必修2红对勾2-1-8

图 11
2.1 第8课时
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解：取 AC 的中点 F，连结 EF，BF，在△ACD 中，E，F 分别是 AD，AC 的中点，所以 EF∥CD， 所以∠BEF 即为所求的异面直线 BE 与 CD 所成的角 1 1 或其补角．在 Rt△EAB 中，AB＝1，AE＝ AD＝ ， 2 2 5 1 所以 BE＝ .在 Rt△AEF 中，AC＝1，AF＝ ，AE 2 2 1 2 ＝ ，所以 EF＝ . 2 2
分别是AB、BC、CD、DA的中点，则 (1)四边形EFGH是________． (2)当AC＝BD时，四边形EFGH是________． (3)当AC⊥BD时，四边形EFGH是________．
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(4) 当 AC 与 BD 满足 ________ 时，四边形 EFGH 是正
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解析：如图 6 所示，取 BC 的中点 E，连结 ME、 1 1 1 NE，则 ME＝ AC，NE＝ BD，所以 ME＋NE＝ (AC 2 2 2 1 ＋BD)．在△MNE 中，有 ME＋NE>MN，所以 MN< 2 (AC＋BD)．
答案：D
图6
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二、填空题(每小题5分，共15分)
B1EDF是平行四边形．
图9
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证明：设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1.
∵E是AA1的中点，
∴EQ綊A1D1.
又在矩形A1B1C1D1 中A1D1綊B1C1. ∴EQ綊B1C1(平行公理)． ∴四边形EQC1B1为平行四边形，
图 10
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∴B1E綊C1Q.又∵Q、F是矩形DD1C1C的两边中点，
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1 5 在 Rt△ABF 中，AB＝1，AF＝ ，BF＝ .在等腰 2 2 1 2 EF 2 4 10 三角形 EBF 中，cos∠FEB＝ ＝ ＝ ，所以 BE 5 10 2 10 异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为 . 10
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7．正方体 ABCD—A1B1C1D1中，BD1与A1D所成的角
为α1，AB1与BC1所成的角为α2，AA1与BD1所成的角为α3，
则α1、α2、α3的大小关系是________． 答案：α3<α2<α1
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8．一个正方体的展开图如图7所示，如果将它还原
为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条线段所在直 线是异面直线的有________对．
2.1 第8课时
2.1 第8课时
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3.会用图形语言、文字语言、符号语言准确地描述
公理4，并知道其地位和作用. 4.会运用公理4和等角定理解决一些简单问题. 5.知道求两条异面直线所成的角的一般思路和方法.
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2.1 第8课时
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一、选择题(每小题5分，共30分)
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
第8课时 空间中直线与直线之间的位置关系
2.1 第8课时
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1.会表述空间两条直线的位置关系，并会用符号或 图形把它们正确地表示出来. 2.知道异面直线的定义、异面直线所成的角的定义.
1 ．平面 α∩β ＝ l ，直线 m⊂α ，直 线 n⊂β ， 则 m 、 n 的
位置关系是(
A．异面 C．相交
)
B．平行 D．无法确定
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解析：如图1所示的正方体ABCD—A1B1C1D1，平面
AC∩平面BC1＝BC，直线AC⊂平面AC，直线B1C⊂平面 BC1，而直线AC与直线B1C相交于点C，排除A、B；又 直线B1C1⊂平面BC1，直线AC⊂平面AC，而直线B1C1与 直线AC异面，排除C. 答案：D
D∈α，所以 a⊂α， b⊂α，这与 a，b是异面直线矛盾，所 以AB与CD是异面直线．故选C. 答案：C
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5．如图 3 所示，设 E、F、G、H 依次是空间四 边形 ABCD 的边 AB、 BC、 CD、 DA 上除端点外的点， AE AH CF CG 且 ＝ ＝λ， ＝ ＝μ，则下列结论不正确的 AB AD CB CD 是( )
∴QD綊C1F.∴四边形DQC1F为平行四边形．
∴C1Q綊DF.又∵B1E綊C1Q，∴B1E綊DF，
∴四边形B1EDF为平行四边形．
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11．(本小题 15 分)如图 11 所示，等腰直角三角形 ABC 中，A＝1，且 E 为 DA 的中点．求异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值．
图3
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A．当 λ＝ μ 时，四边形 EFGH 是平行四边形 B．当 λ≠ μ 时，四边形 EFGH 是梯形 1 C．当 λ＝ μ＝ 时，四边形 EFGH 是平行四边形 2 1 D．当 λ＝ μ≠ 时，四边形 EFGH 是梯形 2
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解析：如图4所示，连结BD，
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4．直线a和b是两条异面直线，点A、C在直线a上，
点B、D在直线b上，那么直线AB和CD一定是( A．平行直线 C．异面直线 B．相交直线 D．以上都有可能 )
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解析： 若 AB 和 CD 共面 α ，则 A∈α ， B∈α ， C∈α ，
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6．如图 5 所示，已知三棱锥 A—BCD 中， M、N 分别为 AB、 CD 的中点，则下列结论正确的是( 1 A． MN≥ (AC＋ BD) 2 1 B． MN≤ (AC＋ BD) 2 1 C． MN＝ (AC＋ BD) 2 1 D． MN< (AC＋BD) 2
图5
)
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3 ．在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，与侧面的对角线
AD1成60°角的面对角线有( A．4条 C．8条 )
B．6条 D．10条
图2
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解 析 ： 如 图 2 所 示 ， 在 平 面 CD1 内 的 CD1 与 AD1 成
60°角，则平面BA1内的BA1与AD1也成60°角．在平面 AB1内的AB1与AD1成60°角，则平面DC1内的DC1与AD1 也成 60°角．同理平面 A1C1 内的 A1C1 和 B1D1 ，平面 AC 内的AC和BD与AD1都成60°角． 答案：C
图1
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2．下列说法中正确的是(
)
A．四边形的对角线不是异面直线
B．a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．a，b不同在平面α内，则a与b异面 D．a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
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解析： 不同在任何一个平面内的两条直线是异面直
线．
答案：D
△PAC中， ∵D是PC中点，F是AC中点， ∴DF∥PA，同理可得EF∥BC，
图 13
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∴∠ DFE 为异面直线 PA 与 BC 所成的角(或其补 角 )． 1 1 在△ DEF 中， DE＝3， 又 DF＝ PA＝ 2， EF＝ BC 2 2 ＝ 5， ∴ DE2＝ DF2＋EF2. ∴∠ DFE＝ 90° ，即异面直线 PA 与 BC 所成的角 为 90° .
图7
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解析：当把展开图还原为正方体后点B与点F重合，
点G与点C重合，如图8所示，所以AB与CD异面，AB与 EF相交， AB与 GH 异面， CD与 EF平行， CD与 GH 相交， EF与GH异面． 答案：三
图8
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9．已知四边形 ABCD 是空间四边形， E、 F、 G、H
方形． 答 案 ： (1) 平 行 四 边 形 (4)AC⊥BD且AC＝BD (2) 菱 形 (3) 矩 形
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三、解答题(共45分)
10 ． ( 本 小 题 15 分 ) 如 图 9 ， E 、 F 分 别 是 长 方 体
A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点，求证：四边形
12． (本小题 15 分)如图 12， P 是平面 ABC 外一点， PA＝4，BC＝2 5，D、E 分别为 PC 和 AB 的中点， 且 DE＝3.求异面直线 PA 和 BC 所成角的大小．
图 12
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解 ： 如 图 13 ， 取 AC 中 点 F ， 连 接 DF 、 EF ， 在
∵＝＝λ，
∴EH∥BD，且EH＝λBD.
同理，FG∥BD，且FG＝μBD， ∴EH∥FG.∴当λ＝μ时，EH＝FG.
图4
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∴此时四边形EFGH是平行四边形．
∴ 选项 A、 C正确， D错；当 λ≠μ时， EH≠FG，则此
时四边形EFGH是梯形，∴选项B正确．
答案：D
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