2018学年高中数学选修1-1“同课异构”教学课件 3.3.2函数的极值与导数 精品
合集下载
2018学年高中数学选修1-1“同课异构”教学课件 3.1.1变化率问题1 精品
k P1P2
f x2 f x1 .
x2 x1
(2)平均变化率的取值 平均变化率可以表现函数的变化趋势，平均变化率为0，并不 一定说明函数f（x）没有发生变化. （3）平均变化率的物理意义 平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t)，在
时间段［t1,t2］上的平均速度，即 v st2 st1 .
【解题指导】
【规范解答】(1)当t＝0时的速度为初速度．
在0时刻取一时间段［0,0＋Δt］，即［0，Δt］，
∴Δs=s（Δt）-s（0）=［3Δt-（Δt）2］-（3×0-02）
=3Δt-（Δt）2 ①，…………………………………………2分
s 3t （t）②2 ， 3… …t ………………………………3分
【解析】x0处的函数值为f(x0)，x0+Δx处的函数值为
f(x0+Δx)，所以Δy为f(x0+Δx)-f(x0). 答案：f(x0+Δx)-f(x0)
1.对平均变化率的解读
(1)平均变化率的几何意义
平均变化率的几何意义是表示函数y=f（x）图象上割线P1P2的
斜率(其中P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2)))，即
（1）如果记Δx=x2-x1，可用x1+Δx代替x2.类似的，Δy=
f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1)，于是平均变化率可以表示为
y f x2 f x1 f x1 x f x1 . 式子中的Δx是一个整体
x
x2 x1
x
符号，不是Δ与x相乘.
(2)公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间
t12+t，
4
Δs=
（14 t0+Δt）2+(t0+Δt)-(
2018-2019数学苏教版选修1-1课件：第3章3.3.2 极大值与极小值
1．函数极值的概念
(1)极大值与极小值的直观解释 如图，函数图象在点P处从左侧到右侧由“____上__升______”变
为“_____下__降_____”(函数由单调递增变为单调递减)，这时
在点P附近，点P的位置最高，也就是说f(x1)比它附近点的函 数值都要______大______．我们称f(x1)为函数f(x)的极 _____大_______值．类似地，图中f(x2)为函数f(x)的极小值．函 数的极大值、极小值统称为函数的_____极__值_____．
(2)由(1)得 f(x)＝－23ln x－16x2＋x.f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)
＝－32x－13x＋1，
f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0,1) 1 (1,2)
2
(2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
0
－
f(x)
↘5 6
↗ 43－23ln 2
↘
因此，当 x＝1 时，f(x)有极小值56；当 x＝2 时，f(x)有极大值43－
(1)求可导函数f(x)的极值的步骤： ①由函数f(x)的解析式确定定义域，求出f′(x)并通过因 式分解化为积(商)形式； ②令f′(x)＝0解方程求根； ③由f′(x)＝0的根顺次将函数定义域划分成若干开区间, 并列成表格(f′(x)＝0只有一个根时可以不列表格)； ④根据表格指出极值及相应极值点(同时也可以得到单调 区间)． (2)函数解析式或给定的定义域中含有字母常数时要注意 分类讨论．
第3章 导数及其应用
3．3.2 极大值与极小值
第3章 导数及其应用
学习导航
1.了解函数极大值与极小值概念．(重点) 学习 2.理解区分极值与极值点，极值点与导数为零的点 目标 之间的关系．
3.3.2函数的极值与导数
2
(2) f ( x) x 27 x; 3 (4) f ( x) 3x x .
3
当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .
(4) 令f ( x) 3 3x 2 0,
解得
x1 1, x2 1.
所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .
-2 -4/3
o
2
+ x
1 解：f(x)= x, 所以x 0 x 1 x2 1 f '( x) 2 1 2 ， f '( x) 0时，x 1 x x 当x变化时，f'(x),f(x)变化如下表
1 y x x
导函数的正负是 交替出现的吗？
不是
x
f '( x)
X<-1
<b + 单调 递增 =b 0 极大值 >b -
y
a
o b
x y=f(x)
单调 f(a) 递减
定义
一般地, 设函数 f (x) 在点x0附近有定 义, 如果对x0附近的 所有的点, 都有
y
f (a) 0 f (a x) 0
x 0
f (a x) 0 f (b x) 0 f (b x) 0
例1 求函数
解:
因为
令 当
当 当 x 变化时, f / x , f (x) 的变化状态如下表:
1 3 的极值. f ( x) x 4 x 4 3 1 3 2 f ( x) x 4 x 4,所以 f ( x) x 4. 3 f ( x) 0, 解得 x 2或 x 2. , , ; f ( x) 0, 即 x 2 或 x 2 f ( x) 0, 即 2 x 2.
(2) f ( x) x 27 x; 3 (4) f ( x) 3x x .
3
当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .
(4) 令f ( x) 3 3x 2 0,
解得
x1 1, x2 1.
所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .
-2 -4/3
o
2
+ x
1 解：f(x)= x, 所以x 0 x 1 x2 1 f '( x) 2 1 2 ， f '( x) 0时，x 1 x x 当x变化时，f'(x),f(x)变化如下表
1 y x x
导函数的正负是 交替出现的吗？
不是
x
f '( x)
X<-1
<b + 单调 递增 =b 0 极大值 >b -
y
a
o b
x y=f(x)
单调 f(a) 递减
定义
一般地, 设函数 f (x) 在点x0附近有定 义, 如果对x0附近的 所有的点, 都有
y
f (a) 0 f (a x) 0
x 0
f (a x) 0 f (b x) 0 f (b x) 0
例1 求函数
解:
因为
令 当
当 当 x 变化时, f / x , f (x) 的变化状态如下表:
1 3 的极值. f ( x) x 4 x 4 3 1 3 2 f ( x) x 4 x 4,所以 f ( x) x 4. 3 f ( x) 0, 解得 x 2或 x 2. , , ; f ( x) 0, 即 x 2 或 x 2 f ( x) 0, 即 2 x 2.
最新-2018高中数学 第3章332函数的极值与导数课件 新人教A版选修1-1 精品
知新益能
1．极小值点与极小值 如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点 x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且 在点x＝a的左侧__f′__(_x_)_<_0_，右侧_f_′__(_x_)>_0_，则把 点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝ f(x)的极小值．
∴f(x)＝x3－12x2－2x＋1.∴f′(x)＝3x2－x－2. 当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－23) －23 (－23，1) 1 (1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
∴f(x)的递增区间为(－∞，－23)和(1，＋∞)，递 减区间为(－23，1)． 当 x＝－23时，f(x)有极大值，f(－23)＝4297； 当 x＝1 时，f(x)有极小值，f(1)＝－12.
方法感悟
1．极值的概念理解 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指 的是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以 下几点： (1)极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个 点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最 小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或 最小．
(2)函数的极值不一定是惟一的，即一个函数在某 个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止 一个． (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一 个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)＞f(x1)．
【解】 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0， 解得 x1＝－ 2，x2＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0. 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)和( 2， ＋∞)；单调递减区间为(－ 2， 2)． 当 x＝－ 2时，f(x)有极大值 5＋4 2；
2018学年高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.3.2 精品
群山中的最高处是所有山峰的最高者的顶部，群山中的最低处 是所有谷底的最低者的底部．每个山峰附近的走势如何？与导 数有什么关系？
[提示] 在山峰左侧f′(x)>0，上升趋势；右侧f′(x)<0，下降 趋势．
极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近 其 他 点 的 函 数 值 都 小 ， f′(a) ＝ 0 ； 而 且 在 点 x ＝ a 的 左 侧 __f′_(_x)_<_0__，右侧____f′_(_x_)>_0____，则把点a叫做函数y＝f(x)的极 小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)和( 2，＋∞)；单 调递减区间为(－ 2， 2)．
当 x＝－ 2时，f(x)有极大值 5＋4 2； 当 x＝ 2时，f(x)有极小值 5－4 2. (2)由(1)的分析知 y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所 示．所以，当 5－4 2<a<5＋4 2时，直线 y＝a 与 y＝f(x)的图象 有三个不同交点，即方程 f(x)＝a 有三个不同的解．
D．如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是 极大值
解析： 由极值点和极值的定义可知，B正确，C，D不正 确．导数为零的点不一定是极值点，故A不正确．
答案： B
2．设函数 f(x)＝2x＋ln x，则( ) A．x＝12为 f(x)的极大值点 B．x＝12为 f(x)的极小值点 C．x＝2 为 f(x)的极大值点 D．x＝2 为 f(x)的极小值点
0，43
3 4
43，＋∞
－
0
＋
f(x)
不是极值
2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1课件：第三章 3.3 第2课时函数的极值与导数
第 2 课时 函数的极值与导数
[核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P93～P96 的内容，回答下列问题． (1)观察教材 P94 图 3.3－8，函数 y＝h(t)在 t＝a 处的函数值与 它附近的函数值的大小有什么关系？y＝h(t)在此处的导数值是多 少？在这个点的附近，y＝h(t)的导数的符号有什么规律？
[尝试解答] ∵y＝f(x)在 x＝－1 时有极值为 0， 且 f′(x)＝3x2＋6ax＋b， ∴ff′ （（ －－1）1） ＝＝0，0，即3－－1＋6a＋3a－b＝b＋0，a2＝0. 解得ab＝ ＝13，或ab＝ ＝29，.
①当 a＝1，b＝3 时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
(1)试求常数 a，b，c 的值； (2)试判断 x＝±1 是函数的极大值点还是极小值点，并说明 理由． 解：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c， (1)法一：∵x＝±1 是函数的极值点， ∴x＝±1 是方程 3ax2＋2bx＋c＝0 的两根．
由根与系数的关系知－23ba＝0， ① 3ca＝－1， ②
提示：函数 y＝f(x)在 a，c，e，g 的函数值比它附近的函数 值都小，在 b，d，f，h 处的函数值比它附近的函数值都大； y＝f(x)在这些点的导数值都是 0；在 a，c，e，g 点的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0；在 b，d，f，h 点的左侧 f′(x)>0， 右侧 f′(x)<0．
－
0＋ 0
－
f(x)
0
4e－2
由上表可以看出，当 x＝0 时，函数有极小值，且 f(0)＝0.
当 x＝2 时，函数有极大值，且 f(2)＝e42.
(2)函数 y＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，
[核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P93～P96 的内容，回答下列问题． (1)观察教材 P94 图 3.3－8，函数 y＝h(t)在 t＝a 处的函数值与 它附近的函数值的大小有什么关系？y＝h(t)在此处的导数值是多 少？在这个点的附近，y＝h(t)的导数的符号有什么规律？
[尝试解答] ∵y＝f(x)在 x＝－1 时有极值为 0， 且 f′(x)＝3x2＋6ax＋b， ∴ff′ （（ －－1）1） ＝＝0，0，即3－－1＋6a＋3a－b＝b＋0，a2＝0. 解得ab＝ ＝13，或ab＝ ＝29，.
①当 a＝1，b＝3 时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
(1)试求常数 a，b，c 的值； (2)试判断 x＝±1 是函数的极大值点还是极小值点，并说明 理由． 解：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c， (1)法一：∵x＝±1 是函数的极值点， ∴x＝±1 是方程 3ax2＋2bx＋c＝0 的两根．
由根与系数的关系知－23ba＝0， ① 3ca＝－1， ②
提示：函数 y＝f(x)在 a，c，e，g 的函数值比它附近的函数 值都小，在 b，d，f，h 处的函数值比它附近的函数值都大； y＝f(x)在这些点的导数值都是 0；在 a，c，e，g 点的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0；在 b，d，f，h 点的左侧 f′(x)>0， 右侧 f′(x)<0．
－
0＋ 0
－
f(x)
0
4e－2
由上表可以看出，当 x＝0 时，函数有极小值，且 f(0)＝0.
当 x＝2 时，函数有极大值，且 f(2)＝e42.
(2)函数 y＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，
2018学年高中数学选修1-1“同课异构”教学课件 3.3.3函数的最大小值与导数2 精品
3．情感、态度与价值观 经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的作 用，激发学生学习数学知识的积极性，树立学好数学的信心．
●重点、难点 重点：会求闭区间上连续函数可导的函数的最值． 难点：理解确定函数最值的方法． 本节课突破难点的关键是：理解方程 f′(x)＝0 的解，包含 有指定区间内全部可能的极值点．
(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a， f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)． 于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2. ∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2. ∵在(－1,3)上 f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增． 又由于 f(x)在[－2，－1]上单调递减， ∴f(2)和 f(－1)分别是 f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值． ∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数 f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.
【错因分析】 所求最大值 57 是在 x＝－2 时取得的，不 在所给区间(－2,2)上，故求解错误．
【防范措施】 在求解函数的最值时，一定要弄清所给区 间的范围，解题时，常会出现某些极值点不在所给区间中，而 误把该极值充当了最值的错误．
【正解】 y′＝－36＋6x＋12x2，令 y′＝0，即 12x2＋6x －36＝0，解得 x1＝32，x2＝－2(舍去)．
【自主解答】 (1)∵f(x)＝x3－3x2－9x＋5，x∈[－2,4]，
∴f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)．
令 f′(x)＝0，得 x1＝－1，x2＝3. 当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x －2 (－2，－1) －1 (－1,3) 3 (3,4) 4
f′(x)
题目类型三、函数最值的综合应用问题 例 3、 已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 在 x＝－23与 x＝1 处 都取得极值． (1)求 a、b 的值及函数 f(x)的单调区间； (2)若对 x∈[－1,2]，不等式 f(x)＜c2 恒成立，求 c 的取值范 围． 【思路探究】 (1)由已知条件如何求 a、b 的值并确定函数 f(x)的单调区间？(2)对 x∈[－1,2]，不等式 f(x)＜c2 恒成立应如何 进行转化？
2018学年高中数学选修1-1“同课异构”教学课件 3.1.3导数的几何意义1 精品
第三章 导数及其应用
§3.1 变化率与导数
3.1.3 导数的几何意义
1.设函数y＝f(x)的图像上两点P(x0，f(x0))，Pn(xn，f(xn))， 则割线PPn的斜率是________，当Pn趋近于点P时，割线PPn趋 近于直线PT，则称PT为点P处的________．
2．对于函数f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，这 样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的 ________，简称________，即f′(x)＝y′＝________.
答案 y轴 x轴
4．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线
()
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴斜交
答案 B
1.函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的导数的几何意义是曲线y
＝f(x)在点x＝x0处的切线的斜率，即
k＝f′(x0)＝ lim Δx→0
答案 1.kn＝fxxnn－ －fx0x0 切线
2.导函数
导数
fx＋Δx－fx
lim
Δx→0
Δx
1.函数y＝x2的导数为( )
A．x
B．2x
C．2
D．4
解析
lim
Δx→0
x＋ΔΔxx2－x2＝Δlixm→0
(2x＋Δx)＝2x.
答案 B
2．函数y＝x2＋2x在x＝2处的切线的斜率为( )
A．4
B．8
解 (1)方法1(导数定义法)：
Δy＝ 1＋Δx－1，
ΔΔyx＝ 1＋ΔΔxx－1＝ 1＋1Δx＋1，
∴ lim Δx→0
1＋1Δx＋1＝12，∴y′|x＝1＝12.
§3.1 变化率与导数
3.1.3 导数的几何意义
1.设函数y＝f(x)的图像上两点P(x0，f(x0))，Pn(xn，f(xn))， 则割线PPn的斜率是________，当Pn趋近于点P时，割线PPn趋 近于直线PT，则称PT为点P处的________．
2．对于函数f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，这 样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的 ________，简称________，即f′(x)＝y′＝________.
答案 y轴 x轴
4．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线
()
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴斜交
答案 B
1.函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的导数的几何意义是曲线y
＝f(x)在点x＝x0处的切线的斜率，即
k＝f′(x0)＝ lim Δx→0
答案 1.kn＝fxxnn－ －fx0x0 切线
2.导函数
导数
fx＋Δx－fx
lim
Δx→0
Δx
1.函数y＝x2的导数为( )
A．x
B．2x
C．2
D．4
解析
lim
Δx→0
x＋ΔΔxx2－x2＝Δlixm→0
(2x＋Δx)＝2x.
答案 B
2．函数y＝x2＋2x在x＝2处的切线的斜率为( )
A．4
B．8
解 (1)方法1(导数定义法)：
Δy＝ 1＋Δx－1，
ΔΔyx＝ 1＋ΔΔxx－1＝ 1＋1Δx＋1，
∴ lim Δx→0
1＋1Δx＋1＝12，∴y′|x＝1＝12.
2018学年高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用 3.2.2 精品
【提示】 设切点 P 的坐标为(x0，y0)，因为 y′＝2ax，所以切线的斜率为 2ax0 ＝2，又因为切点(x0，y0)在曲线 y＝ax2 和切线 y＝2x－1 上，所以有 y0＝ax20，且 y0 ＝2x0－1，
2ax0＝2 即y0＝2x0－1，
y0＝ax20
x0＝1 解之得y0＝1
a＝1
，所以切点 P 的坐标为(1,1)，曲线的方程为 y＝x2.
常数与函数的积的导数等于常数与函数的导 数的 积 两个函数积的导数等于第一个函数的导数乘 上第二个函数，加上 第一个函数乘上第二个 函数的导数
gfxx′＝
f′xgx－fxg′x g2x
(g(x)≠0)
两个函数商的导数等于分母上的函数乘上分 子的导数， 减去 分子乘以分母的导数所得
的差除以分母的平方
1.判断正误： (1)若 f(x)＝a2＋2ax＋x2，则 f′(a)＝2a＋2x.( ) (2)运用法则求导时，不用考虑 f′(x)，g′(x)是否存在.( ) (3)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g′(x).( ) 【解析】 (1)×.∵f′(x)＝2a＋2x，∴f′(a)＝2a＋2a＝4a. (2)×.运用法则求导时，要首先保证 f′(x)、g′(x)存在. (3)×.[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x). 【答案】 (1)× (2)× (3)×
利用导数来处理与切线斜率有关的问题是一种非常有效的方法，它适用于任 何导数存在的函数，一般可以根据条件建立相关的方程(组)求解未知量.
[再练一题] 3.已知函数 f(x)＝2x3＋ax 与 g(x)＝bx2＋cx 的图象都过点 P(2,0)，且在点 P 处 有公共切线.求 f(x)和 g(x)的表达式及在点 P 处的公切线的方程.
2ax0＝2 即y0＝2x0－1，
y0＝ax20
x0＝1 解之得y0＝1
a＝1
，所以切点 P 的坐标为(1,1)，曲线的方程为 y＝x2.
常数与函数的积的导数等于常数与函数的导 数的 积 两个函数积的导数等于第一个函数的导数乘 上第二个函数，加上 第一个函数乘上第二个 函数的导数
gfxx′＝
f′xgx－fxg′x g2x
(g(x)≠0)
两个函数商的导数等于分母上的函数乘上分 子的导数， 减去 分子乘以分母的导数所得
的差除以分母的平方
1.判断正误： (1)若 f(x)＝a2＋2ax＋x2，则 f′(a)＝2a＋2x.( ) (2)运用法则求导时，不用考虑 f′(x)，g′(x)是否存在.( ) (3)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g′(x).( ) 【解析】 (1)×.∵f′(x)＝2a＋2x，∴f′(a)＝2a＋2a＝4a. (2)×.运用法则求导时，要首先保证 f′(x)、g′(x)存在. (3)×.[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x). 【答案】 (1)× (2)× (3)×
利用导数来处理与切线斜率有关的问题是一种非常有效的方法，它适用于任 何导数存在的函数，一般可以根据条件建立相关的方程(组)求解未知量.
[再练一题] 3.已知函数 f(x)＝2x3＋ax 与 g(x)＝bx2＋cx 的图象都过点 P(2,0)，且在点 P 处 有公共切线.求 f(x)和 g(x)的表达式及在点 P 处的公切线的方程.
2018学年高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.2 精品
求导数
(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′ ＝5x4－9x2－10x. (2)方法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′ ＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3 ＝18x2－8x＋9.
方法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9. (3)方法一：y′＝xx－ ＋11′ ＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212.
即 y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.
8分
又因直线 l 过点(0,0)，所以(3x20＋1)(0－x0)＋x03＋x0－16＝0，
解得 x0＝－2.
10 分
代入 f(x)＝x3＋x－16 中可得 y0＝－26，斜率为 3x20＋1＝13.
所以直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26). 12 分
x12′＝(x－2)′＝－2x－3
－
1x′＝(－x－12
)′＝12x－32
＝1 2x
x
2．已知函数 f(x)＝1x，则 f′(－3)＝( )
A．4
B．19
C．－14 解析：
D．－19 f′(x)＝－x12，f′(－3)＝－－132＝－19.
答案： D
3．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为________． 解析： y′＝ex，∴k＝e0＝1. 答案： 1
3.2 导数的计算
自主学习 新知突破
1．会应用导数的定义推导四种常见函数 y＝c，y＝x，y＝x2， y＝1x的导数公式．
2．掌握基本初等函数的导数公式，会求简单函数的导数． 3．掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 4．会用导数的运算法则解决一些函数的求导问题．
2018学年高中数学人教A版课件选修1-1 第三章导数及其应用 3.3.2 精品
【解】 (1)f′(x)＝3x2－2x－1. 令 f′(x)＝0，则 x＝－13或 x＝1.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x
－∞，－13
－13
f′(x)
＋
0
－13，1 －
1
(1，＋∞)
0
＋
f(x)
极大值
极小值
所以 f(x)的极大值是 f－13＝257＋a，极小值是 f(1)＝a－1.
阶
阶
段
段
一
三
3.3.2 函数的极值与导数
学
业
阶
分
段
层
二
测
评
1．理解极值的定义．(难点) 2．掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点) 3．会根据函数的极值求参数的值．(难点)
[基础·初探] 教材整理 函数的极值与导数 阅读教材 P93 函数的极值与导数～P94 例 4 以上部分，P95 思考～P96 练习以 上部分，完成下列问题．
(2)求下列函数的极值： ①f(x)＝2x＋8x；②f(x)＝3x＋3ln x. 【导学号：26160086】 【自主解答】 ①∵f(x)＝2x＋8x， ∴函数的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}， f′(x)＝2－x82， 令 f′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
(2)极小值点与极小值 在包含 x0 的一个区间(a，b)内，函数 y＝f(x)在任何一点的___函__数__值__都不 ___小__于____x0 点的函数值．称点 x0 为函数 y＝f(x)的极小值点，其___函__数__值__f(_x_0)__ 为函数的极小值．
(3)极大值点和极小值点统称为_极__值__点____，极大值和极小值统称为函数的 ___极__值____．
当 x 变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x
－∞，－13
－13
f′(x)
＋
0
－13，1 －
1
(1，＋∞)
0
＋
f(x)
极大值
极小值
所以 f(x)的极大值是 f－13＝257＋a，极小值是 f(1)＝a－1.
阶
阶
段
段
一
三
3.3.2 函数的极值与导数
学
业
阶
分
段
层
二
测
评
1．理解极值的定义．(难点) 2．掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点) 3．会根据函数的极值求参数的值．(难点)
[基础·初探] 教材整理 函数的极值与导数 阅读教材 P93 函数的极值与导数～P94 例 4 以上部分，P95 思考～P96 练习以 上部分，完成下列问题．
(2)求下列函数的极值： ①f(x)＝2x＋8x；②f(x)＝3x＋3ln x. 【导学号：26160086】 【自主解答】 ①∵f(x)＝2x＋8x， ∴函数的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}， f′(x)＝2－x82， 令 f′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
(2)极小值点与极小值 在包含 x0 的一个区间(a，b)内，函数 y＝f(x)在任何一点的___函__数__值__都不 ___小__于____x0 点的函数值．称点 x0 为函数 y＝f(x)的极小值点，其___函__数__值__f(_x_0)__ 为函数的极小值．
(3)极大值点和极小值点统称为_极__值__点____，极大值和极小值统称为函数的 ___极__值____．
2018学年高中数学选修1-1“同课异构”教学课件 2.3.2抛物线简单几何性质二2 精品
∴|AB|＝ x1－x22＋y1－y22＝ 54x1－x22 ＝ 54[x1＋x22－4x1x2]＝14 5a2－8a.………………10 分 ∵|AB|＝ 15，∴14 5a2－8a＝ 15， 即 a2－8a－48＝0，解得 a＝－4 或 a＝12， ∴所求抛物线方程为 x2＝－4y 或 x2＝12y. …………12 分
∵P1，P2 在抛物线上， ∴y12＝6x1，y22＝6x2. 两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．
∵y1＋y2＝2，∴k＝yx11－ －yx22＝y1＋6 y2＝3， ∴直线的方程为 y－1＝3(x－4)，
即 3x－y－11＝0.
由yy2＝＝36xx－11 ，得 y2－2y－22＝0， ∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，
(2)在直线与抛物线的问题中经常遇到中点弦的问题，处理的基 本方法是点差法或利用根与系数的关系快速地求出中点弦所在 直线的斜率．
2.已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点 P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
解析： 方法一：设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点 P1(x1， y1)，P2(x2，y2)．
题型二、中点弦及弦长问题
例 2、(2011·辽宁高考)已知 F 是抛物线 y2＝x 的焦点，A，B 是该
抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为
()
3 A.4.4
D.4
解析： ∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋12＝3，
∴xA＋xB＝52.
∴线段 AB 的中点到 y 轴的距离为xA＋2 xB＝54.
答案： C
例 3.已知顶点在原点，焦点在 y 轴上的抛物线被直线 x－2y－1＝0 截 得的弦长为 15，求此抛物线方程．
2018学年高中数学选修1-1“同课异构”教学课件 1.1.3四种命题间的相互关系1 精品
A．0
B．1
C．2
D．3
[答案] C
[解析] 原命题是假命题，故其逆否命题是假命题，而原 命题的逆命题是真命题，故其否命题是真命题．
再见
写成“若 p，则 q”的形式，然后再写出它的逆命题、否命题与 逆否命题．
[解析] (1)改写成“若一个数是负数，则它的平方是正 数”．
逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数． 否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数． 逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．
(2)原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条 边相等．
逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形． 否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等． 逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方 形．
[点评] 写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键 是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写．在判断原命题 及逆命题的真假时，常借助原命题与其逆否命题同真假，逆命 题和否命题同真假进行判断．
第一章 常用逻辑用语
§1.1 命题及其关系
1.1.3 四种命题间的相互关系
1．了解命题的逆命题，否命题、逆否命题． 2． 能利用四种命题间的相互关系判断命题的真假．
本节重点：了解命题的逆命题、否命题、逆否命题． 本节难点：分析四种命题的相互关系
1．要注意否命题与命题的否定是不同的，“命题的否定” 只否定结论，而否命题要对条件和结论分别进行否定．“若 p， 则 q”形式的命题其否命题为“若¬p，则¬q”．在写一个命题
的否定或否命题时要注意一些关键词的否定，后面学习逻辑联 结词时还要详加讨论．
2．命题的四种形式间的关系 命题的四种形式中，哪个是原命题是相对的，不是绝对的；
2018学年高中数学选修1-1人教A版课件：第三章3.3-3.3.2函数的极值与导数 精品
[变式训练] 已知函数 f(x)＝ex－ax(a 为常数)的图象 与 y 轴交于点 A，曲线 y＝f(x)在点 A 处的切线斜率为－1， 求 a 的值及函数 f(x)的极值．
解：由 f(x)＝ex－ax，得 f′(x)＝ex－a.
又 f′(0)＝1－a＝－1，得 a＝2. 所以 f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2. 令 f′(x)＝0，得 x＝ln 2.
(2)函数 f(x)＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，且 f′(x)＝
1－ln x x2 .
令 f′(x)＝0，得 x＝e.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0，e) e (e，＋∞)
f′(x) ＋
0
－
f(x)
↗ 极大值1e
↘
故当 x＝e 时，函数取得极大值，且极大值为 f(e)＝1e， 无极小值．
第三章 导数及其应用
3.3 导数在研究函数中的应用 3．3.2 函数的极值与导数
[学习目标] 1.理解极值的定义(难点)． 2.掌握利用 导数求函数的极值步骤，能熟练地求函数的极值(重 点)． 3.会根据函数的极值求参数的值(难点)．
[知识提炼·梳理]
1．极值点与极值 (1)极小值点与极小值． 如图，函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x ＝a 附近的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0，则把点 a 叫做函 数 y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．
解：a＝5－4 2或 a＝5＋4 2时 y＝a 与 y＝f(x)的图 象有两个不同的交点，即方程 f(x)＝a 有两个不同实根．
[迁移探究 2] (变换条件)若本例(2)中“有三个不同 的实根”改为“有一个实根”，求实数 a 的范围．
2018学年高中数学选修1-1人教A版课件：第三章3.1-3.1.2导数的概念 精品
解
：
因
为
Δ
y
＝
(1
＋
Δ
x)
－
1－ 1＋Δx
1－11
＝
Δ
x
＋
Δx ，
1＋Δx
Δx＋ Δx
Δy 所以 Δx＝
Δ1＋ x Δx＝1＋1＋1Δx.
当Δx→0 时，ΔΔxy→2，所以 f′(1)＝2， 即函数 y＝x－1x在 x＝1 处的导数为 2.
1．平均变化率ΔΔxy＝f（x0＋ΔΔx）x－f（x0），当Δx 趋于 0 时， 它所趋于的一个常数就是函数在 x0 处的瞬时 变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐 逼近”的方法求解．另外，平均变化率和瞬时变化率都是 用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化 得越快．
Δx
＝
－2Δx Δx ＝－2.
答案：－2
类型 1 求函数的平均变化率(自主研析)
[典例 1] 求函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δ x]上的平均变化率，并求当 x0＝2，Δx＝0.1 时平均变化 率的值．
解：函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平
f（x0＋Δx）－f（x0）
均变化率为
＝
（x0＋Δx）－x0
[3（x0＋Δx）2＋2]－（3x20＋2）
Δx
＝
6x0·Δx＋Δ3x（Δx）2＝6x0＋3Δx.
当 x0＝2，Δx＝0.1 时，
函数 y＝3x2＋2 在区间[2，2.1]上的平均变化率为 6×2
＋3×0.1＝12.3.
归纳升华
求平均变化率的步骤
1．计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)． 2．计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3
4,
27
f(x)极小值=f(1)=0.
答案： 4 0
27
2.∵f(x)=x4-x3,∴f′(x)=4x3-3x2.
令f′(x)=0,即4x3-3x2=0,得x2(4x-3)=0.
∴x=0或x= 3 .
4
当x变化时，f(x),f′(x)的变化情况如下表：
x
(-∞,0)
0
f′(x)
-
0
(0,34 ) -
3
点，求实数m的取值范围.
【解析】1.f(x)=x3+x2-5x+2,
3
3 27
当x=1时，f(x)有极小值为f(1)=- 1 .
2
【互动探究】若题2变为：已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=
- 2 时都取得极值，且函数的极小值为- 1 ，求f(-1),如何求解.
3
2
【解题指南】解答本题，需确定函数的解析式.先对函数进行
求导，由题意可得x=1与x=- 2为f′(x)=0的解，进而可求出
2.极值点与导数为零的点的辨析 (1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一 定是极值点，即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)=0” 的充分不必要条件； (2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0，且在 x0左侧和右侧f′(x)的符号不同. (3)如果在x0的两侧f′(x)的符号相同，则x0不是f(x)的极值点.
=5(x4-1)+3a(x2-1)
=(x2-1)［5(x2+1)+3a］
=(x+1)(x-1)［5x2+(3a+5)］.
∵y=f(x)仅当x=±1时有极值，
∴5x2+(3a+5)≠0对任意x成立.
∴3a+5＞0即a＞-
5
.
3
当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：
x
(-∞,-1)
f′(x)
【典例训练】 1.函数f(x)=x3+x2-5x+2的图象与直线y=k恰有三个不同的交点， 则实数k的取值范围为_________. 2.函数f(x)=ax3-6ax2+3bx+b，其图象在x=2处的切线方程为
3x+y-11=0. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若函数y=f(x)的图象与y= 1f′(x)+5x+m的图象有三个不同的交
第三章 导数及其应用
§3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.2 函数的极值与导数
1.了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值 与导数的关系，并会灵活应用. 2.结合函数的图象，了解函数在某点处取得极值的必要条件和 充分条件. 3.会用导数求最高次幂不超过三次的多项式函数的极大值、极 小值.
3
a,b的值.函数的极值可用c表示出来，由函数的极小值为- 1，
2
可求出c值.
【解析】∵f′(x)=3x2+2ax+b,
令f′(x)=0，由题设知x=1与x=- 2 为f′(x)=0的解.
3
∴
1
2 3
2 a， 3
∴a=1-1(,b23=)-2.b3 .
2
∴f(x)=x3- 1 x2-2x+c，
1.函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内函数的极大值和 极小值是唯一的吗？ 提示：不一定;不一定唯一. 2.已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则函数f(x) 有_______个极大值点，_______个极小值点.
【解析】由图象得在x=x2时导数值为0，且左侧f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，故x=x2为极大值点；在x=x3时导数值为0，且左侧f′(x) ＜0,右侧f′(x)＞0，故x=x3为极小值点. 答案：1 1
3.函数f(x)=x3-3x2+7的极大值为_________. 【解析】∵f′(x)=3x2-6x,解3x2-6x=0得 x=0或x=2， ∴f(x)的增区间为(2,+∞)和(-∞,0)，f(x)的减区间为(0,2)，∴当 x=0时，函数取得极大值f(0)=7. 答案：7
1.极值概念的理解 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的 值，极值指的是函数值.请注意以下几点： (1)极值是一个局部概念.由定义可知，极值只是某个点的函数 值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函 数的整个定义域内最大或最小. (2)函数的极值不一定是唯一的，即一个函数在某个区间上或 定义域内的极大值或极小值可以不止一个.
b=_____. 2.已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=- 2 时都取得极值.
3
(1)求a,b的值； (2)若f(-1)= 3，求f(x)的单调区间和极值.
2
【解析】1.f′(x)=3x2+2ax+b,依题意得
f 1 10，
f
1
0，
即
a 2 2a
a b 9，解得
b 3，
1.本课重点是利用导数求函数的极大值、极小值. 2.本课难点是极值的综合应用. 3.本课易混点是导数等于0的点与极值点的关系.
1.极小值点与极小值的定义 (1)特征：函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近 其他点的函数值_都__小__，且__f_′(_a_)_=_0__. (2)实质：在点x=a附近的左侧___f′_(_x_) _＜__0_，右侧___f_′(_x_)＞__0__. (3)极小值点是：__点__a,极小值是:__f_(a__) . 2.极大值点与极大值的定义 (1)特征：函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近 其他点的函数值_都__大__，且__f_′(_b_)_=_0__.
题目类型一、求已知函数的极值 【技法点拨】
求函数极值的步骤
求定义域
确定函数f(x)的定义域
求导数
求导函数f′(x)
求方程的根
列表 求极值
求f′(x)在定义域内的所有根
用f′(x)=0的根将定义域分 成若干区间，列表
由各个区间内f′(x)的符号， 判断极值情况
【典例训练】(建议教师以第2题为例题重点讲解) 1.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大 值为______，极小值为______. 2.求函数f(x)=x4-x3的极值. 【解析】1.∵f(x)与x轴切于(1,0)点， f′(x)=3x2-2px-q， ∴f′(1)=3-2p-q=0.
当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：
x
(-∞,- 23)
-
2 3
(- 2 ,1)
3
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
49
↘
27Leabharlann -1↗2∴f(x)的递增区间为(-∞,- 2 )和(1,+∞)，递减区间为(- 2 ,1).
3
3
当x=- 2 时，f(x)有极大值为f(- 2 )= 49 ；
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大 值未必大于极小值，如图所示，x1是极大值点，x4是极小值点， 而f(x4)＞f(x1).
(4)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相 邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值 点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在某区间上连续且 有有限个极值点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点 是交替出现的.
256
【总结】解答题1的关键点及解答题2时的注意点. 提示：(1)解答题1的关键点是函数f(x)的图象与x轴切于(1,0)点 所隐含的两个条件的挖掘，即f(1)=0与f′(1)=0. (2)解答题2时的注意点是f′(x)=0的点左右两侧f′(x)异号，解题时 极易忽视.
题目类型二、已知函数的极值求参数 【技法点拨】
3
( 3 ,+∞)
4
4
0
+
f(x)
↘
不是 极值
↘
27 256
↗
由上表可知,函数f(x)在区间(-∞,0)上是减函数,在区间(0, 3)
4
上还是减函数,因此x=0不是函数的极值点;而函数f(x)在区间
(0, 3 )上是减函数，在区间( 3 ,+∞)上是增函数，因此在x= 3
4
4
4
处取得极小值，其值为 27 .
【变式训练】已知函数f(x)=x5+ax3+bx+1，仅当x=±1时取得极 值，且极大值比极小值大4.求a,b的值. 【解析】f(x)=x5+ax3+bx+1的定义域为R， ∵f′(x)=5x4+3ax2+b，x=±1时有极值， ∴5+3a+b=0， ∴b=-3a-5① 代入f′(x)得
f′(x)=5x4+3ax2-3a-5
5.求函数y=f(x)的极值的方法 解方程f′(x0)=0，当f′(x0)=0时： (1)如果在x0附近的左侧___f_′(_x_)_＞__0_，右侧___f_′(_x_)_＜__0_，那么 f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧___f_′(_x_)_＜__0_，右侧___f_′(_x_)_＞__0_，那么 f(x0)是极小值.
2
f′(x)=3x2-x-2.
当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：
x
(-∞,- 2)
-2
3
3
f′(x)
+
0
(-2 ,1)
4,
27
f(x)极小值=f(1)=0.
答案： 4 0
27
2.∵f(x)=x4-x3,∴f′(x)=4x3-3x2.
令f′(x)=0,即4x3-3x2=0,得x2(4x-3)=0.
∴x=0或x= 3 .
4
当x变化时，f(x),f′(x)的变化情况如下表：
x
(-∞,0)
0
f′(x)
-
0
(0,34 ) -
3
点，求实数m的取值范围.
【解析】1.f(x)=x3+x2-5x+2,
3
3 27
当x=1时，f(x)有极小值为f(1)=- 1 .
2
【互动探究】若题2变为：已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=
- 2 时都取得极值，且函数的极小值为- 1 ，求f(-1),如何求解.
3
2
【解题指南】解答本题，需确定函数的解析式.先对函数进行
求导，由题意可得x=1与x=- 2为f′(x)=0的解，进而可求出
2.极值点与导数为零的点的辨析 (1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一 定是极值点，即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)=0” 的充分不必要条件； (2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0，且在 x0左侧和右侧f′(x)的符号不同. (3)如果在x0的两侧f′(x)的符号相同，则x0不是f(x)的极值点.
=5(x4-1)+3a(x2-1)
=(x2-1)［5(x2+1)+3a］
=(x+1)(x-1)［5x2+(3a+5)］.
∵y=f(x)仅当x=±1时有极值，
∴5x2+(3a+5)≠0对任意x成立.
∴3a+5＞0即a＞-
5
.
3
当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：
x
(-∞,-1)
f′(x)
【典例训练】 1.函数f(x)=x3+x2-5x+2的图象与直线y=k恰有三个不同的交点， 则实数k的取值范围为_________. 2.函数f(x)=ax3-6ax2+3bx+b，其图象在x=2处的切线方程为
3x+y-11=0. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若函数y=f(x)的图象与y= 1f′(x)+5x+m的图象有三个不同的交
第三章 导数及其应用
§3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.2 函数的极值与导数
1.了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值 与导数的关系，并会灵活应用. 2.结合函数的图象，了解函数在某点处取得极值的必要条件和 充分条件. 3.会用导数求最高次幂不超过三次的多项式函数的极大值、极 小值.
3
a,b的值.函数的极值可用c表示出来，由函数的极小值为- 1，
2
可求出c值.
【解析】∵f′(x)=3x2+2ax+b,
令f′(x)=0，由题设知x=1与x=- 2 为f′(x)=0的解.
3
∴
1
2 3
2 a， 3
∴a=1-1(,b23=)-2.b3 .
2
∴f(x)=x3- 1 x2-2x+c，
1.函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内函数的极大值和 极小值是唯一的吗？ 提示：不一定;不一定唯一. 2.已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则函数f(x) 有_______个极大值点，_______个极小值点.
【解析】由图象得在x=x2时导数值为0，且左侧f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，故x=x2为极大值点；在x=x3时导数值为0，且左侧f′(x) ＜0,右侧f′(x)＞0，故x=x3为极小值点. 答案：1 1
3.函数f(x)=x3-3x2+7的极大值为_________. 【解析】∵f′(x)=3x2-6x,解3x2-6x=0得 x=0或x=2， ∴f(x)的增区间为(2,+∞)和(-∞,0)，f(x)的减区间为(0,2)，∴当 x=0时，函数取得极大值f(0)=7. 答案：7
1.极值概念的理解 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的 值，极值指的是函数值.请注意以下几点： (1)极值是一个局部概念.由定义可知，极值只是某个点的函数 值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函 数的整个定义域内最大或最小. (2)函数的极值不一定是唯一的，即一个函数在某个区间上或 定义域内的极大值或极小值可以不止一个.
b=_____. 2.已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=- 2 时都取得极值.
3
(1)求a,b的值； (2)若f(-1)= 3，求f(x)的单调区间和极值.
2
【解析】1.f′(x)=3x2+2ax+b,依题意得
f 1 10，
f
1
0，
即
a 2 2a
a b 9，解得
b 3，
1.本课重点是利用导数求函数的极大值、极小值. 2.本课难点是极值的综合应用. 3.本课易混点是导数等于0的点与极值点的关系.
1.极小值点与极小值的定义 (1)特征：函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近 其他点的函数值_都__小__，且__f_′(_a_)_=_0__. (2)实质：在点x=a附近的左侧___f′_(_x_) _＜__0_，右侧___f_′(_x_)＞__0__. (3)极小值点是：__点__a,极小值是:__f_(a__) . 2.极大值点与极大值的定义 (1)特征：函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近 其他点的函数值_都__大__，且__f_′(_b_)_=_0__.
题目类型一、求已知函数的极值 【技法点拨】
求函数极值的步骤
求定义域
确定函数f(x)的定义域
求导数
求导函数f′(x)
求方程的根
列表 求极值
求f′(x)在定义域内的所有根
用f′(x)=0的根将定义域分 成若干区间，列表
由各个区间内f′(x)的符号， 判断极值情况
【典例训练】(建议教师以第2题为例题重点讲解) 1.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大 值为______，极小值为______. 2.求函数f(x)=x4-x3的极值. 【解析】1.∵f(x)与x轴切于(1,0)点， f′(x)=3x2-2px-q， ∴f′(1)=3-2p-q=0.
当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：
x
(-∞,- 23)
-
2 3
(- 2 ,1)
3
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
49
↘
27Leabharlann -1↗2∴f(x)的递增区间为(-∞,- 2 )和(1,+∞)，递减区间为(- 2 ,1).
3
3
当x=- 2 时，f(x)有极大值为f(- 2 )= 49 ；
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大 值未必大于极小值，如图所示，x1是极大值点，x4是极小值点， 而f(x4)＞f(x1).
(4)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相 邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值 点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在某区间上连续且 有有限个极值点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点 是交替出现的.
256
【总结】解答题1的关键点及解答题2时的注意点. 提示：(1)解答题1的关键点是函数f(x)的图象与x轴切于(1,0)点 所隐含的两个条件的挖掘，即f(1)=0与f′(1)=0. (2)解答题2时的注意点是f′(x)=0的点左右两侧f′(x)异号，解题时 极易忽视.
题目类型二、已知函数的极值求参数 【技法点拨】
3
( 3 ,+∞)
4
4
0
+
f(x)
↘
不是 极值
↘
27 256
↗
由上表可知,函数f(x)在区间(-∞,0)上是减函数,在区间(0, 3)
4
上还是减函数,因此x=0不是函数的极值点;而函数f(x)在区间
(0, 3 )上是减函数，在区间( 3 ,+∞)上是增函数，因此在x= 3
4
4
4
处取得极小值，其值为 27 .
【变式训练】已知函数f(x)=x5+ax3+bx+1，仅当x=±1时取得极 值，且极大值比极小值大4.求a,b的值. 【解析】f(x)=x5+ax3+bx+1的定义域为R， ∵f′(x)=5x4+3ax2+b，x=±1时有极值， ∴5+3a+b=0， ∴b=-3a-5① 代入f′(x)得
f′(x)=5x4+3ax2-3a-5
5.求函数y=f(x)的极值的方法 解方程f′(x0)=0，当f′(x0)=0时： (1)如果在x0附近的左侧___f_′(_x_)_＞__0_，右侧___f_′(_x_)_＜__0_，那么 f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧___f_′(_x_)_＜__0_，右侧___f_′(_x_)_＞__0_，那么 f(x0)是极小值.
2
f′(x)=3x2-x-2.
当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：
x
(-∞,- 2)
-2
3
3
f′(x)
+
0
(-2 ,1)