2016-2017学年四川省成都七中高一(上)期末数学试卷

2016-2017学年四川省成都七中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2,1,0=A ，{}3,2=B ，则=B A （ ）A ．{}3,2,1,0B ．{}3,1,0C ．{}1,0D ．{}2【答案】A【解析】∵集合{}2,1,0=A ，{}3,2=B ，=B A {}3,2,1,0故选：A ． 【考点】并集及其运算． 【难度】★★★2．下列函数中，为偶函数的是（ ）A ．2log y x =B ．12y x =C ．2x y -=D ．2y x -=【答案】D【解析】对于A ，为对数函数，定义域为+R ，为非奇非偶函数；对于B ．为幂函数，定义域为[)+∞,0，则为非奇非偶函数； 对于C ．定义域为R ，为指数函数，则为非奇非偶函数；对于D ．定义域为{}R x x x ∈≠,0，()()x f x f =-，则为偶函数．故选D ．【考点】函数奇偶性的判断． 【难度】★★★3．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】B【解析】由弧长公式可得r 36=，解得2=r ．∴扇形的面积62621=⨯⨯=s ． 故选B ．【考点】扇形的弧长和面积公式 【难度】★★★4．已知点()1,0A ，()1,2-B ，向量()0,1=，则在e 方向上的投影为（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】D【解析】解：()0,2-=，则在方向上的投影.212-=-== 故选：D ．【考点】平面向量数量积的运算． 【难度】★★★5．设α是第三象限角，化简：=+•αα2tan 1cos （ ）A ．1B ．0C ．1-D ．2 【答案】C【解析】解：α 是第三象限角，可得：0cos <α，cos α∴=.1sin cos cos sin cos cos tan cos cos 222222222=+=⋅+=+ααααααααα.1tan 1cos 2-=+⋅∴αα故选：C ．【考点】三角函数的化简求值． 【难度】★★★6．已知a 为常数，幂函数()a x x f =满足231=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，则()=3f （ ）A ．2B ．21C ．21- D ．2-【答案】B【解析】解：a 为常数，幂函数()ax x f =满足231=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，23131=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴af解得13log 2a =，所以 13log 2()f x x= ，()13log 2133.2f ∴== 故选：B ．【考点】幂函数的概念+解析式+定义域+值域． 【难度】★★★7．已知()x x f 4cos sin =，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛21f （ ）A ．23 B ．21 C ．21- D ．23- 【答案】C【解析】解：()x x f 4cos sin = ，().2160cos 120cos 30sin 21-=-===⎪⎭⎫⎝⎛∴f f故选：C ．【考点】函数表达式及求值． 【难度】★★★8．要得到函数()12log 2+=x y 的图象，只需将x y 2log 1+=的图象（ ）A ．向左移动21个单位 B ．向右移动21个单位 C ．向左移动1个单位D ．向右移动1个单位【答案】A 【解析】解：()221log 21log 22y x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，,2log log 122x x y =+=∴由函数图象的变换可知：将x y 2log 2=向左移动21个单位即可得 ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=212log 12log 22x x y 的图象．故选：A ．【考点】函数()ϕϖ+=x A y sin 的图象变换． 【难度】★★★9．向高为h 的水瓶（形状如图）中注水，注满为止，则水深h 与注水量v 的函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解：从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽．则注入的水量v 随水深h 的变化关系为：先慢再快，最后又变慢，那么从函数的图象上看，C 对应的图象变化为先快再慢，最后又变快，不符合；A 、B 对应的图象中间没有变化，只有D 符合条件。

故选：D 【考点】函数的图象． 【难度】★★★10．已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=1,311,log 21x x x x x f ，若()[]20-=x f f ，则0x 的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】A【解析】解： 函数()⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=1,311,log 21x x x x x f ，()[]20-=x f f ， ∴①当()01f x ≥时，()()()0102log 2f f x f x ==-⎡⎤⎣⎦，()40=x f ，则当10≥x 时，()0102log 4f x x ==，解得1610=x ，不成立；当10<x 时，()43100=-=x x f ，解得10-=x ．②当()10<x f 时，()[]()()1,231000=-=-=x f x f x f f ．不成立． 综上，0x 的值为1-． 故选：A ． 【考点】函数的值．【难度】★★★★ 11．已知函数()xxx f tan 1tan 1log 2+-=，若12=⎪⎭⎫⎝⎛+απf ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ2f （ ） A ．1 B ．0 C ．1- D ．2-【答案】C【解析】解：由已知可得：221tan sin cos 2log log =12sin cos 1tan 2f παπαααπααα⎛⎫-+ ⎪--⎛⎫⎝⎭+== ⎪-+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭可得：()ααααcos sin 2cos sin +-=--，解得：3tan =α，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-απαπαπαπαπαπαπ2sin 2cos 2sin 2cos log 2tan 12tan 1log 222f .11313log 1tan 1tan log cos sin cos sin log 222-=+-=+-=+-=αααααα 故选：C ．【考点】运用诱导公式化简求值． 【难度】★★★★12．已知平面向量a ，b ，c 满足3a b ⋅=，2a b -=，且()()0a c b c --=，则c 的取值范围是（ ）A ．[]0,2B ．[]1,3C ．[]2,4D ．[]3,5【答案】B【解析】解：∵3a b ⋅=，2a b -=，∴4a b +=．∵()()0a c b c --=，∴()2-cos 3c a b c a b a b c α=+⋅=+-，设α为a b +与c 的夹角．∴[]23cos 1,14c cα+=∈-，解得[]1,3c ∈．故选：B ．【考点】平面向量数量积的运算． 【难度】★★★★★二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分，答案写在答题卡相应横线上） 13．设向量1e ，2e 不共线，若1212(2)//(4)e e e e λ-+，则实数λ的值为 ． 【答案】2-．【解析】解：∵1212(2)//(4)e e e e λ-+，则存在实数k 使得12122(4)e e k e e λ-=+，∴12(1)(24)0k e k e --+=， ∵向量1e ，2e 不共线，∴10k λ-=，(24)0k -+=，解得2λ=-． 故答案为：2-．【考点】平行向量与共线向量． 【难度】★★★ 14．函数2tan 2y x x x π=+-的定义域是 ．【答案】0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【解析】解：2220x k x x πππ⎧≠+⎪⎨⎪-≥⎩，可得0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故定义域为0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【考点】函数的定义域及其求法． 【难度】★★★15．已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωφωφπ=+>><的部分图象（如图所示），则()f x 的解析式为 ．【答案】()2sin(2)6f x x π=+．【解析】解：由题意可知2A =，54()126T πππ=-=，可得：2ω=，由于：当6x π=时取得最大值2，所以：2sin(2)26πφ⋅+=，且可得φπ<：所以6πφ=，函数()f x 的解析式：()2sin(2)6f x x π=+．【考点】由()sin()f x A x ωφ=+的部分图象确定其解析式． 【难度】★★★★16．设e 为自然对数的底数，若函数2()(2)(2)1x x x f x e e a e a =-++⋅--存在三个零点，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(]1,2【解析】令1x t e =-，1x e t =+，22()1(2)f t t a t a =-++⋅-，令1xm t e ==-，则22()(2)1f m m a m a =-+++-，∵()f x 有3个零点，∴根据1xm t e ==-，可得()f m 的一根在(0,1)，另一根在(1,)+∞，∴(0)0(1)0f f <⎧⎨≥⎩∴(]1,2a ∈．【考点】根的存在性及根的个数判断． 【难度】★★★★★三、解析题（本大题共6小题，共70分.解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．设向量(,4)a x =，(7,1)b =-，已知a b a +=． （I ）求实数x 的值；（II ）求a 与b 的夹角的大小． 【答案】（I ）3x =- （II ）a 与b 夹角为34π 【解析】解：（Ⅰ）∵a b a +=．∴2222a b ab a ++=，即220b ab +=, ∴2(74)500x -+=，解得3x =-;（Ⅱ）设a 与b 的夹角为θ，(3,4)a =-，(7,1)b =-，∴25a b ⋅=- 且5a =，52b =, ∴2cos 2a b a bθ⋅==-． ∵[]0,θπ∈，∴34πθ=，即a 与b 夹角为34π【考点】平面向量数量积的运算． 【难度】★★★18．（12分）已知sin 4cos 22sin cos αααα-=+．（I ）求tan α的值；（II ）若0πα-<<，求sin cos αα+的值． 【答案】（I ）tan 2α=-（II ）sin cos αα+=【解析】解：（I ）∵已知sin 4cos 22sin cos αααα-=+，可得3sin 6cos αα=-，∴tan 2α=-．（Ⅱ）∵(,0)απ∈-，且tan 2α=-，sin 0α<，22sin cos 1αα+=，∴sin 5α=-∴cos 5α=，∴sin cos 5αα+=- 【考点】同角三角函数基本关系的运用． 【难度】★★★19．（12分）如图，在ABC ∆中，M 为BC 的中点，3AB NB =． （I ）以CA ，CB 为基底表示AM 和CN ；（II ）若0120ABC ∠=，4CB =，且AM CN ⊥，求CA 的长．【答案】（Ⅰ）12AM CA CB =+，1344CN CA CB =+； （Ⅱ）8CA =【解析】解：（Ⅰ）12AM AC CM CA CB =+=-+； 3313()4444CN CA AN CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+，（Ⅱ）由已知AM CN ⊥，得0AM CN ⋅=，即113()()0248CA CB CA CB -+⋅+=，展开得221530488CA CA CB CB --⋅+=，又∵0120ABC ∠=，4CB =， ∴25240CA CA --=， 即(8)(3)0CA CA -+=， 解得8CA =，即8CA =为所求【考点】平面向量数量积的运算． 【难度】★★★20．（12分）某地政府落实党中央“精准扶贫”政策，解决一贫困山村的人畜用水困难，拟修建一个底面为正方形（由地形限制边长不超过10m ）的无盖长方体蓄水池，设计蓄水量为3800m ．已知底面造价为2160m 元，侧面造价为2100m 元．（I ）将蓄水池总造价()f x （单位：元）表示为底面边长x （单位：m ）的函数； （II ）运用函数的单调性定义及相关知识，求蓄水池总造价()f x 的最小值． 【答案】（I ）22000()160()(010)f x x x x=+<≤ （II ）()(10)48000min f x f ==【解析】解：（Ⅰ）设蓄水池高为h ，则2800h x =，… ∴222800()16010041601004f x x x h x x x=+⋅⋅=+⋅⋅22000160()(010)x x x=+<≤； （Ⅱ）任取(]12,0,10x x ∈，且12x x <，则2212121220002000()()160[()160()]f x f x x x x x -=+-+ []12121112160()()2000x x x x x x x x -+-=∵12010x x <<≤，∴120x x >，120x x -<， 1212()2000x x x x +<，∴12()()y f x f x =-，即12()()f x f x >，∴()y f x =在(]0,10x ∈上单调递减， 故10x =当时，min ()(10)48000f x f ==（11分）答：当底面边长为10m 时，蓄水池最低造价为48000元…（12分）【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【难度】★★★21．（12分）已知函数()2sin()13f x x πω=-+，其中0ω>．（I ）若对任意x R ∈都有5()()12f x f π≤，求ω的最小值； （II ）若函数lg ()y f x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的取值范围• 【答案】（Ⅰ）ω的最小值为2， （Ⅱ）ω的取值范围是25,33⎛⎤⎥⎝⎦【解析】解：（Ⅰ）由已知()f x 在512x π=处取得最大值， ∴521232k πππωπ-=+，k Z ∈ 解得2425k ω=+，k Z ∈ 又∵0ω>，∴当0k =时，ω的最小值为2；…（Ⅱ）∵,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω> ∴43323x πππππωωω-≤-≤-又∵lg ()y f x =在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦内单增，且()0f x >， ∴24362232k k πππωππππωπ⎧->-+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，k Z ∈…（8分）解得：258433k k ω+<≤+．k Z ∈…（10分） ∵258433k k +<+，∴14k <且k Z ∈，…（11分） 又∵0ω>，∴0k =， 故ω的取值范围是25,33⎛⎤⎥⎝⎦．…（12分） 【考点】正弦函数的图象；复合函数的单调性． 【难度】★★★★22．定义函数()4(1)2xxa f x a a =-+⋅+，其中x 为自变量，a 为常数． （I ）若当[]0,2x ∈时，函数()a f x 的最小值为1-，求a 的值；（II ）设全集U R =，集合{}3()(0)a A x f x f =≥，{}2()(2)(2)a a B x f x f x f =+-=，且()U C A B φ≠中，求a 的取值范围．【答案】（I ）a 之值为3； （II ）a 的取值范围是[)1,2-【解析】解：（Ⅰ）令2x t =，∵[]0,2x ∈，∴[]1,4t ∈，设2()(1)t t a t a ϕ=-++，[]1,4t ∈，1°当112a +≤，即1a ≤时，min ()(1)0f x ϕ==，与已知矛盾；2°当1142a +<<，即17a <<，min 1()()12a f x ϕ+==-， 解得3a =或1a =-（舍）3°当142a +≥，即7a ≥，min ()(4)1f x ϕ==， 解得133a =，但与7a ≥矛盾，故舍去综上所述，a 之值为3（Ⅱ）因为{}3()(0)a A x f x f =≥{}442331(1)x x x a a =-⋅+≥≥-++{}2321x x x =≥≤或所以{}{}321230log xU C A x x x =<<=<<{}2()(2)(2)a a B x f x f x f =+-={}224(1)24(1)26x x x x x a a a a --=-+⋅++-+⋅+=164(4)(1)(2)26042x x x x x a a ⎧⎫=+-+⋅++-=⎨⎬⎩⎭由()U C A B φ≠可知，方程164(4)(1)(2)26042x xx x a a +-+⋅++-=在32(0,log )x ∈内有解，令422x x t =+则[4,5)t ∈且216484xxt +=- 所以原命题等价于方程2(8)(1)260t a t a --+⋅+-=在[4,5)t ∈上有解，将a 用含t 的式子表示，即2142t t a t --=-。