华工概率论2010-1答案
东华理工大学概率论与数理统计练习册答案_
一、选择题
1．答案：（B）
2. 答案：（B）
3．答案：（C）
4. 答案：（C）
注:C成立的条件:A与B互不相容.
5. 答案：（C）
注:C成立的条件:A与B互不相容,即.
6. 答案：（D）
注:由C得出A+B=.
7. 答案：（C）
8. 答案：（D）
Байду номын сангаас
注：选项B由于
9.答案：（C）
注：古典概型中事件A发生的概率为.
.
12.答案：（D） 解：对任意的；选项C描述的是服从指数分布的随机变量的“无记忆 性”；对于指数分布而言，要求参数. 13.答案：（A） 解：选项A改为，才是正确的；
； . 14.答案：（B） 解：由于随机变量X服从(1,6)上的均匀分布,所以X的概率密度函数为.
而方程有实根，当且仅当，因此方程有实根的概率为 .
P(A|B)=.
15.答案：（D）
解：用A表示事件“密码最终能被译出”，由于只要至少有一人能译出
密码，则密码最终能被译出，因此事件A包含的情况有“恰有一人译出
密码”，“恰有两人译出密码”，“恰有三人译出密码”，“四人都译
出密码”，情况比较复杂，所以我们可以考虑A的对立事件“密码最终
没能被译出”，事件只包含一种情况，即“四人都没有译出密码”，
二、填空题
1.{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，反，
反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，
反，正）}
2.或
3．0.3，0.5 解：若A与B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B），于是 P（B）=P（A+B）-P（A）=0.7-0.4=0.3； 若A与B独立，则P（AB）=P（A）P（B），于是 由P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）， 得. 4.0.7 解：由题设P（AB）=P（A）P（B|A）=0.4，于是 P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.5+0.6-0.4=0.7. 5.0.3 解：因为P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB），又，所以. 6.0.6 解：由题设P（A）=0.7，P（）=0.3，利用公式知 =0.7-0.3=0.4，故. 7.7/12 解：因为P（AB）=0，所以P（ABC）=0，于是 . 8.1/4 解：因为 由题设 ，
2010概率论与数理统计习题解答1
Ai
n
Aj
ji, j1
Ai Aj
1i jn
5. 设 P(A) a, P(B) b, P(A B) c 。求 P(AB), P(AB), P(AB) 。
解：
P(AB) P(A) P(B) P( A B) a b c; P(AB) P(A) P( AB) a (a b c) c b; ( P(A B) P(B)) P(AB) 1 P(A B) 1 c.
(2) 昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛；
P(WE) P(W ) P(WE) 0.125 0.025 0.1.
(3) 昆虫未出现残翅，也无退化性眼睛。
P(WE) P(W E) 1 P(W E) 1 0.175 0.825 。
1.8 设 A 和 B 是两个事件， P(A) 0.6, P(B) 0.8 。试问：
5
Байду номын сангаас
3
3
2
52 13
。
按照第二种理解，出现该花色分布的取法数可如此计算： 先从四种花色中任取一色，在此花色中取 5 张；再从余下的三种花色中任取一色，在此花色 中取 2 张；在剩下的两种花色中各取 3 张。按乘法原理，共有
种取法。故概率为
413 3131313
若两个产品是依次抽取的，它们的编号按抽中的顺序形成一个排列，以此排列作为样本
点，则 2 {(a,b) : a,b 1, 2,3, 4,5}。
(5) 检查两件产品是否合格。 一件产品合格记为 G，不合格记为 B。以两件产品各自的合格与否的状况形成的排列作为样
华南理工大学概率论与数理统计考试试卷及答案
二、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有关。
一付52张的牌（四种花色：黑桃、红心、方块、梅花各13张，即2-10、J=11、Q=12、K=13、A=14），求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率；（2）3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率；（3）3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率。
三、（10分）某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险人物的概率是0.02；而危险人物又被误认为非危险人物的概率是0.05。
假设过关人中有96%是非危险人物。
问：（1）在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率？（2）如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率，至少需安设多少道这样的检查关卡？四、（8分）随机变量X 服从),(2σμN ，求)0( >=a a Y X 的密度函数五、（12分）设随机变量X、Y的联合分布律为：已知E(X+Y)=0，求：(1)a，b；（2）X的概率分布函数；（3）E(XY)。
六、（10分）某学校北区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p进行调查。
决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。
设调查了n个同学，其中在北区食堂用过餐的学生数为m，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10% 以内，问n应取多大？七、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域：{}b y a x <<<<0,0上服从均匀分布。
（1）求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度；（2）已知36,12==DY DX ，求参数a 、b ；（3）判断随机变量X 与Y 是否相互独立？八、（8分）证明：对连续型随机变量ξ，如果c E =3||ξ存在，则0>∀t ，3)|(|t ct P ≤>ξ。
九、（12分）设（X ，Y ）的密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他010,10,),(y x Axy y x f 求（1）常数A ；（2）P(X<0.4，Y<1.3)；（3）sY tX Ee +；（4）EX ，DX ，Cov(X ，Y)。
201001概率统计B答案题
华东理工大学2009–2010学年第一学期《概率论与数理统计》期末考试试卷B 答案 2010.01开课学院： 理学院， 专业：大面积， 考试形式：闭卷， 所需时间120分钟 考生姓名： 学号： 班级 任课教师题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 评卷人附表：975.0)96.1(=Φ;0860.2)20(975.0=t ;59.3)11,9(,91.3)9,11(975.0975.0==F F 。
一、（共8分）已知有3个箱子，第一个箱子中有4个黑球，2个白球，第二个箱子中有3个黑球，3个白球，第三个箱子中有5个黑球，1个白球，现随机取一个球。
（1）求取出的为黑球的概率；（2）已知取出的为黑球，求此球来源于第一个箱子的概率。
解 设 A ={取出的为黑球} ，i B ={取第i 个箱子} 。
(1)由全概率公式就可求出事件A 的概率)()()()()()()(332211B A P B P B A P B P B A P B P A P ++=32653163316431=⨯+⨯+⨯= (2)由Bayes 公式可以得到)()()()()()(1111A P B A P B P A P AB P A B P ==.3/13/29/2==二．（共8分）某单位设置一台电话总机,共有200个分机。
设每个分机在任一时刻使用外线通话的概率为5%,各个分机使用外线与否是相互独立的，该单位需要多少外线,才能以97.5%的概率保证各个分机通话时有足够的外线可供使用？ 解 设ξ是要使用外线的分机数，ξ～),(p n b ,200=n ,05.0=p 。
近似有 ξ～),(npq np N ，其中 1005.0200=⨯=np ，5.995.010=⨯=npq 。
设k 是需要设置的外线数。
根据题意，各个分机通话时有足够的外线可供使用，即 k ≤ξ 的概率要大于97.5％，即要有}{k P ≤ξ≈975.0)5.910(≥-Φk 。
华南理工大学2007~2010年概率论A卷(含答案)
2007《概率论与数理统计》试卷A 卷注：标准正态分布的分布函数值Φ（2.33）=0.9901；Φ（2.48）=0.9934；Φ（1.67）=0.9525一、 选择题（每题3分，共18分）1.设A 、B 均为非零概率事件，且A ⊂B 成立，则 （ ）A. P(A ⋃B)=P(A)+P(B)B. P(AB)=P(A)P(B)C. P(A ︱B)=)()(B P A P D. P(A-B)=P(A)-P(B) 2. 掷三枚均匀硬币，若A={两个正面，一个反面}，则有P(A)= ( )A.1/2B.1/4C.3/8D.1/8 3. 对于任意两个随机变量ξ和η，若E(ξη)=E ξE η,则有 （ ）A. D(ξη)=D ξD ηB. D(ξ+η)=D ξ+D ηC. ξ和η独立D. ξ和η不独立4. 设P(x)=⎩⎨⎧∉∈],0[,0],0[,sin 2ππA x A x x 。
若P(x)是某随机变量的密度函数，则常数A= （ ）A.1/2B.1/3C.1D.3/25. 若ξ1，ξ2，…，ξ6相互独立，分布都服从N(u, 2σ),则Z=∑=-6122)(1i iu ξσ的密度函数最可能是 （ ）A. f(z)=⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,00,1612/2z z e z z B. f(z)=+∞<<-∞z e z ,12112/2π C. f(z)=+∞<<-∞-z e z,12112/2πD. f(z)= ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-0,00,1612/2z z e z z6.设（ξ，η）服从二维正态分布，则下列说法中错误的是 （ ） A.（ξ，η）的边际分布仍然是正态分布B.由（ξ，η）的边际分布可完全确定（ξ，η）的联合分布C. （ξ，η）为二维连续性随机变量D. ξ与η相互独立的充要条件为ξ与η的相关系数为0二、填空题（每空3分，共27分）1. 设随机变量X 服从普阿松分布，且P(X=3)=234-e ，则EX= 。
华工概率论2010-1答案
二、解：设 A={从事某职业的可疑病人}，B=｛患有肺癌｝
2分 4分 8分
P( A) = 0.45 ， P (A ) = 0.55 ， P(B A) = 0.9 ， P B A = 0.05
（1） P (B ) = P ( A)P B A + P A P B A = 0.4325 （2） P A B =
n n
5分
n
∑ ξ i ， Eη = ∑ Eξ i = 0 ， Dη = ∑ Dξ i =
i =1 i =1 i =1
n 3
7分
⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎛ ⎛ 3⎪ 3⎞ 3⎞ ⎪ η ⎟ − Φ⎜ − 10 ⎟ ≥ 0.99 P{η < 10} = P ⎨ < 10 ⎬ ≈ Φ⎜ 10 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n n n n ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎩ ⎭
1.5
{ξ
< y} = 0 ，
d Fη (y ) = 0 ， 3 分 dy
当 y > 0 时， Fη (y ) = P{ η < y} = P
{ξ
< y} = P(- y < ξ < y )
7分
y⎞ ⎛ξ y⎞ ⎛ξ ⎛y⎞ ⎛ y⎞ = P(ξ < y ) - P(ξ < -y) = P⎜ < ⎟ - P⎜ < - ⎟ = Φ⎜ ⎟ - Φ⎜ - ⎟ σ⎠ ⎝σ σ ⎠ ⎝σ ⎝σ ⎠ ⎝ σ ⎠
P (D1 ) = 0.05 ， P(D2 ) = 0.10 ， P(D3 ) = 0.25
5分
Ei =｛表示第二种工艺下的第 i 道工序生产的废品｝ ，i=1，2
P (E1 ) = P (E 2 ) = 0.10
华东理工大学-概率论与数理统计-附参考答案
华东理工大学《概率论与数理统计》课程 期末考试试卷开课学院：理学院，专业：数学系 考试形式：闭 卷，所需时间120分钟考生姓名： 学号： 班级 任课教师一、填空题（每题4分，共计24分）1、设随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1x F x Ax x x <⎧⎪=≤≤⎨>⎪⎩,则)211(<<-X P ＝ 0.5 ，2、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且(1)(2)1E x x --=，则λ＝ 13、用(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y 表示概率(0)P Y a <≤＝(,)(,0)F a F +∞-+∞4、已知随机变量221122~(,),~(,),X N Y N μσμσ且相互独立，设随机变量Z X Y =+，则~Z 221212(,)N μμσσ++ 5、121,,,n X X X 为X 的样本，~(0,)X U θ，记11n i i X X n ==∑，则EX ＝ 2θ6、设总体X 服从正态分布2(0,2)N ，1215,,,X X X 是来自正态总体的简单随机样本，则随机变量221102211152()X X Y X X ++=++～(10,5)F二、选择题（每题3分，共计24分）1、设A 和B 是两个互斥事件，()0,()0P A P B >>，则下列结论正确的（ D ） （A ）()()P A B P A =； （B ）A 与B 不相容； （C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()0P A B =2、已知随机事件,A B 为两相互独立的随机事件，()0.6P A B ⋃=，()0.4P A =，则()P B＝（ B ） （A ）21; （B ）31; （C ）41; （D ）513、已知5)2(=+ηξD ，1)2(=-ηξD ，则ξ与η的协方差=),(Cov ηξ （ D ）。
（A ）0.2; （B ）0.3; （C ）0.4; （D ）0.5 4、已知离散型随机变量ξ的概率分布为用切比雪夫不等式估计 ≥<-}5.1{ξξE P （ D ） 。
概率论与数理统计习题解答 华南理工大学出版社
第一章
1-7 已知10个电子管中有7个正品和3个次品，每次任意抽
取1个来测试，测试后不再放回去，直至把3个次品都找到为 止，求需要测试7次的概率。
解
p
C31P62 P74 P170
1 8
1-10 房间中有4个人，试问没有2个人的生日在同一个月
份的概率是多少?
解
p
P142 12 4
1-13 将3个球放置到4个盒子中去，求下列事件的概率:（1）
P( AC BC ) P( AC) P(BC ) P( ABC) P( A)P(C) P(B)P(C) P( A)P(B)P(C) P(C)[P( A) P(B) P( A)P(B)] P(C)P( A B) A B与C相互独立。
7、解：(1)
A={点数之和为偶数} B={点数之和等于8}
rA 18 B {(2,6) , (6,2) , (3,5) ，(5,3) ，(4,4)} P(B A) P( AB) P(B) 5 / 36 5
P( A) P( A) 18 / 36 18
8、解：设Ai={第i人破译出密码} i=1,2,3
100
100
0.9524
P(C) P(A1)P(A2)P(A3) 0.95243 0.8639
22、解： Ai={产品来自第i箱}
B={产品是合格品} C={产品经检验为合格品}
3
(1) P(B) P(B Ai )P( Ai ) i 1 20 1 12 1 17 1 20 5 3 12 4 3 17 5 3 0.775
P(C) P(C B)P(B) P(C B )P(B )
华南理工大学2007~2010年概率论试卷答案
2007级概率论与数理统计试卷A 卷参考答案一、1. C注释：由“A ⊂B 成立”得P(A)=P(AB) ()()(|)()()P AB P A P A B P B P B ==故2. C3. B 注释：参考课本86页4.B 2sin 1A xdx π=⎰0注释： ?5.6. B A 项参见课本64页，D 项参见课本86页二、 1. 2 注释：若X 服从Poisson 分布，则EX=λ，DX=λ。
（课本84页） 2. 12 注释：cov(X,Y)= r X Y DX DY ⋅⋅。
（参考课本86页） 3. 1/5 注释：运用等比求和公式S=1(1)1na q q--4. 38.4 注释：22()(),(,),,E D E B n p E np D npq ξξξξξξ=+== 对于 5．p(x)=,00,0x e x x λλ-⎧>⎨≤⎩,211,E D ξξλλ==6. 0.2 注释：类似2006级试卷填空题第6题7.2/5三、（1）1/20; (2)14/15 注释：（1）P(A)=224431078910C C C，表示从、、、这四个数中选两个;（2）B =“三个号码中既含4又含6” 四、（1）C=4; (2)112()-2{1}41-3e ;xx y P dx edy ξη--++<==⎰⎰(3)222__02__0(),()0_____00_____0()()(,),x y e x e y p x p y x y p x p y p x y ξηξηξη--⎧⎧≥≥==⎨⎨<<⎩⎩⋅=因故与独立？(4)2222022112,2221()41124xxE x edx E x edx D E E E D ξηξηξξξξξηη+∞+∞--=⋅==⋅==-===⎰⎰与独立，所以cov(,)=0故同理，，五、 0.9979 注释：运用全概率公式，类似2006级试卷第三题 六、0.9525100(100,0.9),))85{85)1)1( 1.67)(1.67)0.9525X X B P X ⨯⨯≈Φ-Φ≥≈-Φ=-Φ-=Φ=注释：设这个部件中没有损坏部件数为， 则服从二项分布且有______EX=np=1000.9=90,DX=npq=900.1=9由拉普拉斯定理，b-EX a-EX P{a<X<b}((DXDX故至少须有个部件工作的概率为：85-90(9七、M=160,X ⨯⨯⨯≈⨯⨯≥≥≤≥≤注释：设出事人数为则有X B(5000000,0.0003)EX=50000000.0003=1500,DX=50000000.00030.99971500若要以99%的概率保证保险公司在此项保险中获得60万元以上的利润，则P{5000000M (1-40%)-X 300000600000}99%得P{X 10M-2}99%X-150010M-2-1500故需满足P{15001}99%99% 2.33159.22,160M M ≥Φ≥≈Φ≥=50010M-2-1500即（）（）1500解得故八、（1）课本98页辛欣大数定理（2）22222n 11221222211()0(1)()0()()[()]()211_____0(1)()()211,2,3,,()()0112)()2n n n n n n n kn kk k n n k k E n n nnn D E E E n n nnnk E E nn D n nnnξξξξξξξξξξξ++==+==⋅-+⋅+-⋅==-==⋅-+⋅+-⋅===⋅⋅⋅====⋅=∑∑∑由于令则______________________ D(由契比雪夫2n 0,2()|}1lim ()|}1}n n n n n E n E εξξεεξξεξ→∞>-<≥--<=不等式，对任意的有________________P{|故有P{|即{服从大数定律2008年概率论与数理统计试卷A 卷参考答案一、1.D 1(1)()X u u uP X u P σσ-+-≤+=≤注释：=1()σΦ2.C 注释：参考课本第8页3.A 注释：连续型随机变量在某一个点上的概率取值为零，故A 正确 ？B 项是否正确4.B 注释：参考课本86页5.A 二、 1. 1.33(或者填13591024) 2．25 注释：参考课本86页 3. 0.254. （X+Y ）～B(7,p)注释：E(X)=3p,E(Y)=4p,故E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3p+4p=7p;D(X)=3p(1-p),D(Y)=4p(1-p)且X 、Y 独立，故D(X+Y)=D(X)+D(Y)= 3p(1-p)+ 4p(1-p) 设（X+Y ）～B(n,P),则有E (X +Y )=7p=nPD (X +Y )=3p(1-p)+4p(1-p)=nP(1-P)⎧⎨⎩解得n=7,P=p5. 2/52215041()5b 4(2)41(54)0,1 4.112555X f x ac X X X X P dx dx =∆=-=-⨯⨯-≥≤≥=+=⎰⎰的密度函数为方程有实根，则必须满足即或者故方程有实根的概率6. 0.3522(35)112(35),9322242{24}0.15,{}0.15333200.1532233202222}33333E X EX D X D X D X X P X P X σσσσσσσσσσσσσσ+==+===---<<=<<=ΦΦ=-ΦΦ----<=ΦΦΦ由得由得因故所以（）-（）所以（）-（）=0.3P{X<0}=P{（）=[1-（）-（）]/2______=[1-0.3]/2=0.35?7. 相关 三、四、1__1___30.3_0.5_0.2(1)0.310.530.20.8X EX -⎛⎫⎪⎝⎭=-⨯+⨯+⨯=五、1022201____02(1)()1___021____02()11_0211(2)(510)1)(2211(322_____012xx xx xxxe xf x e x e x F x e x P X eex e dx x e dx EXx e dx x ---∞--∞-∞⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩-<<=--⋅+⋅===⋅+⋅⎰⎰⎰0+0由题意故（）EX=221211___[22][22(2xxxxe dx x e xe e xD X EX ∞--∞=-++-=-=⎰+2EX)？六、2220001(0.005,0.035)0.0050.03510.02,(0.0350.005)0.000075212a 1(,),,())2120.0250.02520005020000{50}{i i i i i i i ii X i X U EX D X b X U a b EX D X b a Y X Y Y P Y P =+===-=+==-=<⨯=-⨯<=∑设为第台机床生产的次品率（注：对于均匀分布有设总次品率若要满足这批产品的平均次品率小于，则.025020000.02}(25.8)20000.00007520000.000075-⨯<=Φ⨯⨯A=B =B =B =B B B B (B )|)0.50.9|)0.540.83P A ⨯⨯⨯⋅⨯====甲乙丙乙甲丙甲甲甲甲设“取出的产品是正品”； 取出的产品是甲厂生产的” 取出的产品是乙厂生产的” 取出的产品是丙厂生产的”则P(A)=P(A )+P(A )+P(A )=0.50.9+0.30.8+0.20.7=0.83P(A )P(A B P(B P(A)P(A)？试卷中没有给出(25.8)Φ的值，且直观上感觉(25.8)Φ的值太大了，故不能肯定题中的做法是否可行 七、____,0_______2________()0__________2________()0__________22(2)0,0a b ababa x ab y b a x a x ab y b y bEX x dx EY y dy a bππππππ--=⎧-≤≤-≤≤⎪⎨⎪⎩⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩=⋅==⋅=⎰⎰椭圆X Y (1)S 1故（x,y)的联合密度函数f(x,y)=ab其它X 的边缘密度函数f 其它Y 的边缘密度函数f 其它222222222222,2424,3344()25,()4335332(3),22()()ab aba b EXx dx EY y dy aba b D X EX EX D Y EY EY a b a x a b y b x y a bπππππππππππ--=⋅==⋅==-===-====-≤≤-≤≤⋅=⋅≠⎰⎰X Y 解得，时，1f f ，故X与Y不独立ab八、555511___________5()1(1)(xzzZ dx zedx eeF z z e ----≤⋅≤≤=-=-=--⋅-⎰⎰1z 1z的分布函数F(z)=P{Z z}=1-P(Z>z)=1-P{min(X,Y)>z}_______________=1-P(X>z,Y>z)=1-P(X>z)P(Y>z)当z 0时，P(X>z)=P(Y>z)=1故F(z)=1-1=0当0<z 1时，P(X>z)=P(Y>z)=故555555)z 1()1010__________________0()1(1)()__0_____________________0()65_______010_____________________1z z z e F z z F z z e e z f z e ze e z z ------>=-=≤⎧⎪=--⋅-≤⎨⎪⎩≤⎧⎪=--<≤⎨⎪>⎩当时，P(X>z)=0故所以0<z 11__________________z>12009年2学分参考答案一、解：设i A ＝｛第i 枚弹道导弹击沉航空母舰｝，i B ＝｛第i 枚弹道导弹击伤航空母舰｝i C ＝｛第i 枚弹道导弹没有击中航空母舰｝，i ＝1，2，3，4D ＝｛发射4枚弹道导弹能击沉航空母舰｝()31=i A P ，()21=i B P ，()61=i C P ，i ＝1，2，3，443214321432143214321B C C UC C B C UC C C B UC C C C UB C C C C D =()()()()()()434432143214321432143216132161461=⨯⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++=B C C C P C B C C P C C B C P C C C B P C C C C P D P()()461311-=-=D P D P = 0.99二、解：（1）A ＝｛同花顺（5张同一花色连续数字构成）｝()55255236)413(4C C A P =-⨯=（只要说明顺子的构成，分子40也算对）（2）A ＝｛3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）｝()5522411234113CC C C C A P =（3）A ＝｛3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）｝()552141421234113C C C C C C A P =三、解：（1）设A ＝｛被查后认为是非危险人物｝， B ＝｛过关的人是非危险人物｝，则()()()()()B A P B P B A P B P A P +=9428.005.004.098.096.0=⨯+⨯= ()()()()998.0==A PB A P B P A B P（2）设需要n 道卡，每道检查系统是相互独立的，则Ci={第i 关危险人物被误认为非危险人物}，{}n n C C P 05.01= ，所以999.005.01≥-n，05.0ln 0001.0ln ≥n ，即1005.0ln 0001.0ln +⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n =[3.0745]+1 = 4 四、解：当1=a 时，1=Y ，则()⎩⎨⎧>≤=1110y y y F Y当10<<a 时，当0≤y 时，()()0=<=y Y P y F Y ，()()0==dyy dF y f Y Y当0>y 时，()()()y a X P y a P y F X Y ln ln <=<=()⎪⎭⎫ ⎝⎛>=a y X P y F Y ln ln ⎪⎭⎫⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=a y a y X P ln ln 1ln ln 1()()222)ln ln (21ln 1σμπσ--⋅-==ay Y Y ea y dyy dF y f当1>a 时，当0≤y 时，()()0=<=y Y P y F Y ，()()0==dyy dF y f Y Y当0>y 时，()⎪⎭⎫ ⎝⎛<=a y X P y F Y ln ln ⎪⎭⎫⎝⎛Φ=a y ln ln ()()222)ln ln (21ln 1σμπσ--⋅==ay Y Y ea y dyy dF y f五、解：（1）E(X+Y)=6.0315.0314.0213.0103.0101.0114.023=+--=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯--⨯--=b a b a174.015.014.013.012.003.002.001.014.0=++=+++++++++b a b a联立解得：17.0=a ，09.0=b （2）X 的概率分布函数：-2-110.17 0.23 0.060.54（3）E(XY)＝8.015.0214.0112.0114.0117.02=⨯+⨯+⨯-⨯+⨯六、解：95.01.0≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-p n m P ，因()()1,0~1N np p pnm--()()95.011.01≥⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<--n p p np p pnm P ，()96.111.0975.0=≥-u np p()()p p n -≥16.192；因为()4/11≤-p p ，取()4/6.192≥n =96.04即97=n七、解：（1）二维随机变量(X,Y)的联合概率密度：⎩⎨⎧<<<<=othersby a x ab y x f ,00,0,/1),(边缘概率密度：⎩⎨⎧<<=othersa x a x f X ,00,/1)(，⎩⎨⎧<<=othersb y b y f Y ,00,/1)(（2）36)12/1(,12)12/1(22====b DY a DX ，312,12==b a （3）随机变量X 与Y 相互独立，因为)()(),(y f x f y x f Y X = 八、解： 333||33||33||||)(||)(||)()|(|tc tE x dF tx x dF tx x dF t P x t x tx ==≤≤=>⎰⎰⎰≥>>ξξ九、解：（1）dx Axydy dxdy y x f ⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∞∞-+∞∞-1010),(4A =＝1，A ＝4 （2）P(X<0.4，Y<1.3)＝16.044.0010=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx xydy （3）⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=++1014dx xydy e Eesytx sYtX ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101114dx dy e s s ye x e sysy txX⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2222114t t e t e s s e s e tt s s （4）32410102=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰dx ydy x EX ，214101032=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰dx ydy x EX()91942122=-=-=EX EXDX ，()=XY E 944101022=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx dy y x ()0323294,=⨯-=⋅-=EY EX EXY Y X Cov十、解：（1）设ξ表示该观众答对题数， ,2,1,0=ξ 则第ξ+1次解答答错（即首次出错）。
华南理工大学概率论与数理统计考试试题(含答案)
华南理工大学概率论与数理统计期末考试试题及答案2004-2005学年第一学期一．单项选择题（每小题3分，共15分）1．设事件A和B的概率为则可能为（）(A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/62. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（）(A) ; (B) ; (C) ; (D)以上都不对3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（）(A) ; (B) ; (C) ; (D)以上都不对4．某一随机变量的分布函数为，则F(0)的值为（）(A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（）(A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对二．填空题（每小题3分，共15分）1．设A、B是相互独立的随机事件，P(A)=0.5, P(B)=0.7, 则=_____.2．设随机变量，则n=______.3．随机变量ξ的期望为，标准差为，则=_______.4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。
设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________.5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为，a为常数，则P(ξ≥0)=_______.三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率(1) 4个球全在一个盒子里;(2) 恰有一个盒子有2个球.四．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为(1) 求常数A; (2) 求P(ξ<1)；(3) 求ξ的数学期望.五．(本题10分) 设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是(1) ξ与η是否相互独立? (2) 求的分布及；六．(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？七．(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.八．(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5％，某人要采购一批零件，他希望以95％的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件？(注：,)九．(本题6分)设事件A、B、C相互独立，试证明与C相互独立.某班有50名学生，其中17岁5人，18岁15人，19岁22人，20岁8人，则该班学生年龄的样本均值为________.十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量5次，数据如下（单位：℃）：1820，1834，1831，1816，1824假定重复测量所得温度.估计，求总体温度真值μ的0.95的置信区间. (注：,)解答与评分标准一．1．（D）、2.（D）、3.（A）、4.（C）、5.（C）二．1．0.85、2. n=5、3. =29、4. 0.94、5. 3/4三．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分（1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故P(A)=5/625=1/125------------------------------------------------------5分(2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有种方法----------------------------------------------------7分4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故--------------------------------------------------10分四．解：（1）---------------------3分（2）-------------------------------6分（3）------------------------------------10分五．解：（1）ξ的边缘分布为--------------------------------2分η的边缘分布为---------------------------4分因,故ξ与η不相互独立-------5分（2）的分布列为因此，-------10分另解：若ξ与η相互独立,则应有P(ξ＝0,η＝1)＝P(ξ＝0)P(η＝1); P(ξ＝0,η＝2)＝P(ξ＝0)P(η＝2);P(ξ＝1,η＝1)＝P(ξ＝1)P(η＝1); P(ξ＝1,η＝2)＝P(ξ＝1)P(η＝2);因此，但，故ξ与η不相互独立。
大学专业试卷华南理工大学 理工科专业 《概率论与数理统计》试卷及参考解答
件次品,乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求: (1)乙箱中次品件数X 的数学期望; (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.解 (1)X 的可能值为0,1,2,3,所以X 的概率分布为()()333360,1,2,3k kC C P X k k C -=== 即 X 0 1 2 3P120 920 920 120因此199130123202020202EX =⨯+⨯+⨯+⨯= (2)设A ={从乙箱中任取一件产品是次品},根据全概率公式有(){}{}30191921310202062062064k P A P X k P A X k =====⨯+⨯+⨯+⨯=∑三、（12）某保险公司对一种电视机进行保险，现有9000个用户，各购得此种电视机一台，在保险期内，这种电视机的损坏率为0.001，参加保险的客户每户交付保险费5元，电视机损坏时可向保险公司领取2000元，求保险公司在投保期内:（１）亏本的概率；（２）获利不少于10000元的概率。
解 101,2,,9000i i i i ξ⎧⎨⎩=第台电视机坏设＝第台电视机正常9000900011{1}0.001{0}0.9990.0010.00099999i i i i iii i P P E D E D ξξξξξξ=========≈∑∑保险公司亏，则电视机坏的台数: >9000*5/2000=22.5900090009000122.51(4.5)0i i i i E P P ξξξ=⎧⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎧⎫>=>=-Φ≈⎨⎬⎩⎭⎪⎭∑∑∑ 保险公司获利不少于10000元，则电视机坏的台数:<(9000*5-10000)/2000=17.5900090009000117.5(2.83)(3)(2)(2)(2.832)0.97720.021450.830.99532i i i i E P P ξξξ=⎧⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎧⎫<=<=Φ⎨⎬⎩⎭⎪⎭Φ-Φ=Φ+-=+⨯=-∑∑∑四、（15分)设二维随机变量(),X Y 的概率分布为 YX -1 0 1-1 a 0 0.2 0 0.1 b 0.21 0 0.1 c其中a 、b 、c 为常数，且X 的数学期望0.2EX =- ,{}000.5P Y X ≤≤= ,记Z X Y =+.求: (1) a 、b 、c 的值; (2)Z 的概率分布律; (3){}P X Z =.解 (1)由概率分布的性质可知, 0.61a b c +++=,即0.4a b c ++=. 由0.2EX =-,可得0.1a c -+=-.再由{}{}{}0,00.1000.500.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,解得0.3a b +=.解以上关于a 、b 、c 的三个方程可得, 0.2,0.1,0.1a b c ===. (2)Z 的所有可能取值为-2,-1,0,1,2.则{}{}21,10.2P Z P X Y =-==-=-={}{}{}11,00,10.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-={}{}{}{}01,11,10,00.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==-+==={}{}{}11,00,10.3P Z P X Y P X Y ====+=== {}{}21,10.1P Z P X Y =====所以Z 的概率分布为Z -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1(3) {}{}000.10.10.10.2P X Z P Y b ====++=+=.五、(15分)设随机变量X 的概率密度为()110210 2 40 X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩当当其他令2Y X =,(),F x y 为二维随机变量(),X Y 的分布函数.求:(1)Y 的密度函数()Y f y ; (2) ()cov ,X Y ; (3) 1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解 (1)Y 的分布函数为(){}{}2Y F y P Y y P X y =≤=≤当0y ≤时, ()()0,0Y Y F y f y ==. 当01y <<时,(){{}{00Y F y P X P X P X =≤≤=≤<+≤≤=()Y f y =当14y ≤<时,(){}{11002Y F y P X P X =-≤<+≤≤=()Y f y =当4y ≥时,()()1,0Y Y F y f y ==. 所以Y 的概率密度为()01140 Y y f y y <<⎪=≤<⎪⎩当当其他(2) ()0210111244X EX xf x dx xdx xdx +∞-∞-==+=⎰⎰⎰()022211546X EY EX x f x dx x dx +∞-∞-====⎰⎰()023********248X EXY EX x f x dx x dx x dx +∞-∞-===+=⎰⎰⎰故 ()2cov ,3X Y EXY EX EY =-⋅=(3) 2111,4,4,4222F P X Y P X X ⎛⎫⎧⎫⎧⎫=≤-≤=≤-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭1111,22212224P X X P X P X ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=≤-≤≤=-≤≤-=-≤≤-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭六、（2学分） (10分) 设随机变量X 与Y 独立,其中X 的概率分布为12~0.30.7X ⎛⎫ ⎪⎝⎭而Y 的概率密度为()f y ,求随机变量U X Y =+的概率密度()g u .解 设()F y 是Y 的分布函数,则由全概率公式可知,U X Y =+的分布函数为(){}G u P X Y u =+≤{}{}0.310.72P X Y u X P X Y u X =+≤=++≤={}{}0.3110.722P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=由于X 与Y 独立,得(){}{}()()0.310.720.310.72G u P Y u P Y u F u F u =≤-+≤-=-+-因此,U 的概率密度为()()()()()()0.310.720.310.72g u G u F u F u f u f u '''===-+-=-+-七、（2学分）（10分）已知男子中有5%是色盲患者，女子中有0.25%是色盲患者，若从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解 设A {{抽到一名男性}；B {{抽到一名女性}；C {{抽到一名色盲患者}，由全概率公式得11()(|)()(|)()5%0.25% 2.625%22P C P C A P A P C B P B =+=⨯+⨯=1()()(|)5% 2.5%2P AC P A P C A ==⨯=由贝叶斯公式得()20(|)()21P AC P A C P C ==八、（2学分）(16分)（1）设()12,,, 2n X X X n ≥为独立同分布的随机变量，且均服从()0,1N ，记X =121n i i X n -=∑，() 1,2,,i i Y X X i n =-=. 求:{}10n P Y Y +≤.（2）袋中有a 只红球，b 只白球，c 只黑球。
自考概率论与数理统计2010年1月真题及详解答案
浙04183# 概率论与数理统计（经管类）试题 第 1 页（共 10 页）全国2010年1月高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）试题课程代码：04183一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.若A 与B 互为对（独）立事件，则下式成立的是（ ） A.P （A ⋃B ）=Ω B.P （AB ）=P （A ）P （B ） C.P （A ）=1-P （B ）D.P （AB ）=φ2.将一枚均匀的硬币抛掷三次，恰有一次出现正面的概率为（ C ） A.81 B.41 C.83D.21解：（P21）这是3重贝努利试验，随即变量服从二项式分布：概率为{}8321213)1(12211313113=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=-===-p p C qp C X P3.设A ，B 为两事件，已知P （A ）=31，P （A|B ）=32，53)A |B (P =，则P （B ）=（ ）A. 51B. 52C.53D.54解：因为()()()A P AB P A B P =，所以()()()513153=⨯==A P A B P A B P ，而()()()A B P BA P A P +=即()()()(),1525131=-=-==A B P A P BA P AB P再()()()B P AB P B A P =，最后()()()5132152===B A P AB P B P浙04183# 概率论与数理统计（经管类）试题 第 2 页（共 10 页）4.设随机变量X则k =0.4 A.0.1 B.0.2 C.0.3D.0.4解：k =1－0.2－0.3－0.1=0.45.设随机变量X 的概率密度为f(x)，且f(-x)=f(x),F(x)是X 的分布函数，则对任意的实数a ，有（ ） A.F(-a)=1-⎰a0dx )x (fB.F(-a)=⎰-adx )x (f 21C.F(-a)=F(a)D.F(-a)=2F(a)-1解：∵f(－x)＝f(x),∴可知y ＝f(x)是对处于y 轴，即()()21)(0==+⎰⎰⎰∞---∞-dx x f dx x f dx x f aa，亦即F(-a)+⎰-0)(adx x f ＝21因此，F(-a)＝⎰--)(21adx x f ＝⎰-adx x f 0)(216.则P{XY=0}=（ D ） A. 121 B. 61 C.31D.32解：{}0P XY ==浙04183# 概率论与数理统计（经管类）试题 第 3 页（共 10 页）{}{}{}{}{}0,00,10,21,02,0P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ==+==+==+==+==32611216161121=++++=。
华工《线性代数与概率统计》(工程数学)随堂练习参考答案
《线性代数与概率统计》随堂练习参考答案？（．．．．行列式？．．．．用行列式地定义计算行列式中展开式,地系数=计算行列式=．．．．行列式=．．．．,＝,,计算行列式=?有非零解齐次线性方程组有非零解地条件是=总有设, ,求=．．．．,,设, 满足, 求=．．．．,,,,设,n则=．．．对任意地为对称矩阵．．若则设为,为且,,,则=．．．．．．设,求=．．．．=设均为．．．．均为,都可逆,,,．．．．设,则=?(． B．． D．,=阶矩阵可逆且,则=． B．． D．阶行列式地代数余子式之间地关系是．．．．设矩阵地秩为．中有一个．中任意一个．中任意一个．中有一个地秩为？（求地秩为？（,=地秩,．．用消元法解线性方程组,．．．．有非零解．．．．已知线性方程组：无解则=中未知量个数为设是矩阵齐次线性方程组仅有零解地充分条件是（．地列向量组线性相关．地列向量组线性无关．地行向量组线性无关．地行向量组线性无关=．．求齐次线性方程组地基础解系是（．．．．求齐次线性方程组地基础解系为（）．．．．元非齐次方程组地导出组仅有零解则（）设为矩阵线性方程组地对应导出组为,．若仅有零解则有唯一解有非零解则有无穷多解．若有无穷多解则有非零解有无穷多解则仅有零解．样本空间为,事件“出现奇数点”为．样本空间为,事件“出现奇数点”为．样本空间为,事件“出现奇数点”为．样本空间为,事件“出现奇数点”为．用表示“第一次取到数字,第二次取到数字”则样本空间.．事件可以表示为．事件可以表示为．事件可以表示为用表示“第次射中目标”试用表示．．．用表示“第次射中目标”试用表示．．．．用表示“第次射中目标”试用表示．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．,,,,=．．．．,,,,=?( ) ．．．．．．．．．．．．．．．．甲厂地产品占,乙厂地产品占,品占,甲厂产品地合格率为,乙厂产品地合格率为,格率为,．．．．．．．．．．．．地分布函数为,用分别表示下列各概率：．．．．令地分布函数.． B．． D．可以得为多少？．．．．．．．．地分布列为,？（）．．．．,．．．．．．．．则分别为（地密度函数为则常数．．．．地密度函数为,．．．试求地概率为（．．．．．．．．由某机器生产地螺栓长度服从,规定长度在内．．．地密度函数,说法正确地是（．=0．．．位移函数地多项式形式表示为已知标准正态分布地分布函数为,则有.设~,求概率分别为.X~,则.( )设行列式,则中元素地代数余子式=m n设,,则=.。
华南理工大学概率论和数理统计课后答案
（2） P ( A U B ) = 1 − P ( A U B ) = 1 − P ( A) P ( B ) = 1 − 0.7 × 0.4 = 0.72;
（3） P( B | A) =
P( AB) P( A) P( B) = = 0.4; P( A) P( A) P( AB) P( A) P( B) = = 0.7 P( B) P( B)
所以
P( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
=
1 1 1 Cb Cb Ca +c 1 1 1 Ca + b Ca + b + c Ca + b + 2 c
=
b b+c a a + b a + b + c a + b + 2c
2-11
设 A ={这批货获得通过}， B ={样本中恰有一台次品}， A ={这批空调设备退
（4） P( A | B) =
2-3 因为 AB ⊆ A ⊆ A U B ，所以 P ( AB ) ≤ P ( A) ≤ P ( A U B ) 又因为 P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB) ，所以
P ( AB ) ≤ P ( A) ≤ P ( A U B ) ≤ P ( A) + P ( B )
2-6 设 A1 ={投掷两颗骰子的点数之和为偶数 }，设 A2 ={投掷两颗骰子的点数之和
为奇数}， B1 ={点数和为 8}， B2 ={点数和为 6} 5 1 C C6 P( A1B1 ) 5 = 1 1 = ； （1） P( B1 | A1 ) = 1 1 C3C3 + C3C3 18 P( A1 ) 1 1 C6 C6
华东理工大学概率论答案-1
华东理工大学概率论与数理统计作业簿（第一册）学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________第一次作业一． 填空题：1．设{}20≤≤=x x S ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤=2341x x B ，具体写出下列各事件： B A =1131x 422x x ⎧⎫≤≤<<⎨⎬⎩⎭或者，B A =S ，B A =B ，AB =A 。
2．设A 、B 、C 表示三个随机事件，试将下列事件用A 、B 、C 表示出来：（1）事件ABC 表示A 、B 、C 都发生； (2) 事件ABC 表示A 、B 、C 都不发生； （3）事件ABC 表示A 、B 、C 不都发生；（4）事件A B C 表示A 、B 、C 中至少有一件事件发生；（5）事件AB AC BC 或AB AC BC 表示A 、B 、C 中最多有一事件发生。
二． 选择题：1．设}10,,3,2,1{ =Ω，}5,3,2{=A ，}7,5,4,3{=B ，}7,4,3,1{=C ，则事件=-BC A ( A )。
A.}10,9,8,6,1{B. }5,2{C. }10,9,8,6,2{D. }10,9,8,6,5,2,1{2．对飞机进行两次射击，每次射一弹，设事件=A “恰有一弹击中飞机”, 事件B = “至少有一弹击中飞机”，事件C =“两弹都击中飞机”, 事件=D “两弹都没击中飞机”，又设随机变量ξ为击中飞机的次数，则下列事件中( C )不表示}1{=ξ。
A. 事件AB. 事件C B -C. 事件C B -D. 事件C D -3．设A 、B 是两个事件，且∅≠A ，∅≠B ，则()()B A B A ++表示（ D ）。
A. 必然事件 B. 不可能事件 C. A 与B 不能同时发生 D. A 与B 中恰有一个发生4．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 表示（ D ）。
概率练习册答案[1]
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第一章概率论的基本概念一、选择题1．将一枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为（）A．{（正，正），（反，反），（一正一反）}B.{(反，正)，（正，反），（正，正），（反，反）}C．{一次正面，两次正面，没有正面}D.{先得正面，先得反面}2.设A，B为任意两个事件，则事件(AUB)(Ω-AB)表示（）A．必然事件 B．A与B恰有一个发生C．不可能事件 D．A与B不同时发生3．设A，B为随机事件，则下列各式中正确的是（）.A.P(AB)=P(A)P(B)B.P(A-B)=P(A)－P(B)C. )AP-= D.P(A+B)=P(A)+P(B)BAP(B)(4.设A,B为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是( ).A.P(A－B)=P(A)－P(AB)B.P(AB)=P(B)P(A|B),其中P(B)>0C.P(A+B)=P(A)+P(B)D.P(A)+P(A)=15.若φAB，则下列各式中错误的是（）.≠A．0(≤AB)P)P B.1(≥ABC.P(A+B)=P(A)+P(B)D.P(A-B)≤P(A)6.若φAB,则( ).≠A. A,B为对立事件B.BA=C.φBA D.P(A-B)≤P(A)=7.若,BA⊂则下面答案错误的是( ).A. ()B-ABP≥P≤P( B. ()0A)C.B未发生A可能发生D.B发生A可能不发生8.(1,2,,)i A i n = 为一列随机事件,且12()0n P A A A > ,则下列叙述中错误的是( ).A.若诸i A 两两互斥,则∑∑===ni ini i A P A P 11)()(B.若诸i A 相互独立,则11()1(1())nni i i i P A P A ===--∑∏C.若诸i A 相互独立,则11()()n ni ii i P A P A ===∏D.)|()|()|()()(1231211-=Λ=n n ni i A A P A A P A A P A P A P9.袋中有a 个白球,b 个黑球,从中任取一个,则取得白球的概率是( ). A.21 B.ba +1 C.ba a + D.ba b +10.设有r 个人,365≤r ,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均等的,则此r 个人中至少有某两个人生日相同的概率为( ). A.r rP 3651365-B.rrr C 365!365⋅ C. 365!1r -D. rr 365!1-11.设A,B,C 是三个相互独立的事件,且,1)(0<<C P 则下列给定的四对 事件中,不独立的是( ). A.C AUB 与 B. B A -与C C. C AC 与D. C AB 与12.当事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生,则( ). A.1)()()(-+≤B P A P C PB.1)()()(-+≥B P A P C PC.P(C)=P(AB)D.()()P C P A B =13.设,1)()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P 且则( ). A. A 与B 不相容 B. A 与B 相容 C. A 与B 不独立 D. A 与B 独立14.设事件A,B 是互不相容的，且()0,()0P A P B >>，则下列结论正确的 是( ). A.P(A|B)=0B.(|)()P A B P A =C.()()()P AB P A P B =D.P(B|A)>015.四人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为61,31,41,51则密码最终能被译出的概率为( ). A.1B.21C.52 D.3216.已知11()()(),()0,()(),416P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A,B,C 全不发生的概率为( ). A.81 B.83 C.85 D.8717.三个箱子,第一箱中有4个黑球1个白球,第二箱中有3个黑球3个白球,第三个箱中有3个黑球5个白球,现随机取一个箱子,再从这个箱中取出一个球,则取到白球的概率是( ). A.12053 B.199 C.12067 D.191018.有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为,2:3,2:1,1:4已知这三类箱子数目之比为1:3:2，现随机取一个箱子，再从中随机取出一个球，则取到白球的概率为（ ）. A.135 B.4519 C.157 D.301919.接上题,若已知取到的是一只白球,则此球是来自第二类箱子的概率为( ). A.21B.31 C.75 D.71答：1．答案：（B ） 2. 答案：（B ）解：AUB 表示A 与B 至少有一个发生,Ω-AB 表示A 与B 不能同时发生,因此(AUB)(Ω-AB)表示A 与B 恰有一个发生． 3．答案：（C ）4. 答案：（C ） 注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案：（C ） 注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案：（D ） 注:由C 得出A+B=Ω.7. 答案：（C ）8. 答案：（D ）注：选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nnnnni i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案：（C ） 注：古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω.10.答案：（A ）解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365rrr rC r P P A ⋅==，故365()1365rrP P A =-.11.答案：（C ） 12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ⊂，故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ⋃=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案：（D ） 解：由(|)()1P A B P AB +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P A B P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -⋃+=+--+--+==-⇒-+--+=-⇒-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -⇒=故A 与B 独立. 14.答案：（A ）解：由于事件A,B 是互不相容的，故()0P AB =，因此P(A|B)=()00()()P AB P B P B ==.15.答案：（D ）解：用A 表示事件“密码最终能被译出”，由于只要至少有一人能译出密码，则密码最终能被译出，因此事件A 包含的情况有“恰有一人译出密码”，“恰有两人译出密码”，“恰有三人译出密码”，“四人都译出密码”，情况比较复杂，所以我们可以考虑A 的对立事件A “密码最终没能被译出”，事件A 只包含一种情况，即“四人都没有译出密码”，故111112()(1)(1)(1)(1)()543633P A P A =----=⇒=.16.答案：（B ） 解：所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P A B C P A B C P A P B P C P A B P B C P A C P A B C =-⋃⋃=---+++-=---+++-=注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ⊂⇒≤≤=⇒=.17.答案：（A ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案：（C ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子”1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案：（C ）解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++.二、填空题1. E ：将一枚均匀的硬币抛三次，观察结果：其样本空间=Ω .2．设A ，B ，C 表示三个随机事件，试通过A ，B ，C 表示随机事件A 发生而B ，C 都不发生为 ；随机事件A ，B ，C 不多于一个发生 .3.设P （A ）=0.4，P （A+B ）=0.7，若事件A 与B 互斥，则P （B ）= ；若事件A 与B 独立，则P （B ）= .4.已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B|A ）=0.8，则P （AUB ）= .5.设随机事件A 、B 及和事件AUB 的概率分别是0.4，0.3和0.6，则P （AB ）= .6.设A 、B 为随机事件，P （A ）=0.7，P （A-B ）=0.3，则P （AB ）= .7.已知81)()(,0)(,41)()()(======BC p AC p AB p C p B p A p ，则C B A ,,全不发生的概率为 .8．设两两相互独立的三事件A 、B 和C 满足条件：φ=ABC ，21)()()(<==C p B p A p ，且已知 169)(=C B A p ，则______)(=A p .9.一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 .10．将C 、C 、E 、E 、I 、N 、S 这7个字母随机地排成一行，恰好排成SCIENCE 的概率为 .11．设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于A 生产的概率是 . 12.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是 .答：1.{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，正）}2.;ABC ABC ABC ABC ABC或AB BC AC3．0.3，0.5解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3； 若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是 P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7. 5.0.3解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .6.0.6解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A+=知 ()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=.7.7/12解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 8.1/4解：因为()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+ 由题设22()()(),()()()(),()()()()P A P B P C P AC P A P C P A P AB P A P B P A ======，2()()()(),()0P BC P B P C P A P ABC ===，因此有293()3()16P A P A =-，解得P （A ）=3/4或P （A ）=1/4，又题设P （A ）<1/2,故P （A ）=1/4. 9.1/6解：本题属抽签情况，每次抽到次品的概率相等，均为1/6，另外，用全概率公式也可求解. 10.11260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，故所求的概率为417!1260=.11.3/7解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ⨯====+⨯+⨯.12.6/11解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}， 则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5， 故()()(|)0.50.66(|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ⨯====+⨯+⨯.三、设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,41)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，81)(=AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。
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四、解：设 ξ 表示正常运行时间， F (t ) = P (ξ < t ) ，当 t ≤ 0 时， F (t ) = 0 t>0 时，题中条件为： P (t < ξ < t + Δt | ξ > t ) = λΔt + o(Δt ) 5分
⎛ y⎞ ⎜ ⎟ σ −⎝ ⎠ 2
2
d 1 1 f (y ) = Fη (y ) = ⋅ e dy σ 2π
+
1
σ
⋅
1 2π
e
⎛ y⎞ ⎜− ⎟ σ⎠ −⎝ 2
2
=
2
σ 2π
e
−
y2
2σ 2
10 分
八、解：设把机器分解为 n 个部分，各部分测量的误差分别为 ξ1 , ξ 2 , L , ξ n ，它们均服从区 间(-1，1)上的均匀分布。
1 ≤ x ≤ 2,1 ≤ y ≤ 3 其它
2 分，
⎧ 31 dy = 1， 1 ≤ x ≤ 2 ⎪ f ξ (x ) = ⎨∫1 2 ⎪ 其它 ⎩0， ⎧ 21 dx = 1/2， 1 ≤ y ≤ 3 ⎪ fη (y ) = ⎨∫1 2 ⎪ 其它 ⎩0，
3分
4分
《概率论与数理统计》试卷第 2 页 共 4 页
3分
Di =｛表示第一种工艺下的第 i 道工序生产的废品｝ ，i=1，2，3
P (D1 ) = 0.05 ， P(D2 ) = 0.10 ， P(D3 ) = 0.25
5分
Ei =｛表示第二种工艺下的第 i 道工序生产的废品｝ ，i=1，2
P (E1 ) = P (E 2 ) = 0.10
6分 8分
1
2分
1
2 1 x x x3 Eξ i = ∫ dx = 0, i = 1,2, L, n ， Eξ i2 = ∫ dx = −1 2 −1 2 6
−1
1 = , i = 1,2,L, n 3
1 2 Dξ i = Eξ i2 − (Eξ i ) = , i = 1,2, L, n 3
即，总误差：η = 由中心极限定理，
P( A) = P (D1 D2 D3 ) = P(D1 )P (D2 )P(D3 ) = 0.95 * 0.90 * 0.75 = 0.6413 P(B ) = P (E1 E 2 ) = P (E1 )P (E 2 ) = 0.80 * 0.80 = 0.6400
P (CA) = P( A)P(C A) = 0.6413 * 0.9 = 0.5771 P (CB ) = P(B )P (C B ) = 0.64 * 0.8 = 0.512
得
D(
1 n ∑ξi ) n i =1
ε2
=
1 n2
∑ Dξ
i =1 2
n
i
ε
→0
8分
⎞ ⎛1 n 1 n ⎟ ( ) lim P⎜ ξ E ξ ε − < ∑ ∑ i i ⎟ =1 n→∞ ⎜ n n = 1 = 1 i i ⎠ ⎝
10 分
《概率论与数理统计》试卷第 4 页 共 4 页
1.5
{ξ
< y} = 0 ，
d Fη (y ) = 0 ， 3 分 dy
当 y > 0 时， Fη (y ) = P{ η < y} = P
{ξ
< y} = P(- y < ξ < y )
7分
y⎞ ⎛ξ y⎞ ⎛ξ ⎛y⎞ ⎛ y⎞ = P(ξ < y ) - P(ξ < -y) = P⎜ < ⎟ - P⎜ < - ⎟ = Φ⎜ ⎟ - Φ⎜ - ⎟ σ⎠ ⎝σ σ ⎠ ⎝σ ⎝σ ⎠ ⎝ σ ⎠
（2） E (ξ ) =
∞
6分
m −1 k −1
k =m
∑ kC
∞
p m (1 − p) k − m
8分
=ห้องสมุดไป่ตู้m∑ = m p
∞ k! p m (1 − p) k − m = m ∑ C km p m (1 − p) k − m k = m m!( k − m)! k =m
10 分
12 分
或：令η为首次取到 1 位离婚人士的调查人数，则η服从几何分布，即
n n
5分
n
∑ ξ i ， Eη = ∑ Eξ i = 0 ， Dη = ∑ Dξ i =
i =1 i =1 i =1
n 3
7分
⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎛ ⎛ 3⎪ 3⎞ 3⎞ ⎪ η ⎟ − Φ⎜ − 10 ⎟ ≥ 0.99 P{η < 10} = P ⎨ < 10 ⎬ ≈ Φ⎜ 10 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n n n n ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎩ ⎭
（1） P (B ) = P ( A)P B A + P A P B A = 0.4325 （2） P A B =
( )
( )
( )( )
( )
P( A)P(B A) P(B )
= 0.9364
12 分
三、解：设 A=｛第一种工艺下的合格品｝ ，B=｛第二种工艺下的合格品｝ ，C=｛优质品｝
P (C A) = 0.9 ， P (C B ) = 0.8
2分
即：
P(t < ξ < t + Δt , ξ > t ) F (t + Δt ) − F (t ) = = λΔt + o(Δt ) P(ξ > t ) 1 − F (t )
《概率论与数理统计》试卷第 1 页 共 4 页
F (t + Δt ) − F (t ) = λ (1 − F (t )) + o(1) Δt dF (t ) 令 Δt → 0 ，则 8分 = λ (1 − F (t )) dt d (1 − F (t )) = −λ (1 − F (t )) ， 1 − F (t ) = ce − λt ，Q F (0) = 0 ，∴ F (t ) = 1 − e − λt dt
P (η = k ) = (1 − p) k −1 p, k = 1,2, L ， Eη =
1 p m p
设η1 ,η 2 , L ,η m 独立同分布于η，则 ξ = η1 + L + η m ，得 Eξ = 六、解： （1） (ξ ,η ) 分布密度
⎧1 ⎪ , f ( x, y ) = ⎨ 2 ⎪ ⎩0,
故它正常运行时间大于 t 概率： P(ξ > t ) = e 五、解： ξ 的取值： m, m + 1,L （1） P (ξ = k ) = C k −1 p
m −1 m −1
− λt
10 分
2分
1 m k −m (1 − p) k − m p = C km−− 1 p (1 − p )
ξ = m, m + 1,L
（2） P(ξ < 1.5,η < 4 ) =
∫
1
1.5
1
dx ∫
3
1
1 dy 2
6分 8分 11 分 12 分
= ∫ dx = 0.5
（3）因 f ( x, y ) = f ξ (x ) ⋅ f η (y ) 所以，随机变量 ξ 与η 是独立的。 七、解：当 y ≤ 0 时， Fη (y ) = P{ η < y} = P 所以，y<0 时， f (y ) =
10 3 ≥ u 0.995 = 2.58 ， n ≤ 45.06 n
11 分
9分
答：最多可以把机器分解成 45 部分，才能以不低于 99％的概率保证测定的总重量误差的绝 对值不超过 10kg。 12 分
《概率论与数理统计》试卷第 3 页 共 4 页
九、解：由契比雪夫不等式，则
⎞ ⎛1 n 1 n P⎜ E (ξ i ) < ε ⎟ ξ − ∑ ∑ i ⎟≤ ⎜n n i =1 ⎠ ⎝ i =1
《概率论与数理统计》A 卷评分标准与参考答案 （2 学分用）
1 1 C1 C8 2 一、 解： = 9 C 92
二、解：设 A={从事某职业的可疑病人}，B=｛患有肺癌｝
2分 4分 8分
P( A) = 0.45 ， P (A ) = 0.55 ， P(B A) = 0.9 ， P B A = 0.05