辽宁省大连市2020届高三第二次模拟考试数学文科试题

2020年大连市高三第二次模拟考试
数 学（文科）
命题人：安道波 周亚明 于学杰 闫旭 于丹 丁忒 审校人： 安道波
本试卷满分150分，共6页，答卷时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题~第23题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合{
}
2
430A x x x =-+<，{}
24B x x =<<，则A B =U （ ） A. ()1,3
B. ()1,4
C. ()2,3
D. ()2,4
2.已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则()2
i =a b +， ， A. 3+4i
B. 5+4i
C. 34i -
D. 54i -
3.双曲线2214
x y -=的渐近线方程是（ ）
A. 12
y x =±
B. 2y x =±
C. 14
y x =±
D. 4y x =±
4.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域
扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，3i e 表示的复数在复平面中位于( ) A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
5.设函数21log (2),1
(),1x
x x f x e x +-<⎧=⎨≥⎩
，则(2)(ln 6)f f -+=（ ） A 3
B. 6
C. 9
D. 12
6.已知各项均为正数的数列{}n a 为等比数列，1516a a ⋅=，3412a a +=，则7a =（ ） A 16
B. 32
C. 64
D. 256
7.已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是（ ）
A. (
)
sin x x
y e e -=+
B. (
)sin x x
y e e
-=-
C. ()
cos x x
y e e -=-
D. ()
cos x x
y e e -=+
8.已知关于某设各的使用年限x （单位：年）和所支出的维修费用y （单位：万元）有如下的统计资料，
由上表可得线性回归方程$0.08y bx
=+$，若规定当维修费用
y ＞12时该设各必须报废，据此模型预报该设各使用年限的最大值为（ ） A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
9.已知点P 在抛物线2
:4C y x =上，过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AB 的斜率为1-，则点P 坐标为（ ） A. ()1,2
B. ()1,2-
C. (2,
D. (2,-
.
10.下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）
A. ①③
B. ②③
C. ①④
D. ②④
11.已知三棱锥P ABC -，面PAB ⊥面ABC ，4PA PB ==，AB =90ACB ∠=
o ，则三棱锥
P ABC -外接球的表面积（ ）
A. 20π
B. 32π
C. 64π
D. 80π
12.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭，其图象与直线1y =相邻两个交点的距离为π，若对
,243x ππ⎛⎫
∀∈ ⎪⎝⎭
，不等式()12f x >恒成立，则ϕ的取值范围是（ ）
A. ,126ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B. ,123ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭ C. ,63ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D. ,62ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭ 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）
13.设向量()2,4a =r
与向量(),6b x =r 共线，则实数x 等于__________．
14.抽取样本容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
则样本数据落在区间[)10,30的频率为______.
15.数列{}n a 满足1(1)n
n n a a n ++-=，则{}n a 的前8项和为______.
16.已知函数()ln
2ex
f x x =-，则()(2)f x f x +-值为______；若19
1
10k k f =⎛⎫
⎪⎝⎭
∑的值为______. 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(
)2
2
2
(2)2cos a c a b c
abc C --+=.
（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若1a =
，b =
ABC V 的面积.
18.如图，已知平面四边形ABCP 中，D 为PA 的中点，PA AB ⊥，//CD AB ，且24PA CD AB ===.将此平面四边形ABCP 沿CD 折起，且平面PDC ⊥平面DCB ，连接PA 、PB 、BD .
（Ⅰ）证明：平面PBD ⊥平面PBC ； （Ⅱ）求点D 与平面PBC 的距离.
19.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段
[)[)[)90,100,100,110,,140,150L 后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[)120130
,内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
（3）用分层抽样的方法在分数段为[)110,130的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，
从中任取2个，求至多有1人在分数段[)120130
,内的概率．
20.已知函数()()ln 11f x x x a x a =--++. （，）讨论()f x 的单调性；
（，）若1x >，不等式()1f x >恒成立，求整数a
最大值.
21.
已知离心率为2
e =
的椭圆Q ：()222210x y a b a b +=>>的上下顶点分别为()0,1A ，()0,1B -，直线l ：()0x ty m m =+≠与椭圆Q 相交于C ，D 两点，与y 相交于点M .
（Ⅰ）求椭圆Q 的标准方程；
（Ⅱ）设直线AC ，BD 相交于点N ，求OM ON ⋅u u u u r u u u r
的值.
请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22.以平面直角坐标系xoy
原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线
l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭C 的参数方程为2cos x y θ
θ=⎧⎪⎨=⎪⎩
（θ为参数）. （Ⅰ）求直线l
直角坐标方程和曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）求曲线C 上的动点到直线l 距离的最大值.
23.已知函数()2f x x a x b =-++，,a b ∈R . （Ⅰ）若1a =，1
2
b =-
，求()2f x ≤的解集； （Ⅱ）若0ab >，且()f x 的最小值为2，求21
a b
+的最小值.
的的。