湖北省武汉外国语学校高一上期末数学试卷
2023届武汉外国语学校高一数学第一学期期末联考试题含解析
C. D.
2．已知函数 ，则函数 的最小正周期为
A. B.
C. D.
3．已知函数 为R上的偶函数，若对于 时，都有 ，且当 时， ，则 等于（）
A.1B.-1
C. D.
4．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是
A. B.
C. D.
5．我们知道，函数 的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数.据此，我们可以得到函数 图象的对称中心为（）
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）
（2）
【解析】（1）依题意 ，将原式利用诱导公式化简，分子分母同除 ，代入正切计算可求出结果.（2）由终边所过点以及二倍角公式可计算 和 的三角函数值，利用平方和为1求出 ，代入两角和的余弦可计算 的值.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点
（1）求 值
（2）已知 ， 求 的值
18．在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ， 面 ， ， ， 分别为 ， 的中点
（Ⅰ）求证： 面 ；
A. B.
C. D.
6．若集合 ，则下列选项正确的是（）
A. B.
C. D.
7．在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率为0.8，乙去参观市博物馆的概率为0.6，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是（）
A.0.48B.0.32
C.0.92D.0.84
湖北省武汉市武汉外国语学校2024-2025学年高三上学期10月考试 数学(含答案)
武汉外国语学校2024—2025学年度上学期10月月考高三数学试卷命题教师： 审题教师：考试时间：2024年10月9日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．复数的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．3，且，则与的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 已知，则下列不等关系中不恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．5. 将体积为1的正四面体放置于一个正方体中，则此正方体棱长的最小值为（ ）A ．3B ．C ．D ．6. 武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种A ．114B. 120C ．126D ．1327．已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8. 已知函数，，函数，若为偶函数，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ）A ．数据，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1B ．已知随机变量，若，，则C ．若一组样本数据（，2，…，n ）的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为D ．若事件M ，N 的概率满足，且，则M 与N 相互独立10. 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（ ）A ．平行四边形B ．梯形C ．有三条边相等的四边形D ．有一组对角相等的四边形11. 设函数，则（ ）A ．当时，直线是曲线的切线B ．若有三个不同的零点，则C ．存在a ，b ，使得为曲线的对称轴D ．当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知是等差数列的前n 项和，若，，则 ．13. 已知函数，写出函数的单调递减区间．14. 掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3得2分，向上的点数小于3得1分，反复掷这个骰子，（1）恰好得3分的概率为 ；（2）恰好得n 分的概率为．（用与n 有关的式子作答）{}2|230A x x x =+-≥{}|22B x x =-≤<A B = []2,1--[)1,2-[]1,1-[)1,2ii 212+-3i5-3i 5i -ib a -=c a c ⊥a b 6π3π23π56π(0,),(0,)22ππαβ∈∈()sin sin sin αβαβ+<+()sin cos cos αβαβ+<+()cos sin sin αβαβ+<+()cos cos cos αβαβ+<+33333a R ∈222,1()ln ,1x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩x ()0f x …R a[]0,1[]0,e []0,2[]1,e ()()f x f x x R =-∈，()15.5=f ()()()1g x x f x =-⋅()1+x g ()0.5-g 32.521.51-(),X B n p :()40E X =()30D X =160n =(),i i x y 1i =132y x =-+12-()()0,1P M ∈()()0,1P N ∈()()1P N M P N +=32()231f x x ax =-+0a =1y =()y f x =()f x 123,,x x x 12312x x x ⋅⋅=-x b =()y f x =02ax ≠()f x 0x x =()y f x =n S {}n a 320S =990S =6S =()()π2,0,cos 2sin ∈+=x xxx f ()x f四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （本题满分13分）已知的面积为，且满足,设和的夹角为，（1）求的取值范围；（2）求函数16.（本题满分15分）如图，已知四棱锥，，侧面为正三角形，底面是边长为4的菱形，侧面与底面所成的二面角为120°．（1）求四棱锥的体积；（2）求二面角的正弦值．17.（本题满分15分）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若不等式恒成立，求的取值范围．18.（本题满分17分）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点A （1）求椭圆E 的方程；（2）求的角平分线所在直线的方程；（3）在椭圆E 上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．19.（本题满分17分）设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质．（1）设函数，其中为实数① 求证：函数具有性质；② 讨论函数的单调性；（2）已知函数具有性质，给定，，且，若，求的取值范围．ABC ∆3360≤⋅≤AC AB AB ACθθ()2cos sin 3f πθθθθ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭ABCD P -AD PB ⊥PAD ABCD PAD ABCD ABCD P -A PB C --()2()e ln0x af x a a x-=+>a e =()y f x =()()1,1f ()2f x ≥a 2222:1(0)x y E a b a b +=>>12,F F 2352,3⎛⎫ ⎪⎝⎭21AF F ∠l l )(x f ),1(+∞)('x f a )(x h )(x h ),1(+∞∈x )(x h )1)(()('2+-=ax x x h x f )(x f )(a P )(x f 2ln (1)1b x x x +=+>+b )(x f )(b P )(x f )(x g )2(P 为正实数，设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈21)1(x m mx -+=α21)1(mx x m +-=β1,1>>βα12()()()()g g g x g x αβ-<-m2024-2025学年度高三10月月考数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011答案DDBCCABDABDBCDABD二、填空题12.13. 14. （1）；（2）三、解答题15、解：（1）由题，可得，又，所以，得到或因为，所以6分（2），化简得进一步计算得，因为，故故可得13分16、解：（1）过点作垂直于平面，垂足为，连接交于，连接，则有，又，所以，因为，所以，又，所以为得中点依题侧面与底面所成的二面角为120°，即有，所以，因为侧面为正三角形，502433ππ⎛⎫⎪⎝⎭，132713425153n -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭3sin 21==∆θbc S ABC θsin 6=bc 36cos 0≤=⋅≤θbc AC AB 36sin cos 60≤≤θθ33tan≥θ2πθ=()πθ,0∈,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2cos sin 3f πθθθθ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭()21sin 24f θθθ=()1sin 223f πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦22033ππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()102f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，P PO ABCD O BO AD E PE AD PB AD PO ⊥⊥,P PB PO =⋂POB AD 平面⊥POB PE 平面⊂PE AD ⊥PD PA =E AD PAD ABCD 32π=∠PEB 3π=∠PEO PAD所以，则，所以7分（2）如图，在平面内过点作得垂线，依题可得两两垂直，以为建立空间直角坐标系可得，，，取得中点为，则因为，所以，由（1)，，知所以，可得所成角即为二面角的平面角，求得，，则则15分17、解：（1）当时，，，所求切线方程为：，即5分（2）转化为，可得构造函数，易得在单调递增所以有，由在单调递增,故可得，即有在恒成立令，，得到，可得时，；时，，所以在时取最大值所以，得到15分323sin4=⋅=πPE 323323sin=⋅=⋅=πPE PO 38323443131=⋅⋅⋅⋅==-PO S V ABCD ABCD P ABCD O OB Ox Ox OB OP ,,Ox OB OP ,,轴轴，轴，x y z ()0,3,2A ()0,0,0P ()0,33,0B PB N ⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,233,0N AB AP =PB AN ⊥POB AD 平面⊥AD BC //POB BC 平面⊥PB BC ⊥NA BC ,A PB C --⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=23,23,2AN ()0,0,2=BC 72724-=-BC NA sin A PB C --=a e =1()e lnx e f x x -=+0(1)e ln 2f e =+=11()e ,(1)0x f x f x-''=-=)1(02-=-x y 2y =()2≥x f ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥ln 2e ln +2ln 0a x a x x x x +-+-≥+>，()e x g x x =+()g x R ()(ln 2)ln g a x g x +-≥()g x R ln 2ln a x x +-≥ln ln 2a x x ≥-+()∞+，0()2ln +-=x x x h ()011=-='xx h 1=x ()10，∈x ()0>'x h ()∞+∈，1x ()0<'x h ()x h 1=x ()ln 11a h ≥=ea ≥18、解：（1）∵椭圆E 经过点A ，∴，解得E ：；4分（2）由（1）可知，，思路一：由题意，，设角平分线上任意一点为，则得或∵斜率为正，∴的角平分线所在直线为思路二：椭圆在点A 处的切线方程为，根据椭圆的光学性质，的角平分线所在直线的斜率为，∴，的角平分线所在直线即10分（3）思路一：假设存在关于直线对称的相异两点，设，∴∴线段中点为在的角平分线上，即得∴与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线对称的相异两点，线段中点，52,3⎛⎫⎪⎝⎭23e =222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎨=+⎪⎪==⎪⎩32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22195x y +=1(2,0)F -2(2,0)F 1:512100AF l x y -+=2:2AF l x =(),P x y 51210213x y x -+=-9680x y --=2390x y +-=21AF F ∠9680x y --=52,3⎛⎫⎪⎝⎭2319x y +=23k =-切21AF F ∠l 32l k =21AF F ∠34:23l y x =-9680x y --=l ()()1122,,,B x y C x y 2:3BC l y x m =-+2222195912945023x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪=-+⎪⎩BC 25,39m mM ⎛⎫⎪⎝⎭21AF F ∠106803m m --=3m =52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭l ()()1122,,,B x y C x y BC ()00,M x y由点差法，，∴，∴，与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．17分19、解：（1）① ，∵，恒成立，∴函数具有性质；3分② 设，(i) 当即时，，，故此时在区间上递增；(ii) 当时当即时，，，故此时在区间上递增；当即时，，∴时，，，此时在上递减；时，，，此时在上递增.综上所述，当时，在上递增；当时，在上递减，在上递增.9分()()()222121()111b f x x bx x x x x +=-=-+'++1x >()()2101h x x x =>+()f x ()P b ()0f x '>()f x ()1,+∞()0f x '>()f x ()1,+∞x ⎛∈ ⎝()0f x '<()fx ⎛ ⎝()fx ∞⎫+⎪⎪⎭2b ≤()f x ()1,+∞2b >()fx ⎛ ⎝∞⎫+⎪⎪⎭2211222212122222195095195x y x x y y x y ⎧+=⎪⎪⇒+=⎨⎪+=⎪--⎩0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+0065OM y k x ==:968052,63:5AM OM l x y M l y x --=⎧⎪⎛⎫⇒⎨⎪=⎝⎭⎪⎩()()211u x x bx x =-+>0b -≥0b ≤()0u x >0b >240b ∆=-≤02b <≤()0u x >240b ∆=->2b>1211x x ==<=>，()0u x<x ∞⎫∈+⎪⎪⎭()0u x >()0f x '<（2）由题意， ，又对任意的都有，所以对任意的都有，在上递增.10分∵，，∴①先考虑的情况即，得，此时，∴∴满足题意13分②当时，，，∴∴，∴，不满足题意，舍去16分综上所述，17分()()22()()21()1g x h x x x h x x =-+=-'()h x ()1,x ∈+∞()0h x >()1,x ∈+∞()0g x '>()g x ()1,+∞12(1)mx m x α=+-12(1)m x mx β=-+()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--12x x αβ-<-()()121221m x x x x --<-01m <<1122(1)x mx m x x α<=+-<1122(1)x m x mx x β<=-+<1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<12()()()()g g g x g x αβ-<-1m ≥11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+12x x αβ≤<≤12()()()()g g x g x g αβ≤<≤12()()()()g g g x g x αβ-≥-01m <<。
湖北省高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，则（ ）{}{}20,1,2,3,8A B x x ==≤A B = A ． B ． {}0,1,2{}1,0,1-C ． D ．{}0,1,2,3{}2,1,0,1,2--【答案】A【解析】先解出集合B,再求.A B ⋂【详解】∵，而{}{282B x x x x =≤=-≤≤{}0,1,2,3A =∴ A B = {}0,1,2故选：A【点睛】集合的交并运算： (1)离散型的数集用韦恩图； (2) 连续型的数集用数轴． 2．已知，，则“”是“”的（ ） a b ∈R a b >1>abA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【分析】由或，即可判断出结论. 1ab>⇔0a b >>0a b <<【详解】当时，成立，当时，，故充分性不成立，0a b >>1>a b0b <1ab <当时，若则，若，则，则必要性不成立. 1>ab0,b >a b >0b <a b <所以“”是“”的既不充分又不必要条件. a b >1>ab故选：D3．已知函数的定义域为（ ） ()ln(3)f x x =++()f x A ． B ．C ．D ．(3,)+∞()3,3-(,3)-∞-(,3)-∞【答案】A【解析】要使函数，解出即可. ()ln(3)f x x =+3030x x +>⎧⎨->⎩【详解】要使函数 ()ln(3)f x x =+3030x x +>⎧⎨->⎩解得3x >所以函数的定义域为 ()f x (3,)+∞故选：A4．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1SN可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比从1000提升至5000，则C 大约SN增加了（ ）（附：） lg 20.3010≈A ．20% B ．23%C ．28%D ．50%【答案】B【分析】根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解. 【详解】将信噪比从1000提升至5000时，C 大约增加了SN()()()222log 15000log 11000log 11000W W W +-++.222lg 5000lg1000log 5001log 1001lg 51lg 2lg 2lg 20.2323%lg1000log 100133lg 2---=≈==≈=故选：B.5．已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则26()3x f x a -=+0a >1a ≠A A θ（ ）sin cos sin cos θθθθ-=+A ．B ．0C ．7D ．17-17【答案】D【分析】由题知,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可. ()3,4A 【详解】解:令得,故定点为, 260x -=3x =A ()3,4A 所以由三角函数定义得，4tan 3θ=所以41sin cos tan 1134sin cos tan 1713θθθθθθ---===+++故选：D6．函数的图像大致为（ ）()2x xe ef x x --=A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】通过函数的奇偶性，变化趋势，特殊值排除答案. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称()f x {}0x x ≠，函数是奇函数，图像关于原点对称，故排除A 选()()()22x xx x e e e e f x f x x x -----===-- ∴()f x 项；又，故排除D 选项；()1121101e e f e e--==-> ，当时，，即在()()()()()243222xx x x x x ee x e e xx e x e f x xx---+--⋅-++'==2x >()0f x ¢>()f x 上单调递增，故排除C 选项. ()2+∞，故选：B.7．已知偶函数在上是增函数，若，，，则，()g x ()0,+¥()2log5.1a g =-()0.82b g =()3c g =a b，的大小关系为（ ） c A ． B ． C ． D ．a b c <<c b a <<b a c <<b<c<a 【答案】C【解析】由于为偶函数，所以，然后利用对数函数和指数函数的()g x 22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=性质比较大小，再利用在上是增函数，可比较，，的大小0.82log 5.1,2,3()g x ()0,+¥a b c 【详解】解；由题意为偶函数，且在上单调递增，()g x ()0,+¥所以，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=又，， 2222log 4log 5.1log 83=<<=0.8122<<所以，故，0.822log 5.13<<b a c <<故选：C.8．若函数y =f （x ）图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，B ]是函数y =f （x ）的一对“黄金点对”（注：点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一对“黄金点对”）．已知函数f （x ）=，则此函数的“黄金点对“有（ ） 222040412324x x x x x x x x ，＜，，＞⎧⎪-+≤≤⎨⎪-+⎩A ．0对 B ．1对C ．2对D ．3对【答案】D【分析】根据“黄金点对“，只需要先求出当x ＜0时函数f （x ）关于y 轴对称的函数的解析式，再作出函数的图象，利用两个图象交点个数进行求解即可．【详解】由题意知函数f （x ）=2x ，x ＜0关于y 轴对称的函数为，x ＞0， 122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭作出函数f （x ）和，x ＞0的图象，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭由图象知当x ＞0时，f （x ）和y=（）x，x ＞0的图象有3个交点． 12所以函数f （x ）的““黄金点对“有3对． 故选D ．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，结合“黄金点对“的定义，求出当x ＜0时函数f （x ）关于y 轴对称的函数的解析式，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、多选题9．下列结论正确的是（ ） A ．是第二象限角 43π-B ．若为锐角，则为钝角 α2αC ．若，则 αβ=tan tan αβ=D ．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为6ππ3π【答案】AD【分析】为锐角时，为不一定为钝角；α2α 时，没有意义.2παβ==tan α【详解】对于A ：， 42233πππ-=-+是第二象限角，所以A 正确； ∴43π-对于B ：时，并不是钝角，所以B 错误； 10α= 220α= 对于C ： 时，没有意义，所以C 错误；2παβ==tan α对于D ：，， l rα=∴66l r ππα===，D 正确.∴116322S lr ππ==⨯⨯=扇∴故选：AD.10．已知，且，则下列不等式恒成立的有（ ）>>c a b 0ac <A ． B ．C ．D ．<0c b a ->b c a a 11>a c22>b a c c【答案】BC【解析】根据不等式的性质判断．错误的可举反例． 【详解】，且，则，>>c a b c<0a 0,0a c ><，，A 错误； 0b a -<0b ac->，则，B 正确； ,0b c a >>b ca a>，则，C 正确； 0a c >>110a c>>与不能比较大小．如，此时，，D 错误． 2a 2b 2,3,4a bc ==-=-21a c =-2914b c =-<-故选：BC ．11．对于实数x ，符号表示不超过x 的最大整数，例如，，定义函数[]x []3π=[]1.082-=-，则下列命题中正确的是（ ）()[]f x x x =-A ．函数的最大值为1 B ．函数的最小值为0 ()f x ()f x C ．方程有无数个根 D ．函数是增函数()102f x -=()f x 【答案】BC【分析】首先根据题意画出函数的图像，再依次判断选项即可. ()f x 【详解】画出函数的图象，如下图所示：()[]f x x x =-，对选项A ，由图象得，函数无最大值，故A 不正确； ()f x 对选项B ，由图知：函数的最小值为0，故B 正确； ()f x 对选项C ，函数每隔一个单位重复一次， ()f x 所以函数与函数有无数个交点， ()y f x =12y =即方程有无数个根，故C 正确； ()102f x -=对选项D ，图象可知函数不是单调递增，故D 不正确. ()f x 故选：BC .12．已知函数，若方程有三个实数根，，，且12log ,04()10,4x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()f x a =1x 2x 3x 123x x x <<，则下列结论正确的为（ ）A ．121=x x B ．的取值范围为 a 50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．的取值范围为 312x x x [)5,+∞D ．不等式的解集为 ()2f x >()10,4,54⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】分析给定函数的性质，作出函数的图象，数形结合逐一分析各选项判断作答. ()f x 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，()f x (0,1](1,4](4,)+∞方程的三个实数根分别是直线与函数图象交点的横坐标，如图，()f x a =y a =()y f x =123,,x x x由，必有，而，则，即，解得12()()f x f x =111222|log ||log |x x =12x x <111222log log 0x x +=1122log 0x x =，A 正确；121=x x 因在上单调递增，，当时，直线与函数的图象只有两个()f x (1,4](4)2f =2<a <52y a =()y f x =公共点，因此，方程有三个实数根，当且仅当，B 不正确； ()f x a =02a <≤在中，当时，，而函数在上单调递减，则当时，10(4)y x x=>2y =5x =()f x (4,)+∞02a <≤35x ≥，，C 正确； 3312[5,)x x x x =∈+∞当时，因当时，，于是得，且，解得04x <≤14x ≤≤12|log |2x ≤01x <<11221log 2log 4x >=， 104x <<当时，，解得，所以不等式的解集为，D 正确. >4x 102x >45x <<()2f x >()10,4,54⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭故选：ACD三、填空题13．已知集合，集合，若，则实数__________． {}0,1M ={}0,2,1N m =-M N ⊆m =【答案】0【分析】依题意可得，即可得到，解得即可；1N ∈11m -=【详解】解：由题意知，又集合，因此，即．故． M N ⊆{}0,1M =1N ∈11m -=0m =故答案为：. 014．已知，则______． ()7sin cos 0π13ααα+=<<tan α=【答案】 125-【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，并分析三角函数值的正负即可求解. 【详解】解：已知①，则， 7sin cos 13αα+=()2sin cos 12sin cos 69491αααα+=+=， 60sin cos 0169αα=-<，，则，，0πα<< sin 0α∴>cos 0α<sin cos 0αα->②， 17sin cos 13αα∴-===联立①②，得，12sin 13α=5cos 13α=-， 12tan 5α∴=-故答案为：. 125-15．已知定义在上的函数满足，且当时，，若的R ()f x ()()1f x f x -=-12x >1()f x x m x =++()f x 值域为，则实数的取值范围为________． R m 【答案】(],2-∞-【分析】由可得关于对称，再分析得当时，的值域包含()()1f x f x -=-()f x 1,02⎛⎫⎪⎝⎭12x >()f x 即可()0,∞+【详解】当时，，当且仅当，即时等号成立，12x >1()2f x x m m m x =++≥=+1x x =1x =故当时，，又由可得关于对称，且由12x >()[)2,f x m ∈++∞()()1f x f x -=-()f x 1,02⎛⎫⎪⎝⎭可得， 11122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故只需包含区间即可，故，[)2,m ++∞()0,∞+20m +≤故 (],2m ∈-∞-故答案为：(],2-∞-四、双空题16．设函数，.①的值为_______；②若函11,0()2(2),0xx f x f x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩()log (1)a g x x =-(1)a >(2019)f 数恰有个零点，则实数的取值范围是___________. ()()()h x f x g x =-3a 【答案】 1【解析】①根据分段函数的解析式，求得的值. ②求得的部分解析式，由此画()f x ()2019f ()f x 出和两个函数图象，根据两个函数图象有个交点，确定的取值范围. ()f x ()g x 3a 【详解】①.()()()11201920171112f f f -⎛⎫===-=-= ⎪⎝⎭②当时，，所以.02x <≤220x -<-≤()()21212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时，，所以.24x <≤022x <-≤()()41212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时，，所以.46x <≤224x <-≤()()61212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时，，所以.68x <≤426x <-≤()()81212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭画出和两个函数图象如下图所示，由，由.由()f x ()g x ()log 413,a a -==()log 613,a a -==图可知，当两个函数图象有个交点，也即函数恰有个零点时，的取值范围是3()()()h x f x g x =-3a故答案为：（1）；（2）1【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查分段函数解析式的求法，考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.五、解答题 17．计算：(1) ()()1201980.54-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2) 2log 3491lg2log 27log 8100--⋅【答案】(1)32(2)74-【分析】（1）由指数的运算以及指数幂与根式的互相转化即可求解； （2）由对数的运算以及指数幂与根式的互相转化，并利用换底公式即可求解.【详解】（1）解：原式.11331122222-⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭（2）原式. 1332222lg 27lg81lg 3lg 2197lg10ln e 323lg 4lg 92lg 2lg 3244-=-+-⋅=--+-⋅=-=-18．已知正数满足；,x y 82xy x y =+（1）求的最小值，并求出取得最小值时的的值；xy ,x y （2）求的最小值.42x y +【答案】（1）最小值为64，；（2）xy 4,16x y ==24+【分析】（1）对等式右边直接使用基本不等式，转化为求关于xy 的不等式；（2）把条件转化为，再进行求解. 82xy x y =+281x y+=【详解】解：（1）因为是正数，所以,x y 82xy x y =+≥=即8≥64xy ≥当且仅当即，时取等号82x y =4x =16y =所以最小值为64 xy （2）即为 82xy x y =+281x y+=所以 2843242(42)()2424y x x y x y x y x y+=++=++≥+当且仅当即 432y x x y=2x =+8y =+19．（1）求函数，的值域； ()222log log x x =+1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）解关于的不等式：（，且）． x ()2log (1)log 3a a x x +>-0a >1a ≠【答案】（1）；（2）时，原不等式的解集为；时，原不等式的1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1a >{1x x -<<∣01a <<解集为． {11}xx -<<∣【分析】（1）令，，，然后利用二次函数的知识求解即2log t x =[1,1]t ∈-221124y t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭可；（2）分、两种情况，结合对数函数的单调性解出不等式即可.1a >01a <<【详解】（1）令，由于，则． 2log t x =1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[1,1]t ∈-于是原函数变为， 221124y t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭图象为开口向上的抛物线，对称轴，且， ()y t 12t =-11(1)122⎛⎫⎛⎫---<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故当，取最小值；当时，取最大值2． 12t =-y 14-1t =y 所以原函数的值域为． 1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）当时，原不等式可化为：1a >， 223013x x x ⎧->⎨+>-⎩即 12x x x ⎧<⎪⎨><-⎪⎩或1x <<故时，原不等式的解集为．1a >{1x x -<<∣当时，原不等式可化为：01a <<， 21013x x x+>⎧⎨+<-⎩即，解得． 121x x >-⎧⎨-<<⎩11x -<<故时，原不等式的解集为． 01a <<{11}xx -<<∣综上：时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为. 1a >{1x x -<<∣01a <<{11}xx -<<∣20．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函()y f x =()y f x =数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数()y f x =(),P a b 为奇函数.()y f x a b =+-（1）若.32()3f x x x =-①求此函数图象的对称中心；②求的值；()()()()2018201920202021f f f f -+-++（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称的充要条件是函数()y f x =y ()y f x =为偶函数”的一个推广结论.【答案】（1）①；②；（2）函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是()1,2-8-()y f x =x a =函数为偶函数.()y f x a =+【解析】（1）①设函数图象的对称中心为，根据题意可知函数()323f x x x =-(),P a b 为奇函数，利用奇函数的定义可得出，可得出关于、()()g x f x a b =+-()()2f x a f x a b -+++=a 的方程组，解出、的值，即可得出函数的对称中心的坐标；b a b ()y f x =②推导出，由此可计算得出所求代数式的值；()()114f x f x -+++=-（2）根据题中结论可写出“函数的图象关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶()y f x =y ()y f x =函数”的一个推广结论.【详解】解：（1）①设函数图象的对称中心为，，()323f x x x =-(),P a b ()()g x f x a b =+-则为奇函数，故，故，()g x ()()g x g x -=-()()f x a b f x a b -+-=-++即，()()2f x a f x a b -+++=即. ()()()()3232332x a x a x a x a b ⎡⎤⎡⎤-+--+++-+=⎣⎦⎣⎦整理得，故，解得， ()2323330a x a a b -+--=3233030a a a b -=⎧⎨--=⎩12a b =⎧⎨=-⎩所以函数图象的对称中心为；()323f x x x =-()1,2-②因为函数图象的对称中心为，32()3f x x x =-()1,2-所以，，()()114f x f x -+++=-故()()()()2018201920202021f f f f -+-++()()()()2018202020192021f f f f =-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()20191201912020120201f f f f =-++++-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；428=-⨯=-（2）推论：函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数.()y f x =x a =()y f x a =+【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性及其应用，可利用以下结论来转化：①函数的图象关于点对称，则；()f x (),a b ()()22f x f a x b +-=②函数的图象关于直线对称，则.()f x x a =()()2f x f a x =-21．已知函数.(),(0,1,)x f x a a a x R =>≠∈（1）当时，2a =①若函数满足求的表达式，直接写出的递增区间； ()g x (())g f x =()g x ()g x ②若存在实数使得成立，求实数的取值范围； []0,1x ∈1()()()()1f x mf x f x f x +<+--m （2）若函数满足当时，恒有，试确定a 的()g x (()),g f x x =[]2,3x a a ∈++(3)()1g x a g x a -+-≤取值范围.【答案】（1）①，增区间为；②；（2）. 221log ,02()log 1,2x x g x x x -<<⎧=⎨-≥⎩(2,)+∞4(,)3+∞【分析】（1）①应用换元法，令即可求的表达式，根据含对数的复合函数单调性可写出2x t =()g x 的递增区间；②由参变分离得，根据在闭区间存在使不等式成立，即()g x 211(2)21x x m >+-+x 即可求的取值范围； min 21[1(2)21x x m >+-+m （2）由题设求得，利用对数函数的性质可知，再由不等式恒成立，结合二次()log a g x x =01a <<函数的性质列不等式组求a 的取值范围.【详解】解：（1）①由题意知：，若，则，(2)1x g x ==-2x t =21og x t =∴，即， 2()log 1(0)g t t t =->221log ,02()log 1,2x x g x x x -<<⎧=⎨-≥⎩∴函数单调递增区间为.[2,)+∞②由题设有，，即有， 122221x x x x m -+<⋅+-[]0,1x ∈211(2)21x x m >+-+，则，即，[]0,1x ∈ []21,2x ∈[]2(2)211,3x x -+∈∴由使不等式成立知：当时，即可. []0,1x ∃∈2(2)213x x -+=43m >∴m 取值范围是 4(,)3+∞（2）由题意知：，令，则，即，()x g a x =x t a =()log a g t t =()log a g x x =∴由题设不等式中可知：，而(3),()g x a g x a --230a a +->0,1a a >≠，又，01a ∴<<(3)()1g x a g x a -+-≤∴，即有，对恒成立，若令221log (43)1a x ax a -≤-+≤22143a x ax a a≤-+≤[]2,3a a a ∀∈++，其对称轴为且开口向上，而，2243()x h x ax a -+=2x a =22a a <+∴在区间上递增，()h x []2,3a a ++∴上式等价于，解得0119644a a a a a<<⎧⎪⎪-≤⎨⎪-≥⎪⎩0a <≤【点睛】关键点点睛：（1）应用换元思想求函数解析式，结合对数型复合函数的单调性确定单调区间；由参变分离法有，根据存在使不等式能成立，即在对应区间内只需求参数范围；()m f x >min ()m f x >（2）根据对数函数的性质，结合不等式在闭区间内恒成立，列不等式组求参数范围.22．已知函数()，且满足. ()x a f x x -=0a >112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求a 的值；（2）设函数，()，若存在，，使得成立，()()g x xf x =()2x h x t t =-1t >1x 21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12h x g x =求实数t 的取值范围；（3）若存在实数m ，使得关于x 的方程恰有4个不同的正根，求实数()22220x a x x a mx ---+=m 的取值范围.【答案】（1）1；（2）；（3） 2t ≥10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意，代入函数值，即可求解；（2）根据题意，求解函数和值域，若存在，，使得成立，转()g x ()f x 1x 21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12h x g x =化为值域有交集，即可求解参数取值范围；（3）由（1）分析函数的值域，可知时，有两根；再观察方程，同除后方程可()f x ()()0,1f x ∈x 2x 化简为，只需使方程在上有两根，即可求解.()()2220f x f x m -+=()()0,1f x ∈【详解】（1）由，得或0. 1121122a f -⎛⎫== ⎪⎝⎭1a =因为，所以，所以. 0a >1a =()1x f x x -=（2）， ()()1,1211,12x x g x xf x x x -≤≤⎧⎪==⎨-≤<⎪⎩所以;故的值域为()01g x ≤≤()g x []0,1A =因为时，在， 1t >()2x h x t t =-1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦()222t h x t t ≤≤-所以的值域为，由题意， ()hx 22,2B t t t ⎤=-⎦A B φ⋂≠，所以，解得;20t <220t t -≥2t ≥综上:实数t 的取值范围是2t ≥（3）当时，，在上为增函数; 1x >()111x f x x x-==-()f x ()1,+∞当时，. ()1,x ∈+∞()()110,1f x x=-∈可得在上为减函数，当时，. ()f x ()0,1()0,1x ∈()()110,f x x =-∈+∞方程可化为， ()2221120x x x mx ---+=2211220x x m x x ---+=即.()()2220f x f x m -+=设，方程可化为.()s f x =2220s s m -+=要使原方程有4个不同的正根，则关于s 方程在有两个不等的根，，2220s s m -+=()0,11s 2s 则有，解得， 211602021120m m m ->⎧⎪>⎨⎪⨯-+>⎩1016m <<所以实数m 的取值范围为. 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】（1）考查计算能力，基础题；（2）转化与化归思想解题，考查求函数值域，交集不空的参数范围，属于中等题；（3）转化方程与已知函数关联，考查函数与方程思想，转化与化归思想，一元二次方程根的限定条件，综合性较强，属于难题.。
武汉外国语学校2012~2013学年度上期期末考试高一数学
武汉外国语学校2012~2013学年度上期期末考试高一数学试卷满分200分1．设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，设集合P ＝{1，2，3，4}，Q ＝{3，4，5}，则P ∩(∁U Q )＝（ ）A ．{1，2，3，4，6}B ．{1，2，3，4，5}C ．{1，2，5}D ．{1，2}2．设⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0)(2x x x x x f ，，，则f [f (－2)]＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 3．函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[－1，2]上的值域为（ ）A ．[2，3]B ．[3，6]C ．[2，6]D ．[2，＋∞) 4．下列函数中，与函数y ＝|x |表示的不是同一个函数的是（ ）A ．⎩⎨⎧<-≥=00x x x x y ，，B ．⎩⎨⎧≥-<=00x x x x y ，， C ．2x y =D ．||log 22x y =5．函数y ＝x 2＋2x 的减区间是（ ） A ．(－∞，－1] B ．[－1，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(－∞，＋∞)6．Sin210°＝（ ）A ．21B ．－21C ．23D ．－237．300°转化为弧度是（ ）A ．34π B ．35π C ．47π D ．67π8．若sin α＞0，tan α＜0，则角α是第（ ）A ．一B ．二C ．三D ．四 9．已知α为第二象限角，且sin α＝53，则sin2α＝（ ） A ．－257 B ．257 C ．－2524 D ．2524 10．要得到函数)32sin(π-=x y 的图象，可以将函数y ＝sin2x 图象经何种变换得到（ ）A ．右移6π单位 B ．右移3π单位 C ．左移6π单位 D ．左移3π单位 二、填空题11．函数)1(log 12++-=x x y 的定义域是______________ 12．4log )2(82+-＝__________ 13．函数y ＝sin x 在区间[3π，32π]上的值域是___________ 14．函数y ＝cos x ＋cos2x 的最小值是__________ 三、解答题15．设全集U ＝R ，A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{x |x 2＋x －6＜0}，A ＝{x |x ＜a } (1) 求集合A ∩B ；(2) 若C ∪(∁U B )＝R ，求实数a 的取值范围16．已知3cos sin cos sin =-+αααα，计算：(1) tan α；(2) sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α第Ⅱ卷（满分100分）17．已知函数f (x )＝x 2sin x ，则其在区间[－π，π]上的大致图象是（ ）18．函数y ＝log(sin x ＋cos x )的单调递增区间是（ ） A ．[432432ππππ+-k k ，]，k ∈Z B ．(4242ππππ+-k k ，]，k ∈ZC ．[45242ππππ++k k ，]，k ∈Z D ．[43242ππππ++k k ，]，k ∈Z 19．已知f (x )是奇函数，当x ＜0时，f (x )＝cos x ＋sin2x ，则当x ＞0时，f (x )的表达式是（ ） A ．cos x ＋sin2x B ．－cos x ＋sin2x C ．cos x －sin2x D ．－cos x －sin2x20．函数21)4(sin )(2-+=πx x f 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数21．夏季来临，人们注意避暑，如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B ，则该市在这一天中午12时天气的温度大约是（ ） A ．25°C B ．26°CC ．27°CD ．28°C22．定义区间(a ，b )、[a ，b )、(a ，b ]、[a ，b ]的长度d 均为d ＝b －a ，多个互无交集的区间的并集长度为各区间长度之和，例如(1，2)∪[3，5)的长度d ＝(2－1)＋(5－3)＝3．用[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2]＝2，[3.7]＝3，[－1.2]＝－2．记{x }＝x －[x ]，设f (x )＝[x ]·{x }，g (x )＝－1，若用d 1、d 2和d 3分别表示不等式f (x )＞g (x )、方程f (x )＝g (x )和不等式f (x )＜g (x )解集区间的长度，则当0≤x ≤2013时，有（ ）A ．d 1＝1，d 2＝2，d 3＝2010B ．d 1＝1，d 2＝1，d 3＝2011C ．d 1＝3，d 2＝5，d 3＝2005D ．d 1＝2，d 2＝3，d 3＝2008 二、填空题23．函数f (x )＝cos πx －log 3x 的零点的个数为_________ 24．若)3sin()3cos(παπα-=+，则tan α＝_________25．函数)32(log 221+-=mx x y 在区间(－∞，1)上是增函数，则实数m 的取值范围是___________ 26．定义在R 上的函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos(x ＋φ)，则存在实数φ和φ使得f (x )：① 是奇函数而非偶函数；② 是偶函数而非奇函数；③ 既是奇函数又是偶函数；④ 既不是奇函数又不是偶函数，以上判断中正确的序号为___________ 三、解答题27．已知函数f (x )＝Asin(ωx ＋φ)，其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜2π，已知的最小正周期是π，最小值为－3，且f (0)＝23 (1) 求的解析式；(2) 求不等式f (x )≥233的解集 (3) 如何由f (x )的图象得到函数y ＝sin4x 的图象？28．南方A 市欲将一批容易变质的水果运往B 市，现在可以在飞机、火车和汽车这三种运输方式中选择一种，三种运输方式的参考数据如下表所示： 运输工具途中速度（千米/时） 途中费用 （元/千米）装卸费用（元）装卸时间 （小时） 运输装卸损耗费用（元/小时）飞机 200 15 1000 2 200 火车 100 4 2000 4 200 汽车5087003200(1) 设A 、B 两市之间的距离为x 千米，用y 1、y 2、y 3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用（包括损耗），求出y 1、y 2、y 3与小x 间的函数关系式． (2) 应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小？29．已知函数x x x f 2sin 3cos 2)(2+=，b ax x f x g +++=)125(21)(π，其中a ，b 为非零实常数 (1) 若31)(-=αf ，]33[ππα，-∈，求α的值(2) 若x ∈R ，讨论的奇偶性，并证明你的结论(3) 已知对任意x 1，x 2∈R ，恒有|sin x 1－sin x 2|≤|x 1－x 2|，当且仅当时等号成立，若g (x )是上R 的增函数，根据上述结论，求a 的取值范围30．定义在R 上的函数f (x )满足以下两个条件：① 对任意的x ，y ∈R ，f (x －y ＋1)＝f (x )f (y )＋f (1－x )f (1－y )；② f (x )在区间[0，1]上单调递增(1) 求f (0)；(2) 求证：f (x )是图象关于直线x ＝1对称的奇函数；(3) 求不等式的解集f (x )≥21的解集。
湖北省武汉外国语学校2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案
武汉外国语学校2013—2014学年度上学期期末考试高一数学试卷（评分标准）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若角α的终边经过点(1,2)P -，则tan α的值为（ A ）A. 2-B. 2C. 12-D. 122. （592P A -）设a >0，将322aa a ⋅表示成分数指数幂，其结果是（ D ）A. 21a B. 23a C. 65a D. 67a3. （293P A -）若76πα=，则计算21sin(2)sin()2cos ()αππαα+-⋅+--所得的结果为（ A ） A. 34- B. 14- C. 0 D. 544. 函数f (x ) = x 2+ ln x -4的零点所在的区间是（ B ）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)5. （119(3)1P B -）已知OA a = ，OB b = ，OC c = ，OD d =，且四边形ABCD 为平行四边形，则（ B ）A.0a b c d +++=B. 0a b c d -+-=C. 0a b c d +--=D. 0a b c d --+=6. （751P B -）若3log 41x =，则44xx-+=（ D ）A. 1B. 2C.83 D. 1037. （原创）已知函数π()cos()(00)2f x A x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象如图所示，则()4f π=（ B ）A. 0B. 1-C. D. 2-8. （119(6)1P B -）若向量,,a b c两两所成的角相等，且1,1,3a b c === ，则a b c ++ 等于（ C ）C. 2或5D. 9 C ）A ．关于轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y =x 对称10. 对于任意不全为0的实数b a ,，关于x 的方程0)(232=+-+b a bx ax 在区间()1,0内（ C ）A ．无实根B ．恰有一实根C ．至少有一实根D ．至多有一实根二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.（449P A -）已知函数2()48f x x kx =--在区间[]5,10上具有单调性，则实数k 的取值范围是(][),4080,-∞+∞ 。
湖北省武汉外国语学校2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题
(m
0)
，若对任意
x1
[0,
4
]
，存在
x2
[0,
4
]
，使得
g
(
x1
)
f (x2 ) 成立，则实数 m 的取值范围是（
D
）
A. (1, 4) 3
B. ( 2 ,1] 3
C. [ 2 ,1] 3
D. [1, 4] 3
13.扇形 AOB 周长为 8，圆心角为 2 弧度，则其面积为 4
14.已知 log2 3 t ，则 log48 54
A. e1 (0, 0), e2 (1, 2)
C. e1 (3, 5), e2 (6,10)
B. e1 (1, 2), e2 (5, 2)
D. e1 (2, 3), e2 (2, 3)
4.已知 (0, ) ， ( , 0) ， cos( ) 1 ， cos( ) 3 ，则 cos( ) （ A ）
（1）用 a， 表示 S1 和 S2；
（2）当 a 为定值， 变化时，求 S1 的最小值，及此时的 值． S2
（1）∵AC= a sin , AB a cos ,
∴ S1
1 2
a2
sin
cos
1 a2 4
sin 2
设正方形边长为 x,则BQ x cot , RC x tan ,
（2）若
f
( x0 2
)
3 8
，且
x0
[ 2
, ] ，求 cos(x0
武汉数学高一上期末测试(答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12120]已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能2．(0分)[ID ：12119]已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则A ．-2B ．2C ．-98D ．983．(0分)[ID ：12114]已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,24．(0分)[ID ：12111]函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为()A ．B ．C ．D ．5．(0分)[ID ：12087]已知函数()y f x =在定义域()1,1-上是减函数，且()()211f a f a -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,∞+6．(0分)[ID ：12128]设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>7．(0分)[ID ：12080]函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为（ ） A ．(),1-∞ B ．()2,+∞ C ．(),0-∞D ．()1,+∞8．(0分)[ID ：12053]函数ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．(0分)[ID ：12052]根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073D ．109310．(0分)[ID ：12031]设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,2B ．()2,+∞C ．()31,4D ．()34,211．(0分)[ID ：12064]下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =12．(0分)[ID ：12045]点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图所示，则点P 所走的图形可能是A ．B ．C ．D ．13．(0分)[ID ：12044]函数()f x 是周期为4的偶函数,当[]0,2x ∈时，()1f x x =-,则不等式()0xf x >在[]1,3-上的解集是 ( ) A ．()1,3B ．()1,1-C ．()()1,01,3- D ．()()1,00,1-14．(0分)[ID ：12123]函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B ．12C ．13D ．－1215．(0分)[ID ：12079]已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()UP Q ⋃=A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}二、填空题16．(0分)[ID ：12222]已知幂函数(2)my m x =-在(0,)+∞上是减函数，则m =__________．17．(0分)[ID ：12211]()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，若(0,3)x ∈时，()lg f x x x =+，则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________． 18．(0分)[ID ：12208]已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，11()42x xf x =-+，则此函数的值域为__________. 19．(0分)[ID ：12196]已知函数12()log f x x a =+，2()2g x x x =-，对任意的11[,2]4x ∈，总存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________．20．(0分)[ID ：12187]求值： 233125128100log lg -+= ________ 21．(0分)[ID ：12185]如图，矩形ABCD 的三个顶点,,A B C 分别在函数22logy x=，12y x =，22xy ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为______.22．(0分)[ID ：12182]已知函数()21311log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，()()2ln 21xg x a x x =+++()a R ∈，若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__________． 23．(0分)[ID ：12172]已知函数()()1123121x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____.24．(0分)[ID ：12164]已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．25．(0分)[ID ：12130]已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题26．(0分)[ID ：12322]已知函数2()ln(3)f x x ax =-+. (1)若()f x 在(,1]-∞上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)当3a =时，解不等式()x f e x ≥.27．(0分)[ID ：12301]对于函数()()()2110f x ax b x b a =+++-≠，总存在实数0x ，使()00f x mx =成立，则称0x 为()f x 关于参数m 的不动点． （1）当1a =，3b =-时，求()f x 关于参数1的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有关于参数1两个不动点，求a 的取值范围； （3）当1a =，5b =时，函数()f x 在(]0,4x ∈上存在两个关于参数m 的不动点，试求参数m 的取值范围．28．(0分)[ID ：12253]已知()()122x x f x a a R +-=+∈.（1）若()f x 是奇函数，求a 的值，并判断()f x 的单调性（不用证明）； （2）若函数()5y f x =-在区间(0,1)上有两个不同的零点，求a 的取值范围. 29．(0分)[ID ：12239]设全集U =R ，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≤-．（1）求()U A C B ⋂；（2）若函数()lg(2)f x x a =+的定义域为集合C ，满足A C ⊆，求实数a 的取值范围. 30．(0分)[ID ：12235]已知f(x)=log 0.5(x 2−mx −m)． （1）若函数f(x)的定义域为R ，求实数m 的取值范围；（2）若函数f(x)在区间(−2,−12)上是递增的，求实数m 的取值范围．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．A2．A3．A4．C5．B6．D7．C8．C9．D10．D11．A12．C13．C14．B15．C二、填空题16．-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m再根据函数是减函数知故可求出m 【详解】因为函数是幂函数所以解得或当时在上是增函数；当时在上是减函数所以【点睛】本题主要考查了幂函数的概念幂函数的增减性属于17．【解析】【分析】首先根据题意得到再设代入解析式即可【详解】因为是上的奇函数且满足所以即设所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题同时考查了学生的转化能力属于中档题18．【解析】【分析】可求出时函数值的取值范围再由奇函数性质得出时的范围合并后可得值域【详解】设当时所以所以故当时因为是定义在上的奇函数所以当时故函数的值域是故答案为：【点睛】本题考查指数函数的性质考查函19．【解析】分析：对于多元变量任意存在的问题可转化为求值域问题首先求函数的值域然后利用函数的值域是函数值域的子集列出不等式求得结果详解：由条件可知函数的值域是函数值域的子集当时当时所以解得故填：点睛：本20．【解析】由题意结合对数指数的运算法则有：21．【解析】【分析】先利用已知求出的值再求点D的坐标【详解】由图像可知点在函数的图像上所以即因为点在函数的图像上所以因为点在函数的图像上所以又因为所以点的坐标为故答案为【点睛】本题主要考查指数对数和幂函22．【解析】【分析】若对任意的均有均有只需满足分别求出即可得出结论【详解】当当设当当当时等号成立同理当时若对任意的均有均有只需当时若若所以成立须实数的取值范围是故答案为;【点睛】本题考查不等式恒成立问题23．【解析】【分析】根据整个函数值域为R及分段函数右段的值域可判断出左段的函数为单调性递增且最大值大于等于1即可求得的取值范围【详解】当时此时值域为若值域为则当时为单调递增函数且最大值需大于等于1即解得24．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性25．【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质可得值域讨论两种情况即可得到所求a的范围【详解】函数函数当时时时递减可得的值域为可得解得；当时时时递增可得则的值域为成立恒成立综上可得故答案为：【点三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】因为f (x ) 在R 上的单调增,所以由x 2＋x 1>0，得x 2>-x 1,所以21121()()()()()0f x f x f x f x f x >-=-⇒+>同理得2313()()0,()()0,f x f x f x f x +>+> 即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0,选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行2．A解析：A 【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2. 故选A3．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．4．C解析：C函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ，当x=2π时，是函数的一个零点，属于排除A ，B ，当x ∈（0，1）时，cosx ＞0，1212x x -+＜0，函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ＜0，函数的图象在x 轴下方． 排除D ． 故答案为C 。
武汉光谷外国语学校数学高一上期末经典题(培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：12116]已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >>D ．c a b >>2．(0分)[ID ：12115]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]2,0-B ．(],8∞--C ．[)2,∞+D ．(],0∞- 3．(0分)[ID ：12111]函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为()A ．B ．C ．D ．4．(0分)[ID ：12110]已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．(0分)[ID ：12109]已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．16．(0分)[ID ：12124]已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，若方程()60f x a +=，有两个相等的根，则实数a =（ ） A ．－15B ．1C ．1或－15D ．1-或－157．(0分)[ID ：12121]若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]8．(0分)[ID ：12106]若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)9．(0分)[ID ：12103]已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<10．(0分)[ID ：12076]若x 0＝cosx 0，则（ ）A ．x 0∈（3π，2π） B ．x 0∈（4π，3π） C ．x 0∈（6π，4π） D ．x 0∈（0，6π） 11．(0分)[ID ：12075]已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=，若方程1()21f x x =-有2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =），则1232022x x x x ++++=( )A ．1010B ．2020C ．1011D ．202212．(0分)[ID ：12070]定义在[]7,7-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26x f x x =+-，则不等式()0f x >的解集为A ．(]2,7B ．()(]2,02,7- C ．()()2,02,-+∞ D ．[)(]7,22,7--13．(0分)[ID ：12065]已知函数f (x )＝12log ,1,24,1,x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( )A ．4B ．－2C ．2D ．114．(0分)[ID ：12037]函数()()212ln 12f x x x =-+的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．15．(0分)[ID ：12035]已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5B ．7C ．9D ．11二、填空题16．(0分)[ID ：12190]己知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a =______.17．(0分)[ID ：12189]函数()()25sin f x xg x x =--=，,若1202n x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，……，，,使得()()12f x f x ++…()()()()()()1121n n n n f x g x g x g x g x f x --++=++++…,则正整数n 的最大值为___________.18．(0分)[ID ：12186]若函数cos ()2||xf x x x=++，则11(lg 2)lg (lg 5)lg 25f f f f ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______.19．(0分)[ID ：12183]设定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若()()1f m f m -<，则实数m 的取值范围是________．20．(0分)[ID ：12174]函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,{,a a ba b b a b≤=>，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是______________.21．(0分)[ID ：12168]若集合{||1|2}A x x =-<，2|04x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =______.22．(0分)[ID ：12144]若幂函数()a f x x 的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.23．(0分)[ID ：12135]若函数()22xxe a x ef x -=++-有且只有一个零点，则实数a =______.24．(0分)[ID ：12131]高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3,4]4-=-，[2,7]2=.已知函数21()15x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是_________.25．(0分)[ID ：12173]定义在R 上的奇函数()f x ，满足0x >时，()()1f x x x =-，则当0x ≤时，()f x =______．三、解答题26．(0分)[ID ：12312]已知()()()22log 2log 2f x x x =-++. (1)求函数()f x 的定义域； (2)求证：()f x 为偶函数；(3)指出方程()f x x =的实数根个数，并说明理由.27．(0分)[ID ：12266]为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：小明阅读“经典名著”的阅读量()f t （单位：字）与时间t （单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示；阅读“古诗词”的阅读量()g t （单位：字）与时间t （单位：分钟）满足如图1所示的关系.（1）请分别写出函数()f t 和()g t 的解析式；（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？28．(0分)[ID ：12249]已知全集U=R ，集合{}12A x x x =-或 ，{}213UB x x p x p 或=-+．（1）若12p =，求A B ⋂； （2）若A B B ⋂=，求实数p 的取值范围．29．(0分)[ID ：12245]若()221x x af x +=-是奇函数.（1）求a 的值；（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-，求实数m 的取值范围.30．(0分)[ID ：12232]已知函数()xf x a =(0a >,且1a ≠),且(5)8(2)f f =. (1)若(23)(2)f m f m -<+,求实数m 的取值范围; (2)若方程|()1|f x t -=有两个解,求实数t 的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．A3．C4．B5．D6．A7．B8．D9．D10．C11．C12．B13．B14．A15．B二、填空题16．或【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系分类讨论求出最大值且等于2解关于的方程即可求解【详解】函数对称轴方程为为；当时；当即（舍去）或（舍去）；当时综上或故答案为:或【点睛】本题考查二次函数的图像与17．6【解析】【分析】由题意可得由正弦函数和一次函数的单调性可得的范围是将已知等式整理变形结合不等式的性质可得所求最大值【详解】解：函数可得由可得递增则的范围是即为即即由可得即而可得的最大值为6故答案为18．10【解析】【分析】由得由此即可得到本题答案【详解】由得所以则所以故答案为：10【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值19．【解析】【分析】由题意知函数在上是减函数在上是增函数其规律是自变量的绝对值越小其函数值越大由此可直接将转化成一般不等式再结合其定义域可以解出的取值范围【详解】解：函数是偶函数定义在上的偶函数在区间上20．【解析】【分析】【详解】试题分析：由可知是求两个函数中较小的一个分别画出两个函数的图象保留较小的部分即由可得x2﹣8x+4≤0解可得当时此时f（x）＝|x﹣2|当或时此时f（x）＝2∵f（4﹣2）＝21．【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式分式不等式的解集作为集合然后根据交集概念求解的结果【详解】因为所以所以；又因为所以所以所以；则故答案为：【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式22．【解析】由题意有：则：23．2【解析】【分析】利用复合函数单调性得的单调性得最小值由最小值为0可求出【详解】由题意是偶函数由勾形函数的性质知时单调递增∴时递减∴因为只有一个零点所以故答案为：2【点睛】本题考查函数的零点考查复合24．【解析】【分析】求出函数的值域由高斯函数的定义即可得解【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值域的求法属于中档题25．【解析】【分析】由奇函数的性质得设则由函数的奇偶性和解析式可得综合2种情况即可得答案【详解】解：根据题意为定义在R上的奇函数则设则则又由函数为奇函数则综合可得：当时；故答案为【点睛】本题考查函数的奇三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==∈，12221log log 3log 3c e ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．2．A解析：A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立，可得a 的范围. 【详解】()f x 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤- ()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时，取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.3．C解析：C 【解析】函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ，当x=2π时，是函数的一个零点，属于排除A ，B ，当x ∈（0，1）时，cosx ＞0，1212x x -+＜0，函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ＜0，函数的图象在x 轴下方． 排除D ． 故答案为C 。
2017-2018学年湖北省武汉外国语学校高一(上)期末数学试卷
2017-2018学年湖北省武汉外国语学校高一（上）期末数学试卷1.（单选题，5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，6}，B={1，3，5，7}，则A∩（∁U B ）等于（ ）A.{2，4，6}B.{1，3，5}C.{2，4，5}D.{2，5}2.（单选题，5分）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ）A.2B.sin2C. 2sin1D.2sin13.（单选题，5分）函数f （x ）=（m 2-m-1）x m 是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则实数m 的值是（ ）A.-1B.2C.3D.-1或24.（单选题，5分）函数f （x ）=3x - 1x+1 +1的零点位于区间（ ）A.（0， 12 ）B.（1，2）C.（-3，-2）D.（- 12 ，0）5.（单选题，5分）设 m ⃗⃗ ，n ⃗ 是两个不共线的向量，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗ +5n ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m ⃗⃗ +8n ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4m ⃗⃗ +2n ⃗ ，则（ ）A.A ，B ，C 三点共线B.A ，B ，D 三点共线C.A ，C ，D 三点共线D.B ，C ，D 三点共线6.（单选题，5分）已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），其部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（）A.f（x）=3sin（12 x+ π6）B.f（x）=3sin（12 x- 5π6）C.f（x）=3sin（12 x+ 5π6）D.f（x）=3sin（12 x- π6）7.（单选题，5分）已知函数f（x）=|2x-1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），则下列结论中成立的是（）A.a＜0，b＜0，c＜0B.a＜0，b≥0，c＞0C.2-a＜2cD.2a+2c＜28.（单选题，5分）若函数f（x）=lg（mx+ √x2+1）为奇函数，则m=（）A.-1B.1C.-1或1D.09.（单选题，5分）f（x）=log 12 [sin（π6-2x）]的单增区间是（）A.[kπ- π6，kπ+ π12）k∈ZB.[kπ+ π12，kπ+ π3）k∈ZC.[kπ- π12，kπ）k∈ZD.[- π12+kπ，kπ+ π3）k∈Z10.（单选题，5分）直角坐标系内，β终边过点P（sin2，cos2），则终边与β重合的角可表示成（）A. π2-2+2πk，k∈ZB. π2+2+kπ，k∈ZC.2+2kπ，k∈zD.-2+2kπ，k∈Z11.（单选题，5分）若当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0，且a≠1）．满足0＜f（x）≤1，则函数y=log a| 1x|的图象大致是（）A. B. C. D.12.（单选题，5分）已知定义在R 的函数y=f （x ）对任意的x 满足f （x+1）=-f （x ），当-1≤x ＜1，f （x ）=x 3，函数g （x ）= {|log a x |，x ＞0−1x ，x ＜0 ，若函数h （x ）=f （x ）-g （x ）在[-6，+∞）上有6个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.（0， 17 ）∪（7，+∞）B.（ 19 ， 17 ]∪[7，9）C.[ 19 ， 17 ）∪（7，9]D.[ 19 ，1）∪（1，9]13.（填空题，5分）函数f （x ）= √log 2(x −1) 的定义域是___ ．14.（填空题，5分）若α∈[0，π]，β∈[- π4 ， π4 ]，λ∈R ，且（α- π2 ）3-cosα-2λ=0，4β3+sinβcosβ+λ=0，则cos （ α2 +β）的值为___ ．15.（填空题，5分）如图，已知△ABC ，设 BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，过点D 作一直线分别交直线AB ，AC 于M ，N 两点，且 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 2λ + 1μ =___ ． 16.（填空题，5分）函数f （x ）= x−x 31+2x 2+x 4 的最大值为___ ．17.（问答题，10分）求解下列各题（Ⅰ）已知M={x|y= √x 2−4 ，x∈R}，N={y|y=lg （x 2+1），x∈R}，求（∁R M ）∩N ． （Ⅱ）已知x-x -1=- 72 ，求x 3-x -3的值．18.（问答题，12分）已知点A （-1，2），B （2，8）以及 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点C 、D 的坐标和 CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标．19.（问答题，12分）已知α∈（ π2 ，π），且sin α2 +cos α2 = √62 ．（1）求cosα的值；（2）若sin （α-β）=- 35 ，β∈（ π2 ，π），求cosβ的值．20.（问答题，12分）已知函数f （x ）=Asin （x+ π4 ），若f （0）= √62 ．（Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）将函数f （x ）的图象上各点的横坐标缩短为原来的 12 倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象．（i ）写出g （x ）的解析式和它的对称中心；（ii ）若α为锐角，求使得不等式g （α- π8 ）＜ √32 ）成立的α的取值范围．21.（问答题，12分）已知函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ π2 ），角φ的终边经过点P （1，- √3 ）．若A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2））是f （x ）的图象上任意两点，且当|f （x 1）-f （x 2）|=4时，|x 1-x 2|的最小值为 π3 ．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）求函数f（x）在x∈[0，π]上的单调递减区间；，m]时，不等式f2（x）-f（x）-2≤0恒成立，求m的最大值．（Ⅲ）当x∈[ π18-4，g（x）=kx+3．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=x+ ax（Ⅰ）对任意的a∈[4，6]，函数|f（x）|在区间[1，m]上的最大值为|f（m）|，试求实数m的取值范围；（Ⅱ）对任意的a∈[1，2]，若不等式|f（x1）|-|f（x2）|＜g（x1）-g（x2）对任意x1，x2∈[2，4]（x1＜x2）恒成立，求实数k的取值范围．。
湖北省武汉市2022-2023学年高一上数学期末学业质量监测模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】∵变量初始值X=3，Y=4，
∴根据X=X+Y得输出的X=7.
又∵Y=X+Y，
∴输出的Y=11.
故选D.
2、C
【解析】当 时， 不正确；当 时， 不正确； 正确；当 时， 不正确.
【详解】设f(x)＝ cosx＋sinx＝2sin ，
向左平移m个单位长度得g(x)＝2sin ，
∵g(x)的图象关于y轴对称，
∴ ，
∴m＝ ,
由m>0可得m的最小值为 .
故选：A.
【点睛】本题考查了辅助角公式及三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
20、（1） ；（2） 时， , 时， .
【解析】（1）化简即得函数 ，再根据函数的周期求出 ，即得解；
（2）由题得 ，再根据三角函数的图像和性质即得解.
【详解】解:(1）函数
，
因为 ,
所以， ，
当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ，
所以， 时， , 时， .
21、（1） （2）
5、D
【解析】化简集合 、 ，进而可判断这两个集合的包含关系.
【详解】因为 ， ，因此， .
故选：D.
6、B
【解析】由题意 ，所以 ．故选B
考点：集合的运算
7、C
【解析】利用线面垂直的性质定理进行判断.
【详解】由于垂直于同一平面的两直线平行，故当直线 平面 ，直线 平面 时，直线 与直线 平行.
故选：C.
【详解】由 得 ，即函数 零点是直线 与函数 图象交点横坐标，
2022-2023学年湖北省武汉外国语学校高一上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年湖北省武汉外国语学校高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知{}{}2|20,Z|3<213A x x x B x x =+-==∈--<，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}1,2-D ．{}|12x x -<<【答案】A【分析】化简集合,A B ，然后用交集运算即可得到答案【详解】因为{}{}2|202,1,A x x x =+-==-{}{}{}Z|3<213Z|1<20,1B x x x x =∈--<=∈-<=，所以{}1A B ⋂= 故选：A2．下列命题中不正确的是（ ）A ．对于任意的实数a ，二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称B ．存在一个无理数，它的立方是无理数C ．存在整数x 、y ，使得245x y +=D ．每个正方形都是平行四边形 【答案】C【分析】利用二次函数的对称性可判断A 选项；利用特殊值法可判断B 选项；分析可知24x y +为偶数，可判断C 选项；利用正方形与平行四边形的关系可判断D 选项.【详解】对于A 选项，对于任意的实数a ，二次函数2y x a =+图象的对称轴为y 轴，A 对；对于B 为无理数，B 对；对于C 选项，若x 、y 为整数，则2x 、4y 均为偶数，所以，24x y +也为偶数， 则245x y +=不成立，C 错；对于D 选项，每个正方形都是平行四边形，D 对. 故选：C.3．化简sin347cos148sin 77cos58+的值为（ ）A B ． C ．12D 【答案】D【分析】利用诱导公式结合两角和的正弦公式化简可得所求代数式的值.【详解】原式()()sin 27077cos 9058sin 77cos58=+++()()2sin 58cos 77cos58sin 77sin 5877sin135sin 18045sin 452=+=+==-==. 故选：D.4．已知直角三角形的面积等于250cm ，则该三角形的周长的最小值为（ ）cm . A．10+B ．20+C ．40 D ．【答案】B【分析】设两条直角边长分别为cm x、100cm x，利用勾股定理结合基本不等式可求得此三角形周长的最小值.【详解】由直角三角形的面积等于250cm 可设两条直角边长分别为cm x 、100cmx，则该直角三角形的周长为()10020cm x x +=， 当且仅当2210010000x x x x x ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪>⎪⎪⎩时，即当10x =时，等号成立. 故该三角形的周长的最小值为20+cm ， 故选：B5．已知函数()()()3e ,ln ,xf x xg x x xh x x x =+=+=+的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b c a >> D ．b a c >>【答案】C【分析】先判断各函数的单调性再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案. 【详解】解：因为函数3e ,ln ,,x y y x y x y x ====都是增函数，所以函数()()()3e ,ln ,xf x xg x x xh x x x =+=+=+都是增函数，又()()1110,010ef f -=-<=>，所以函数()f x 的零点在()1,0-上，即()1,0a ∈-， 因为()1110,11e e g g ⎛⎫=-+<= ⎪⎝⎭，所以函数()g x 的零点在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，即1,1e b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为()00h =，所以函数()h x 的零点为0，即0c ， 所以b c a >>. 故选：C.6．在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上沿逆时针方向作匀速圆周运动，M 点运动的角速度为πrad/s 6，若点M的初始位置为13⎛ ⎝⎭，则经过3秒钟，动点M 所处的位置的坐标为（ ） A．133⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B．13⎛- ⎝⎭C．133⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．122,33【答案】C【分析】计算出运动3秒钟时动点M 转动的角，再利用诱导公式即可得解. 【详解】解：M 点运动的角速度为πrad/s 6，则经过3秒钟，转了ππ3=rad 62⨯，设点M 的初始位置坐标为()cos ,sinαα，则1cos ,sin 3αα==则经过3秒钟，动点M 所处的位置的坐标为ππcos ,sin 22αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()sin ,cos αα-，所以经过3秒钟，动点M 所处的位置的坐标为13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故选：C.7．已知函数()()1,04ln ,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩，当1a >时，方程()()()2230f x a a f x a -++=的根的个数是（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】A【分析】解方程得()f x a =或()2f x a =，再依次解方程()f x a =，()2f x a =确定满足条件的x 的个数即可.【详解】因为()()()2230f x a a f x a -++=，所以()()()()20f x a f x a --=，所以()f x a =或()2f x a =，因为1a >，所以2a a >，当()f x a =时，若0x >，则14x a x+=，所以24410x ax -+=， 方程24410x ax -+=的判别式216160a ∆=->，方程的根为0x =>或0x =>，若0x <，则()ln x a -=，所以e a x =-，所以方程()f x a =有3个根，同理可得()2f x a =有3个根， 故方程()()()2230f x a a f x a -++=有6个根，故选：A.8．已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则正实数ω的取值范围是（ ）A ．302ω<≤ B ．312ω≤≤C ．413ω≤≤D ．4332ω≤≤ 【答案】C【分析】利用整体代换法求出函数()f x 的递减区间，结合集合的包含关系列出不等式组，解之即可. 【详解】由题意知，0ω>， 令322262k x k ππππωπ+≤+≤+， 解得242,Z 33k k x k ππππωωωω+≤≤+∈， 又函数()f x 在区间()3ππ,上单调递减，所以233423k k πππωωπππωω⎧+≤⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得4612,Z 3k k k ω+≤≤+∈，当0k =时，413ω≤≤. 故选：C.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．角θ终边在第二象限或第四象限的充要条件是sin cos 0θθ⋅<B ．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于π3C ．经过4小时，时针转了120D ．若角α和角β的终边关于y x =对称，则有π2π,Z 2k k αβ+=+∈ 【答案】ABD【分析】对于A ，利用三角函数定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可；对于B ，转化求解弦所对的圆心角即可判断；对于C ，根据任意角的定义即可判断；对于D ，由角的终边得出两角的关系即可【详解】对于A ，因为角θ终边在第二象限或第四象限，此时终边上的点(),x y 的横坐标和纵坐标异号，故sin cos 0θθ⋅=<；因为sin cos 0θθ⋅<，所以sin 0cos 0θθ>⎧⎨<⎩或sin 0cos 0θθ<⎧⎨>⎩，故角θ终边上点坐标(),x y对应为：00><或00<>即00y x >⎧⎨<⎩或00y x <⎧⎨>⎩，所以角θ终边在第二象限或第四象限，综上，角θ终边在第二象限或第四象限的充要条件是sin cos 0θθ⋅<，故A 正确对于B ，圆的一条弦长等于半径，故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形，所以弦所对的圆心角为π3，故B 正确；对于C ，钟表上的时针旋转一周是360︒-，其中每小时旋转3603012︒︒-=-， 所以经过4小时应旋转120︒-，故C 错误；对于D ，角α和角β的终边关于直线y x =对称，则ππ2(π)2π42k k αβ+=+=+，Z k ∈，故D 正确故选：ABD10．给出下列四个结论，其中正确的是（ ）A ．函数21log sin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭ B ．函数()f x =()g x =C ．函数()2f x +的定义域为[]0,2，则函数()2f x的定义域为2,⎡⎤-⋃⎣⎦D ．函数()2f x 的最小值为2【答案】BC【分析】分别根据对数函数的性质，函数相等，抽象函数的定义域和函数的最值对四个选项逐项验证即可求解.【详解】对于A ，要使函数21log sin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有意义，则有1sin 02x ->，即1sin 2x >，由正弦函数的图像可知：π5π2π2π,Z 66k x k k +<<+∈，所以函数21log sin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为π5π(2π,2π)(Z)66k k k ++∈，故选项A 错误；对于B ，因为函数()f x [1,1]-，函数()g x =[1,1]-，定义域相同，对应法则相同，所以值域也相同，所以函数()f x =()g x =是相同的函数，故选项B 正确；对于C ，因为函数()2f x +的定义域为[]0,2，所以02x ≤≤，则224x ≤+≤，由224x ≤≤2x ≤≤或2x -≤≤()2f x 的定义域为2,⎡⎤-⋃⎣⎦，故选项C 正确；对于D ，因为函数()22f x =(2)t t ≥，则函数可化为1(2)y t t t=+≥，因为函数1y t t =+在[2,)+∞上单调递增，所以15222y ≥+=，也即函数()252f x =≥，所以函数()2f x =的最小值为52，故选项D 错误，故选：BC .11．设正数,a b 满足1a b +=，则有（ ） A ．14ab ≤B ．3314a b +≤C ．148b a b ⎛⎫⋅+≥+ ⎪⎝⎭D ．221124a b b a +≥++【答案】ACD【分析】对于A ，由基本不等式推论可判断选项；对于B ，利用分解因式结合A 分析可判断选项；对于C ，141445411a b b a a b a b a b+⎛⎫⎛⎫⋅+=⋅-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式可判断选项；对于D ，()()22221223496121212b a a b b a b a b a +-+-+=+=+-++++++，利用基本不等式可判断选项. 【详解】对于A ，由基本不等式推论有()2144a b ab +≤=，当且仅当12a b ==取等号.故A 正确.对于B ，()()()23322313a b a b a b ab a b ab ab +=++-=+-=-，由A 分析可知1144ab ab ≤⇒-≥-，则331134a b ab +=-≥，当且仅当12a b ==取等号.故B 正确.对于C ，()141445454111a b b a a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+=⋅-+=+-=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭54888b a a b =++≥+=+2245a b =，即45，b a =-=-时取等号.故C 正确.对于D ，()()()()22222211122349612121212b a b a a b b a b a b a b a --+-+-+=+=+=+-++++++++ ()()()42911491126136412412a b b a b a b a ⎡⎤++⎛⎫=++++-=++-⎢⎥ ⎪++++⎝⎭⎢⎥⎣⎦1113644⎛ ≥+-= ⎝， 当且仅当()()224291a b +=+，即3255，b a ==时取等号.故D 正确. 故选：ACD12．已知函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，[]1,1x ∈-时，()πcos2f x x=，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的周期为4B ．10132f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()f x 在()2,4上为单调递减函数D ．方程()5log 0f x x +=有且仅有四个不同的解【答案】BCD【分析】根据题意可知函数()f x 关于()1,0-对称且关于1x =对称，结合周期函数的定义即可判断A ，根据函数的对称性结合函数的解析式即可判断B ，判断出函数在[]2,0-上的单调性，再结合函数的对称性即可判断D ，作出函数()y f x =与函数5log y x =-图象，结合图象即可判断D. 【详解】解：因为()1f x -为奇函数，所以()()11f x f x --=--，即()()2f x f x -=--， 则函数()f x 关于()1,0-对称，又()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x -+=+， 即()()2f x f x -=+，即函数()f x 关于1x =对称， 则()()22f x f x +=--，则有()()4f x f x +=-，则()()8f x f x +=， 所以()f x 是以8为周期的周期函数，故A 错误；对于B ，104422π122cos 3333332f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ，当[]1,0x ∈-时，ππ,022x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 在[]1,0-上递增，又()10f -=且函数()f x 关于()1,0-对称， 所以函数函数()f x 在[]2,0-上递增， 又因函数()f x 关于1x =对称，所以()f x 在()2,4上为单调递减函数，故C 正确； 对于D ，方程()5log 0f x x +=根的个数，即为函数()y f x =与函数5log y x =-图象交点的个数， 如图，作出两函数的图象，由图可知，两函数的图象有4个交点，即方程()5log 0f x x +=有且仅有四个不同的解，故D 正确.故选：BCD.三、填空题13．函数()()2lg 43f x x x =-+-的值域为_______________.【答案】(],0-∞【分析】求出243x x -+-的取值范围，结合对数函数的基本性质可求得函数()f x 的值域. 【详解】因为()2243211x x x -+-=--+≤，对于函数()f x ，则有20431x x <-+-≤，所以，()()(]2lg 43,0f x x x =-+-∈-∞.故答案为：(],0-∞.14．已知tan 3α=，tan 1β=，则()()cos sin αβαβ+=-____________.【答案】1-【分析】利用两角和的余弦公式、两角差的正弦公式以及弦化切可求得代数式的值. 【详解】因为tan 3α=，tan 1β=，则cos 0α≠，cos 0β≠， 所以，()()cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ-+-==--- 1tan tan 1311tan tan 31αβαβ--⨯===---.故答案为：1-.15．已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 7α=，()11cos 14αβ+=-，则sin β=___________.【分析】利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正弦可求sin β的值. 【详解】因为1cos 7α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故sin α=， 而0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故()0,αβπ+∈，而()11cos 14αβ+=-，故()sin αβ+=所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+111714=+16．已知函数()422x xf x a a =-+-的最小值为4，则实数=a ____________．【答案】4【分析】根据指数函数的性质，结合4x 与2x 的大小，分0,01,1,1a a a a ≤<<=>四种情况讨论函数()f x 的单调性即可求解作答.【详解】当0a ≤时，函数()4223x x f x a =+⨯-在R 上单调递增，无最小值，不符合题意；当01a <<a >，有42log log log a a =>，则22444223,log ()422,log log 4223,log x x x xx x a x a f x a a x a a x a⎧--⨯+≤⎪=-+⨯-<<⎨⎪+⨯-≥⎩，显然函数()f x 在2(,log ]a -∞上单调递减，而22log log 22(log )42231a a f a a a a =--⨯+=-+<，不符合题意；当1a =时，4223,0422,()30x x x xf x x x --⨯+≤+⨯->⎧=⎨⎩，函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， min ()0f x =，不符合题意；当1a >a，有422log log log a a =，则44224223,log ()422,log log 4223,log x x x xx x a x af x a a x a a x a⎧--⨯+≤⎪=-⨯+<<⎨⎪+⨯-≥⎩，函数()f x 在4(,log ]a -∞上单调递减，在2[log ,)a +∞上单调递增，当42log log a x a <<时，22)11(()x f x a -+-=，函数()f x 在42(log ,log )a a 上单调递增，则()f x 在4(log ,)a +∞上单调递增，因此44log log min 4()(log )422324a a f x f a a a ==--⨯+=-=，解得4a =，符合要求， 所以实数4a =. 故答案为：4【点睛】思路点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．四、解答题17．已知集合241|1,|212x A x B x a x a x -⎧⎫⎧⎫=≤=≤≤+⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭. (1)求集合RA ；(2)若A B B =，求实数a 的取值范围.【答案】(1){|1x x ≤或}3x >(2)(1,2](4,)⋃+∞【分析】（1）解分式不等式求得集合A ，进而求得R A .（2）根据B 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得a 的取值范围.【详解】（1）242431,10111x x x x x x ---≤-=≤---， 所以()()31010x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得13x <≤， 所以{|13}A x x =<≤，R A ={|1x x ≤或}3x >.（2）由题意，若A B B =，则B A ⊆，①B =∅时，满足B A ⊆，此时122a a >+，解得4a >； ②B ≠∅时，12211232a a a a ⎧≤+⎪⎪>⎨⎪⎪+≤⎩，解得12a <≤；综上，a 的取值范围为(1,2](4,)a ∈⋃+∞.18．已知函数()15πcos(2)26f x x =-. (1)求函数()f x 在区间[]0,π上的单调递减区间；(2)若πcos 12α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f α. 【答案】(1)单调递减区间是5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)16【分析】(1)根据余弦函数的单调区间，求出函数在整个定义域上的单调减区间，再与[]0,π取交集即可求解；(2) 令π12βα=+，则π12αβ=-，利用二倍角的余弦可得1cos 23β=-，然后将所求式子利用诱导公式化简即可求解.【详解】（1）15π15π()cos 2cos 22626f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令5π26t x =-，[0,]x π∈ 因为1cos 2y t =的单调递减区间是[2π,2ππ]k k +，Z k ∈， 由5π2π22ππ6k x k ≤-≤+，Z k ∈，得5π11πππ1212k x k +≤≤+，Z k ∈， 即当5π11π[π+,π]1212x k k ∈+，Z k ∈时，()f x 单调递减； 又[0,π]x ∈，0k =时[]5π11π5π11π[,]0,π,12121212⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 所以函数15π()cos 226f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[0,π]x ∈的单调递减区间是5π11π[,]1212. （2）令π12βα=+，则π12αβ=-,因为πcos()12α+=，所以cos β=，则21cos 22cos 13ββ=-=-， 15π15ππ111()cos(2)cos[2()]cos(π2)cos 2262612226f ααβββ=-=--=-=-=， 19．函数()sin 2sin f x x x =+.(1)请用五点作图法画出函数()f x 在[]0,2π上的图象；（先列表，再画图）(2)设()()2m F x f x =-，[]0,2πx ∈，当0m >时，试研究函数()F x 的零点的情况.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）将()f x 表示为分段函数的形式，然后利用列表法画出()f x 的图象.（2）由()()20m F x f x =-=转化为()y f x =与2m y =的公共点个数，对m 进行分类讨论，由此求得()F x 零点的情况.【详解】（1）3sin ,0π()sin ,π2πx x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩， 按五个关键点列表：()sin 2sin f x x x=+ 0 3 0 1 0描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示：（2）因为()()2m F x f x =-，所以()F x 的零点个数等价于()y f x =与2m y =图象交点的个数，设2m t =，0m >，则1t >当20log 3m <<，即13t <<时，()F x 有2个零点；当2log 3m =，即3t =时，()F x 有1个零点；当2log 3m >，即3t >时，()F x 有0个零点.20．已知函数()()()2122m f x m m x m -=--∈R 为幂函数，且()f x 在()0,∞+上单调递增.(1)求m 的值，并写出()f x 的解析式； (2)令()()21g x f x x =+1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()g x 的值域. 【答案】(1)3m =，()2f x x =(2)11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性可得出关于实数m 的等式与不等式，求出m 的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）求出函数()g x 的解析式，在1,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，利用单调性求出函数()g x 的值域；当[]0,1x ∈时，换元213u x ⎡=+⎣，利用二次函数的基本性质可求得函数()g x 的值域，综合可得结果.【详解】（1）解：因为()()()2122m f x m m x m -=--∈R 为幂函数，且()f x 在()0,∞+上单调递增，则222110m m m ⎧--=⎨->⎩，解得3m =，所以，()2f x x =.（2）解：()g x x =1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.①当1,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()g x x =-1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()()min 01g x g ==-，()max 1122g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，此时()11,2g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；②当[]0,1x ∈时，()g x x =设u =u ⎡∈⎣，可得212u x -=， ()22111111,1222y x u u u ⎡==--=--∈-⎣，此时()1,1g x ⎡∈-⎣， 综上，()g x 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 21．已知函数()223log 22a a f x x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()0,1a a >≠. (1)当2a =时，解不等式()2log 6f x <；(2)[]2,4x a a ∀∈，()1f x ≤，求实数a 的取值范围.【答案】(1){|11x x -<<或24}x << (2)2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】(1)根据2a =，先求出函数的定义域，在根据函数对数函数的单调性解不等式即可，最后与函数定义域取交集即可求出结果；(2)由()1f x ≤可得：223log ()log 22a a a x ax a -+≤，然后分别在01a <<和1a >两种情况下，根据对数函数的单调性进而求解.【详解】（1）当2a =时，22()log (32)f x x x =-+，要使函数有意义，则有2320x x -+>，解得：2x >或1x <，所以定义域为(,1)(2,)-∞⋃+∞.因为2()log 6f x <，即2326x x -+<，解得：14x -<<，所以不等式解集为{|11x x -<<或24}x <<.（2）由题意，[2,4]x a a ∀∈，223log ()1log 22a a a x ax a -+≤=，①当01a <<时，则有[2,4]x a a ∀∈，22322a x ax a -+≥恒成立， 设223()22a g x x ax a =-+-，对称轴为324x a a =<，()g x 在[2,4]a a 单调递增， 所以2min 3()(2)02g x g a a a ==-≥，得203a a ≤≥或，所以2[,1)3a ∈. ②当1a >时，则有[2,4]x a a ∀∈，22322a x ax a -+≤恒成立， 223()22a g x x ax a =-+-在[2,4]a a 单调递增， 所以2max 21()(4)02g x g a a a ==-≤，得2021a ≤≤，舍去. 综上，2,13a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 22．已知函数()21ax b f x x +=+是定义域R 上的奇函数，且满足()()91210f f +=. (1)判断函数()f x 在区间()0,1上的单调性，并用定义证明；(2)已知1x ∀、()20,x ∈+∞，且12x x <，若()()12f x f x =，证明：122x x +>.【答案】(1)()f x 在()0,1上单调递增，证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用奇函数的定义可求得b 的值，利用()()91210f f +=可求得a 的值，可得出函数()f x 的解析式，判断出函数()f x 在()0,1上单调递增，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立； （2）由()()12f x f x =结合作差法可得出121=x x ，再利用基本不等式可证得结论成立.【详解】（1）解：因为函数()21ax b f x x +=+是定义域R 上的奇函数， 则()()f x f x -=-，即()2211ax b ax b x x -++=-+-+，解得0b =，则()21ax f x x =+， 又()()129122510f f a a +=+=，得1a =，所以()21x f x x =+. 函数()21x f x x =+在()0,1上单调递增，理由如下： 1x ∀、()20,1x ∈，且12x x <，即1201x x ，所以，210x x ->，1210x x -<，2110x +>，2210x +>，则()()()()()()()()()()221221211212122222221212121110111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==<++++++，所以()()12f x f x <，则()f x 在()0,1上单调递增. （2）证明：由题意，()()12f x f x =，则有()()()()()()21121222121011x x x x f x f x x x ---==++，因为120x x <<，所以1210x x -=，即121=x x ，所以122x x +>=，得证.。
湖北省武汉市外国语学校高一数学文联考试卷含解析
湖北省武汉市外国语学校高一数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 化简的值是（）A． B． C． D．参考答案：D2. 将个连续自然数按规律排成右表，根据规律从到，箭头方向依次是（）参考答案：C略3. 若函数，则的值为（）A．5 B．－1 C．－7 D．2参考答案：D4. 下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A．与 B．与C ．与 D．与参考答案：C略5. 已知集合A={1,2,3}，集合B ={x|x2=x}，则A∪B=（）A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}参考答案：C∵B ={x|x2=x}={0,1}, A={1,2,3},∴A∪B={0,1,2,3}.6. 若，则（）A、9B、C、D、3参考答案：A7. 角的终边经过点，则的可能取值为（）A. B. C. D.参考答案：D略8. 把数列的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如右数表：第k行有个数。
第t行的第s个数（从左数起）记为，则为（）A. B. C. D.参考答案：C 9. 若集合，则M∩N=（ ）A ．{y|y≥1}B ．{y|y ＞1}C ．{y|y ＞0}D ．{y|y≥0}参考答案：C【考点】交集及其运算；指数函数的定义、解析式、定义域和值域． 【分析】求出指数函数y=2x 及函数y=的值域，分别确定出集合M 和N ，找出两集合解集中的公共部分即可得到两集合的交集．【解答】解：由集合M 中的函数y=2x ＞0，得到函数的值域为y ＞0， ∴集合M={y|y ＞0}， 由集合N 中的函数y=≥0，得到函数的值域为y≥0，∴集合N={y|y≥0}， 则M∩N={y|y＞0}． 故选C【点评】此题属于以函数的值域为平台，考查了交集的运算，是高考中常考的基本题型．10. 在锐角三角形中，下列式子成立的是（ ）A BC D参考答案： D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若集合，则实数的取值范围是__________．参考答案：略12. 如图，若正四棱锥P ﹣ABCD 的底面边长为2，斜高为，则该正四棱锥的体积为．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】利用已知中，正四棱锥底面正方形的边长为2，斜高为，求出正四棱锥的高PO ，代入棱锥的体积公式，即可求得答案．【解答】解：如图，正四棱锥的高PO ，斜高PE ，则有PO=，正四棱锥的体积为V==2，故答案为：．13. 设a=log 0.60.8，b=log 1.20.9，c=1.10.8，则a 、b 、c 由小到大的顺序是 ．参考答案：b ＜a ＜c【考点】指数函数的图像与性质． 【专题】函数的性质及应用．【分析】由y=log 0.6x 是减函数，知1=log 0.60.6＞a=log 0.60.8＞log 0.61=0；由y=log 1.2x 是增函数，知b=log 1.20.9＜log 1.21=0；由y=1.1x 是增函数，知c=1.10.8＞1.10=1，由此能比较a 、b 、c 的大小 【解答】解：∵y=log 0.6x 是减函数， ∴1=log 0.60.6＞a=log 0.60.8＞log 0.61=0； ∵y=log 1.2x 是增函数， ∴b=log 1.20.9＜log 1.21=0； ∵y=1.1x 是增函数， ∴c=1.10.8＞1.10=1， ∴b＜a ＜c ． 故答案为：b ＜a ＜c ．【点评】本题考查对数函数、指数函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．14. 给出以下四个结论： ①若，则；②若与是平行向量，与也是平行向量，则与不一定是平行向量；参考答案：②④ 略15. 函数的最小值是_________.参考答案：.16. 已知函数的最大值为，最小值为，则的值为 .参考答案： 4 略17. 若函数，，则f （x ）+g （x ）= ．参考答案：1（0≤x≤1）【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】容易求出f （x ），g （x ）的定义域，求交集便可得出f （x ）+g （x ）的定义域，并可求得f（x ）+g （x ）=．【解答】解：；解得，0≤x≤1；∴（0≤x≤1）．故答案为：．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
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湖北省武汉外国语学校高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．已知集合M={x |x ＞x 2}，N={y |y=，x ∈M }，则M ∩N=（ ） A ．{x |0＜x ＜}B ．{x |＜x ＜1}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |1＜x ＜2}2．要得到y=cos2x 的图象，只需要将函数y=sin （2x ﹣）的图象（ ）A ．向右平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位 D ．向左平移个单位3．在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（ ） A ． =（0，0），=（1，2）B ．=（﹣1，2），=（5，﹣2） C ．=（3，5），=（6，10） D ． =（2，﹣3），=（﹣2，3）4．已知α∈（0，），β∈（﹣，0），cos （）=，cos （）=，则cos （）=（ ） A ．B ．﹣C ．D ．﹣5．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A ，C 为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是（ ） A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 6．函数f （x ）=落在区间（﹣3，5）的所有零点之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．函数y=的单调增区间是（ ）A ．[k，k]，k ∈Z B ．[k，k ]，k ∈ZC ．[k ，k ]，k ∈ZD ．[k ，k ]，k ∈Z8．如图，A 、B 分别是射线OM 、ON 上的点，给出下列以O 为起点的向量：①；②；③；④+；⑤．其中终点落在阴影区域内的向量的序号有（ ）A ．①②④B ．①③C ．②③⑤D ．①③⑤9．定义在区间（0，）上的函数y=6cosx 与y=5tanx 的图象交点为P ，过点P作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与y=sinx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长度为（ ） A ． B ．C ．D ．10．函数f （x ）=Asin （ωx +φ）的部分图象如图所示，则函数的解析式可以是（ ）A ．f （x ）=2cos （3x +）B ．f （x ）=2sin （）C ．f （x ）=2sin （3x ﹣）D ．f （x ）=2sin （3x ﹣）或f （x ）=2sin （）11．关于x 的方程asinx +bcosx +c=0在[0，π]上有两个相异实根α，β，则sin （α+β）=（ ） A ．B ．﹣C ．D ．﹣12．函数f （x ）=sin2x +2cos 2x ﹣，g （x ）=mcos （2x ﹣）﹣2m +3（m ＞0），若对任意x 1∈[0，]，存在x 2∈[0，]，使得g （x 1）=f （x 2）成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（1，） B ．（，1] C ．[，1] D ．[1，]二、填空题13．扇形AOB 周长为8，圆心角为2弧度，则其面积为 ． 14．已知log 23=t ，则log 4854= （用t 表示） 15．已知函数y=sin （）（ω＞0）是区间[，π]上的增函数，则ω的取值范围是 ．16．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=x 2，若对任意的x ∈[t ，t +2]，不等式f （x +t ）≥2f （x ）恒成立，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题（共6题，共70分）17．（10分）已知向量=（sinα，），=（cosα，﹣1），且∥ （1）若α为第二象限角，求的值；（2）求cos 2α﹣sin2α的值．18．（10分）如图，M 、N 、P 分别是三角形ABC 三边BC 、CA 、AB 上的点，且满足，设=，=．（1）用，表示；（2）若点G 是三角形MNP 的重心，用，表示．19．（12分）已知定义在R 上的函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|≤）的最小值为﹣2，其相邻两条对称轴距离为，函数图象向左平移单位后所得图象对应的函数为偶函数． （1）求函数f （x ）的解析式； （2）若f （）=﹣，且x 0∈[]，求cos （x 0+）的值．20．（12分）已知定义在R 上的函数f （x ）=2cosωxsin （）﹣（ω＞0）的周期为π．（1）求ω的值及f （x ）的单调增区间； （2）记g （x ）=f （x ）+sin （x ﹣），求g （x ）的值域．21．（13分）如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 外的地方种草，△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花．若BC=a ，∠ABC=θ，设△ABC 的面积为S 1，正方形PQRS 的面积为S 2． （1）用a ，θ表示S 1和S 2； （2）当a 为定值，θ变化时，求的最小值，及此时的θ值．22．（13分）已知函数y=x +有如下性质：当a ＞0时，函数在（0，]单调递减，在[，+∞）单调递增．定义在（0，+∞）上的函数f （x ）=|t （x +）﹣5|，其中t ＞0．（1）若函数f （x ）分别在区间（0，2）和（2，+∞）上单调，求t 的取值范围 （2）当t=1时，若方程f （x ）﹣k=0有四个不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，求x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围（3）当t=1时，是否存在实数a ，b 且0＜a ＜b ≤2，使得f （x ）在区间[a ，b ]上的取值范围是[ma ，mb ]，若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．已知集合M={x |x ＞x 2}，N={y |y=，x ∈M }，则M ∩N=（ ） A ．{x |0＜x ＜}B ．{x |＜x ＜1}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |1＜x ＜2}【考点】一元二次不等式的解法；交集及其运算；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【分析】利用一元二次不等式的解法和指数函数的性质可化简集合M ，N ．再利用交集的运算即可得出．【解答】解：对于集合：M ：由x ＞x 2，解得0＜x ＜1，∴M={x |0＜x ＜1}． ∵0＜x ＜1，∴1＜4x ＜4∴.．∴N={y |}．∴M ∩N={x |}．故选B ．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法和指数函数的性质、交集的运算等是解题的关键．2．要得到y=cos2x 的图象，只需要将函数y=sin （2x ﹣）的图象（ ）A ．向右平移个单位 B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向左平移个单位【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】先根据诱导公式将函数y=cos2x 化为正弦形式的．然后假设平移φ个单位得到，根据sin [2（x +φ）﹣]=sin （2x +）解出φ即可．【解答】解：∵y=cos2x=sin （2x +）假设只需将函数y=sin （2x ﹣）的图象平移φ个单位得到，则：sin [2（x +φ）﹣]=sin （2x +）， ∴2（x +φ）﹣=2x +，φ=，故应向左平移个单位．故选：D ．【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式和平移变换．三角函数的平移变换第一步先将函数化为同名函数，然后根据左加右减上加下减的原则平移．3．在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（ ） A ． =（0，0），=（1，2）B ．=（﹣1，2），=（5，﹣2） C ．=（3，5），=（6，10） D ．=（2，﹣3），=（﹣2，3）【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【分析】根据向量的坐标运算，，计算判别即可．【解答】解：根据，选项A ：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则 3=μ，2=2μ，无解，故选项A 不能；选项B ：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B 能．选项C ：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C 不能．选项D ：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D 不能． 故选：B ．【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题．4．已知α∈（0，），β∈（﹣，0），cos （）=，cos （）=，则cos （）=（ ） A ．B ．﹣C ．D ．﹣【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin （）和sin （）的值，再利用两角差的正切公式的应用，求得要求式子的值． 【解答】解：∵α∈（0，），β∈（﹣，0），cos （）=，cos （）=，∴sin （）==，sin （）=﹣=﹣， ∴cos （）=cos [（）+（﹣）]=cos （）•cos （）﹣sin （）•sin （） =﹣•（﹣）=，故选：A ．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．5．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A ，C 为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是（ ） A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】首先，x=A 的函数值可由表达式直接得出，再根据x=4与x=A 的函数值不相等，说明求f （4）要用x ＜A 对应的表达式，将方程组联解，可以求出C 、A 的值．【解答】解：由题意可得：f （A ）==15，所以c=15而f （4）==30，可得出=30故=4，可得A=16从而c=15=60故答案为D【点评】分段函数是函数的一种常见类型，解决的关键是寻找不同自变量所对应的范围，在相应区间内运用表达式加以解决．6．函数f （x ）=落在区间（﹣3，5）的所有零点之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【考点】函数零点的判定定理． 【分析】由题意别作出函数y=与y=的图象，由图得交点的个数和函数图象的对称性，并利用对称性求出函数f （x ）的所有零点之和． 【解答】解：由f （x ）==0得，，分别作出函数y=与y=的图象如图：则函数y=与y=的图象关于（1，0）点成中心对称，由图象可知两个函数在区间（﹣3，5）上共有4个交点，它们关于（1，0）点成中心对称，不妨设关于点（1，0）对称的两个点A 、B 的横坐标是a 、b ， 则=1，即a +b=2，所以所有交点横坐标之和为2（a +b ）=4，即所有零点之和为4， 故选：C ．【点评】本题考查了函数的零点与函数图象交点的转化，掌握数形结合的思想方法和函数的对称性是解题的关键． 7．函数y=的单调增区间是（ ） A ．[k ，k ]，k ∈Z B ．[k ，k]，k ∈ZC ．[k，k]，k ∈ZD ．[k，k]，k ∈Z【考点】正弦函数的图象．【分析】先求出函数y 的定义域，再求函数y 的单调递增区间是什么． 【解答】解：∵函数y=，∴sin （﹣2x ）≥0，即sin （2x ﹣）≤0，解得﹣π+2kπ≤2x ﹣≤2kπ，k ∈Z ， 即﹣+2kπ≤2x ≤+2kπ，k ∈Z ，∴﹣+kπ≤x ≤+kπ，k ∈Z ， 即y 的定义域是[﹣+kπ，+kπ]，k ∈Z ；又令+2kπ≤2x ﹣≤+2kπ，k ∈Z ，即+2kπ≤2x ≤+2kπ，k ∈Z ， 解得+kπ≤x ≤+kπ，k ∈Z ， 即﹣+kπ≤x ≤﹣+kπ，k ∈Z ；综上，函数y 的单调递增区间是[﹣+kπ，﹣+kπ]，k ∈Z ．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了复合函数的单调性问题，是基础题目．8．如图，A 、B 分别是射线OM 、ON 上的点，给出下列以O 为起点的向量：①；②；③；④+；⑤．其中终点落在阴影区域内的向量的序号有（ ）A ．①②④B ．①③C ．②③⑤D ．①③⑤【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】作平面向量的线性运算，结合当x ≥0，y ≥0，x +y=1时，若=x+y，则点C 在线段AB 上；从而解得．【解答】解：由题意作平面向量的线性运算如下， 又∵当x ≥0，y ≥0，x +y=1时，若=x+y，则点C 在线段AB 上；∴的向量的终点在阴影内； ∵=+﹣；∴的向量的终点不在阴影内； ∵=++；∴的向量的终点在阴影内；∵=﹣，∴的向量的终点不在阴影内；故选B ．【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及数形结合的思想方法应用．9．定义在区间（0，）上的函数y=6cosx 与y=5tanx 的图象交点为P ，过点P作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与y=sinx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长度为（ ） A ． B ．C ．D ．【考点】余弦函数的图象；正切函数的图象．【分析】先将求P 1P 2的长转化为求sinx 的值，再由x 满足6cosx=5tanx 可求出sinx 的值，从而得到答案．【解答】解：作出对应的图象如图， 则线段P 1P 2的长即为sinx 的值， 且其中的x 满足6cosx=5tanx ，即6cosx=，化为6sin 2x +5sinx ﹣6=0，解得sinx=．即线段P 1P 2的长为 故选：A【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键．10．函数f （x ）=Asin （ωx +φ）的部分图象如图所示，则函数的解析式可以是（ ）A ．f （x ）=2cos （3x +）B ．f （x ）=2sin （）C ．f （x ）=2sin （3x ﹣）D ．f （x ）=2sin （3x ﹣）或f （x ）=2sin （）【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】由图形可以求出A ，根据图象过（0，﹣1），（，0），把点的坐标代入求出ω，φ，从而可得函数解析式． 【解答】解：由图象知A=2，点（0，﹣1），（，0）在函数图象上，∵2sinφ=﹣1，∴可得sinφ=﹣，可得：φ=2kπ+，或φ=2kπ+，k ∈Z ∵2sin （ω+2kπ+）=0，或2sin （ω+2kπ+）=0，∴ω+=kπ，k ∈Z ，或ω+=kπ，k ∈Z ，解得：ω=﹣3，或ω=﹣，k ∈Z ，∴当k=2，ω=，φ=4π+，可得函数的解析式可以是f （x ）=2sin （x +4π+）=2sin （）．当k=3，ω=3，φ=6π+，可得函数的解析式可以是f （x ）=2sin （3x ﹣）．故选：D ．【点评】本题考查由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式，考查分析问题解决问题的能力，解题的关键是初相的求法要注意，属于中档题．11．关于x 的方程asinx +bcosx +c=0在[0，π]上有两个相异实根α，β，则sin （α+β）=（ ） A ． B ．﹣C ．D ．﹣【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】将α、β代入方程后相减，然后根据和差化积公式求出tan 的值，再由万能公式可得答案．【解答】解：∵方程asinx +bcosx +c=0在[0，π]内有两个相异的实根α、β， ∴asinα+bcosα+c=0 ① asinβ+bcosβ+c=0 ②∴方程①﹣②得a （sinα﹣sinβ）+b （cosα﹣cosβ）=0， 即a ×（2sin cos ）﹣b （2sin sin）=0，∴2sin（acos﹣bsin ）=0，∵α≠β，∴sin ≠0，∴acos﹣bsin=0，则tan=，∴sin （α+β）==．故选：C ．【点评】本题主要考查和差化积公式和万能公式的应用．三角函数部分公式比较多，要强化记忆，是中档题．12．函数f （x ）=sin2x +2cos 2x ﹣，g （x ）=mcos （2x ﹣）﹣2m +3（m ＞0），若对任意x 1∈[0，]，存在x 2∈[0，]，使得g （x 1）=f （x 2）成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（1，） B ．（，1]C ．[，1]D ．[1，]【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】分别由三角函数求各自函数的值域，由集合的包含关系解不等式组可得．【解答】解：∵f （x ）=sin2x +2cos 2x ﹣=sin2x +（2cos 2x ﹣1）=sin2x +cos2x =2（sin2x +cos2x ）=2sin （2x +） 当x ∈[0，]时，2x +∈[，]，∴f （x ）min =2sin =1，∴f （x ）∈[1，2]，对于g （x ）=mcos （2x ﹣）﹣2m +3（m ＞0），2x ﹣∈[﹣，]，mcos （2x ﹣）∈[，m ]，∴g （x ）∈[﹣m +3，3﹣m ]， ∵对任意x 1∈[0，]，存在x 2∈[0，]，使得g （x 1）=f （x 2）成立，∴，解得实数m 的取值范围是[1，]．故选：D ．【点评】本题考查三角函数恒等变换，问题转化为求三角函数的值域并利用集合关系是解决问题的关键，属中档题．二、填空题13．扇形AOB 周长为8，圆心角为2弧度，则其面积为 4 ． 【考点】扇形面积公式．【分析】直接利用扇形的面积公式进行求解即可． 【解答】解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则 扇形的周长为l +2r=8， ∴弧长为：αr=2r ， ∴r=2，根据扇形的面积公式，得S=αr 2=4， 故答案为：4．【点评】本题重点考查了扇形的面积公式，属于基础题．14．已知log 23=t ，则log 4854=（用t 表示）【考点】换底公式的应用；对数的运算性质． 【分析】利用对数的换底公式化简求解即可．【解答】解：log 23=t ，则log 4854===．故答案为：．【点评】本题考查换底公式的应用，对数运算法则的应用，考查计算能力．15．已知函数y=sin （）（ω＞0）是区间[，π]上的增函数，则ω的取值范围是 （0，] ． 【考点】正弦函数的图象． 【分析】可以通过角的范围[，π]，得到（ωx +）的取值范围，直接推导ω的范围即可．【解答】解：由于x ∈[π，π]， 故（ωx +）∈[ω+，πω+]，∵函数f （x ）=sin （ωx +）（ω＞0）在[，π]上是增函数，∴，∴0＜ω≤，故答案为：（0，]．【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．16．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=x 2，若对任意的x ∈[t ，t +2]，不等式f （x +t ）≥2f （x ）恒成立，则实数t 的取值范围是．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【分析】由当x ≥0时，f （x ）=x 2，函数是奇函数，可得当x ＜0时，f （x ）=﹣x 2，从而f （x ）在R 上是单调递增函数，且满足2f （x ）=f （x ），再根据不等式f （x +t ）≥2f （x ）=f （x ）在[t ，t +2]恒成立，可得x +t ≥x 在[t ，t +2]恒成立，即可得出答案．【解答】解：当x ≥0时，f （x ）=x 2 ∵函数是奇函数∴当x ＜0时，f （x ）=﹣x 2 ∴f （x ）=，∴f （x ）在R 上是单调递增函数， 且满足2f （x ）=f （x ），∵不等式f （x +t ）≥2f （x ）=f （x ）在[t ，t +2]恒成立，∴x +t ≥x 在[t ，t +2]恒成立，即：x ≤（1+）t 在[t ，t +2]恒成立， ∴t +2≤（1+）t 解得：t ≥，故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．三、解答题（共6题，共70分）17．（10分）（2015秋•武汉校级期末）已知向量=（sinα，），=（cosα，﹣1），且∥（1）若α为第二象限角，求的值；（2）求cos 2α﹣sin2α的值．【考点】三角函数的化简求值；平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）通过向量的共线求出正切函数值，利用诱导公式化简已知条件然后求解即可．（2）化简表达式为正切函数的形式，然后求解即可．【解答】解：向量=（sinα，），=（cosα，﹣1），且∥， 可得﹣sinα=cosα，可得tanα=﹣， （1）==cosα=﹣=﹣=﹣．（2）cos 2α﹣sin2α====．【点评】本题考查诱导公式以及向量的共线，三角函数的化简求值，考查计算能力．18．（10分）（2015秋•武汉校级期末）如图，M 、N 、P 分别是三角形ABC 三边BC 、CA 、AB 上的点，且满足，设=，=．（1）用，表示；（2）若点G 是三角形MNP 的重心，用，表示．【考点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量的基本定理及其意义． 【分析】（1）根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可由条件及图形便可用表示出；（2）先得出，然后画出图形，并连接AG ，MG ，根据G 为三角形MNP 的重心便可得到，从而根据便可用表示出．【解答】解：（1）根据条件，=== =；（2）=，如图，连接AG ，MG ；G 为三角形MNP 的重心，则：==；∴==．【点评】考查向量加法、减法及数乘的几何意义，向量的数乘运算，以及三角形重心的概念和性质，向量加法的平行四边形法则．19．（12分）（2015秋•武汉校级期末）已知定义在R 上的函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|≤）的最小值为﹣2，其相邻两条对称轴距离为，函数图象向左平移单位后所得图象对应的函数为偶函数．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）若f （）=﹣，且x 0∈[]，求cos （x 0+）的值．【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】（1）由最值求得A ，由周期性求得ω，再根据函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得φ，可得函数的解析式． （2）由条件求得sin （x 0+）和cos （x 0+）的值，再利用两角差的余弦公式，求得cos （x 0+）=cos （x 0+﹣）的值．【解答】解：（1）根据函数的最小值为﹣2，可得A=2， 再根据其相邻两条对称轴距离为，可得=，∴ω=2，故函数f （x ）=2sin （2x +φ）．结合函数图象向左平移单位后，所得图象对应的函数y=2sin [2（x +）+φ]=2sin （2x ++φ）为偶函数， ∴+φ=kπ+，即φ=kπ+，k ∈Z ．结合，|φ|≤，可得φ=，f （x ）=2sin （2x +）． （2）若f （）=2sin （x 0+）=﹣，∴sin （x 0+）=﹣．∵x 0∈[]，∴（x 0+）∈（π，]，∴cos （x 0+）=﹣=﹣．∴cos （x 0+）=cos （x 0+﹣）=cos （x 0+）•cos+sin （x 0+）•si n=﹣﹣．【点评】本题主要考查由函数y=Asin （ωx +φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．20．（12分）（2015秋•武汉校级期末）已知定义在R 上的函数f （x ）=2cosωxsin （）﹣（ω＞0）的周期为π．（1）求ω的值及f （x ）的单调增区间； （2）记g （x ）=f （x ）+sin （x ﹣），求g （x ）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用两角和差化积公式，将f （x ）转换为sin （2ω+π/6）的形式，在利用T=2π/2ω，求出ω的值，求g （x ）主要根据诱导公式转换为sin （x ﹣π/6）的形式，在构造二次函数，求出二次函数的定义域，根据函数的对称性求出函数的最值．【解答】解：由函数==，由函数的周期T=π，∴ω=1，函数的单调递减时，，（k ∈Z ）， ∴函数的单调递减区间（2）由===设则：g （x ）=1﹣2t 2+t ，﹣1≤t ≤1由二次函数图象可知：函数在x=取最大值为，当x=﹣1时取最小值为﹣2； ∴函数的取值范围为[﹣2，]【点评】本题考查了积化和差公式，求三角函数的周期，利用诱导公式转换成相同函数的不同次幂的形式，再构造二次函数，求二次函数的值域，构造二次函数时要注意，函数的定义域的取值范围．属于中档题．21．（13分）（2015秋•武汉校级期末）如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 外的地方种草，△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花．若BC=a ，∠ABC=θ，设△ABC 的面积为S 1，正方形PQRS 的面积为S 2．（1）用a ，θ表示S 1和S 2；（2）当a 为定值，θ变化时，求的最小值，及此时的θ值．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【分析】（1）据题三角形ABC 为直角三角形，利用三角函数分别求出AC 和AB ，得出三角形ABC 的面积S 1；设正方形PQRS 的边长为x ，利用三角函数分别表示出BQ 和RC ，由BQ +QR +RC=a 列出方程求出x ，算出S 2；（2）化简比值，设t=sin2θ来化简求出S 1与S 2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值以及对应此时的θ．【解答】解：（1）在Rt △ABC 中，AB=acosθ，AC=asinθ，所以S 1=AB•AC=a 2sinθcosθ；设正方形的边长为x 则BP=，AP=xcosθ， 由BP +AP=AB ，得+xcosθ=acosθ， 解得x=； 所以S 2=x 2=；（6分） （2）===+sin 2θ+1，（8分）令t=sin2θ，因为 0＜θ＜， 所以0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]，（10分）所以=+t +1；设g （t ）=+t +1，则g′（t ）=﹣+，t ∈（0，1]；所以函数g （t ）在（0，1]上递减，（11分）因此当t=1时g （t ）有最小值g （t ）min =g （1）+×1+1=，此时sin2θ=1，解得θ=； 所以当θ=时，的值最小，最小值为．【点评】本题考查了根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力，是综合性题目．22．（13分）（2015秋•武汉校级期末）已知函数y=x +有如下性质：当a ＞0时，函数在（0，]单调递减，在[，+∞）单调递增．定义在（0，+∞）上的函数f （x ）=|t （x +）﹣5|，其中t ＞0．（1）若函数f （x ）分别在区间（0，2）和（2，+∞）上单调，求t 的取值范围 （2）当t=1时，若方程f （x ）﹣k=0有四个不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，求x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围（3）当t=1时，是否存在实数a ，b 且0＜a ＜b ≤2，使得f （x ）在区间[a ，b ]上的取值范围是[ma ，mb ]，若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】（1）由题意得4t ﹣5≥0，由此能求出t 的取值范围．（2）设x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 1，x 4是方程（x ﹣）﹣5﹣k=0的两个根，x 2，x 3是方程﹣（x +）+5﹣k=0的两根，由此能求出x 1+x 2+x 3+x 4的范围．（3）令f （x ）=0，得x=1或x=4，推导出0＜a ＜b ＜1或1＜a ＜b ≤2．由此利用分类讨论思想和构造法能求出存在满足条件的a ，b ，此时m 的取值范围是[，）．【解答】解：（1）由题意得y=t （x +）﹣5在（0，2]递减，取值范围是[4t ﹣5，+∞），在[2，+∞）递增，取值范围是[4t ﹣5，+∞），∴4t ﹣5≥0，解得t ≥，∴t 的取值范围是[，+∞）．（2）t=1时，方程有四个不等实数根x 1，x 2，x 3，x 4，设x 1＜x 2＜x 3＜x 4， 则x 1，x 4是方程（x ﹣）﹣5﹣k=0的两个根，整理，得x 2﹣（5+k ）x +4=0，∴x 1+x 4=5+k ，同理，x 2，x 3是方程﹣（x +）+5﹣k=0的两根，整理，得x 2﹣（5﹣k ）x +4=0，∴x 3+x 4=5﹣k ，∴x 1+x 2+x 3+x 4=10．（3）令f （x ）=0，得x=1或x=4，由a ＜b ，ma ＜mb ，得m ＞0，若1∈[a ，b ]，则ma=0，矛盾．故0＜a ＜b ＜1或1＜a ＜b ≤2．当0＜a ＜b ＜1时，f （a ）=mb ，f （b ）=ma ，，消m ，得a +b=5，矛盾．当1＜a ＜b ≤2时，f （a ）=ma ，f （b ）=mb ，，即a ，b 是方程（m +1）x 2﹣5x +4=0在（1，2]上两个不等根，记g （x ）=（m +1）x 2﹣5x +4，则，解得，综上所述，存在满足条件的a ，b ，此时m 的取值范围是[，）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想、构造法、函数性质的合理运用．。