高考数学二轮复习 12.3 二项分布与正态分布课件 理
高三总复习数学优质课件 二项分布与正态分布
,此时称随机变量X
4.正态分布
(1)正态曲线:函数
μ,σ
(σ>0).我们称函数
μ,σ
(x)=
(-)
,x∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ为参数
(x)的图象为正态线位于x轴 上方 ,与x轴不相交;
②曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称;
同时发生的概率.(
)
(6)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均
值,σ是正态分布的标准差.(
)
答案:(1)× (2)×
(3)× (4)× (5)√
(6)√
2.已知 3 件次品和 2 件正品混在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一
件产品,检测后不放回,则在第一次取出次品的条件下,第二次取出的也是次品的
种试验,在这种试验中每一次试验只有 两 种结果,即要么发生,要么不发生,
且任何一次试验中发生的概率都是一样的.
(2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发
生的概率为p,则P(X=k)=
服从二项分布,记为
p (1-p) (k=0,1,2,…,n)
k
n-k
X～B(n,p) ,并称p为成功概率.
()
()
,求 P(B|A)
借助古典概型概率公式,先求事件 A 包含的基本事件数 n(A),再求事
()
件 AB 所包含的基本事件数 n(AB),得 P(B|A)=
()
缩小样本空间的方法,就是去掉第一次抽到的情况,只研究剩下的情
况,用古典概型求解,它能化繁为简
考点二
相互独立事件同时发生的概率(综合性)
正态分布(第1课时) 二项分布与正态曲线(课件)高二数学(人教B版2019选择性必修第二册)
1
在 y 轴左右两侧面积各占2， − ≤ ≤ 0 = 0 ≤ ≤ ，故 A、C、D 正确．
故选：ACD
04 课堂练习
四 课堂练习
【练习 1】函数() =
1
2π
e
−
− 2
2 2
(其中 < 0)的图象可能为（ ）
＝μ对称的区间上相等.
三、正态曲线与x轴所围的面积
【练习 3】
（多选）下图是正态分布 0,1 的正态曲线图，可以表示图中阴影部分面积的式子有
（
）
1
A．2 − ≤ −
1
C． ≤ − 2
1
B． ≤ 1 − − 2
1
D．2 − ≥
三、正态曲线与x轴所围的面积
高二数学
第三章 排列、组合和二项式定理
4.2.5 正态分布
第1课时 二项分布与正态曲线
高二选择性必修第二册（2019人教B版）
01 学习目标
01 学习目标
1.利用二项分布随机变量分布列的直观图，了解正态曲线的意义. （重点）
2.能借助正态曲线理解正态曲线的性质，明确正态曲线中参数μ，σ的意义
及其对正态曲线形状的影响. （难点）
03 新知探索
一、二项分布和正态曲线
1.二项分布分布列的直观图的特点：当n充分大时，随机变量X～B(n，p)
的直观表示总是具有中间高、两边低的性质.
1
2.正态曲线的解析式：φ(x)＝
·e
σ 2π
( x )2
2 2
, φ(x)的解析式中含有μ和σ两
DX
个参数，其中：μ＝E(X)，即X的均值；σ＝_______，即X的标准差.
北师大版高三数学(理)一轮复习《二项分布与正态分布》课件
第十二章
12.4 二项分布与正态分布
考纲要求
知识梳理
双击自测
核心考点
-9-
12345
2.袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球,不放回地依次从中摸
出两个小球,则在第一次摸得红球的条件下,第二次仍是红球的概
率为( )
A.38
B.27
C.28
D.37
关闭
第一次摸出红球,还剩 2 红 5 黑共 7 个小球,所以再摸到红球的概率
第十二章
12.4 二项分布与正态分布
考纲要求
知识梳理
双击自测
核心考点
-8-
12345
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”.
(1)条件概率一定不等于它的非条件概率. ( × ) (2)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立. ( × ) (3)相互独立事件就是互斥事件. ( × ) (4)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B). ( ) (5)X服从正态分布,通常用X~N(μ,σ2)表示,其中参数μ和σ2分别表 示正态分布的均值和方差. ( )
情况如下表:
作物产量/kg 概率
300 500 0.5 0.5
作物市场价格/(元/kg)
6 10
概率
0.4 0.6
(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列; (2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利 润不少于2 000元的概率.
第十二章
12.4 二项分布与正态分布
. 关闭
(方法一)由于第一次抽到 A,则第二次抽牌时,还有 3 张 A,共 51 张牌,
而每张牌被抽到的概率是相等的,故第二次也抽到
A
高三数学二轮复习 二项分布与正态分布 课件(全国通用) (1)
，x∈(－∞，＋∞)(其中实数 μ 和
σ(σ>0)为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.
(2)正态曲线的特点 不相交； ①曲线位于x轴上方，与x轴______ x＝μ 对称； ②曲线是单峰的，它关于直线_____ 1 2π σ ； ③曲线在x＝μ处达到峰值_______
④曲线与x轴之间的图形的面积为__ 1；
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4.
【名师助学】 1.本部分知识可以归纳为：
(1)四个条件：二项分布事件发生满足的四个条件：①每次试验中， 事件发生的概率都相同；②各次试验中的事件相互独立；③每次 试验结果只有发生、不发生两种情形；④随机变量是这 n 次独立 重复试验中事件发生的次数.
第五节
二项分布与正态分布
考点梳理
考纲速览 (1) 了解条 件概 率和 两个事件相互独立 的概念，理解 n 次独
命题解密 主要考查条件概率和
热点预测 预测 2016年
两个事件相互独立的概念、 高考可能会对独 n 次独立重复试验的模型 立事件的概率、
1.条件概率. 立 重 复 试 验 的 模 型 2. 相 互 独 立 及 二 项 分 布 ， 并 能 事件的概率.解 决 一 些 简 单 的 实
(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立.
3.独立重复试验与二项分布
独立重复试验
二项分布
在n次独立重复试验中，设事件A
相同 条件下重复做的 发生的次数为 X ，在每次试验中 在 _____ 定义 n 次试验为 n 次独立重复 事件A发生的概率为p，此时称随 试验 机变量X服从二项分布，记作 成功 概率 X～B(n，p)，并称p为_____ 用 Ai(i ＝ 1 ， 2 ，„， n) 表 在n次独立重复试验中，事件A恰 计算 示 第 i 次 试 验 结 果 ， 则 好 发 生 k 次 的 概 率 为 P(X ＝ k) ＝ 公式 P(A1A2A3
2020高考理数总复习课件：二项分布及正态分布
考点三 独立重复试验与二项分布(易错警示)
[例 3] 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上 的 40 件产品作为样本称出它们的质量(单位： 克)， 质量的分组区间为(490， 495]， (495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图). (1) 根据频率分布直方图，求质量超过 505 克的产品数量； (2) 在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件， 设 X 为质量超过 505 克的产品数量，求 X 的分布列； (3) 从该流水线上任取 2 件产品， 设 Y 为质量超过 505 克的产品数量，求 Y 的分布列.
[例 1] (1)(一题多解)从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，事件 A＝“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B＝“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)＝( 1 A. 8 1 B. 4 2 C. 5 1 D. 2
3奇数中任取2个
)
解析 (1)法一
2 C2 3＋C2 4 2 P(A)＝ ＝ ＝ ， C2 10 5 5
考点三 独立重复试验与二项分布(易错警示)
[训练 3] (2018· 河北“五个一”名校联盟二模)空气质量指数(AirQuality Index， 简称 AQI)是定量描述空气质量状况的指数， 空气质量按照 AQI 大小分为六级： 0～50 为优；51～100 为良；101～150 为轻度污染；151～200 为中度污染； 201～300 为重度污染；300 以上为严重污染. 一环保人士记录去年某地六月 10 天的 AQI 的茎叶图如图. (1) 利用该样本估计该地六月空气质量为 优良(AQI≤100)的天数； (2)将频率视为概率，从六月中随机抽取 3 天， 记三天中空气质量为优良的天数为 ξ，求 ξ 的分布列.
【创新课堂】高考数学总复习 专题10 第8节 二项分布与正态分布课件 理
(2)正态分布的三个常用数据．
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826 ；
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544 ；
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0.9974 .
典例分析
考点一 条件概率 【例1】 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随 机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱 取出红球的概率是多少？
根据X的分布列知：p(X＝0)＝P( A B B )＝P( A )P( B )P( B )＝0.75(1－q2)2＝0.03， 所以1－q2＝0.2，即q2＝0.8. (2)当X＝2时，p1＝P( A B B ＋ A B B)＝P( A B B )＋P( A B B)
＝P( A )P(B)·P( B )＋P( A )P( B )P(B)＝0.75 q2(1－q2)×2＝1.5 q2(1－q2)＝0.24；
4. 二项分布 在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X，在每次试验中事件 A 发生 的概率为 p，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为
P记(X作＝kX)＝～CBpk((n1－ ，pp，)n)－并k称(kp＝为0成,1,功2，概…率，．n)．此时称随机变量 X 服从二项分布，
解 记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球． 则P(B)＝2＋4 4＝23，P( B )＝1－P(B)＝13，P(A|B)＝38＋ ＋11＝49，P(A| B )＝8＋3 1＝13， 从而P(A)＝P(AB)＋P(A B )＝P(A|B)P(B)＋P(A| B )P( B )＝49×23＋13×13＝2117.
高中数学课件-第8讲 二项分布、超几何分布与正态分布
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
第8讲 二项分布、 超几何分布与正态分 布
2
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
考试要求
1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单
的实际问题.2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用.
01
聚焦必备知识
4
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954.
答案：0.954
02
突破核心命题
14
考 点 一 二项分布
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
考向 1 伯努利试验
例 1 (2024·江西重点中学协作体第一次联考)我国古代典籍《艺经》
中记载了一种名为“弹棋”的游戏，其规则为：双方各执 4 子，摆放好后，
10
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
2.回源教材
(1)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的
次数，则随机变量X的均值E(X)＝( A )AFra bibliotek2B.1
C.12
D.14
A 由题意可知，X～B(4，12)，E(X)＝4×12＝2.
11
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
②曲线在_□1_2_x_＝__μ_处达到峰值
σ
1 2π.
③当|x|无限增大时，曲线无限接近 x 轴.
7
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
(3)3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973. (4)正态分布的均值与方差
知识讲解_高考总复习：二项分布与正态分布(基础)
高考总复习：二项分布与正态分布【考纲要求】一、二项分布及其应用1、了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2、理解n次独立重复试验的模型及二项分布；3、能解决一些简单的实际问题。
二、正态分布利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
【知识网络】【考点梳理】考点一、条件概率1．条件概率的定义设A、B为两个事件，且P（A）＞0，称P（B|A）=P（AB）/P（A）为在事件A发生的条件下，事件B 发生的条件概率。
要点诠释：条件概率不一定等于非条件概率。
若A，B相互独立，则P（B|A）=P（B）。
2．条件概率的性质①0≤P（B|A）≤1；②如果B、C是两个互斥事件，则P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）。
考点二、独立重复试验及其概率公式1．事件的相互独立性设A、B为两个事件，如果P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立。
2.判断相互独立事件的方法(1)利用定义:事件A、B相互独立，则P(AB)=P(A)·P(B)；反之亦然。
(2)利用性质:A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B , A 与B 也都相互独立. (3)具体模型①有放回地摸球,每次摸球结果是相互独立的.②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验. 要点诠释：要明确“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的含义。
已知两个事件A 、B ，则A 、B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ； A 、B 都发生的事件为AB ； A 、B 都不发生的事件为AB ；A 、B 恰有一个发生的事件为AB ∪AB ；A 、B 中至多有一个发生的事件为AB ∪AB ∪AB 。
3．独立重复试验 （1）独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，即若用(1,2,,)i A i n =表示第i 次试验结果，则123123()()()()()n n P A A A A P A A A A =（2）独立重复试验的概率公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：()(1)k k n k n n P k C P p -=-。
高考数学考点突破——随机变量及其分布(理科专用)：二项分布与正态分布
二项分布与正态分布【考点梳理】1．条件概率2．事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立. (2)性质：若事件A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立，P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A ).3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1，2，…，n )是第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n ).(2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0，1，2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率.4．正态分布 (1)正态分布的定义如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2).其中φμ，σ(x )()222x μσ-- (σ>0).(2)正态曲线的性质①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交，与x 轴之间的面积为1； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974. 【考点突破】考点一、条件概率【例1】(1)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P(B |A )＝________.(2)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A ．110B ．15C ．25D ．12 [答案] (1) 14(2) C[解析] (1)由题意可得，事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2π.事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”，则P (AB )＝S △EOH S 圆O ＝12×12π×12＝12π.故P (B |A )＝P ABP A ＝12π2π＝14.(2)设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1512＝25.故选C.【类题通法】1. 利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ），这是求条件概率的通法.2. 借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.【对点训练】1．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A ．18B ．14C ．25D ．12 [答案] B[解析] 法一 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝11025＝14.法二 事件A 包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB 发生的结果只有(2，4)一种情形，即n (AB )＝1. 故由古典概型概率P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝14.2．某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球、4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )A ．35B ．59C ．110D ．25 [答案] B[解析] 第一次摸出新球记为事件A ，则P (A )＝35，第二次取到新球记为事件B ，则P (AB )＝C 26C 210＝13，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1335＝59. 考点二、相互独立事件同时发生的概率【例2】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． [解析] (1)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的分布列为：(2)设Y 率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.【类题通法】求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.②正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.【对点训练】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.[解析] 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ， 于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220，因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13 ×25＝215， P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315＝15， P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝25.故所求的分布列为【例3】空气质量指数(AirQuality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染.一环保人士记录去年某地六月10天的AQI 的茎叶图如图.(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI ≤100)的天数；(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列.[解析] (1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，∴该样本中空气质量为优良的频率为610＝35，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×35＝18.(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为35，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，35. ∴P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125，P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫35⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝36125， P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫25＝54125，P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125，ξ的分布列为【类题通法】利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.【对点训练】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值.由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65)，[65，75)，[75，85]内的频率之比为4∶2∶1.(1)求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75)内的产品件数为X，求X的分布列.[解析] (1)设这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为x，则落在区间[55，65)，[65，75)内的频率分别为4x，2x.依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)×10＋4x＋2x＋x＝1，解得x＝0.05.所以这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.05.(2)由(1)得，这些产品质量指标值落在区间[45，75)内的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，将频率视为概率得p＝0.6.从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X服从二项分布B(n，p)，其中n＝3，p＝0.6.因为X的所有可能取值为0，1，2，3，且P(X＝0)＝C03×0.60×0.43＝0.064，P(X＝1)＝C13×0.61×0.42＝0.288，P (X ＝2)＝C 23×0.62×0.41＝0.432， P (X ＝3)＝C 33×0.63×0.40＝0.216，所以X 的分布列为【例4】(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)＝( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2(2)某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)近似服从正态分布N (100，102)，已知P (90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数约为________．[答案] (1) C (2) 10[解析] (1)画出正态曲线如图，结合图象知：P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝1－P (ξ<4)＝1－0.8＝0.2，P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝12[1－P (ξ<0)－P (ξ>4)]＝12(1－0.2－0.2)＝0.3.(2)由题意，知P (ξ>110)＝1－2Pξ2＝0.2，所以该班学生数学成绩在110分以上的人数约为0.2×50＝10. 【类题通法】对于正态分布N (μ，σ2)，由x ＝μ是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的a ，有P (X <μ－a )＝P (X >μ＋a )；(2)P (X <x 0)＝1－P (X ≥x 0)；(3)P (a <X <b )＝P (X <b )－P (X ≤a )．【对点训练】1．设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P (ξ<2)＝0.8，则P (0<ξ<1)的值为________． [答案] 0.3[解析] P (0<ξ<1)＝P (ξ<2)－P (ξ<1)＝0.8－0.5＝0.3.2．某地高三理科学生有15 000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)，已知P (80<ξ≤100)＝0.35，若按成绩分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取( )A ．5份B ．10份C ．15份D ．20份 [答案] C[解析] ∵数学成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)，P (80<ξ≤100)＝0.35，∴P (80<ξ≤120)＝2×0.35＝0.70，∴P (ξ>120)＝12×(1－0.70)＝0.15，∴应抽取的份数为100×0.15＝15.。
高中数学课件：二项分布与正态分布
[抓特征] 该选手获奖可分三种情形：一是猜对 2 次；二是
猜对 3 次；三是猜对 4 次.利用独立重复试验的概率公式，即可
得结果.也可以利用其对立事件的概率公式去求解.
[解析] 法一：该选手获奖的概率 P＝C24×124＋C34×124＋ C44×124＝1116＝0.687 5.
法二：该选手获奖的对立事件为“该选手只猜对一次和一次 都没有猜对”，故所求概率 P＝1－C14×124＋124＝1－156＝1116＝ 0.687 5.
考法(三) 二项分布 [例 3] 某气象站天气预报的准确率为 80%，计算(结果保留 到小数点后第 2 位)： (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率； (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率； (3)5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的概率．
[解] 令 X 表示 5 次预报中预报准确的次数，
⑤当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线随着__μ__的变化而沿
x 轴平移； ⑥当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，σ 越小 ，曲线越“瘦高”，
表示总体的分布越集中；σ 越大 ，曲线越“矮胖”，表示总 体的分布越分散．
(2)正态分布的三个常用数据 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈ 0.682 6 ； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈ 0.954 4 ； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈ 0.997 4 .
1
公式，得 P(B|A)＝PPAAB＝120＝14.
答案：14
5
2．(2020·石家庄摸底)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪 烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后 都出现红灯的概率为15，则开关在第一次闭合后出现红灯的条 件下第二次闭合后出现红灯的概率为________． 解析：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件 A，“开关 第二次闭合后出现红灯”为事件 B，则“开关两次闭合后都 出现红灯”为事件 AB，“开关在第一次闭合后出现红灯的 条件下第二次闭合后出现红灯”为事件 B|A，由题意得
高考数学总复习 119二项分布与正态分布课件 理 北师大版
[解析] (1)甲恰好击中目标 2 次的概率为 C23123＝38. (2)乙至少击中目标 2 次的概率为 C23232·13＋C33233＝2207.
(3)设乙恰好比甲多击中目标 2 次为事件 A，乙恰好 击中目标 2 次且甲恰好击中目标 0 次为事件 B1，乙恰好 击中目标 3 次且甲恰好击中目标 1 次为事件 B2，则 A＝ B1＋B2，B1、B2 为互斥事件．
[解析] 本题考查正态分布的性质，如下图，
由图像可知 P(X≤μ)＝12.
6．在 4 次独立重复试验中事件 A 出现的概率相同， 若事件 A 至少发生一次的概率为6851，则事件 A 在 1 次 试验中出现的概率为________．
[答案]
1 3
[解析] A 至少发生一次的概率为6851，则 A 的对立事 件－A ：事件 A 都不发生的概率为 1－6851＝1861＝234，所以， A 在一次试验中出现的概率为 1－23＝13.
设 X 表示这 n 次试验中成功的次数，则 P(X＝k)＝ __C__kn_P_k_(1__－__P_)_n_－_k__(k＝0,1,2,3…，n)一个随机变量 X 的分布列如 上所述称 X 服从参数为 n，P 的二项分布，简记为 X～B(n，P)．
2．正态分布是现实中最常见的分布，它有两个重要的参数： _均__值___μ_，__方__差___σ_2_(_σ_>_0_)_，通常用 X～N(μ，σ)表示服从参数为 μ
第 九 节 二项分布与正态分布(理)
考纲解读 1．理解二项分布的试验模型． 2．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲 线所表示的意义．
考向预测 1．在选择题、填空题中考查二项分布及正态分布曲线的特 点． 2．在解答题中考查二项分布的概率，或者综合考查分布列、 均值、方差等．
2019届二轮复习 二项分布及正态分布 课件(45张)(全国通用)
答案 B
3.(2018· 烟台调研)设袋中有大小相同的4个红球和2个白球，若
从中有放回地依次取出一个球，则6次取球中取出2个红球的
2 概率为________. 解析 由题意得取出红球个数 X 服从二项分布，即 X～B6，3，所以 P(X＝2)
222 14 20 ＝C6 · ＝ .
(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 0.682 6
4 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)0.954 ＝_________ ； ②P(μ－2σ<X≤μ＋20.997 σ)＝_________ ； 4 ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝_________.
[常用结论与微点提醒]
1. 运用公式 P(AB) ＝ P(A)P(B) 时一定要注意公式成立的条件， 只有当事件A，B相互独立时，公式才成立. 2. 注意二项分布与超几何分布的联系与区别 . 有放回抽取问题 对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容
P(A) P(B) ＝______ ，P(A|B)＝______.
3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验，其中 Ai(i＝1，2，…， n)是第 i 次试验结果，则
P(A1)P(A2)P(A3)…P(An) P(A1A2A3…An)＝_______________________.
1 1 1 均不去的概率为 P( A B )＝P( A )· P( B )＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－31－4＝2，甲、乙
二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率 1 1 为 1－P( A B )＝1－2＝2. 1 答案 2
(σ>0). (2)正态曲线的性质
§12.3 二项分布与正态分布 高考数学(理科,课标三)复习专题
Ｘ
０
１
２
３
Ｐ
０．０２７
０．１８９
０．４４１
０．３４３
∵ Ｘ ～ Ｂ（３，０．７） ， ∴ Ｅ（ Ｘ）＝ ｎｐ ＝ ２．１．
１－１ 近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇，为规范 和评估该行业的情况，相关管理部门制定出针对电商的商品和 服务的评价体系．现从评价系统中选出 ２００ 次成功交易，并对其评 价进行统计分析，对商品的好评率为 ０．６，对服务的好评率为 ０．７５，其 中对商品和服务都做出好评的交易为 ８０ 次．
１．化为古典概型：Ｐ（
Ｂ
｜
Ａ）
＝
Ｐ（ ＡＢ） Ｐ（ Ａ）
＝
ｎ（ ＡＢ） ｎ（ Ａ）
．
２．化为几何概型：Ｐ（
Ｂ
｜
Ａ）
＝
Ｐ（ ＡＢ） Ｐ（ Ａ）
＝
Ω（ ＡＢ） Ω（ Ａ）
．
３．缩减样本空间：在事件 Ａ 发生的前提下，确定事件 Ｂ 的缩减
样本空间 ΩＡ ＝ Ω∩Ａ，并在 ΩＡ 中计算事件 Ｂ 发生的概率，从而 得到 Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）．
Ａ
恰好发生
ｋ
次可看作
Ｃ
ｋ ｎ
个互斥
事件的和，其中每一个事件都可看作 ｋ 个事件 Ａ 与（ ｎ－ｋ） 个事件
Ａ 同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是 ｐｋ（ １ －
ｐ） ｎ－ｋ ．因此，ｎ 次独立重复试验中事件 Ａ 恰好发生 ｋ 次的概率为
Ｃ
ｋ ｎ
ｐ
ｋ（
１
－ｐ）
ｎ－ｋ
．
２．写二项分布时，首先确定随机变量 Ｘ 的取值，然后用公式
①求对商品和服务全为好评的次数 Ｘ 的分布列； ②求 Ｘ 的数学期望和方差． 附：临界值表