北师大全等三角形专题复习

全等三角形专题复习

一、知识要点

1．全等三角形及其相关概念

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做

对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边．

2．全等三角形的数学语言

如图1所示，三角形ABC 与三角形A′B′C′全等，记作△ABC ≌△A′B′C′，读作“三角形

ABC 全等于三角形A′B′C′”．

3．全等三角形的性质

（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形

的面积相等，周长相等；（3）全等三角形的对应线段（高线、中线、

角平分线）相等．

4．全等三角形的判定方法

①“边、角、边”（或SAS ）定理；②“角、边、角”（或ASA ）定理；③“角、角、边”

（或AAS ）定理；④“边、边、边”（或SSS ）定理；⑤ “斜边、直角边”（或HL ）定理．

5．说明全等三角形的思路

(ASA)(AAS)?????????????????????????????????????

找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边(SAS)(HL)(SSS) (AAS)(SAS)(ASA)(AAS) 6．应注意的问题

（1）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上；

（2）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形

不一定全等．

二、

1.要牢固掌握判定三角形全等的方法

判定三角形全等主要有五种方法：（1）全等三角形的定义：三边对应相等，三角对应相

等的两个三角形全等；（2）三边对应相等的两个三角形全等（简记为：SSS ）；（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为：ASA ）；（4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为：AAS ）；（5）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为：SAS ）。若是Rt △，则除了上述五种方法外，还有一种方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：HL ）。在判定Rt △是否全等时，首先要用这种方法，若不能判定，再用一般三角形全等的判定方法（即上述五种）。从这些方法中不难发现，判定三角形全等，无论哪种方法，都要有三组元素对应相等，

且其中至少要有一组对应

边相等。应注意，没有“AAA”和“SSA”的判定方法，这是因为“三角对应相等的两个三角形”和“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形”未必全等，前者是很显然的，如图2，△ABC 和△ADE 中，∠A=∠A ，∠1=∠3，∠2=∠4，即三个角对应相等，但它们只是形状相同而大小并不相等，故它们不全等；至于后者，如图3，△ABC 和△ABD 中，AB=AB ，AC=AD ，∠B=∠B ，即两边及其中一边的对角对应相等，但它们并不全等。弄清这些事实，既可牢固掌握三角形全等的判定方法，又能避免解（证）题的错误。至于判定方法的选择，则要视具体情况而定。一般地，已知一边一角对应相等，可选择SAS 、AAS 、ASA 来判定；已知两角对应相等，可选择ASA 、AAS 来判定；已知两边对应相等，可选择SAS 、SSS 来判定。

2、要熟悉全等三角形的基本图形全等三角形的基本图形大致有如下几种：

（1）平移型 下图的图形属于平移型图形

它们可看成是由对应相等的边在同一直线上移动所构成的，故该对应边的相等关系一般

可由同一直线上的线段和或差而证得。

2、对称型 下面的图形属于对称型图形

它们的特征是可沿某一直线对折，且这直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全

等三角形的对应顶点。

3、旋转型 下面的图形属于旋转型图形

它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转所构成的，故一般有一对相等的角隐含在

平行线、对顶角、某些角的和或差中。

3、切实掌握用全等三角形证题的基本思路

全等三角形具有对应边相等和对应角相等的重要性质，

因此利用全等三角形可证明某些

线段或角相等，一般地，有如下两种情况。

（1）条件充足时直接应用

（2）条件不足，会增加条件用判别方法

此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．

（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法

在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．

（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法

有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．

三、思想方法

1．转化思想：应用全等三角形的知识解决测河宽、测池塘宽、测工件内径等实际问题就是转化思想的运用．

2．运动变化思想：在研究三角形全等时，经常会出现三角形按照某种特定的规律变化，需要运用运动变化的思想进行解决．

3．构造图形法：在直接找不到两个全等三角形时，常常通过平移、对称、旋转等图形变换的方法构造全等三角形．

4．分析综合法：从已知条件出发探索解题途径的方法叫综合法；从结论出发不断寻找使结论成立的条件与已知条件关系的方法叫分析法；两头凑的方法就是综合运用分析综合法去寻找证题的一种方法．

基本训练

1、判断下面各组的两个三角形是否全等：

1) 2) 3)

2、如图，D在AB上，E在AC上，且∠B =∠C，那么补充下列一具条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是( )

A．AD=AE B．∠AEB=∠ADC C．BE=CD D．AB=AC

第二题第三题

3、已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，∠1=∠2，图中全等的三角形共有( )

A．1对B．2对C．3对D．4对

4、下列说法中正确的是（）

A.有一个角对应相等且周长相等的两个三角形全等；

B.两个等边三角形全等：

C.有一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；

D.有一个锐角和一直角边相等的两个直角三角形全等。

5、下面条件中, 不能证出Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（）

(A.)AC=A'C' , BC=B'C'

(B.)AB=A'B' , AC=A'C'

(C.) AB=B'C' , AC=A'C'

(D.)∠B=∠B' , AB=A'B'

7、如图：∠E=∠F=90°，∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论：①∠1=∠2; ②BE=CF; ③⊿ACN ≌⊿ABM; ④CD=DN.其中正确的结论是

第7题第8题

8.两块含30°角的相同直角三角板，按如图位置摆放，使得两条相等的直角边AC、C1A1共线

（1)图中有多少对全等三角形？并将它们写出来；

（2）选择其中一对（⊿ABC≌⊿A1B1C1除外）进行证明.

9.若两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，则这两个三角形第三边所对的角的关系是(图示说明)

10.如图，在△ABC 中，AD ⊥ BC ，CE ⊥ AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，

请你添加一个适当的件，使△AEH ≌△CEB. 或 或

11.如图7，已知∠ACB=∠DBC ，且△ABC 中，AB=6，AC=8，要使△ABC ≌△DCB ，则需_________

12.如图已知∠A=∠D ，∠1=∠2，要得到△ABC ≌△DEF ，还应给出的条件是（ ）

A 、∠E=∠

B B 、ED=B

C C 、AB=EF

D 、AF=DC

四、考点解密

考点一、全等三角形有关的概念

1、能够完全重合的两个图形叫做全等形．全等形的大小、形状相同．平移、翻折、旋

转前后的图形全等．

2、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．把两个全等的三角形重合在一起，重

合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．

例1．如图4，在ABC △中，AB AC =，点E ，D ，F 在边BC 上，且BAD CAD ∠=∠，

BE CF =，则图中全等三角形共有（ ）

A ．2对

B ．3对

C ．4对

D ．5对

分析：由已知条件，AB AC =，点E ，D ，F 在边BC

上，且BAD CAD ∠=∠，可知B C ∠=∠，在ABE △和ACF

△中，A B

A C =，

B

C ∠=∠，BE CF =，所以(S A S

A B E A C F △≌△，AE AF =，BAF CAF ∠=∠． 在ADE △和ADF △中，A E A F =，AD AD =， A

F C 图4 B D

EAD FAD ∠=∠，所以(SAS)ADE ADF △≌△，DE DF =．

在ADB △和ADC △中，A B A C =，AD AD =，BD DC =，所以

(SSS)ADB ADC △≌△．

同样可知ABF ACE △≌△．所以选（C ）．

例2．如图5，ABC △是不等边三角形，DE BC =，以D ，E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与ABC △全等，这样的三角形最多可以画出（ ）

A ．2个

B ．4个

C ．6个

D ．8个

分析：根据全等三角形的识别，在DE 上方作1A DE B ∠=∠，

1A ED C ∠=∠，根据ASA 可知1A DE ABC △≌△，根据对称性

可知在DE 的下方也存在一个这样的全等三角形；在DE 上方作2A DE C ∠=∠，2A DE B ∠=∠，根据ASA

可知2A D E A B C

△≌△，同样在下方也存在一个这样的三角形；过E 在DE 下方作3DEA B ∠=∠，3DEA C ∠=∠，根据ASA 可知所作是三角形和已知三角形全等，根据对称性可知在DE 的上方也存在这样一个三角形.所以共可作6个三角形与ABC △全等.

考点二、三角形全等的条件

1、三边对应相等的两个三角形全等（SSS ）．

2、两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）．

3、两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）．

4、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS ）．

对于两个直角三角形，除了上述4条还有：

5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ）．

例3．（1）如图6，已知AB ＝AD ，∠1＝∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是（只需填一个） ．

（2）

已知：如图7，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ．请

你添加一个条件是图中存在全等三角形，并给予证明．

所添条件为 ，你得到的一对全等三角形为 ．

解析：（1）这是一例条件开放的试题，答案不唯一．因为∠1＝∠2，所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ，即∠BAC ＝∠DAE ，又AB ＝AD 已知，故由三角形全等的条件可知，要使△ABC ≌△ADE ，可以添加的条件是∠B ＝∠D （ASA ）或∠C ＝∠E （AAS ）或AC ＝AE （SAS ）．

A

B C D

E 1 2 图6 A

B

C D

E 图5

B

（2）与（1）题相比，开放性更强，该题条件和结论都是开放的．所添条件可以是：∠A ＝∠B （或PA=PB 或AC=BD 或AD=BC 或∠APC ＝∠BPD 或∠APD ＝∠BPC ）全等三角形为：△PAC ≌△PBD （或△APD ≌△BPC ），证明请同学们给出吧！

考点三、全等三角形的性质

全等三角形的大小、形状相同；全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．

例4．已知：如图8，△OAD ≌△OBC ，且∠O ＝70°，∠C ＝25°，则∠AEB ＝________

度. 120

解析:∵△OAD ≌△OBC,∴∠D=∠C ＝25°,∴∠EAC=∠O+∠D=70°+25°=95°,

∴∠AEB=∠C+∠EAC=25°+95°=120°.故填120. 评注:本题主要考查的知识点是全等三角形的对应角相等和三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 考点四、与三角形全等有关的应用题 三角形的有关知识特别是全等三角形知识在生活中有着广泛的应用．

例5．某校二（4）班学生到野外活动，为测量一池塘两端A 、B 的距离，设计了如下方案：

（1）如图9（1）先在平地取一个可以直接到达A 、B 的点C ，可连结AC 、BC ，并延长AC 到D 、BC 到E ，使DC=AC ，EC=BC ，最后测出DE 的距离即为AB 之长．

（2）如图9（2）先过B 点作AB 的垂线BF ，再在BF 上取C 、D 两点，使BC=CD ，接着过点D 作BD 的垂线DE ，交AC 的延长线于E ，

测出DE 的长即为A 、B 的距离，

阅读后回答下列问题：

（1）方案（1）是否可行？ ，理由是

（2）方案（2

）是否切实可行？ ，理由是 （3）方案（2）中作BF ⊥AB ，ED ⊥BF 的目的

是 ；若仅满足∠ABD=∠BDE≠900，

方案（2）是否成立？ ．

解：（1）可行，边角边；（2）可行，角边角；（3）使∠ABC=∠EDC ，仍成立

评注：本题让我们了解测量两点之间的距离的设计方案不只一种，只要符合三角形全等的条件，方案的操作性很强，需要测量的线段和角度在陆地一侧即可实施．

考点五、创新型考题

例6．复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC 中，AB=AC ，P 是△ABC 内部任意一点，将AP 绕A 顺时针旋转至AQ ，使∠QAP=∠BAC ，连接BQ 、CP ，则BQ=CP ．”

小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ ≌△ACP ，从而证得BQ=CP 之后，将点P 移到等腰三角形ABC 之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．

分析:模仿图①的证明可以完成图②的证明,仍然是证明BQ=CP 所在的△AQB ≌△APC,应用SAS 定理达到目的.

证明：Q A P B A C

∠=∠，QAP PAB PAB BAC

∴∠+∠=∠+∠O

D A

B E 图8 D 图9（1） 图9（2） 图① Q

P

B A A Q

B

P C

图②

．即QAB PAC ∠=∠．

在ABQ △和ACP △中，.AQ AP QAB PAC AB AC =??∠=∠??=?

，，ABQ ACP ∴△≌△．BQ CP ∴=．

评注:考查同学们从具体、特殊的情形出发去探究运动变化过程中的规律的能力，试题的设计层层递进，为发现规律、证明结论设计了可借鉴的过程，通过前面问题解决过程中所提供的思想方法，去解决类似相关问题，考查了同学们的后续学习的能力．

练习：

1、如图10，在△ABC 与△DEF 中，给出以下六个条件中（1）AB ＝DE （2）BC ＝EF

（3）AC ＝DF （4）∠A ＝∠D （5）∠B ＝∠E （6）∠C ＝∠F ，以其中三个作为已知条件，不能．．

判断△ABC 与△DEF 全等的是（ ） A 、（1）（5）（2） B 、（1）（2）（3） C 、（4）（6）（1） D 、（2）（3）（4）

2、已知：如图11，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．

3、如图12，AB ，CD 相交于点O ，AB=CD ，试添加一个条件使得△AOD ≌△COB ，你添加的条件是 （只需写一个）.

4、已知：如图13，B C E ，，三点在同一条直线上，AC DE ∥，AC CE =，ACD B ∠=∠．

求证：ABC CDE △≌△． 5、如图14，小明为了测量河的宽度，他先站在河边的C 点面向

河对岸，压低帽檐使目光正好落在河对岸的岸边A 点，然后他姿态不变原地转了1800，正好看见他所在岸上的一块石头B 点，他度量了

BC=30米，你能猜出河有多宽吗？

6、我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角

形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等?

(1)阅读与证明：

对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．

对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略)．

对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如

下：

已知：△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB=A 1B 1，

BC=B 1C l ，∠C=∠C l ．

求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1．(请你将下列证明过程补充完整)

证明：分别过点B ，B 1作BD ⊥CA 于D ，B 1 D 1⊥C 1 A 1于D 1．

则∠BDC=∠B 1D 1C 1=900，

∵BC=B 1C 1，∠C=∠C 1，∴△BCD ≌△B 1C 1D 1，∴BD=B 1D 1． B A C D 图14 A D B

C

E 图1 图13 D

B C A

O

图12

C

E O D

B A

(2)归纳与叙述： 由(1)可得到一个正确结论，请你写出这个结论．

参考答案：

1、解析：根据全等三角形的识别方法及给出的四个答案，一一加以辨别，因为用（SAS ）识别法中，两边对应相等的话，一定要夹角对应相等，所以答案（D ）不能．．

判断△ABC 与△DEF 全等。

2、解析：由CE ⊥AB ，BD ⊥AC ，得∠AEO=∠ADO=90o．由AO 平分∠BAC ，得∠EAO=∠DAO ．又AO 为公共边，所以△AEO ≌△ADO ．所以EO=DO ，AE=AD ．又∠BEO=∠CDO=90o，∠BOE=∠COD ，所以△BOE ≌△COD ．由

AE=AD ，∠AEO=∠ADO=90o，∠BAC 为公共角，所以△EAC ≌DAO ．所以AB=AC ．又∠EAO=∠DAO ， AO 为公共边，所以△ABO ≌△ACO ．所以图中全等的三角形一共有4对．

3、解析：由对顶角相等，得∠AOD=∠COB ，若加条件AO=CO ，则由AB=CD ，可得AB －AO= CD －CO ，即BO=DO ．由“SAS”得△AOD ≌△COB ．同理，也可以加条件BO=DO ．如果连接DB ，那么可加条件AD=CB ，先说明△ADB ≌△CBD ，得∠A=∠C,再得出△AOD ≌△COB ．所以应填AO=CO ，或BO=DO ，或AD=CB 等．

4、证明：∵AC ∥DE ，ACD D ∴∠=∠，BCA E ∠=∠．

又∵∠ACD=∠B.，B D ∴∠=∠．

又∵AC=CE.ABC CDE ∴△≌△．

5、解：河宽30米，理由如下：

∵小明姿态不变原地转了1800，∴∠ACD=∠BCD=900

，

∵帽檐的位置没动，∴帽檐与小明自身的角度不变， 即∠ADC=∠BDC ，在△ACD 和△BCD 中，ACD BCD CD CD ADC BDC ∠=∠??=??∠=∠?

，∴△ACD ≌△BCD ，

∴AC=BC=30m ．

6、解：（1）又∵AB=A 1B 1，∠ADB=∠A 1D 1B 1=90°． ∴△ADB ≌△A 1D 1B 1，

∴∠A=∠A 1， 又∵∠C=∠C 1，BC=B 1C 1， ∴△ABC ≌△A 1B 1C 1．

（2）若△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，

AB=A 1B 1，BC=B 1C 1，∠C=∠C 1，则△ABC ≌△A 1B 1C 1．