电磁场与电磁波：第三章

-10
数量级， 数量级，由
tan θ 2 σ 2 10−10 = ≈ = 10−17 tan θ1 σ 1 107
第3章
tan θ 2 σ 2 10 = ≈ = 10−17 , tan θ 2 ≈ 10−17 tan θ1 tan θ1 σ 1 107
−10
当σ1>>σ2，第一种媒质为良导体 时 ， 第二种媒质为不良导体时 ， 只要θ1≠π/2, θ2≈0，即在不良导体中， 只要 ，即在不良导体中， 电力线近似地与界面垂直 电力线近似地与界面垂直，这时可 近似地与界面垂直， 将良导体的表面近似地看作等位面 将良导体的表面近似地看作等位面。 近似地看作等位面。
第3章
应用边界条件， 应用边界条件，可得分界面处的折射定理
tan θ1 σ 1 = tan θ 2 σ 2
在恒定电场中， 分界面处用电位表示的边界条件为 在恒定电场中，
ϕ1 = ϕ 2
∂ϕ1 ∂ϕ 2 σ1 =σ2 ∂n ∂n
第3章
讨论： 讨论：
1) 两种导电媒质 当一种导电媒质为不良导 当一种导电媒质为不良导 体 (σ 2 ≠ 0) ，另一种导电媒质为 良导体， 良导体，若电导率 σ 2 << σ 1 ， 如同轴线的内外导体通常由电导 率很高(107 数量级 的铜或铝制 数量级)的铜或铝制 率很高 成，填充在两导体间的材料不可能是理想的绝缘电介质, 总有 填充在两导体间的材料不可能是理想的绝缘电介质 很小的漏电导存在， 很小的漏电导存在，如 聚乙烯的电导率为 10
r 与流过任意面积S的电流强度 的关系： 电流密度 J 与流过任意面积 的电流强度 I 的关系：
I =∫
S
r r J ⋅ dS = ∫ J cos θ dS
S
通过面积 S 的电流等于电流密度在 S 上的通量
第3章
r 2、（ 面）电流密度 J S 、（
r 设垂直通过∆L 的电流为 ，则该点处的电流密度 J为 的电流为∆I， 设垂直通过 s
第3章
一、 电流分布
r 1、（ 体）电流密度 J 、（
r 设垂直通过∆S 的电流为∆I， 设垂直通过 的电流为 ，则该点处的电流密度 为 J
r ∆I r dI r J = lim n= n ∆S →0 ∆S dS
第3章
载流导体内每一点都有一个电流密度，构成一个矢量场， 载流导体内每一点都有一个电流密度，构成一个矢量场， 称这一矢量场为电流场。电流场的矢量线叫做电流线。 称这一矢量场为电流场。电流场的矢量线叫做电流线。 电流场 电流线
r ∆I r dI r J S = lim n= n ∆S → 0 ∆l dl
第3章
二、 电流连续性方程
在电流场中有一闭合曲面S， 在电流场中有一闭合曲面 ，由电荷守恒定律
r r dq S J ⋅ dS = − dt ∫
电流连续性方程
第3章
Q q = ∫ ρ dV
V
r r dq d ∴ J ⋅ dS = − = − ∫ ρ dV ∫S dt dt V r ∂ρ S J ⋅ dS = −∫V ∂t dV ∫
间的电阻。 间的电阻。
y U t r 0 (r,φ)
选用圆柱坐标系。 解 选用圆柱坐标系。设两个端面之间 的电位差为U， 的电位差为 ，且令 当角度 φ = 0 时，电位 ϕ1 = 0 。
0 b x
φ
a
当角度φ = π 时，电位 ϕ2 = U 。 2
有关， 由于导电媒质中的电位 ϕ 仅与角度φ 有关，电位满足的方程式为
π
r r r ∂ϕ r 2σ U J = σ E = −σ∇ϕ = −eφσ = −eφ r ∂φ πr
R=
V = I
π b 2σt ln a
第3章
五、 恒定电流场的边界条件
r r J ⋅ dS = 0 S ∫ r r E ⋅ dl = 0 ∫
l
由积分形式
可得恒定电流场中不同 导电媒质分界面的边界 条件
d ϕ =0 2 dφ
2
此式的通解为
ϕ = C1φ + C 2
第3章 利用给定的边界条件， 利用给定的边界条件，求得
2U
ϕ=
导电媒质中的电流密度 J 为
π
φ
由 φ = 的端面流进该导电媒质的电流 I 为 2 2σU I = ∫ J ⋅ dS = ∫ − eφ ⋅( −eφ tdr ) S S πr 2σUt b dr 2σUt b = ∫a r = π ln a π 该导电块的两个端面之间的电阻 R 为
第3章
四、 恒定电流场的基本方程
电位方程
载流导电媒质中恒定电场的基本方程（不包括电源 电源） 载流导电媒质中恒定电场的基本方程（不包括电源） 积分形式 微分形式
r r J ⋅ dS = 0 S ∫ r r E ⋅ dl = 0 ∫
l
本构关系
r r J =σE
r ∇⋅ J = 0 r ∇× E = 0
第3章
2）理想介质与良导体 ）
Q J 2 = 0 J1n = J 2 n ∴ J1n = 0 J1 = J1t
Q E2 n = J 2 n / σ 2 = 0 / 0 ∴ E2 n ≠ 0
第3章
E2 = E + E
2 2n
2 2t
可知E2不垂直导体表面, 导体表面不是等位面, 导体也不是等 可知 不垂直导体表面 导体表面不是等位面 位体, 这是由于σ 有限, 导体中沿电流方向存在电场。 位体 这是由于 1有限 导体中沿电流方向存在电场。而在静电 场中, 导体内电场强度为零 介质中的场强总是垂直导体表面 导 场中 导体内电场强度为零, 介质中的场强总是垂直导体表面, 体是等位体, 其表面是等位面。在这一点, 体是等位体 其表面是等位面。在这一点 恒定电场与静电场有 根本的区别。 根本的区别。 由上知，在均匀导体内电流沿平行于导体表面流动。 由上知，在均匀导体内电流沿平行于导体表面流动。 平行于导体表面流动
∆P = ∆U ∆I = ( E ∆L)( J ∆S ) = EJ ∆V
第3章
载流导体内任一点的热功率密度为
∆P 2 p = lim = EJ = σE ∆V →0 ∆V
r r 2 p = J ⋅E =σE
焦耳定律的微分形式
焦耳定律不适应于运流电流。因为对于运流电流而言， 焦耳定律不适应于运流电流。因为对于运流电流而言，电场 力对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不是转变为电荷与晶 力对电荷所作的功转变为电荷的动能， 格碰撞的热能。 格碰撞的热能。
电流连续性方程积分形式
第3章
dq ∂ρ 若电荷分布恒定， 若电荷分布恒定，即 =0 ( = 0) dt ∂t
恒定电场的电流连续性方程
∫
S
r J ⋅ dS = 0
r ∇⋅ J = 0
第3章
三、 欧姆定律的微分形式
电功率密度 电功率密度
一段载流I导体，端电压为 ， 一段载流 导体，端电压为U， 导体 电阻为R， 电阻为 ，由欧姆定律
第3章
第三章 恒定电流的电场和磁场
§ 3.1 恒定电流的电场
分类：传导电流与 分类：传导电流与运流电流 传导电流是导体中的自由电子（或空穴） 传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解 是导体中的自由电子 液中的离子运动形成的电流。 液中的离子运动形成的电流。 运流电流是电子、 运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体 是电子 中运动形成的电流。 中运动形成的电流。
10 − 11
10 − 12
1 . 57 × 10 7
10 7
10 − 15
第3章
按电导率 σ 对介质的分类
σ →∞ σ =0 σ ≠0
理想导体 理想介质（绝缘介质） 理想介质（绝缘介质） 导电媒质
与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出均匀与非均 与介质的极化特性一样， 匀，线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性 线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点， 的含义与前相同。上述公式仅适用于各向同性的线性媒质。 的含义与前相同。上述公式仅适用于各向同性的线性媒质。
第3章
4）载恒定电流的均匀导电媒质内部无（体）电荷存在 ）载恒定电流的均匀导电媒质内部无（
r Q ∇⋅ J = 0
r r σ r J =σE = D
r r σ r σ ∴ ∇ ⋅ J = ∇ ⋅ ( D) = ∇ ⋅ D = 0 ε ε r Q ∇⋅D = ρ ∴ ρ =0
即，载恒定电流的均匀导电媒质内部无（体）电荷存在， 载恒定电流的均匀导电媒质内部无（ 电荷存在， 电荷分布在载流导体的表面。 电荷分布在载流导体的表面。
ε
第3章
4）有电流流过两种导电媒质分界面时界面的电荷 ） 当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时,其电流密度 当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时 其电流密度 和电场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布。 和电场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布。
Q J1n = J 2 n = J n
σ1 J1n = σ 1 E1n = D1n ε1 σ2 J 2 n = σ 2 E2 n = D2 n ε2 ε2 ε1 ∴ ρ S = D2 n − D1n = J 2 n − J1n σ2 σ1
第3章
运流电流的电流密度并不与电场强度成正比， 运流电流的电流密度并不与电场强度成正比，而且 电流密度的方向与电场强度的方向也可能不同。 电流密度的方向与电场强度的方向也可能不同。可以证
r r 明运流电流的电流密度 J 与运动速度 v 的关系为
r r J = ρv
式中 ρ 为电荷密度。 为电荷密度。
第3章
焦耳定律
电功率密度
当导体两端的电压为U，流过的电流为I时 当导体两端的电压为 ， 流过的电流为 时 ， 则在单位时间 内电场力对电荷所作的功——电功率 内电场力对电荷所作的功 电功率