《高等数学》电子课件(同济第六版)04第三章 第4节 函数单调性与曲线的凹凸性PPT精品文档39页

那末函 y数 f(x)在[a,b]上单调. 减少
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证 x1,x2[a,b],且 x1x2,应用拉氏定理,得
f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( ) x 2 x ( 1 )( x 1 x 2 ) x2x10,
若 (a ,b 在 )内 f(x ) ， 0 , 则 f()0,
f ( x ) f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 x 2 ) x ( x 1 x 2 ) f ( ) ( x x 1 x 1 ) 2
yxsinx在[0,2]上单调增加。
说明： （ 1 ） 把 [ a ,b ] 换 成 无 穷 区 间 定 理 仍 成 立
如 f( x ) 2 x 8 x在 ( , 2 ) 上 f( x ) 2 x 8 2 0
f(x ) 在 ( , 2 ] 上 单 调 增 加 。
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例2 讨论y函 ex 数 x1的单.调性 解 yex1.又 D :(, ) .
f(x 2)f(x 1).yf(x)在 [a,b]上单调 . 增
若 (a ,b 在 )内 f(x ) ， 0 , 则 f()0,
f(x 2)f(x 1) . yf(x)在 [a,b]上单调 . 减
2
例 1 讨y论 xsinx在 [0,2]上的单调性
解： y 1 cx o 0 ,sx ( 0 ,2 ),
在( ,0)内 , y 0,
函数单调减少；
在(0, )内 , y 0, 函数单调增.加
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
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（2）函数在整个定义域上不一定是单调的，但在不 同的区间上具有单调性，且改变单调性的点只可能 是的 f(x)0点及导数不存在的点．
也就是
ex
sinx(1x2)0ex
x2 sinx110
2
2
例 7 证明 x3x2x10只有一个实根。 证明： 令 f(x)x3x2x1
f(x)3x22x13(x1)220
f(x)在(,)上严格3单增 3
所以方程最多有一个实 根。
又 f(0)10, f( 2 ) 8 4 2 1 5 0
1x
f ( x ) 在 [ 0 , ) 上 ,且 ( 0 连 , ) 可 续 f ( x ) 导 0 ,
在[0,)上单调增加 f； (0)0,
当x0时，f(x)f(0)0
x ln 1 x () 0 ,
即 xln 1 (x). 9
例6
当0 x 时，证明 exsinx1x2。
2
2
证明：作 f(x)exsix n(1x2) 2
一、单调性的判别法
y
yf(x) B
A
yA yf(x) B
oa
bx
f (x) 0
o a f (x) 0 b x
定理 设函y数 f(x)在[a,b]上连续(a， ,b)内 在可
导 （ . 1） 如果(a在 ,b)内f(x)0，那末y函 f(数 x)
在[a,b]上单调增 (2)加 如； 果(a在 ,b)内f(x)0，
所以f (x)在[2,0]上至少有一实根，
即方程只有一个实根
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二、曲线的凹凸性及拐 点
y
C
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
B
y
yf(x)
A
o
x
yFra Baidu bibliotekyf(x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
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1. 曲线的凹凸与拐点的定义
定义 1. 设函数 f (x)在区间 I上连续 , x1,x2I,
如ysinx在 [0,2]上不单调
但[0 在 ,][,,3][,3,2]上单调
2 22 2
3
且f()f(3)0
2
2
2 2
2
再如y x在x0点不可导但改变。单调性
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）（3）讨论函数单调性的步骤： 1）确定函数的定义域； 2）求函数导数为零的点及一阶导数不存在的点； 3）这些点将定义域分成若干个小区间，列表讨论。
x (,1) 1 (1 , 2) 2 (2, ) f (x) 0 0
f (x)
2
1
故 f (x) 的单调增区间为 (, 1], [2, )
f ( x) 的单调减区间为 [ 1 , 2 ]
7
例4 确定函 f(x数 )3 x2的单调. 区间
解 D:(, ) .
f(x) 2, (x0) 33x
0 x
2
f(0 ) 0 f(x ) e x cx o x s
f(0 ) 0 f(x ) e x sx i n 1
f(0 ) 0 f(x ) e x cx o 0 s
因此，f (x)单调减少, f(x)f(0)0
f (x)单调减少，f(x)f(0)0
f(x) 单调减少 f(x)f(0)0
（4）区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
例如, y x3, yx00,
但在 ( ,)上单调.增加
y x3
x
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例3 确定函数 f(x)2x39x21x 2 3的单调区间.
解: 函 数 的 定 义 域 为 （ - ， ） 且 任 点 都 可 导 ；
f(x)6x21x 8126(x1)x (2) 令 f(x)0, 得 x1,x2
(1) 若恒有 f(x1x2)f(x1)f(x2),
2
2
则称 f ( x) 的图形是凹的;
(2)
若恒有
f(x1x2)f(x1)f(x2),
2
2
则称 f ( x) 的图形是凸的 . yy
函数图形上凹凸的分界点称为拐点 .
oo
x1 x1 x2
2
x 213 xx
2、曲线凹凸的判定
y
yf(x) B
yf(x)
当x0时,导数不.存在
y3 x2
当 x0时f， (x)0, 在(,0]上单调减少；
当 0x 时f， (x)0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 (,0]，[0,).
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(5 )利 用 单 调 性 可 证 明 不 等 式 。
例5 当 x 0 时 ,试 证 x ln ( 1 x ) 成 立 .
证 设 f(x ) x ln 1 x ()则 , f(x) x .
y
B
A A
oa
bx
f(x)递增 y 0
oa
bx
f(x)递减 y 0
定理1 如果f(x)在[a,b]上连,续 在(a,b)内具有
二阶导,若 数在(a,b)内 (1) f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是; 凹的 (2) f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是. 凸的
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证:
x1,x2[a,b],利用一阶泰勒公式可得