30、4二次函数的应用(第2课时)
第二十二章 第13课 二次函数的应用(2)——抛物线型问题
解：(1) y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4, 即对称轴为 x＝2，所 以水喷出的最远距离是 2×2＝4(米) (2) 由 y＝－(x－2)2＋4 可知顶点坐标为(2,4)，则水喷出的 最大高度是 4 米．
5．如图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面 的距离都是 1 m，拱桥的跨度为 10 m，桥洞与水面的最大 距离是 5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4 m 的景观 灯．
(1)当球上升的最大高度为 3.2 m 时，求排球飞行的高度 y(m)与水 平距离 x(m)的函数关系式(不要求写自变量 x 的取值范围)．
(2)在(1)的条件下，对方距球网 0.5 m 的点 F 处有一队员，她起跳 后手达到的最大高度为 3.1 m．问这次她是否可以拦网成功？ 请通过计算说明．
解：(1)根据题意知此时抛物线的顶点 G 的坐标为(7,3.2)， 设抛物线解析式为 y＝a(x－7)2＋3.2， 将点 C(0,1．8)代入，得：49a＋3.2＝1．8， 解得：a＝－315，x2 B．y＝2x2 C．y＝－12x2 D．y＝12x2
4．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为 x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出 的曲线是抛物线 y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分， (1)水喷出的最远距离是多少？ (2)水喷出的最大高度是多少？
2．如图，拱桥是抛物线形，其函数解析式为 y＝－41x2，当水 位线在如图所示位置时，水面宽 AB＝12 m，这时水面离桥 顶的高度 h＝__9______m.
3．如图①是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水 面在 l 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 m，水面宽 4 m．如 图②建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是( C )
数学北师大版九年级下册《二次函数的图象与性质(第二课时)》教学设计
北师大版数学九年级下册第二章第2节《二次函数的图象与性质（第二课时）》教学设计陕西师范大学附属中学马翠一、教材分析二次函数的图象—抛物线是人们最熟悉的曲线之一，生活中的应用非常广泛。
本节课是北师大版数学九年级下册第二章二次函数第2节二次函数的图象与性质的第二课时。
该内容属于《全日制义务教育课程标准（2011版）》中的“数与代数”领域，是在已经学习了二次函数定义、探究了y=±x2图象基础上，进一步探究函数y=ax2与y=ax2+c的图象与性质，既是前面所学知识的延续，又是探究其他二次函数图象的基础，起到了承上启下的作用。
二次函数的核心内容是它的概念和图象特征，本节课开始研究a、c对函数图象的影响，对后期研究一般的二次函数从方法和内容上有着重要的铺垫和打基础作用。
对二次函数图象的研究，充分体现了数形结合思想，通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质. 在以前学习的一次函数和反比例函数中都有所体现，结合本节课的内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解。
从列表、解析式、图象三方面理解函数，分析a，c的影响，反应了研究函数图象的基本方法。
因此，学好本节课，将为今后的数学学习，尤其是函数学习，奠定坚实的基础。
二、学情分析学生的知识技能基础：在此之前，学生已掌握一次函数和反比例函数的图象和性质，并刚刚学习了二次函数的基本概念，能利用描点法画抛物线的图象；对于抛物线的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标有所了解；能够根据图象认识和理解二次函数的性质。
学生的图形计算器基础：学生通过培训已经初步掌握了HP Prime图形计算器的使用，对图形计算器的运用熟悉，且有浓厚的学习兴趣。
学生活动经验基础：九年级学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，开始有了数学抽象思维和一定的分析、归纳内能力，具备本节课的认知心理基础。
该阶段的学生几何直观能力也有了很大发展，教学中应深入浅出地引导分析，利用HP Prime图形计算器和几何画板相结合可以使学生更清晰的观察和认识图形，充分理解与归纳。
【冀教数学学九年级(河北)304 二次函数的实际应用--第2课时 商品销售利润问题
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元）销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
降价销售
20
300
6000
20-x
300+18x
y=(20-x)(300+18x)
建立函数表达式：y=(20-x)(300+18x)， 即：y=-18x2+60x+6000.
利用二次函数解决最大利润—典例
解：当50≤x≤70时， 设y与x函数表达式为y=kx+b, ∵线段过(50，60)和(70，20). ∴ 50k+b=60 70k+b=20
解得： k =－2
b = 160
∴y =－2x +160（50≤x≤70）
利用二次函数解决最大利润—典例
∴y =－2x +160（50≤x≤70）
∴Q=(x－30)y =(x－30)(－2x + 160) =－2x2 + 220x－ 4800 =－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70)
2.涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+100x+6000， 当x 100 5 时,y=-10×52+100×5+6000=6250.
2 (10)
即定价65元时，最大利润是6250元.
利用二次函数解决最大利润—典例
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反 映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18 件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
3.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次） 的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每 件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角 度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？
九年数学下册第二章二次函数4二次函数的应用第2课时利用二次函数解决利润问题教案北师大版
第2课时利用二次函数解决利润问题【知识与技能】能为一些较简单的生活实际问题建立二次函数模型，并在此基础上，根据二次函数关系式和图象特点，确定二次函数的最大（小）值，从而解决实际问题.【过程与方法】经历探究二次函数最大（小）值问题的过程，体会函数的思想方法和数形结合的思想方法.【情感态度】积极参加数学活动，发展解决问题的能力，体会数学的应用价值.从而增强数学学习信心，体验成功的乐趣.【教学重点】探索销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.【教学难点】从实际问题中抽象出二次函数模型，以利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大（小）值问题一、情景导入，初步认知问题：某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是20元.根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是35元时，销售量是600件，而单价每降低1元，就可以多销售200件.若设销售单价为x(20＜x＜35的整数)元，该商店所获利润为y元.请你帮助分析，销售单价是多少元时，可以获利最多？你能运用二次函数的知识解决这个问题吗？【教学说明】用生活中的事例，更贴近实际生活，帮助学生理解题意，激发学生的学习热情.二、思考探究，获取新知1.教师提问：（1）此题主要研究哪两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？（2）销售量可以表示为；销售额(销售总收入）可以表示为；所获利润与销售单价之间的关系式可以表示为 .（3）当销售单价是元时，可以获得最大利润，最大利润是元.2.在解决第（3）问中，先引导学生观察得出此函数为二次函数，再引导学生探索思考“何时获得最大利润”的数学意义.【教学说明】在本章前面的学习中，学生已初步了解求特殊二次函数最大(小)值的方法.鼓励学生大胆猜想、探索求此二次函数最大值的方法.【归纳结论】求二次函数最大（小）值的方法：（1）配方化为顶点式求最大（小）值；（2）直接带入顶点坐标公式求最大（小）值；（3）利用图象找顶点求最大（小）值.三、运用新知，深化理解1.见教材P48例2.2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x元(为10的正整数倍). （1）设一天订住的房间数为y，直接写出 y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为W元，求W与 x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？分析：当每天的房价增加x 元时，就会有10x 个房间空闲.∴一天订住的房间数为（50-10x ），每间房可获利（180 + 2-20)，从而可列出函数关系式.答：一天订住34个房间时，宾馆的利润最大，最大利润是10880元.3.某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可售出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0. 1元， 其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？分析：先写出函数关系式，再求出函数的最大值解:设每件商品降价x 元（0＜x ＜2)，该商品每天的利润为y 元.商品每天的利润y 与x 的函数关系式是：y=（10-x-8）（100+100x ）即y=-100x 2+100x+200配方得21-100+2252y x =-（）因为x=1/2时，满足0≤x ≤2.所以当x=1/2时，函数取得最大值，最大值y=225.答：将这种商品的售价降低1/2元时，能使销售利润最大4.某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件.为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告. 根据经验，每年投入的广告费是x(十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y 与x 的函数关系式;（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S(十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10?30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？【教学说明】通过练习，前后呼应，巩固已学知识，并让学生体会二次函数是解决实际问题的一类重要数学模型.四、师生互动，课堂小结求二次函数最大(小)值的方法：（1）配方化为顶点式求最大(小)值；（2）直接带入顶点坐标公式求最大(小)值；（3）利用图象找顶点求最大(小)值.1.布置作业：教材“习题2.9”中第1、2题.2.完成练习册中本课时的练习.在本课教学中，应关注学生能否将实际问题表示为函数模型；是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释;课堂中学生是否在教师引导下进行了独立思考和积极讨论.并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励.。
九年级数学下册二次函数的应用教案
课题：2.4二次函数的应用教学目标：1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值.2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值问题．3．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．进一步体会数学与人类社会的密切联系.教学重点与难点：重点：经历探究矩形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值.难点：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．课前准备：导学案,多媒体课件．教学过程:一、创设情境，导入新课活动内容：（利用导学案）探究活动：以小组为单位，用长1米的绳子围成不同的图形，看哪个小组围成的图形最多，并估算出所围成的这些图形中，哪个图形的面积最大？处理方式：学生先把答案写在导学案上，然后小组内交流，班级内比较的到当场合款相等时面积最大.设计意图:增加学生的动手能力和小组合作探究能力，同时也为了复习图形的面积公式，会用估算的方法比较这些图形的面积大小，探究其中的规律，为本节课学习最大面积问题做好铺垫．二、探究学习，感悟新知活动内容：（多媒体展示）问题一：探究两边在直角三角形直角边上内接矩形的最大面积 如图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上．（1）设长方形的一边AB ＝x m ，那么AD 边的长度如何表示？（2）设长方形的面积为y m 2，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？解：（1）∵BC ∥AD ， ∴△EBC ∽△EAF ．∴EB BCEA AF=． 又AB ＝x ，BE ＝40－x ， ∴404030x BC-=．∴BC ＝34(40－x )． ∴AD ＝BC ＝34(40－x )＝30－34x ． （2）y ＝AB ·AD ＝x (30－34x )＝－34x 2＋30x ＝－34（x 2－40x ＋400－400） ＝－34（x 2－40x ＋400）＋300 ＝－34（x －20）2＋300． 当x ＝20时，y 最大＝300．即当x 取20m 时，y 的值最大，最大值是300m 2．处理方式：学生讨论交流，在导学案上完成后，学生之间互相展示结果讨论补充,教师适时点评，并在多媒体上展示正确结果.设计意图：从矩形的面积公式入手，利用相似三角形的性质表示出另外一条边，才能列出函数表达式，这一过程先由学生独立思考后，分组合作探究、交流，帮助个别存在困难的同学解决．此题的思路也是解决矩形最大面积问题最常用的方法．问题二：探究一边在直角三角形斜边上内接矩形的最大面积（多媒体展示）如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中BC 在斜边上，,A D 在直角边上．如果设矩形的一边m AD x =，那么AB 边的长度如何表示？当x 取何值时，矩形面积y 的值最大？最大值是多少？解：设矩形的一边m AD x =，由GAD ∆GFD ∆，得AD GMEF GN=， 即5024x GM=， ∴1225GM x =．∴122425AB MN GN GM x ==-=-． 21212(24)242525ABCDS AD AB x x x x ==-=-+矩形．当24251222()25b x a =-=-=⨯-时，y 有最大值，最大值为224300124()25y -==⨯-最大值 处理方式：在有了前面解答问题的经验之后，让学生自主探究，寻求变量与不变量之间的关系，仿照第一种情况，再一次体验解决此类问题的步骤和方法，本环节相当于对问题1的巩固练习，学生在认真听讲的前提下完成应该没有问题，提醒学生计算要认真． 设计意图：在上一道题的基础上，利用相似三角形的性质表示出矩形的另一条边长，列出二次函数表达式，但此题上了难度，难度在于利用的是相似三角形对应高的比等于相似比这一性质，而且还要用到等积法求直角三角形斜边上的高．充分发挥学生的主动探究能力，并由个别程度较好的学生讲解，最后再板书进行反思总结．三、例题解析,新知应用 活动内容：（多媒体出示例题）某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m ．当x 等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？解：∵7x ＋4y ＋πx ＝15， ∴y ＝1574x xπ--．设窗户的面积是S (m 2)，则S ＝12πx 2＋2xy＝12πx 2＋2x ·1574x x π-- ＝12πx 2＋(157)2x x x π-- ＝－3.5x 2＋7.5x＝－3.5(x 2－157x ) ＝－3.5(x －1514)2＋1575392． ∴当x ＝1514≈1.07时， S 最大＝1575392≈4.02． 即当x ≈1.07m 时，S 最大≈4.02m 2，此时，窗户通过的光线最多． 答案：.02.407.12m S m x =≈最大时，处理方式：本题含有两个图形的面积计算，主要是想进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，巩固训练列二次函数表达式和求最值的方法．让学生理解通过窗户光线多少与窗户面积大小有关．此题处理起来比较繁琐，教师要给予学生及时的指导和帮助，同时也告诉学生数学基本运算也是培养大家做事严谨、有耐心的一个很好的途径．设计意图：在学生已有的探究“面积最大值”经验获取的体会中，让学生继续沿着这条探究路线走下去，既能巩固前面的探究方法，又能让学生再次感受“数学来源于生活”.方法提炼：我们已经做了不少用二次函数知识解决实际问题的例子，现在大家能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢？与同伴进行交流．（学生讨论，教师多媒体展示）(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系； (3)用数学的方式表示它们之间的关系； (4)做函数求解；(5)检验结果的合理性，拓展等．设计意图：趁热打铁，及时进行小结，总结做题的方法及思路，抓住这种题目的本质，达到举一反三的目的和效果．四、拓展提升,学以致用一养鸡专业户计划用116m 长的竹篱笆靠墙围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大？最大为多少？解：设AB 长为x m ，则BC 长为(116－2x )m ，长方形面积为S m 2． 根据题意得S ＝x (116－2x )＝－2x 2＋116x＝－2(x 2－58x ＋292－292)＝－2(x －29)2＋1682．当x ＝29时，S 有最大值1682，这时116－2x ＝58．即设计成长为58m ，宽为29m 的长方形时，能使围成的长方形鸡舍的面积最大，最大面积为1682m 2．处理方式：学生通过思考并交流讨论，探索出需要利用本节课学的知识解决题目，教师利用多媒体展示答案. 活动的设计意在通过问题的变式促使学生灵活运用知识，在解决实际问题中,重视知识的发展,有利于后续学习兴趣的培养.设计意图：让同学们通过刚才的学习和体验后进行练习，深入浅出地对题目进行分析和理解并解决问题，虽然并不要求他们在以后都用这样的方法解题，但对于培养他们形成良好的心理素质和培养他们分析问题、解决问题的能力是很有帮助的．五、回顾反思，提炼升华师：同学们，通过这节课的学习，你有哪些收获？那些疑惑？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．（1）通过本节课掌握了利用相似三角形的性质表示矩形的另一边，是列矩形面积函数关系式的关键．（2）图形最大面积问题，实质上是二次函数的最值问题．（3）解决此类问题，首先要理解问题，分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系是难点，用数学的方式表示它们间的关系是关键，化归为二次函数运用公式求解是易错点，要做对做全需要我们一定基本功扎实，养成良好的数学素养！处理方式：学生畅谈自己的收获，教师补充.设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，进一步培养学生总结归纳的能力与合作互助的意识.六、达标检测，反馈提高师：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示）1.如图,已知△ABC 是一等腰三角形铁板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC 上截出一矩形零件DEFG,使EF 在BC 上,点D 、G 分别在边AB 、AC 上.问矩形DEFG 的最大面积是多少?2.如图,△ABC 中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm.点P 从点A 开始,沿AB 边向点B 以每秒1cm 的速度移动;点Q 从点B 开始,沿着BC 边向BQCAF E BG D C A点C 以每秒2cm 的速度移动.如果P,Q 同时出发,问经过几秒钟△PBQ 的面积最大?最大面积是多少?参考答案1.过A 作AM⊥BC 于M,交DG 于N,则AM=222012-=16cm. 设DE=x cm,S 矩形=y cm 2,则由△ADG∽△ABC,故AN DG AM BC =,即161624x DG-=,故DG=32(16-x ). ∴y =DG ·DE=32(16-x )x =-32(x 2-16x)=-32(x -8)2+96,从而当x =8时,y 有最大值96.即矩形DEFG 的最大面积是96cm 2.2.设第t 秒时,△PBQ 的面积为y cm 2.则∵AP=t cm,∴PB=(6-t )cm;又BQ=2t.∴y =12PB ·BQ=12(6-t )·2t =(6-t )t =-t 2+6t =-(t -3)2+9,当t =3时,y 有最大值9.故第3秒钟时△PBQ 的面积最大,最大值是9cm 2.处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．七、布置作业，课堂延伸必做题：课本47页，习题2.8第1、2、3题． 选做题：课本48页，习题2.8第4题． 结束语：师：同学们，本节课的学习你们给我留下了深刻的印象，同时也给了我太多的感动与惊喜，谢谢你们！就让我把这份感动与惊喜埋在心底“一生一世”，相信你们的明天会更美好！祝愿同学们：象雄鹰一样飞的更高，飞的更远！（多媒体播放歌曲“飞的更高”结束本课）2.4.1二次函数的应用一、教学目标1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．二、课时安排 1课时 三、教学重点掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值． 四、教学难点运用二次函数的知识解决实际问题． 五、教学过程 （一）导入新课引导学生把握二次函数的最值求法： (1)最大值： (2)最小值： （二）讲授新课 活动1：小组合作如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上. (1)设矩形的一边AB=xm,那么AD 边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym 2,当x 取何值时,y 的值最大？最大值是多少?解：()31AD bm,b x 30.4==-+设易得 ()2332(30)3044y xb x x x x==-+=-+()2320300.4x =--+ 24:20,300.24b ac b x y a a-=-===最大值或用公式当时活动2：探究归纳先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.（三）重难点精讲例题:某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x 等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?解：4715.yx x ++π=由 157.4x x y --π=得2215722()242x x x x S xy x π--ππ=+=+窗户面积271522x x =-+ 2715225().21456x =--+2b 154ac b 225x 1.07,s 4.02.2a 144a 56-=-=≈==≈最大值当时即当x ≈1.07m 时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m 2. （四）归纳小结“最大面积” 问题解决的基本思路： 1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.（五）随堂检测1．（包头·中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．2．（芜湖·中考）用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．3．（潍坊·中考）学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．（1）要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平方米30元，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？4．（南通·中考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数关系式.（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？5.（河源·中考）如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x ，面积为y ．（1）求y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围. （2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．【答案】 1.12.52. 2x m 矩形的一边长是2xm,其邻边长为((20422x1022x,2-+=-(121022222S x x x x ⎡⎤=•-++⎣⎦所以该金属框围成的面积302,.322x ==-+当时金属框围成的图形面积最大 )((()2x 60402m ,10221032210210m .=--⨯-=此时矩形的一边长为另一边长为()2S3002002m.=-最大3.解; （1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意得：4x2＋（100－2x）（80－2x）＝5 200，整理得x2－45x＋350＝0，解得x1＝35，x2＝10，经检验x1＝35，x2＝10均适合题意，所以，要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，则y＝30[4x2＋(100－2x)(80－2x)]＋20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)] 即y＝80x2－3 600x＋240 000，配方得y＝80（x－22．5）2＋199 500，当x＝22．5时，y的值最小，最小值为199 500，所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22．5米时，铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199 500元．4. ⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，∴在Rt△BFE中，∠1+∠BFE=90°，又∵EF⊥DE，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠BFE，∴Rt△BFE∽Rt△CED，∴BF BECE CD=, ∴8y xx m-=即28x x ym-=⑵当m=8时，28,8x x y -=化成顶点式: ()21428y x =--+ （3）由12y m =，及28x x y m -=得关于x 的方程:28120x x -+=，得1226x x ==，∵△DEF 中∠FED 是直角，∴要使△DEF 是等腰三角形，则只能是EF=ED ， 此时， Rt △BFE ≌Rt △CED ，∴当EC=2时，m=CD=BE=6；当EC=6时，m=CD=BE=2. 即△DEF 为等腰三角形，m 的值应为6或2. 5. 解：（1）依题意得：y=(40-2x)x ． ∴y=-2x 2+40x ．x 的取值范围是0< x <20．（2）当y=210时，由（1）可得，-2x 2+40x=210． 即x 2-20x+105=0． ∵ a=1，b=-20，c=105， ∴2(20)411050,--⨯⨯<∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米． 六．板书设计2.4.1二次函数的应用探究： 例题:“最大面积” 问题解决的基本思路： 1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性. 七、作业布置 课本P47练习练习册相关练习八、教学反思课题：2.4.2二次函数的应用教学目标：知识与技能1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力.过程与方法经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.情感态度与价值观1.体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。
沪科版数学九年级上册21.4《二次函数的应用》(第2课时)教学设计
沪科版数学九年级上册21.4《二次函数的应用》（第2课时）教学设计一. 教材分析《二次函数的应用》是沪科版数学九年级上册第21.4节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的，主要让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用能力。
本节内容主要包括二次函数在几何中的应用和二次函数在实际生活中的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，对于二次函数在实际生活中的应用，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际应用结合起来，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.了解二次函数在几何中的应用，提高学生的数学思维能力。
2.培养学生将二次函数应用于实际生活中的能力，提高学生的数学应用能力。
3.培养学生合作学习、积极探究的学习习惯，提高学生的自主学习能力。
四. 教学重难点1.二次函数在几何中的应用。
2.二次函数在实际生活中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等教学方法，引导学生主动探究，提高学生的数学应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和素材，以便进行案例分析。
2.准备几何画图工具，以便进行二次函数在几何中的应用的演示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习二次函数的图像和性质，引导学生回忆起已学的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）介绍二次函数在几何中的应用，例如求解二次函数图形的交点、对称轴等问题。
通过具体的案例，让学生了解二次函数在几何中的重要作用。
3.操练（10分钟）让学生利用二次函数解决一些几何问题，例如求解二次函数图形的交点、对称轴等问题。
通过实际操作，让学生加深对二次函数在几何中应用的理解。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固二次函数在几何中的应用。
教师可以给予学生一定的指导，帮助学生解决问题。
5.拓展（10分钟）介绍二次函数在实际生活中的应用，例如最大值和最小值的求解、物体的运动轨迹等。
2.4 二次函数的应用(2)——抛物线形问题 教案 2021—2022学年北师大版数学九年级下册
2.4 二次函数的应用（2）——抛物线形问题教案一、教学目标1.理解抛物线形问题的概念及其应用背景；2.掌握通过二次函数求解抛物线形问题的方法；3.能够运用二次函数解决实际问题。
二、教学重点1.理解抛物线形问题的概念；2.掌握通过二次函数求解抛物线形问题的方法。
三、教学难点1.运用二次函数解决实际问题；2.分析问题中所给条件，建立数学模型。
四、教学过程1. 引入•引导学生思考下面的问题：–什么是二次函数？–二次函数有什么特点？•解答学生的问题，简要介绍二次函数。
2. 了解抛物线形问题•通过实际例子，引入抛物线形问题的概念。
•解释抛物线形问题与二次函数的关系。
3. 运用二次函数求解抛物线形问题•通过示例，详细讲解如何运用二次函数解决抛物线形问题。
•引导学生思考步骤，并进行示范。
4. 实践练习•给学生提供一些实际问题，并要求他们运用二次函数解决。
•分组讨论，学生之间相互交流思路。
•点名让各组发表他们的解题思路和答案。
5. 拓展延伸•引导学生思考更复杂的抛物线形问题，并让他们自己尝试解决。
•鼓励学生进行积极思考和探索，提高问题解决能力。
6. 小结•对本课所学内容进行总结和归纳。
7. 作业布置•布置作业：要求学生完成课本上的相关练习题，并要求写出详细解题思路。
五、教学反思通过本节课的教学，学生对抛物线形问题有了更深入的了解，并能够熟练运用二次函数解决相关问题。
课堂上进行了实践练习，有利于学生独立思考和解决问题的能力的培养。
在拓展延伸环节，带领学生探索更复杂的问题，提高了学生的解决问题的灵活性。
整体而言，本节课教学效果良好。
第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用
(2)解 当 a－2＝0 即 a＝2 时， 原不等式为－4＜0，显然成立，故当 a＝2 时成立． 当 a－2≠0 时，由题意得aΔ－＜20＜. 0， 即a4＜a－2，22－4a－2－4＜0， 解得－2＜a＜2． 综上可知，a 的取值范围是(－2,2]．
探究二 一元二次方程根的分布
已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根 大于－1小于0，另一根大于1小于2，求m的取值范围．
Δ＝－2t2－4t2－1≥0， ∴－ f－2＜2＞t＜04，，
f4＞0，
t∈R， 解得－ t＞2－＜1t＜ 或4t＜，－3，
t＞5或t＜3.
∴－1＜t＜3，故 t 的取值范围是(－1,3)．
探究三 一元二次不等式的实际应用
[知能解读] 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题 意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变 量具有的“实际含义”．
范围．
设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值
解 要使 mx2－mx－1＜0 恒成立，若 m＝0，显然－1＜0；若 m≠0，则
m＜0， Δ＝m2＋4m＜0，
解得－4＜m＜0.综上可知，m 的取值范围是(－4,0]．
[变式1] 将本例中的条件“若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立”改为“对于 1≤x≤3，f(x)＜－m＋5恒成立”，求m的取值范围．
3．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是
( A)
A．[－4,4]
B．(－4,4)
C．(－∞，4]∪[4，＋∞)
D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
4．∀x∈R，x2－a＞0恒成立，则a的取值范围为__________．
《二次函数的应用》二次函数PPT(第2课时)
−
y=(x-10)(5000+
.
× )
=-5 000x2+120000x-700000.
∵a=-5 000<0,
∴当x=−
= 时，最大值 = (元)
因此，厂家批发单价是12元时可以获利最多.
典例精析
某旅社有客房120间，每间房的日租金为160 元时、每天都客满.经市
总收入
y元
；
;
典例精析
解：设每间客房日租金提高到x个10元，则每天客房出租数会减少6x元，
日租金的总收入为y元。由题意，得
y=（160+10x）（120-6x）
整理，得y=-60(x-2)2+19440.
∵x≥0，且120-6x≥0
∴0≤x≤20
∴当x== 时，最大值 =
160+2×10=180元
对于问题的解决至关重要。所以，大家再利用二次函数的知识
解决实际问题时，要注意“数形结合”思想的运用。
课堂练习
1. 某种商品的成本是120元，试销阶段每件商品的售价x（元）与产品的销
售量y（件）满足当x=130时，y=70，当x=150时，y=50，且y是x的
一次函数，为了获得最大利润S（元），每件产品的销售价应定为（ A ）
关系式为
y=2000-5(x-100)
. 每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间
的函数关系式为 w=[2000-5(x-100)](x-80) .(以上关系式只列式不化简）.
课堂练习
5. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：
y=ax2+bx-75.其图象如图.
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
沪科版数学九年级上册21.4《二次函数的应用》(第2课时)教学设计
沪科版数学九年级上册21.4《二次函数的应用》（第2课时）教学设计一. 教材分析沪科版数学九年级上册第21.4节《二次函数的应用》（第2课时）的内容，主要围绕二次函数在实际问题中的应用进行展开。
本节课的内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行的，旨在培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材通过丰富的例题和练习题，引导学生学会如何将实际问题转化为二次函数模型，并利用二次函数的性质解决问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的概念、图像和性质有了初步的了解。
但是，学生在应用二次函数解决实际问题时，往往会因为对实际问题理解不深、对二次函数模型掌握不牢固而遇到困难。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生深入理解实际问题，将实际问题转化为二次函数模型，并巩固学生对二次函数性质的掌握。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际问题中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2.巩固学生对二次函数图像和性质的理解，提高学生对二次函数模型的掌握程度。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用，如何将实际问题转化为二次函数模型。
2.难点：对实际问题进行合理建模，灵活运用二次函数的性质解决问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题情境，引导学生主动探究二次函数的应用。
2.案例分析法：分析典型例题，让学生学会如何将实际问题转化为二次函数模型。
3.小组讨论法：引导学生进行团队协作，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含实际问题、例题和练习题的PPT，方便学生直观地理解和学习。
2.教学素材：准备一些与生活相关的实际问题，作为教学案例。
3.练习题：准备一些针对本节课内容的练习题，帮助学生巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的实际问题，引导学生回顾二次函数的图像和性质，为新课的学习做好铺垫。
版九年级数学下册 第二章 二次函数 2.4 二次函数的应用(第2课时)一课一练 基础闯关 (新版)北
二次函数的应用一课一练·基础闯关题组最优化问题1.(教材变形题·P49随堂练习)某产品进货单价为90元,按100元一件出售时,能售出500件,若每件涨价1元,则销售量就减少10件.则该产品能获得的最大利润为( )A.5 000元B.8 000元C.9 000元D.10 000元【解析】选C.设单价定为x元,总利润为W,则可得销量为500-10,单件利润为:(x-90),由题意得,W==-10x2+2400x-135000=-10+9000,所以当x=120时,W取得最大,为9000元.2.已知某店铺出售的毛绒玩具每件的进价为30元,在某段时间内若以每件x元(30≤x≤50,且x为整数)出售,可卖出(50-x)件,若要使该店铺销售该玩具的利润最大,每件的售价为世纪金榜导学号18574073( )【解析】选B.设总利润为y,由题意,得y=,∴y=-x2+80x-1500,∴y=-+100.∴-1<0,∴x=40时,y最大=100.3.一枚炮弹射出x秒后的高度为y米,且y与x之间的关系为y=ax2+bx+c(a≠0),若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( )【解析】选D.∵炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等,∴抛物线的对称轴方程为x=4.5.∵4.6s最接近4.5s,∴当x=4.6s时,炮弹的高度最高.4.某超市销售某种玩具,进货价为20元.根据市场调查:在一段时间内,销售单价是30元时,销售量是400件,而销售单价每上涨1元,就会少售出10件玩具,超市要完成不少于300件的销售任务,又要获得最大利润,则销售单价应定为__________元. 世纪金榜导学号18574074【解析】设销售单价应定为x元,根据题意可得:利润===-10x2+900x-14000=-10+6250,∵超市要完成不少于300件的销售任务,∴400-10≥300,解得:x≤40.即x=40时,销量为300件,此时利润最大为:-10+6250=6000(元),故销售单价应定为40元.答案:405.(2017·某某中考)某商场购进一批单价为20元的日用商品.如果以单价30元销售,那么半月内可销售出400件.根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件,当销售单价是________元时,才能在半月内获得最大利润.世纪金榜导学号18574075 【解析】设销售单价为x元,销售利润为y元.根据题意,得:y=(x-20)[400-20(x-30)]=(x-20)(1000-20x)=-20x2+1400x-20000=-20(x-35)2+4500,∵-20<0,∴x=35时,y有最大值.答案:356.(2017·某某中考)某蓝莓种植生产基地产销两旺,采摘的蓝莓部分加工销售,部分直接销售,且当天都能销售完,直接销售是40元/斤,加工销售是130元/斤(不计损耗).已知基地雇佣20名工人,每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作,每人每天可以采摘70斤或加工35斤,设安排x名工人采摘蓝莓,剩下的工人加工蓝莓.(1)若基地一天的总销售收入为y元,求y与x的函数关系式.(2)试求如何分配工人,才能使一天的销售收入最大?并求出最大值.【解析】(1)根据题意得:y=40[70x-35(20-x)]+130×35(20-x)=-350x+63000.(2)因为70x≥35(20-x),解得x≥,又因为x正整数,且x≤20.所以7≤x≤20,且x为正整数.因为-350<0,所以y的值随着x的值增大而减小,所以当x=7时,y取最大值,最大值为-350×7+63000=60550. 答:安排7名工人进行采摘,13名工人进行加工,才能使一天的销售收入最大,最大收入为60550元.7.(2017·某某市模拟)有一种螃蟹,从河里捕获后不放养最多只能活两天,如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去,假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是放养一天需各种费用支出400元,且平均每天还有10千克蟹死去,假定死蟹均于当天全部售出,售价都是每千克20元.(1)设x天后每千克活蟹的市场价为P元,写出P关于x的函数关系式.(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售,并记1000千克蟹的销售额为Q元,写出Q关于x的函数关系式.(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用),最大利润是多少?【解析】(1)由题意知:P=30+x.(2)由题意知:活蟹的销售额为(30+x)元,死蟹的销售额为200x元.∴Q=+200x=-10x2+900x+30000.(3)设总利润为L=Q-30000-400x=-10x2+500x,=-10=-10=-10(x-25)2+6250.当x=25时,总利润最大,最大利润为6250元.(2017·某某模拟)某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系,种植花卉的利润y2与投资量x的平方成正比例关系,并得到了表格中的数据.世纪金榜导学号18574076投资量x(万元) 2种植树木利润y1(万元) 4种植花卉利润y2(万元) 2(1)分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式.(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木,设他投入种植花卉金额m万元,种植花卉和树木共获利W万元,直接写出W关于m的函数关系式,并求他至少获得多少利润?他能获取的最大利润是多少? (3)若该专业户想获利不低于22万,在(2)的条件下,直接写出投资种植花卉的金额m的X围.【解析】(1)设y1=kx,由表格数据可知,函数y1=kx的图象过(2,4),∴4=k·2,解得:k=2,故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x(x≥0)设y2=ax2.由表格数据可知,函数y2=ax2的图象过(2,2),∴2=a·22,解得:a=,故利润y2关于投资量x的函数关系式是y2=x2(x≥0).(2)因为投入种植花卉m万元(0≤m≤8),则投入种植树木(8-m)万元, W=2(8-m)+m2=m2-2m+16=+14,∵a=>0,0≤m≤8,∴当m=2时,W的最小值是14,∵a=>0,∴当m>2时,W随m的增大而增大.∵0≤m≤8,∴当m=8时,W的最大值是32.答:他至少获得14万元利润,他能获取的最大利润是32万元.(3)根据题意,当W=22时,+14=22,解得:m=-2(舍)或m=6,故:6≤m≤8.。
函数的应用教案二
函数的应用教案二《函数的应用》教案12教学目标：利用数形结合的数学思想分析问题解决问题。
利用已有二次函数的知识经验，自主进行探究和合作学习，解决情境中的数学问题，初步形成数学建模能力，解决一些简单的实际问题。
在探索中体验数学来源于生活并运用于生活，感悟二次函数中数形结合的美，激发学生学习数学的兴趣，通过合作学习获得成功，树立自信心。
教学重点和难点：运用数形结合的思想方法进行解二次函数，这是重点也是难点。
教学过程：（一）引入：分组复习旧知。
探索：从二次函数y=x2+4x+3在直角坐标系中的图象中，你能得到哪些信息？可引导学生从几个方面进行讨论：（1）如何画图（2）顶点、图象与坐标轴的交点（3）所形成的三角形以及四边形的面积（4）对称轴从上面的问题导入今天的课题二次函数中的图象与性质。
（二）新授：1、再探索：二次函数y=x2+4x+3图象上找一点，使形成的图形面积与已知图形面积有数量关系。
例如：抛物线y=x2+4x+3的顶点为点a，且与x轴交于点b、c；在抛物线上求一点e使sbce= sabc。
再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点f，使bce与bcd 全等。
再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点m，使bom与abc 相似。
2、让同学讨论：从已知条件如何求二次函数的解析式。
例如：已知一抛物线的顶点坐标是c（2，1）且与x轴交于点a、点b，已知sabc=3，求抛物线的解析式。
（三）提高练习根据我们学校人人皆知的`船模特色项目设计了这样一个情境：让班级中的上科院小院士来简要介绍学校船模组的情况以及在绘制船模图纸时也常用到抛物线的知识的情况，再出题：船身的龙骨是近似抛物线型，船身的最大长度为48cm，且高度为12cm。
求此船龙骨的抛物线的解析式。
让学生在练习中体会二次函数的图象与性质在解题中的作用。
（四）让学生讨论小结（略）（五）作业布置1、在直角坐标平面内，点o为坐标原点，二次函数y=x2+（k—5）x—（k+4）的图象交x轴于点a（x1，0）、b （x2，0）且（x1+1）（x2+1）=—8。
二次函数的应用第二课时最大利润学年北师大版九年级数学下册课件
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定 为多少元？
解：（2）由题意，得：- 10x²+700x-10000=2000 解得x1=30,x2=40
∴李明想要每月获得2000元的利润， 销售单价应定为30元或40元.
2.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投 放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量 是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单 价不得低于成本． （1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系
y=a(x-h)2+k顶点坐标是(h,k),对称轴是直线x=h 当x=h时，y有最大值或最小值k
y=ax2+bx+c中顶点式,对称轴和顶点坐标公式:
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
对称轴是直线x b 2a
当x b 时, y有最大或最小值 4ac b2 .
（2）当1≤x＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45， 当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050， 当50≤x≤90时，y随x的增大而减小， 当x=50时，y最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大利润是6050元；
（3）当20≤x≤60时，每天销售利润不低于4800元．
设旅行团人数为x人,营业额为y元,则 y= x [800-10(x-30)]
= - 10x2+1100x
= - 10(x-55)2+30250
4 二次函数的应用 (第2课时)
想一想
请你谈一谈怎样设因变量更好？
解决了上述关于服装销售的问题，
例2
某旅社有客房120间，每间房的日 租金为 160 元时，每天都客满，经市 场调查发现，如果每间客房的日租金 每增加 10元时，那么客房每天出租数 会减少6间.不考虑其他因素，旅社将 每间客房的日租金提高到多少元时， 客房日租金的总收入最高？
利用二次函数图象解决实际问题
【议一议】 还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的
问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量 y(个)的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000. 问题(1):利用函数图象描述橙子的总 产量与增种橙子树的棵数之间的关系. 问题(2):增种多少棵橙子树,可以使橙 子的总产量在60400个以上?
例2.某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，
如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素， 旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
分 析：相等关系是 客房日租金的总收入=每间客房日租金×每天客房出租数 若设每间客房的日租金提高x个10元，则： 每天客房出租数会减少6x间， 客房日租金的总收入为y元，则：
解:(1)设购进荔枝k千克,荔枝售价定为y元/千克时,水果商才不会亏本, 由题意,得y· k(1-5%)≥(5+0.7)k. ∵k＞0,∴95%y≥5.7,∴y≥6. ∴水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本.
(2)由(1)可知,每千克荔枝的平均成本为6元, 由题意得w=(x-6)m=(x-6)(-10x+120)=-10(x-9)2+90, ∵a=-10＜0,∴当x=9时,w有最大值. ∴当销售单价定为9元时,每天可获利润w最大.
第22章 第13课 二次函数的应用(2)——抛物线型问题
解得x1＝6＋2 ，x2＝6－2 .
∴CD＝6＋2 －(6－2 )＝4 (m).
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如图是侧面形状为抛物线形的拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面
宽4 m.
(1)以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标
系，请在图中画出坐标系，并求出抛物线的解析式.
解：建立平面直角坐标系如图所示.
为20 cm.
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(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要
使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式.
解：∵s2＝4h(20－h)，设存在a，b使两孔射出水的射程相同，则有
4a(20－a)＝4b(20－b).
∴20a－a2＝20b－b2.∴a2－b2＝20a－20b.
地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h处开一个
小孔.
返回，最大射
程是多少？
解：∵s2＝4h(H－h)，
∴当H＝20 cm时，s2＝4h(20－h)＝－4(h－10)2＋400.
∴当h＝10 cm时，s2有最大值，最大值为400，此时s有最大值，最大值
设抛物线的解析式为y＝a(x－6)2＋6.
将点M(12，0)代入，得
2
0＝a·(12－6) ＋6，∴a＝－ .
2
2
∴这条抛物线的解析式为y＝－ (x－6) ＋6＝－ x ＋2x.
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(2)若在隧道C，D处装两个路灯，且路灯的高度为4 m，求C，D之间的
距离.
2
解：当y＝4时，有4＝－ x ＋2x，
( A )
A．0.4 s
B．0.6 s
C．0.8 s
第13课 二次函数的应用(2)——抛物线型问题
主讲老师:
第二十二章 二次函数
第13课 二次函数的应用(2)——抛物线型问题
一、知识储备
1．求抛物线y＝x2－8x与x轴的交点坐标． (0，0)，(8，0) 2.抛物线的顶点为(6，3)且过点(0，0)，求抛物线的解析式．
1 y＝高尔夫球在地面O点被击出，球的飞行路线是 1 2 8 抛物线y＝－ x ＋ x，其中y(m)是飞行高度，x(m)是球飞 5 5 出的水平距离．
(1)求球飞行过程中的最大高度；
(2)求球飞行过程中的最大水平距离．
16 (1) 米 (2)8米 5
4. 如图，贝克汉姆在球门正前方9米处将球射向空门，当球飞行的 水平距离为6米时，球达到最高点A，此时球距地面3米． (1)求球飞行轨迹的抛物线的解析式； (2)若球门高2.5米，问能否射中球门？ (1)顶点A(6，3) 设y＝a(x－6)2＋3.∵过 (0，0) 1 2 ∴0＝a(0－6) ＋3，a＝－ 12 1 ∴y＝－ (x－6)2＋3 12 1 (2)当x＝9，y＝－ (9－6)2＋3＝2.25＜2.5 ∴射中球门 12
∴水池半径至少3米
7. (例3)如图是抛物线形的拱桥，水面AB＝4米，拱顶C离
水面2米．
(1)求抛物线的解析式； (2)若水面下降1米，则水面宽度将增加 多少米？
1 (1)y＝ 2 x2＋2
(2)(2 6－4)米
8. 如图，隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，OM为12米．
(1)求这条抛物线的解析式； (2)若在隧道C，D处装两个路灯，且路灯的高度为4米， 求C，D之间的距离．
谢谢！
1 1 2 2 (1)y＝－ (x－6) ＋6＝－ x ＋2x 6 6 (2) 4 3 米
三、课堂总结
1.5二次函数的应用(第二课时)课件ppt
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养 鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并 且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱 笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地 面积最大?最大面积是多少?
xm
ym2
xm
2m
正方形ABCD边长5cm,等腰三角形PQR中,PQ=PR=5cm,
QR=8cm,点D、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两
其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
(1)设矩形的一边BC=xm,那么AB 边的长度如何表示？
M C
H
30m
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值 D
B
时,y的值最大?最大值是多少?
解: 1由勾股定理得MN 50m, PH
P┐
24m.
G
设AB bm,易得b 12 x 24.
二次函数的应用(第2课时)PPT课件
(利润、产量和档次是变量,档次是自变量,利润、产量随之发生变化)
分析:
设产品的档次为x档,则每件产品的利润y也随之变化.
(1)若产品是第2档次,则产量减少
件,此时产量为
件,每
件产品的利润增加
元,此时每件产品的利润为
元,产品
总利润为
元.
(2)若产品是x档,则产品提高了
档,产量减少
件,此时产
量为
件,每件产品的利润增加
思考: 1.当矩形的宽AB=x m时,如何用包含
x的代数式表示矩形的长BC? 2.矩形的面积S与矩形的宽x之间的
等量关系是什么? 3.你能写出矩形的面积S与矩形的宽
x之间的函数表达式吗? 4.请用配方法将所得到的二次函数
一般式转化成顶点式. 5.该二次函数有没有最大值?最大值
是多少?此时x的值是多少?
解:设每件商品降价x元(0≤x≤2),该商品每天的利润为y元. 商品每天的利润y与x的函数关系式是:
y=(10-x-8)(100+100x), 即y=-100x2+100x+200,
配方得y=1-100
x
1 2
2
+225.
1
因为x= 时,满足0≤x≤2,所以当x= 时,函数取得最大值,最大
2
2
值为225.
成矩形ABCD的最大面积是 ( C )
A.60 m2
B.63 m2
C.64 m2
D.66 m2
解析:设BC=x m,矩形ABCD的面积为y m2,根据题意得y=(16-x)x=x2+16x=-(x-8)2+64,当x=8时,ymax=64,则所围成矩形ABCD的最大面积是 64 m2.故选C.
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D
S
12-2x
B
C
如图，张伯伯准备利用现有的一面墙 和 40m的篱笆，把墙外的空地围成四 3、你能利用公式求出所得函数的图像的 顶点坐标，并说出y的最大值吗？ 个相连且面积相等的矩形养兔场。
x
x
5 x 10 4
x
x
x
1、你能画出这个函数的图像，并借助图 、设每个小矩形一边的长为xm,试用x 4 表示小矩形的另一边的长。 像说出 y的最大值吗？ 2、设四个小矩形的总面积为ym2,请写出 用x表示y的函数表达式。
3、正方形ABCD的边长为4，P是边BC 上一点，QP⊥AP,并且交DC于点Q
（1) Rt△ABP 与 Rt△PCQ相似吗？ 为什么？
（2）当点P在什么位置 时， Rt△ADQ的面积 最小?最小面积是多少?
A 1
D
4
B
∟
Q
x P 4-x C
3
2
∟
4、在⊙O的内接三角形ABC中， AB+AC=12，AD垂直于BC，垂足为D， 且AD=3，设⊙O的半径为y，AB为x。 （1）求y与x的函数关系式； （2）当AB长等于多少时，⊙O的面积最 大？最大面积是多少？
x
2、已知AB=2,C是AB上的一点，四边形 ACDE和CBFG都是正方形。设BC=x.
2-x （1）AC=—————
E
G
D
F
（2）设正方形 ACDE和正方形 CBFG的总面积为S, A 2-x C x B 用x表示S的函数表 2 2 2x -4x+4 达式为S=_______ （3）总面积S有最大值还是最小值？其值是多少？ （4）总面积S有最大值或最小值时， 点C在AB的什么位置？
△ABD∽ △AEC
x
B
2y O
·
A 3 12-x C D
∟
5、如图，在△ABC中∠B=90º ，AB=12cm， BC=24cm，动点P从A开始沿AB边以2cm/s的速 度向B运动，动点Q从B开始沿BC边以4cm/s的 速度向C运动，如果P、Q分别从A、B同时出发。 （1）写出△PBQ的面积S与运动时间t之间的 函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （2）当t为何值时，△PBQ的面积S最大，最 大值是多少？ A
D G 40 C
（2）当点E在HK上什 H 么位置时，休闲广场的 Q E 10 面积最大？最大面积是 A P K 15 50 多少平方米？
F B
（2）当x为何值时，矩形 7、如图，△ABC是一块铁皮余料。 EFGH 的面积 S 最大 ? 已知底边BC=160cm，高AD=120cm。 （ 3）以面积最大的矩形 在铁皮余料上截取一个矩形 EFGH， EFGH 为侧面，围成一个无 使点H 在AB上，点G在AC上，点E,F 底圆桶，怎样围，圆桶的体 在BC上，AD交HG于点M。 A 积最大?请说明理由。（接缝 处忽略不计，结果可保留π） 120 （ 1） y M G H HG=ycm,HE=xcm, 确定用x表示y的函 x C 数关系式 B E DF
D
t
G
6E
B F C
结束寄语 作业：
课本23页2题 25页习题2题 课时掌控
8、某社区为了美化环境，准备在一块矩形土 地ABCD上修建一个矩形休闲广场EFCG。为 了使文物保护区△AKH不被破坏，休闲广场的 顶点E不能在文物保护区内。已知 AB=50m,AD=40m,AK=15m,AH=10m. （1）当点E是HK的 中点时，休闲广场的 面积是多少平方米？
由此可以看出，在利用二次函数的图像 和性质解决实际问题时，常常需要根据 条件建立二次函数的表达式，在求最大 （或最小）值时，可以采取如下的方法： （1）画出函数的图像，观察图像的最高 （或最低）点，就可以得到函数的最大 （或最小）值。 （2）依照二次函数的性质，判断该二次 函数的开口方向，进而确定它有最大值 还是最小值；再利用顶点坐标公式，直 接计算出函数的最大（或最小）值.
M
(1).设矩形的一边 BC=xm,那么AB边的 长度如何表示？
C
G
H
6m
D
P┐
B A N
8m
(2).设矩形的面积为ym2,当x 取何值时,y的最大值是多少?
练习
1、用60m的篱笆围成一个一边靠 墙、中间用篱笆隔开的矩形养鸡场。
x
1 x 20 3
（1）如果中间只 有一道篱笆，，并 设矩形一边的长为 xm，那么当x为何 值时，养鸡场的面 积最大？
设：养鸡场的面积为ym2
用60m的篱笆围成一个一边靠墙、 中间用篱笆隔开的矩形养鸡场。 （2）如果中间有6 道篱笆，，并设矩 形一边的长为xm， 1 15 x 那么当x为何值时， 8 2 养鸡场的面积最大？
160
如图,在一个直角三角形的内部 作一个矩形ABCD，其中AB和AD分 别在两直角边上. M (1).设矩形的一边 AB=xm,那么AD边的 长度如何表示？
30m
D ┐
C
Aபைடு நூலகம்
x
40m
B 40-x N
(2).设矩形的面积为ym2,当 x取何值时,y的最大值是多少?
如图,在一个直角三角形的内部作 一个矩形ABCD，其顶点A和点D分别 在两直角边上,BC在斜边上.
BP=12-2t，BQ=4t △PBQ的面积: S=1/2(12-2t) •4t 即S=- 4t² +24t=- 4(t-3)² +36 12 P 12-2t 2t
B
4t 24
Q
C
6、如图，在ABCD边长为6cm的正方 形中，点E、F、G、H分别按AB、BC、 CD、DA的方向同时出发，以1cm/s的 速度匀速运动。四边形EFGH的面积S （cm2）随时间t（s）变化的解析式是 S=2t2-12t+36（0≤t≤6） ______________ 6-t A H
（面积问题）
引例： 如图，一边靠学校院墙，其他三 边用12 m长的篱笆围成一个矩形花圃，设 矩形ABCD的边AB=x m，面积为S㎡。 （1）写出S与x之间的函数关系式； （2）当x取何值时，面积S最大， 最大值是多少？
(1)S=x(12-2x) 即S=-2x² +12x (2) S=-2x² +12x =-2(x-3)² +18 A