2018高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算课时分层训练文
2018版高考数学一轮总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的引入模拟演练文
2018版高考数学一轮总复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.4 数系的扩充与复数的引入模拟演练 文[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2B ． 3C ． 2D ．1答案 B解析 解法一：由已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|(a ＋i)·(－i)|＝|1－a i|＝2.∴1＋a 2＝2.∵a >0，∴a ＝ 3.解法二：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|a ＋i||i|＝|a ＋i|＝a 2＋1＝2，∴a ＝ 3. 2．[2016·北京高考]复数1＋2i2－i ＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i答案 A 解析 1＋2i 2－i＝＋＋－＋＝2＋i ＋4i ＋2i 24－i 2＝5i 5＝i ，故选A. 3．[2016·全国卷Ⅲ]若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i答案 C解析 ∵z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴4i z z －1＝4i4＝i ，故选C.4．[2015·湖南高考]已知－2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 D 解析 由－2z＝1＋i ，得z ＝－21＋i＝－2i 1＋i ＝－－＋－＝－1－i.5．[2017·安徽模拟]设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 A解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ·z i ＋2＝2z 得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，所以2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，所以a ＝1，b ＝1，即z ＝a ＋b i ＝1＋i.6．[2016·天津高考]i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________． 答案 1解析 ∵z ＝21＋i＝1－i ，∴z 的实部为1.7．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.答案5解析 ∵a ，b ∈R ，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－b ，0＝1＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋－2＝ 5.8．[2014·湖南高考]满足z ＋iz＝i(i 为虚数单位)的复数是________． 答案 12－i2解析 由已知得z ＋i ＝z i ，则z (1－i)＝－i ， 即z ＝－i1－i＝－＋－＋＝1－i 2＝12－i2. 9．[2017·金华模拟]已知z ∈C ，解方程z ·z －－3i z －＝1＋3i.解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i.根据复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴z ＝－1或z ＝－1＋3i.10．已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i是实数，i 是虚数单位．(1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围． 解 (1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝b i －－＋－＝b －＋b ＋2＝b －22＋b ＋22i.又因为z －21＋i 是实数，所以b ＋22＝0，所以b ＝－2，即z ＝－2i.(2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，－4m >0.解得m <－2，即m ∈(－∞，－2)．[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．复数z 为实数的充分不必要条件是( ) A ．z ＝z B ．|z |＝z C ．z 2为实数 D ．z ＋z 为实数答案 B解析 z ＝z ⇔z ∈R .|z |＝z ⇒z ∈R ，反之不行，例如z ＝－2.z 2为实数不能推出z ∈R ，例如z ＝i.对于任何z ，z ＋z 都是实数．故选B.12．复数m (3＋i)－(2＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵m (3＋i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i ，设在复平面内对应的点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －2，y ＝m －1，消去m 得x －3y －1＝0，因为直线x －3y －1＝0经过第一、三、四象限，所以复数在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故选B.13．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________．答案3解析 ∵|z －2|＝x －2＋y 2＝ 3∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y xmax ＝31＝ 3. 14．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解 存在．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)， 则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋5a 2＋b 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2i. 又z ＋3＝a ＋3＋b i 实部与虚部互为相反数，z ＋5z是实数，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ⎝⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2＝0，a ＋3＝－b ，因为b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a ＝－b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。
2018届高考数学第1轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.3.1平面向量的数量积课件理
因为|a－b|＝2 5，
所以 a2－2a·b＋b2＝20，
所以 5－2×5＋b2＝20，
所以 b2＝25，所以|b|＝5。故选 C。
(2) 解 法 一 ： 由 于 a·(a ＋ 2b) ＝ a2 ＋ 2a·b ＝ |a|2 ＋ 2|a||b|cos60°＝ 4 ＋
2×2×12＝6，|a＋2b|＝ a＋2b2＝ a2＋4a·b＋4b2＝ 4＋4＋4＝2 3，所
以 cos〈a，a＋2b〉＝|aa·|·a|a＋＋22bb|＝2×62
＝ 3
23，所以〈a，a＋2b〉＝30°。
故选 D。
解法二：∵|a＋2b|2＝4＋4＋4a·b＝8＋8cos60°＝12， ∴|a＋2b|＝2 3， ∴a·(a＋2b)＝|a|·|a＋2b|·cosθ ＝2×2 3cosθ＝4 3cosθ。 又 a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋4cos60°＝6， ∴4 3cosθ＝6，cosθ＝ 23，θ∈[0°，180°]， ∴θ＝30°。故选 D。 【答案】 (1)C (2)D
b____反__向__共_；线若θ＝90°，则a与b____垂__直。
• (2)平面向量的数量积
• ①定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量 _______|_a_||b_|c_o_sθ_叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即 a·b＝___|a_||b_|c_o_sθ______，规定零向量与任一向量的数量积 为0，即0·a＝0。
微知识 小题练
教材回扣 基础自测
• 自|主|排|查
• 1．平面向量的数量积
• (1)向量的夹角 • ①定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则__∠__A_O_B__就是向量
a与b的夹角。
2018届高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.3 平面向量的数量积(1)课件 文
1．|a||b|cosθ |a||b|cosθ 2．|a|cosθ 3.|b|cosθ
答案
1．判断正误
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的
运算结果是向量．( )
(3)两个向量的夹角的范围是0，π2.(
)
2．本例题(2)中，当 E 是 AB 的中点时，试求D→E在D→C上的投 影．
解：
方法 1：如图，过点 E 作 EF⊥DC，垂足为 F，由投影的定义 知，D→E在D→C上的投影是12.
方法 2：如图，向量D→E与D→C的夹角是∠EDC，
所以D→E在D→C上的投影是来自|D→E|cos∠EDC＝
1＋14×
使得 DE＝2EF，则A→F·B→C的值为( )
A．－58
1 B.8
1 C.4
11 D. 8
(2)(2017·蚌埠模拟)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB
边上的动点，D→E·D→C的最大值为________．
【解析】 (1)如图，设A→C＝m，A→B＝n，根据已知得，D→F＝34m， 所以A→F＝A→D＋D→F＝34m＋12n，B→C＝m－n，A→F·B→C＝(34m＋12n)·(m－ n)＝34m2－12n2－14m·n＝34－12－18＝18.
1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意 义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．
2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为 向量的数量积的运算．
3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值 问题常用的方法与技巧．
4．明确两个结论： (1)两个向量 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a·b>0，反之不成立(因 为夹角为 0 时不成立)； (2)两个向量 a 与 b 的夹角为钝角，则有 a·b<0，反之不成立(因 为夹角为 π 时不成立)．
2018届高三数学理一轮总复习课件：第四章 平面向量、
)
解析： 选 A.因为 i607＝i4×151＋3＝i3＝－i， 所以其共轭复数为 i， 故选 A.
考点一 命题点
复数的有关概念
确定复数的实部与虚部
1．复数的代数形式 (1)复数的概念 形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，并且把 z＝a＋bi(a，b∈R) 的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中 a，b 分别是它的实 部和 虚部 ．若 b＝0，则 a＋bi 为实数；若 b≠0，则 a＋bi 为虚 数；若 a＝0且b≠0 ，则 a＋bi 为纯虚数．
考点二 命题点
复数的代数运算
复数代数形式的四则运算
1．复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i ； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)· (c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ； z1 a＋bi （a＋bi）（c－di） (4)除法： ＝ ＝ ＝ z2 c＋di （c＋di）（c－di）
10i（3－i） 10i 解析：选 D.由 z＝ ＝ ＝1＋3i，得－ z ＝1 3＋i （3＋i）（3－i） －3i.
2．(2017· 山东高密检测)若复数 z 的实部为 1，且|z|＝2，则复 数 z 的虚部是( A．－ 3 C．± 3i ) B．± 3 D． 3i
解析：选 B.由题意可设 z＝1＋bi(b∈R)，因为|z|＝2，所以 12＋b2＝4，解得 b＝± 3，故选 B.
2．复数的几何意义
一一对应 (1)复数z＝a＋bi←———— 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
全国通用2018高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入课件
a＝c，b＝－d (a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔_______________
2 2 → a ＋ b (4)复数的模： 向量OZ的模 r 叫做复数 z＝a＋bi 的模， 即|z|＝|a＋bi|＝_______.
2．复数的几何意义 复数 z＝a＋bi → OZ＝(a，b) ． 向量____________ 3．复数代数形式的四则运算 (1)运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a，b 分别是它的实
b≠0 ， b＝0 ， a＝0且b≠0 ， 部和虚部． 若_____ 则 a＋bi 为实数， 若_____ 则 a＋bi 为虚数， 若____________
则 a＋bi 为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔__________ a＝c，b＝d (a，b，c，d∈R)．
a (2)(2016· 天津高考)已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则b的 值为________．
(1)C i＋1 (2)2 [(1)∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝ i ＝1－i，∴z＝2－i，故选 C.
(2)∵(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又 a，b∈R，∴1＋b＝a 且 1－b＝0， a 得 a＝2，b＝1，∴b＝2.]
1－i 1 1 1 (2)z＝ ＋i＝ 2 ＋i＝2＋2i，|z|＝ 1＋i
1 1 2 ＋ 2＝ 2 2
2 2 .]
复数代数形式的四则运算
(1)(2015· 全国卷Ⅰ)已知复数 z 满足(z－1)i＝1＋i，则 z＝( A．－2－i C．2－i B．－2＋i D．2＋i )
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.2 精品
所以BD AD=(A-B1,-1)-(2,4)=(-3,-5).
答案:(-3,-5)
考向一 平面向量基本定理及其应用
【典例1】(1)如果e1,e2是平面内一组不共线的向量,那 么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基
底的是 ( )
A.e1与e1+e2 C.e1+e2与e1-e2
B.e1-2e2与e1+2e2 D.e1-2e2与-e1+2e2
【解析】选D.由题意得
P1P
1 3
或P1P2
P1P=2 (3,-3).
设P(x,y),则 P1=P(x-1,y-3),
当P1P 13时P1P,2(x-1,y-3)=
(3,-13),
3
所以x=2,y=2时,即P(2,2).
当P1P 23时P1P,2(x-1,y-3)=
(3,-23),
3
所以x=3,y=1,即P(3,1).
4 xy
AP AB BP AB② y BN,
xy
①×y+②×x得 AP x AB y AC，
x y 4(x y)
令 y 得 y2 =， x,代8入得m=
4(x y) 11
3
3. 11
答案: 3
11
【加固训练】 1.(2015·广州模拟)设a是已知的平面向量且a≠0,关 于向量a的分解,有如下四个命题: ①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c; ②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc; ③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ, 使a=λb+μc;
3
3
故
2
t, 3
2 2
解得
t，
[推荐学习]2018年高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入课时达标25平面向量基本定
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2018年高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时达标25 平面向量基本定理及坐标表示 理[解密考纲]本考点重点考查向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等偏下．一、选择题1．若向量AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BC →＝( B ) A ．(1,1) B ．(－1，－1)C ．(3,7)D ．(－3，－7)解析：因为AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，所以BC →＝AC →－AB →＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，故选B ．2．已知向量m ＝(a ，－2)，n ＝(1,1－a )，且m∥n ，则实数a ＝( B ) A ．－1 B ．2或－1 C ．2D ．－2解析：因为m∥n ，所以a (1－a )＝－2，即a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2，故选B ． 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0,0)，A (0,1)，B (1，－2)，C (m,0)．若OB →∥AC →，则实数m 的值为( C )A ．－2B ．－12C ．12D ．2解析：在平面直角坐标系xOy 中，点O (0,0)，A (0,1)，B (1，－2)，C (m,0)，所以OB →＝(1，－2)，AC →＝(m ，－1)．又因为OB →∥AC →，所以m 1＝－1－2，m ＝12，故选C ．4．已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x ，y ，使得AO →＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为( A )A ．23B ．33C ．23 D ．13解析：设M 为AC 的中点，则AO →＝xAB →＋yAC →＝xAB →＋2yAM →.因为x ＋2y ＝1，所以O ，B ，M 三点共线．又因为O 是△ABC 的外接圆圆心，所以BM ⊥AC ，从而cos ∠BAC ＝23，故选A ．5．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，O P →＝xOA →＋yOB →，且B P →＝2P A →，则( A )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：由题意知O P →＝O B →＋B P →，又B P →＝2P A →，所以O P →＝O B →＋23B A →＝O B →＋23(O A →－O B →)＝23O A →＋13O B →，所以x ＝23，y ＝13.6．如图所示，在△ABC 中，点M ，N 分别在AB ，AC 上，且AM →＝2MB →，AN →＝35AC →，线段CM与BN 相交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，则AP →用a 和b 表示为( A )A ．AP →＝49a ＋13bB ．AP →＝49a ＋23bC ．AP →＝29a ＋43bD ．AP →＝47a ＋37b解析：由于AM →＝23a ，MB →＝a 3，AN →＝35b ，NC →＝25b ，则MC →＝AC →－AM →＝b －23a ，BN →＝AN →－AB →＝35b－a .设MP →＝λMC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －23a ，BP →＝μBN →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫35b －a ，由MP →－BP →＝MB →，得λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －23a －μ⎝ ⎛⎭⎪⎫35b －a ＝13a ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝35μ，－23λ＋μ＝13.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13，μ＝59，因此AP →＝AB →＋BP →＝a ＋59⎝ ⎛⎭⎪⎫35b －a ＝49a ＋13b .二、填空题7．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝5.解析：∵a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，∴a －c ＝(3－k ，－6)．∵(a －c )∥b ，∴1×(－6)＝3×(3－k )，解得k ＝5.8．已知向量OA →＝(3,4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件是m ≠－710.解析：因为AB →＝OB →－OA →＝(3，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(2－m ，－7－m )，点A ，B ，C 能构成三角形，所以点A ，B ，C 不共线，即AB →与AC →不共线，所以3×(－7－m )－(－7)×(2－m )≠0，解得m ≠－710，故实数m 应满足m ≠－710.9．在△ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点．若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则4x ＋y 的最小值为94.解析：由题意知AD →＝12(AB →＋AC →)，AE →＝12AD →.∵M ，E ，N 三点共线，∴AE →＝λAM →＋(1－λ)AN→(其中0<λ<1)．又∵AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，∴14(AB →＋AC →)＝λxAB →＋(1－λ)yAC →.因此有⎩⎪⎨⎪⎧4λx ＝1，－λy ＝1，解得x ＝14λ，y ＝1－λ.令1λ＝t ，则t >1，则4x ＋y ＝1λ＋1－λ＝t ＋tt －＝(t －1)＋1t －＋54≥94，当且仅当t ＝32，即λ＝23时取得等号．三、解答题10．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ 解析：(1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，∴a ＋3b ＝(7,3)， 故|a ＋3b|＝72＋32＝58.(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)，∵k a －b 与a ＋3b 平行， ∴3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13.此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．11．在△OAB 的边OA ，OB 上分别取M ，N ，使|OM |∶|OA |＝1∶3，|ON |∶|OB |＝1∶4，设线段AN 与BM 的交点为P ，OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示OP →.解析：∵A ，P ，N 三点共线，∴OP →＝λOA →＋(1－λ)ON →＝λa ＋14(1－λ)b ；又∵M ，P ，B 三点共线，∴OP →＝μOM →＋(1－μ)OB →＝13μa ＋(1－μ)b .∴⎩⎪⎨⎪⎧13μ＝λ，14－λ＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝311，μ＝911，∴OP →＝311a ＋211b .12．已知平面上三个点的坐标分别为A (－2,1)，B (－1,3)，C (3,4)，求点D 的坐标，使得A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形．解析：设D (x ，y )，由ABCD 为平行四边形得AB →＝DC →，即(1,2)＝(3－x ，4－y )，可解得D (2,2)；由ABDC 为平行四边形得AB →＝CD →，即(1,2)＝(x －3，y －4)，可解得D (4,6)；由ADBC为平行四边形得AD →＝CB →，即(x ＋2，y －1)＝(－4，－1)，可解得D (－6,0)．因此A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形的D 点坐标是(2,2)或(4,6)或(－6,0)．。
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.1
答案：D
第十九页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
考向二 平面向量的线性运算[自主练透型] [例 2] (2017·武汉市武昌区调研)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内的任意一点， 则O→A＋O→B＋O→C＋O→D等于( ) A.O→M B．2O→M C．3O→M D．4O→M
＋kb)，即 ka＋b＝λa＋λkb.
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b 是不共线的两个非零向量，
k－λ＝0， λk－1＝0，
解得λk＝＝11，
或kλ＝＝－－11，，
又∵λ>0，∴k＝1.
第二十八页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
第二十九页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
所以A→M＝12(A→B＋A→C)＝12(A→B＋A→D＋D→C)＝12(A→B＋A→D＋12A→B)＝34 A→B＋12A→D.
答案：B
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
考向三 共线向量定理及其应用[互动讲练型] [例 3] 如图，在△ABC 中，D，F 分别是 BC，AC 的中点， A→E＝23A→D，A→B＝a，A→C＝b.
第十四页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
第十五页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
[授课提示：对应学生用书第 068 页] 考向一 平面向量的有关概念[自主练透型] [例 1] 下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与向量C→D共线，则 A、B、C、D 四点共线； ④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
2018年高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时达标24 平面向量的概念及
2018年高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时达标24 平面向量的概念及其线性运算 理[解密考纲]本考点重点考查向量的概念、线性运算，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等偏下．一、选择题1．在△ABC 中，已知M 是BC 的中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( A ) A ．12a －b B ．12a ＋b C ．a －12b D ．a ＋12b解析：AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a ，故选A ．2．(2017·河北石家庄模拟)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( D )A ．a ＋b ＝0B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λb解析：因为a ，b ，是两个非零向量，且|a ＋b|＝|a|＋|b|，则a 与b 共线同向，故D 正确．3．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，实数λ∈(1,2)，则( B ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，M ，B 一定共线解析：∵OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，∴OM →－OA →＝λ(OB →－OA →)，∴AM →＝λAB →.∵λ∈(1,2)，∴点B 在线段AM 上．4．如图所示，在△ABC 中，若BC →＝3DC →，则AD →＝( C )A ．23AB →＋13AC →B ．23AB →－13AC →C ．13AB →＋23AC →D ．13AB →－23AC → 解析：AD →＝CD →－CA →＝13CB →－CA →＝13(AB →－AC →)＋AC →＝13AB →＋23AC →，故选C ．5．(2017·甘肃兰州模拟)已知D 为△ABC 的边AB 的中点，M 在边DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( C )A ．15 B ．25 C ．35 D ．45解析：由5AM →＝AB →＋3AC →得2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →，则2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5，故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.6．(2017·云南大理模拟)已知O 是△ABC 所在平面外一点且满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ为实数，则动点P 的轨迹必须经过△ABC 的( B ) A ．重心 B ．内心C ．外心D ．垂心解析：如图，设AB→|AB →|＝AF →，AC →|AC →|＝AE →，已知AF →，AE →均为单位向量．故□AEDF 为菱形，所以AD 平分∠BAC ， 由OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|得AP →＝λAD →，又AP →与AD →有公共点A ，故A ，D ，P 三点共线，所以P 点在∠BAC 的平分线上，故P 的轨迹经过△ABC 的内心． 二、填空题7．(2017·吉林长春模拟)已知m ，n 满足|m|＝2，|n|＝3，|m －n|＝17，则|m ＋n|＝3.解析：由平行四边形的对角线与边的关系及|m －n|与|m ＋n|为以m ，n 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，得|m －n|2＋|m ＋n|2＝2|m|2＋2|n|2＝26，又|m －n|＝17，故|m ＋n|2＝26－17＝9，故|m ＋n|＝3.8．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝3.解析：由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则AM →＝23AD →，因为AD 为中线，则AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，所以m ＝3.9．设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为－1.解析：∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λBD →，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1.三、解答题10．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，CD →＝13CA →＋λCB →，求实数λ的值．解析：如图，D 是AB 边上一点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，过点D 作DF ∥AC ，交BC 于点F ，连接CD ，则CD →＝CE →＋CF →.因为CD →＝13CA →＋λCB →，所以CE →＝13CA →，CF →＝λCB →.由△ADE ∽△ABC ，得DE BC ＝AE AC ＝23，所以ED →＝CF →＝23CB →，故λ＝23.11．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →，求实数m 的值．解析：由N 是OD 的中点得AN →＝12AD →＋12AO →＝12AD →＋14(AD →＋AB →)＝34AD →＋14AB →，又因为A ，N ，E 三点共线，故AE →＝λAN →，即mAB →＋AD →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫34AD →＋14AB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14λ，1＝34λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，λ＝43，故实数m ＝13.12．如图，△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝m a ，CQ →＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，求1m ＋1n的值．解析：由GA →＋GB →＋GC →＝0，知G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D ，则CH →＝12CG →＝13CD →＝16(CA→＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n ＝6.。
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4-4.2
第十五页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
(2)把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 3－ 22t2＋ 22t2＝5，即 t2－3 2t＋4＝0. 由于 Δ＝(3 2)2－4×4＝2>0，故可设 t1、t2 是上述方程的两 实数根， 所以 t1＋t2＝3 2，t1·t2＝4. 又直线 l 过点 P(3， 5)，A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2， 所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3 2.
第一页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
第二页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
[知识重温] 一、必记 4●个知识点 1．参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上①__任__意__一__点____
的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数：xy＝＝fgtt，. 并且对于 t 的每 一 个 允 许 值 ， 由 方 程 组 所 确 定 的 点 M(x ， y) 都 在 ② __这__条__曲__线__上____，那么方程叫做这条曲线的参数方程，t 叫做参 变数，简称③_参__数___.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标 间关系的方程叫做④_普__通__方__程___.
第十二页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
2．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：xy＝＝tt，－a (t 为参 数)过椭圆 C：xy＝＝32csionsφφ， (φ 为参数)的右顶点，求常数 a 的值．
解析：直线 l 的普通方程为 x－y－a＝0， 椭圆 C 的普通方程为x92＋y42＝1， ∴椭圆 C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线 l 过(3,0)， 则 3－a＝0，∴a＝3. 答案：3
第十三页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.1 精品
(3)几个特殊向量
名称
特点
零向量
单位向量
相等向量
相反向量
平行向量
长度(模)
0 _1_ 相等 _相__等__
方向
_任__意__
任意 _相__同__ _相__反__ _相__同__或__相__反__
2.向量的加法、减法与数乘 定义 法则(或几何意义)
运算律
求两个向 加法 量和的运
算
(1)交换律: _三__角__形__法则 a+b=_b_+_a_
2.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形,确定每一个点的位置. (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化,转化 为要求的向量形式. (3)比较,观察可知所求.
【变式训练】(2016·济南模拟)已知D为三角形ABC的 边BC的中点,点P满足 PA BP CP 0，AP PD, 则实数 λ的值为 .
第四章 平面向量、数系的扩充与复数 的引入
第一节 平面向量的概念及其线性运算
【知识梳理】 1.向量的有关概念 (1)向量的定义:既有_大__小__,又有_方__向__的量叫向量,常 用a或 AB表示. (2)向量的模:向量的大小,即表示向量的有向线段的 _长__度__叫做向量的模,记作|a|或| AB |.
感悟考题 试一试
3.(2016·潍坊模拟)设P是△ABC所在平面内的一点,
BC BA 2BP，则 ( )
A.PA PB 0 C.PB PC 0
B.PC PA 0 D.PA PB PC 0
【解析】选B.如图,根据向量加法的几何 意义, BC BA 2BP ⇔P是AC的中点,故
【解析】因为 PA BP 所CP以 0， 所以 PA 2所PD以， AP 2PD， 因为 AP 所PD以，λ=-2. 答案:-2
2018届高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.3.2 平面向量的应用课件 理
第三节 平面向量的数量积与平面向量的应用举例
第二课时 平面向量的应用
微考点 大课堂 微考场 新提升
微考点 大课堂
考点例析 对点微练
考一点【典例平1】面已向知量向量在a，函b 满数足|a、|＝2不，|b等|＝1式，且中对一的切实应数用x，|a
＋xb|≥|a＋b|恒成立，则 a，b 的夹角的大小为________。
(2)因为 A，B，C 三点共线，所以(a－1)×(－2)＝1×b，所以 2a＋b ＝2。因为 a>0，b>0，所以1a＋2b＝2a＋ 2 b ·1a＋2b＝2＋2ba＋2ba≥2＋2
2ba·2ba＝4(当且仅当2ba＝2ba，即 a＝12，b＝1 时取等号)。故选 B。 【答案】 (1)C (2)B
A．周期为 4 的奇函数 B．周期为 4 的偶函数 C．周期为 2π 的奇函数 D．周期为 2π 的偶函数
【解析】 由题图可得A2πω， 43ωπ22－3＝0，又ω>0，∴ω＝π2，
3
，B
23ωπ ，－
3
，由
O→A
·O→B
＝0得
∴f(x)＝ 3sinπ2x，
∴f(x＋1)＝ 3sinπ2(x＋1)＝ 3cos2πx，它是周期为4的偶函数。故选 B。
根据平行四边形法则，知A→B＋A→C是△ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中点)
所对应向量A→D的 2 倍，所以点 P 的轨迹必过△ABC 的重心。故选 C。
【答案】 C
【母题变式】 在本典例中，若动点 P 满足O→P＝O→A＋λ|AA→ →BB|＋|AA→ →CC|， λ∈(0，＋∞)，则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________。
高考数学专题平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算平行四边形法则3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点； 2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． [试一试]1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不相等的模 B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量答案：C2．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB＋CD |＝________.解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD|＝2. 答案：21．向量的中线公式若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP OP ＝12(OA ＋OB)． 2．三点共线等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB(λ≠0)⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP ＝x OA ＋y OB(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．[练一练]1．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD等于( )A ．－BC ＋12BAB ．－BC －12BAC ．BC －12BAD ．BC ＋12BA答案：A2．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]， 所以⎩⎨⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－131.给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．④⑤解析：选A ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB |＝|DC |且AB ∥DC， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ∥DC 且|AB |＝|DC |，因此，AB ＝DC. ③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[类题通法]平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．(3)a |a |是与a 同向的单位向量，a －|a |是与a 反向的单位向量．[典例] (1)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA＋CD ＋EF＝( )A ．0B ． BEC ．ADD ． CF(2)(2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[解析] (1)如图，∵在正六边形ABCDEF 中，CD ＝AF，BF ＝CE，∴BA ＋CD ＋EF ＝BA ＋AF ＋EF ＝BF ＋EF ＝CE＋EF ＝CF.(2)由题意DE ＝CE ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB＋23AC ，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12. [答案] (1)D (2)12解析：∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ，∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD .又∵AD＝2CE ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋13AB ＝CA ＋CB ＋13(CB －CA ) ＝23CA＋43CB .∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23. 答案：23 [类题通法]在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[针对训练]若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB ＋CD ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC＋AD ； ③AC －BD ＝DC ＋AB.其中正确的有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C ①式的等价式是AB －BC ＝DA －CD ，左边＝AB ＋CB，右边＝DA ＋DC ，不一定相等；②式的等价式是AC －BC ＝AD －BD ，AC＋CB＝AD ＋CE ＝AB 成立；③式的等价式是AC －DC ＝AB ＋BD ，AD ＝AD成立．[典例] 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解] (1)证明：∵AB＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB. ∴AB ，BD共线， 又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0， ∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.[类题通法]1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值． (2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB＝λAC ，则A 、B 、C 三点共线． [针对训练]已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ， OC ＝c ， OD ＝d ， OE＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB|3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1．若a 、b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[试一试]1．若向量BA＝(2,3)，CA ＝(4,7)，则BC ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10)D ．(－6，－10)答案：A2．(2013·石家庄模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________．解析：∵u ＝(1＋2x,4)，v ＝(2－x,3)，u ∥v ，∴8－4x ＝3＋6x ，∴x ＝12.答案：12用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用． [练一练]设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )·e 2. 由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －131.(2014·昆明一中摸底)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)解析：选A MN ＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N (x ，y )，则MN＝(x －5，y －(－6))＝(－3,6)，所以⎩⎨⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0，选A.2．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解析：设i ，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.答案：43．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB＝a ，BC ＝b ，CA ＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )， ∴⎩⎨⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－1. [类题通法]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．[典例] 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ， DF ，CD.[解] EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ， CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b . [类题通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[针对训练](2014·济南调研)如图，在△ABC 中，AN ＝13NC，P 是BN上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．解析：因为AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋k BN ＝AB＋k (AN －AB )＝AB ＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 AC－AB＝(1－k )AB ＋k 4AC，且AP ＝m AB ＋211AC， 所以1－k ＝m ，k 4＝211， 解得k ＝811，m ＝311. 答案：311[典例] 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；[解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)， 所以⎩⎨⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.解：设由题意得⎩⎨⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝5， 得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎨⎧x ＝5，y ＝3. ∴d ＝(3，－1)或(5,3)． [类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．[针对训练]已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC ＝2AB，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AC.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)． ∴⎩⎨⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－3. ∴点C 的坐标为(5，－3)．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．平面向量的数量积 平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b .即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.2．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a .(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a·(λb ). (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)1．若a ，b ，c 是实数，则ab ＝ac ⇒b ＝c (a ≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a ，b ，c ，若满足a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定有b ＝c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．2．数量积运算不适合结合律，即(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等．[试一试]1．(2013·广州调研)已知向量a ，b 都是单位向量，且a ·b ＝12，则|2a －b |的值为________．解析：|2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－2＋1＝ 3. 答案： 32．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：AB ＝OB －OA ＝(3,2－t )，由题意知OB ·AB＝0，所以2×3＋2(2－t )＝0，t ＝5.答案：51．明确两个结论：(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．[练一练]1．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( )A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选B (a －2b )·a ＝|a |2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，所以|a |2＝|b |2，即|a |＝|b |，故|a |2－2a ·b ＝|a |2－2|a |2cos a ，b ＝0，可得cos a ，b ＝12，又因为0≤ a ，b ≤π，所以 a ，b ＝π3.2．(2013·福建高考)在四边形ABCD 中，AC ＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5B ．2 5C ．5D ．10解析：选C 依题意得，AC ·BD＝1×(－4)＋2×2＝0， ∴AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 的面积为12|AC|·|BD |＝12×5×20＝5.1.(2014·11＝(x 2，y 2)，若|＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( ) A.23 B ．－23 C.56D ．－56解析：选B 由已知得，向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0,0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23.2．(2014·温州适应性测试)在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ·AC＝－1，则|BC |的最小值是( )A. 2 B ．2C. 6D ．6 解析：选C ∵AB ·AC ＝－1，∴|AB |·|AC |cos 120°＝－1，即|AB |·|AC|＝2，∴|BC |2＝|AC －AB |2＝AC 2－2AB ·AC ＋AB 2≥2|AB |·|AC |－2AB ·AC ＝6，∴|BC|min ＝ 6.3．(2013·南昌模拟)已知向量e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4，sin π6，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π4，4cos π3，则e 1·e 2＝________.解析：由向量数量积公式得e 1·e 2＝cos π4×2sin π4＋sin π6×4cos π3＝22×2＋12×2＝2.答案：24．(2013·全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD＝________.解析：因为AE ＝AD ＋12AB ，BD ＝AD －AB ，所以AE ·BD ＝(AD ＋12AB )·(AD －AB )＝AD 2－12AD ·AB －12AB 2＝2. 答案：2 [类题通法]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos a ，b ．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．平面向量数量积的性质是高考的重点．归纳起来常见的命题角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直．角度一 平面向量的模1．(2013·天津高考)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60° , E 为CD的中点．若AC ·BE＝1 , 则AB 的长为________． 解析：由已知得AC ＝AD ＋AB ，BE ＝AD －12AB，∴AC ·BE ＝AD 2－12AB ·AD ＋AB ·AD －12AB 2＝1＋12AB·AD －12|AB |2＝1＋12|AB |·|AD |cos 60°－12|AB|2＝1，∴|AB |＝12.答案：12角度二 平面向量的夹角2．(1)已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与a ＋b 的夹角为( )A.π2 B.π3 C.π6D ．π解析：选B ∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3，∴4＋4a ·b ＋3＝7，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b .如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA .∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝|b ||a |＝3，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3. (2)(2014·云南第一次检测)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( )A.126 B ．－126 C.112D ．－112解析：选B 记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ，又(2a －b )2＝4×22＋32－4×2×3×cos π3＝13，(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π3＝52，(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1，故cos θ＝(2a －b )·(a ＋2b )|2a －b |·|a ＋2b |＝－126，即向量2a－b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－126，因此选B.角度三 平面向量的垂直3．(1)(2013·荆州高中毕业班质量检查Ⅰ)已知向量a 与b 的夹角是2π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.解析：若a ⊥(2a ＋λb )，则a ·(2a ＋λb )＝0，即2|a |2＋λ·|a ||b |·cos 2π3＝0，∴2＋λ×1×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.∴λ＝1.答案：1(2)在直角三角形ABC 中，已知AB＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________． 解析：①当A ＝90°时，∵AB ⊥AC ，∴AB ·AC＝0.∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－23.②当B ＝90°时，∵AB ⊥BC， 又BC ＝AC －AB＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，∴AB ·BC＝2×(－1)＋3×(k －3)＝0， 解得k ＝113.③当C ＝90°时， ∵AC ⊥BC，∴1×(－1)＋k (k －3)＝0，即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.答案：－23或113或3±132. [类题通法]1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (2)|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.[典例)，b ＝(cos β，，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． [解] (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)， 所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1.由此得，cos α＝cos (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π. 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6. [类题通法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[针对训练]已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |，知sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22.又由0<θ<π，知π4<2θ＋π4<9π4， 所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4. 因此θ＝π2或θ＝3π4.第四节数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件． 3．z 2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z ＝3i 时z 2＝－9<0.[试一试]1．(2014·惠州调研)i 是虚数单位，若z (i ＋1)＝i ，则|z |等于( ) A ．1 B.32 C.22D.12解析：选C 由题意知z ＝i i ＋1＝i (1－i )(i ＋1)(1－i )＝1＋i 2，|z |＝22，故选C. 2．(2013·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，a ，b ∈R ，所以⎩⎨⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i. 答案：1＋2i1．把握复数的运算技巧(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．2．掌握复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i＝－i ； (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *. [练一练](2013·安徽联考)已知i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C ∵⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 22＝2i2＝i ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 0121＋i 2＝i 1 006·1＋i 2＝i 2·1＋i 2＝－22－22i.∴其对应点位于第三象限，故选C.1.(2014·湖北八校联考)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由纯虚数的定义知：⎩⎨⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，⇒x ＝1，选C.2．(2014·安徽“江南十校”联考)若a ＋b i ＝51＋2i(i 是虚数单位，a ，b ∈R )，则ab ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A a ＋b i ＝51＋2i ＝1－2i ，所以a ＝1，b ＝－2，ab ＝－2.3．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选D 复数a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝(a －3)－i 为纯虚数，则a －3＝0，即a ＝3.4．(2013·洛阳统考)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z －|＝( )A.10 B ．2 C. 2D ．1解析：选A 依题意得(1－z )·z －＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，|(1－z )·z －|＝|－3＋i|＝(－3)2＋12＝10.选A.[类题通法]解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋bi (a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．[典例] (1)(2013·四川高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D(2)(2014·郑州质量预测)复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1z 2的共轭复数在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a <0，b >0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a <0，－b <0，故应为B 点．(2)依题意得，z ＝3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋4i 2＝1＋2i ，因此复数z ＝z 1z 2的共轭复数1－2i 在复平面内的对应点的坐标是(1，－2)，该点位于第四象限，选D.[答案] (1)B (2)D [类题通法]对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔ OZ(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[针对训练]1．(2013·湖北八校联考)已知i 是虚数单位，z ＝1＋i ，z －为z 的共轭复数，则复数z 2z－在复平面上对应的点的坐标为________．解析：z ＝1＋i ，则z 2z －＝(1＋i )21－i ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则复数z 2z－在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)2．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ＝λOA ＋μOB，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：由条件得OC ＝(3，－4)，OA＝(－1,2)， OB＝(1，－1)，根据OC ＝λOA ＋μOB 得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)， ∴⎩⎨⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎨⎧λ＝－1，μ＝2. ∴λ＋μ＝1. 答案：1[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)(2013·长春调研)已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，z －z ＝－35＋45i ，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．±2D ．－12[解析] (1)z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i5＝3＋5i. (2)由题意可知：1－a i 1＋a i ＝(1－a i )2(1＋a i )(1－a i )＝1－2a i －a 21＋a 2＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i ，因此1－a 21＋a 2＝－35，化简得5a 2－5＝3a 2＋3，a 2＝4，则a ＝±2，由－2a 1＋a 2＝45可知a <0，仅有a ＝－2满足，故选B.[答案] (1)A (2)B解：∵z ＝3＋5i ，∴z －＝3－5i∴(1＋z )·z －＝(4＋5i)(3－5i)＝12－20i ＋15i ＋25＝37－5i. [类题通法]复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．[针对训练]1．(2013·山东高考)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A ．2＋iB ．2－iC．5＋i D．5－i解析：选D由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋52－i＝3＋5(2＋i)(2－i)(2＋i)＝3＋2＋i＝5＋i，所以z＝5－i.2．设复数z的共轭复数为z，若z＝1－i(i为虚数单位)，则zz＋z2的值为()A．－3i B．－2i C．i D．－i解析：选D依题意得zz＋z2＝1＋i1－i＋(1－i)2＝－i2＋i1－i－2i＝i－2i＝－i.。
2018高考一轮数学(课件)第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
15,4 分(文) 15,4 分(理)
7,5 分(理) 7,5 分(文)
2,5 分(理) 1,5 分(理) 2,5 分(理)
11,4 分(文) 2,5 分(文) 2,5 分(文)
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高三一轮总复习
[重点关注] 从近五年浙江高考试题来看，平面向量与复数是每年的必考内容．主要考 查平面向量的线性运算，平面向量共线与垂直的充要条件，平面向量的数量积 及其应用复数的有关概念及复数代数形式的四则运算，多以客观题的形式出现， 难度以容易题为主．
13,4 分(文)
7,5 分(理)
上一点 三十二分。
高三一轮总复习
平面向量的 数量积 向量的综合 应用 复数的概念 及运算
15,4 分(理)
8,5 分(理)
5,5 分(理)
13,4 分(文)
17,4 分(理)
15,4 分(文)
9,5 分(文)
15,4 分(理)
高三一轮总复习
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
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高三一轮总复习
[五年考情]
考点
2016 年
平面向量的
线性运算
平面向量的
基本定理及
坐标表示
2015 年
2014 年 2013 年 2012 年 5,5 分(理)
8,5 分(理) 17,4 分(理) 15,4 分(理)
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2018届高三数学(文)教师用书：第四章-平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四章⎪⎪⎪平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念三角形平行四三向量a(a≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa． [小题体验]1．下列四个命题中，正确的命题是( ) A ．若a ∥b ，则a ＝b B ．若|a|＝|b|，则a ＝b C ．若|a|＝|b|，则a ∥b D ．若a ＝b ，则|a|＝|b|答案：D2．(教材习题改编)化简：(1)( AB ―→＋MB ―→)＋BO ―→＋OM ―→＝________． (2) NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝________． 答案：(1)AB ―→(2)03．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a)共线，则λ＝________． 答案：－131．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误． 2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．[小题纠偏]1．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝________． 解析：|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝|AB ―→＋BC ―→＋CD ―→|＝|AD ―→|＝2． 答案：22．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b|＝|a|＋|b|，则p 是q 的________条件． 解析：若a ＝b ，则|a ＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p ⇒q ． 若|a ＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a 与b 同向共线， 即a ＝λb，且λ>0，故q ⇒/ p ． ∴p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要考点一 平面向量的有关概念 基础送分型考点——自主练透 [题组练透]1．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a|²a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a|a 0；③若a 与a 0平行且|a|＝1，则a ＝a 0．假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a|a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3．2．(易错题)给出下列命题： ①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ． 其中正确命题的序号是________．解析：①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ．②正确．∵AB ―→＝DC ―→，∴|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，因此，AB ―→＝DC ―→．③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a ＝b ，故|a|＝|b|且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①②． 答案：①② [谨记通法]向量有关概念的5个关键点 (1)向量：方向、长度．(2)非零共线向量：方向相同或相反． (3)单位向量：长度是一个单位长度． (4)零向量：方向没有限制，长度是0．(5)相等相量：方向相同且长度相等．如“题组练透”第2题易混淆有关概念． 考点二 向量的线性运算 基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2017²武汉调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→等于( )A ．OM ―→B ．2OM ―→C ．3OM ―→D ．4OM ―→解析：选D 因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OM ―→，OB ―→＋OD ―→＝2OM ―→，所以OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→＝4OM ―→．2．(2017²唐山统考)在等腰梯形ABCD 中，AB ―→＝－2CD ―→，M 为BC 的中点，则AM ―→＝( ) A ．12AB ―→＋12AD ―→ B ．34AB ―→＋12AD ―→C ．34AB ―→＋14AD ―→ D ．12AB ―→＋34AD ―→ 解析：选B 因为AB ―→＝－2CD ―→，所以AB ―→＝2DC ―→．又M 是BC 的中点，所以AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋AD ―→＋12 AB ―→ ＝34AB ―→＋12AD ―→．3．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE ―→＝λ1AB ―→＋λ2AC ―→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE ―→＝DB ―→＋BE ―→＝12AB ―→＋23BC ―→＝12AB ―→＋23(BA ―→＋AC ―→)＝－16AB ―→＋23AC ―→，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12．答案：12[谨记通法]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．考点三 共线向量定理的应用 重点保分型考点——师生共研[典例引领]设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b)， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 同向．解：(1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ， ∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b)＝5AB ―→． ∴AB ―→，BD ―→共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵ka ＋b 与a ＋kb 同向，∴存在实数λ(λ>0)，使ka ＋b ＝λ(a＋kb)， 即ka ＋b ＝λa＋λkb．∴(k －λ)a＝(λk－1)b ． ∵a ，b 是不共线的两个非零向量，⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1，又∵λ>0，∴k ＝1． [由题悟法]共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB ―→＝λAC ―→，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[即时应用]如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ―→＝23AD ―→，AB ―→＝a ，AC ―→＝b ．(1)用a ，b 表示向量AD ―→，AE ―→，AF ―→，BE ―→，BF ―→； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解：(1)延长AD 到G ，使AD ―→＝12AG ―→，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ， 所以AG ―→＝a ＋b ， AD ―→＝12AG ―→＝12(a ＋b)，AE ―→＝23AD ―→＝13(a ＋b)，AF ―→＝12AC ―→＝12b ，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝13(a ＋b)－a ＝13(b －2a)，BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12b －a ＝12(b －2a)．(2)证明：由(1)可知BE ―→＝23BF ―→，又因为BE ―→，BF ―→有公共点B ， 所以B ，E ，F 三点共线．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若AB ―→＋AD ―→＝λAO ―→，则λ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．6解析：选B 根据向量加法的运算法则可知，AB ―→＋AD ―→＝AC ―→＝2AO ―→，故λ＝2． 2．在△ABC 中，AD ―→＝2DC ―→，BA ―→＝a ，BD ―→＝b ，BC ―→＝c ，则下列等式成立的是( ) A ．c ＝2b －a B ．c ＝2a －b C ．c ＝32a －12bD ．c ＝32b －12a解析：选D 依题意得BD ―→－BA ―→＝2(BC ―→－BD ―→)， 即BC ―→＝32BD ―→－12BA ―→＝32b －12a ．3．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形D ．以上都不对解析：选C 由已知，得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2(－4a －b)＝2BC ―→，故AD ―→∥BC ―→．又因为AB ―→与CD ―→不平行，所以四边形ABCD 是梯形．4．(2017²扬州模拟)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ―→＝12NC ―→，P 是BN 上一点，若AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→，则实数m 的值是________．解析：如图，因为AN ―→＝12NC ―→，P 是BN ―→上一点．所以AN ―→＝13AC ―→，AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→＝m AB ―→＋23AN ―→，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13．答案：135．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则DC ―→＝________，BC ―→＝________．(用a ，b 表示)解析：如图，DC ―→＝AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝b －a ，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝－OA ―→－OB ―→＝－a －b ．答案：b －a －a －b二保高考，全练题型做到高考达标1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ―→＝a ，AD ―→＝b,则BE ―→等于( )A ．12b －a B ．12a －b C ．－12a ＋bD ．12b ＋a 解析：选C BE ―→＝BA ―→＋AD ―→＋12DC ―→＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故选C ．2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝kd(k ＜0)，于是λa＋b ＝k []a ＋ 2λ－1 b ． 整理得λa＋b ＝ka ＋(2λk－k)b ．由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk－k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12．又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12．3．下列四个结论：①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝0；③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝0；④NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝0，其中一定正确的结论个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝AC ―→＋CA ―→＝0，①正确；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝AB ―→＋MO ―→＋OM ―→＝AB ―→，②错；③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DC ―→＝CB ―→＋BC ―→＝0，③正确；④NQ ―→＋QP―→＋MN ―→－MP ―→＝NP ―→＋PN ―→＝0，④正确．故①③④正确．4．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC ―→＝2BD ―→，CE ―→＝2EA ―→，AF ―→＝2FB ―→，则AD ―→＋BE ―→＋CF ―→与BC ―→( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A 由题意得AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋13BC ―→，BE ―→＝BA ―→＋AE ―→＝BA ―→＋13AC ―→，CF ―→＝CB ―→＋BF ―→＝CB ―→＋13BA ―→，因此AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝CB ―→＋13(BC ―→＋AC ―→－AB ―→)＝CB ―→＋23BC ―→＝－13BC ―→，故AD ―→＋BE ―→＋CF ―→与BC ―→反向平行．5．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA ―→＋OB ―→＋2OC ―→＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B ∵D 为AB 的中点，则OD ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，又OA ―→＋OB ―→＋2OC ―→＝0，∴OD ―→＝－OC ―→，∴O 为CD 的中点， 又∵D 为AB 中点， ∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4． 6．在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，M 为BC 的中点，则MN ―→＝________(用a ，b 表示)． 解析：由AN ―→＝3NC ―→，得AN ―→＝34AC ―→＝34(a ＋b)，AM ―→＝a ＋12b ，所以MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝34(a ＋b)－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b ． 答案：－14a ＋14b7．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC ―→2＝16，|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|，则|AM ―→|＝________．解析：由|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|可知，AB ―→⊥AC ―→， 则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线， 因此，|AM ―→|＝12|BC ―→|＝2．答案：28．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，给出下列命题：①AD ―→＝12a －b ；②BE ―→＝a ＋12b ；③CF ―→＝－12a ＋12b ；④AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝0． 其中正确命题的个数为________．解析：BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，AD ―→＝12CB ―→＋AC ―→＝－12a －b ，故①错；BE ―→＝BC ―→＋12CA ―→＝a ＋12b ，故②正确；CF ―→＝12(CB ―→＋CA ―→)＝12(－a ＋b)＝－12a ＋12b ，故③正确；AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，故④正确．∴正确命题为②③④． 答案：39．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，试用a ，b 表示AD ―→，AG ―→．解：AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12a ＋12b ．AG ―→＝AB ―→＋BG ―→＝AB ―→＋23BE ―→＝AB ―→＋13(BA ―→＋BC ―→)＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→) ＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b ． 10．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝2e 1－e 2． (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB ―→＝2e 1－8e 2， ∴AB ―→＝2BD ―→．又∵AB ―→与BD ―→有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4e 2，∵BF ―→＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF ―→＝λBD ―→(λ∈R)， 即3e 1－ke 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ―→＝2DC ―→． ∵点E 在线段CD 上， ∴DE ―→＝λDC ―→(0≤λ≤1)． ∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→，又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλDE ―→，∴2μλ＝1，即μ＝λ2．∵0≤λ≤1， ∴0≤μ≤12．即μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 2．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1． 证明：(1)若m ＋n ＝1， 则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m)OB ―→ ＝OB ―→＋m(OA ―→－OB ―→)， ∴OP ―→－OB ―→＝m(OA ―→－OB ―→)， 即BP ―→＝m BA ―→，∴BP ―→与BA ―→共线． 又∵BP ―→与BA ―→有公共点B ， ∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线， 则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→， ∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)． 又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→．故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→， 即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0． ∵O ，A ，B 不共线，∴OA ―→，OB ―→不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1．第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa＝(λx 1，λy 1)，|a|＝x 21＋y 21． (2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2． 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．[小题体验]1．已知a ＝(4,2)，b ＝(－6，m)，若a ∥b ，则m 的值为______． 答案：－32．(教材习题改编)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则3a ＋4b ＝________． 答案：(－6,19)3．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b ．解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b ． 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m(e 1＋2e 2)＋n(－e 1＋e 2)＝(m －n)e 1＋(2m ＋n)e 2．由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －131．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0．[小题纠偏]1．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________． 答案：02．(2015²江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n)＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3．答案：－3考点一 平面向量基本定理及其应用 基础送分型考点——自主练透[题组练透]若AB ―→＝a ，1．如图，在三角形ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，AC ―→＝b ，则AO ―→＝( )A ．12a ＋12b B ．12a ＋13b C ．14a ＋12b D ．12a ＋14b 解析：选D ∵在三角形ABC 中， BE 是AC 边上的中线， ∴AE ―→＝12AC ―→．∵O 是BE 边的中点，∴AO ―→＝12(AB ―→＋AE ―→)＝12AB ―→＋14AC ―→＝12a ＋14b ．2．(易错题)如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作▱OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→．解：∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝a －b ， BM ―→＝16BA ―→＝16a －16b ，∴OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝16a ＋56b ．∵OD ―→＝a ＋b ， ∴ON ―→＝OC ―→＋13CD ―→＝12OD ―→＋16OD ―→ ＝23OD ―→＝23a ＋23b ， ∴MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b ．综上，OM ―→＝16a ＋56b ，ON ―→＝23a ＋23b ，MN ―→＝12a －16b ．[谨记通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理，如“题组练透”第2题．考点二 平面向量的坐标运算 基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)解析：选A 由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b ＝12(－6,8)＝(－3,4)，故选A ．2．已知点M(5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ―→＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(－3,6) C ．(6,2)D ．(－2,0)解析：选A MN ―→＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 设N(x ，y)，则MN ―→＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.3．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ， ∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)． [谨记通法]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 考点三 平面向量共线的坐标表示 重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋mb ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解：(1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴ka －b ＝k(1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵ka －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)³5＝0， ∴k ＝－12．(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC ―→＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m ＋1，m)． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0， ∴m ＝32．[由题悟法] 向量共线的充要条件 (1)a ∥b ⇔a ＝λb(b≠0)；(2)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))．当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便．[即时应用]1．已知向量OA ―→＝(k,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( ) A ．－23 B ．43 C ．12 D ．13解析：选A AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(4－k ，－7)， AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→，AC ―→共线， ∴－2³(4－k)＝－7³(－2k)， 解得k ＝－23．2．(2017²贵阳监测)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n)∥(m －n)，则λ＝________． 解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，又(m ＋n)∥(m －n)，所以(2λ＋3)³(－1)＝3³(－1)，解得λ＝0．答案：0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，若AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BD ―→＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析：选B 由题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝BC ―→－AB ―→＝(AC ―→－AB ―→)－AB ―→＝AC ―→－2AB ―→＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．2．已知A(－1，－1)，B(m ，m ＋2)，C(2,5)三点共线，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A AB ―→＝(m ，m ＋2)－(－1，－1)＝(m ＋1，m ＋3)， AC ―→＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥AC ―→， ∴3(m ＋3)－6(m ＋1)＝0， ∴m ＝1．故选A ．3．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，且BP ―→＝2PA ―→，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：选A 由题意知OP ―→＝OB ―→＋BP ―→，又BP ―→＝2PA ―→，所以OP ―→＝OB ―→＋23BA ―→＝OB ―→＋23(OA ―→－OB ―→)＝23OA ―→＋13OB ―→，所以x ＝23，y ＝13． 4．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝________．解析：因为a ∥b ，所以(1－sin θ)³(1＋sin θ)－1³12＝0，得cos 2θ＝12，所以cos θ＝±22，又∵θ为锐角，∴θ＝π4．答案：π45．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ―→＝2PC ―→，点Q 是AC 的中点，若 PA ―→＝(4,3)，PQ ―→＝(1,5)，则BC ―→＝________．解析：AQ ―→―→＝PQ ―→－PA ―→＝(－3,2)， ∴AC ―→＝2AQ ―→＝(－6,4)． PC ―→＝PA ―→＋AC ―→＝(－2,7)， ∴BC ―→＝3PC ―→＝(－6,21)． 答案：(－6,21)二保高考，全练题型做到高考达标1．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y)，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0)D ．(－7,0)解析：选A 由题意可得3a －2b ＋c ＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．2．已知向量a ，b 不共线，c ＝ka ＋b(k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D 由题意可得c 与d 共线，则存在实数λ，使得c ＝λd，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－λ，解得k ＝－1．c＝－a ＋b ＝－(a －b)＝－d ，故c 与d 反向．3．在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b)∥c ，则x ＝( )A ．－2B ．－4C ．－3D ．－1解析：选D ∵a －12b ＝(3,1)，∴a －(3,1)＝12b ，则b ＝(－4,2)．∴2a ＋b ＝(－2,6)．又(2a ＋b)∥c ，∴－6＝6x ，x ＝－1．故选D ．4．已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→(λ∈R)，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ的值为( )A ．23B ．－23C ．32D ．－32解析：选B 设P(x ，y)，则由AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→，得(x －2，y －3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，∴x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5．又点P 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－23．故选B ．5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A ．14a ＋12bB ．12a ＋14bC ．23a ＋13b D ．13a ＋23b 解析：选C 如图，∵AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，∴AD ―→＝AO ―→＋OD ―→＝12AC ―→＋12BD ―→＝12a ＋12b ．∵E 是OD 的中点， ∴|DE||EB|＝13， ∴|DF|＝13|AB|．∴DF ―→＝13AB ―→＝13(OB ―→－OA ―→)＝13³⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12BD ―→－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AC ―→ ＝16AC ―→－16BD ―→＝16a －16b ，∴AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝12a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋13b ，故选C ．6．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2,1)，c ＝(3,2)．若向量c 与向量ka ＋b 共线，则实数k ＝________． 解析：ka ＋b ＝k(1,3)＋(－2,1)＝(k －2,3k ＋1)，因为向量c 与向量ka ＋b 共线，所以2(k －2)－3(3k ＋1)＝0，解得k ＝－1．答案：－17．已知向量OA ―→＝(1，－3)，OB ―→＝(2，－1)，OC ―→＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB ―→，AC ―→不共线． ∵AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1³(k＋1)－2k≠0，解得k≠1． 答案：k≠18．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________．解析：以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，∴a ＝AO ―→＝(－1,1)，b ＝OB ―→＝(6,2)，c ＝BC ―→＝(－1，－3)． ∵c ＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)， 即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3， 解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝4．答案：49．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (2)若(a ＋kc)∥(2b －a)，求实数k ． 解：(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k)，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2³(3＋4k)－(－5)³(2＋k)＝0，解得k ＝－1613．10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ―→＝a ，BC―→＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ―→，DF ―→，CD ―→．解：EF ―→＝EA ―→＋AB ―→＋BF ―→＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ―→＝DE ―→＋EF ―→＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ，CD ―→＝CF ―→＋FD ―→＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b ．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q三点共线．设OP ―→＝x OA ―→，OQ ―→＝y OB ―→，则1x ＋1y＝________．解析：∵点P ，G ，Q 在一条直线上，∴PG ―→＝λPQ ―→． ∴OG ―→＝OP ―→＋PG ―→＝OP ―→＋λPQ ―→＝OP ―→＋λ(OQ ―→－OP ―→) ＝(1－λ)OP ―→＋λOQ ―→＝(1－λ)x OA ―→＋λy OB ―→，① 又∵G 是△OAB 的重心， ∴OG ―→＝23OM ―→＝23³12(OA ―→＋OB ―→)＝13OA ―→＋13OB ―→．②而OA ―→，OB ―→不共线，∴由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧1－λ x＝13，λy＝13.解得⎩⎪⎨⎪⎧1x ＝3－3λ，1y ＝3λ.∴1x ＋1y＝3． 答案：32．已知三点A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a>0，b>0．(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值； (2)若A ，B ，C 三点共线，试求a ＋b 的最小值． 解：(1)因为四边形OACB 是平行四边形， 所以OA ―→＝BC ―→，即(a,0)＝(2,2－b)，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.故a ＝2，b ＝2．(2)因为AB ―→＝(－a ，b)，BC ―→＝(2,2－b)， 由A ，B ，C 三点共线，得AB ―→∥BC ―→， 所以－a(2－b)－2b ＝0，即2(a ＋b)＝ab ， 因为a>0，b>0， 所以2(a ＋b)＝ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即(a ＋b)2－8(a ＋b)≥0， 解得a ＋b≥8或a ＋b≤0． 因为a>0，b>0，所以a ＋b≥8，即a ＋b 的最小值是8． 当且仅当a ＝b ＝4时，“＝”成立．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．向量的夹角(1)a²b＝b²a．(2)(λa)²b＝λ(a²b)＝a²(λb)．(3)(a＋b)²c＝a²c＋b²c．4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ．[小题体验]1．已知|a|＝2，|b|＝6，a²b＝－63，则a 与b 的夹角θ为( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6答案：D2．已知|a|＝5，|b|＝4，a 与b 的夹角为120°，则a²b＝_____． 答案：－103．(2016²山东高考)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(ta ＋b)，则实数t 的值为________． 解析：∵a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)， ∴ta ＋b ＝(t ＋6，－t －4)． 又a ⊥(ta ＋b)，则a²(ta＋b)＝0， 即t ＋6＋t ＋4＝0，解得t ＝－5． 答案：－51．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a²b＝a²c(a≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．两个向量的夹角为锐角，则有a²b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a²b<0，反之不成立．3．a²b＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a²b＝0时，有可能a ⊥b ． 4．在用|a|＝a 2求向量的模时，一定要把求出的a 2再进行开方．[小题纠偏] 1．给出下列说法：①向量b 在向量a 方向上的投影是向量；②若a²b>0，则a 和b 的夹角为锐角，若a²b<0，则a 和b 的夹角为钝角； ③(a²b)c＝a(b²c)；④若a²b＝0，则a ＝0或b ＝0． 其中正确的说法有________个． 答案：02．(2016²北京高考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________． 解析：由题意得|a|＝1＋3＝2，|b|＝3＋1＝2， a²b＝1³3＋3³1＝23．设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝232³2＝32．∵θ∈[0，π]，∴θ＝π6．答案：π6考点一 平面向量的数量积的运算 基础送分型考点——自主练透 [题组练透]1．(易错题)设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b)²c＝( ) A ．(－15,12) B ．0 C ．－3D ．－11解析：选C ∵a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)， ∴(a ＋2b)²c＝(－5,6)²(3,2)＝－3．2．已知AB ―→＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量AB ―→在CD ―→方向上的投影为( ) A ．－322B ．－3 5C ．322D ．3 5解析：选C 因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD ―→＝(5,5)，又AB ―→＝(2,1)，所以向量AB ―→在CD ―→方向上的投影为|AB ―→|cos 〈AB ―→，CD ―→〉＝AB ―→²CD ―→|CD ―→|＝1552＝322．3．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b|＝10，则a²b＝________． 解析：因为a ＝(－2，－6)，所以|a|＝ －2 2＋ －6 2＝210， 又|b|＝10，向量a 与b 的夹角为60°，所以a²b＝|a|²|b|²cos 60°＝210³10³12＝10．答案：104．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，D 为BC 的中点，则AB ―→²AD ―→＝________．解析：法一：由题意知，AC ＝BC ＝2，AB ＝22， ∴AB ―→²AD ―→＝AB ―→²(AC ―→＋CD ―→)＝AB ―→²AC ―→＋AB ―→²CD ―→＝|AB ―→|²|AC ―→|cos 45°＋|AB ―→|²|CD ―→|cos 45° ＝22³2³22＋22³1³22＝6． 法二：建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意得A(0,2)，B(－2,0)， D(－1,0)，∴AB ―→＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)， AD ―→＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，∴AB ―→²AD ―→＝－2³(－1)＋(－2)³(－2)＝6． 答案：6 [谨记通法]向量数量积的2种运算方法考点二 平面向量数量积的性质 题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题． 常见的命题角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直． [题点全练]角度一：平面向量的模1．已知e 1，e 2是单位向量，且e 1²e 2＝12．若向量b 满足b²e 1＝b²e 2＝1，则|b|＝________．解析：∵e 1²e 2＝12，∴|e 1||e 2|cos e 1，e 2 ＝12，∴ e 1，e 2 ＝60°．又∵b²e 1＝b²e 2＝1＞0，∴ b ，e 1 ＝ b ，e 2 ＝30°． 由b²e 1＝1，得|b||e 1|cos 30°＝1，∴|b|＝132＝233．答案：233角度二：平面向量的夹角2．(2017²山西四校联考)已知|a|＝1，|b|＝2，且a ⊥(a －b)，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3解析：选B ∵a ⊥(a －b)，∴a²(a－b)＝a 2－a²b＝1－2cos a ，b ＝0，∴cos a ，b ＝22，∴ a ，b ＝π4．3．(2017²江西八校联考)在△ABC 中，AB ―→＝(2，3)，AC ―→＝(1，2)，则△ABC 的面积为________． 解析：由题意得，(|AB ―→|² |AC ―→|)2＝(|AB ―→|²|AC ―→|²cos 〈AB ―→，AC ―→〉)2＋(|AB ―→|²|AC ―→|²sin 〈AB ―→，AC ―→〉)2，即(|AB ―→|²|AC ―→|)2＝(AB ―→²AC ―→)2＋(|AB ―→|²|AC ―→|²sin〈AB ―→，AC ―→〉)2， ∴|AB ―→|²|AC ―→|²sin〈AB ―→，AC ―→〉＝2－3， ∴S △ABC ＝12|AB ―→|²|AC ―→|²sin〈AB ―→，AC ―→〉＝1－32．答案：1－32角度三：平面向量的垂直4．(2016²山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13，若n⊥(t m＋n)，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4C ．94D ．－94解析：选B ∵n⊥(t m＋n)，∴n²(t m＋n)＝0， 即t m²n＋|n|2＝0，∴t|m||n|cos 〈m ，n 〉＋|n|2＝0． 又4|m|＝3|n|，∴t³34|n|2³13＋|n|2＝0，解得t ＝－4．故选B ． [通法在握]平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a²b|a|²|b|，要注意θ∈[0，π]．(2)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a²a＝|a|2或|a|＝a²a． ②|a±b|＝ a±b 2＝a 2±2a²b＋b 2． ③若a ＝(x ，y)，则|a|＝x 2＋y 2．(3)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a²b＝0⇔|a －b|＝|a ＋b|．[演练冲关]1．(2017²合肥质检)已知不共线的两个向量a ，b 满足|a －b|＝2且a ⊥(a －2b)，则|b|＝( ) A ． 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选B 由a ⊥(a －2b)得，a²(a－2b)＝|a|2－2a²b＝0，则|a －b|＝ a－b 2＝|a|2－2a²b＋|b|2＝|b|＝2，故选B ．2．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．解析：a²b＝(3e 1－2e 2)²(3e 1－e 2)＝9＋2－9³1³1³13＝8．∵|a|2＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－12³1³1³13＝9，∴|a|＝3．∵|b|2＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－6³1³1³13＝8，∴|b|＝22，∴cos β＝a²b |a|²|b|＝83³22＝223．答案：2233．已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2．若AP ―→＝λ AB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．解析：BC ―→＝AC ―→－AB ―→，由于AP ―→⊥BC ―→， 所以AP ―→²BC ―→＝0，即(λAB ―→＋AC ―→)²(AC ―→－AB ―→) ＝－λAB ―→2＋AC ―→2＋(λ－1)AB ―→²AC ―→＝－9λ＋4＋(λ－1)³3³2³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝0，解得λ＝712．答案：712考点三 平面向量与三角函数的综合 重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f(x)＝a²b，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x)，b ＝(cos x,1)，x ∈R ． (1)求函数y ＝f(x)的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f(A)＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B)与n ＝(2，sin C)共线，求边长b 和c 的值．解：(1)f(x)＝a²b＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2kπ≤2x＋π3≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k ∈Z)，所以f(x)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π6，kπ＋π3(k ∈Z)． (2)∵f(A)＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1．又π3<2A ＋π3＜7π3， ∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3．∵a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝(b ＋c)2－3bc ＝7．① ∵向量m ＝(3，sin B)与n ＝(2，sin C)共线， 所以2sin B ＝3sin C ．由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②，可得b ＝3，c ＝2． [由题悟法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等．[即时应用](2017²临沂模拟)已知向量m ＝(sin α－2，－cos α)，n ＝(－sin α，cos α)，其中α∈R ． (1)若m ⊥n ，求角α；(2)若|m －n|＝2，求cos 2α的值． 解：(1)若m ⊥n ，则m²n＝0，即为－sin α(sin α－2)－cos 2α＝0，即sin α＝12，可得α＝2kπ＋π6或α＝2kπ＋5π6，k ∈Z ．(2)若|m －n|＝2，即有(m －n)2＝2， 即(2sin α－2)2＋(2cos α)2＝2， 即为4sin 2α＋4－8sin α＋4cos 2α＝2， 即有8－8sin α＝2，可得sin α＝34，即有cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2³916＝－18．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设x ∈R ，向量a ＝(1，x)，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，则a²b＝( ) A ．－6 B ．10 C ． 5D ．10解析：选D ∵a ＝(1，x)，b ＝(2，－4)且a ∥b ，∴－4－2x ＝0，x ＝－2，∴a ＝(1，－2)，a²b＝10，故选D ．2．(2017²河南八市重点高中质检)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且a²(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|等于( )A ． 3B ．2 3C ．3D ．4解析：选D 因为a²(a－b)＝8，所以a²a－a²b＝8，即|a|2－|a||b|cos a ，b ＝8，所以4＋2|b|³12＝8，解得|b|＝4．3．已知|a|＝3，|b|＝2，(a ＋2b)²(a－3b)＝－18，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选B (a ＋2b)²(a－3b)＝－18， ∴a 2－6b 2－a²b＝－18，∵|a|＝3，|b|＝2，∴9－24－a²b＝－18， ∴a ²b＝3，∴cos a ，b ＝a²b |a||b|＝36＝12，∴ a ，b ＝60°．4．已知a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，且(a ＋b)⊥(a －b)，则m 的值是________． 解析：a ＋b ＝(m ＋2，m －4)，a －b ＝(m ，－2－m)， ∵(a ＋b)⊥(a －b)，∴m(m ＋2)－(m －4)(m ＋2)＝0， ∴m ＝－2． 答案：－25．△ABC 中，∠BAC ＝2π3，AB ＝2，AC ＝1，DC ―→＝2BD ―→，则AD ―→²BC ―→＝________．解析：由DC ―→＝2BD ―→，得AD ―→＝13(AC ―→＋2AB ―→)．∴AD ―→²BC ―→＝13(AC ―→＋2AB ―→)²(AC ―→－AB ―→)＝13(AC ―→2＋AC ―→²AB ―→－2AB ―→2) ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋1³2³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2³22＝－83． 答案：－83二保高考，全练题型做到高考达标1．已知向量a ＝(1，x)，b ＝(－1，x)，若2a －b 与b 垂直，则|a|＝( ) A ． 2 B ． 3 C ．2D ．4解析：选C 由已知得2a －b ＝(3，x)，而(2a －b)²b＝0⇒－3＋x 2＝0⇒x 2＝3，所以|a|＝1＋x 2＝4＝2．2．(2017²贵州适应性考试)若单位向量e 1，e 2的夹角为π3，向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R)，且|a|＝32，则λ＝( )A ．－12B ．32－1 C ．12D ．32解析：选A 由题意可得e 1²e 2＝12，|a|2＝(e 1＋λe 2)2＝1＋2λ³12＋λ2＝34，化简得λ2＋λ＋14＝0，解得λ＝－12，故选A ．3．平面四边形ABCD 中，AB ―→＋CD ―→＝0，(AB ―→－AD ―→)²AC ―→＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．正方形 C ．菱形D ．梯形解析：选C 因为AB ―→＋CD ―→＝0，所以AB ―→＝－CD ―→＝DC ―→，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(AB ―→－AD ―→)²AC ―→＝DB ―→²AC ―→＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．4．(2016²重庆适应性测试)设单位向量e 1，e 2的夹角为2π3，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－3e 2，则b 在a方向上的投影为( )A ．－332B ．－ 3C ． 3D ．332解析：选A 依题意得e 1²e 2＝1³1³cos 2π3＝－12，|a|＝ e 1＋2e 2 2＝e 21＋4e 22＋4e 1²e 2＝3，a²b＝(e 1＋2e 2)²(2e 1－3e 2)＝2e 21－6e 22＋e 1²e 2＝－92，因此b 在a 方向上的投影为a²b |a|＝－923＝－332，故选A ． 5．(2017²成都模拟)已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP ―→＝λAB ―→，λ∈R ，若BD ―→²CP―→＝－3，则λ的值为( )A ．12B ．－12C ．13D ．－13解析：选A 法一：由题意可得BA ―→²BC ―→＝2³2cos π3＝2，BD ―→²CP―→＝(BA ―→＋BC ―→) ²(BP ―→－BC ―→) ＝(BA ―→＋BC ―→)²[(AP ―→－AB ―→)－BC ―→] ＝(BA ―→＋BC ―→)²[(λ－1)²AB ―→－BC ―→]＝(1－λ)BA ―→2－BA ―→²BC ―→＋(1－λ)BA ―→²BC ―→－BC ―→2＝(1－λ)²4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3， ∴λ＝12，故选A ．法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，3)，D(－1，3)．令P(x,0)，由BD ―→²CP―→＝(－3，3)²(x－1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1． ∵AP ―→＝λAB ―→，∴λ＝12．故选A ．6．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a²b)b，则|c|＝________． 解析：由题意可得a²b＝2³1＋4³(－2)＝－6，。
(全国通用)2018高考数学一轮温习 第4章节 平面向量、数系的扩充与复数的引入讲义 文 新人教A版
全国卷Ⅱ·T14
及其应用
全国 卷·T15
复数的相 关概念及 其运算
全国卷Ⅰ·T2 全国卷Ⅱ·T2 全国卷Ⅲ·T2
全国卷Ⅰ·T3 全国卷Ⅰ·T3 全国卷Ⅱ·T2 全国卷Ⅱ·T2
全国卷Ⅰ·T2 全国卷Ⅱ·T2
全国 卷·T2
[重点关注] 1．从近五年全国卷高考试题来看，平面向量与复数是每年的必考内容，主 要考查平面向量的线性运算，平面向量共线与垂直的充要条件，平面向量的数 量积及其应用，复数的有关概念及复数代数形式的四则运算，多以选择题、填 空题的形式出现，难度较小． 2．平面向量虽然有时也与其他知识渗透交汇命题，但平面向量仅起到穿针 引线的载体作用． 3．本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形”与“数”的两个 特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
[五年考情]
考点
2016 年
2015 年 2014 年 2013 年 2012 年
平面向量的线性
全国卷
运算
Ⅰ·T6
平面向量基本定 全国卷Ⅱ·T13 全国卷Ⅰ·T2
理及坐标运算
平面向量
全国卷Ⅰ·T13 全国卷Ⅰ·T20
全国卷Ⅰ·T13
的数量积
全国卷·T4
全国卷Ⅲ·T3 全国卷Ⅱ·T4
[导学心语] 1．透彻理解平面向量的有关概念及相应的运算法则是学好本章的基础．(1) 向量的几何运算侧重于“形”，坐标运算侧重于“数”，要善于将二者有机结 合和转化．(2)平面向量的数量积是高考的重点，要熟练掌握和运用． 2．平面向量与其他知识的综合渗透充分体现了平面向量的载体作用．平面 向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用． 3．复数内容独立性较强，一般会以选择题形式单独命题，重点是代数运算， 属容易题，因此切忌盲目拔高要求；重视“化虚为实”的思想方法．
2018版高考数学一轮总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4.1平面向量的概念及其线性运算模拟演练理
2018版高考数学一轮总复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.1 平面向量的概念及其线性运算模拟演练 理[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．如图所示，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则AF →－DB →等于( )A.FD →B.FC →C.FE →D.BE →答案 D解析 由题图，知DB →＝AD →，则AF →－DB →＝AF →－AD →＝DF →.由三角形中位线定理，知DF →＝BE →.故选D.2．[2017·嘉兴模拟]已知向量a 与b 不共线，且AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，则点A ，B ，C 三点共线应满足 ( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1答案 D解析 若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝k AC →，即λa ＋b ＝k (a ＋μb )，所以λa ＋b ＝k a ＋μk b ，所以λ＝k,1＝μk ，故λμ＝1.3．已知A 、B 、C 三点不共线，且点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则下列结论正确的是( )A.OA →＝13AB →＋23BC →B.OA →＝23AB →＋13BC →C.OA →＝13AB →－23BC →D.OA →＝－23AB →－13BC →答案 D 解析 ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 为△ABC 的重心，∴OA →＝－23×12(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AB →＋BC →)＝－13(2AB →＋BC →)＝－23AB →－13BC →.4．[2017·安徽六校联考]在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AC →＝b ，DE →＝2EC →，则BE →＝( )A ．b －13aB ．b －23aC ．b －43aD ．b ＋13a答案 C 解析 因为BE →＝AE →－AB →＝AD →＋DE →－AB →，所以BE →＝BC →＋23AB →－AB →＝AC →－AB →＋23AB →－AB →＝b －43a ，故选C.5．如图，在△ABC 中，|BA →|＝|BC →|，延长CB 到D ，使AC →⊥AD →，若AD →＝λAB →＋μAC →，则λ－μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C 解析 由题意可知，B 是DC 的中点，故AB →＝12(AC →＋AD →)，即AD →＝2AB →－AC →，所以λ＝2，μ＝－1，则λ－μ＝3.。
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课时分层训练(二十四)平面向量的概念及线性运算
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →
＝( )
【导学号：31222142】
A.1
2a －b B.1
2a ＋b C ．a －12
b
D ．a ＋12
b
A [AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12C
B →
＝－b ＋12
a ，故选A.]
2．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →
＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，D
D ．A ，C ，D
B [因为AD →＝AB →＋B
C →＋C
D →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →
有公共点A ， 所以A ，B ，D 三点共线．]
3．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13
CA →＋λCB →
，则λ等于( )
【导学号：31222143】
A.23
B.13 C ．－13
D ．－23
A [∵AD →＝2D
B →，即CD →－CA →＝2(CB →－CD →
)， ∴CD →＝13CA →＋23CB →
，∴λ＝23
.]
4．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b
|b |成立的充分条件是( )
A ．a ＝－b
B ．a ∥b
C ．a ＝2b
D ．a ∥b 且|a |＝|b |
C [a |a |＝b |b |⇔a ＝|a |b |b |
⇔a 与b 共线且同向⇔a ＝λb 且λ>0.B ，D 选项中a 和b 可能
反向．A 选项中λ<0，不符合λ>0.]
5．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，
则AD →＋BE →＋CF →与BC →
( )
A ．反向平行
B ．同向平行
C ．互相垂直
D ．既不平行也不垂直
A [由题意得AD →＝A
B →＋BD →＝AB →＋13B
C →
，
BE →＝BA →＋AE →＝BA →
＋13
AC →， CF →
＝CB →＋BF →＝CB →
＋13
BA →，
因此AD →＋BE →＋CF →＝CB →＋13(BC →＋AC →－AB →)
＝CB →＋23BC →
＝－13
BC →，
故AD →＋BE →＋CF →与BC →
反向平行．] 二、填空题
6．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB
→
＋OD →
，则四边形ABCD 的形状为________.
【导学号：31222144】
平行四边形 [由OA →＋OC →＝OB →＋OD →得OA →－OB →＝OD →－OC →
， 所以BA →＝CD →
，所以四边形ABCD 为平行四边形．]
7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →
＝________.(用e 1，
e 2表示)
52e 1＋32e 2 [在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →
)＝12
(5e 1＋3e 2)．]
8．(2015·北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则
x ＝________；y ＝________.
12 －16 [∵AM →＝2MC →，∴AM →＝23AC →. ∵BN →＝NC →，∴AN →＝12(AB →＋AC →)，
∴MN ＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →
)－23
AC →
＝12AB →－16
AC →. 又MN →＝xAB →＋yAC →
，∴x ＝12，y ＝－16.]
三、解答题
9．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →
＝
a ，AC →＝
b ，试用a ，b 表示AD →，AG →
.
图411
[解] AD →＝12(AB →＋AC →
)＝12a ＋12b .2分
AG →
＝AB →＋BG →＝AB →
＋23BE →＝AB →＋13
(BA →＋BC →
)
＝23AB →＋13(AC →－AB →
) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋1
3
b .12分 10．设两个非零向量e 1和e 2不共线．
(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →
＝－8e 1－2e 2， 求证：A ，C ，D 三点共线；
(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →
＝2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值． [解] (1)证明：∵AB →＝e 1－e 2，BC →
＝3e 1＋2e 2，
CD →
＝－8e 1－2e 2，
∴AC →＝AB →＋BC →
＝4e 1＋e 2 ＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →，
∴AC →与CD →
共线.3分
又∵AC →与CD →
有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线.5分 (2)AC →＝AB →＋BC →
＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2.7分 ∵A ，C ，D 三点共线，
∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →
，9分 即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，
得⎩⎪⎨⎪⎧
3＝2λ，－2＝－λk ，
解得λ＝32，k ＝4
3
.12分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB →＋32MA →＋32MC →
＝0，D 是AC 的中点，则|MD →
||BM →
|的值
为 ( )
【导学号：31222145】
A.13
B.12 C ．1
D ．2
A [∵D 是AC 的中点，延长MD 至E ，使得DE ＝MD (图略)，∴四边形MAEC 为平行四边形，∴MD →＝12ME →＝12(MA →＋MC →)．∵M
B →＋32MA →＋32M
C →＝0，∴MB →＝－32(MA →＋MC →)＝－3M
D →
，∴|MD →
||BM →
|＝
|MD →||－3MD →|
＝1
3，故选A.] 2．(2017·辽宁大连高三双基测试)如图412，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →
，则λ＋μ＝________.
图412
2
3
[因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1. 因为点M 为AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝12AB →＋16BC →，又AM →＝λAB
→
＋μBC →
，所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23
.]
3．已知a ，b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →
＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．
[解] 由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →
＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →
，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，3分
整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .6分 因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨
⎪
⎧
t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，
9分
解之得t ＝65.故存在实数t ＝6
5
使C ，D ，E 三点在一条直线上.12分。