CH3.3 高阶导数
高等数学高阶导数及相关变化率
5 ( x 2)1 1 ( x 1)1
例4 计算下列函数的n阶导数：
(1) y
x2 sin 3x(2) y
sin6
x
cos6
x(3) y
2x 1 x2 x
2
解 (1) y(n) ( x2 sin 3x)(n)
vu
莱布尼兹公式
(sin 3x)(n) x2 n(sin 3x)(n1) ( x2 )
n(n 1) (sin 3x)(n2) ( x2 ) 2!
.
解
d2x dy2
d dy
( dx ) dy
d dy
1 y
d ( 1 ) dx dx y dy
1 ( y)2
d dx
( y)
1 y
y ( y)2
1 y
(
y y)3
2)间接法 ★ 高阶导数的运算法则
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v)(n) u(n) v(n)
(2) (Cu)(n) Cu(n)
解 (1)(e x )(n) e x 一般：(ax )(n) ax (ln a)n
(2) y (sinx) cos x sin(x )
2
y cos(x ) sin(x ) sin(x 2 )
2
22
2
y cos(x 2 ) sin(x 3 )
2
2
y(n) (sinx)(n) sin(x n )
(3) (u v)(n) u(n)v nu(n1)v n(n 1) u(n2)v 2!
n(n 1)(n k 1) u(nk)v(k) uv(n) k!
n
Cnku(nk )v(k )
莱布尼兹公式
k0
高阶导数
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例2
设 y x 2 e 2 x , 求y ( 20 ) .
( 20 )
解 设u e 2 x , v x 2 , 则由莱布尼兹公式知
y
(e )
2x
( 20 )
x 20(e )
2 2x
( 19 )
( x )
2
20( 20 1) 2 x (18 ) 2 (e ) ( x ) 0 2! 2 20 e 2 x x 2 20 219 e 2 x 2 x 20 19 18 2 x 2 e 2 2! 20 2 x 2 2 e ( x 20 x 95)
cos(x 2 ) sin(x 2 ) sin(x 3 ) y 2 2 2 2 一般地 可得 y(n) sin(x n ) 即 (sin x)(n) sin(x n ) 2 2
cos(x ) sin(x ) sin(x 2 ) y 2 2 2 2
y (2 y 2 y ) 2 3 x ( y 1)
2
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法2 直接对 e y y y xy 0 利用隐函数求导发求 二阶导数
)2 e y y y y xy 0 e (y
y
2 y e ( y) y y e x
1 . 16
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2.参数方程的二阶导数， x j (t ) ( t ) 具有二阶导数 , 如果函数 y (t ) dy ( t ) 由一阶导数 和 x j(t ) 还可以组成 dx j ( t )
高阶导数的方程解法
高阶导数的方程解法导数定义为函数在某一点的变化率，可用于描述物理量在空间和时间上的变化情况，而高阶导数则是指函数在某一点上关于变量的高阶变化率，是函数表达式中定义的重要部分。
这样一来，求解高阶导数方程就成为了一个重要的问题，它可以被用来解释复杂的自然物理过程。
一般来说，求解高阶导数方程可以分为三个步骤：一是用不同的代数方法把原来的高阶导数方程转换成一阶或者二阶的微分方程；二是用一些具体的解析方法求解这些原来的方程；最后，根据解析解进行验证，以确定此解是否正确。
首先，我们介绍一些常见的求解高阶导数方程的代数方法，其中包括解析法、函数变化法、Laplace变换法以及Cauchy-Kovalevskaya 定理等。
这些方法通常可以用来把原来的复杂的高阶导数方程转换成一阶或二阶的微分方程，从而使求解变得容易很多。
其次，在求解高阶导数方程时，我们可以应用不同的解析方法，如Fourier变换法、积分变换法、级数展开法、Berwald解法以及Poisson解法等，它们也被称为常见的解析方法。
需要注意的是，解析方法的求解步骤是复杂的，如果不了解这些方法的应用原理，很容易出错。
最后，一旦解出了高阶导数方程的解析解，就需要进行验证，以确保这一解的正确性。
因此，可以使用某种数值方法验证解析解，典型的数值方法有改进的Euler法、Adams法、Runge-Kutta法以及伪谱法等，这些方法可以把原来高阶导数方程转化成一组简单的常微分方程，从而让这些方程的解可以在某一定义域里得到近似的解，从而验证解析解的正确性。
以上就是关于求解高阶导数方程的一般方法，它们可以用来解释自然界中复杂的物理过程，这是高等数学中极其重要的一部分。
同时，求解高阶导数方程也是高等数学中一个非常重要的应用，可以帮助我们更好地理解物理过程。
高阶导数的计算
高阶导数的计算一、 高阶导数定义定义（二阶导数） 若函数f 的导函数'f 在点0x 可导,则称'f 在点0x 的导数为f 在点0x 的二阶导数,记作)(''0x f ，即)('')(')('lim0000x f x x x f x f x x =--→，此时称f 在点0x 二阶可导.如果f 在区间I 上每一点都二阶可导,则得到一个定义在I 上的二阶可导函数，记作)(''x f ,I x ∈，或记作''f ，''y ，22dxyd .函数)(x f y =的二阶导数)(''x f 一般仍旧是x 的函数。
如果对它再求导数，如果导数存在的话,称之为函数)(x f y =的三阶导数，记为'''y ，)('''x f ,或33dxyd 。
函数)(x f y =的1-n 阶导数的导数称为函数)(x f y =的n 阶导数,记为)(n y，)(n f,或n n dxy d 。
相应地,)(x f y =在0x 的n 阶导数记为： 0)(x x n y =，)(0)(x fn ，0x x nn dxyd =。
二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数。
1． )()()(][n n n v u v u ±=±。
2． +++=--)2()2(2)1()1(1)0()()()(v u C v u C v u uv n n n n n n )()()1()1(1)()(n o n n n k k n k n v u v u C v u C ++++---∑=-=NK k k n knv u C)()(， （Leibniz 公式）其中u u =)0(，v v =)0(.注 将Leibniz 公式与二项式展开作一比较可见：n o kk n k n n n n n v u v u C v u C v u v u ++++=+-- 1110)(。
高阶导数
高阶导数一、高阶导数的定义：定义 若函数)(x f 的导函数)('x f 在点0x 可导，则称函数)(x f 在点0x 二阶可导，并称)('x f 在点0x 的导数为)(x f 在点0x 的二阶导数，记作)(''0x f ，22x x dx yd =，…，即：.)()(lim )()(lim )(00''0'0'0220''00x x x f x f x x f x x f dxdy x f x x x x x --=∆-∆+==→→∆= 一般的，若函数)(x f 的1-n 阶导函数)()1(x f n -在点0x 可导，则称函数)(x f 在点0x n 阶可导，并称)()1(x fn -在点0x 的导数为)(x f 在点0x 的n 阶导数，记作)(0)(x fn ，0x x nn dxy d =，…，即：.)()(lim )()(lim )(00)1()1(0)1(0)'1(00)(00x x x f x f x x f x x f dxdy x fn n x x n n x x x nnn --=∆-∆+==--→--→∆= 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数，以前介绍的导数也可称作一阶导数；若函数)(x f 在区间I 上每一点都可导，即I x ∈∀0，有)(x f 在点0x 的唯一n 阶导数与其对应，这样建立了一个函数，称为)(x f 在I 上的n 阶导函数，简称为)(x f 在I 上的n 阶导数，记作： ,),()(n nn dxdy x f。
二、高阶导数的计算：函数n 阶导数的计算一般思路就是按照定义，连续利用一阶导数的求导公式及求导法则n 次即可。
除此之外我们再介绍两个计算函数n 阶导数的计算公式。
1．)()()(][n n n v u v u ±=±。
2．设uv y =，则'''uv v u y +=；()'''''''''''2uv v u v u uv v u y ++=+=；()''''''''''''''''''''''332uv vu v u v u uv v u v u y +++=++=；依此类推，我们可由数学归纳法证得如下莱布尼茨公式（结果与二项式()nv u +展开式极为相似）：+++=--)2()2(2)1()1(1)0()()()(v u C v u C v u uv n n n n n n )()()1()1(1)()(n o n n n k k n k n v u v u C v u C ++++---∑=-=NK k k n knv u C)()(， 其中u u =)0(，v v =)0(。
高阶导数与隐函数精品资料
3z yx2
.
x
y
2z x2
ex2y
2 z y x
2ex2y
3z x2 y
2ex2y
3z yx2
x
(
2z y x
)
2ex2y
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
注意: 2 z 2 z , 但这一情形并不总成立. xy yx
定理证明从略.
z Fy y Fz
例. 设 解法1
x2 y2 z2 4z
利用隐函数求导
0
,
求
2 x
z
2
.
2x 2z z 4 z 0 x x
再对 x 求导
2
z x
x 2 z
4
2z x2
0
1 (z)2 x
解法2 利用公式
设 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z 则 Fx 2x , Fz 2z 4
x0
,
d2y dx2
x0
①
Fx
ex
y,
Fy
cos
y
x
连续
,
② F(0,0) 0, ③ Fy (0,0) 1
0
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
导的隐函数
且
dy dx
Fx x 0 Fy
x
0
ex y cos y x
x 0, y 0
d2y dx2
x
0
d dx
( ex cos
f ( x),
y,
d3y .
dx 3
初等函数的高阶导数公式
初等函数的高阶导数公式在微积分的学习中，学习到函数的高阶导数公式是十分重要的，而这部分的数学理论也是涉及到初等函数的情况。
总的来说，初等函数的高阶导数公式包括了分母为n的n阶多项式函数和分母不为n的n阶多项式函数。
一类是分母为n的n阶多项式函数，也就是常见的二次函数、三次函数等多项式函数。
这类函数的高阶导数公式是：对于f（x）=a0+a1x+a2x2+......+anxn，f（n）（x）的高阶导数为f（n）（x）=an（n-1）（n-2）......1xn-1。
即这类函数的每一阶导数的系数都是系数的比例减一。
另一类是分母不为n的n阶多项式函数，例如：函数f（x）=a0+a1x+a2x2+......+anxn/bn+1，其高阶导数公式为：fn（x）=an （n-1）（n-2）......1bn（bn-1）......1xn-1。
即这类函数的每一阶导数的系数都是系数比例的差的乘积。
另外，初等函数的高阶导数公式还包括幂函数的高阶导数公式和指数函数的高阶导数公式。
对于幂函数 f（x）=xn，n为大于等于零的整数，该函数的高阶导数为：f（n）（x）=n（n-1）（n-2）......1xn-1。
注意，在这里，常数项在计算高阶导数时，系数为零，所以幂函数的高阶导数都可以表示成n！；xn-1的形式。
而指数函数f（x）=abx，其高阶导数为f（n）（x）=abnbxn-1。
总的来说，初等函数的高阶导数公式包含了多项式函数的高阶导数公式、幂函数的高阶导数公式和指数函数的高阶导数公式，这三类初等函数的高阶导数公式有着不同的规则和表示方法。
在实际应用中，了解初等函数的高阶导数公式对于求解有关微积分的问题非常重要，比如：解决多元函数极值及极值点问题、求解不定积分、求解微分方程等。
因此，从理论上来讲，学习到初等函数的高阶导数公式是很有必要的，熟练运用这些公式，可以帮助我们更好的解决数学上的问题，也可以帮助我们更好的理解和掌握微积分的知识点。
初等函数的高阶导数公式
初等函数的高阶导数公式初等函数的高阶导数公式是为了求出高阶导函数的表达式而提出的一种公式。
它是从求导法则、链式法则和利用复合函数求导等数学原理出发，建立起来的一种高等数学方法。
它将初等函数求取高阶导数的过程分解成一系列的算术操作，并为其建立起一套固定的求导公式。
首先，应该了解正则的高阶导数定义。
它的定义如下：一个函数的n次导数为其在某一点上，从左边函数及其第n-1次导数、第n-2次导数……到本身函数的n次微分。
它可以用以下符号表示：dnf (x) / dx^n。
其次，再了解高阶导数求取的相关公式。
对于任意初等函数，我们可以使用以下几种不同的求导公式来求取它的高阶导数：（1）对于常量函数f(x)=c，其n次导数为：dnf (x) / dx^n=0。
（2）对于幂函数f(x)=x^n，其n次导数为：dnf (x) /dx^n=n!*x^(n-n)。
（3）对于指数函数f(x)=a^x，其n次导数为：dnf (x) / dx^n=a^x* ln^n(a)。
（4）对于对数函数f(x)=lnx，其n次导数为：dnf (x) /dx^n=(-1)^n*n! / x^n。
（5）对于三角函数f(x)=sinx, cosx, tanx, cotx, secx, cscx，其n次导数可以经过将三角函数定义为指数函数及隐函数展开，然后利用泰勒展开式，用连分式求解得出。
（6）对于复合函数：f(x)=h (g (x))，其n次导数为：dnf (x) / dx^n=d^n(h (g (x))) / dg^n(x) * d^n(g (x)) / dx^n，其中d^n(h (g (x))) / dg^n(x)表示h(x)的n次导数，d^n(g (x)) / dx^n表示g(x)的n次导数。
最后，在某些特殊情况下，利用上述求导公式可能会得出一些错误的答案，此时我们必须运用逐项求导法则来进行抵触，检验上述求导公式是否正确，以便确定最终结果。
高阶导数概念
'
dy (t ) yt
= '
dx (t ) xt
26-10
= 的三阶导数′″ 的导数叫做 = 的四阶导数 … …
一般地, 的 − 阶导数的导数叫做 = 的阶导数,
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为函数f ( x)的n阶导数, 记作
n
n
d
y
df ( x)Fra bibliotek(n)(n)
f ( x ), y , n 或
.
n
dx
dx
例1：求函数 = + + 2 的二阶导数
′
1
′′
解： = − sin + + 2 , = − −
例2：求函数 = 的二阶导数
′
′′
解： = + 1, =
1
1
2
+2
d2 y
例 3 设 x y +sin y 0 ，求 2 。
求导法则
(u v) u v,
(uv) uv uv, (Cu ) Cu,
u
uv uv
1
v
( )
, ( ) 2 .
2
v
v
v
v
dy dy du
{ f [ ( x)]} f ( ( x)) ( x) 或
或 y x yu u x
在匀速直线运动的情形中，平均速度：
瞬时速度：（） =
ds
，或
d
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y (2 x arctan x 1)
x 1 2(arctan x ) 2arctan x 2 x 2 2 1 x 1 x
微积分
例4 y x ( R), 求y .
( n)
解
y x 1 y (x 1 ) ( 1) x 2
规律
莱布尼茨(Leibniz) 公式
微积分
例8
2x
求
2
解: 设 u e , v x , 则
u ( k ) 2 k e 2 x ( k 1 , 2 ,, 20 ) v 2x , v 2 ,
v (k )ห้องสมุดไป่ตู้ 0
( 20)
(k 3 ,, 20)
2
代入莱布尼茨公式 , 得
( n)
a e
n ax
特别有: (e x ) ( n) e x
1 y 1 x
1 y (1 x) 2
例6. 设
求
1 1 2 1 2 , y (1) , , y 解: y 2 3 1 x (1 x) (1 x)
,
思考:
y
若 为自然数n, 则
y
( n)
( x ) n! ,
n ( n)
y ( n 1) ( n! ) 0.
微积分
y (n ) . 例5. 设 y e , 求 y a ea x , y a 2 e a x , y a 3 e a x , , 解:
ax
y
微积分
y cos2 x ln x 求 例3 已知
y
2
解
y (cos2 x ln x )
1 2cos x( sin x ) ln x cos x x 2 cos x sin 2 x ln x , x cos2 x y ( sin 2 x ln x ) x 2 x sin x cos x cos 2 x sin 2 x 2cos 2 x ln x 2 x x
微积分
微积分
一、高 阶 导 数 的 定 义
(derivative of higher orders)
定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导, 即
f ( x x) f ( x) ( f ( x)) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数 .
微积分
d 2 y d 2 f ( x) 记作 f ( x ), y, 2 或 . 2 dx dx d3y . 二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x ), y, 3
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
dx 4 d y (4) (4) . 三阶导数的导数称为四阶导数, f ( x ), y , 4 dx
函数f ( x)的n阶导数, 记作 n n d y d f ( x) ( n) ( n) f ( x ), y , 或 . n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
微积分
二、 高阶导数的求导法则
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 例1．yax b ，求y. 解： ya， y0。 例2．ssin wt，求s. s s 解： w cos w t ， w 2sin w t 。
2sin 2 x cos x 2cos 2 x ln x . 2 x x
2
微积分
练
2
习
已知y (1 x )arctan x, 求y.
[(1 x 2 )arctan x] 解 y 2 arctan x (1 x 2 )(arctan x ) (1 x ) 1 2 2 x arctan x (1 x ) 1 x2
一般地 , 类似可证:
(sin x) ( n ) sin( x n π ) 2
(cos x) ( n) cos( x n π ) 2
微积分
三、高阶导数的运算法则
设函数 及 都有 n 阶导数 , 则
(C为常数)
n(n 1) 2! n(n 1) (n k 1) k!
(n )
(1)
n 1
(n 1)!
(1 x) n
规定 0 ! = 1
微积分
例7
设
求
解:
y cos x sin(x π ) 2
y cos( x π ) sin( x π π ) 2 2 2 sin( x 2 π ) 2 y cos( x 2 π ) sin( x 3 π ) 2 2
y
2
20 2 x
20 19 18 2 x e x 20 2 e 2 x 2 e 2 2!
19 2 x
微积分
例9
设 y x 2 sin x , 求 y (80) .
解 由莱布尼兹公式
y (80) ( x 2 sin x) (80)
79 C x sin( x 80 ) C (2 x) sin( x ) 2 2
y (( 1) x 2 ) ( 1)( 2) x 3
注意 求n阶导数 时,求出1-3或4阶后, 不要急于合并,分析 结果的规律性,写出 n阶导数.(可用数学 归纳法证明)
y ( n) ( 1)( n 1) x n (n 1)
0 80 2 1 80
C 2 sin( x 78
2 80
2
)
x sin x 160x cos x 6320sin x
2
(sin x)
(n)
sin( x n ) 2
( x 2 ) 2 x, ( x 2 ) 2, ( x 2 ) ( n ) 0 (n 3)