人教B版(理科数学) 平面向量名师精编单元测试
平面向量单元测试题及答案
平面向量单元测试题（一）2一，选择题：1，下列说法中错误的是 （ ）A ．零向量没有方向B ．零向量与任何向量平行C ．零向量的长度为零D ．零向量的方向是任意的2，下列命题正确的是 （ ）A. 若→a 、→b 都是单位向量，则 →a ＝→bB . 若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形C. 若两向量→a 、→b 相等，则它们是始点、终点都相同的向量D. AB 与BA 是两平行向量3，下列命题正确的是 （ ）A 、若→a ∥→b ，且→b ∥→c ，则→a ∥→c 。
B 、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。
C 、向量AB 的长度与向量BA 的长度相等,D 、若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线。
4，已知向量(),1m =a ，若，a=2，则m =（ ）A ．3 C. 1± D.3±5，若→a =（1x ，1y ），→b =（2x ，2y ），，且→a ∥→b ，则有（ ）A ，1x 2y +2x 1y =0，B ， 1x 2y ―2x 1y =0，C ，1x 2x +1y 2y =0，D ， 1x 2x ―1y 2y =0，6，若→a =（1x ，1y ），→b =（2x ，2y ），，且→a ⊥→b ，则有（ ）A ，1x 2y +2x 1y =0，B ， 1x 2y ―2x 1y =0，C ，1x 2x +1y 2y =0，D ， 1x 2x ―1y 2y =0，7，在ABC ∆中，若=+，则ABC ∆一定是 （ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定8，已知向量,,a b c 满足||1,||2,,a b c a b c a ===+⊥，则a b 与的夹角等于 （ ）A ．0120B 060C 030D 90o二，填空题：（5分×4=20分）9。
已知向量a 、b 满足==1，a 3-=3，则a +3=10，已知向量a ＝（4，2），向量b ＝（x ，3），且a //b ,则x ＝11，.已知 三点A(1,0),B(0,1),C(2,5),求cos ∠BAC =12，.把函数742++=x x y 的图像按向量a 经过一次平移以后得到2x y =的图像， 则平移向量a 是（用坐标表示）三，解答题：（10分×6 = 60分）13，设),6,2(),3,4(21--P P 且P 在21P P =,，则求点P的坐标14，已知两向量),1,1(,),31,,31(--=-+=b a 求a 与b 所成角的大小，15，已知向量a =（6，2），b =（－3，k ），当k 为何值时，有（1），a ∥b ?（2），a ⊥b ?（3），a 与b 所成角θ是钝角？16，设点A （2，2），B （5，4），O 为原点，点P 满足OP =OA +AB t ，（t 为实数）；（1），当点P 在x 轴上时，求实数t 的值；（2），四边形OABP 能否是平行四边形？若是，求实数t 的值 ；若否，说明理由， 17，已知向量OA =（3, －4）, OB =（6, －3）,OC =（5－m, －3－m ）,（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件；（2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．18，已知向量.1,43),1,1(-=⋅=n m m n m 且的夹角为与向量向量π（1）求向量n ；（2）设向量)sin ,,(cos ),0,1(x x b a ==向量，其中R x ∈， 若0=⋅a n ，试求||b n +的取值范围.平面向量单元测试题2答案：一，选择题：A D C D B C C A二，填空题： 9，23； 10，6； 11，13132 12，)3,2(- 三，解答题：13，解法一：设分点P （x,y ），∵P P1=―22PP ，λ=―2 ∴ (x ―4,y+3)=―2(―2―x,6―y),x ―4=2x+4, y+3=2y ―12, ∴ x=―8,y=15,∴ P(―8,15)解法二：设分点P （x,y ），∵P P1=―22PP ， λ=―2 ∴ x=21)2(24---=―8,y=21623-⨯--=15, ∴ P(―8,15)解法三：设分点P （x,y ），∵212PP P P =,∴―2=24x+, x=―8,6=23y+-, y=15, ∴ P(―8,15)14，解：a=22, b =2 , cos ＜a ,b ＞=―21, ∴＜a ,b ＞=1200， 15，解：（1），k=－1; (2), k=9; (3), k ＜9,k ≠－116，解：（1），设点P （x ，0），AB =(3,2),∵OP =OA +AB t ，∴ (x,0)=(2,2)+t(3,2),⎩⎨⎧+=+=,22032,t t x 则由∴⎩⎨⎧-=-=,11t x 即(2),设点P （x,y ），假设四边形OABP 是平行四边形，则有OA ∥BP , ⇒ y=x ―1,OP ∥AB ⇒ 2y=3x ∴⎩⎨⎧-=-=32y x 即……①,又由OP =OA +AB t ，⇒(x,y)=(2,2)+ t(3,2),得 ∴⎩⎨⎧+=+=t y t x 2223即……②,由①代入②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2534t t ，矛盾，∴假设是错误的， ∴四边形OABP 不是平行四边形。
(完整版)平面向量单元测试卷及答案
《平面向量》单元测试卷一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列命题中的假命题是（ ） A 、→-→-BA AB 与的长度相等； B 、零向量与任何向量都共线； C 、只有零向量的模等于零；D 、共线的单位向量都相等。
2．；；④；③∥；②是单位向量；①是任一非零向量，若1|b |0|a |b a |b ||a |b a ±=>>→→→→→→→→），其中正确的有（⑤→→→=b a a|| A 、①④⑤B 、③C 、①②③⑤D 、②③⑤3．首尾相接能，，；命题乙：把命题甲：是任意三个平面向量，，，设→→→→→→→→→→=++c b a 0c b a c b a 围成一个三角形。
则命题甲是命题乙的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、非充分也非必要条件 4．）的是（下列四式中不能化简为→-AD A 、→-→-→-++BC CD AB ）（B 、）（）（→-→-→-→-+++CD BC MB AM C 、）（）（→-→-→-→--++CB AD AB ACD 、→-→-→-+-CD OA OC5．），则（），（，），（设21b 42a -=-=→→A 、共线且方向相反与→→b a B 、共线且方向相同与→→b a C 、不平行与→→b aD 、是相反向量与→→b a6．如图1，△ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 和AB 的中点，G 是△ABC 中的重心，则下列各等式中不成立的是（ ）A 、→-→-=BE 32BG B 、→-→-=AG 21DG C 、→-→--=FG 2CGD 、→-→-→-=+BC 21FC 32DA 31图17．）（，则锐角∥，且），（，），（设=-+=--=→→→→θθθb a 41cos 1b cos 12aA 、4πB 、6πC 、3πD 、36ππ或 8．）所成的比是（分，则所成比为分若→-→--CB A 3AB C A 、23-B 、3C 、32-D 、-29．）的范围是（的夹角与，则若θ→→→→<⋅b a 0b a A 、)20[π，B 、)2[ππ，C 、)2(ππ，D 、]2(ππ，10．→→→→→→→→b a 4a b 3b a b a 的模与，则方向的投影为在，方向的投影为在都是非零向量，若与设 的模之比值为（ ） A 、43B 、34 C 、73 D 、74二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 11．。
高中数学 第六章 平面向量初步单元测试卷知识基础练(含解析)新人教B版必修第二册-新人教B版高一必修
第六章单元测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．共线向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量2．若O(0,0)，B(－1,3)，且OA →＝3OB →，则点A 的坐标为( ) A ．(3,9) B ．(－3,9)C ．(－3,3)D ．(3，－3)3．点O 为正六边形ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是( ) A .OA →，BC →B .OA →，CD → C .AB →，CF →D .AB →，DE →4．如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →等于( )A .CD →B .OC → C .DA →D .CO →5．若A(x ，－1)，B(1,3)，C(2,5)三点共线，则x 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．36．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa ＋b 与c 共线，则实数λ等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．27．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则P 的轨迹一定过△ABC 的( )A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心8．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( )A.19B.13C ．1D ．3 二、多项选择题(本题共4小题，毎小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题不正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，则a 与c 是共线向量C ．|a ＋b |＝|a －b |，则a ⊥bD ．若a 与b 是单位向量，则|a |＝|b |10．已知a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，若a ＋k b 与a －k b 互相垂直，则实数k ＝( ) A. 5 B.55 C ．－ 5 D ．－5511．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC 与BD 交于M ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则下列结论正确的是( )A.AC →＝12a ＋bB.BC →＝－12a ＋bC.BM →＝－13a ＋23bD.EF →＝－14a ＋b12．如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) A ．λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个C ．若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)D ．若实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．如图，直线l 上依次有五个点A ，B ，C ，D ，E ，满足AB ＝BC ＝CD ＝DE ，如果把向量AB →作为单位向量e ，那么直线上向量DA →＋CE →＝________.(结果用单位向量e 表示)14．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(λ，－1)，则|a |＝________，若a ∥b ，则λ＝________.(本题第一空2分，第二空3分)15．已知直角坐标平面内的两个向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)，使得平面内的任意一个向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋b ，则m 的取值X 围是________．16．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知点A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c . (1)求3a ＋b ；(2)当向量3a ＋b 与b ＋k c 平行时，求k 的值．18．(12分)如图所示，已知在△OAB 中，点C 是以A 为对称中心的B 点的对称点，点D 是把OB →分成2:1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，某某数λ的值．19．(12分)已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD→的坐标．20．(12分)已知两个非零向量a 和b 不共线，OA →＝2a －3b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝k a ＋12b . (1)若2OA →－3OB →＋OC →＝0，求k 的值； (2)若A ，B ，C 三点共线，求k 的值．21．(12分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，(1)用OA →，OB →表示OC →；(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形．22．(12分)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，某某数k ；(3)设d ＝(x ，y )满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝1，求向量d .第六章单元测试卷1．解析：由题图可知OB →，OC →，AO →是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C. 答案：C2．解析：OA →＝3(－1,3)＝(－3,9)，根据以原点出发的向量终点坐标等于向量坐标，所以点A 的坐标为(－3,9)，故选B.答案：B3．解析：由题图可知，OA →与BC →，AB →与CF →，AB →与DE →共线，不能作为基底向量，OA →与CD →不共线，可作为基底向量．答案：B4．解析：OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OB →＋BC →＝OC →. 答案：B5．解析：AB →∥BC →，(1－x,4)∥(1,2)，2(1－x )＝4，x ＝－1，故选B. 答案：B6．解析：由题中所给图像可得2a ＋b ＝c ，又λa ＋b 与c 共线，所以c ＝k (λa ＋b )，所以λ＝2.故选D.答案：D7．解析：令D 为线段BC 的中点，则OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)＝OA →＋2λAD →，则AP →＝2λAD →，故A ，D ，P 三点共线，则点P 的轨迹过△ABC 的重心．答案：D 8．解析：如图，因为AN →＝12NC →，所以AN →＝13AC →，AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23AN →，因为B ，P ，N 三点共线， 所以m ＋23＝1，所以m ＝13，故选B. 答案：B9．解析：单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当b ＝0时，a 与c 可以为任意向量；|a ＋b |＝|a －b |，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直．故选AB.答案：AB10．解析：a 2＝5，b 2＝25，且a ＋k b 与a －k b 垂直，∴(a ＋k b )(a －k b )＝a 2－k 2b 2＝5－25k 2＝0，解得k ＝±55.故选BD.答案：BD11．解析：由题意可得，AC →＝AD →＋DC →＝b ＋12a ，故A 正确；BC →＝BA →＋AC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故B 正确；BM →＝BA →＋AM →＝－a ＋23AC →＝－a ＋23b ＋a ×13＝23b －23a ，故C 错误；EF →＝EA →＋AD →＋DF →＝－12a ＋b ＋14a ＝b －14a ，故D 正确．答案：ABD12．解析：由平面向量基本定理可知，A ，D 是正确的．对于B ，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C ，当两个向量均为零向量时，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，或当λ1e 1＋μ1e 2为非零向量，而λ2e 1＋μ2e 2为零向量(λ2＝μ2＝0)，此时λ不存在．故选B ，C.答案：BC13．解析：由题意得，DA ＝3AB ，CE ＝2AB ，可得DA →＝－3AB →，CE →＝2AB →，故可得DA →＋CE →＝－3AB →＋2AB →＝－AB →＝－e ，故直线上向量DA →＋CE →的坐标为－1.答案：－114．解析：向量a ＝(－1,2)，b ＝(λ，－1)，则|a |＝(－1)2＋22＝5；当a ∥b 时，(－1)×(－1)－2λ＝0，解得λ＝12.故答案为：5，12.答案：51215．解析：根据平面向量基本定理知，a 与b 不共线，即2m －3－3m ≠0，解得m ≠－3.所以m 的取值X 围是{m ∈R |且m ≠－3}． 答案：{m |m ∈R 且m ≠－3}16．解析：连接AO (图略)，∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →.又∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，则m ＋n ＝2.答案：217．解析：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b ＝3(5，－5)＋(－6，－3)＝(9，－18)． (2)b ＋k c ＝(－6＋k ，－3＋8k )， ∵3a ＋b 与b ＋k c 平行，∴9×(－3＋8k )－(－18)×(－6＋k )＝0， ∴k ＝32.18．解析：(1)依题意，点A 是BC 中点，∴2OA →＝OB →＋OC →， 即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)若OE →＝λOA →，则CE →＝OE →－OC →＝λa －(2a －b )＝(λ－2)a ＋b . ∵CE →与DC →共线．∴存在实数k ，使CE →＝kDC →. ∴(λ－2)a ＋b ＝k ⎝⎛⎭⎫2a －53b ，解得λ＝45. 19．解析：设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0，所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)，(－2,0)， 从而CD →＝(－2，－4)．20．解析：(1)∵2OA →－3OB →＋OC →＝0，∴2(2a －3b )－3(a ＋2b )＋k a ＋12b ＝(1＋k )a ＝0，∵a ≠0，∴k ＋1＝0， ∴k ＝－1.(2)∵A ，B ，C 三点共线，∴BC →＝λAB →， ∴OC →－OB →＝λ(OB →－OA →)， ∴(k －1)a ＋10b ＝－λa ＋5λb ， ∵a ，b 不共线，∴由平面向量基本定理得，⎩⎪⎨⎪⎧k －1＝－λ，10＝5λ，解得k ＝－1.21．解析：(1)因为2AC →＋CB →＝0， 所以2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0， 2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0， 所以OC →＝2OA →－OB →.(2)证明：如图，DA →＝DO →＋OA →＝－12OB →＋OA →＝12(2OA →－OB →)．故DA →＝12OC →.故四边形OCAD 为梯形． 22．解析：(1)∵a ＝m b ＋n c ， ∴(3,2)＝(－m ＋4n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，∴⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89.(2)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，又a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴2(3＋4k )＋5(2＋k )＝0，即k ＝－1613.(3)∵d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)， 又(d －c )∥(a ＋b )，|d －c |＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝4＋55，y ＝1＋255或⎩⎨⎧x ＝4－55y ＝1－255.所以d ＝⎝⎛⎭⎫4＋55，1＋255或d ＝⎝⎛⎭⎫4－55，1－255.。
高中一年级下册数学 新人教B版届高三单元测试10必修4第二章《平面向量》
必修4第二章《平面向量》(本卷共150分，考试时间120分钟)一、选择题（ 12 小题，每小题 5分）1.a 与b 是非零向量，下列结论正确的是A ．|a |＋|b |＝|a ＋b |B ．|a |－|b |＝|a －b |C ．|a |＋|b |＞|a ＋b |D ．|a |＋|b |≥|a ＋b |解析：在三角形中，两边之和大于第三边，当a 与b 同向时，取“＝”号.答案：D2.在四边形ABCD 中，=，且||＝||，那么四边形ABCD 为A ．平行四边形B ．菱形C ．长方形D ．正方形解析：由＝可得四边形ABC D 是平行四边形，由||＝||得四边形ABCD 的一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形.答案：B3.已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（－2，1）、（3，4）、（－1，3），则第四个顶点D 的坐标为A ．（2，2）B ．（－6，0）C ．（4，6）D ．（－4，2）解析：设D （x ，y ），则＝（5，3），＝（－1－x ，3－y ），＝（x ＋2，y －1），＝（－4，－1）. 又∵∥，∥，∴5（3－y ）＋3（1＋x ）＝0，－（x ＋2）＋4（y －1）＝0，解得x ＝－6，y ＝0.答案：B4.有下列命题：①++＝0；②（a ＋b ）²c ＝a ²c ＋b ²c ；③若a ＝（m ，4），则|a |＝23的充要条件是m ＝7；④若的起点为A （2，1），终点为B （－2，4），则BA 与x 轴正向所夹角的余弦值是54.其中正确命题的序号是 A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④ 解析：∵AC AC BC AB 2=++，∴①错.②是数量积的分配律，正确.当m ＝－7时，|a |也等于23，∴③错. 在④中，＝（4，－3）与x 轴正向夹角的余弦值是54，故④正确.答案：C5.已知a ＝（－2，5），|b |＝2|a |，若b 与a 反向，则b 等于A ．（－1，25）B ．（1，－25） C ．（－4，10） D ．（4，－10）解析：b ＝－2a ＝（4，－10），选D.答案：D6.已知|a |＝8，e 是单位向量，当它们之间的夹角为3π时，a 在e 方向上的投影为 A ．43 B ．4 C ．42 D ．8＋23解析：由两个向量数量积的几何意义可知：a 在e 方向上的投影即：a ²e ＝|a ||e |cos 3π＝8³1³21＝4. 答案：B7.若|a |＝|b |＝1，a ⊥b 且2a ＋3b 与k a －4b 也互相垂直，则k 的值为A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：∵a ⊥b∴a ²b ＝0又∵（2a ＋3b ）⊥（k a －4 b ）∴（2a ＋3b ）²（k a －4 b ）＝0得2k a 2－12b 2＝0又a 2=|a |2=1，b 2=|b |2=1解得k ＝6.答案：B8.已知a ＝（3，4），b ⊥a ，且b 的起点为（1，2），终点为（x ，3x ），则b 等于A ．（－51,1511） B ．（－1511,51） C ．（－51,154） D ．（51,154） 解析：b ＝（x －1，3x －2）∵a ⊥b ，∴a ²b ＝0即3（x －1）＋4（3x －2）＝0，解得x ＝1511. 答案：C9.等边△ABC 的边长为1，＝a ，＝b ，＝c ，那么a ²b ＋b ²c ＋c ²a 等于A ．0B ．1C ．－21D ．－23 解析：由已知|a |＝|b |＝|c |＝1，∴a ²b ＋b ²c ＋c ²a＝cos120°＋cos120°＋cos120°＝－23. 答案：D10.把函数y ＝312-x 的图象按a ＝（－1，2）平移到F ′，则F ′的函数解析式为 A ．y ＝372+x B ．y ＝352-x C ．y ＝392-x D ． y ＝332+x 解析：把函数y ＝312-x 的图象按a ＝（－1，2）平移到F ′，则F ′的函数解析式为A ，即按图象向左平移1个单位，用（x ＋1）换掉x ，再把图象向上平移2个单位，用（y －2）换掉y ，可得y －2＝31)1(2-+x . 整理得y ＝372+x 答案：A11.已知向量e 1、e 2不共线，a ＝k e 1＋e 2，b ＝e 1＋k e 2，若a 与b 共线，则k 等于（ ）A ．±1B ．1C ．－1D ．0解析：∵a 与b 共线∴a ＝λb （λ∈R ），即k e 1＋e 2＝λ（e 1＋k e 2），∴（k －λ）e 1＋（1－λk ）e 2＝0∵e 1、e 2不共线.∴⎩⎨⎧=-=-010k k λλ 解得k ＝±1，故选A.答案：A12.已知a 、b 均为非零向量，则|a ＋b |＝|a －b |是a ⊥b 的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件解析：|a ＋b |＝| a －b |⇔（a ＋b ）2＝（a －b ）2⇔a ²b ＝0⇔a ⊥b .答案：C二、填空题（ 4小题，每小题 4分）13.如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点，＝a ，＝b ，则＝ .解析：-=＝b －a ， ∴＝3131=BC （b －a ）.答案：31（b －a ） 14.a 、b 、a －b 的数值分别为2，3，7，则a 与b 的夹角为 .解析：∵（a －b ）2＝7∴a 2－2a ²b ＋b 2＝7∴a ²b ＝3∴cos θ＝21||||=⋅b a b a ∴θ＝3π. 答案：3π 15.把函数y ＝－2x 2的图象按a 平移，得到y ＝－2x 2－4x －1的图象，则a ＝ . 解析：y ＝－2x 2－4x －1＝－2（x ＋1）2＋1∴y －1＝－2（x ＋1）2即原函数图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，∴a ＝（－1，1）.答案：（－1，1）16.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b ||a －b |的值是 . 解析：∵a ²b ＝|a ||b |cos 3π＝2³1³21＝1 ∴|a +b |2＝a 2＋2a ²b ＋b 2＝22＋2³1＋12＝7，|a －b |2＝a 2－2 a ²b ＋b 2＝22－2³1＋1＝3∴|a ＋b |2|a －b |2＝3³7＝21∴|a ＋b ||a －b |＝21. 答案：21三、解答题：（共74分）17.（本小题满分10分）已知A （4，1），B （1，－21），C （x ，－23），若A 、B 、C 共线，求x . 解：∵＝（－3，－23），＝（x －1，－1） 又∵AB ∥BC ∴根据两向量共线的充要条件得－23（x －1）＝3 解得x ＝－1.18.（本小题满分12分）已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －b ，c ⊥d ，求m 的值.解：a ²b ＝|a ||b |cos60°＝3∵c ⊥d ，∴c ²d ＝0即（3a ＋5b ）（m a －b ）＝0∴3m a 2＋（5m －3）a ²b －5b 2＝0∴27m ＋3（5m －3）－20＝0解得m ＝4229. 19.（本小题满分12分）已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.解：由已知，（a ＋3b ）²（7 a －5b ）＝0，（a －4b ）²（7a －2 b ）＝0，即7a 2＋16a ²b －15 b 2＝0 ①7a －30a ²b ＋8 b 2＝0 ②①－②得2a ²b ＝b 2代入①式得a 2＝b 2∴cos θ＝21||21||||22==⋅b b b a b a ， 故a 与b 的夹角为60°.20.（本小题满分12分）已知：在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AB 上的中线CD ＝m ，求证：a 2＋b 2＝21c 2＋2m 2. 证明：∵DC AD AC DC BD BC +=+=,，两式平方相加可得a 2＋b 2＝21c 2＋2m 2＋2（BD ²DC ＋AD ²DC ） ∵²＋²＝||||²cos BDC ＋||||cos CDA ＝0 ∴a 2＋b 2＝21c 2＋2m 2. 21.（本小题满分14分）设i 、j 分别是直角坐标系x 轴、y 轴上的单位向量，若在同一直线上有三点A 、B 、C ，且＝－2i ＋m j ，＝n i ＋j ，＝5i －j ，⊥，求实数m 、n 的值. 解：∵⊥，∴－2n ＋m ＝0 ①∵A 、B 、C 在同一直线上，∴存在实数λ使＝λ，＝－＝7i ＋［－（m ＋1）j ］＝－＝（n ＋2）i ＋（1－m ）j ，∴7＝λ（n ＋2）m ＋1＝λ（m －1）消去λ得mn －5m ＋n ＋9＝0② 由①得m ＝2n 代入②解得m ＝6，n ＝3；或m ＝3，n ＝23. 22.（本小题满分14分）如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，A 为圆心，直径P Q ＝2ｒ，问：当P 、Q 取什么位置时，²有最大值?解：²＝（-）²（-） ＝（-）²（－-）＝－r 2＋²+²设∠BAC ＝α，PA 的延长线与BC 的延长线相交于D ，∠PDB ＝θ，则²＝－r 2＋cb cos θ＋ra cos θ∵a 、b 、c 、α、r 均为定值，∴当cos θ＝1，即AP ∥BC 时，²有最大值.。
第六章 平面向量初步——高一数学人教B版(2019)必修第二册单元检测卷(B卷)(含解析)
第六章 平面向量初步——高一数学人教B 版(2019)必修第二册单元检测卷（B 卷）【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.向量( )A. B. C. D.2.已知平面内四个不同的点A ，B ，C ，D 满足( )C.2D.33.在如图所示的半圆中，AB 为直径，点O 为圆心，C 为半圆上一点，且，，则( )4.在中，已知，，是中线AD 上的一点，且，则点C 的坐标为( )A. B.C. D.5.一只鹰正以与水平方向成角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在水平地面上的影子的速度是，则鹰的飞行速率为()6.在中，AD 为BC 边上的中线，，则( )()AB OM BO MB +++=BC AB AC AM22BA DB DC =- =30OCB ∠=︒||2AB = ||AC =ABC △(2,3)A (6,4)B -(4,1)G -||2||AG GD =(4,2)-(4,2)--(4,2)-(4,2)30︒40m /s m /s m /s m /m /s ABC △2AE ED = BE =A. B. C. D.7.已知（其中k 是非零常数），则的形状一定是( )A.等边三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形8.已知中，，的最小值为( )二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是( )A.向量，能作为平面内所有向量的一组基底B.已知中，点P 为边AB 的中点，则必有C.已知，，若，则必有D.若G 是的重心，则点G 满足条件10.已知一平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则第四个顶点的坐标可以是( )A. B. C. D.11.在中，点D 在边AB 上，，E 是CD 的中点，则( )A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，若，则实数的值为___________.13.已知非零向量a ，b 满足_________.(0,3)(1,0)-(3,0)(4,3)-(5,3)-(4,3)(2,3)-|||||==-a b a b 5166AB AC-+1566AB AC -- 5166AB AC -- 1566AB AC-+ABC △||ACk BC AC -=ABC △ABC △AB AC ==2=min3()BC λλ+=∈R 2(1)AP AB AC μμ=+- μ≤≤|PQ 1(2,3)=-e 213,24⎛⎫=- ⎪⎝⎭e OAB △1()2OP OA OB =+()11,x y =a ()22,x y =b //a b 1221x y x y =ABC △GA GB CG ++=0ABC △2AD DB =BC AB AC=- 1233CD CA CB=+1132AE AB AC=+ 23AC CB CD=- (1,32)λ=-+m (,12)λλ=---n //m n λ=14.如图，在中，设，，的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P .若，则的值为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设向量a 与b 不共线.（1）若，，且与平行，求实数k 的值；（2）若，，，求证：A ，C ，D 三点共线.16.设，，.（1）试用a ，b 表示c ；（2）若，求实数k 的值，说明此时与c 是同向还是反向，并求.17.如图，在中，AD 是BC 边上的中线.（1）取BD 的中点M ，试用和表示.（2）若G 是AD 上一点，且，直线EF 过点G ，交AB 于点E ，交AC 于点F .若，（，），求的最小值.18.已知四边形ABCD 的顶点坐标为，，，且.（1）若点C 在第一象限，求实数的取值范围；（2）若点M 为直线AC 外一点，且，问实数为何值时，点P恰为四边ABC △AB = a AC =b AP AP m n =+a b m n +(1,2)=a (1,1)=-b 2k -a b 32-a b AB =- a b 32BC =+ a b 82CD =--a b (1,2)=a (1,1)=-b (5,4)=--c ()//k +a b c k +a b ||k +a b ABC △AB AC AM2AG GD =AE AB λ= AF AC μ=0λ>0μ>λμ+(4,1)A -(3,4)B (1,2)D -(0)AB DC λλ=>λ2355MP MA MC =+λ形ABCD 对角线的交点.19.如图，在等腰梯形ABCD 中，，，M 为线段BC 的中点，AM 与BD 交于点N ，P 为线段CD 上的一个动点.（1）用和表示；（3）设，求xy 的取值范围.//AB DC 222AB BC CD DA ===AB AD AM AC xDB y AP =+答案以及解析1.答案：B解析：向量，故选B.2.答案：D解析：，，即，，.3.答案：A解析：由得.因为C 为半圆上的点，所以，所以.故选A.4.答案：C解析：由题意知，点G 是的重心.设，则有解得故.故选C.5.答案：C解析：设鹰的飞行速度为，鹰在地面上的影子的速度为.因为鹰的运动方向与水平方向成.故选C.6.答案：A，所以.由已知可得，所以.故选A.()AB OM BO MB AB BO OM MB AB +++=+++=22BA DB DC =- 2()2BC CA DC CB DC ∴+=+- 3BC AC = 3||||BC AC ∴=||3||AC BC ∴= ||||OC OB =30ABC OCB ∠=∠=︒90ACB ∠=︒1||||12AC AB ==ABC △(,)C x y 264,3341,3xy ++⎧=⎪⎪⎨-+⎪=-⎪⎩4,2.x y =⎧⎨=-⎩(4,2)C -1v v 40m /s 30/s)ED = 13AE AD = 1()2AD AB AC =+151()666AB AC AB AB AC +-=-+7.答案：C解析：因为在（其中k 是非零常数），.又，，所以，即一定是等腰三角形.故选C.8.答案：C解析：设点O 为BC 上的一点，令，即，当时，取最小值3，此时根据勾股定理可得为等边三角形，当点O 为BC 的中点时建立如图所示的平面直角坐标系，则有，，，所以，，所以，，所以，故.因为，所以，则，ABC △||ACk BCAC -=(||AC k AC AB AC -=-k AB k AC +=+ 11||||k AB k ACAB AC ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ AB AC10||k k AC =+=||||AB AC =ABC △BO BC λ= AB BC AB BO AO λ+=+=AO BC ⊥||AOBO OC ==ABC (0,3)A (B C (3)AB =- 3)AC =-2(,6)AB μμ=-- (1)),3(1))AC μμμ-=---2(1),33)AP AB AC μμμ=+-=--,3)P μ-2BQ QA = 2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭2PQ μ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭.取最小值，9.答案：BC解析：对于A ，，故，共线，不能作为平面内所有向量的一组基底，故A 错误；对于B ，根据平面向量基本定理可知B 正确；对于C ，由向量共线定理可知C 正确；对于D ，若G 是的重心，则点G 满足条件，即，故D 错误.故选BC.10.答案：ACD解析：分别设点，，，第四个顶点为.若，即，则解得即；若，即，则解得即若，即，则解得即.故选ACD.11.答案：BCD解析：对于A ，由向量减法法则可知，故A 错误；对于B ，，故B 正确；对于C ，，而，所以，故C 正确；对于D ，，故D 正确.故选BCD.||PQ == μ≤≤=|PQ min ||PQ = 124=e e 1e 2e ABC △GA GB CG += 2GA GB CG CG ++= (0,3)A (1,0)B -(3,0)C (,)D x y AB DC = (1,3)(3,)x y --=--31,3,x y -=-⎧⎨-=-⎩4,3,x y =⎧⎨=⎩(4,3)D AC BD = (3,3)(1,)x y -=+13,3,x y +=⎧⎨=-⎩2,3,x y =⎧⎨=-⎩(2,3);D -AC DB = (3,3)(1,)x y -=---13,3,x y --=⎧⎨-=-⎩4,3,x y =-⎧⎨=⎩(4,3)D -BC AC AB =-2212()3333CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+111251223363AE AC CE AC CD AC CA CB AC CB ⎛⎫=+=+=++=+ ⎪⎝⎭CB AB AC =- 515111()636332AE AC CB AC AB AC AB AC =+=+-=+33()23AC BC BA BC BD BC CD CB CB CD =-=-=--=-12.答案：-1或解析：因为，，.，即，解得或的值为-1或解析：如图，设，，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则，.因为，所以，即为等边三角形，设其边长为1，则，解析：由题意可得，.因为，①，②所以联立①②解得.2AP QP = 2QB QR =122AB AQ QB AP QR =+=+=a 13-(1,32)λ=-+m (,1)2λλ=---n //m n 1(32)0λλλ+++=23410λλ++=1λ=-λ=λOA = a OB =b OC OA OB =+=+ a b BA OA OB =-=-a b ||||||==-a b a b BA OA OB ==OAB △||||1BA -== a b ||2+==a b ||||+==-a b a b 1322AC AP PC AP RP AP QP QR AP AP QR AP QR =+=+=+-=+-=-=b 2477AP =+ a b（2）证明见解析解析：（1）由，，得，.因为与平行，所以，解得（2）证明：因为，，，所以，所以.所以与共线，又因为有公共点C ，所以A ，C ，D 三点共线.16.答案：（1）（2）与c 反向，且解析：（1）设，依题意得，从而解得所以.（2）依题意得，而，由此时与c 反向，且，又M 为BD 的中点，所以.==n +=(1,2)=a (1,1)=-b 2(2,4)k k k -=+-a b 32(5,4)-=a b 2k -a b 32-a b 4(2)5(4)0k k +--=k =AB =- a b 32BC =+ a b 82CD =--a b 324AC AB BC =+=-++=+ a b a b a b 2CD AC =- AC CD32=-+c a b k +a b ||k +=a b x y =+c a b (5,4)(1,2)(1,1)(,2)x y x y x y --=+-=-+5,24,x y x y -=-⎧⎨+=-⎩3,2,x y =-⎧⎨=⎩32=-+c a b (1,2)k k k +=-+a b (5,4)=--c ()//k +a b ==54,33k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭a b ||k +==a b 1122AD AB AC =+1111113122222244AM AB AD AB AB AC AB AC ⎛⎫=+=++=+ ⎪⎝⎭（2）由，，（，），得，，所以.又因为E ，F ，G 三点共线，设，则，即，，则.18.答案：（1）（2）解析：（1）因为，，所以.设点C 的坐标为，，，则.由，得解得因为点C 在第一象限，所以，，解得故实数的取值范围是.（2）由，即因为，所以，又点P 恰为四边形ABCD 对角线的交点，所以，113μ+=1122()333333μλλμλμλμλμ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭=μ==μ+2AG GD = AE AB λ= AF AC μ=0λ>0μ>1AB AE λ= 1AC AF μ= 2211111133223333AG AD AB AC AB AC AE AF λμ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭EG mEF =()AG AE m AF AE -=- (1)AG m AE mAF =-+ 51,2⎛⎫⎪⎝⎭32λ=(4,1)A -(3,4)B (1,5)AB =-(,)x y 0x >0y >(1,2)DC x y =-+(0)AB DC λλ=> (1)1,(2)5,x y λλ-=-⎧⎨+=⎩11,5 2.x y λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩0x >0y >1λ<<λ51,2⎛⎫⎪⎝⎭2355MP MA MC =+ )3()MP MA MC MP -=-23AP PC = =(0)AB DC λλ=> //AB DC APB CPD ∽△△AP CP ==AB DC λ=（3）解析：（1）由向量的线性运算法则，可得，①.②因为M 为线段BC 的中点，所以，联立①②得，整理得.（2）由AM 与BD 交于点N ，得，由B ，N ，D 三点共线，设，则，，，解得.（3）由题意，可设，代入中并整理，可得.又，故得因为3142AM AB AD =+ 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦AM AB BM =+ AM AD DC CM =++ CM BM =- 322AM AB AD DC AB AD =++=+ 3142AM AB AD =+ 3134242t t AN t AM t AB AD AB AD ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ BN mBD = ()AN AB m AD AB -=- (1)AN m AB mAD =-+ 12t +=t =45AN AM = 4=102DP mAB m ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ AC xDB y AP =+ ()()()()AC x AB AD y AD DP x ym AB y x AD =-++=++- 12AC AD DC AB AD =+=+ 1,21,x ym y x ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩1,3.2(1)x y y m =-⎧⎪⎨=⎪+⎩0m ≤≤y ≤≤因为上单调递增，所以当时，，当时，综上，xy 的取值范围为.221(1)2xy y y y y y ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭31,2⎤⎥⎦1y =min ()0xy =32y =max ()xy =30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
人教版平面向量多选题单元达标测试综合卷学能测试试题
人教版平面向量多选题单元达标测试综合卷学能测试试题一、平面向量多选题1．Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =1，0PA PB PC PAPBPC++=，以下正确的是（ ） A ．∠APB =120° B ．∠BPC =120° C ．2BP =PC D ．AP =2PC【答案】ABCD 【分析】根据条件作几何图形，由向量的关系可得P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形，∠APB =∠BPC =∠APC =120°，进而可确定P 为Rt △ABC 的费马点，利用相似可确定BP 、 AP 、 PC 之间的数量关系. 【详解】在直线PA ，PB ，PC 上分别取点M ，N ，G ，使得|PM |=|PN |=|PG |=1， 以PM ，PN 为邻边作平行四边形PMQN ，则PM PN PQ +=， ∵0PA PB PC PAPBPC++=，即0PM PN PG ++=，即0PQ PG +=，∴P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形， ∴∠APB =∠BPC =∠APC =120°，故A 、B 正确； ∵AB =BC =1，∠ABC =90°， ∴AC =2，∠ACB =60°，在△ABC 外部分别以BC ､AC 为边作等边△BCE 和等边△ACD ，直线CP 绕C 旋转60°交PD 于P’，∴120CE CB ECA BCD CA CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，即ECA BCD ≅，故EAC BDC ∠=∠， EAC BDC CA CDPCA P CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪'∠=∠⎩，即CPA CP D '≅，故CP CP '=， ∴CPP '为等边三角形，120CP D CPA '∠=∠=︒，则B ，P ，D 三点共线，同理有A ，P ，E 三点共线， ∴△BPC ∽△BCD ，即12BP BC CP CD ==，即PC =2BP ，故C 正确， 同理：△APC ∽△ACB ，即AP ACCP BC==2，即AP =2PC ，故D 正确. 故选：ABCD.【点睛】关键点点睛：根据已知条件及向量的数量关系确定P 为Rt △ABC 的费马点，结合相似三角形及费马点的性质判断各项的正误.2．设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线x y e =和ln y x =上的动点，记12,I AQ AB I BP BA =⋅=⋅，则下列命题不正确的是（ ） A ．若12I I =，则()PQ AB R λλ=∈ B ．若12I I =，则AP BQ = C ．若()PQ AB R λλ=∈，则12I I = D ．若AP BQ =，则12I I =【答案】ABD 【分析】作出两个函数的图象，利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义分析可得答案. 【详解】根据题意，在直线AB 上取点,P Q ''，且满足||||AP BQ ''=，过,P Q ''分别作直线AB 的垂线，交曲线xy e =于1P ，2P ，交曲线ln y x =于12,Q Q ，在曲线xy e =上取点3P ，使13||||AP AP =，如图所示：1||||cos I AQ AB AQ AB QAB =⋅=⋅∠，令||cos ||AQ QAB AQ '∠=，则1||||I AQ AB '=⋅，2||||cos I BP BA BP BA PBA =⋅=⋅∠，令||cos ||BP PBA BP '∠=，则2||||I BP BA '=⋅，若||||AP BQ ''=，则||||AQ BP ''=，若12I I =，则||||AQ BP ''=即可，此时P 可以与1P 重合，Q 与2Q 重合，满足题意，但是()PQ AB R λλ=∈不成立，且||||AP BQ ≠，所以A 、B 不正确；对于选项C ，若PQ AB =λ，此时P 与1P 重合，且Q 与1Q 重合，或P 与2P 重合，且Q 与2Q 重合，所以满足12I I =，所以C 正确；对于D ，当P 与3P 重合时，满足13||||AP AP =，但此时3P 在直线AB 上的投影不在P '处，因而不满足||||AQ BP ''=，即12I I ≠，所以D 不正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义求解是解题关键.3．设向量(1,1)a =-，(0,2)b =，则（ ） A ．||||a b = B ．()a b a -∥C ．()a b a -⊥D ．a 与b 的夹角为4π【答案】CD 【分析】根据平面向量的模､垂直､夹角的坐标运算公式和共线向量的坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果. 【详解】对于A ，(1,1)a =-，(0,2)b =，2,2a b ∴==，a b ∴≠，故A 错误； 对于B ，(1,1)a =-，(0,2)b =，()=1,1a b ∴---，又(0,2)b =，则()12100-⨯--⨯≠，()a b ∴-与b 不平行，故B 错误；对于C ，又()()()11110a b a -⋅=-⨯-+-⨯=，()a b a ∴-⊥，故C 正确；对于D ，又cos ,22a b a b a b⋅<>===⋅，又a 与b 的夹角范围是[]0,π，a ∴与b 的夹角为π4，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模､垂直､夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.4．已知向量(2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a 上的投影为12-，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得||||||a b a b +=+D ．a b 【答案】BCD 【分析】若a b ⊥，则tan θ=A 错误； 若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，故当a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确；2cos sin a b θθ+==)θϕ+， a b D 正确.【详解】若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ+==，则tan θ=A 错误； 若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则1||cos 2b a b 〈〉=-，，2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确；若2()2a b a b a b =+22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b 〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C正确；2cos sin a b θθ+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a b ，故D 正确，故选：BCD ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．已知向量(4,3)a k =，(4,3)b k =，则（ ） A ．若a b ⊥，则0k = B ．若//a b ，则1k =C ．若a b >，则1k <D ．若a b a b +=-，则a b ⊥【答案】AD 【分析】先根据a b ⊥建立方程44330k k ⨯+⨯=解得0k =，判断选项A 正确；再根据//a b ，建立方程(4,3)(4,3)k k λ=解得1k =±，判断选项B 错误；接着根据a b >建立不等式4(3)(4)3k k +>+解得11k -<<，判断选项C 错误；最后根据a b a b +=-，化简整理得到a b ⊥，判断选项D 正确.【详解】解：因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b ⊥，则44330k k ⨯+⨯=，解得0k =，故选项A 正确；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，//a b ，则λa b ，即(4,3)(4,3)k k λ=，解得1k =±，故选项B 错误；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b >，则>，解得11k -<<，故选项C 错误；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b a b +=-，则0a b ⋅=，0a ≠，0b ≠，所以a b ⊥，故选项D 正确. 故答案为：AD. 【点睛】本题考查利用向量垂直求参数、利用向量共线求参数、根据向量的模的大小关系求参数的范围、利用向量的运算判断向量垂直，是中档题.6．下列各式结果为零向量的有（ ） A ．AB BC AC ++ B ．AB AC BD CD +++ C ．OA OD AD -+D ．NQ QP MN MP ++-【答案】CD 【分析】对于选项A ，2AB BC AC AC ++=,所以该选项不正确；对于选项B ，2AB AC BD CD AD +++=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD -+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP ++-=，所以该选项正确. 【详解】对于选项A ，2AB BC AC AC AC AC ++=+=,所以该选项不正确；对于选项B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD DA AD -+=+=,所以该选项正确； 对于选项D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，所以该选项正确. 故选：CD 【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．已知,a b 是单位向量，且(1,1)a b +=-，则( ) A ．||2a b += B ．a 与b 垂直C ．a 与a b -的夹角为4π D ．||1a b -=【答案】BC 【分析】(1,1)a b +=-两边平方求出||2a b +=；利用单位向量模长为1，求出0a b ⋅=；||a b -平方可求模长；用向量夹角的余弦值公式可求a 与a b -的夹角.【详解】由(1,1)a b +=-两边平方，得2222||21(12|)|a b a b ++⋅=+-=， 则||2a b +=，所以A 选项错误；因为,a b 是单位向量，所以1122a b ++⋅=，得0a b ⋅=，所以B 选项正确； 则222||22a b a b a b -=+-⋅=，所以||2a b -=，所以D 选项错误；2()cos ,2||||1a a b a a b a a b ⋅-〈-〉====-⨯， 所以，a 与a b -的夹角为4π.所以C 选项正确； 故选：BC. 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用.求向量模的常用方法:(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式2+a x y ＝(2)若向量a b ， 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22•a a a a ＝＝或2222||)2?(a b a b aa b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．判断两向量垂直：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 解两个非零向量之间的夹角：根据公式•a bcos a b ＝＝求解出这两个向量夹角的余弦值.8．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ） A ．(0,1)- B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3)【答案】ABC 【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-； 当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)； 当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-． ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-． 故选:ABC . 【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.9．关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（ ） A ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =；B ．已知(,3)a k =，(2,6)b =-，若//a b ，则1k =-；C ．非零向量a 和b ，满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为30º；D ．0||||||||a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD 【分析】通过举反例知A 不成立，由平行向量的坐标对应成比例知B 正确，由向量加减法的意义知，C 正确，通过化简计算得D 正确． 【详解】对A ，当0a = 时，可得到A 不成立； 对B ，//a b 时，有326k =-，1k ∴=-，故B 正确． 对C ，当||||||a b a b ==-时，a 、b 、a b -这三个向量平移后构成一个等边三角形，a b + 是这个等边三角形一条角平分线，故C 正确．对D ，22()()()()110||||||||||||a b a b a b a a a b b b +⋅-=-=-=，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查两个向量的数量积公式，两个向量加减法的几何意义，以及共线向量的坐标特点．属于基础题．10．已知ABC ∆是边长为()20a a >的等边三角形，P 为ABC ∆所在平面内一点，则()PA PB PC ⋅+的值可能是（ ）A ．22a -B ．232a -C ．243a -D ．2a -【答案】BCD 【分析】通过建系，用坐标来表示向量，根据向量的乘法运算法则以及不等式，可得结果. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系.设(),P x y ，又()3A a ，(),0B a -，(),0C a ，则()3PA x a y =--，(),PB a x y =---，(),PC a x y =--.则()(),,a x y a P PC x y B -+--+-=- 即()2,2PB x y PC --+= 所以()()()2,2x PA PB P y x y C =--⋅--⋅+则()PA PB PC ⋅+2222xy =+-即()PA PB PC ⋅+2223222x y a ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以()PA PB PC ⋅+232a ≥- 故选：BCD. 【点睛】本题主要通过建系的方法求解几何中向量的问题，属中档题.。
高中数学 第二章 平面向量单元测评(含解析) 新人教B版必修4
单元测评 平面向量(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分． 1．下列等式恒成立的是( ) A.AB →＋BA →＝0 B.AB →－AC →＝BC →C ．(a·b )·c ＝a (b·c )D ．(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c解析：由数量积满足分配律可知D 正确． 答案：D2．已知|a |＝23，|b |＝6，a·b ＝－18，则a 与b 的夹角θ是( ) A ．120° B ．150° C ．60°D ．30°解析：∵cos θ＝a·b |a ||b |＝－1823×6＝－32，∴θ＝150°.答案：B3．已知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，则与2i ＋3j 垂直的向量是( ) A ．3i ＋2j B ．－2i ＋3j C ．－3i ＋2jD ．2i －3j解析：2i ＋3j ＝(2,3)，C 中－3i ＋2j ＝(－3,2)．因为2×(－3)＋3×2＝0，所以2i ＋3j 与－3i ＋2j 垂直．答案：C4．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为120°，那么|a ＋3b |的值为( ) A.7 B.10 C.13D ．4解析：|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a·b ＋9b 2＝1＋9＋6·|a |·|b |·cos120°＝10＋6·cos120°＝7.所以|a ＋3b |＝7.答案：A5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(－3，－4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,2解析：因为c ＝λ1a ＋λ2b ，则有(－3，－4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝－3，2λ1＋3λ2＝－4，解得λ1＝1，λ2＝－2.答案：B6．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b 等于( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫32，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 D ．(1,0)解析：令b ＝(x ，y )(y ≠0)，则⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1， ①3x ＋y ＝3， ②将②代入①得x 2＋(3－3x )2＝1，即2x 2－3x ＋1＝0， ∴x ＝1(舍去，此时y ＝0)或x ＝12⇒y ＝32.答案：B7．向量a 与b 不共线，AB →＝a ＋k b ，AC →＝l a ＋b (k ，l ∈R )，且AB →与AC →共线，则k ，l 应满足( )A ．k ＋l ＝0B ．k －l ＝0C ．kl ＋1＝0D ．kl －1＝0解析：因为AB →与AC →共线，所以设AC →＝λAB →(λ∈R )，即l a ＋b ＝λ(a ＋k b )＝λa ＋λk b ，所以(l －λ)a ＋(1－λk )b ＝0.因为a 与b 不共线，所以l －λ＝0且1－λk ＝0.消去λ得1－lk ＝0，所以kl －1＝0.答案：D8．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π解析：设a 与b 的夹角为θ，∵Δ＝|a |2－4a·b ≥0，∴a·b ≤|a |24，∴cos θ＝a·b |a ||b |≤|a |24|a ||b |＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π. 答案：B9．如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是( )A.P 1P 2→·P 1P 3→B.P 1P 2→·P 1P 4→C.P 1P 2→·P 1P 5→D.P 1P 2→·P 1P 6→解析：由于P 1P 2→⊥P 1P 5→，故其数量积是0，可排除C ；P 1P 2→与P 1P 6→的夹角是2π3，故其数量积小于零，可排除D ；设正六边形的边长是a ，则P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→|·|P 1P 3→|·cos30°＝32a 2，P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→|·|P 1P 4→|·cos60°＝a 2.答案：A10．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA →·MD →＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由已知得BC ＝2，∠BCD ＝135°，所以MA →·MD →＝(MB →＋BA →)·(MC →＋CD →) ＝MB →·MC →＋MB →·CD →＋BA →·MC →＋BA →·CD →＝22×22×cos180°＋22×1×cos135°＋2×22×cos45°＋2×1×cos0°＝2. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝__________.解析：∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，∴△ABC 是以A 为直角顶点的三角形，又M 是BC 的中点，则|AM →|＝12|BC →|＝12×4＝2.答案：212．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1，那么c ＝__________. 解析：由题知AB →·AC →＋BA →·BC →＝2，即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →)＝AB →2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2. 答案： 213．在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝__________.解析：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过A 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．则由A (0,0)、B (2,0)、E (2，3)、D (1，3)、可得AE →·BD →＝1. 答案：114．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为__________．解析：AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n2AN →，NO →＝AO →－AN →＝m2AM →＋n －22AN →，NM →＝AM →－AN →.∵M 、O 、N 三点共线，∴m 2＝－n －22，∴m ＋n ＝2.答案：2三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a |＝1，|b |＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c |的取值范围．解：|c |2＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4a·b ＋4|b |2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．(6分) ∵0°＜θ＜120°.∴－12＜cos θ＜1，∴13＜|c |＜5，(10分)∴|c |的取值范围为(13，5)．(12分)16．(12分)如图所示，D 是△ABC 内的一点，且AB 2－AC 2＝BD 2－DC 2，求证AD ⊥BC .证明：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC →＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d .(2分) ∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e·c －2e·d －d 2.(4分) 由已知得a 2－b 2＝c 2－d 2， ∴c 2＋2e·c －2e·d －d 2＝c 2－d 2， 即e ·(c －d )＝0.(6分) ∵BC →＝BD →＋DC →＝d －c ， ∴AD →·BC →＝e ·(d －c )＝0，(10分) ∴AD →⊥BC →，即AD ⊥BC .(12分)17．(13分)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )． (1)若点A 、B 、C 不能构成三角形，求实数m 满足的条件； (2)若ABC 为直角三角形，求实数m 的值．解：(1)∵OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )， 若A 、B 、C 三点不能构成三角形，则这三点共线，(3分) ∵AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )． ∴3(1－m )＝2－m ，∴m ＝12.(6分)(2)∵△ABC 为直角三角形，①若∠A ＝90°，则AB →⊥AC →，∴3(2－m )＋(1－m )＝0，∴m ＝74.(8分)②若∠B ＝90°，则AB →⊥BC →， ∴BC →＝(－1－m ，－m )， ∴3(－1－m )＋(－m )＝0， ∴m ＝34.(10分)③若∠C ＝90°，则BC →⊥AC →，∴(2－m )(－1－m )＋(1－m )(－m )＝0， ∴m ＝1±52.(12分)综上可得m ＝74或－34或1±52.(13分)18．(13分)如图，在四边形ABCD 中，BC →＝λAD →(λ∈R )，|AB →|＝|AD →|＝2，|CB →－CD →|＝23，且△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形．(1)求λ的值；(2)求CB →·BA →的值．解：(1)因为BC →＝λAD →，所以BC ∥AD ，且|BC →|＝λ|AD →|.因为|AB →|＝|AD →|＝2，所以|BC →|＝2λ. 又|CB →－CD →|＝23，所以|BD →|＝2 3.(4分)作AH ⊥BD 交BD 于H ，则H 为BD 的中点． 在Rt △AHB 中，有cos ∠ABH ＝BH AB ＝32， 于是∠ABH ＝30°， 所以∠ADB ＝∠DBC ＝30°. 而∠BDC ＝90°，所以BD ＝BC ·cos30°，即23＝2λ·32， 解得λ＝2.(8分) (2)由(1)知，∠ABC ＝60°，|CB →|＝4，所以CB →与BA →的夹角为120°，故CB →·BA →＝|CB →|·|BA →|cos120°＝－4.(13分)。
2021-2022学年人教B版2019必修2 第六章 平面向量初步 单元测试卷(word版含答案)
2021-2022学年必修2 第六章 平面向量初步 单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(每题4分，共8各小题，共计32分)1.已知平面向量(1,2)AB =，(3,4)AC =，则向量CB 的模是( )A. D.52.已知点M 是ABC △的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且2EC AE =，则向量EM =( )A.1123AC AB +B.1162AC AB +C.1126AC AB + D.1362AC AB +3.P 是ABC △所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的( )A.内心B.外心C.垂心D.重心4.O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足,[0,)||||AB AC OP OA AB AC μμ⎛⎫=++∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，则P 点的轨迹一定经过ABC △的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 5.若 {},αβ 是一个基底，向量 (),r x y x y R αβ=+∈ 则称 (),x y 向量共在基底{},αβ下的坐标.()() 1,12,1p q =-= 下的坐标为()2,2- 则另一个基底 ()()1,1,1,2m n =-= 下的坐标为( )A.()2,0B.()0,2-C.()2,0-D.()0,26.向量(2,3)=a ，(1,2)=-b ，若m n +a b 与2-a b 共线，则mn 等于( )A.12-B.12 C.-2 D.27.ABC △中，点M 为AC 上的点，且2MC AM =，若BM BA BC λμ=+，则λμ-的值是（）A ．13 B ．12 C ．1 D ．238.已知()2,1,2=-a ，(),,6x y =b ，a 与b 共线，则x y +=（ ）A ．5B ．6C ．3D ．9二、多项选择题(每题4分，共2各小题，共计8分)9.已知点O 是ABC △的外心，4AB =，6AC =，AO xAB y AC =+，则下列正确的是( )A.若3cos 4A =，则ABC △的外接圆面积为16π7B.若BC =321y x -=C.若π3A =，则5232x y +=D.当16x =，49y =时，221||3AO =10.若点D ,E ,F 分别为ABC 的边BC ,CA ,AB 的中点,且,BC a CA b ==,则下列结论正确的是( ) A.12AD =--a b B.12BE =+a b C.1122CF =-+a b D.12EF =a 三、填空题(每题4分，共5各小题，共计20分)11.若a,b 为已知向量，且2(43)3(54)3-+-=0a c c b ，则=c ______________.12.的河，水流速度(自西向东)为2km/h ，在河两岸有两个码头A ，B ，已知AB ，船的航速为4km/h ，该船从A 码头沿着北偏西______度行驶才能最快到达彼岸B 码头，最快用时______小时.13.已知向量(3,2)=a ，(2,)m =b ，若两个向量共线，则m =__________.14.直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB AD ，分别交于点E F ，，交AC 于点M ，若2AB AE =，3AD AF =，(),AM AB AC R λμλμ=-∈，则52μλ-=______________. 15.1765年，伟大的数学家欧拉发现：任意给出一个三角形，它的重心､垂心和外心都是共线的.后人把这条直线称为三角形的欧拉线.已知在平面直角坐标系xOy 中，ABC △内接于单位圆O ，且,,A B C 逆时针排列，12OA OB OB OC ⋅=⋅=.若ABC △的欧拉线所在直线的斜率0k >，则OA 所在直线的倾斜角的取值范围是___________.四、解答题(每题10分，共4各小题，共计40分)16.已知向量(1,0)a =，(2,1)b =.（1）当实数k 为何值时，向量ka b -与2a b +共线？（2）若23AB a b =+，BC a mb =+，且AB BC ⊥，求实数m 的值17.设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若,28,3()AB BC CD =+=+=-a b a b a b ,求证:A ,B ,C 三点共线;(2)试确定实数k ,使k +a b 和k +a b 同向.18.设A ,B ,C ,D 为平面内的四点，且(1,3),(2,2),(4,1)A B C -.（1）若AB CD =，求D 点的坐标；（2）设向量,AB BC ==a b ，若向量k -a b 与3+a b 平行，求实数k 的值.19.已知,e f 为两个不共线的向量,若四边形ABCD 满足2,4,53AB BC CD =+=--=--e f e f e f .(1)将AD 用,e f 表示；(2)证明：四边形ABCD 为梯形.参考答案1.答案：A解析：向量(1,2)AB =，(3,4)AC =，∴向量(2,2)CB AB AC =-=--，(CB ∴=-=2.答案：B解析：如图：点M 是ABC △的边BC 的中点，点E 在AC 上，且2EC AE =，则向量()212111323226EM EC CM AC CB AC CA AB AB AC =+=+=++=+. 3.答案：C解析：PA PB PB PC ⋅=⋅，()0PB PA PC ∴⋅-=，0PB CA ∴⋅=，PB CA ∴⊥.同理PC AB ⊥，PA BC ⊥，∴P 是ABC △的垂心.4.答案：B 解析：,||||AB AC AB AC 分别表示向量,AB AC 方向上的单位向量， ||||AB AC AB AC ∴+的方向与BAC ∠的角平分线一致， 又||||AB AC OP OA AB AC μ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭， ||||AB AC OP OA AP AC AB μ⎛⎫∴-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴向量AP 的方向与BAC ∠的角平分线一致P ∴点的轨迹一定经过ABC △的内心.故选：B ．5.答案：D解析：6.答案：A解析：(2,32)m n m n m n +=-+a b ，2(4,1)-=-b a ，若m n +a b 与2-a b 共线，则有23241m n m n -+=-， 化简可得147m n =-，12m n ∴=-. 7.答案：A 解析：因为2MC AM =，所以13AM AC =，1121()3333BM BA AM BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+，若BM BA BC λμ=+，则23λ=，13μ=，13λμ-=.故选：A.8.答案：C解析：由于a 与b 共线，所以66212x y x ==⇒=-，33y x y =-⇒+=. 9.答案：BD解析：根据题意：因为点O 是ABC △的外心，所以428AO AB ⋅=⨯=，6318AD AC ⋅=⨯=，对于选项A ，若3cos 4A =，利用余弦定理可得：2222cos 164BC AB AC AB AC BAC BC =+-⋅∠=⇒=，所以ABC △的外接圆的半径R为2sin BC A =64π7，故A 不对：对于选项B ，C，当BC =2221πcos 223AB AC BC BAC BAC AB AC +-∠==⇒∠=⨯⨯，2224313266AO AB xAB y AC AB x y AD xAB y AC x x y AO AC xAC AB y AC⎧⋅=+⋅=+⎧⎪=+⇒⇒⇒=⎨⎨=+⎩⎪⋅=⋅+⎩，49y =，可得选项B 正确，选项C 不正确；对于选项D ，当16x =，49y =时，可得π3BAC ∠=，22214116428693681273AO AB AC AO AB AC AB AC =+⇔=++⋅=，所以221||3AO =D 正确. 10.答案：ABC解析：在ABC 中，1122AD AC CD CA CB =+=-+=--b a ,故A 正确；1122BE BC CE BC CA =+=+=+a b ,故B 正确；1,2AB AC CB CF CA AF CA AB =+=--=+=+=b a 111()222+--=-+b b a a b ，故C 正确；1122EF CB ==-a ，故D 不正确.故选ABC. 11.答案：1281339-b a 解析：2(43)3(54)3-+-=0a c c b ，8215123c ∴+-=0c b ，81281312,31339=-∴=-c b a c b a ，化简81281312,.31339b a =-∴=-c b a c 12.答案：30，0.5解析：解：如图：行驶航程最短时，就是船垂直到达对岸，∴和速度为224223v =-=(km/h)如图1v 与v 所成角为α，则21sin 42α==，30α∴=︒， ∴行驶航程最短时，所用时间是30.523=h故答案为：30，0.5.13.答案：43解析：由题意，32423m mλλλ=⎧=⇔⇒=⎨=⎩a b . 14.答案：5122μλ-=- 解析：由题意及几何关系可得15AM AC =，则15AM AC =，即15AM OAB AC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以15μ=-，0λ=，则5122μλ-=-.15.答案：π2π0,,π63⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ 解析：判断出欧拉线为OB ，结合BOx ∠范围求得OA 所在直线的倾斜角的取值范围. 1cos 2OA OB AOB ⋅=∠=，1cos 2OB OC BOC ⋅=∠=， 根据向量夹角的取值范围可知π3AOB BOC ∠=∠=.所以AOB △，BOC △是等边三角形，所以四边形OABC 是菱形.菱形对角线互相垂直平分，三角形ABC 的垂心在直线OB 上，结合O 是三角形ABC 的外心可知OB 是三角形ABC 的欧拉线.设直线OA 所在直线的倾斜角为θ，由于0k >，所以π0,2BOx ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭， 当π0,3BOx ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭时，点A 在第四象限，由于π3AOB ∠=，所以2π,π3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 当π3BOx ∠=时，点A 在x 轴的正半轴，0θ=， 当ππ,32BOx ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭时，点A 在第一象限，由于π3AOB ∠=，所以π0,6θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 综上所述，直线OA 所在直线的倾斜角的取值范围是π2π0,,π63⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 故答案为：π2π0,,π63⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.16.答案：（1）12k =- （2）819m =- 解析： （1）因为(1,0)a =，(2,1)b =，所以()()()1,02,12,1ka b k k -=-=--，()()()21,04,25,2a b +=+=，当向量ka b -与2a b +共线时，()2250k -+=，解得：12k =-，故当12k =-时，向量ka b -与2a b +共线（2）()()()21,032,18,3AB =+=，()()()1,02,121,BC m m m =+=+．∵AB BC ⊥， ∴·8(21)30AB BC m m =++=， ∴819m =-. 17.答案：(1)因为,28,3()AB BC CD =+=+=-a b a b a b ,283()28335()5BC CD AB =+=++-=++-=+=a b a b a b a b a b .所以,AB BD 共线. 又因为,AB BD 有公共点B ，所以A ,B ,C 三点共线.(2)因为k +a b 与k +a b 同向，所以存在实数(0) λλ>，使()k k λ+=+a b a b ，即k k λλ+=+a b a b .所以()(1)k k λλ-=-a b .因为,a b 是不共线的两个非零向量，所以0,10,k k λλ-=⎧⎨-=⎩解得1,1k λ=⎧⎨=⎩或1,1,k λ=-⎧⎨=-⎩又因为0λ>，所以1k =.解析：18.答案：（1）设(,)D x y .因为AB CD =，所以(2,2)(1,3)(,)(4,1)x y --=-,整理得(1,5)(4,1)x y -=--，所以4115x y -=⎧⎨-=-⎩，，解得54x y =⎧⎨=-⎩，，所以(5,4)D -. （2）因为(1,5),(4,1)(2,2)(2,3)AB BC ==-==--=a b ， 所以(1,5)(2,3)(2,53)k k k k -=--=---a b ，3(1,5)3(2,3)(7,4)+=-+=a b .因为向量k -a b 与3+a b 平行，所以7(53)4(2)0k k ----=，解得13k =-. 解析：19.答案：(1) 3 )(2)(4)(5AD AB BC CD =++=++--+--=e f e f e f (145)(213)82--+--=--e f e f .(2)因为822(4)2AD BC =--=--=e f e f ,即2AD BC =,所以AD 与BC 同方向,且AD 的长度为BC 的长度的2倍,所以在四边形ABCD 中,AD BC ,且AD BC ≠,所以四边形ABCD 是梯形.解析：。
2019-2020学年人教B版必修第二册 第六章 平面向量初步 单元测试2
第六章 平面向量初步 单元测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝b B ．若a ≠b ，则|a |≠|b |C ．若|a |＝|b |，则a 与b 可能共线D ．若|a |≠|b |，则a 一定不与b 共线 答案 C解析 因为向量既有大小又有方向，只有方向相同、大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A 错误；两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B 错误；不论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，C 正确，D 错误．2．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)答案 A解析 BC→＝AC →－AB →，AC →＝(－4，－3)，AB →＝(3,1)，故BC →＝(－7，－4)．3．设a ，b 是共线的单位向量，则|a ＋b |的值( ) A ．等于2 B ．等于0C ．大于2D ．等于0或等于2 答案 D解析 ∵a 与b 是共线的单位向量，∴当两个向量同向时，|a ＋b |＝2|a |＝2；当两个向量反向时，|a ＋b |＝0；综上所述，故选D ．4．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向 答案 D解析 ∵c ∥d ，∴设c ＝λd ，则k a ＋b ＝λa －λb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，λ＝－1，∴k ＝－1，λ＝－1，∴c ＝－d ，∴k ＝－1且c 与d 反向．5．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2答案 D解析 因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1),4b －2a ＝(6,4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，则6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.6．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4＝( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2) 答案 D解析 由题意知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2)．7．已知平面内M ，N ，P 三点满足MN →－PN →＋PM →＝0，则下列说法正确的是( )A ．M ，N ，P 是一个三角形的三个顶点B ．M ，N ，P 是一条直线上的三个点C ．M ，N ，P 是平面内的任意三个点D ．以上都不对 答案 C解析 因为MN→－PN →＋PM →＝MN →＋NP →＋PM →＝MP →＋PM →＝0，所以MN →－PN →＋PM→＝0对任意情况是恒成立的．故M ，N ，P 是平面内的任意三个点．故选C ． 8．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r＋s 的值是( )A ．23B ．43C ．－3D ．0答案 D解析 如图，连接AD ，∵CD→＝2DB →，∴CB→＝32CD →，又CB →＝AB →－AC →，∴32CD →＝AB →－AC →， ∴CD→＝23AB →－23AC →，又CD →＝rAB →＋sAC →， ∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0.故选D ．9．O 为平面上一动点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，且满足OA →＋OB →＝λOC→≠0(λ∈R )，则O 点的轨迹必过△ABC 的( ) A ．垂心 B ．外心 C ．内心 D ．重心答案 D解析 如图，设D 为AB 边的中点，OA →＋OB →＝2OD →，∴2OD →＝λOC →，∴点O在△ABC 底边AB 的中线上．故选D ．10．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)答案 D解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)， ∴a ＝－2p ＋2q ＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)．令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．11．在△ABC 中，AD→＝14AB →，DE ∥BC ，且DE 与AC 相交于点E ，M 是BC的中点，AM 与DE 相交于点N .若A N →＝xAB→＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝( )A ．1B ．12C ．14 D ．18答案 C解析 ∵AD→＝14AB →，∴AD ＝14AB ．∵DE ∥BC ，∴AE ＝14AC ．又∵M 为BC 的中点，∴N 为DE 的中点．∴ AN →＝12(AD →＋AE →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫14 AB →＋14AC →＝18AB →＋18AC →，∴x ＝y＝18， ∴x ＋y ＝18＋18＝14.12．如图所示，在△ABC 中，设AB→＝a ，AC →＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP→＝( )A ．12a ＋12bB ．13a ＋23bC ．27a ＋47bD ．47a ＋27b 答案 C解析 如图，连接BP ，则AP→＝AC →＋CP →＝b ＋PR →， ① AP→＝AB →＋BP →＝a ＋RP →－RB →. ② ①＋②，得2AP→＝a ＋b －RB →. ③又∵RB →＝12QB →＝12(AB →－A Q →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12AP →， ④将④代入③，得2AP→＝a ＋b －12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12AP →， 解得AP→＝27a ＋47B ．故选C ．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝(2，－1)，则a ＝________.答案 (－1,1)或(－3,1)解析 由于|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，所以a ＋b ＝(1,0)或(－1,0)，则a ＝(1,0)－(2，－1)＝(－1,1)或a ＝(－1,0)－(2，－1)＝(－3,1)．14．如图，直线l 上依次有五个点A ，B ，C ，D ，E ，满足AB ＝BC ＝CD ＝DE ，如果把向量A B →作为单位向量e ，那么直线上向量D A →＋C E →的坐标为________．答案 －1解析 由题意得，DA ＝3AB ，CE ＝2AB ，可得DA→＝－3AB →，CE →＝2AB →，故可得DA→＋CE →＝－3AB →＋2AB →＝－AB →＝－e ，故直线上向量DA →＋CE →的坐标为－1. 15．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40 m/s ，则鹰的飞行速率为________m/s.答案 8033解析 设鹰的飞行速度为v 1，鹰在地面上的影子的速度为v 2，则|v 2|＝40 m/s ，因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下，故|v 1|＝|v 2|32＝8033 (m/s)． 16.OA→＝(sin θ，－1)，OB →＝(2sin θ，2cos θ)，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则|AB →|的最大值为________．答案 3解析 AB →＝OB →－OA →＝(sin θ，2cos θ＋1)⇒|AB →|＝sin 2θ＋4cos 2θ＋4cos θ＋1＝3cos 2θ＋4cos θ＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ＋232＋23， ∴当cos θ＝1，即θ＝0时，|AB→|取得最大值，最大值为3. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA →，BC →的中点，且DC AB ＝k (k ≠1)．设AD →＝e 1，AB →＝e 2，选择基底{e 1，e 2}，试写出向量DC →，BC→，MN →在此基底下的分解式． 解 如图所示，∵AB →＝e 2，且DC AB ＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2. 又AB→＋BC →＋CD →＋DA →＝0， ∴BC→＝－AB →－CD →－DA →＝－AB →＋DC →＋AD → ＝－e 2＋k e 2＋e 1＝e 1＋(k －1)e 2. ∵MN→＋NB →＋BA →＋AM →＝0， ∴MN →＝－NB →－BA →－AM →＝BN →＋AB →－AM → ＝12BC →＋e 2－12AD → ＝12[e 1＋(k －1)e 2]＋e 2－12e 1 ＝k ＋12e 2.18．(本小题满分12分)已知向量a ，b 不共线．(1)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)求实数k ，使k a ＋b 与2a ＋k b 共线． 解 (1)证明：AB→＝a ＋b ，AD→＝AB →＋BC →＋CD →＝6a ＋6b ， 显然AB→＝16AD →.故AB →∥AD →， 又AB→与AD →有公共点A ， 故点A ，B ，D 三点共线．(2)若k a ＋b ∥2a ＋k b ，必存在实数λ，使得k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )， 整理k a ＋b ＝2λa ＋λk b ，又a 与b 不共线，⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2λ，1＝λk ，得k 2＝1k 即k ＝±2.当k ＝2时，k a ＋b ＝2a ＋b,2a ＋k b ＝2a ＋2b ， 此时k a ＋b ∥2a ＋k b ，同理可验证k ＝－2时亦符合题意． 故k ＝±2.19．(本小题满分12分)已知△ABC 内一点P 满足AP→＝λAB →＋μAC →，若△P AB的面积与△ABC 的面积之比为1∶3，△P AC 的面积与△ABC 的面积之比为1∶4，求实数λ，μ的值．解如图，过点P 作PM ∥AC ，PN ∥AB ，分别交AB ，AC 于点M ，N ，则AP →＝AM →＋AN →，所以AM →＝λAB →，AN →＝μAC →.作PG ⊥AC 于点G ，BH ⊥AC 于点H ，因为S △P ACS △ABC＝14，所以PG BH ＝14.又因为△PNG ∽△BAH ，所以PG BH ＝PN AB ＝14，即AM AB ＝14，所以λ＝14，同理μ＝13.20．(本小题满分12分)已知：如图，点L ，M ，N 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且BL BC ＝l ，CM CA ＝m ，AN AB ＝n ，若AL→＋BM →＋CN →＝0.求证：l ＝m ＝n .证明 设BC→＝a ，CA →＝b 为基底．由已知得BL→＝l a ，CM →＝m b ，∵AB→＝AC →＋CB →＝－a －b ，∴ AN →＝nAB →＝－n a －n b ， ∴AL →＝AB →＋B L →＝(l －1)a －b ，① BM →＝B C →＋CM →＝a ＋m b ，② CN→＝CA →＋AN →＝－n a ＋(1－n )b ，③ 将①②③代入AL →＋BM →＋CN →＝0，得(l －n )a ＋(m －n )b ＝0，∵a ，b 不共线，∴l －n ＝0，m －n ＝0， 即l ＝m ＝n .21．(本小题满分12分)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(3)设d ＝(x ，y )满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝1，求向量D ． 解 (1)∵a ＝m b ＋n c ， ∴(3,2)＝(－m ＋4n,2m ＋n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，又a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，∴2(3＋4k )＋5(2＋k )＝0，即k ＝－1613. (3)∵d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)， 又(d －c )∥(a ＋b )，|d －c |＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋55，y ＝1＋255或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－55，y ＝1－255.所以d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋55，1＋255或d ＝⎝⎛⎭⎪⎫4－55，1－255. 22．(本小题满分12分)已知点A (x,0)，B (2x,1)，C (2，x )，D (6,2x )． (1)求实数x 的值，使向量AB→与CD →共线；(2)当向量AB→与CD →共线时，点A ，B ，C ，D 是否在一条直线上？解 (1)AB→＝(2x,1)－(x,0)＝(x,1)，CD→＝(6,2x )－(2，x )＝(4，x )． 若向量AB →与CD →共线，则x 2－4×1＝0，故x ＝±2. ∴当x ＝±2时，向量AB →与CD →共线． (2)当x ＝2时，A (2,0)，B (4,1)，C (2,2)， AB→＝(4,1)－(2,0)＝(2,1)， AC→＝(2,2)－(2,0)＝(0,2)． ∵2×2－0×1≠0， ∴向量AB→与AC →不共线， ∴点A ，B ，C 不在一条直线上， ∴点A ，B ，C ，D 不在一条直线上．当x ＝－2时，A (－2,0)，B (－4,1)，C (2，－2)，→＝(－4,1)－(－2,0)＝(－2,1)，AB→＝(2，－2)－(－2,0)＝(4，－2)．AC∵(－2)×(－2)－4×1＝0，∴向量AB→与AC→共线，∵AB与AC有公共点A，∴点A，B，C在一条直线上．又∵向量AB→与CD→共线，∴AB与CD平行或重合．又A，B，C在一条直线上，∴点A，B，C，D在一条直线上．综上，当x＝2时，向量AB→与CD→共线，但点A，B，C，D不在一条直线上．当x＝－2时，向量AB→与CD→共线，且点A，B，C，D在一条直线上．。
高中数学第六章平面向量初步单元质量评估含解析B版第二册
第六章平面向量初步一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列命题中正确的是(C)A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C．a与b不共线，则a与b都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行解析：由于零向量与任一向量都共线，所以当b为零向量时,a与c不一定共线,所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，假设a与b不都是非零向量,即a与b中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a与b共线，这与已知a与b不共线矛盾，所以假设不成立，即a与b都是非零向量,C正确．故选C.2．已知三个力f1＝(－2,－1），f2＝(－3,2)，f3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于(D)A．（－1,－2)B．（1,－2)C．(－1,2）D．(1,2）解析：根据力的平衡原理有f1＋f2＋f3＋f4＝0，∴f4＝－（f1＋f2＋f3)＝(1，2)．3．已知向量a＝（2,1），b＝（x，－2)，若a∥b，则a＋b 等于(A）A．(－2，－1）B．(2，1) C．(3，－1）D．（－3，1)解析：因为向量a＝(2,1），b＝（x，－2)，a∥b，所以2×(－2)＝1×x⇒x＝－4，所以a＝（2,1)，b＝(－4，－2)，a＋b＝（－2，－1），故选A.4．已知M，P，Q三点不共线，且点O满足8错误!－3错误!－4错误!＝0，则下列结论正确的是(D）A。
错误!＝－错误!－错误! B.错误!＝－3错误!－错误!C.错误!＝－错误!－4错误!D。
错误!＝3错误!＋4错误!解析：由8错误!－3错误!－4错误!＝0，得错误!＋3（错误!－错误!）＋错误!－错误!）＝0，则错误!＋3错误!＋4错误!＝0，即错误!＝3错误!＋4错误!。
2019-2020学年人教B版必修第二册 第6章 平面向量初步 单元测试
章末综合测评(三) 平面向量初步(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列等式中正确的是( ) A.OA →－OB →＝AB →B.AB →＋BA →＝0 C ．0·AB →＝0D.AB →＋BC →＋CD →＝AD →D [起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA →－OB →＝BA →；AB →，BA →是一对相反向量，它们的和应该为零向量，AB →＋BA →＝0,0·AB →＝0才对，故选D.]2．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 3B [由正六边形知FE →＝BC →，所以AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →， 所以|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2.]3．在下列向量中，可以把向量a ＝(3，－1)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(3,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(3,2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(－3,5)，e 2＝(3，－5)B [根据平面向量的基本定理可知，作为平面向量基底的一组向量必须为非零不共线向量，而A 中的e 1为零向量，不符合条件；C ，D 中的两组向量均为共线向量，不符合条件．故选B.]4．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2D ．0C [由a ∥b 知1×2＝m 2，即m ＝2或m ＝－ 2.]5．设a ，b 为不共线的两个非零向量，已知向量AB →＝a －k b ，CB →＝2a ＋b ，CD →＝3a －b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于( )A ．10B ．－10C ．2D ．－2C [因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →＝λBD →＝λ(CD →－CB →)，所以a －k b ＝λ(3a －b －2a －b )＝λ(a －2b )，所以λ＝1，k ＝2.]6．在重600 N 的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A ．300 3 N,300 3 NB ．150 N,150 NC ．300 3 N,300 ND ．300 N,300 NC [如图，作矩形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°.在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，所以|OA →|＝|OC →|cos 30°＝300 3 N ，|AC →|＝|OC →|sin 30°＝300 N ，|OB →|＝|AC →|＝300 N ．]7．四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，BD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形B [因为AB →＝a ＋2b ，又DC →＝BC →－BD →＝－4a －b －(－5a －3b )＝a ＋2b ＝AB →. 所以在四边形ABCD 中，有|AB →|＝|DC →|且AB ∥DC ， 所以四边形ABCD 为平行四边形．]8．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,0)，λa ＋μb 与a －2b 共线，则λμ等于( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2C [易知a ，b 不共线，则有λ1＝μ－2，故λμ＝－12.]9．已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，若a ∥b ，则( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0 C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0D [∵a ∥b ，∴存在实数k ，使得a ＝k b ，即(2k －1)e 1＝λe 2. ∵e 1≠0，∴若2k －1＝0，则λ＝0或e 2＝0； 若2k －1≠0，则e 1＝λ2k －1e 2，此时e 1∥e 2，又0与任何一个向量平行，∴有e 1∥e 2或λ＝0.]10．如图所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则实数a ，b 满足( )A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＞0，b ＜0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0C [当点P 落在第Ⅰ部分，OP →按向量OP 1→与OP 2→分解时，一个与OP 1→反向，一个与OP 2→同向，故a ＜0，b ＞0.]11.如图，已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( )A.43a ＋23bB.23a ＋43bC.23a －43bD ．－23a ＋43bB [BC →＝2BD →＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫23BE →＋13AD →＝43BE →＋23AD →＝23a ＋43b .]12．设0≤θ＜2π，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→长度的最大值是( )A. 2B. 3 C ．3 2D ．2 3C [∵P 1P 2→＝OP 2→－OP 1→＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)，∴|P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2＝10－8cos θ≤3 2.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.－1 [∵a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，∴a ＋b ＝(1，m －1)． ∵(a ＋b )∥c ，c ＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m －1)＝0. ∴m ＝－1.]14．下列命题中正确命题的个数为________个． ①在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；②若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点； ③若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b|与|a|＋|b|一定相等．1 [①真命题；②假命题，当A ，B ，C 三点共线时，也可以有AB →＋BC →＋CA →＝0；③假命题，只有当a 与b 同向时才相等．]15．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．－3 [∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5， ∴m －n ＝2－5＝－3.]16．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 是以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BD 上的任意一点，设∠P AB ＝θ，向量AC →＝λDE →＋μAP →(λ，μ∈R )，若μ－λ＝1，则θ＝________.90° [AP →＝cos θAB →＋sin θAD →，DE →＝－AD →＋12AB →，AC →＝AB →＋AD →，于是有AB →＋AD →＝(－λ＋μsin θ)AD →＋(μcos θ＋λ2)AB →，由于AB →，AD →不共线，所以－λ＋μsin θ＝1，μsin θ＝1＋λ＝μ， 所以sin θ＝1，θ＝90°.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.[证明] 因为AP →＝AB →＋BP →，AQ →＝AC →＋CQ →，所以AP →＋AQ →＝AB →＋AC →＋BP →＋CQ →.又因为BP ＝QC 且BP →与CQ →方向相反，所以BP →＋CQ →＝0，所以AP →＋AQ →＝AB →＋AC →，即AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.18．(本小题满分12分)如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出下列向量，并分别求出其长度：(1)a ＋b ＋c ；(2)a －b ＋c.[解] (1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →＝c ，所以延长AC 到E ，使|CE →|＝|AC →|. 则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2. 所以|a ＋b ＋c |＝2 2.(2)连接BD ，作BF →＝AC →，连接CF ， 则DB →＋BF →＝DF →，而DB →＝AB →－AD →＝a －b ， ∴a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →，且|DF →|＝2.19．(本小题满分12分)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3,0)，OC →＝(m,3)． (1)当m ＝8时，将OC →用OA →和OB →表示；(2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件． [解] (1)当m ＝8时，OC →＝(8,3)，设OC →＝λ1OA →＋λ2OB →， ∴(8,3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3,0)＝(2λ1＋3λ2，－λ1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ1＋3λ2＝8，－λ1＝3，解得⎩⎨⎧λ1＝－3，λ2＝143，∴OC →＝－3OA →＋143OB →.(2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，则有AB →与AC →不共线，又AB →＝OB →－OA →＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)， AC →＝OC →－OA →＝(m,3)－(2，－1)＝(m －2,4)， 则有1×4－(m －2)×1≠0，∴m ≠6.20．(本小题满分12分)设e 1，e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A ，B ，C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m ，n 的值．[解] 以O 为原点，e 1，e 2的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy (图略)，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)， 所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n,0)，又因为A ，B ，C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →，所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎪⎨⎪⎧mn －5m ＋n －5＝0，m ＝2n ，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝5.21．(本小题满分12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB →＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC →＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－2)，求BC →的坐标；(3)已知点D (3,5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．[解] (1)AE →＝AB →＋BE →＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2.因为A ，E ，C三点共线，所以存在实数k ，使得AE →＝kEC →， 即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)， 得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2.因为e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，λ＝k －1，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)BC →＝BE →＋EC →＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)． (3)因为A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以AD →＝BC →.设A (x ，y )，则AD →＝(3－x,5－y )，因为BC →＝(－7，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7，即点A 的坐标为(10,7)．22．(本小题满分12分)平面内有四边形ABCD ，BC →＝2AD →，且AB ＝CD ＝DA ＝2，AD →＝a ，BA →＝b ，M 是CD 的中点．(1)试用a ，b 表示BM →；(2)AB 上有点P ，PC 和BM 的交点Q ，PQ ∶QC ＝1∶2，求AP ∶PB 和BQ ∶QM . [解] (1)BM →＝12(BD →＋BC →) ＝12(BA →＋AD →＋2AD →)＝32a ＋12b .(2)设BP →＝tBA →，则BQ →＝BC →＋CQ →＝BC →＋23CP →＝2AD →＋23(CB →＋BP →)＝23tBA →＋13·2AD →＝23(a ＋t b )． 设BQ →＝λBM →＝3λ2a ＋λ2b ，由于BA →，AD →不共线，则有⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＝23，λ2＝23t ，解方程组，得λ＝49，t ＝13.故AP ∶PB ＝2∶1，BQ ∶QM ＝4∶5.。
高一下学期数学人教B版(2019)必修第二册第六章《平面向量初步》单元检测卷(含答案)
新人教B 版 必修二 平面向量初步单元检测卷（原卷+答案）一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列各组向量中，能作为基底的是( )A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，1)B ．e 1＝(1，2)，e 2＝(－2，1)C ．e 1＝(－3，4)，e 2＝(35 ，－45 ) D ．e 2＝(2，6)，e 2＝(－1，－3)2．已知A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →共线的单位向量为( ) A ．(45 ，35 )或(－45 ，35 ) B ．(35 ，－45 )或(－35 ，45 )C ．(－45 ，－35 )或(45 ，35 )D ．(－35 ，－45 )或(35 ，45)3．若向量OF → 1＝(1，1)，OF →2＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|＝( ) A ．10 B ．25 C ．5 D ．154．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA → ＋OB → ＋OC → ＋OD →＝( )A ．OM →B ．2OM →C ．3OM →D ．4OM →5．已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设AD → ＝a ，BE → ＝b ，则BC →＝( )A ．43 a ＋23 bB ．23 a ＋43 bC ．23 a －43 bD ．－23 a ＋43b6．在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足BE → ＝12 BC → ，DF → ＝13 DC → .若BD → ＝λAE →＋μAF →，则实数λ＋μ的值为( )A ．－15B ．15C ．－75D ．757．已知a ，b 是不共线的向量，AB → ＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，C 三点共线的条件是( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝18．已知点A (2，3)，B (5，4)，C (7，10)，若第四象限的点P 满足AP → ＝AB → ＋λAC →，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－35 )C ．(－1，－47 )D ．(－1，－35 )二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．下列结论中正确的是( )A ．0＋0＝0B ．对任一向量a ，0∥aC ．对于任意向量a ，b ，a ＋b ＝b ＋aD ．对于任意向量a ，b ，|a ＋b |>0 10．下列四个式子中一定能化简为AD →的是( )A ．(AB → ＋CD → )＋BC → B ．(AD → ＋MB → )＋(BC → ＋CM → ) C ．(MB → ＋AD → )－BM → D ．(OC → －OA → )＋CD →11．已知a ＝(1，2)，b ＝(3，4)，若a ＋k b 与a －k b 互相垂直，则实数k ＝( ) A ．5 B ．55 C ．－5 D ．－5512．下列结论正确的是( )A ．向量AB → 与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上B ．已知直线上有P 1，P 2，P 三点，其中P 1(2，－1)，P 2(－1，3)，且P 1P ＝23 PP 2，则点P 的坐标为(45 ，35)C ．向量P A → ＝(k ，12)，PB → ＝(4，5)，PC →＝(10，k )，若A ，B ，C 三点共线，则k 的值为－2或11D ．已知平面内O ，A ，B ，C 四点，其中A ，B ，C 三点共线，O ，A ，B 三点不共线，且OC → ＝xOA → ＋yOB →，则x ＋y ＝1三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知AB → ＝(2，3)，AC → ＝(3，t )，|BC →|＝1，则t ＝________．14．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________．15．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA → ＝λCE → ＋μDB →，则λ＝________，μ＝________．16．已知菱形ABCD 的边长为2，则向量AB → －CB → ＋CD → 的模为________；|AC →|的取值范围是________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(10分)已知点A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4). (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标．18．(12分)如图，已知点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB ＝12. 求证：点E ，O ，F 在同一直线上．19.(12分)已知点A (－1，2)，B (2，8)以及AC → ＝13 AB → ，DA →＝－13 BA → ，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标．20．(12分)平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1). (1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5 ，求d 的坐标．21.已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，设AB → ＝a ，BC → ＝b ，CA →＝c . (1)求3a ＋b －3c 的值；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值；(3)若线段AB 的中点为M ，线段BC 的三等分点为N (点N 靠近点B )，求MN →.22．(12分)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，求|P A → ＋3PB →|的最小值．参考答案1．答案：B解析：A ，C ，D 中向量e 1与e 2共线，不能作为基底；B 中e 1，e 2不共线，所以可作为一组基底．2．答案：B解析：因为A (1，3)，B (4，－1)， 所以向量AB →＝(3，－4)，所以与向量AB →共线的单位向量为(35 ，－45 )或(－35 ，45 ).3．答案：C解析：F 1＋F 2＝(1，1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，|F 1＋F 2|＝（－2）2＋（－1）2 ＝5 . 4．答案：D解析：因为点M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以点M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则知OA → ＋OC → ＝2OM → ，OB → ＋OD → ＝2OM → ，故OA → ＋OC → ＋OB → ＋OD → ＝4OM → .5．答案：B解析：∵AD 为边BC 上的中线， ∴AD → ＝BD → －BA → ＝12 BC → －BA →，又BE 为边AC 上的中线，∴BE → ＝BA → ＋AE → ＝BA →＋12 AC → ＝12 BA → ＋12 BC → ，又AD → ＝a ，BE →＝b ，∴a ＝12 BC → －BA →，b ＝12 BA → ＋12 BC → ，∴BC →＝23 a ＋43 b .6．答案：B解析：由题意，设AB → ＝a ，AD →＝b ，则在平行四边形ABCD 中，因为BE → ＝12 BC → ，DF →＝13 DC → ，所以点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上，且CF＝2DF ，所以AE → ＝a ＋12 b ，AF →＝13a ＋b ，又因为BD → ＝λAE → ＋μAF → ，且BD → ＝AD → －AB →＝b －a ，所以－a ＋b ＝λAE → ＋μAF →＝λ(a ＋12 b )＋μ(13 a ＋b )＝(λ＋13 μ)a ＋(12λ＋μ)b ，所以⎩⎨⎧λ＋13μ＝－112λ＋μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝－85μ＝95，所以λ＋μ＝15.7．答案：D解析：由AB → ＝λa ＋b ，AC → ＝a ＋μb (λ，μ∈R )及A ，B ，C 三点共线得AB → ＝tAC →，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ， 所以λμ＝1.8．答案：C解析：方法一 设P (x ，y )，则AP →＝(x －2，y －3)， 又AP → ＝AB → ＋λAC →＝(3，1)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，1＋7λ)，所以(x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5λ＋5，y ＝7λ＋4.因为点P 在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧5λ＋5>0，7λ＋4<0，解得－1<λ<－47.故所求实数λ的取值范围是(－1，－47 ).方法二 OP → ＝OA → ＋AP → ＝OA → ＋AB → ＋λAC →＝OB → ＋λAC →＝(5，4)＋λ(5，7) ＝(5＋5λ，4＋7λ)， 所以P (5＋5λ，4＋7λ).因为点P 在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ>0，4＋7λ<0，解得－1<λ<－47 .9．答案：BC解析：0＋0＝0，A 不正确；根据0的规定，B 正确；根据向量加法交换律，C 正确；a ＝－b 时，|a ＋b |＝0，D 不正确．10．答案：ABD解析：对于A ，(AB → ＋CD → )＋BC → ＝AB → ＋BC → ＋CD → ＝AC → ＋CD → ＝AD → ；对于B ，(AD →＋MB → )＋(BC → ＋CM → )＝AD → ＋(MB → ＋BC → ＋CM → )＝AD → ＋0＝AD → ；对于C ，(MB → ＋AD → )－BM → ＝MB → ＋AD → ＋MB → ＝2MB → ＋AD → ；对于D ，(OC → －OA → )＋CD → ＝AC → ＋CD → ＝AD → ，故选ABD.11．答案：BD解析：a 2＝5，b 2＝25，且a ＋k b 与a －k b 垂直，∴(a ＋k b )(a －k b )＝a 2－k 2b 2＝5－25k 2＝0，解得k ＝±55.故选BD. 12．答案：BCD解析：对于A ，向量AB → 与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，A 错误；对于B ，设P (x ，y )，由P 1P ＝23 PP 2，得(x －2，y ＋1)＝23(－1－x ，3－y )，则⎩⎨⎧x －2＝23（－1－x ），y ＋1＝23（3－y ）， 解得⎩⎨⎧x ＝45，y ＝35．B 正确；对于C ，BA → ＝P A → －PB →＝(k ，12)－(4，5)＝(k －4，7)， CA → ＝P A → －PC →＝(k ，12)－(10，k )＝(k －10，12－k ).因为A ，B ，C 三点共线，所以BA → ∥CA →，所以(k －4)(12－k )－7(k －10)＝0， 整理得k 2－9k －22＝0，解得k ＝－2或k ＝11，C 正确；对于D ，∵A ，B ，C 三点共线，∴存在λ∈R ，使AC → ＝λAB → ，∴OC → －OA → ＝λ(OB →－OA →)，∴OC → ＝(1－λ)OA → ＋λOB → ， ∴x ＝1－λ，y ＝λ， ∴x ＋y ＝1，D 正确． 13．答案：3解析：∵BC → ＝AC → －AB → ＝(3，t )－(2，3)＝(1，t －3)，|BC →|＝1，∴12＋（t －3）2 ＝1，∴t ＝3.14．答案：－4解析：以a ，b 的公共起点为原点建立平面直角坐标系如图，则a ＝(2，2)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3). ∵c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，即(－1，－3)＝λ(2，2)＋μ(6，2)＝(2λ＋6μ，2λ＋2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋6μ＝－1，2λ＋2μ＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝12，∴λμ ＝－212 ＝－4. 15．答案：65 25解析：以D 为原点，DC 边所在直线为x 轴，DA 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．不妨设AB ＝1，则D (0，0)，C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1).CA → ＝(－2，2)，CE →＝(－2，1)，DB →＝(1，2)，∵CA → ＝λCE → ＋μDB →，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2， 解得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25．16．答案：2 (0，4)解析：因为AB → －CB → ＋CD → ＝AB → ＋BC → ＋CD → ＝AD →， 又|AD → |＝2，所以|AB → －CB → ＋CD → |＝|AD →|＝2.又因为AC → ＝AB → ＋AD → ，且在菱形ABCD 中，|AB →|＝2，所以||AB → |－|AD → ||<|AC → |＝|AB → ＋AD → |<|AB → |＋|AD → |，即0<|AC →|<4.17．解析：(1)证明：AB → ＝(3，2)－(2，1)＝(1，1)，|AB |＝12＋12 ＝2 ；BD →＝(－1，4)－(3，2)＝(－4，2)，|BD |＝（－4）2＋22 ＝20 ；AD →＝(－1，4)－(2，1)＝(－3，3)，|AD |＝（－3）2＋32 ＝18 .由于AB 2＋AD 2＝BD 2，∴AB ⊥AD . (2)设矩形ABCD 的顶点C (x ，y )， 则AB → ＝DC →，即(1，1)＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5， 即点C 的坐标为(0，5).18．证明：设AB → ＝m ，AD →＝n ，由CE ED ＝AF FB ＝12 ，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点， ∴FO → ＝F A → ＋AO →＝13 BA → ＋12AC →＝－13 m ＋12 (m ＋n )＝16 m ＋12n ，OE → ＝OC → ＋CE →＝12 AC → ＋13 CD → ＝12 (m ＋n )－13 m＝16 m ＋12n . ∴FO → ＝OE → ，∴FO → ∥OE → ，又O 为FO → 和OE →的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上． 19．解析：设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 得AC → ＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3，6)， DA → ＝(－1－x 2，2－y 2)，BA →＝(－3，－6). 因为AC → ＝13 AB → ，DA →＝－13BA → ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2 和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4 和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0，所以点C ，D 的坐标分别是(0，4)，(－2，0)， 从而CD →＝(－2，－4).20．解析：(1)a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0， 解得k ＝－1613.(2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)， 又a ＋b ＝(2，4)，|d －c |＝5 ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4（x －4）－2（y －1）＝0，（x －4）2＋（y －1）2＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1， 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d 的坐标为(3，－1)或(5，3).21．解析：(1)∵A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且AB → ＝a ，BC → ＝b ，CA →＝c ， ∴a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)，∴3a ＋b －3c ＝3×(5，－5)＋(－6，－3)－3×(1，8)＝(6，－42)，(2)m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5－3m ＋8n ＝－5 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝－1 .(3)∵线段AB 的中点为M ，线段BC 的三等分点为N (点N 靠近点B )，∴AM → ＝12 AB → ＝(52 ，－52 )，BN → ＝13BC → ＝(－2，－1)， ∴M 点坐标为(12 ，32 )，N 点坐标为(1，－2)，∴MN → ＝(12 ，－72). 22．解析：以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x (0≤x ≤a )，∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，P A → ＝(2，－x )，PB → ＝(1，a －x )，∴P A → ＋3PB → ＝(5，3a －4x )，|P A → ＋3PB → |2＝25＋(3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号． ∴|P A → ＋3PB → |的最小值为5.。
第六章平面向量初步单元测试题-高中数学人教B版必修第二册
高中数学人教B 版（2019）必修第二册第六章平面向量初步一、单选题1．在等腰三角形ABC 中，AB AC ==2BC =，若P 为边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+=（ ）A ．4B ．8C ．4-D ．8- 2．设,a b 为非零向量2b a =，则b 与b a -的夹角的最大值为（ ） A ．6π B ．4π C ．3πD ．12π3．已知平面向量a 、b 满足3,1b，21a b -=，则a 的取值范围为（ ） A ．35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．()1,3 C ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．()2,44．已知A ，B ，C ，D 是以O 为球心，半径为2的球面上的四点，0OA OB OC →→→→++=，则AD BD CD ++不可能等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．5．已知,a b 是不共线向量，且5AB a b =+，28BC a b =-+，3()CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线 D ．A ，C ，D 三点共线6．已知向量,a b 满足1a =，()1,1b =，()b a R λλ=∈b +=（ ）A ．2或0B ．C ．D ．0 7．四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，若a 、b 不共线，则四边形ABCD 为（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形8．ABC 中，点M 为AC 上的点，且2MC AM =，若BM BA BC λμ=+，则 λμ-的值是（ ）A ．13B ．12C ．1D ．239．已知向量a ，b 夹角为3π，向量c 满足1b c -=且 a b a c b c ++=，则下列说法正确的是（ ）A ．2b c +<B ．2a b +>C ．1b <D ．1a > 10．已知ABC 是等腰直角三角形，90A ∠=︒，4AB AC ==，S 是平面ABC 内一点，则()SA SB SC ⋅+的最小值为（ ）A ．4-B ．4C ．6D ．6- 二、多选题11．设向量(1,1),(0,2)a b =-=，则（ ）A ．()//a b a -B |||a b =C ．与向量a 方向相同的单位向量的坐标为⎛ ⎝⎭D ．向量b 在向量a 上的投影向量坐标为(1,1)-12．己知向量()()2,1,3,1a b ==-，则（ ） A ．()a b a +⊥ B ．25a b +=C ．向量a 在向量b 方向上的投影是D ．与向量a 方向相同的单位向量是⎝⎭13．在ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、BC 和AC 的中点，则（ ） A ．2DF BC =B ．2()CD CE CF =+C ．()0CD CB CA ⋅-=D ．2244BC BA BF AC ⋅=-三、填空题14．在平面四边形ABCD 中，P ，Q 分别为AB ，CD 的中点，4AD =，3PQ =，()4PQ AB DC ⋅-=，则AD BC ⋅=___________.15．已知向量()2,1a =-，()4,b x =，且//a b ，则2a b +=___________. 16．非零平面向量,a b ，满足||2b =，且()||b b a b a ⋅-=-，则||a 的最小值为___________． 17．设||10AB =．若平面上点P 满足，对于任意t R ∈，有3AP t AB -≥，则PA PB ⋅的最小值为______，此时||PA PB +=________．四、解答题 18．在ABC 中，BC 的中点为D ，设向量,.AB a AC b ==（1）用,a b 表示向量AD ；（2）若向量,a b 满足3,2,,60a b a b ︒==〈〉=，求AB AD ⋅的值.19．已知向量1||2,,2a b ⎛==- ⎝⎭.（1）若()0-⋅=a b b ，求向量a 与b 的夹角；（2）在矩形ABCD 中，设,,AB a AD b E ==为CD 的中点，F 为BC 的中点，求AE AF ⋅的值．20．已知向量()2(1,1),2,a b t =-=-． （Ⅰ）若向量a 与b 共线，求t 的值；（Ⅰ）若t =2a b λ-与a 垂直，求实数λ的值．21．设向量()3sin ,sin a x x =，()cos ,sin b x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （1）若a b =，求实数x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大值．22．如图，已知ABC 的面积为14，D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，且::2:1AD DB BE EC ==， AE 与CD 交于P ．设存在λ和μ使AP AE λ=，PD CD μ=，AB a =，BC b =．（1）求λ及μ；（2）用a ，b 表示BP ；（3）求PAC △的面积．参考答案1．B2．A3．C4．A5．A6．D7．C8．A9．A10．A11．BCD12．ABCD13．AD 14．615．1617．16- 618．（1）11+22a Db A =；（2）6AB AD ⋅=． 19．（1）3π；（2）52 20．（Ⅰ）t =；（Ⅰ）5λ=-21．（1）6x π=；（2）32. 22．（1）67λ=，47μ=；（2）1477a b -+；（3）4．。
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点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同学时要注意数量积运算律的应用．
3．【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为 的直线与C交于M，N两点，则 =
由 得 因此 的最小值为圆心 到直线 的距离 减去半径1，为 选A.
点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.
2．【2018年理数天津卷】如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ， .若点E为边CD上的动点，则 的最小值为
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
2.【2017北京，理6】设m,n为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
【答案】A
详解：由题可得 ， ， ,即 ，故答案为
点睛：本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题。
2017年高考全景展示
1.【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若 = + ，则 + 的最大值为
A．3B．2 C． D．2
4．【2018年理新课标I卷】在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到 ，下一步应用相反向量，求得 ，从而求得结果.
详解：根据向量的运算法则，可得
1．【2018年浙江卷】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为 ，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是
A. −1B. +1C.2D.2−
【答案】A
【解析】分析:先确定向量 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.
详解：设 ，则由 得 ，
详解：因为 所以选B.
点睛：向量加减乘：
6．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系 中，A为直线 上在第一象限内的点， ，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若 ，则点A的横坐标为．
【答案】3
【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.
详解：设 ，则由圆心 为 中点得 易得 ，与 联立解得点D的横坐标 所以 .所以 ，
，
所以 ，故选A.
点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
5．【2018年理数全国卷II】已知向量， 满足 ， ，则
A.4B.3C.2D.0
【答案】B
【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
【解析】
试题分析：若 ，使 ，即两向量反向，夹角是 ，那么 T，若 ，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，即不一定存在负数 ，使得 ，所以是充分不必要条件，故选A.
【考点】1.向量；2.充分必要条件.
【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若 ，那么 是 的充分不必要，同学时 是 的必要不充分条件，若 ，那互为充要条件，若 ，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若 ,若 ，那么 是 的充分必要条件，同学时 是 的必要不充分条件，若 ，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将 是 条件的判断，转化为 是 条件的判断.
A.5B.6C.7D.8
【答案】D
详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为 的直线方程为 ，与抛物线方程联立 ，消元整理得： ，解得 ，又 ，所以 ，
从而可以求得 ，故选D.
点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出 ，之后借助于抛物线的方程求得 ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.
由 得 或 ，
因为 ，所以
点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
7．【2018年全国卷Ⅲ理】已知向量 ， ， ．若 ，则 ．
【答案】
【解析】分析：由两向量共线的坐标关系计算即可。
【答案】A
【解析】
试题分析：如图所示，建立平面直角坐标系
设 ,
根据等面积公式可得圆的半径 ，即圆C的方程是 ，
，若满足 ，
即 ， ，所以 ，
设 ，即 ，点 在圆 上，
所以圆心到直线的距离 ，即 ，解得 ，
所以 的最大值是3，即 的最大值是3，故选A.
【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理
【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ， ， ，
点 在 上，则 ，设 ，则： ，即 ，据此可得： ，且： ， ，由数量积的坐标运算法则可得： ，整理可得： ，
3.【2017浙江，1AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记 ， ， ，则