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小学五年级奥数—数论之同余问题
小学五年级奥数—数论之同余问题数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：1 当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商2 当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16 39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19 42除以5的余数等于3+4 7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1 3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
数论之余数问题---学生版
数论之余数问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
【知识点拨】1.余数的加法定理①a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
②当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
2.余数的乘法定理①a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
②当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例题精讲：【模块一：带余除法的定义和性质】【例 1】用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．【巩固】1、 (清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．2、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
【例 2】(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【巩固】用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？【例 3】三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。
【巩固】一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________．【例 4】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【巩固】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【例 5】有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.巩固1、有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.2、在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)【例 6】两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a b⨯．>，求ab ba【巩固】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？【巩固】在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．【例 7】20032与22003的和除以7的余数是________．【例 8】有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【巩固】用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________【巩固】号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【例 9】(《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．【巩固】(全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【例 10】求2461135604711⨯⨯÷的余数．【巩固】 (华罗庚金杯赛模拟试题)求478296351⨯⨯除以17的余数．【巩固】"2"20002222个除以13所得余数是_____.【巩固】 求89143除以7的余数．【巩固】 222212320012002+++++除以7的余数是多少？【巩固】 ()30313130+被13除所得的余数是多少？【巩固】 1996777777⋅⋅⋅个除以41的余数是多少？【例 11】一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a，2a+，则这个自然数是多少？a+，5【巩固】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【例 12】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【巩固】（2009年走美初赛六年级）有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？【例 13】托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．课 后 作 业练习1. 两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．练习2. 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？练习3. 1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．练习4：有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？练习5：若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_______．练习6：2008222008+除以7的余数是多少？【备选5】一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数．。
5余数问题
第五讲余数问题内容概述从此讲开始，我们来进一步研究数论的有关知识。
小学奥数中的数论问题，涉及到整数的整除性、余数问题、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，余数问题在小学数学中非常重要。
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r）, 0≤r＜b；当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商余数问题和整除性问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数那么就能和整除性问题联系在一起了。
余数有如下一些重要性质，我们将通过例题给大家讲解。
例题讲析【例1】（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
分析：法1：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088；则乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。
法2：将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到：乙数=1056÷12=88 ，甲数=1088-88=1000 。
【例2】 1013除以一个两位数，余数是12。
求出符合条件的所有的两位数。
分析：1013-12=1001，1001=7×11×13，那么符合条件的所有的两位数有13、77、91 有的同学可能会粗心的认为11也是。
11小于12，所以不行。
大家做题时要仔细认真。
【例3】（小学数学奥林匹克初赛）有苹果、桔子各一筐，苹果有240个、桔子有313个，把这两筐水果分给一些小朋友，已知苹果等分到最后余2个不够分，桔子分封最后还余7个桔子不够再分，求最多有多少个小朋友参加分水果?分析：此题是一道求除数的问题。
有余数的除法课件ppt
用11根小棒摆
，各能摆几个？
用算式表示出来。
摆3个还剩2根
11÷3＝3（个）……2（根）
摆2个还剩3根
11÷4＝2（个）……3（根）
摆2个还剩1根
11÷5＝2（个）……1（根）
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
1. 17个 ，2个2个地圈。
2. 23个 ，3个3个地圈。
圈了（ 8）组， 剩下（ 1）个。
17÷2＝ 8（组）……
1（个）
圈了（ 7）组， 剩下（ 2）个。
23÷3＝ 7（组）…… （2个）
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5
2
5
2
独立思考，并写 出算式。
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选择你喜欢的装法，试 试看，并写出算式。
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1、在平均分时，如果分到剩下的 已经不够再分一份，那么就可 以用有余数的除法表示。
2、剩下不能再分的数叫做余数。
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二年级奥数第24讲——余数妙用(二)
——梦想从这里起飞学生课程讲义课程名称二年级奥数上课时间任课老师沈老师第24 讲，本讲课题：余数妙用二内容概要利用余数的性质，解决有趣的数学问题。
我们已经学习了有余数的除法,都知道在有余数的除法里,余数要比除数小。
利用余数,可以解决许多有趣的实}际问题,就看你会不会巧妙地应用余数了。
解答习题时,首先要把重复出现的部分作为一组,再想总数里有几个这样的一组。
如果相除没有余数,说明某个物体(或数)是一组中的最后一个;如果相除有余数,那么余数是几,某个物体(或数)就是一组中的第几个,从而解出所求问题。
【例1】王老师把1~40号卡片依次发给小亮、小红、小云、小强4个同学,第26张卡片应发给谁?举一反三1.1.把1—50号卡片依次发给甲、乙、丙、丁4个同学,已知1号发给甲,40号应发给谁?2.小亮练习书法,他把“我爱伟大的祖国”这句话依次反复书写,第58个字应写什么?3.把10~40号卡片依次发给甲、乙、丙、丁4个同学,已知10号发给甲,30号卡片应发给谁?——梦想从这里起飞【例2】有一列数3,1,2,3,1,2,3,1,2……,第20个数是多少?这20个数的和是多少?随堂练习21.有一列数4,0,2,1,4,0,2,1,4,0,2,1,…,第30个数是多少?这30个数的和是多少？2.有一列数2,1,0,3,4,2,1,0,3,4,2,1,0,3,4…第64个数是多少？这64个数的和是多少？3.一串字母共有43个,按ABCDEABCDEABCDE…排列,最后一个是什么字母?这串字母中A、B、C、D、E各有多少个？【例3】小明问小刚:“今天是星期五,再过31天，是星期几?”同学们,你能帮助小刚回答这个问题吗？随堂练习31.2015年6月29日是星期一,2015年8月1日是星期几?2.2015年10月1日是星期四,2016年1月1日是星期几?——梦想从这里起飞3.2016年11月1日是星期二2017年1月1日是星期几？【例4】 8个队员围成一圈做游戏,从1号队员开始，按箭头方向向下一个人传球，在传球时按顺序报数，当报到75时，球在几号队员手上？随堂练习41.把1~38号卡片依次发给小青、小红、小明、小华4个人,已知1号发给小青,20号该发给谁?38号呢?2.6个小朋友围在一起做“传花”游戏,从A 开始按箭头方向向下一个人传花。
小学奥数中的余数问题PPT课件.ppt
7
? 4. 393除以一个两位数 ,余数为8,这样的两位数有 _____ 个,它们是 _____.
解：4. 4; 11,35,55,77 393减8,那么差一定能被两位数整除 .
∵393-8=385
4
同余定理（三）
a与b的乘积除于c的余数，等于a，b分别除于c 的余数之积（或这个积除于c的余数）
例：23,16除于5的余数非别是3和1，所以 （23×16）除于5的余数等于3×1＝3 例：23，19除于5的余数非别是3和4，所以 （23×19）除于5的余数等于（3×4）除于5 的余数，即2
5
? 1．小东在计算除法时，把除数 87写成78，结果 得到的商是54，余数是8.正确的商是 _____,余数 是_____.
? 2. a÷24=121…… b,要使余数最大，被除数应该
等于_____. ? 3. 一个三位数被 37除余17,被36除余3,那么这个
三位数是_____.
6
解1. 48,44. 依题意得 被除数=78×54+8=4220 而4220=87 ×48+44,所以正确的商是 48,余数是44. 解 2. 2927 因为余数一定要比除数小 ,所以余数最大为 23,故有 被除数 =24×121+23=2927 解3. 831 这个三位数可以写成 37×商+17=36×商+(商+17). 根据“被 36除余3”.(商+17)被36除要余 3.商只能
9
? 6. 888……8 乘以666……6的积，除以 7余数是
50个8
50 个6
余数学生用
课题名称：余数问题授课教师：刘彬教学目标1：余数的定义2：余数的三大定理知识点一、余数的定义一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≢r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
例1 (第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．【解析】因为1992是a的46倍还多r,得到19924643 (14)a=，=⨯+，所以43÷=，得1992464314r=．14【巩固】(清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．【巩固】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
例2 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【解析】 被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968．【巩固】 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？例 3 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。
余数的除法解决问题作业ppt
THANKS
提高学生运用余数的除法解决 实际问题的能力
培养学生观察、分析、推理和 有条理思考问题的习惯
学习目标
了解余数的除法的概念及原理 能够运用余数的除法解决实际问题
掌握如何运用余数的除法优化解题的思路和方法
02
基础知识
什么是余数
定义
余数是在除法中不能整除的部分，即被除数减去除数乘以商后，剩余的数值 。
详细描述
这个例子展示了一个复杂的问题如何被分解成更小的部分。比如一个数被7除余数为3，被5除余数为2，我们 可以先通过列方程的方式来解决。首先，设这个数为x，那么x=7n+3，x=5m+2，其中n和m为任意整数。通 过联立方程组的方式，我们可以解出x的值。
实例三：实际生活中的问题解决
总结词
运用余数解决生活中的实际问题
例子
当10除以3时，余数为1。
除法的性质
整除
当被除数和除数都能被某个数整除时，它们的商和余数都为0。
余数的性质
当两个数相减时，它们的余数相等。
余数的性质
余数的性质
余数具有以下性质，(a)余数的范围是0到除数-1；(b)被除数 减去除数乘以商即为余数；(c)如果被除数和除数交换位置， 余数不变；(d)同余数的和等于余数的和。
详细描述
在余数除法中，被除数被除数整除后得到的余数，这个余数一定是小于除数的。 这是因为在整除后，余数是在除数的范围内产生的，不会超过除数的范围。
如何优化解决方案
总结词
通过分析问题，利用找规律、画图等方式优化解决方案
详细描述
在解决余数除法问题时，不应盲目进行计算，而是应当先分 析问题的特点。通过观察题目的特征，我们可以尝试寻找规 律，有时甚至可以通过画图的方式来解决。在找到问题的突 破口后，就可以列出式子计算出结果
《有余数的除法解决问题》精品课件
怎么解答？ 第16面小旗是什么颜色的？
第16面
第12面
怎么解答？ 第16面小旗是什么颜色的？
根据摆小旗的规律，也可以用除 法解答。
怎么解答？ 第16面小旗是什么颜色的？
16÷3 =5(组)……1(面)
5 3 16
15 1
怎么解答？ 第16面小旗是什么颜色的？
16÷3 =5(组)……1(面) 余数是1，就说明第16面小旗是下 一组里的第一面，应该是黄色。
4 13
5
答：数到了无名指。
课堂小结
这节课你有什么收获？
周期问题解题方法 ①总数÷周期 ②有余看余（如果有余数，余数是几，那么所求
事物就是下一组里的第几个。） ③无余看末（如果没有余数，那么所求事物就是
最后一组里的最后一个 ）
10 11
8 2
7 12 36
4 13
5
第20个数是第5组的第3个数，从 食指数起，第3个数数到无名指。
从大拇指开始往右数数，数到小拇指倒回来数无名
指，数到大拇指再倒回去数食指……这样从1数到20，
数到了哪个手指？
20－1= 19（个）
9
19÷4=4（组）……3（个） 1
10 11
8 2
7 12 36
数到了哪个手指？
除了第一组，每组都是4个 数；单数组从食指数到小拇
10 11
9
8 2
7 12 36
4 13
1
5
指；双数组从无名指数到大
拇指。
从大拇指开始往右数数，数到小拇指倒回来数无名
指，数到大拇指再倒回去数食指……这样从1数到20，
数到了哪个手指？
20－1= 19（个）
9
有余数的除法例6ppt课件
1.
按照上面的规律穿一串珠子，第24 个珠子 应该是什么颜色？
7
2、4个同学轮流报数，27号是谁报的？ 38号是谁报的？
1
2
3
4
红红
军军
玲玲
明明
8
⑴从左边起，花盆照这样摆下去，第19盆 是什么颜色？
……
19 ÷ 2 ＝ 9(组) ……1(盆)
答：第25盆花是_蓝__色的。
9
⑵从左边起，彩灯照这样排下去，第18盏灯是 什么颜色？
是星期几？
13
一座大楼上的彩灯按红、黄、蓝、 绿的顺序依次排列，一共有37个灯 泡，想一想第20个灯泡是什么颜色？ 最后一个灯泡是什么颜色？
14
小精灵明明也做了一道有余数的除法，可是一不 小心被墨水弄黑了，你能猜出弄黑的地方是几吗？ （ ）÷7=6……（ ）
15
有34个士兵要上训练场，每辆吉普车可载4个 士兵，要调几辆车才能把他们一次运走？
14小精灵明明也做了一道有余数的除法可是一不小心被墨水弄黑了你能猜出弄黑的地方是几吗
1
(1) (2)
2
例6 ：按照下面的规律摆小旗。这样摆下去， 第16面小旗应该是什么颜色？
3
16÷3= 5(组）……1（面）
5
3）1165
余数是1，就说明第 16面小旗是下一组里 的第1面，应该是黄 色。
1
为什么余数是1，旗子的颜色就一定是黄色的呢？
……
18 ÷ 3 ＝ 6(组)
答：第48盏灯是_绿__色的。
10
⑶从左边起，彩旗照这样排下去，第37面旗是 什么颜色？
……
37 ÷ 4 ＝ 9(组) …… 1(面) 答：第37面彩旗是_红__色的。
小学奥数 余数性质(一)
1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理 a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
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两个整数相除，有两种情况： 一是能整除，即余数为零；另一是不能整除，即余数不为零。
用代数思想表示两数相除：a=b × q + r（0≤r＜b） 或 a ÷ b = q……r （0≤r＜b）
例2：有一个整数，用它去除70、110、160所得到的3个余数和是50.这个 整数是多少？
【分析】先用代数思想，设这个整数为a，三个余数为r、q、p（r+q+p=50），则和a的三个相互关 系可以用如下式子表示： 70=r mod（a），110= q mod（a），160=p mod（a） 即： a|70-r； a|110-q； a|160-p 所以：a|70+110+160-50=a|290=a|2×5×29 下面我们来分析下a的取值范围。 如果a＜17，则r、q、p都小于17，三个余数之和则小于50，所以，必有一个以上的数大于等于17。 如果a>70，则这个整数去除70的余数必定为70，所以三个余数的和，必定大于50。
【分析】首先大家来演示一下这个过程。 一张纸剪成6块，比原来增加了6块； 从6块中随便取出几块，那一块剪成6块，总的数量又增加了5块；再取一张剪成6块，总的数量还 是增加了5块，如此直至剪完取出的几块纸。 再从所得的纸片中取出若干块，用上面同样的方法剪，结果每剪一次就增加5块纸。 请大家告诉我，发现了一个什么样的规律？ 没剪一次，就增加5块纸。最后纸的数量与剪的次数相关，而与取出的方法无关。
。2020年6月11日星期四2020/6/112020/6/112020/6/11
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THE END 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年6月2020/6/112020/6/112020/6/116/11/2020
16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/6/112020/6/11June 11, 2020
知识点小结
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/6/112020/6/11Thursday, June 11, 2020
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/6/112020/6/112020/6/116/11/2020 6:45:40 AM
所以，最后所得的数，必定是除以5余1。题目中五个数，仅2016÷5余1 。
要学会从复杂的过程中找出规律
例5：商店里有六箱货物，分别重15、16、18、19、20、31千克，两个顾客买走 了其中五箱。已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的 一箱货物重量是（）千克。
【分析】一个顾客买的货物重量是另一个的2倍，如果设一个顾客买的货物重量是a，则另一个买的 货物重量是2a，两个人的货物的合计重量为3a，即两个顾客的货物的重量能够被3整除。
÷3余2
÷4余3
一个自然数
商
我们可以去假设最后得到的商是a，则这个自然数为3×（4a+3）+2=12a+11
因为6|12a，所以12a+11除以6所得余数，与11÷6的余数相同，即为5.
求余数过程中，可以把能够整除一部分去除
例4：有一张纸剪成6块，从所得纸片中取出若干块，每块各剪成6块，再从所得 纸片中取出若干块，每块各剪成6块······如此进行下去，到剪完某一次后停止。 所得纸总数有可能是2012，2013，2014，2015，2016这几个数中的（）。
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
总共只有6箱货物，我们先来看看六箱总的重量： 15+16+18+19+20+31=119
显然，119不能被3整除：119÷3=39……2 ，因为5个箱子的总重必须被3整除，所以六箱重量除以 3余2，是由于其中一个箱子的重量除以3余2引起。 从六个箱子分别的重量中，可以看出，只有20除以3余2，所以剩下的一箱货物重量为20千克。
• 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/6/112020/6/112020/6/112020/6/11
谢谢观看
所以，这个整数必定在17和70之间。且a|2×5×29，所以这个整数为29或58。 用58去除110的余数为52，不符合要求。所以这个整数为29
在数论问题中，最关键的是用好代数思想
例3：一个自然数除以3，得余数2，用所得的商除以4，得余数3.若用这 个自然数除以6，得余数（）。
【分析】首先请大家回想一下还原法。并结合这个题目，写出还原法的分析过程。
例6：有一列数：1，3，9，25，69，189，517，···，其中第一个数是1，第二个 数是3，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加1，那么这列数 中的第2014个数除以6，得到的余数是（）。
【分析】对一列数的分析，有两种方式，一种是先按规律找出一般表达式，即通项，再按通项算出 指定数；另一种是先对数列进行分析，根据分析结果找出规律，再完成指定数与这个规律间的对应 关系分析。
从这列数的前7个数看，数字快速变大，第2014个数的书写也会变得麻烦。且按给定条件，也很难 写出这一数列的通项。所以，我们可以尝试第二种方法。
把前7个数除以6，得到的余数是：1、3、3、1、3、3、1。可见，余数是按3个一组不断循环出现。
2014÷3=671……1
因为2014除以3的余数是1，说明第2014个数除以6的余数在循环组的第一个位置，即1。
风子编辑
余数问题
五年级
教育目标
使学生初步理解有余数除法的意义，掌握有余数除法的横竖式写法 掌握除法运算中，各运算部分包含的意义 学会用带余数的除法来解决实际问题
教育重点
用代数思想解决带余数的除法问题，及余数相等的运算
教育难点
代数思想在数论中的运用
第一课 基础部分
例1：一个两位数除310，余数是37。求这样的两位数。
【分析】310是被除数，所求两位数为除数。由余数是37，可知除数是大于37两位整数。 又因为310-37=273=3×7×13，所以这个两位数是39或91。
解：∵ 余数是37 ∴ 这个两位数大于37
又∵310-37=273 且273=3×7×13 ∴ 这个两位数我39或91
被除数÷除数=商……余数 余数< 除数
• 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/6/112020/6/112020/6/11Jun-2011-Jun-20
• 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/6/112020/பைடு நூலகம்/112020/6/11Thursday, June 11, 2020
• 13、志不立，天下无可成之事。2020/6/112020/6/112020/6/112020/6/116/11/2020