2019-2020年高一上学期期末数学人教B版必修四检测卷含答案

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北京市西城区普通中学2015—2016学年度第一学期期末高一数学人教B 版必修四检测卷本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1.sin(60)-的值等于（） DA .12 B .12- C .32 D .32-2.下列函数中，最小正周期为π的是（）BA .cos 4y x =B .sin 2y x =C .sin2x y = D .cos 4xy = 3.已知tan 1α=-，且[0,)απ∈，那么α的值等于（）CA .3πB . 23πC . 34πD . 54π4.已知平面向量(12)(10)=-=，，，a b ，则向量3a +b 等于（）AA .()2,6-B .()2,6--C .()2,6D .()2,6- 5.在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，则AD AC -等于（）CA .CB B .BC C .CD D . DC 6.若tan 3α=，tan 2β=，则tan()αβ-等于（）DA .3-B .3C .17-D .177.函数sin y x =图象的一个对称中心的坐标是（）AA . (0,0)B . (,0)4π-C . (,0)4πD . (,0)2π8.下列各式中，值为32的是（）C A .2sin15cos15 B .22sin 15cos 15- C .212sin 15- D .22sin 15cos 15+9.已知正方形ABCD 的边长为1，设AB =a ，BC =b ，AC =c ，则-+a b c 等于（）CA .0B .2C .2D .2210.函数()y f x =在区间π[π]2-，上的简图如右图所示，则函数()y f x =的解析式可以是（）BA . ()sin(2)3f x x π=+B . 2()sin(2)3f x x π=-C . ()sin()3f x x π=+D . 2()sin()3f x x π=-二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11. 已知(1,1)AB =，那么AB =_________.212. 已知角α的终边经过点()4,3P ，则cos α的值为_________.4513. cos 40cos 20sin 40sin 20-的值等于__________.1214. 函数sin cos y x x =的最小值是_________.12-15. 已知向量(1,2)-a =，(3,4)b =，则2-a a b =⋅__________. 0 16.如图，圆O 的半径为2，l 为圆O 外一条直线，圆心O 到直线l 的距离3OA =，0P 为圆周上一点，且06AOP π∠=，点P 从0P 处开始以2秒一周的速度绕点O 在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动.① 1秒钟后，点P 的横坐标为_________；②t 秒钟后，点P 到直线l 的距离用t 可以表示为______________.3-，32cos()6t ππ-+，0t ≥xPy30O0PlMAyx11-2π-3π O 6π- π三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）已知向量a 、b 满足1==a b ，且a 与b 的夹角为60. （1）求-a a a b ⋅⋅；（2）若a 与λa +b 垂直，求实数λ的值.18.（本小题满分12分）已知2παπ<< ,3cos 5α=-. （1）求tan α的值；（2）求cos 2sin()2παα-+的值.19.（本小题满分14分）在直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A -，(0,23)B ，(2cos ,sin )C θθ，其中[0,]2πθ∈．（1）若//AB OC ，求tan θ的值；（2）设点(1,0)D ，求AC BD ⋅的最大值；（3）设点(,0)E a ，a ∈R ，将OC C E ⋅表示成θ的函数，记其最小值为()f a ，求()f a 的表达式，并求()f a 的最大值.参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. D;2. B;3. C;4. A;5. C;6. D;7. A;8. C;9. C; 10. B.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（一题两空的题目每空2分）11. 2; 12.45; 13. 12; 14. 12-; 15.0; 16. 3-，32cos()6t ππ-+，0t ≥ .三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.解：（1）2cos60--a a a b =a a b ⋅⋅………………4分11122=-=………………5分（2）由已知，()=0λ⋅a a +b ，………………7分所以0λa a +a b =⋅⋅，2λ=-.………………10分 18.解：（1）因为2παπ<< ，3cos 5α=-，所以4sin 5α=，………………3分故4tan 3α=-.………………5分（2）2cos 2sin()2cos 1cos 2παααα-+=--………………10分9382125525=⨯-+=.………………12分19.解：（1）由已知，得(2,23)AB =，(2cos ,sin )OC θθ=，………………2分因为//AB OC ，所以43cos 2sin θθ=，tan 23θ=. ………………3分（2）由已知，(2cos 2,sin )AC θθ=+，(1,23)BD =-，2cos 23sin 24cos()23AC BD πθθθ=-+=++⋅………………5分又5[,]336πππθ+∈，………………6分所以，当0θ=时，AC BD ⋅取得最大值，最大值为4.………………8分（3）由已知，(2cos ,sin )CE a θθ=--，所以，2222cos 4cos sin 3cos 2cos 1OC CE a a θθθθθ=--=-+-⋅，设cos t θ=，2321,[0,1]OC CE t at t =-+-∈⋅………………10分当132a <，即32a <时，()24f a a =-，当132a ≥，即32a ≥时，()1f a =-，所以，324,,2()31,,2a a f a a ⎧-<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩………………12分因为当32a <时，3()()12f a f <=-，当32a ≥时，()1f a =-，所以()f a 的最大值为1-. ………………14分。

2019-2020学年高一数学上学期期末试题及答案(新人教A版第44套)

高一期末考试数学试题一、选择题（本大题 10 小题，每题5 分，共 50 分）在每题列出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .1．设会合 A { x | x 20},会合 B{ x | x 2 4 0},则 AI B( )A.{2} B.{ 2} C. { 2,2}D.2．若 log 2 a log 2 b0 ，则（）A. 0 b a 1B. 0 a b 1C.b a 1D.a b 13．已知 a( 3,2) ， b( 1,0) ，向量a b 与 b 垂直，则实数的值为（）A.1 B.1C.1 D.12sin( 1x2334．函数 y ),(0)是 R 上的偶函数，则的值是（）2A ． 0B．C．D．425．函数 y ln cos xπ x π的图象是（）22yyyπ Oπxπ Oπ xπ Oπ xπ 2222222A ．B ．C ．6．函数 f (x)e xx 2 的零点所在的区间是（）A ． (0, 1)B ． (1,1)C ． (1,2)D． (2,3)227．在ABC 中，若 0 tan A tan B 1 ，那么 tan C 的值（）A. 恒大于 0B.恒小于 0 C. 可能为 0 D.可正可负yOπ x2D ．．在△ ABC 中， AB c ，ACb ．若点D 知足 BD 3DC ，则uuurAD=8A（）A ．3 b 7 c B ． 3b 1 cC ． 3b 1 c4 44444D ． 1b 3 c4 4BDC第8题图9. 定义在R 上的函数 f (x) 知足 f ( x)f ( x 2) ，当 x [1,3]时，f (x) 2x 2，则（）A ． f (sin) f (sin ) B．36C ． f (cos) f (cos) D．342 ) f (cos2f (sin )33f (tan )f (tan )6410. 已知函数 f ( x) 的定义域为 R ，若存在常数 m 0 ，对随意 x R ，有 f ( x) m x ，则称函数 f ( x) 为F 函数 . 给出以下函数： ① f ( x)x 2 ；② f ( x)x ；③ f ( x) 2x ；④ f (x) sin 2 x . 此中是 Fx 21函数的序号为（）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④二、填空题（本大题 6 小题，每题 5 分，共 30 分）请把答案填写在答题卡相应的地点上.11．已知 sin1，则 cos() 的值为 ______________.220(x 0)，则 f ( f ( 1)) 的值等于 ______________.12．已知函数 f ( x)( x 0)r r，那么 a b 等于13．已知 a 、 b 均为单位向量，它们的夹角为．314．函数 y2sin(2x)( x [0, ]) 为减函数的区间是 ______________.615. 若函数 f (x)log 2 x, x，若 f (a) 0 , 则实数 a 的取值范围是 ___________.log 1 ( x), x216．设 a 为实常数 , yf (x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x 0 时 , a 2a 1对f (x) 9x7 , 若 f ( x)x全部 x 0 建立 , 则 a 的取值范围为 ________.三、解答题（本大题共有5 小题，共 70 分．解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（此题满分 14 分）设函数 f (x)3 cos 2x 2 sin x cos x 1．（ 1）求 f ( ) 的值；3（ 2）若 x(0, ) ，求函数 f ( x) 的最大值 .218．（此题满分 14 分）已知函数 f x A sin( x )( A 0, 0,), 其部分图象以以下图所22示 .（ 1）求函数 y f ( x) 的表达式；12 63-1（ 2）若,，且 f ( )3的值 .，试求 sin66519.( 此题满分14 分 ) 为方便旅客出行，某旅行点有50 辆自行车供租借使用，管理这些自行车的花费是每日 115 元 .依据经验，若每辆自行车的日租金不超出 6 元，则自行车能够所有租出；若超出 6 元，则每超过 1 元，租不出的自行车就增添 3 辆 . 设每辆自行车的日租金x （元）(3x 20, x N ) ，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日出租自行车的总收入减去管理花费后的所得）（ 1）求函数y f (x) 的分析式；（ 2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？20．（此题满分 14 分）设函数g( x)x2( x 0)， f ( x) ax (1a2 )x2，此中a0,区间1xI { x f ( x) 0}（ 1）证明：函数g( x) 在 (0,1]单一递加；（ 2）求 I 的长度(注:区间( ,) 的长度定义为) ；（ 3）给定常数 k(0,1) ,当1k a1k 时,求I 长度的最小值.21．（此题满分14 分）设a为非负实数，函数 f ( x) x x a a .（1）当a 2时，求函数的单一区间；（2）议论函数y f (x)的零点个数，并求出零点．高一数学期末考参照答案 BBDCA ABCBC 11.1 13.114.[ , 12. 023 17. 解：（ 1）法 1：∵ f ( x)3 cos2xf ( )3 cos22 sin∴335 ] 15. ( , 1) (0,1) 16.8a6 72sin x cos x 13cos11⋯⋯⋯ 5分3法 2： ∵ f ( x)3 cos 2x2sin x cos x 1 2( 1sin 2 x2 2 sin( 2x) 12 sin(23∴ f ( )) 1 1⋯⋯⋯ 10 分333（ 2）∵ f (x)3 cos2x2sin x cos x 1 2( 1sin 2x2 2 sin( 2x) 1⋯⋯⋯ 10 分34∵ 0 x， ∴2x ⋯⋯⋯ 11 分32332x3x12 ，∴当2，即3 c os2x) 123cos2x) 1 ⋯⋯⋯ 8分2sin( 2x) 有最大 1，此，函数 f ( x) 有最大 3. ⋯⋯⋯ 14 分34(2218．解：（ 1）由象知A 1,T) 2 ,1,⋯⋯⋯ 3分36T将 (,1) 代入 f (x) sin( x) ，得 sin()1,626因< < ，，因此，即23 636223⋯⋯⋯5分因此f ( x) sin(x), x R ⋯⋯⋯6分3 33（ 2）因 f ())⋯⋯⋯7分，因此 sin(5534Q,,cos(⋯⋯⋯ 9分6 33 )6 625 sinsin(3 ) sin( ) cos cos(3 )sin3 3 3 33 14 33 4 3⋯⋯⋯ 14 分5 252 101019．解：（ 1）当 3x6, xN * ， y 50x115⋯⋯⋯ 3 分当 6 x 20, x N * ， y [50 3( x 6)]x115⋯⋯⋯ 6 分故yf (x) 50x 115 (3 x 6, x N*)N*) ⋯⋯⋯ 7 分3x268x 115(6 x20, x（ 2）于 f (x)50x 115 (3x6) ，∵ f ( x) 在 [3,6] 增，∴当 x 6 ， y max185 （元）⋯⋯⋯9分于 f ( x)3x268x 1153( x34 )2 811(6 x 20)33∵ f ( x) 在 [6,34] 增，在 [34,20] 减33又 x N ，且 f (11)f (12)⋯⋯⋯ 12 分当 x11 ， y max270 （元）⋯⋯⋯ 13 分270 185 ，∴当每自行的日租金定在11 元，才能使一日的收入最多 .⋯⋯⋯ 14 分20．解 : （1）∵ g ( x 1 ) g( x 2 )x 1x 21x 121 x 22若 0x 1x 2 1 ， x 1x 2 0， 1 x 1 x 2g ( x 1 )g ( x 2 ) 0 ，即 g (x 1 ) g( x 2 )∴函数 g( x) 在 (0,1] 增 .⋯⋯⋯5分(2) ∵ f ( x )[ (1 a 2 ) x ]x a( x 1 x 2 )(1 x 1 x 2 )(1 x 12 )(1 x 22 )0 ， 1 x 120 ， 1 x 22 0∴ x(0,a) ，即区 I 度 aa 2 .⋯⋯⋯7分11 a2 (3)由（ 1）知， g(x 1 )( x 1 x 2 )(1 x 1 x 2 )g( x 2 )x 12 )(1x 22 )(1若1 x 1x 2 ， x 1x 20 ， 1 x 1 x 2 0 ， 1 x 12 0 ， 1 x 22g ( x 1 )g ( x 2 ) 0 ，即 g (x 1 ) g( x 2 ) ∴ g ( x) 在 [1, ) 减， ⋯⋯⋯ 9 分由(2) 知, Ig (a)a2 ，又∵ k(0,1),01- k1,1 1 k2 ，a1∴函数 g( a) 在 [1 k,1] 增， g( a) 在 [1,1 k] 减； ⋯⋯⋯ 11 分∴当 1 ka 1 k , I 度的最小必在a 1 k 或 a 1 k 获得，1 k而 g(1 k )1 (1 k)2 2 k 2 k3 1，又 g (1 k ) 0 g(1 k)1 k2 k 2k 31 (1 k) 2故 g (1 k)g (1k )⋯⋯⋯ 13 分因此当 a 1 k 时， I 取最小值 g(1k )1 k2.⋯⋯⋯ 14 分2 2k k21．解：（ 1）当 a2 ， f ( x)x x22 x 2 2x 2, x2， ----1分x22 x 2, x2① 当 x 2 ， f ( x) x 22x 2 (x 1)2 3 ，∴ f (x) 在 (2,) 上增；------2分② 当 x2 ， f ( x)x 2 2x 2( x 1)2 1 ，∴ f (x) 在 (1,2) 上减，在 (,1) 上增； ---------3 分上所述， f (x) 的增区是( ,1) 和 (2, ) ，减区是(1,2) . ------4分（ 2）①当 a0 ， f ( x) x | x | ，函数 yf (x) 的零点 x 0 0 ；-----5分②当 a0 ， f ( x) x x aax 2ax a, x a，--------6分x 2ax a, xa故当 xa ， f ( x) ( x a ) 2a 2 a ，二次函数称 xa a ，242∴ f (x) 在 ( a, ) 上增，f ( a) a 0 ；-----------7 分当 x a ， f ( x)( x a ) 2 a 2 a ，二次函数称xa a ，2 42∴ f (x) 在 ( a, a) 上减，在(, a) 上增； ------------8分2a 22又 f ( a)( a )2 a a aa ， 22241o当 f ( a)0，即 0 a 4 ，函数 f (x) 与 x 只有独一交点，即独一零点，由 x 2 2ax a 0 解之得函数 yf ( x) 的零点 x 0aa 2 4a 或 x 0 aa 2 4a22（舍去）； --------10分2o当 f ( a)0 ，即 a 4 ，函数 f (x) 与 x 有两个交点，即两个零点，分x 1 2 和2aa 2 4a2 2 2； ------11分x 223o当 f (a) 0 ，即 a4 时，函数 f (x) 与 x 轴有三个交点，即有三个零点，222aa4a由 xax a 0 解得， x，∴函数 yf ( x) 的零点为 x aa 2 4a 和 x 0 aa 2 4a22. -------12分综上可得，当 a 0 时，函数的零点为 0 ；当 0a 4 时，函数有一个零点，且零点为aa 2 4a ；2当 a 4 时，有两个零点 2 和 2 2 2 ；当 a4 时，函数有三个零点aa 2 4a 和 aa 2 4a . -----------14分22。

2019_2020学年高中数学综合测评新人教B版必修4

必修4综合测评(时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若点⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3在角α的终边上，则sin α的值为( )A ．－12B.－32C.12D.32解析：∵sin22π3＋cos 22π3＝1， ∴sin α＝cos2π31＝cos 2π3＝－12，故选A.答案：A2．函数y ＝tan π2－x －π4≤x ≤π4，且x ≠0的值域是( )A ．[－1,1] B.(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．(－∞，1)D.[－1，＋∞)解析：∵－π4≤x ≤π4，且x ≠0，∴π4≤π2－x ≤3π4，且π2－x ≠π2，当π4≤π2－x <π2时，y ≥1，当π2<π2－x ≤3π4时，y ≤－1，∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故选B.答案：B3．设a ＝sin17°cos45°＋cos17°sin45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( ) A ．c <a <b B.b <c <a C ．a <b <cD.b <a <c解析：a ＝sin(17°＋45°)＝sin62°，b ＝2cos 213°－1＝cos26°＝sin64°，c ＝32＝sin60°，又sin60°<sin62°<sin64°，∴c <a <b ，故选A. 答案：A4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则|a －b |等于( )A. 3B.3C. 5D.5解析：设a 与b 的夹角为θ，则|a |cos θ＝|b |cos θ， ∵|a |≠|b |，∴cos θ＝0，∴|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋2＝3，∴|a －b |＝3，故选A. 答案：A5．设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关解析：由于f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝1－cos2x2＋b sin x ＋c . 当b ＝0时，f (x )的最小正周期为π；当b ≠0时，f (x )的最小正周期为2π；c 的变化不会影响其最小正周期，故选B.答案：B6．若e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2的夹角为( ) A ．30° B.60° C ．120°D.150°解析：∵e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量， ∴e 1·e 2＝cos60°＝12，∴a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6＋4e 1·e 2－3e 1·e 2＋2＝－72，a 2＝4e 21＋4e 1·e 2＋e 22＝7，|a |＝7， b 2＝9e 21－12e 1·e 2＋4e 22＝7，|b |＝7，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－727·7＝－12，∴θ＝120°，故选C. 答案：C7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( )A ．0 B.－2或0 C ．2或0D.－2或2解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，∴x ＝π6是f (x )的对称轴，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－2或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，故选D.答案：D8．设函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图象可能是( )解析：由f (－x )＝f (x )可知f (x )为偶函数，排除A ，C ，由f (x ＋2)＝f (x )知f (x )是周期函数，周期为2，故选B.答案：B9．已知f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋5π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋2π9D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋25π18解析：由图象可知T ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋π6＝43π，∴ω＝2π4π3＝32，当x ＝5π6时，f (x )max ＝2，∴32×5π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，φ＝2k π－3π4，k ∈Z ，当k ＝1时，φ＝5π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋5π4，故选B.答案：B10．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255D.1解析：根据题的条件，可知O ，A ，B 三点共线，从而得到b ＝2a ，因为cos2α＝2cos 2α－1＝2·⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋12－1＝23，解得a 2＝15，即|a |＝55，所以|a －b |＝|a －2a |＝55，故选B. 答案：B11．已知点O ，N ，P 在三角形ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，则PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点O ，N ，P 依次是三角形ABC 的( )A ．重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C ．外心、重心、垂心D.外心、重心、内心解析：由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|知O 为外心，由NA →＋NB →＋NC →＝0知N 为重心，由PA →·PB →＝PB →·PC →，得PB →·(PA →－PC →)＝0，即PA →·CA →＝0，∴PA ⊥CA ，P 是垂心，故选C.答案：C12．定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[1,3]时，f (x )＝cos π2x ，则下列大小关系正确的是( )A ．f (tan1)＞f ⎝⎛⎭⎪⎫1tan1B ．f ⎝⎛⎭⎪⎫cos 5π6＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3C ．f (sin2)＞f (cos2)D ．f (cos1)＞f (sin1)解析：由f (x ＋2)＝f (x )可知，f (x )为周期函数，周期为2，则f (x )的图象如图示．∴f (x )在(0,1)为增函数，在(1,2)为减函数，且图象关于x ＝1轴对称． ∵sin2＋cos2＞0， ∴1＞sin2＞－cos2＞0，∴f (sin2)＞f (－cos2)＝f (cos2)，故C 正确．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知不共线的平面向量a ，b 满足a ＝(－2,2)，(a ＋b )⊥(a －b )，那么|b |＝________. 解析：∵(a ＋b )⊥(a －b )， ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0， ∴|a |＝|b |，∴|b |＝4＋4＝2 2. 答案：2 2 14．函数y ＝32sin2x ＋cos 2x 的最小正周期为________．解析：y ＝32sin2x ＋cos 2x ＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，∴T ＝2π2＝π.答案：π15．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．解析：AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·(BC →＋CE →)＝(AB →＋AD →)⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝AB →·AD →－12AB →2＋AD →2－12AD →·AB →＝12AB →·AD →－12AB →2＋AD →2＝12×|AB →|×1×cos60°－12|AB →|2＋1 ＝14|AB |－12|AB →|2＋1＝1， ∴14|AB →|－12|AB →|2＝0， ∴|AB →|＝12.答案：1216．关于函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，给出它的以下四个结论：①最小正周期为π；②图象可由y ＝sin x 的图象先向左平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)而得到；③图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π8，0对称；④图象关于直线x ＝5π8对称．其中所有正确的结论的序号是________．解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为π，故①正确；由图象变换可知②正确；对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z ，∴③不正确；对称轴为x ＝k π2＋π8，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝5π8，④正确．答案：①②④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，设AB →＝a ，AC →＝b .(1)试用a ，b 表示 AD →； (2)求AD →·BC →的值．解：(1)∵BC →＝b －a ， AD →＝AB →＋13BC →＝23a ＋13b .(2)a ·b ＝|a |·|b |cos120°＝－1，AD →·BC →＝13b 2－23a 2＋13a ·b ＝－83.18．(12分)函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值．解：(1)相邻两个最高点间距为周期π，又T ＝2πω，所以ω＝2，又x ＝π3为对称轴，∴2π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，又φ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝34，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14，又α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝154.19．(12分)(2018·北京卷)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值．解：(1)因为f (x )＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝32sin2x －12cos2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m ，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，2m －π6.要使f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1.所以2m －π6≥π2，即m ≥π3.所以m 的最小值为π3.20．(12分)已知向量a ＝(2sin x,1)，b ＝(2cos x,1)，x ∈R. (1)当x ＝π4时，求向量a ＋b 的坐标；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值．解：(1)当x ＝π4时，a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π4，1＋2cos π4，1＝(22，2)． (2)f (x )＝2sin x ·2cos x ＋1＝2sin2x ＋1， ∵－1≤sin2x ≤1，∴－1≤f (x )≤3， ∴f (x )的最大值为3，最小值为－1. 21．(12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.(1)请用“五点法”画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图(先在所给的表格中填上所需的数值，再画图)；(2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值．解：(1)xπ6 5π12 2π3 11π12 7π6 2x －π30 π2 π 3π2 2π y1－1(2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，解得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)．所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．(3)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ∈[0，π]，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3. 所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3取得最小值－32；当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3取得最大值1. 22．(12分)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32x ，sin 32x ，b ＝cos 12x ，－sin 12x ，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若函数f (x )＝a ·b －4m |a ＋b |＋1的最小值为－12，求m 的值．解：(1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos2x ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以|a ＋b |＝2＋2cos2x ＝2cos x . (2)f (x )＝a ·b －4m |a ＋b |＋1＝cos2x －8m cos x ＋1＝2cos 2x －8m cos x ，令cos x ＝t ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以t ∈[0,1]，f (x )＝2t 2－8mt .①当2m ≤0，即m ≤0时，f min (x )＝0不符合题意． ②当0≤2m ≤1，即0≤m ≤12时，f min (x )＝－8m 2，由－8m 2＝－12⇒m ＝±14，又0≤m ≤12，所以m ＝14.③当2m ≥1，即m ≥12时，f min (x )＝2－8m ，由2－8m ＝－12，得m ＝516，又m ≥12，所以m ＝516不符合题意．故m 的值为14.。

(完整版)高一数学必修4期末试卷及答案,推荐文档

18．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) cos2 x 1π2 ， g(x) 121 sin 2x ．
1 设 x x0 是函数 y f (x) 图象的一条对称轴，求 g(x0 ) 的值； 2 求函数h(x) f (x) g(x) 的单调递增区间．
参考答案一、选择题（每小题 4 分,共 40 分）
C．反向平行
D．既不平行也不垂直
11.
3 1
sin
70
12 cos210
．
12.
已知函数
f
(x)
2sin x
5
的图象与直线
y
1
的交点中最近的两个交点的距离为 3 ，则函数
f (x) 的最小正周期为
。
13. 已知函数 f (x) sin(x ) cos(x ) 是偶函数，且 [0, ] ，则的值为
高一年级数学《必修 4》试题
一、选择题（每小题 4 分,共 40 分）
E
D
1. 与 463 终边相同的角可以表示为(k Z) （）
A． k 360 463
B． k 360 103 C． k 360 257
D．k 360 257
2 如图，在正六边形 ABCDEF 中，点 O 为其中心，则下列判断错误的是（）
A、B 的横坐标分别为 2 5 , 3 10 ．
5 10
（1）求 tan( )的值；
（2）求的
值．
17．（本小题满分 12 分）已知函数
f (x) 1 cos2 x 3 sin x cos x 1 , x R ．
2
2
（1）求函数 f (x) 的最小正周期；
（2）求函数 f (x) 在[ , ]上的最大值和最小值，并求函数取得最大值和最小值时的自变量 x 的值． 12 4

2019-2020年数学必修第一册作业试题：第二章单元质量测评(人教B版含答案)

第二章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是()A.ba＞b＋1a＋1B．a＋1a＞b＋1bC．a＋1b＞b＋1a D．2a＋ba＋2b＞ab答案 C解析解法一：由a＞b＞0⇒0＜1a＜1b⇒a＋1b＞b＋1a.故选C.解法二(特值法)：令a＝2，b＝1，排除A，D；再令a＝12，b＝13，排除B.2．若a＜b＜c，则1c－b＋1a－c的值为()A．正数B．负数C．非正数D．非负数答案 A解析1c－b＋1a－c＝a－c＋c－b(c－b)(a－c)＝a－b(c－b)(a－c).∵a＜b＜c，∴c－b＞0，a－c＜0，a－b＜0，∴a－b(c－b)(a－c)＞0.3．若不等式a＞b与1a＞1b同时成立，则必有()A．a＞b＞0 B．0＞1a＞1bC．a＞0＞b D．1a＞1b＞0答案 C解析若a＞b＞0，则1a＜1b，若0＞a＞b，则1a＜1b，所以只有当a ＞0＞b 时，满足1a ＞1b .故选C. 4．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝12m －3，x ＋2y ＝－2m ＋2的解中x 和y 互为相反数，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 A解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝12m －3，x ＋2y ＝－2m ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7m －12，y ＝－92m ＋7，∵x 和y 互为相反数，∴x ＋y ＝0，则7m －12－92m ＋7＝0，得m ＝2，故选A.5．不等式x 2－2x －5＞2x 的解集是( ) A ．{x |x ≥5或x ≤－1} B ．{x |x ＞5或x ＜－1} C ．{x |－1＜x ＜5} D ．{x |－1≤x ≤5} 答案 B解析不等式x 2－2x －5＞2x 可化为x 2－4x －5＞0，解得x ＞5或x ＜－1. 6．已知m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1且x ＝m ＋1m ，y ＝n ＋1n ，则x ＋y 的最小值是( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10答案 B解析依题意有x ＋y ＝m ＋n ＋1m ＋1n ＝1＋m ＋n m ＋m ＋n n ＝3＋n m ＋mn ≥3＋2＝5，当且仅当m ＝n ＝12时取等号．故选B.7．已知x ＞0，y ＞0，且4x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12答案 C解析 ∵x ＞0，y ＞0,4x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝(4x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y＝4＋y x ＋4xy ＋1≥5＋2y x ·4xy ＝9.当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝16，y ＝13时等号成立． ∴1x ＋1y 的最小值为9.8．若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 C解析由x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，得(x ＋y )＋x ＋y xy ＝5. 即5＝(x ＋y )＋x ＋y xy ≥(x ＋y )＋4x ＋y ，(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0. 解得1≤x ＋y ≤4.所以x ＋y 的最大值是4.故选C.9．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1 C.94 D ．3答案 B解析因为正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0. 所以xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x 2＋4y 2xy －3≤14－3＝1(当且仅当x 2＝4y 2，即x ＝2y 时取等号)．则2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，故选B.10．若关于x 的不等式ax －b >0的解集为(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋b x －2>0的解集为()A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B．(1,2)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(－1,2)答案 C解析由题意知，x＝1为方程ax－b＝0的根，∴a－b＝0，即a＝b，∵ax－b>0的解集为(1，＋∞)，∴a>0，故ax＋bx－2＝a(x＋1)x－2>0，转化为(x＋1)(x－2)>0.∴x>2或x<－1.11．设[x]表示不超过x的最大整数(例如：[5.5]＝5，[－5.5]＝－6)，则不等式[x]2－5[x]＋6≤0的解集为()A．(2,3) B．[2,4)C．[2,3] D．(2,4]答案 B解析不等式[x]2－5[x]＋6≤0可化为([x]－2)·([x]－3)≤0，解得2≤[x]≤3，根据[x]表示不超过x的最大整数得不等式的解集为2≤x＜4.故选B.12．在R上定义运算x*y＝x(1－y)．若关于x的不等式x*(x－a)＞0的解集是集合{x|－1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是()A．[0,2] B．[－2，－1)∪(－1,0]C．[0,1)∪(1,2] D．[－2,0]答案 D解析由题意，得x*(x－a)＝x[1－(x－a)]＝x[(a＋1)－x]，所以x*(x－a)＞0，即x[x－(a＋1)]＜0.当a＝－1时，不等式的解集为空集，符合题意；当a＞－1时，不等式的解集为(0，a＋1)，又因为其为[－1,1]的子集，所以0<a＋1≤1，得－1＜a≤0；当a＜－1时，不等式的解集为(a＋1,0)，又因为其为[－1,1]的子集，所以0>a ＋1≥－1，得－2≤a ＜－1. 综上所述，a 的取值范围是[－2,0]．故选D.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．不等式0≤x 2－2x －3＜5的解集为________．答案 {x |－2＜x ≤－1或3≤x ＜4} 解析由x 2－2x －3≥0得x ≤－1或x ≥3；由x 2－2x －3＜5得－2＜x ＜4， ∴－2＜x ≤－1或3≤x ＜4.∴原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或3≤x ＜4}．14．若不等式|3x －b |<4的解集中的整数解有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________．答案 (5,7)解析 |3x －b |<4⇔－4<3x －b <4⇔b －43<x <b ＋43. ∵仅有整数1,2,3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫b －43，b ＋43，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －43<1，3<b ＋43≤4，∴⎩⎨⎧4≤b <7，5<b ≤8，∴5<b <7. 15．若a >0，则a ＋82a ＋1的最小值为________．答案 72解析由题意可知a ＋82a ＋1＝a ＋12＋4a ＋12－12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12×4a ＋12－12＝72，当且仅当a ＋12＝4a ＋12，即a ＝32时等号成立．所以a ＋82a ＋1的最小值为72. 16．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰的价格________3枝康乃馨的价格(填“＞”“<”或“＝”)．答案＞解析设1枝玫瑰的价格为x 元，1枝康乃馨的价格为y 元，由题意可得⎩⎨⎧ 6x ＋3y ＞24，4x ＋4y ＜20，即⎩⎨⎧2x ＋y ＞8，x ＋y ＜5，设2x －3y ＝m (2x ＋y )＋n (x ＋y )＝(2m ＋n )x ＋(m ＋n )y ，则⎩⎨⎧2m ＋n ＝2，m ＋n ＝－3，解得⎩⎨⎧m ＝5，n ＝－8，所以2x －3y ＝5(2x ＋y )－8(x ＋y )＞5×8－5×8＝0，即2x ＞3y ，所以2枝玫瑰的价格高．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)若实数x ，y ，z 满足y ＋z ＝3x 2－4x ＋6，y －z ＝x 2－4x ＋4.试确定x ，y ，z 的大小关系．解因为y －z ＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2≥0，所以y ≥z . 又y ＋z ＝3x 2－4x ＋6，y －z ＝x 2－4x ＋4，所以z －x ＝(y ＋z )－(y －z )2－x ＝1＋x 2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，所以z ＞x ，即y ≥z ＞x . 18．(本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足x ＝1时，y ＝0，且a ＞b ＞c ，求ca 的取值范围．解函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足x ＝1时y ＝0，则a ＋b ＋c ＝0.根据a ＞b ＞c ，知：①若a ＞b ＞0＞c ⇔a ＞－(a ＋c )＞0＞c ⇒1>－1－c a ＞0＞ca ⇒－2＜ca ＜－1；②若a ＞0＞b ＞c ⇔a ＞0＞－(a ＋c )＞c ⇒1＞0＞－1－c a ＞c a ⇒－1＜c a ＜－12； ③若a ＞b ＝0＞c ⇔a ＞－(a ＋c )＝0＞c ⇒ca ＝－1，综上所述，c a 的取值范围是－2＜c a ＜－12.19．(本小题满分12分)已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)且1a ＞1b ，x ＞y ，求证：xx ＋a ＞y y ＋b.证明 ∵x x ＋a －yy ＋b ＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b )，又∵1a ＞1b 且a ，b ∈(0，＋∞)，∴b ＞a ＞0. 又∵x ＞y ＞0，∴bx ＞ay ＞0. ∴bx －ay (x ＋a )(y ＋b )＞0，∴x x ＋a ＞yy ＋b.20．(本小题满分12分)设函数y ＝mx 2－mx ＋1(m >0)． (1)若存在实数x ，使y <0成立，求实数m 的取值范围； (2)若存在x ∈[1,3]，使y <－m ＋5成立，求实数m 的取值范围．解 (1)若存在实数x ，使y <0成立，则⎩⎨⎧m >0，m 2－4m >0，解得m >4. 所以实数m 的取值范围为(4，＋∞)． (2)若存在x ∈[1,3]，使y <－m ＋5成立，则存在x ∈[1,3]，使m (x 2－x ＋1)－4<0成立．因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又m (x 2－x ＋1)－4<0，所以m <4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34.设函数z ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，则函数z ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最大值为4，所以只需m <4即可．又m >0，∴m 的取值范围是(0,4)．21．(本小题满分12分)某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入为50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后年平均利润最大，最大是多少？解 (1)设该船捕捞n 年后的总盈利为y 万元．则 y ＝50n －98－[12×n ＋0＋4＋8＋…＋4(n －1)]＝50n －98－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×n ＋n (n －1)2×4 ＝－2n 2＋40n －98＝－2(n －10)2＋102.所以捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元． (2)年平均利润为y n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋49n －20≤－2⎝⎛⎭⎪⎫2n ·49n －20＝12，当且仅当n ＝49n ，即n ＝7时等号成立．所以，捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．22．(本小题满分12分)已知关于x 的不等式(kx －k 2－4)·(x －4)>0，其中k ∈R .(1)当k 变化时，试求不等式的解集A ；(2)对于不等式的解集A ，若满足A ∩Z ＝B (其中Z 为整数集)．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．解 (1)当k ＝0时，A ＝{x |x <4}；当k >0时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <4或x > k ＋4k当k <0时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k ＋4k <x <4. (2)由(1)知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数无限；当k <0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集．因为k ＋4k ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－k )＋4－k ≤－4，当且仅当k ＝－2时取等号，所以当k ＝－2时，集合B 的元素个数最少．此时A ＝{x |－4<x <4}，故集合B ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}．。

2021-2022年人教B版(2019)高一数学上册课时同步练第8课第1章章末综合检测【含答案】

2021-2022年人教B版（2019）高一数学上册课时同步练第8课第1章章末综合检测【含答案】一、基础巩固1．下列各组对象不能构成集合的是( )A．拥有手机的人B．2019年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数【答案】B【解析】B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，所以选B.2．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是( )A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆C．所有四边形的四个顶点共圆D．所有四边形的四个顶点都不共圆【答案】A【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形，它的四个顶点不共圆”，故选A.3．已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，则P∪Q＝( )A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}【答案】C【解析】在数轴上表示两个集合，如图，易知P∪Q＝{x|x≤4}．4．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是( )A．A∪B B．A∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)【答案】D【解析】∵A ∪B ＝{1,3,4,5,6}，∴∁U (A ∪B)＝{2,7}．5．设A ，B ，C 是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由A∩B＝A∩C，不一定有B ＝C ，反之，由B ＝C ，一定可得A∩B＝A∩C.所以“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．故选B.6．设全集U ＝{0，1，2，3}，集合A ＝{x ∈U|x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1，2}，则实数m ＝________．【答案】－3【解析】由题意可知，A ＝{x ∈U|x 2＋mx ＝0}＝{0，3}，即0，3为方程x 2＋mx ＝0的两根，所以m ＝－3.7．“a<14”是“一元二次方程x 2－x ＋a ＝0有实数解”的________条件．【答案】充分不必要【解析】当一元二次方程x 2－x ＋a ＝0有实数解，则Δ≥0，即1－4a≥0，即a≤14，又“a<14”能推出“a≤14”，但“a≤14”不能推出“a<14”，即“a<14”是“一元二次方程x 2－x ＋a ＝0有实数解”的充分不必要条件．8．银川一中开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m≤0”是假命题，求m 的范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m>0”是真命题，求m 的范围．你认为，两位同学题中m 的范围是否一致？________(填“是”“否”中的一个)【答案】是【解析】因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”，而命题“∃x ∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中的m的范围是一致的．9.设计如图所示的四个电路图，条件A：“开关S1闭合”；条件B：“灯泡L亮”，则A 是B的充要条件的图为________．【答案】乙【解析】对于图甲，开关S1闭合灯亮，反过来灯泡L亮，也可能是开关S2闭合，∴A是B的充分不必要条件．对于图乙，只有一个开关，灯如果要亮，开关S1必须闭合，∴A是B的充要条件．对于图丙，∵灯亮必须S1和S2同时闭合，∴A是B的必要不充分条件．对于图丁，灯一直亮，跟开关没有关系，∴A是B的既不充分也不必要条件．10．已知A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|m≤x<1＋3m}．(1)当m＝1时，求A∪B；(2)若B⊆∁R A，求实数m的取值范围.【答案】）（1）A∪B＝{x|－1<x<4}；（2）m>3或m≤－1 2【解析】(1)当m＝1时，B＝{x|1≤x<4}，A∪B＝{x|－1<x<4}．(2)∁R A＝{x|x≤－1或x>3}．当B＝∅，即m≥1＋3m时，得m≤－12，满足B⊆∁R A；当B≠∅时，要使B⊆∁R A成立，则⎩⎨⎧m<1＋3m ，1＋3m≤－1或⎩⎨⎧m<1＋3m ，m>3，解得m>3.综上可知，实数m 的取值范围是m>3或m≤－12.二、拓展提升11.若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则( ) A ．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B ．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C ．“x∈C”是“x∈A”的充要条件D ．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件【答案】B【解析】由A ∪B ＝C 知，x ∈A ⇒x ∈C ，x ∈CD/⇒x ∈A.所以x ∈C 是x ∈A 的必要不充分条件．12．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max{x 1，x 2，…，x n }，最小数为min{x 1，x 2，…，x n }．已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为L ＝max a b ，bc ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ，则“L＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( ) A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ， ∴L ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1×1＝1. ∴“L＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件． ∵a≤b≤c，∴max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝ca.又∵L ＝1，∴min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝ac，即a b ＝a c 或b c ＝a c ，得b ＝c 或b ＝a ，可知△ABC 为等腰三角形，而不能推出△ABC 为等边三角形． ∴“L＝1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件．13．设m ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0有整数根的充要条件是m ＝________. 【答案】3或4 【解析】x ＝4±16－4m2＝2±4－m ，因为x 是整数，即2±4－m 为整数，所以4－m 为整数，且m≤4.又m ∈N *，取m ＝1,2,3,4.验证可得m ＝3,4符合题意，所以m ＝3,4时可以推出一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0有整数根．14．设p ：12≤x≤1；q ：a≤x≤a＋1，若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12【解析】因为q ：a≤x≤a＋1，p 是q 的充分条件，所以⎩⎨⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a≤12.15．(本小题满分12分)下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件；并说明理由． (1)p ：|x|＝|y|，q ：x ＝y ；(2)p ：△ABC 是直角三角形，q ：△ABC 是等腰三角形； (3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形．【答案】（1）必要不充分条件；（2）既不充分也不必要条件；（3）必要不充分条件【解析】(1)因为|x|＝|y|⇒/x ＝y ，但x ＝y ⇒|x|＝|y|，所以p 是q 的必要条件，但不是充分条件． (2)因为△ABC 是直角三角形⇒/△ABC 是等腰三角形， △ABC 是等腰三角形⇒/△ABC 是直角三角形，所以p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件． (3)因为四边形的对角线互相平分⇒/四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，所以p是q的必要条件，但不是充分条件．16．已知a，b，c∈R，a≠0，判断“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．【答案】充要条件【解析】“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下：当a，b，c∈R，a≠0时，若“a－b＋c＝0”，则－1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，若“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”，故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，综上所述，“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件.。

2019_2020学年高中数学本册综合测试新人教B版必修4

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π 3cos2x＋1＝2sin2x＋＋1.
3
2π (1)函数 f(x)的最小正周期为 T＝＝π，
2
π
π
π
5π
π
由 2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ (k∈Z)，得 kπ－ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)．
2
3
2
12
12
5π
π
kπ－，kπ＋
∴函数 f(x)的单调递减增区间为
12
12 (k∈Z)．
5 又因为 cos(α＋β)＝－，
5
所以 sin(α＋β)＝
1－cos2α＋β＝2
5 ，
5
因此 tan(α＋β)＝－2.
4
2tanα
24
因为 tanα＝，所以 tan2α＝
＝－，
3
1－tan2α 7
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝ tan2α－tanα＋β ＝－ 2 . 1＋tan2αtanα＋β 11
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为 3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为 4
C．f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 3
D．f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 4
解析：选 B 根据题意有 f(x)＝cos2x＋1－1－cos2x＋2＝3cos2x＋5，
2
2
2
所以函数 f(x)的最小正周期为 T＝2π＝π， 2
π －，
当 x∈ 4 时，2x－ ∈ 6 3 ，g(x)为增函数，
6
π
π
0，
33
所以 g(x)在 4 上的最大值为 g 4 ＝ .

人教A版(2019)高一数学上学期期中达标测评卷(B卷)(含解析)

函数，当 x 0, 时 f x x 1 ，由一次函数的性质可知， f x x 1 在 0, 上单调递
增，即 f x x 1 在 0, 上单调递增，故 B 正确；
对于
C：
f
x
2
x3
3
x2
的定义域为 R，且
f
x
3
x2
3
x2
f
x ，所以
f
x
2
x3 为
偶函数，由幂函数的性质可知，
f
0
1 2t t
2t
3 ，
2 2t2 0 ，故 3 b 0 . 2t
当 0 t 1 时， 2t2 b 1 2t t ，同理可得 0 2t2 2 ， 1 1 2t t 9 4 5 ，故
2t
2t
2t 3 3 2t
3 b 9 4 5 .综上所述， 3 b 9 4 5 .故选：D. 8.答案：A
则( )
A. 3 b 2 3
C. 2 b 9 4 5 3
B. 3 b 0 D. 3 b 9 4 5
8.若 f x x 2 3x a 的最小值是 4，则实数 a 的值为( )
A.6 或 18
B. 6 或 18
C.6 或 18
D. 6 或 18
二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全
解析：关于 x的不等式 ax2 bx c 0 的解集为 , 2 3, ， a 0 ，①正确；由题意，
-2
和
3
是关于
x
的方程
ax2
bx
c
0
的两根，根据根与系数的关系得
2 3 2 3
c a
b a

【2019-2020高一数学试卷】人教A版必修4《三角函数》单元测试卷四答案解析

必修4《三角函数》单元测试卷四(时间：80分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝ln x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝sin xD ．y ＝cos x3．点P 从(1,0)点出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12 4．已知a ＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－334π，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b >a >c B ．a >b >c C ．b >c >aD ．a >c >b5．已知扇形的半径为r ，周长为3r ，则扇形的圆心角等于( ) A.π3 B ．1 C.2π3D ．36．已知函数y ＝2sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－2,1]，则b －a 的值不可能是( ) A.5π6 B ．π C.7π6D ．2π7.如图1是函数y ＝f (x )图象的一部分，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )图1A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 8．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x9．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，若其图象向右平移π3个单位后关于y 轴对称，则( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝4，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π610．已知tan α＝－3，π2<α<π，那么cos α－sin α的值是( )A ．－1＋32B.－1＋32C.1－32D.1＋32二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 11．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．12．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 13．定义在区间[0,3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________．14．给出下列4个命题：①函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12的最小正周期是π2；②直线x ＝7π12是函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的一条对称轴；③若sin α＋cos α＝－15，且α为第二象限角，则tan α＝－34；④函数y ＝cos(2－3x )在区间⎝⎛⎭⎫23，3上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)三、解答题(本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分10分)已知0<α<π2，sin α＝45.(1)求tan α的值；(2)求α＋－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－－α＋cosπ＋α的值．16．(本小题满分10分)(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值； (2)已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值；(3)已知角α终边上一点P 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．17．(本小题满分10分)函数f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2 x 的最小值为g (a )(a ∈R )． (1)求g (a )；(2)若g (a )＝12，求a 及此时f (x )的最大值．必修4《三角函数》单元测试卷四答案解析一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度【答案】 A【解析】把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象．2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝ln x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝sin x D ．y ＝cos x【答案】 D【解析】 A 是非奇非偶函数，故排除；B 是偶函数，但没有零点，故排除；C 是奇函数，故排除；y ＝cos x 是偶函数，且有无数个零点．故选D.3．点P 从(1,0)点出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 【答案】 A【解析】设∠POQ ＝θ，则θ＝π3.又设Q (x ，y )，则x ＝cos π3＝12，y ＝sin π3＝32.4．已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－334π，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．b >c >aD ．a >c >b【解析】 a ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－π－π6＝－tan π6＝－33， b ＝cos 234π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22， c ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－334π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8π－π4＝－sin π4＝－22，所以b >a >c .故选A.5.已知扇形的半径为r ，周长为3r ，则扇形的圆心角等于( ) A.π3 B ．1 C.2π3D ．3【答案】 B【解析】因为弧长l ＝3r －2r ＝r ，所以圆心角α＝l r＝1.6．已知函数y ＝2sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－2,1]，则b －a 的值不可能是( ) A.5π6 B ．π C.7π6D ．2π【答案】 D【解析】函数y ＝2sin x 在R 上有－2≤y ≤2，函数的周期T ＝2π，值域[－2,1]含最小值不含最大值，故定义域[a ，b ]小于一个周期．7.如图1是函数y ＝f (x )图象的一部分，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )图1A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6【解析】 T 2＝π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，∴T ＝π2，∴ω＝4，排除A 、B 、D.故选C.8．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x 【答案】 A【解析】 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 不正确；C ，D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C ，D 不正确．9．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，若其图象向右平移π3个单位后关于y 轴对称，则( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝4，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6【答案】 B【解析】 T ＝2πω＝π，∴ω＝2.函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位得函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－2π3的图象关于y 轴对称，∴φ－2π3＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝76π＋k π，k ∈Z .∵|φ|<π2，∴φ＝π6.故选B.10．已知tan α＝－3，π2<α<π，那么cos α－sin α的值是( ) A ．－1＋32B.－1＋32 C.1－32D.1＋32【答案】 A【解析】 ∵π2<α<π，∴cos α<0，sin α>0， ∴cos α－sin α＝－α－sin α2＝－1－2sin αcos αsin 2 α＋cos 2α ＝－1－2tan αtan 2 α＋1 ＝－4＋234 ＝－3＋12. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 11．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．【答案】－1【解析】由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1. 12．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.【答案】22【解析】因为y ＝sin x 图象――→向左平移π6个单位得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上――→每点横坐标变为原来2倍得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6图象，则有f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝2213．定义在区间[0,3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________．【答案】 7【解析】法一：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，y ＝cos x 的最小正周期为2π，在同一坐标系内画出两个函数在[0,3π]上的图象，如图所示．通过观察图象可知，在区间[0,3π]上两个函数图象的交点个数是7.法二：联立两曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin 2x ，y ＝cos x ，两曲线交点个数即为方程组解的个数，也就是方程sin2x ＝cos x 解的个数．方程可化为2sin x cos x ＝cos x ，即cos x (2sin x －1)＝0，∴cos x ＝0或sin x ＝12.①当cos x ＝0时，x ＝k π＋π2，k ∈Z ，∵x ∈[0,3π]，∴x ＝π2，32π，52π，共3个； ②当sin x ＝12时，∵x ∈[0,3π]，∴x ＝π6，56π，136π，176π，共4个．综上，方程组在[0,3π]上有7个解，故两曲线在[0,3π]上有7个交点． 14．给出下列4个命题：①函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π2；②直线x ＝7π12是函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的一条对称轴；③若sin α＋cos α＝－15，且α为第二象限角，则tan α＝－34；④函数y ＝cos(2－3x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)【答案】 ①②③【解析】函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π，故①正确．对于②，当x ＝712π时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×712π－π4＝2sin 32π＝－2，故②正确．对于③，由(sin α＋cos α)2＝125得2sin αcos α＝－2425，α为第二象限角，所以sin α－cosα＝1－2sin αcos α＝75，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以tan α＝－34，故③正确．对于④，函数y ＝cos(2－3x )的最小正周期为2π3，而区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3长度73>2π3，显然④错误．三、解答题(本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分10分)已知0<α<π2，sin α＝45.(1)求tan α的值；(2)求α＋π－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－－α＋π＋α的值．【答案】 (1)因为0<α<π2，sin α＝45，所以cos α＝35，故tan α＝43.(2)α＋π－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－－α＋π＋α＝－sin α＋2sin αsin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝4.16．(本小题满分10分)(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值； (2)已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值；(3)已知角α终边上一点P 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．【答案】(1)∵α终边过点P (4，－3)， ∴r ＝|OP |＝5，x ＝4，y ＝－3，∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，∴2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.(2)∵α终边过点P (4a ，－3a )(a ≠0)， ∴r ＝|OP |＝5|a |，x ＝4a ，y ＝－3a .当a >0时，r ＝5a ，sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，∴2sin α＋cos α＝－25；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝y r ＝35，cos α＝x r ＝－45，∴2sin α＋cos α＝25.综上，2sin α＋cos α＝－25或25.(3)当点P 在第一象限时，sin α＝35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2；当点P 在第二象限时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当点P 在第三象限时，sin α＝－35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝－2；当点P 在第四象限时，sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.17．(本小题满分10分)函数f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g (a )(a ∈R )． (1)求g (a )；(2)若g (a )＝12，求a 及此时f (x )的最大值．【答案】 (1)由f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x ＝1－2a －2a cos x －2(1－cos 2x )＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x －a 22－a 22－2a －1. 这里－1≤cos x ≤1.①若－1≤a 2≤1，则当cos x ＝a2时，f (x )min ＝－a 22－2a －1；11 ②若a 2>1，则当cos x ＝1时，f (x )min ＝1－4a ； ③若a 2<－1，则当cos x ＝－1时，f (x )min ＝1. 因此g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1， a <－2，－a 22－2a －1，－2≤a ≤2，1－4a ， a >2.(2)因为g (a )＝12. 所以①若a >2，则有1－4a ＝12，得a ＝18，矛盾； ②若－2≤a ≤2，则有－a 22－2a －1＝12，即a 2＋4a ＋3＝0，所以a ＝－1或a ＝－3(舍)；若a ＜－2时，g (a )≠12，矛盾．所以g (a )＝12时，a ＝－1. 此时f (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋122＋12，当cos x ＝1时，f (x )取得最大值5.。

高一数学必修4试题+答案

2019―2020学年度第一学期期末素质测试高一数学必修④试题与答案考生注意：1．本试题卷共4页，22小题，满分100分； 2．请在答题卡上答题，在本试题卷上答题无效．第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．每小题所给的四个选项中只有一个是正确的，请在答题卡上按要求答题．） 1．如果点(sin cos )P θθ，位于第三象限，那么角θ所在的象限是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C ．【命题意图】考查象限角，简单题．2．函数tan(2)3y x p=-的周期是（）A ．4p B ．2p C ．p D ．2p【答案】B ．【命题意图】考查正切函数的周期，简单题．3．已知角α的终边经过点)22(-，P ，则αsin 的值等于（）A ．12B ．3 C ．22 D ．2- 【答案】D ．【命题意图】考查任意角三角函数定义，简单题．4．函数cos(2)3y x π=+的图象的一条对称轴方程是（）A ．6x π=B ．6x π=- C ．12x π=D ．12x π=-【答案】B ．【命题意图】考查余弦函数对称轴，简单题．5．若向量(30)a =r ，，(22)b =r，，则a r 与b r 夹角的大小是（）A ．0B ．4π C ．2πD ．34π 【答案】B ．【命题意图】考查平面向量的夹角，简单题．6．已知a r ，b ρ均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么|3|a b +=r r（）A 7B 10C 13D ．13【答案】C ．【命题意图】考查平面向量的模，简单题．7．函数sin 2y x =的图象是由函数sin(2)3y x π=+的图象（）A ．向右平移6π个单位而得到B ．向左平移6π个单位而得到C ．向右平移12π个单位而得到 D ．向左平移12π个单位而得到【答案】A ．【命题意图】考查函数图象的变换，简单题．8．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A ．sin 2y x x =+B ．2cos y x x =-C ．122x x y =+ D ．2sin y x x =+ 【答案】D ．【命题意图】考查函数奇偶性，简单题． 9．已知α是第二象限角，且5tan 12α=-，则cos α的值是（） A ．513-B ．513C ．1213D ．1213- 【答案】D ．【命题意图】考查同角三角函数基本关系，简单题．10．如图，圆C 的半径为r ，弦AB 的长度为2，则AB AC ⋅u u u v u u u v的值为（）A ．rB ．2rC ．1D ．2 【答案】D ．【命题意图】考查平面向量数量积及几何意义，中档题．11．如图，在ABC △中，点D 是边BC 的中点，GD AG 2=，则用向量AC AB ，表示BG 为 ( )A ．AC AB BG 3132+-= B ．AC AB BG 3231+-=C ．AC AB BG 3132-=D ．AC AB BG 3132+= 【答案】A ．【命题意图】考查平面向量基本定理、向量数乘运算，中档题．12．若函数()2sin()f x x ωϕ=+对任意的x R ∈，都有()()3f x f x π-=．若函数()cos()1g x x ωϕ=+-，则()6g π的值是（）[A ． 2-B ．1-C ． 12- D ． 0 【答案】B ．【命题意图】考查三角函数性质的综合应用，较难题．第Ⅱ卷（非选择题，共64分）二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．请在答题卡上答题．）13．sin600︒= ．【答案】23-【命题意图】考查三角函数的诱导公式，简单题． 14．已知)2(k ，=，)31(，=，)12(-=，CD ，若A B D ，，三点共线，则=k ________【答案】8-；【命题意图】考查平面向量共线问题，简单题．15．化简2cos 2sin 21-= ．【答案】sin2cos2-【命题意图】考查弧度制、三角函数的符号规律，简单题． 16．若向量)12(+=x ，，)62(，+=x ，又的夹角为锐角，则实数x 的取值范围C BA G A为．【答案】}245|{≠->x x x 且【命题意图】考查平面向量夹角及坐标运算，中档题． 17．给出下列命题：①函数2cos()32y x π=+是奇函数；②存在实数x ，使sin cos 2x x +=；③若,αβ是第一象限角且βα<，则tan tan αβ<；④函数)32sin(2π-=x y 在]20[π，上的值域为]23[，-； ⑤函数sin(2)3y x π=+的图象关于点(0)12π，成中心对称．其中正确命题的序号为__________．【答案】．①④【命题意图】考查三角函数的综合性质，较难题．三、解答题：（本题共5小题，共44分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．请在答题卡上答题．） 18．（本小题满分8分）已知54cos =α，且α是第四象限角．（1）求αsin 的值；（2）求)3cos()tan()sin()2sin(αππαπααπ--⋅+-的值．【参考解答】（1）53sin -=α； …………………4分（2）原式＝45cos 1cos sin sin cos tan sin cos ==⋅=-⋅-αααααααα． …………………8分【命题意图】考查三角函数的化简求值，简单题． 19．（本小题满分8分）已知21==|||，与的夹角为θ．（1）若b a //，求b a ⋅；（2）若b a -与a 垂直，求θ．【参考解答】（1）因为//，所以︒=0θ或︒180，所以2±=⋅b a ； …………………………4分（2）因为b a -与a 垂直，所以0)(=⋅-a b a ，即0||2=⋅-b a a ，所以22cos =θ．又︒≤≤︒1800θ，所以︒=45θ． …………………………8分【命题意图】考查平面向量的平行与垂直，简单题．20．（本小题满分8分）已知关于x的偶函数())f x x ϕ=+ (0)πϕ-<<．（1）求ϕ的值；（2）求使1)(≥x f 成立的x 的取值范围．【参考解答】（1）易知)(2z k k ∈+=ππϕ，又0<<-ϕπ2πϕ-=∴ …………………4分（2）22)22sin(1)(≥-∴≥πx x f ，Θ )(2432224z k k x k ∈+≤-≤+πππππ x 的取值范围为）（Z k k k ∈++],85,83[ππππ …………………8分【命题意图】考查与三角函数图象与性质应用，中等题． 21．（本小题满分10分）已知函数()()sin 00y A x A ωϕωϕπ=+>><，，的一段图象如图所示．（1）求此函数的解析式；（2）求此函数在()22ππ-，上的递增区间．【参考解答】（1）由图可知，其振幅为A = 由于()6282T=--=， ∴周期为16T =，∴22168T πππω===，此时解析式为8y x （in ）πϕ=+．∵点2,-（在函数8y x （）πϕ=+的图象上， ∴()2282k k Z ππϕπ⨯+=-∈， ∴()324k k Z πϕπ=-∈．又ϕπ<，∴34πϕ=-．故所求函数的解析式为384y x （）ππ=-…………………5分（2）由()3222842k x k k Z ππππππ-≤-≤+∈，得()1621610k x k k Z +≤≤+∈，∴函数384y x （）ππ=-的递增区间是[]()1621610k k k Z ++∈，．当1k =-时，有递增区间[]146--，，当0k =时，有递增区间[]2,10，与定义区间求交集得此函数在()22ππ-，上的递增区间为(]26π--，和[)2,2π． …………………10分【命题意图】考查三角函数的综合性质及应用，中等题．22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系XOY 中，2==，32π=∠OAB，1BC =-u u u r （．（1）求点B ，点C 的坐标；（2）求四边形OABC 的面积．【参考解答】（1）)2325(，B ，)23323(，C ………………5分（2）易得四边形OABC 为等腰梯形，延长CB 交x 轴于D三角形OCD ∆，ABD ∆均为等边三角形3214334322=⋅-⋅=-=∴∆∆ABD OCD S S S ………………10分【命题意图】考查平面向量的综合应用，较难题．。

人教B版高一上期末数学试卷4(附答案及详细解析)

，C（cosθ，sinθ），其中
（Ⅰ）求
的最大值；
（Ⅱ）是否存在
，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出 θ 的取值范围；若不
存在，说明理由．
四、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．
20．（4 分）若集合 A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则 A∪B＝
A．向右平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向左平移个单位
10．（4 分）在△ABC 中，
，AB＝2，AC＝1．D 是 BC 边上的动点，则
的取值范围是
（）
A．[﹣4，1]
B．[1，4]
C．[﹣1，4]
D．[﹣4，﹣1]
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上.
人教 B 版高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．（4 分）sin（﹣ ）的值是（）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
2．（4 分）函数
的最小正周期为（）
A．π
B．2π
C．4π
D．6π
3．（4 分）如果向量＝（0，1），＝（﹣2，1），那么| +2 |＝（）
A．
B．
C．
D．
8．（4 分）设 α∈[0，2π），则使
成立的 α 的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
9．（4 分）已知函数 f（x）＝A1sin（ω1x+φ1），g（x）＝A2sin（ω2x+φ2），其图象如图所示．为得到函数 g（x）的图象，只需先将函数 f（x）图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再（）

2019-2020学年高一数学上学期期末考试及答案(新人教A版第14套)

南开区2013—2014学年度第一学期期末质量检测高一年级数学(必修4)试卷2014．01本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共100分，考试时间100分钟。

第I 卷一、选择题： (本大题共l0个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)(1)已知α为第一象限角，则2α所在的象限是( )． (A)第一或第二象限 (B)第二或第三象限 (C)第一或第三象限 (D)第二或第四象限 (2)tan690o 的值为( )． (A) 3- (B) 3(C) 3 (D) 3-(3)已知cos tan θθg <0，那么角θ 是( )．(A)第一或第二象限角 (B)第二或第三象限角(C)第三或第四象限角 (D)第一或第四象限角(4)如果角θ的终边经过点(3-，12)，则cos θ=( )．(A) 12 (B) 3-(C)3 (D) 33-(5)333sin ,cos ,888πππ的大小关系是( )．(A) 333sin cos 888πππ<< (B) 333sin cos 888πππ<<(C) 333cos sin 888πππ<< (D) 333cos sin 888πππ<<(6)如图，在四边形ABCD 中，设AB u u u r =a ，AD =u u u r b ，BC uuu r =c ，则DC u u u r =( )(A)-a +b +c (B)-a +b -c(C)a +b +c (D)a -b +c(7)为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象( )． (A)向左平移12π个单位长度 (B)向右平移12π个单位长度 (C)向左平移6π个单位长度 (D)向右平移6π个单位长度 (8)设扇形的周长为6，面积为2，则扇形中心角的弧度数是( )．(A) 1 (B)4(C)1或4 (D)π(9)已知下列命题：①若k ∈R ，且k b =0，则k=-0或b =0；②若a ·b =0，则a =0或b =0；③若不平行的两个非零向量a ，b ，满足|a|=|b|，则(a +b )·(a -b )=0；④若a 与b 平行，则a ·b =l |a||b|；⑤若a ·b =b ·c ，则a =c ；⑥若a ≠0，则对任一非零向量b ，有a·b ≠0．其中真命题的个数是( )．(A)0 (B)1(C)2 (D)3(10)已知∆ABC 中，3sin 5A =，5cos 13B =，则cosC 的值等于( ) (A) 1665或5665 (B) 1665(C) 5665 (D) 1665-或5665-南开区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高一年级数学(必修4)答题纸题号一二三总分得分(16) (17) (18) (19) (20)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填在题中横线上。

2019年高中第四册数学期末考试试卷

2019年高中第四册数学期末考试试卷各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢xxxx年高中第四册数学期末考试试卷答案[编辑推荐]多了解一些考试资讯信息，对于学生和家长来讲非常重要，中国（）为大家整理了xxxx年高中第四册数学期末考试试卷答案一文，希望对大家有帮助。

一、DcABc;BBccc;cD.二、13、14、215、2116、三、17.【解析】18.【解析】2分4分5分由得，.，7分故的单调递增区间为.8分,则9分10分又11分12分考点：三角函数的性质点评：解决的关键是利用二倍角公式将表达式化为单一函数，同时能结合性质来得到结论，属于基础题。

19.【解析】;20.【解析】本题考查离散形随机变量及其分布列的求法，期望的求法，考查了等可能事件概率的求法公式，是一道应用概率解决实问题的应用题，此类题型随着高考改革的深入，在高考的试卷上出现的频率越来越高，应加以研究体会此类题的规范解法.求甲，乙两组各抽取的人数，根据分层的规则计算即可;“从甲组抽取的工人中恰有1名女工”这个事件表明是从甲组中抽取了一男一女，计算出总抽法的种数与)“从甲组抽取的工人中恰有1名女工”的种数，用古典概率公式即可求解;令X表示抽取的3名工人中男工人的人数，则X可取值：0，1，2，3，依次算出每和种情况的概率，列出分布列，据公式求出其期望值即可.解：答：从甲组抽取2名，从乙组抽取1名从甲组抽取的工人中恰有1名女工的概率为X可取值：0，1，2，3X的分布列为21.【解析】由题意知，，解得5分设，与椭圆方程联立得因为AB为直径的圆过点m，所以老师做：请你仿此自己改一下;设，k存在时，设直线联立得8分又同理10分解得当k不存在时，为等腰,由c、B、m三点共线易得到综上.考点：直线与椭圆的位置关系点评：解决的关键是熟练椭圆的几何性质来得到方程，以及联立方程组的思想，结合韦达定理来得到根与系数的方法，属于基础题。

22.【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

2019-2020学年高中数学人教版必修四模块综合检测(一) Word版含答案

模块综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．－1 120°角所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D －1 120°＝－360°×4＋320°，－1 120°角所在象限与320°角所在象限相同．又320°角为第四象限角，故选D.2．(全国甲卷)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15D ．－725解析：选D 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.3．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2), 若a ∥b, 则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2D ．0解析：选C a ∥b 的充要条件的坐标表示为1×2－m 2＝0，∴m ＝±2，选C. 4.1－sin 20°＝( ) A ．cos 10°B ．sin 10°－cos 10° C.2sin 35°D ．±(sin 10°－cos 10°)解析：选C ∵1－sin 20°＝1－cos 70°＝2sin 235°， ∴1－sin 20°＝2sin 35°.5．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，且a·b ＝10，则|a －b |＝( ) A ．－10 B ．10 C ．－ 5D. 5解析：选D 因为a· b ＝10，所以x ＋8＝10，x ＝2，所以a －b ＝(－1，－2)，故|a －b |＝ 5.6．(山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π解析：选B 法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π. 法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.故选B. 7．已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( ) A.14 B ．－14C.12D ．－12解析：选A 依题意得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin π4＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝14. 8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选A 由题意得3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z.取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.9．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( ) A ．－34B ．－14C.34D.14解析：选B a·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－3＝ 23sin α＋6cos α－3＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14，故选B. 10．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ为( ) A ．k π，(k ∈Z) B ．k π＋π6，(k ∈Z) C ．k π＋π3，(k ∈Z) D ．－k π－π3，(k ∈Z) 解析：选 D f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －θ＋π6.由函数为奇函数得－θ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得θ＝－k π－π3(k ∈Z)，故选D.11．如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是( ) A ．12P P ·13P PB ．12P P ·14P PC ．12P P ·15P PD ．12P P ·16P P解析：选A 由于12P P ⊥15P P ，故其数量积是0，可排除C ；12P P 与16P P 的夹角是2π3，故其数量积小于零，可排除D ；设正六边形的边长是a ，则12P P ·13P P ＝|12P P |·|13P P |·cos 30°＝32a 2，12P P ·14P P＝|12P P |·|14P P |·cos 60°＝a 2. 12．已知函数f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋a ＋b (a <0)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域为[－5,1]，则a 、b 的值分别为( )A ．a ＝2，b ＝－5B ．a ＝－2，b ＝2C ．a ＝－2，b ＝1D ．a ＝1，b ＝－2解析：选C f (x )＝－a (cos 2x ＋3sin 2x )＋2a ＋b ＝－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b . 又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1. ∵－5≤f (x )≤1，a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝－5，－2a ＋2a ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π3＝cos π3＝12.答案：1214．(北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM ―→＝2MC ―→，BN ―→＝NC ―→.若MN ―→＝xAB ―→＋y AC ―→，则x ＝________；y ＝________.解析：∵AM ―→＝2MC ―→，∴AM ―→＝23AC ―→.∵BN ―→＝NC ―→，∴AN ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，∴MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)－23AC ―→＝12AB ―→－16AC ―→.又MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→， ∴x ＝12，y ＝－16.答案：12 －1615．(重庆高考)在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA ＝(－3,1)，OB ＝(－2，k )，则实数k ＝________.解析：因为AB ＝OB －OA ＝(1，k －1)，且OA ⊥AB ，所以OA ·AB ＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.答案：416．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则y 的表达式为________．解析：由图象，知A ＝2，由T 2＝2π3－π6，求出周期T ＝π，ω＝2，然后可求得φ＝π6.答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知向量a ，b 满足|a |＝|b|＝2，a 与b 的夹角为120°.求： (1)|a ＋b |及|a －b |； (2)向量a ＋b 与a －b 的夹角．解：(1)a·b ＝|a||b |cos θ＝2×2×cos 120°＝－2，所以|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝22＋22＋2×(－2)＝4，所以|a ＋b |＝2，同理可求得|a －b |＝2 3.(2)因为(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝22－22＝0，所以(a ＋b )⊥(a －b )，所以a ＋b 与a －b 的夹角为90°. 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a sin(2ωx ＋π6)＋a2＋b (x ∈R ，a >0，ω>0)的最小正周期为π，函数f (x )的最大值是74，最小值是34.(1)求ω、a 、b 的值； (2)指出f (x )的单调递增区间．解：(1)由函数最小正周期为π，得2π2ω＝π，∴ω＝1，又f (x )的最大值是74，最小值是34，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b ＝74，－a ＋a 2＋b ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝12sin(2x ＋π6)＋54，当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)时，f (x )单调递增， ∴f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z)． 19．(本小题满分12分)(天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解：(1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≠π2＋k π，k∈Z .f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k∈Z，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减． 20．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k 的值；(2)设d ＝(x ，y )满足(d －c )∥(a ＋b )且|d －c |＝1，求d . 解：(1)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，且a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0， ∴k ＝－1613.(2)∵d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，(d －c )∥(a ＋b )且|d －c |＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－－－＝0，－＋－＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋55，y ＝1＋255或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－55，y ＝1－255.∴d ＝20＋55，5＋255或d ＝20－55，5－255. 21．(本小题满分12分)如图所示，是一个半径为10个长度单位的水轮，水轮的圆心离水面5 2 个长度单位．已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P 到水面距离d 与时间t 满足的函数关系是正弦曲线，其表达式为d －k b ＝sin(t －h a)．(1)求正弦曲线的振幅和周期；(2)如果从P 点在水中浮现时开始计算时间，写出其有关d 与t 的关系式； (3)在(2)的条件下，求P 首次到达最高点所用的时间．解：(1)A ＝r ＝10.T ＝604＝15(s)． (2)由d －k b ＝sin t －h a ，得d ＝b sin t －ha＋k .b ＝A ＝10，T ＝2π1a＝2πa ＝15，∴a ＝152π. 由于圆心离水面52个长度单位， ∴k ＝5 2. ∴d ＝10sin2π－15＋5 2.将t ＝0，d ＝0代入上式，得sin(2π15h )＝22，2π15h ＝π4， ∴d ＝10sin(2π15t －π4)＋5 2.(3)P 到达最高点时d ＝10＋5 2.∴sin(2π15t －π4)＝1，得2π15t －π4＝π2，t ＝458(s)．即P 首次到达最高点所用时间为458s. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )·cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ，所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1.因此1≤g (x )≤1＋22. 故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.。

2019-2020学年高中数学人教B版必修4：阶段质量检测(二) 平面向量 Word版含答案

阶段质量检测（二）平面向量(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在五边形ABCDE 中(如图)AB BC DC ( ) A AC B AD C BDD BE解析：选B AB BC DC AC AD 2．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于( ) A ．5 B.13C.17D ．13 解析：选B 因为a ＋b ＝(3,2)，所以|a ＋b |＝32＋22＝13，故选B.3．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.3π4解析：选C ∵|a ＋b |＝1，∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，∴cos 〈a ，b 〉＝－12.又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝2π3.4．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1解析：选B 因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.5．如图，M ，N 分别是AB ，AC λAC AB 成立，则λ＝( ) A.12 B.13C.23D ．±13解析：选B BC BC AC AB λ＝13.6．设点A (－1,2)，B (2,3)，C (3，－1)AD AB BC D 的坐标为( ) A ．(2,16) B ．(－2，－16) C ．(4,16)D ．(2,0)解析：选A 设D (x ，y )AD (x ＋1，y －2)AB (3,1)BC (1，－4)， ∴AB BC 2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝3，y －2＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝16.故选A. 7．某人在静水中游泳，速度为43km /h，水流的速度为4km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为( )A ．90 °B ．30°C ．45°D ．60°解析：选D OA OB 速度，则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC .于是tan ∠AOC |AC |＝OB OA ＝|v 静||v 水|＝3，∴∠AOC ＝60°，故选D.8．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB DC BD CE AF AD BE CF BC ( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A AD BE CF AB BD ＋BA AE ＋CB BFBC AC ⎭⎫CB ＋13BA BC AC CB BC∴AD BE CF BC 9．设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则a ＋b ＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |解析：选C 若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ，故C 正确；选项A ：当|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由矩形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得b ＝λa ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然 |a ＋b |＝|a |－|b |不成立．10AB AC 120°，且AB ＝2，AC ＝3.AP AB AC AP BC λ的值为( )A.37B ．13C ．6D.127解析：选D AP AB AC AP BC AP BC ＝(AB AC AC AB ＝AC －AB ＋(λ－AB AC 0.AB AC 2×3×(－12)＝－3，∴32－λ·22＋(λ－1)×(－3)＝0，解得λ＝127.11．在△ABC 中，有下列四个命题： AB AC BC AB BC CA 0；③若AB AC AB AC ＝0，则△ABC 为等腰三角形； AC AB ，则△ABC 为锐角三角形．其中正确的命题有( ) A ．①② B ．①④ C ．②③D ．②③④解析：选C AB AC CB BC BC AB BC CA AC CA ACAC 0，∴②正确．由AB AC AB AC 0，得AB AC ，∴△ABC 为AC AB ⇒cos AC AB >0，即cos A >0，∴A 为锐角，但不能确定B ，C的大小，∴不能判定△ABC 是否为锐角三角形，∴④错误，故选C.12．已知点O ，P 在△ABC 所在的平面内，且OA ＝OB ＝OC PA PB PB PC PC PA O ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心B ．重心、内心C ．外心、垂心D ．外心、重心解析：选C OA OB OC O 到三角形的三个顶点的距离相等，所以O 为△ABC的外心；PA PB PB PC PC PA PA PB PB PC PB CA 0，则点P 在AC 边的垂线上，同理可得点P 在其他边的垂线上，所以点P 为△ABC 的垂心．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )·(a －2b )＝－7，则向量a ，b 的夹角为________．解析：(a ＋b )(a －2b )＝|a 2|－a·b －2|b |2＝1－a·b －8＝－7，∴a·b ＝0，∴a ⊥b .故a ，b 的夹角为π2.答案：π214．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 解析：|5a －b |＝|5a －b|2＝错误!＝25a2＋b2－10a·b＝ 25＋9－10×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7.答案：715．(全国卷Ⅰ)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 解析：∵a ＋b ＝(m ＋1,3)，∴|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2⇔(m ＋1)2＋32＝m 2＋6，解得m ＝－2. 答案：－216.如图，在直角梯形ABCD 中，AB∥CD ，AB ＝2，AD ＝DC ＝1，P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC DQ DC CP (1－λCB AP AQ ________．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0,1)，C (1,1)．设Q (m ，n )DQ DC (m ，n －1)＝λ(1,0)，即m ＝λ，n ＝1.又B (2,0)，设P (s ，t )，由CP ＝(1－λ)CB (s －1，t －1)＝(1－λ)(1，－1)，即s ＝2－λ，t ＝λAP AQ λ(2－λ)＋λ＝－λ2＋3λ，λ∈[0,1]AP AQ [0,2]．答案：[0,2]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a |＝1，|b |＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c |的取值范围．解：|c |2＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4a·b ＋4|b |2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)． ∵0°<θ<120°，∴－12<cos θ<1，∴13<|c |<5，∴|c |的取值范围为(13，5)．18．(本小题满分12分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足AC CB 0，(1)OA OB OC (2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形．解：(1)因为2 AC CB 0，所以OC OA ＋OB OC ＝0，OC OA OB OC 0， OC OA OB (2)证明：如图，DA DO OA OB OA ＝12(2OA OB ．DA OC DA ∥OC ，且DA ≠OC ，故四边形OCAD 为梯形．19．(本小题满分12分)OA (1,7)OB (5,1)OP (2,1)，点M 为直线OP 上的一动点．(1) (2)在(1)的条件下，求cos ∠AMB 的值．解：(1)(x ，y )，∵点M 在直线OP 上，OP OP (2,1)． ∴x ×1－y ×2＝0，即x ＝2y .(2y ，y )OA OA (1,7)，(1－2y,7－y )．OB (5－2y,1－y )．(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12.可知当y ＝202×5＝28(4,2)．(2)(4,2)，即y ＝2时，(－3,5)(1，－1)，＝34，＝2，(－3)×1＋5×(－1)＝－8.cos ∠AMB MA ·MB＝－834×2＝－41717.20．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD AB a AD b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，F 使BF ＝13BC .(1)以a ，b AM HF(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120AM HF解：(1)连接AF AM AD ＋DM ＝12a ＋b .AF AB BF a ＋13b ，HF HA AF ＝－12b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ＝a －16b . (2)由已知得a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－6，AM HF ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a －16b ＝12|a |2＋1112a ·b －16|b |2 ＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113. 21．(本小题满分12分)在△ABC AB AC 0，AB ＝12BC 15，l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点．(1)AD CB (2)AE CB 解：(1)AB AC 0，∴AB ⊥AC . 又AB 12BC 15AC 9.AD ＝12(AB AC CB AB ACAD CB ＝12(AB AC AB AC＝12(＝12(144－81)＝632. AE CB 理由：∵l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为l 上异于D DE CB 0. AE CB AD DE CB AD CB DE CB AD CB ＝632. 22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，且点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)AB a AB ＝5OA OB(2)AC a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4OA OC 解：(1)AB (n －8，t )AB a ，所以8－n ＋2t ＝0，即n ＝8＋2t . 又AB ＝5OA所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，解得t ＝±8. OB (24,8)或(－8，－8)．(2)AC (k sin θ－8，t )AC a 共线，所以t ＝－2k sin θ＋16. 又t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ－4k 2＋32k ，当k >4时，1>4k>0，所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k ；由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，故OC (4,8)， OA OC 8×4＋8×0＝32.。

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2019-2020年高一上学期期末数学人教B 版必修四检测卷含答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的.
1.sin(60)-的值等于（） D
A.
12 B.12- C.2 D.2
-2.下列函数中，最小正周期为π的是（）B
A.cos 4y x =
B.sin 2y x =
C.sin
2x y = D.cos 4
x
y = 3.已知tan 1α=-，且[0,)απ∈，那么α的值等于（）C
A.
3
π B. 23π C. 34π D. 54π
4.已知平面向量(1
2)(10)=-=，，，a b ，则向量3a +b 等于（）A A.()2,6- B.()2,6-- C.()2,6 D.()2,6- 5.在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，则AD AC -等于（）C
A.CB
B.BC
C.CD
D. DC 6.若tan 3α=，tan 2β=，则tan()αβ-等于（）D
A.3-
B.3
C.17-
D.1
7
7.函数sin y x =图象的一个对称中心的坐标是（）A
A. (0,0)
B. (,0)4π
-
C. (,0)4π
D. (,0)2
π
8.下列各式中，值为
2
的是（）C A.2sin15cos15 B.2
2
sin 15cos 15- C.2
12sin 15- D.2
2
sin 15cos 15+
9.已知正方形ABCD 的边长为1，设AB =a ，BC =b ，AC =c ，则-+a b c 等于（）C
A.0
2
D.
10.函数()y f x =在区间π
[π]2
-，上的简图如右图所示，则函数
()y f x =的解析式可以是（）B
A. ()sin(2)3f x x π
=+
B. 2()sin(2)3f x x π=-
C. ()sin()3f x x π=+
D. 2()sin()3
f x x π
=-
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11. 已知(1,1)AB =，那么AB =
12. 已知角α的终边经过点()4,3P ，则cos α的值为_________.4
5
13. cos 40cos 20sin 40sin 20-的值等于__________.12
14. 函数sin cos y x x =的最小值是_________.12
-
15. 已知向量(1,2)-a =，(3,4)b =，则2
-a a b =⋅__________. 0 16.如图，圆O 的半径为2，l 为圆O 外一条直线，圆心O 到直线l 的距离3OA =，0P 为圆周上一点，且06
AOP
π
∠=，点P 从0P 处开始
以2秒一周的速度绕点O 在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动.
① 1秒钟后，点P 的横坐标为_________；
②t 秒钟后，点P 到直线l 的距离用t 可以表示为
______________.
32cos()6
t π
π-+，0t ≥
三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）
30
已知向量a 、b 满足1==a b ，且a 与b 的夹角为60. （1）求-a a a b ⋅⋅；
（2）若a 与λa +b 垂直，求实数λ的值.
18.（本小题满分12分）
已知
2π
απ<< ,3
cos 5α=-. （1）求tan α的值；
（2）求cos 2sin()2
π
αα-+的值.
19.（本小题满分14分）
在直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A -，B ，(2cos ,sin )C θθ，其中
[0,]2
πθ∈．
（1）若//AB OC ，求tan θ的值；
（2）设点(1,0)D ，求AC BD ⋅的最大值；
（3）设点(,0)E a ，a ∈R ，将O C C E ⋅表示成θ的函数，记其最小值为()f a ，求()f a 的表达式，并求()f a 的最大值.
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1. D;
2. B;
3. C;
4. A;
5. C;
6. D;
7. A;
8. C;
9. C; 10. B.
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（一题两空的题目每空2分）
4
5
; 13.
1
2
; 14.
1
2
-;
15.0; 16. 32cos()
6
t
π
π
-+，0
t≥ .
三、解答题：本大题共3小题，共36分.
17.解：（1）2cos60
--
a a a b=a a b
⋅⋅………………4分
11
1
22
=-=………………5分
（2）由已知，()=0
λ
⋅a a+b，………………7分
所以0
λ
a a+a b=
⋅⋅，2
λ=-.………………10分
18.解：（1）因为
2
π
απ
<<，
3
cos
5
α=-，所以
4
sin
5
α=，………………3分故
4
tan
3
α=-.………………5分
（2）2
cos2sin()2cos1cos
2
π
αααα
-+=--………………10分
938
21
25525
=⨯-+=.………………12分
19.解：（1）由已知，得AB=，(2cos,sin)
OCθθ
=，………………2分
因为//
AB OC，所以2sin
θθ
=，tanθ=………………3分
（2）由已知，(2cos2,sin)
ACθθ
=+，(1,
BD=-，
2cos24cos()2
3
AC BD
π
θθθ
=-+=++
⋅………………5分
又5[,]336
π
ππ
θ+
∈，………………6分所以，当0θ=时，AC BD ⋅取得最大值，最大值为4.………………8分（3）由已知，(2cos ,sin )CE a θθ=--，所以，2
222cos 4cos
sin 3cos 2cos 1OC CE a a θθθθθ=--=-+-⋅，
设cos t θ=，2321,[0,1]OC CE t at t =-+-∈⋅………………10分
当1
32a <，即3
2a <时，()24f a a =-，当1
32
a ≥，即3
2
a ≥时，()1f a =-，所以，324,,2
()31,,
2
a a f a a ⎧
-<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩………………12分
因为当32a <
时，3()()12f a f <=-，当3
2
a ≥时，()1f a =-，所以()f a 的最大值为1-. ………………14分。