1.1.2瞬时变化率——导数(1)课件ppt苏教版数学选修2-2
高中数学(苏教版)选修22配套课件：1.1.2 瞬时变化率——导数(1)
课堂练习：
练习：已知 f (x) x ，求曲线 y f (x) 在
x 1 处的切线Байду номын сангаас率和切线方程． 2
小 结：
1．曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接 近P点附近曲线的直线，则P点处的变化趋势可以由 该点处的切线反映 (局部以直代曲)．
所以xQ＝x＋2
＝xQ＋2
kPQ＝
(2＋x) x
2－4
＝ 4x＋x2 x
＝4＋x
当xQ无限趋近于2时， kPQ无限趋近于常数4， 从而曲线f(x)＝x2 在点(2，4)处的切线 斜率为4．
当Δx无限趋近于0时， kPQ无限趋近于常数4， 从而曲线f(x)＝x2 在点(2，4)处的切线 斜率为4．
线 Q
切线 l
x
如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线. 随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近逼近曲线C，当 点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的
直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线．这种方法叫割线逼
近切线.
y
P为已知曲线C上的一点，
Q
如何求出点P处的切线方程？
＝2＋ x
当△x无限趋近于
0时，割线逼近切线， 割线斜率逼近切线斜 率．
当Δx无限趋近于0时， kPQ无限趋近于常数2， 从而曲线f(x)＝x2＋1 在点x＝1处的切线斜率为2．
y
割线
Q
切线
y=f(x) P（x0,f(x0))
y = f(x)
f (x0+x) f (x0) Q(x0+△x,f(x0+ △x))
高中数学第一章导数及其应用1.1.2瞬时变化率--导数学案苏教版选修2
1.1.2 瞬时变化率——导数导数定义求函数的导函数.1．瞬时速度(1)在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为__________．(2)一般地，如果当Δt __________0时，运动物体位移s (t )的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt无限趋近于一个______，那么这个______称为物体在t ＝t 0时的__________，也就是位移对于时间的____________．预习交流1做一做：如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3 s 时的瞬时速度为__________． 2．瞬时加速度一般地，如果当Δt __________时，运动物体速度v (t )的平均变化率v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt无限趋近于一个_______，那么这个________称为物体在t ＝t 0时的_________，也就是速度对于时间的____________．3．导数(1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx无限趋近于一个______A ，则称f (x )在x ＝x 0处______，并称该______A 为函数f (x )在x ＝x 0处的______，记为______．(2)导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的________． (3)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的________，记作________．预习交流2做一做：设函数f (x )可导，则当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于__________．预习交流3做一做：函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是__________．预习交流4利用导数求曲线切线方程的步骤有哪些？预习导引1．(1)平均速度 (2)无限趋近于 常数 常数 瞬时速度 瞬时变化率预习交流1：提示：s (3＋Δt )＝3(3＋Δt )2＝3[9＋6Δt ＋(Δt )2]＝27＋18Δt ＋3(Δt )2.s (3)＝3×32＝27.Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝18Δt ＋3(Δt )2， ∴Δs Δt ＝18＋3Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt→18. 2．无限趋近于0 常数 常数 瞬时加速度 瞬时变化率3．(1)常数 可导 常数 导数 f ′(x 0) (2)斜率 (3)导函数 f ′(x )预习交流2：提示：f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13·f (1＋Δx )－f (1)Δx，当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)，∴原式＝13f ′(1)．预习交流3：提示：∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝(Δx )21＋Δx.∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx →0，即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0. 预习交流4：提示：利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)； (3)将所得切线方程化为一般式．一、求瞬时速度一辆汽车按规律s ＝at 2＋1做直线运动，当汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度为12 m/s ，求a .思路分析：先根据瞬时速度的求法得到汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度的表达式，再代入求出a 的值．1．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2.其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是__________．2．子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出时所用的时间为t 0＝1.6×10－3s ．求子弹射出枪口时的瞬时速度．根据条件求瞬时速度的步骤：(1)探究非匀速直线运动的规律s ＝s (t )；(2)由时间改变量Δt 确定路程改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；(3)求平均速度v ＝ΔsΔt；(4)运用逼近思想求瞬时速度，当Δt →0时，ΔsΔt→v (常数)．二、利用导数的定义求函数的导数已知f (x )＝x 2－3.(1)求f (x )在x ＝2处的导数； (2)求f (x )在x ＝a 处的导数．思路分析：根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键．1．若函数f (x )＝ax －2在x ＝3处的导数等于4，则a ＝__________.2．(1)求函数f (x )＝1x ＋1在x ＝1处的导数；(2)求函数f (x )＝2x 的导数．结合函数，先求出Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，再求ΔyΔx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx →0时，求ΔyΔx 的值，即f ′(x 0)．三、导数的几何意义已知y ＝2x 3上一点A (1,2)，求点A 处的切线斜率．思路分析：为求得过点(1,2)的切线斜率，可以从经过点(1,2)的任意一条直线(割线)入手．1．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为__________．2．已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程．1．导数的几何意义是指：曲线y ＝f (x )在(x 0，y 0)点处的切线的斜率就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值．2．运用导数的几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否是在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处的曲线的切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率．3．若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解．1．若一物体的运动方程为s ＝2－12t 2，则该物体在t ＝6时的瞬时速度为__________．2．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为__________． 3．函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为__________．4．一质点按规律s ＝2t 3运动，则t ＝2时的瞬时速度为__________．5．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)＝__________.答案：活动与探究1：解：∵s ＝at 2＋1，∴s (2＋Δt )＝a (2＋Δt )2＋1＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1.于是Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1－(4a ＋1)＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2，∴Δs Δt ＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2Δt＝4a ＋a ·Δt . 当Δt →0时，ΔsΔt→4a ，依题意有4a ＝12，∴a ＝3. 迁移与应用：1．5 m/s 解析：s (3＋Δt )＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2＝(Δt )2＋5Δt ＋7，所以s (3＋Δt )－s (3)＝(Δt )2＋5Δt ， 故s (3＋Δt )－s (3)Δt＝Δt ＋5，于是物体在3 s 末的瞬时速度，即Δt →0时，ΔsΔt→5(m/s)．2．解：运动方程为s ＝12at 2.∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0·Δt ＋12a ·(Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a ·Δt ，∴Δt →0时，ΔsΔt→at 0. 由题意知a ＝5×105(m/s 2)，t 0＝1.6×10－3(s)，故at 0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.活动与探究2：解：(1)因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－3－(22－3)Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4.(2)因为Δy Δx ＝f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝(a ＋Δx )2－3－(a 2－3)Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .迁移与应用：1．4 解析：由题意知f ′(3)＝4，而f ′(3)＝Δy Δx ＝a (3＋Δx )－2－(3a －2)Δx＝a ，当Δx →0时，ΔyΔx→a ，故a ＝4.2．解：(1)(导数定义法)∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝12＋Δx －12＝－Δx 2(2＋Δx )，∴ΔyΔx＝－12(2＋Δx )，从而Δx →0时，2＋Δx →2，∴f (x )在x ＝1处的导数等于－14.(导函数的函数值法)∵Δy ＝1x ＋Δx ＋1－1x ＋1＝－Δx (x ＋Δx ＋1)(x ＋1)，∴ΔyΔx＝－1(x ＋Δx ＋1)(x ＋1)，从而Δx →0时，Δy Δx →－1(x ＋1)2，于是f ′(1)＝－1(1＋1)2＝－14.(2)∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝2x ＋Δx －2x ，∴Δy Δx ＝2x ＋Δx －2x Δx ＝(2x ＋Δx －2x )(x ＋Δx ＋x )Δx (x ＋Δx ＋x )＝2x ＋Δx ＋x，从而Δx →0时，Δy Δx →1x.活动与探究3：解：设A (1,2)，B (1＋Δx,2(1＋Δx )3)，则割线AB 的斜率为k AB ＝2(1＋Δx )3－2Δx ＝6＋6Δx ＋2(Δx )2，当Δx 无限趋近于0时，k AB 无限趋近于常数6，从而曲线y ＝2x 3在点A (1,2)处的切线斜率为6.迁移与应用：1．x －y －1＝0 解析：∵y ＝14x 2，Δy ＝14(2＋Δx )2－14×22＝Δx ＋14(Δx )2，Δy Δx＝1＋14Δx ， ∴当Δx →0时，Δy Δx →1，即f ′(2)＝1，由导数的几何意义得抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线的斜率为1.∴切线方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0.2．解：因为Δy Δx ＝3(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(3×12－1)Δx＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0. 当堂检测1．－6 解析：Δs Δt ＝s (6＋Δt )－s (6)Δt ＝2－12(6＋Δt )2－(－16)Δt ＝－12Δt －6，∴当Δt →0时，ΔsΔt→－6.2．45° 解析：∵Δy Δx ＝12(1＋Δx )2－2－12×1＋2Δx ＝Δx ＋12(Δx )2Δx ＝1＋12Δx ，当Δx无限趋近于0时，1＋12Δx 无限趋近于1，∴曲线y ＝12x 2－2在点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线斜率为1，∴倾斜角为45°.3．－3 解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，Δy Δx ＝－3，则Δx 趋于0时，ΔyΔx＝－3.∴f (x )在x ＝2处的导数为－3.4．24 解析：Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝2(2＋Δt )3－2×23＝2×[8＋6(Δt )2＋12Δt ＋(Δt )3]－16＝24Δt ＋12(Δt )2＋2(Δt )3， ∴Δs Δt ＝24＋12Δt ＋2(Δt )2，则当Δt →0时，Δs Δt →24. 5．98解析：由题图可知，直线l 的方程为9x ＋8y －36＝0. 当x ＝2时，y ＝94，即f (2)＝94.又切线斜率为－98，即f ′(2)＝－98，∴f (2)＋f ′(2)＝98.欢迎您的下载，资料仅供参考！。
苏教版数学高二数学苏教版选修2-2知识必备1.1.1平均变化率瞬时变化率导数
1.1 导数的概念1.1.1 平均变化率1.1.2 瞬时变化率——导数知识梳理1.函数f(x)在区间［x 1,x 2］上的平均变化率为___________.2.设物体运动的路程与时间的关系是s=f(t),当Δt 趋近于0时,函数f(t)在t 0+Δt 之间的平均变化率tt f t t f ∆-∆+)()(00趋近于常数.我们把这个常数称为t 0时刻的____________. 3.函数y=f(x)在x 0处的导数f′(x 0)的几何意义,就是曲线y=f(x)在(x 0,f(x 0))处切线的斜率,即k=f′(x 0)=_____________.知识导学要学好本节内容,最重要的是理解平均变化率和瞬时变化率的概念.本节的重点是导数的定义及其几何意义,难点是利用割线逼近的方法求曲线在某点处的导数,及两种变化率之间的关系.疑难突破1.正确理解平均变化率和瞬时变化率的关系.剖析:平均变化率和瞬时变化率都是反映事物变化程度的量,平均变化率表示的是曲线在某区间上的变化趋势;瞬时变化率表示的是曲线上某一点处的变化趋势.2.怎样理解导数的定义及几何意义?剖析:导数是函数在某一点处的瞬时变化率，导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率.导数的概念就是变量变化速度在数学上的一种抽象,深刻理解导数的定义是本节的关键.典题精讲【例1】 已知f(x)=x 2,求曲线y=f(x)在x=3处的切线斜率.思路分析：为求得过点(3,9)处的切线斜率,我们从经过点(3,9)的任意一条直线(割线)入手.解：设P(3,9),Q(3+Δx,(3+Δx)2),则割线PQ 的斜率为k PQ =xx ∆-∆+9)3(2=6+Δx. 当Δx 无限趋近于0时,k PQ 无限趋近于常数6,从而曲线y=f(x)在点P(3,9)处的切线斜率为6. 绿色通道：利用割线逼近切线的方法,求曲线在某一点处的切线斜率的方法是一种比较直观的解题方法.变式训练：已知f(x)=2x 2,求曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率.思路分析:为求得过点(1,2)处的切线斜率,我们从经过点(1,2)的任意一条直线(割线)入手. 解:设P(1,2),Q(1+Δx,2(1+Δx)2),则割线PQ 的斜率为k PQ =xx ∆-∆+2)1(22=4+2Δx. 当Δx 无限趋近于0时,k PQ 无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点P(1,2)处的切线斜率为4.【例2】 已知f(x)=x 2+3.(1)求f(x)在x=1处的导数;(2)求f(x)在x=a 处的导数.思路分析：函数在某一点处的导数实际上就是相应函数图象在该点切线的斜率,深刻理解概念是正确解题的关键.解:(1)因为xx x f x f x y ∆+-+∆+=∆-∆+=∆∆)31(3)1()1()1(22=2+Δx ， 当Δx 无限趋近于0时,2+Δx 无限趋近于2,所以f(x)在x=1处的导数等于2.(2)因为xa x a x a f x a f x y ∆+-+∆+=∆-∆+=∆∆)3(3)()()(22=2a+Δx ， 且当Δx 无限趋近于0时,2a+Δx 无限趋近于2a,所以f(x)在x=a 处的导数等于2a.绿色通道：本题主要考查对导数概念的理解程度,及应用定义解题的熟炼程度.变式训练：已知f(x)=3x+5,求当x=2时的导数.思路分析：函数在某一点处的导数的几何意义就是函数图象在该点切线的斜率.解:因为3)523(5)2(3)2()2(=∆+⨯-+∆+=∆-∆+=∆∆xx x f x f x y . 所以f(x)在x=2时的导数为3.【例3】 已知曲线y=3x 2-x,求曲线上一点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程.思路分析：求曲线上某点的切线斜率就是求函数在那一点的导数值.解:因为x xx x x y ∆+=∆-⨯-∆+-∆+=∆∆35)113()1()1(322, 当Δx 趋近于0时,5+3Δx 就趋近于5,所以曲线y=3x 2-x 在点A(1,2)处的切线斜率是5. 切线方程为y-2=5(x-1),即5x-y-3=0.绿色通道：根据导数的定义将切线的斜率求出,再根据点斜式方程求出切线方程,这是用导数求某点处切线的一般方法.变式训练：已知曲线y=331x 上一点P(2,38),求点P 的切线斜率及点P 处的切线方程. 思路分析：先求出某点处的切线斜率,即求该函数在某点处的导数，然后利用导数定义求解.解:因为xx x y ∆⨯-∆+=∆∆33231)2(31 xx x x x x x x ∆∆+∆+∆=∆∆+∆⨯+∆⨯=323223124])()(2323[31=4+2Δx+231x ∆， 当Δx 趋近于0时,4+2Δx+2 31x ∆就趋近于4， 所以曲线y=331x 上点P(2,38)处的切线斜率为4，切线方程为)2(438-=-x y ，即03164=--y x 问题探究问题：某钢管厂生产钢管的利润函数为P(n)=-n 3+600n 2+67 500n-1 200 000,其中n 为工厂每月生产该钢管的根数,利润P(n)的单位是元.(1)求边际利润函数P′(n)=0时n 的值;(2)解释(1)中n 的实际意义.导思：这是一道有关边际函数的实际应用题,由于利润函数已给出，只需先求边际利润函数P′(n),再根据P′(n)=0解出n 的值即可.探究：(1)因为nn n n n n n n y ∆-∆++∆++∆+-=∆∆1200000)(67500)(600)(23 =(-3n 2+1 200n+67 500)+Δn.当Δn 无限趋近于0时,-3n 2+1 200n+67 500+Δn 无限趋近于-3n 2+1 200n+67 500.∴P′(n)=-3n 2+1 200n+67 500.由P′(n)=0,即-3n 2+1 200n+67 500=0.解得n=450或n=-50(舍).即当边际利润函数P′(n)=0时,n 的值为450.(2)P′(n)=0时,n 的值为450表示的实际意义是当工厂生产450根钢管时,利润增加量为零.。
高中数学第1章导数及其应用1_1_2瞬时变化率——导数互动课堂苏教版选修2-2
高中数学 第1章 导数及其应用 1.1.2 瞬时变化率——导数互动课堂 苏教版选修2-2疏导引导本节课重点是导数的定义和导数的几何意义，难点是利用定义求函数在某点处的导数和在开区间内的导数.一、函数y=f(x)在点x 0处的导数(变化率)是f′(x 0)或y′0|x x =，即 f′(x 0)=0lim→∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00，它是函数的平均变化率当自变量的改变量趋向于零时的极限值，如果极限不存在，我们就说函数在点x 0处不可导.疑难疏引 (1)函数应在点x 0的附近有定义，否则导数不存在.(2)在定义导数的极限式中，Δx 趋近于0可正、可负，但不为0，而Δy 可能为0. (3)xy∆∆是函数y=f(x)对自变量x 在Δx 范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线y=f(x)上点(x 0，f(x 0))及点(x 0+Δx，f(x 0+Δx))的割线斜率. (4)导数f′(x 0)= 0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00是函数y=f(x)在点x 0处的瞬时变化率，它反映的函数y=f(x)在点x 0处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线y=f(x)上点(x 0，f(x 0))处的切线的斜率.因此，如果y=f(x)在点x 0可导，则曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线方程为y-f(x 0)=f′(x 0)(x-x 0).(5)导数是一个局部概念，它只与函数y=f(x)在x 0及其附近的函数值有关，与Δx 无关. (6)在定义式中，设x=x 0+Δx，则Δx=x -x 0，当Δx 趋近于0时，x 趋近于x 0，因此，导数的定义式可写成f′(x 0)=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00=0lim x x →∆00)()(x x x f x f --. (7)若极限0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00不存在，则称函数y=f(x)在点x 0处不可导.(8)若f(x)在x 0可导，则曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0))有切线存在.反之不然，若曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0)有切线，函数y=f(x)在x 0不一定可导，并且，若函数y=f(x)在x o 不可导，曲线在点(x 0，f(x 0))也可能有切线，如切线平行与y 轴时. 一般地，0lim →∆x (a+bΔx)=a，其中a ，b 为常数.特别地，0lim →∆x a=a.如果函数y=f(x)在开区间(a ，b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f′(x)，从而构成了一个新的函数f′(x).称这个函数f′(x)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y′，即 f′(x)=y′=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(.函数y=f(x)在x 0处的导数y′0|x x =就是函数y=f(x)在开区间(a ，b)上导函数f′(x)在x 0处的函数值，即y′0|x x ==f′(x 0).所以函数y=f(x)在x 0处的导数也记作f′(x 0). 二、注意导数与导函数的区别与联系1.如果函数y=f(x)在开区间(a ，b)内每一点都有导数则称函数y=f(x)在开区间(a ，b)内可导.2.导数与导函数都可称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值.它们之间的关系是函数y=f(x)在点x 0处的导数就是导函数f′(x)在点x 0的函数值.3.求导函数时，只需将求导数式中的x 0换成x 即可，即f′(x)=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(.4.由导数的定义可知，求函数y=f(x)的导数的一般方法是： (1)求函数的改变量Δy=f(x+Δx)-f(x).(2)求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(. (3)取极限，得导数y′=0lim →∆x xy∆∆.三、导数与切线的理解 导数集数与形于一身，新教材在介绍导数几何意义时，利用割线的极限位置来定义了曲线的切线.从代数角度看，平均变化率是由函数上的一点(x 0，f(x 0))到另一点(x 0+Δx，f(x 0+Δx))函数值增量与自变量增量的比值，当Δx 无限趋近于零时，曲线上某点的平均变化率无限趋近于唯一的一个常数，这个常数称为在该点的导数；从几何角度看过曲线上任一定点引曲线的割线，当动点无限趋近于该定点时，割线的斜率无限趋近于唯一的一个常数，割线就变为切线，因此导数的几何意义即为曲线上过该点的切线的斜率.用运动变化的观念分析曲线C:y=f(x)上某点(x 0，y 0)的切线，从点(x 0，y 0)引割线，当另一交点无限趋近某点(x 0,y 0)时，割线就变为切线，割线的斜率趋近于唯一的一个常数，这个常数就是曲线上的某点(x 0,y 0)的导数，其几何意义为切线的斜率，计算方法为Δx→0时，k=x y∆∆=f′(x 0)，或x→x 0时，k=00x x y y --=f′(x 0).特别地，如果曲线y=f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线平行于y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x=x 0.四、导数的物理意义瞬时速度是路程对时间的变化率，某时刻的瞬时速度就是路程在某时刻的导数，加速度是速度的导数，动量是动能的导数. 活学巧用1.如果一个质点从定点A 开始沿直线运动的位移函数为y=f(t)=t 3+3. (1)当t 0=4且Δt=0.01时，求Δy 和ty ∆∆; (2)当t 0=4时，求0lim →∆t ty∆∆的值; (3)说明0lim →∆t ty∆∆的几何意义. 解析：(1)Δy=f(4+Δt)-f(4)=(4+Δt)3+3-43-3=(Δt)3+48Δt+12(Δt)2=(0.01)3+48(0.01)+12(0.01)2=0.481 201， ∴t y ∆∆=01.0481201.0=48.120 1. (2)当Δt=0.001时，ty∆∆=48.012 01， 当Δt=0.000 1时，t y∆∆=48.001 201. 所以当Δt→0时，0lim →∆t ty∆∆=48.(3)Δy 是质点由固定点A 开始在Δt 这段时间内的位移，所以ty∆∆是质点A 在Δt 这段时间内的平均速度，而0lim →∆t ty∆∆是质点A 在时间t 0的瞬时速度. 2.已知y=f(x)=x2,求y′及y′|x=1.解析：∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=xx ∆+2-x2=xx x x x x •∆+∆+-)(2,∴y′=0lim→∆x x y ∆∆=0lim →∆x x x x x x x x ∆••∆+∆+-)(2=0lim →∆x )()(2x x x x x x x x x x ∆++•∆••∆+∆--=0lim→∆x xx x x x x x x x 22)(2••-=∆++••∆+-=23--x.y′|x =1=f′(1)=23)1(--=-1.点评:函数的导数与在点x 0处的导数不是同一概念,在点x 0处的导数是函数的导数在x=x 0处的函数值.求函数的导数分三个步骤:(1)求函数增量Δy=f(x+Δx)-f(x); (2)求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(; (3)取极限并求极限值,得导数f′(x)=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(.3.如果曲线y=x 2+x-3的某一条切线与直线y=3x+4平行，求切点坐标与切线方程. 解析：∵切线与直线y=3x+4平行，∴斜率为3. 设切点坐标为(x 0,y 0),则y′0|x x ==3. 又y′0|x x ==0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00=0lim →∆x xx x x x x x ∆+---∆++∆+33)()(020020 =0lim →∆x (Δx+2x 0+1)=2x 0+1,∴2x 0+1=3,从而得⎩⎨⎧-==.1,100y x∴切点坐标为(1，-1)，切线方程为3x-y-4=0.4.在曲线y=x 2+3的图象上取一点P(1，4)及附近一点(1+Δx，4+Δy)，求(1)xy∆∆；(2)Δx→0时，求xy∆∆的值；(3)在点P(1，4)的切线方程. 解析：(1)x y ∆∆=xf x f ∆-∆+)1()1(=xx ∆+-+∆+)31(3)1(22=2+Δx.(2)Δx→0时，xy∆∆=2+Δx→2, 即0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x (2+Δx)=2. (3)由(2)知过点P(1,4)的切线的斜率为2，故在点P(1，4)的切线方程为y-4=2(x-1)，即2x-y+2=0.5.(1)已知质点运动方程是s(t)=221gt +2t-1,求质点在t=4时的瞬时速度，其中s 的单位是m ，t 的单位是s.(2)已知某质点的运动方程是s(t)=3t 2-2t+1,求质点在t=10时的瞬时速度和动能.(设物体的质量为m)分析:瞬时速度是路程对时间的变化率，而动能U=221mv . 解：(1)质点在t=4时的瞬时速度为v (t=4)=0lim →∆t tt s t s ∆-∆+)()4(=0lim →∆t tg t t g ∆+⨯-•--∆++∆+1424211)4(2)4(2122=0lim →∆t ttt g t g ∆∆+∆+∆24212=0lim →∆t (21gΔt+4g+2)=4g+2, 所以质点在t=4时的瞬时速度为4g+2 (m/s). (2)质点在t=10时的瞬时速度为v (t=10)=0lim→∆t ts t s ∆-∆+)10()10(=0lim →∆t t t t ∆-⨯+⨯-+∆+-∆+11021031)10(2)10(322 =0lim →∆t tt t ∆∆+∆5832=0lim →∆t (3Δt+58)=58, 所以质点在t=10时的瞬时速度为v=58 m/s ；质点在t=10时的动能为 U=m mv 21212=×(58)2=1 682m J.。
《1.1.2 瞬时变化率——导数》课件1-优质公开课-苏教选修2-2精品
导
作
学
业
的变化快慢，瞬时加速度为 0，并不是速度为 0.
课
堂
教
互
师
动
备
探
课
究
资
源
菜单
SJ·数学 选修 2-2
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
析
教
1．曲线上一点处的切线
学
当
方 案
设 Q 为曲线 C 上不同于 P 的一点，这时，直线 PQ 称
堂 双
设 计
为曲线的__割__线__，随着点 Q 沿曲线 C 向点 P 运动，割线 PQ
化率——曲线在某一点处的切线——瞬时速度(加速度)——
双 基
计
瞬时变化率——导数的概念”这样的顺序来安排，用“逼
达 标
课 前
近”的方法来定义导数，这种概念建立的方式直观、形象、
自
课
主 生动，又易于理解，突出导数概念的形成过程．
时
导
作
学
因此，在教学中采用教师启发诱导与学生动手操作、自 业
课 主探究、合作交流相结合的教学方式，引导学生动手操作、
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
SJ·数学 选修 2-2
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
切线与曲线不一定只有一个公共点，如图，
高二年级-数学-《瞬时变化率(二)》
2.若曲线y＝f(x)上的某一点有切线，是否函数在这个自变量处可导？
例如f (x) 3 x, 在(0, 0)处
y 3 0 x 3 0 1 ，
x
x
(3 x )2
当x 0时，y ，不可导.
x
解题感悟 1.求曲线的切线方程，首先判断给出的点P是否是切点，明确求的 是在点P处的切线还是过点P的切线.
在不引起混淆时，导函数 f (x) 也简称为 f (x)的导数 ．
数学应用
例 1(3) 求函数f(x)=3x2-2x的导数.
解：因为 y 3(x x)2 2(x x) (3x2 2x) 6xx 3(x)2 2x，
所以 y 6xx 3(x)2 2x 6x 2 3x,
x
x
记作 f ( x0 )．
概念理解 1．函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在． 2．在导数的定义中，Δx趋近于0，Δx可正、可负，但不为0，而Δy可能为0.
y
3. x 是函数y＝f(x)对自变量 x在 x 范围内的平均变化率，它的几何意义 是过曲线y＝f(x)上点 (x0 , f (x0 )) 及点 (x0 x, f (x0 x)) 的割线斜率.
4.导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x0及其附近的函数值有关，与Δx 无关.
概念建构
二.导数 f (x0 ) 的几何意义： 曲线y=f(x)在点 P(x0, f (x0 ))处的切线的斜率，如下图
P x0
三.用导数定义求函数y＝f(x)在x0处的导数的步骤：
（1）求函数值的改变量 y f ( x0 x) f (x0 )
(1)求在点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程的步骤：
(2)求过点 P(m, n)处的切线方程的步骤：
1.1.2瞬时变化率--导数刷题课件(共21张PPT)2020-2021学年高二下学期数学
Δx
当Δx 无限趋近于 0 时，k 无限趋近于常数 7，从而曲 线 y＝x2＋3x 在点 A(2，10)处的切线斜率 k 为 7, 故 选 D.
1.1.2 瞬时变化率—导数 刷基础
题型1 曲线上一点处的切线
2．已知曲线f(x)＝1 x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为( D )
A．－2
2 故选 D.
1.1.2 瞬时变化率—导数 刷基础
题型2 求瞬时速度、瞬时变化率
4.[福建厦门实验中学2019高二期末]一物体做直线运动，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的
关系是s＝5t－t2，则该物体在t＝3 s时的瞬时速度是( A )
A．－1 m/s
B．1 m/s
C．2 m/s
D．6 m/s
题型2 求瞬时速度、瞬时变化率
7 ． 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(s表示位移大小，单位：m；t表示时间，单位 ：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度大小为8 m/s，则常数a为__2______．
解析
1.1.2 瞬时变化率—导数 刷基础
题型3 用定义求函数在某点处的导数
8.[江西宜春2019高二期中]设f(x)在x处可导，则
( D)
1
－∞，
A.
2
B．[－1，0]
C．[0，1]
1 － ，＋∞ D. 2
（2x＋2）·Δx＋（Δx）2
＝
＝Δx＋2x＋2，当Δx 无限趋
Δx
Δy 近于 0 时， 无限趋近于 2x＋2.又曲线 C 在点 P 处
Δx
ππ ，
切线倾斜角的取值范围为 4 2 ，所以其斜率的取值
1 范围是[1，＋∞)．由 2x＋2∈[1，＋∞)，解得 x≥－ ，
最新苏教版选修2-2高中数学1.1.2《瞬时变化率与导数第1课时》ppt课件
解 设 P2，83，Q2＋Δx，132＋Δx3，则割线 PQ 的斜率为： kPQ＝ΔΔyx＝13x＋ΔΔxx3－13x3 ＝13×3x2Δx＋3xΔΔx x2＋Δx3 ＝13[3x2＋3xΔx＋(Δx)2] 当 Δx 无限趋近于 0 时，kPQ 无限趋近于 x2，从而曲线 y＝f(x) 在点 P2，83处的切线斜率为 4.
课堂讲练7C互中动小学课件
题型一 求曲线上某点处的切线斜率 【例 1】 已知 f(x)＝13x3，求曲线 y＝f(x)在 x＝2 处的切线斜
率． [思路探索] 为求得过点2，83的切线斜率，我们从经过点 2，83的任意一条割线入手．
课堂讲练7C互中动小学课件
课堂讲练7C互中动小学课件
3．导数的概念 设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若 Δx 无限趋近于__0__时，比值ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0无限趋近于 一个 常数A ，则称 f(x)在点 x＝x0 处可导，并称该常 数 A 为函数 f(x)在点 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)． 若用符号“→”表示“无限趋近于”，则“当 Δx 无限趋 近于 0 时，fx0＋ΔΔxx－fx0无限趋近于常数 A”就可以表 示为“当 Δx→0 时，fx0＋ΔΔxx－fx0→A”．
课堂讲练7C互中动小学课件
题型二 求瞬时速度 【例 2】 已知以初速度 v0 (v0>0)竖直上抛的物体，t 秒时的
高度为 h(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻 t0
课堂讲练7C互中动小学课件
当点 Q 沿曲线 C 向点 P 运动，并无限靠近点 P 时，割线 PQ 逼近点 P 的切线 l，从而割线的斜率逼近切线 l 的斜率，即 当 Δx 无限趋近于 0 时，fx＋ΔΔxx－fx无限趋近于点 P(x，f(x)) 处的 切线的斜率 ．
1.1.2 瞬时变化率
f (t 0＋ t )－ f (t 0 ) s v＝ ＝ . t t
s 近似的程度就越好． 所以当t0时，比值 t
就是物体在t0时刻的瞬时速度，即
`v 可作为物体在t0时刻的速度的近似值， t 越小，
f (t0＋ t )－ f (t0 ) v在t0的瞬时速度＝ ,当Δt→0时 t
y f ( x0 x ) f ( x0 ) . x x
如果当 0 时， x
y A x
x x0
叫做函数 y f ( x )在点 x0处的导 数 , 记为y
'
并把 A 我们就说函数 f ( x)在点x0 处可 导 ， y
y f ( x0 x ) f ( x 0 ) y x x0 f ( x0 ) ，x 0 x x
高中数学 选修２-２
姓名：吴卫东
邵艳
郭红梅
潘翠萍
单位：江苏省泰兴中学
复习回顾： 1.曲线在某一点切线的斜率
y
y＝f(x) Q
割 线 T
切线
o
P
x
f ( x＋ x )－ f ( x ) k PQ＝ ) x
（当Δx无限趋向0时，kPQ无限趋近点P处切线斜率）
2．瞬时速度
设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)．以t0为 起始时刻，物体在t时间内的平均速度为
数学运用：
例1．求y＝x2＋2在点x＝1处的导数．
解： y＝[(1＋ x ) 2 ＋2]－(12 ＋2)＝2 x＋( x ) 2
y 2 x＋( x ) ＝ ＝2＋ x x x y ＝2＋x，x 0 x y |x 1 ＝2
2
变式训练：求y＝x2＋2在点x＝a处的导数
高中数学第一章导数及其应用1.1.2瞬时变化率——导数课件苏教版选修2-2
St0＋Δt－St0
Δt
无限 趋近 于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的
瞬时速度 ，也就是位移对于时间的瞬时变化率．
(2)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率
vt0＋Δt－vt0
Δt
无限 趋近 于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时
加速度，也就是速度对于时间的瞬＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( ) (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点x＝x0处切 线的斜率．( ) (3)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在．( ) (4)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存 在．( )
ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0 无限趋近
于一个 常数 A，则称f(x)在x＝x0处 可导 ，并
称该 常数 A为函数f(x)在x＝x0处的 导数 ，记作f′(x0)．
(2)导数的几何意义
导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 斜率 ．
2．导函数 若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的 变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．f(x) 在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的 函数值 ．
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
2020学年高中数学第1章导数及其应用1.1导数的概念1.1.2瞬时变化率——导数(二)课件苏教版选修2_2
4．质点按 s(t)＝3t－t2 做直线运动，当其瞬时速度为 0 时，t＝ ________．
解析：根据导数的定义可求得 s′(t)＝3－2t. 令 s′(t)＝3－2t＝0，得 t＝32.
答案：32
求函数 f(x)在点 x＝x0 处的导数 (1)f(x)＝x2 在 x＝1 处的导数为( )
A．2x
B．2
C．2＋Δx
D．1
(2)已知 f(x)＝2x，且 f′(m)＝－12，则 m 的值等于( )
A．－4
B．2
C．－2
D．±2
【解析】
(1) lim Δx→0
ΔΔxy＝Δlixm→0
f(1＋Δx)－f(1) Δx
＝ lim Δx→0
1＋2Δx＋Δx(Δx)2－1＝Δlixm→0
(2＋Δx)＝2.
所以曲线 y＝1x在 x＝x0 处的切线的斜率为－x120. 故所求直线方程为 y－y0＝－x120(x－x0)． 由点(2，0)在所求的直线上， 得 x20·y0＝2－x0，① 再由 P(x0，y0)在曲线 y＝1x上，得 x0y0＝1，② 联立①②可解得 x0＝1，y0＝1， 所以所求直线方程为 x＋y－2＝0. 【答案】 x＋y－2＝0
经过点(2，0)且与曲线 y＝1x相切的直线方程为________． 【解析】 可以验证点(2，0)不在曲线 y＝1x上， 设切点为 P(x0，y0)， 因为 Δy＝x0＋1 Δx－x10＝－x0(xΔ0＋x Δx)， 所以ΔΔxy＝－x0(x01＋Δx)， 当 Δx 无限趋近于 0 时，ΔΔxy趋近于－x120，
2．“函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)”“导函数 f′(x)”“导数”之 间的区别与联系 (1)函数在一点处的导数 f′(x0)，就是在该点处函数值的改变量与 自变量的改变量之比的无限趋近值，它是一个常数，不是变数． (2)函数的导数是对某一区间内任意点 x 而言的，就是函数 f(x)的 导函数 f′(x)． (3)函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在 x＝x0 处的函 数值．这也是求函数在点 x0 处的导数的方法之一．
高中数学 1.1.2 瞬时变化率 导数配套教学课件2 苏教版选修22
t
t
`v 可作为物体在t0时刻的速度的近△ t 越小，
似近值似，的程度就越好. 所以当△t0时，s 极限
t
就是物体在t0时刻的瞬时速度，即
s t
＝ f (t0＋t)－f (t0 ) t
t 0
第七页，共14页。
数学(shùxué)运 用例：1 物体作自由落体运动，运动方程为 s ＝1 gt，2 其 中位移单位是m，时间单位是s，g＝10m/s2，求2
实际应用问题中瞬时(shùn shí)速度和瞬时(shùn shí)加速度 的求解．
第十四页，共14页。
当△t→0时，
v 13.1
该常数可作为(zuòwéi)运动员在2s时的瞬时速度.
即t＝2s时，高度对于(duìyú)时间的瞬时变化
第六页，共14页。
建构(jiàn ɡòu)数
学： 设物体作直线运动所经过(jīngguò)的路程为s＝
f(t)．
以t0为起v始＝时刻s，＝物体f (在t0＋△t时t)间－内f 的(t0平) .均速度为
： 时间区间
△t
平均速度
[2，2.1]
0.1
－13.59
[2，2.01]
0.01
－13.149
[2，2.001]
0.001
－13.1049
[2，2.0001]
0.0001
－13.10049
[2，2.00001] [2，2.000001]
0.00001 0.000001
－13.100049 －13.1000049
高中数学 选修(xuǎnxiū)２-２
1.1.2 瞬时(shùn shí)变化率——导数 （２）
第一页，共14页。
复习(fùxí)回顾
1.1.2瞬时变化率导数(苏教版选修2-2)
知新益能
•1．割线逼近切线的方法 •设Q为曲线C上不同于P的一点，这时直线PQ称为曲线的_____．随着点Q沿曲线C向P点运动，
割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终成为经过点P处最逼近
曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的_____．
割线
切线
•2．用割线逼近切线的方法计算曲线上某点处切线的斜率 •设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ 的斜率为 •kPQ＝______________＝_______________. •当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近过点P的切线l，从而割线的斜率逼 近过
st0＋Δt－st0 无限趋近于一个常数，那么这个常数 Δt 瞬时速度 ． 称为物体在 t＝t0 时的_________ (2) 一般地，我们计算运动物体速度的平均变化率 vt0＋Δt－vt0 ，如果当 Δt 无限趋近于 0 时， Δt vt0＋Δt－vt0 无限趋近于一个常数，那么这个常数 Δt 瞬时加速度 ． 称为物体在 t＝t0 时的___________
导数的几何意义的应用 函数 f(x) 在 x ＝ x0 处的导数 f′(x0) 的几何意义是曲线 y
＝f(x)在 x＝x0处切线的斜率，故该曲线在 x＝ x0处的
切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
例3
1 (本题满分 14 分)已知曲线 y＝x＋x上一点
5 A(2， )，用斜率定义求： 2 (1)点 A 处的切线的斜率； (2)点 A 处的切线方程．
•2．求曲线的切线时需要注意：(1)在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处 的切线(只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是f′(x0))，还是过某点的切线；(2)求过 某一点的切线方程时也是通过切点坐标来求．
江苏高中数学第一章导数及其应用112瞬时变化率导数课件苏教版选修2
[必备知识]
1．平均速度
运动物体的位移与_所__用__时__间__的比称为平均速度．
2．瞬时速度
一般地，如果当 Δt 无限趋近于 0 时，运动物体位移 S(t)的
平
均
变
化
率
St0＋Δt－St0 Δt
无
限
趋
近
于
_一__个__常__数__
，
那
么
_这__个__常__数__称为物体在___t_＝__t0___时的瞬时速度，也就是位移对 于时间的___瞬__时__变__化__率_______．
考点三 导数及其应用 [典例] 已知 f(x)＝x2－3. (1)求 f(x)在 x＝2 处的导数； (2)求 f(x)在 x＝a 处的导数． [解] (1)因为ΔΔxy＝f2＋ΔΔxx－f2 ＝2＋Δx2－Δx3－22－3＝4＋Δx， 当 Δx 无限趋近于 0 时，4＋Δx 无限趋近于 4， 所以 f(x)在 x＝2 处的导数等于 4.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为 45°， ∴切线的斜率为 tan 45°＝1， 即 f′(x0)＝4x0＝1，得 x0＝14，该点为14，98. (2)∵抛物线的切线平行于直线 4x－y－2＝0， ∴切线的斜率为 4， 即 f′(x0)＝4x0＝4，得 x0＝1，该点为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线 x＋8y－3＝0 垂直， ∴切线的斜率为 8， 即 f′(x0)＝4x0＝8，得 x0＝2，该点为(2,9)．
[课堂归纳领悟] 1．利用导数的几何意义求过某点的切线方程 (1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先求出函数 y＝f(x) 在点 x0 处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程 y －y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐 标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而 求出切线方程．
(教师用书)高中数学 1.1.2 瞬时变化率 导数同步备课课件 苏教版选修2-2
1．曲线上一点处的切线 设 Q 为曲线 C 上不同于 P 的一点，这时，直线 PQ 称
割线 ，随着点 Q 沿曲线 C 向点 P 运动，割线 PQ 为曲线的______ 逼近 曲线 C.当点 Q__________ 无限逼近 点 P 时， 在点 P 附近越来越______
逼近 曲线的直线 l，这条 直线 PQ 最终就成为在点 P 处最______
常数 ，则称 f(x)在 x＝x0 处______ 可导 ，并 限趋近于一个_____A 常数 为函数 f(x)在 x＝x0 处的______ 导数 ，记作 f′(x0)． 称该_____A
2．导数的几何意义 导数 f′(x0)的几何意义就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))
斜率 处 的 切 线 的 _______ ， 切 线
●教学建议 新课标对“导数及其应用”内容的处理有较大的变化， 它不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是按照“平均变 化率——曲线在某一点处的切线——瞬时速度(加速度)—— 瞬时变化率 ——导数的概念”这样的顺序来安排，用“逼 近”的方法来定义导数，这种概念建立的方式直观、形象、 生动，又易于理解，突出导数概念的形成过程． 因此，在教学中采用教师启发诱导与学生动手操作、自 主探究、合作交流相结合的教学方式，引导学生动手操作、 观察、分析、类比、抽象、概括，并借助 excel 及几何画板 演示，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) ___________________________ ．
PT
的 方 程 是
求瞬时速度、瞬时加速度
已知质点 M 的运动速度与运动时间的关系为 v＝ 3t2＋2(速度单位：cm/s，时间单位：s)， Δv (1)当 t＝2，Δ t＝0.01 时，求 ； Δt (2)求质点 M 在 t＝2 时的瞬时加速度． 【思路探究】
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
变式训练：
1．已知 f ( x) x 2 ，求曲线 y f ( x) 在 x 1 处的切线斜率和切线方程；
2．已知 f ( x) x 1 ，求曲线 y f ( x) 在 x 1 处的切线斜率和切线方程；
1 处的切线斜率和切线方程． 2
3．已知 f ( x) 1 x ，求曲线 y f ( x) 在 x
这条直线是过点P 的所有直线中最逼近曲线的一条直线． 3）点P附近可以用这条直线代替曲线（即在很小范围内
以直代曲）．
深入探究：
如图所示，直线l1，l2为经过曲线上一点P的两条直线．
问题一：试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线；
问题二：在点P附近能作出一条比l1 ， l2更加逼近曲线 l1 的直线l3吗？
当Δx无限趋近于0时， kPQ无限趋近于常数2， 从而曲线f(x)＝x2＋1 在点x＝1处的切线斜率为2．
y Q y = f(x) P
割线
切线 f (x0+x) f (x0)
（即 y)
y=f(x) P（x0,f(x0)) Q(x0+△x,f(x0+ △x))
△x>0时,点Q位于点P的右侧 △x<0时,点Q位于点P的左侧
2
课堂练习：
练习：已知 f ( x)
x ，求曲线 y f ( x) 在
1 x 处的切线斜率和切线方程． 2
小 结： 1．曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接 近P点附近曲线的直线，则P点处的变化趋势可以由 该点处的切线反映 (局部以直代曲)．
2．根据定义，利用割线逼近切线的方法，可以求出 曲线在一点处的切线斜率和方程．
练习：试求f (x)＝x2＋1在x=1处的切线斜率．
找到定点P的坐标 设出动点Q的坐标 解：由题意，设P(1，2)， Q(1＋Δx，(1＋Δx)2＋1)，则割线PQ斜率为
求出割 线斜率
[(1＋x) ＋1]－2 k PQ＝ x 2x＋x 2 ＝ x ＝2＋x
2
当△x无限趋近于 0时，割线逼近切线， 割线斜率逼近切线斜 率．
P O
l2
问题三：在点P附近还能作出比l1，l2 ，l3更加逼近曲线的 直线吗？
建构数学
y
y＝f(x) Q
割 线
切线 l P o x
如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线. 随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近逼近曲线C，当 点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的 直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线．这种方法叫割线逼
Q无限逼近P时 割线PQ P点处的切线 Q无限逼近P时 令横坐标无限接近 Q无限逼近P时 P点处的切线斜率
割线PQ的斜率
函数在区间[xP ， xQ] P点处的瞬时变化率 (或[xQ，xP]）上的平均 即区间长度趋向于0 (导数) 变化率
高中数学 选修２-２
问题情境
放大
放大
问题一
如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？
问题二 观察“点P附近的曲线”，随着图形放大，你 看到了怎样的现象？ 问题三 这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其 趋势看几乎成了 什么图形呢？
探究结论
从上面的图形变化过程来看： 1）曲线在点P附近看上去几乎成了直线． 2）继续放大，曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l，
O
x
从而曲线f(x)＝x2在点(2，4)处的 切线斜率为4．
解：设P(2，4)，Q(xQ，xQ2)， 解：设P(2，4)，Q(2＋Δx，(2＋Δx)2)， 则割线PQ的斜率为： 则割线PQ的斜率为： (2＋x) 2－4
k PQ＝
xQ －4 xQ－2
2
令xQ－2＝x，
所以xQ＝x＋2
近切线.
y
Q
P为已知曲线C上的一点， 如何求出点P处的切线方程？
P
O
x
数学运用：
y
试求f (x)=x2在点(2,4)处的切线斜率． 分析：设P(2，4)，Q(xQ，f(xQ))
则割线PQ的斜率为
kPQ＝ f ( xQ )－4 xQ－2 ＝ xQ 2－4 xQ－2 ＝xQ＋2
Q
4
·
P 2
当Q沿曲线逼近点P时，割线PQ逼 近点P处的切线，从而割线斜率逼近切 线斜率； 当Q点横坐标无限趋近于P点横坐标时， 即xQ无限趋近于2时，kPQ无限趋近于常数4．
x
O
M X0＋x x
x0
求曲线y=f (x)上一点P(x0,f(x0))处切线斜率的一般步骤： 1.设曲线上另一点Q(x0+Δx,f(x0 + Δx)) 2.求出割线PQ的斜率 k PQ
f ( x0 x) f (x0 ) ，并化简. x
3. 令Δx 趋向于0，若上式中的割线斜率“逼近”一个常数， 则其即为所求切线斜率．
＝xQ＋2
当xQ无限趋近于2时， kPQ无限趋近于常数4， 从而曲线f(x)＝x2 在点(2，4)处的切线 斜率为4．
x 4x＋x 2 ＝ x ＝4＋x
k PQ＝
当Δx无限趋近于0时， kPQ无限趋近于常数4， 从而曲线f(x)＝x2 在点(2，4)处的切线 斜率为4．
练习：试求f (x)＝x2＋1在x＝1处的切线斜率．