初中数学竞赛辅导资料(43)

初中数学竞赛辅导资料（43）

面积法

甲内容提要

1. 因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转

换。运用面积公式及有关面积性质定理解答几何题是常用的方法，简称面积法。

2. 面积公式（略）

3. 两个三角形的面积比定理

① 等高（底）的两个三角形的面积比，等于它们对应的底（高）的比 ② 有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比

③ 相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方

④ 有公共边的两个三角形面积的比等于它们的第三顶点连线被公共

边分成的两条线段的比（内分比或外分比）。

如图△ABC 和△ADC 有公共边

第三顶点连线BD 被公共边AC 内分或外分于点M ，

则

MD

BM

S ADC

ABC ＝

△△S

外分

定理④是以公共边为底，面积的比等于它们的对应高的比换成对应线段的比 乙例题

例1. 求证有一个30度角的菱形，边长是两条对角线的比例中项

已知：菱形ABCD 中， ∠DAC ＝ 求证：AB 2＝AC ×BD

证明：作高DE ，∵∠DAE ＝30

∴DE ＝2

1AD ＝

2

1AB S

菱形ABCD

＝AB ×DE ＝

2

1AB 2

S

菱形ABCD

＝AC ×BD ， ∴AB 2＝AC ×BD

D

B

C B

C M

A

C

例2. 求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值

已知：△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ，D 是形内任一点，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，DG ⊥AB ，E ，F ，G 是垂足

求证：DE ＋DF ＋DG 是一个定值

证明：连结DA ，DB ，DC ，设边长为a,

S △ABC ＝S △DBC ＋S △DCA ＋S △DAB

2

1ah a ＝

2

1a （DE ＋DF ＋DG ）

∴DE ＋DF ＋DG ＝h a

∵等边三角形的高h a 是一个定值， ∴DE ＋DF ＋DG 是一个定值 本题可推广到任意正n 边形,其定值是边心距的n 倍 例3.

已知：△ABC 中，3

1=

=

=

CA

CF BC

BE AB

AD

求：ABC

DEF S △△S 的值

解：∵△ADF 和△ABC 有公共角A

∴

ABC

ADF S △△S ＝

AC

AB AF AD ⋅⋅＝AC AB AC

32

AB 3

1

⋅⋅

＝

9

2，

同理

9

2S ABC

BED ＝

△△S ，

ABC

CFE S S △△＝9

2， ∴

ABC

DEF S △△S ＝3

1

（本题可推广到：当m

AB

AD 1=，

n

BC

BE 1=

，

=

CA

CF p

1时，

ABC

DEF S △△S ＝

mnp

np

mp mn p n m mnp ---+++）

例4.

如图Rt △ABC 被斜边上的高CD 和直角平分线CE 分成3个三角

形，已知其中两个面积的值标在图中，求第三个三角形的面积x 。

CE 平分∠ACB ， ∴

CB

CA CE

CB CE CA x

630S CEB

CAE =

⋅⋅=

+＝

△△S

∵CD 是 Rt △ABC 的高 ∴△CAD ∽△BCD ，∴

2

)(630CB

CA x

=+

B

C

E

A

C

E

∴

2

)630(

630x

x +=+ 解得x 1= 4, x 2=9 (两解都适合)

例5. 设一直线截△ABC 三边AB ，BC ，CA 或延长线于D ，E ，F 那么

1=⋅⋅

FA

CF EC

BE DB

AD （梅涅劳斯Menelaus 定理）

AE ，根据三角形面积比定理④得 DB AD S BEF

AEF ＝

△△S CE

BE S S CEF

BEF ＝

△△

FA

CF

S S AEF CEF ＝△△

∴

=

⋅

⋅

FA

CF EC

BE DB

AD BEF

AEF S △△S ×CEF

BEF S S △

△×

AEF

CEF S △△S ＝1

例6. 已知MN 是△ABC 的中位线，P 在MN 上，BP ，CP 交对边于D ，E 求证

1=+DC

AD BE

AE

证明：连结并延长AP 交BC 于F ，则AP ＝PF

∴S △CPA ＝S △CPF ， S △BPA ＝S △BPF

1

S S S S S S B

P C

B

P F

C P F

B

P C

B P A B

P C

C P A ＝＋＝

＋

△△△△△△△S DC

AD BE

AE =

+

例7.如图已知：△ABC 中，∠ABC ＝Rt ∠，AC ＝2AB ，△ACM 和△BCN 都是等边三角形

求证：MN 被AC 平分

证明：连结AN ，∵△ABC 中∠ABC ＝Rt ∠，AC ＝2AB

∴∠ACB=30 ∴∠CAN=90 ∠BCM ＝90

∴S △ACM ＝

2

1ba, S △CAN =

2

1ab ∴S △ACM ＝S △CAN ，

∵△ACM ，△CAN 有公共边AC ，

∴MK ＝KN

丙练习43

1. 如图△ABC 面积是96，D 分BC 为2∶1，E 分AB 为3∶1则△ADE 面积是＿＿＿

B

F

A

B

C

F

B

C

D

B