§1.2 应用举例2
§1.2.1-2 应用举例(二)
2013-1-18 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 8
C
§1.2.1-2 应用举例(二)
练习： AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建 筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法 解：选择一条水平基线HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的 仰角分别是α，β，CD=a,测角仪 器的高是h.那么，在⊿ACD中， 根据正弦定理可得
2013-1-18
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
7
§1.2.1-2 应用举例(二)
分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又
已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。 解： BC1 D1中, C1 BD1 60 45 15, 在
B
由正弦定理可得: C1 D1 BC1 sin B sin D1
28 cos30 sin 60 sin(60 30 ) 42( m)
CD=BD-BC=42-28=14(m)
答：山的高度约为14米。
2013-1-18 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 11
§1.2.1-2 应用举例(二)
例4.一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公 路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到达B 处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山的高 度CD.
又在△ABC中由正弦定理得：
2013-1-18
AC BC sin B sin A 5 3 B arcsin 14 5 3 （50－arcsin ） . 故我舰航行的方向为北偏东 14
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
河北省石家庄市第一中学高一下学期数学课件：1.2 应用举例2
2 2 16 8 2 CD AC 16( 3 1) 2 2 sin15 sin15
∴山的高度为16( 3 1) 米。
例3.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向 上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25° 的方向上，仰角8°，求此山的高度CD. 分析：要测 出高CD,只要 测出高所在 的直角三角 形的另一条 直角边或斜 边的长.根据 已知条件， 可以计算出 BC的长.
2 A1B BC1 18 6 3 28.4 2 AB A1B AA1 28.4 1.5 29.9(m)
答：烟囱的高为 29.9m.
例 2. 在 山 顶 铁 塔 上 B 处 测 得 地 面 上 一 点 A 的 俯 角 60 ，在塔底 C 处测得点 A的俯角 45 ， 已知铁塔BC 部分高 32 米，求山高CD . 解：在△ABC中，∠ABC=30°， ∠ACB =135°， ∴∠CAB =180°－(∠ACB+∠ABC) =180°－(135°+30°)=15° 又BC=32, BC AC 由正弦定理 ,
2.方向角：指北或指 南方向线与目标方 向线所成的小于 90°的水平角，叫 方向角，如图
实例探究
AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑 物的最高点.设计一种测量建筑高度AB的方法.
实例讲解
例1.如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与
烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱
的仰角分别是 45和 60 ，CD间的距离是12m. 已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。
分析:如图，因为AB=AA1+A1B，又已知
AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。
高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例第二课时正、余弦定理在三角形中的应用
3 ,则∠BDC= π 或 2π .
62
33
3
又由 DA=DC,则 A= π 或 π . 63
(2)若△BCD的面积为 1 ,求边AB的长.
6
解:(2)由于 B= π ,BC=1,△BCD 的面积为 1 ,
4
6
则 1 BC·BD·sin π = 1 ,解得 BD= 2 .
2
46
3
由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos π =1+ 2 -2× 2 × 2 = 5 ,故 CD= 5 .
2
2
2
关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边
的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是
根据题中的条件选择正确的变换方向.
即时训练 1-1:在△ABC 中,已知 AB=2,AC=2 2 ,cos B= 1 . 3
(1)求sin C的值;
3
3
3
所以 sin(B+C)= 2 10 + 2 , 99
所以 sin A= 2 10 + 2 , 99
因为 AB=2,AC=2 2 ,
因为 S= 1 AB·AC·sin A,所以 S= 8 5 4 2 .
2
9
题型二 平面图形中线段长度的计算
【例2】 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7 . (1)求cos∠CAD的值;
49
3 29
3
又 AB=AD+BD=CD+BD= 5 + 2 = 2 5 ,
33
3
故边 AB 的长为 2 5 . 3
人教B版高中数学必修五《第一章 解三角形 1.2 应用举例》_2
第1课时解三角形应用举例—距离问题一、教材分析本课是人教B版数学必修5第一章解三角形中1.2的应用举例中测量距离(高度）问题。
主要介绍正弦定理、余弦定理在实际测量（距离、高度）中的应用。
因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。
本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。
对加深学生数学源于生活，用于生活的意识做贡献。
二、学情分析距离测量问题是基本的测量问题，在初中，学生已经学习了应用全等三角形、相似三角形和解直角三角形的知识进行距离测量。
这里涉及的测量问题则是不可到达的测量问题，在教学中要让学生认识问题的差异，进而寻求解决问题的方法。
在某些问题中只要求得到能够实施的测量方法。
学生学习本课之前，已经有了一定的知识储备和解题经验，所以本节课只要带领学生勤思考多练习，学生理解起来困难不大。
三、教学目标（一）知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量（距离、高度）有关的实际问题。
（二）过程与方法通过应用举例的学习，经历探究、解决问题的过程，让学生学会用正、余弦定理灵活解题，从而获得解三角形应用问题的一般思路。
（三）情感、态度与价值观提高数学学习兴趣，感知数学源于生活，应用于生活。
四、教学重难点重点：分析测量问题的实际情景，从而找到测量和计算的方法。
难点：测量方法的寻找与计算。
五、教学手段计算机，PPT，黑板板书。
六、教学过程（设计）情景展示，引入问题情景一：比萨斜塔（展示图片）师：比萨斜塔是意大利的著名建筑，它每年都会按照一定度数倾斜，但斜而不倒，同学们想一想，如果我们不能直接测量这个塔的高度，该怎么知道它的高度呢？情景二：河流、梵净山（展示图片）师：如果我们不能直接测量，该怎么得出河流的宽度和梵净山的高度呢？引入课题：我们今天就是来思考怎么通过计算，得到无法测量的距离（高度）问题。
知识扩展：简单介绍测量工具（展示图片）1 经纬仪:测量度数2卷尺：测量距离长．[分析]由余弦定理得cos∠＝100＋36－1962×10×6＝－∴∠ADC＝120°，∠在△ABD中，由正弦定理得sin∠ADB、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从[分析]如图，因为B A AA AB 11+=，又[分析] 分别在△BCD 出BD 和AD ，然后在△ADBBCD中用余弦定理求得BC.如下图，为了测量河宽，在岸的一边选定两点ACAB＝45°，∠CBA＝75°，________米．[分析]在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠ABC＝75°，ACB＝60°，由正弦定理可得AC＝AB·sin∠ABCsin∠ACB＝120×sin75°sin60°＝20(32＋，设C到AB的距离为CD，则CD＝AC·sin∠CAB＝2＋6)sin45°＝20(3＋3)，∴河的宽度为20(3＋3)米．五个量中，a，两个小岛相距10 n mile，从岛望C岛和A岛成岛之间的距离为________n＝45°，由正弦定理．如图，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )[解析] 要测γ.2．某观察站C和500米，测得灯塔在观察站C正西方向，A．500米 BC．700米 D[解析]如图，由题意知，∠3002＋5002＋2×300七、板书设计八、教学反思1.本教案为解三角形应用举例，是对解三角形的较高的应用，难度相应的也有提高；例题选择典型，涵盖了解三角形的常考题型，突出了重点方法，并且通过同类型的练习进行巩固；课后通过基本题、模拟题和高考题对学生的知识掌握进行考查，使本节内容充分落实．教师要积极引导学生对这些应用问题进行探索，鼓励学生进行独立思考，并在此基础上大胆提出新问题．2.对于学生不知道如何处理的应用问题，教师通过转化，使学生能够理解，需要在练习中加强．。
【创新设计】2022-2021学年高二数学人教A必修5学案：1.2 应用举例(二) Word版含答案
1．2 应用举例(二)[学习目标] 1.能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些有关底部不行到达的物体高度测量的问题.2.巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的争辩、探究习惯.3.进一步培育同学学习数学、应用数学的意识及观看、归纳、类比、概括的力量．[学问链接] 现实生活中，人们是怎样测量底部不行到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？要点一 测量仰角求高度问题例1 如图所示，A 、B 是水平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 点是点C 到水平面的垂足，求山高CD .解 由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 因此只需在△ABD 中求出AD 即可，在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°， 由AB sin 15°＝ADsin 45°， 得AD ＝AB ·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1) (m)．即山的高度为800(3＋1) m.规律方法 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都依据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解． 跟踪演练1 如图，地平面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度h ，在地面上选一基线AB ，AB ＝20 m ，在A 点处测得P 点仰角∠OAP ＝30°，在B 点处测得P 点的仰角∠OBP ＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高度h .(结果保留两个有效数字)解 在Rt △AOP 中，∠OAP ＝30°，OP ＝h ， ∴OA ＝OP ·1tan 30°＝3h .在Rt △BOP 中，∠OBP ＝45°，∴OB ＝OP ·1tan 45°＝h .在△AOB 中，AB ＝20，∠AOB ＝60°，由余弦定理得AB 2＝OA 2＋OB 2－2×OA ×OB ·cos 60°， 即202＝(3h )2＋h 2－2·3h ·h ·12，解得h 2＝4004－3≈176.4，∴h ≈13(m)．答 旗杆高度约为13 m. 要点二 测量俯角求高度问题例2 如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求出山高CD . 解 在△ABC 中， ∠BCA ＝90°＋β， ∠ABC ＝90°－α， ∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β. 依据正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，即AC sin (90°－α)＝BCsin (α－β)，∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β).在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β ＝h cos αsin βsin (α－β).答 山的高度为h cos αsin βsin (α－β).规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及依据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪演练2 江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 答案 30解析 设两条船所在位置分别为A 、B 两点，炮台底部所在位置为C 点，在△ABC 中，由题意可知AC ＝30tan 30°＝303，BC ＝30tan 45°＝30，C ＝30°， AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900，所以AB ＝30. 要点三 测量方位角求高度问题例3 如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，求塔AB 的高度．解 在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°， 由正弦定理，得BC sin 45°＝CDsin 30°， BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，AB ＝BC tan 60°＝10 6. 答 塔AB 的高度为10 6 m.规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及依据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪演练3 一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.答案 30 2解析 如图，由已知条件， 得AC ＝60 km ，∠BAC ＝30°， ∠ACB ＝105°，∠ABC ＝45°.由正弦定理得BC ＝AC sin ∠BAC sin B＝302(km)1．已知两座灯塔A ，B 与海洋观看站C 的距离相等，灯塔A 在观看站C 的北偏东40°，灯塔B 在观看站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A ．北偏东10° B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°答案 B解析 如右图，因△ABC 为等腰三角形，所以∠CBA ＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B.2．从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( ) A ．2h 米 B.2h 米 C.3h 米D ．22h 米答案 A解析 如图所示， BC ＝3h ， AC ＝h ， ∴AB ＝3h 2＋h 2＝2h (米)．3．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________. 答案 20 3 m ，4033 m 解析 甲楼的高为20tan 60°＝20×3＝203； 乙楼的高为203－20tan 30°＝203－20×33＝4033.1.在争辩三角形时，机敏依据两个定理可以查找到多种解决问题的方案，但有些过程较烦琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式．2．测量底部不行到达的建筑物的高度问题．由于底部不行到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．一、基础达标1．为了测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB 的高为( ) A ．20⎝⎛⎭⎫1＋33 mB ．20⎝⎛⎭⎫1＋32 mC ．20(1＋3) mD ．30 m答案 A解析 如图，h ＝20tan 30°＋20tan 45°＝20⎝⎛⎭⎫1＋33(m)，故选A.2．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，连续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( ) A ．200 m B ．300 m C ．400 m D ．100 3 m 答案 B解析 法一 如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600，BC ＝DC ＝200 3.在△BCD 中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300，故选B. 法二 由于△BCD 是等腰三角形，12BD ＝DC cos 2θ，即300＝2003cos 2θ.cos 2θ＝32，2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300，故选B.3．一架飞机在海拔8 000 m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________m. 答案 5 856.4 解析 宽＝8 000tan 30°－8 000tan 45°＝5 856.4(m)． 4．为测量某塔的高度，在A ，B 两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．解 在△ABT 中，∠ATB ＝21.4°－18.6°＝2.8°，∠ABT ＝90°＋18.6°，AB ＝15(m)． 依据正弦定理，AB sin 2.8°＝ATcos 18.6°，AT ＝15×cos 18.6°sin 2.8°.塔的高度为AT ·sin 21.4°＝15·cos 18.6°sin 2.8°sin 21.4°≈106.19(m)．所以塔的高度为106.19 m.5．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D处时，再看灯塔B 在货轮的南偏东60°. 求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24 (n mile)．所以A 处与D 处的距离为24 n mile. (2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos 30°＝192， 解得CD ＝8 3 n mile.即灯塔C 与D 处的距离为8 3 n mile. 二、力量提升6．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15 mB ．5 mC ．10 mD ．12 m答案 C解析 如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h .在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h . 在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理得OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ， 即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos 120°， ∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍)．7．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m ，则电视塔在这次测量中的高度是( )A ．100 2 mB ．400 mC ．200 3 mD ．500 m 答案 D解析 由题意画出示意图，设高AB ＝h ，在Rt △ABC 中，由已知BC ＝h ， 在Rt △ABD 中，由已知BD ＝3h ，在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD 得，3h 2＝h 2＋5002＋h ·500，解之得h ＝500 m ．故选D. 8．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，求证：山高h ＝a sin αsin (γ－β)sin (γ－α).解 在△ABP 中，∠ABP ＝180°－γ＋β，∠BP A ＝180°－(α－β)－∠ABP ＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α. 在△ABP 中，依据正弦定理，AP sin ∠ABP ＝AB sin ∠APB ，AP sin (180°－γ＋β)＝αsin (γ－α)，AP ＝a ×sin (γ－β)sin (γ－α)所以山高h ＝AP sin α＝a sin αsin (γ－β)sin (γ－α).9．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.摸索究图中B 、D 间距离 km ，2≈1.414，与另外哪两点间距离相等，然后求B 、D 的距离(计算结果精确到0.01 6≈2.449).解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，∴CD ＝AC ＝0.1，又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，∴BD ＝BA ，在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC ，所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620.因此，BD ＝32＋620≈0.33 km ，故B 、D 的距离约为0.33 km.三、探究与创新10．为保障高考的公正性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点四周1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的大路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿大路行驶，问最长需要多少分钟检查员开头收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解 如图所示，考点为A ，检查开头处为B ， 设大路上C ，D 两点到考点的距离为1千米． 在△ABC 中，AB ＝3≈1.732(千米)，AC ＝1(千米)， ∠ABC ＝ 30°，由正弦定理sin ∠ACB ＝sin 30°AC ·AB ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°， ∴BC ＝AC ＝1(千米)，在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1(千米)．∵BC12×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．所以最长需要5分钟检查员开头收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．。
1.2应用举例(二)课件(人教A版必修5)
本 讲 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.2（二）
【典型例题】 例1 已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD ＝DA＝4，求圆内接四边形ABCD的面积．
解 连接BD，则四边形的面积 S＝S△ABD＋S△CBD 1 1 ＝2AB· ADsin A＋2BC· CDsin C. ∵A＋C＝180° ，∴sin A＝sin C.
∴x2－10x－96＝0，∴x＝16(x＝－6舍去)，即BD＝16. BC BD 在△BCD中，由正弦定理得 ＝ ， sin∠CDB sin∠BCD 16sin 30° ∴BC＝ sin 135°＝8 2.
∴abc＝1.
( A )
本 讲 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.2（二）
本 讲 栏 目 开 关
探究点一
利用正弦定理证明内角平分线定理
问题 你知道什么是内角平分线定理吗？并用所学的正弦 定理加以证明．
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.2（二）
探究 在△ABC中，AC边上的角平分线BD交AC边于点D. BA AD 求证：BC＝DC .
§1.2（二）
【学习目标】 1．掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三 角形度量问题． 2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测 量和几何计算有关的实际问题． 【学法指导】 1．运用正弦定理和余弦定理可以计算距离和角的大小，因此 在平面几何中有关计算或证明问题常转化为三角形中的 问题，然后灵活运用正弦定理和余弦定理加以解决． 2．解与三角形面积有关的问题，常需要利用正弦定理、余弦 定理，解题时要注意发现各元素之间的关系，灵活运用公 式． 对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三角 形面积的和．
高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时高、角问题课件新人教A版必修5[1]
![高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时高、角问题课件新人教A版必修5[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/090c01fd90c69ec3d4bb75af.png)
CDsin ∠BDC s·sin β
所以 BC＝
＝
.
sin∠CBD sin （α＋β）
s·tanθ sin β
在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝
.
sin （α＋β）
第二十七页，共51页。
类型 3 角度问题 [典例 3] 如图所示，在坡度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山 顶前进了 100 米后到达 B 点，又从 B 点测得建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 45°，已知建筑物的高度为 50 m，求 此山坡相对于水平面的倾斜角 θ 大小(精确到 1°)．
故山的高度为 15(1＋ 3)(米)．
第二十页，共51页。
类型 2 用正弦定理求空间中高度问题 [典例 2] 如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路 上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山脚 C 在 东偏南 15°的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山 脚在东偏南 30°的方向上，且山顶 D 的仰角为 8°，求此 山的高度 CD(精确到 1 m，参考数据：tan 8°≈0.140 5)．
C．d1>20 m
D．d2<20 m
解析：仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即 d1<d2.
答案：B
第九页，共51页。
4．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处 在坡角为 15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一 排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°，第 一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示)，旗杆底部 与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为 50 秒钟，则 升旗手匀速升旗的速度为________．
1.2应用举例(二)
( 2)已知 B 62.7 , C 65.8 , b 3.16cm;
0 0
(3)已知a 41.4cm, b 27.3cm, c 38.7cm.
2019年3月21日星期四
新课
例3、在ABC 中, 求证 :
a b sin A sin B (1) ; 2 2 c sin C
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§ 1.2 应用举例(二)
2019年3月21日星期四
引入
例1、如图, 一艘海轮从A出发, 沿北偏东750的方向 航行67.5nmile后到达海岛B, 然后从B出发, 沿北偏 东320的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次 航行直接从A出发到达C , 此船应该沿怎样的方向 航行, 需要航行多少距离(角度精确到0.10 , 距离精 确到0.01nmile ).
2 2 2 2
( 2) a b c 2(bc cos A ca cos B ab cos C ).
2 2 2
证明三角形中的边角关系恒等式 : 全部转 化为边的关系, 或者全部转化为角的关系.
2019年3月月21日星期四
2019年3月21日星期四
新课
三角形面积公式 :
1 1 1 S ab sin C ac sin B bc sin A 2 2 2
例2、在ABC 中, 根据下列条件, 求三角形 2 的面积S (精确到0.1cm ).
(1)已知 a 14.8cm, c 23.5cm, B 148.5 ;
1.2应用举例(二) 公开课一等奖课件
主讲老师：陈震
课题导入
现实生活中，人们是怎样测量底部 不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水 平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海 拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方 面的问题.
A C B
讲授新课
例1. AB是底部B不可到达的一个建筑物， A为建筑物的最高点，设计一种测量建 筑物高度AB的方法.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
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青 春 风 采
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高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩 --何旋 湖南省长沙市一中卫星远程学校
1.2 应用举例
在测量上, 我们根据需要适当确定的线段叫做
基线, 如例3中的AC, 例4中的CD. 在测量过程中 还要选取合适的基线长度, 使测量具有较高的精 确度. 一般来说, 基线越长, 测量的精确度越高.
高中数学备课组
现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达 的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测 量飞机下方山顶的海拔高度呢？
例3 实际上给出了测量不可到达点的距离的 一种方法.
高中数学备课组
练习：
两灯塔 A 、 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B在观 察站C南偏东30o，则A、B之间的距离为多少？
AB 3a km .
高中数学备课组
例4 如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)， 设计一种测量A、B两点间距离的方法. 分析: 用例3的方法, 可以计算出河的这一岸的
2 R 2 sin A sin B sin C .
高中数学备课组
应用举例:
例1 在△ABC中，根据下列条件，求三角形的 面积S (1) 已知a＝14cm, c＝24cm, B＝150o; (2) 已知B＝60o, C＝45o, b＝4cm.
(1) S 84 cm
2
12 4 3 2 ( 2) S cm 3
余弦定理的推论：
2 2 2 c a b b c a , cos A , cos B 2ca 2bc a 2 b2 c 2 cosC . 2ab
2 2 2
高中数学备课组
3. 三角形面积公式
SABC 1 ab sin C 2
1 abc Leabharlann ( a b c )r 4R 2
D
1.2应用举例
正弦定理和余弦定理（一）
基础热身
1.△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为c b a ,,已知 60=A ,,24,34==b a 求B ;
2.已知锐角△ABC 的面积为
233，3,2==b c ，求a ；
典例分析
例1已知△ABC 的顶点在单位圆上，若21cos =
A ，422=+c b ，求△ABC 的面积。
例2在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为c b a ,,，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2。
（1）求C;
（2）若ABC c ∆=
,7的面积为2
33，求△ABC 的周长。
例3 △ABC 中，AD AC AB ,32,34==为BC 边上的中线，且 30=∠BAD ,求BC 的长；
例4 △ABC 中，已知C B A cos sin 2sin =，试分别利用正、余弦定理与和角公式两种方法证明△ABC 是等腰三角形；
巩固练习
1. △ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为c b a ,,，若3,4==c b ，BC 边上的中线237=m ，求A,边a 以及面积S ；
2.△ABC 中，若C B C B A sin sin )cos (cos sin +=+，判断三角形的形状；
3. △ABC 中，D 是BC 中点，已知 90=∠+∠C BAD ,试判断三角形的形状；。
(人教B)高二数学必修5课件：1.2应用举例(二)
1.2 应用举例(二)
22
此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向
北偏东30°方向逃窜.问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走
私船？并求出所需时间.
1.2 应用举例(二)
4
解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点) 走私船，则CD＝10 3t海里，BD＝10t海里. 在△ABC中，由余弦定理， 得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A ＝( 3－1)2＋22－2( 3－1)·2·cos 120°＝6， ∴BC＝ 6(海里). 又∵sBinCA＝sin∠ACABC，
1.2 应用举例(二)
17
1234
3.一艘海轮从A处出发，以40 n mile/h的速度沿南偏东40°方 向直线航行，30 min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮 在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其 方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A.10 2n mile C.20 2n mile
而∠ABC＝60°，故△ABC为直角三角形；
∵ AC＝6，∴ AB＝coAs C30°＝ 63＝4 3. 2
答案 4 3
1.2 应用举例(二)
21
课堂小结 1.在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但 作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实 际意义，从而得出实际问题的解. 2.解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况： (1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理 或余弦定理解之. (2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够 的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.
2 答案 A
1.2 应用举例(二)
1.2 应用举例2
解：设快艇驶离港口B后，最 少要经过x小时，在OA上的点 D处与考察船相遇.如图，连结 CD.则快艇沿线段BC，CD航行. 在△OBC中，∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，∴∠BCO＝90°. 又BO＝120，∴BC＝60，OC＝60 .故快艇从港口B到小岛C 需要1小时.
在△OCD中，∠COD＝30°，OD＝20x，CD＝60(x－2). 由余弦定理知，CD2＝OD2＋OC2－2OD·OCcos∠COD， ∴602(x－2)2＝(20x)2＋(60 )2－2×20x·60 cos30°，解得x ＝3或x＝ . ∵x＞1，∴x＝3. 答：快艇驶离港口B后，最少要经过3小时才能和考察船相遇.
(2)测量不可直接到达的两点之间的距离，只要在这 两个点所在的平面上选取两个可以测量距离的点， 测量出这两点之间的距离，及这两个点对所测量的 两个点的张角，就可以使用正弦定理、余弦定理解 决问题.
(2009·辽宁高考)如图 所示，A、B、C、D都在同一个 与水平面垂直的平面内，B、 D为两岛上的两座灯塔的塔顶. 测量船于水面A处测得B点和D 点的仰角分别为75°,30°，于水 面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究 图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的 距离(计算结果精确到0.01 km， ≈1.414， ≈2.449).
[思路点拨]
[课堂笔记] 在△ACD中，∠DAC＝30°，
∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，
Байду номын сангаас所以CD＝AC＝0.1.
又∠BCD＝180－60°－60°＝60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，
所以BD＝BA.
在△ABC中，
即AB＝
因此，BD＝
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§1.2 应用举例2
一、学科核心素养培育目标
1.通过学生自主学习，教师点拨能用两边及其他们的夹角求三角形面积公式，并会解决相应问题
二、学习重点难点
1.学习重点：三角形面积公式的应用及其相关问题
2.学习难点：三角形面积公式的应用及其相关问题
三．预习提纲
1.预习时间：20-30分钟（晚自习完成）
2.预习内容：步步高8-9页
3.达成度：完成步步高相应内容
四、导学过程预设
学生活动一 求三角形面积
标杆例题1 在△ABC 中，已知BC ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积为
解析 由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ，∴AC ＝BC ·sin B sin A ＝6×sin 120°sin 30°
＝6 3. 又∵C ＝180°－120°－30°＝30°，
∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12×63×6×12
＝9 3. 反思感悟 求三角形面积，主要用两组公式
(1)12
×底×高． (2)两边与其夹角正弦的乘积的一半．
选用哪组公式，要看哪组公式的条件已知或易求．
跟踪训练1 在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6
时，△ABC 的面积为 ． 答案 16
解析 ∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝tan A ，
∴|AB →||AC →|＝sin A cos 2A
， ∴S △ABC ＝12
|AB →||AC →|sin A ＝12sin 2A cos 2A ＝12
tan 2A ＝16
. 学生活动2 涉及三角形面积的条件转化
例2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为a 2sin B ，则cos B ＝ .
答案 14
解析 由sin B ＝2sin A 及正弦定理，得b ＝2a ，由△ABC 的面积为a 2sin B ，
得12
ac sin B ＝a 2sin B ，即c ＝2a ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 24a 2＝14
. 反思感悟 表示三角形面积，即使确定用两边夹角，还要进一步选择好用哪两边夹角．
跟踪训练2 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积S ＝14
(a 2＋b 2－c 2)，则角C 为( )
A ．135°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
答案 B
解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12
ab sin C ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C ．由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得sin C ＝cos C .
又C ∈(0°，180°)，∴C ＝45°.
五、课堂小结
六、巩固训练
七、课堂教学反思。