1.1.4 锐角三角函数与射影定理 同步测试 (人教B版选修4-5)
人教版九年级数学下册 第 28章锐角三角函数综合测试卷及答案
2020 年九年级 28 章锐角三角函数
学校：___________姓名：___________班级：___________
一、单选题（每题 3 分，共 36 分）
1. sin 60°= （ ）
A. 3 B. 3 C. 2 D. 1
2
2
2
2.在 Rt△ABC 中， C = 90°, AB = 5, BC = 3 ，则 tan A 的值是( )
2.如果∠BED=60°, PD = 3 ,求 PA 的长.
3.将线段 PD 以直线 AD 为对称轴作对称线段 DF,点 F 正好在圆 O 上,如图 2,求证:四边形 DFBE 为菱形.
6 / 16
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
1.答案：B
参考答案
解析： sin 60°= 3 . 2
12.轨道环线通车给广大市民带来了很大便利，图是渝鲁站出口的横截面平面图，扶梯 AB 的坡度
i = 1: 2.4 ，在距扶梯起点 A 端 6 米的 P 处，用 1.5 米的测角仪测得扶梯终端 B 处的仰角为 14°，扶梯
终端 B 距顶部 2.4 米，则扶梯的起点 A 与顶部的距离是(参考数据: sin14 0.24 ， cos14 0.97 ，
是
.
15.把一张矩形的纸片按如图所示的方式对折两次,然后剪下一个角,为了能得到一个正方形,剪口与折 痕所成的角 α 的余弦值为_______.
3 / 16
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
16.在 △ ABC
中，A，B
都是锐角，且
sin
A
=
1 2
人教版九年级数学下第28章《锐角三角函数》基础测试题(带答案)
第28章《锐角三角函数》基础测试题一、选择题（本大题8小题，每小题4分，共32分.每小题只有一个选项是符合题意的）1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，BC ＝6，则AB ＝（）A.4B.6C.8D.103.在△ABC 中，若|cosA －2|＋(1－tanB)2＝0，则∠C 的度数是( ) A. 45° B. 60° C. 75° D. 105°4. 李红同学遇到了这样一道题：3tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是（）A ．12B ．2C D6.△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．312 B ．12 C ．324 D ．3487．如图，宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为 ，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）8. 如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m A ．4.5mB ．4.6mC ．6mD ．25m二、填空题（每题3分，共18分）9．在Rt △ABC 中，∠C ＝900，5=a ，2=b ，则sinA ＝ .10．在△ABC 中,∠B =90，cos A =32, a =3, 则b = .11．平行四边形ABCD 中，已知∠B=60°，AB=8cm ，BC=6cm ，则面积等于 cm 2．12．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足是E ，DE ＝6，sinA ＝35，则菱形ABCD 的周长是_________。
13．如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8， AC ⊥CD ，若,31sin =∠ACB 则cos ∠ADC ＝______．14．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8， 现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合， 折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是 三、解答题（共50分）15. （5分）计算：tan30°cot60°＋cos 230°－sin 245°tan45°16．（5分）如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D.若AB ＝12，CD ＝6，tanA ＝32，求sinB 的值．AC第12题图17．（8分）如图，在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(100)，，点B 在第一象限内，5BO =，3sin 5BOA =∠．求：（1）点B 的坐标；（2）cos BAO ∠的值．18. （8分）已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．19.（8分）如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C 处，测得正前方旗杆顶部A 点的仰角为37°，旗杆底部B 点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)20．（8分）如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？21．(8分)如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE和Rt△OCD中的一个角相等？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，求t的值．答案： 1. D 2. A 3. C 4. D 5. B 6. A 7. A 8. D 9.35 10. 2 3 11. 24 3 12. 4013. 5414.247 15. 解：tan30°cot60°＋cos 230°－sin 245°tan45°＝33．33＋2)23(－1)22(2 ＝31＋43－21 ＝127；16.解：在Rt △ACD 中，CD ＝6，tanA ＝32，∴CD AD ＝6AD ＝32， 即AD ＝4.又AB ＝12，∴BD ＝AB －AD ＝8. 在Rt △BCD 中，BC ＝CD 2＋BD 2＝10. ∴sinB ＝CD BC ＝610＝3517. (1) B(4，3) (2)552 3-5 BC=2519.解：在Rt △BCD 中，BD ＝9米，∠BCD ＝45°，则 BD ＝CD ＝9米， 所以AD ＝CD ·tan37°＝6.75(米)． 所以AB ＝AD ＋BD ＝15.75(米)， 整个过程中国旗上升高度是： 15．75－2.25＝13.5(米)， 因为耗时45 s ，所以上升速度为13.545＝0.3(米/秒)．答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升．20. 解：过A 作AC ⊥BD 于点C ，则AC 的长是A 到BD 的最短距离． ∵∠CAD ＝30°，∠CAB ＝60°，∴∠BAD ＝60°－30°＝30°，∠ABD ＝90°－60°＝30°. ∴∠ABD ＝∠BAD. ∴BD ＝AD ＝12海里．∵Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，∴AC ＝AD ·cos ∠CAD ＝63≈10.392＞8，即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．21.（1）215463y x x =-++；（2）t=3；（3）103或203解：（1）在y ＝ax 2＋bx ＋4中，令x ＝0可得y ＝4， ∴C （0，4），∵四边形OABC 为矩形，且A （10，0）， ∴B （10，4），把B 、D 坐标代入抛物线解析式可得1001044{ 4240a b a b ++=-+=，解得16{ 53a b =-=，∴抛物线解析式为y ＝16-x 2＋53x ＋4；（2）由题意可设P （t ，4），则E （t ，16-t 2＋53t ＋4），∴PB ＝10﹣t ，PE ＝16-t 2＋53t ＋4﹣4＝16-t 2＋53t ，∵∠BPE ＝∠COD ＝90°， 当∠PBE ＝∠OCD 时， 则△PBE ∽△OCD ， ∴PE PB OD OC=，即BP •OD ＝CO •PE ， ∴2（10﹣t ）＝4（16-t 2＋53t ），解得t ＝3或t ＝10（不合题意，舍去），∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ； 当∠PBE ＝∠CDO 时， 则△PBE ∽△ODC ， ∴PE PB OC OD=，即BP •OC ＝DO •PE ， ∴4（10﹣t ）＝2（16-t 2＋53t ），解得t ＝12或t ＝10（均不合题意，舍去）综上所述∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ；（3）当四边形PMQN 为正方形时，则∠PMC ＝∠PNB ＝∠CQB ＝90°，PM ＝PN ， ∴∠CQO ＋∠AQB ＝90°， ∵∠CQO ＋∠OCQ ＝90°， ∴∠OCQ ＝∠AQB ， ∴Rt △COQ ∽Rt △QAB ，∴CO OQAQ AB=，即OQ •AQ ＝CO •AB ， 设OQ ＝m ，则AQ ＝10﹣m ，∴m （10﹣m ）＝4×4，解得m ＝2或m ＝8，①当m ＝2时，CQ BQ ＝∴sin ∠BCQ ＝BQ BC sin ∠CBQ ＝CQBC，∴PM ＝PC •sin∠PCQ ，PN ＝PB •sin∠CBQ 10﹣t ），10﹣t ），解得t ＝103， ②当m ＝8时，同理可求得t ＝203， ∴当四边形PMQN 为正方形时，t 的值为103或203。
(人教课标版)普通高中课程标准实验教科书《数学》目录(B版)
（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算本章小结阅读与欣赏聪明在于学习，天才由于积累第二章函数2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（Ⅰ）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法本章小结阅读与欣赏函数概念的形成与发展第三章基本初等函数（Ⅰ）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）本章小结阅读与欣赏对数的发明必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积实习作业1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系本章小结阅读与欣赏散发着数学芳香的碑文第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式本章小结阅读与欣赏笛卡儿必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2基本算法语句1.2.1赋值、输入和输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例本章小结阅读与欣赏我国古代数学家秦九韶附录1解三元一次方程组的算法、框图和程序附录2Scilab部分函数指令表第二章统计2.1随机抽样2.1.2系统抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关本章小结阅读与欣赏蚂蚁和大象谁的力气更大附录随机数表第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用本章小结阅读与欣赏概率论的起源必修四第一章基本初等函数（Ⅱ）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图象与性质1.3.1正弦函数的图象与性质1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角教学建模活动本章小结阅读与欣赏三角学的发展第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用本章小结阅读与欣赏向量概念的推广与应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦、余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积本章小结阅读与欣赏和角公式与旋转对称必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例本章小结阅读与欣赏亚历山大时期的三角测量第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和本章小结阅读与欣赏级数趣题无穷与悖论第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划本章小结选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程2.1.2椭圆的几何性质2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程2.2.2双曲线的几何性质2.3抛物线2.3.1抛物线级其标准方程2.3.2抛物线的几何性质本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章导数及其应用3.1导数3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何意义3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表3.2.3导数的四则运算法则3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性3.3.2利用导数研究函数的极值3.3.3导数的实际应用本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想选修1-2第一章统计案例1.1独立性检验1.2回归分析本章小结“回归”一词的由来附表相关性检验的临界值表第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法本章小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想数学证明的机械化——机器证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入3.1.1实数系3.1.2复数的引入3.2复数的运算3.2.1复数的加法和减法3.2.2复数的乘法和除法本章小结复平面与高斯第四章框图4.1流程图4.2结构图本章小结阅读与欣赏冯·诺伊曼选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离（选学）本章小结阅读与欣赏向量的叉积及其性质选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何意义1.2导数的运算1.2.1常数函数与冥函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例本意小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法本章小节阅读与欣赏复平面与高斯选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3二项式定理1.3.2杨辉三角本章小结第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布本章小结阅读与欣赏关于“玛丽莲问题”的争论第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析本章小结阅读与欣赏“回归”一词的由来附表选修3-1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3-2暂缺选修3-3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史选修3-4第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn二多项式的对称变换三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行摄影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4-2引言第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用选修4-5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2基本不等式1．3绝对值不等式的解法1．4绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式(选学)2．4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1数学归纳法原理3．2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式本章小结阅读与欣赏附录部分中英文词汇对照表后记选修4-6引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4-9引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例说明：A版适用于文件生使用，B版适用于理科生使用，B 版比A版略难。
数学人教B版教材目录(必修选修)
数学人教B版教材目录（必修选修）人教B版-----------------------------------必修1-----------------------------------第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算第二章函数2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图形（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.2二次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（Ⅰ）2.4函数与方程2.4.1函数的零点求函数零点2.4.2近似解的一种方法----二分法第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）-----------------------------------必修2-----------------------------------第一章立体几何初步1．1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥、棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1．2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2．1平面真角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2．2直线方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2．3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2．4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式-----------------------------------必修3-----------------------------------第一章算法初步1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1．2基本算法语句1.2.1赋值、输入、输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1．3中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1随机抽样2.1.1简单随机抽样2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.1.4数据的收集2．2用样本估计总体2.2.1用样本的频率估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2．3变量的相关性2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关第三章概率3．1随机现象3.1.1随机事件3.1.2时间与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3．2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3．3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3．4概率的应用-----------------------------------必修4-----------------------------------第一章基本初等函(Ⅱ)1．1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1．2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系1.2.4诱导公式1．3三角函数的图像与性质1.3.1正弦函数的图象与性质1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角第二章平面向量2．1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件与向量坐标运算2．2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线的条件2．3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2．4向量的应用2.4.1向量在集合中的应用2.4.2向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3．1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3．2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦、余弦和正切3．3三角函数的积化和差与和差化积-----------------------------------必修5-----------------------------------第一章解直角三角形1．1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1．2应用举例第二章数列2．1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2．2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2．3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和第三章不等式3．1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质3．2均值不等式3．3一元二次不等式及其解法3．4不等式的实际应用3．5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划-----------------------------------选修1-1-----------------------------------第一章常用逻辑用语1．1命题与量词1．2基本逻辑联结词1．3充分条件、必要条件与命题的.第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程2.1.2椭圆的几何性质2．2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程2.2.2双曲线的几何性质2．3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程2.3.2抛物线的几何性质第三章导数及其应用3．1导数3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何含义3．2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表3.2.3导数的四则运算法则3．3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性3.3.2利用导数研究函数的极值3.3.3导数的实际应用-----------------------------------选修1-2-----------------------------------第一章统计案例1.1独立性检验1.2回归分析第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入3.1.1实数系3.1.2复数的引入3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法与除法第四章框图,4.1流程图4.2结构图-----------------------------------选修2-1-----------------------------------第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.2基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的.第二章锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程，由方程研究曲线的性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何意义1.2导数的运算1.2.1常用函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数学特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析-----------------------------------选修4-1-----------------------------------第一章相似三角形定理与圆幂定理1.1相似三角形1.1.1相似三角形判定定理1.1.2相似三角形的性质1.1.3平行切割定理1.1.4锐角三角函数与射影定理1.2圆周角与弦切角1.2.1圆的切线1.2.2圆周角定理1.2.3弦切角定理1.3圆幂定理与圆内接四边形1.3.1圆幂定理1.3.2圆内接四边形的性质与判定第二章圆锥、圆锥与圆锥曲线2.1平行投影与圆柱面的平面截线2.1.1平行投影的性质2.1.2圆柱面的平面截线2.2用内切球探索圆锥曲线的性质2.2.1球的切线与切平面2.2.2圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线2.2.3圆锥面及其内切球2.2.4圆锥曲线的统一定义-----------------------------------选修4-2-----------------------------------第一章二阶矩阵与平面图形的变换1.1二阶矩阵1.2二阶矩阵与平面向量的乘法1.2.1二阶矩阵与平面向量的乘法1.2.2矩阵变换1.2.3几类特殊的矩阵变换1.3二阶方阵的乘法1.3.1二阶方阵的乘法1.3.2矩阵乘法的运算律第二章逆矩阵及其应用2.1逆矩阵2.1.1逆矩阵的定义2.1.2逆矩阵的性质2.1.3用二阶行列式求逆矩阵2.2二元一次方程组的矩阵解法2.2.1二元一次方程组解的含义2.2.2二元一次方程组的矩阵解法2.2.3解的存在性与唯一性第三章变换的不变量3.1平面变换的不变量3.1.1特征值与特征向量3.1.2特征值与特征向量的求法3.1.3特征值的不变性n3.2A?的简单表示-----------------------------------选修4-4-----------------------------------第一章坐标系1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换1.1.1直角坐标系1.1.2平面的伸缩变换1.2极坐标系1.2.1平面上点的极坐标1.2.2极坐标与直角坐标的关系1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆a,?1.4.2圆心在点?2?处且过极点的圆1.5柱坐标系和球坐标系1.5.1柱坐标系1.5.2球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.1.1抛射体的运动2.1.2曲线的参数方程2.2直线和圆的参数方程2.2.1直线的参数方程2.2.2圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.3.1椭圆的参数方程2.3.2抛物线的参数方程2.3.3双曲线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程2.4.1摆线的参数方程2.4.2圆的渐开线的参数方程-----------------------------------选修4-5-----------------------------------第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.1.1不等式的基本性质1.1.2一元一次不等式和一元二次不等式的解法1.2基本不等式1.3绝对值不等式的解法1.3.1，a某?b，≤c,，a某?b，≥c型不等式的解法1.3.2，某?a，+，某?b，≤c,，某?a，+，某?b，≥c型不等式的解法1.4绝对值的三角不等式1.5不等式证明的基本方法1.5.1比较法1.5.2综合法和分析法1.5.3反证法和放缩法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1柯西不等式2.1.1平面上的柯西不等式的代数和向量形式2.1.2柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明2.2排序不等式2.3平均值不等式（选学）2.4最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理3.1.1数学归纳法原理3.1.2数学归纳法应用举例3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1用数学归纳法证明不等式3.2.2用数学归纳法证明内努利不等式。
新人教版九年级下第28章锐角三角函数同步练习及答案
第二十八章 锐角三角函数测试1 锐角三角函数定义学习要求理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值．课堂学习检测一、填空题1．如图所示，B 、B ′是∠MAN 的AN 边上的任意两点，BC ⊥AM 于C 点，B ′C ′⊥AM 于C ′点，则△B 'AC ′∽______，从而ACB A BC C B )()(='=''，又可得 ①='''B A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比是一个______值； ②=''BA C A ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比也是一个______； ③='''C A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比还是一个______．第1题图2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．第2题图①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______； ②斜边)(cos =A ＝______， 斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______， )(tan 的对边B B ∠=＝______．3．因为对于锐角的每一个确定的值，sin 、cos 、tan 分别都有____________与它______，所以sin 、cos、tan都是____________．又称为的____________．4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝1，b ＝3，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．6．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，若a ＝16，c ＝30，则b ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin C ＝______，cos C ＝______，tan C ＝______．7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝30°，则∠B ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．二、解答题8．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．9．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．综合、运用、诊断10．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．11．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC求：AB 及OC 的长．12．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．13．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=31sin A(1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．14．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．拓展、探究、思考15．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，按要求填空：(1),sin ca A =∴=⋅=c A c a ,sin ______； (2),cos cb A =∴b ＝______，c ＝______； (3),tan ba A =∴a ＝______，b ＝______； (4),23sin =B ∴=B cos ______，=B tan ______； (5),53cos =B ∴=B sin ______，=A tan ______；(6)∵=B tan 3，∴=B sin ______，=A sin ______．16．已知：如图，在直角坐标系xOy 中，射线OM 为第一象限中的一条射线，A 点的坐标为(1，0)，以原点O 为圆心，OA 长为半径画弧，交y轴于B点，交OM于P点，作CA⊥x轴交OM于C点．设∠XOM＝．求：P点和C点的坐标．(用的三角函数表示)17．已知：如图，△ABC中，∠B＝30°，P为AB边上一点，PD ⊥BC于D．(1)当BP∶PA＝2∶1时，求sin∠1、cos∠1、tan∠1；(2)当BP∶PA＝1∶2时，求sin∠1、cos∠1、tan∠1．测试2 锐角三角函数学习要求1．掌握特殊角(30°，45°，60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角．2．初步了解锐角三角函数的一些性质．课堂学习检测一、填空题1．填表．锐角sincostan二、解答题2．求下列各式的值．(1)o 45cos 230sin 2-︒(2)tan30°－sin60°·sin30°(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°(4)︒+︒+︒+︒-︒45sin 30cos 30tan 130sin 145cos 2223．求适合下列条件的锐角． (1)21cos =α(2)33tan =α(3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α4．用计算器求三角函数值(精确到．(1)sin23°＝______； (2)tan54°53′40″＝______．5．用计算器求锐角(精确到1″)．(1)若cos ＝，则＝______；(2)若tan(2＋10°31′7″)＝，则＝______．综合、运用、诊断6．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A求此菱形的周长．7．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．求：sin ∠ACB 的值．8．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA 至D点，使AD＝AB．求：(1)∠D及∠DBC；(2)tan D及tan∠DBC；(3)请用类似的方法，求°．9．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，3=BCAC，作∠DAC=＝30°，AD交CB于D点，求：(1)∠BAD；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．10．已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．拓展、探究、思考11．已知：如图，∠AOB ＝90°，AO ＝OB ，C 、D 是上的两点，∠AOD ＞∠AOC ，求证：(1)0＜sin ∠AOC ＜sin ∠AOD ＜1； (2)1＞cos ∠AOC ＞cos ∠AOD ＞0；(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______；(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．12．已知：如图，CA ⊥AO ，E 、F 是AC 上的两点，∠AOF ＞∠AOE ．(1)求证：tan ∠AOF ＞tan ∠AOE ；(2)锐角的正切函数值随角度的增大而______．13．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求证：(1)sin 2A ＋cos 2A ＝1； (2)⋅=AA A cos sin tan14．化简：ααcos1⋅-(其中0°＜＜90°)2sin15．(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：①sin30°______2sin15°cos15°；②sin36°______2sin18°cos18°；③sin45°°°；④sin60°______2sin30°cos30°；⑤sin80°______2sin40°cos40°；⑥sin90°______2sin45°cos45°．猜想：若0°＜≤45°，则sin2______2sin cos．(2)已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2．请根据图中的提示，利用面积方法验证你的结论．16．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于H点．在底边BC保持不变的情况下，当高AD变长或变短时，△ABC和△HBC的面积的积S△ABC·S△HBC的值是否随着变化请说明你的理由．测试3 解直角三角形(一)学习要求理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型．课堂学习检测一、填空题1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，第1题图①三边之间的等量关系：__________________________________． ②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____； ==B Atan tan 1______． ④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．第④小题图在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．CD2＝_________；AC2＝_________；BC2＝_________；AC·BC＝_________．⑤直角三角形的主要线段(如图所示)．第⑤小题图直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________，斜边的中点是_________．若r是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆半径，则r＝_________＝_________．⑥直角三角形的面积公式．在Rt△ABC中，∠C＝90°，S△ABC＝_________．(答案不唯一)2．关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_________(其中至少_________)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_________或斜边和_________)及已知一边和一个锐角(_________和一个锐角或_________和一个锐角)3．填写下表：二、解答题4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；(2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ；(3)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；(4)已知：,9,23tan ==b B 求a 、c ；(5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．综合、运用、诊断5．已知：如图，在半径为R 的⊙O 中，∠AOB ＝2，OC ⊥AB于C点．(1)求弦AB的长及弦心距；(2)求⊙O的内接正n边形的边长a n及边心距r n．6．如图所示，图①中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图②中AB、BC两段)，其中CC′＝BB′＝3.2m．结合图中所给的信息，求两段楼梯AB与BC的长度之和(结果保留到0.1m)．(参考数据：sin30°＝，cos30°≈，sin35°≈，cos35°≈7．如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，台阶面的宽为30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A，斜坡的起点为C，求AC的长度(精确到1cm)．拓展、探究、思考8．如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m，冬天太阳光与水平面的夹角为30°．(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米(保留根号)(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD＝21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层9．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地多少距离10．已知：如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米(保留整数)测试4 解直角三角形(二)学习要求能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形．课堂学习检测1．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的长．2．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC ＝10cm．求AD的长．3．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB及BC的长．4．已知：如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6cm．求AD的长．综合、运用、诊断5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．6．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少(精确到海里，7323 ).17．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离mDE，求点B到地面的垂直距离BC．328．已知：如图，小明准备测量学校旗杆AB的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC＝20m，斜坡坡面上的影长CD＝8m，太阳光线AD与水平地面成26°角，斜坡CD与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB的高度(精确到1m)．9．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走400m，到达一个景点B，再由B地沿山坡BC行走320米到达山顶C，如果在山顶C处观测到景点B的俯角为60°．求山高CD(精确到0.01米)．10．已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一根2m长的竹竿，测得竹竿影长为1m，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m．问路灯高度为多少米11．已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A出发，沿北偏东60°方向走了500m3到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m，到达目的地C点．求(1)A、C两地之间的距离；(2)确定目的地C在营地A的什么方向12．已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m的河堤．大堤高5m，坝顶宽4m，迎水坡和背水坡都是坡度为1∶1的等腰梯形．现要将大堤加高1m，背水坡坡度改为1∶．已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石拓展、探究、思考13．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，锐角∠A ＝．(1)BC 的长；(2)△ABC 的面积．14．已知：如图，在△ABC 中，AC ＝b ，BC ＝a ，锐角∠A ＝，∠B ＝．(1)求AB 的长；(2)求证：.sin sin βαba=15．已知：如图，在Rt △ADC 中，∠D ＝90°，∠A ＝，∠CBD ＝，AB ＝a ．用含a 及、的三角函数的式子表示CD 的长．16．已知：△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝10，25=BC ，求AB 的长．17．已知：四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于E 点，AC ＝a ，BD ＝b ，∠BEC ＝(0°＜＜90°)，求此四边形的面积．测试5 综合测试1．计算．(1)45tan 260tan 60cos 2-(2)60cos 30cos 60tan 30tan 45sin 30sin 2222+⋅++2．已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AB ＝32，BC ＝12．求：sin ∠ACD 及AD 的长．3．已知：Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D 点，AB ＝2m ，BD ＝m －1，⋅=54cos A(1)用含m 的代数式表示BC ；(2)求m 的值；4．已知：如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，BE ＝2EC ，DM ⊥AE 于M 点．求DM 的长．5．已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝90°，∠ABD＝75°，∠DBC＝30°，AB＝2a．求BC的长．6．已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，AD．AB＝3，求BC的长．357．已知：如图，△ABC内接于⊙O，BC＝m，锐角∠A＝，(1)求⊙O 的半径R ；(2)求△ABC 的面积的最大值．8．已知：如图，矩形纸片ABCD 中，BC ＝m ，将矩形的一角沿过点B 的直线折叠，使A 点落在DC 边上，落点记为A ′，折痕交AD 于E ，若∠A ′BE ＝．求证：⋅⋅=αα2sin cos mEB答案与提示第二十八章 锐角三角函数 测试11．△BAC ，AB ，AC ′．①ABBC ，对边，斜边，固定；②ABAC ，邻边，斜边，固定值；③ACBC ，对边，邻边，固定值．2．①∠A 的对边，,c a ∠B 的对边，;cb②∠A 的邻边，,c b ∠B 的邻边，;ca ③∠A 的对边，,b a ∠B 的邻边，⋅ab 3．唯一确定的值，对应，的函数，锐角三角函数．4．⋅34,53,54,43,54,53,155．.3,1010,10103,31,10103,1010,106．⋅815,178,1715,158,1715,178,347．.3,21,23,33,23,21,60o8．⋅==∠=∠=∠==∠37tan tan ,43cos cos ,47sin sin N TMR N TMR N TMR9．⋅===53cos ,20,16B AB AC10．.2tan ,55cos ,552sin ===B B B11．AB ＝2AC ＝2AO ·sin ∠AOC ＝24cm ，cm 7422=-=AC OA OC 12．⋅=∠=∠==43tan ,54cos )2(;cm 332,cm 340)1(AOC AOC OC OA 13．(1)CD ＝AC ·sin A ＝4cm ；(2);cm 32212=⨯=CD AB S(3)⋅+=422tan B 14．⋅=31sin B15．(1);sin Aa (2);cos ,cos AbA c ⋅ (3);tan ,tan A a A b ⋅ (4);3,21(5);43,54(6)⋅1010,10103 16．P (cos ，sin )，C (1，tan )．提示：作PD ⊥x 轴于D点．17．(1).31tan ,211cos ,231sin =∠=∠=∠(2),231tan ,7721cos ,7211sin =∠=∠=∠ 提示：作AE ⊥BC 于E ，设AP ＝2．测试2 1．锐角30° 45° 60°sin21 22 23 cos23 22 21 tan33 132．(1)0； (2);123(3);222325-+(4)⋅-413 3．(1)＝60°；(2)＝30°；(3)°；(4)46°．4．(1)；(2)．5．(1)49°11＇11″；(2)24°52＇44″．6．104cm ．提示：设DE ＝12x cm ，则得AD ＝13x cm ，AE ＝5x cm ．利用BE ＝16cm ．列方程8x ＝16．解得x ＝2． 7．,721提示：作BD ⊥CA 延长线于D 点．8．(1)∠D ＝15°，∠DBC ＝75°；(2);32tan ,32tan +=∠-=DBC D (3).125.22tan -=9．(1)15°；(2).32tan ,426cos ,426sin -=∠+=∠-=∠BAD BAD BAD10．⋅23,13132,13133提示：作DE ∥BA ，交AC 于E 点，或延长AD 至F ，使DF ＝AD ，连结CF ．11．提示：作CE ⊥OA 于E ，作DF ⊥OA 于F ． (3)增大， (4)减小． 12．(2)增大．13．提示：利用锐角三角函数定义证． 14．原式ααααcos sin 2cos sin 22-+=2)cos (sin αα-=|cos sin |αα-=⎩⎨⎧<<-<≤-=).450(sin cos ),9045(cos sinαααααα 15．(1)①～⑥略．sin2＝2sincos ．(2),2sin 212sin 12121αα=⨯⨯=⋅=∆BE AC S ABC,cos sin 21αα⋅=⨯=⋅=∆AD BD AD BC S ABC ∴sin2＝2sin cos ．16．不发生改变，设∠BAC ＝2，BC ＝2m ，则.)tan (tan 422m m m S S HBCABC =⋅=⋅∆∆αα测试31．①a 2＋b 2＝c 2； ②∠A ＋∠B ＝90°； ③;,,,ab b ac b c a④AD ·BD ，AD ·AB ，BD ·BA ，AB ·CD ： ⑤一半，它的外心，2c b a -+(或⋅++cb a ab)⑥ab 21或ch 21(h 为斜边上的高)或A bc sin 21或B ac sin 21或).(21c b a r ++(r 为内切圆半径)2．两个元素，有一个是边，直角边，一条直角边，斜边，一条直角边．3．90°－∠A ，sin A ，cos A ；;sin ,tan ,90o Aa A a A ∠- ;90,tan ,22Ab a A b ac ∠-=+=.90,sin ,22B c aA a c b ∠-=-=4．(1)∠A ＝45°，∠B ＝45°，b ＝35；(2)∠A ＝60°，∠B ＝30°，c ＝4； (3);52,4==b a(4);133,6==c a (5).30,64,62,26=∠===B c b a5．(1)AB ＝2R ·sin ，OC ＝R ·cos ；(2)⋅⋅=⋅=n R r n R a n n180cos ,180sin 26．AB ≈6.40米，BC ≈5.61米，AB ＋BC ≈12.0米． 7．约为222cm ． 8．(1)318米．(2)4层，提示：设甲楼应建x 层则.2130tan 3≤x9．m 310010．6米． 测试41．cm 3310,cm 3320==BC AB 2．)3515(+cm ．3．cm 25;cm )535(=-=BC AB 提示：作CD ⊥AB 延长线于D 点． 4．34cm ．5．山高m )31(50,m )31(25+=+AC 6．约为海里． 7．m 33．8．约为17m ，提示：分别延长AD 、BC ，设交点为E ，作DF ⊥CE 于F 点．9．约477.13m ． 10．10m ．11．(1)AC ＝1 000m ； (2)C 点在A 点的北偏东30°方向上．12．面积增加24m 2，需用240 000m 2土石．13．(1).cos 222α⋅-+=bc c b BC 提示：作CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝b ·sin ，AD ＝b ·cos．再利用BC 2＝CD 2＋DB 2的关系，求出BC ．(2)a bc sin 21⋅ 14．(1)AB ＝b ·cos＋a ·cos . 提示：作CD ⊥AB 于D 点．(2)提示：由b sin ＝CD ＝a sin可得b sin＝a sin ，从而βαsin sin ba =． 15．提示：AB ＝AD －BD ＝CD tan(90°－)－CD tan(90°－)＝CD 〔tan(90°－)－tan(90°－)〕，)90tan()90tan(βα---=∴a CD 或⋅-=αββαtan tan tan tan a CD 16．535+或.535-提示：AB 边上的高CD 的垂足D 点可能在AB 边上(这时AB ＝)535+，也可能在AB 边的延长线上(这时535-=AB )．17．.sin 21αab测试51．(1);23+ (2)⋅252．⋅==∠255,855sin AD ACD3．(1))1(2-=m m BC 或⋅=56m BC (2)⋅=725m4．⋅5185．a BC 2=．提示：作BE ⊥AD 于E 点．6．BC ＝6．提示：分别延长AB 、DC ，设它们交于E 点． 7．(1)⋅=αsin 2mR 提示：作⊙O 的直径BA ＇，连结A ＇C ． (2)⋅2tan42αm 提示：当A 点在优弧BC 上且AO ⊥BC 时，△ABC 有面积的最大值． 8．提示：⋅⋅=∠⋅='=αααα2sin cos 'sin cos cos mB CA BC B A EB第二十八章 锐角三角函数全章测试 一、选择题1．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,32sin =A 则AC 的长为( )A ．6B ．52C ．53D ．1322．⊙O 的半径为R ，若∠AOB ＝，则弦AB 的长为( )A ．2sin 2αR B ．2R sinC ．2cos 2αRD ．R sin3．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．312B ．12C ．324D ．3484．若某人沿倾斜角为的斜坡前进100m ，则他上升的最大高度是( )A ．m sin 100αB ．100sin mC ．m cos 100βD ．100cos m5．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( ) A ．15mB ．12mC ．9mD ．7m6．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( ) A ．ααtan sin R B ．ααsin tan R C ．ααtan sin 2RD ．ααsin tan 2R7．在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，若CB ＝a ，∠B ＝，则AD 等于( )A ．a sin 2B ．a cos 2C．a sincosD ．a sin tan8．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么ABDC的值为( )A ．sin ∠APCB ．cos ∠APC C ．tan ∠APCD ．APC∠tan 19．如图所示，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB ．已知观测点C 到旗杆的距离(CE 的长度)为8m ，测得旗杆的仰角∠ECA 为30°，旗杆底部的俯角∠ECB 为45°，那么，旗杆AB 的高度是( )第9题图A ．m )3828(+B ．m )388(+C ．m )33828(+D ．m )3388(+10．如图所示，要在离地面5m 处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l 1＝5.2m 、l 2＝6.2m 、l 3＝7.8m 、l 4＝10m ，四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用( )第10题图A ．l 1B ．l 2C ．l 3D ．l 4二、填空题11．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，若D 是AC 边中点，则tan ∠DBC 的值为______．12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，若△ABC 的面积为3350，则∠A ＝______度．13．如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8，AC⊥CD ，若,31sin =∠ACB 则cos ∠ADC ＝______．第13题图14．如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度mAB，拱形的303半径R＝30m，则拱形的弧长为______．第14题图15．如图所示，半径为r的圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动，当⊙O的移动到与AC边相切时，OA的长为______．第15题图三、解答题16．已知：如图，AB＝52m，∠DAB＝43°，∠CAB＝40°，求大楼上的避雷针CD的长．(精确到0.01m)17．已知：如图，在距旗杆25m 的A 处，用测角仪测得旗杆顶点C 的仰角为30°，已知测角仪AB 的高为1.5m ，求旗杆CD 的高(精确到0.1m)．18．已知：如图，△ABC 中，AC ＝10，,31sin ,54sin ==B C 求AB ．19．已知：如图，在⊙O 中，∠A ＝∠C ，求证：AB ＝CD (利用三角函数证明)．20．已知：如图，P是矩形ABCD的CD边上一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，AC＝15，BC＝8，求PE＋PF．21．已知：如图，一艘渔船正在港口A的正东方向40海里的B处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C岛运送一批物资到A港，已知C岛在A港的北偏东60°方向，且在B的北偏西45°方向．问该船从B处出发，以平均每小时20海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A港(精确到1小时)(该船在C岛停留半个小时)).1412≈≈,(≈.26453,73.122．已知：如图，直线y＝－x＋12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．(1)求AE的长及sin∠BEC的值；(2)求△CDE的面积．23．已知：如图，斜坡PQ的坡度i＝1∶3，在坡面上点O处有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，顶端A处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流最高点M比点A高出1m，且在点A测得点M的仰角为30°，以O点为原点，OA所在直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x轴建立直角坐标系．设水喷到斜坡上的最低点为B，最高点为C．(1)写出A点的坐标及直线PQ的解析式；(2)求此抛物线AMC的解析式；(3)求｜x C－x B｜；(4)求B点与C点间的距离．。
人教版九年级数学下册锐角三角函数同步练习附答案【优选】
28.1 锐角三角函数——正弦、余弦、正切一、基础·巩固达标1.在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和余弦值( )A.都没有变化B.都扩大2倍C.都缩小2倍D.不能确定 2.已知α是锐角，且cosα=54，则sinα=( ) A.259 B.54 C.53 D.2516 3.Rt △ABC 中，∠C=90°，AC ∶BC=1∶3，则cosA=_______，tanA=_________. 4.设α、β为锐角，若sinα=23，则α=________；若tanβ=33，则β=_________. 5.用计算器计算：sin51°30′+ cos49°50′－tan46°10′的值是_________. 6.△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，BD=9，tanB=34，求AD 、AC 、BC.二、综合•应用达标 7.已知α是锐角，且sinα=54，则cos(90°－α)=( ) A.54 B.43 C.53 D.518.若α为锐角，tana=3，求ααααsin cos sin cos +-的值.9.已知方程x 2－5x·sinα+1=0的一个根为32+，且α为锐角，求tanα.10.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？图28.1－14三、回顾•展望达标11.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sinα的值是( )A.43 B.34 C.53 D.54图28.1－15 图28.1－17 图28.1－1612.如图28.1－17，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接CD ，若⊙O 的半径23r ，AC=2，则cosB 的值是( ) A.23 B.35 C.25 D.3213.在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=31，则BC=( ) A.45 B.5 C.51 D.451 14.如图28.3－16，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos ∠BCD=( )A.53 B.43 C.34 D.5415.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.1－18，在锐角α的终边OB 上，任意取两点P 和P 1，分别过点P 和P 1做始边OA 的垂线PM 和P 1M 1，M 和M 1为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P 点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.图28.1－18 图28.1－1916.计算：2－1－tan60°+(5－1)0+|3|；17.已知：如图28.1－19，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，sinB=21，∠CAD=30°. (1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若OD ⊥AB ，BC=5，求AD 的长.参考答案一、基础·巩固达标1.在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和余弦值( )A.都没有变化B.都扩大2倍C.都缩小2倍D.不能确定 思路解析：当Rt △ABC 的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角A 大小不变. 答案：A2.已知α是锐角，且cosα=54，则sinα=( ) A.259 B.54 C.53 D.2516 思路解析：由cosα=54，可以设α的邻边为4k ，斜边为5k ，根据勾股定理，α的对边为3k ，则sinα=53. 答案：C3.Rt △ABC 中，∠C=90°，AC ∶BC=1∶3，则cosA=_______，tanA=_________.思路解析：画出图形，设AC=x ，则BC=x 3，由勾股定理求出AB=2x ，再根据三角函数的定义计算. 答案：21，3 4.设α、β为锐角，若sinα=23，则α=________；若tanβ=33，则β=_________. 思路解析：要熟记特殊角的三角函数值. 答案：60°,30°5.用计算器计算：sin51°30′+ cos49°50′－tan46°10′的值是_________.思路解析：用计算器算三角函数的方法和操作步骤. 答案：0.386 06.△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，BD=9，tanB=34，求AD 、AC 、BC. 思路解析：由条件可知△ABC 、△ABD 、△ADC 是相似的直角三角形，∠B=∠CAD ，于是有tan ∠CAD=tanB=34，所以可以在△ABD 、△ADC 中反复地运用三角函数的定义和勾股定理来求解.解：根据题意，设AD=4k ，BD=3k ，则AB=5k. 在Rt △ABC 中，∵tanB=34，∴AC=34AB=320k.∵BD=9,∴k=3.所以AD=4×3=12，AC=320×3=20. 根据勾股定理25152022=+=BC .二、综合•应用达标 7.已知α是锐角，且sinα=54，则cos(90°－α)=( ) A.54 B.43 C.53 D.51思路解析：方法1.运用三角函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而对边、邻边、斜边之比为4∶3∶5，(90°－α)是三角形中的另一个锐角，邻边与斜边之比为4∶5，cos(90°－α)=54.方法2.利用三角函数中互余角关系“sinα=cos(90°－α)”. 答案：A8.若α为锐角，tana=3，求ααααsin cos sin cos +-的值.思路解析：方法1.运用正切函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而直角三角形三边之比为3∶1∶10，sinα=103，cosα=101，分别代入所求式子中.方法2.利用tanα=ααcos sin 计算，因为cosα≠0，分子、分母同除以cosα，化简计算. 答案：原式=213131tan 1tan 1cos sin cos cos cos sin cos cos =+-=+-=+-αααααααααα 9.已知方程x 2－5x·sinα+1=0的一个根为32+，且α为锐角，求tanα.思路解析：由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是32-，进而可求出sinα=54，然后利用前面介绍过的方法求tanα.解：设方程的另一个根为x 2，则(32+)x 2=1 ∴x 2=32-∴5sinα=(32+)+(32-)，解得sinα=54. 设锐角α所在的直角三角形的对边为4k ，则斜边为5k ，邻边为3k ， ∴tanα=3434=k k . 10.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？图28.1－14思路解析：面积的改变实际上是平行四边形的高在改变，结合图形，可以知道h=b 21，再在高所在的直角三角形中由三角函数求出α的度数. 解：设原矩形边长分别为a ，b ，则面积为ab ， 由题意得，平行四边形的面积S=21ab.又因为S=ah=a(bsinα)，所以21ab=absinα，即sinα=21.所以α=30°. 三、回顾•展望达标11.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sinα的值是( )图28.1－15A.43 B.34 C.53 D.54思路解析：观察格点中的直角三角形，用三角函数的定义. 答案：C12.如图28.1－17，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接CD ，若⊙O 的半径23r ，AC=2，则cosB 的值是( )图28.1－17A.23 B.35 C.25 D.32思路解析：利用∠BCD=∠A 计算. 答案：D13.在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=31，则BC=( ) A.45 B.5 C.51 D.451 思路解析：根据定义sinA=ABBC，BC=AB·sinA. 答案：B14.如图28.3－16，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos ∠BCD=( )图28.1－16A.53 B.43 C.34 D.54 思路解析：直径所对的圆周角是直角，设法把∠B 转移到Rt △ADC 中，由“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”，得到∠ADC=∠B. 答案：B15.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.1－18，在锐角α的终边OB 上，任意取两点P 和P 1，分别过点P 和P 1做始边OA 的垂线PM 和P 1M 1，M 和M 1为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P 点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.图28.1－18思路解析：正弦、余弦函数的定义. 答案：11111,,,OP OM OP OM OP M P OP PM OP OM OP PM ==，锐角α 16.计算：2－1－tan60°+(5－1)0+|3|；思路解析：特殊角的三角函数，零指数次幂的意义，负指数次幂的意义.解：2－1－tan60°+(5－1)0+|3|=21－3+1+3=23. 17.已知：如图28.1－19，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，sinB=21，∠CAD=30°.图28.1－19(1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若OD ⊥AB ，BC=5，求AD 的长.思路解析：圆的切线问题跟过切点的半径有关，连接OA ，证∠OAD=90°. 由sinB=21可以得到∠B=30°，由此得到圆心角∠AOD=60°，从而得到△ACO 是等边三角形，由此∠OAD=90°.AD 是Rt △OAD 的边，有三角函数可以求出其长度. (1)证明：如图，连接OA.∵sinB=21，∴∠B=30°.∴∠AOD=60°. ∵OA=OC ，∴△ACO 是等边三角形 ∴∠OAD=60°.∴∠OAD=90°.∴AD 是⊙O 的切线. (2)解：∵OD ⊥AB ∴ OC 垂直平分AB. ∴ AC=BC=5.∴OA=5.在Rt △OAD 中，由正切定义，有tan ∠AOD=OAAD. ∴ AD=35.。
人教B版高中数学必修四高中1.3三角函数的图象与性质同步练测(答案解析).docx
1.3 三角函数的图象与性质建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1.函数sin(2)(0)y x ϕϕ=+≤≤π是R 上的偶函数，则ϕ的值是（ ）A.0B.4πC.2πD.π2.若,2π4π<<α则（ ）A. αααtan cos sin >>B.αααsin tan cos >>C.αααcos tan sin >>D.αααcos sin tan >>3.函数23cos()56y x π=-的最小正周期是（ ）A.5π2 B.2π5 C.π2 D.π5 4.在函数x y sin =，x y sin =，2sin(2)3y x π=+，2cos(2)3y x π=+中，最小正周期为π的函数的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数xxy cos 2cos 2-+=的最大值为________.6．若()2sin (01)f x x ωω=<<在区间[0,]3π上的最大值是2，则ω=________.三、解答题(共70分)7．（15分）求函数3(sin 2)5sin 2x y x +-=+的值域．8. （20分）求函数y =tan 2x +tan x +1（x ∈R 且x ≠2π+k π，k ∈Z ）的值域．9．(20分) 求函数y =－2tan （3x +3π）的定义域、值域，并指出它的最小正周期、奇偶性和单调性．10. （15分）求函数y =1cos 3cos 22-+-x x +lg （36－x 2）的定义域．1.3 三角函数的图象与性质答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5．6．三、解答题7.8.9.10.1.3 三角函数的图象与性质 答案一、选择题1.C 解析：当2ϕπ=时，sin(2)cos 22y x x π=+=，而cos 2y x =是偶函数，故选C. 2.D 解析：因为tan 1,cos sin 1,ααα><<所以αααcos sin tan >>.3.D 解析：2525T π==π. 4.C 解析：由x y sin =的图象知，它是非周期函数，其他三个函数的周期都为π.二、填空题5.3 解析：2cos 4cos 2412cos 2cos 2cos x x y x x x++-===----.当cos x ＝1时，y 最大＝3.6.34 解析：[0,],0,333x x πππ∈≤≤<ωω max 23()2sin2,sin,,332344f x ωωωωππππ=====. 三、解答题 7.解：由3(sin 2)553sin 2sin 2x y x x +-==-++． 当sin 1x =时，max 43y =，当sin 1x =-时，min 2y =-．∴ 函数的值域为423⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．8．解：设t =tan x ，由正切函数的值域可得t ∈R ，则y =t 2+t +1=（t +21）2+43≥43．∴ 原函数的值域是［43，+∞）． 9. 解：由3x +3π≠k π+2π，得x ≠18π3π+k （k ∈Z ）， ∴ 所求的函数定义域为{x |x ≠18π3π+k （k ∈Z ）}，值域为R ，最小正周期为3π，它既不是奇函数，也不是偶函数． 由k π－2π≤3x +3π≤k π+2π（k ∈Z ）， 得18π53π-k ≤x ≤18π3π+k （k ∈Z ）． 故在区间［18π53π-k ，18π3π+k ］（k ∈Z ）上是单调减函数． 10. 解：欲求函数定义域，则由⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-+-，，03601cos 3cos 222x x x 即⎩⎨⎧<<-≤--，，660)1)(cos 1cos 2(x x x也即⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤，，661cos 21x x解得⎪⎩⎪⎨⎧<<-∈+≤≤+-.66)(π23ππ23πx k k x k ，Z 取k =－1、0、1，可分别得到 x ∈（－6，－3π5］或x ∈［－3π，3π］或x ∈［3π5，6）， 即所求的定义域为（－6，－3π5］∪［－3π，3π］∪［3π5，6）.。
人教B版高中数学选修4-1习题课件：1.1.4 锐角三角函数与射影定理
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
【做一做1】 线段MN在直线l上的射影不可能是 ( )
A.点
B.线段
C.与MN等长的线段 D.直线
解析:当MN⊥l时,射影是一个点;当MN与l不垂直时,射影是一条
线段;特别地,当MN∥l或MN在l上时,射影与MN等长,线段MN的射影
不可能是直线.
答案:D
-4-
1.1.4 锐角三角函数 与射影定理
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知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
3.射影定理
文字 语言
在直角三角形中,每一条直角边是这条直角边在斜边上的 射影和斜边的比例中项;斜边上的高是两条直角边在斜边 上的射影的比例中项
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
名师点拨(1)勾股定理:
AC2+BC2=AB2,AD2+CD2=AC2,BD2+CD2=BC2.
(2)面积关系:AC·BC=AB·CD=2S△ABC,
������△������������������ ������△������������������
=
������������ ������������
=
������������2 ������������2
-6-
1.1.4 锐角三角函数 与射影定理
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人教版数学九年级下册第28章锐角三角函数锐角三角函数同步训练题含答案
人教版数学九年级下册第28章锐角三角函数锐角三角函数同步训练题含答案1. 把Rt △ABC 各边的长度都扩展3倍失掉Rt △A′B′C′，那么锐角∠A 、∠A′的余弦值的关系是( )A ．cosA ＝cosA′B ．cosA ＝3cosA′C ．3cosA ＝cosA′D ．不能确定2. 以下式子错误的选项是( )A ．cos40°＝sin50°B ．tan15°·tan75°＝1C.sin 225°＋cos 225°＝1 D ．sin60°＝2s in30°3. 在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，那么以下结论正确的选项是( )A ．sinA ＝32B ．tanA ＝12 C.cosA ＝32D ．以上都不对 4. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，那么sinA 的值为( ) A.513 B ．1213 C.512 D ．1255. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，那么tanA 的值是( ) A.34 B ．43 C.35 D ．456. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假定sinA ＝513，那么cosA 的值为( ) A.512 B ．813 C.23 D ．12137. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，那么cosB 的值为( ) A.154 B ．14 C.1515 D ．417178. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，假定AC ＝2，BC ＝1，那么sin ∠ACD 的值为( )A.53 B ．23 C.255 D ．559．△ABC 中， ∠C ＝90°，AB ＝8，cosA ＝34，那么BC 的长______. 10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.那么sinA ＝______，cosA ＝_______，tanA ＝_______.11. 假定0＜∠A ＜90°，那么0____sinA_____1,0_____cosA_____1.12. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3cm ，AB ＝5cm ，那么，cosB ＝________.13. sin 2α＋cos 2α＝_____；tanα＝____________.14. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tanA ＝158，那么AB ＝______. 15．假定α为锐角，且cosα＝1－3m 2，那么m 的取值范围是_______________. 16. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相反的正方形，ABCD 都在格点处，AB 与CD 相交于点O ，那么tan ∠BOD 的值等于____.17. α是锐角，化简：cos 2α－4cosα＋4－|1－cosα|.18. ：sinα＋cosα＝m ，sinα·cosα＝n.试确定m 、n 之间的关系．19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(2,1)和点B(3,0)．求sin ∠AOB ，cos ∠ABO 的值．20. 如下图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上的一点，AC ＝2，CD ＝1，记∠CAD ＝α.(1)试写出α的三个三角函数值；(2)假定∠B ＝α，求BD 的长．21. 小明在某次作业中失掉如下结果：sin 27°＋sin 283°≈0.122＋0.992＝0.9945，sin 222°＋sin 268°≈0.372＋0.932＝1.0018，sin 229°＋sin 261°≈0.482＋0.872＝0.9873，sin 237°＋sin 253°≈0.602＋0.802＝1.0000，sin 245°＋sin 245°≈(22)2＋(22)2＝1. 据此，小明猜想：关于恣意锐角α，均有sin 2α＋sin 2(90°－α)＝1.(1)当α＝30°时，验证：sin 2α＋sin 2(90°－α)＝1能否成立？(2)小明的猜想能否成立？假定成立，请给予证明；假定不成立，请举一个反例． 参考答案;1---8 BDCBB DBC9. 2710. BC AB BC AC BC AC11. ＜ ＜ ＜ ＜12. 3513. 1 sinαcosα14. 1715. －13＜m ＜1316. 317. 解：原式＝cosα－22－|1－cosα|＝|cosα－2|－|1－cosα|＝－cosα＋2－1＋cosα＝1.18. 解：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴(sinα＋cosα)2－2sinα·cosα＝1.∵sinα＋cosα＝m ，sinα·cosα＝n ，∴m 2－2n ＝1.19. 解：过点A 作AC ⊥x 轴于C ，∵点A 的坐标为(2,1)，点B 的坐标为(3,0)，∴OC ＝2，AC ＝1，BC ＝1.∴OA ＝OC 2＋AC 2＝5，AB ＝AC 2＋BC 2＝ 2.∴sin ∠AOB ＝AC OA ＝15＝55，∴cos ∠ABO ＝BC AB ＝12＝22.20. 解：(1)sinα＝55，cosα＝255，tanα＝12； (2)BC ＝AC tanα＝212＝4，∴BD ＝BC －CD ＝4－1＝3. 21. 解：(1)当α＝30°时，sin 2α＋sin 2(90°－α)＝sin 230°＋sin 260°＝(12)2＋(32)2＝14＋34＝1； (2)小明的猜想成立，证明如下：如图在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ＝α，那么∠B ＝90°－α，∴sin 2α＋sin 2(90°－α)＝(BC AB )2＋(AC AB )2＝BC 2＋AC 2AB 2＝AB 2AB 2＝1.。
人教版九年级数学下册第28章：锐角三角函数全章测试含答案(20200714090018)
A. 2
B.
3
3
C.
2
1
D. 1
6
10． P 为⊙ O外一点， PA、 PB分别切⊙ O于 A、B 点，若∠ APB＝ 2，⊙ O的半径为 R，则 AB的长为 ( )
A． Rsin tan
二、填空题
B． R tan sin
C． 2Rsin tan
D． 2R tan sin
11. 计算： sin 60 cos30 1
.
2
12. △ ABC 中， ∠C
90 ，若 tan A
1 ，则 sin A
______
2
13. 已知山坡的坡度 i =1： 3 ，则坡角为 ________．
14. 在△ ABC中，∠ C＝ 90°，∠ ABC＝60°，若 D是 AC边中点，则 tan ∠ DBC的值为 ______．
15. 在 Rt△ ABC中，∠ C＝ 90°， a＝ 10，若△ ABC的面积为 50 3 ，则∠ A＝ ______度． 3
底边 时 sad A =
BC . 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的
.
A
腰 AB
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（ 1） sad 60 的值为（
1
） A.
2
B. 1 C.
3
D. 2
2
（ 2）对于 0 A 180 ，∠ A 的正对值 sad A 的取值范围是
.
（ 3）已知 sin
B处，测得海中灯塔 P在北偏东 30°方向上， 则灯塔 P 到环海路的距离 PC＝
米（用根号表示） ．
20. 在数学活动课上， 小敏， 小颖分别画了△ ABC ?和△ DEF ，数据如图 7 ，如果把小敏画的三角形面积
人教版九年级数学下册锐角三角函数全章课时同步练习题及答案.doc
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】28.1 锐角三角函数第1课时正弦1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，则∠A的正弦值为（）A．35B．34C．45D．532. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝32，AC＝23，那么AB的长是（）A．33B．32C．3 D．43. 如图，每个小正方形的边长均为1，则图中的△ACB的内角∠ACB的正弦值是（）A．105B．1010C．13D．以上都不对4. 若0°＜∠A＜90°，sin A是方程1(3)04x x⎛⎫--=⎪⎝⎭的根，那么sin A＝．5. 如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，CD⊥AB，AB=15，BD=6，sin A＝33，求CD的长.参考答案1．A 2．D 3．B4．1 45．6228.1 锐角三角函数第2课时锐角三角函数1. 如图，斜坡AB长20米，其水平宽度AC长为103米，则斜坡AB的坡度为（）A．30° B．60° C．33D．122. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tan B的值是（）A．45B．35C．34D．433. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝32，BC＝23，那么AC的长是．4. 如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE= ．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BC=2，AB=4，则cos∠ACD的值为．参考答案1．C2．C3．34．4 55．24【解析】∵∠ACB=90°，BC=2，AB=4，∴cos B=24 BCAB.∵⊥，∴∠=90°，∴∠=∠，∴cos∠ACD=cos B2.28.1 锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数值1. 直角△ABC中，∠A = 30°，则sin A、 tan A的值分别是（）A．32、33B．12、3C．12、33D．22、332. 下列各式不正确的是（）A．sin30°＝cos60° B．t an45°= 2sin30°C．sin30°＋cos30°＝1 D．t an60°·cos60°＝sin60°3. 在△ABC中，已知∠A、∠B是锐角，且sin A＝32，tan B＝1，则∠C的度数为．4．计算：（1）sin245°＋co s30°·tan60°；（2）22sin45°＋3sin60°－2(tan301)︒-．5. 如图, 在△ABC中, ∠B=45°, ∠C=30°, AB=42, 求A C和BC的长.参考答案1．C 2．C 3．75°4．解：（1）原式＝2231332 2222⎛⎫+⨯=+=⎪⎪⎝⎭．（2）原式＝2233331122233⎛⎫⨯+⨯--=+⎪⎪⎝⎭．5．解：过A作AD⊥BC于D.在Rt△ABD中, AD=BD=AB·sin45°=24242⨯=.在Rt△ACD中, . ∴BC=BD+CD=443+28.1 锐角三角函数第4课时利用计算器求锐角三角函数值和锐角度数1．计算sin20°－cos20°的值是（保留四位有效数字）（）A．－0.5976 B．0.5976C．－0.5977 D．0.59772. Rt△ABC中，∠C=90°，a:b=3:4，运用计算器计算∠A的度数为（精确到1°）（）A．30° B．37° C．38° D．39°3. 用“＞”“＝”“＜”填空：（1）cos37° co s46°；（2）tan41°tan21°；（3）sin31°cos31°．4. 用计算器求值（精确到0.0001）：（1）sin25°－cos25°；（2）sin15°＋cos25°＋tan35°．5. 已知等腰△ABC的底边AB＝20，它的面积为80，求它的顶角大小（精确到1°）．参考答案1．C2．B3．（1）－0.4837 （2）1.86534．（1）＞（2）＞（3）＜5．103°28.2 解直角三角形第1课时解直角三角形1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为（）A．10tan50°B．10cos50°C．10sin50°D．10 cos502. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=5，则AD的长是（）A．53 B．52 C．5 D．103．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=15，则AD的长是（）A．2 B．2 C．1 D．224. 在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）已知AB，∠A，则BC＝，AC＝ ;（2）已知AC，∠A，则BC＝，AB＝ ;（3）已知AC，BC，则tan A＝．5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，与BC相交于点D，且AB＝43，求AD的长.参考答案 1．B 2．A 3．B4．（1）Ab sin A AB cos A （2）AC tan A cos AC A （3）BCAC5. 解：在Rt △ABC 中， ∵∠B ＝30°，∴11432322AC AB ==⨯=． ∵AD 平分∠BAC ，∴在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，∴3234cos30AC AD ===︒．【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
人教版九年级数学下册《锐角三角函数》同步检测3附答案【新审】
PC 50(3 3) ≈ 50 (3 1.732) ≈ 63.4 50 ， 答：森林保护区的中心与直线 AB 的距离大于保护区的半径， 所以计划修筑的这条高速公路不会穿
越保护区． 6. 解：如图， CD 20，∠ ACD 60°，
CD 90
3
AD
90
90 3．
tan A 3
3
3
在 Rt△BCD 中， CDB 90°，tan B= CD ， BD
（米）．
DB CD 90 30 3． tan B 3
AB AD BD 90 3 30 3 120 3
答：建筑物 A、 B 间的距离为 120 3 米．
5. 解：过点 P 作 PC AB ， C 是垂足， 则 APC 30°， BPC 45°， AC PCgtan30°， BC PC gtan 45°， Q AC BC AB ，
BC的高度，他发现
绳子刚好比旗杆长 11 米，若把绳子往外拉直，绳子接触地面
端 D 距 A 点还有 1 米，那么旗杆 BC的高度为
.
A 点并与地面形成 30o 角时，绳子末
26．如图，在 Rt△ ABC中，∠ C=90o，点 D 是 BC上一点， AD=BD，
若 AB=8， BD=5，则 CD=
.
1
cm ．
21．如图，将以 A 为直角顶点的等腰直角三角形 ABC沿直线 BC平移得到△ A B C ，使点 B 与 C
重合，连结 A B ，则 tan A BC 的值为
.
22．如图，在△ ABC中， AB
AC
5cm ， cosB
3 ．如果⊙ O的半径为
九年级下册数学《锐角三角函数》同步测试及答案
九年级下册数学《锐角三角函数》同步测试及答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．河堤的横断面如图所示，堤高BC 是5米，迎水斜坡AB 的长是13米，那么斜坡AB 的坡度i 是（ ）A ．1∶3B ．1∶2.6C ．1∶2.4D ．1∶22．如图，某渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东600方向，这艘渔船以28海里／小时的速度向正东航行半小时到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东150方向，此时灯塔M 与渔船的距离是（ ） A ．27海里 B ．214海里 C ．7海里 D ．14海里3．如图，从山顶A 望地面C ．D 两点，测得它们的俯角分别为450和300，已知CD ＝100米，点C 在BD 上，则山高AB ＝（ ） A ．100米 B ．350米 C ．250米 D ．)13(50+米 4．重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境．已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ） A ．a 450元 B ．a 225元 C ．a 150元 D ．a 300元5．如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB =1.8 m ，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC ，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC 为（ ） A ．1.8tan80°m B ．1.8cos80°m C ．︒80sin 8.1 mD ．︒80tan 8.1 m6．身高相同的三个小朋友甲．乙．丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m ，250 m ，200 m ；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝（ ）A ．甲的最高B ．乙的最低C ．丙的最低D ．乙的最高 7．如图，为了测量一河岸相对两电线杆A ．B 间的距离，在距A 点15米的C 处 （AC ⊥AB ）测得∠ACB =50°，则A ．B 间的距离应为（ ）第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第7题 第8题A ．15sin50°米B ．15tan50°米C ．15tan40°米D ．15cos50°米8．如图，在离地面高度5 m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC 的长是（ ）A ．10 mB ．3310 m C ．225 m D ．53 m二、填空题9．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC =3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子长AB = 米. 10．小明要在坡度为53的山坡上植树，要想保证水平株距为5 m ，则相邻两株树植树地点的高度差应为_____m.11．有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6米，下底长为10米，高为23米，那么此拦水坝斜坡的坡度为_____，坡角为_____.12．如图，从楼顶A 点测得电视塔CD 的仰角为α，俯角为β，若楼房与电视塔之间的水平距离为m ，求电视塔的高度.将这个实际问题写成数学形式：已知在△ADC 中，AB _____CD 于B ，∠_____=α，∠_____=β，m =_____，求_____. 13．要把5米长的梯子上端放在距地面3米高的阳台边沿上，猜想一下梯子摆放坡度最小为______. 14．如图，某建筑物BC 直立于水平地面，AC =9米，要建造阶梯AB ，使每阶高不超过20 cm ，则此阶梯最少要建_____阶.(最后一阶的高度不足20 cm 时，按一阶算，3取1.732) 15．如图，小刚在一山坡上依次插了三根木杆，第一根木杆与第二根木杆插在倾斜角为30°，且坡面距离是6米的坡面上，而第二根与第三根又在倾斜角为45°，且坡面距离是8米的坡面上.则第一根与第三根木杆的水平距离是______. （精确到0.01米）16．如图，小明想测量电线杆AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD =4 m ，BC =10 m ，CD 与地面成30°角，且此时测得1 m 杆的影子长为2 m ，则电线杆的高度约为_____m.(结果保留两位有效数字，2≈1.41，3≈1.73)第9题 第12题 第14题ABC第15题 第16题 第17题17．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝54，CD 是高．若BD ＝9，则CD ＝ ，S △ABC ＝ ．18．四边形ABCD 的对角线AC BD ，的长分别为m n ，，可以证明当AC BD ⊥时（如图1），四边形ABCD 的面积12S mn =，那么当AC BD ，所夹的锐角为θ时（如图2），四边形ABCD 的面积S = ．（用含m n θ，，的式子表示）三、解答题（共46分）19．（6分）某校在周一举行升国旗仪式，小明同学站在离旗杆20米处（如图所示）， 随着国旗响起，五星红旗冉冉升起，当小明同学目视国旗的仰角为37°（假设该同学的眼睛距地面的高度为1.6米），求此时国旗离地面的距离.20．（6分）如图，甲、乙两船同时从港口O 出发，甲船以16.1海里/时的速度向东偏西32°方向航行，乙船向西偏南58°方向航行，航行了两小时，甲船到达A 处并观测到B 处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度(精确到0.1海里/时).21．（8分）如图，一勘测人员从B 点出发，沿坡角为15°的坡面以5千米/时的速度行至D处，用了12分钟，然后沿坡角为20°的坡面以3千米/时的速度到达山顶A 点处，用了10 分钟，求山高（即AC 的长度）及A ，B 两点间的水平距离（即BC 的长）（精确到0.01千米）.22．（8分）苏州的虎丘塔身倾斜，却经历千年而不例，被誉为“中国第一斜塔”，如图，BC是过塔底中心B 的铅垂线，AC 是塔顶A 偏离BC 的距离，据测量，AC 约为2.34m ，塔身AB 的长为47.9m ，求塔身倾斜的角度∠ABC 的度数.（精确到1′）.Ｂ图1图2第18题 第19题 B O 东北A 第20题B 20︒D A 15︒CE第21题23．（8分）如图，在平面镜的同侧，有相隔15cm 的A ，B 两点， 它们与平面镜的距离分别为5cm 和7cm ，现要使由A 点射出的光线经平面镜反射后通过点B ，求光线的入射角θ的度数.24．（10分）气象台发布的卫星云图显示，代号为W 的台风在某海岛（设为点O ）的南偏东45方向的B点生成，测得OB =．台风中心从点B 以40km/h 的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点C 处．因受气旋影响，台风中心从点C 开始以30km/h 的速度向北偏西60方向继续移动．以O 为原点建立如图所示的直角坐标系． （1）台风中心生成点B 的坐标为 ，台风中心转折点C 的坐标为 ；（结果保留根号）（2）已知距台风中心20km 的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点A ）位于点O 的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初．．侵袭该城要经过多长时间？θB 7515DAEF第23题BC6045第24题答案一、选择题1．C 2．A 3．D 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B 二、填空题9．4 10．3 11．3 600 12．⊥ BAC BAD AB CD 13．4314．26 15．10.85 16．8.7 17．12、150 18．1sin 2mn θ 三、解答题19．约16.7米. 20．10.1海里/时 21．AC≈0.43（千米），BC≈1.44（千米） 22．2°48′23．θ≈51.1° 24．（1）B -，C -；（2）经过11小时．。
人教版九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数——锐角三角函数》同步检测2附答案
人教版九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数——锐角三角函数》同步检测2附答案——锐角三角函数》同步检测2附答案一、选择题1．sin30°的值为〖 〗 A ．32B ．22C ．12D ．332．如图,在Rt ABC △中,ACB ∠=Rt ∠,1BC =,2AB =,则下列结论正确的是〖 〗 A ． 3sin 2A =B ．1tan 2A = C ．3cos 2B = D ．tan 3B = 3．三角形在方格纸中的位置如图所示,则tan α的值是〖 〗 A ．34B ．43 C ．35 D ．454．如图,在平地上种植树木时,要求株距〖相邻两树间的水平距离〗为4m ．如果在坡度为0.75的山坡上种树,也要求株距为4m,那么相邻两树间的坡面距离为〖 〗 A ．5m B ．6m C ．7m D ．8m5．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,452AOC OC ∠==°，,则点B 的坐标为〖 〗A ．(21)，B ．(12)，C ．(211)+，D ．(121)+，6．如图,直线AB 与⊙O 相切于点A ,⊙O 的半径为2,若∠OBA = 30°,则OB 的长为〖 〗 A ．43 B ．4 C ．23．27．图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB ．CD 分别表示一楼．二楼地面的水平线,∠ABC =150°,BC 的长是8 m,则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是〖 〗A ．833m B ．4 m C ．43 m D ．8 m 8．如图,小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离,在A 点测得30BAD ∠=°,在C 点测得60BCD ∠=°,又测得50AC =米,则小岛B 到公路l 的距离为〖 〗米． A ．25B ．253C ．10033D ．25253+9．如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径,若O ⊙的半径为32,2AC =,则sin B 的值是〖〗 A ．23 B ．32C ．34D ．4310．将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状,那么折痕PQ 的长是〖 〗A ．233cm B ．433c m C ．5cm D ．2cm 11．如图,在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于E,∠EDC ∶∠EDA=1∶3,且AC=10,则DE 的长度是〖 〗 A ．3 B ．5 C ．25 D ．22512．如图,已知△ABC 中,∠ABC =90°,AB =BC ,三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1,l 2,l 3上,且l 1,l 2之间的距离为2 , l 2,l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是〖 〗 A ．172 B ．52 C ．24 D ．713．如图4,在Rt ABC △中, 90=∠ACB ,86AC BC ==，,将ABC △绕AC 所在的直线k 旋转一周得到一个旋转体,则该旋转体的侧面积为〖 〗 A ．30π B ．40π C ．50π D ．60π14．在一次夏令营活动中,小亮从位于A 点的营地出发,沿北偏东60°方向走了5km 到达B地,然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C 地,测得A 地在C 地南偏西30°方向,则A ．C 两地的距离为〖 〗 〖A 〗km 3310 〖B 〗km 335 〖C 〗km 25 〖D 〗km 35 15. 如图,在梯形ABCD 中,AD//BC,AC ⊥AB,AD ＝CD,cos ∠DCA=54,BC ＝10,则AB 的值是〖 〗 A ．3B ．6C ．8D ．916．〖2009年清远〗如图,AB 是O ⊙的直径,弦CD AB ⊥于点E ,连结OC ,若5OC =,8CD =,则tan COE ∠=〖 〗 A ．35 B ．45 C ．34 D ．4317．为测量如图所示上山坡道的倾斜度,小明测得图中所示的数据(单位：米),则该坡道倾斜角α的正切值是〖 〗 A ．14 B ．4 C ．117D ．41718．如图,先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为5米,那么这两树在坡面上的距离AB 为〖 〗 A. αcos 5 B.αcos 5 C. αsin 5 D. αsin 519． 如图,菱形ABCD 的周长为20cm,DE ⊥AB,垂足为E,54A cos =,则下列结论中正确的个数为〖 〗 ①DE=3cm ； ②EB=1cm ； ③2ABCD 15S cm =菱形． A ．3个 B ．2个 C ．1个D ．0个20．已知圆锥的底面半径为5cm,侧面积为65πcm 2,设圆锥的母线与高的夹角为θ〖如图所示〗,则sinθ的值为〖 〗 〖A 〗125 〖B 〗135 〖C 〗1310 〖D 〗131221．如图,已知RtΔABC 中,∠ACB =90°,AC = 4,BC=3,以AB 边所在的直线为轴,将ΔABC 旋转一周,则所得几何体的表面积是〖 〗． A ．π5168 B ．π24 C ．π584D ．π12 22．如图,在ABC △中,C ∠9060B D =∠=°，°，是AC 上一点,DE AB ⊥于E ,且21CD DE ==，,则BC 的长为〖 〗A ．2B ．433C ．23D ．4323．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶,梯子的倾斜角〖梯子与地面的夹角〗不能大于60°,否则就有危险,那么梯子的长至少为〖 〗 A ．8米B ．83米C ．833米 D ．433米 24．已知在Rt ABC △中,390sin 5C A ∠==°，,则tan B 的值为〖 〗 A ．43B ．45C ．54D ．3425．〗2sin 30°的值等于〖 〗A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 26．已知在Rt ABC △中,390sin 5C A ∠==°，,则tan B 的值为〖 〗 A ．43B ．45C ．54D ．3427．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶,梯子的倾斜角〖梯子与地面的夹角〗不能大于60°,否则就有危险,那么梯子的长至少为〖 〗 A ．8米B ．83C 83D 43米28．一根电线杆的接线柱部分AB 在阳光下的投影CD 的长为1米,太阳光线与地面的夹角60ACD ∠=°,则AB 的长为〖 〗A ．12米B ．3米C ．32米 D ．33米 二、计算题〖每小题3分,共12分〗 1.〖计算：()12009311sin 6022-⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭°2.101200934sin 3022⎛⎫--+-- ⎪⎝⎭－（）3.计算：0200912sin 603tan 30(1)3⎛⎫-++- ⎪⎝⎭°°．4．先化简．再求值．22 ()2111a a a a a ++÷+-- 其中a ＝tan60°－2sin30°．三、解答题〖共24分〗1．〖9分〗AC 是O ⊙的直径,PA ,PB 是O ⊙的切线,A ,B 为切点,AB =6,PA =5．求〖1〗O ⊙的半径； 〖2〗sin BAC ∠的值．2．〖7分〗一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行,在A 处测得灯塔C 在北偏西30°方向,轮船航行2小时后到达B 处,在B 处测得灯塔C 在北偏西60°方向．当轮船到达灯塔C 的正东方向的D 处时,求此时轮船与灯塔C 的距离．〖结果保留根号〗3.〖8分〗为打击索马里海盗,保护各国商船的顺利通行,我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45︒并距该岛20海里的B 处待命．位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击,船长发现在其北偏东60︒的方向有我军护航舰〖如图9所示〗,便发出紧急求救信号．我护航舰接警后,立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C 处？〖结果精确到个位．参考数据：2 1.43 1.7≈，≈〗答案1．C 2. D 3。
2022-2022学年人教B版高中数学选修4-1全册教学案
2022-2022学年人教B版高中数学选修4-1全册教学案目录第一章1.11.1.1相似三角形判定定理第一章1.11.1.2相似三角形的性质第一章1.11.1.3平行截割定理第一章1.11.1.4锐角三角函数与射影定理第一章1.21.2.1圆的切线第一章1.21.2.2圆周角定理第一章1.21.2.3弦切角定理第一章1.31.3.1圆幂定理第一章1.31.3.2圆内接四边形的性质与判定第一章章末小结第二章2.1平行投影与圆柱面的平面截线第二章2.2用内切球探索圆锥曲线的性质第二章章末小结2022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案_1.1相似三角形1．1.1相似三角形判定定理[对应学生用书P1][读教材·填要点]1．相似三角形的定义及相关概念如果在两个三角形中，对应角相等、对应边成比例，则这两个三角形叫做相似三角形．设相似三角形对应边的比值为k，则k叫做相似比(或相似系数)．2．相似三角形判定定理(1)判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似．(2)判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似．(3)判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．[小问题·大思维]1．两个三角形“相似”与两个三角形“全等”之间有什么关系？提示：两个三角形全等是两个三角形相似的一种特殊情况．相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，当两个相似三角形的相似比为1时，两个三角形全等．2．如果两个三角形的两边对应成比例，且有一角相等，那么这两个三角形相似吗？提示：不一定．只有当这个角是对应成比例的两边的夹角时，这两个三角形才相似．[对应学生用书P1][例1]如图，若O是△ABC内任一点，D，E，F分别是OA，OB，OC的靠近O的三等分点．求证：△DEF∽△ABC.[思路点拨]本题考查相似三角形判定定理2的应用．解答此题需相似三角形的判定12022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案要根据已知条件，寻找三角形相似的条件．利用三等分点找出对应边成比例即可．[精解详析]∵D，E，F分别是OA，OB，OC靠近点O的三等分点，∴DE＝AB，EF311＝BC，FD＝CA.33∴DEEFFD1＝＝＝.ABBCCA3由三角形相似的判定定理得△DEF∽△ABC.在相似三角形的判定中，应用最多的是判定定理1，因为它的条件最容易寻求，实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2、3则常见于连续两次证明相似时，在第二次使用的情况较多．1．已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP.证明：(1)∵BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，∴∠BFC＝∠CEB.又∵∠CPF＝∠BPE，∴△CPF∽△BPE.(2)由(1)得△CPF∽△BPE，∴EPFP＝.BPCP又∵∠EPF＝∠BPC，∴△EFP∽△BCP.[例2]如图所示，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b，求当BD与a，b之间满足怎样的关系时，△ABC与△CDB相似？[思路点拨]由于△ABC与△CDB相似且都是直角三角形，因此，只要对应边成比例即可．而斜边肯定是三角形的最大边，所以AC一定与BC对应，这里要注意分类讨论的运用．[精解详析]∵∠ABC＝∠CDB＝90°，斜边AC与BC为对应边，以下分两种情况讨论．ACBCab①当＝时，△ABC∽△CDB，即＝.BCBDbBDb2∴BD＝时，△ABC∽△CDB.aa2－b2ACABa②当＝时，△ABC∽△BDC，即＝.BCBDbBD22022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案ba2－b2∴当BD＝时，△ABC∽△BDC.aba2－b2b2故当BD＝或BD＝时，aa△ABC与△CDB相似．(1)在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的应用．(2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．2．如图，BD、CE是△ABC的高．求证：△ADE∽△ABC.证明：∵BD、CE是△ABC的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.又∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△ADB.∴ADAE＝.ABAC又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.[例3]如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于点P，交AC于点E.求证：BP2＝PE·PF.[思路点拨]本题考查相似三角形的判定及其应用，解答本题需要注意AD是等腰△ABC底边上的高，所以PB＝PC，从而将所求证的结论转化为PC2＝PE·PF.进而可以证明△PCE∽△PFC来解决问题．[精解详析]连接PC，在△ABC中，因为AB＝AC，D为BC中点，所以AD垂直平分BC.3相似三角形的应用2022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案所以PB＝PC，∠1＝∠2.因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，所以∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4.因为CF∥AB，所以∠3＝∠F，所以∠4＝∠F.又因为∠EPC＝∠CPF，所以△PCE∽△PFC，PCPF所以＝，所以PC2＝PE·PF.PEPC因为PC＝PB，所以PB2＝PE·PF.(1)有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．adba(2)要说明线段的乘积式ab＝cd，或平方式a2＝bc，一般都是证明比例式＝或＝，cbac再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．3．如图所示，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，当△ADP与△QCP相似时，求BQ的值．解：由题知∠D＝∠C＝90°，ADDP①当△ADP∽△PCQ时，＝，PCCQ112113∴＝，∴CQ＝，∴BQ＝1－＝.1CQ44421ADDP12②当△ADP∽△QCP时，＝，∴＝，QCCPQC12∴CQ＝1，∴BQ＝0.3综上可知，当△ADP与△QCP相似时，BQ＝0或.442022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案即S△DEC1＝.S△ABD61．△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且AD∶A′D′＝7∶3，下面给出四个结论：①BC∶B′C′＝7∶3；②△ABC的周长与△A′B′C′的周长之比为7∶3；③△ABC与△A′B′C′的对应高之比为7∶3；④△ABC与△A′B′C′的对应中线之比为7∶3.其中正确的个数为()A．1C．3B．2D．4解析：由相似三角形的性质知4个命题均正确，故选D.答案：D[例2]如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝200mm，高AD＝300mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个矩形零件的边长．利用相似三角形的性质解决实际问题[思路点拨]本题考查相似三角形性质的应用．解答本题需要设出所求矩形零件的某一边长，然后借助△AEH∽△ABC求解．[精解详析]设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E、H分别在AB、AC上，△ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为某mm.因为EH∥BC，所以△AEH∽△ABC.102022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案APEH所以＝.ADBC300－2某某所以＝，3002006001200解得某＝(mm)，2某＝(mm)．776001200答：加工成的矩形零件的边长分别为mm和mm.77将实际问题转化为平面几何问题是解决此题的关键，要注意相似三角形的性质在实际问题中的作用．2．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18m，已知小明的身高是1.6m，他的影长是2m.(1)图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？(2)求古塔的高度．解：(1)△ABC∽△ADE.∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB＝∠AED＝90°.∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE.(2)由(1)得△ABC∽△ADE，∴ACBC＝.AEDE∵AC＝2m，AE＝2＋18＝20m，BC＝1.6m.21.6∴＝，20DE∴DE＝16m.答：古塔的高度为16m.[例3]如图，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P是AD边上的一动点(P异于A、D)，Q是BC边上的任意一点．连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.相似三角形性质的综合应用112022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案(1)求证：△APE∽△ADQ；(2)设AP的长为某，试求△PEF的面积S△PEF关于某的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？(3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？(必须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明)[思路点拨]本题考查相似三角形的判定及性质的综合应用．解答问题(1)只需证明△APE和△ADQ中有两个角对应相等即可；解答问题(2)要注意△ADQ的面积为定值，且S△PEF1＝(S△ADQ－S△APE－S△PDF)；解答问题(3)可作点A关于直线BC的对称点A′，利用三点共线2解决．[精解详析](1)证明：因为PE∥DQ，所以∠APE＝∠ADQ，∠AEP＝∠AQD，所以△APE∽△ADQ.S△APEAP2(2)因为△APE∽△ADQ，所以＝.S△ADQAD因为AD∥BC，所以△ADQ的高等于AB.1所以S△ADQ＝3.所以S△APE＝某2.3同理，由PF∥AQ，可证得△PDF∽△ADQ，S△PDFPD2所以＝.S△ADQAD因为PD＝3－某，所以S△PDF＝(3－某)2.3因为PE∥DQ，PF∥AQ，所以四边形PEQF是平行四边形．1所以S△PEF＝SPEQF21＝(S△ADQ－S△APE－S△PDF)23113某－2＋.＝－某2＋某＝－33243所以当某＝时，即P是AD的中点时，23S△PEF取得最大值，最大值为.4122022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案(3)作A关于直线BC的对称点A′，连接DA′交BC于Q，则这个Q 点就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点．在三角形中有平行于一边的直线时，通常考虑三角形相似，利用比值获得线段的长或三角形的面积．3．如图(1)，已知矩形ABCD中，AB＝1，点M在对角线AC上，AM＝AC，直线l过4点M且与AC垂直，与边AD相交于点E.(1)如果AD＝3，求证点B在直线l上；(2)如图(2)，如果直线l与边BC相交于点H，直线l把矩形分成的两部分的面积之比为2∶7，求AD的长；(3)如果直线l分别与边AD，AB相交于E，G.当直线l把矩形分成的两部分的面积之比为1∶6时，求AE的长是多少？解：(1)证明：连接BD，交AC于O点，1∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝AC.21∵AM＝AC，∴AM＝OM.4在Rt△ABD中，AB＝1，AD＝3，∴BD＝AB2＋AD2＝2.∴BO＝OA＝AB＝1，∴△AOB是等边三角形，又AM＝OM，∴BM⊥AO，∴点B在直线l上．(2)设AD＝a，则AC＝1＋a2.∵∠EAM＝∠CAD，∠AME＝∠D＝90°，132022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案AEAM∴△AEM∽△ACD，∴＝.ACAD11又AM＝AC＝1＋a2，442AC·AM1＋a∴AE＝＝.AD4a由AE∥HC，得△AEM∽△CHM，∴AEAM1＝＝，∴HC＝3AE.HCMC331＋a2a2－3又BH＝BC－HC＝a－＝，4a4a1而S梯形ABHE＝(AE＋BH)·AB222a2－111＋aa－3＝(＋)·1＝.24a4a4a∵S梯形ABHE∶S梯形EHCD＝2∶7，22∴S梯形ABHE＝S矩形ABCD＝a，99a2－12∴＝a，4a9解得a＝3，即AD＝3.(3)如图，设l分别交AD、AC、AB于E、M、G三点，则有△AEG∽△DCA，∴AGAE＝.ADDCAG∵DC＝1，∴AE＝.ADS△AEG11∵S△AEG＝AE·AG，＝，2S多边形EGBCD6∴S△AEG1＝.S矩形ABCD7AE·AG21AE·AG2∴＝，即＝.AD·DC7AD7214∴AE2＝，AE＝.77 [对应学生用书P7]一、选择题1．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC 的周长是16，142022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为()A．8,3C．4,3B．8,6D．4,6解析：∵AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，且相似比为2.∵△ABC的周长是16，面积是12，∴△DEF的周长是8，面积是3.答案：A2．如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则A．1C．3 EFAF解析：∵EF∥BC，∴＝，BCACFGCF又∵FG∥AD，∴＝，ADAC∴EFFGAFCFAC＋＝＋＝＝1.BCADACACACB．2D．4EFFG＋＝()BCAD答案：A3．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则AF∶FC等于()A．1∶3C．1∶2B．1∶4D．2∶3解析：设正方形边长为某，则由△AFE∽△ACB，某1－某可得AF∶AC＝FE∶CB，即＝.212AF1所以某＝，于是＝.3FC2答案：CAD4．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC且＝2，那么△ADEDB与四边形DBCE的面积比是()2A.32B．5152022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案4C.54D．9解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，S△ADEAD2∴＝2.S△ABCAB∵∴S△ADE4ADAD2＝2，∴＝，∴＝，DBAB3S△ABC94＝.S四边形DBCE5S△ADE答案：C二、填空题5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线EF∥BD，交AB于点E，交AC于点G，1CF交AD于点F.若S△AEG＝S四边形EGCB，则＝________.3AD解析：∵S△AEG＝S四边形EGCB，3∴S△AEG1＝.S△ABC4AE1由相似三角形的性质定理，得＝，AB2∴E为AB的中点．由平行线等分线段定理的推论，知G为AC的中点．∵EF∥BC，AC⊥BC，∴FG⊥AC.又点G为AC的中点，∴FG为AC的中垂线．∴FC＝FA.∵EF∥BD，E为AB的中点，∴F为AD的中点，∴CFAF1＝＝.ADAD21答案：26．如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，则AE的长为________．162022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案解析：∵AE∥BC，∴△BGF∽△AGE.∴BF∶AE＝BG∶GA＝3∶1.AEAD ∵D为AC中点，∴＝＝1.CFDC∴AE＝CF.∴BC∶AE＝2∶1，∵BC＝10，∴AE＝5.答案：57．(广东高考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上△CDF的面积且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________.△AEF的面积解析：由CD∥AE，得△CDF∽△AEF，△CDF的面积CD2AB2于是＝＝＝9.△AEF的面积AEAE答案：98．△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝12cm，高AD＝8cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形的边长为________cm.解析：设正方形PQMN为加工成的正方形零件，边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，△ABC的高AD与边PN相交于点E，设正方形的边长为某cm.∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC.∴8－某某AEPN＝，∴＝.ADBC812解得某＝4.8.即加工成的正方形零件的边长为4.8cm.答案：4.8三、解答题9．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的三等分点，AE的延长线交BC于172022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案S△BEFF，求的值．S四边形DEFC解：过D点作DM∥AF交BC于M，因为DM∥AF，BFBE1所以＝＝，BMBD3因为EF∥DM，S△BEF1所以＝，SBDM9即S△BDM＝9S△BEF，因为D为AC的中心，且AF∥DM，则M为FC的中点．S△DMC2所以＝，S△BDM32即S△DMC＝S△BDM＝6S△BEF，3所以S四边形DEFC＝14S△BEF，S△BEF1因此＝.S四边形DEFC14 10．有一块三角形铁片ABC，已知最长边BC＝12cm，高AD＝8cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的2倍．则加工成的铁片的面积为多少？解：本题有图(1)和图(2)两种情况．如图(1)，矩形的长EF在BC上，G、H分别在AC、AB上，高AD交GH于K，设矩形的宽为某cm，则长为2某cm.由HG∥BC，得△AHG∽△ABC.得AK∶AD＝HG∶BC，24所以(8－某)∶8＝2某∶12，即某＝(cm)．71152则S矩形EFGH＝2某2＝(cm2)．49182022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案如图(2)，矩形的宽MN在BC上，类似地可求得S矩形MNPQ＝18(cm2)．1152即加工成的铁片的面积为cm2或18cm2.4911．如图所示，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC(AB>AE)．(1)△AEF与△ECF是否相似？若相似证明你的结论；若不相似，请说明理由．(2)设AB＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似，若存在，证明你的结BC论，并求出k的值；若不存在，说明理由．解：(1)相似．在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°.∵EF⊥EC，A、D、E共线，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.又∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEF＝∠DCE.EFAF∴△AEF∽△DCE，∴＝.ECDE∵AE＝DE，∴EFAF＝.ECAE又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF.(2)存在，由于∠AEF＝90°－∠AFE<180°－∠CFE－∠AFE＝∠BFC，∴只能是△AEF∽△BCF，∠AEF＝∠BCF.由(1)知∠AEF＝∠DCE＝∠ECF＝∠FCB＝30°.∴ABCDCD33＝＝＝，即k＝.BCBC2DE223DE1时，＝，∠DCE＝30°，2CD3反过来，在k＝∠AEF＝∠DCE＝30°，∠ECF＝∠AEF＝30°，∠BCF＝90°－30°－30°＝30°＝∠AEF.∴△AEF∽△BCF.192022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案1．1.3平行截割定理[对应学生用书P8][读教材·填要点]1．平行截割定理(1)定理的内容：三条平行线截任两条直线，所截出的对应线成比例．ABDE(2)符号语言表示：如图，若l1∥l2∥l3，则＝.BCEF2．平行截割定理的推论(1)推论的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．(2)符号语言表示：ADAEDE如图，若l1∥l2∥l3，则＝＝.ABACBC[小问题·大思维]1．在平行截割定理中，被截的两条直线m，n应满足什么条件？提示：被截取的两条直线m、n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行直线a、b、c都相交．2．若将定理中的“三条平行线”改为“三个互相平行的平面”，是否仍然成立？提示：仍然成立．[对应学生用书P9]202022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案利用定理证明“比例式”[例1]已知：如图，l1∥l2∥l3，ABm＝.BCnDEm求证：＝.DFm＋nDE[思路点拨]本题考查平行截割定理及比例的基本性质．解答本题需要利用定理证得EF＝ABDE，然后利用比例的有关性质求出即可．BCDF[精解详析]∵l1∥l2∥l3，∴∴即ABDEm＝＝.BCEFnEFnEF＋DEn＋m＝，＝，DEmDEmDFm＋nDEm＝，∴＝.DEmDFm＋n解决此类问题要结合几何直观，合理地利用比例的性质，常见的性质有：(1)比例的基本性质：ac＝(bd≠0)ad＝bc；bdab＝(bc≠0)b2＝ac；bcacbd＝(abcd≠0)＝.bdacaca±bc±d(2)合分比性质：如果＝，那么＝.bdbda＋c＋＋maacm(3)等比性质：如果＝＝＝(b dn≠0，b＋d＋＋n≠0)，那么＝.bdnb＋d＋＋nb1．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC交BC于D.求证：111＝＋.ADABAC证明：过D点作DE∥AB交AC于E点，∵∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∴∠DAE＝60°，∠BAD＝60°.212022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案∵DE∥AB，∴∠ADE＝60°，∴AD＝DE＝AE，∴∴∵∴ADDECE＝＝.ABABACADADCEADCEAE＋＝＋＝＋.ABACACACACACCEAEACADAD＋＝＝1，∴＋＝1.ACACACABAC111＋＝.ABACAD[例2]如图所示，已知直线l截△ABC三边所在的直线分别于E，F，D三点，且AD＝BE.求证：EF·CB＝FD·CA.[思路点拨]借助平行线分线段成比例定理即可证得．EFEBCABC[精解详析]法一：如图1，过D作DK∥AB交EC于点K，则＝，＝，即FDBKADBKCAAD＝.BCBK∵AD＝BE，∴CABEEFCA＝，∴＝.BCBKFDCB利用定理证明“乘积式”即EF·CB＝FD·CA.图1法二：如图2，过E作EP∥AB，交CA的延长线于点P.∵AB∥EP，∴CBCACAAP＝，即＝.BEAPCBBE在△DPE中，∵AF∥PE，∴EFAP＝.FDADCAEF∵AD＝BE，∴＝.∴EF·CB＝FD·CA.CBFD222022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案图2法三：如图3，过D作DN∥BC，交AB于N.EBEF∵ND∥EB，∴＝，DNDFBCCA∵DN∥BC，∴＝，DNAD即CAAD＝.CBDNEFCA＝，即EF·CB＝FD·CA.FDCB∵AD＝EB，∴图3本题所作的辅助线，不仅构造了两个常见的基本图形，而且可以直接利用三角形一边的CAEF平行线的性质定理，找到与的比值关系，再借助等量代换，使问题得以突破．CBFD2.如图所示，已知直线FD和△ABC的BC边交于D，与AC边交于E，与BA的延长线交于F，且BD＝DC，求证：AE·FB＝EC·FA.证明：过A作AG∥BC，交DF于G点．FAAG∵AG∥BD，∴＝.FBBD又∵BD＝DC，∴FAAG＝.FBDCAGAE∵AG∥DC，∴＝.DCEC∴AEFA＝，即AE·FB＝EC·FA.ECFB[例3]如图，已知ABCD中，延长AB到E，使BE＝AB，连接ED2利用定理进行计算232022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案交BC、AC于F、G.求EF∶FG∶GD的值．[思路点拨]本题考查平行截割定理及其推论的应用．解答本题需要求出EF∶FG，EF∶GD的比值，进而求出EF∶FG∶GD的值．[精解详析]∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.1∵BE＝AB，2∴EFBE1BF＝＝＝.EDAE3AD设EF＝k，ED＝3k，∴FD＝2k.FGFC2∵BC∥AD，∴＝＝.GDAD3∴FG246＝，∴FG＝k，GD＝k，FD55546∴EF∶FG∶GD＝k∶k∶k，55即EF∶FG∶GD＝5∶4∶6.求线段长度比的问题，通常引入一个参数k，然后用所设的参数k表示所求结论中的各个线段，最后消掉参数k即可得到所求结论．3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF ＝4，则DE＝________.解析：设DE＝某，∵DE∥AC，EF∥BC，∴∴BE某15某＝，解得BE＝.15某＋4某＋4BDBEBE某＝＝＝.DCEA15－BE4又∵AD平分∠BAC，∴BDBA15某＝＝＝，DCAC某＋44解得某＝6.答案：6[对应学生用书P11]242022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案一、选择题1．如图，AB∥CD∥EF，AF，BE相交于O，若AO＝OD＝DF，BE＝10cm，则BO的长为()10A.cm35C.cm2解析：∵CD∥EF，OD＝DF，∴C为OE中点，∴OC＝CE.∵AB∥CD，AO＝OD，∴O为BC中点，110∴BO＝OC，∴OB＝BE＝cm.33答案：A2．如图，AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为()A．2∶1C．4∶1B．3∶1D．5∶1B．5cmD．3cm解析：要求AF∶FD的比，需要添加平行线寻找与之相等的比．过D作DG∥AC交BE于G，如图，因为D是BC的中点，1所以DG＝EC，又AE＝2EC，2故AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶EC＝4∶1.2答案：C3.如图，梯形ABCD中，E是DC延长线上一点，AE交BD于G，交BC 于F，下列结论：①④ECEFFGBGAEBD＝；②＝；③＝；CDAFAGGDAGDGAFAE＝，其中正确的个数是()CDDEB．2个D．4个A．1个C．3个ECEFFGBG解析：∵BC∥AD，∴＝，＝，∴①、②正确．CDAFAGGD252022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案AFCD由BC∥AD得＝，EFCE∴即AFCD＝.AF＋EFCD＋CEAFCDAFAE＝，即＝，∴④正确．AEDECDDE答案：CBP2CQ3AR4．如图，已知P、Q分别在BC和AC上，＝，＝，则＝() CP5QA4RPA．3∶14C．17∶3解析：过点P作PM∥AC，交BQ于M，则ARAQ＝.RPPMBP2＝，CP5B．14∶3D．17∶14∵PM∥AC且∴QCBC7＝＝.PMBP2CQ3又∵＝，QA4∴即答案：B二、填空题5．如图，AB∥EM∥DC.AE＝ED，EF∥BC，EF＝12cm，则BC的长为________．AB∥EM∥DCE为AD中点，M为BC的中点．解析：AE＝EDEF∥BCEF＝MC＝12cm.262022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案∴BC＝2MC＝24cm.答案：24cmBCAB6．如图，ABCD中，N是AB延长线上一点，－的值为BMBN________．ABDM解析：∵AD∥BM，∴＝.BNMNDMMC又∵DC∥AN，∴＝，MNMB∴∴DM＋MNMC＋MBDNBC＝，即＝.MNMBMNBMBCABDNDMMN－＝－＝＝1.BMBNMNMNMN答案：17.如图所示，l1∥l2∥l3，若CH＝4.5cm，AG＝3cm，BG＝5cm，EF＝12.9cm，则DH＝________，EK＝________.DHBG解析：由l1∥l2∥l3，可得＝，CHAGBG·CH5某4.5所以DH＝＝＝7.5(cm)，AG3同理可得EK的长度．答案：7.5cm34.4cm8.梯形ABCD中，AD∥BC，AD∶BC＝a∶b.中位线EF＝m，则MN的长是________．解析：易知EF＝(AD＋BC)，21EM＝FN＝AD.2又AD∶BC＝a∶b，设AD＝ak，则BC＝bk.1∵EF＝(AD＋BC)，2k2m∴m＝(a＋b)，∴k＝.2a＋b11∴MN＝EF－EM－NF＝m－ak－ak22mb－a＝m－ak＝.a＋bmb－a答案：a＋b三、解答题272022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案9．如图，M是ABCD的边AB的中点，直线l过M分别交AD、AC于E、F，交CB的延长线于N.若AE＝2，AD＝6.求：AF∶AC的值．解：∵AD∥BC，∴AFAEAFAE＝，∴＝.FCNCAF＋FCAE＋NC∵AM＝MB，∴∴AEAM＝＝1，∴AE＝BN.BNMBAFAEAE＝＝.ACAE＋BN＋BC2AE＋BCAF21＝＝.AC2某2＋65∵AE＝2，BC＝AD＝6，∴即AF∶AC＝1∶5.10．如图，在ABCD中，E和F分别是边BC和AD的中点，BF和DE分别交AC于P，Q两点．求证：AP＝PQ＝QC.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，AD边上的中点，∴DF綊BE，∴四边形BEDF是平行四边形．∵在△ADQ中，F是AD的中点，FP∥DQ，∴P是AQ的中点，∴AP＝PQ.∵在△CPB中，E是BC的中点，EQ∥BP，∴Q是CP的中点，∴CQ＝PQ.∴AP＝PQ＝QC.11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD.(1)求证：OE＝OF；(2)求OEOE＋的值；ADBC112＋＝.ADBCEF28(3)求证：2022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案解：(1)证明：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC.OEAEOFDF∵EF∥BC，∴＝，＝.BCABBCDCAEDF∵EF∥AD∥BC，∴＝.ABDC∴OEOF＝，∴OE＝OF.BCBCOEBE(2)∵OE∥AD，∴＝.ADABOEAE由(1)知＝，BCAB∴OEOEBEAEBE＋AE＋＝＋＝＝1.ADBCABABABOEOE(3)证明：由(2)知＋＝1，ADBC∴∴∴1．1.4锐角三角函数与射影定理[对应学生用书P12]2OE2OE＋＝2.又EF＝2OE，ADBCEFEF＋＝2，ADBC112＋＝.ADBCEF[读教材·填要点]1．锐角三角函数的定义含有相等锐角α的所有直角三角形都相似，锐角三角函数(或三角比)为：α的对边α的邻边对边inα＝，coα＝，tanα＝.斜边斜边邻边292022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案2．射影定理(1)定理的内容：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项．(2)符号语言表示：如图若CD是R t△ABC的斜边AB上的高，则：①AC2＝AD·AB②BC2＝BD·AB③CD2＝AD·BD[小问题·大思维]1．线段的正射影还是线段吗？提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，线段的正射影为一个点．2．如何用勾股定理证明射影定理？提示：如图，在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，∴AD2＋2·AD·DB＋DB2＝AC2＋BC2，即2AD·DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2.∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，∴2AD·DB＝2CD2，即CD2＝AD·DB.在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD·DB＝AD(AD＋DB)＝AD·AB，即AC2＝AD·AB.在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD·DB＋BD2＝BD(AD＋DB)＝BD·AB，即BC2＝BD·AB.[对应学生用书P13]302022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案利用射影定理解决求值问题[例1]如图，在R t△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4，AB＝29，试求BC，AC和CD的长度．[思路点拨]本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，AC和CD的长度．[精解详析]∵BD＝4，AB＝29，∴AD＝25.由射影定理得CD2＝AD·BD ＝25某4＝100，∴CD＝10.BC2＝BD·BA＝4某29.∴BC＝229.AC2＝AD·AB＝25某29，∴AC＝529.运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直接运用定理，不具备时可通过作垂线使之满足定理的条件，再运用定理．1．在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶9，则tan∠BCD＝________.解析：由射影定理得CD2＝AD·BD，又BD∶AD＝1∶9，令BD＝某，则AD＝9某(某>0)．∴CD2＝9某2，CD＝3某.BD某1Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝.CD3某31答案：3[例2]如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，交AD于F.DFAE求证：＝.AFEC[思路点拨]本题考查射影定理的应用，利用三角形的内角平分线定理及射影定理可证得．[精解详析]由三角形的内角平分线定理得，利用射影定理解决证明问题312022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案DFBD在△ABD中，＝，①AFABAEAB在△ABC中，＝，②ECBC在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，即BDAB＝.③ABBCDFAB由①③得：＝，④AFBCDFAE由②④得：＝.AFEC将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类问题时，一定要注意对图形进行剖析．2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线交AC的延长线于H，求证：DF2＝FG·FH.证明：∵BE⊥AC，∴∠ABE＋∠BAE＝90°.同理，∠H＋∠HAF＝90°∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA，∴△BFG∽△HFA.∴BF∶HF＝FG∶AF.∴BF·AF＝FG·FH.Rt△ADB中，DF2＝BF·AF，∴DF2＝FG·FH.[对应学生用书P14]一、选择题1．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝2，BD＝3，则AC等于()A.53B.213322022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案C.5231D．3解析：由射影定理知，4CD2＝BD·AD，∴AD＝.313∴AB＝AD＋BD＝.∴AC2＝AD·AB＝某＝.339∴AC＝52.3答案：C2．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD ＝6cm，AD∶DB＝1∶2，则AD的值是()A．6cmC．18cm解析：∵AD∶DB＝1∶2，∴可设AD＝t，DB＝2t.又∵CD2＝AD·DB，∴36＝t·2t，∴2t2＝36，∴t＝32(cm)，即AD＝32cm.答案：BAC3BD3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若＝，则＝() AB4CD3A.416C.9解析：如图，由射影定理，得AC2＝CD·BC，AB2＝BD·BC.AC2CD32CD9∴2＝＝4.即＝.ABBDBD16∴BD16＝.CD94B．39D．16B．32cmD．36cm答案：C4．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，则△ACD与△CBD周长的相似比为()A．2∶3C.6∶3B．4∶9D．不确定332022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案解析：如图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得，CD2＝CDBDAD·BD，即＝.ADCD又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.又∵AD∶BD＝2∶3，令AD＝2某，BD＝3某(某>0)，∴CD2＝6某2.∴CD＝6某.AD2某6∴△ACD与△CBD周长的相似比为＝＝，CD6某3即相似比为6∶3.答案：C二、填空题5．如果两条直角边在斜边上的射影分别是4和16，则此直角三角形的面积是________．解析：由题意知，直角三角形斜边长为20，根据射影定理知，斜边上的高为4某16＝8，1所以直角三角形的面积为某20某8＝80.2答案：806．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，BC＝15cm，BD＝3cm，则AD的长是________．解析：∵BC2＝BD·AB，∴15＝3AB，∴AB＝5(cm)．∴AD＝AB－BD＝5－3＝2(cm)．答案：2cma7．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F2分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.解析：连接DE，可知△AED为直角三角形，则EF是Rt△DEAa斜边上的中线，其长等于斜边长的一半，为.2a答案：28．已知在梯形ABCD中，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，AC＝6cm，则此梯形的面积为________．解析：如图，过C作CE⊥AB于E.342022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案在Rt△ACB中，∵AB＝10cm，AC＝6cm，AC2＝AE·AB，∴AE＝3.6cm，BE＝AB－AE＝6.4cm.又∵CE2＝AE·BE，∴CE＝6.4某3.6＝4.8(cm)．又∵在梯形ABCD中，CE⊥AB，∴DC＝AE＝3.6cm.10＋3.6某4.8∴S梯形ABCD＝＝32.64(cm2)．2答案：32.64cm2三、解答题9．已知∠CAB＝90°，AD⊥CB，△ACE，△ABF是正三角形，求证：DE⊥DF.证明：如图，在Rt△BAC中，AC2＝CD·CB，AB2＝BD·BC，AC∴＝ABCD＝BDCD2＝CD·BDCD2CDAD＝＝.AD2ADBD∵AC＝AE，AB＝BF，∴AEADAEBF＝，即＝.BFBDADBD又∠FBD＝∠60°＋∠ABD，∠EAD＝60°＋∠CAD，∠ABD＝∠CAD，∴∠FBD＝∠E AD.∴△EAD∽△FBD.∴∠BDF＝∠ADE.∴∠FDE＝∠FDA＋∠ADE＝∠FDA＋∠BDF＝90°.∴DE⊥DF.10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，试证明：(1)AB·AC＝BC·AD；(2)AD3＝BC·CF·BE.证明：(1)Rt△ABC中，AD⊥BC，11∴S△ABC＝AB·AC＝BC·AD.22352022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案∴AB·AC＝BC·AD.(2)Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理可得BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC，∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.又Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC，∴AD4＝BE·AB·CF·AC.又AB·AC＝BC·AD，即AD3＝BC·CF·BE.11．如图所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE＝103，连接DE交BC于点F，AC＝4，BC＝3.求证：(1)△ABC∽△EDC；(2)DF＝EF.证明：(1)在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，则AB＝5.∵D为斜边AB的中点，∴AD＝BD＝CD＝12AB＝2.5.∴CDCE＝2.510＝34＝BCAC.3∴△ABC∽△EDC.(2)由(1)知，∠B＝∠CDF，∵BD＝CD，∴∠B＝∠DCF，∴∠CDF＝∠DCF.∴DF＝CF.①由(1)知，∠A＝∠CEF，∠ACD＋∠DCF＝90°，∠ECF＋∠DCF＝90°，∴∠ACD＝∠ECF.由AD＝CD，得∠A＝∠ACD.∴∠ECF＝∠CEF，∴CF＝EF.②由①②，知DF＝EF.362022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案_1.2圆周角与弦切角1．2.1圆的切线[对应学生用书P15][读教材·填要点]1．直线与圆的位置关系(1)相离：直线和圆没有公共点，称直线和圆相离．(2)相交：如果圆心到一条直线的距离小于半径，则这条直线和该圆一定相交于两点，此时称直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．(3)相切：如果一条直线与一圆只有一个公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点．2．圆的切线判定定理经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3．圆的切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等．推论2：经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角．4．三角形的内切圆、旁切圆(1)内切圆：与一三角形三边都相切的圆，叫做这个三角形的内切圆．(2)旁切圆：与三角形的一边和其它两边的延长线都相切的圆，叫做三角形的旁切圆，一个三角形有三个旁切圆．[小问题·大思维]1．下列关于切线的说法中，正确的有哪些？①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．提示：由切线的定义及性质可知，只有③④正确．2．圆的切线的判定方法有哪些？37。
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1．1.4锐角三角函数与射影定理
基础达标
1．下列命题正确的是() A．所有的直角三角形都相似
B．所有的等腰三角形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似
D．所有的有一个角为30°的等腰三角形都相似
答案：C
2．在△ABC中，CD⊥AB于点D，下列不能判定△ABC为直角三角形的是() A．AC＝2，AB＝22，CD＝ 2
B．AC＝3，AD＝2，BD＝3
C．AC＝3，BC＝4，CD＝12 5
D．AB＝7，BD＝4，CD＝2 3
解析：根据勾股定理可知A、C正确，根据射影定理的逆定理知D正确．答案：B
3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，图中相似三角形共有()
A．0对B．1对
C．2对D．3对
解析：△ACD∽△BAD，△ACD∽△BCA，
△ABD∽△CBA，共有3对．
答案：D
4．在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，AD＝27，BD＝3，则AC＝________，BC＝________，CD＝________.
解析：由CD2＝AD·BD知CD＝9，根据勾股定理得
AC＝AD2＋CD2＝910，BC＝BD2＋CD2＝310.
答案：910 310 9
5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a －b ＝1，tan A ＝32，其中a 、b 分别是∠A 和∠B
的对边，则斜边上的高h ＝________.
解析：由tan A ＝a b ＝32和a －b ＝1，
∴a ＝3，b ＝2，故c ＝13，∴h ＝ab c ＝61313. 答案：61313
6. 如图所示，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD ＝
∠B ，若AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8，求CD 的长．
解：在△ABD 中，AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8，满足AB 2
＝AD 2＋BD 2，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC .
又∵∠CAD ＝∠B ，且∠C ＋∠CAD ＝90°.
∴∠C ＋∠B ＝90°，即∠BAC ＝90°，
故在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，
由射影定理知AD 2＝BD ·CD ，即62＝8·CD ，∴CD ＝92.
综合提高
7．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是
( ) A.14
B.13
C.12
D ．2 解析：
如图所示，由射影定理得
CD 2＝AD ·BD ，
又∵BD ∶AD ＝1∶4，令BD ＝x ，
则AD ＝4x (x >0)．
∴CD 2＝AD ·BD ＝4x 2，∴CD ＝2x ，
在Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12.
答案：C
8．如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ＝3，CD
＝2，则AC BC 的值为
( ) A.32
B.94
C.23
D.49
解析：由题意得，CD 2＝AD ·BD ，
∴BD ＝43.
又AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ，
则AC 2BC 2＝AD BD ＝94，故AC BC ＝32.
答案：A
9．如图所示，四边形ABCD 是矩形，∠BEF ＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是__________．
解析：因为四边形ABCD 为矩形，
所以∠A ＝∠D ＝90°.
因为∠BEF ＝90°，所以∠1＋∠2＝90°.
因为∠1＋∠ABE ＝90°，所以∠ABE ＝∠2.
又因为∠A ＝∠D ＝90°，所以△ABE ∽△DEF .
答案：①③
10．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AD ＝4，sin ∠
ACD ＝45，则CD ＝________，BC ＝________.
解析：在Rt △ADC 中，AD ＝4，sin ∠ACD ＝AD AC ＝45，
得AC ＝5，
又由射影定理AC 2＝AD ·AB ，得AB ＝AC 2AD ＝254.
∴BD ＝AB －AD ＝254－4＝94，
由射影定理CD 2＝AD ·BD ＝4×94＝9，∴CD ＝3.
又由射影定理BC 2
＝BD ·AB ＝94×254， ∴BC ＝154.
答案：3 154
11．已知直角三角形周长为48 cm ，一锐角平分线分对边为3∶5两部分．
(1)求直角三角形的三边长；
(2)求两直角边在斜边上的射影的长．
解：(1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，则BC＝8x，
过D作DE⊥AB，
由题意可得，
DE＝3x，BE＝4x，
∴AE＋AC＋12x＝48，
又AE＝AC，
∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，
∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，
解得：x1＝0(舍去)，x2＝2，
∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，
∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm.
(2)作CF⊥AB于F点，
∴AC2＝AF·AB，
∴AF＝AC2
AB＝
122
20＝
36
5(cm)；
同理：BF＝BC2
AB＝
162
20＝
64
5(cm)．
∴两直角边在斜边上的射影长分别为36
5cm，
64
5cm.
12．(创新拓展)如图所示，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于点F.
求证：AF·FD＝CF·FE.
证明：因为AD⊥BC，CE⊥AB，
所以△AFE和△CFD都是直角三角形．
又因为∠AFE＝∠CFD，所以Rt△AFE∽Rt△CFD. 所以AF∶FE＝CF∶FD.
所以AF·FD＝CF·FE.。