人教版初三数学上册切线长定理、三角形的内切圆
人教版九年级数学上册《切线长定理,三角形的内切圆》课件
解得： x= 3cm
半径OA的长为3cm
一、判断
基础练习
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。
二、填空
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点，APB50
连结PO，则 APO25 度。
A
OБайду номын сангаас
P
B
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、 C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的 切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
反思
A
在解决有关圆的切线长
问题时，往往需要我们
。
构建基本图形。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
思考 如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下
一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I D
数学探究 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
（2）图中的直角三角形有 6 个，分别是
等腰三角形有 2 个，分别是
（3）图中全等三角形 3 对，分别是
（4）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙ O的切线长
为 3 3 cm，两切线的夹角等于 60 度
（5）如果PA=4cm，PD=2cm， A
试求半径OA的长。
x
E
OC D
P
B
PA 2O2AO2P
2
1、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有 一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别 交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周 长是否会因K点的变动而变化？为什么？
切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解(基础)
切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解（基础）责编：常春芳【学习目标】1.了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.要点二、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形.三角形的内心到三角形的三边距离相等.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.【典型例题】类型一、切线长定理1．（2015秋•湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA=6，求△PCD的周长．（2）若∠P=50°求∠DOC．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵PA、PB与圆O相切，∴PA=PB=6，同理可得：AC=CE，BD=DE，△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12；（2）∵PA PB与圆O相切，∴∠OAP=∠OBP=90°∠P=50°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，在Rt△AOC和Rt△EOC中，，∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），∴∠AOC=∠COE，同理：∠DOE=∠BOD，∴∠COD=∠AOB=65°．【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键．2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点.求证：DE是⊙O切线.3421OFD CB A【答案与解析】证明：连结OD 、CD ，AC 是直径，∴OA=OC=OD ，∴∠OCD=∠ODC ，∠ADC=90°，∴△CDB 是直角三角形.∵E 是BC 的中点，∴DE=EB=EC ，∴∠ECD=∠EDC ，∠ECD+∠OCD=90°， ∴∠EDC+∠ODC=90°，即OD ⊥ED ， ∴DE 是⊙O 切线.【总结升华】自然连接OD ，可证OD ⊥DE. 举一反三：【变式】已知：如图，⊙O 为ABC ∆的外接圆，BC 为⊙O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D .求证：DA 为⊙O 的切线.OFD CBA【答案】证明：连接AO .∵ AO BO =，∴ 23∠=∠.∵ BA CBF ∠平分，∴ 12∠=∠. ∴ 31∠=∠ . ∴ DB ∥AO .∵ AD DB ⊥,∴ 90BDA ∠=︒.∴ 90DAO ∠=︒. ∵ AO 是⊙O 半径，∴ DA 为⊙O 的切线.3．如图，正方形ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（ ）A.12B.24C.8D.6【答案】D；【解析】解：∵AE与圆O切于点F，显然根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC，设EF=EC=xcm，则DE=（4﹣x）cm，AE=（4+x）cm，在三角形ADE中由勾股定理得：（4﹣x）2+42=（4+x）2，∴x=1cm，∴CE=1cm，∴DE=4﹣1=3cm，∴S△ADE=AD•DE÷2=3×4÷2=6cm2．【总结升华】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出AB=AF，EF=EC．类型二、三角形的内切圆4．（2015•靖江市校级二模）如图，在△ABC中，I是内心，O是AB边上一点，⊙O经过B点且与AI相切于I点．（1）求证：AB=AC；（2）若BC=16，⊙O的半径是5，求AI的长．【解题思路】（1）延长AI交BC于D，连结OI，如图，根据内心的性质得∠OBI=∠DBI，则可证明OI∥BD，再根据切线的性质得OI⊥AI，则BD⊥AD，加上AI平分∠BAC，所以△ABC为等腰三角形，得到AB=AC；（2）由OI∥BC，得到△AOI∽△ABD，得到比例式，再根据勾股定理求得2232 3AB BD-=，于是就可得．【答案与解析】解：（1）延长AI交BC于D，连结OI，如图，∵I是△ABC的内心，OCBA∴BI 平分∠ABC，即∠OBI=∠DBI， ∵OB=OI，∴∠OBI=∠OIB， ∴∠DBI=∠OIB， ∴OI∥BD，∵AI 为⊙O 的切线， ∴OI⊥AI， ∴BD⊥AD，∵AI 平分∠BAC，∴△ABC 为等腰三角形， ∴AB=AC；（2）∵OI∥BC， ∴△AOI∽△ABD， ∴==，∴=， ∴AB=，∴AD=22323AB BD -=， ∴AI=•AD=×=．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正确的作出辅助线是解题的关键． 举一反三：【变式】已知如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，求△ABC 的内切圆⊙O 的半径r.OCBA【答案】解：连结OA 、OB 、OC ，∵△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB=5. 则S △AOB +S △COB +S △AOC =S △ABC ，即11115+4+3=34=12222r r r r ⨯⨯⨯⨯⨯，。
初中：切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解(基础)
切线长定理及三角形的内切圆一知识讲解〈基础）【学习目标】l.了解切线长定义：理解三角形的内切圆及内心的定义：2.掌握切线长定理：利用切线长定理解决相关的计算和证明．【要点梳理】要点一、切线长定理1.切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长．要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称．切线是直线，而非线段．2.切线长定理z从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等．要点二、三角形的内切圆1.三角形的内切圆z与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形．三角形的内心到三角形的三边距离相等．2.三角形的内心z三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点．要点诠释z(1）任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形：(2）解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积户即S=;Pr (S 7'J 三角形的面积P为三角形的周长r为内切圆阳）(3）三角形的外心与内心的区别：名称｜确定方法｜图形｜性质外心（三角形｜三角形三边中垂线的外接圆的圆｜交点心）AB(1)OA=OB=OC: (2）外心不一定在三角形内部内心（三角形三角形三条角平分线内切圆的圆的交点心）【典型例题】类型一、切线长定理B c(1)到三角形三边距离相等：(2) O A、OB、oc分别平分L'.'.BAC、ζABC、丘ACB:(3）内心在三角形内部．。
1.(2叫湛江校级脚己知PA,PB :5t别切。
于A、B E为劣弧础上一点过E,#,1¥Ji;JJ�交PA于C、交PB于D.(1）若PA吨，求6PCD的周长．(2）若ζP=50°求ζDOC.p【答案与解析】解：(1）连接OE,..PA、PB与圆0相切，:.PA=PB=6,同理可得：AC=CE,BD=DE,6PCD的周长＝PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12: (2）γPA PB与圆O相切，二ζOAP＝ζOBP=90。
人教版初中九年级上册数学课件 《直线和圆的位置关系》圆(第3课时切线长定理和三角形的内切圆)
A．60° C．30°或 120°
B．120° D．60°或 120°
11
9．【四川泸州中考】如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 与 AB、BC、CA 分别相切 于点 D、E、F，且 AB＝AC＝5，BC＝6，则 DE 的长是( D )
A．31010 C．355
B．3
10 5
D．655
12
10．如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，连接 AC，⊙P 和⊙Q 分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则 PQ 的长是( B )
15
13．如图，在△ABC 中，内切圆 I 和边 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F， 若∠A＝70°，则∠FDE 的度数为____5_5__°___.
16
14．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB＝9cm，BC ＝14cm，CA＝13cm，求AF、BD、CE的长．
第二十四章 圆
直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
以练助学
名师点睛
知识点1 切线长和切线长定理 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之 间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切 线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线 平分这两条切线的夹角． 核心提示：(1)从圆外任意一点都可以引圆的 两条切线，过圆上一点只能引圆的一条切
2
线．(2)切线长定理主要用于证明线段相等、角
知识点2 三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切 圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交 点，叫做三角形的内心，这个三角形叫做这个 圆的外切三角形． 【典例】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点 分别是点A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点 为点Q，分别交PA、PB于点F、E.已知PA＝12cm， 求△PEF的周长．
切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解(提高)
切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1.了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.要点二、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形.三角形的内心到三角形的三边距离相等.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.【典型例题】类型一、切线长定理1.（2015•常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．【答案与解析】证明：（1）如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；（2）如图2，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．2.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】解：连接OD．∵ OA=OD，、∴∠1=∠2．∵ AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．∴∠3=∠4．又∵ OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴ DC是⊙O的切线．【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．举一反三：【变式】已知：∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心、2为半径作⊙O ，交AN 于D 、E 两点，设AD=x ，⑴如图⑴当x 取何值时，⊙O 与AM 相切；⑵如图⑵当x 为何值时，⊙O 与AM 相交于B 、C 两点，且∠BOC=90°．【答案】解：（1）设AM 与⊙O 相切于点B ，连接OB ，则OB ⊥AB ；在Rt △AOB 中，∠A=30°， 则AO=2OB=4， ∴ AD=AO-OD ， 即AD=2．x=AD=2. （2）过O 点作OG⊥AM 于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=22 ∵OG⊥BC，2，2，在Rt △OAG 中，∠A=30°∴OA=2OG=22，MNEDO图（1）．MANEDBCO图（2）∴x=AD=22－23.（2014•高港区二模）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以AB为直径在矩形内作半圆．DE切⊙O于点E（如图），则tan∠CDF的值为（）A．B．C．D．【答案】B；【解析】解：如图，设FC=x，AB的中点为O，连接DO、OE．∵AD、DE都是⊙O的切线，∴DA=DE=3．又∵EF、FB都是⊙O的切线，∴EF=FB=3﹣x．∴在Rt△DCF中，由勾股定理得，（6﹣x）2=x2+42，解得，x=，则tan∠CDF===．故选B．类型二、三角形的内切圆4.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．OCBA【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O 为四边形ABCD 的内切圆， ∴AD、AB 、CD 为⊙O 的切线， ∴OD 平分∠ADC，OA 平分∠BAD， 即∠O DA=∠ADC，∠OAD=∠BAC， ∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°， ∴∠ODA+∠OAD=90°， ∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD 中，∵AO=8cm，DO=6cm ， ∴AD==10（cm ），∵AD 切⊙O 于E ，∴OE⊥AD， ∴OE•AD=OD•OA， ∴OE==（cm ）；（Ⅲ）∵F 是AD 的中点， ∴FO=AD=×10=5（cm ）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理． 举一反三：【变式】如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O 内切与△ABC ，则△ABC 去除⊙O 剩余阴影部分的面积为（ ）A.12-πB. 12-2πC. 14-4πD. 6-π【答案】D.。
人教版九年级数学上册24.2.2切线长定理及三角形的内切圆(教案)
(1)对于切线长定理的证明，教师可以采用构造辅助线、利用相似三角形等方法，逐步引导学生理解证明过程，降低难度。
(2)在讲解内切圆半径计算时，可以针对不同类型的三角形，给出具体的计算步骤和方法，让学生通过练习逐步掌握。
(3)针对解决实际问题时思路的拓展，教师可以设置一些具有挑战性的题目，引导学生运用所学知识，培养学生的问题分析和解决能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“切线长定理及内切圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-解决实际问题的能力培养：通过典型例题，重点训练学生运用切线长定理和内切圆性质解决实际问题的能力。
举例解释：
(1)在讲解切线长定理时，可以通过图形演示和实际测量，让学生直观地理解切线长的概念，并掌握切线长的计算方法。
(2)对于三角形内切圆的性质，通过构造具体的三角形模型，让学生观察内切圆与三角形各边的关系，理解并掌握内切圆半径的计算方法。
2.教学难点
-切线长定理的证明：对于定理的证明过程，学生可能难以理解，需要教师通过直观演示和逐步引导，帮助学生突破这一难点。
-内切圆半径的计算：学生在计算内切圆半径时，可能会对涉及到的几何关系和代数运算感到困惑，需要教师详细讲解并举例说明。
-解决实际问题时思路的拓展：学生在面对复杂的几何问题时，可能会缺乏解题思路，教师需要指导学生如何将问题转化为切线长定理和内切圆性质的应用。
四、教学流程
人教版初三数学上册切线长定理、三角形的内切圆
课题：24.2.2直线和圆的位置关系（4）切线长定理、三角形的内切圆【学习目标】1．能知道什么是切线长、内切圆、内心．2．会应用切线长定理解决相关问题．3．感知图形的对称之美，提高学习数学知识的兴趣．【活动方案】活动1：(知道并能证明、应用切线长定理)1．过圆外一点能作圆的几条切线？自己试试看，小组内交流．2．什么是切线长？你是怎么理解的？3．如图1，猜想图中相等的线段和相等的角并证明．图1切线长定理：如图，P A，PB为⊙O的切线，A，B为切点．则：．4．如图2，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D、C、E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是．活动2：（知道什么是三角形的内切圆、内心）阅读教材99页思考以下部分的内容回答下面的问题：1．什么叫内切圆？什么叫内心？图2 ＯＢＡO2．已知：点O 是△ABC 的内心．则：（1）O 是三角形的 的交点．（2）O 到 距离相等．3．例：△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB =9，BC=14，CA=13，求AF 、BD 、CE 的长．小结：本节课你的收获是什么？还有什么疑问？【检测反馈】1．△ABC 的内切圆的半径为2， △ABC 的周长为10，那么△ABC 的面积为_______ ．2．如图，在△ABC 中，I 是内心，FG 切⊙ I 于K 点，△AFG 的周长为10，∠BIC =110°，则AD =_______，∠A =_______ °，∠FIG = °．3．如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB = 70°． 求∠P 的度数．Ａ O Ｂ C 图9P B D E C A I. G K F C DB。
人教版九年级数学上册第3课时切线长定理及三角形内切圆
BB
D
CC ☉O就是所求的圆.
24.2.4 切线长定理及三角形内切圆
归纳
1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
A
☉I是△ABC的内切圆，点I是
I
△ABC的内心，△ABC是☉I的外
B
C
切三角形.
24.2.4 切线长定理及三角形内切圆
A.6 3
B.5 3
C.4 3
D.3 3
24.2.4 切线长定理及三角形内切圆
3.如图，在△ABC中，I是内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相 交于点D.求证：DI＝DB. 证明：连接BI. ∵I是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI. ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD. ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
24.2.4 切线长定理及三角形内切圆
2.如图，△ABC中，∠B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求
∠BIC的度数.
解：连接IB，IC. ∵点I是△ABC的内心， ∴BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB.
A
I
B
C
在△IBC 中，BIC 180 (IBC ICB)
180 1 (ABC ACB) 180 1 (43 61 ) 128 .
24.2.4 切线长定理及三角形内切圆
随堂练习
1.如图，☉O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，
且DE为☉O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE
的周长是（ A ）
A.7
B.8
切线长定理和三角形的内切圆(讲义和练习)
【点知讲解】
1. 切线长定理
对于切线长定理，应明确：①若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；②若已知两条切线平行，则
圆上两个切点的连线为直径；③经过圆外一点引圆的两条切线，连接两个切点可得到一个等腰三角形；④
经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个
A
半径的夹角互补；⑤圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切
A. 3 A
E
F
O
B
DC
第 2 题图
B. 4 AE D
O
F
B
C
第 3 题图
C. 2 + 2
A
D
F E
BO C 第 4 题图
D. 2 2
AE
D
PH
G
O
F
B
C
第 5 题图
4. 如图，以正方形 ABCD 的 BC 边为直径作半圆 O，过点 D 作直线切半圆于点 F，交 AB 边于点 E，则
△ADE 和直角梯形 EBCD 周长之比为（ ）
.
9. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A 和∠B 的平分线相交于 P 点，又 PE⊥AB 于点 E，若 BC＝2，AC
＝3，则 AE·EB＝
.
AD
10. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以 AB 为直径的半圆 O 切
M
CD 于点 M，若这个梯形的面积是 10cm2，周长是 14cm，则半圆 O 的半径等 O
于
cm.
B
C
11. 已知⊙O 中，AC 为直径，MA，MB 分别切⊙O 于点 A，B. （1）如图 1，若∠BAC＝25°，求∠AMB 的大小； （2）如图 2，过点 B 作 BD⊥AC 于点 E，交⊙O 于点 D，若 BD＝MA，求∠AMB 的大小.
切线长定理和三角形的内切圆(复习)
∴AB = AC 2 - BC 2 = 2 2 - 12 = 3 , ∴△P AB 的周长为 3 3 .
数学
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6.如图 24-2-37, 已知 AB 为☉O 的直径, P A, P C 是☉O 的切 线, A, C 为切点, ∠B AC =30°. ( 1) 求∠P 的大小; ( 2) 若 AB =2, 求 P A 的长( 结果保留根号) .
图 24-2-28
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2.[2012·扬州]如图 24-2-29, P A, P B 是☉O 的切线, 切点分 别为 A, B, 点 C 在☉O 上, 如果∠AC B =70°, 那么∠P 的度 数是
40
度.
图 24-2-29
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【解析】 连接 O A, O B, 如图所示. ∵P A, P B 是☉O 的切线, ∴O A ⊥P A, O B ⊥B P , ∴∠O AP =∠O B P =90°. 又∵∠AC B =70°, ∴∠AO B =2∠AC B =140°, ∴∠P =360°-( 90°+90°+140°) =40°.
图24-2-26
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解: (1)∵P A, PB, E F 是☉O 的切线, ∴P A =P B , E A =E Q , F Q =F B .∴△P E F 的周长 =P E +P F +E Q +F Q =P E +E A +P F +F B =P A +P B =24 cm. (2)∵P A, PB, E F 是☉O 的切线, ∴P A ⊥O A, P B ⊥O B , E F ⊥O Q , ∠AE O =∠Q E O , ∠Q F O =∠B F O . ∴∠AO E =∠Q O E , ∠Q O F =∠B O F , ∠AO B =180°-∠
241.4圆周角第3课时切线长定理和三角形的内切圆人教版数学九年级上册
环节2 探究新知1.如图，纸上有一个⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？2.这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能发现这个图形中相等的线段吗？有相等的角吗？PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴PA=PB，∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO.3.三角形的内切圆思考如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？1.小组合作 1.OB与OA重合，OA是半径，∴OB也是半径.根据折叠前后的角不变，∴∠PBO=∠PAO=90°（即PB⊥OB），PA=PB，∠POA=∠POB；∠APO=∠BPO.而PB经过半径OB的外端点，∴PB是⊙O的切线.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.过圆外一点能够作圆的两条切线.切线长与切线的区别：①切线是直线，不能度量.②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，是可以度量．2.切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系预设：部分学生不能够正确的讨论出来。
补救：学生解释，老师补充。
4.如图，Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24,圆O是△ABC的内切圆，切点分别是D,E,F。
①求AB的长；②求圆O的半径；提供了理论依据。
3.内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形三边的距离相等.环节3 当堂练习1.为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环1.学生独立完成。
人教版九年级上册课件切线长定理和三角形的内切圆
A
B. AC=BC C. AB⊥OP D. ∠PAB=2∠1
C O
1 2
P
B
2.如图，PA，PB是☉O的切线，切点分别是点A，B，点Q为 上一点，过点Q作☉O的切线，分别交PA，PB于E，F两点，
已知PA＝12 cm，∠P＝56°. 求：(1)△PEF的周长；(2)∠EOF的度数．
第4课时 三角形的内切圆
例1 一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管
求 ABR⊥t△OPAB图C的内中切圆半的径 r. PA、PB，∠APO和∠BPO有什么关系？
如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
A 切线上一点和切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．
如图，PA切☉O于点A，PB切☉O于点B，OP交AB于点C，下列结论中，错误的是（ ）
线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
A
几何语言:
O
P
∵PA、PB分别切☉O于点A、B
B
∴PA = PB，∠APO=∠BPO
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
典例精讲
教材P101题３
例1 一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管
的半径是25 cm.
(1)如果UV=28 cm，VW、VT分别是多少？
3.如图，AB，BC，CD分别与☉O相切于E，F，G三点， 且AB∥CD，BO=6 cm，CO=8 cm.求BC的长.(教材P102题11）
请求出☉O的半径.
A
B
E
F O
D
G
C
拓展提高
1.如图，PA切☉O于点A，PB切☉O于点B，OP交AB于点C， 下列结论中，错误的是（ ）
人教版初中数学九年级上册第二十四章切线长定理和三角形的内切圆
课堂小结
（1）通过本节课的学习你学会了哪些知识？ （2）圆的切线和切线长相同吗？ （3）什么是三角形的内切圆和内心？
针对训练
2.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC
＝80°，则∠BOC的度数为( A )
A．130° B．100° C．50° D．65°
针对训练
3.从⊙O外的定点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于点A和B，在弧
AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E.且 ∠P=40°, PA=6. △PDE的周长是多少？∠DOE度数为多少？
24.2切线长定理和三角形的内切圆
• 学习目标：
1．知道三角形内切圆、内心的概念，理解切线长定 理，并会用其解决有关问题；
2．经历探究切线长定理的过程，体会应用内切圆相 关知识解决问题，渗透转化思想．
• 学习重点：
切线长定理及其应用．
情境导入
已知⊙O 和⊙O 外一点 P，你能够过点 P 的内切圆 ⊙O 与 BC，CA，AB 分别相切于
点 D，E，F，且 AB=9，BC=14，CA=13．求 AF，BD，CE
的长．
A E
F
B
D
C
针对训练
1.下列说法正确的是( C )
A．过任意一点总可以作圆的两条切线 B．圆的切线长就是圆的切线的长度 C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
例题讲解
例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与
⊙O分别相切与点E、F、G、H.
D
求证：AB+CD=AD+BC.
证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O
分别相切与点E、F、G、H，
人教版数学九年级上册《切线长定理、三角形的内切圆、内心》教案1
人教版数学九年级上册《切线长定理、三角形的内切圆、内心》教案1一. 教材分析人教版数学九年级上册《切线长定理、三角形的内切圆、内心》这一节主要介绍了切线长定理以及三角形的内切圆和内心的性质。
通过学习这一节内容，学生能够了解并掌握切线长定理，以及如何运用该定理求解三角形的问题。
同时，学生还能够了解三角形的内切圆和内心的性质，以及如何运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习这一节内容之前，已经学习了相似三角形的性质，对三角形的基本概念和性质有一定的了解。
但是，对于切线长定理以及三角形的内切圆和内心的性质可能还比较陌生，需要通过本节课的学习来掌握。
此外，学生可能对于如何运用这些性质解决实际问题还比较困惑，需要通过教师的引导和实例的讲解来进行理解和掌握。
三. 教学目标1.了解并掌握切线长定理，能够运用切线长定理求解三角形的问题。
2.了解三角形的内切圆和内心的性质，能够运用这些性质解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.切线长定理的理解和运用。
2.三角形的内切圆和内心的性质的理解和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来理解和掌握切线长定理和三角形的内切圆、内心的性质。
2.通过实例讲解和练习，让学生能够运用所学的知识解决实际问题。
3.采用分组合作的学习方式，培养学生的团队合作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备相关的练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，引导学生思考和讨论如何解决这个问题，激发学生的学习兴趣和动力。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现切线长定理和三角形的内切圆、内心的性质，并用相关的图示和实例进行讲解，让学生理解和掌握这些概念和性质。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师给予指导和解答疑问。
每组选择一道练习题，运用切线长定理和三角形的内切圆、内心的性质进行求解，并将结果进行展示和讨论。
人教版数学九年级上册24.切线长定理、三角形的内切圆、内心课件
O P
B
思考：切线长 和切线的区分？
经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之 间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
A
P O
B
小结：切线是直线. 切线长是一条线段的长.
猜猜切线长PA、PB的数量关系？
A
猜一猜
PA=PB
O B
1
2
P
如何证明？
如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，连
∠P的度数．
B
解：连接OA，OB ∵∠E=60° ∠AOB=2∠E=120° ∵PA、PB是⊙O的切线 ∴∠OAP=∠OBP=90° ∴∠P=360°-90°-90º-120º=60°
课堂小结
1、切线长定义：
经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切 点之间的线段的长，叫做这点到圆的切 线长.
2、切线长定理：
=PA+PB=8+8=16 ∴ΔPDE的周长为16cm.
结PO.
求证：PA=PB. ∠1=∠2
A
证明：∵PA，PB与⊙O相切， O 点A，B是切点，
1
2
P
∴OA⊥PA，OB⊥PB.
B
即∠OAP=∠OBP=90°， ∵ OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∠1和∠2有什 么关系呢？
∴ PA = PB ∠1=∠2
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
A
O
P
B
5、如图，△ABC的三条边BC，AC，AB分别与⊙O相 切于D，E，F；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则 BC= 11cm , AC= 6cm ,AB= 9cm .
人教版数学九年级上册 切线长定理及三角形的内切圆
第二十四章圆24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时切线长定理及三角形的内切圆学习目标：1.掌握切线长的定义及切线长定理.2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.3.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质.重点：1.掌握切线长的定义及切线长定理.2.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质.难点：初步学会运用切线长定理进行计算与证明.一、知识链接1.切线的判定定理和性质定理是什么？2.角平分线的判定定理和性质定理是什么？二、要点探究探究点1：切线长定理及应用问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如下图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？知识要点：1.切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．2.切线长与切线的区别在哪里？问题2 P A为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．图中OB 是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？P A、PB有何关系？⊙APO和⊙BPO有何关系？要点归纳：切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.推理验证已知：如图P A、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.求证：P A=PB，⊙APO=⊙BPO.想一想：若连接两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC.变式训练如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=10，CD=15，则四边形ABCD的周长为______．例 2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得P A=5cm，求铁环的半径．方法总结：切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，解题时应有选择地应用，它是证明线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据.练一练P A、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，OA=3.(1)若AP=4，则OP= ；(2)(2) 若⊙BP A=60°，则OP= .探究点2：三角形的内切圆及作法互动探究小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？(1) 如果半径为r的⊙I与⊙ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？(2) 在⊙ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？做一做已知：⊙ABC.求作：和⊙ABC的各边都相切的圆O.知识要点：1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.探究点3：三角形的内心的性质问题1 如图，⊙O是⊙ABC的内切圆，那么线段OA，OB，OC有什么特点？问题2 如图，分别过点O作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段OE、OF、OG之间有什么数量关系？知识要点：三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边距离相等.例3 如图，⊙ABC中，⊙ B=43°，⊙C=61°，点I是⊙ABC的内心，求⊙BIC的度数.例4 ⊙ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13，BC=14，CA=9，求AF、BD、CE的长.方法总结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.比一比：三、课堂小结切线长定义切线上一点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角.作用提供了证线段和角相等的新方法辅助线作法⊙分别连接圆心和切点；⊙连接两切点；⊙连接圆心和圆外一点.三角形内切圆有关概念与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三角角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形的三边距离相等.应用运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，若AP=4，∠APB= 40°，则∠APO= °，PB= .第1题图第2题图2.如图，☉O为△ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为☉O的切线，则△CDE的周长为________.3.如图，在△ABC中，点I是内心，(1)若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BIC= °；(2)若∠A=80 °，则∠BIC = °；(3)若∠BIC=100 °，则∠A = °；(4)试探索：∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？当堂检测4.如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.5.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.参考答案自主学习一、知识链接1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径2.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等.角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.课堂探究二、要点探究探究点1：切线长定理及应用问题1：连接OP，以OP的中点为圆心，OP的一半为半径作圆，与⊙O交于点A，B，连接P A，PB，直线P A，PB即为所求做的切线.过圆外的一点，可以作圆的两条切线.知识要点：⊙切线是直线，不能度量.⊙切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量．问题2：OB 是☉O 的一条半径，PB 是⊙O 的切线，P A =PB ，⊙APO =⊙BPO. 推理验证：证明：⊙P A 、PB 是☉O 的两条切线，⊙ OA ⊙P A ，OB ⊙PB . ⊙OA =OB ，OP =OP ，⊙Rt⊙OAP ⊙Rt⊙OBP ，⊙P A =PB ，⊙APO =⊙BPO . 想一想 解：OP 垂直平分AB .证明：⊙P A ，PB 是⊙O 的切线，点A ，B 是切点⊙P A = PB ，⊙OP A =⊙OPB⊙⊙P AB 是等腰三角形，PM 为顶角的平分线.⊙OP 垂直平分AB .典例精析例1 证明：⊙AB 、BC 、CD 、DA 与⊙O 分别相切与点E 、F 、G 、H ，⊙ AE =AH ，BE =BF ，CG =CF ，DG =DH .⊙ AE +BE +CG +DG =AH +BF +CF +DH .⊙AB +CD =AD +BC . 变式训练 50例2 解：设铁环的圆心为O ，连接OP 、OA.⊙AP 、AB 为⊙O 的切线，⊙OP ⊙AP ，⊙P AO =⊙BAO .又⊙⊙BAC ＝60°，⊙P AO ＋⊙BAO ＋⊙BAC ＝180°，⊙⊙P AO ＝⊙BAO ＝60°.⊙⊙POA ＝30°.在Rt⊙OP A 中，P A ＝5，⊙POA ＝30°，⊙OA =2P A =10，⊙OP =225 3.OA PA -=即铁环的半径为53cm.练一练： （1） 5 （2） 6 探究点2：三角形的内切圆及作法 问题1 最大的圆与三角形三边都相切问题2 圆心I 应是三角形的三条角平分线的交点.作三角形任意两个角的平分线，其交点即为所求作的圆心I . 做一做 作法：1.作⊙ABC 和⊙ACB 的平分线BM 和CN ，交点为O .2.过点O 作OD ⊙BC ，垂足为D .3.以O 为圆心，OD 为半径作圆O . ⊙O 就是所求的圆.探究点3：三角形的内心的性质问题1 OA ，OB ，OC 分别平分⊙CAB ，⊙ABC ，⊙BCA . 问题2 OE =OF =OG例3 解：连接IB ，IC .⊙点I 是⊙ABC 的内心，⊙BI ，CI 分别平分⊙ABC ，⊙ACB ，在⊙IBC 中，⊙BIC =180°-（⊙IBC +⊙ICB ）=180°-12(⊙ABC +⊙ACB )=180°-12（43°+61°）=128°. 例 4 解：设AF =x cm ，则AE =x cm.⊙CE =CD =AC -AE =9-x ，BF =BD =AB -AF =13-x .由 BD +CD =BC ，可得 (13-x )+(9-x )=14，解得x =4.⊙ AF =4cm ，BD =9cm ，CE =5cm.比一比：名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部．内心：三角形内切圆的圆心三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分⊙BAC、⊙ABC、⊙ACB3.内心在三角形内部．当堂检测1.20 42.113.（1）120 （2）130 （3）20 （4）⊙BIC=90°+12⊙A4.方法①证明：连接OD，⊙AC切⊙O点D，⊙OD⊙AC，⊙⊙ODC=⊙B=90°.∵OD＝OB，OC＝OC，⊙Rt⊙ODC⊙Rt⊙OBC（HL）.⊙⊙DOC=⊙BOC.⊙OD=OE，⊙⊙ODE=⊙OED.⊙⊙DOB=⊙ODE+⊙OED，⊙⊙BOC=⊙OED，⊙DE⊙OC．方法②证明：连接BD，如图.⊙BC⊙AB，⊙BC切⊙O于点B，⊙AC切⊙O于点D，BC切⊙O于点B，⊙DC=BC，OC平分⊙DCB．⊙OC⊙BD．⊙BE为⊙O的直径，⊙DE⊙BD．⊙DE⊙OC．5.证明：连接BI.⊙I是⊙ABC的内心，AD平分⊙BAC，⊙ 点I在AD上，⊙ABI =⊙CBI.⊙⊙CBD=⊙CAD，⊙⊙BAD=⊙CBD.⊙⊙BID=⊙BAD+⊙ABI，⊙IBD=⊙CBI+⊙CBD，⊙⊙BID=⊙IBD.⊙BD=ID．。
初中数学人教版九年级上册切线长定理、三角形的内切圆、内心
OP垂直平分AB
O
。
M
P
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB
思考： 若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB， 你又能得出什么新的结论?
CA=CB
。
B P A
C
O
例题变式一
如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于 点D、E、F，且AB=3,AC=4，BC=6， ⊙O的半径为2，求 △ABC的面积
O
A
P
B
切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点 分别是圆外一点和切点。
若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点 分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结 论？并证明你所发现的结论。
B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
与三角形各边都相切的圆叫 做三角形的内切圆. 三角形的内切圆的圆心叫做 这个三角形的内心.
学科网
A
I
●
B
C
例题精析
例1 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分 别相切于点D、E、F，且AB=9, AC=13，BC=14，求 AF、BD、CE的长.
解：设AF=x , 则AE=x CD=CE=AC﹣AE=13﹣x BD=BF=AB﹣AF=9﹣x 由 BD+CD=BC可得 （13﹣x）+（9﹣x）=14 解得 x=4 因此 AF=4 BD=5 CE=9
——切线长定理及三角形的内切圆
濂江中学 刘志超
探究 : 1 、切线长的概念． 经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之 经过平面上的已知点作已知圆的切线，会有怎 间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 样的情形呢？
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课题：2422直线和圆的位置关系（4）
切线长定理、三角形的内切圆
【学习目标】
1能知道什么是切线长、内切圆、内心.
2•会应用切线长定理解决相关问题.
3•感知图形的对称之美，提高学习数学知识的兴趣.
【活动方案】
活动1:（知道并能证明、应用切线长定理）
1过圆外一点能作圆的几条切线？自己试试看，小组内交流.
2•什么是切线长？你是怎么理解的?
3•如图1,猜想图中相等的线段和相等的角并证明.
切线长定理：如图，PA, PB为O 0的切线，A, B为切点.
则：
4.如图2，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆0与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相
切，切点分别是D、C、E.若半圆0的半径为2,梯形的腰AB为5,则该梯
形的周长是 _________
活动2:（知道什么是三角形的内切圆、内心）
阅读教材99页思考以下部分的内容回答下面的问题:
1.什么叫内切圆？什么叫内心？
2.已知：点 0是厶ABC 的内心.则：
(1) ______________________________ 0是三角形的 的
交点.
(2) _____________________ 0到 距离相等.
3.例：△ ABC 的内切圆O 0与BC 、CA 、AB 分别相切于
小结：本节课你的收获是什么？还有什么疑问?
【检测反馈】
1. △ ABC 的内切圆的半径为 2, △ ABC 的周长为10,那么△ ABC 的面积为
3.如图，PA 、PB 是O O 的切线，点 A 、B 为切点，AC 是O O 的直径，/ ACB = 70 .° 求/ P 的度
数.
P
图9
点 D 、E 、F ，且 AB=9, BC=14,
CA=13,
求AF 、BD 、CE 的长. 2.如图，在△ ABC 中，I 是内心, FG 切O I 于 K 点，△ AFG 的周长为 10,/ BIC =110 °
贝H AD= ______ ，/ A= _______ ，/ FIG=
________。