2019年中考数学专题复习 第六单元 圆 课时训练(二十八)直线与圆的位置关系练习
中考数学一轮复习第六章圆第二节直线与圆的位置关系同步测试题及答案.doc
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】第二节直线与圆的位置关系姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是( )A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定2．(2017·四川自贡中考)AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连结BC，若∠P＝40°，则∠B等于( )A．20° B．25° C．30° D．40°3. (2017·广西百色中考)以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b 的取值范围是( )A．0≤b<2 2 B．－22≤b≤2 2C．－23<b<2 3 D．－22<b<2 24．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E.已知∠A＝30°，则sin∠E的值为( )A.12B.22C.32D.335．(2017·浙江衢州中考)如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为(－1，0)，半径为1，点P为直线y＝－x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是________.6．如图，已知⊙O 是以坐标原点O 为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P 在x 轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设点P(x ，0)，则x 的取值范围是____________________.7．如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O 到水平直线l 的距离为d ，即OM ＝d.我们把圆上到直线l 的距离等于1的点的个数记为m.如d ＝0时，l 为经过圆心O 的一条直线，此时圆上有四个到直线l 的距离等于1的点，即m ＝4，由此可知：(1)当d ＝3时，m ＝______.(2)当m ＝2时，d 的取值范围是______________．8．(2017·山东济宁中考)如图，已知⊙O 的直径AB ＝12，弦AC ＝10，D 是BC ︵的中点，过点D 作DE⊥AC 交AC 的延长线于点E.(1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)求AE 的长．9．(2017·浙江丽水中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E.(1)求证：∠A＝∠ADE；(2)若AD ＝16，DE ＝10，求BC 的长．10．(2017·湖北武汉中考)已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为( ) A.32B.32C. 3D ．2 311．(2016·湖北鄂州中考)如图所示，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 是⊙O 的两条切线，D ，C 分别在AM ，BN 上，DC 切⊙O 于点E.连结OD ，OC ，BE ，AE ，BE 与OC 相交于点P ，AE 与OD 相交于点Q ，已知AD ＝4，BC ＝9.以下结论：①⊙O 的半径为132；②OD∥BE；③PB＝181313；④tan ∠CEP＝23.其中正确结论有( )A．1个B．2个 C．3个 D．4个12．△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∠A＝75°，∠B＝45°，则圆心角∠EOF＝__________度.13．如图是一块△ABC余料，已知AB＝20 cm，BC＝7 cm，AC＝15 cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是________cm2.14．(2017·四川泸州中考)如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C，D；与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连结FE并延长交AC边于点G.(1)求证：DF∥AO.(2)若AC＝6，AB＝10，求CG的长．15．(2018·湖北鄂州中考)如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点为A，B，AC是⊙O的直径，OP与AB相交于点D，连结BC.下列结论：①∠A PB＝2∠BAC；②OP∥BC；③若tan C＝3，则OP＝5BC；④AC2＝4OD·OP.其中正确的个数为( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个16．如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2 cm，矩形ABCD的边AD，AB分别与l1，l2重合，AB＝4 3 cm.AD＝4 cm.若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3 cm/s，矩形ABCD 的移动速度为4 cm/s，设移动时间为t(s)．(1)如图1，连结OA，AC，则∠OAC的度数为________；(2)如图2，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离(即OO1的长)；(3)在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d(cm)，当d<2时，求t的取值范围(解答时可以利用备用图画出相关示意图)．参考答案【基础训练】 1．A 2.B 3.D 4.A5.76.－2≤x≤2且x≠0 7．(1)1 (2)1<d<3 8．解：(1)如图，连结OD. ∵D 是BC ︵的中点，∴BD ︵＝12BC ︵，∴∠BOD＝∠BAE，∴OD∥AE. ∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°. ∴∠ODE＝90°.∴OD⊥DE. ∴DE 是⊙O 的切线．(2)如图，过点O 作O F⊥AC 于点F. ∵AC＝10，∴AF＝CF ＝12AC ＝12×10＝5.∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°， ∴四边形OFED 是矩形，∴FE＝OD ＝12AB.∵A B ＝12，∴FE＝6，∴AE＝AF ＋FE ＝5＋6＝11. 9．(1)证明：如图，连结OD. ∵DE 是⊙O 的切线，∴∠ODE＝90°， ∴∠ADE＋∠BDO＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°. ∵OD＝OB ，∴∠B＝∠BDO， ∴∠ADE＝∠A.(2)解：如图，连结CD.∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE.∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∴DE＝EC，∴AE＝EC.∵DE＝10，∴AC＝2DE＝20.在Rt△ADC中，DC＝AC2－AD2＝12.设BD＝x.在Rt△BDC中，BC2＝x2＋122，在Rt△ABC中，BC2＝(x＋16)2－202，∴x2＋122＝(x＋16)2－202，解得x＝9，∴BC＝122＋92＝15.【拔高训练】10．C 11.B 12.120 13.4π14．(1)证明：∵AB与⊙O相切于点D，∴∠BCD＝∠BDF.又∵AC与⊙O相切于点C，由切线长定理得AC＝AD，∴CD⊥AO，∴∠BCD＝∠CAO＝∠DAO，∴∠DAO＝∠BDF，∴DF∥AO.(2)解：如图，过点E作EM⊥OC于点M.∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝AB2－AC2＝8.∵AD＝AC＝6，∴BD＝AB－AD＝4，∴由△BDF∽△BCD 得BD 2＝BF·BC，解得BF ＝2， ∴FC＝BC －BF ＝6，OC ＝12FC ＝3，∴OA＝AC 2＋CO 2＝3 5.由△OCE∽△OAC 得OC 2＝OE·OA， 解得OE ＝355.∴EM AC ＝OM OC ＝OE OA ＝15， 解得OM ＝35，EM ＝65，FM ＝185.又∵EM GC ＝FM FC ＝35，∴CG＝53EM ＝2.【培优训练】 15．A16．解：(1)105°(2)如图位置二，当O 1，A 1，C 1恰好在同一直线上时， 设⊙O 1与l 1的切点为E. 连结O 1E ，可得O 1E ＝2，O 1E⊥l 1. 在Rt△A 1D 1C 1中，∵A 1D 1＝4，C 1D 1＝43， ∴tan∠C 1A 1D 1＝3，∴∠C 1A 1D 1＝60°. 在Rt△A 1O 1E 中，∠O 1A 1E ＝∠C 1A 1D 1＝60°， ∴A 1E ＝2tan 60°＝233.∵A 1E ＝AA 1－OO 1－2＝4t －3t －2＝t －2， ∴t－2＝233，∴t＝233＋2，∴OO 1＝3t ＝23＋6.(3)①当直线AC 与⊙O 第一次相切时，设移动时间为t 1(s)，如图位置一，此时⊙O 移动到⊙O 2的位置，矩形ABCD 移动到A 2B 2C 2D 2的位置．设⊙O 2与直线l 1，A 2C 2分别相切于点F ，G ，连结O 2F ，O 2G ，O 2A 2，则O 2F⊥l 1，O 2G⊥A 2C 2. 由(2)得∠C 2A 2D 2＝60°， ∴∠GA 2F ＝120°， ∴∠O 2A 2F ＝60°. 在Rt△A 2O 2F 中， ∵O 2F ＝2，∴A 2F ＝233.∵OO 2＝3t 1，AF ＝AA 2＋A 2F ＝4t 1＋233，∴4t 1＋233－3t 1＝2，∴t 1＝2－233.②当直线AC 与⊙O 第二次相切时，设移动时间为t 2(s)，如图位置三， 由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等， ∴t－t 1＝t 2－t ，即(233＋2)－(2－233)＝t 2－(233＋2)，解得t 2＝2＋2 3.综上所述，当d<2时，t 的取值范围是2－233<t<2＋2 3.中考数学知识点代数式 一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
北京市东城区2019届中考《直线与圆的位置关系》专题练习含答案
北京市东城区普通中学2019届初三数学中考复习 直线与圆的位置关系专题复习练习1. 已知⊙O 的半径是6 cm ，点O 到同一平面内直线l 的距离为5 cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法判断2. 如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB 与小圆有公共点，则弦AB 的取值范围是( )A ．8≤AB ≤10 B ．8＜AB≤10C ．4≤AB ≤5D ．4＜AB≤53. 如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，点C 在⊙O 上，且∠ACB ＝50°，则∠P ＝____．4. 如图，两个同心圆，大圆半径为5 cm ，小圆的半径为3 cm ，若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦AB 的取值范围是 ．5. ⊙O 的半径为R ，点O 到直线l 的距离为d ，R ，d 是方程x 2－4x ＋m ＝0的两根，当直线l 与⊙O 相切时，m 的值为____．6. 如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是AD ︵上的一点，∠DBC ＝∠BED. (1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)已知AD ＝3，CD ＝2，求BC 的长．7. 如图，在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点E. (1)若OC ＝5，AB ＝8，求tan ∠BAC；(2)若∠DAC ＝∠BAC ，且点D 在⊙O 的外部，判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并加以证明．8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＋BC＝8，点O是斜边AB上一点．以O为圆心的⊙O分别与AC，BC 相切于点D，E.(1)当AC＝2时，求⊙O的半径；(2)设AC＝x，⊙O的半径为y，求y与x的函数关系式．9. 如图，⊙O的半径为4 cm，OA⊥OB，OC⊥AB于点C，OB＝4 5 cm，OA＝2 5 cm，试说明AB是⊙O的切线．10. 如图，已知在△OAB中，OA＝OB＝13，AB＝24，⊙O的半径长为r＝5.判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．11. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC 交DE于点E.(1)求证：∠BAD＝∠E；(2)若⊙O的半径为5，AC＝8，求BE的长．12. 如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F.(1)求证：∠ABC＝2∠CAF；(2)若AC＝210，CE：EB＝1：4，求CE的长．13. 如图，已知BC 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 交⊙O 于点D ，E 为AC 的中点，连结DE. (1)若AD ＝DB ，OC ＝5，求切线AC 的长； (2)求证：ED 是⊙O 的切线．参考答案： 1. D 2. A 3. 80° 4. 8<AB≤10 5. 46. (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，又∵∠BAD＝∠BED，∠BED ＝∠DBC，∴∠BAD ＝∠DBC，∴∠BAD ＋∠ABD＝∠DBC＋∠ABD＝90°，∴∠ABC ＝90°，∴BC 是⊙O 的切线 (2)解：∵∠BAD＝∠DBC，∠C ＝∠C，∴△ABC ∽△BDC ，∴BC CA ＝CD BC，即BC 2＝AC·CD＝(AD ＋CD)·CD＝10，∴BC ＝107. 解：(1)tan ∠BAC ＝12(2)AD 与⊙O 相切．理由如下：∵半径OC 垂直于弦AB ，∵AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC ＝2∠BAC ，∵∠DAC ＝∠BAC，∴∠AOC ＝∠BAD，∵∠AOC ＋∠OAE＝90°，∴∠BAD ＋∠OAE＝90°，∴OA ⊥AD ，∴AD 与⊙O 相切 8. 解：(1)连接OE ，OD ，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＋BC ＝8，∵AC ＝2，∴BC ＝6.∵以O 为圆心的⊙O 分别与AC ，BC 相切于点D ，E ，∴四边形OECD 是正方形，∴tan ∠B ＝tan ∠AOD ＝AD OD ＝2－OD OD ＝13， 解得OD ＝32，∴⊙O 的半径为32(2)由题可知，AC ＝x ，BC ＝8－x ，在直角三角形ABC 中，tanB ＝AC BC ＝x8－x.∵以O 为圆心的⊙O 分别与AC ，BC 相切于点D ，E ，∴四边形OECD 是正方形．∴tan ∠AOD ＝tanB ＝AC BC ＝AD CD ＝x －y y ＝x 8－x ，解得y ＝－18x2＋x ，即y 与x 的函数关系式为y ＝－18x 2＋x9. 解：∵OA⊥OB，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝（25）2＋（45）2＝10. 又∵S △AOB ＝12AB·OC＝12OA ·OB ，∴OC ＝OA·OB AB ＝25×4510＝4.又∵⊙O 的半径为4，∴AB 是⊙O 的切线10. 解：直线AB 与⊙O 相切，理由如下：与过点O 作OC⊥AB 于C.∵OA ＝OB ＝13，∴AC ＝BC ＝12AB ＝12.在Rt △AOC 中，OC ＝OA 2－AC 2＝132－122＝5＝r ，∴直线AB 与⊙O 相切11. (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过点B 作⊙O 的切线DE ，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°，∵∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠BAE ＝90°，∴∠BAD＝∠E(2)解：连接BC ，如图，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵AC ＝8，AB ＝2×5＝10，∴BC ＝AB 2－AC 2＝6，∵∠BCA ＝∠ABE＝90°，∠BAD ＝∠E，∴△ABC ∽△EAB ，∴AC EB ＝BC AB ，∴8EB ＝610，∴BE ＝40312. (1)证明：连接BD.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠DAB ＋∠ABD＝90°.∵AF 是⊙O 的切线，∴∠FAB ＝90°，即∠DAB ＋∠CAF ＝90°.∴∠CAF ＝∠ABD.∵BA ＝BC ，∠ADB ＝90°，∴∠ABC ＝2∠ABD.∴∠ABC＝2∠CAF(2)解：连接AE ，∴∠AEB ＝90°，设CE ＝x ，∵CE ∶EB ＝1∶4，∴EB ＝4x ，BA ＝BC ＝5x ，AE ＝3x ，在Rt △ACE 中，AC 2＝CE 2＋AE 2，即(210)2＝x 2＋(3x)2，∴x ＝2.∴CE＝213. (1)解：连接CD ，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，∵AD＝DB ，OC ＝5，∴CD 是AB 的垂直平分线，∴AC＝BC ＝2OC ＝10(2)证明：连接OD ，如图所示，∵∠ADC ＝90°，E 为AC 的中点，∴DE ＝EC ＝12AC ，∴∠1＝∠2，∵OD ＝OC ，∴∠3＝∠4，∵AC 切⊙O 于点C ，∴AC ⊥OC ，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，即DE⊥OD，∴ED 是⊙O 的切线2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在平面直角坐标系中，点A （0，6），点B 在x 轴的负半轴上，将线段AB 绕点A 逆时针旋转90°至AB'，点M 是线段AB'的中点，若反比例函数ky x=(k≠0)的图象恰好经过点B'，M ，则k ＝（ ）A.4B.6C.9D.122．某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形(作品不完全重合)．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉(例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图)．若有36枚图钉可供选用，则最多可以展示绘画作品( )A.22张B.23张C.24张D.25张3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3B ．C ．D ．4．函数y ＝2x 2﹣4x ﹣4的顶点坐标是（ ） A ．（1，﹣6）B ．（1，﹣4）C ．（﹣3，﹣6）D ．（﹣3，﹣4）5．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M ，N 的坐标分别为（-1，2），（2，1），若抛物线y=ax 2-x+2（a ＜0）与线段MN 有一个交点，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤-B ．10a -<<C ．1a <-D ．10a -≤<6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为直径作圆，交斜边AB 于点E ，D 为AC 的中点．连接DO ，DE ．则下列结论中不一定正确的是（ ）A．DO∥AB B．△ADE是等腰三角形C．DE⊥AC D．DE是⊙O的切线7．如图，线段 AB 的长为 4，C 为 AB 上一个动点，分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角三角形 ACD 和 BCE，连结 DE，则 DE 长的最小值是( )A B．2 C．D．48．若正整数按如图所示的规律排列,则第8行第5列的数是 ( )A．64 B．56 C．58 D．609．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，3）、B（3，0），以原点为位似中心，将线段AB放大得到线段CD，若点C的坐标为（6，0），则点D的坐标为（）A．（3，6）B．（2，4.5）C．（2，6）D．（1.5，4.5）10．已知函数6yx-=与y＝﹣x+1的图象的交点坐标是（m，n），则11m n+的值为（）A．﹣16B．16C．﹣6 D．611．如图，在平面直角坐标系网格中，点Q、R、S、T都在格点上，过点P(1,2)的抛物线y=ax2+2ax+c(a<0)可能还经过（）A ．点QB ．点RC ．点SD ．点T12．由6个完全相同的小正方体组成的立体图形如图所示，其主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．观察下列等式： 第1层1+2＝3 第2层4+5+6＝7+8第3层9+10+11+12＝13+14+15第4层16+17+18+19+20＝21+22+23+24…在上述数字宝塔中，从上往下数，2019在第_____层． 14．如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC ＝13AC ，DE ＝6，那么EF 的值是_____．15．定义运算“※”的运算法则为：a ※b ，则（2※3）※3＝_____． 16．如图，AB ∥CD ，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E 的度数是_____．17．已知m n 、均为整数，当BC AP λ=时，()()60mx x n ++≤恒成立，则m n +=_____________．18．函数1y =中，自变量x 的取值范围是_____．三、解答题19．如图，斜坡BE ，坡顶B 到水平地面的距离AB 为4米，坡底AE 为16米，在B 处，E 处分别测得CD 顶部点D的仰角为30°，60°，求CD的长度．（结果保留根号）20．如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，过点C作CG⊥AE，垂足为G，连接DG，（1）若BC＝6，CF＝2，求CE的长；（2）猜想：AG、CG、DG之间有何数量关系，并证明．21．已知⊙O的直径AB＝8，弦AC与弦BD交于点E，且OD⊥AC，垂足为F．（1）如图（1），若∠ABD＝30°，求弦AC的长；（2）如图（2），若23EBDE，求弦BD的长．22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？23．中国海军亚丁湾护航十年，中国海军被亚丁湾上来往的各国商船誉为“值得信赖的保护伞”如图，在一次护航行动中，我国海军监测到一批可疑快艇正快速向护航的船队靠近．为保证船队安全，我国海军迅速派出甲、乙两架直升机分别从相距20海里的船队首（O点）尾（A点）前去拦截，4分钟后同时到达B 点将可疑快艇驱离．已知甲直升机每小时飞行180海里，航向为北偏东25°，乙直升机的航向为北偏西65°，求乙直升机的飞行速度．24．已知反比例函数23m y x-=的图象位于第一、第三象限. (1)求m 的取值范围；(2)若点P(3，1)在该反比例函数图象上，求该反比例函数的解析式.25．（1）计算：3tan30°﹣|12-|﹣2﹣1+（π﹣2019）0；（2）解不等式组：2(1)3212223x x x x x +>-⎧⎪-⎨-≤-⎪⎩【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．44 14．3 15．2 16．70° 17．-7或-5 18．x≥0 三、解答题 19．(6)米. 【解析】 【分析】设DF=x 米，根据正切的定义用x 表示出BF 、CE ，根据题意列方程，解方程得到答案． 【详解】设DF ＝x 米，则CD ＝（x+4）米， 由题意得，四边形BACF 为矩形， ∴BF ＝AC ，在Rt △BFD 中，tan ∠DBF ＝DFBF，∴BF ＝tan DF DBF ∠＝0tan 30x x ， 在Rt △DEC 中，tan ∠DEC ＝CD CE，∴CE ＝3（x+4），＝16+3（x+4），解得，x ＝+2，∴CD ＝，答：CD 的长度为（）米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．20．（1）3（2）【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可；（2）在AE 上截取AH ＝CG ，连接DH ，利用全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【详解】（1）在正方形ABCD 中，∵AB ∥DC ，AB ＝BC ，∴△CEF ∽△BEA ， ∴CE CF BE AB=， ∵BC ＝6，CF ＝2，BE ＝BC+CE ， ∴266CE CE =+， 解得：CD ＝3；（2）猜想：AG 、CG 、DG 之间的数量关系为：AG CG =+，证明如下：在AE 上截取AH ＝CG ，连接DH ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AD ＝DC ，∠ADC ＝∠BCD ＝90°，∴∠DAE ＝∠E ，∠DCG+∠GCE ＝90°，∵CG ⊥AE ，∴∠E+∠GCE ＝90°，∴∠DCG ＝∠E ＝∠DAE ，在△ADH 与△CDG 中AD CD DAH DCG AH CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADH ≌△CDG （SAS ），∴DH ＝DG ，∠ADH ＝∠CDG ，∵∠ADC ＝∠ADH+∠HDC ＝90°，∴∠HCD+∠GDC ＝∠HDG ＝90°，∴HG，∵AG ＝AH+HG ，AH ＝CG ，∴AG ＝DG ．【点睛】此题考查了相似三角形的性质，正方形的性质、勾股定理等知识的应用，关键是利用全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答．21．（1）AC＝（2）DB＝．【解析】【分析】（1）利用圆周角定理求出∠DOA 的度数，再求出∠CAO 的度数，解直角三角形即可求出弦AC 的长；（2）先证OD 与BC 平行，再证出线段OF ，BC ，DF 之间的比，设未知数结合径的长度即可求出此三条线段的长度，再通过三次勾股定理即可求出BD 的长．【详解】解：（1）如图1，连接BC ，∵∠ABD ＝30°，∴∠AOD ＝60°∵OD ⊥AC ，垂足为F ，∴∠AFO ＝90°，AF ＝FC ，∴∠FAO＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠FAO＝30°，AB＝8，AC＝82⨯=（2）∵OD⊥AC，∠ACB＝90°，∴∠AFO＝∠ACB，∴OD∥BC，∴△BCE∽△DFE，∴BC BE2 DF DE3==，∵OF＝12 BC，∴设OF＝x，则BC＝2x，DF＝3x，∵OD＝12AB＝4，∴FO＝1，FD＝3，在Rt△AFO中，AF∴在Rt△AFD中，AD=∴在Rt△ABD中，DB=【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，垂径定理，三角形中位线，勾股定理等，能熟练运用圆的相关性质是解答本题的关键．22．（1）见解析；（2）玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；（3）商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．【解析】【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x﹣40）×10=1000﹣10x，利润=（x﹣30）×(1000﹣10x )=﹣10x2+1300x﹣30000；（2）令﹣10x2+1300x﹣30000=10000，求出x的值即可；（3）首先求出x的取值范围，然后把w=﹣10x2+1300x﹣30000转化成y=﹣10（x﹣65）2+12250，结合x 的取值范围，求出最大利润．【详解】解：：（1）根据题意可得：y=600﹣（x﹣40）×10=1000﹣10x，利润=（x﹣30）×(1000﹣10x )=﹣10x2+1300x﹣30000；（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000解之得：x1=50，x2=80．答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．（3）根据题意得：1001054044xx-≥⎧⎨≥⎩解之得：44≤x≤46，w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250，∵a=﹣10＜0，对称轴是直线x=65，∴当44≤x≤46时，w随x增大而增大，∴当x=46时，W最大值=8640（元）．答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．23．乙直升机的飞行速度为每小时飞行240海里．【解析】【分析】根据已知条件得到∠ABO=25°+65°=90°，根据勾股定理即可得到结论．【详解】∵甲直升机航向为北偏东25°，乙直升机的航向为北偏西65°，∴∠ABO=25°+65°=90°，∵OA=20，OB=180×460=12，∴，∵16÷460=240海里，答：乙直升机的飞行速度为每小时飞行240海里．【点睛】本题考查了解直角三角形-方向角问题，正确的理解题意是解题的关键．24．(1)m＞32；(2)3yx=【解析】【分析】（1）由反比例函数的性质可求m的取值范围；（2）将点P坐标代入解析式可求m的值，即可求反比例函数的解析式．【详解】(1)∵反比例函数23myx-=的图象位于第一、第三象限，∴2m-3＞0，∴m＞32.(2)∵点P(3，1)在该反比例函数图象上，∴2m-3=1×3，∴m=3，∴反比例函数的解析式为：3yx =.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，用待定系数法求解析式，熟练运用反比例函数的性质是本题的关键．当k＞0，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限,在每一象限内，y随x的增大而减小；当 k＜0，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内，y随x的增大而增大.25．（1）1；（2）94 5x-≤<【解析】【分析】（1）先代入三角函数值，取绝对值符号、计算负整数指数幂和零指数幂，再去括号、计算加减可得；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】（111-+1 22⎫⎪⎭11-+122＝1；（2）解不等式2（x+1）＞3x﹣2，得：x＜4，解不等式12223xx-≤-，得：x≥﹣95，则不等式组的解集为﹣95≤x＜4．【点睛】此题考查三角函数值，绝对值，负整数指数幂和零指数幂，解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．某小学为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10，15，10，17，18，20．对于这组数据，下列说法错误的是（）A.平均数是15B.众数是10C.中位数是17D.方差是44 32．如图，平面直角坐标系中，在边长为1的菱形ABCD的边上有一动点P从点A出发沿A→B→C→D→A匀速运动一周，则点P的纵坐标y与点P走过的路程S之间的函数关系用图象表示大致是( )A．B．C．D．3．人体中红细胞的直径约为0.0000075m，用科学记数法表示这个数为（）A．7.5×106B．75×10﹣7C．7.5×10﹣6D．0.75×10﹣54．某校开展丰富多彩的社团活动，每位同学可报名参加1～2个社团，现有25位同学报名参加了书法社或摄影社，已知参加摄影社的人数比参加书法社的人数多5人，两个社团都参加的同学有12人．设参加书法社的同学有x人，则（）A．x+（x﹣5）＝25 B．x+（x+5）+12＝25C．x+（x+5）﹣12＝25 D．x+（x+5）﹣24＝255．“六一”儿童节快到了，小芳的妈妈计划用1000元在唯品会购买价格分别为80元和120元的两种儿童玩具赠送给某幼儿园，则可供小芳妈妈选择的购买方案有A.4种B.5种C.6种D.7种6．如图，正六边形的中心为原点O，点A的坐标为(0，4)，顶点E(-1，)，顶点B(1，)，设直线AE 与y轴的夹角∠EAO为α，现将这个六边形绕中心O旋转，则当α取最大角时，它的正切值为( )A.B.1C.D. 7．将261y x x =-+化成2y x h k =-+（）的形式，则h k +的值是( ) A ．-5 B ．-8 C ．-11 D ．58．下列实数3-、0、π中，无理数是（ ）A ．3-B C ．0 D ．π 9．计算：11x x x+-＝（ ） A ．1 B ．2 C ．1+2x D ．2x x- 10．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠C=30°，AB ⊥AD ，AD=4，则BC 的长为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．1611．已知点A （t ，y 1），B （t+2，y 2）在抛物线212y x =的图象上，且﹣2≤t≤2，则线段AB 长的最大值、最小值分别是（ ）A ． 2B ．C ．，2D ．，12．下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．关于x ，y 的二元一次方程组321x y x y +=⎧⎨-=-⎩，则4x 2﹣4xy+y 2的值为_____． 14．计算：（﹣12）2=_____． 15．如图，AB 为圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，连接OC ，若OC ＝5，CD ＝8，则AE ＝______．16．如图，直线A l A∥BB1∥CC1，若AB=8，BC=4，A1B1=6，则线段A1C1的长是________．17．周末，张三、李四两人在磁湖游玩，张三在湖心岛P处观看李四在湖中划船（如图），小船从P处出发，沿北偏东60︒方向划行200米到A处，接着小船向正南方向划行一段时间到B处.在B处李四观测张三所在的P处在北偏西45︒的方向上，这时张三与李四相距_________米（保留根号）.18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD∥BC，AC与BD相交于点P，若∠APB＝50°，则∠PBC＝___．三、解答题19．在“学习雷锋活动月”中，某校九（2）班全班同学都参加了“广告清除、助老助残、清理垃圾、义务植树”四个志愿活动（每人只参加一个活动）．为了了解情况，小明收集整理相关的数据后，绘制如图所示，不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）求该班的人数；（2）请把折线统计图补充完整；（3）求扇形统计图中，广告清除部分对应的圆心角的度数．20．如图，为了测量建筑物AC的高度，从距离建筑物底部C处50米的点D（点D与建筑物底部C在同一水平面上）出发，沿坡度i＝1：2的斜坡DB前进B，在点B处测得建筑物顶部A的仰角为53°，求建筑物AC的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin53°≈0.798，cos53°≈0.602，tan53°≈1.327．）21．近年来，体育分数在中招考试中占分比重越来越大，不少家长、考生也越来越重视；某中学计划购买一批足球、跳绳供学生们考前日常练习使用，负责此次采购的老师从商场了解到：购买7个足球和4条跳绳共需510元；购买3个足球比购买5条跳绳少50元．（1）求足球和跳绳的单价；（2）按学校规划，准备购买足球和跳绳共200件，且足球的数量不少于跳绳的数量的12，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．22．（1）计算：（0+3tan30°﹣2|+11()2-（2）解方程：3+1 x x x x -=23．某文化商店计划同时购进A、B两种仪器，若购进A种仪器2台和B种仪器3台，共需要资金1700元；若购进A种仪器3台，B种仪器1台，共需要资金1500元．（1）求A、B两种型号的仪器每台进价各是多少元？（2）已知A种仪器的售价为760元/台，B种仪器的售价为540元/台．该经销商决定在成本不超过30000元的前提下购进A、B两种仪器，若B种仪器是A种仪器的3倍还多10台，那么要使总利润不少于21600元，该经销商有哪几种进货方案？24．先化简，再求值：2422xx x+--，其中x﹣2．25．（1）求不等式组2151132523(2)x xx x-+⎧-≤⎪⎨⎪-<+⎩的整数解；（2）化简2234221121x xx x x x++⎛⎫-÷⎪---+⎝⎭【参考答案】***一、选择题二、填空题13．414．415．216．917．18．25°．三、解答题19．（1）该班的人数是56人；（2）折线统计如图所示：见解析；（3）广告清除部分对应的圆心角的度数是45°．【解析】【分析】（1）根据参加助老助残的人数以及百分比，即可解决问题；（2）先求出义务植树的人数，画出折线图即可；（3）根据圆心角＝360°×百分比，计算即可．【详解】（1）该班全部人数：14÷25%＝56（人）．答：该班的人数是56人；（2）56×50%＝28（人），折线统计如图所示：（3）756×360°＝45°． 答：广告清除部分对应的圆心角的度数是45°．【点睛】本题考查折线统计图、扇形统计图等知识，解题的关键是记住基本概念，属于中考常考题型．20．建筑物AC 的高度49.8米【解析】【分析】如图作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M ．解直角三角形分别求出AM ，CM 即可解决问题．【详解】如图作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M ．在Rt△BDN中，∵tan∠D＝1：2，BD＝∴BN＝10，DN＝20，∵∠C＝∠CMB＝∠CNB＝90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM＝BM＝10，BM＝CN＝30，在Rt△ABM中，tan∠ABM＝tan53°＝AMBM≈1.327，∴AM≈39.81，∴AC＝AM+CM＝39.81+10＝49.81≈49.8 （米）．答：建筑物AC的高度49.8米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．21．（1）足球的单价为50元/个，跳绳的单价为40元/条；（2）最省钱的购买方案是：购买足球67个，跳绳133条．【解析】【分析】（1）设足球的单价为x元/个，跳绳的单价为y元/条，根据题意可列出二元一次方程组74510 5350x yy x+=⎧⎨-=⎩，解方程即可得出答案.（2）设购买足球m个，总费用为w元，则购买跳绳（200﹣m）条，依题意，得：5040200108000w m m m=++（﹣）=．由足球的数量不少于跳绳的数量的12，可得：1(200)2m m≥-，解得：2003m≥．再利用一次函数的性质即可解决最值问题.【详解】解：（1）设足球的单价为x元/个，跳绳的单价为y元/条，依题意，得：74510 5350x yy x+=⎧⎨-=⎩，解得：5040xy=⎧⎨=⎩．答：足球的单价为50元/个，跳绳的单价为40元/条．（2）设购买足球m个，总费用为w元，则购买跳绳（200﹣m）条，依题意，得：5040200108000w m m m =++（﹣）= ． ∵足球的数量不少于跳绳的数量的12， ∴1(200)2m m ≥- ， 解得：2003m ≥ ． ∵m 为整数，∴m≥67．∵10＞0，∴w 值随m 值的增大而增大，∴当m ＝67时，w 取得最小值，此时200﹣m ＝133．答：最省钱的购买方案是：购买足球67个，跳绳133条．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式以及一次函数的最值问题，找准等量关系，正确列出方程和不等式是解题关键.22．（1）；（2）x ＝﹣1.5．【解析】【分析】（1）根据0指数幂、特殊的三角函数值、绝对值及负整数指数幂即可解答.（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）原式＝13221+-++=+（2）去分母得：x 2＝x 2﹣2x ﹣3，移项合并得：﹣2x ＝3，解得：x ＝﹣1.5，经检验x ＝﹣1.5是原方程的解．【点睛】本题考查了0指数幂、特殊的三角函数值、绝对值、负整数指数幂及解分式方程，掌握各种运算的法则是关键，解分式方程必须检验.23．（1）A 、B 两种型号的仪器每台进价各是400元、300元；（2）有三种具体方案：①购进A 种仪器18台，购进B 种仪器64台；②购进A 种仪器19台，购进B 种仪器67台；③购进A 种仪器20台，购进B 种仪器70台．【解析】【分析】（1）设A 、B 两种型号的仪器每台进价各是x 元和y 元．此问中的等量关系：①购进A 种仪器2台和B 种仪器3台，共需要资金1700元；②购进A 种仪器3台几，B 种仪器1台，共需要资金1500元；依此列出方程组求解即可．（2）结合（1）中求得的结果，根据题目中的不等关系：①成本不超过30000元；②总利润不少于21 600元．列不等式组进行分析．【详解】解：（1）设A、B两种型号的仪器每台进价各是x元和y元．由题意得：231700 31500x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：400300 xy=⎧⎨=⎩．答：A、B两种型号的仪器每台进价各是400元、300元；（2）设购进A种仪器a台，则购进A种仪器（3a+10）台．则有：400300(310)30000(760400)(540300)(310)21600a aa a++⎧⎨-+-+⎩……，解得710 1720913a≤≤．由于a为整数，∴a可取18或19或20．所以有三种具体方案：①购进A种仪器18台，购进B种仪器64台；②购进A种仪器19台，购进B种仪器67台；③购进A种仪器20台，购进B种仪器70台．【点睛】考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．注意：利润＝售价﹣进价．24．【解析】【分析】先把分式化简，再把数代入求值．【详解】原式＝24 22xx x---=24 2xx --＝(2)(2)2x xx+--＝﹣（x+2），当x2时，原式＝22)-+=．【点睛】此题考查分式的加法，关键是寻找最简公分母，也要注意符号的处理．25．（1）﹣1，0，1，2，3；（2）11 xx-+.【解析】【分析】（1）根据解不等式组的方法可以求得该不等式组的解集，从而可以求得整数解；（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．【详解】解：（1）2151132523(2)x xx x-+⎧-≤⎪⎨⎪-<+⎩①②由不等式①得，x≥﹣1，由不等式②得，x＜4，∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜4，故其整数解为﹣1，0，1，2，3；（2）原式＝2 3422(1) (1)(1)(1)(1)(2)x x xx x x x x⎛⎫++--⋅⎪+-+-+⎝⎭＝22(1) (1)(1)(2)x xx x x+-⋅+-+＝11 xx-+．【点睛】本题考查分式的混合运算、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．。
浙江省中考数学一轮复习专题28——直线与圆的位置关系
浙江省中考数学一轮复习专题28——直线与圆的位置关系姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2021九上·淮安期末) 已知⊙O的直径为4，点O到直线m的距离为2，则直线m与⊙O的位置关系是（）A . 相交B . 相切C . 相离D . 无法判断2. （2分） (2019九上·阳信开学考) 已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥E，且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为（）cm．A . 14或2B . 14C . 2D . 63. （2分）(2019·新泰模拟) 如图，A（8，0）、B（0，6）分别是平面直解坐标系xOy坐标轴上的点，经过点O且与AB相切的动圆与x轴、y轴分别相交与点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）A . 4B . 5C . 4.6D . 4.84. （2分）如图，在△ABC中，AB=6， AC=12，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）A . 6B . 12C .D . 65. （2分）如L是⊙O的切线，要判定AB⊥L，还需要添加的条件是（）A . AB经过圆心OB . AB是直径C . AB是直径，B是切点D . AB是直线，B是切点6. （2分） (2019八上·兰考期中) 下列语句；①若，则与互为邻补角；②的角和的角都是补角；③连结AB，并延长到点C；④同角的余角相等.其中真命题有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个7. （2分）(2020·南宁模拟) 如图，AB为的直径，BC为的切线，弦AD∥OC，直线CD交的BA 延长线于点E，连接BD.下列结论：①CD是的切线；② ；③ ；④.其中正确结论的个数有（）A . 4个B . 3个C . 2个8. （2分）已知直线y=mx-1上有一点B(1，n)，它到原点的距离是，则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A .B . 或C . 或D . 或9. （2分）(2019·惠安模拟) 如图将一把直尺，含有60°的直角三角板和光盘如图摆放，已知点A为60°角与直尺交点，AB＝2，则光盘的直径是（）A . 2B . 2C . 4D . 410. （2分）(2020·铜仁) 如图，正方形的边长为4，点在边上，，，点F在射线上，且，过点作的平行线交的延长线于点，与相交于点G，连接、、 .下列结论：① 的面积为；② 的周长为8；③ ；其中正确的是B . ①③C . ①②D . ②③二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）(2017·淮安模拟) 如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径为________．12. （1分）⊙O的半径为5，直线l和点O的距离为d，若直线l与⊙O有公共点，则d的范围________ ．13. （1分）(2020·北京模拟) 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=________°(点A，B，P是格点)。
圆与直线的位置关系练习题
圆与直线的位置关系练习题圆与直线是几何学中常见的图形，它们之间的位置关系有着多种情况。
本文将通过一些练习题来深入探讨圆与直线的位置关系，帮助读者更好地理解和运用相关知识。
练习题一：圆内一点到圆的位置关系设有一个圆C，圆心为O，半径为r。
点P在圆C内部，距离圆心O的距离为d。
现在要画一条直线l通过点P，使得直线l与圆C相交于点A、B两个不同的点。
请问，在给定的条件下，直线l与圆C的位置关系有哪些可能性，并给出相应的解释。
解析：根据给定的条件，直线l必然与圆C相交于两个不同的点。
具体的位置关系取决于点P与圆心O之间的距离d与圆的半径r之间的关系。
以下是三种可能的情况：1. d > r：此时，点P与圆心O的距离大于圆的半径，直线l将穿过圆C的内部，与圆C相交于两个不同的点A、B。
2. d = r：此时，点P与圆心O的距离等于圆的半径，直线l刚好与圆C相切于点P。
3. d < r：此时，点P与圆心O的距离小于圆的半径，直线l将不会与圆C相交，即没有解。
练习题二：圆外一点到圆的位置关系现在考虑一个不同的情况，点P位于圆C的外部，距离圆心O的距离为d。
同样地，画一条直线l通过点P，使得直线l与圆C相交于点A、B两个不同的点。
请问，在给定的条件下，直线l与圆C的位置关系有哪些可能性，并给出相应的解释。
解析：与练习题一类似，直线l与圆C的位置关系取决于点P与圆心O之间的距离d与圆的半径r之间的关系。
以下是三种可能的情况：1. d > r：此时，点P与圆心O的距离大于圆的半径，直线l将与圆C相交于两个不同的点A、B。
2. d = r：此时，点P与圆心O的距离等于圆的半径，直线l将切割圆C并与圆相切于点P。
3. d < r：此时，点P与圆心O的距离小于圆的半径，直线l将穿过圆C的外部，无法与圆C相交。
练习题三：圆与平行直线的位置关系给定一条平行于$x$轴的直线$l$，圆C的圆心为O，半径为r。
专题训练28：直线与圆的位置关系-2021年中考数学一轮复习知识点课标要求
2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练28：直线与圆的位置关系（含答案）一、知识要点：直线和圆的位置关系直线和圆有两个公共点时，我们说这条直线和圆相交。
这条直线叫做圆的割线。
直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线和圆相切。
这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
直线和圆没有公共点时，我们说这条直线和圆相离。
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离d，则有：直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
二、课标要求：1、知道三角形的内心。
2、了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线。
三、常见考点：1、直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系。
2、切线的性质及判定。
四、专题训练：1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cos A＝，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定2．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（）A．0≤b＜2B．﹣2 C．﹣22D．﹣2＜b＜2 3．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1 B．2 C．D．4．如图，在平行四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，DC与⊙O相切于点E，点F是AD与⊙O 的交点，已知AB＝12，∠C＝60°，则弧FE的长等于（）A．6πB．3πC．2πD．π5．如图，在⊙O中，E是半径OA上一点，射线EF⊥OA，交圆于B，P为EB上任一点，射线AP交圆于C，D为射线BF上一点，且DC＝DP，下列结论：①CD为⊙O的切线；②PA＞PC；③∠CDP＝2∠A，其中正确的结论有（）A．3个B．2个C．1个D．0个6．如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（）A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定7．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA ＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（）A．4 B．6.25 C．7.5 D．98．如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5 B．4 C．3 D．29．如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC，若∠B＝44°，∠C＝56°，则∠AID的度数为何？（）A．174 B．176 C．178 D．18010．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）A．56°B．62°C．68°D．78°11．如图，直线l：y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为．12．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2﹣4x+m＝0的两根，当直线l 与⊙O相切时，m的值为．13．如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB＝3，BC＝4，P是BC边上的动点，设BP＝x，若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP＝90°，则x的取值范围是．15．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为．16．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD．若∠C ＝40°，则∠B的度数是°．17．如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为．18．如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为．19．如图，点A、B、D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，直线BC与⊙O的位置关系为．20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝．21．如图，⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F分别为切点，已知∠C＝90°，⊙O半径长为3cm，AC＝10cm，则AD长度为cm．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为°．23．边长为1的正三角形的内切圆半径为．24．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，且AE＝AC．（1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，求阴影部分的面积．25．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；（2）若∠CDB＝60°，AB＝6，求的长．26．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点．过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．（1）求证：∠A＝∠DOB；（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．27．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，，AD与BC相交于点E，AF与⊙O 相切于点A，与BC延长线相交于点F．（1）求证：AE＝AF．（2）若EF＝12，sin∠ABF＝，求⊙O的半径．28．如图，AC为⊙O的直径，AP为⊙O的切线，M是AP上一点，过点M的直线与⊙O交于点B，D两点，与AC交于点E，连接AB，AD，AB＝BE．（1）求证：AB＝BM；（2）若AB＝3，AD＝，求⊙O的半径．29．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．30．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2a，∠ABC＝60°，过点B的⊙O与边AB，BC分别交于E，F两点．OG⊥BC，垂足为G，OG＝a．连接OB，OE，OF．（1）若BF＝2a，试判断△BOF的形状，并说明理由；（2）若BE＝BF，求证：⊙O与AD相切于点A．31．如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB＝4，求FH的长（结果保留根号）．32．如图，⊙O的直径AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．33．如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，AD⊥DE 于点D．（1）求证：直线DE是⊙O的切线．（2）如果BE＝2，CE＝4，求线段AD的长．34．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，OC＝5，BC与⊙O交于点D，点E是的中点，EF∥BC，交OC的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）CG∥OD，交AB于点G，求CG的长．35．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，点P是⊙O上一点，且PA＝PC，PD∥AC，与BA的延长线交于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若tan∠PAC＝，AC＝12，求直径AB的长．36．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB ⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：E为△PAB的内心；（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．参考答案1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cos A＝，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定分析：根据三角函数的定义得到AC，根据勾股定理求得BC，和⊙B的半径比较即可．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cos A＝，∴＝＝，∴AC＝4，∴BC＝＝3，∵r＝3，∴BC＝r＝3，∴⊙B与AC的位置关系是相切，故选：B．点评：本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离．2．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（）A．0≤b＜2B．﹣2 C．﹣22D．﹣2＜b＜2分析：求出直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．解：当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．在y＝﹣x+b中，令x＝0时，y＝b，则与y轴的交点是（0，b），当y＝0时，x＝b，则A的交点是（b，0），则OA＝OB，即△OAB是等腰直角三角形．连接圆心O和切点C．则OC＝2．则OB＝OC＝2．即b＝2；同理，当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b＝﹣2．则若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2＜b＜2．故选：D．点评：本题考查了切线的性质，正确证得直线y＝﹣x+b与圆相切时，可得△OAB是等腰直角三角形是关键．3．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1 B．2 C．D．分析：连接OB，根据菱形的性质得到OA＝AB，求得∠AOB＝60°，根据切线的性质得到∠DBO ＝90°，解直角三角形即可得到结论．解：连接OB，∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝AB＝OB，∴∠AOB＝60°，∵BD是⊙O的切线，∴∠DBO＝90°，∵OB＝1，∴BD＝OB＝，故选：D．点评：本题考查了切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练正确切线的性质定理是解题的关键．4．如图，在平行四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，DC与⊙O相切于点E，点F是AD与⊙O 的交点，已知AB＝12，∠C＝60°，则弧FE的长等于（）A．6πB．3πC．2πD．π分析：首先求出圆心角∠EOF的度数，再根据弧长公式l＝，即可解决问题．解：如图，连接OE、OF，∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，∴∠OED＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝60°，∴∠A＝∠C＝60°，∠D＝120°，∵OA＝OF，∴∠A＝∠OFA＝60°，∴∠DFO＝120°，∴∠EOF＝360°﹣∠D﹣∠DFO﹣∠DEO＝30°，∵AB＝12，∴OA＝6，∴的长为：．故选：D．点评：本题考查切线的性质、平行四边形的性质、弧长公式等知识，解题的关键是求出圆心角的度数，熟记弧长公式．5．如图，在⊙O中，E是半径OA上一点，射线EF⊥OA，交圆于B，P为EB上任一点，射线AP交圆于C，D为射线BF上一点，且DC＝DP，下列结论：①CD为⊙O的切线；②PA＞PC；③∠CDP＝2∠A，其中正确的结论有（）A．3个B．2个C．1个D．0个分析：根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案．解：∵DC＝DP，∴∠DPC＝∠DCP，∵∠DPC＝∠APE，∴∠DCP＝∠APE，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA；∵∠OAC+∠APE＝90°，∴∠OCA+∠DCP＝90°，∴CD为⊙O的切线（①正确）；②不一定；连接CO，∵CD是⊙O的切线，∴∠DCP＝∠AOC．∵∠DCP＝（180°﹣2∠A），又∵∠DCP＝（180°﹣∠CDP），∴180°﹣2∠A＝180°﹣∠CDP，∴∠CDP＝2∠A，③正确．故选：B．点评：本题主要考查了切线的判定的理解及运用．6．如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（）A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定分析：连接BI，如图，根据三角形内心的性质得∠1＝∠2，∠5＝∠6，再根据圆周角定理得到∠3＝∠1，然后利用三角形外角性质和角度的代换证明∠4＝∠DBI，从而可判断DI＝DB．解：连接BI，如图，∵△ABC内心为I，∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，∵∠3＝∠1，∴∠3＝∠2，∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5，即∠4＝∠DBI，∴DI＝DB．故选：A．点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．7．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA ＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（）A．4 B．6.25 C．7.5 D．9分析：利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，∠A＝90°，再利用切线的性质得到OF⊥AB，OE⊥AC，所以四边形OFAE为正方形，设OE＝AE＝AF＝r，利用切线长定理得到BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，所以5﹣r+12﹣r＝13，然后求出r后可计算出阴影部分（即四边形AEOF）的面积．解：∵AB＝5，BC＝13，CA＝12，∴AB2+CA2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵AB、AC与⊙O分别相切于点E、F∴OF⊥AB，OE⊥AC，∴四边形OFAE为正方形，设OE＝r，则AE＝AF＝r，∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∴BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，∴5﹣r+12﹣r＝13，∴r＝＝2，∴阴影部分（即四边形AEOF）的面积是2×2＝4．故选：A．点评：本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理的逆定理和切线的性质．8．如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5 B．4 C．3 D．2分析：连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD＝DI，同理BE＝EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB 的长．解：连接AI、BI，∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，∴∠CAI＝∠BAI，由平移得：AC∥DI，∴∠CAI＝∠AID，∴∠BAI＝∠AID，∴AD＝DI，同理可得：BE＝EI，∴△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+AD+BE＝AB＝4，即图中阴影部分的周长为4，故选：B．点评：本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．9．如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC，若∠B＝44°，∠C＝56°，则∠AID的度数为何？（）A．174 B．176 C．178 D．180分析：连接CI，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由I点为△ABC的内心，可得出∠CAI、∠ACI、∠DCI的度数，利用三角形内角和定理可得出∠AIC、∠CID的度数，再由∠AID＝∠AIC+∠CID即可求出∠AID的度数．解：连接CI，如图所示．在△ABC中，∠B＝44°，∠ACB＝56°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝80°．∵I点为△ABC的内心，∴∠CAI＝∠BAC＝40°，∠ACI＝∠DCI＝∠ACB＝28°，∴∠AIC＝180°﹣∠CAI﹣∠ACI＝112°，又ID⊥BC，∴∠CID＝90°﹣∠DCI＝62°，∴∠AID＝∠AIC+∠CID＝112°+62°＝174°．故选：A．点评：本题考查了三角形的内心、三角形内角和定理以及角平分线的性质，根据三角形内心的性质结合三角形内角和定理求出∠AIC、∠CID的度数是解题的关键．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）A．56°B．62°C．68°D．78°分析：由点I是△ABC的内心知∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，从而求得∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，∵∠AIC＝124°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）＝68°，又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B＝68°，故选：C．点评：本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．11．如图，直线l：y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为2﹣2或2+2．．分析：根据直线l：y＝﹣x+1由x轴的交点坐标A（0，1），B（2，0），得到OA＝1，OB ＝2，求出AB＝；设⊙M与AB相切与C，连接MC，则MC＝2，MC⊥AB，通过△BMC∽△BAO，即可得到结果．解：在y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝2，∴A（0，1），B（2，0），∴AB＝；如图，设⊙M与AB相切与C，连接MC，则MC＝2，MC⊥AB，∵∠MCB＝∠AOB＝90°，∠ABO＝∠CBM，∴△BMC～△BAO，∴，即，∴BM＝2，∴OM＝2﹣2，或OM＝2+2．∴m＝2﹣2或m＝2+2．故答案为：2﹣2，2+2．点评：本题考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，注意分类讨论是解题的关键．12．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2﹣4x+m＝0的两根，当直线l 与⊙O相切时，m的值为 4 ．分析：先根据切线的性质得出方程有且只有一个根，再根据△＝0即可求出m的值．解：∵d、R是方程x2﹣4x+m＝0的两个根，且直线L与⊙O相切，∴d＝R，∴方程有两个相等的实根，∴△＝16﹣4m＝0，解得，m＝4，故答案为：4．点评：本题考查的是切线的性质及一元二次方程根的判别式，熟知以上知识是解答此题的关键．13．如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是﹣≤x≤且x≠0 ．分析：由题意得x有两个极值点，过点P与⊙O相切时，x取得极值，作出切线，利用切线的性质求解即可．解：将OA平移至P'D的位置，使P'D与圆相切，连接OD，由题意得，OD＝1，∠DOP'＝45°，∠ODP'＝90°，故可得OP'＝，即x的极大值为，同理当点P在y轴左边时也有一个极值点，此时x取得极小值，x＝﹣，综上可得x的范围为：﹣≤x≤．又∵DP'与OA平行，∴x≠0，故答案为：﹣≤x≤且x≠0．点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系，分别得出两圆与圆相切时求出OP的长是解决问题的关键，难度一般，注意两个极值点的寻找．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB＝3，BC＝4，P是BC边上的动点，设BP＝x，若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP＝90°，则x的取值范围是3≤x≤4 ．分析：根据已知首先找出BP取最小值时QO⊥AC，进而求出△ABC∽△OQC，再求出x的最小值，进而求出PB的取值范围即可．解：取BP中点O，以BP为直径作⊙O，连接QO，当QO⊥AC时，QO最短，即BP最短，∵∠OQC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，∴△ABC∽△OQC，∴＝，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，∵BP＝x，∴QO＝x，CO＝4﹣x，∴＝，解得：x＝3，当P与C重合时，BP＝4，∴BP＝x的取值范围是：3≤x≤4，故答案为：3≤x≤4．点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系以及三角形的相似的性质与判定和勾股定理等知识，找出当QO⊥AC时，QO最短即BP最短，进而利用相似求出是解决问题的关键．15．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为55°．分析：由直径所对的圆周角为直角得∠AED＝90°，由切线的性质可得∠ADC＝90°，然后由同角的余角相等可得∠C＝∠ADE＝55°．解：∵AD为⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∴∠ADE+∠DAE＝90°；∵⊙O与BC相切，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠DAE＝90°，∴∠C＝∠ADE，∵∠ADE＝55°，∴∠C＝55°．故答案为：55°．点评：本题考查了切线的性质、圆的相关概念及性质及互余关系等知识点，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．16．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD．若∠C ＝40°，则∠B的度数是25 °．分析：先根据切线的性质得∠OAC＝90°，再利用互余计算出∠AOC＝90°﹣∠C＝50°，由于∠OBD＝∠ODB，利用三角形的外角性质得∠OBD＝∠AOC＝25°．解：∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAC＝90°，∴∠AOC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，而∠AOC＝∠OBD+∠ODB，∴∠OBD＝∠AOC＝25°，即∠ABD的度数为25°，故答案为：25．点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质．17．如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为2﹣π．分析：连接OD，根据菱形的性质得到OA＝AB，得到△OAB为等边三角形，根据切线的性质得到OD⊥AB，根据余弦的定义求出OD，根据菱形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．解：连接OD，∵四边形OABC为菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形，∴∠A＝∠AOB＝60°，∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴OD＝OA•sin A＝，同理可知，△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴图中阴影部分的面积＝2×﹣＝2﹣π，故答案为：2﹣π．点评：本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握切线的性质定理、扇形面积公式是解题的关键．18．如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为．分析：连接OG，QG，证明△DOG∽△DFC，得出，设OG＝OF＝x，则，求出圆的半径为，证明△OFQ为等边三角形，求出CQ，CG，则可由三角形的面积公式求出答案．解：连接OG，QG，∵将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，∴AD＝DF＝4，BF＝CF＝2，∵矩形ABCD中，∠DCF＝90°，∴∠FDC＝30°，∴∠DFC＝60°，∵⊙O与CD相切于点G，∴OG⊥CD，∵BC⊥CD，∴OG∥BC，∴△DOG∽△DFC，∴，设OG＝OF＝x，则，解得：x＝，即⊙O的半径是．连接OQ，作OH⊥FQ，∵∠DFC＝60°，OF＝OQ，∴△OFQ为等边三角形；同理△OGQ为等边三角形；∴∠GOQ＝∠FOQ＝60°，OH＝OQ＝，∴QH＝＝，∴CQ＝∵四边形OHCG为矩形，∴OH＝CG＝，∴S阴影＝S△CGQ＝＝＝．故答案为：．点评：本题考查了扇形面积的计算，切线的性质，翻折变换，熟练掌握基本图形的性质是解题的关键．19．如图，点A、B、D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，直线BC与⊙O的位置关系为相切．分析：先利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系求出∠BOC＝2∠A＝50°，再求，∠OBC＝180°﹣50°﹣40°＝90°，可得结论．解：∵∠BOC＝2∠A＝50°，∠OCB＝40°，∴在△OBC中，∠OBC＝180°﹣50°﹣40°＝90度．∴直线BC与⊙O相切．点评：此题主要考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系，及圆的切线的判定．20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝ 1 ．分析：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理可得AB＝5，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，可得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，可得矩形EOFC，再根据切线长定理可得CE＝CF，所以矩形EOFC是正方形，可得CE＝CF＝r，所以AF＝AD＝3﹣r，BE＝BD＝4﹣r，进而可得△ABC的内切圆半径r的值．解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理，得AB＝5，如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∵∠C＝90°，∴四边形EOFC是矩形，根据切线长定理，得CE＝CF，∴矩形EOFC是正方形，∴CE＝CF＝r，∴AF＝AD＝AC﹣FC＝3﹣r，BE＝BD＝BC﹣CE＝4﹣r，∵AD+BD＝AB，∴3﹣r+4﹣r＝5，解得r＝1．则△ABC的内切圆半径r＝1．故答案为：1．点评：本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心．21．如图，⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F分别为切点，已知∠C＝90°，⊙O半径长为3cm，AC＝10cm，则AD长度为7 cm．分析：连接OD、OE、OF，如图，根据内切圆的定义和切线的性质得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，接着证明四边形OECF为正方形，则CE＝OE＝3，所以AF＝AC﹣CF＝7，然后根据切线长定理求AD．解：连接OD、OE、OF，如图，设⊙O的半径为r，∵⊙O为△ABC内切圆，与三边分别相切于D、E、F，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∴四边形OECF为矩形而OF＝OE，∴四边形OECF为正方形，∴CE＝OE＝3，∵AC＝10，∴AF＝AC﹣CF＝7，∴AD＝AF＝7（cm）．故答案为7．点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了切线的性质与切线长定理．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为75 °．分析：连接DO，FO，利用切线的性质得出∠ODA＝∠OFA＝90°，再利用三角形内角和以及四边形内角和定理求出∠DOF的度数，进而利用圆周角定理得出∠DEF的度数．解：连接DO，FO，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°∴∠A＝30°，∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∴∠ODA＝∠OFA＝90°，∴∠DOF＝150°，∴∠DEF的度数为75°．故答案为：75．点评：此题主要考查了圆周角定理以及切线的性质和四边形内角和定理等知识，得出∠DOF ＝150°是解题关键．23．边长为1的正三角形的内切圆半径为．分析：根据等边三角形的三线合一，可以构造一个由其内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成的30°的直角三角形，利用锐角三角函数关系求出内切圆半径即可．解：∵内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成一个30°的直角三角形，则∠OBD＝30°，BD＝，∴tan∠OBD＝＝，∴内切圆半径OD＝＝．故答案为：．点评：此题主要考查了三角形的内切圆，注意：根据等边三角形的三线合一，可以发现其内切圆的半径、外接圆的半径和半边正好组成了一个30°的直角三角形．24．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，且AE＝AC．（1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，求阴影部分的面积．分析：（1）连接OA、AD，可求得∠ACE＝∠AEC＝30°，可证明△AOD为等边三角形，可求得∠EAO＝90°，可证明AE为⊙O的切线；（2）结合（1）可得到OA＝2，AE＝6，再根据圆的面积公式和扇形面积公式即可求解．（1）证明：连接OA、AD，如图，∵CD为⊙O的直径，∴∠DAC＝90°，又∵∠ADC＝∠B＝60°，∴∠ACE＝30°，又∵AE＝AC，OA＝OD，∴△ADO为等边三角形，∴∠AEC＝30°，∠ADO＝∠DAO＝60°，∴∠EAD＝30°，∴∠EAD+∠DAO＝90°，∴∠EAO＝90°，即OA⊥AE，∴AE为⊙O的切线；（2）解：由（1）可知△AEO为直角三角形，且∠E＝30°，∴OA＝2，AE＝6，∴阴影部分的面积为×6×2﹣＝6﹣2π．故阴影部分的面积为6﹣2π．点评：本题主要考查切线的判定和性质，掌握切线的证明方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点证明垂直，没有切点时，作垂直证明距离等于半径．注意这类问题的常用辅助线的作法．25．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；（2）若∠CDB＝60°，AB＝6，求的长．分析：（1）连接OD，只需证明∠ODC＝90°即可；（2）由（1）中的结论可得∠ODB＝30°，可求得弧AD的圆心角度数，再利用弧长公式求得结果即可．解：（1）相切．理由如下：连接OD，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABD，又∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥CB，∴∠ODC＝∠C＝90°，∴CD与⊙O相切；（2）若∠CDB＝60°，可得∠ODB＝30°，∴∠AOD＝60°，又∵AB＝6，∴AO＝3，∴的长＝＝π．点评：此题主要考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质及圆周角定理的运用．一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．26．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点．过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．（1）求证：∠A＝∠DOB；（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．分析：（1）连接OC，由D为的中点，得到＝，根据圆周角定理即可得到结论；（2）根据平行线的判定定理得到AE∥OD，根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到结论．（1）证明：连接OC，∵D为的中点，∴＝，∴∠BOD＝BOC，∵∠BAC＝BOC，∴∠A＝∠DOB；（2）解：DE与⊙O相切，理由：∵∠A＝∠DOB，∴AE∥OD，∵DE⊥AE，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切．点评：本题考查了直线与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．27．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，，AD与BC相交于点E，AF与⊙O相切于点A，与BC延长线相交于点F．（1）求证：AE＝AF．（2）若EF＝12，sin∠ABF＝，求⊙O的半径．分析：（1）由切线的性质得出∠FAB＝90°，由圆周角定理得出∠CAE＝∠D，∠D＝∠B，证得∠F＝∠CEA，则可得出结论；（2）由锐角三角函数的定义得出，求出AE＝10，由勾股定理求出AC，则可求出AB的长．（1）证明：∵AF与⊙O相切于点A，∴FA⊥AB，∴∠FAB＝90°，∴∠F+∠B＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAE+∠CEA＝90°，∵＝，∴∠CAE＝∠D，∴∠D+∠CEA＝90°，∵∠D＝∠B，∴∠B+∠CEA＝90°，∴∠F＝∠CEA，∴AE＝AF．（2）解：∵AE＝AF，∠ACB＝90°，∴CF＝CE＝EF＝6，∵∠ABF＝∠D＝∠CAE，∴sin∠ABF＝sin∠CAE＝，∴，∴AE＝10，∴AC＝＝＝8，∵sin∠ABC＝＝＝，∴AB＝，∴OA＝AB＝．即⊙O的半径为．点评：本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键．28．如图，AC为⊙O的直径，AP为⊙O的切线，M是AP上一点，过点M的直线与⊙O交于点B，D两点，与AC交于点E，连接AB，AD，AB＝BE．（1）求证：AB＝BM；（2）若AB＝3，AD＝，求⊙O的半径．分析：（1）根据切线的性质以及等腰三角形的性质即可求出答案．（2）连接BC，先求出EM与AE的长度，再证明△MAE∽△CBA，根据相似三角形的性质即可求出答案．解：（1）∵AP为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，∴AP⊥AC，∴∠CAB+∠PAB＝90°，∴∠AMD+∠AEB＝90°，∵AB＝BE，∴∠AEB＝∠CAB，∴∠AMD＝∠PAB，∴AB＝BM．（2）连接BC，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠CAB＝90°，∵∠CAB+∠PAB＝90°∴∠C＝∠PAB，∵∠AMD＝∠MAB，∠C＝∠D，∴∠AMD＝∠D＝∠C，∴AM＝AD＝，∵AB＝3，AB＝BM＝BE，∴EM＝6，∴由勾股定理可知：AE＝＝，∵∠AMD＝∠C，∠EAM＝∠ABC＝90°，∴△MAE∽△CBA，∴＝，∴，∴CA＝5，∴⊙O的半径为2.5．点评：本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理以及等腰三角形的性质．29．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．分析：（1）连接AD、OD．先证明∠ADB＝90°，∠EDO＝90°，从而可证明∠EDA＝∠ODB，由OD＝OB可得到∠EDA＝∠OBD，由等腰三角形的性质可知∠CAD＝∠BAD，故此∠EAD+∠EDA ＝90°，由三角形的内角和定理可知∠DEA＝90°，于是可得到DE⊥AC．（2）由等腰三角形的性质求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案．（1）证明：连接AD、OD．∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°．∴∠ADO+∠ODB＝90°．∵DE是圆O的切线，∴OD⊥DE．∴∠EDA+∠ADO＝90°．∴∠EDA＝∠ODB．∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD．∴∠EDA＝∠OBD．∵AC＝AB，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD．∵∠DBA+∠DAB＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°．∴∠DEA＝90°．∴DE⊥AC．（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝AC，∴BD＝CD，∵⊙O的半径为5，BC＝16，∴AC＝10，CD＝8，∴AD＝＝6，∵S△ADC＝AC•DE，∴DE＝＝＝．点评：本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理，三角形的面积等知识，掌握切线的性质是解题的关键．30．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2a，∠ABC＝60°，过点B的⊙O与边AB，BC分别交于E，F两点．OG⊥BC，垂足为G，OG＝a．连接OB，OE，OF．（1）若BF＝2a，试判断△BOF的形状，并说明理由；（2）若BE＝BF，求证：⊙O与AD相切于点A．分析：（1）由垂径定理得到BG＝FG＝a，则BG＝OG，FG＝OG，所以△BOG和△OFG都是等腰直角三角形，则∠BOF＝90°，从而可判断△BOF为等腰直角三角形．（2）连接EF，如图，先证明△BEF为等边三角形，再证明点E、O、G共线，即EG⊥BF，接着计算出BE＝2BG＝2a＝AB，则可判断点A与点E重合，然后证明AG⊥AD，从而得到⊙O 与AD相切于点A．（1）解：△BOF为等腰直角三角形．理由如下：∵OG⊥BC，∴BG＝FG＝BF＝a，∵OG＝a，∴BG＝OG，FG＝OG，∴△BOG和△OFG都是等腰直角三角形，∴∠BOG＝∠FOG＝45°，∴∠BOF＝90°，而OB＝OF，∴△BOF为等腰直角三角形．（2）证明：连接EF，如图，∵∠EBF＝60°，BF＝BE，∴△BEF为等边三角形，∴EB＝EF，∵OG垂直平分BF，∴点E、O、G共线，即EG⊥BF，∵OG＝a，∠OBG＝30°，∴BG＝OG＝a，∴BE＝2BG＝2a，而AB＝2a，∴点A与点E重合，。
全国中考数学复习第六单元圆第28课时直线与圆的位置关系课件
∴∠ADC=90°,∴∠OCD=∠ADC=90°,
∴直线 DC 是☉O 的切线.
(2)连接 BC,∵AB 是☉O 的直径,
∴∠ACB=90°,AB=2AO,∴∠ACB=∠ADC=
90°,又∵∠DAC=∠BAC,∴△ ADC∽△ACB,
∴������������
2.[2017·丽水] 如图 28-7,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,以 BC 为直径的☉O 交 AB 于点 D,切线 DE 交 AC 于点 E. (1)求证:∠A=∠ADE; (2)若 AD=16,DE=10,求 BC 的长.
解:(1)证明:如图,连接 OD, ∵DE 是☉O 的切线,∴∠ODE=90°, ∴∠ADE+∠BDO=90°. ∵∠ACB=90°,∴∠A+∠ABC=90°. ∵OD=OB,∴∠DBO=∠BDO. ∴∠ADE=∠A.
∠APD,∠BOC=2∠A,∠CPO=2∠APD,∠PCO =90°,∴∠CDP=12∠BOC+12∠CPO=12(∠BOC+ ∠CPO)=1×90°=45°.
2
课堂考点探究
针对训练
1.[2018·连云港] 如图 28-6,AB 是☉O 的弦,点 C 在过点 B
的切线上,且 OC⊥OA,OC 交 AB 于点 P,已知∠OAB=22°,
课前双基巩固
3.[九上 P102 习题 24.2 第 11 题改编] 如图 28-2,AB,BC,CD 分
别与☉O 相切于 E,F,G 三点,且 AB∥CD,BO=6 cm,CO=8 cm,
则 BC=
cm.
图 28-2
[答案] 10
[解析] ∵AB,BC,CD 分别与☉O 相切于 E,F,G
2019年中考数学总复习第六单元圆课时训练28直线与圆的位置关系练习
课时训练(二十八) 直线与圆的位置关系|夯实基础|1.如图28-10,∠O=30°,C为OB上一点,且OC=6,以点C为圆心,3为半径的圆与直线OA的位置关系是()图28-10A.相离B.相交C.相切D.以上三种情况均有可能2.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,以点C为圆心,2.5cm为半径画圆,则☉C与直线AB的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定3.如图28-11,AB是☉O的直径,直线PA与☉O相切于点A,PO交☉O于点C,连接BC,若∠P=40°,则∠ABC的度数为()图28-11A.20°B.25°C.40°D.50°4.如图28-12,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,若∠C=65°,则∠P的度数为()图28-12A.65°B.130°C.50°D.100°5.[2016·昆区三模] 如图28-13,已知AB为☉O的直径,AD切☉O于点A,=,则下列结论不一定正确的是()图28-13A.BA⊥DAB.OC∥AEC.∠COE=2∠CAED.OD⊥AC6.如图28-14,在△ABC中,已知∠C=90°,BC=3,AC=4,则它的内切圆半径是()图28-14A.B.1C.2D.7.[2018·烟台] 如图28-15,四边形ABCD内接于☉O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数是()图28-15A.56°B.62°C.68°D.78°8.如图28-16,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点, ∠CDB=30°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E, 则sin E 的值为()图28-16A.B.C.D.9.[2015·包头样题三] 如图28-17,PA,PB分别切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,交PA,PB于点C,D,连接PO,若☉O的半径为r,△PCD的周长等于3r,则tan∠APO的值为()图28-17A.B.C.D.10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心,R为半径作☉C.当R时,☉C与直线AB相交;当R时,☉C与直线AB相切;当R时,☉C与直线AB相离.11.[2018·长沙] 如图28-18,点A,B,D在☉O上,∠A=20°,BC是☉O的切线,B为切点,OD的延长线交BC于点C,则∠OCB=°.图28-1812.[2018·连云港] 如图28-19,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,已知∠OAB=22°,则∠OCB=°.图28-1913.[2018·安徽] 如图28-20,菱形ABOC的边AB,AC分别与☉O相切于点D,E,若点D是AB的中点,则∠DOE=°.图28-2014.[2017·连云港] 如图28-21,线段AB与☉O相切于点B,线段AO与☉O相交于点C,AB=12,AC=8,则☉O的半径长为.图28-2115.[2016·包头] 如图28-22,已知AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C的切线与AB的延长线交于点P,连接AC,若∠A=30°,PC=3,则BP的长为.图28-2216.如图28-23所示,PA,PB为☉O的两条切线,A,B为切点,∠P=80°,则圆周角∠ACB=度.图28-2317.如图28-24,PA,PB,CD分别为☉O的切线,切点分别为A,B,E,其中CD⊥PB于点D,交PA于点C.若CD=3,PD=4,则☉O的半径为.图28-2418.[2018·金华、丽水] 如图28-25,在Rt△ABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB的长为半径作圆,分别与BC,AB 相交于点D,E,连接AD.已知∠CAD=∠B.(1)求证:AD是☉O的切线;(2)若BC=8,tan B=,求☉O的半径.图28-2519.[2018·南充] 如图28-26,C是☉O上一点,点P在直径AB的延长线上,☉O的半径为3,PB=2,PC=4.(1)求证:PC是☉O的切线;(2)求tan∠CAB的值.图28-2620.[2018·成都] 如图28-27,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的☉O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G.(1)求证:BC是☉O的切线;(2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长;(3)若BE=8,sin B=,求DG的长.图28-2721.[2013·包头] 如图28-28,已知在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,且与BP交于点E.(1)求证:PA是☉O的切线;(2)过点C作CF⊥AD,垂足为F,延长CF交AB于点G,若AG·AB=12,求AC的长;(3)在满足(2)的条件下,若AF∶FD=1∶2,GF=1.求☉O的半径及sin∠ACE的值.图28-2822.[2015·包头] 如图28-29,AB是☉O的直径,D是上的一点,且∠BDE=∠CBE,BD与AE相交于点F.(1)求证:BC是☉O的切线;(2)若BD平分∠ABE,求证:DE2=DF·DB;(3)在(2)的条件下,延长ED,BA交于点P,若PA=AO,DE=2,求PD的长和☉O的半径.图28-29|拓展提升|23.如图28-30,在正方形ABCD中,E为AD的中点,AF⊥BE交BE于点G,交CD于点F,连接CG并延长交AD于点H.下列结论:①CG=CB;②=;③=;④以AB为直径的圆与CH相切于点G.其中正确的是.(填写所有正确结论的序号)图28-30参考答案1.C2.A3.B4.C5.D6.B7.C[解析]∵点I是△ABC的内心,∴AI,CI是△ABC的角平分线,∴∠AIC=90°+∠B=124°,∴∠B=68°.∵四边形ABCD 是☉O的内接四边形,∴∠CDE=∠B=68°.故选C.8.A9.B10.> = <11.50[解析] ∠A=20°,由圆周角定理,得∠O=2∠A=40°,因为BC与☉O相切,所以OB⊥BC,∠OBC=90°,所以Rt△OBC 中,∠OCB=90°-∠O=50°.12.44[解析] 如图,连接OB.∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=22°,∴∠AOB=136°.∵OC⊥OA,∴∠AOC=90°,∴∠COB=46°.∵CB是☉O的切线,∴∠OBC=90°,∴∠OCB=90°-46°=44°.13.60[解析] 如图,连接OA,∵四边形ABOC是菱形,∴BA=BO.∵AB与☉O相切于点D,∴OD⊥AB.∵D是AB的中点,∴OD是AB的垂直平分线,∴OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴∠AOD=∠AOB=30°.同理∠AOE=30°,∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°,故答案为60.14.5[解析] 连接OB,根据切线的性质可知OB⊥AB,设☉O的半径为r,然后根据勾股定理可得r2+122=(r+8)2,解得r=5.15.16.13017.218.解:(1)证明:如图,连接OD.∵OB=OD,∴∠3=∠B.∵∠B=∠1,∴∠3=∠1.在Rt△ACD中,∠1+∠2=90°,∴∠3+∠2=90°,∴∠4=180°-(∠2+∠3)=180°-90°=90°,∴OD⊥AD.∵OD是☉O的半径,∴AD是☉O的切线.(2)设☉O的半径为r.在Rt△ABC中,AC=BC·tan B=8×=4,∴AB===4,∴OA=4-r.在Rt△ACD中,tan∠1=tan B=,∴CD=AC·tan∠1=4×=2,∴AD2=AC2+CD2=42+22=20.在Rt△ADO中,OA2=OD2+AD2,∴(4-r)2=r2+20,解得r=.故☉O的半径是.19.解:(1)证明:如图,连接OC.∵☉O的半径为3,∴OC=OB=3.又∵PB=2,∴OP=5.在△OCP中,OC2+PC2=32+42=52=OP2,∴△OCP为直角三角形,∠OCP=90°,∴OC⊥PC.∵OC是☉O的半径,∴PC是☉O的切线.(2)如图,过点C作CD⊥OP于点D,则∠ODC=∠OCP=90°.∵∠COD=∠POC,∴△OCD∽△OPC,∴==,∴OD==,=,∴CD=,∴AD=OA+OD=,∴在Rt△CAD中,tan∠CAB==.20.[解析](1)连接OD,根据同圆半径相等及角平分线条件得到∠DAC=∠ODA,得OD∥AC,切线得证;(2)连接EF,DF,根据直径所对的圆周角为直角,证明∠AFE=90°,可得EF∥BC,因此∠B=∠AEF,再利用同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠ADF,从而证明△ABD∽△ADF,可得AD与AB,AF的关系;(3)根据∠AEF=∠B,利用三角函数,分别在Rt△DOB和Rt△AFE中求出☉O的半径和AF,代入(2)的结论中,求出AD,再利用两角对应相等,证明△OGD∽△FGA,再利用对应边成比例,求出DG∶AG的值,即可求得DG的长.解:(1)证明:如图,连接OD.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵AD平分∠BAC,∴∠OAD=∠DAC,∴∠DAC=∠ODA,∴OD∥AC,∴∠ODB=∠C=90°,∴OD⊥BC.∵OD为☉O的半径,∴BC是☉O的切线.(2)如图,连接EF,DF.∵AE为☉O的直径,∴∠AFE=90°,∴∠AFE=∠C=90°,∴EF∥BC,∴∠B=∠AEF.∵∠ADF=∠AEF,∴∠B=∠ADF.又∵∠OAD=∠DAC,∴△ABD∽△ADF,∴=,∴AD2=AB·AF,∴AD=.(3)设☉O的半径为r,在Rt△DOB中,sin B==,∴=,解得r=5,∴AE=10.在Rt△AFE中,sin∠AEF=sin B=,∴AF=10×=,∴AD==.∵∠ODA=∠DAC,∠DGO=∠AGF,∴△OGD∽△FGA,∴==,∴=,∴DG=.21.解:(1)证明:如图,连接CD.∵AD是☉O的直径, ∴∠ACD=90°,∴∠CAD+∠ADC=90°.∵∠PAC=∠PBA,∠ADC=∠PBA,∴∠PAC=∠ADC,∴∠CAD+∠PAC=90°,∴PA⊥OA.∵OA是☉O的半径,∴PA是☉O的切线.(2)由(1)知PA⊥AD.又∵CF⊥AD,∴CF∥PA,∴∠GCA=∠PAC.又∵∠PAC=∠PBA,∴∠GCA=∠PBA,而∠CAG=∠BAC,∴△CAG∽△BAC,∴AC2=AG·AB.∵AG·AB=12,∴AC2=12,∴AC=2.(3)设AF=x,∵AF∶FD=1∶2,∴FD=2x,∴AD=AF+FD=3x.在Rt△ACD中,∵CF⊥AD,∴AC2=AF·AD,即12=3x2,∴x=2(负值已舍去),∴AF=2,AD=6,∴☉O的半径为3.在Rt△AFG中,∵AF=2,GF=1,∴根据勾股定理,得AG===.由(2)知,AG·AB=12,∴AB==.如图,连接BD.∵AD是☉O的直径,∴∠ABD=90°.在Rt△ABD中,∵sin∠ADB=,AD=6,AB=,∴sin∠ADB=.∵∠ACE=∠ACB=∠ADB,∴sin∠ACE=.22.解:(1)证明:∵AB是☉O的直径, ∴∠AEB=90°,∴∠EAB+∠EBA=90°.∵∠BDE=∠EAB,∠BDE=∠CBE,∴∠EAB=∠CBE,∴∠ABE+∠CBE=90°,∴CB⊥AB.∵AB是☉O的直径,∴BC是☉O的切线.(2)证明:∵BD平分∠ABE,∴∠ABD=∠DBE,∴=,∴∠DEA=∠DBE.又∵∠EDF=∠BDE,∴△DEF∽△DBE,∴=,∴DE2=DF·DB.(3)如图,连接AD,OD.∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD.又∵∠EBD=∠OBD,∴∠EBD=∠ODB,∴OD∥BE,∴=.∵PA=AO,∴PA=AO=OB,∴=,∴=,∴=.∵DE=2,∴PD=4.∵∠PDA+∠ADE=180°,∠ABE+∠ADE=180°,∴∠PDA=∠ABE.∵OD∥BE,∴∠AOD=∠ABE,∴∠PDA=∠AOD.∵∠P=∠P,∴△PDA∽△POD,∴=.设OA=x,∴PA=x,PO=2x,∴=,∴2x2=16,x=2(负值已舍去),∴OA=2.即PD的长为4,☉O的半径为2.23.①②③④。
2019届中考数学专题复习圆_直线与圆的位置关系专题训练
圆—直线与圆的位置关系1. 已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是( )2. 已知，⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为( )A.0个B.1个C.2个D.无法确定3.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA.PB，切点分别为A.B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( )A.4B.8C.4 3D.8 34.如图，点P在⊙O外，PA.PB分别与⊙O相切于A.B两点，∠P＝50°，则∠AOB等于( )A.150°B.130°C.155°D.135°5.直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为5，则半径r的取值范围是( )A. r＞5B. r＝5C.0＜r＜5D.0＜r≤56.如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2.若∠OBA＝30°，则OB的长为( )A.4 3B.4C.2 3D.27. 如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA.CD是⊙O的切线，A.D为切点，连接BD.AD，若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是( )A.15°B.30°C.60°D.75°8. 已知，⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为( )A.0个B.1个C.2个D.无法确定9. 已知直线l与⊙O相切，若圆心O到直线l的距离是5，则⊙O的半径是.10. 已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是.11. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝4cm.以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是.12. 已知⊙O的半径是5，圆心O到直线AB的距离为2，则⊙O上有且只有个点到直线AB的距离为3.13. ⊙O的半径为R，圆心O到直线l的距离为d.若D.R是方程2－8＋16＝0的两个实数根，则直线l和圆O的位置关系是.14. 如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：(1)当d＝3时，m＝；(2)当m＝2时，d的取值范围是.15. 如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A.B两点，PC切半圆于点C.已知PC＝3，PB＝1，该半圆的半径为.16. 如图，在直角坐标系中，点O′的坐标为(2,0)，⊙O′与轴相交于原点和点A，又B.C.E三点的坐标分别为(－1,0)，(0,3)，(0，b)，且0＜b＜3.(1)求点A的坐标和经过B.C两点的直线的解析式；(2)当点E在线段OC上移动时，直线BE与⊙O有哪几种位置关系？求出每种位置关系时b的取值范围.17. 如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD.(1)求证：BD平分∠ABH；(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离.18. 如图，等腰△OAB中，OA＝OB，以点O为圆心作圆与底边AB相切于点C.求证：AC＝BC.19. 如图，PA.PB是⊙O的切线，A.B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°.(1)求∠BAC的度数；(2)当OA＝2时，求AB的长.20. 如图，⊙O 经过菱形的三个顶点A.C.D ，且与AB 相切于点A.(1)求证：BC 为⊙O 的切线；(2)求∠B 的度数.参考答案：1—8 BCBBA BDC9. 510. 相离11. 相交12. 313. 相切14. (1) 1(2) 1＜d ＜315. 416. 解：(1)A(4,0)，y ＝3＋3；(2)直线BE 与⊙O ′有三种位置关系，即直线BE 与⊙O ′相切时，b ＝255；直线BE 与⊙O ′相交时，0＜b ＜255；直线BE 与⊙O ′相离时，255＜b ＜3. 17. 解：(1)证明：连接OD.∵EF 是⊙O 的切线，∴OD ⊥EF.又∵BH ⊥EF ，∴OD ∥BH.∴∠ODB＝∠DBH.而OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∴∠OBD＝∠DBH，∴BD平分∠ABH；(2)过点O作OG⊥BC于点G，则BG＝CG＝4.在Rt△OBG中，OG＝OB2－BG2＝62－42＝2 5.所以圆心O到BC的距离为2 5.18. 解：连结OC，∵AB切⊙O于点C，∴OC⊥AB.∵OA＝OB，∴AC＝BC.19. 解：(1)∵PA.PB是⊙O的切线，∴AP＝BP，∵∠P＝60°，∴∠PAB＝60°，∵AC是⊙O的直径，∴∠PAC＝90°，∴∠BAC＝90°－60°＝30°；(2)连接OP，则在Rt△AOP中，OA＝2，∠APO＝30°，∴OP＝4，由勾股定理得：AP＝23，∵AP＝BP，∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴AB＝AP＝2 3.20. 解：(1)证明：如图，连接AO、CO、BO，∵AB是⊙O的切线，∴OA⊥AB.∴∠BAO＝90°.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.∵AO＝CO，BO＝BO，∴△BAO≌△BCO.∴∠BAO＝∠BCO ＝90°，即OC⊥BC.∴BC为⊙O的切线；(2)由圆周角定理可得∠AOC＝2∠D.由菱形的性质可得∠B＝∠D，∴∠AOC＝2∠B.在四边形ABCO 中，∠B＋∠AOC＝360°－∠BCO－∠BAO＝180°，∴∠B＝60°.。
2019年中考数学 第六单元 圆 课时训练27 直线与圆的位置关系练习 (新版)浙教版
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……课时训练(二十七) 直线与圆的位置关系|夯实基础|1.[2018·常州] 如图K27-1,AB是☉O的直径,MN是☉O的切线,切点为N,如果∠MNB=52°,则∠NOA的度数为()图K27-1A.76°B.56°C.54°D.52°2.[2017·滨州] 若正方形的外接圆半径为2,则其内切圆半径为()A.B.2C.D.13.[2017·日照] 如图K27-2,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,连结PO并延长交☉O于点C,连结AC,AB=10,∠P=30°,则AC的长度是()图K27-2A.5B.5C.5D.4.[2018·河北] 如图K27-3,点I为△ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB平移使其顶点与I重合,则图中阴影部分的周长为()图K27-3A.4.5B.4C.3D.25.[2017·杭州] 如图K27-4,AT切☉O于点A,AB是☉O的直径,若∠ABT=40°,则∠ATB= .图K27-46.[2017·枣庄] 如图K27-5,在平行四边形ABCD中,AB为☉O的直径,☉O与DC相切于点E,与AD相交于点F,已知AB=12,∠C=60°,则弧FE的长为.图K27-57.[2018·包头] 如图K27-6,AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C的切线与BA的延长线交于点D,点E在上(不与点B,C重合),连结BE,CE.若∠D=40°,则∠BEC= 度.图K27-68.[2018·岳阳] 如图K27-7,以AB为直径的☉O与CE相切于点C,CE交AB的延长线于点E,直径AB=18,∠A=30°,弦CD⊥AB,垂足为点F,连结AC,OC,则下列结论正确的是.(写出所有正确结论的序号)①=;②扇形OBC的面积为π;③△OCF∽△OEC;④若点P为线段OA上一动点,则AP·OP有最大值20.25.图K27-79.[2018·葫芦岛] 如图K27-8,AB是☉O的直径,=,E是OB的中点,连结CE并延长到点F,使EF=CE,连结AF交☉O于点D,连结BD,BF.(1)求证:直线BF是☉O的切线;(2)若OB=2,求BD的长.图K27-810.[2018·沈阳] 如图K27-9,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE延长线于点C.(1)若∠ADE=25°,求∠C的度数;(2)若AB=AC,CE=2,求☉O半径的长.图K27-9|拓展提升|11.[2018·宁波] 如图K27-10,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM 长为半径作☉P.当☉P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为.图K27-1012.[2018·南京] 结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答.题目:如图K27-11,Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D,AD=3,BD=4,求△ABC的面积.图K27-11解:设△ABC的内切圆分别与AC,BC相切于点E,F,CE的长为x.根据切线长定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.根据勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.整理,得x2+7x=12.所以S△ABC=AC·BC=(x+3)(x+4)=(x2+7x+12)=×(12+12)=12.小颖发现12恰好就是3×4,即△ABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗? 请你帮她完成下面的探索.已知:△ABC的内切圆与AB相切于点D,AD=m,BD=n.可以一般化吗?(1)若∠C=90°,求证:△ABC的面积等于mn.倒过来思考呢?(2)若AC·BC=2mn,求证:∠C=90°.改变一下条件……(3)若∠C=60°,用m,n表示△ABC的面积.参考答案1.A[解析] ∵N为切点,∴MN⊥ON,则∠MNO=90°,已知∠MNB=52°,∴∠BNO=38°,∵ON=OB,∴∠BNO=∠B,∴∠NOA=2∠BNO=76°,选项A正确.2.A[解析] 如图,由“正方形的外接圆半径为2”可得OB=2,∠OBC=45°,由切线性质可得∠OCB=90°,所以△OBC为等腰直角三角形,所以OC=OB=.3.A[解析] 过点O作OD⊥AC于点D,∵AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,∴AB⊥AP,∴∠BAP=90°.∵∠P=30°,∴∠AOP=60°,∴∠AOC=120°.∵OA=OC,∴∠OAD=30°.∵AB=10,∴OA=5,∴OD=AO=,∴AD==,∴AC=2AD=5,故选A.4.B[解析] 设△ABC的AB边上的高为h,△MNI的周长为a,MN边上的高为r,则△ABC的内切圆半径为r,∴△ABC的面积=AB·h·=(AB+BC+AC)·r·,∴4h=9r,∴=.∵△MNI∽△ABC,∴=,∴△MNI的周长=×(4+3+2)=4,故选B.5.50°[解析] ∵AT是☉O的切线,∴∠TAB=90°,又∵∠ABT=40°,∴∠ATB=50°.6.π[解析] 如图,连结OE,OF,∵CD是☉O的切线,∴OE⊥CD,∴∠OED=90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∠C=60°,∴∠A=∠C=60°,∠D=120°.∵OA=OF,∴∠A=∠OFA=60°,∴∠DFO=120°,∴∠EOF=360°-∠D-∠DFO-∠DEO=30°,∴的长=×6=π.7.115[解析] 连结OC,AC,由CD是切线得∠OCD=90°.又因为∠D=40°,可得∠COD=50°.因为OA=OC,可得∠OAC=65°.因为四边形ACEB是圆内接四边形,由圆内接四边形对角互补得到∠BEC的度数.8.①③④[解析] ∵AB是☉O的直径,且CD⊥AB,∴=,故①正确;∵∠A=30°,∴∠COB=60°,∴扇形OBC的面积=·π·2=π,故②错误;∵CE是☉O的切线,∴∠OCE=90°,∴∠OCD=∠OEC,∠EOC=∠COF,∴△OCF∽△OEC,故③正确;设AP=x,则OP=9-x,∴AP·OP=x(9-x)=-x2+9x=-x-2+,∴当x=时,AP·OP的最大值为=20.25,故④正确.故答案为①③④.9.解:(1)证明:连结OC,∵AB是☉O的直径,=,∴∠AOC=∠BOC=90°.∵E是OB的中点,EF=CE,∴△COE≌△FBE.∴∠FBE=∠COE=90°.∴直线BF是☉O的切线.(2)∵△COE≌△FBE,OB=2,∴BF=OC=2.在Rt△ABF中,由勾股定理得AF=2.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴△ADB∽△ABF,∴=,即=,解得BD=.10.解:(1)如图,连结OA,由切线的性质可得∠OAC=90°,∵∠ADE=25°,∴∠AOC=50°,∴∠C=40°.(2)∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠AOC=2∠B,∴∠AOC=2∠C.∵∠OAC=90°,∴∠AOC+∠C=90°,即3∠C=90°,∴∠C=30°.∵∠OAC=90°,∴OA=OC.设☉O的半径为r,∵CE=2,∴r=(r+2).∴r=2.∴☉O的半径为2.11.3或4[解析] (1)当☉P与DC相切时,如图①所示,设BP=x,则PC=8-x.∵DC与圆相切,∴PC=PM.又∵M是AB中点,∴BM=4.在Rt△BMP中,根据勾股定理可得BM2+BP2=MP2,∴x2+42=(8-x)2,解得x=3,∴BP=3.(2)如图②所示,当☉P与DA相切时,过点P作PE⊥AD,交AD于点E.∵☉P与DA相切于点E,∴EP=MP=8.在Rt△BMP中,根据勾股定理可得BM2+BP2=MP2,∴BP==4.综上所述,BP的值为3或4.12.[解析] (1)根据题目中所给的方法由切线长定理知AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x,根据勾股定理得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2,即x2+(m+n)x=mn,再利用三角形的面积公式计算;(2)由AC·BC=2mn得(x+m)(x+n)=2mn,即x2+(m+n)x=mn,再利用勾股定理逆定理求证;(3)作AG⊥BC,由三角函数得AG=AC·sin 60°=(x+m),CG=AC·cos 60°=(x+m),BG=BC-CG=(x+n)-(x+m),在Rt△ABG 中,根据勾股定理可得x2+(m+n)x=3mn,最后利用三角形的面积公式计算可得.解:设△ABC的内切圆分别与AC,BC相切于点E,F,CE的长为x.根据切线长定理,得AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x.(1)证明:如图,在Rt△ABC中,根据勾股定理,得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2.整理,得x2+(m+n)x=mn.所以S△ABC=AC·BC=(x+m)(x+n)=[x2+(m+n)x+mn]=(mn+mn)=mn.(2)证明:由AC·BC=2mn,得(x+m)(x+n)=2mn,整理,得x2+(m+n)x=mn,所以AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=2[x2+(m+n)x]+m2+n2=m2+n2+2mn=(m+n)2=AB2.根据勾股定理的逆定理,得∠C=90°.(3)如图,过点A作AG⊥BC,垂足为G.在Rt△ACG中,AG=AC·sin 60°=(x+m),CG=AC·cos 60°=(x+m).所以BG=BC-CG=(x+n)-(x+m).在Rt△ABG中,根据勾股定理,得+=(m+n)2,整理,得x2+(m+n)x=3mn,所以S△ABC=BC·AG=(x+n)·(x+m)=[x2+(m+n)x+mn]=(3mn+mn)=mn.。
2019全国中考数学真题分类汇编之25：直线与圆的位置关系(含答案)
2019年全国中考数学真题分类汇编：直线与圆的位置关系一、选择题1.（2019年重庆市）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点D ，连结OD ．若∠C ＝50°，则∠AOD 的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°【考点】切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、三角形的外角性质【解答】解：∵AC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AC ，∴∠BAC ＝90°，∵∠C ＝50°，∴∠ABC ＝40°，∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠ABC ＝40°，∴∠AOD ＝∠ODB +∠ABC ＝80°；故选：C ．2. （2019年云南省）如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB ＝5，BC ＝13，CA ＝12，则阴影部分（即四边形AEOF ）的面积是（ ）A.4B.6.25C.7.5D.9【考点】切线的性质、勾股定理、正方形的判定【解答】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB 2+AC 2=BC 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠A=90°，∵⊙O 为△ABC 内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF ，∴四边形AEOF 为正方形，设⊙O 的半径为r ，∴OE=OF=r ，∴S 四边形AEOF =r²，连接AO ，BO ，CO ，∴S △ABC =S △AOB +S △AOC +S △BOC ，∴AC AB BC AC AB ⋅=++21)(21，∴r=2，∴S 四边形AEOF =r²=4，故选A 3.（2019年广西贺州市）如图，在△ABC 中，O 是AB 边上的点，以O 为圆心，OB 为半径的⊙O 与AC 相切于点D ，BD 平分∠ABC ，AD ＝OD ，AB ＝12，CD 的长是（ ）A ．2B ．2C ．3D ．4【考点】切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义【解答】解：∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴AC ⊥OD ，∴∠ADO ＝90°，∵AD ＝OD ， ∴tan A ＝＝，∴∠A ＝30°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠OBD ＝∠CBD ，∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠ODB ＝∠CBD ，∴OD ∥BC ，∴∠C ＝∠ADO ＝90°，∴∠ABC ＝60°，BC ＝AB ＝6，AC ＝BC ＝6， ∴∠CBD ＝30°，∴CD ＝BC ＝×6＝2； 故选：A ．4.（2019年乐山市）如图5，抛物线4412-=x y 与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ .则线段OQ 的最大值是（ ）()A 3 ()B 241 ()C 27 ()D 4 【考点】切线的性质、二次函数的性质、勾股定理【解答】因为抛物线4412-=x y 与x 轴交于A 、B 两点，所以A（-4,0），B（4,0），即OA=4. 又因为P在圆C上，且半径为2，即CP=2,OC=3，Q是AP上的中点.所以当AP与圆C相切时OQ 最大。
2019全国中考数学真题分类汇编之25：直线与圆的位置关系(含答案)
2019年全国中考数学真题分类汇编：直线与圆的位置关系一、选择题1.（2019年重庆市）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点D ，连结OD ．若∠C ＝50°，则∠AOD 的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°【考点】切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、三角形的外角性质【解答】解：∵AC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AC ，∴∠BAC ＝90°，∵∠C ＝50°，∴∠ABC ＝40°，∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠ABC ＝40°，∴∠AOD ＝∠ODB +∠ABC ＝80°；故选：C ．2. （2019年云南省）如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB ＝5，BC ＝13，CA ＝12，则阴影部分（即四边形AEOF ）的面积是（ ）A.4B.6.25C.7.5D.9【考点】切线的性质、勾股定理、正方形的判定【解答】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB 2+AC 2=BC 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠A=90°，∵⊙O 为△ABC 内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF ，∴四边形AEOF 为正方形，设⊙O 的半径为r ，∴OE=OF=r ，∴S 四边形AEOF =r²，连接AO ，BO ，CO ，∴S △ABC =S △AOB +S △AOC +S △BOC ，∴AC AB BC AC AB ⋅=++21)(21，∴r=2，∴S 四边形AEOF =r²=4，故选A 3.（2019年广西贺州市）如图，在△ABC 中，O 是AB 边上的点，以O 为圆心，OB 为半径的⊙O 与AC 相切于点D ，BD 平分∠ABC ，AD ＝OD ，AB ＝12，CD 的长是（ ）A ．2B ．2C ．3D ．4【考点】切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义【解答】解：∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴AC ⊥OD ，∴∠ADO ＝90°，∵AD ＝OD ， ∴tan A ＝＝，∴∠A ＝30°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠OBD ＝∠CBD ，∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠ODB ＝∠CBD ，∴OD ∥BC ，∴∠C ＝∠ADO ＝90°，∴∠ABC ＝60°，BC ＝AB ＝6，AC ＝BC ＝6， ∴∠CBD ＝30°，∴CD ＝BC ＝×6＝2； 故选：A ．4.（2019年乐山市）如图5，抛物线4412-=x y 与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ .则线段OQ 的最大值是（ ）()A 3 ()B 241 ()C 27 ()D 4 【考点】切线的性质、二次函数的性质、勾股定理【解答】因为抛物线4412-=x y 与x 轴交于A 、B 两点，所以A（-4,0），B（4,0），即OA=4. 又因为P在圆C上，且半径为2，即CP=2,OC=3，Q是AP上的中点.所以当AP与圆C相切时OQ 最大。
2019全国中考数学真题分类汇编之25：直线与圆的位置关系(含答案)
2019年全国中考数学真题分类汇编：直线与圆的位置关系一、选择题1.（2019年重庆市）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点D ，连结OD ．若∠C ＝50°，则∠AOD 的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°【考点】切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、三角形的外角性质【解答】解：∵AC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AC ，∴∠BAC ＝90°，∵∠C ＝50°，∴∠ABC ＝40°，∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠ABC ＝40°，∴∠AOD ＝∠ODB +∠ABC ＝80°；故选：C ．2. （2019年云南省）如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB ＝5，BC ＝13，CA ＝12，则阴影部分（即四边形AEOF ）的面积是（ ）A.4B.6.25C.7.5D.9【考点】切线的性质、勾股定理、正方形的判定【解答】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB 2+AC 2=BC 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠A=90°，∵⊙O 为△ABC 内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF ，∴四边形AEOF 为正方形，设⊙O 的半径为r ，∴OE=OF=r ，∴S 四边形AEOF =r²，连接AO ，BO ，CO ，∴S △ABC =S △AOB +S △AOC +S △BOC ，∴AC AB BC AC AB ⋅=++21)(21，∴r=2，∴S 四边形AEOF =r²=4，故选A 3.（2019年广西贺州市）如图，在△ABC 中，O 是AB 边上的点，以O 为圆心，OB 为半径的⊙O 与AC 相切于点D ，BD 平分∠ABC ，AD ＝OD ，AB ＝12，CD 的长是（ ）A ．2B ．2C ．3D ．4【考点】切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义【解答】解：∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴AC ⊥OD ，∴∠ADO ＝90°，∵AD ＝OD ， ∴tan A ＝＝，∴∠A ＝30°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠OBD ＝∠CBD ，∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠ODB ＝∠CBD ，∴OD ∥BC ，∴∠C ＝∠ADO ＝90°，∴∠ABC ＝60°，BC ＝AB ＝6，AC ＝BC ＝6， ∴∠CBD ＝30°，∴CD ＝BC ＝×6＝2； 故选：A ．4.（2019年乐山市）如图5，抛物线4412-=x y 与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ .则线段OQ 的最大值是（ ）()A 3 ()B 241 ()C 27 ()D 4 【考点】切线的性质、二次函数的性质、勾股定理【解答】因为抛物线4412-=x y 与x 轴交于A 、B 两点，所以A（-4,0），B（4,0），即OA=4. 又因为P在圆C上，且半径为2，即CP=2,OC=3，Q是AP上的中点.所以当AP与圆C相切时OQ 最大。
2019全国中考数学真题分类汇编之25：直线与圆的位置关系(含答案)
2019年全国中考数学真题分类汇编：直线与圆的位置关系一、选择题1.（2019年重庆市）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点D ，连结OD ．若∠C ＝50°，则∠AOD 的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°【考点】切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、三角形的外角性质【解答】解：∵AC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AC ，∴∠BAC ＝90°，∵∠C ＝50°，∴∠ABC ＝40°，∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠ABC ＝40°，∴∠AOD ＝∠ODB +∠ABC ＝80°；故选：C ．2. （2019年云南省）如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB ＝5，BC ＝13，CA ＝12，则阴影部分（即四边形AEOF ）的面积是（ ）A.4B.6.25C.7.5D.9【考点】切线的性质、勾股定理、正方形的判定【解答】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB 2+AC 2=BC 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠A=90°，∵⊙O 为△ABC 内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF ，∴四边形AEOF 为正方形，设⊙O 的半径为r ，∴OE=OF=r ，∴S 四边形AEOF =r²，连接AO ，BO ，CO ，∴S △ABC =S △AOB +S △AOC +S △BOC ，∴AC AB BC AC AB ⋅=++21)(21，∴r=2，∴S 四边形AEOF =r²=4，故选A 3.（2019年广西贺州市）如图，在△ABC 中，O 是AB 边上的点，以O 为圆心，OB 为半径的⊙O 与AC 相切于点D ，BD 平分∠ABC ，AD ＝OD ，AB ＝12，CD 的长是（ ）A ．2B ．2C ．3D ．4【考点】切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义【解答】解：∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴AC ⊥OD ，∴∠ADO ＝90°，∵AD ＝OD ， ∴tan A ＝＝，∴∠A ＝30°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠OBD ＝∠CBD ，∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠ODB ＝∠CBD ，∴OD ∥BC ，∴∠C ＝∠ADO ＝90°，∴∠ABC ＝60°，BC ＝AB ＝6，AC ＝BC ＝6， ∴∠CBD ＝30°，∴CD ＝BC ＝×6＝2； 故选：A ．4.（2019年乐山市）如图5，抛物线4412-=x y 与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ .则线段OQ 的最大值是（ ）()A 3 ()B 241 ()C 27 ()D 4 【考点】切线的性质、二次函数的性质、勾股定理【解答】因为抛物线4412-=x y 与x 轴交于A 、B 两点，所以A（-4,0），B（4,0），即OA=4. 又因为P在圆C上，且半径为2，即CP=2,OC=3，Q是AP上的中点.所以当AP与圆C相切时OQ 最大。
2019年中考数学总复习第六单元圆课时训练34直线与圆的位置关系练习word版本
课时训练34 直线与圆的位置关系限时：30分钟夯实基础1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心，以2．5 cm为半径画圆，则☉C与直线AB的位置关系是()A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定2．[2017·吉林]如图K34－1，直线l是☉O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交☉O于点C．若AB＝12，OA＝5，则BC的长为()图K34－1A．5 B．6 C．7 D．8 3．[2017·长春]如图K34－2，点A，B，C在☉O上，∠ABC＝29°，过点C作☉O的切线交OA的延长线于点D，则∠D的大小为()图K34－2A．29° B．32° C．42°D．58°4．如图K34－3，在平面直角坐标系中，☉P与x轴相切，与y轴相交于A(0，2)，B(0，8)，则圆心P的坐标是()图K34－3A．(5，3) B．(5，4) C．(4，5) D．(3，5)5．如图K34－4，☉O为△ABC的内切圆，∠C＝90°，BO的延长线交AC于点D，若BC＝3，CD＝1，则☉O的半径长为．图K34－46．如图K34－5，PC是☉O的直径，PA切☉O于点P，AO交☉O于点B，连接BC，若∠C＝32°，则∠A＝°．图K34－57．如图K34－6，半径为3的☉O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD并延长交直线OA于点E，若∠B＝30°，则线段AE的长为．图K34－68．[2018·唐山丰南区二模]如图K34－7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的☉O与AB边交于点D，过点D的切线交BC于点E．BC；(1)求证：DE＝12(2)若四边形ODEC是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．图K34－7能力提升9．[2017·百色]以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与☉O 相交，则b的取值范围是()A．0≤b＜22 B．－22b≤22 C．－23＜b＜23D．－22＜b＜2210．[2018·沧州三模]如图K34－8，☉O与等腰直角三角形ABC的两腰AB，AC相切，且CD与☉O相切于点D．若☉O的半径为5，且AB＝11，则CD＝()图K34－8A．5 B．6 C．30D．112x－3与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以C(0，11．如图K34－9，已知直线y＝341)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB，则△PAB面积的最大值是()图K34－9A．8 B．12 C．212D．17212．[2017·北京模拟]阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：已知在△ABC中，∠A＝90°．求作：☉P，使得点P在边AC上，且☉P与AB，BC都相切．图K34－10小轩的主要作法如下：如图K34－11，(1)作∠ABC的平分线BF，与AC交于点P；(2)以点P为圆心，AP长为半径作☉P，所以☉P即为所求．图K34－11老师说：“小轩的作法正确．”请回答：☉P与BC相切的依据是．13．[2018·福州质检]如图K34－12，AB是☉O的直径，点C在☉O上，过点C的直线与AB的延长线相交于点P．若∠COB＝2∠PCB，求证：PC是☉O的切线．图K34－12拓展练习14．如图K34－13，△AOB中，∠O＝90°，AO＝8 cm，BO＝6 cm，点C从点A出发，在边AO上以2 cm/s的速度向点O运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1．5 cm/s的速度向点O运动．过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了s时，以点C为圆心，1．5 cm为半径的圆与直线EF相切．图K34－1315．如图K34－14，Rt△ABC的内切圆☉O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．(1)直接写出线段AC，AD及☉O的半径r的长；(2)设PH＝x，PC＝y，求y关于x的函数表达式；(3)在(2)的条件下，当PH与☉O相切时，求出相应的y值．图K34－14参考答案1．A2．D3．B[解析] 连接OC，∵CD是☉O的切线，∴OC⊥CD，即∠OCD＝90°，∵∠COD＝2∠ABC＝58°，∴∠D＝32°．6．267．34．C5．348．解：(1)证明：连接DO，∵∠ACB＝90°，AC为直径，∴EC为☉O的切线．又∵ED也为☉O的切线，∴EC＝ED．又∵∠EDO＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∵∠2＝∠A，∴∠1＋∠A＝90°．BC．又∵∠B＋∠A＝90°，∴∠1＝∠B，∴EB＝ED，∴DE＝12(2)△ABC是等腰直角三角形．理由：∵四边形ODEC为正方形，∴OD＝DE＝CE＝OC，∠DOC＝∠ACB＝90°．BC，AC＝2OC，∴BC＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形．∵DE＝129．D[解析] 如图，y＝－x平分一、四象限，将y＝－x向上平移得y＝－x＋b(b ＞0)，当y＝－x＋b与圆相切时，b取得最大值，由平移知∠CAO＝∠AOC＝45°，OC＝2，∴OA＝b＝22，同理将y＝－x向下平移得y＝－x＋b(b＜0)，当y＝－x＋b与圆相切时，b取得最小值，此时b＝－22，∴当y＝－x＋b与圆相交时，－22＜b＜22．10．B11．C12．角平分线上的点到角两边距离相等;若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线为圆的切线[解析] 作PD⊥BC，∵BF平分∠ABC，∠A＝90°，∠PDC＝90°，∴PA＝PD，∴PD是☉P的半径，∴D在☉P上，∴BC是☉P的切线．13．证明：证法一：连接AC，∵＝，∴∠COB＝2∠CAB．∵∠COB＝2∠PCB，∴∠CAB＝∠PCB．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠OCA＋∠OCB＝90°．∴∠PCB＋∠OCB＝90°，即∠OCP＝90°．∴OC⊥CP．∵OC是☉O的半径，∴PC是☉O的切线．证法二：过点O作OD⊥BC于点D，则∠ODC＝90°，∴∠OCD＋∠COD＝90°，∵OB＝OC，∴OD 平分∠COB ，∴∠COB ＝2∠COD ，∵∠COB ＝2∠PCB ，∴∠COD ＝∠PCB ，∴∠PCB ＋∠OCD ＝90°，即∠OCP ＝90°．∴OC ⊥CP ．∵OC 是☉O 的半径，∴PC 是☉O 的切线．14．178 [解析] 设运动时间为t ，则AC ＝2t ，BD ＝1．5t ，OC ＝8－2t ，OD ＝6－1．5t ，∴ ＝ ，∵∠O ＝∠O ，∴△OCD ∽△OAB ，∴∠OCD ＝∠A ，∵EF ⊥CD ，∴∠EFC ＝∠O ＝90°，∴△EFC ∽△BOA ，∴＝ ， ∵CE ＝12OC ＝4－t ，∴CF ＝45(4－t )．当CF ＝1．5时，直线EF 与圆相切，∴45(4－t )＝1．5，解得t ＝178．15．解：(1)AC ＝4，AD ＝3，r ＝1．(2)∵∠A ＝∠A ，∠AHP ＝∠ACB ＝90°，∴△AHP ∽△ACB ，∴ ＝ ，即AP ＝53x ． 当点P 在AC 上时，PC ＝AC －AP ，即y ＝ 53x ＋4 0＜ 125 ．当点P 在AC 的延长线上时，PC ＝AP －AC ，即y ＝53x －4 ＞125． ∴y ＝ －53 ＋4 0＜ 125 ，53 －4 ＞125 ． (3)当点P 在AC 上且PH 与☉O 相切于点M 时，如图①，连接OM ，OD ，可得四边形OMHD 为正方形．∴HD ＝r ＝1，AH ＝AD －HD ＝3－1＝2．由△AHP ∽△ACB ，得 ＝，∴x ＝PH ＝32， ∴由(2)得y ＝ 53 32＋4＝32．当点P 在AC 的延长线上且PH 与☉O 相切于点M 时，如图②，连接OM ，OD ，可得四边形OMHD 为正方形．∴HD ＝r ＝1，AH ＝AD ＋HD ＝3＋1＝4，由△AHP ∽△ACB ，得 ＝，∴x ＝PH ＝34×4＝3，∴由(2)得y ＝53×3－4＝1．∴y ＝32或1．。
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课时训练(二十八)直线与圆的位置关系(限时:30分钟)|夯实基础|1.若☉O的半径是5,直线l是☉O的切线,则点O到直线l的距离是()A.2.5B.3C.5D.102.[2018·宜昌]如图K28-1,直线AB是☉O的切线,C为切点,OD∥AB交☉O于点D,点E在☉O上,连接OC,EC,ED,则∠CED的度数为()图K28-1A.30°B.35°C.40°D.45°3.[2018·常州]如图K28-2,AB是☉O的直径,MN是☉O的切线,切点为N,如果∠MNB=52°,则∠NOA的度数为()图K28-2A.76°B.56°C.54°D.52°4.[2018·烟台]如图K28-3,四边形ABCD内接于☉O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE 的度数是()图K28-3A.56°B.62°C.68°D.78°5.[2018·重庆A卷]如图K28-4,已知AB是☉O的直径,点P在BA的延长线上,PD与☉O相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若☉O的半径为4,BC=6,则PA的长为()图K28-4A.4B.2C.3D.2.56.如图K28-5,AB是☉O的直径,CD是☉O的切线,切点为D,CD与AB的延长线交于点C,∠A=30°,给出下面3个结论:①AD=CD;②BD=BC;③AB=2BC.其中正确结论的个数是 ()图K28-5A.3B.2C.1D.07.[2018·益阳]如图K28-6,在圆O中,AB为直径,AD为弦,过点B的切线与AD的延长线交于点C,AD=DC,则∠C= 度.图K28-68.[2018·包头]如图K28-7,AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C的切线与BA的延长线交于点D,点E在上(不与点B,C重合),连接BE,CE.若∠D=40°,则∠BEC= 度.图K28-79.[2018·大庆]在△ABC中,∠C=90°,AB=10,且AC=6,则这个三角形的内切圆半径为.10.[2018·安徽]如图K28-8,菱形ABOC的边AB,AC分别与☉O相切于点D,E,若点D是AB的中点,则∠DOE= .图K28-811.[2018·岳阳]如图K28-9,以AB为直径的☉O与CE相切于点C,CE交AB的延长线于点E,直径AB=18,∠A=30°,弦CD⊥AB,垂足为点F,连接AC,OC,则下列结论正确的是.(写出所有正确结论的序号)①=;②扇形OBC的面积为π;③△OCF∽△OEC;④若点P为线段OA上一动点,则AP·OP有最大值20.25.图K28-912.如图K28-10,直尺、三角尺都和☉O相切,其中B,C是切点,且AB=8 cm.求☉O的直径.图K28-1013.[2018·郴州]如图K28-11,已知BC是☉O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是☉O的弦,∠AEC=30°.图K28-11(1)求证:直线AD是☉O的切线;(2)若AE⊥BC,垂足为M,☉O的半径为4,求AE的长.14.[2018·遂宁]如图K28-12,过☉O外一点P作☉O的切线PA切☉O于点A,连接PO并延长,与☉O交于C,D两点,M 是半圆CD的中点,连接AM交CD于点N,连接AC,CM.图K28-12(1)求证:CM2=MN·MA;(2)若∠P=30°,PC=2,求CM的长.|拓展提升|15.[2017·北京]如图K28-13,AB是☉O的一条弦,E是AB的中点,过点E作EC⊥OA于点C,过点B作☉O的切线交CE 的延长线于点D.(1)求证:DB=DE;(2)若AB=12,BD=5,求☉O的半径.图K28-13参考答案1.C2.D[解析] ∵直线AB是☉O的切线,C为切点,∴∠OCB=90°,∵OD∥AB,∴∠COD=90°,∴∠CED=45°,故选择D.3.A[解析] ∵N为切点,∴MN⊥ON,则∠MNO=90°.∵∠MNB=52°,∴∠BNO=38°,∵ON=OB,∴∠BNO=∠B,∴∠NOA=2∠BNO=76°.4.C[解析] ∵点I是△ABC的内心,∴AI,CI分别平分∠BAC,∠ACB,∴∠AIC=90°+∠B=124°,∴∠B=68°.∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠CDE=∠B=68°,故选C.5.A[解析] 如图,连接OD.∵PC切☉O于点D,∴OD⊥PC.∵☉O的半径为4,∴PO=PA+4,PB=PA+8.∵OD⊥PC,BC⊥PD,∴OD∥BC,∴△POD∽△PBC,∴=,即=,解得PA=4.故选A.6.A[解析] 连接OD,由CD是☉O的切线,可得CD⊥OD,由∠A=30°,可以得出∠DOB=60°,进而得△ODB是等边三角形,∠C=∠BDC=30°,再结合在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,继而得到结论①②③成立.7.45[解析] ∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=90°.∵BC是圆O的切线,AB是圆O的直径,∴∠ABC=90°.∵AD=DC,∴BD垂直平分AC.∴AB=BC,∴△ABC为等腰直角三角形.∴∠C=45°.8.115[解析] 连接OC,AC,由CD是切线得∠OCD=90°.又因为∠D=40°可得∠COD=50°.因为OA=OC,可得∠OAC=65°.因为四边形ACEB是圆内接四边形,由圆内接四边形对角互补得到∠BEC的度数.9.2[解析] 根据三角形内切圆的圆心到三角形三边的距离相等,依据三角形的面积公式求解.在Rt△ABC 中,BC===8,设内切圆的半径是r,则AB·r+AC·r+BC·r=BC·AC,即5r+3r+4r=24,解得:r=2. 10.60°[解析]连接OA,∵四边形ABOC是菱形,∴BA=BO,∵AB与☉O相切于点D,∴OD⊥AB.∵D是AB的中点,∴OD是AB的垂直平分线,∴OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴∠AOD=∠AOB=30°,同理∠AOE=30°,∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°,故答案为60°.11.①③④[解析] ∵AB是☉O的直径,CD⊥AB,∴=,故①正确;∵∠A=30°,∴∠COB=60°,∴扇形OBC的面积=·π·2=π,故②错误; ∵CE是☉O的切线,∴∠OCE=90°,∴∠OCD=∠E,又∵∠EOC=∠COF,∴△OCF∽△OEC,故③正确;设AP=x,则OP=9-x,∴AP·OP=x(9-x)=-x2+9x=-x-2+,∴当x=时,AP·OP取最大值,=20.25,故④正确.故答案为①③④.12.解:如图,连接OC,OA,OB.∵AC,AB都是☉O的切线,切点分别是C,B,∴∠OBA=∠OCA=90°,∠OAC=∠OAB=∠BAC.∵∠CAD=60°,∴∠BAC=120°,∴∠OAB=×120°=60°,∴∠BOA=30°,∴OA=2AB=16 cm.由勾股定理得OB===8(cm), 即☉O的半径是8 cm,∴☉O的直径是16 cm.13.解:(1)证明:∵∠AEC=30°,∴∠B=∠AEC=30°,∵AB=AD,∴∠B=∠D=30°,连接OA,∴OA=OB,∴∠B=∠BAO=30°,∴∠AOD=60°,∴∠OAD=180°-30°-60°=90°,∴OA⊥AD,∴直线AD是☉O的切线.(2)∵∠AOC=60°,☉O的半径为4,AE⊥BC,∴sin∠AOC=,∴AM=2,∴AE=2AM=4.14.解:(1)证明:∵在☉O中,点M是半圆CD的中点,∴∠CAM=∠DCM,又∵∠M是△CMN和△AMC的公共角,∴△CMN∽△AMC,∴=,∴CM2=MN·M A.(2)连接OA,DM,∵PA是☉O的切线,∴∠PAO=90°,又∵∠P=30°,∴OA=PO=(PC+CO).设☉O的半径为r,∵PC=2,∴r=(2+r),解得r=2.又∵CD是直径,∴∠CMD=90°,∵点M是半圆CD的中点,∴CM=DM,∴△CMD是等腰直角三角形,∴在Rt△CMD中,由勾股定理得CM2+DM2=CD2,∴2CM2=(2r)2=16,∴CM2=8,∴CM=2.15.解:(1)证明:如图①,∵DC⊥OA,∴∠1+∠3=90°.∵BD为切线,∴OB⊥BD,∴∠2+∠5=90°.∵OA=OB,∴∠1=∠2.∵∠3=∠4,∴∠4=∠5,∴DE=DB.(2)如图②,作DF⊥AB于F,连接OE,∵DB=DE,∴EF=BE=3.在Rt△DEF中,EF=3,DE=BD=5,∴DF==4,∴sin∠DEF==.∵∠AOE=∠DEF,∴在Rt△AOE中,sin∠AOE==, ∵AE=6,∴AO=.即☉O的半径为.。