y ＝1 800x ＝45，所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值．1．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为 ．4 [∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号．故a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4.]2．为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14 400元．设屋子的左右两面墙的长度均为x 米(3≤x ≤6)．(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价； (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为1 800a (1＋x )x 元(a ＞0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围．[解] (1)设甲工程队的总造价为y 元，则y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫300×2x ＋400×24x ＋14 400＝1 800⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋14 400(3≤x ≤6)，1 800⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋14 400≥1 800×2×x ·16x ＋14 400＝28 800.当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时等号成立．即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28 800元． (2)由题意可得，1 800⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋14 400＞1 800a (1＋x )x ，对任意的x ∈[3,6]恒成立．即(x ＋4)2x ＞a (1＋x )x ，从而(x ＋4)2x ＋1＞a 恒成立，令x＋1＝t，(x＋4)2x＋1＝(t＋3)2t＝t＋9t＋6，t∈[4,7]又y＝t＋9t＋6在t∈[4,7]为单调增函数，故y min＝12.25.所以0＜a＜12.25.。
基本不等式练习题
基本不等式练习题一、选择题1. 若a、b均为正数，则下列不等式中正确的是（）A. (a+b)/2 ≥ √(ab)B. (a+b)/2 ≤ √(ab)C. a^2 + b^2 ≥ 2abD. a^2 + b^2 ≤ 2ab2. 已知x > 0，则下列不等式中正确的是（）A. x + 1/x ≥ 2B. x + 1/x ≤ 2C. x 1/x ≥ 0D. x 1/x ≤ 03. 若a、b、c均为正数，且a+b+c=1，则下列不等式中正确的是（）A. a^2 + b^2 + c^2 ≥ 1/3B. a^2 + b^2 + c^2 ≤ 1/3C. a^3 + b^3 + c^3 ≥ 1/3D. a^3 + b^3 + c^3 ≤ 1/3二、填空题1. 若a、b均为正数，且a+b=1，则a^2 + b^2 的取值范围是______。
2. 已知x > 0，则x + 1/x 的最小值是______。
3. 若a、b、c均为正数，且a+b+c=abc，则a+b+c 的最小值是______。
三、解答题1. 设x、y均为正数，证明：x^2 + y^2 ≥ 2xy。
2. 已知a、b均为正数，且a+b=1，求证：(a^2 + b^2) / (a + b) ≥ 1/2。
3. 设x、y、z均为正数，证明：(x+y+z) / (1/x + 1/y + 1/z)≤ (x^2 + y^2 + z^2) / (x + y + z)。
4. 已知a、b、c均为正数，且a+b+c=3，求证：a^2 + b^2 + c^2 ≥ 3。
5. 设x、y均为实数，证明：(x+y)^2 ≤ 2(x^2 + y^2)。
四、应用题1. 在一个矩形中，长比宽大2厘米，如果矩形的周长不超过20厘米，求矩形面积的最大值。
2. 某企业生产两种产品A和B，生产每吨A产品可获利1000元，生产每吨B产品可获利1500元。
若企业每月的生产能力为生产A产品10吨和B产品8吨，且每月的总利润不少于12000元，求该企业每月生产A、B产品的最佳利润分配方案。
2020年高中数学 人教A版 必修5 同步作业本《基本不等式》(含答案解析)
2020年高中数学 人教A 版 必修5 同步作业本《基本不等式》一、选择题1.下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( )A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x)B ．x 2＋1＞2x C.≤1 D ．x ＋≥21x2＋11x2.若a≥0，b ≥0且a ＋b=2，则( )A ．ab ≤B ．ab ≥C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤312123.四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( )A.＞B.＜C.=D.≤a ＋d 2bc a ＋d 2bc a ＋d 2bc a ＋d 2bc 4.a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab|的大小关系是( )A ．a 2＋b 2≥2|ab|B ．a 2＋b 2=2|ab|C ．a 2＋b 2≤2|ab|D ．a 2＋b 2＞2|ab|5.设f(x)=ln x ，0<a<b ，若p=f()，q=f ，r=(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的ab (a ＋b 2)12是( )A ．q=r<pB ．q=r>pC ．p=r<qD ．p=r>q6.若a ＞b ＞0，则下列不等式中总成立的是( )A.＜＜B.≥≥2ab a ＋b a ＋b 2ab a ＋b 22ab a ＋bab C.＞＞ D.＜＜a ＋b 2ab 2ab a ＋b ab 2ab a ＋b a ＋b 2二、填空题7.设正数a ，使a 2＋a －2>0成立，若t>0，则log a t____log a (填“>”“≥”“≤”或12t ＋12“<”)．8.已知a ，b ∈R ，如果ab=1，那么a ＋b 最小值为_____；如果a ＋b=1，那么ab 最大值为_____．9.若0＜a ＜b 且a ＋b=1，试判断，a 、b 、2ab 、a 2＋b 2的大小顺序________．1210.已知a 、b 都是正实数，函数y=2ae x ＋b 的图象过点(0，1)，则＋的最小值是________．1a 1b三、解答题11.已知a ，b ，c 为正数，证明：＋＋≥3.2b ＋3c －a a a ＋3c －2b 2b a ＋2b －3c 3c12.已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，则abc=1.求证：＋＋＜＋＋.a b c 1a 1b 1c13.设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c=1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac≤； (2)＋＋≥1.13a2b b2c c2a答案解析1.答案为：C ；解析：对于A ，当x≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x=1时，x 2＋1=2x ，故B不成立；对于D ，当x ＜0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，所以≤1成立，故选C.1x2＋12.答案为：C ；解析：因为a 2＋b 2≥2ab ，所以(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)≥(a 2＋b 2)＋2ab ，即2(a 2＋b 2)≥(a＋b)2=4，所以a 2＋b 2≥2.3.答案为：A ；解析：因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d=b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d ＞0且不相等，所以b ＋c ＞2，故＞.bc a ＋d 2bc 4.答案为：A ；解析：因为a 2＋b 2－2|ab|=(|a|－|b|)2≥0，所以a 2＋b 2≥2|ab|(当且仅当|a|=|b|时，等号成立)．5.答案为：C ；解析：因为0<a<b ，所以>，a ＋b 2ab 又因为f(x)=ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f >f()，即q>p.(a ＋b 2)ab 又r=(f(a)＋(b))=(ln a ＋ln b)=ln a ＋ ln b=ln(ab)=f()=p.故p=r<q.选C.1212121212ab 6.答案为：C ；解析：a ＞b ＞0，＞，＜=.从而＞＞.a ＋b 2ab 2ab a ＋b 2ab 2ab ab a ＋b 2ab 2ab a ＋b7.答案为：≤；解析：因为a 2＋a －2>0，所以a>1或a<－2(舍)，所以y=log a x 是增函数，又≥，所以log a ≥log a =log a t.t ＋12t t ＋12t 128.答案为：2，；14解析：因为a ，b ∈R ，所以≥，所以a ＋b≥2=2.a ＋b 2ab ab 故当ab=1时，a ＋b 取最小值2，此时a=b=1.又当a ＋b=1时，≤=.所以ab≤.ab a ＋b 212149.答案为：a ＜2ab ＜＜a 2＋b 2＜b ；12解析：因为0＜a ＜b ，a ＋b=1，所以a ＜＜b ①；2ab ＜a 2＋b 2 ②12下面寻找②中数值在①中的位置．因为a 2＋b 2＞2()2=，a ＋b 212a 2＋b 2=a·a ＋b 2＜a·b ＋b 2=(1－b)b ＋b 2=b ，所以＜a 2＋b 2＜b.12又2ab ＜2()2=，2ab ＞2×a=a ，a ＋b 21212所以a ＜2ab ＜.所以a ＜2ab ＜＜a 2＋b 2＜b.121210.答案为：3＋2；2解析：依题意得2ae x ＋b=2a ＋b=1，＋=(2a ＋b)=3＋≥3＋2=3＋2，1a 1b (1a ＋1b )(b a ＋2a b )b a ·2a b 2当且仅当=，即a=1－，b=－1时取等号，因此＋的最小值是3＋2.b a 2a b 2221a 1b 211.证明：左式=＋＋=＋＋－3(2b a ＋3c a －1)(a 2b ＋3c 2b －1)(a 3c ＋2b 3c －1)(2b a ＋a 2b )(3c a ＋a 3c )(3c 2b ＋2b 3c )≥2＋2＋2－3=3，2b a ·a 2b 3c a ·a 3c 3c 2b ·2b 3c当且仅当a 2=4b 2=9c 2，即a=2b=3c 时，等号成立．12.证明：因为 a ，b ，c 都是正实数，且abc=1，所以＋≥2=2，1a 1b 1abc ＋≥2=2，1b 1c 1bca ＋≥2=2，1a 1c 1acb 以上三个不等式相加，得2≥2(＋＋)，(1a ＋1b ＋1c)a b c 即＋＋＜＋＋.a b c 1a 1b 1c 13.证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca.得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca.由题设得(a ＋b ＋c)2=1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca=1.所以3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca≤.13(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c.a2b b2c c2a故＋＋＋(a ＋b ＋c)≥2(a＋b ＋c)，即＋＋≥a ＋b ＋c.a2b b2c c2a a2b b2c c2a所以＋＋≥1.a2b b2c c2a。
基本不等式练习题(含答案)
基本不等式1．函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．33．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？(2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4双基自测1.答案 C2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.答案 A4．解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x＝3，即a ＝3.答案 C5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．答案 －2【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号．(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2×4y x ·x y ＝18， 当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)15 (3)18【例2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋abc ≥2bc a ·ab c ＝2b ；ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .【训练2】 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋ca ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝xx 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞【训练3】解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.答案 10【例3．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5800(0＜x ≤5)，则y ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)，当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．【示例】．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2a b ＝3＋2 2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b a ＝2a b，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.【试一试】尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2 a (a －b )·1a (a －b )＋2 ab ·1ab ＝2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立．答案 D。
高一数学基本不等式限时训练(含答案)
高一数学基本不等式限时训练（60分钟）第I卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知t>0，则y=t2−4t+1t的最小值为()A. −2B. 12C. 1D. 22.下列说法不正确的是()A. x+1x(x>0)的最小值是22√x2+4的最小值是22√x2+2的最小值是√2D. 若x>0，则2−3x−4x的最大值是2−4√33.若mn>0，m+n=3，则1m +4n的最小值为()A. 2B. 6C. 3D. 94.若x>0，则x+9x+2有()A. 最小值6B. 最小值8C. 最大值8D. 最大值35.若a<1，则a+1a−1有()A. 最小值为3B. 最大值为3C. 最小值为−1D. 最大值为−16.已知x2−x+1x−1(x>1)，在x=t时取得最小值，则t等于()A. 1+√2B. 2C. 3D. 47.已知x>2，则函数y=4x−2+4x的最小值是()A. 6B. 8C. 12D. 168.已知0<x<35，则x(3−5x)取最大值时x的值为()A. 310B. 910C. 95D. 129.若x，y∈R+，且x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是()A. 5B. 245C. 2√35D. 19510.若a>0，b<0，则ab +ba()A. 有最大值−2B. 有最大值2C. 有最小值−2D. 有最小值2二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）11.(多选)若a，b∈R，且a>0，b>0，则下列不等式中恒成立的是()A. a2+b2>2abB. a+b≥2√abC. 1a +1b>2√abD. 3ba+a27b⩾2312.已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有()A. y=2x +x2B. y=4x+1xC. y=3x−1xD. y=x−1+4x+1第II卷（非选择题）三、单空题（本大题共1小题，共5.0分）13.若a>0，b>0，3a+2b=1，则ab的最大值是．四、解答题（本大题共2小题，共24.0分）14.(1)已知x>0，y>0，xy=4，求2x +1y的最小值；(2)已知x>0，y>0，x+2y=2，求2x +1y的最小值．15.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园.设菜园的长为xm，宽为ym．(1)若菜园面积为72m2，则x,y为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为30m，求1x +2y的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．对原式进行化简，利用基本不等式求最值即可，注意等号取得的条件．【解答】解：t>0，则y=t2−4t+1t =t+1t−4≥2√t·1t−4=−2，当且仅当t=1t，即t=1时，等号成立，则y=t2−4t+1t的最小值为−2．故选A．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，掌握利用基本不等式的条件是关键，属于中档题．对于ACD根据基本不等式和不等式性质即可判断，对于B根据基本不等式的取等号时x的不存在即可判断．【解答】解：对于A，∵x>0，∴x+1x ≥2√x⋅1x=2，当且仅当x=1时取等号，故A正确；对于B，2√x2+4=2√x2+4=√x2+4+√x2+4≥2，当且仅当x2+4=1时取等号，显然x的值不存在，故B错误；对于C，2√x2+2=√x2+2≥√2，当且仅当x=0时取等号，故C正确；对于D，∵x>0，∴2−3x−4x ≤2−2√3x⋅4x=2−4√3，当且仅当x=2√33时取等号，故D正确．故选：B．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用基本不等式求最值，属于较易题目．根据题意1m +4n=13(m+n)(1m+4n)=13(5+nm+4mn)，结合基本不等式求得最值即可．【解答】解：因为mn>0，m+n=3，所以1m +4n=13(m+n)(1m+4n)=13(5+nm+4mn)⩾13(5+2√nm⋅4mn)=3，当且仅当nm =4mn时取等号，此时{nm=4mn,m+n=3,解得{m=1n=2即1m +4n的最小值为3，故选C．4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．利用基本不等式求最值即可．【解答】解：∵x>0∴x+9x +2≥2√ x·9x+2=6+2=8，当且仅当x=9x，即x=3时取等号，故最小值为8．故选B．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查基本不等式，属于基础题．配凑，转化，再利用基本不等式求解即可．【解答】解：因为a<1，所以a−1<0，1−a>0，所以a+1a−1=a−1+1a−1+1=−(1−a+11−a)+1≤−2√(1−a)·11−a+1=−1，当且仅当1−a=11−a，即a=0时，等号成立．故答案为D．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.由x>1得x−1>0，利用基本不等式可得x2−x+1x−1=(x−1)+1x−1+1≥2√(x−1)×1x−1+1=3，当且仅当x−1=1x−1，即x=2时取等号，由此得到t=2．【解答】解：∵x>1，∴x−1>0，∴x2−x+1x−1=(x−1)+1x−1+1≥2√(x−1)×1x−1+1=3，当且仅当x−1=1x−1，即x=2时取最小值3，∴t=2，故选B．7.【答案】D【解析】【试题解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．因为x−2>0，4x−2>0，构造积为定值，利用基本不等式即可求解．【解答】解：已知x>2，则x−2>0，函数y=4x−2+4x=4x−2+4(x−2)+8⩾2√4x−2⋅4(x−2)+8=16，当且仅当x=3时“=”成立，故函数的最小值是16，故选D．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用．由x(3−5x)=15×5x(3−5x)，利用基本不等式即可得解．【解答】解：∵0<x<35，则x(3−5x)=15×5x(3−5x)≤15×(5x+3−5x2)2=920，当且仅当5x=3−5x，即x=310时取最大值，故选：A．9.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，属中档题，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑．将方程变形15y +35x =1，代入可得3x +4y =(3x +4y)(15y +35x )=135+3x 5y +4y5x ，然后利用基本不等式即可求解． 【解答】解：∵x +3y =5xy ，x >0，y >0， ∴15y+35x=1，∴3x +4y =(3x +4y)(15y +35x )=135+3x 5y +12y 5x≥135+2√3x 5y ×12y 5x=5，当且仅当3x5y =12y 5x，即x =2y =1时取等号．故选A ．10.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了基本不等式，运用基本不等式求最值，属于基础题．根据a >0，b <0，则ab <0,ba <0，则−ab >0,−ba >0，然后结合基本不等式求最值即可． 【解答】解：由题意，若a >0，b <0，则ab <0,ba <0， 所以ab +ba =−[(−ab )+(−ba )] ≤−2√(−ab )·(−ba )=−2， 当且仅当a =−b 时等号成立， 故ab +ba 有最大值−2． 故选A ．11.【答案】BD【解析】 【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．对于A ，取a =b =2，进行验证即可；对于B ，由基本不等式可判断；对于C ，取a =2，b =2，进行判断；对于D ，利用基本不等式求最值即可．解：当a=b=2时，a2+b2=2ab，选项A不成立；当a>0，b>0时，a+b≥2√ab，当且仅当a=b时取等号，B成立；例如a=2，b=2时，，选项C不成立；由a>0，b>0可知，ba >0，由基本不等式可得，3ba+a27b⩾2√3ba·a27b=23，当且仅当a=9b时取等号，所以D正确，故选BD．12.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查基本不等式，函数的单调性，属于基础题．由基本不等式分别对A，B，D进行验证，C选项根据函数的单调性求最值即可得答案．【解答】解：选项A，x≥1，y=2x +x2≥2√2x·x2=2，当且仅当2x=x2，即x=2时等号成立，A满足，选项B，x≥1，y=4x+1x >2√4x·1x=4，故B不满足，选项C，x≥1，y=3x−1x在[1,+∞)为增函数，所以y min=3−1=2，故C满足，选项D，x≥1，y=x−1+4x+1=x+1+4x+1−2≥2√(x+1)·4x+1−2=4−2=2,当且仅当x+1=4x+1，即x=1时等号成立，故D满足．故选ACD．13.【答案】124【解析】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题． 利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：a >0，b >0，3a +2b =1，所以1=3a +2b ≥2√6ab ，当且仅当a =16,b =14，时取等号， 所以ab ≤124，所以ab 的最大值是124， 故答案为：124．14.【答案】解：(1)∵xy =4，且x >0，y >0，∴2x +1y ≥2√2xy =2√12=√2，当且仅当x =2√2，y =√2时取等号，即2x +1y 的最小值为√2． (2)∵x >0，y >0，x +2y =2， ∴2(2x +1y )=(x +2y )(2x +1y )=4+4y x+xy≥4+2√4y x⋅xy=8，∴2x+1y ≥4，当且仅当4y x =x y ，即x =2y =1时取等号，即2x +1y 的最小值为4．【解析】本题主要考查了运用基本不等式求最值，属于中档题． (1)直接利用基本不等式求得最小值．(2)2(2x +1y )=(x +2y)(2x +1y )整理后利用基本不等式求得最小值．15.【答案】解：(1)由已知可得xy =72，篱笆总长为(x +2y)m ．又因为x +2y ≥2√2xy =24，第11页，共11页 当且仅当x =2y ，即x =12，y =6时等号成立．所以当x =12，y =6时，可使所用篱笆总长最小．(2)由已知得x +2y =30，又因为(1x +2y )(x +2y)=5+2y x +2x y ≥5+2√2y x ⋅2x y =9， 所以1x +2y ≥310，当且仅当x =y ，即x =10，y =10时等号成立．所以1x +2y 的最小值是310．【解析】本题考查基本不等式的实际应用和利用基本不等式求最值，属于基础题；(1)由已知可得xy =72，篱笆总长为(x +2y)m ，结合基本不等式即可得解；(2)由已知得x +2y =30，又因为(1x +2y )(x +2y)=5+2y x +2x y ，利用基本不等式即可求解．。
基本不等式练习题带答案
06
基本不等式的扩展 知识
基本不等式的推广形式
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平方和与平方差形式：a²+b² ≥ 2ab 和 a²-b² ≥ 2ab
• 题目：已知 x > 0，y > 0，且 xy = 4，则下列结论正确的是 ( ) A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 答案： A
• A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 • C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 • 答案：A
基本不等式的应用：在数学、物 理、工程等领域有广泛的应用， 用于解决最优化问题、估计值域 和解决一些数学竞赛问题等。
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基本不等式的形式：常见的形式 有AM-GM不等式、CauchySchwarz不等式和Holder不等式 等。
基本不等式的证明方法：可以通 过代数、几何和概率统计等方法 证明基本不等式。
• 题目：若 a > b > c，且 a + b + c = 1，则下列结论正确的是 ( ) A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab 答案：B
• A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab • C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab
基本不等式练习题(带答案)
基本不等式练习题(带答案)基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 $a\in R$，下列不等式恒成立的是（）A。
$a^2+1>a$B。
$\frac{1}{2}<a<1$C。
$a^2+9>6a$D。
$\log_{a+1}。
\log_{|2a|}$2.若 $|a|<|b|$ 且 $a+b=1$，则下列四个数中最大的是（）A。
$1$B。
$2$C。
$a^2+b^2$D。
$a$3.设 $x>0$，则 $y=3-\frac{3}{x}$ 的最大值为（）A。
$3$B。
$\frac{3}{2}$C。
$\frac{3}{4}$D。
$-1$4.设$x,y\in R$，且$x+y=5$，则$3x+3y$ 的最小值是（）A。
$10$B。
$6\sqrt{3}$C。
$4\sqrt{10}$D。
$18$5.若 $x,y$ 是正数，且 $\frac{1}{4x^2}+\frac{1}{9y^2}=1$，则 $xy$ 有（）A。
最小值 $\frac{1}{36}$B。
最大值 $\frac{1}{36}$C。
最小值 $\frac{16}{9}$D。
最大值 $\frac{16}{9}$6.若 $a,b,c\in R$，且 $ab+bc+ca=1$，则下列不等式成立的是（）A。
$a^2+b^2+c^2\ge 2$XXX 3$C。
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 2$D。
$a+b+c\le 3$7.若 $x>0,y>0$，且 $x+y\le 4$，则下列不等式中恒成立的是（）A。
$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\le 1$B。
$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\ge 1$C。
$xy\ge 2$D。
$xy\le 1$8.若 $a,b$ 是正数，则$\frac{a+b}{2},\sqrt{ab},\frac{2ab}{a+b}$ 三个数的大小顺序是（）A。
高中数学培优讲义练习(人教A版2019必修一)专题2.3基本不等式-重难点题型精讲(学生版)
专题2.3 基本不等式重难点题型精讲1. 两个不等式a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．“当且仅当a ＝b 时，等号成立”是指若a ≠b ，则a 2＋b 2≠2ab ，ab ≠a ＋b2，即只能有a 2＋b 2>2ab ，ab<a ＋b 2. 2．基本不等式与最值 已知x ，y 都是正数，(1)如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； (2)如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x 、y >0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．【题型1 对基本不等式的理解】【例1】（2022春•肥东县月考）对于不等式①√4+√6＞2√5，②x +1x ≥2（x ≠0），③√a 2+b 2≥√22(a +b)(a 、b ∈R)，下列说法正确的是（ ） A ．①③正确，②错误 B ．②③正确，①错误C ．①②错误，③正确D ．①③错误，②正确【变式11】（2022•上海）若实数a 、b 满足a ＞b ＞0，下列不等式中恒成立的是（ ） A ．a +b ＞2√abB ．a +b ＜2√abC ．a2+2b ＞2√abD ．a2+2b ＜2√ab【变式12】（2022春•汤原县期末）若a ＞0，b ＞0，a +b ＝2，则（ ） A ．ab ≥1B ．√a +√b ≥2C ．a 2+b 2≥2D ．1a +1b≤2【变式13】（2021秋•宿州期末）已知a ＞0，b ＞0，a +2b ＝1，则下列选项错误的是（ ）A ．0＜b ＜12B ．2a +4b ≥2√2C ．ab 的最大值是18D ．a 2+b 2的最小值是516【题型2 利用基本不等式证明不等式】【例2】（2021秋•上饶期末）已知a ＞0，b ＞0，且a +b ＝1，求证：(1+1a )(1+1b )≥9．【变式21】（2022•甘肃模拟）已知a ，b ∈R +，设x =√ab ，y =√a 2+b 22，求证： （1）xy ≥ab ； （2）x +y ≤a +b ．【变式22】（2021秋•桂林月考）已知a ＞0，b ＞0． （1）若1a +9b=1，求证：a +b ≥16；（2）求证：a +b +1≥√ab +√a +√b ．【变式23】（2022•黄州区校级模拟）设a ，b ，c ＞0，且ab +bc +ca ＝1，求证： （1）a +b +c ≥√3； （2）√a bc +√b ac +√cab≥√3（√a +√b +√c ）． 【题型3 利用基本不等式求最值（无条件）】【例3】（2022春•漳州期末）已知a ＞1，则a +4a−1的最小值是（ ） A ．5B ．6C ．3√2D ．2√2【变式31】（2022春•甘孜州期末）y =x +4x(x ≥1)的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【变式32】（2022•怀仁市校级二模）函数y =3x +43x−1(x ＞13)的最小值为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．5【变式33】（2022•香坊区校级模拟）若a ＞0，b ＞0，求b a 2+1b+a 的最小值为（ ）A ．√2B ．2C ．2√2D ．4【题型4 利用基本不等式求最值（有条件）】【例4】（2022秋•凉州区校级月考）已知a ，b 为正实数且a +b ＝2，则ba+2b 的最小值为（ ）A ．32B ．√2+1C ．52D ．3【变式41】（2022秋•广东月考）若正实数y 满足2x +y ＝9，则−1x −4y 的最大值是（ ） A ．6+4√29B ．−6+4√29C ．6+4√2D ．−6−4√2【变式42】（2022秋•浙江月考）已知正实数x ，y 满足1x+4y +4=x +y ，则x +y 的最小值为（ ）A ．√13−2B ．2C ．2+√13D ．2+√14【变式43】（2022春•内江期末）已知正实数a 、b 满足a +b ＝4，则(a +1b )(b +1a )的最小值为（ ） A ．2√2+2B ．4C ．254D ．2√2+1【题型5 利用基本不等式求参数】【例5】（2022春•爱民区校级期末）已知x ＞0，y ＞0且1x +4y=1，若x +y ＞m 2+8m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[9，+∞）B ．（﹣∞，﹣3]C ．[1+∞）D ．（﹣9，1）【变式51】（2021秋•怀仁市校级期末）已知x ＞0、y ＞0，且2x+1y =1，若2x +y ＜m 2﹣8m 有解，则实数m的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞） B ．（﹣9，1） C ．[﹣9，1]D ．（﹣1，9）【变式52】（2022春•内江期末）已知正实数a 、b 满足1a+1b =m ，若(a +1b )(b +1a )的最小值为4，则实数m 的取值范围是（ ）A．{2}B．[2，+∞）C．（0，2]D．（0，+∞）【变式53】（2021秋•武清区校级月考）设x＞0，y＞0，设2x +3y=1，若3x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．{x|x≤﹣6或x≥4}B．{x|x≤﹣4或x≥6}C．{x|﹣6＜x＜4}D．{x|﹣4＜x ＜6}【题型6 利用基本不等式解决实际问题】【例6】（2021秋•阳春市校级月考）用一段长为32m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？【变式61】（2021秋•凉州区期末）如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x，宽为y．（1）若菜园面积为72，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为30，求1x +2y的最小值．【变式62】（2021秋•黄浦区校级期中）迎进博会，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm．（1）试用栏目高acm与宽bcm（a＞0，b＞0）表示整个矩形广告面积Scm2；（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值．【变式63】（2021秋•湖州期中）如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC 翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm．（Ⅰ）若DP＞13AB，求x的取值范围；（Ⅱ）设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．。
北师大版高中数学必修第一册(BSD版)课时作业课时作业(十) 基本不等式
课时作业(十) 基本不等式[练基础]1．设0<a<b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12 B ．b C ．2ab D ．a 2＋b 22．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使b a ＋a b≥2成立的条件有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3．“a>b>0”是“ab<a 2＋b 22”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．[多选题]若a>0，b>0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≥8 B.1ab ≥14C.ab ≥2D.1a ＋1b≤1 5．已知a>b>c ，则a －b b －c 与a －c 2的大小关系是________． 6．已知x>0，y>0，z>0且x ＋y ＋z ＝1，求证：x ＋y ＋z ≤ 3.[提能力]7．[多选题]若a>0，b>0，a ＋b ＝2，则下列不等式成立的是( )A ．ab≤1 B.a ＋b ≤ 2C ．a 2＋b 2≥2 D.1a ＋1b≥2 8．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________；a ＋b 的取值范围为________．9．已知a>0，b>0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8； (2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.[战疑难]10．若两个正实数x ，y 满足4x ＋1y＝1，且不等式x ＋4y>m 2－6m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．。
课时作业1：§1.4 基本不等式
§1.4 基本不等式课时精练1．下列函数中，最小值为2的是( ) A ．y ＝x ＋2xB ．y ＝x 2＋3x 2＋2C ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x <1) 答案 C2．已知a >0，且b >0，若2a ＋b ＝4，则ab 的最大值为( ) A.14 B ．4 C.12 D ．2 答案 D解析 4＝2a ＋b ≥22ab ， 即2≥2ab ，两边平方得4≥2ab ，∴ab ≤2，当且仅当a ＝1，b ＝2时，等号成立， ∴ab 的最大值为2.3．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2答案 C解析 依题意ab ＝a ＋b ， ∴a ＋b ＝ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，即a ＋b ≤(a ＋b )24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号， ∴a ＋b 的最小值为4.4．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件答案 B解析 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号． 5．(多选)(2020·新高考全国Ⅰ )已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2答案 ABD解析 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，即有ab ≤14.对于A ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故A 正确；对于B,2a －b ＝22a －1＝12×22a ，因为a >0，所以22a >1，即2a －b >12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 214＝－2，故C 错误；对于D ，由(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 得a ＋b ≤2，故D 正确．6．(多选)设a >0，b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2 B.2ab a ＋b≥ab C.a 2＋b 2ab ≥a ＋bD ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 答案 ACD 解析 ∵a >0，b >0， ∴a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22，当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab，即a ＝b ＝22时取等号，故A 一定成立； ∵a ＋b ≥2ab >0， ∴2ab a ＋b ≤2ab2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， ∴2aba ＋b≥ab 不一定成立，故B 不一定成立； ∵2ab a ＋b ≤2ab2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， a 2＋b 2a ＋b ＝(a ＋b )2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2aba ＋b ≥2ab －ab ＝ab ， 当且仅当a ＝b 时取等号，∴a 2＋b 2a ＋b ≥ab ，∴a 2＋b 2ab ≥a ＋b ，故C 一定成立； ∵(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥4， 当且仅当a ＝b 时取等号，故D 一定成立．7．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．答案 14解析 由题设知a －3b ＝－6，又2a >0,8b >0，所以2a ＋18b ≥22a ·18b ＝2·322a b-＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号．故2a ＋18b 的最小值为14.8．已知实数a ，b 满足|ln a |＝|ln b |，a ≠b ，则1a ＋4b 的最小值为________．答案 4解析 因为|ln a |＝|ln b |且a ≠b ， 所以ln a ＝－ln b ，即ln a ＋ln b ＝0， 所以ln(ab )＝0， 所以ab ＝1，a >0，b >0， 所以1a ＋4b≥24ab ＝4，当且仅当a ＝12，b ＝2时，等号成立． 9．若a ，b 都是正数，且a ＋b ＝1，则(a ＋1)(b ＋1)的最大值为________． 答案 94解析 (a ＋1)(b ＋1)≤⎣⎡⎦⎤(a ＋1)＋(b ＋1)22＝94，当且仅当a ＋1＝b ＋1，即a ＝b ＝12时取等号，故(a ＋1)(b ＋1)的最大值为94.10．命题“∀x ∈(1，＋∞)，x 2－ax ＋a ＋2>0”为真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，23＋2)解析 依题意∀x ∈(1，＋∞)，x 2－ax ＋a ＋2>0恒成立， 即a (x －1)<x 2＋2，即a <x 2＋2x －1恒成立， ∵x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1 ＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．∴a <23＋2.11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解 (1)∵xy ＝2x ＋8y ≥22x ·8y ， 即xy ≥8xy ，即xy ≥64，当且仅当2x ＝8y ，即x ＝16，y ＝4时，等号成立， ∴xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y (x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当2x y ＝8yx ，即x ＝12，y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.12．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用． 解 (1)所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50,100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100])．(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立．故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．13.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 答案 D解析 由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b 2－b ＝a －b2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b 22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D. 14．正实数x ，y 满足4x 2＋y 2＋xy ＝1，则xy 的最大值为________；2x ＋y 的最大值为________． 答案 15 2105解析 ∵1－xy ＝4x 2＋y 2≥4xy ，∴5xy ≤1，∴xy ≤15，当且仅当y ＝2x 时取等号，∵4x 2＋y 2＋xy ＝1， ∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，∴(2x ＋y )2－1＝3xy ＝32·2x ·y ≤32⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22，即(2x ＋y )2－1≤38(2x ＋y )2，∴(2x ＋y )2≤85，∴2x ＋y ≤2105，当且仅当2x ＝y 时，取等号．15．设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 ∵a >b >0，∴a －b >0， ∴a (a －b )>0，a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2＋ab －ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋1a (a －b )＋ab ＋1ab＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2＋2＝4，当且仅当⎩⎨⎧a (a －b )＝1a (a －b )，ab ＝1ab ，即a ＝2，b ＝22时等号成立．∴a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是4.16．已知a ＋b ＋c ＝3，且a ，b ，c 都是正数． (1)求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥32； (2)是否存在实数m ，使得关于x 的不等式－x 2＋mx ＋2≤a 2＋b 2＋c 2对所有满足题设条件的正实数a ，b ，c 恒成立？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由． (1)证明 因为a ＋b ＋c ＝3，且a ，b ，c 都是正数， 所以1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a＝16[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c a ＋b ＋a ＋b b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c c ＋a ＋c ＋a b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b c ＋a ＋a ＋c a ＋b ≥16(3＋2＋2＋2)＝32， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，取等号， 所以1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥32得证．(2)解 因为a ＋b ＋c ＝3，所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤3(a 2＋b 2＋c 2)， 因此a 2＋b 2＋c 2≥3(当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，取等号)， 所以(a 2＋b 2＋c 2)min ＝3，由题意得－x 2＋mx ＋2≤3恒成立， 即得x 2－mx ＋1≥0恒成立， 因此Δ＝m 2－4≤0⇒－2≤m ≤2.故存在实数m ∈[－2,2]使不等式－x 2＋mx ＋2≤a 2＋b 2＋c 2成立．。
第11周 基本不等式-《周末培优君》高二文科数学
第11周基本不等式-《周末培优君》高二文科数学解答题已知实数，满足，，且．（1）证明：；（2）是否存在实数，，使得成立？若存在，请求出实数，的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）不存在．【解析】（1）因为，，且，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，（2分）所以，当且仅当时取等号．（4分）（2）易得，当且仅当时取等号，（6分）由（1）可得，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，（8分）因为，，所以，所以不存在实数，，使得．（10分）若直线过点（1，2），则的最小值为______________．【答案】【解析】由直线过点（1，2）可得，所以．当且仅当，即时等号成立．填空题已知，，，则的取值范围是______________．【答案】【解析】因为，且，，所以，又，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的取值范围是．故填．已知函数．设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】不等式可化为(*)，当时，(*)式即，即，又（当时取等号），（当时取等号），所以，当时，(*)式为，．又（当时取等号），（当时取等号），所以．综上，．故选A．选择题已知等比数列中，，则A．有最小值6B．有最大值6C．有最小值6或最大值D．有最大值【答案】C【解析】因为是等比数列，所以．当，为正时，（当且仅当即时，等号成立）；当，为负时，（当且仅当即时，等号成立），所以有最小值6或最大值．故选C．选择题已知向量，且，若，为正数，则的最小值是A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，即，那么，等号成立的条件为，即，解得，所以的最小值为8，故选D．解答题某企业要建造一个容积为18m3，深为2m的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得总造价最低？最低总造价为多少？【答案】将水池的地面设计成边长为m的正方形时总造价最低，最低总造价为元．【解析】设底面的长为m，宽为m，水池总造价为元，则由容积为m3，可得，因此，（3分）所以．（7分）当且仅当时取等号，（8分）所以将水池的地面设计成边长为m的正方形时总造价最低，最低总造价为元．（10分）填空题某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是______________．【答案】【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．故填．选择题若，，且，则的最小值为A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为．故选D．解答题已知实数，满足．（1）若，，求的最小值；（2）求关于的不等式的解集．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由及，，可得．因为，所以，（3分）当且仅当，即时取等号，此时．所以的最小值为．（5分）（2）由（1）可得，且，原不等式可化为，即．所以，即且．（8分）所以原不等式的解集为．（10分）填空题若，，则的最小值为______________．【答案】【解析】，前一个等号成立的条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时成立，当且仅当时取等号．故填．选择题已知，则下列结论错误的是A．的最大值为B．的最小值为C．的最大值为D．没有最小值【答案】D【解析】由及，可得，所以，当且仅当时取得最大值，当且仅当，或，时取得最小值，故选项A、B 均正确；由可得，结合可得，所以，当且仅当时，取得最大值，当且仅当时，取得最小值，故选项C正确，选项D错误．故选D．选择题若，且，则下列不等式成立的是A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，且，所以，，所以，，，故选B．选择题已知三个实数成等比数列，若有成立，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】由题设可得，，所以由基本不等式可得，即，解得，又，故或，故实数的取值范围是．故选C．选择题在中，A，B，C分别为边a，b，c所对的角，且a，b，c 成等差数列，则角B适合的条件是A．B．C．D．【答案】B【解析】因为a，b，c成等差数列，所以，所以，当且仅当时等号成立．又为三角形的内角，所以．故选B．填空题直线被圆截得弦长为2，则的最小值为______________．【答案】【解析】将圆的方程化为标准方程为，所以圆心为，半径为1，所以直线经过圆心，所以，所以，所以＝，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．故填．选择题若正实数a，b满足，则A．有最大值4B．ab有最小值C．有最大值D．有最小值【答案】C【解析】由基本不等式，可得（当且仅当，时，等号成立），所以，故B错误；由可得（当且仅当，时，等号成立），故A错误；由基本不等式，可得（当且仅当，时，等号成立），即，故C正确；由可得（当且仅当，时，等号成立），故D错误．故选C．。
高中数学课时作业十一基本不等式湘教版必修第一册
课时作业(十一) 基本不等式[练基础]1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( ) A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1 D ．a ＝0 2．若a ≥0，b ≥0且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2 D ．a 2＋b 2≤33．“a ，b 为正数”是“a ＋b >2ab ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设x >0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．3－2 3D ．－15．已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则xy 的最大值是( ) A ．14 B ．4 C ．18D ．8 6．(多选)设a ，b ∈R ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 2＋b 2≥2ab B ．a ＋1a≥2C ．b 2＋1≥2b D ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥27．若a ＜1，则a ＋1a －1与－1的大小关系是________． 8．当x >1时，求2x ＋8x －1的最小值为________． 9．已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证： (ab ＋cd )(ac ＋bd )≥4abcd .10．(1)若x ＜3，求y ＝2x ＋1＋1x －3的最大值； (2)已知x ＞0，求y ＝2xx 2＋1的最大值．[提能力]11．(多选)下列命题中正确的是( ) A ．y ＝x ＋1x()x <0的最大值是－2B ．y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值是2C ．y ＝2－3x －4x()x >0的最大值是2－4 3D ．y ＝x ＋4x －1()x >1最小值是5 12．(多选)下列结论正确的是( ) A ．若x <0，则y ＝x ＋1x的最大值为－2B ．若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22C ．若a >0，b >0，且a ＋4b ＝1，则1a ＋1b的最大值为9D ．若x ∈[]0，2，则y ＝x 4－x 2的最大值为213．已知x <2，则x 2－3x ＋3x －2的最大值为________，此时x ＝________．14．已知5x 2y 2＋y 4＝1()x ，y ∈R ，则x 2＋2y 2的最小值是________．15．已知a ，b 均为正实数，求证：b a ＋ab≥a ＋b .[培优生]16．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图，在AB 上取一点C ，使得AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作CD ⊥AB 交半圆周于点D ，连接OD .作CE ⊥OD 交OD 于点E .由CD ≥DE 可以直接证明的不等式为( )A ．ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0) B ．a ＋b2≥ab (a >0，b >0)C ．a 2＋b 22≥a ＋b2(a >0，b >0)D ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)课时作业(十一) 基本不等式1．解析：当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0， 即a ＝1时，等号成立．故选B. 答案：B2．解析：因为a 2＋b 2≥2ab ，所以(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)≥(a 2＋b 2)＋2ab ， 即2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2＝4，所以a 2＋b 2≥2.故选C. 答案：C3．解析：若a ，b 为正数，取a ＝1，b ＝1，则a ＋b ＝2ab ，则“a ，b 为正数”不是“a ＋b >2ab ”的充分条件；若a ＋b >2ab ，取a ＝1，b ＝0，则b 不是正数，则“a ，b 为正数”不是“a ＋b >2ab ”的必要条件．故“a ，b 为正数”是“a ＋b >2ab ”的既不充分也不必要条件．故选D.答案：D4．解析：y ＝3－3x －1x＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x，即x＝33时取等号．故选C. 答案：C5．解析：由题意得，xy ＝12×2xy ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝18，当且仅当x ＝14，y ＝12时等号成立，所以xy 的最大值是18.故选C.答案：C6．解析：当a ，b ∈R 时，a 2＋b 2≥2ab 成立，故A 正确；当a ＞0时，a ＋1a≥2，等号成立的条件是a ＝1，当a ＜0时，a ＋1a≤－2，等号成立的条件是a ＝－1，故B 不正确；当b∈R 时，b 2＋1－2b ＝(b －1)2≥0，所以b 2＋1≥2b ，故C 正确；⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＞0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＞0，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＝2，等号成立的条件是当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ，即a 2＝b 2时，故D 正确．故选ACD.答案：ACD7．解析：因为a ＜1，即1－a >0，所以－⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2（1－a ）·11－a ＝2.即a ＋1a －1≤－1. 答案：a ＋1a －1≤－1 8．解析：当x >1时，2x ＋8x －1＝2(x －1)＋8x －1＋2≥22（x －1）·8x －1＋2＝8＋2＝10，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x >12（x －1）＝8x －1，即x ＝3时等号成立．∴2x ＋8x －1的最小值为10. 答案：109．证明：由a ，b ，c ，d 都是正数，得ab ＋cd2≥ab ·cd >0(当且仅当ab ＝cd 时，等号成立)，ac ＋bd2≥ac ·bd >0(当且仅当ac ＝bd 时，等号成立)，∴（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）4≥abcd .即(ab ＋cd )(ac ＋bd )≥4abcd (当且仅当a ＝b ＝c ＝d 时，等号成立). 10．解析：(1)因为x ＜3，所以3－x ＞0.又因为y ＝2(x －3)＋1x －3＋7＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（3－x ）＋13－x ＋7，由基本不等式可得2(3－x )＋13－x ≥22（3－x ）·13－x＝22，当且仅当2(3－x )＝13－x ，即x ＝3－22时，等号成立，于是－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（3－x ）＋13－x ≤－22，－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（3－x ）＋13－x ＋7≤7－22，故y 的最大值是7－2 2.(2)y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x.因为x ＞0，所以x ＋1x≥2x ·1x ＝2，所以0＜y ≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立．故y 的最大值为1.11．解析：对于A ，y ＝x ＋1x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2－x ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x＝－2，当且仅当－x ＝－1x ，即x ＝－1时，等号成立，所以y ＝x ＋1x()x <0的最大值是－2，故A 正确；对于B ，y＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2>2，因为x 2＋2＝1x 2＋2，即x 2＋2＝1无解，即等号不成立，所以y ＝x 2＋3x 2＋2取不到最小值2，故B 错误；对于C ，y ＝2－3x －4x (x >0)＝2－(3x ＋4x )≤2－23x ·4x ＝2－43，当且仅当3x ＝4x ，即x ＝233时，等号成立，所以y ＝2－3x －4x(x >0)的最大值是2－43，故C 正确；对于D ，y ＝x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥2()x －1·4x －1＋1＝5，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立，所以y ＝x ＋4x －1()x >1最小值是5，故D 正确；故选ACD.答案：ACD12．解析：A 选项，由x <0可得y ＝x ＋1x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤()－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≤－2()－x ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x ＝－2，当且仅当－x ＝－1x，即x ＝－1时，等号成立；即y ＝x ＋1x的最大值为－2；A 正确；B选项，由a >0，b >0，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－ab ＝a 2＋b 2－2ab 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22≥0，即ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，故B 正确；C 选项，若a >0，b >0，且a ＋4b ＝1，则1a＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ()a ＋4b ＝1＋4b a ＋ab＋4≥5＋24b a ·a b ＝9，当且仅当4b a ＝a b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝16时，等号成立；即1a ＋1b 的最小值为9，故C 错；D 选项，因为0≤x ≤2，所以y ＝x 4－x 2≤x 2＋()4－x 22＝2，当且仅当x ＝4－x 2，即x ＝2时，等号成立，故D 正确．故选ABD.答案：ABD13．解析：由于x <2，所以x －2<0，x 2－3x ＋3x －2＝（x 2－4x ＋4）＋x －2＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2－x ）＋12－x ＋1≤－2（2－x ）·12－x＋1＝－1，当且仅当2－x ＝12－x ，即x ＝1时等号成立．答案：－1 114．解析：∵5x 2y 2＋y 4＝1 ∴y ≠0且x 2＝1－y45y2∴x 2＋2y 2＝1－y 45y 2＋2y 2＝15y 2＋9y 25≥215y 2·9y 25＝65， 当且仅当15y 2＝9y 25，即x 2＝815，y 2＝13时取等号．∴x 2＋y 2的最小值为65.答案：6515．解析：(方法一)因为a ，b 均为正实数，所以由基本不等式可得b a ＋a ≥2b ，a b＋b ≥2a ，两式相加，得b a ＋a ＋ab＋b ≥2a ＋2b ， 所以b a ＋ab≥a ＋b . (方法二)b a ＋a b －a －b ＝b －a a ＋a －b b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝(a －b )(a ＋b )a －b ab ＝（a －b ）2（a ＋b ）ab≥0.所以b a ＋ab≥a ＋b . 16．解析：由三角形相似，知CD 2＝DE ·OD ＝AC ·BC ，即DE ＝DC 2OD ＝ab a ＋b 2＝2ab a ＋b，由CD ≥DE ，得ab ≥2aba ＋b，故选A. 答案：A。
21-22版：习题课 基本不等式（步步高）
习题课 基本不等式 学习目标 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．一、利用基本不等式比较大小例1 已知0<a <b <1，P ＝a ＋b 2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( ) A ．P >Q >MB ．M >P >QC ．Q >M >PD ．M >Q >P答案 B解析 因为0<a <b <1，所以a ＋b 2>ab ， 又因为a ＋b 2<a ＋b ， 故M >P >Q .反思感悟 运用基本不等式比较大小的注意点(1)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形．(2)应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b .跟踪训练1 设a ，b 为非零实数，给出下列不等式：①a 2＋b 22≥ab ；②a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22；③a ＋b 2≥ab a ＋b； ④a b ＋b a≥2. 其中恒成立的是________．(填序号)答案 ①②解析 由重要不等式a 2＋b 2≥2ab ，可知①正确；a 2＋b 22＝2(a 2＋b 2)4＝(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)4≥a 2＋b 2＋2ab 4＝(a ＋b )24＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，可知②正确；当a ＝b ＝－1时，不等式的左边为a ＋b 2＝－1， 右边为ab a ＋b＝－12，可知③不正确； 当a ＝1，b ＝－1时，可知④不正确．二、巧用“1”的代换求最值问题例2 已知a >0，b >0，a ＋2b ＝1，求t ＝1a ＋1b的最小值． 解 因为a >0，b >0，a ＋2b ＝1，所以t ＝1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋2b ) ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝1＋2b a ＋a b＋2 ≥3＋22b a ·a b ＝3＋2 2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2b a ＝a b ，a ＋2b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2－1，b ＝2－22时等号成立，故t 的最小值为3＋2 2. 延伸探究 若x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值． 解 ∵1x ＋9y＝1， ∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝10＋9x y ＋y x≥10＋29x y ·y x ＝16， 当且仅当9x y ＝y x即x ＝4，y ＝12时，取等号． 反思感悟 常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．跟踪训练2 已知x >0，y >0，x ＋8y ＝xy ，求x ＋2y 的最小值．解 因为x >0，y >0，由x ＋8y ＝xy ，两边同时除以xy ，可得8x ＋1y＝1， 所以x ＋2y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋1y (x ＋2y )＝10＋x y ＋16y x≥10＋2x y ·16y x＝18， 当且仅当⎩⎨⎧ 8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝3时，等号成立， 所以x ＋2y 的最小值为18.例3 已知a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8. 证明 因为a ，b ，c 均为正实数，a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a， 同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立． 延伸探究 本例的条件不变，求证：1a ＋1b ＋1c≥9. 证明 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立． 反思感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②巧用“1”的代换证明不等式；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．跟踪训练3 已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b，求证：a ＋b ≥2. 证明 由a >0，b >0，则a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab， 由于a ＋b >0，则ab ＝1，即a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，所以a ＋b ≥2.1．知识清单：(1)利用基本不等式比较大小．(2)巧用“1”的代换求最值问题．2．方法归纳：配凑法．3．常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件或符号导致错误．1．已知0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，下列各式中最大的是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b答案 D解析 ∵0<a <1,0<b <1，∴a 2<a ，b 2<b ，∴a 2＋b 2<a ＋b ，又a 2＋b 2>2ab (a ≠b )，∴2ab <a 2＋b 2<a ＋b .又∵a ＋b >2ab (a ≠b )，∴a ＋b 最大．2．若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a >a ＋b 2>ab >bB ．b >ab >a ＋b 2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b 2>ab答案 C解析 ∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ，∴b >a ＋b 2>ab .又∵b >a >0，∴ab >a 2， ∴ab >a .故b >a ＋b 2>ab >a .3．已知x ，y 是正数且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为() A.1315 B.94 C ．2 D ．3答案 B解析 由x ＋y ＝1，得(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，即14[(x ＋2)＋(y ＋1)]＝1，∴4x ＋2＋1y ＋1＝⎝⎛⎭⎫4x ＋2＋1y ＋1·14[(x ＋2)＋(y ＋1)]＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋4(y ＋1)x ＋2＋x ＋2y ＋1≥14(5＋4)＝94，当且仅当x ＝23，y ＝13时，等号成立． 4．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为________．答案 14解析 设直角三角形的两条直角边的长分别为a ，b ，则a ＋b ＋a 2＋b 2＝2＋1.又a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab ，所以2＋1≥2ab ＋2ab ＝(2＋2)ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取“＝”，所以直角三角形的面积S ＝12ab ≤14，即S 的最大值为14.。
2022-2023学年人教版数学必修一第二章基本不等式练习题含答案
2022-2023学年人教版数学必修一第二章基本不等式练习题学校:___________姓名：___________班级：_____________一、解答题 1．已知a b ，比较2a ab +与23ab b -的大小，并证明.2．设a ，b 为正实数，求证：()()()2233338a b a b a b a b +++≥．3．求函数1(3)3y x x x =+>-的最小值.4．（1）把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？（2）把12写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？5．已知圆C 的圆心在坐标原点，且过点(M . (1)求圆C 的方程；(2)已知点P 是圆C 上的动点，试求点P 到直线40x y +-=的距离的最小值；(3)若直线l 与圆C 相切，且l 与,x y 轴的正半轴分别相交于,A B 两点，求ABC 的面积最小时直线l 的方程.6．已知a ，b R +∈，求证：()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭．7．函数π()2sin()10,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭图像过点π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，且相邻对称轴间的距离为π2． (1)求,ωϕ的值；(2)已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且2a =，求ABC面积的最大值．8．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为25x -万元（国家规定大货车的报废年限为10年）. （1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？ （利润=累积收入+销售收入-总支出）9．高一（3）班的小北为我校设计的冬季运动会会徽《冬日雪花》获得一等奖．他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要批量生产．其中会徽的六个直角（如图2阴影部分）要利用镀金工艺上色．已知一块矩形材料如图1所示，矩形 ABCD 的周长为4cm ，其中长边 AD 为 x cm ，将BCD △沿BD 向ABD △折叠，BC 折过去后交AD 于点E ．(1)用 x 表示图1中BAE 的面积；(2)已知镀金工艺是2元/2cm ，试求一个会徽的镀金部分所需的最大费用．10．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ， b ，c ，A 为锐角，cos cos 3cos b A a B c A +=．(1)求cos A ；(2)若2a =，求ABC 面积的最大值．11．已知(2,5)x ∈-，求(2)(5)y x x =+-的最大值，以及y 取得最大值时x 的值．12．下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．(1)若0ab >，则a b +≥(2)若0ab >2≥；(3)若0ab <，则2b aa b+≤-．13．已知a ，b ，c 均为正实数.(1)求证：a b c ++≥(2)若1a b +=，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.14．已知x ＞2，求函数4()2f x x x =+-的最小值．15．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于A ，B两点，线段AB 的中点为M ，当3AB p =时，点M 的横坐标为2. (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 的准线交于点D ，点D 关于x 轴的对称点为E ，当DME 的面积取最小值时，求直线l 的方程.16．如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．(1)现有可围36m长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2)若每间虎笼的面积为220m，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？17．已知5<4x，求函数14145y xx=-+-的最大值．参考答案：1．见解析【解析】利用作差法比较大小. 【详解】解：223a ab ab b +>-，证明如下：()2222232()a ab ab b a ab b a b +--=-+=-.a b ≠2()0a b ∴-> 223a ab ab b ∴+>-【点睛】本题考查作差法比较两式的大小关系，属于基础题. 2．证明见解析【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为a ，b 为正实数，所以a b +≥222a b ab +≥，332a b +≥当且仅当a b =时取等号，所以()()()223333228a b a b a b ab a b +++≥⨯=，即()()()2233338a b a b a b a b +++≥，当且仅当a b =时取等号；3．5【分析】式子化为1333x x +-+-，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为3x >， 所以30x ->，所以133353y x x =+-+≥=-， 当且仅当133x x -=-即4x =时取等号，此时取得最小值5.4．（1）当7x y ==时，x y +取得最小值14；（2）当6x y ==时，xy 取得最大值36 【解析】（1）设0x >，0y >，49xy =，然后利用基本不等式求得x y +的最小值，根据基本不等式等号成立的条件，求得,x y 的值.（2）设0x >，0y >，12x y +=，然后利用基本不等式求得x y ⋅的最大值，根据基本不等式等号成立的条件，求得,x y 的值.【详解】（1）设0x >，0y >，49xy =，由均值不等式，得214x y xy +=， 当且仅当x y =时，取等号．由,49,x y xy =⎧⎨=⎩得7x y ==，即当7x y ==时，x y +取得最小值14．（2）设0x >，0y >，12x y +=，由均值不等式，得22123622x y x y +⎛⎫⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当且仅当x y =时，取等号．由,12,x y x y =⎧⎨+=⎩得6x y ==．即当6x y ==时，xy 取得最大值36.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 5．(1)224x y +=(2)2(3)0x y +-【分析】（1）利用两点间距离公式可求得半径r ，由此可得圆C 方程； （2）利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离d ，可知最小值为d r -； （3）设():10,0x yl a b a b+=>>，由圆心到直线距离等于半径，结合基本不等式可知当a b ==ABC 面积取得最小值，由此可得直线l 方程. （1）由题意知：圆心()0,0C ，半径2r CM ==，∴圆C 的方程为：224x y +=.（2）圆心到直线40x y +-=的距离d r ==>，∴点P 到直线40x y +-=的距离最小值为2d r -=.（3）设直线():10,0x yl a b a b+=>>，即0bx ay ab ， 则圆心到直线l 距离2d ==，ab ∴=a b ==，解得：8ab ≥，∴当a b ==ABC 面积取得最小值142ab =，则直线1l =，即0x y +-. 6．见解析【分析】()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开并运用基本不等式即可得证.【详解】()11224b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =即a b =时等号成立.【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 7．(1)2ω=，π3ϕ=；(2)2+【分析】（1）由题干条件得到最小正周期，进而求出2ω=，待定系数法求出π3ϕ=；（2）先由32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出π6A =，利用余弦定理，基本不等式求出8bc ≤+最大值. (1)由题意得：()f x 的最小正周期πT =，由于0>ω，故2ππω=，解得：2ω=，又2π32sin()11ϕ++=，所以2ππ,3k k Z ϕ+=∈，即2ππ,3k k Z ϕ=-∈，又π||2ϕ<，所以2πππ,32k k Z <∈-，解得：1766k <<，k Z ∈，故1k =，此时π3ϕ=，综上：2ω=，π3ϕ=； (2)2sin()33π12A f A ⎛⎫= ⎪⎝++=⎭，所以sin()1π3A +=，因为()0,πA ∈，所以ππ4π,333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则ππ32A +=，解得：π6A =，又2a =，所以由余弦定理得：224cos 2b c A bc +-==，则224b c +=，由基本不等式得：222b c bc +≥，即42bc ≥，解得：8bc ≤+b c =时等号成立，故ABC 面积最大值为1sin 22bc A ≤ 8．（1）第三年；（2）第5年.【解析】（1）求出第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；（2）利用利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论． 【详解】（1）设大货车运输到第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则y ＝25x ﹣[6x +x （x ﹣1）]﹣50＝﹣x 2+20x ﹣50（0＜x ≤10，x ∈N ）由﹣x 2+20x ﹣50＞0，可得10﹣x ＜∈2＜10﹣＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出； （2）∈利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，∈二手车出售后， 小张的年平均利润为(25)y x y x +-=＝19﹣（x +25x）≤19﹣10＝9，当且仅当x ＝5时，等号成立，∈小张应当在第5年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大． 【点睛】思路点睛：首先构建函数的模型一元二次函数，再解一元二次不等式，再利用基本不等式求最值.9．(1)()223cm 12S x x x ⎡⎤⎛⎫=-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(2)当 AD cm 时，一个会徽的镀金部分所需的最大费用为(36-元.【分析】（1）设ED a =cm ，根据条件可得222x x a x-+=，然后利用面积公式即得；（2）利用基本不等式即得. （1）因为AD x =cm ，所以()2AB x =-cm ， 设 ED a = cm ，则()AE x a =-cm ，因为AEB C ED '∠=∠，EAB DC E '∠=∠，AB DC '=， 所以Rt Rt BAE DC E '≌△△，所以BE ED a ==cm ， 在Rt BAE △中，由勾股定理得222BA AE BE +=， 即()()2222x x a a -+-=， 解得222x x a x-+=，所以22x AE x a x-=-=，所以BAE 的面积()()22112232223cm 1222x x x S AB AE x x x x x x --+-⎡⎤⎛⎫=⋅=-⋅==-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 所以BAE 的面积()223cm 12S x x x ⎡⎤⎛⎫=-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）设一个会徽的镀金费用为y 元，则(26212312336BAE y Sx x ⎡⎤⎛⎫=⋅⋅=⨯-+≤⨯-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 当且仅当2xx=，12x <<，即x =所以当AD 时，一个会徽的镀金部分所需的最大费用为(36-元． 10．(1)1cos 3A =；.【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式求cos A 的值；（2）由同角三角函数间的基本关系求sin A 的值，根据余弦定理和基本不等式求bc 的最大值，最后根据三角形的面积公式求ABC 面积的最大值即可． (1)因为cos cos 3cos b A a B c A +=，由正弦定理得sin cos cos sin 3sin cos B A B A C A +=， 所以()sin 3sin cos A B C A +=，所以sin 3sin cos C C A =． 在ABC 中，sin 0C ≠， 所以1cos 3A =；(2)由（1）知1cos 3A =，由22sin cos 1A A +=，A 为锐角，得sin A =， 由余弦定理可知222123b c a bc +-=，因为2a =， 所以2233122b c bc +-=，所以22212336bc b c bc +=+≥，所以3bc ≤，当且仅当b c ==所以1sin 2ABC S bc A =△所以ABC 11．当32x =时，y 取得最大值494【解析】根据基本不等式，求得y 的最大值，根据基本不等式等号成立的条件，求得此时x 的值.【详解】∈(2,5)x ∈-，∈20,50x x +>->，∈22549(2)(5)24x x y x x ++-⎛⎫=+-=⎪⎝⎭． 当且仅当25x x +=-，即32x =时，取等号．即当32x =时，y 取得最大值494．【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 12．(1)不成立，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3)成立，理由见解析；【分析】取特殊值判断（1），由均值不等式判断（2）（3）. （1）取1,2a b =-=-满足0ab >，此时a b +≥ （2）0ab >，0,0a bb a∴>>，2=，当a b =时等号成立. （3）0ab <，0,0b aa b∴<<，2b a b a a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=--+-≤-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当a b =-时等号成立. 13．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用基本不等式证明即可；（2）由112111⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b ab 利用基本不等式求最值即可. （1）因为a ，b ，c 都是正数，所以()()()(1122++=+++++≥⎡⎤⎣⎦a b c a b b c a ca b c ==时，等号成立，所以a b c ++≥（2）211111122211111119142a b a b a b ab ab ab ab a b +⎛⎫⎛⎫++=+++=++=+≥+=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时等号成立. ∈11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 14．6【解析】利用基本不等式可求函数的最小值.【详解】解：∈2x >，∈20x ->，故44()222622f x x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当4x =时等号成立，故()f x 的最小值为6.15．(1)24y x =(2)1x y =±+【分析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，根据焦点弦的性质得到12||AB x x p =++，从而求出p ，即可得解；（2）设:1l x ty =+，联立直线与抛物线，消元、利用韦达定理得到M y ，从而得到M x ，则()1||12DEM M S DE x =⋅+最后利用基本不等式求出最小值，即可得解； （1）解：设()()1122,,,A x y B x y ，由题知12||43AB x x p p p =++=+=时，2p =，故抛物线方程为24y x =；（2）解：设:1l x ty =+，联立抛物线方程得2440y ty --=，∈1222M y y y t +==，2121M M x ty t =+=+，而21,D t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，21,E t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()()21141||1224||822||||DEM M S DE x t t t t ⎛⎫=⋅+=⋅⋅+=+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当||1t =时等号成立，故直线l 的方程为1x y =±+．16．(1)长为9m 2，宽为18m 5(2)长为5m ，宽为4m【分析】（1）设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则每间老虎笼的面积为S xy =，可得出4536x y +=，利用基本不等式可求得S 的最大值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论；（2）设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则20xy =，利用基本不等式可求得钢筋网总长45x y +的最小值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论.（1）解：设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则每间老虎笼的面积为S xy =，由已知可得4536x y +=， 由基本不等式可得()2211458145m 202025x y S xy x y +⎛⎫==⋅⋅≤⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当454536x y x y =⎧⎨+=⎩，即当92185x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立， 因此，每间虎笼的长为9m 2，宽为18m 5时，可使得每间虎笼的面积最大. （2）解：设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则20xy =，钢筋网总长为()4540m x y +≥=，当且仅当4520x y xy =⎧⎨=⎩，即当54x y =⎧⎨=⎩时，等号成立， 因此，每间虎笼的长为5m ，宽为4m 时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小. 17．2 【分析】将14145y x x =-+-变形为[()1]54454y x x =--++-，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】根据题意，函数()114545444554y x x x x ⎡⎤=-++=--++⎢⎥--⎣⎦ ， 又由54x <，则540x ->，则()154254x x -+≥-， 当且仅当15454x x -=-时，即1x =时取等号， 则1[(54)]424254y x x=--++≤-+=-, 故函数14145y x x =-+-的最大值为2.。
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基本不等式:
ab
≤2
b a +
A 组
1.已知a ＞0,b ＞0，a 1+b
3
=1，则a +2b 的最小值为( ) A .7+26
B .23
C .7+23
D .14
2.设a ＞0,b ＞0,下列不等式中不成立的是( ) A.b
a
a
b +
≥2 B .a 2
+b 2
≥2ab
C .
b
a a
b 2
2+
≥a +b D .b
a
11+≥2+
b
a +2
3.已知x ＞0,y ＞0，x ,a ,b ,y 成等差数列，x ,c ,d ,y 成等比数列，则()cd
b a 2
+的最小值是( )
A .0
B .1
C .2
D . 4 4.x +3y -2=0，则3x +27y +1的最小值为
( ) A .7
B .339
C .1+22
D .5
5.若不等式x 2
+ax +4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为( ) A .[)+∞,0
B .[)+∞-,4
C .[)+∞-,5
D .[]4,4-
6.在下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的是( ) A .y =x +
x
4
B .y =x
x lg 1lg +
C .y =1
1
122++
+x x D .y =x 2
-2x +3
7.已知0＜x ＜1，则x (3-3x )取得最大值时x 的值为( ) A .3
1
B .2
1
C .4
3
D .3
2
8.若直线2ax +by -2=0 （a ,b ∈R +
）平分圆x 2
+y 2
-2x -4y -6=0，则a 2+b
1
的最小值是( ) A .1
B .5
C .42
D .3+22
9.函数y =log 2x +log x (2x )的值域是( )
A .(]1,--∞
B .[)+∞,3
C .[]3,1-
D .(][)+∞--∞,31,
10.有一个面积为1 m 2
，形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的钢管供应用，其中最合理（够用且最省）的是( ) A .4.7 m B .4.8 m C .4.9 m D .5 m
11.已知x ,y ,z ∈R +
，x -2y +3z =0,
xz
y 2
的最小值是 . 12.若实数a ,b 满足ab -4a -b +1=0 (a ＞1),则(a +1)(b +2)的最小值为 .
13.若a ,b 是正常数，a ≠b ,x ,y ∈(0,+∞)，则x a 2+y b 2≥()y x b a ++2,当且仅当x a =y
b
时上式取等号.利用以上
结论，可以得
到函数f (x )=
x 2+ x
219
-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈210,x 的最小值为 ，取最小值时x 的值为 . 14.（1）已知0＜x ＜3
4
，求x (4-3x )的最大值；
15.已知a 、b ∈（0，+∞），且a +b =1,求证：
(1)a 2+b 2≥2
1;
16.设a ＞0,b ＞0,a +b =1. （1）证明：ab +ab
1
≥441;
17.某工厂统计资料显示，产品次品率p 与日产量x (单位：件，x ∈N *
，1≤x ≤96)的关系如下： 又知每生产一件正品盈利a (a 为正常数)元，每生产一件次品就损失
3
a
元. （注：次品率p =
产品总数
次品个数
×100%，正品率=1-p )
（1）将该厂日盈利额T （元）表示为日产量x 的函数；（2）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为
多少件？
B 组 2．（1）已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y
9
=1,求x +y 的最小值；
（2）已知x ＜4
5,求函数y =4x -2+5
41
x 的最大值；
（3）若x ,y ∈(0,+∞)且2x +8y -xy =0，求x +y 的最小值.
3.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四
周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.
（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.。