1.3 函数的基本性质复习
函数的基本性质奇偶性 陈秀群.
概念剖析
问题1： 奇函数、偶函数的定义中有“定义域内任意”
几个字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与 单调性有何区别？
强调定义中“定义域内任意”二字，说明函数 的奇偶性是定义域上的一个整体性质，而函数的单 调性不是定义域上的一个整体性质 .
数形结合
概念生成
函数f(x)=x2的图象特征 ——关于y轴对称
xx, ,f fxx
f 1 1 f 1 f 2 4 f 2 f 3 9 f 3
偶函数
f xf x x2f xx2 f x
S2：描点 S3：连线
f 1 f 1 f 2 f 2 f 3 f 3
f xfxx3fx3 f x
概念生成
函数f(x)=x3的图象特征
——关于原点对称
f x
f x f x
奇函数
复习回顾——图像的对称
在初中你学习过轴对称图形和中心对称图形吗？
轴对称图形：
如果一个图形上的任意一点关于某一条直线的对称点仍 是这个图形上的点，就称图形关于该直线成轴对称图形，这 条直线称作轴对称图形的对称轴。
中心对称图形：
如果一个图形上的任意一点关于某 一点的对称点仍是 这个图形上的点，就称图形关于该点成中心对称图形，这个 点称作中心对称图形的对称中心。
（4）若f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)一定成立.
2.判断函数f x 1 x x 1的奇偶性。
课堂小结
通过本堂课的探究： （1）你学到了哪些知识？ （2）你最深刻的体验是什么？ （3）你心里还存在什么疑惑？
课堂小结——知识
1.3函数的基本性质
（3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在 研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质， 就可以得到另一半定义域上的图象和性质．
课堂练习
1. 判 断 下 列 函 数 的 奇 偶 性：
(1) f ( x) 2x4 3x2; (2) f ( x) x3 2x;
课堂例题
例1.图1.3 4是定义在区间[5,5]上的函数y f ( x), 根 据 图 象 说 出 函 数 的 单调 区 间,以 及 在 每 一 单 调 区 间 上, 它 是 增 函 数 还 是 减 函 数?
y
y f (x)
3
2
-2 1
-5 -4 -3
-1 O 1 2 3 4 -1
5x
变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学 符号语言来描述这种关系呢？
对于函数f(x)=x2 ，
在区间(0,+∞)上，任取两个x1,x2，当x1 x2时， 有f(x1) f(x2).这时，我们就说函数f(x)=x2在区
间(0,+∞)上是增函数.
请你仿照刚才的描述，说明函数f(x)=x数图象在x=-2时，其函数值最小， 而在x=1时，其函数值最大.
观察f(x)=x2的图象
有一个最低点 (0,0)
观察f(x)=-x2的图象
有一个最高点 (0,0)
y O
x
观察函数f(x)=x的图象 发现，没有最低点，也没有最高点.
新课
函数的最大（小）值 1．函数的最大（小）值的定义
1.3.2 奇偶性
导入新课
从对称的角度，观察下列函数的图象：
函数f(x)=x2,g(x)=|x|
函数的基本性质——单调性
-3
间上， y＝f(x)是增函数还是减函数．
解：函数y＝f(x)的单调区间有[－5,－2)， [－2, 1)，[1, 3)，[3, 5]，
其中y＝f(x)在[－5,－2)，[1, 3)上是减函数， 在区间[－2, 1)，[3, 5]上是增函数．
变式1：求y＝x2－4x＋5的单调区间.
变式1：求y＝x2－4x＋5的单调区间.
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1) f(x2)
O x1 x2 x
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1) f(x2) x1＜x2 f(x1)＜f(x2)
O x1 x2 x
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
O
x
y y 1 x
Ox
如何描述上升、下降呢y ？
y x2
x O
y f ( x1)
x1 O
y x2
x
y
f ( x1)
x1 O
y x2
x
y
y x2
f ( x1) x
x 1 O0
y
y x2
f ( x1)
x
x1O
y
y x2
f ( x1)
x
O x1
y
y x2
f ( x1)
x
O x1
y
y x2
f ( x1) x
O x1
y
y x2
f ( x1) x
O x1
y
y x2
f ( x1)
x
高中必修一数学教案(1.3函数的基本性质)
高中数学必修一复习课件（3）内容：1..（12.（1（23.探究一次函数()y mx b x R =+∈的单调性，并证明你的结论.4.已知函数2()2f x x x =-，2()2([2,4])g x x x x =-∈.（1）求()f x ，()g x 的单调区间； （2）求()f x ，()g x 的最小值.5.已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.答案：1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增；（2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-， 由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，3 4 则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数， 函数()g x 的单调区间为[2,4]，且函数()g x 在[2,4]上为增函数；（2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数， 所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．5．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下： 设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．。
函数的基本性质全面版
课后作业
1. 阅读教材P.30 -P.32； 2．《习案》：作业10.
思考题：
1.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈ [t, t ＋2]时，求函数f(x)的最值.
思考题：
1.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈ [t, t ＋2]时，求函)对任意x，y∈R，总有 f (x)＋f ( y)＝f (x＋y)，且当x＞0时， f (x)＜0，f (1)＝ 2 .
讲授新课
函数最小值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≥M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最小值.
讲授新课
例1 设f (x)是定义在区间[－6, 11]上的
函数. 如果f (x)在区间[－6, －2]上递减，
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.
复习引入
问题2 函数f (x)＝－x2. 同理可知x∈R， 都有f (x)≤f (0). 即x＝0时，f (0)是函数值中的最大值.
讲授新课
函数最大值概念：
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
1.3 函数的基本性质(人教版高中数学必修1 第1章集合与函数概念)
必修3 选修2-1 数学全集
必修4 选修2-2
必修5 选修2-3
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f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x) 当 x=0 时，有 f(0) = -f(0)，因此有f(0)=0
函数的奇偶性
2. f(x)为奇函数 f(-x)=-f(x)
f(x)为偶函数 f(-x)=f(x)
定义域
x≠0
3. f(x)为奇函数，且f(x)在 x=0 处有定义 f(0)=0
f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x) 当 x=0 时，有 f(0) = -f(0)，因此有f(0)=0
函数的奇偶性
5. 根据函数奇偶性的特征，可以简化函数图象的画法.
偶函数图象关于 y轴 对称. 奇函数图象关于 原点 对称.
例3、已知函数 y=f(x) 是偶函数，它在 y 轴右边的图象如下 图，画出在 y 轴左边的图象.
y
相等
0
x
例3、已知函数 y=f(x) 是奇函数，它在 y 轴右边的图象如下 图，画出在 y 轴左边的图象.
即f ( x 1 ) < f ( x 2 ) 所以，函数 f ( x ) = 3x+2 在 R上是单调增函数。
练习1 证明：函数 f ( x ) = x2+3 在 （0,+∞）上是单调增函数.
练习2 证明函数 y 1 在 （0,+∞）上是单调性. x
证明：设x1, x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1<x2，则
若函数在此区间上是增函数，则区间为单调递增区间
1.3函数的基本性质(1)
1.3 函数的基本性质【知识清单】一、函数的奇偶性1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=－f(x)（或f(－x)=f(x)），那么函数f(x)就叫做奇函数（或偶函数）. 正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点： （1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称.（2）f(x)=－f(x)或f(－x)=f(x)是定义域上的恒等式.（奇偶性是函数定义域上的整体性质）. 2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。
为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式： 注意如下结论的运用：（1）不论f(x)是奇函数还是偶函数，f(|x|)总是偶函数；（2）f(x)、g(x)分别是定义域D1、D2上的奇函数，那么在D1∩D2上，f(x)＋g(x)是奇函数，f(x)·g(x)是偶函数，类似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”；3、有关奇偶性的几个性质及结论（1）一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称.（2）如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函数又是偶函数. （3）若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数，则奇（偶）函数在正负对称区间上的单调性是相同（反）的。
（5）若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)=f(x)＋f(－x)是偶函数，G(x)=f(x)－f(－x)是奇函数.二、函数的单调性 1、单调函数对于函数f(x)定义在某区间[a ，b]上任意两点x1，x2，当x1>x2时，都有不等式f(x1)>（或<）f(x2)成立，称f(x)在[a ，b]上单调递增（或递减）；增函数或减函数统称为单调函数. 对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性. （2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替.（3）单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内.需要指出的是：①的几何意义是：增（减）函数图象上任意两点（x1，f(x1)）、（x2，f(x2)）连线的斜率都大于（或小于）零.（4）函数的单调性定义中的21,x x 有三个特征：1.任意性 2.有大小 3.属于同一个单调区间 5、复合函数y=f[g(x)]的单调性若u=g(x)在区间[a ，b]上的单调性，与y=f(u)在[g(a)，g(b)]（或g(b)，g(a)）上的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在[a ，b]上单调递增；否则，单调递减.简称“同增、异减”. 在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。
1.3函数的基本性质
1
2
3
4
x
习题 1.3 A组 1. 画出下列函数的图象, 并根据图象说出 y=f(x) 的单调区间, 以及在各单调区间上, 函数 y=f(x) 是增 函数还是减函数. y (1) y=x2-5x+5; (2) y=9-x2. 解: (2) 函数也是二次函数, 其图象是开口向下的抛物线,
9 8 7 6 5 4 3 2 1
当超过了这个范围时, 如大于a, 随着工人数 的增多, 生产效率反而下降.
2. 整个上午 (8:00~12:00) 天气越来越暖, 中午时 分 (12:00~13:00) 一场暴雨使天气骤然凉爽了许多, 暴 雨过后, 天气转暖, 直到太阳落山 (18:00) 才又开始 转凉. 画出这一天 8:00~20:00 期间气温作为时间函数 的一个可能的图象, 并说出所画函数的单调区间. 解: 图象如下: 函数的增区间有 [8:00, 12:00], [13:00, 18:00].
1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 2、随x的增大，y的值有什么变化？
问题1. (1) 已知函数 f(x)=x , 取 x= -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 列表表示这个函数, 函数值与自变量的 大小变化有什么关系? 画出这个函数的图象, 观察 图象是怎样倾斜的? (2) 同样讨论函数 g(x)=1-x. (1)
(1) 当 x≤0 时, 图象从左到右是下降的. 自变量 x 增大时, 函数值 f(x) 减小. f(x2) f(x2) x1<x2≤0 时, f(x1)>f(x2). x1 x2o x2 x1 x 2 函数 f(x)=x 在(-∞, 0]上是减函数. (2) 当 x≥0 时, 图象从左到右是上升的. 自变量 x 增大时, 函数值 f(x) 也增大. x1>x2≥0 时, f(x1)>f(x2). 函数 f(x)=x2 在 [0, +∞)上是增函数.
高一数学函数的基本性质4
复习引入
问题2 函数f (x)＝－x2. 同理可知x∈R， 都有f (x)≤f (0). 即x＝0时，f (0)是函数值中的最大值.
讲授新课
函数最大值概念：
漫地改革出缕缕光雾……紧接着腾赫瓜大副又连续使出四百五十五门八鳄车厢舞，只见他弯曲的脑袋中，威猛地滚出五簇耍舞着『黄影疯魔野象语录』的肥肠状的手掌 ，随着腾赫瓜大副的耍动，肥肠状的手掌像花篮一样念动咒语：“九脚咐啊喝，高粱咐啊喝，九脚高粱咐啊喝……『黄影疯魔野象语录』！仙家！仙家！仙家！”只见 腾赫瓜大副的身影射出一片青远山色奇影，这时正南方向飘然出现了六串厉声尖叫的亮灰色光猴，似银辉一样直奔青古磁色鬼光而来。，朝着壮扭公主扁圆的如同天边 小丘一样的蒜瓣鼻子横抓过来……紧跟着腾赫瓜大副也窜耍着咒符像虎尾般的怪影一样向壮扭公主横抓过来壮扭公主超然秀了一个，颤鸽闹钟滚两千一百六十度外加猴 吼扣肉转十三周半的招数！接着又整出一个，烟体猿飘踏云翻三百六十度外加乱转三十六周的古朴招式。接着像雪白色的银脸部落鸽一样大嚎了一声，突然使了一套蹲 身闪烁的特技神功，身上顿时生出了七只活似牛头形态的土黄色大腿。紧接着憨直贪玩、有着各种古怪想法的圆脑袋忽然颤动摇晃起来……力如肥象般的霸蛮屁股窜出 紫红色的丝丝惨烟……酷似钢铁般的手臂窜出深黄色的阵阵疑寒！最后抖起异常结实的酷似钢铁般的手臂一闪，酷酷地从里面窜出一道银辉，她抓住银辉痴呆地一耍， 一件光溜溜、森幽幽的咒符¤雨光牧童谣→便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边闪烁，一边发出“喇喇”的奇音！。骤然间壮扭公主旋风般地念起咿咿呀呀的宇宙 语，只见她熏鹅一样的银剑雪峰服中，快速窜出六串摆舞着¤雨光牧童谣→的小星星状的海胆，随着壮扭公主的转动，小星星状的海胆像羊粪一样在身后浪漫地改革出 缕缕光雾……紧接着壮扭公主又连续使出一百五十七招狠驼海马睡，只见她奇如熨斗的手掌中，飘然射出五道甩舞着¤雨光牧童谣→的引擎状的脑袋，随着壮扭公主的 甩动，引擎状的脑袋像航标一样念动咒语：“原野嘤嘱啭，肥妹嘤嘱啭，原野肥妹嘤嘱啭……¤雨光牧童谣→！公主！公主！公主！”只见壮扭公主的身影射出一片亮 白色神光，这时从天而降变态地出现了三飘厉声尖叫的浓黑色光狗，似妖影一样直奔暗白色亮光而去……，朝着腾赫瓜大副肥壮的暗绿色金钵形态的鼻子横抓过去…… 紧跟着壮扭公主也窜耍着咒符像虎尾般的怪影一样向腾赫瓜大副横抓过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道白杏仁色的闪光，地面变成了暗橙色、景物 变成了青兰花色、天空变成了亮黄色、四周发出了壮丽的巨响。壮扭公主扁圆的如同天边小丘一样的蒜瓣鼻子受到震颤，但精神感觉很爽！再看腾赫瓜大副短小的耳朵 ，此时正惨
高中数学人教A版必修1课件：1.3函数的基本性质
(2)函数单调性的刻画： ①图形刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)， 它的图象若从左向右连续上升(下降)，则称函 数在该区间上是单调递增(减)的； ②定性刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)， 若函数值随自变量的增大而增大(减小)，则称 函数在该区间上是单调递增(减)的．
间应是定义域的子集．
2.画出函数 f(x)＝－x2＋2|x|＋3 的 图象，并指出函数的单调区间．
解析： y＝－x2＋2|x|＋3 －x2＋2x＋3＝－x－12＋4
＝－x2－2x＋3＝－x＋12＋4 函数图象如图所示：
x≥0 x＜0 .
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]， 单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
[0,1]
4．求证：函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单 调减函数．
证明： 设 1＜x1＜x2，
y1－y2＝x1－1 1－x2－1 1 ＝x1－x21－xx21－1 ∵1＜x1＜x2 ∴x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0 ∴x1－x21－xx21－1＞0. 即 y1＞y2，
∴函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单调减函数.
解析： ∵f(x)在R上递减，且3<5，
∴f(3)>f(5)．故选C.
答案： C
3．如图所示，函数y＝ f(x)的单调递增区间有 ________，递减区间有 ________．
1.3函数的基本性质——奇偶性
(3) h (x)＝x3＋1；
(非奇非偶)
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]； (非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(偶)
(6) g (x)＝x (x＋1)；
(非奇非偶)
(7) h( x) x 3 x ；
(奇)
(8) k( x)
1 x2 1.
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
(7) h( x) x 3 x ；
(8) k( x)
1 x2 1.
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
(3) h (x)＝x3＋1；
(非奇非偶)
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]； (非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称，则这个函数关于原点对称且这 个函数为奇函数；
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义 域关于坐标原点对称.
(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 称，则这个函数为偶函数；
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数.
练习
2. 判断下列论断是否正确
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
(3) h (x)＝x3＋1；
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]；
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
高中数学 1.1.3函数的基本性质课件 新人教A版必修1
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• 1.3.1 单调性与最大(小)值
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• 1.观察函数y＝x2的图象可见，当x≥0时，
图象是上升的，称此函数在[0，＋∞)上为
增函数，当x≤0时，图象是减 下降的，称此 函数在(－∞，0]上为 函数．
• 2.一般地，设f(x)的定义域为I，如果对于
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4．熟悉常见的一些单调性结论 (1)一次函数 y＝kx＋b (k≠0)，当 k>0 时单调递增， 当 k<0 时单调递减． (2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)，当 a>0 时，在 －∞，－2ba上单调递减，在－2ba，＋∞上单调递增，a<0 时相反．
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(3)y＝kx(k≠0)，当 k>0 时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上 都单调递减．当 k<0 时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调 递增．
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• [例1] 据下列函数图象，指出函数的单 调增区间和单调减区间．
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• [解析] 由图象(1)知此函数的增区间为 (－∞，2]，[4，＋∞)，减区间为[2,4]．
• 由图象(2)知，此函数的增区间为(－∞， －1]、[1，＋∞)，减区间为[－1,0)、(0,1].
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• 2．若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x) 在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B 上单调递减．
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3．对增函数的判断，当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＜f(x2)， 也可以用一个不等式来替代：
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 或f(xx1)1－ －fx(2x2)＞0. 对减函数的判断，当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＞f(x2)，相应 地也可用一个不等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0 或f(xx1)1－ －fx(2x2)＜0.
1.3函数的基本性质——奇偶性2 (2)
湖南省长沙市一中卫星远程学校
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附赠 中高考状元学习方法
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前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
湖南省长沙市一中卫星远程学校
曹杨二中高三(14)班学生
班级职务：学习委员
高考志愿：北京 大学中文系
高考成绩：语文121分数学146分
英语146分历史134分
综合28分总分
575分
(另有附加分10
分)
上海高考文科状元--常方舟
湖南省长沙市一中卫星远程学校
“我对竞赛题一样发怵”
总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高 效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚 上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。 早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡 眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜 车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学 习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨 两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响 次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会 花太多时间做功课，常常是做完老师布置的 作业就算完。
(不能为奇函数但可以是偶函数)
2. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？
1.3 函数的基本性质
函数的基本性质一、单调性与最大（小）值增函数：一般地，设函数)(x f 的定义域为I ；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数（increasing function ）。
减函数：一般地，设函数)(x f 的定义域为I ；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数（decreasing function ）。
如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间。
例1 物理学中的波义耳定律V kp =（k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大。
试用函数的单调性证明之。
探究： 画出反比例函数x y 1=的图象。
（1）这个函数的定义域I 是什么？（2）它在定义域I 上的单调性是怎么的？证明你的结论。
课外补充：通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，是研究函数性质的一种常用方法。
一般地，设函数)(x f y =的定义域I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有;)(M x f ≤（2）存在I x ∈0，使得.)(0M x f =那么，我们称是函数)(x f y =的最大值（maximum value ）。
你能模仿写出函数)(x f y =的最小值（minimum value ）的定义吗？例2 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一。
制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。
如果烟花距地面的高度h m 与时间t s 之间的关系为,187.149.4)(2++-=t t t h 那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1 m ）？ 例3 已知函数]),6,2[(12)(∈-=x x x f 求函数的最大值和最小值。
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质知识点总结函数的基本性质基础知识：1.奇偶性1）定义：如果对于函数 $f(x)$ 定义域内的任意 $x$ 都有$f(-x)=-f(x)$，则称 $f(x)$ 为奇函数；如果对于函数 $f(x)$ 定义域内的任意 $x$ 都有 $f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$ 为偶函数。
如果函数 $f(x)$ 不具有上述性质，则 $f(x)$ 不具有奇偶性。
如果函数同时具有上述两条性质，则 $f(x)$ 既是奇函数，又是偶函数。
注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 $x$，则 $-x$ 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系；③作出相应结论：若 $f(-x) =f(x)$ 或 $f(-x)-f(x) = 0$，则 $f(x)$ 是偶函数；若 $f(-x)=-f(x)$ 或 $f(-x)+f(x) = 0$，则 $f(x)$ 是奇函数。
3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 $y$ 轴成轴对称；②设 $f(x)$，$g(x)$ 的定义域分别是 $D_1$，$D_2$，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇2.单调性1）定义：一般地，设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $I$，如果对于定义域 $I$ 内的某个区间 $D$ 内的任意两个自变量$x_1$，$x_2$，当 $x_1f(x_2)$），那么就说 $f(x)$ 在区间$D$ 上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间 $D$ 内的任意两个自变量 $x_1$，$x_2$；当 $x_1<x_2$ 时，总有 $f(x_1)<f(x_2)$。
§1.3函数的基本性质.doc
§ 1.3函数的基本性质§1.3.1单调性与最大(小)值1. 增函数：设函数f(X )的定义域为I,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量X 】，X2, 当X 】<X2吋，都有f (x ：)〈f(X2),就说f(x)在区间D 上是增函数.区间D 称为函数f(x)的单调增区间。
2. 减函数：设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域T 内的某个区间D 内的任意两个自变量“ X2, 当xKx2时，都有f (xj>f(x2),就说f (x)在区间D 上是减函数.3. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的，减函数 的图象从左向右是下降的.由此，可以直观观察函数图彖上升 与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.4. 判断单调性的步骤：设x 「x?丘给定区间，且- 计算f(xj —f(xj -判断符号一下结论.5. 最大值：设函数y = /(x)的定义域为I,如果存在实数M 满足:对于任意的xel,都有f(x ) <M ； 存在xoGl,使得f (兀°) = M.那么，称M 是函数y =的最大值. 6. 最小值：设函数y = f(x)的定义域为I,如果存在实数M 满足:对于任意的xel,都有/(%) >M ； 存在XoEl,使得/(x 0) = M.那么，称M 是函数y = /(x)的最小值. 7. 最值：函数的最大值和最小值统称为函数的最值。
注：(1)函数)/(x)的最值是图像最高点或最低点的纵坐标。
(2)函数的最值是在整个定义域内的性质。
练习：1 .函数y = x 2-6x 的减区间是( ). 2.在区间(0, 2)上是增函数的是( ). 3.函数/(x) =| x|和g(x) = x(2__r)的递增区间依次是( ). 4.二次函数f(x) = x 2-^-2ax + b 在区间(-8, 4)上是减函数，你能确定的是(). A. a>2 B. b>2 C. ci<-4 D. b<-4A • (—8,2] B. [2,+oo)C. [3,+oo)A. y 二一x+1C. y= x 2—4x + 5 A. (-8,0], (-8,1] B. (-00,0], [1,4-00)D. [0,+8),[1,+8)区间D 称为两数f(x)的单调减区间。
第一章1.3函数的基本性质
1.3函数的基本性质一、函数的单调性 课型A例1. 求证：y =+()3,4上递增。
证明略例2. 判断函数x x x f 1)(+=在[)1,0-上的单调性，并证明。
单调减 证明略例3. 求下列函数的单调区间：① 22y x x =- 单调减区间(),1-∞ 单调增区间()1,+∞② y = 单调减区间(),0-∞ 单调增区间()2,+∞③ 22y x x =- 单调减区间(),0(1,2)-∞和 单调增区间()2,(0,1)+∞和④ 22y x x =- 单调减区间()1,0-和()1,+∞ 单调增区间(),1-∞-和()0,1例4. 若2()3f x x ax =-+-在(],2-∞-上递增，求a 的取值范围。
（4a ≥-）例5．函数y =的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值等于 （ D）A 10BC 9D 6二、函数的奇偶性 课型A例1. 判断下列函数的奇偶性：○1 122)(2++=x x x x f ； 非奇非偶函数 ○2 x x x f 2)(3-=； 奇函数非偶函数 ○3 a x f =)( （R x ∈） 当0a =时，既是奇函数又是偶函数 当0a ≠时， 是偶函数非奇函数○4 ⎩⎨⎧+-=)1()1()(x x x x x f .0,0<≥x x 奇函数非偶函数 例2．已知函数53()8(2)=10f x x ax bx f =++--且，那么(2)f 等于 ( A )A 26-B 18-C 10-D 10例3．已知函数2()f x ax bx c =++是偶函数，那么是32()g x ax bx cx =++是（ A ）A.奇函数B. 偶函数C. 既奇又偶函数D. 非奇非偶函数例4. 已知2()(11)1x a f x x x bx +=-≤≤++为奇函数 ① 求,a b 的值 （0，0）② 判断()f x 的单调性并证明。
解：（1）()f x Q 为奇函数 (0)0f ∴=(0)0,01a f a ∴==∴= 又11(1)(1),,022f f b b b --=-∴=-∴=-+Q （2）()f x 在[]1,1-上单调增。
1.3函数的基本性质——单调性
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.
增函数、减函数的概念：
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数.
y
4 5 x
例1 右图是定义在 3 2 闭区间[－5, 5]上 1 的函数y＝f(x)的图 O 象，根据图象说出 -5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 y＝f(x)的单调区间， -2 -3 以及在每一单调区 间上， y＝f(x)是增函数还是减函数．
y
4 5 x
解：函数y＝f(x)的单调区间有[－5,－2)， [－2, 1)，[1, 3)，[3, 5]，
例1 右图是定义在 3 2 闭区间[－5, 5]上 1 的函数y＝f(x)的图 O 象，根据图象说出 -5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 y＝f(x)的单调区间， -2 图象法 -3 以及在每一单调区 间上， y＝f(x)是增函数还是减函数．
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一、函数单调性的认识 二、函数单调性的证明 三、函数单调性区间的问题 四、函数单调性与比较大小
一、函数单调性定义 1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1 ， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数．
一、函数奇偶性的认识 二、利用奇偶性求解函数的相关问题 三、函数基本性质综合问题
一般地，如果对于函数f(x)的定义域 内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)，那 么函数f(x)就叫做偶函数（even function）
一般地，如果对于函数f(x)的定义域 内的任意一个x，都有f(x)= -f(-x)，那 么函数f(x)就叫做奇函数（odd function）
2．减函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1， x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是减函数 ．
对初中所学函数的认识
f ( x) kx b(k 0)
f ( x) ax bx c(a 0) k f ( x) (k 0) x
2存在x0 I， 使得f x0 M
函数y f x 的最小值:
实数N满足N是y f x 的最小值， 那么 设函数y f x 的定义域为 ， 如果存在 I
1对于任意的x I， 都有f x N
2存在x0 I， 使得f x0 N
考点3：奇偶性
2
三、函数单调性区间的问题
1、求函数的单调区间 2、利用单调区间求解函数
考点2：最值
一、函数最值的认识 二、函数最值的求解Leabharlann 函数y f x 的最大值:
设函数y f x 的定义域为 ， 如果存在 I 实数M是函数y f x 的最大值, 那么
(1)对于任意的 I， 都有f x M x
三、函数基本性质综合问题
1、单调性+奇偶性 2、单调性+奇偶性+最值