2018年湖南中考数学复习课件5.5 相似三角形(湖南)

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2018年中考数学专项复习学案：第五章基本图形二第28讲图形的相似第1课时相似形

第28讲图形的相似第1课时课时相似形相似形1．比例线段．比例线段考试内容考试内容考试考试要求要求比例比例线段线段定义定义在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．比，那么这四条线段叫做成比例线段．a基本基本性质性质若a b ＝c d，则ad ad＝＝bc.bc.当当b ＝c 时，时，b b 2＝ad ad，那么，那么b 是a 、d 的比例中项．比例中项．黄金黄金分割分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC(AC>BC)BC(AC>BC)，如果，如果AC 是线段AB 和BC 的比例中项，且AC AB ＝BC AC ＝5－12≈0.6180.618，，那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点．割点．2.2.平行线分线段成比例平行线分线段成比例平行线分线段成比例考试内容考试内容考试考试要求要求基本基本事实事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段． c推论推论平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边((或两边的延长线或两边的延长线))，所得的对应线段成比例．成比例．3.3.相似图形的有关概念相似图形的有关概念相似图形的有关概念考试内容考试内容考试考试要求要求相似图形________________________________________相同的图形称为相似图形．相同的图形称为相似图形．相同的图形称为相似图形．a相似多相似多边形边形两个边数相同的多边形，如果它们的角分别如果它们的角分别，边，那么这两个多边形叫做相似多边形．多边形叫做相似多边形．相似多边形对应相似多边形对应的比叫做相似比．的比叫做相似比．(1)(1)相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比； (2)(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方相似多边形面积的比等于相似比的平方相似多边形面积的比等于相似比的平方相似三相似三角形角形两个三角形的三个角分别两个三角形的三个角分别_ _ ，三条边，三条边，则这两个三角形相似．当相似比等于1时，这两个三角形时，这两个三角形． 4.4.相似三角形的判定相似三角形的判定相似三角形的判定考试内容考试内容考试考试要求要求判定1________________________________________于三角形一边的直线和其他两边相交，于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．三角形与原三角形相似．a 判定2 三边三边的两个三角形相似．的两个三角形相似．判定3 两边两边且夹角且夹角的两个三角形相似．的两个三角形相似．判定4 两角分别两角分别的两个三角形相似．的两个三角形相似．判定5满足斜边和一条直角边满足斜边和一条直角边的两个直角三角形相似．的两个直角三角形相似．拓展拓展直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．两个三角形都与原三角形相似．5.5.相似三角形的性质相似三角形的性质相似三角形的性质考试内容考试内容考试考试要求要求性质性质1.1.相似三角形的对应角相似三角形的对应角相似三角形的对应角，对应边对应边． a2.2.相似三角形对应高的比、相似三角形对应高的比、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应中线的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的对应角平分线的比和周长的比都等于比都等于．3.3.相似三角形面积的比等于相似比的相似三角形面积的比等于相似比的相似三角形面积的比等于相似比的____________________. ____________________.三角形三角形的重心的重心三角形三条中线的交点叫做重心．三角形三条中线的交点叫做重心．三角形的重心分每一条中线成1∶2的两条线段．拓展拓展如图，△ABC 中，∠中，∠ACB ACB ACB＝＝9090°，°，CD 是斜边AB 上的高，则有下列结论．则有下列结论．①AC 2＝AD·AB；＝AD·AB；②BC 2＝BD·AB；＝BD·AB；③CD 2＝AD·BD；＝AD·BD；④AB AB··CD CD＝AC·BC.＝AC·BC.＝AC·BC.考试内容考试内容考试考试要求要求基本基本思想思想转化思想：证角相等，证比例线段往往转化为证相似三角形；测量问题，往往构建相似三角形，即实际问题转化为相似三角形问题来解决．往往构建相似三角形，即实际问题转化为相似三角形问题来解决．b1．(2017·杭州．(2017·杭州))如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB AB，，AC 上，DE DE∥∥BC BC，，若BD BD＝＝2AD 2AD，，则( ( )A .AD AB ＝12 B .AE EC ＝12 C .AD EC ＝12 D .DE BC ＝12 2．(2015·嘉兴．(2015·嘉兴))如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F.AC 与DF 相交于点H ，且AH AH＝＝2，HB HB＝＝1，BC BC＝＝5，则DEEF的值为的值为( ( ( )A .12B ．2C .25D .35 3．(2015·嘉兴．(2015·嘉兴))如图是百度地图的一部分如图是百度地图的一部分((比例尺1∶4000000)．按图可估测杭州在嘉兴的南偏西偏西_______________________________________度方向上，杭州到嘉兴的图上距离约2cm ，则杭州到嘉兴的实际距离约为________________________________________．．【问题】如图，点D 在△ABC 的边AC 上．上．(1)(1)要判断△ADB 要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件是相似，添加一个条件是____________________________________________________________；； (2)若△ADB∽△ABC，若△ADB∽△ABC，AB AB AB＝＝4，AD AD＝＝2，则AC AC＝＝________________；； (3)(3)通过通过通过(1)(1)(1)、、(2)(2)解答，你能说出相似三角形哪些知识？解答，你能说出相似三角形哪些知识？解答，你能说出相似三角形哪些知识？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理比例、相似多边形有关概念，相似三角形性质、判定．类型一比例性质、黄金分割等相关概念例1 (1)(2016·山西(1)(2016·山西))宽与长的比是5－12(约0.618)0.618)的矩形叫做黄金矩形，的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ABCD，，分别取AD AD、、BC 的中点E 、F ，连结EF EF；以点；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH⊥AD，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是，则图中下列矩形是黄金矩形的是( ( ( )A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH【解后感悟】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF 的长，再根据DF DF＝＝GF 求得CG 的长，最后根据CG 与CD 的比值为黄金比，判断矩形DCGH 为黄金矩形．为黄金矩形．(2)(2) 已知x 3＝y 4＝z 6≠0，求x ＋y －z x －y ＋z 的值．的值．【解后感悟】这类题我们一般是设辅助未知数k ，即比值为k ，把所有字母都用含有k 的式子表示出来，从而达到计算或化简的目的．示出来，从而达到计算或化简的目的．1．在中华经典美文阅读中，在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．宽与长之比为黄金比．已知这本书的已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为，则它的宽约为( ( ( )A ．12.36cmB ．13.6cmC ．32.36cmD ．7.64cm 2．(2015·扬州．(2015·扬州))如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A 、B 、C 都在横格线上，若线段AB AB＝＝4cm ，则线段BC BC＝＝cm .类型二相似多边形例2 已知矩形ABCD 中，中，AB AB AB＝＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ADCB 相似，则AD AD＝＝( ( )A .5－12B .5＋12C .3D ．2 【解后感悟】解题关键是根据相似多边形的性质：对应边的比等于相似比．【解后感悟】解题关键是根据相似多边形的性质：对应边的比等于相似比．3．(2015·葫芦岛．(2015·葫芦岛))如图，在矩形ABCD 中，中，AD AD AD＝＝2，CD CD＝＝1，连结AC AC，以对角线，以对角线AC 为边，按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形AB 1C 1C ，再连结AC 1，以对角线AC 1为边作矩形AB 1C 1C 的相似矩形AB 2C 2C 1，…，按此规律继续下去，则矩形AB n C n C n －1的面积为的面积为____________________________________________________________．．类型三相似三角形的判定与性质例3 (2016·南充(2016·南充))已知正方形ABCD 的边长为1，点P 为正方形内一动点，若点M 在AB 上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP 交AD 于点N ，连结CM.(1)(1)如图如图1，若点M 在线段AB 上，求证：AP⊥BN；上，求证：AP⊥BN；AM AM AM＝＝AN AN；；(2)①如图2，在点P 运动过程中，满足△PBC∽△PAM 的点M 在AB 的延长线上时，的延长线上时，AP AP AP⊥⊥BN 和AM ＝AN 是否成立？是否成立？((不需说明理由不需说明理由) )②是否存在满足条件的点P ，使得PC PC＝＝12？请说明理由．？请说明理由．【解后感悟】本题考查相似三角形的性质、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是熟练应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题．应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题．4．(1)(1)如图，在△ABC 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB AB，，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12，则S △ADE ∶S 四边形BCED 的值为( ( )A ．1∶3B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶4(2)(2) (2016·河北(2016·河北))如图，△如图，△ABC ABC 中，∠中，∠A A ＝7878°，°，°，AB AB AB＝＝4，AC AC＝＝6.6.将△ABC 将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是的是( ( ( )5．(1)(2015·自贡)将一副三角板按图叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于 .(2)(2015·无锡市南长区模拟(2)(2015·无锡市南长区模拟))如图，△如图，△ABC ABC 中，中，AB AB AB＝＝5，BC BC＝＝3，CA CA＝＝4，D 为AB的中点，过点D 的直线与BC 所在直线交于点E ，若直线DE 截△ABC 所得的三角形与△ABC 相似，则DE DE＝＝ .类型四与相似三角形相关的问题例4 如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，上的四个点，AC AC 平分∠BAD，平分∠BAD，AC AC 交BD 于点E ，CE CE＝＝4，CD CD＝＝6，则AE 的长为的长为( ( ( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解后感悟】本题运用圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD ＝∠CDB，证明△ACD∽△DCE.＝∠CDB，证明△ACD∽△DCE.6．(1)(1)已知：在△ABC 已知：在△ABC 中，中，BC BC BC＝＝1010，，BC 边上的高h ＝5，点E 在边AB 上，过点E 作EF∥BC，交AC 边于点F.F.点点D 为BC 上一点，连结DE DE、、DF.DF.设点设点E 到BC 的距离为x ，则△DEF 的面积S 关于x 的函数图象大致为函数图象大致为( ( ( )(2)(2015·杭州模拟(2)(2015·杭州模拟))在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新的三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是对于两人的观点，下列说法正确的是( ( ( ) )A ．两人都对．两人都对B ．两人都不对．两人都不对C ．甲对，乙不对．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对．甲不对，乙对(3)(3) (2015·滨州(2015·滨州))如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转，若∠BOA 的两边分别与函数y ＝－1x 、y ＝2x的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 的大小的变化趋势为的大小的变化趋势为( ( ( ) )A ．逐渐变小．逐渐变小B ．逐渐变大．逐渐变大C ．时大时小．时大时小D ．保持不变．保持不变7．(2016·龙东．(2016·龙东))已知，在平行四边形ABCD 中，点E 在直线AD 上，上，AE AE AE＝＝13AD AD，连结，连结CE 交BD 于点F ，则EF∶FC 的值是的值是 .【课本改变题】教材母题－－浙教版教材九上第149页第5题课本中有一道作业题：课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC ABC，它的边，它的边BC BC＝＝120mm ，高AD AD＝＝80mm .要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB AB，，AC 上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm?小颖解得此题的答案为48mm ，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．(1)(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm ？请你计算．？请你计算．(2)(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．【方法与对策】本题是课本改变题，试题设置上主要是三角形和矩形的组合，通过基本图形是相似三角形，揭示对应边成比例的关系式来解决问题，再深入探究，规律性较强，这种题型是中考常用的命题方式．常用的命题方式．【找不准相似三角形中的对应边】【找不准相似三角形中的对应边】如图，△如图，△ABC ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC∽△D 上，且△ABC∽△DBA BA BA，则下列结论一定正确的是，则下列结论一定正确的是，则下列结论一定正确的是( ( ( )A ．AB 2＝BC·BD ＝BC·BD B ．AB 2＝AC·BD ＝AC·BDC ．AB AB··AD AD＝BD·BC ＝BD·BC ＝BD·BC D ．AB AB··AD AD＝AD·CD ＝AD·CD ＝AD·CD参考答案第28讲图形的相似第1课时相似形【考点概要】【考点概要】2．成比例成比例 3.形状形状相等相等成比例成比例边相等相等成比例成比例全等全等 4.平行平行成比例成比例成比例成比例相等相等相等成比例成比例 5.相等相等成比例成比例相似比相似比平方平方【考题体验】【考题体验】1．B 2.D 3.45 80km 【知识引擎】【知识引擎】【解析】(1)添加条件是∠ABD ＝∠C 或∠ADB ＝∠ABC 或者AD AB ＝AB AC ； (2)由△ADB ∽△ABC ，得AD AB ＝ABAC，得AC ＝8； (3)相似三角形知识：性质、判定等．相似三角形知识：性质、判定等．【例题精析】【例题精析】例1 (1)(1)设正方形的边长为设正方形的边长为2，则CD CD＝＝2，CF CF＝＝1.1.在直角三角形在直角三角形DCF 中，中，DF DF DF＝＝12＋22＝5，∴FG FG＝＝5，∴CG CG＝＝5－1，∴CG CD ＝5－12，∴矩形DCGH 为黄金矩形．故选D . . (2)(2)(2)设设x 3＝y 4＝z 6＝k(k≠0)，根据题意，得x ＝3k 3k，，y ＝4k 4k，，z ＝6k 6k，所以，所以x ＋y －z x －y ＋z ＝3k 3k＋＋4k 4k－－6k 3k 3k－－4k 4k＋＋6k ＝k 5k ＝15. .例2 B 例3(1)(1)如图如图1中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AB＝＝BC BC＝＝CD CD＝＝AD AD，，∠DAB DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝909090°，°，∵△∵△PBC PBC PBC∽△∽△∽△PAM PAM PAM，∴∠，∴∠，∴∠PAM PAM PAM＝∠PBC，＝∠PBC，PM PC ＝AM BC ＝PA PB，∵∠，∵∠PBC PBC PBC＋∠PBA＝＋∠PBA＝＋∠PBA＝909090°，∴∠°，∴∠°，∴∠PAM PAM PAM＋∠PBA＝＋∠PBA＝＋∠PBA＝909090°，°，∴∠∴∠APB APB APB＝＝9090°，∴°，∴°，∴AP AP AP⊥⊥BN BN，∵∠，∵∠，∵∠ABP ABP ABP＝∠ABN，∠＝∠ABN，∠＝∠ABN，∠APB APB APB＝∠＝∠＝∠BAN BAN BAN＝＝9090°，∴△°，∴△°，∴△BAP BAP BAP∽△∽△∽△BNA BNA BNA，∴，∴PA PB PB＝＝ANAB AB，，∴AN AB ＝AM BC，∵AB AB＝＝BC BC，，∴AN AN＝＝AM. AM. (2)①仍然成立，(2)①仍然成立，AP AP⊥⊥BN 和AM AM＝＝AN.AN.理由如图理由如图2中，∵四边形ABCD 是正方形，∴是正方形，∴AB AB AB＝＝BC BC＝＝CD CD＝＝AD AD，∠，∠，∠DAB DAB DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝909090°，∵△°，∵△°，∵△PBC PBC PBC∽△∽△∽△PAM PAM PAM，∴∠，∴∠，∴∠PAM PAM PAM＝＝∠PBC，PM PC ＝AM BC ＝PA PB，∵∠，∵∠PBC PBC PBC＋∠PBA＝＋∠PBA＝＋∠PBA＝909090°，∴∠°，∴∠°，∴∠PAM PAM PAM＋∠PBA＝＋∠PBA＝＋∠PBA＝909090°，∴∠°，∴∠°，∴∠APB APB APB＝＝9090°，∴°，∴°，∴AP AP AP⊥⊥BN BN，，∵∠∵∠ABP ABP ABP＝∠ABN，∠＝∠ABN，∠＝∠ABN，∠APB APB APB＝∠BAN＝＝∠BAN＝＝∠BAN＝909090°，∴△°，∴△°，∴△BAP BAP BAP∽△∽△∽△BNA BNA BNA，∴，∴PA PB ＝AN AB ，∴AN AB ＝AM BC，∵，∵AB AB AB＝＝BC BC，∴，∴，∴AN AN ＝AM. AM. ②这样的点P 不存在．理由：假设PC PC＝＝12，如图3中，以点C 为圆心12为半径画圆，以AB为直径画圆，为直径画圆，CO CO CO＝＝BC 2＋BO 2＝52＞12＋12，∴两个圆外离，∴∠，∴两个圆外离，∴∠APB APB APB＜＜9090°，这与°，这与AP⊥PB 矛盾，∴假设不可能成立，∴满足PC PC＝＝12的点P 不存在．不存在．例4 设AE AE＝＝x ，则AC AC＝＝x ＋4，∵，∵AC AC 平分∠BAD，∴∠平分∠BAD，∴∠BAC BAC BAC＝∠CAD，∵∠＝∠CAD，∵∠＝∠CAD，∵∠CDB CDB CDB＝∠BAC(圆周角定＝∠BAC(圆周角定理)，∴∠，∴∠CAD CAD CAD＝∠CDB，∵∠＝∠CDB，∵∠＝∠CDB，∵∠ACD ACD ACD＝∠DCE，∴△ACD∽△DCE，∴＝∠DCE，∴△ACD∽△DCE，∴CD CE ＝AC DC ，即64＝x ＋46，解得：，解得：x x ＝5.故选B .【变式拓展】【变式拓展】1．A 2.12 2.12 3.3.5n 22n 2n－－1 4.(1)C (2)C 5.(1)1∶35.(1)1∶3 (2)2或103 6.(1)D (2)A (3)D 7.23或43 【热点题型】【热点题型】【分析与解】【分析与解】(1)(1)(1)设矩形的边长设矩形的边长PN PN＝＝2y mm ，则PQ PQ＝＝y mm ，由条件可得△APN∽△ABC，∴PN BC BC＝＝AEAD AD，，即2y 120＝8080－－y 80，解得y ＝2407，∴PN PN＝＝2407×2＝4807(mm )，答：这个矩形零件的两条边长分别为2407mm ，4807mm ； (2)(2)设设PN PN＝＝x mm ，由条件可得△APN∽△ABC，由条件可得△APN∽△ABC，∴∴PN BC ＝AE AD ，即x 120＝8080－－PQ 80，解得PQ PQ＝＝8080－－23x.∴S ＝PN·PQ＝＝PN·PQ＝x(80x(80x(80－－23x)x)＝－＝－23x 2＋80x 80x＝－＝－23(x (x－－60)2＋24002400，∴，∴，∴S S 的最大值为2400mm 2，此时PN PN＝＝60mm ，PQ PQ＝＝8080－－23×6060＝＝40(mm )．【错误警示】A ．∵△．∵△ABC ABC ABC∽△∽△∽△DBA DBA DBA，∴，∴AB BD ＝BC AB ，∴，∴AB AB 2＝BD·BC.＝BD·BC.。

中考数学一轮复习课件第23讲相似三角形的性质和判定

4.在△ABC中,P是AB上的动点(P异于A，B), 过点P的一条直线截△ABC,使截得的三角形与 △ABC类似,我们不妨称这种直线为过点P的 △ABC的类似线.如图,∠A=36°,AB=AC,当点 P在AC的垂直平分线上时,过点P的△ABC的类
似线最多有_____3_____条．
变式:如图,M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C
则CD的长为
.
A
F
D
E
B
G HC
Q
2.如图,将边长为6cm的正方形A第B1C4题D折图叠,使点 D落在AB边的中点E处,折痕为FH,点C落在Q
处,EQ与BC交于点G,则△EBG的周长是 cm.
3.如图,在△ABC中,AB=AC=10,点D是边BC上
一动点(不与B,C重合),∠ADE=∠B=α,DE交AC
的一定点,过M点作直线截△ABC,使截得的三角形
与△ABC类似,这样的直线共有( C )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
知识点梳理2:常见类似三角形的基本图形2
C
AD
B
C
A DO
B
自学检测2:(9分钟)
1.如图,等边△ABC的边长为3,P为BC上一点,
且BP=1,D为AC上一点,若∠APD=60°,
Q
(202X·广东)如图,正方形ABCD边长为4,M，N分别是BC,CD上的两个动点,当M点在BC上运动时, 保持AM和MN垂直. (1)求证:Rt△ABM∽Rt△MCN; (3)设BM＝x,当M点运动到什么位置时，
Rt△ABM∽Rt△AMN,求此时x的值.
对照
Q
4.如图已知,△ABC中,AB＝5,BC＝3,AC＝4， PQ∥AB,P点在AC上(与点A、C不重合),Q点在BC上. (1)当△PQC的面积与四边形 PABQ的面积相等时,求CP的长; (2)当△PQC的周长与四边形 PABQ的周长相等时,求CP的长; (3)试问:在AB上是否存在点M, 使得△PQM为等腰直角三角形? 若不存在,请简要说明理由; 若存在,要求出PQ的长.

中考数学复习·图形的相似+相似三角形专题(位似、相似、相似三角形证明及应用)名校名师全解全练精品课件

A．12.36 cm C．32.36 cm
5－1 【解析】∵黄金比为 ≈0.618 ， ∴ 它的宽约为 2 0.618×20≈12.36 cm.
【答案】A
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考
点
训
a
练
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2 ． (2010 中考变式题 )已知＝＝，且 a ＋ b＋ c≠0 ，则 2 5 7 2a＋3b－2c 的值为( a＋b＋c 5 A. 14 )
的周长与五边形 A′B′C′D′E′的周长的比值为
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中考典例精析
(2011·河北)如图所示，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1.点O和△ABC的顶点均为小正方形
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的顶点．
(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和 △ABC位似，且位似比为1∶2. (2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．(结果保留根号) 【点拨】位似图形一定是相似图形，可以利用相似图形的性质计算或证明．【解答】 (1) 如图所示． (2)AA′ ＝CC′ ＝ 2. 在
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第六章图形的相似与解直角三角形第23讲图形的相似与位似
考点知识精讲
中考典例精析
举一反三
考点训练
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考点知识精讲
考点一成比例线段与比例的定义及性质
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1．对于四条线段 a、b、c、d，如果做成比例线段，简称比例线段．
那么这四条线段叫
2．表示两个比相等的式子叫做比例式，简称比例． 3．连比：连在一起的三个数的比，叫做连比． a c 4．比例的基本性质：如果＝，那么 ad＝bc ，反之也成立．其中 b d a b a 与 d 叫做比例外项，b 与 c 叫做比例内项．特殊地＝ ⇔b2＝ac. b c

湖南省2018年中考数学复习课件第20课时图形的相似

图 20－6
对接考
考点过关
突破重难
第20课时┃图形的相似
6．解：由题意可得△ DEF∽△DCA， DE EF 则＝ . DC AC ∵DE＝0.5 m，EF＝0.25 m，DG＝1.5 m，DC＝20 m， 0.5 0.25 ∴ ＝， 20 AC 解得 AC＝10，故 AB＝AC＋BC＝10＋1.5＝11.5(m)．答：旗杆的高度为 11.5 m.
第20课时
图形的相似
第20课时┃图形的相似
对接中考
命|题|点|1 平行线分线段成比例
1．[2016· 湘潭]如图 20－1，直线 a∥b∥c，点 B 是线段 AC 的
2 中点．若 DE＝2，则 EF＝________ ．
图 20－1
对接中考
考点过关
突破重难
第20课时┃图形的相似
[解析] ∵直线 a∥b∥c，点 B 是线段 AC 的中点，DE＝2，∴ 2 ＝， 2＋EF 1 2 ∴ ＝，∴EF＝2，故答案为 2. 2 2＋EF AB DE AB ＝，即 AC DF 2AB
对接中考
考点过关
突破重难
第20课时┃图形的相似
4．[2015·湘潭]如图 20－4，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，△ACD 沿 AD 折叠，使得点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处． (1)求证：△BDE∽△BAC； (2)已知 AC＝6，BC＝8，求线段 AD 的长度．
图 20－4
对接中考
对接中考
考点过关
突破重难
第20课时┃图形的相似
图 20－2
1 AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积比 S△ADE： S△ABC＝________ ． 4

《相似三角形》中考试题选编(含答案)

求证：△ABC∽△FDE．
4、（2008年杭州市）（本小题满分10分）
如图：在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E,连接BP交AC于点F.
(1)证明：∠CAE=∠CBF;
(2)证明：AE=BF;
(3)以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG,如果存在点P,能使得S△ABC=S△ABG,求∠C的取之范围。
°°°°
2、（2008湘潭市）如图，已知D、E分别是的AB、AC边上的点，且那么等于（）
A．1:9B．1:3
C．1:8D．1:2
3、(2008 台湾)如图G是ABC的重心，直线L过A点与BC平行。若直线CG分别与AB、L交于D、E两点，直线BG与AC交于F点，则AED的面积：四边形ADGF的面积=？( )
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
18、(2008 江苏常州)如图,在△ABC中,若DE∥BC, = ,DE=4cm,则BC的长为（）
A.8cmB.12cmC.11cmD.10cm
19、（2008 江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）
20、(2008 重庆)若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2︰3，则S△ABC︰S△DEF为（）
相似三角形中考真题试题汇编
二、填空题
6、（2008年江苏省南通市）已知∠A＝40°，则∠A的余角等于＝________度.
8、（2008年荆州）两个相似三角形周长的比为2:3，则其对应的面积比为___________.
9、（2008年庆阳市）两个相似三角形的面积比S1:S2与它们对应高之比h1:h2之间的关系为．

专题4.4 相似三角形中考数学第一轮总复习课件

∴ =
= 2,
h2 BC
A
h1
P h2 F
h3
E
C
中考数学第一轮总复习
专题4.4 相似三角形
知识梳理
典例精讲
考点聚焦
查漏补缺
提升能力
01 比例线段
02 相似三角形的判定
03 相似三角形的性质
04 相似三角形的应用
精讲精练
考点聚焦
比例线段
知识点一
线段的比在同一单位长度下,两条线段长度的比叫做两条线段的比。
4
9
或
部分,连接BE,AC相交于F,则S△AEF:S△CBF25
=_______.
25
B(1,0)
x
强化训练
相似三角形
提升能力
3.如图,在△ABC中,点G为△ABC的重心,过点G作DE∥BC,分别交AB,AC于
4:5
点D,E,则△ADE与四边形DBCE的面积比为_____.
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,点D,E,F,分别在边AC,AB,BC上,且四边形
A
2
1
D
B.AB:AD=AC:AE
D.AB:AD=BC:DE
B
E
C
01
比例线段
02
相似三角形的判定
考点聚焦
03
相似三角形的性质
04
相似三角形的应用
精讲精练
考点聚焦
定义
相似三角形的性质
知识点三
相等
成比例
如果两个三角形的各角对应____各边对应______,那么这两个三角形
相似.
相等
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ成比例

3.4.1 相似三角形的判定课件(共33张PPT)湘教版数学九年级上册

感悟新知
2-1. [ 模拟·株洲荷塘区 ] 如图，在 ▱ABCD中，点 E
在 AD 上，且 BE 平分∠ ABC，交AC 于点 O，若
AB=3，BC=4，则
AOOC=
3 ___4___.
课堂新授
知识点 2 角的关系判定三角形相似定理
1. 相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
∴ AB=CD， AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF ∽△CDF，
△BEF ∽ △AED. ∴△CDF ∽△AED.
∵ AB＝CD，AB＝3BE，∴ CD＝3BE，AE＝4BE. ∴△BEF ∽△CDF，相似比k1＝CBDE＝13； △BEF ∽△AED，相似比k2＝BAEE＝14； △CDF ∽△AED，相似比k3＝CADE＝34.
∵
12＝
2＝ 2
10＝ 5
2，
∴图3.4-11 ②中的三角形与图3.4-10 中的△ABC相似.
感悟新知
5-1.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． △ ACB 和△ DCE 的顶点都在格点上， ED 的延长线交AB 于点 F．
求证： (1) △ ACB ∽△ DCE；证明：∵DACC＝32，BECC＝64＝32， DABE＝32 55＝32，∴DACC＝BECC＝DABE. ∴△ACB∽△DCE.
课堂新授
解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求三角形三边的长，紧扣“三边成比例的两个三角形相似”判断.
课堂新授
解：易知AC＝ 2，BC＝2，AB＝ 10 . 图3.4-11 ①中，三角形的三边长分别为1， 5，2 2；图3.4-11 ②中，三角形的三边长分别为1， 2 ， 5 ；图3.4-11 ③中，三角形的三边长分别为 2， 5，3；图3.4-11 ④中，三角形的三边长分别为2， 5， 13 .

中考数学复习·几何基础+三角形(全等、相似、作图、证明)名校名师全解全练精品课件

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考点知识精讲
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互为补角、互为余角是相对两个角而言，它们都是由数量关系来定
义，与位置无关.
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考点知识精讲
考点三相交线
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1．对顶角及其性质
对顶角：两条直线相交所得到的四个角中，没有公共边的两个角叫
做对顶角．相等性质：对顶角______. 2．垂线及其性质垂线：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条
90°＝135°. (4)B ∵DE∥AB，∴∠A＝∠ACD.又∠ACD＝50°，∴∠A＝50°， ∴∠B＝90°－∠A＝90°－50°＝40°. (5)D 如图，延长AB交直线m于C.∵l∥m， ∴∠4＝∠1＝115°. ∵∠2＋∠3＋∠4＝360°， ∴∠3＝360°－115°－95°＝150°.
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中考典例精析
(1)(2011·日照)如图，已知直线AB∥CD， ∠C＝125°，∠A＝45°，那么∠E的大小为( )
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A．70°
B．80°
C．90°
D．100°
(2)(2011·陕西)如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E.若∠1＝64°，则∠2＝______. 【点拨】把平行线的性质与判定有机地结合起来，可以解决许多计算和推理问题．【解答】(1)B 假设AB与EC交于F点，∵AB∥CD，∴∠EFB＝ ∠C.∵∠C＝125°，∴∠EFB＝125°. 又∵∠EFB＝∠A＋∠E，∠A＝45°，∴∠E＝125°－45°＝80°.
则∠3＝______.(
A．120°
)
C．145° D．150°
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中考数学复习相似三角形(含位似) 课件

性质3 (等比性质)
如果那么
a1 b1 a1 b1
a2 b2 a2 b2
bananbnn＝，_且__abb_111_＋__b_2＋…＋bn≠0，
3. 黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且 AC BC ，那么就说线段AB被 AB AC
概念点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比，
思维导图
比例线段
比例的性质黄角形的性质与判定
图示基本事实
推论
平行线分线段成比例
相似三角形
相似多边形及其性质
图形的位似
性质
判定概念
性质概念
性质
教材知识逐点过
考点1 比例线段及其性质
1. 比例线段
比例线段
在四条线段中，如果其中两条线段的比_等__于__另外两条线段的比，即a c ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称
第4题图
【模型变式1】如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，
连接DC，EB交于点O，则DO∶CO＝__1_∶__2___，
SDEO SABC
1
＝___1_2____．
变式1题图
【模型变式2】如图，在▱ABCD中，AE∶DE＝2∶1，连接BE，交AC
24
于点F，AC＝12，则AF的长为___5_____．
3. 相似三角形的周长比等于_相__似__比___，面积比等于__相__似__比__的__平__方______ 1. 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 2. __两__组__角__对应相等的两个三角形相似判 3. 两边对应成比例且__夹__角____相等的两个三角形相似定 4. 三边_对__应__成__比__例__的两个三角形相似 5. 两个直角三角形满足一组锐角相等或两直角边对应成比例或斜边和一直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型)(解析版)-2024年中考数学常见几何模型

相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型)相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。

在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。

母子相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。

模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形(通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3图41)“母子”模型(斜射影模型)条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2=AD·AC.2)双垂直模型(射影模型)条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2=AD·AB，BC2=BD·BA，CD2=DA·DB.3)“母子”模型(变形)条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；4)共边模型条件:如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB=∠DCB，结论：BD2=BA⋅BC；1(2022·贵州贵阳·中考真题)如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B=∠ACD，AC:AB=1:2，则△ADC与△ACB的周长比是()A.1:2B.1:2C.1:3D.1:4【答案】B 【分析】先证明△ACD ∽△ABC ，即有AC AB =AD AC =CD BC =12，则可得AC +AD +CD AB +AC +BC =12，问题得解．【详解】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AB =AD AC =CD BC ，∵AC AB =12，∴AC AB =AD AC =CD BC =12，∴AC AB =AD AC =CD BC =AC +AD +CD AB +AC +BC=12，∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键．2(2022春·江苏·九年级专题练习)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 在AB 上，且AD AC =AC AB．(1)求证△ACD ∽△ABC ；(2)若AD =3，BD =2，求CD 的长．【答案】(1)见解析；(2)6【分析】(1)根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出△ACD ∼△ABC(2)由△ACD ∼△ABC 得∠ADC =∠ACB =90°，∠ACD =∠B ，推出△ACD ∼△CBD ，由相似三角形的性质得CD AD =BD CD ，即可求出CD 的长．【详解】(1)∵AD AC =AC AB，∠A =∠A ，∴△ACD ∼△ABC ；(2)∵△ACD ∼△ABC ，∴∠ADC =∠ACB =90°，∠ACD =∠B ，∴∠CDB =180°-90°=90°=∠ACD ，∴△ACD ∼△CBD ，∴CD AD=BD CD ，即CD 2=AD ⋅BD =3×2=6，∴CD =6．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．3(2022.山西九年级期中)如图，点C ，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且∠APB =120°，求证：(1)△ACP ∽△PDB ，(2)CD 2=AC •BD ．证明：(1)∵△PCD 是等边三角形，∴∠PCD =∠PDC =∠CPD =60°，∴∠ACP =∠PDB =120°，∵∠APB =120°，∴∠APC +∠BPD =60°，∵∠CAP +∠APC =60°∴∠BPD =∠CAP ，∴△ACP ∽△PDB ；(2)由(1)得△ACP ∽△PDB ，∴AC PD =PC BD ，∵△PCD 是等边三角形，∴PC =PD =CD ，∴AC CD=CD BD ，∴CD 2=AC •BD ．4(2023·湖南·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．(1)证明：△ABD ∽△CBA ；(2)若AB =6，BC =10，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)BD =185【分析】(1)根据三角形高的定义得出∠ADB =90°，根据等角的余角相等，得出∠BAD =∠C ，结合公共角∠B =∠B ，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】(1)证明：∵∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．∴∠ADB =90°，∠B +∠C =90°∴∠B +∠BAD =90°，∴∠BAD =∠C又∵∠B =∠B ∴△ABD ∽△CBA ，(2)∵△ABD ∽△CBA ∴AB CB =BD AB，又AB =6，BC =10∴BD =AB 2CB =3610=185．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．5(2023.浙江中考模拟)如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ．(1)图1中共有对相似三角形，写出来分别为(不需证明)：(2)已知AB =5，AC =4，请你求出CD 的长：(3)在(2)的情况下，如果以AB 为x 轴，CD 为y 轴，点D 为坐标原点O ，建立直角坐标系(如图2)，若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB 运动，点Q 出B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA 运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t 秒是否存在点P ，使以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)3，△ABC ∽△ACD ，△ABC ∽△CBD ，△ACD ∽△CBD ；(2)125；(3)存在，2740，32，98，910【分析】(1)根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC ∽△ACD ，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．(2)先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到12AB•CD=12AC•BC，即可求出CD的长．(3)由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．【详解】解：(1)图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．(2)如图2中，在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=5，AC=4，∴BC=AB2-AC2=52-42=3．∵△ABC的面积=12AB•CD=12AC•BC，∴CD=AC⋅BCAB=125．(3)存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB=90°，BC=3，OC=125，∴OB=95．分两种情况：①当∠BQP=90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，∴BP AB =BQBC，∴3-t5=t3，解得t=98，即BQ=CP=98，∴BP=BC-CP=3-98=158．在△BPQ中，由勾股定理，得PQ=BP2-BQ2=1582-98 2=32，∴点P的坐标为2740,32；②当∠BPQ=90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，∴BPBC=BQAB，∴3-t3=t5，解得t=158，即BQ=cP=158,BP=BC-CP=3-158=98，过点P作PE⊥x轴于点E．∵△QPB∽△ACB，∴⋅PECO=BQAB，即PE125=1585，∴PE=910．在△BPE中，BE=PB2-PE2=982-910 2=2740，∴OE=OB-BE=95-2740=98，∴点P的坐标为98,910，综上可得，点P的坐标为2740，32；98，910．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．6(2022·陕西汉中·九年级期末)如图，CD是等腰直角△ABC斜边AB的中线，以点D为顶点的∠EDF绕点D旋转，角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC 交于点N，且∠EDF=45°．(1)如图1，若CE=CF，求证：DE=DF；(2)如图2，若CE≠CF，求证：CD2=CE ⋅CF ；(3)如图2，过D 作DG ⊥BC 于点G ，若CD =2，CF =2，求DN 的长．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)253．【分析】(1)由题意可得∠BCD =∠ACD =45°，∠BCE =∠ACF =90°，从而可得∠DCE =∠DCF =135°，于是可证得△DCE ≌△DCF ，则有DE =DF ；(2)结合(1)可求得∠CDF +∠F =45°从而可得∠F =∠CDE ，则△CDF ∽△CED ，利用相似三角形的性质即可求解；(3)由DG ⊥BC ，∠ACB =90°，∠BCD =∠ACD =45°，结合(2)可求得CE =22，从而可求得CG =DG =2，可证得△CEN ∽△GDN ，从而可求得GN =23，再利用勾股定理即可求得DN ．(1)证明∶∵∠ACB =90°，AC =BC ，CD 是中线，∴∠BCD =∠ACD =45°，∠BCE =∠ACF =90°，∴∠DCE =∠DCF =135°∵在△DCE 与△DCF 中，CE =CF∠DCE =∠DCF CD =CD，∴△DCE ≌△DCF ，∴DE =DF ；(2)证明∶∵∠DCE =∠DCF =135°∴∠CDF +∠F =180°-135°=45°，∵∠CDF +∠CDE =45°，∴∠F =∠CDE ，∴△CDF ∽△CED ，∴CD CE =CF CD，即CD 2=CE ⋅CF ；(3)解：如图，∵DG ⊥BC ，∠ACB =90°，∠BCD =∠ACD =45°，∴∠DGN =∠ECN =90°，∠GCD =∠CDG =45°，∴CG =DG当CD =2，CF =2时，由CD 2=CE ⋅CF 可得，CE =22，在Rt △DCG 中，CG =DG =CD ∙sin ∠DCG =2×sin45°=2∵∠ECN =∠DGN ，∠ENC =∠DNG ，∴△CEN ∽△GDN ，∴CN GN =CE DG =222=2，∴GN =13CG =23，∴DN =GN 2+DG 2=23 2+(2)2=253．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，作出适当的辅助线，并熟记相似三角形的判定条件与性质是解题的关键．7(2023·浙江·九年级期末)(1)如图1，在△ABC中，D为AB上一点，AC2=AD⋅AB．求证：∠ACD=∠B．(2)如图2，在▱ABCD中，E是AB上一点，连接AC，EC．已知AE=4，AC=6，CD=9．求证：2AD =3EC．(3)如图3，四边形ABCD内接于O，AC、BD相交于点E．已知O的半径为2，AE=CE，AB=2AE，BD=23，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)23【分析】(1)由AC2=AD⋅AB化比例，与∠A=∠A，可证△ACD∽△ABC即可；(2)由▱ABCD，可得AB=CD，AD=BC，根据线段比值计算AEAC =23，ACAB=23，可得AEAC=ACAB，由∠EAC=∠CAB，可证△ACE∽△ABC即可；(3)连接OA交BD于点F，连接OB，根据AE=CE，AB=2AE，可得AC=2AE，根据线段比值计算可得ABAC=AEAB，由∠BAC=∠EAB，可证△ABE∽△ACB，可证∠ABD=∠ADB，可得BF=DF，根据勾股定理OF=1，可求S△ABD=3，可证S△ABE=S△CBE，S△ADE=S△CDE，可得S△BCD=SΔABD即可．【详解】(1)证明：如图1，∵AC2=AD⋅AB，∴ACAB=ADAC，又∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴∠ACD=∠B．(2)证明：如图2，∵▱ABCD，∴AB=CD，AD=BC，∵AE=4，AC=6，CD=9，∴AB=CD=9，∴AE AC =46=23，ACAB=69=23，∴AEAC=ACAB，∵∠EAC=∠CAB，∴△ACE∽△ABC，∴AE AC =ECBC，即46=ECBC=23，∴2BC=3EC．∴2AD=3EC；(3)解：如图3，连接OA 交BD 于点F ，连接OB ，∵AE =CE ，AB =2AE ，∴AC =2AE ，∴AB AC =2AE 2AE =22，AE AB =AE 2AE=22，∴AB AC =AE AB ，∵∠BAC =∠EAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴∠ABD =∠ACB ，∵∠ADB =∠ACB ，∴∠ABD =∠ADB ，∴点A 是弧BD 的中点，BD 为弦，OA 为半径，∴OA ⊥BD ，BF =DF ，∵OA =OB =2，BD =23，∴BF =DF =3，在Rt △OBF 中，根据勾股定理OF =OB 2-BF 2=4-3=1，∴AF =OF =1，∴S △ABD =12×BD ×AF =3，∵AE =CE ，∴S △ABE =S △CBE ，S △ADE =S △CDE ，∴S △BCD =S △BCE +S △DCE =S △ABE +S △CDE =S ΔABD ，∴S 四边形ABCD =S ΔABD +S ΔBCD =2S △ABD =23．【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算，掌握三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算是解题关键．8(2022春·广东深圳·九年级校考期中)【基础巩固】(1)如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠ADB =∠DCB ，求证：BD 2=BA ⋅BC ；【尝试应用】(2)如图2，四边形ABCD 为平行四边形，F 在AD 边上，AB =AF ，点E 在BA 延长线上，连结EF ，BF ，CF ，若∠EFB =∠DFC ，BE =4，BF =5，求AD 的长；【拓展提高】(3)如图3，在△ABC 中，D 是BC 上一点，连结AD ，点E ，F 分别在AD ，AC 上，连结BE ，CE ，EF ，若DE =DC ，∠BEC =∠AEF ，BE =16，EF =7，CE BC =34，求AF FC 的值．【答案】(1)见解析；(2)254；(3)75【分析】(1)据角平分线的定义及相似三角形的判定可知△ABD ∽△DBC ，再根据相似三角形的性质即可解答；(2)据平行四边形的性质及相似三角形的判定可知△EBF ∽△FBC ，再根据相似三角形的性质即可解答；(3)据平行线的性质可知即相似三角形的判定可知△ECM ∽△BCE ，再根据相似三角形的性质即可解答．【详解】(1)证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ，∵∠ADB =∠DCB ，∴△ABD ∽△DBC ，∴AB BD =BD BC，∴BD 2=BA ⋅BC ；(2)解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∴∠AFB =∠FBC ，∠DFC =∠FCB ，∵AB =AF ，∴∠AFB =∠ABF ，∴∠ABF =∠FBC ，∵∠DFC =∠FCB ，∠EFB =∠DFC ，∴∠EFB =∠FCB ，∴△EBF ∽△FBC ，∴BE BF =BF BC ，即45=5BC，解得：BC =254，∴AD =254；(3)过点C 作CM ∥AD 交EF 的延长线于点M ，∵∠AEF +∠CEF +∠DEC =180°，∠BEC +∠CBE +∠BCE =180°，∴∠CEF =180°-∠AEF -∠DEC ，∠CBE =180°-∠BEC -∠BCE ，∵DE =DC ，∴∠DEC =∠DCE ，∴∠CEF =∠CBE ，∵CM ∥AD ，∴∠DEC =∠ECM ，∵∠DEC =∠DCE ，∴∠ECM =∠DCE ，∴△ECM ∽△BCE ，∴EM BE =EC BC =34，∵BE =16，∴EM =12，∵EF =7，∴FM =12-7=5，∵CM ∥AD ，∴∠ACM =∠EAC ，∵∠AFE =∠CFM ，∴△AEF ∽△CMF ，∴AF FC=EF FM =75．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．课后专项训练1(2023成都市九年级期中)如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB =12，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2的值等于()A.116B.15C.14D.125【解答】解：∵AD AB=12，∴设AD =BC =a ，则AB =CD =2a ，∴AC =5a ，∵BF ⊥AC ，∴△CBE ∽△CAB ，△AEB ∽△ABC ，∴BC 2=CE •CA ，AB 2=AE •AC∴a 2=CE •5a ，4a 2=AE •5a ，∴CE =5a 5，AE =45a 5，∴CE AE =14，∵△CEF ∽△AEB ，∴S 1S 2=CE AE2=116，故选：A ．2(2022·浙江衢州·统考中考真题)如图，在△ABC 中，AB =AC ,∠B =36°．分别以点A ，C 为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连结AG,AH．则下列说法错误的是()A.AG=CGB.∠B=2∠HABC.△CAH≅△BAGD.BG2=CG⋅CB【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项A；先根据等腰三角形的性质可得∠CAG=∠C =36°，从而可得∠AGB=72°，再根据等腰三角形的性质可得∠AHG=∠GAH=54°，然后根据三角形的外角性质可得∠HAB=18°，由此即可判断选项B；先假设△CAH≅△BAG可得∠CAH=∠BAG，再根据角的和差可得∠CAH=90°,∠BAG=72°，从而可得∠CAH≠∠BAG，由此即可判断选项C；先根据等腰三角形的判定可得BG=AB=AC，再根据相似三角形的判定可得△ABC∼△GAC，然后根据相似三角形的性质可得AC2=CG⋅CB，最后根据等量代换即可判断选项D．【详解】解：由题意可知，DE垂直平分AC，CG=HG，∴AG=CG，则选项A正确；∵AB=AC,∠B=36°，∴∠C=∠B=36°，∵AG=CG，CG=HG，∴∠CAG=∠C=36°，AG=HG，∴∠AGB=∠CAG+∠C=72°，∠AHG=∠GAH=180°-∠AGB2=54°，∴∠HAB=∠AHG-∠B=18°，∴∠B=2∠HAB，则选项B正确；假设△CAH≅△BAG，∴∠CAH=∠BAG，又∵∠CAH=∠CAG+∠GAH=36°+54°=90°，∠BAG=∠HAB+∠GAH=18°+54°=72°，∴∠CAH≠∠BAG，与∠CAH=∠BAG矛盾，则假设不成立，选项C错误；∵∠BAG=72°=∠AGB，AB=AC，∴BG=AB=AC，在△ABC和△GAC中，∠B=∠CAG=36°∠C=∠C，∴△ABC∼△GAC，∴AC CG =CBAC，即AC2=CG⋅CB，∴BG2=CG⋅CB，则选项D正确；故选：C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握判定定理与性质是解题关键．3(2023·湖北恩施·校考模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D点，下列关系中不正确的是()A.BC2=BD⋅ABB.CD2=AD⋅BDC.AC2=CD⋅ABD.AC2-BC2=AD2-BD2【答案】C【分析】求证△CDB∽△ACB，△DAC∽DCB，△ADC∽△ACB，相应得出相关线段的数量关系；由勾股定理，可得Rt△DAC中，AC2=CD2+AD2，Rt△DBC中，BC2=CD2+BD2，于是AC2-BC2=AD2-BD2，从而可得出结论．【详解】解：∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°，∴△CDB∽△ACB∴BCAB=BDBC∴BC2=BD⋅AB，故A正确，不符合题意；∵∠ACD+∠BCD=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠BCD=∠DAC又∠ADC=∠BDC=90°∴△DAC∽DCB∴DCDB=DADC∴CD2=AD⋅BD，故B正确，不符合题意；Rt△DAC中，AC2=CD2+AD2，Rt△DBC中，BC2=CD2+BD2，∴AC2-BC2=AD2-BD2，故D正确，不符合题意．∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB∴△ADC∽△ACB∴ACAB =AD AC∵AC2=AD⋅AB，故C错误，符合题意；故选：C【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，根据相似三角形得出线段间的数量关系是解题的关键．4(2023·山东济南·统考中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是()A.∠BCE=36°B.BC=AEC.BEAC =5-12D.S△AECS△BEC=5+12【答案】C【分析】由题意得，BC=DC，CE平分∠ABC，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出∠ACE=36°=∠A，得到AE=CE，根据三角形内角和求出∠BEC=72°=∠B，得到CE=BC，即可判断B；证明△ABC∽△CBE，得到ABBC=BCBE，设AB=1,BC=x，则BE=1-x，求出x，即可判断C；过点E作EG⊥BC于G，EH⊥AC于H，由角平分线的性质定理推出EG=EH，即可根据三角形面积公式判断D．【详解】解：由题意得，BC=DC，CE平分∠ABC，∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°∵CE平分∠ABC，∴∠BCE=36°，故A正确；∵CE平分∠ABC，∠ACB=72°∴∠ACE=36°=∠A，∴AE=CE，∵∠ABC=72°，∠BCE=36°，∴∠BEC=72°=∠B，∴CE=BC，∴BC=AE，故B正确；∵∠A =∠BCE ,∠ABC =∠CBE ，∴△ABC ∽△CBE ，∴AB BC=BCBE ，设AB =1,BC =x ，则BE =1-x ，∴1x =x 1-x ，∴x 2=1-x ，解得x =5-12，∴BE =1-5-12=3-52，∴BE AC=3-52，故C 错误；过点E 作EG ⊥BC 于G ，EH ⊥AC 于H ，∵CE 平分∠ACB ，EG ⊥BC ，EH ⊥AC ，∴EG =EH∴S △AEC S △BEC =12⋅AC ⋅EH 12⋅BC ⋅EG =AC BC =5+12，故D 正确；故选：C ．【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．5(2023·云南临沧·统考三模)如图，在△ABC 中，D 是AB 上的点，∠B =∠ACD ，AC =1，AB =2，则△ACD 与△BCD 的面积比为()A.1:2B.1:2C.1:3D.1:4【答案】C【分析】证明△ACD ∽△ABC ，再利用相似三角形的性质即可解答．【详解】解：∵∠B =∠ACD ，∠CAD =∠BAC ，∴△ACD ∽△ABC ，∴S △ACD S △ABC =AC AB 2=12 2=14，设S △ACD =x ，则S △ABC =4x ，∴S △BCD =S △ABC -S △ACD =3x ，∴△ACD 与△BCD 的面积比为1:3，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．6(2023·山东东营·统考中考真题)如图，在△ABC 中，以点C 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC ，BC 于点D ，E ；分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点F ；作射线CF 交AB 于点G ，若AC =9，BC =6，△BCG 的面积为8，则△ACG 的面积为．【答案】12【分析】过点B 作BM ∥AC 交CG 的延长线于点M ，证明△ACG ∽△BMG ，得出AG GB =AC BM =ACBC，根据S △ACG S △BCG =AG GB =AC BC=96=32，即可求解．【详解】解：如图所示，过点B 作BM ∥AC 交CG 的延长线于点M ，∴∠ACM =∠CMB由作图可得CG 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACM =∠BCM∵∠BCM =∠CMB ∴BC =BM ∵BM ∥AC ∴△ACG ∽△BMG∴AG GB =AC BM =AC BC ∴S △ACG S △BCG =AG GB =AC BC =96=32，∵△BCG 的面积为8，∴△ACG 的面积为12，故答案为：12．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，作角平分线，熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．7(2020·山西·统考中考真题)如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 为BC 的中点，AE 与CD 交于点F ，则DF 的长为．【答案】5485【分析】过点F 作FH ⊥AC 于H ，则△AFH ∽△AEC ，设FH 为x ，由已知条件可得AH =32FH =32x ，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x 的方程，解方程求出x 的值，利用S △AFC =12AC ×FH =12CF ×AD 即可得到DF 的长．【详解】如解图，过点F 作FH ⊥AC 于H ，∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴FH⎳BC，∵BC=4，点E是BC的中点，∴BE=CE=2，∵FH⎳BC，∴△AFH∽△AEC∴AHFH =ACEC=32∴AH=32FH，设FH为x，则AH=32x，由勾股定理得AB=42+32=5，又∵S△ABC=12AC×BC=12AB×CD，∴CD=AC⋅BCAB=125，则AD=AC2-CD2=95，∵∠FHC=∠CDA=90°且∠FCH=∠ACD，∴△CFH∽△CAD，∴FHAD =CHCD，即x95=3-32x125，解得x=1817，∴AH=1817．∵S△AFC=12AC×FH=12CF×AD∴12×3×1817=12CF×95∴CF=3017∴DF=CD-CF=125-3017=5485故答案为：5485【点睛】本题考查了相似的判定和性质、以及勾股定理的运用，解题的关键是作垂直，构造相似三角形．8(2022·河北邢台·校考二模)如图1，在△ABC中，AB=AC，BC=24，tan C=512，点P为BC边上一点，则点P与点A的最短距离为．如图2，连接AP，作∠APQ，使得∠APQ=∠B，PQ交AC于Q，则当BP=11时，AQ的长为．【答案】 5 2【分析】根据等腰三角形的三线合一性作BC边上的高AM，再根据三角函数值求出AM的长，根据垂线段最短即可得到点P到A的最短距离即为AM长；，根据等腰三角形的三线合一性即可得到BN的长，利用线段的和差求出PN的长，再根据三角函数值求出AN的长，利于勾股定理即可得到AP长和AC长，再证△APQ相似于△ACP，即可得到AQ长；【详解】解如图1，过点A作AM⊥BC，垂足为M，∵AB =AC ，AM ⊥BC ，∴BM =MC =12BC =12，又∵tan C =512∴tan B =512∴AM =BM ⋅tan B =12×512=5，根据点到直线的距离垂线段最短，可得点P 与点A 的最短距离为5；∴AB =AC =AM 2+BM 2=13，如图2，过点A 作AN ⊥BC ，在Rt △APN 中，PN =PC -CN =1，又AN =5，∴AP 2=PN 2+AN 2=26，在△APQ 与△ACP 中，∵∠APQ =∠C ，∠PAQ =∠CAP ，∴△APQ ∽△ACP ，∴AP AQ =AC AP∴AP 2=AQ ⋅AC ，∴AQ =2故答案为：5；2．【点睛】本题考查等腰三角形、直角三角形、锐角三角函数，相似三角形的性质和判定，综合性较强，熟练相似三角形的性质和判定以及锐角三角函数的意义以及直角三角形的边角关系是解题的关键．9(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，AC ,AD ,CE 是正五边形ABCDE 的对角线，AD 与CE 相交于点F ．下列结论：①CF 平分∠ACD ； ②AF =2DF ； ③四边形ABCF 是菱形； ④AB 2=AD ⋅EF 其中正确的结论是．(填写所有正确结论的序号)【答案】①③④【分析】根据正五边形的性质得出各角及各边之间的关系，然后由各角之间的关系及相似三角形的判定和性质，菱形的判定依次证明即可．【详解】解：①∵正五边形ABCDE ，∴∠ABC =∠BCD =∠CDE =∠DEA =180°×5-35=108°，AB =BC =CD =DE =AE ，∴∠BAC =∠BCA =∠DAE =∠ADE =∠DCE =∠CED =180°-108°2=36°，∴∠ACE =108°-∠BCA -∠DCE =36°=∠DCE ，∴CF 平分∠ACD ；正确；②∵∠ACE =∠DEC =36°，∠DFE =∠AFC ，∴△DEF ∽△ACF ，∴DF AF =DEAC，∵DE =AB ，2AB >AC ，∴DF AF≠12，即AF ≠2DF ，故②错误；③∵∠BAC =∠ACE ，∠ABC +∠BAD =108°+36°+36°=180°，∴BC ∥AD ，AB ∥CE ，∴四边形ABCF 是平行四边形，∵AB =BC ，∴四边形ABCF 是菱形；正确；④∵∠CED=∠DAE=36°，∠EDF=∠ADE，∴△DEF∽△DAE，∴DEAD=EFAE，∴ED⋅AE=AD⋅EF，即AB2=AD⋅EF，正确；故答案为：①③④．【点睛】题目主要考查正多边形的性质及相似三角形、菱形的判定和性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．10(2020·广东广州·统考中考真题)如图，正方形ABCD中，ΔABC绕点A逆时针旋转到ΔAB C ，AB ，AC 分别交对角线BD于点E,F，若AE=4，则EF⋅ED的值为．【答案】16【分析】根据正方形及旋转的性质可以证明△AEF∼△DEA，利用相似的性质即可得出答案．【详解】解：在正方形ABCD中，∠BAC=∠ADB=45°，∵ΔABC绕点A逆时针旋转到ΔAB C ，∴∠B AC =∠BAC=45°，∴∠EAF=∠ADE=45°，∵∠AEF=∠AED，∴△AEF∼△DEA，∴AEDE =EFAE，∴EF•ED=AE2=42=16．故答案为：16．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．11(2021·四川南充·中考真题)如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC=3AB=3BD，则AD:AC的值为．【答案】3 3．【分析】证明△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质即可解答．【详解】∵BC=3AB=3BD，∴ABBC=13=33，BDAB=33，∴ABBC=BDAB=33，∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA，∴ADAC =BDAB=33．故答案为：33．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，证明△ABD∽△CBA是解决问题的关键．12(2022·四川宜宾·九年级期末)如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=AB，∠DEC=∠B．(1)求证：△AED∽△ADC；(2)若AE=1，EC=3，求AB的长．【答案】(1)见解析；(2)2【分析】(1)利用三角形外角的性质及∠DEC =∠ADB 可得出∠ADE =∠C ，结合∠DAE =∠CAD 即可证出△AED ∽△ADC ；(2)利用相似三角形的性质可求出AD 的长，再结合AD =AB 即可得出AB 的长．【详解】解：(1)证明：∵∠DEC =∠DAE +∠ADE ，∠ADB =∠DAE +∠C ，∠DEC =∠ADB ，∴∠ADE =∠C ．又∵∠DAE =∠CAD ，∴△AED ∽△ADC ．(2)∵△AED ∽△ADC ∴AD AC =AE AD ，即AD 1+3=1AD，∴AD =2或AD =-2(舍去)．又∵AD =AB ，∴AB =2【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1)利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED ∽△ADC ；(2)利用相似三角形的性质，求出AD 的长．13(2022·江苏盐城·中考真题)如图，在△ABC 与△A B C 中，点D 、D 分别在边BC 、B C 上，且△ACD ∽△A C D ，若，则△ABD ∽△A B D ．请从①BD CD =B D C D ；②AB CD =A BC D；③∠BAD =∠B A D 这三个选项中选择一个作为条件(写序号)，并加以证明．【答案】见解析．【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可．【详解】解：若选①BD CD =B DC D，证明：∵△ACD ∽△A C D ，∴∠ADC =∠A D C ，AD A D =CDC D，∴∠ADB =∠A D B ，∵BD CD =B DC D ，∴BD B D =CD C D ，∴AD A D =BD B D ，又∠ADB =∠A D B ，∴△ABD ∽△A B D ．选择②BA CD =B AC D，不能证明△ABD ∽△A B D ．若选③∠BAD =∠B A D ，证明：∵△ACD ∽△A C D ，∴∠ADC =A D C ，∴∠ADB =∠A D B ，又∵∠BAD =∠B A D ，∴△ABD ∽△A B D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．14(2023·湖南·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．(1)证明：△ABD ∽△CBA ；(2)若AB =6，BC =10，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)BD =185【分析】(1)根据三角形高的定义得出∠ADB =90°，根据等角的余角相等，得出∠BAD =∠C ，结合公共角∠B =∠B ，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】(1)证明：∵∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．∴∠ADB =90°，∠B +∠C =90°∴∠B +∠BAD =90°，∴∠BAD =∠C又∵∠B =∠B ∴△ABD ∽△CBA ，(2)∵△ABD ∽△CBA ∴AB CB =BDAB，又AB =6，BC =10∴BD =AB 2CB=3610=185．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．15(2023·宁夏·统考中考真题)综合与实践问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．探究发现：如图1，在△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ．(1)操作发现：将△ABC 折叠，使边BC 落在边BA 上，点C 的对应点是点E ，折痕交AC 于点D ，连接DE ，DB ，则∠BDE =°，设AC =1，BC =x ，那么AE =(用含x 的式子表示)；(2)进一步探究发现：底BC 腰AC =5-12，这个比值被称为黄金比．在(1)的条件下试证明：底BC 腰AC=5-12；拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的△ABC 是黄金三角形．如图2，在菱形ABCD 中，∠BAD =72°，AB =1．求这个菱形较长对角线的长．【答案】(1)72°,1-x (2)证明见解析，拓展应用：5+12【分析】(1)利用等边对等角求出∠ABC ,∠ACB 的长，翻折得到∠ABD =∠CBD =12∠ABC ，∠BDC =∠BDE ,BC =BE ，利用三角形内角和定理求出，∠BDC ，AE =AB -BE =AB -BC ，表示出AE 即可；(2)证明△BDC ∽△ABC ，利用相似比进行求解即可得出底BC 腰AC=5-12；拓展应用：连接AC ，延长AD 至点E ，使AE =AC ，连接CE ，得到△ACE 为黄金三角形，进而得到CEAC=5-12，求出AC 的长即可．【详解】解：(1)∵∠A =36°，AB =AC ，∴∠ABC =∠C =12180°-36° =72°，∵将△ABC 折叠，使边BC 落在边BA 上，∴∠ABD =∠CBD =12∠ABC =36°，∠BDC =∠BDE ,BC =BE =x ，∴∠BDC =∠BDE =180°-∠CBD -∠C =72°，AE =AB -BE =AB -BC =1-x ；故答案为：72°,1-x ；(2)证明：∵∠BDC =72°=∠C ，∴BD =BC =x ，∵∠A =∠CBD =36°,∠C =∠C ，∴△BDC ∽△ABC ，∴BC AC=CDBC ，∵∠ABD =∠CBD =∠A =36°，∴AD =BD =BC =x ，∴CD =1-x ，∴x 1=1-xx ，整理，得：x 2+x -1=0，解得：x =5-12(负值已舍掉)；经检验x =5-12是原分式方程的解．∴底BC腰AC=5-12；拓展应用：如图，连接AC ，延长AD 至点E ，使AE =AC ，连接CE ，∵在菱形ABCD 中，∠BAD =72°，AB =1，∴∠CAD =∠ACD =36°,CD =AD =1，∴∠EDC =∠DAC +∠ACD =72°,∠ACE =∠AEC =12180°-∠DAC =72°，∴∠EDC =∠AEC ，∴CE =CD =1，∴△ACE 为黄金三角形，∴CE AC =5-12，∴AC =25-1=5+12．即菱形的较长的对角线的长为5+12．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是理解并掌握黄金三角形的定义，利用相似三角形的判定和性质，得到黄金三角形的底边与腰长的比为5-12．16(2023·广东·九年级专题练习)定义：如图，若点P 在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2，则称点P 为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D 是△ABC 的边AB 的中点，AC =22，AB =4，试判断点D 是不是△ABC 的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，AC =4，若点D 是△ABC 的“理想点”，求CD 的长．【答案】(1)D 为△ABC 的理想点,理由见解析(2)125或94【分析】(1)由已知可得AC AD =ABAC，从而ΔACD ∽ΔABC ，∠ACD =∠B ，可证点D 是ΔABC 的“理想点”；(2)由D 是ΔABC 的“理想点”，分三种情况：当D 在AB 上时，CD 是AB 边上的高，根据面积法可求CD 长度；当D 在AC 上时，ΔBDC ∽ΔABC ，对应边成比例即可求CD 长度；D 不可能在BC 上．(1)解：点D 是ΔABC 的“理想点”，理由如下：∵D 是AB 中点，AB =4，∴AD =BD =2，AD ⋅AB =8，∵AC =22，∴AC 2=8，∴AC 2=AD ⋅AB ，∴AC AD =ABAC，∵∠A =∠A ，∴ΔACD ∽ΔABC ，∴∠ACD =∠B ，∴点D 是ΔABC 的“理想点”；(2)①D 在AB 上时，如图：∵D 是ΔABC 的“理想点”，∴∠ACD =∠B 或∠BCD =∠A ，当∠ACD =∠B 时，∵∠ACD +∠BCD =90°，∴∠BCD +∠B =90°，∴∠CDB =90°，即CD 是AB 边上的高，当∠BCD =∠A 时，同理可证∠CDB =90°，即CD 是AB 边上的高，在Rt ΔABC 中，∠ACB =90°，AB =5，AC =4，∴BC =AB 2-AC 2=3，∵S ΔABC =12AB ⋅CD =12AC ⋅BC ，∴CD =125，②∵AC =4，BC =3，∴AC >BC 有∠B >∠A ，∴ “理想点” D 不可能在BC 边上，③D 在AC 边上时，如图：∵D 是ΔABC 的“理想点”，∴∠DBC =∠A ，又∠C =∠C ，∴ΔBDC ∽ΔABC ，∴CD BC =BC AC，即CD 3=34，∴CD =94，综上所述，点D 是ΔABC 的“理想点”，CD 的长为125或94．【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．17(2022·江西·统考中考真题)如图，四边形ABCD 为菱形，点E 在AC 的延长线上，∠ACD =∠ABE ．(1)求证：△ABC ∽△AEB ；(2)当AB =6,AC =4时，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)AE =9【分析】(1)根据四边形ABCD 是菱形，得出CD ∥AB ，AB =CB ，根据平行线的性质和等边对等角，结合∠ACD =∠ABE ，得出∠ACD =∠ABE =∠CAB =∠ACB ，即可证明结论；(2)根据ΔABC ∽ΔAEB ，得出AB AE =ACAB，代入数据进行计算，即可得出AE 的值．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴CD ∥AB ，AB =CB ，∴∠ACD =∠CAB ，∠CAB =∠ACB ，∵∠ACD =∠ABE ，∴∠ACD =∠ABE =∠CAB =∠ACB ，∴ΔABC ∽ΔAEB ．(2)∵ΔABC ∽ΔAEB ，∴AB AE =AC AB ，即6AE=46，解得：AE =9．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意得出∠ACD =∠ABE =∠CAB =∠ACB ，是解题关键．18(2022·湖北武汉·校考模拟预测)已知，点D 在△ABC 的边BC 上，连接AD ．(1)如图1，若∠BAD =∠C ．求证：BA 2=BD ⋅BC ；(2)如图2，若AD ⊥BC ，BD =5，CD =3，tan ∠BAC =43．求线段AD 的长；(3)如图3，M 、N 分别是AC 、AB 上的两点，连接MN 交AD 于点P ，当AB =AC ，BD :BA :BC =2:5:6时，若∠APN =∠C ，直接写出MPMN的值．【答案】(1)证明见解析；(2)3+26(3)5051【分析】(1)先证明△ABD ∽△CBA ，再根据相似三角形的性质，即可证明结论；(2)延长BC 至点E ，使得∠AEB =∠BAC ，连接AE ，根据三角函数值，设AD =4x ，DE =3x ，进而得到AB 2=16x 2+25，BE =5+3x ，BC =8，证明△ABC ∽△EBA ，得出AB 2=BC ⋅BE ，从而得到关于x 的一元二次方程，解方程即可得到线段AD 的长；(3)过点C 作CF ∥MN 交AB 于点F ，交AD 于点K ，过点D 作DH ∥AB 交CF 于点H ，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，设BD =2a ，AB =AC =5a ，BC =6a ，利用勾股定理，得到AG =4a ，AD =17a ，证明△ACD ∽△CKD ，得出CD 2=AD ⋅DK ，进而得到DK =161717a ，AK =1717a ，再证明△AKF ∽△DKH ，△CDH ∽△CBF ，得到KH KF =16，CH CF =23，进而得出CK CF =5051，最后证明△ANM ∽△AFC ，△APM ∽△AKC ，得出MN CF =MP CK，即可求出MP MN 的值．【详解】(1)证明：∵∠BAD =∠C ，∠ABD =∠ABC ，∴△ABD ∽△CBA ，∴BA BC =BD BA，∴BA 2=BD ⋅BC ；(2)解：如图，延长BC 至点E ，使得∠AEB =∠BAC ，连接AE ，∵tan ∠BAC =43，AD ⊥BC ，∴tan ∠AEB =AD DE =43，设AD =4x ，DE =3x ，∵BD =5，CD =3，∴AB 2=AD 2+BD 2=4x 2+52=16x 2+25，BE =BD +DE =5+3x ，BC =BD +CD =8，∵∠ABC =∠ABE ，∠AEB =∠BAC ，∴△ABC ∽△EBA ，∴BC AB=AB BE ，∴AB 2=BC ⋅BE ，∴16x 2+25=85+3x ，解得：x 1=3+264，x 1=3-264(舍)，∴AD =4x =3+26；(3)解：如图，过点C 作CF ∥MN 交AB 于点F ，交AD 于点K ，过点D 作DH ∥AB 交CF 于点H ，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，。

2025年湖南中考数学一轮复习考点研析第四章三角形第19讲直角三角形与勾股定理

么它所对的直角边等于___斜__边__的__一__半_____
图示
类别
内容
判定
(1)有一个角是___直__角___的三角形是直角三角形; (2)有两个角___互__余___的三角形是直角三角形
图示
面积 S=12ab=12ch(a,b为两条直角边长,c为斜边长,h为斜边上的高)
1.已知三角形为直角三角形,题目未明确直角顶点时,需要进行分类讨论. 2.若有一条直角边等于斜边的一半,则这条直角边所对的锐角等于30°(运用时需要先证明). 3.一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形(运用时需要先证明).
A. 3
B.2 3
C.2
D.4
变式1－3 [分类讨论]在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD.若△ABD为直角三角形,则∠ADB的度数是______9_0_°__或__5_0_°____.
答案
考点2 勾股定理
类别
内容
勾股定理
直角三角形两直角边a,b的平方和,等于斜边c 的平方,即______a_2＋__b_2_=_c_2_____
答案
变式 2 － 1 如图 ,∠ C= ∠ ABD=90°,AD=13,BD=12,BC=3, 则 AC 的长等于 A( )
A.4
B.3
C.2
D.1
变式2－2 下列能作为直角三角形三边长的是( D )
A.2, 2, 3
B.13,11,5
C.9,8,6
D. 2,1,1
答案
1.满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是( B )
2025年湖南中考数学一轮复习考点研析第一部分考点研析第四章三角形

2018年湖南中考数学复习资料 35 图形的相似

考点三十五：图形的相似聚焦考点☆温习理解 1、比和比例的有关概念：（1）表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例.（2）第四比例项：若a cb d =或a:b=c:d ，那么d 叫作a 、b 、c 的第四比例项. （3）比例中项：若a bb c=或a:b=b:c ，b 叫作a ，c 的比例中项.（4）黄金分割：把一条线段（AB ）分割成两条线段，使其中较长线段（AC ）是原线段AB 与较短线段（BC ）的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割.即AC2=AB ·BC ，AC=10.6182AB AB ≈；一条线段的黄金分割点有两个.2.比例的基本性质及定理（1）a cad bc b d =→= （2）a c a b c db d b d ±±=→=（3）(b d n 0)a c m a c m ab d n b d n b+++===+++≠→=+++ 3.平行线分线段成比例定理(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例；(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 4.相似三角形.相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比． 5．相似三角形的判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(4)三边对应成比例，两三角形相似；(5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；(6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．6．相似三角形性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．7．相似多边形的性质(1)相似多边形对应角相等，对应边成比例．(2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．8．位似图形(1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．名师点睛☆典例分类考点典例一、比例的基本性质、黄金分割【例1】已知513ba=，则a ba b-+的值是（）A．23B．32C．94D．49【答案】D．【解析】试题分析：先设出b=5k，得出a=13k，再把a，b的值代入即可求出答案．试题解析：令a，b分别等于13k和5k，∴13541359a b k ka b k k--==++；故选D．考点：比例的性质．【点睛】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形．【举一反三】若4y-3x=0，则x y y+=【答案】73.考点：比例的性质．考点典例二、三角形相似的性质及判定【例2】（2015.山东威海，第23题）（1）如图1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．（2）如图2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的长．【答案】AD=9；AD=【解析】（2）如图2，连接BE，在Rt△ACB中，∠ABC=∠CED=30°，tan30°==，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCE=∠ACD，∴△ACD∽△BCE，∴==，∵∠BAC=60°，∠CAE=30°，∴∠BAE=90°，又AB=6，AE=8，∴BE=10，∴AD=．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质、勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．【举一反三】如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．【答案】(1)证明见解析；（2）BM=MC ．【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质可得AB=BC ，∠ABC=∠B ，然后利用“边角边”证明△ABM 和△BCP 全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=BP ，∠BAM=∠CBP ，再求出AM ⊥BP ，从而得到MN ∥BP ，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）根据同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ ，然后求出△ABM 和△MCQ 相似，根据相似三角形对应边成比例可得AB AM MC MQ =，再求出△AMQ ∽△ABM ，根据相似三角形对应边成比例可得AB AMBM MQ=，从而得到AB AB MC BM=，即可得解．试题解析：（1）证明：在正方形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠B ，在△ABM 和△BCP 中，AB BC ABC C CP BM ⎧=∠=∠=⎪⎨⎪⎩， ∴△ABM ≌△BCP （SAS ）， ∴AM=BP ，∠BAM=∠CBP ， ∵∠BAM+∠AMB=90°， ∴∠CBP+∠AMB=90°， ∴AM ⊥BP ，∵AM 并将线段AM 绕M 顺时针旋转90°得到线段MN ， ∴AM ⊥MN ，且AM=MN ， ∴MN ∥BP ，∴四边形BMNP 是平行四边形；考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质．考点典例三、相似三角形综合问题【例3】如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED 的延长线交于点P，PC＝PG.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG2＝BF·BO.求证：点G是BC的中点（3）在满足（2）的条件下，AB=10，BG的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）试题解析：（1）证明：连OC，如图，∵ED⊥AB，∴∠FBG+∠FGB=90°，又∵PC=PG，∴∠1=∠2，而∠2=∠FGB，∠4=∠FBG，∴∠1+∠4=90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）证明：连OG，如图，∵BG2=BF•BO，即BG：BO=BF：BG，而∠FBG=∠GBO，∴△BGO∽△BFG，∴∠OGB=∠BFG=90°，即OG⊥BG，∴BG=CG，即点G是BC的中点；（3）解：连OE，如图，∵ED⊥AB，∴FE=FD，而AB=10，∴OE=5，==，在Rt△OEF中，1∴BF=5-1=4，∵BG2=BF•BO，∴BG2=BF•BO=4×5，∴考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识的综合运用．【举一反三】课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少毫米？小颖解得此题的答案为48 mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图①，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米？请你计算．(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图②，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．【答案】这个矩形零件的两条边长分别为2407mm ，4807mm ；S 的最大值为2400mm 2，此时PN=60mm ，PQ=40mm ．【解析】试题分析：（1）设PN=2y （mm ），则PQ=y （mm ），然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可；（2）设PN=x ，用PQ 表示出AE 的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x 表示出PN ，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．（2）设PN=x （mm ），矩形PQMN 的面积为S （mm2），由条件可得△APN ∽△ABC ，∴PN AE BC AD =，即8012080x PQ-=，解得PQ=80-23x ．∴S=PN •PQ=x （80-23x ）=-23x 2+80x=-23（x-60）2+2400，∴S 的最大值为2400mm 2，此时PN=60mm ，PQ=80-23×60=40（mm ）．考点：相似三角形的应用；二次函数的最值．考点典例四、相似多边形与位似图形【例4】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2；（1）把△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.【解析】试题分析：（1）把A、B、C三点先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到A1，B1，C1，顺次连接得到的各点即可；（2）延长OA1到A2，使0A2=20A1，同法得到其余各点，顺次连接即可．试题解析：考点：作图-位似变换；作图-平移变换．【点睛】本题考查了平移、位似的作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．【举一反三】（2015·辽宁营口）如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点C（2，2），点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是( ).A．（4，2） B．（4，1） C．（5，2） D．（5，1）【答案】C.考点：1.位似性质；2.平行线分线段成比例定理.课时作业☆能力提升一、选择题1. （2015成都）如图，在△ABC中，DE//BC，AD=6，BD=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B．【解析】试题分析：根据平行线段的比例关系，AD AEDB EC=，即643EC=，2EC=，故选B．考点：平行线分线段成比例．2. (2015·黑龙江哈尔滨）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF ，分别交AD 、CD 于点G ，H ，则下列结论错误的是（）（A ）EA EG BE EF = （B ）EG AG GH GD = （C ）AB BC AE CF = （D ） FH CF EH AD=【答案】C【解析】试题分析：根据平行四边形的性质可得△AEG ∽△BEF ，△DGH ∽△AGE ，△CHF ∽△AGE ，从而可以得出A 、B 、D 三个选项是正确的，只有C 选项是错误的.考点：三角形相似的应用.3. (2015·湖北武汉，6题，3分）如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为31，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（） A ．(2，1) B ．(2，0) C ．(3，3) D ．(3，1)【答案】A考点：位似图形的性质.4.（2015.山东淄博，第8题，4分）如图，在四边形ABCD 中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD ，CD=AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（）A．B．C．D．【答案】C.考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；三角形中位线定理．5. (2014•泰安)在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：①若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；②若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠B＝∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；③若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；④若AC：A1C1＝CB：C1B1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.其中真命题的个数为( )A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B．【解析】试题分析：分别利用相似三角形的判定和全等三角形的判定定理进行判断即可得到正确的选项．考点：命题与定理；全等三角形的判定；相似三角形的判定．6. （2015宜宾）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，2） B．（1，1） C． D．（2，1）【答案】B．【解析】试题分析：∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），∴BO=1，则AO=AB A（12，12），∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，∴点C的坐标为：（1，1）．故选B．考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质．7.（2015·湖南株洲）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( )A、13B、23C、34D、45第7题图【答案】C考点：相似三角形的性质.二、填空题1.（2015.河南省，第10题，3分）如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB ，BC 上，DE//AC ，若DB=4，DA=2，BE=3，则EC= .【答案】23. 【解析】试题分析：∵DE//AC,∴DB:AD=BE:CE,∴4:2=3:EC,EC=23. 考点：平行线分线段成比例定理.2.（2015.重庆市A 卷，第15题，4分）已知△ABC ∽△DEF,ABC ∆与DEF ∆的相似比为4:1，则ABC ∆与DEF ∆对应边上的高之比为 .【答案】4：1.【解析】试题分析：相似三角形对应边上的高、对应角的平分线、对应边上的中线之比，都等于相似比.所以△ABC 与△DEF 对应边上的高之比等于它们的相似比4：1.故答案为：4：1.E CDB A第10题考点：相似三角形的性质.3. （2015.重庆市B 卷，第14题，4分）已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为2:3，则△ABC 与△DEF 对应边上的中线的比为________.【答案】2:3【解析】试题分析：根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比可得：△ABC 与△DEF 对应边上的中线的比为2:3. 考点：相似三角形的应用.4. (2015.天津市，第16题，3分)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，分别交AB ，AC 于点D ，E . 若AD =3，DB =2，BC =6，则DE 的长为 .B 【答案】185. 考点:相似三角形的判定与性质.5.（2015自贡）将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC 的面积之比等于．【答案】1：3．【解析】试题分析：设BC =x ，∵∠ABC =∠DCB =90°，AB =BC ，∠D =30°，在Rt △DBC 中，CD =BC •cot ∠D，∴∠ABD +∠DCB =180°，AB =BC =x ，∴AB ∥CD ，∴△AOB ∽△COD，∴221()3AOB COD S AB S CD ∆∆===．∴△AOB 与△DOC 的面积之比为1：3．故答案为：1：3．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．压轴题． 6.（2015凉山州）在▱ABCD 中，M ，N 是AD 边上的三等分点，连接BD ，MC 相交于O 点，则S △MOD ：S △COB = ．【答案】19或49．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．7.（2015·辽宁沈阳）如图，△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点O ，且△ABC 的面积等于△DEF 面积的49，则AB ：DE = ．【答案】2：3．【解析】试题分析：∵△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点O ，∴△ABC ∽△DEF ，∴△ABC 的面积：△DEF 面积=2()AB DE =49，∴AB ：DE =2：3，故答案为：2：3．考点：位似变换．三、解答题1.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，DE=2，BC=3，求AEAC的值．【答案】23.考点：相似三角形的判定与性质．2.（2015.山东滨州第23题，10分）（本小题满分10分）如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC 与△DCE都是等边三角形.其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F.求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AG AF GC FE.【答案】试题解析：证明：（1）∵△ABC 与△DCE 都是等边三角形，∴AC=BC ，CE =CD ，∠ACB =∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD =∠DCE+∠ACD ，即∠ACE =∠BCD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）.（2）∵△ABC 与△DCE 都是等边三角形，∴AB=AC ， CD=ED ，∠ABC =∠DCE=60° ∴B DCD A AC E =，AB ∥DC ， ∴∠ABG =∠GDC ，∠BAG=∠GCD ，∴△ABG ∽△CDG ， ∴DAG AB GC C =. 同理，AF AC FE ED=. ∴AG AF GC FE =. 考点：三角形全等，三角形相似的判定与性质3．（2015.山东泰安，第27题）（10分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD =∠B ．（1）求证：AC •CD =CP •BP ；（2）若AB =10，BC =12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）253．【解析】试题分析：（1）先证∠APD=∠B=∠C，从而有△ABP∽△PCD，即可得到BP ABCD CP，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；（2）由PD∥AB得到∠APD=∠BAP，进而得到∠BAP=∠C，从而有△BAP∽△BCA，根据相似三角形的性质即可求出BP的长．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．综合题．。

2018年中考数学总复习课件：相似三角形(共27张PPT)

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