全等三角形辅助线做法讲义全
全等三角形辅助线秘籍-中线倍长发(优质讲义)可编辑打印
全等三角形的辅助线秘籍（一）—中线倍长学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容中线倍长的辅助线添加课型教学目标1.让学生理解中线倍长的思想方法，明确什么时候需要添加此种辅助线.2.让学生掌握中线倍长的特点，构造SAS型全等.重、难点中线倍长辅助线的添加知识导图知识梳理1.中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．2.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线（或类中线）延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．3.倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，用SAS证全等。
倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
口诀：遇中线，先倍长；证全等，找关系。
4.利用中线倍长我们通常可以解决：线段的不等关系（结合三角形的三边关系），线段相等，线段倍分。
5.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．（8字型）△ABC中，AD是BC边中线（1）方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE（2）延长MD到N，使DN=MD，连接CD导学一：利用中线倍长证明线段的等量关系例 1. 已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF。
我爱展示1. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE．求证：AD+BC=DC．导学二：利用中线倍长证明线段的等量关系例 1. 如图，在△ABC中，点0为BC的中点，点M为AB上一点，ON⊥OM交AC于N．求证：BM+CN＞MN．我爱展示1. 如图，△ABC中，D为BC的中点．（1）求证：AB+AC＞2AD；（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．导学三：利用中线倍长证明线段的倍分关系例 1. 如图．AB=AE，AB⊥AE，AD=AC．AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM 。
(完整版)几种证明全等三角形添加辅助线的方法
教学过程构造全等三角形几种方法在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。
现分类加以说明。
一、延长中线构造全等三角形例1. 如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。
证明：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE。
如图2。
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD。
又∵∠1＝∠2，AD＝DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）。
AB＝CE。
∵在△ACE中，CE＋AC＞AE，∴AB＋AC＞2AD。
二、沿角平分线翻折构造全等三角形例2. 如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。
求证：AB＋BD＝AC。
证明：将△ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：在AC上截取AE＝AB，连接ED。
如图4。
∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AE，∴△ABD≌△AED（SAS）。
∴BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C。
而∠AED＝∠C＋∠EDC，∴∠C＝∠EDC。
所以EC＝ED＝BD。
∵AC＝AE＋EC，∴AB＋BD＝AC。
三、作平行线构造全等三角形例3. 如图5，△ABC中，AB＝AC。
E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。
求证：EF＝FD。
证明：过E作EM∥AC交BC于M，如图6。
则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF。
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。
∴∠B＝∠EMB。
故EM＝BE。
∵BE＝CD，∴EM＝CD。
又∵∠EFM＝∠DFC，∠MEF＝∠CDF，∴△EFM≌△DFC（AAS）。
EF＝FD。
四、作垂线构造全等三角形例4. 如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。
M是AC边的中点。
AD ⊥BM交BC于D，交BM于E。
求证：∠AMB＝∠DMC。
证明：作CF⊥AC交AD的延长线于F。
如图8。
∵∠BAC＝90°，AD⊥BM，∴∠FAC＝∠ABM＝90°－∠BAE。
∵AB＝AC，∠BAM＝∠ACF＝90°，∴△ABM≌△CAF（ASA）。
全等三角形六种辅助线方法及例题
全等三角形六种辅助线方法及例题全等三角形是初中数学中一个非常重要的概念，掌握全等三角形的判定方法和辅助线方法对于解题至关重要。
本文将介绍全等三角形的六种辅助线方法，并结合例题进行详细讲解。
一、辅助线法1.等角分线法：将三角形内角的平分线相互交点构成的点与三角形的另外一个顶点相连，得到一条辅助线。
这条辅助线将三角形分成两个等角的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
2.中线法：将三角形任意两边的中点相连，得到三角形的中线。
相等的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
3.高线法：将三角形内任意一条边的垂线向另外两边引出，得到三角形的高线。
相等的高线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
4.角平分线法：将三角形内角的平分线相互交点构成的点相连，得到三角形的角平分线。
相等的角平分线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
5.角平分线中垂线法：将三角形内角的平分线的中垂线相互交点构成的点相连，得到三角形的角平分线中垂线。
相等的角平分线中垂线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
6.外心连线法：将三角形外接圆心与三角形三个顶点分别相连，得到三条辅助线。
这三条辅助线相等，将三角形分成三个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
二、例题解析1.已知△ABC，点D,E分别为BC,AB边上的中点，连接AD，BE相交于点F，求证：△DEF≌△ABC。
解析：由题意可知，△ABC是由两个等腰三角形组成的，因此可使用中线法证明两个三角形的全等。
由于D，E分别是BC,AB边上的中点，因此DE是AC中线，即DE=1/2AC；同理，AE是BC中线，AF=1/2BC。
因此，△ADB和△AEC是等腰三角形，且AD=EC，AB=AB，∠BAC=∠BAC，因此△ADB≌△AEC。
又因为DE是AC中线，BF是AE中线，因此DE=1/2AC，BF=1/2AE。
(完整版)全等三角形常用辅助线做法
五种辅助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需增加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言常常是难点．下面介绍证明全等常常有的五种辅助线，供同学们学习时参照．一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同素来线上时，平时能够考虑用截长补短的方法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例 1．如图 1，在△ ABC 中，∠ ABC=60 °， AD 、CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ．求证：AC=AE+CD ．解析：要证AC=AE+CD ，AE 、CD 不在同素来线上．故在AC 上截取 AF=AE ，则只要证明 CF=CD ．证明：在 AC 上截取 AF=AE ，连接 OF．∵ AD 、 CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ，∠ ABC=60 °∴∠ 1+∠ 2=60 °，∴∠ 4=∠ 6=∠ 1+∠ 2=60 °．显然，△ AEO ≌△ AFO ，∴∠ 5=∠4=60°，∴∠ 7=180°－（∠ 4+ ∠ 5） =60 °在△ DOC 与△ FOC 中，∠ 6=∠ 7=60°，∠ 2=∠ 3， OC=OC∴△ DOC ≌△ FOC， CF=CD∴ AC=AF+CF=AE+CD．截长法与补短法，详尽作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例2：如图甲， AD∥BC，点 E 在线段 AB上，∠ ADE=∠CDE，∠ DCE=∠ECB。
求证： CD=AD+BC。
思路解析：1）题意解析：此题观察全等三角形常有辅助线的知识：截长法或补短法。
2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 CD上截取 CF=CB，只要再证 DF=DA即可，这就转变成证明两线段相等的问题，进而达到简化问题的目的。
三角形全等中的辅助线讲义
全等三角形之辅助线（讲义）_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ______________________________【参考答案】1.证明：如图，连接AD．在△ABD和△DCA中，AB ODAB DCBD CAAD DA =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已知）（已知）（公共边） ∴△ABD ≌△DCA （SSS ）∴∠B=∠C （全等三角形对应角相等） 2. 证明：如图，连接AC ．∵AB ∥CD∴∠CAB =∠ACD ∵AD ∥BC ∴∠DAC =∠BCA 在△ABC 和△CDA 中，CAB ACDAC CABCA DAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（公共边）（已证） ∴△ABC ≌△CDA （ASA ）∴AB =CD ，BC =DA （全等三角形对应边相等） 3. 证明：如图，连接AC ，AD ．在△ABC 和△AED 中，AB AEB EBC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已知）（已知） ∴△ABC ≌△AED （SAS ）∴AC =AD （全等三角形对应边相等） ∵F 是CD 的中点 ∴CF =DF在△ACF 和△ADF 中，AC AD AF AFCF DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已证）（公共边）（已证） ∴△ACF ≌△ADF （SSS ）∴∠CFA =∠DFA （全等三角形对应角相等） ∵∠CFA +∠DFA =180° ∴∠CFA =90°∴AF ⊥CD4. 证明：如图，过点A 作AD ⊥BC 于D ．ADBCFCBEDA∵AD ⊥BC∴∠ADB =∠ADC=90° 在△ADB 和△ADC 中，B CADB ADCAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已知）（公共边） ∴△ADB ≌△ADC （AAS ）∴AB =AC （全等三角形对应边相等）∵BE =CF ∴BE +EF =CF +EF 即BF =CE在△ABF 和△DCE 中，AB DC B CBF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已知）（已证） ∴△ABF ≌△DCE （SAS ）∴∠AFB =∠DEC （全等三角形对应角相等） AF =DE （全等三角形对应边相等） ∵OG ⊥EF∴∠OGE =∠OGF =90°AD B C在△OEG 和△OFG 中，AFB DECOGE OGFOG OG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边） ∴△OEG ≌△OFG （AAS ）∴OE =OF （全等三角形对应边相等） ∴AF -OF =DE -OE即OA =OD∴△AFD ≌△AED （AAS ） ∴DF =DE ，AF =AE （全等三角形对应边相等）在Rt △BFD 和Rt △CED 中，DF DEBD CD=⎧⎨=⎩（已证）（已知） ∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ） ∴BF =CE （全等三角形对应边相等） ∴AF +BF =AE +CE 即AB =AC全等三角形之辅助线（随堂测试）1. 已知：如图，AB =CD ，∠A =∠D ．求证：∠ABC =∠DCB ．DCB A【参考答案】1. 证明：如图，连接AC ，BD ．在△ABD 和△DCA 中，AB CD DAB ADCAD DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已知）（公共边） ∴△ABD ≌△DCA （SAS ） ∴BD =CA （全等三角形对应边相等）在△ABC 和△DCB 中，AB DC CA BDBC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已知）（已证）（公共边） ∴△ABC ≌△DCB （SSS ）∴∠ABC =∠DCB （全等三角形对应角相等）DA B C全等三角形之辅助线（作业）2. 已知：如图，∠C =∠F ，AB =DE ，DC =AF ，BC =EF ．求证：AB ∥DE ．FE BAD C3. 已知：如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．求证：BE =DF ．F EB ADC5. 如图，点C 为线段AB 上一点，△MAC 和△NBC 均是等边三角形，连接AN 交CM 于点E ，连接BM 交CN 于点F ．有如下结论：①△ACE ≌△MCF ；②CE =CF ；③∠AMB =∠ANB ；④EN =FB ．其中正确结论的序号有________________．【参考答案】1. 证明：如图，过点G 作GH ⊥BE 于H ．∵GH ⊥BE∴∠GHB =∠GHE =90° 在Rt △GHB 和Rt △GHE 中，GB GEGH GH=⎧⎨=⎩（已知）（公共边） ∴Rt △GHB ≌Rt △GHE （HL ）∴∠B =∠E （全等三角形对应角相等） ∵BC =EF ∴BC +CF =EF +CF 即BF =EC在△ABF 和△DEC 中，A DB EBF EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已证） ∴△ABF ≌△DEC （AAS ） ∴DC =AF2. 证明：如图，连接BE ．在△AEF 和△DBC 中，AF DC F CEF BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已知）（已知） ∴△AEF ≌△DBC （SAS ）∴AE =BD （全等三角形对应边相等） 在△ABE 和△DEB 中，AE BD AB DEEB BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已证）（已知）（公共边） H FB AC GD CD ABE F∴△ABE ≌△DEB （SSS ）∴∠ABE =∠DEB （全等三角形对应角相等） ∴AB ∥DE3. 证明：如图，连接BD ．∵AB ∥CD ，AD ∥BC∴∠ABD =∠CDB ，∠ADB =∠CBD 在△ABD 和△CDB 中，ABD CDBBD DBADB CBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（公共边）（已证） ∴△ABD ≌△CDB （ASA ）∴AD =CB （全等三角形对应边相等） ∵E ，F 分别为AD ，BC 的中点， ∴DE =BF在△BED 和△DFB 中，DE BF ADB CBDBD DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边） ∴△BED ≌△DFB （SAS ）∴BE =DF （全等三角形对应边相等） 4. B 5. ①②④CDA B E F。
三角形全等证明常用辅助线作法(倍长中线、截长补短)
倍长中线专题初中阶段三角形有三条重要的、也是最基本的线段：三角形的高线、中线、角平分线。
三种线段各有其重要信息反馈，就中线而言，它具有的功能：①必有相等的线段②必有相等的面积③必有倍长中线构成全等。
本专题只讨论倍长中线的问题。
【基本原理】：如图所示，AD是△ABC的中线，延长AD至E点，使DE＝AD，得到△ADC≌△EDB。
口诀：图形有中线，倍长延中线，连接另一端，全等尽呈现。
【模型实例】：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于F 点，AF=EF ，求证：AC=BE证明： 如图所示。
延长AD 至G 点，使DG=AD ，连接BG 。
在△ADC 与△GDB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD BD GDB ADC GD AD∴△ADC ≌△GDB∴BG =AC ，∠1=∠G又因为AF=EF∴∠1=∠2=∠3∴∠3=∠G∴BG=BE （等角对等边）∴AC=BE②证全等①作倍长中线 ③列出需要用的结果④转化替代 ⑤得出结果【练习1】：如图，在在△ABC中，D为BC的中点，求证：AD+>AB2AC【练习2】：如图，在△ABC中，D为B C的中点,且AD是角平分线。
求证：AB=AC【练习3】：AD是△ABC的中线，分别以AB边、AC边为直角边向外作等腰直角三角形，求证：EF=2AD【练习4】：在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于F点。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论。
截长补短专题要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采用“截长补短”法。
①截长法：把较长的线段截取一段等于两较短线中的一条；②补短法：把两条较短的线段补成一条，再证与长线段相等。
【模型实例】：如图，△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C。
求证：AC=AB+BD 方法一：截长(利用角平分线构建全等三角形)分析：如图，在AC上截AE=AB，连接DE。
完整版)全等三角形常用辅助线做法
完整版)全等三角形常用辅助线做法证明三角形全等时，有时需要添加辅助线，对于初学几何证明的学生来说，这往往是一个难点。
下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们研究时参考。
一、截长补短当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法。
具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例如，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB。
要证明AC=AE+CD，因为AE、CD不在同一直线上，所以在AC上截取AF=AE，只要证明CF=CD即可。
具体证明过程为：在AC上截取AF=AE，连接OF。
由于AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°，因此∠1+∠2=60°，∠4=∠6=∠1+∠2=60°。
显然，△AEO≌△AFO，因此∠5=∠4=60°，∠7=180°－（∠4+∠5）=60°。
在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC，因此△DOC≌△FOC，CF=CD，所以XXX。
另一个例子是在图甲中，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。
要证明CD=AD+BC。
因为结论是CD=AD+BC，可以考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证明DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。
具体证明过程为：在CD上截取CF=BC，如图乙，因此△XXX≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1.又因为AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠XXX°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.在△FDE与△ADE中，∴△XXX≌△ADE（ASA），∴DF=DA，因此CD=DF+CF，∴XXX。
全等三角形-辅助线做法讲义(精.选)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法巧添辅助线一——倍长中线【夯实基础】例：ABC ∆中，是BAC ∠的平分线，且，求证 方法1：作⊥于E ，作⊥于F ，证明二次全等 方法2：辅助线同上，利用面积 方法3：倍长中线【方法精讲】△中方式1： 延长到E ，是边中线 使，连接方式2：间接倍长作⊥于F ，延长作⊥的延长线于E 使，连接 连接【经典例题】例1：△中，5，3，求中线的取值范围例2：已知在△中，，D在上，E在的延长线上，交于F，且，求证：例3：已知在△中，是边上的中线，E是上一点，且，延长交于F，求证：提示：倍长至G，连接，证明Δ≌Δ三角形是等腰三角形例4：已知：如图，在ABC∆中，ACAB≠，D、E在上，且，过D作BADF//交于点F，.求证：平分BAC∠提示：方法1：倍长至G，连结方法2：倍长至H，连结例5：已知，∠∠，是△的中线，第 1 题图ABFD EC求证：∠∠提示：倍长至F ，连结 证明Δ≌Δ（）进而证明Δ≌Δ（）【融会贯通】1、在四边形中，∥，E 为边的中点，∠∠，与的延长线相交于点F 。
试探究线段与、之间的数量关系，并证明你的结论提示：延长、交于G 证明、 所以2、如图，为ABC ∆的中线，平分BDA ∠交于E ，平分ADC∠交于F. 求证：EF CF BE >+3、已知：如图，中，90，于M ，平分交于D ，交于T ，过D 作交于E ，求证：.提示：过T 作⊥于N 证明Δ≌ΔEABC第 14 题图DF CBEADABCMTE截长补短法引辅助线思路：当已知或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时：，如直接证不出来，可采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。
通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。
例1. 如图，△中，∠＝2∠B，∠1＝∠2。
求证：＝＋证法一：（补短法）延长至点F，使得＝在△和△中∴△≌△（）∴∠B＝∠F∵∠＝2∠B∴∠＝2∠F而∠＝∠F＋∠∴∠F＝∠∴＝而＝＋∴＝＋∴＝＋证法二：（截长法）在上截取＝，连结在△和△中EDCBADCBAPQCBA∴△≌△（）例2. 如图，在△中，＝，∠＝90°，∠1＝∠2，⊥交的延长线于E ，证明：＝2。
(完整版)全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
全等三角形辅助线总结3
图2-1D CBA图3-1FED CB A三角形全等辅助线探索一、基础知识点：1、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角 典型例题1-1：D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE.2、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例：如图2-1：已知D 为△ABC 内的任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC 。
证明：由三角形内角和为180°可知：∠A=180°-∠ABC -∠ACB∠D=180°-∠DBC -∠DCB 又点D 为三角形ABC 内任意一点，可知：∠ABC＞∠DBC、∠ACB＞∠DCB∴∠ABC+∠ACB＞∠DBC+∠DCB∴∠A=180°-∠ABC -∠ACB＜∠D=180°-∠DBC -∠DCB，即∠BDC>∠BAC3、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如： 例：如图3-1：已知AD 为△ABC 的中线，且DE 平分∠ADB,DF 平分∠ADC, 求证：BE ＋CF ＞EF 。
过B 点作BG 平行AC 交FD 延长线于G,连接GF 因BG 平行AC ，则BD/CD=BG/CF=DG/DF又因D 是BC 中点即BD=DC ，则BG=CF,DG=DF因DE 、DF 分别平分∠ADB ，∠ADC,∠ADB+ADC=180度则∠EDF=∠EDA+∠ADf=∠ADB/2+∠ADC/2=(∠ADB+∠ADC)/2=180/2=90度 则∠EDG=180-∠EDF=180-90=90度又DE 为共边，DG=DF 则三角形EDG 与EDF 全等 则EG=EF因EG=EF,BG=CF ，EG<BE+BG （三角形两边之和大于第三边) 所以EF<BE+CF4、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(教师版)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(教师版)常见的辅助线的作法(教师版)全等三角形问题常见的辅助线的作法总论:全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题2.倍长线:倍长线,使延长线段与原线长相等,构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”:遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6.图形补全法:有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法:遇到三角形的一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成30-60-90的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90的特殊直角三角形,或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种:最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换的“对折”法构造全等三角形.2)遇到三角形的线,倍长线,使延长线段与原线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换的“旋转”法构造全等三角形.3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法,(1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.(2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形。
(3)可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置CCBA上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。
第十二讲 全等三角形的常用辅助线作法---完美版(备用版)
第十二讲全等三角形的常用辅助线作法【知识梳理】：1、找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
2、三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
3、常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
【专题精讲】：例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。
求证：BD=2CE。
思路分析：1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。
解答过程：（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。
求证：ΔABC是等腰三角形。
思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。
2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。
解答过程：（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。
全等三角形问题中常见的辅助线的作法
全等三角形问题中常见的辅助线的作法1. 引言在我们学习几何的时候，三角形简直就像是个“明星”，不管走到哪里，都是焦点。
全等三角形更是个令人心动的概念，简单来说，就是那些形状和大小完全相同的三角形。
可是，老实说，要搞清楚这些三角形的关系，有时候可得借助一些“秘密武器”——辅助线！今天，我们就来聊聊这其中的门道，让大家在几何世界中游刃有余，像“鱼在水中”一样轻松。
2. 辅助线的魅力2.1 什么是辅助线？辅助线，顾名思义，就是我们在解题过程中为了搞清楚某些关系而“加”的线。
就像大厨做菜，总得有点调料才能让菜更加美味。
辅助线能帮我们理清三角形之间的关系，让复杂的问题变得简单，哎呀，那感觉就像是拨开云雾见青天，简直爽得不得了。
2.2 辅助线的类型说到辅助线，种类可多了，像什么垂线、平行线、角平分线等等，真是应有尽有。
每种线都有它的“个性”，有的能帮我们证明角度相等，有的则让边长对比变得轻而易举。
比如说，画一条角平分线，就像是把一个三角形分成两个完美的小三角，没准你还会发现“哦，原来这两个小家伙是全等的呢！”3. 实战应用3.1 画辅助线的技巧画辅助线的时候，可得注意点细节。
首先，咱们得了解题目给出的信息，想清楚我们要解决的问题。
想象一下，就像开车前得先看清路线，心里有个谱，才能开得顺畅。
其次，画线的时候别心急，慢慢来，越是仔细，效果越好。
记得多试几种方法，像“试错法”一样，最后总能找到那条“金线”。
3.2 辅助线的作用辅助线的作用可大了，能帮助我们找出全等三角形的对应边和角，有时候只需一条简单的线，就能让复杂的关系变得一目了然。
就像是魔术师一挥手，困扰你的难题就瞬间消失了。
举个例子，假如我们要证明两个三角形全等，画条平行线就能帮助我们找到相等的角，哇，真是神奇！4. 结语在学习全等三角形的过程中，辅助线就像是我们的小帮手，能够帮助我们搞清楚三角形之间的关系。
无论你是新手还是老手，掌握了这些技巧，绝对能让你在几何的海洋中乘风破浪，所向披靡。
全等三角形中的辅助线的作法
全等三角形中的辅助线的作法在《全等三角形》的解题中，在解决一些复杂的全等三角形问题中往往需要构造辅助线，本文将对添加辅助线的一些常用方法进行介绍，通常有连线构全等、截长补短法、倍长中线法、角平分线构全等等四种常见辅助线。
一、连线构全等例1：已知，如图，AD =BC ，AC =BD ，求证：D C ∠=∠分析：此题是一道易错的全等三角形证明题，很多学生会错误地认为需要证明的是ADO ∆和BCO ∆，但条件明显是不能证明的，所以本题的正确解法是连结AB （或者CD ）构造ADB ∆和BCA ∆全等，再得到D C ∠=∠证明：连结AB在ADB ∆和BCA ∆中⎪⎩⎪⎨⎧===BA AB BD AC BC ADADB ∆∴≌BCA ∆ （SSS ）D C ∠=∠∴练习1：如图，CD AB =，DC BC =，求证：D B ∠=∠.练习2：如图，CD AB //，CD AB =，求证：BC AD =练习3：如图，AB=AC ，BD=CD ，M 、N 分别是BD 、CD 的中点，求证：ANC AMB ∠=∠二、截长补短法截长补短法：在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或者将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例2：已知在ABC ∆，B C ∠=∠2，21∠=∠，求证：CD AC AB +=分析：本题证明的是线段的和差问题，可考虑利用截长或补短法。
方法一（截长法）：如图1，在AB 上截取AE=AC ，连结BE ，易证ADE ∆≌ADC ∆，从而得DC DE =，AED C ∠=∠，AC AE =又因为B C ∠=∠2所以得B AED ∠=∠2，又因为BDE B AED ∠+∠=∠所以得BDE B ∠=∠可得DE BE =从而得CD AC AB +=方法二（补短法）：如图2，延长AC 到点E ，使得AE=AB ，易证ADE ∆≌ADB ∆，从而得AE AB =，E B ∠=∠又因为B ACB ∠=∠2所以得E ACB ∠=∠2，又因为E CDE ACB ∠+∠=∠所以得E CDE ∠=∠可得CE CD =从而得CD AC AB +=练习1：如图所示，已知BC AD //，AE 平分DAB ∠，BE 平分ABC ∠，线段CD 经过点E 交AD 于点D ，交BC 于点C ，求证：AB BC AD =+图1图2练习2：如图，在四边形ABDE 中，C 是BD 边的中点，若AC 平分BAE ∠，︒=∠90ACE ，猜想线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系，并证明。
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全等三角形问题中常见的辅助线的作法巧添辅助线一——倍长中线【夯实基础】例：ABC∆中，AD是BAC∠的平分线，且BD=CD，求证AB=AC方法1：作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，证明二次全等方法2：辅助线同上，利用面积方法3：倍长中线AD【方法精讲】△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，连接BE 连接CD【经典例题】例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF提示：倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA三角形BEG是等腰三角形例4：已知：如图，在ABC∆中，ACAB≠，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE于点F，DF=AC.求证：AE 平分BAC 提示：方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线， 求证：∠C=∠BAE提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ）进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ）【融会贯通】1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论提示：延长AE 、DF 交于G 证明AB=GC 、AF=GF 所以AB=AF+FC2、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+3、已知：如图，ABC 中，C=90，CM AB 于M ，AT 平分BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.提示：过T 作TN ⊥AB 于N 证明ΔBTN ≌ΔECD截长补短法引辅助线思路：当已知或求证中涉及到线段a 、b 、c 有下列情况时：，如直接证不出来，可采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。
通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。
例1. 如图，△ABC 中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2。
求证：AB ＝AC ＋CDDABCMTE证法一：（补短法）延长AC至点F，使得AF＝AB在△ABD和△AFD中∴△ABD≌△AFD（SAS）∴∠B＝∠F∵∠ACB＝2∠B∴∠ACB＝2∠F而∠ACB＝∠F＋∠FDC∴∠F＝∠FDC∴CD＝CF 而AF＝AC＋CF∴AF＝AC＋CD∴AB＝AC＋CD证法二：（截长法）在AB上截取AE＝AC，连结DE 在△AED和△ACD中∴△AED≌△A CD（SAS）例2. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD交BD的延长线于E，证明：BD＝2CE。
分析：这是一道证明一条线段等于另一条线段的2倍的问题，可构造线段2CE，转化为证两CCBA线段相等的问题，分别延长BA ，CE 交于F ，证△BEF ≌△BEC，得，再证△ABD ≌△ACF，得BD ＝CF 。
1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC2、如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ， 求证;AB ＝AC+BD3、如图，已知在ABC ，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。
求证：BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： 0180=∠+∠C A5.已知：如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若∠C=2∠B,证明：AB=AC+CD.6.已知：如图，△ABC 中，∠A=60°，∠B 与∠C 的平分线BE,CF 交于点I ，求证：BC=BF+CE.7.已知：如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，BF 平分∠CBE 交CD 于F ，求证：BE=CF+AE.与角平分线有关的辅助线角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
（1）截取构全等如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
图1-1B例1．如图1-2，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
简证：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。
自已试一试。
例2．已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。
构造的方法还是截取线段相等。
其它问题自已证明。
例3．已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。
用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。
练习1．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC2．已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求证：AE=2CE 3．已知：在△ABC中，AB>AC,AD为∠BAC的平分线，M为AD上任一点。
求证：BM-CM>AB-AC4．已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC。
求证：BD+CD>AB+AC。
（2）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1．如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。
求证：∠ADC+∠B=180分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。
近而证∠ADC与∠B之和为平角。
例2．如图2-2，在△ABC中，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠CBD。
求证：BC=AB+AD分析：过D作DE⊥BC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。
此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。
例3．已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。
求证：∠BAC的平分线也经过点P。
分析：连接AP，证AP平分∠BAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等练习：1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA ，PD ⊥OA ，如果PC=4，则PD=（ ） A 4 B 3 C 2 D 12．已知在△ABC 中，∠C=90 ，AD 平分∠CAB ，CD=1.5,DB=2.5.求AC 。
3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD ，CE ⊥AB ，AE=21（AB+AD ）.求证：∠D+∠B=180 。
4.已知：如图2-6,在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BC 上的点，∠FAE=∠DAE 。
求证：AF=AD+CF 。
5．已知：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90 ,CD ⊥AB ，垂足为D ，AE 平分∠CAB 交CD于F ，过F 作FH//AB 交BC 于H 。
求证CF=BH 。
（3）、作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。
（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
例1． 已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC ，AB>AC,CD ⊥AD 于D ，H 是BC 中点。
求证：DH=21（AB-AC ）分析：延长CD 交AB 于点E ，则可得全等三角形。
问题可证。
例2． 已知：如图3-2，AB=AC ，∠BAC=90 ，AD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE.求证：BD=2CE 。
分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。
例3．已知：如图3-3在△ABC 中，AD 、AE 分别∠BAC 的、外角平分线，过顶点B 作BN 垂直AD,交AD 的延长线于F ，连结F C 并延长交AE 于M 。
求证：AM=ME 。
分析：由AD 、AE 是∠BAC 外角平分线，可得EA ⊥AF ，从而有BF//AE ，所以想到利用比例线段证相等。
例4． 已知：如图3-4，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD=AB ，CM ⊥AD 交AD 延长线于M 。
求证：AM=21（AB+AC ）分析：题设中给出了角平分线AD ，自然想到以AD 为轴作对称变换，作△ABD 关于AD 的对称△AED ，然后只需证DM=21EC ，另外由求证的结果AM=21（AB+AC ），即2AM=AB+AC ，也可尝试作△ACM 关于CM 的对称△FCM ，然后只需证DF=CF 即可。
练习： 1．已知：在△ABC 中，AB=5，AC=3，D 是BC 中点，AE 是∠BAC 的平分线，且CE ⊥AE 于E ，连接DE ，求DE 。
2．已知BE 、BF 分别是△ABC 的∠ABC 的角与外角的平分线，AF ⊥BF 于F ，AE ⊥BE 于E ，连接EF 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证MN=21BC图3-3E图4-2图4-1ABC BIG（4）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。
或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。
如图4-1和图4-2所示。