邢台市高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.5空间向量运算的坐标表示课时练(无答案)
高中数学第三章空间向量与立体几何1空间向量及其运算5空间向量运算的坐标表示3课件新人教A版选修2
变式训练
已知 a＝(1,2，12)，b＝(12，－12，1)，c＝(－2,3， －12)，d＝(1，－32，14)．
求证：a⊥b，c∥d.
证明： ∵ a＝ (1,2，12)， b＝ (12，－12，1)， ∴a·b＝1×12＋2×(－12)＋12×1＝0. ∴ a⊥ b. ∵ c＝ (－ 2,3，－12)， d＝ (1，－32，14)， ∴ c＝－ 2(1，－32，14)＝－ 2d. ∴ c∥ d.
(1)求证：EF⊥CF； (2)求E→F与C→G所成角的余弦值； (3)求 CE 的长． [分析] 可建立空间直角坐标系，利用向量的坐 标形式解题．
[解] 建立如图 3 所示的空间直角坐标系 D－xyz， 则 D(0,0,0)，E(0,0，12)，C(0,1,0)， F(12，12，0)，G(1,1，12)．
[解] (1)如图 1，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 AA1＝a，
则 B(4,4,0)，N(2,2，a)， A(4,0,0)，M(2,4，a2)，
图1
∴B→N＝ (－ 2，－ 2， a)， A→M＝ (－ 2, 4，a)，
2 由B→N⊥A→M得B→N·A→M ＝ 0， ∴4－8＋a2＝0，a＝2 2，
b32.
2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设 A(a1，a2，a3)，B(b1， b2， b3)，则： (1)A→B＝ (b1－ a1， b2－ a2， b3－ a3)； (2)AB＝ |A→B|＝
b1－ a1 2＋ b2－ a2 2＋ b3－ a3 2.
如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐 标运算间的关系？
|E→F|＝ |C→G|＝
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.4 空间向量的直角坐标运算学
3.1.4 空间向量的直角坐标运算1．了解空间向量坐标的定义．2．掌握空间向量的坐标运算．3．会利用向量的坐标关系，判定两个向量共线或垂直．4．会计算向量的长度及两向量的夹角．1．空间向量的坐标表示(1)单位正交基底．建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引________向量i，j，k，这三个互相________的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i，j，k都叫做________．【做一做1－1】设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，则|e1|＋|e2|＋|e3|＝__________.(2)空间向量的坐标表示．在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在______实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组__________叫做向量a在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作a＝__________.【做一做1－2】向量0的坐标为__________．向量的坐标与点的坐标表示方法不同，如向量a＝(x，y，z)，点A(x，y，z)．2．空间向量的直角坐标运算(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则容易得到a＋b＝____________；a－b＝____________；λa＝______________；a·b＝____________.(2)向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝OB－OA＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．【做一做2】设a＝(1,2,3)，b＝(1,1,1)，则2a＋b＝__________.3．空间向量平行和垂直的条件设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a∥b(b≠0)⇔__________⇔__________，当b1，b2，b3都不为0时，a∥b⇔__________；(2)a⊥b⇔__________⇔__________.【做一做3】设a＝(1,2,3)，b＝(1，－1，x)，a⊥b，则x＝__________.4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝____________，|b|＝____________，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝________________________. 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝____________.【做一做4】向量a ＝(2，－1，－1)，b ＝(1，－1,0)的夹角余弦值为__________，||a －b ＝__________.(1)空间向量的坐标是空间向量的一种形式．在坐标形式下的模长公式，夹角公式，向量平行和垂直的条件与在普通基底下相同，仅仅是形式不同；(2)空间向量在坐标形式下同样可以用来求距离(长度)，夹角，证明垂直和平行关系等．如何理解空间向量的坐标及其运算？剖析：(1)注意空间向量的坐标与向量终点的坐标的区别与联系．向量的坐标是其终点与起点坐标的差量．只有以原点为起点的向量，向量的坐标才等于向量终点的坐标．(2)空间向量的坐标运算和平面向量基本一致，只是多了一个竖坐标． (3)坐标形式下向量的计算就是指坐标的运算．题型一 空间向量的坐标运算【例1】设向量a ＝(3,5,－4)，b ＝(2,1,8)，计算3a －2b ，(a ＋b )·(a －b )． 分析：利用空间向量的坐标运算先求3a,2b ，a ＋b ，a －b ；再进行相关运算． 反思：空间向量的坐标运算首先进行数乘运算然后再进行加减运算，最后进行数量积运算，先算括号内的后算括号外的．题型二 空间向量的平行与垂直问题【例2】设向量a ＝(1，x,1－x )，b ＝(1－x 2，－3x ，x ＋1)，求满足下列条件时，实数x 的值．(1)a ∥b ；(2)a ⊥b .分析：解答本题可先由a ∥b ，a ⊥b 分别建立x 的方程，再解方程即可． 反思：要熟练掌握向量平行和垂直的条件，借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算．在应用坐标形式下的平行条件时，一定注意结论成立的前提条件，在条件不明确时，要分类讨论．在解答本题时易出现由a ∥b ⇔1－x 21＝－3x x ＝x ＋11－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝－3x ＋11－x＝－3⇔x ＝2的错误，导致此错误的原因是忘记了这个结论成立的前提条件是1，x,1－x 都不是0.题型三 空间向量的夹角及长度公式的应用【例3】已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1,－1,5)，求以AB ，AC 为邻边的平行四边形面积．分析：已知三点A ，B ，C 的坐标，先求AB ，AC ，|AB |，|AC |，AB ·AC ，再求cos 〈AB ，AC 〉，sin 〈AB ，AC 〉，从而得到结论．反思：运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的基本思路是： ①建立空间坐标系；②求出相关点的坐标和向量坐标； ③结合公式进行计算；④将计算的向量结果转化为几何结论．1．若A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，令a ＝CA ，b ＝CB ，则a ＋b 对应的坐标为( )A ．(5,－9,2)B ．(－5,9,－2)C ．(5,9,－2)D ．(5,－9,－2)2．下面各组向量不平行的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，b ＝(－3,0,0) B ．c ＝(0,1,0)，d ＝(1,0,1) C ．e ＝(0,1,－1)，f ＝(0,－1,1) D ．g ＝(1,0,0)，h ＝(0,0,0) 3．(2010·广东高考，理10)已知a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)且(c －a )·2b ＝－2，则x 的值为( )A ．3B ．4C ．2D ．1 4．若A (2,0,1)，B (3,4，－2)，则|AB |＝__________.5．向量a ＝(2，－3，3)，b ＝(1,0,0)，则cos 〈a ，b 〉＝__________. 6．已知向量a ＝(－2,2,0)，b ＝(－2,0,2)，求向量n 使n ⊥a 且n ⊥b . 答案：基础知识·梳理1．(1)单位 垂直 坐标向量 【做一做1－1】3(2)唯一 (a 1，a 2，a 3) (a 1，a 2，a 3) 【做一做1－2】(0,0,0)2．(1)(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) (a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3) (λa 1，λa 2，λa 3) a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3【做一做2】(3,5,7)3．(1)a ＝λb a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3(2)a ·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 【做一做3】134．a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23 b ·b ＝b 21＋b 22＋b 23a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12【做一做4】322 典型例题·领悟【例1】解：3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(9－4,15－2，－12－16)＝(5,13，－28)；a ＋b ＝(3,5，－4)＋(2,1,8)＝(3＋2,5＋1，－4＋8)＝(5,6,4)；a －b ＝(3,5，－4)－(2,1,8)＝(3－2，5－1，－4－8)＝(1,4，－12)，(a ＋b )·(a －b )＝(5,6,4)·(1,4，－12)＝5×1＋6×4＋4×(－12)＝5＋24－48＝－19.【例2】解：(1)①当x ＝0时，a ＝(1,0,1)，b ＝(1,0,1)，a ＝b ，满足a ∥b . ②当x ＝1时，a ＝(1,1,0)，b ＝(0，－3,2)，不满足a ∥b ， ∴x ≠1.③当x ≠0，x ≠1时，由a ∥b ⇔1－x 21＝－3x x ＝x ＋11－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝－3，x ＋11－x＝－3⇔x ＝2.综上所述，当x ＝0，或x ＝2时，a ∥b .(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0，∴(1，x,1－x )·(1－x 2，－3x ，x ＋1)＝0⇔1－x 2－3x 2＋1－x 2＝0，解得x ＝±105. ∴当x ＝±105时，a ⊥b . 【例3】解：∵A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)， ∴AB ＝(－2,1,6)－(0,2,3)＝(－2，－1,3)，AC ＝(1，－1,5)－(0,2,3)＝(1，－3,2)．∴|AB |＝－2＋－2＋32＝14，|AC |＝12＋－2＋22＝14，AB ·AC ＝(－2，－1,3)·(1，－3,2)＝－2＋3＋6＝7.∴cos 〈AB ，AC 〉＝A B →·A C →|AB →||AC →|＝12，∴sin 〈AB ，AC 〉＝32， 以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积S ＝|AB →||AC →|sin 〈AB ，AC 〉＝7 3.随堂练习·巩固1．B a ＝CA →＝(2，－4，－1)－(3，－4,1)＝(－1,0，－2)，b ＝CB →＝(－1,5,1)－(3，－4,1)＝(－4,9,0)，故a ＋b ＝(－5,9，－2)．2．B A 项中b ＝－3a ，a ∥b ，C 项中f ＝－e ，f ∥e ，D 项中h ＝0， ∴h ∥g .3．C ∵(c －a )·2b ＝(0,0,1－x )·(2,4,2)＝－2， ∴2(1－x )＝－2，x ＝2. 4．26 |AB →|＝－2＋－2＋－2－2＝26.5．12 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b | ＝2×1＋0＋022＋－2＋3212＋02＋02＝12. 6．解：设n ＝(x ，y ，z )，则n ·a ＝(x ，y ，z )·(－2,2，0)＝－2x ＋2y ＝0， n ·b ＝(x ，y ，z )·(－2,0,2)＝－2x ＋2z ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0，－2x ＋2z ＝0，可得y ＝x ，z ＝x .于是向量n ＝(x ，x ，x )＝x (1,1,1)，x ∈R .。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.5 空间向量运算的坐标表示学
3.1.5 空间向量运算的坐标表示[目标] 1.掌握空间向量的坐标运算.2.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直.3.掌握向量长度，两向量夹角和两点间距离公式．[重点] 利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直、夹角和距离问题．[难点] 立体几何问题坐标化、代数化．知识点一空间向量的加减和数量积运算的坐标表示[填一填]设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)．(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)．(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)．(4)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.[答一答]1．如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算间的关系？提示：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多了一项竖坐标，其法则与横、纵坐标一致．知识点二夹角与距离公式[填一填]在空间直角坐标系中，设A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则(1)模：|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23 .(2)夹角：cos a，b＝a·b |a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23.(3)垂直：若a⊥b，则有a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.(4)平行：若b≠0，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)．(5)AB→＝(b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3)．(6)d AB ＝|AB →|＝a 1－b 12＋a 2－b 22＋a 3－b 32.[答一答]2．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，a ∥b ，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3对吗？提示：不一定正确，因为b 1，b 2，b 3可能为0，只有b 1≠0，b 2≠0，b 3≠0时才有a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3成立． 3．空间向量的夹角与距离公式与平面向量的夹角与距离公式有什么不同？提示：空间向量的夹角公式及空间向量长度的坐标计算公式分别类似于平面向量的夹角公式及平面向量长度的坐标计算公式，只是都多了一个竖坐标．1．应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线． 2．判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.3．用向量法求两异面直线所成角时，首先依据题设取异面直线上的方向向量，然后求出两向量的夹角，若夹角为锐角则该角就是两异面直线的夹角，若向量夹角为钝角，则该角的补角就是两异面直线所成的角．4．用向量法求空间两点间的距离时，首先依据题意求出由两点组成的向量的坐标，再利用|a |＝a 2求出两点间的距离．类型一 空间向量的坐标运算【例1】 在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)． (1)求顶点B ，C 的坐标； (2)求CA →·BC →；(3)若点P 在AC 上，且AP →＝12PC →，求点P 的坐标．【解】 (1)设B (x ，y ，z )，C (x 1，y 1，z 1)，所以AB →＝(x －2，y ＋5，z －3)，BC →＝(x 1－x ，y 1－y ，z 1－z )．因为AB →＝(4,1,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝4，y ＋5＝1，z －3＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－4，z ＝5，所以点B 的坐标为(6，－4,5)． 因为BC →＝(3，－2,5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1－6＝3，y 1＋4＝－2，z 1－5＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝9，y 1＝－6，z 1＝10，所以点C 的坐标为(9，－6,10)．(2)因为CA →＝(－7,1，－7)，BC →＝(3，－2,5)， 所以CA →·BC →＝－21－2－35＝－58.(3)设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －2，y ＋5，z －3)，PC →＝(9－x ，－6－y,10－z )， 于是有(x －2，y ＋5，z －3)＝12(9－x ，－6－y,10－z )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝129－x ，y ＋5＝12－6－y ，z －3＝1210－z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝133，y ＝－163，z ＝163，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫133，－163，163.向量的坐标即终点坐标减去起点的对应坐标.反之求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点.在原点时，向量的坐标与原坐标相同.不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标.已知向量a ＝(1，－2,4)，求同时满足以下三个条件的向量x . ①a ·x ＝0；②|x |＝10；③x 与向量b ＝(1,0,0)垂直． 解：设x ＝(x ，y ，z )，由三个条件知⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4z ＝0x 2＋y 2＋z 2＝100，x ＝0∴⎩⎨⎧x ＝0y ＝45z ＝25或⎩⎨⎧x ＝0y ＝－45z ＝－25，∴x ＝(0,45，25)或(0，－45，－25)． 类型二 坐标形式下的平行与垂直【例2】 (1)已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，若a ∥b ，求x 、y 的值． (2)已知：a ＝(2,4，x )，b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，求x ＋y 的值． 【分析】 (1)∵a ∥b ，∴a ＝λb ，λ一定存在，故可设λ. (2)a ⊥b ，∴a ·b ＝0，再加上条件|a |＝6，可求x 、y 的值． 【解】 (1)∵a ∥b ，∴a ＝λb .即⎩⎪⎨⎪⎧2＝3λ，4＝λx ，5＝λy .∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，x ＝6，y ＝152.即x ＝6，y ＝152.(2)∵a ⊥b 且|a |＝6，即⎩⎨⎧2×2＋4y ＋2x ＝0，22＋42＋x 2＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝1.∴x ＋y ＝1或－3.1要熟练掌握两个向量平行和垂直的充要条件，借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐标运算.2在应用坐标形式下的平行条件时，一定要注意结论成立的前提条件.在条件不明确时，要分类讨论.如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．过B 作BM ⊥AC 1于M ，求点M 的坐标．解：解法一：设M (x ，y ，z )，由题图可知：A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C 1(0，a ，a )，则AC 1→＝(－a ，a ，a )，AM →＝(x －a ，y ，z )，BM →＝(x －a ，y －a ，z )．∵BM ⊥AC 1，∴BM →·AC 1→＝0， ∴－a (x －a )＋a (y －a )＋az ＝0， 即x －y －z ＝0.①又∵AC 1→∥AM →，∴x －a ＝－λa ，y ＝λa ，z ＝λa ， 即x ＝a －λa ，y ＝λa ，z ＝λa .②由①②得x ＝2a 3，y ＝a 3，z ＝a 3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3. 解法二：设AM →＝λAC 1→＝(－aλ，aλ，aλ)， ∴BM →＝BA →＋AM →＝(0，－a,0)＋(－aλ，aλ，aλ) ＝(－aλ，aλ－a ，aλ)．∵BM ⊥AC 1，∴BM →·AC 1→＝0，即a 2λ＋a 2λ－a 2＋a 2λ＝0，解得λ＝13，∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，a 3，a 3， DM →＝DA →＋AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3. ∴M 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3. 类型三 坐标形式下的夹角与距离【例3】 在长方体AC 1中，底面ABCD 是边长为4的正方形，A 1C 1与B 1D 1交于N ，BC 1与B 1C 交于点M ，且AM →⊥BN →，建立空间直角坐标系．(1)求AA 1→的长； (2)求cos 〈BN →，AD 1→〉．【分析】 关键是建立合适的直角坐标系，先求出AA 1→的长，然后运用夹角公式求解． 【解】 (1)如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设AA 1＝a ，则B (4,4,0)，N (2,2，a )，A (4,0,0)，M (2,4，a 2)，∴BN →＝(－2，－2，a )， AM →＝(－2,4，a2)，由BN →⊥AM →得BN →·AM →＝0，∴4－8＋a 22＝0，a ＝22，∴AA 1→的长为22，(2)由(1)可得BN →＝(－2，－2,22)，AD 1→＝(－4,0,22)，∴cos 〈BN →，AD 1→〉＝BN →·AD 1→|BN →||AD 1→|＝63.利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的解题步骤： 1根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；2利用题设条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标； 3利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角.要注意两角范围不一致，若异面直线AB 、CD 所成角为α，则cos α＝|cos AB →，CD →|.如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点．(1)求BN →的长；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值．解：以C 为原点，以CA →、CB →、CC 1→为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Cxyz . (1)依题意，得B (0,1,0)，N (1,0,1)． ∴|BN →|＝1－02＋0－12＋1－02＝ 3.(2)依题意，得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)． ∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)， ∴BA 1→·CB 1→＝3.|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝ 5.∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010. 类型四 素养提升构建空间直角坐标系的策略坐标法是利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系．抓住空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系(或在图形中构造垂直关系)是我们构建空间直角坐标系时的重要依据．常见的建系策略有：(1)利用共顶点的互相垂直的三条棱，构建空间直角坐标系； (2)利用线面垂直关系，构建空间直角坐标系； (3)利用面面垂直关系，构建空间直角坐标系．【例4】 如图所示，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，AB ＝2EF ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．求证：FH ∥平面EDB .【证明】 ∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB ⊥BC ，又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC . 又EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC .∴EF ⊥FC ，AB ⊥FH .又BF ＝FC ，H 为BC 的中点， ∴FH ⊥BC .∴FH ⊥平面ABC .以H 为坐标原点，HB →为x 轴正方向，HF →为z 轴正方向，建立如图所示的坐标系． 设BH ＝1，则A (1，－2,0)，B (1,0,0)，C (－1,0,0)，D (－1，－2,0)，E (0，－1,1)，F (0,0,1)．设AC 与BD 的交点为G ，连接GE ，GH ， 则G (0，－1,0)，∴GE →＝(0,0,1)． 又HF →＝(0,0,1)，∴HF →∥GE →. 又GE ⊂平面EDB ，HF ⊄平面EDB ， ∴FH ∥平面EBD .【解后反思】 利用向量法解此类问题的关键是建立适当的坐标系，求出直线的方向向量，要证线面平行可证明直线的方向向量与平面内的一个向量共线．如右图所示，已知三棱锥P ABC 中，PA ＝PC ，∠APC ＝∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，且平面PAC ⊥平面ABC ，求证：平面PAB ⊥平面PBC .证明：如图所示，建立空间直角坐标系，设PA ＝PC ＝2a ，则P (0,0，2a )，C (0，2a,0)，A (0，－2a,0)，D (63a,0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫263a ，2a ，0， 所以AP →＝(0，2a ，2a )，PC →＝(0，2a ，－2a )， BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－263a ，0，0，所以AP →·BC →＝0，AP →·PC →＝0， 所以AP ⊥PC ，AP ⊥BC ，又PC ∩BC ＝C ，所以AP ⊥平面PBC .因为AP ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBC .1．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则点C 的坐标是( A )A ．(－65，－45，－85)B ．(65，－45，－85)C ．(－65，－45，85)D ．(65，45，85)解析：∵AB →＝(－3，－2，－4)， ∴25AB →＝(－65，－45，－85)． 设C 点坐标为(x ，y ，z )，则OC →＝(x ，y ，z )＝25AB →＝(－65，－45，－85)．故选A. 2．与向量a ＝(1,2,3)，b ＝(3,1,2)都垂直的向量为( C )A ．(1,7,5)B ．(1，－7,5)C ．(－1，－7,5)D ．(1，－7，－5) 解析：利用数量积为零逐一验证可求得．3．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( C )A ．(13，1,1) B ．(－1，－3,2) C ．(－12，32，－1) D ．(2，－3，－22)解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式，即b ≠0，a ∥b ⇔a ＝λb ，观察选项，只有C 符合．4．若a ＝(2,3，－1)，b ＝(－2,1,3)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为6 5. 解析：∵a·b ＝－4，|a |＝14，|b |＝14，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝－27，∴sin 〈a ，b 〉＝357， ∴S ＝|a |·|b |·sin〈a ，b 〉＝14×14×357＝6 5. 5．已知A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (34，1,2)． (1)求线段AB 中点D 的坐标；(2)证明：CD ⊥AB ，且|AC |＝|BC |.解：(1)设AB 的中点D 的坐标为(x ，y ，z )，则OD →＝12(OA →＋OB →)＝12[(3,3,1)＋(1,0,5)]＝(2，32，3)，∴点D 的坐标为(2，32，3)． (2)证明：CD →＝OD →－OC →＝(2，32，3)－(34，1,2)＝(54，12，1)， AB →＝OB →－OA →＝(1,0,5)－(3,3,1)＝(－2，－3,4)，∴CD →·AB →＝(54，12，1)·(－2，－3,4)＝54×(－2)＋12×(－3)＋1×4＝－52－32＋4＝0.∴CD →⊥AB →，即CD ⊥AB .|AC |＝|AC →|＝3－342＋3－12＋1－22 ＝8116＋5＝10＋116，|BC |＝|BC →|＝1－342＋0－12＋5－22 ＝116＋1＋9＝10＋116.∴|AC |＝|BC |.。
秋高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空
2018年秋高中数学第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算学案新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋高中数学第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算学案新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
1 空间向量及其运算3。
1.1 空间向量及其加减运算3.1。
2 空间向量的数乘运算学习目标：1。
理解空间向量的概念．(难点）2.掌握空间向量的线性运算．（重点）3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．（重点、难点）[自 主 预 习·探 新 知］1．空间向量（1)定义:在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． （2）长度或模：向量的大小．(3)表示方法:①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ,…表示;若向量a 的起点是A ，终点是B ,也可记作：错误!，其模记为|a ｜或|错误!｜.2．几类常见的空间向量名称方向 模 记法 零向量任意 0 0 单位向量任意 1 相反向量相反 相等 a 的相反向量：－a 错误!的相反向量:错误! 相等向量相同 相等 a ＝b 3空间向量的运算加法OB →＝错误!＋错误!＝a ＋b 减法 错误!＝错误!－错误!＝a －b加法运算律 （1)交换律:a ＋b ＝b ＋a （2）结合律:（a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c )4.空间向量的数乘运算(1）定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量,称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同;当λ〈0时,λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa 的长度是a的长度的|λ｜倍．(2)运算律：①λ（a＋b）＝λa＋λb；②λ（μa）＝（λμ）a。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算
5．平行(共线)向量与共面向量
平行(共线)向量
共面向量
表示空间向量的有向线段所
位置
在的直线的位置关系：
定 关系
_____互_相__平_行__或_重__合____ 义
平行于同一个__平__面____的向量
特征 方向___相_同__或_相__反_____
特例 零向量与__任__意_向__量_____共线
• (2)能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．
• (3)能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定 理)．
• (4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角 计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．
• 本章重点
• 空间向量的基本概念和基本运算；以空间向量为工具判断或证明立 体几何中的位置关系；求空间角和空间的距离．
2．几类常见的空间向量
名称
方向
零向量 单位向量
___任__意___ 任意
相反向量
____相_反___
相等向量
相同
模 ___0___ ___1___
相等
___相_等____
记法 ___0___
a 的相反向量：___－__a__ A→B的相反向量：_B_→_A___ a＝b
3.空间向量的加减法和运算律 (1)加法：O→B＝__O_→_A_＋__A→_B____＝a＋b． (2)减法：C→A＝___O→_A_－__O_→_C_＝a－b． (3)加法运算律：
• 1987年11月台湾开放台胞来大陆探亲，开始时要从香港绕道，比 如从台北到上海的路径是：台北→香港→上海.2008年7月开始两岸 直航后，从台北到上海的路径是：台北→上海．如果把台北→香港 的位移记为向量a，香港→上海的位移记为向量b，台北→上海的位 移记为向量c，那么a＋b与c有怎样的关系呢？
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.5 空间向量运算的坐标表示(
空间向量运算的坐标表示学 习 目 标核 心 素 养1．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点)2．掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点、难点)1．通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养学生的数学运算核心素养．2．借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养．1．空间向量运算的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，空间向量的坐标运算法那么如下表所示：运算 坐标表示加法 a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) 减法 a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3) 数乘 λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，λ∈R 数量积a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 32设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，那么平行(a ∥b ) a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，(λ∈R )a 3＝λb 3垂直(a ⊥b ) a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)模 |a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23夹角公式cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23思考：假设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，那么a ∥b 一定有a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3成立吗？[提示]当b 1，b 2，b 3均不为0时，a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3成立．3．向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，那么 (1)AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；(2)d AB ＝|AB →|＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2．1．向量a ＝(－3,2,5)，b ＝(1,5，－1)，那么4a ＋2b 等于( ) A ．(10，－18，－18) B ．(－10,18,18) C ．(－14，－2,22)D ．(－14,2，－22)B [∵4a ＝(－12,8,20)，2b ＝(2,10，－2)， ∴4a ＋2b ＝(－10,18,18)．]2．向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，那么k ＝( ) A ．1 B ．15C ．35D ．75D [k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，且(k a ＋b )· (2a －b )＝3(k －1)＋2k －4＝0，解得k ＝75．]3．假设A (－1,2,3)，B (2,1,4)，C (m ，n,1)三点共线，那么m ＋n ＝________． －3[AB →＝(3，－1,1)，AC →＝(m ＋1，n －2，－2)． ∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数λ，使得AC →＝λAB →． 即(m ＋1，n －2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝3λ，n －2＝－λ，－2＝λ，解得λ＝－2，m ＝－7，n ＝4．∴m ＋n ＝－3．]4．a ＝(－2，2，3)，b ＝(32，6,0)，那么|a |＝________， a 与b 夹角的余弦值等于________． 369[|a |＝(－2)2＋22＋(3)2＝9＝3，cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝－6＋123×(32)2＋62＝69．]空间向量的坐标运算[例1] (1)假设向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)满足条件(c －a )·2b ＝－2，那么x ＝________．(2)O 是坐标原点，且A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求适合以下条件的点P 的坐标；①OP →＝12(AB →－AC →)；②AP →＝12(AB →－AC →)．(1)2 [c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)，由(c －a )·2b ＝－2得2(1－x )＝－2，解得x ＝2．] (2)解：AB →＝(2,6，－3)，AC →＝(－4,3,1)．①OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6,3，－4)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2，那么点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，32，－2． ②设P (x ，y ，z )，那么AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)． ∵AP →＝12(AB →－AC →)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y ＋1＝32，z －2＝－2，解得x ＝5，y ＝12，z ＝0，那么点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫5，12，0．1．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用以下有关乘法公式：(1)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2；(2)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2．[跟进训练]1．a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1,4)． 求：(1)a ＋b ；(2)a －b ；(3)a ·b ； (4)2a ·(－b )；(5)(a ＋b )·(a －b )．[解](1)a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4) ＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)． (2)a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1,4) ＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)． (3)a ·b ＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7． (4)∵2a ＝(4，－2，－4)，∴2a ·(－b )＝(4，－2，－4)·(0,1，－4) ＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14．(5)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8．利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题1111111上的点，且3B 1P →＝PD 1→，假设PQ ⊥AE ，BD →＝λDQ →，求λ的值．思路探究：建立坐标系―→得各点的坐标―→利用平行与垂直―→得λ[解] 如下图，以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，那么A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)，由题意，可设点P 的坐标为(a ，a,1)，因为3B 1P →＝PD 1→，所以3(a －1，a －1,0)＝(－a ，－a,0)， 所以3a －3＝－a ，解得a ＝34，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫34，34，1． 由题意可设点Q 的坐标为(b ，b,0)， 因为PQ ⊥AE ，所以PQ →·AE →＝0，所以⎝⎛⎭⎫b －34，b －34，－1·⎝⎛⎭⎫－1，0，12＝0， 即－⎝⎛⎭⎫b －34－12＝0，解得b ＝14， 所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，14，0，因为BD →＝λDQ →，所以(－1，－1,0)＝λ⎝⎛⎭⎫14，14，0， 所以λ4＝－1，故λ＝－4．向量平行与垂直问题主要有两种题型：(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a ，b 平行，可设a ＝λb )，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.[跟进训练]2．空间向量a ＝(－1,2，－3)，b ＝(2，－4，x )，c ＝(4，y,6)．(1)假设m ∥a ，且|m |＝27，求向量m ； (2)假设a ⊥c ，某某数y 的值；(3)假设(2a －b )∥(a ＋3b )，某某数x 的值．[解] (1)由于m ∥a ，可设m ＝λa ＝λ(－1,2，－3)＝(－λ，2λ，－3λ)． 因为|m |＝27， 所以(－λ)2＋(2λ)2＋(－3λ)2＝27，即λ2＝2，解得λ＝±2．故m ＝(－2，22，－32)或m ＝(2，－22，32)． (2)因为a ⊥c ，所以a ·c ＝0， 即－4＋2y －18＝0，解得y ＝11．(3)由得2a －b ＝(－4,8，－6－x )，a ＋3b ＝(5，－10,3x －3)，而(2a －b )∥(a ＋3b )， 所以－45＝8－10＝－6－x 3x －3，解得x ＝6．空间向量夹角与长度的计算[1．A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，那么线段AB 的中点P 的坐标是多少？ [提示]P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22．2．设异面直线AB ，CD 所成的角为θ，那么cos θ＝cos 〈AB →，CD →〉一定成立吗？ [提示]当cos 〈AB →，CD →〉≥0时，cos θ＝cos 〈AB →，CD →〉， 当cos 〈AB →，CD →〉<0时，cos θ＝－cos 〈AB →，CD →〉．[例3] 棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是DD 1，BD ，BB 1的中点． (1)求证：EF ⊥CF ；(2)求异面直线EF 与CG 所成角的余弦值；(3)求CE 的长． 思路探究：建立适当的坐标系―→得各点的坐标―→数量积运算―→长度、夹角公式―→几何结论[解] (1)证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如下图的空间直角坐标系D -xyz ，那么D (0,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，C (0,1,0)，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，G ⎝⎛⎭⎫1，1，12．所以EF →＝⎝⎛⎭⎫12，12，－12． CF →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，0，CG →＝⎝⎛⎭⎫1，0，12，CE →＝⎝⎛⎭⎫0，－1，12． 因为EF →·CF →＝12×12＋12×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－12×0＝0，所以EF →⊥CF →，即EF ⊥CF ．(2)因为EF →·CG →＝12×1＋12×0＋⎝⎛⎭⎫－12×12＝14， |EF →|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－122＝32， |CG →|＝12＋02＋⎝⎛⎭⎫122＝52，所以cos 〈EF →，CG →〉＝EF →·CG →|EF →||CG →|＝1432×52＝1515． 又因为异面直线所成角的X 围是(0°，90°]，所以异面直线EF 与CG 所成角的余弦值为1515． (3)|CE |＝|CE →|＝02＋(－1)2＋⎝⎛⎭⎫122＝52．通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.[跟进训练]3．如下图，空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值． [解](1)证明：设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r ．由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三个向量两两夹角均为60°． MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0． ∴MN →⊥AB →，即MN ⊥AB ．同理可证MN ⊥CD ． (2)设向量AN →与MC →的夹角为θ． ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝⎛⎭⎫q －12p ＝12⎝⎛⎭⎫q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p ＝12⎝⎛⎭⎫a 2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos 60° ＝12⎝⎛⎭⎫a 2－a 24＋a 22－a 24＝a 22． 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22．∴cos θ＝23．∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23．1．在空间直角坐标系中，点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，那么AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．2．两点间的距离公式：假设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 那么|AB |＝|AB →|＝|AB →|2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2．3．空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值X 围．1．向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29，且λ>0，那么λ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5B [λa ＋b ＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由得|λa ＋b |＝42＋(1－λ)2＋λ2＝29，且λ>0，解得λ＝3．]2．点A (－1,3,1)，B (－1,3,4)，假设AP →＝2PB →，那么点P 的坐标是________．(－1,3,3)[设点P (x ，y ，z )，那么由AP →＝2PB →，得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x,3－y,4－z )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，z ＝3，即P (－1,3,3)．]3．假设a ＝(2,3，－1)，b ＝(－2,1,3)，那么以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为________． 65[a ·b ＝2×(－2)＋3×1＋(－1)×3＝－4，|a |＝14，|b |＝14，∴cos 〈a ，b 〉＝－414×14＝－27．∴sin 〈a ，b 〉＝1－⎝⎛⎭⎫－272＝357． 因此以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为|a ||b |sin 〈a ，b 〉＝14×14×357＝65．]4．向量a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)，c ＝(2，x ，－4)． (1)判断a ，b 的位置关系； (2)假设a ∥c ，求|c |；(3)假设b ⊥c ，求c 在a 方向上的投影的长．[解] (1)因为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)，所以b ＝－2a ，所以a ∥b ．word- 11 - / 11 (2)因为a ∥c ，所以21＝x 2＝－4－2，解得x ＝4． 所以c ＝(2,4，－4)，从而|c |＝22＋42＋(－4)2＝6．(3)因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即(－2，－4,4)·(2，x ，－4)＝－4－4x －16＝0，解得x ＝－5， 所以c ＝(2，－5，－4)．所以c 在a 方向上的投影的长为|c |cos 〈a ，c 〉＝|c |×a ·c |a ||c |＝1×2－2×5＋2×412＋22＋(－2)2＝2－10＋83＝0．。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算讲义
3．1.1 空间向量及其加减运算1．空间向量 (1)定义□01在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度□02向量的大小叫做向量的长度或□03模． (3)表示方法(4)几类特殊的空间向量①零向量：□08规定长度为0的向量叫做零向量，记为□090. ②单位向量：□10模为1的向量称为单位向量． ③相反向量：□11与向量a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量，记为□12－a . ④相等向量：□13方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示□14同一向量或□15相等向量． 2．空间向量的加减法 (1)定义类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝□16a ＋b ； CA →＝OA →－OC →＝□17a －b . (2)加法运算律①交换律：a ＋b ＝□18b ＋a ； ②结合律：(a ＋b )＋c ＝□19a ＋(b ＋c )．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．( )(2)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．( ) (3)0向量是长度为0，没有方向的向量．( ) (4)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b .( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________． (2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是________． (3)如图所示，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，化简下列向量的表达式：①AA 1→－CB →＝________. ②AB 1→＋B 1C 1→＋C 1D 1→＝________. ③12AD →＋12AB →－12A 1A →＝________.(4)(教材改编P 86T 3)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示向量MN →，则MN →＝________.答案 (1)球面 (2)BD 1→ (3)①AD 1→②AD 1→③12AC 1→(4)12AB →＋12AD →＋12AA 1→解析 (4)MN →＝MB →＋BC →＋→＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋BB 1→)＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1→)＝12AB →＋12AD→＋12AA 1→.探究1 空间向量的概念 例1 给出下列命题：①两个相等的向量，若它们的起点相同，则终点必相同； ②在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ③若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤只有零向量的模为0. 其中假命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析]①真命题．根据向量相等的定义，两个相等的向量若起点相同，终点必相同，只有这样才能保证它们的方向和大小都相同．②真命题．根据正方体的性质，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AC →与A 1C 1→的方向相同，模长也相等，应有AC →＝A 1C 1→.③真命题．向量的相等满足传递规律．④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，故不一定相等． ⑤真命题．根据零向量的定义可知． [答案] A 拓展提升处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系(1)两个要素判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可． (2)两个关系①模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．②向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．但向量的模是可以比较大小的．【跟踪训练1】 (1)给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a ，b 满足|a |＞|b |且a ，b 同向，则a ＞b ；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④向量BA →与向量AB →的长度相等．其中正确命题的序号为________． 答案 ④解析 ①错误，方向相反且长度相等的两个向量是相反向量；②错误，向量不能比较大小；③错误，如BA →≠AB →但|BA →|＝|AB →|，④正确．(2)给出下列命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若a ＝0，则－a ＝0；③|－a |＝|a |，其中正确命题的序号是________．答案 ②③解析 ①错误，若|a |＝0，则a ＝0；②正确．③正确． 探究2 空间向量的加减运算例2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量BD 1→的是( )①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ [解析]①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝A 1D 1→＋AA 1→＋BA →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC →＋BB 1→＋C 1D 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→＝BD →＋D 1D →＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→； ④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→＝B 1D 1→＋AA 1→＋DD 1→＝B 1D 1→＋BB 1→＋DD 1→＝BD 1→＋DD 1→≠BD 1→.因此，①②两式的运算结果为向量BD 1→，而③④两式的运算结果不为向量BD 1→.故选A. [答案] A[结论探究] 例2条件下，判断下列各式中运算结果为向量AC 1→的有哪些？ ①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→－B 1A 1→)＋B 1C 1→. 解 ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→－B 1A 1→)＋B 1C 1→＝(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→. 故①②③④式运算结果都是向量AC 1→. 拓展提升、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．2．化简空间向量的常用思路(1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简．(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)．【跟踪训练2】 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )A.EF →＋GH →＋PQ →＝0B.EF →－GH →－PQ →＝0 C.EF →＋GH →－PQ →＝0 D.EF →－GH →＋PQ →＝0 答案 A解析 EF →＋GH →＋PQ →＝AF →－AE →＋CH →－CG →＋D 1Q →－D 1P →＝0.探究3 空间向量证明题 例3 在如图所示的平行六面体中．求证：AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.[证明]∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′→＝AB →＋AA ′→，AD ′→＝AD →＋AA ′→.∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)＝2(AB →＋AD →＋AA ′→)， 又∵AA ′→＝CC ′→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→， ∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→. 拓展提升空间向量证明题的注意点利用三角形法则或平行四边形法则进行证明，一定要注意和(差)向量的方向．必要时利用空间向量可自由平移，使作图容易．【跟踪训练3】 借助平行六面体，证明：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．证明 作平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′使AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，如图，则：(a ＋b )＋c ＝(AB →＋AD →)＋AA ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→，a ＋(b ＋c )＝AB →＋(AD →＋AA ′→)＝AB →＋(BC →＋CC ′→)＝AB →＋BC ′→＝AC ′→，所以(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．，向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反. ，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加、减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行.，一定要抓住向量的起点与终点，否则容易导致结果计算错误．如AB →－AD →，误写成BD →，应为DB →.1．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝b B ．a ＋b 为实数0 C ．a 与b 方向相同 D ．|a |＝3 答案 D解析 因为a ，b 互为相反向量，所以a ＝－b ，a ＋b ＝0，a 与 b 方向相反，|a |＝|b |＝3.2．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD → B.AB →－DC →＋BC →＝AD → C.AD →＝AB →＋BC →＋DC → D.BC →＝BD →－DC → 答案 B解析 AB →－DC →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.3．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．空间四边形 B ．平行四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形答案 B解析 ∵AO →＋OB →＝AB →，DO →＋OC →＝DC →， ∴AB →＝DC →，∴线段AB ，DC 平行且相等， ∴四边形ABCD 是平行四边形．4．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则在下列各结论中正确结论的序号为________． ①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量； ④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量． 答案 ①③④解析 下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AD ，B 1C 1的中点，则由向量运算的平行四边形法则，知OA →＋OD →＝2OE →，OB 1→＋OC 1→＝2OF →，又OE →＝－OF →，所以命题①正确．由于OB →－OC →＝CB →，OA 1→－OD 1→＝D 1A 1→，所以OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是两个相等的向量，所以命题②是不正确的． 同理可得命题③④是正确的．5．下图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量中，(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量； (3)试写出与AB →相等的所有向量；(4)试写出AA 1→的相反向量．解 (1)由于AA 1＝1，所以AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，所以模为5的向量为AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→.(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)为A 1B 1→，DC →，D 1C 1→. (4)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →.。
高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算课件新人教A版选修2_1
[解] O→G＝O→M＋M→G ＝12O→A＋23M→N ＝12O→A＋23(M→A＋A→B＋B→N) ＝12O→A＋2312O→A＋O→B－O→A＋21B→C ＝12O→A＋23O→B－12O→A＋12（O→C－O→B） ＝16O→A＋13O→B＋13O→C＝16a＋13b＋13c.
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A， 终点是 B，也可记作： A→B ，其模记为 |a| 或 |A→B| ．
2．几类常见的空间向量
名称
方向
零向量
_任__意__
单位向量
任意
相反向量
_相__反__
相等向量
相同
模 _0__ _1 _
相等
相__等__
记法 _0 _
a 的相反向量：__－__a__ A→B的相反向量：_B→_A_ a＝b
2．利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三 角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性 质．
2.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别 是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝ 2GN，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用a，b，c表 示向量O→G.
空间向量的线性运算 【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.5空间向量运算的坐标表示a21
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若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，
即(5,3,1)＝λ－2，t，－25，
5＝λ－2， 所以3＝λt，
1＝λ－25，
所以t＝－65，
故t的取值范围是－∞，－65∪－65，5125.
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[感悟提高] a，b的夹角是钝角与a·b<0并不等价，a·b<0中包含着〈a，b〉＝ 180°的情形，〈a，b〉＝180°的情形可利用a＝λb(λ<0)，也可利用a·b＝－|a|·|b|， 即cos〈a，b〉＝－1求得，同样a·b>0也包含着〈a，b〉＝0°的情形，解题时应 把这种情况剔除.
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[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系O-xyz. (1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)， ∴|B→N|＝ 1－02＋0－12＋1－02＝ 3. (2)依题意得A1(1,0,2)，B(0，1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)． ∴B→A1＝(1，－1,2)，C→B1＝(0,1,2)，B→A1·C→B1＝3， |B→A1|＝ 6，|C→B1|＝ 5， ∴12/1c2/o20s21〈B→A1，C→B1〉＝|BB→→AA11|··C|C→→BB11|＝ 1300.
54 3×6
3＝1，
∵〈O→A，O→B〉∈[0，π]，∴〈O→A，O→B〉＝0.
∴〈O→A，B→O〉＝π. 12/12/2021
答案：B
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3．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两个点A，B的坐标
分别为A(1,2,2)，B(2，－2,1)，则|AB|等于( )
2020学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.5空间向量运算的坐标表示
2019-2020学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.5 空间向量运算的坐标表示课后课时精练新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019-2020学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.5 空间向量运算的坐标表示课后课时精练新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
1.5 空间向量运算的坐标表示A级：基础巩固练一、选择题1．已知A(3，3，3),B(6，6,6),O为原点，则错误!与错误!的夹角是( ）A．0 B．π C.π2D.错误!答案B解析∵OA→·错误!＝3×6＋3×6＋3×6＝54，且|错误!|＝3错误!，｜错误!｜＝6错误!，∴cos〈错误!，错误!〉＝错误!＝1。
∵<错误!，错误!〉∈[0，π],∴〈错误!，错误!〉＝0，∴〈错误!，错误!>＝π。
2．已知向量a＝(0，－1，1），b＝（4，1，0)，｜λa＋b｜＝错误!，且λ＞0，则λ＝（）A．2 B．3 C．4 D．5答案B解析由题意，得λa＋b＝（4，1－λ,λ)．因为｜λa＋b｜＝29，所以42＋（1－λ）2＋λ2＝29,整理得λ2－λ－6＝0.又λ＞0,所以λ＝3。
3．已知点A(1，－2,11）,B(4,2，3)，C(6，－1,4）,则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形答案C解析∵错误!＝（3，4，－8）,错误!＝（5，1，－7)，错误!＝(2，－3，1），∴｜错误!|＝错误!＝错误!，｜错误!｜＝错误!＝错误!，|错误!｜＝错误!＝错误!,∵｜错误!|2＋｜错误!｜2＝75＋14＝89＝|错误!|2。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.5空间向量运算的坐标表示新人教A版选修
解析： (1)2a＋3b＝(4,2,12)＋(－24，－9,6) ＝(－20，－7,18)． (2)3a－4b＝3(2,1,6)－4(－8，－3,2) ＝(6,3,18)－(－32，－12,8) ＝(38,15,10)． (3)12b·a＝12(－8，－3,2)·(2,1,6) ＝－4，－32，1·(2,1,6)＝－8－32＋6＝－72.
x＋1＝－2－2x －3，z－1)＝2(－1－x,3－y,4－z)，则y－3＝6－2y ，
z－1＝8－2z
解得xy＝ ＝－ 3 1 z＝3
，即 P(－1,3,3)，
则|P→D|＝ －1－12＋3－12＋3－12＝ 12＝2 3.
答案： 2 3
4．设向量 a＝(2,1,6)，b＝(－8，－3,2)，计算： (1)2a＋3b；(2)3a－4b；(3)12b·a.
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空间向量的坐标运算
已知a＝(－2,0，－5)，b＝(3,2， －1)，求下列各式的值：
(1)a·a； (2)|b|； (3)(3a＋2b)·(a－b)． 思路点拨： 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的 加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标 乘积的和．
(1)a·a＝a2＝(－2)2＋02＋(－5)2＝29； (2)|b|＝ b2＝ 32＋22＋－12＝ 14； (3)方法一：3a＋2b＝3(－2,0，－5)＋2(3,2，－1)＝(0,4， －17)，a－b＝(－2,0，－5)－(3,2，－1)＝(－5，－2，－4)， 所以(3a＋2b)·(a－b)＝(0,4，－17)·(－5，－2，－4)＝ 0×(－5)＋4×(－2)＋(－17)×(－4)＝60.
空间中向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)， 则
河北省邢台市高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课
3.1.4.空间向量的正交分解及其坐标表示一、选择题1.在下列命题中：①若向量,a b →→共线，则,a b →→所在的直线平行；②若向量,a b →→所在的直线是异面直线，则,a b →→一定不共面；③若三个向量,a b c →→→，两两共面，则,a b c →→→，三个向量一定也共面；④已知三个向量,a b c →→→，，则空间任意一个向量p →总可以唯一表示为p x a y b z c →→→→=++. 其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32.已知M 、N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，P 点在线段MN 上，且MP=2PN ，设=，=，=，则=（ ） A ．++ B ．++ C ．++ D ．++3.{},,a b c r r r 是空间的一个单位正交基底，p u r 在基底{},,a b c r r r 下的坐标为(2,1,5)，则p u r 在基底{},,a b b c a c +++r r r r r r 下的坐标为（ ） A ．(1,2,3)- B ．(1,2,3)- C ．(1,2,3)- D ．(3,2,1)-4.有以下命题： ①如果向量b a ,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么b a ,的关系是不共线； ②,,,O A B C 为空间四点，且向量OC OB OA ,,不构成空间的一个基底，则点,,,O A B C 一定共面；③已知向量c b a ,,是空间的一个基底，则向量c b a b a ,,-+也是空间的一个基底.其中正确的命题是 （ ）A.①②B.①③C.②③D.①②③5.在四面体O ABC -中，点P 为棱BC 的中点. 设OA =u u u r a , OB =u u u r b ，OC =u u u r c ，那么向量AP u u u r 用基底{,,}a b c 可表示为（ ）A ．111222-+a +b cB ．1122-+a +b cC ．1122+a +b cD ．111222+a +b c 6.已知O 、A 、B 、C 为空间不共面的四点，且向量OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r a ，向量OA OB OC =+-u u u r u u u r u u u r b ，则与a 、b 不能构成空间基底的是( )A.OA u u u rB.OB uuu rC.OC u u u rD.OA u u u r 或OB uuu r7.下列命题中①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②不等式|a ＋b |＜|a |＋|b |的充要条件是a 与b 不共线；③若非零向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ、μ∈R ，且λμ≠0)，则c ⊥d .正确命题的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．38.有下列命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面；②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b .③若，则P ，M ，A 、B 共面；④若P ，M ，A ，B 共面，则.其中真命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4二．填空题 9.设{},,i j k 是空间向量的一个单位正交基底，245=-+a i j k ，2=+-b i j 3k ，则向量a ，b 的坐标分别是____________.10.如图，点M 为OA 的中点，以{，，}为基底，＝x ＋y ＋z ，则实数对(x ，y ，z)＝________.11.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{，，}为基底，则＝________.12.对于以下命题： ①a b a b -=+r r r r 是,a b r r 共线的充要条件；②对空间任意一点O 和不共线的三点A ．B ．C ，若2OP OA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r u u u r ，则P 、A ．B ．C四点共面．③如果0<⋅b a ,那么a 与b 的夹角为钝角④若{},,a b c r r r 为空间一个基底，则{},,a b b c c a +++r r r r r r 构成空间的另一个基底； ⑤若23,246m a b c n a b c =-+=-+-u r r r r r r r r ，则//m n u r r ．其中不正确结论的序号是_______．三、解答题13.如图所示，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设＝a ，＝b ，＝c ，试用向量a 、b 、c 表示向量.14.已知3个向量,,a b c r r r 不共面，并且p a b c =+-u r r r r ，235q a b c =--r r r r ，71822r a b c =-++r r r r ，试问,,p q r u r r r 是否共面？15.设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k ,试问是否存在实数λμν，，,使4123a a a a λμν=++成立？如果存在,求出λμν，，;如果不存在,请写出证明.。
河北省邢台市高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1
3.1.3.空间向量的数量积运算一．选择题1.下列说法正确的是( ) （1）空间任意两个向量都是共面的 （2）平行于同一个平面的向量叫共面向量 （3）对于a,b,c,由a ⋅b = a ⋅c 得b = c (4) 向量a,b,c 满足(a ⋅b )⋅c =a ⋅ (b ⋅c ) A.(1）（2） B.(1) (3) C.(2)(4) D.(3)(4)2.在四面体ABCD 中， ,E G 分别是,CD BE 的中点，若AG x AB y AD z AC =++，则x y z ++=（ ）A.13 B. 12C. 1D. 2 3.如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中,M ,N ,P 分别是棱1CC ,BC ,11B A 上的点，若︒=∠901MN B 则PMN ∠的大小是（ ） A.等于︒90 B.小于︒90 C.大于︒90 D.不确定4.如图，在平行六面体ABCD﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若A 1A=3，且∠A 1AB=∠A 1AD=60°则A 1C 的长为（ ）A. B. C. D.5．已知()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，则向量AB AC 与的夹角为( )A.030B.045C.060D.0906.设,,,A B C D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0AB AC AC AD AB AD ⋅=⋅=⋅=，则BCD ∆是（ ）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定7.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都为1，点E F 、分别是AB AD 、的中点，则EF DC ⋅等于（ ） A.41 B.43 C.43- D.41- 8.已知空间中四个不共面的点O A B C 、、、，若OB OC =，且cos ,cos ,OA OB OA OC =，则sin ,OA BC 的值为（ ）A ．1B ．12C二、填空题9.若b a c b a+===,2,1且a c⊥则向量a与b的夹角 . 10．已知,是空间二向量，若与则,7||,2||,3||=-==的夹角为 .11.已知正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的棱长为1，设，则= ．三、解答题12.如图所示，已知空间四边形ABCD ，连结AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简(1)＋＋，(2)＋＋，并标出化简结果的向量．13.三棱柱111C B A ABC -中，N M 、分别是B A 1、11C B 上的点，且12BM A M =，112C N B N =．设AB =a ，AC =b ，1AA =c .（1）试用,,a b c 表示向量MN ；（2）若 90=∠BAC ，1160BAA CAA ∠=∠=，11AB AC AA ===，求MN 的长.14.在△ABC 中.(1) 若2,45,60AC AB AD BC D BAD DAC ︒==⊥∠=∠=︒于，且||2,|AC AB AD BC D BADDAC ︒==⊥∠=∠=︒于，, 求BD ·AC , ·AC .(2) 如果(1)的条件下△ABC 中, PQ 是以A 为圆心为半径的圆的直径, 求CQ BP ⋅的最大值,并指出取最大值时向量PQ 与BC 的夹角.。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.5空间向量运算的坐标表示a21a高二21数学
,- ,
8
8
4
2 4
6
6
所以OG ·BE = − + 0 + = 0.
32
32
所以OG ⊥ BE, 即OG⊥BE.
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,
题型一
题型二
题型三
题型四
反思结合题目建立适当的空间直角坐标系,先写出所需点的坐标,
求出向量坐标,再利用坐标的运算对向量进行证明和求解运算.
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解析:(-1,-7,5)·a=-1-14+15=0,(-1,-7,5)·b=-3-7+10=0.
答案:C
【做一做1-2】 已知a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则b=(
)
A.(2,-4,2)
B.(-2,4,-2)
C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3)
解析:b=(a+b)-a=(-2,4,-2).
明.在第(3)问的证明过程中,要充分利用共线向量的知识,不直接设
出点 G 的坐标,而是设 的坐标,这样就出现一个未知量,便于求解.
12/13/2021
题型一
题型二
题型三
题型四
解:如图,连接 SO,AC,OB,以 O 为原点,以, ,
所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系.
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1.掌握空间向量的坐标运算.
2.会根据向量的坐标,判断两个向量共线或垂直.
3.掌握向量的长度,两个向量的夹角和两点间的距离公式.
12/13/2021
1.空间向量的坐标运算
若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
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3.1.5空间向量运算的坐标表示
一．选择题
1.若向量(),4,5a x =， ()1,2,2b =-，且a 与b 的夹角的余弦值为26，则x =（ ） A.3 B.3- C.11- D. 3或11-
2.已知长方体1111ABCD A B C D -，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
A.11AD B C ⋅
B.1BD AC ⋅
C.1AB AD ⋅
D.1BD BC ⋅
3.如图，在空间直角坐标系中，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，11141B A EB =，则点E 的坐标为( )
A ．11,,14⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．31,,14⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．11,,14⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．11,,14⎛⎫- ⎪⎝⎭
4.若向量、的坐标满足)2,1,2(--=+，)2,3,4(--=-，则· 等于
（ ） A ．5 B ．5- C ．7 D ．1-
5.已知向量)0,1,1(=，)2,0,1(-=，且k +与-2互相垂直，则k 的值是（ ）
A ．1
B ．51
C ．53
D ．5
7 6.若()()0,1,1,1,1,0a b =-=且()
a b a λ+⊥，则实数λ的值是（ ）
A ．-l
B ．0
C ．1
D ．-2
7.已知(1,0,1),(,,4),(1,4,7)A B x y C -，且A ，B ，C 三点在同一条直线上，则实数,x y 分别等于（ ）
A ．0,1x y ==
B ．0,2x y ==
C ．1,1x y ==
D ．1,2x y ==
8.如图,已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2,且1A A ⊥底面ABC ,D 为AB 的中 点,G 为1ABC ∆的重心,则||CG 的值为( )
A.43
B.223
C. 233
D.2
二．填空题
9.若(2,3,1)a =-，(2,1,3)b =-，则,a b 为邻边的平行四边形的面积为 ．
10.如图，BC ＝4，原点O 是BC 的中点，点点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝
90°，∠DCB ＝30°，则AD 的长度为 .
11.已知向量a ),3,1,2(-= b ),2,4(x -=，若⊥a b ，则=x ____；若a ∥b ,则=x ____.
12.已知a = (1，1，0)，b =(1，1，1),若b = m +n ，且m ∥a ，n ⊥a ，则m = ，n = .
三．解答题
13.已知O ，A ，B ，C 四点的坐标分别是(0，0，0)，(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，
3)，求P 点坐标，分别满足：(1)
＝ (－)；(2) ＝ (－)．
14.已知直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=，11,2,,AB BC AA P Q ===分别为111,A B A A 的中点．
求1cos ,BQ CB ，11cos ,BA CB ；
求1AB 与1C P 的夹角的余弦值．
15.若a＝(1,5,－1)，＝(－2,3,5)
（1）若(k a+b)∥(a－3b)，求实数k的值；（2）若(k a+b)⊥(a－3b)，求实数k的值；。