2016年春新人教A版高二数学选修2-3课件：1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
[人教A版数学选修2-3]1.1.3分类加法计数原理与分步乘法计数原理ppt课件
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【解】 依题意得既会英语又会日语的有7＋3－9 ＝1(人)（记为A），6人只会英语，2人只会日语．
第一类：不选A有6×2＝12(种)． 第二类：选A为会英语的有1×2＝2(种)． 第一类：选A为会日语的有6×1＝6(种)．
综上，不同选法共有N＝12＋2 ＋ 6＝20(种) 【思维总结】 这种“多面手”的题型，关键分清“多 面手”可以“干什么”活．
第1章 计数原理
两个原理的综合应用
对于较复杂的问题，可以在分类方法中分步 进行，或者在每步中分类．
某外语组有9人，每人至少会英语和 日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语， 从中选出会英语和日语的各一人，有多少种 不同的选法？
例
第1章 计数原理
【思路点拨】 分清只会英语、只会日语和会两种 外语的人数，再分类选人．
二、映射个数问题:
第1章 计数原理
例2.设 A={a, b, c, d, e }, B={x, y, z}, 从A到B共有多少 种不同的映射? 形成一个映射,就是让A中所有元素都找到对应元素.
解:第一步，给a找对应元素，有3种方法； 第二步，给b找对应元素，有3种方法； 第三步，给c找对应元素，有3种方法； 第四步，给d找对应元素，有3种方法； 第五步，给e找对应元素，有3种方法. 则共有方法种数N=35. 【结论】集合A中有m个元素，集合B中有n个元素， 那么从A到B可以构造nm个映射.
第1章 计数原理
变式训练2 7名学生中有3名会下象棋但不 会下围棋，有2名学生会下围棋但不会下象 棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现从中 各选1人同时参加象棋比赛和围棋比赛，共 有多少种不同的选法？ 解：第一类：从3名只会下象棋的学生中选1 名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的 学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计 数原理N1＝3×2＝6(种)
高中数学选修2-3优质课件2：1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第一步 从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法； 第二步 从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法； 第三步 从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法。
由分步乘法计数原理，可得不同的取法共有N =5×3×2=30（种）.
变式练习
用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶 数？ 解：完成“组成无重复数字的四位偶数”这件事，有两类办法： 第一类办法 四位偶数的个位数字为0，这件事分三个步骤完成： 第一步 从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4种不同的 选取方法； 第二步 从1，2，3，4中剩余的三个数字中选取一个数字做百位数 字，有3种不同的选取方法； 第三步 从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种 不同的选取方法；由分步乘法计数原理，第一类的四位偶数共有 N1=4×3×2=24（个）
由分步乘法计数原理，可组成不同的四位数共有N =4×4×3×2=96
（个）
合作探究
(3) 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四个步骤： 第一步 确定个位数字：从1，3中选取一个数字做个位数字, 有 2种不同的选取方法； 第二步 确定千位数字：从1，2，3，4剩余的三个数字中选取一 个数字做千位数字，有3种不同的选取方法； 第三步 确定百位数字：从1，2，3，4剩余的两个数字和0共三个 数字中，选取一个数字做百位数字，有3种不同的选取方法； 第四步 确定十位数字：从剩余的两个数字中，选取一个数字做 十位数字，有2种不同的选取方法； 由分步乘法计数原理，符合条件的四位奇数共有 N=2×3×3×2 =36（个）.
区别1（方 完成一件事，共有n类办法，完成一件事，共分n个步
式不同） 方式是“分类”
高中数学人教A版选修2-3同步课件1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
• 新知导学 • 1．分类加法计数原理 • 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中 有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不 m＋n 同的方法，那么完成这件事共有 N＝ __________种不同的方法． • 2．分类加法计数原理的推广 • 完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案 m1＋m2＋„＋mn 中有 m1种不同的方法，在第2类方案中有m2 种不同的方法，„，在第n类方案中有mn种 不同的方法，那么完成这件事共有N＝
• 2．用1、2、3这3个数字可以写出没有重复 数字的整数________个． • [答案] 15 • [解析] 分三类：第一类为一位整数，有3个； • 第二类为两位整数，有12,21,13,31,23,32， 共6个； • 第三类为三位整数，有 123,132,321,312,231,213，共6个， • ∴共写出没有重复数字的整数3＋6＋6＝15 个．
•分步乘法计数原理
思维导航 2．2013 年 9 月，第 12 屈全运会在辽宁召 开，这是中国体坛的一大盛事．一名志愿者从广 州赶赴沈阳为游客提供导游服务， 但需在北京停 留，已知从广州到北京每天有 7 个航班，从北京 到沈阳每天有 6 列火车．请思考：该志愿者从广州到沈阳需要 经历几个步骤？完成每一步各有几种方法？该志愿者从广州到 沈阳共有多少种不同的方法？
• 新知导学 • 3．分步乘法计数原理 • 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不 m×n 同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么 完成这件事共有N＝__________种不同的方 法． • 4．分步乘法计数原理的推广 • 完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1 m1×m2ׄ×mn 种不同的方法，做第2步有m2种不同的方 法，„，做第n步有mn种不同的方法，那么 完成这件事共有N＝___________________
高二数学人教A版选修2-3课件：1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
解析:要完成选择听讲座这件事,需要分六步完成,即 6 名同学逐 个选择要听的讲座,因为每名同学均有 5 种讲座可选择,由分步乘法
计数原理,6 位同学共有 5×5×5×5×5×5=56(种)不同的选法.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
(2)已知a∈{1,2,3},b∈{4,5,6,7},r∈{8,9},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆的个数为 ( )
结果,只需一种方法就可 完成这件事
事,只有各个步骤都完成了,才能 完成这件事
各类 (步) 的关 系
各类方法之间是互斥的、 并列的、独立的,即“分类 互斥”
各步之间是关联的、独立的,“关 联”确保连续性,“独立”确保不 重复,即“分步互依”
目标导航
预习导引
1234
4.用两个计数原理解决问题的步骤 用两个计数原理解决计数的问题时,最重要的是开始计算之前要仔细分析——需要分类还是分步. 分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数. 分步要做到“步骤完整”——完成了所有步骤,恰好完成任务,步与步之间要相互独立,分步后再计算每一步 的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数.
A.9
B.12
C.8
D.24
思路分析:确定圆的方程需要分别确定出圆心的横坐标、纵坐标及半径,可以用分步乘法计数原理解决.
答案:D
解析:完成表示不同的圆这件事有三步:第1步,确定a有3种不同的选取方法;第2步,确定b有4种不同的选取方
法;第3步,确定r有2种不同的方法.由分步乘法计数原理,方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆共有 3×4×2=24(个).
人教A版数学选修2-3《1.1计数原理》课件(共15张ppt)
（5）某商场有6个门，某人从其中的任意一个门进入商场， 再从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？
明计数之道——辨析理解 固化原理
问题5：分类加法计数原理与分步乘法计数 原理的相同点和不同点是什么?
完__成__一N__件=__m_事_1 _有 __mn_类2__不 __m_同3__方_种案不，同在的第方法 1类。方案中有m1
种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方
法， 在第n类方案中有mn种不同的方法，那么
完成这件事共有_N_____m__1___m__2___ _____m__n___
巩固训练：
书架上第一层放有4本不同的计算机书，第 二层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同 的体育书。若从第一,二,三层中各取1本书，有 多少种不同取法？ 变解式：1：从若第从一书, 二架, 三上层任各取取1本1本书书，，有分多为少3个种步不骤同：取 法第？1步，从第一层取1本书，有4种不同的方法； 变第式22步：，若从从第书二架层上取取12本本书不，同有类3种 别不 的同 书的 ，方 有法多；少 种第不3同步取，法从？第三层取1本书，有2种不同的方法。
种不同的方法。
明计数之道——生活感知 初识原理
问题3：
(1) 小明先从北京到成都，飞机有4班，一天后再从成 都到重庆，火车有3班。小明乘坐这些交通工具从北京 经成都到重庆共有多少种不同的走法？
明计数之道——感知积累 再识原理
问题3：
(1) 小明先从北京到成都，飞机有4班，一天后再从成 都到重庆，火车有3班。小明乘坐这些交通工具从北京 经成都到重庆共有多少种不同的走法？
数学·选修2-3(人教A版)课件：第一章1.1第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理
(2)区别．
分类
分类加法计数原理
分步乘法计数原理 完成一件事，共有多少 个步骤，关键词是“分 步”
完成一件事，共有多少 区别 类方法，关键词是“分 一 类”
每类办法中的任何一种 区别 方法都能独立地完成这 二 件事，且每类方法得到 的都是最后结果
任何一步都不能完成这 件事，只有各个步骤都 完成了，才能完成这件 事
白色小球， 一只装有 6 个黑色小球， 一只装有 7 个红色小 球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有 ________ 种不同的取法． 解析：分为三类：一类是取白球、黑球，取法有 5×6 ＝30(种)；一类是取白球、红球，取法有 5×7＝35(种)； 一类是取黑球、红球，取法有 6×7＝42(种)．
归纳升华 解两个计数原理的综合应用题时， 最容易出现不知道 应用哪个原理解题的情况， 其思维障碍在于没有区分该问 题是“分类”还是“分步” ，突破方法在于认真审题，明 确“完成一件事”的含义．具体应用时灵活性很大，要在 做题过程中不断体会和思考，基本原则是“化繁为简”．
[变式训练]
有三只口袋装有小球，一只装有 5 个
4. 一个礼堂有 4 个门，若从任一个门进，从任一个 门出，共有不同走法________种． 解析： 从任一门进有 4 种不同走法， 从任一门出也有 4 种不同走法，故共有不同走法 4×4＝16(种)． 答案：16
5．一个袋子里放有 6 个球，另一个袋子里放有 8 个 球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取 法的种数为__________________． 解析：由分步乘法计数原理得不同取法的种数为 6×8＝48. 答案：48
答案：24
归纳升华 应用分步乘法计数原理解题时要注意以下三点： (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，怎 样才算完成了这件事； (2)完成这件事情需要分成 n 个步骤，只有各个步骤 都完成了，这件事情才能完成；
人教A版数学选修2-3全册课件：第一章 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
解：(1)有三类：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同 学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方 法． 由分类加法计数原理知，有3＋8＋5＝16种选法． (2)分三步：第1步选老师，有3种方法；第2步选男同学， 有8种方法；第3步选女同学，有5种方法． 由分步乘法计数原理知，共有3×8×5＝120种选法．
(3)可分两类，每一类又分两步． 第1类，选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选 法； 第2类，选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选 法． 由分类加法计数原理知，共有24＋15＝39种选法．
1.计数时出现的“遗漏”
[典例] 有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面，2面，3面在 某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不 同的信号，共可以组成多少种不同的信号？
[类题通法] 利用分类加法计数原理时要注意
(1)要准确理解题意，确定分类的标准． (2)分类时要做到“不重不漏”，即类与类之间要保证相 互间的独立性．
[活学活用] 若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数． 解：按 x 的取值进行分类： x＝1 时，y＝1,2,3,4,5，共构成 5 个有序自然数对； x＝2 时，y＝1,2,3,4，共构成 4 个有序自然数对； …… x＝5 时，y＝1，共构成 1 个有序自然数对． 根据分类加法计数原理，共有 N＝5＋4＋3＋2＋1＝15 个有 序自然数对.
分步乘法计数原理
[提出问题] 2013年9月，第12届全运会在辽宁召开，这是中 国体坛的一大盛事．一名志愿者从济南赶赴沈阳为 游客提供导游服务，但需在北京停留，已知从济南 到北京每天有7个航班，从北京到沈阳每天有6列火车． 问题1：该志愿者从济南到沈阳需要经历几个步骤？ 提示：两个，即先乘飞机到北京，再坐火车到沈阳．
高中数学(人教版)选修2-3教学课件：1.1《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》课件
探究 你能说说这个问题的特 征吗?
上述问题中 , 最重要的特征是 " 和" 字的出现 : 每个座位由一个英文字 母和一个阿拉伯数 字构成,.
一般地, 有如下原理 : 分步乘法计数原理 完 成一 件事需 要两个步骤, 做第1步有m种不同方法, 做第2步有n种不同方法, 那么完成这 件事共有 N m n 种不同的方法.
1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理
思考 用一个大写的英文字母 或一个阿拉伯数字 给教室里的座位编号 ,总共能编出多少种不同 的号 码? 因为英文字母共有 26个,阿拉伯数字 0 ~ 9共有10个, 所以总共可以编出 26 10 36种不同的号码 .
探究 你能说说这个问题的特 征吗?
无论第1步采用哪种方法 , 都不影响第 2步方法的选取 .
例 2 设某班有男生30名, 女生24 名.现要从中 选出男、女生各一名代 表班级参加比赛 , 共有 多少种不同的选法 ?
分析 选出一组参赛代表 ,可分两个步骤 .第 1步选男生 ,第2步选女生 . 解 第1步, 从30名男生中选出1人, 有30种不同 选法;
数的方法 , 计算自己拥有玩具的数 量;学校要 举行班际篮球比赛 , 在确定赛制后 , 体育组老 师要算一算 共需要举行多少场比赛 ;用红、
黄、绿三面旗帜组成航 海信号, 颜色的不同 排列表示不同的信号 , 共可以组成多少种不 同的信号 虽然用列举所有各种可 能性的方法 ,即一个 一个去数 , 可以求出相应的数, 但当这个数 很大时 ,列举的方法很 难实施 .本章所关心 的是如何能不通过一个 一个地 数而确定出 这个数.
思考 用前6个大写英文字母和 1 ~ 9九个 阿拉伯数字,以 A 1, A 2 , ,B1,B 2 , 的方式给 教室里的座位编号 ,总共能编出多少个不 同的号码?
(高中数学人教A选修2-3)分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件
例1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到 A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具 体情况如下:
A大学
B大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢?
变式：在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解 到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专 业,具体情况如下:
重点与难点
重点：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理 难点：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用
请思考: 问题1：用一个大写的英文字母
或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共 能够编出多少种不同的号码？
问题剖析
要完成什么事情
完成这个事情有几 类方案 每类方案能否独立 完成这件事情 每类方案中分别有 几种不同的方法 完成这件事情共有 多少种不同的方法
分类计数原理
与分步计数原理
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学习目标
思维脉络
1.会分析分类加法计数原理与 分步乘法计数原理,能知道两个 计数原理的区别与联系. 2.能用分类加法计数原理与分 步乘法计数原理解决一些实际
问题.
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分析：完成给教室里的座位编号编号这件事 分两 步完成：第1步：先确定一个英文字母 第2步，后确定一个阿拉伯数字
字母 FBCDEA
树形图
数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
得到的号码
FABCDE1111 FABCDE2222 FABCDE3333 FABCDE4444 FABCDE5555 FABCDE6666 FABCDE7777 FABCDE8888 FABCDE9999
高中数学选修2-3优质课件1：1.1分类加法计数原理与分类乘法计数原理
解： (1)8+7+6=21;(2)8 7 6=336
5.爱美的美羊羊去商店买衣服。商店里有15种不同上衣，18种不同裙子。 （1）若只能买一件上衣或裙子，共有多少种不同的选法？ （2）若可以买上衣、裙子各一件，共有多少种不同选法？
区别3
各类办法是互相独立的。
各步之间是互相关联的。
即：类类独立，步步关联。
巩固练习
1.灰太狼开着飞机发现羊村正在开运动会，有12只羊在跳远、11只羊在跳 高、9只羊在标枪比赛、13只羊在铁饼比赛。灰太狼要从中抓一只羊，有多 少种不同的选择？ 根据分类计数原理，不同的选法共有:N=12+11+9+13=45（种） 2.由数字1，2，3，4，5可以组成多少种可以有重复数字的四位数？
N＝m1＋m2＋m3＋m4＋…＋mn 分类计数原理的特征：一步完成
问题探究
喜羊羊与灰太狼故事
狼堡
羊村
灰太狼从狼堡开飞机来羊村有2条航线，抓羊成功后，骑摩托 车跑回家有 3 条道路。那么灰太狼从狼堡到羊村、再返回家 一共有几种不同方法？
问题剖析
灰太狼做什么事情？
先开飞机去羊村抓羊再骑摩托车回家
完成这个事情有几步？
下车的可能方式有（ A ）种
A. 510
B. 105
C. 50
D. 以上都不对
课堂小结
区别1 区别2 区别3
分类计数原理
完成一件事，共有n类办法， 关键词“分类”
分步计数原理
完成一件事，共分n个步骤， 关键词“分步”
每一类中每一种方法都独立完 只有各个步骤都完成了，
新人教A版选修2-3高中数学第1章第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其简单应用课件
● 4．7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象 棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从这7人中选出2人分别参加象棋 比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？
● 3．设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画． ● (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同选法？ ● (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？ ● (3)从这些画中选出两幅不同种的画布置房间，有几种不同的选法？
● 【解析】(1)分为三类，从国画中选，有5种不同选法；从油画中选，有2种 不同选法；从水彩画中选，有7种不同选法．根据分类加法计数原理，共有 5＋2＋7＝14种选法．
● 正解：可先举例说出其中的一种情况，如数学、物理、化学知识竞赛的冠 军分别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产 生一名冠军，才完成了步．
● 第1步，产生第1个学科冠军，它一定被其中一名同学获得，有4种不同的 获得情况；
● A.45
B.54 C.44 D.55
● 【答案】A
● 【解析】每一名同学都有4种选择，由分步乘法计数原理可得不同的借阅 方案种数为4×4×4×4×4=45.故选A.
● 3.(2020年郴州模拟)用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求
相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有
种.
● 【答案】4 320
● 【答案】8
《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第 1.1课时)
1.圆的切线与圆只有一个公共点。
2.切线与圆心的距离等于半径(d=r)。
3.
想一想切线还有什么性质吗？
生活中圆与直线相切的实例
在雨中旋转的雨伞
思考
如图，⊙O的半径为r，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA
与直线l是不是一定垂直呢？为什么？
解：OA⊥l ,理由如下：
假设OA与直线l不垂直，过点O作OM⊥l于点M,
少有1名女生，那么不同的选派方案种数_____
A .
A. 14
B. 24
C. 28
D. 48
先分类，再分步！
课堂练习
2（2007年全国Ⅱ卷文科第10题）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的
一个小组，则不同的报名方法共有_____.
D
A．10种
B．20种
C. 25种
D . 32种
学生选小组N=
感谢各位的仔细聆听
人 教 版
数 学 九 年 级 上 册
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课堂练习
(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个允许重复数字的三位数.
解：
由于此三位数的数字允许重复，分三步：百、十、个位数各有5种取法，
所以可以组成
5×5×5=125
个三位数.
课堂小结
1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理：
①是排列组合问题的最基本的原理；
②是推导排列数、组合数公式的理论依据；
人教A版高中数学选修2-3课件高二《1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》
Zx.xk
北 B村 C村
中
南 南
从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有3种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种 不同的方法。
•
分析:
二、分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1种不 同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……，做第 n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有
26+10=36
•
问题 1.从甲地到乙地，可以乘火车，也可
以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车 有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一天 中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多 少种不同的走法? 分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。
2
a, b, c {3, 2, 0,1, 2,3}. 则可以得到多少个
不同的二次函数？其中图象过原点的二次函 数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限 的二次函数又有多少个？
•
•
05798415 分析:
10×10× 10× 10=104 10× 9 × 8 × 7=5040
变式: 若要求最后4个数字不重复 ,则又有多少种不同 • 的电话号码?
•
例5、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅， 分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多 少种不同的挂法？ Nhomakorabea•
课堂练习
1、在所有的两位数中，个位数字比十位数 字大的两位数有多少个？ 2、8本不同的书，任选3本分给3个同学，每 人1本，有多少种不同的分法？
人教A版高中数学选修2-3课件 1.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用课件3
[解法探究] 1.按颜色分类还可再细一些，第一类1， 4同色，2，3同色；第二类，1，4同色，2，3不同 色或2，3同色，1，4不同色；第三类，四个区域颜 色都不同．
2．可按涂色区域分步．第一步，涂区域1，有5种方 法；第二步，涂区域2，有4种方法；第三步，涂区 域3(区域3与区域2相同时只有1种涂法，不同时有3 种涂法)；第四步，涂区域4(区域3与区域2相同时， 区域4有4种涂法，否则区域4有3种涂法)，∴共有 涂法5×4×1×4＋5×4×3×3＝260种涂法．
[解析] 第一类：“多面手”去参加英语时， 选出只会日语的一人即可，有2种选法．
第二类：“多面手”去参加日语时，选出只会 英语的一人即可，有6种选法．
第三类：“多面手”既不参加英语又不参加日 语，则需从只会日语和只会英语中各选一人， 有2×6＝12(种)方法．
故共有2＋6＋12＝20(种)选法．
[解法探究] 由于英语、日语各去1人，故分 步计数即可，问题是有的人既会英语又会日 语，选英语或日语时这样的人都可以选到， 故可用间接法求解，由于“多面手”只有3＋ 7－9＝1人，故只有一种可能重复情形，∴不 同方法数为3×7－1＝20种．
如图，一环形花坛分成A、B、C、D四个区域， 现有4种不同的花供选种，要求在每个区域里 种1种花，且相邻的2个区域种不同的花，则 不同的种法种数为( )
A．96
B．84
C．60
D．48
[答案] B
[解析] A、C区域种同样的花时，A、C区域 有4种种法，B区域有3种种法，D区域有3种 种法；A、C区域种不同的花时，A区域有4种 种法，C区域有3种种法，B区域有2种种法， D区域有2种种法．所以一共有4×3×3＋ 4×3×2×2＝84种不同的种法．
人教A版数学选修2-3全册课件：第一章 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
解：(1)有三类：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同 学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方 法． 由分类加法计数原理知，有3＋8＋5＝16种选法． (2)分三步：第1步选老师，有3种方法；第2步选男同学， 有8种方法；第3步选女同学，有5种方法． 由分步乘法计数原理知，共有3×8×5＝120种选法．
第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的 选法；
第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的 选法；
第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的 选法．
根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或 从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30 ＋30＋20＝80种不同的选法．
[随堂即时演练]
1．现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤，如果一
条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )
A．7
B．12
C．64
D．81
解析：要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第 1 步，选 上衣，从 4 件上衣中任选一件，有 4 种不同选法；第 2 步， 选长裤，从 3 条长裤中任选一条，有 3 种不同选法．故共 有 4×3＝12 种不同的配法． 答案：B
(3)可分两类，每一类又分两步． 第1类，选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选 法； 第2类，选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选 法． 由分类加法计数原理知，共有24＋15＝39种选法．
1.计数时出现的“遗漏”
[典例] 有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面，2面，3面在 某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不 同的信号，共可以组成多少种不同的信号？
(1)仔细审题，抓住关键点确立分步标准，有特殊要求 的先行安排；
人教新课标版数学高二选修2-3讲义 1.1 第2课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用1．进一步理解和掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理．(重点)2．能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别阅读教材P6例5～P10，完成下列问题．1．用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步．应用加法原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性，各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成；应用乘法原理时，要注意“步”与“步”之间是连续的，做一件事需分成若干个互相联系的步骤，所用步骤依次相继完成，这件事才算完成．2．分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．3．分步要做到步骤完整，步与步之间要相互独立，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数．1．由1,2,3,4组成没有重复数字的三位数的个数为_____________________．【解析】由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为4×3×2＝24.【答案】242．(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)展开后共有________项.【导学号：29472005】【解析】该展开式中每一项的因式分别来自a1＋a2＋a3，b1＋b2＋b3，c1＋c2＋c3＋c4中的各一项．由a1，a2，a3中取一项共3种取法，从b1，b2，b3中取一项有3种不同取法，从c1，c2，c3，c4中任取一项共4种不同的取法．由分步乘法计数原理知，该展开式共3×3×4＝36(项)．【答案】363．5名班委进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为________．【解析】根据题意，B只适合当学习委员，有1种情况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余的3人担任剩余的工作，有3×2×1＝6种情况，由分步乘法计数原理，可得共有1×3×6＝18种分工方案．【答案】184．某电话局的电话号码为1395305××××，若最后四位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有________个．【解析】采用分步计数的方法，四位数字由6或8组成，可分四步完成，每一步有两种方法，根据分步乘法计数原理有2×2×2×2＝24＝16个．【答案】16[小组合作型]抽取(分配)问题(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种(2)甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数有________．【精彩点拨】(1)由于去甲工厂的班级分配情况较多，而其对立面较少，可考虑间接法求解．(2)先让一人去抽，然后再让被抽到贺卡所写人去抽．【自主解答】(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案．则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种)．故选C.(2)不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，共3种取法，余下来的人，都只有1种选择，所以不同取法共有3×3×1×1＝9(种)．【答案】(1)C(2)9求解抽取(分配)问题的方法1．当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．2．当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．[再练一题]1．3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？【解】法一(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有5种选择；第二步：放第二个小球有4种选择；第三步：放第三个小球有3种选择．根据分步乘法计数原理得：共有方法数N＝5×4×3＝60.法二(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5，分成以下10类：第一类：空盒子标号为(1,2)：选法有3×2×1＝6(种)；第二类：空盒子标号为(1,3)：选法有3×2×1＝6(种)；第三类：空盒子标号为(1,4)：选法有3×2×1＝6(种)；分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10类，每一类都有6种方法．根据分类加法计数原理得，共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60(种)．组数问题用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：(1)四位密码？(2)四位数？(3)四位奇数？【精彩点拔】(1)利用分步乘法计数原理；(2)数字“0”不能排在首位，先排首位，再用分步乘法计数原理；(3)注意到个位只能是“1或3”，首位不能是“0”，然后利用分步乘法计数原理计算．【自主解答】(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步：第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N＝5×4×3×2＝120个．(2)直接法：完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：第一步，从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字，有4种不同的选取方法；第二步，从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；第三步，从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N＝4×4×3×2＝96个．间接法：将5个数字不重复排在4个位置上有5×4×3×2＝120种排法，其中不合要求的有4×3×2＝24种排法．所以排成无重复数字的四位数为120－24＝96个．(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步，定个位，只能从1,3中任取一个有2种方法；第二步，定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个还有3个可任取一个有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理共有2×3×3×2＝36个．1．对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．2．解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则．[再练一题]2．由0,1,2,3这四个数字，可组成多少个：(1)无重复数字的三位数？(2)可以有重复数字的三位数？【导学号：29472006】【解】(1)0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3×3×2＝18(个)．(2)百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择．由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4＝48(个)．[探究共研型]涂色问题探究1用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？A B C D图1-1-1【提示】涂A区有3种涂法，B，C，D区域各有2种不同的涂法，由分步乘法计数原理将A，B，C，D四个区域涂色共有3×2×2×2＝24(种)不同方案．探究2在探究1中，若恰好用3种不同颜色涂A，B，C，D四个区域，那么哪些区域必同色？把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？【提示】恰用3种不同颜色涂四个区域，则A，C区域，或A，D区域，或B，D区域必同色．由加法计数原理可得恰用3种不同颜色涂四个区域共3×2×1＋3×2×1＋3×2×1＝18(种)不同的方案．探究3在探究1中，若恰好用2种不同颜色涂完四个区域，则哪些区域必同色？共有多少种不同的涂色方案？【提示】若恰好用2种不同颜色涂四个区域，则A，C区域必同色，且B、D区域必同色．先从3种不同颜色中任取两种颜色，共3种不同的取法，然后用所取的2种颜色涂四个区域共2种不同的涂法．由分步乘法计数原理可得恰好用2种不同颜色涂四个区域共有3×2＝6(种)不同的涂色方案．将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图1-1-2所示的图中，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？图1-1-2【精彩点拨】给图中区域标上记号A，B，C，D，E，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色取决于B与D涂的颜色，如果B与D颜色相同有2种，如果不相同，那么只有1种．因此应先分类后分步．【自主解答】法一：给图中区域标上记号A，B，C，D，E，如图所示．①当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种．②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种．故共有48＋24＝72种不同的涂色方法．法二：按涂色时所用颜色种数多少分类：第一类，用4种颜色．此时B，D区域或A，E区域同色，则共有2×4×3×2×1＝48种不同涂法．第二类，用3种颜色．此时B，D同色，A，E同色，先从4种颜色中取3种，再涂色，共4×3×2×1＝24种不同涂法．由分类加法计数原理共48＋24＝72种不同涂法．求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：(1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；(3)对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题．[再练一题]3．现有4种不同的颜色要对如图1-1-3所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种．图1－1－3【解析】按A→B→C→D顺序分四步涂色，共4×3×2×2＝48种不同的着色方法．【答案】481．定义集合A与B的运算A B如下：A B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A ＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A B的元素个数为()A．34B．43C．12 D．16【解析】确定A B中元素(x，y)，可分为两步，第一步，确定x，共有3种方法；第二步，确定y，有4种方法，根据分步乘法计数原理，共有3×4＝12种不同的方法．【答案】 C2．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有()A．6种B．7种C．8种D．9种【解析】可按女生人数分类：若选派一名女生，有2×3＝6种；若选派2名女生，则有3种．由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法．【答案】 D3．3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有________种.【导学号：29472007】【解析】每名同学都有4种不同的报名方案，共有4×4×4＝64种不同的方法．【答案】644．甲、乙、丙3个班各有三好学生3,5,2名，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有________种不同的推选方法．【解析】分为三类：第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分步乘法计数原理有3×5＝15种选法；第二类，甲班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有3×2＝6种选法；第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有5×2＝10种选法．根据分类加法计数原理，共有15＋6＋10＝31种不同选法．【答案】315. 用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图1-1-4所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔．问：该板报有多少种书写方案？图1-1-4【解】第一步，选英语角用的彩色粉笔，有6种不同的选法；第二步，选语文学苑用的彩色粉笔，不能与英语角用的颜色相同，有5种不同的选法；第三步，选理综视界用的彩色粉笔，与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同，有4种不同的选法；第四步，选数学天地用的彩色粉笔，只需与理综视界的颜色不同即可，有5种不同的选法，共有6×5×4×5＝600种不同的书写方案．。
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S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究一 分类加法计数原理
分类加法计数原理是涉及完成一件事的不同方法的计数种类 ,每一类 中的各种方法都是相互独立的,且每一类中的每一种方法都可以独立地完 成这件事,在应用该原理解题时,首先要根据问题的特点,确定好分类的标准. 分类时应满足 :完成一件事的任何一种方法,必属于某一类且仅属于某一类. 【典型例题 1】 某校高三共有三个班,各班人数如下表.
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1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理
探究一 探究二 探究三 探究四
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J 基础知识 Z 重点难点
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2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第 1 步有 m 种不同的方法,做第 2 步有 n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m×n 种不同的方法.
思考 2 完成一件事需要 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方
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1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理
探究一 探究二 探究三 探究四
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解:(1)从每个班选 1 名学生任学生会主席,共有 3 类不同的方案 : 第 1 类,从高三(1)班中选出 1 名学生,有 50 种不同的选法; 第 2 类,从高三(2)班中选出 1 名学生,有 60 种不同的选法; 第 3 类,从高三(3)班中选出 1 名学生,有 55 种不同的选法. 根据分类加法计数原理知,从三个班中选 1 名学生任学生会主席,共有 50+60+55=165 种不同的选法. (2)从高三(1)班、(2) 班男生或高三(3)班女生中选 1 名学生任学生会生 活部部长,共有 3 类不同的方案 : 第 1 类,从高三(1)班男生中选出 1 名学生,有 30 种不同的选法 ; 第 2 类,从高三(2)班男生中选出 1 名学生,有 30 种不同的选法 ; 第 3 类,从高三(3)班女生中选出 1 名学生,有 20 种不同的选法. 根据分类加法计数原理知,从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中 选 1 名学生任学生会生活部部长,共有 30+30+20=80 种不同的选法.
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1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理
探究一 探究二 探究三 探究四
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思路分析:(1)从每个班选 1 名学生任学生会主席都能独立完成这件事, 因此应采用分类加法计数原理.(2)完成这件事有三类方案,因此也应采用分 类加法计数原理.
法,做第 2 步有 m2 种不同的方法,……,做第 n 步有 mn 种不同的方法,则完成 这件事共有多少种不同的方法 ? 提示:m1×m2×…×mn
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探究一 探究二 探究三 探究四
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第一章
计数原理
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1.1 分类加法计数原理与分步乘法计 数原理
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1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理
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课程目标 1.会分析分类加法计数原理与分步乘法计数原理, 能知道两个原理的区别与联系. 2.能用分类加法计数原理与分步乘法计数原理解 决一些实际问题.
男生人数 高三(1)班 高三(2)班 高三(3)班 30 30 35 女生人数 20 30 20 总人数 50 60 55
(1)从三个班中选 1 名学生任学生会主席,有多少种不同的选法; (2)从高三(1)班、(2) 班男生中或从高三(3)班女生中选 1 名学生任学生 会生活部部长,有多少种不同的选法 ?
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探究一 探究二 探究三 探究四
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规律总结注意分类标准要明确,不能相互交叉或重复,每
类办法都能独立地完成这件事.
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探究二 分步乘法计数原理
利用分步乘法计数原理解决问题时应注意: (1)按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的; (2)各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各个步骤都完成才算完成这 件事. 【典型例题 2】 已知集合 M= {-3,-2,-1,0,1,2},P(a, b)(a,b∈M) 表示平面 上的点, 问 :(1)点 P 可表示平面上多少个不同的点 ? (2)点 P 可表示平面上第二象限内多少个不同的点? 思路分析:完成“确定点 P”这件事,需要依次确定点 P 的横坐标和纵坐 标,应运用分步乘法计数原理求解.
学习脉络
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1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法.那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法.
思考 1 完成一件事有 n 类不同的方案,在第 1 类方案中有 m1
种不同的方法,在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法,……,在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法,则完成这件事共有多少种不同的方法? 提示:m1+m2+…+mn
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1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理
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