高一秋季第1讲.集合中的常用数学思想.目标班.删解析

高一秋季讲义说明1．暑秋讲义区别：⑴定位区别：暑期讲义侧重于知识的引入与概念的讲解，会有很多与实际生活相结合或是非常简单的小例子（有些在教师备案中，并有配套练习）；秋季讲义侧重于知识点中的重点、难点与易错点，对常用方法与题型作系统说明与讲解．教师备案更多的是揭示概念与方法的本质，及需要重点说明的地方．⑵难度区别：暑假讲义的例题以一星与二星为主，难度不大；秋季讲义例题以三星为主，有少量二星与四星的题，对于暑假已经讲过的知识点有“暑假知识回顾”版块，老师可以结合这个版块进行复习与知识点梳理．讲义中所有四星级题都是思考与选讲类的题，可以在一开始对学生进行说明．2．升级后与原来讲义的区别：⑴暑假与秋季没有重复内容，暑假讲过的内容，除了极重要的内容（会单独说明）外，秋季都不会在例题中重复出现；⑵尖子班（提高班与尖子班讲义相同）与目标班区别度很大，每道例题都有区别，仅在目标班出现的例题与考点会标有“目标班专用”，知识点讲解的深度与难度更大，计算量也更大；⑶题量与以前相比也有所增加，老师可以根据班上学生的进度情况与学生的程度好坏可以调整与选择性讲解，这一点也可以在最开始作个说明；⑷对于暑假没有讲过的新知识点，有些会配上【练习】，有些难题前面配有【铺垫】，学生版都出现．个别例题后面备有较难的【备选】与【拓展】，学生版不出现，供老师选讲．3．我们是以知识模块划分的讲次，每讲内容的量有一些区别，以下附有建议课时表：讲次讲义名称建议课时第1讲集合中的常用数学思想3小时第2讲函数概念的深入理解 3.5小时第3讲函数的单调性与奇偶性（一）提高班、尖子班3.5小时目标班3小时第4讲函数的奇偶性（二）与对称性提高班、尖子班2小时；目标班3小时（有周期性）第5讲指数函数与相关复合函数3小时第6讲对数函数与相关复合函数3小时第7讲期中复习提高班、尖子班3小时目标班2.5小时4．课后演练教师版有，学生版没有，会给学生发一本练习册，并且网上有视频讲解．第1讲集合中的常用数学思想2第1讲·目标班·教师版当前形势集合在近五年北京卷（理）考查5～18分高考 要求内容要求层次 具体要求A B C 集合的含义与表示√了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．集合间基本关系 √理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 在具体情境中，了解全集与空集的含义．集合基本运算 √理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．能使用Venn 图表达集合的关系及运算北京 高考 解读2009年 2010年（新课标） 2011年（新课标） 2012年（新课标） 2013年（新课标） 第20题13分第1题5分 第20题13分第1题5分第1题5分第1题5分<教师备案> 可以调查一下班上学生上过暑期课的比例，以及学校当前的进度．新课标剖析满分晋级函数9级 函数与方程函数10级 集合中的常用 数学思想函数11级 函数概念的 深入理解对于集合，学生应从内心深处把集合当作一个锻炼的工具，集合从高中开始一直渗透到高中结束，甚至在有些过程中，我们都没有意识到．集合是数学的语言，是一个对话的平台，语言的作用是为了沟通，集合的问题不在于基本的运算什么的你不会，而是给你一道集合相关的问题你根本读不明白题意，或者当你试图表达一个条件时，你没有办法用一套很严格的数学语言把它表达出来．集合的中还渗透着很多数学思想，比如要想确定一个由描述法表示的集合，可能需要对参数进行分类讨论；理解一些集合的关系与运算需要借助韦恩图与数轴，这便是集合中的数形结合；还有些集合问题直接解决比较困难，我们选择看它的反面，正难则反．这些数学思想在以后的高中数学学习中，还会常常遇到，也会贯穿我们这一讲．“给你一道集合相关的问题，你根本读不明白题意”这句话可以结合下面的例子说明，可以用这个例子作为课堂的引入，调动学生的思维兴趣：已知集合{}12n M a a a =，，，，121n a a a <<<≤，若对于任意1i j n ≤≤≤，i j a a ，j ia a 中至少有1个在M 中，则称集合M 具有性质P ．判断{}1234，，，（不具有）、{}1248，，，（具有）、{}24612，，，（不具有）是否具有性质P ．(更进一步的问题见华山论剑)1．集合：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素．集合一般用英文大写字母,,,A B C 表示．元素一般用英文小写字母,,,a b c 表示； 不含任何元素的集合叫做空集，记作∅． 2．元素与集合的关系：∈、∉； 3．常见的数集的写法：自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集N *N 或N + Z Q R 4．元素的性质：确定性、互异性、无序性．5．集合的表示法 ⑴ 列举法．⑵ 描述法（又称特征性质描述法）：形如{|()}x A p x ∈，()p x 称为集合的特征性质，x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围，有时也写为{|()}x p x x A ∈，．知识点睛1.1 元素与集合4第1讲·目标班·教师版⑶ 图示法，又叫韦恩（Venn ）图． ⑷ 区间表示法：用来表示连续的数集． <教师备案> ⑴ 元素的性质：元素的性质中最本质的属性是确定性，集合是有边界的，边界确定了，才能判断一个元素在还是不在集合中．正是因为有确定性，所以可以定义空集，因为所有元素都不在这个集合中，所以这也能构成一个集合，就是空集． ⑵ 集合的表示法：① 列举法一定要会用，当遇到陌生集合时，要会写出其中的元素．比如要想了解集合{|24}A x x k k ==+∈Z ，，{|42}B x x k k ==+∈Z ，的关系，可以用列举法把一个个元素写出来：{42024}A =--，，，，，，，{22610}B =-，，，，，，就知道B 是A 的真子集；② 描述法是集合的一个重点与难点：{|()}x A p x ∈，x A ∈表达x 的外延，即x 的最大讨论范围，以及集合中元素的形式，到底是数还是点，x 并不一定能取到A 中的所有，只是x 一定是A 中的元素，()p x 表示x 的内涵，是对x 的精确描述． 如：集合3123{()|{012}123}i S x x x x i =∈=，，，，，，，，则3(212)S ∈，，，3(234)S ∉，，．③ Venn 图是表达集合中的各种关系与运算的；④ 区间表示法课本上是在函数的三要素那一节出现的，我们为了方便与统一把它放到集合中，当一个连续数集写成区间时，默认左端点是小于等于右端点的，如区间(213)a a -，，就表示213a a -<，即1a >-．这与{|213}x a x a -<<是有区别的，这个集合可以出现213a a -≥的情况，此时这个集合是空集．1．由实数a ，a -，a 所组成的集合里，所含元素个数最多．．有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【解析】C2．下列集合中恰有2个元素的集合是（ ）A. 2{0}x x -=B. 2{|0}y y y -=C. 2{|}x y x x =-D. 2{|}y y x x =- 【解析】 B ．3．若{}2123A =-，，，，{}2|B x x t t A ==∈，，则集合B 中的元素共有（ ）A ．3个B ．4个C ．7个D ．8个【解析】 A暑假知识回顾考点1：元素与集合的关系 【例1】 ⑴已知{}222(1)33A a a a a =++++，，，若1A ∈，求实数a 的值．⑵已知a ∈Z ，集合{}(,)3A x y ax y =-≤，且(2,1)A ∈，(1,4)A -∉，求满足条件的a 的值．⑶（目标班专用）已知a ∈Z ，b ∈Z ，集合2{()|()36}E x y x a b y =-+，≤，点(21)E ∈，，但点(10)E ∉，，(32)E ∉，，求a b ，的值．⑷已知A 是数集，且满足：若x A ∈，则23A x-∈，则当x = 时，A 中仅有1个元素．若集合A 中有且仅有两个元素，集合A =_______．【解析】 ⑴ 0a =；⑵ 012，，； ⑶ 11a b =-=-，．⑷ 1或2；{12}，．备注：所有的【备选】在学生版都不出现．．．．．．．．，只在教师版与课件上出现，供老师选讲． 【备选】设A 是非空数集，0A ∉，1A ∉，且满足条件：若a A ∈，则11A a∈-． 证明：⑴ 若2A ∈，则A 中必还有另外两个元素；⑵ 集合A 不可能是单元素集；⑶ 集合A 中至少有三个不同的元素．【解析】 ⑴ 若2A ∈，则1112A =-∈-，于是()11112A =∈--， 故集合A 中还含有1-，12两个元素． ⑵ 若A 为单元素集，则11a a =-，即210a a -+=，此方程无实数解，∴11a a≠-，∴a 与11a-都为集合A 的元素，则A 不可能是单元素集．⑶ 由A 是非空集合知存在1111111a a A A A a a a-∈⇒∈⇒=∈----． 现只需证明a 、11a -、1aa --三个数互不相等．①若21101a a a a =⇒-+=-，方程无解，∴11a a ≠-； ②若2110a a a a a -=⇒-+=-，方程无解；∴1aa a -≠-； ③若211101a a a a a -=⇒-+=--，方程无解，∴111a a a -≠--， 故集合A 中至少有三个不同的元素．经典精讲6第1讲·目标班·教师版【备注】集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元素入手，作为解题的切入点．解此题关键在于由已知a A ∈，1a ≠，得到11A a ∈-，1111A a∈--，然后逐步探索，再根据集合中元素的互异性，从而将问题加以解决．⑵中用到反证法的解题思想．下面的例3中会进一步提到正难则反的思想．考点2：两个集合相等<教师备案> 两个集合相等是集合的关系中出现的概念，但对于由列举法表示的集合来说，两个集合相等就是指两个集合中的元素完全相同，所以放在元素与集合这一板块中讲解更顺一些．下一板块的集合相等的定义主要针对更复杂更抽象的集合，通过互相包含得到相等关系．【例2】 ⑴若a ，b ∈R ，集合{}10b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=_____．⑵由三个实数构成的集合，既可以表示为1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，也可表示为{}20a a b +，，，则20132013a b +=____．⑶（目标班专用）已知集合2{2}{}A m m d m d B m mq mq =++=，，，，，，0m ≠其中，且A B =，则q =___．【解析】 ⑴ 2；⑵ 1-；点评：根据两集合的元素是相同的，可以列方程组分类讨论，但显然复杂又繁琐，这时从特殊元素出发，如发现0这个特殊元素和ba中的a 不为0的隐含信息，就能得到简便解法．⑶ 12-；考点3：集合中涉及到的数学思想<教师备案> 本讲的例题很多都涉及到数学思想，如例1与例2都涉及到了分类讨论的思想，例5与例6会涉及到数形结合的思想．例3是对集合的思想的集中体现，可以在这里对集合中常用的数学思想作一个介绍与说明．例3不同的方法对应不同的思考方式，直接解决需要分类讨论，间接解决就是考虑问题的反面．遇到至少有、至多有的问题，需要注意问题的反面的形式．【铺垫】已知集合{}2|320A x ax x =++=中至多有一个元素，则实数a 的取值范围是 ．【解析】 0a =或98a ≥．解法一（按照A 的元素个数分类讨论）：解法二（按照方程的次数分类讨论）： 解法三（先考虑问题的反面）：【例3】（目标班专用）已知{}2|0A x x x a =++≤，{}2|210B x x x a =-+-<，{}|49C x a x a =-≤≤，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求实数a 的取值范围．【解析】 5|38a a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≥或．分析：=∅ ≠∅ A 14a >14a ≤B58a ≥58a < C3a <3a ≥至少有1个不是空集，考虑方法有两种：第1种：A ≠∅或B ≠∅或C ≠∅也就是14a ≤，58a <和3a ≥取并集．第2种，至少有1个不是空集的反面是什么？如我们班至少有1个男生反面是不到1个男生，也就是没有男生，∴“至少有1个不是空集”的反面是“全都是空集”． “全都是空集”⇒取A =∅，B =∅，C =∅的公共部分也就是交集，再取个补集就行． 当遇到正面分类讨论比较多时，不妨考虑问题反面．若改成“至少有两个是空集”，那么反面是什么？最多有1个空集．比如某富二代说“我家至少有10栋房”，那么反面是他家至多有9栋房．【拓展】已知集合2{|4430}A x x ax a =+-+=，22{|(1)0}B x x a x a =+-+=，2{|220}C x x ax a =+-=.若A B C ，，中至少有一个不是空集，求实数a 的取值范围．【解析】 32a -≤或1a -≥．1．子集：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，则A 是B 的子集，记作A B ⊆或B A ⊇； 规定：∅是任意集合的子集．知识点睛1.2集合之间的关系与运算8第1讲·目标班·教师版如果集合A 中存在着不是集合B 中的元素，那么集合A 不包含于B ，记作A B 或B A ．2．真子集：如果集合A B ⊆，且存在x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ），读作A 真包含于B （B 真包含A ）．规定：∅是任意非空集合的真子集．3．集合相等：如果A B ⊆，且B A ⊆，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B ． 4．交集：{}|A B x x A x B =∈∈且； 5．并集：{}|AB x x A x B =∈∈或；6．补集： ①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U 表示．②补集：A 在U 中的补集的数学表达式是{}|U A x x U x A =∈∉，且． 7．A B A B A A B B ⊆⇔=⇔=．<教师备案> 集合的关系与运算在同步时放在同一个板块中讲解，如果班上学生进度太慢，且没有预习，老师可以对后面的顺序进行调整，知识回顾1与例4是集合的关系，知识回顾2是集合的运算．1．⑴ 下列各个关系式中，正确的是（ ）A ．{}0∅=B ．2∈QC ．{}{}3553≠，，D ．{}{}21|x x x ⊆= ⑵ 若集合{}1M x x =>-，则下列关系成立的是（ ）A ．0M ⊆B ．{}0M ⊆C ．M ∅∈D ．{}0M ∈⑶ 已知两个集合1M x y x ⎧⎫=∈=⎨⎬⎩⎭R ，1N y y x ⎧⎫=∈=⎨⎬⎩⎭R ，这两个集合的关系是（ ）A ．M N =B ．M N ∈C ．M ND ．M N ⑷ 设{}2S x x n n ==∈Z ，，{}42P x x n n ==+∈Z ，，则下列关系正确的是（ ） A ．S P ⊆ B ．S P = C ．S P D ．S P【解析】 ⑴ D⑵ B ⑶ A ⑷ C2．⑴ 设集合{}|32M m m =∈-<<Z ，{}|13N n n =∈-Z ≤≤，则MN =___________．⑵ 设集合{}|||2M x x x =<∈Z ，，{210}N =--，，，则MN =_________．⑶ 已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合()U A B 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 暑假知识回顾【解析】 ⑴ {}101-，，；⑵ {}2101--，，， ⑶ B考点4：集合的关系 【例4】 ⑴设集合{}|61M x x k k ==+∈Z ，，{}|64N x x k k ==+∈Z ，，{|32}P x x k k ==-∈Z ，，则下列说法正确的有________．①M N P = ②()M N P ③M N =∅ ④P M N =⑵设集合1|24k M x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，1|42k N x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则（ ）A ．M N =B ．M NC ．M ND ．M N =∅⑶已知集合1|6M x x m m ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，1|23n N x x n ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z ，，1|26p P x x p ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M 、N 、P 满足的关系是（ ）A ．M N P =B ．M N P =C ．M N PD ．NP M =【解析】⑴ ③④； ⑵ B ； ⑶ B ；考点5：集合的关系与运算<教师备案> 例5是具体的集合的关系与运算，其中⑴涉及一元二次方程的解集，是有限集问题；从⑵－⑸是连续数集问题，借助韦恩图会更容易解决．对于一般的集合问题，这里有个易错点，即空集是任何集合的子集，考虑子集问题先想空集！为了避免有部分学生没有上过暑期班，所以这一节我们尽量避开了集合的区间表示法．【例5】 ⑴已知{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中a ∈R ，如果A B B =，则实数a 的取值范围是_______．⑵已知集合{}|25A x x =-<<，{}|121B x a x a =+-≤≤，若A B B =，则实数a 的取值范围是 ．⑶已知集合{}|40A x x x =><或，{}|10B x ax =->，若A B A =，则实数a 的取值范围是 ．⑷设集合{}1A x x a x =-<∈R ，，{}15B x x x =<<∈R ，，若A B =∅，则实数a 的取值范围是___________．⑸ (目标班专用)设集合{}|21A x a x a =+≤≤，{}|2151B x a x a =-+≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是__________；若AB ，则实数a 的取值范围是___________．【解析】⑴ {|1a a -≤或1}a =； ⑵ {|3}a a <；经典精讲10 第1讲·目标班·教师版⑶ 1|4a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤；⑷ {|0a a ≤或6}a ≥； ⑸ ① {|1a a <-或01}a ≤≤；② {|01}a a ≤≤；<教师备案> 对于具体集合的子集问题例5已经讲得很明白，对于抽象的集合，要理解A B ⊆，需要从元素角度出发：即对任意的x A ∈，有x B ∈；这在证明抽象的集合的关系时很有用，见下面的德摩根律的证明．集合的运算满足德摩根律：①()UA B =()()UUA B ；②()UA B =()()UUA B ．对于德摩根律，可以使用两个集合相等的定义进行抽象的证明，如下： 证明：① 对任意的()Ux A B ∈，则x A B ∉，从而x A ∉且x B ∉；因为x A ∉，所以U x A ∈；因为x B ∉，所以U x B ∈，从而()()U Ux A B ∈；从而有()()()UU U AB A B ⊆；对任意的()()U UA B x ∈，则Ux A ∈且U x B ∈，从而x A ∉，且x B ∉．故()x A B ∉，即()Ux AB ∈，故()()()U UUA B A B ⊆．综上有()UA B =()()UUA B ；②对任意的()Ux A B ∈，则x A B ∉，从而x A ∉或x B ∉；若x A ∉，则U x A ∈，从而()()U Ux A B ∈；若x B ∉，则U x B ∈，从而()()UUx A B ∈；从而有()()()UU U AB A B ⊆；对任意的()()U UA B x ∈，则U x A ∈或U x B ∈，即x A ∉或x B ∉，从而()x AB ∉，故()U x A B ∈，故()()()UUUA B A B ⊆． 综上有，()U A B =()()UUA B ．德摩根律的严格证明并不容易，学生需要时间慢慢适应高中的严格的推理有．德摩根律的正确性借助于韦恩图是很容易得到的，韦恩图在表示集合的关系与运算时非常直观．见例6．考点6：韦恩图 【例6】 ⑴设A 、B 、I 均为非空集合，且A B I ⊆⊆，则下列各式中错误的是( ) A ．()I A B I = B ．()()I I A B I = C ．()I A B =∅ D ．()()I I I A B B =⑵若全集{}123456789U =，，，，，，，，，A 、B 为U 的子集，且(){}19UA B =，，{}2AB =，()(){}468UUA B =，，，求A 、B 和UB ．⑶（目标班专用）某班学生期中考试成绩表明：①36人数学成绩不低于80分；②20人物理成绩不低于80分；③15人的数学、物理成绩都不低于80分. 则这两科成绩至少有一科不低于80分的人数为_______． 【解析】⑴ B ； ⑵ {}2357A =，，，，{}129B =，，，{}345678UB =，，，，，．AA∩C U B B A∩B B∩C U AC U (A ⋃B )UU4,6,81,92B3,5,7A⑶ 41；【点评】对于任意两个集合A 、B ，记有限集合A 的元素个数为card()A ，有限集合B 的元素个数为card()B ，上面的结论card()card()card()card()AB A B AB =+-就是容斥原理，而且可以推广到三个或更多的集合：card()card()card()card()card()card()card()card()A B C A B C A B A C B C A B C =++---+备注：【练习】学生版也出现，一般在介绍一种新的方法或题型时，会配上练习让学生巩固一下． 【练习】已知全集I 中有15个元素，集合M N 中有3个元素，I IMN 中有5个元素，I MN 有4个元素，则集合M 中的元素个数是_____． 【解析】6；考点7：子集个数问题若集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个．<教师备案> 这个结论可以归纳得到：当A 中有两个元素时，记为212{}A a a =，，2A 的子集有4个；当A 中有三个元素时，记为3A ，323{}A A a =，2A 的四个子集仍然为3A 的子集，且这些子集中加入元素3a 后会得到四个新的互不相同的子集，且3A 的每个子集都可以归在这两类中，从而3A 的子集个数是2A 的两倍，从而3A 有8个子集，可以归纳得到n A (含有n 个元素的集合)有2n 个子集．如果利用乘法原理（奥数学介绍过，在高二会进行系统学习），会很容易得到这个结论，要得到n A 的子集，只需考虑n A 的每个元素在或不在这个子集中，对n 个元素，可以通过n 步得到，每步有两种不同的方法，故共对应2n 个子集．【铺垫】已知A B ⊆，A C ⊆，{01234}B =，，，，，{0248}C =，，，，则满足上述条件的集合A 的个数是（ ）A ．8B ．32C ．16D ．4【解析】 A【例7】 ⑴已知{12310}A =，，，，，{12345}B =，，，，，若C 是A 的子集，且B C ≠∅，则 子集C 共有_____个．⑵若集合A 满足：对任意x A ∈，都有1A x∈，就称A 是“和谐”集合．则在集合111012345632M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，，，，，，，，，的所有非空子集中，“和谐”集合有_______个．12 第1讲·目标班·教师版⑶（目标班专用）已知集合{123456}A =，，，，，，12k S S S ，，，是A 的若干个不同的二元子集，对任意的1i j k <≤≤，设{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，满足min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，，则k 的最大值为______．【解析】 ⑴ 992；⑵ 15⑶11；【拓展】求集合{123100}M =，，，，的所有子集的元素之和的和（规定空集的元素和为零） 【解析】 先分析特殊情形，发现元素出现的规律之后再研究集合M ．99992(12100)50502⨯+++=⋅．一般地：如果{123}M n =，，，，（*n ∈N ），则M 的子集共有2n 个，所有子集的元素和之和为221(1)2(12)22(1)22n nn n n n n n -+⨯⨯+++=⋅=⋅+．考点8：集合的新定义问题（目标班专用） 【例8】 ⑴定义集合运算：{|}A B z z xy x A y B *==∈∈，，，设{12}A =，，{02}B =，，则集合 A B *的所有元素之和为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．6⑵对任意两个集合M 、N ，定义：{|M N x x M -=∈，且}x N ∉， ()()M N M N N M ∆=--．设{}2,M y y x x ==∈R ，{}|||3N x x =≤，则M N ∆= ． ⑶集合{123456}S =，，，，，，A 是S 的一个子集，当x A ∈时，若1x A -∉，且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 无“孤立元素”的4元子集的个数是______．S 的所有的有“孤立元素”的子集个数是__________． ⑷设符号“”是数集A 中的一种运算(如：减法运算、乘法运算)，如果对于任意的,x y A ∈，都有x y A ∈，则称集合A 对于运算“”是封闭的(除法运算时，要求0y ≠)．下列说法正确的是_______．① 整数集Z 对于实数的加法与乘法都是封闭的； ② 有理数集Q 关于实数的四则运算都是封闭的；③ {2}Q 对于实数的乘法运算是封闭的；④ 集合{}|2,,A x x m n m n ==+∈Z 对实数的乘法是封闭的； ⑤ 集合{}22|,,B x x m n m n ==+∈Q 对实数的乘法是封闭的． ⑸已知P 为数集，且至少含有两个数，若此数集关于四则运算封闭，那么称P 为数域，如有理数集Q 就是一个数域，数集{}|2F x x a b a b ==+∈Q ，也为数域，下列说法正确的是 ．①整数集为数域．②若M ⊆Q ，则M 为数域． ③数域一定是无限集．④存在无穷多个数域．【解析】 ⑴ D ；⑵ {}|303M N x x x ∆=-<>≤或． ⑶ 6，43； ⑷ ①②④⑤； ⑸ ③；<教师备案> 关于集合对运算的封闭性，在N 上定义“+”，N 关于加法封闭：即任意两个自然数相加仍为自然数．自然数对于减法是否封闭？不封闭，∴从N 拓展到Z ．数域的拓展都是由于对运算的不封闭所造成的．Z 对于乘法运算是封闭的，但对于除法运算却是不封闭的，于是从Z 拓展到Q ；而从→Q R 是由于Q 对于乘方的逆运算不封闭，包括后面的→R C 也是由于一些运算的不封闭．【练习】设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉，且1k A +∉，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定{}12345678S =，，，，，，，，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个．【解析】 6【拓展】对于集合{}12n A a a a =，，，，将12n a a a ，，，按由大到小的顺序排好，并在它们中间填入-+-+符号，计算得到的数称为集合A 的特征，记为()T A ；例如：{}13458A =，，，，，则()854315T A =-+-+=；若{}1A =，则()1T A =；定义∅的特征为0. ⑴ 计算集合{}124679A =，，，，，与{123}S =，，的特征；⑵ 证明：对于{}123n A a a a a =，，，，，*i a ∈N ，12i n =，，，，12n a a a <<<，则()0n T A a ≤≤．⑶ 若{}1232012S =，，，，，请计算S 的所有子集的特征和． 【解析】⑴A 的特征是9764215-+-+-=；S 的特征是3212-+=； ⑵ 分析：可以找个具体的集合先研究一下，如{}1358A =，，，，()()()85315T A =-+-=，由于前一个总比后一个大，∴分类考虑当有偶数个元素和奇数个元素时，()0T A ≥；再如{}123581115A =，，，，，，，()151185321T A =-+-+-+，把n a 让出来，后面两两组对，每对都是小于0的数，∴()n T A a ≤，此题说明，当想证明某式大于0时，可以采用分组的方法说明每个部分都大于0，当想证明小于某数时，可以先将这个数踢出去，证明剩余部分小于0，这种思想在以后学数列和不等式时会用的上． 证明：对n 分奇偶讨论： ① 若n 为偶数，12321()()()()0n n n n T A a a a a a a ---=-+-++-≥，（A =∅时取等号）．1234321()()()()n n n n n n T A a a a a a a a a a ----=--------<；② 当n 为奇数，14 第1讲·目标班·教师版123321()()()()0n n n n T A a a a a a a a ---=-+-++-+>，123421()()()()n n n n n n T A a a a a a a a a ----=-------≤；综上知，()0n T A a ≤≤．⑶ 先用一个简单的考虑：{}12S =，，有4个子集，特征和为4； 再考虑{}123S =，，可以偷懒，凡是{}12，的子集都是{}123，，的子集，∴只需写与{}12，不同的子集，怎样写不同子集？只需在{}12，子集上加一个元素3，每增加1个元素，子集个数一定会扩大一倍。