一起学奥数-余数问题.ppt

÷3余2
÷4余3
一个自然数
商
我们可以去假设最后得到的商是a，则这个自然数为3×（4a+3）+2=12a+11
因为6|12a，所以12a+11除以6所得余数，与11÷6的余数相同，即为5.
求余数过程中，可以把能够整除一部分去除
例4：有一张纸剪成6块，从所得纸片中取出若干块，每块各剪成6块，再从所得 纸片中取出若干块，每块各剪成6块······如此进行下去，到剪完某一次后停止。 所得纸总数有可能是2012，2013，2014，2015，2016这几个数中的（）。
从这列数的前7个数看，数字快速变大，第2014个数的书写也会变得麻烦。且按给定条件，也很难 写出这一数列的通项。所以，我们可以尝试第二种方法。
把前7个数除以6，得到的余数是：1、3、3、1、3、3、1。可见，余数是按3个一组不断循环出现。
2014÷3=671……1
因为2014除以3的余数是1，说明第2014个数除以6的余数在循环组的第一个位置，即1。
两个整数相除，有两种情况： 一是能整除，即余数为零；另一是不能整除，即余数不为零。
用代数思想表示两数相除：a=b × q + r（0≤r＜b） 或 a ÷ b = q……r （0≤r＜b）
例2：有一个整数，用它去除70、110、160所得到的3个余数和是50.这个 整数是多少？
【分析】先用代数思想，设这个整数为a，三个余数为r、q、p（r+q+p=50），则和a的三个相互关 系可以用如下式子表示： 70=r mod（a），110= q mod（a），160=p mod（a） 即： a|70-r； a|110-q； a|160-p 所以：a|70+110+160-50=a|290=a|2×5×29 下面我们来分析下a的取值范围。 如果a＜17，则r、q、p都小于17，三个余数之和则小于50，所以，必有一个以上的数大于等于17。 如果a>70，则这个整数去除70的余数必定为70，所以三个余数的和，必定大于50。
【分析】310是被除数，所求两位数为除数。由余数是37，可知除数是大于37两位整数。 又因为310-37=273=3×7×13，所以这个两位数是39或91。
解：∵ 余数是37 ∴ 这个两位数大于37
又∵310-37=273 且273=3×7×13 ∴ 这个两位数我39或91
被除数÷除数=商……余数 余数< 除数
所以，这个整数必定在17和70之间。且a|2×5×29，所以这个整数为29或58。 用58去除110的余数为52，不符合要求。所以这个整数为29
在数论问题中，最关键的是用好代数思想
例3：一个自然数除以3，得余数2，用所得的商除以4，得余数3.若用这 个自然数除以6，得余数（）。
【分析】首先请大家回想一下还原法。并结合这个题目，写出还原法的分析过程。
风子编辑
余数问题
五年级
教育目标
使学生初步理解有余数除法的意义，掌握有余数除法的横竖式写法 掌握除法运算中，各运算部分包含的意义 学会用带余数的除法来解决实际问题
教育重点
用代数思想解决带余数的除法问题，及余数相等的运算
教育难点
代数思想在数论中的运用
第一课 基础部分
例1：一个两位数除310，余数是37。求这样的两位数。
例6：有一列数：1，3，9，25，69，189，517，···，其中第一个数是1，第二个 数是3，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加1，那么这列数 中的第2014个数除以6，得到的余数是（）。
【分析】对一列数的分析，有两种方式，一种是先按规律找出一般表达式，即通项，再按通项算出 指定数；另一种是先对数列进行分析，根据分析结果找出规律，再完成指定数与这个规律间的对应 关系分析。
知识点小结
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/6/112020/6/11Thursday, June 11, 2020
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/6/112020/6/112020/6/116/11/2020 6:45:40 AM
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
。2020年6月11日星期四2020/6/112020/6/112020/6/11
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THE END 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年6月2020/6/112020/6/112020/6/116/11/2020
16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/6/112020/6/11June 11, 2020
总共只有6箱货物，我们先来看看六箱总的重量： 15+16+18+19+20+31=119
显然，119不能被3整除：119÷3=39……2 ，因为5个箱子的总重必须被3整除，所以六箱重量除以 3余2，是由于其中一个箱子的重量除以3余2引起。 从六个箱子分别的重量中，可以看出，只有20除以3余2，所以剩下的一箱货物重量为20千克。
所以，最后所得的数，必定是除以5余1。题目中五个数，仅2016÷5余1 。
要学会从复杂的过程中找出规律
例5：商店里有六箱货物，分别重15、16、18、19、20、31千克，两个顾客买走 了其中五箱。已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的 一箱货物重量是（）千克。
【分析】一个顾客买的货物重量是另一个的2倍，如果设一个顾客买的货物重量是a，则另一个买的 货物重量是2a，两个人的货物的合计重量为3a，即两个顾客的货物的重量能够被3整除。
• 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/6/112020/6/112020/6/11Jun-2011-Jun-20
• 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/6/112020/6/112020/6/11Thursday, June 11, 2020
• 13、志不立，天下无可成之事。2020/6/112020/6/112020/6/112020/6/116/11/2020
【分析】首先大家来演示一下这个过程。 一张纸剪成6块，比原来增加了6块； 从6块中随便取出几块，那一块剪成6块，总的数量又增加了5块；再取一张剪成6块，总的数量还 是增加了5块，如此直至剪完取出的几块纸。 再从所得的纸片中取出若干块，用上面同样的方法剪，结果每剪一次就增加5块纸。 请大家告诉我，发现了一个什么样的规律？ 没剪一次，就增加5块纸。最后纸的数量与剪的次数相关，而与取出的方法无关。
• 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/6/112020/6/112020/6/112020/6/11
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