【人教版】九年级数学下册中考知识点梳理：第3讲 分式
人教版九年级下数学知识点
人教版九年级下数学知识点一、代数(Algebra)1. 数的性质与运算：包括整数、分数、小数的加减乘除运算规则以及数轴上的表示与比较。
2. 一元一次方程与不等式：介绍一元一次方程的解法，包括基本的移项、去括号和合并同类项等步骤。
还有一元一次不等式的解法。
3. 二元一次方程组：学习通过消元法、代入法来解决二元一次方程组。
4. 百分数与利率：介绍百分数与小数的关系，以及利率的计算方法。
5. 平方根与立方根：学习求平方根和立方根的方法，掌握简化根式的技巧。
6. 幂与指数：介绍幂的运算法则，包括同底数幂的乘法和除法，以及指数归零法则。
7. 图形的坐标与表示：学习平面直角坐标系，了解坐标的含义以及如何用数学语言表示图形。
8. 几何的初步认识：介绍几何的基本概念，包括点、线、面等，探索平行线与垂线的性质。
9. 图形的变换：学习平移、旋转、翻转等图形变换的定义和性质，以及如何描述它们。
10. 直角三角形：介绍直角三角形的基本概念和性质，学习三角函数的定义与运用。
二、数据与统计(Data and Statistics)1. 数据的收集与整理：学习调查数据的收集方法，包括问卷调查、实地观察以及信息收集与整理。
2. 统计指标：介绍数据的集中趋势度量，包括平均数、中位数和众数等。
3. 样本调查与总体估计：学习对样本数据进行推断统计，了解如何通过样本推断总体信息。
4. 折线图与统计图：学习如何用折线图和统计图来展示数据，了解图表的特点以及如何阅读和解读。
三、几何(Geometry)1. 平面图形的认识：介绍多边形、圆、三角形等平面图形的定义和性质，了解它们的特点。
2. 类比与相似：学习相似图形的定义和判定条件，探索相似图形的性质和应用。
3. 平行四边形与梯形：介绍平行四边形和梯形的性质，学习求解相关问题的方法。
4. 圆的性质与应用：了解圆的相关定义和性质，学习应用圆的知识解决问题。
5. 空间图形的认识：介绍立体图形的基本概念，包括长方体、正方体、圆柱体和圆锥体等。
分式中考专题复习基础知识点
分式
1.定义：形式 A 的式子，其中B中有字母，B 0 B
①分子分母都是整式
分式的概念 ②分母中含有字母
③分母不能为零
2. A 有意义的条件：B 0 B A 无意义的条件：B=0 B
3. A =0的条件：A=0且B 0 B
4.分式的基本性质：
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式， 分式的值不变.
5.分式约分： （1）把分子与分母分解因式 （2）找到分子与分母公因式 （3）约掉公因式 （4）结果最简分式或整式
6.分式通分： （1） 找到最简公分母 （2）各分式化成分母相同的分式
寻找最简公分母，方法：
（1）系数：把各分式分母系数的最小公倍数作为最简公 分母的系数；
（2）因式：凡出现过的字母（或因式分解后得到的因式） 都要取到；
（3）指数：相同因式取指数最高的。
通分
1
1 2a 2
b
与
a-b 3ab2c
最简公分母
6a 2 b2c
1 2a 2 b
1g3bc 2a 2 bg 3bc
3bc 6a 2 b2c
a-b 3ab2c
a-b g2a
3ab2cg 2a
2a2 2ab
6a 2 b2c
1、把下列各式通分： (P121随堂练习)
(1) x 1 , 2 , 3x2 ax
最简公分母 3ax2
a x 1
3x2
x 1g
3x2 g a
a x 1
3ax2
2 2g3x ax axg 3x
6x 3ax 2
1
a
x 1
3ax2
,
6x 3ax2
1、把下列各式通分： (P121随堂练习)
中考数学复习 第3讲 代数式与整式(含因式分解)
总
目
录
1.(2013·江西,3分)观察下列图形中点的个数，若按其规律再
画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为 (n+1)2
(用含n的代数式表示).
回 首
页
总 目 录
2.(2012·江西,3分)已知(m-n)2=8，(m+n)2=2，则m2+n2=
5.
命 题 点 2 整式的运算(10年10考，其中2020年2考)
பைடு நூலகம்固训练
1.(列代数式)龙眼的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千
回
克，买2千克龙眼和3千克香蕉共需 (2a+3b) 元.
首 页
总 目 录
巩固训练 2.(2020·山西)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相
等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图
回
首
案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下
总
目
=a2-1-a2+4a-4
录
=4a-5.
命 题 点 3 整式的化简求值(10年1考)
考情分析：2015年第15题考查整式的化简求值，涉及单项式
回
乘多项式、完全平方公式等.
首
页
总 目 录
13.(2020·北京)已知5x2-x-1=0，求代数式(3x+2）（3x-2）
+x（x-2）的值.
解：原式=9x2-4+x2-2x=10x2-2x-4.
或一个字母也是代数式.
2.列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有 数、字
母和运算符号 的式子表示出来，这就是列代数式.
3.代数式求值：一般地，用数值代替代数式里的 字母
人教版九年级数学下册全册中考知识点梳理分式方程
(3)检验：把所求得的x的值代入最简公分母中，若最简公分母为0，则应舍去．
3.增根
使分式方程中的分母为0的根即为增根.
例：若分式方程 有增根，则增根为1.
知识点二：分式方程的应用
4.列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审题；(2)设未知数；(3)列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验：(6)作答．
第7讲分式方程
一、知识清单梳理
知识点一：分式方程及其解法
关键点拨及对应举例
1.定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
例：在下列方程中，① ；② ；③ ，其中是分式方程的是③.
2.解分式方程
基本思路：分பைடு நூலகம்方程整式方程
例：将方程 转化为整式方程可得：1－2＝2(x－1).
解法步骤：
(1)去分母，将分式方程化为整式方程；
在检验这一步中，既要检验所求未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验所求未知数的值是不是符合题目的实际意义.
数学人教版九年级下册分式与分式方程复习
检验：将v=5代入分式方程，左边=4=右边， 所以v=5是原分式方程的解。 在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数 学思想方法：转化的数学思想（化归思想）。
解分式方程的思路
分式 方程
去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. 2、解这个整式方程. 3、 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简 公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的 解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4、写出原方程的根.
例3
x 1 4 2 1 解方程 x 1 x 1
解：方程两边都乘以 (x+1) ( x – 1 ) , 约去分母，得
( x + 1 )2－4 = x2－1
解这个整式方程，得 x=1
经检验得： x = 1 是增根 ∴原方程无解.
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程 的过程中出现的不适合于原方程的根. ········· 使最简公分母值为零的根 产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式 后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程 ···· ···· 的根.所以我们解分式方程时一定要代入最简 公分母检验
1 ﹢ 6
1
2x
。
解：设乙队如果单独施工1个月能完成总工 1 程的 x 。 1 1+ 1 + = 1 由题意得： 3 6 2x
2x+x+3=6x x=1
经检验：x=1是原分式方程的解，且符合题意。 1 ∵ 1﹥ 3
∴ 乙队施工速度快。
列分式方程解应用题
（1）设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母 表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知 数； （2）列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的 量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理 顺各个量之间的关系； （3）列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关 系列出方程 （4）解方程并检验； （5）写出答案。
中考数学 第一部分 教材知识梳理 第一章 第三节 分式课件 新人教版
第一章 数与式
第三节 分 式
中招考点清单 考点一 分式的概念
1. 分式：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有
字母，那么式子 A
B
叫做分式，分式 A
B
中，①__A__叫做分
子，②__B__叫做分母.
2. 满足分式的有关条件
(1)分式 A 有意义的条件是③_B_≠_0__，分式 A 无意义的条
解：原式 （
x x
2 2
x
1
） 2
x1
x 22
(通分，因式分解)
x 1 x 22
x2
x1
(变除为乘)
x 2 (约分).
根据分式有意义的条件可知当x=1，2时，分式分母的值为0， 不符合题意，故本题只能选x＝3,
当x＝3时，原式＝3-2＝1.
【方法指导】分式化简求值的一般步骤: 第一步：若有括号，先计算括号内的分式，括号内如
考点三 分式的运算(高频考点)
运算
法则
数学表达式
同分母分 同分母分式相加减，⑦分___母_ 式加减 _不__变__,把分子相加减
异分母分 异分母的分式相加减，先⑧
式加减 _通__分_，变为同分母的分式再加减
两个分式相乘，用分子相乘
分式的乘 法
的积作为积的⑨分___子_，用分
母相乘的积作为积的 10 _分__母__
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原式= [x 2 x 2 x 1 4 x 2 x 1 x 1 ]x 1 2 x 4········第一步
3x 6 x 1
x
1 x
2 x
2
·····························第二步
九年级数学下册 分式(课件)
►
类型之三
分式的化简与求值
命题角度： 1. 分式的加减、乘除、乘方运算法则； 2. 分式的混合运算及化简求值．
例3
a2－2a＋1 3 先化简代数式1－a＋2÷ 2 ，再从－2，1，2， a －4
0 四个数中选一个恰当的数作为 a 的值代入求值．
a－1 （a＋2）（a－2） a－2 解：原式＝ × ＝ ， a＋2 （a－1）2 a－1 a－2 －2 当a＝0时，原式＝ ＝ ＝2. a－1 －1 (提醒：此题原式中的分母为a＋2，a2－4，当a＝± 2时，原 a2－2a＋1 分式无意义，所以a不能取± 2.同时 为除式要求a2－2a 2 a －4 ＋1≠0，所以a不能取1)
A A×M A A÷ M ＝ ， ＝ (M 是不为零的整式) B B×M B B÷ M 把分式的分子与分母中的公因式约去，叫做分式的约分 分子 和______ 分母 同时乘适当的整 利用分式的基本性质，使______ 式，不改变分式的值，把异分母化成同分母的分式，这样 的分式变形叫做分式的通分
考点2
分式化简求值题的一般解题思路为：利用因式分解、通分、 约分等相关知识对原复杂的分式进行化简，再代入求值，注意字 母取值时一定要使原分式有意义，而不是只看化简后的式子．
►
类型之四
探索规律性问题
1 1 1 例 4、对于正数 x，规定 f(x)＝ ，例如：f(4)＝ ＝ ， 1＋x 1＋4 5 1 1 1 4 f4＝ 1 ＝ 5，则 f(2012)＋f(2011)＋…＋ f(2)＋ f(1)＋ f 2 ＋…＋ 1＋ 4 1 1 2011.5 f 2011 ＋f 2012 ＝__________.
此类问题一般是通过观察计算结果变化规律，猜想一般性的 结论，再利用分式的性质及运算予以证明．
第3讲 分式与二次根式
数与式
第3课时 分式与二次根式
知识点一：分式的概念及其性质 1. 分式的概念：形如AB(A，B 都是整式，且 B 中含有字母，B≠0)
的式子，叫做分式，其中 A 叫做分式的(1) 分分子子 ，B 叫做分 式的(2) 分分母母 .
【例 1】下列各式中，是分式的是( C )
3 A. 5
x2－x＋2 B. 3
13. 若(a＋ 2)2 与|b＋1|互为相反数，则b－1 a的值为 2＋＋1 1 ． 14. 当 1＜x＜4 时，|x－4|＋ x2－2x＋1＝ 3 .
15. 计算：(－3)2－51－1＋(－2)0.
解：原式＝9－5＋1＝5.
16. 计算：x－1 4－x2－2x16.
解：原式＝x－1 4－（x－4）2x（x＋4） ＝（x－x＋ 4）4－ （2xx＋4） ＝（x－4）4－（xx＋4）＝－x＋1 4.
ab××dc
ad ＝(23) bc
.
③分式的乘方：把分式的分子、分母分别(24)
an ＝(25) bn .
乘乘方方
. 即：abn
④分式的加减乘除、乘方混合运算：先算(26) 乘方 ，再算
(27) 乘乘除 ，最后算(28) 加加减减 . 有括号的先算(29)
括括号号里里 的顺序. 要保证最后结果为(30) 最最简简分式 .
有( BB )
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
3. 下列各式中，正确的是( DD )
A. －－53yx＝－3x5y
B. －a＋c b＝－ac＋b；
C. －ac－b＝a－c b
D. －b－a a＝a－a b
4. 下列各式中属于最简二次根式的是( A ).
【人教版】九年级数学下册中考知识点梳理：第3讲 分式
例：分式 和 的最简公分母为 .
5.分式的加减法
(1)同分母：分母不变，分子相加减.即 ± ＝ ；
(2)异分母：先通分，变ห้องสมุดไป่ตู้同分母的分式，再加减.即 ± ＝ .
例： ＝－1.
6.分式的乘除法
(1)乘法： · ＝ ；(2)除法： ＝ ；
(3)乘方： ＝ (n为正整数).
2.分式的意义
(1)无意义的条件：当B＝0时，分式 无意义；
(2)有意义的条件：当B≠0时，分式 有意义；
(3)值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式 ＝0.
失分点警示：在解决分式的值为0，求值的问题时，一定要注意所求得的值满足分母不为0.
例：当 的值为0时，则x＝-1.
3.基本性质
(1)基本性质： (C≠0)．
第3讲分式
一、知识清单梳理
知识点一：分式的相关概念
关键点拨及对应举例
1.分式的概念
（1）分式：形如 (A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子.
（2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式.
在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1）判断化简之间的式子；（2）π是常数，不是字母.例：下列分式：①;②;③;④ ，其中是分式是②③④；最简分式③.
（2）由基本性质可推理出变号法则为：
； .
由分式的基本性质可将分式进行化简：
例：化简： = .
知识点三：分式的运算
4.分式的约分和通分
(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去，
即 ；
(2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即
分式通分的关键步骤是找出分式的最
最新人教版中考数学复习知识点梳理——第3课时 分式
定 __B_≠__0___，则—BA =0. 理 2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等
于0的整式，分式的值不变，用式子表示为—BA =
_A_·__C B·C
=
A_÷__C_ B÷C
（C≠0）.
续表
3. 约分：把一个分式的分子和分母的_公__因__式___约去，这种变形称为 分式的约分. 概 4. 通分：根据分式的基本性质，把_异__分__母___的分式化为_同__分__母___的 念 分式而不改变分式的值，这一过程称为分式的通分. 定 5. 最简公分母：一般取各分式分母系数的_最__小__公__倍__数_与字母因式的 理 最__高__次__幂__的积作为公分母，它叫做最简公分母. 6. 最简分式：一个分式的分子与分母没有_公__因__式___时，这个分式叫 做最简分式.
解：原式= _xx_++_33_-_1·(_x_-_3_x)_+(_2x_+_3_) =x-3.
当x=3+ 时，原式= ．
4. （2020乐山）已知y=—2x ，且x≠y，求（_x_1-_y_+ _x_1+_y_）÷_x_x2_-2y_y_2 的值．
解：原式= (_x_+_y_)2_(x_x_-_y_)_÷_x_x2-_2yy_2_ = _x_22-_xy_2_·_x_x2_-2y_y_2
x-1
4.
（2020金华）分式
_x_+_5_ x-2
的值是零，则x的值为
A. 2
B. 5
C. -2
D. -5
（D ）
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考点点拨： 本考点是广东中考的一个重要知识点，题型一般为选择题或填空题，难 度较低. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握分式有意义（或无意义或值为零） 的条件. 注意以下要点： （1）分式无意义：分母为零； （2）分式有意义：分母不为零； （3）分式值为零：分子为零且分母不为零.
【人教版】九年级数学下册中考知识点梳理：第3讲分式
【人教版】九年级数学下册中考知识点梳理：第3讲分式第 3 讲分 式一、 知识清单梳理知识点一：分式的有关观点重点点拨及对应举例（ 1）分式：形如A在判断某个式子能否为分式时， 应注意：（ 1）判1.(A ，B 是整式，且 B 中含有 字母， B ≠ 0) 断化简之间的式子； （2） π是常数，不是字母 .分式的B 例：以下分式：① ;② ; ③ ;④ 2 x 2 ，此中是分观点 的式子 .x 2 1（ 2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式. 式是 ②③④ ；最简分式 ③.(1) 无心义的条件：当B ＝ 0 时，分式 A 无心义；失分点警告： 在解决分式的值为 0，求值B2. 分 式 的(2) 存心义的条件：当B ≠ 0 时，分式A存心义；的问题时， 必定要注意所求得的值知足分母不为 0.B2意义A ＝0，B ≠ 0 时，分式A＝ 0.例： 当x1的值为 0 时，则 x ＝ -1.(3) 值为零的条件：当x 1BA ACA C( 1 ) 基天性质：( C ≠ 0)．B BC BC3. 基 本 性 （ 2）由基天性质可推理出变号法例为：质A A A A A ABB；BB.BB知识点三：分式的运算(1) 约分 (可化简分式 )：把分式的分子和分母中的公因式约去，4.分式的即 ama ；bm b(2) 通分 (可化为同分母 )：依据分式的基天性质，把异分母的分约 分 和通分a c ac bd式化为同分母的分式，即,bc ,bcbd(1) 同分母：分母不变，分子相加减a b ＝ a ±b5.分式的.即 ± ；c c c 加减法a c ＝ ad ±bc (2) 异分母：先通分，变成同分母的分式， 再加减 .即 ± bd .b d(1) 乘法： a c ＝ ac ； (2)除法： ac ＝ ad ； ·bdb d bc 6.分式的b dann乘除法(3) 乘方： a＝(n 为正整数 ).b b n(1)仅含有乘除运算：第一察看分子、分母可否分解因式，若能，就要先7.分式的分解后约分 .混淆运算(2)含有括号的运算：注意运算次序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，如有括号，先算括号里面的．由分式的基天性质可将分式进行化简：例：化简：x 2 1 x 122x 1=.xx1分式通分的重点步骤是找出分式的最 简公分母，而后依据分式的性质通分.例：分式x 21 和1 的最简公分母xx 1x为 x x 21 .例： 1 x ＝－1. 1 1x x1 1 2aa 1 a 1 a 2 . 1例： a b ＝ 1 ； 2 1 ＝ 2y ；2b a 2 x xy3 3 ＝ 27 .2x8x 3失分点警告： 分式化简求值问题， 要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值 .代入数值时注意要使原分式存心义.有时也需运用到整体代入 .1。
第3讲 分 式
中考总复习·数学(滨州)
1.(2016 滨州)下列分式中,最简分式是( A
x2 1 (A) 2 x 1
)
(B)
x 1 x2 1
x 2 2 xy y 2 (C) x 2 xy
x 2 36 (D) 2 x 12
x 1 x2 1 解析:利用最简分式的定义判断即可. 2 为最简分式,所以 A 符合题意; 2 = x 1 x 1 x 2 2 xy y 2 ( x y ) 2 x y x 2 36 ( x 6)( x 6) x 6 x 1 1 = ; = = ; = = , 2 ( x 1)( x 1) x 1 x xy x( x y ) 2( x 6) 2 x 12 x 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +…+ = + + + +… + a1 a2 a3 a19 1 3 2 4 3 5 4 6 19 21
= =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ×(- + - + - + - +…+ )= ×(+ ) 2 3 2 4 3 5 4 6 19 21 2 2 20 21 589 .故选 C. 840
20 21 61 84
589 840
1 1 1 1 + + +…+ 的值为( C a1 a2 a3 a19
431 760
)
(A)
(B)
(C)
(D)
中考总复习·数学(滨州)
思路点拨:首先根据图形中“ ”的个数得出数字变化规律,a1=3=1×3,a2=8=2×4, a3=15=3×5,a4=24=4×6,…,an=n(n+2);进而得到:
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； .
由分式的基本性质可将分式进行化简：
例：化简： = .
知识点三：分式的运算
4.分式的约分和通分
(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去，
即 ；
(2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即
分式通分的关键步骤是找出分式的最
2.分式的意义
(1)无意义的条件：当B＝0时，分式 无意义；
(2)有意义的条件：当B≠0பைடு நூலகம்，分式 有意义；
(3)值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式 ＝0.
失分点警示：在解决分式的值为0，求值的问题时，一定要注意所求得的值满足分母不为0.
例：当 的值为0时，则x＝-1.
3.基本性质
( 1 )基本性质： (C≠0)．
例： ＝ ； ＝2y；
＝ .
7.分式的混合运算
(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.
(2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的．
失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.
简公分母，然后根据分式的性质通分.
例：分式 和 的最简公分母为 .
5.分式的加减法
(1)同分母：分母不变，分子相加减.即 ± ＝ ；
(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即 ± ＝ .
例： ＝－1.
6.分式的乘除法
(1)乘法： · ＝ ；(2)除法： ＝ ；
(3)乘方： ＝ (n为正整数).
第3讲分式
一、知识清单梳理
知识点一：分式的相关概念
关键点拨及对应举例
1.分式的概念
（1）分式：形如 (A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子.
（2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式.
在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1）判断化简之间的式子；（2）π是常数，不是字母.例：下列分式：①;②;③;④ ，其中是分式是②③④；最简分式③.