上三角算子矩阵的左右Weyl谱与Weyl谱
Kato—Weyl算子矩阵的性质
（ Ｔ ） ： 』 ｎ ｆ ｛ Ｉ Ｔ ） （ Ｉ ｌ ： ｄ ｉ Ｓ （ ｘ ， Ｎ （ Ｔ ） ） ＝ １ ） ， 若 Ｔ＝０． ０ １ ，
＿ ｃ ｌ ｌ ｙ （ ）
若 Ｔ≠０ ；
称７ ｔ ∈曰 （ 日 ）为 一 个 上 半 Ｆ ｒ ｅ ｄ ｈ ｏ ｌ ｍ算 子 ， 若 ｎ （ Ｔ ）＜ｏ ｏ ， 且尺 （ ）闭； 若ｄ （ Ｔ ）＜ｏ ｏ ， 且 （ ）闭 ， 则称 为一个下半 Ｆ ｒ ｅ ｄ ｈ ｏ ｌ ｍ算子． 算 子Ｔ∈Ｂ （ Ｈ）
田俊 红 ，白永 茂
（ 天水师范学院 数学 与统计学院 ，甘肃 天水 ７ ４ １ ０ ０ １ ）
摘
要 ：定 义 了 Ｋ ａ ｔ ｏ — Ｗｅ ｙ ｌ 算 子 及 其 谱 集 ，研 究 了在 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空 间上 ， 当Ａ ∈ Ｂ（ 日） ，Ｂ ∈ Ｂ（ ） 且 为Ｋ ａ ｔ ｏ — Ｗｅ ｙ ｌ 算子 的条件及其重要性质
ｎ （ ）＝ ｄ ｉ ｍ Ｎ（ Ｔ ）； ｄ （ ）
（ ）＝ ｛ Ａ∈Ｃ ： Ｔ—Ａ Ｉ 不 为下半 Ｆ ｒ ｅ ｄ ｈ ｏ ｌ ｍ） ．
ｐ （ ）表示算子 的预解集 ， （ ） ＝Ｃ＼ ｐ （ ）为 ７ １
的谱 集 ． 的极小 约化模 定义 为
表示值域Ｒ （ ）的余维数献 【 ２ ］ 知，
ｏ ｒ （ ）＝ｏ ｒ （ Ｔ ）．
Ｒ（ ） ＝Ｒ（ “）的最 小 的非 负 整 数 ， 同 样 当这 样 的整数 不存 在 时 ， 记ｄ ｅ ｓ （ Ｔ ）＝∞． 用
＋
Ｋ ａ ｔ ｏ 算 子是一 类非 常重 要 的算 子 ， 有关 Ｋ ａ ｔ ｏ 谱， 更 多 的性质 见 文 献 （ ［ １ ］ ， ［ ３ — ６ ］ ） ．算 子 矩 阵 的各 种 谱 的摄 动 已被 多次研究 ， 见 文献 （ ［ ２ ］ ， 【 ７ — ９ ］ ） ．
【国家自然科学基金】_上三角算子矩阵_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802
推荐指数 4 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2011年 科研热词 谱 上三角算子矩阵 banach空间 谱扰动 算子矩阵 无穷维 无界算子矩阵 扰动 hamilton算子 推荐指数 4 2 2 1 1 1 1 1 1
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8
科研热词 谱 本征函数展开法 指标 二维弹性问题 上三角算子矩阵 一般解 kato算子 fredholm算子
推荐指数 1 1 1 1 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
科研热词 降标 谱 能谱 算子矩阵 立方幂等阵 矩阵的群逆 正交阵 映射 幂等阵 可加映射 升标 不变子空间格 下半fredholm算子 上三角算子矩阵 上三角矩阵代数 上三角矩阵 上三角块阵模 三角型 moore-penrose谱. moore-penrose可逆 kato算子 k-幂等矩阵 drazin谱 2*2阶上三角型算子矩阵
科研热词 推荐指数 线性保持问题 2 广义数值域 2 块算子矩阵 2 上三角算子矩阵 2 q次数值域 2 零空间 1 闭性 1 近似点谱 1 谱 1 算子矩阵 1 满射 1 可逆性 1 值域 1 亏谱 1 下方有界 1 上三角有界算子矩阵 1 上三角有界hamilton算子 1 weyl谱 1 browder谱 1
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
科研热词 缺项算子 fredholm算子 谱 weyl谱 weyl算子 谱补 谱的自伴扰动 谱扰动 点谱 本质谱 本征函数展开法 无穷维hamilton算子 二维弹性问题 上三角微分系统 一般解 kato谱 2*2算子矩阵
上三角算子矩阵的左(右)Weyl谱与Weyl谱
是 。 ）的某些洞的并 ， ． ｛＂， ， ｝，分别找 出了 的具体位置 ． （ ｅ Ｏ ｗ ［ 关键 词］Ｂ ｎｅ ａａｈ空间 ；算子矩阵 ；Ｗｅｌ ；左 Ｗｅｌ ；右 Ｗｅｌ ｙ谱 ｙ谱 ｙ 谱 ［ 中图分类号 ］０ １７２ ７ ． ［ 文献标志码 ］Ａ
Ｏ 引言
集．当 Ｅ （ 时， 的各种谱成份的定义如下． ）
定义 １ Ｔ的孤立有限代数重特征值集： （ ）＝｛ ： ：Ｔ Ａ ＥｃＡ是 （ ）的孤立点，且谱投影空间
（ （ ；） 是 （ Ｅ Ａ ） 非零）有限维的｝ ．
［ 收稿 日期 ］２ ０ ２—１ ０ ６—１ ２ ［ 修回 日期 ］２０ ０ ０ ７— ３—０ ２ ［ 基金项 目］国家 自然科学基金资助项 目 （ｏ ７ｏ ５ ；福建省 自然科学基金 资助项 目 （０ ６００ ） １４ １２ ） ２０ Ｊ２ ３ ［ 作者简介 ］陈晓玲 （９Ｏ ） 女 ， １８一 ， 助教 ， 士 ， 硕 从事泛 函分析方面的研究．
Ｊｎ ｏ ８ ａ ．２ ｏ
［ 文章编 号］１０ ７０ （０ ８ Ｏ 一 Ｏ２— ５ ０ ７— ４ ５ ２ ０） １ Ｏ ９ ０
上 三角算 子 矩 阵 的左 （ ）Ｗｅｌ 与 Ｗｅｌ 右 ｙ谱 ｙ 谱
陈 晓玲 ，钟 怀 杰
（．集美大学理学院，福建 厦 门 ３１２ ； ． 福建 师范大学数学与计算机科 学学院 ，福建 福 州 ３００ ） １ ６０１ ２ ５０７
算子谱定理
算子谱定理算子谱定理（spectral theorem），在数学领域中是一项非常基础却又非常重要的定理。
它表明了，在某些情况下，任何一个自伴算子都可以被描述为其特征值和特征向量的线性组合。
本文将会对算子谱定理的证明过程进行简要阐述，并介绍一些应用。
在讲算子谱定理之前，我们先予以一些定义。
在线性代数中，一个算子表示一个向量空间到其自身的线性映射。
如果这个算子作用的向量空间与它自己的对偶空间相同，则称这个算子是自伴的。
接下来我们来看算子谱定理。
它的一般形式可以表述如下：定理：设T是一个自伴算子，它作用于一个无限维的复内积向量空间V上。
那么，存在一组有限或无限的正交向量组，它们是V的完全正交基。
这个算子T对应于它的特征值和特征向量的线性组合。
换言之，上述定理说明了自伴算子是可对角化的。
当我们知道一个算子T的本征值和本征向量后，可以用它们来表示算子T。
这一点可以通过下面的定理证明。
定理：设T是一个自伴算子。
它的本征值λ1，λ2，…是实数且两两不同。
与每一个本征值λi相关联的本征空间是由λi的特征向量张成的。
对于任意向量v∈V，我们都有：v=∑i(v,ei)ei，其中ei是λi的本征向量，(v,ei)代表内积证明：因为T是自伴的，所以(Tv,w)=(v,Tw)对于所有v和w∈V。
又因为T有一个完备的本征向量集{ei}，所以V可以表示为V=⊕iHi，其中Hi是与λi相关联的本征向量的线性组合生成的子空间。
那么我们考虑对于v∈V，将其投影到每个本征向量所在的空间Hi中：vi=∑j≠i(v,ej)ej，其中ej是λj的本征向量那么对于任意v∈V，依据使用上述公式构建的变换我们可以得到相应的特征向量：v=∑ivi=∑i(v,ei)ei也就是说，对于给定的向量v∈V，我们可以用T的本征向量来表示它。
而这个展开式的系数是(v,ei)，是v在特定的i维本征空间上的投影。
接下来，我们来看一下算子谱定理的一些应用。
首先是解决矩阵对角化问题。
算子谱定理
算子谱定理
算子谱定理（Spectral Theorem for
Operators）是数学中的一个重要定理，它提供了一种将一个自伴算子（self-adjoint operator）或正规算子（normal
operator）与其特征值（eigenvalues）和特征向量（eigenvectors）
之间的联系的方式。
算子谱定理在函数分析、量子力学和线性代数等领域中有广泛的应用。
对于一个有界自伴算子或正规算子，算子谱定理断言以下几点：
1.该算子的特征值都是实数。
对于自伴算子，其特征值还
满足正交补充关系。
2.该算子的特征向量对应于不同的特征值，且构成一个正
交基。
3.该算子可以被谱分解为特征值和特征向量的线性组合，
其中特征值对应于特征向量的投影。
这个定理的重要性在于它提供了一种将一个复杂的算子分解为一组简单的特征值和特征向量的方式，从而使我们能够更好地理解和研究算子的性质和行为。
这种分解为特征值和特征向量的形式在许多数学和物理问题中都起着关键作用，例如矩阵对角化、量子力学中的态矢量表示等。
需要注意的是，算子谱定理的具体形式和适用范围会依赖于具体的数学理论和背景。
在不同的领域和上下文中，可能会有不同版本的算子谱定理。
因此，在具体问题中应该参考相应的数学理论和文献，以了解适用于该问题的算子谱定理的详细表述和证明。
漫谈第二类Weyl半金属
漫谈第二类Weyl半金属1 什么是Weyl 费米子？说来话长，一切来自于大约一百年前的那场量子力学引发的革命。
1926年，薛定谔提出著名的薛定谔方程：i? ?ψ/?t=Hψ ，其中H 是系统的哈密顿算符。
薛定谔方程在量子世界中的地位如同牛顿第二定律(F=ma)在经典力学中的地位一般，它描述了作为一种概率波的量子态如何随着时间演化。
可正如牛顿第二定律在经典力学中遇到的问题一样，薛定谔方程与狭义相对论并不兼容。
然而，这个问题没有难倒“怪才”狄拉克先生。
为了使量子力学和狭义相对论相容，他将薛定谔方程中与经典能量对应的哈密顿量写成与相对论能量对应的形式。
相对论中能量表达为E＝√(p2+m2) ，可是，算符上的根号给我们的理论带来了困难。
这个看似困难的问题却被狄拉克巧妙地化解为中学数学问题：把根号中的数写成完全平方数不就解决了？于是，他使用“待定系数法”，令√(p2+m2) = αp + βm 。
虽然这样的系数并不能是实数，甚至不是复数，但是它却可以是矩阵！1928年，他提出了狄拉克方程：(iγμ?μ+m)ψ = 0 .这一变化成功地化解了量子力学和狭义相对论的矛盾。
值得一提的是，这个看起来简单的方程的意义不仅于此：人们可以通过寻找狄拉克方程的解来预言可能存在的新粒子！有一个著名的例子，正电子就是狄拉克方程电子解的镜像。
著名数学家David Hilbert 的学生Hermann Weyl 在1929 年发现，居然有一种质量为零的粒子满足狄拉克方程。
它的自旋是半整数，因此它是一种费米子，并且同时满足泡利不相容原理，即两个全同费米子不能处于同一个态上。
这种粒子被称为Weyl 费米子。
无质量的Weyl 费米子就像人类一样，可以用两种“性别”加以区分：一种自旋方向与运动方向相同，而另一种相反。
人们把这种“性别”命名为手性，并分别称它们为右旋和左旋，二者互为镜像(图1)。
图1 手性不同的费米子狄拉克方程居然给出了一种新粒子，这当然让物理学家们激动不已。
【国家自然科学基金】_分块算子矩阵_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140731
2011年 科研热词 幂等算子 量子效应 线性组合 算子分块 算子 正交投影 反序律 加权广义逆 分块算子矩阵 moore-penrose逆 drazin算子 almost sharp量子效应 推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
推荐指数 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
科研热词 群逆 线性保持问题 算子分块矩阵 广义数值域 幂等算子 块算子矩阵 人脸识别 q次数值域 非负矩阵分解(nmf) 误差估计界 扰动 局部非负矩阵分解 局部相位量化(lpq) 局部二值模式 加w-权drazin逆 上三角算子矩阵 weyl谱 drazin 逆 browder谱
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
科研热词 算子矩阵 广义逆 moore-penrose逆 酉算子 谱 自伴解 线性鉴别分析 约化解 算子分块 等价类 正交投影 投影算子 广义bott-duffin逆 局部二元模式 分块主分量分析 人脸识别 {1}-逆 hilbert空间 douglas方程
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
科研热词 推荐指数 算子矩阵 3 正算子 2 正交投影 2 moore-penrose逆 2 非负无穷维hamilton算子 1 约化点谱 1 算子方程 1 无穷维hamilton算子 1 广义逆 1 广义特征值 1 可逆性 1 riesz幂等元 1 k-准 a 类算子 1
8 Weyl编序
第八章 Weyl 编序算符内的积分技术及其应用算符Weyl 编序是在Weyl 对应规则的基础上定义的，Weyl 编序比正规乘积编序复杂。
但它在实际应用中有其特殊的作用，因为Weyl 编序的算符在相似变换下有特殊的性质。
本章发展Weyl 对应规则和Weyl 编序算符积分技术，首次给出Wigner 算符和Husimi 算符的Weyl 编序形式，为实际的运算带来了很大的方便。
§ 8.1 Weyl 编序算符内的积分技术[1]前面几章介绍的都是正规乘积内的算符积分技术，在正规乘积记号“::”内，玻色算符被看作是普通的数，而使得Newton —Leibniz 积分可以进行。
本章指出在Weyl 编序下，玻色算符也是可对易的，Weyl 编序是量子化经典函数mrq p 的一个方案，即()01!.2!!m mmrm l r l l m q p Q P Q l m l -=⎛⎫→ ⎪-⎝⎭∑ （8.1.1） 我们称（8.1.1）式右边是一个Weyl 编序好了的算符。
这里引进“”作为Weyl 编序的记号，于是有()()00::1!1!.::2!!2!!m m mm m l r l m l r ll l m m Q P Q Q P Q l m l l m l --==⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑ （8.1.2） 由于P 与Q 在Weyl 编序内是可交换的，所以有m rm r q p Q P →。
它可以由（6.1.7）式及（8.1.1）式验证，即()2,m r Tr Q P p q π⎡⎤∆⎣⎦()01!22!!2m mipum l r l l um udue q Q P Q q l m l -=⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭∑⎰'1''222m ipu r m ipu ip u r u u q due q p q q due dp e p π-=-+=⎰⎰⎰ m r q p =， （8.1.3）可见(),m r m r dpdqq p p q Q P ∞-∞∆=⎰⎰， （8.1.4）这也表明()()(),,,h P Q dpdqh p q p q ∞-∞=∆⎰⎰ ， （8.1.5）联立（8.1.1）和（8.1.4）得()01!2!!mmm r m l r l l m Q P Q P Q l m l -=⎛⎫= ⎪-⎝⎭∑， （8.1.6）（8.1.6）式说明：若要将一个Weyl 编序算符的记号去掉，则要根据（8.1.6）式来进行。
一类两端奇异带有转移条件的S-L问题的Weyl矩阵与谱矩阵
献 中则讨论了一端奇异情形下 ， 具有转移条件 ｓ — Ｌ 算子的 ｗｅ ｙ ｌ 函数与谱函数的关系． 在前面已有的结 论下 ， 本文将进一步讨论两端奇异的带有转移条件的 ｓ — Ｌ问题的谱矩阵与 Ｗｅ ｙ ｌ 矩阵的关系．
１ 预备 知识
为了研究两端奇异带有转移条件的 ｓ — Ｌ问题 ， 首先从有限区间 ， ＝［ ａ ， Ｃ ） ｕ（ ｃ ， ｂ ］ （ 一∞ ＜ ａ ＜ ０＜ ｂ
的结论进一步推广 到无 限区间 ， 最终给出了 Ｗｅ ｙ ｌ 矩 阵与谱矩 阵的关 系．
关键词 ： 微 分算 子 ； 转移条件 ； Ｗｅ ｙ ｌ 矩阵 ； 谱矩 阵
中 图分 类 号 ： Ｏ １ ７ ５ ． ３ 文 献标 识 码 ： Ａ
０ 引 言
奇型 对称 微分 算子 的谱 分解是 数 学物 理 中常用 的 函数 正交 分解 和积 分 变换 方 法 的基 础 ， 是 近代 量 子力 学 的主要 工具 ． 曹 之江 在其 １ ９ ８ ７年 出版 的《 常 微分算 子》 一 书中 系统 的讲 述 了奇 型 对称 微分 算 子 的
２
显然 （ ， Ａ ） ， （ ， Ａ ） ， 是线 性独 立 的．
由［ ３ ］ 知， 算子 在区间 ， 上是 自 伴的 ， 因此上述问题在空间 日上具有可列实特征值｛ Ａ ） （ ｎ＝ １ ， ２ ，
３ …） ， ｛ ） 是相应 的规 一特 征 函数 ， 它们 在 日 内是完备 的． 从 而对 Ｖ ，∈Ｈ有 Ｐ ａ ｒ ｓ ｅ ｖ ａ ｌ 等式 ：
．
（ １ ． ２ ）
ｇ ， Ｊ （ Ａ ） （ Ａ ）
（ Ａ ）
其中 ｇ ， １ （ Ａ ）＝（ ） ， （ ， Ａ ） ） ， ｇ （ Ａ ）：（ ） ， （ ， Ａ ） ） ， 函数 ｐ （ Ａ） 为 阶梯 函数 ， 以 Ｉ 为间断 点 ， 它在
关于拟微分算子的weyl运算
关于拟微分算子的weyl运算
Weyl运算是拟微分算子的一种重要的数学工具，它可以用来表达拟微分的性质。
这种运算主要用于处理函数的变化和分析，例如特征频率、本征向量和泛函的变换。
它的核心原理是内积，即将函数的变化作为内积的一部分。
Weyl运算在拟微分算子中有着广泛的应用，因为它允许函数的变化不仅被表达为变换，还能被表达成微分方程。
Weyl运算也可以用来表示拟微分算子的变换。
这意味着，用Weyl 运算可以将特殊的函数变换变换为一组拟微分算子，这些拟微分算子通常用来处理特定的函数方程。
这样就可以将特定的变换表示为微分形式。
Weyl运算也可以用来确定函数方程的稳定性。
例如，可以利用Weyl运算来确定拟微分算子的频率，从而确定函数方程的稳定性。
此外，Weyl运算也可以用来计算函数方程的本征向量，这在确定函数变换在分析函数形状等问题上是很重要的。
总之，Weyl运算是拟微分算子的一种重要的数学工具，它可以用来表达拟微分的性质，并可以表示特殊的函数变换，从而用来处理特定的函数方程和确定函数方程的稳定性。
此外，它也可以用来计算函数的本征向量，在分析函数形状等问题上是很重要的。
Weyl定理及其紧摄动
D O I :10.3969/j.i s s n .1001-5337.2022.3.045 *收稿日期:2022-01-06基金项目:陕西师范大学中央高校基本科研业务费资助项目(G K 202007002).第一作者:杨莉莉,女,1993-,博士研究生;研究方向:算子理论;E -m a i l :l l y a n g @s n n u .e d u .c n .通信作者:曹小红,女,1972-,博士,教授;研究方向:算子理论;E -m a i l :x i a o h o n gc a o @s n n u .ed u .c n .We yl 定理及其紧摄动*杨莉莉, 曹小红(陕西师范大学数学与统计学院,710119,陕西省西安市) 摘要:研究了一类具有特殊谱结构的有界线性算子的W e y l 定理的紧摄动,同时还讨论了复对称算子的W e y l 定理紧摄动.关键词:谱;W e y l 定理;紧摄动中图分类号:O 177.2 文献标识码:A 文章编号:1001-5337(2022)03-0045-060 引 言在本文中,H 表示无限维可分的复H i l b e r t 空间,B (H )和K (H )分别表示H 上的全体有界线性算子和全体紧算子构成的集合.对T ɪB (H ),用n (T )和d (T )分别表示算子T 的零空间N (T )的维数和值域R (T )的余维数,即n (T )=d i m N (T ),d (T )=d i m [H \R (T )]=c o d i m R (T ).算子T 的升标和降标分别定义为a s c (T )=i n f {n ɪℕ:N (T n )=N (T n +1)},d e s (T )=i n f {n ɪℕ:R (T n )=R (T n +1)},其中ℕ表示自然数集.若这样的下确界不存在,则记a s c (T )=+ɕ(或者d e s (T )=+ɕ).若R (T )是闭的且n (T )有限,则称T 是上半F r e d h o l m 算子;若d (T )有限,则称T 是下半F r e d h o l m 算子.称T 是F r e d -h o l m 算子,若T 既是上半F r e d h o l m 算子又是下半F r e d h o l m 算子.若算子T 是上(下)半F r e d h o l m 算子,T 的指标定义为i n d (T )=n (T )-d (T ).指标为0的F r e d h o l m 算子称为是W e y l 算子,有有限升降标的F r e d h o l m 算子称为是B r o w d e r 算子.可以证明,T 是B r o w d e r 算子当且仅当T 是W e y l 算子且a s c (T )<ɕ(或d e s (T )<ɕ).对于集合G ,用i s o G ,a c c G 和∂G 分别表示G 的孤立点,聚点以及边界点构成的集合.B (λ0,δ)表示以λ0为圆心以δ为半径的邻域,B 0(λ0,δ)表示以λ0为圆心δ为半径的空心邻域.对于T ɪB (H ),T 的谱集定义为σ(T )={λɪℂ:T -λI 不为可逆算子}.T 的W e y l 谱σw (T ),B r o w d e r 谱σb (T ),半F r e d h o l m 谱σS F (T )分别定义为σw (T )={λɪℂ:T -λI 不为W e yl 算子};σb (T )={λɪℂ:T -λI 不为B r o w d e r 算子};σS F (T )={λɪℂ:T -λI 不为半F r e d h o l m 算子}.显然,σS F (T )⊆σw (T )⊆σb (T ).令ρ(T )=ℂ\σ(T ),ρw (T )=ℂ\σw (T ),ρS F (T )=ℂ\σS F (T ).σ0(T )表示T 的所有正规特征值构成的集合,即σ0(T )=σ(T )\σb (T ).设T ɪB (H ),称T 满足B r o w d e r 定理,如果 第48卷 第3期2022年7月 曲阜师范大学学报J o u r n a l o f Q u f u N o r m a l U n i v e r s i t y V o l .48 N o .3J u l y 202264曲阜师范大学学报(自然科学版)2022年σ(T)\σw(T)⊆π00(T),其中,π00(T)={λɪi s oσ(T):0<n(T-λI)<ɕ}.容易验证T满足B r o w d e r定理当且仅当σw(T)=σb(T).若σ(T)\σw(T)=π00(T),则称T满足W e y l定理.显然,W e y l定理⇒B r o w d e r定理.若对任意KɪK(H),T+K都满足W e y l定理,则称T具有W e y l定理稳定性.1909年,W e y l[1]在检查H e r m i t i a n算子T的谱结构时发现,T的所有紧扰动谱集的交集在其谱集中的余集恰好等于它的谱集中孤立点的有限重特征值.这一性质后来被称为 W e y l定理 .之后,许多学者对算子的W e y l定理及其稳定性作了大量的研究工作(见文献[2-6]).本文对B(H)中一类具有特殊谱结构的算子的W e y l定理及其紧扰动进行讨论,并且将文献[2]中有关复对称算子W e y l定理的研究结果进行了拓展. 1预备知识引理1.1[7]设TɪB(H).若λɪi s oσ(T),则下列等价:(1)λɪρS F(T);(2)λɪρw(T);(3)λɪσ0(T).引理1.2[8]设TɪB(H).若σ(T)=σS F(T)ɣσ0(T),则对任意的 >0,都存在KɪK(H)满足 K < ,σ(T+K)=σS F(T+K)ɣσ0(T+K)且i s oσ(T+K)=σ0(T+K).由引理1.2我们可以得到如下的推论.推论1.3设TɪB(H),则下面的论述是等价的.(1)σ(T)=σS F(T)ɣσ0(T).(2)对任意 >0都存在KɪK(H)且 K < 使得(ⅰ)σ(T+K)=σS F(T+K)ɣσ0(T+K);(ⅱ)i s oσ(T+K)=σ0(T+K);(ⅲ)σ(T+K)=σ(T)ɣE,其中E⊆ρ(T)是至多可数集.证明(1)⇒(2).参考引理1.2的证明可得,这里不再赘述.(2)⇒(1).设λ0∉σS F(T),则T+K-λ0I为半F r e d h o l m算子.由条件知T+K-λ0I为B r o w d e r算子,则存在δ>0使得B0(λ0,δ)⊆ρ(T+K).由(ⅲ)可知ρ(T+K)⊆ρ(T),所以λ0ɪi s oσ(T)ɣρ(T).由于T-λ0I为半F r e d h o l m算子,结合引理1.1可知T-λ0I为B r o w d e r算子.因此σ(T)=σS F(T)ɣσ0(T).注解1.4由引理1.2的证明还可以得到:推论1.3中的(ⅲ)可以替换为a c cσ(T+K)=a c cσ(T)ɣ[i s oσ(T)ɘσS F(T)].引理1.5[8]设TɪB(H)且满足B r o w d e r定理,λ0ɪi s oσw(T),则存在KɪK(H)且Kʂ0使得λ0ɪa c cσ0(T+K).注解1.6由引理1.5可以得到下列事实.设TɪB(H)满足B r o w d e r定理.若对任意非零紧算子K都有i s oσw(T)ɘa c cσ0(T+K)=∅,则(1)i s oσw(T)=∅;(2)对任意KɪK(H)都有i s oσ(T+K)=σ0(T+K).同时,还可以得到下面的推论.推论1.7设TɪB(H).若T满足B r o w d e r定理且对于任意KɪK(H)都有a c cσ(T)=a c cσ(T+ K),则(1)i s oσ(T)=σ0(T);(2)对任意KɪK(H)都有i s oσ(T+K)=σ0(T+K);(3)ρw(T)连通.证明(1)假设i s oσ(T)ʂσ0(T),则存在λ0ɪi s oσ(T)\σ0(T).从而由引理1.1可知λ0ɪi s oσw(T).于是由引理1.5可知存在紧算子K 0ʂ0使得λ0ɪa c c σ0(T +K 0).然而据条件可得λ0ɪa c c σ0(T ),矛盾.同理可证得(2).(3)假设ρw (T )不连通,现取其有界连通分支Ω.令Γ=∂Ω⊆σS F (T ),则由文献[9,引理3.2.6]可知存在K 1ɪK (H )使得T +K 1=N *0A æèçöø÷H 1H 2,其中N 正规且σ(N )=σS F (N )=∂Ω,σ(T )=σ(A ).对于算子N ,由文献[11,定理3.1]可知存在K 2ɪK (H 1)使得σ(N +K 2)=Ω.令K 2=K 2000æèçöø÷ɪK (H ),则T +K 1+K 2=N +K 2*0A æèçöø÷.由T 满足B r o w d e r 定理可知一定存在λ0ɪΩ使得λ0ɪρ(T ).从而A -λ0I 是可逆的,而且,由a c c σ(T )=a c c σ(T +K 1+K 2)可知λ0∉a c c σ(T +K 1+K 2).由(2)可知T +K 1+K 2-λ0I 是B r o w d e r 算子.进而N +K 2-λ0I 是B r o w d e r 的.利用B r o w d e r 算子的特点可知存在λ1ɪΩ使得N +K 2-λ1I 是可逆的.与 σ(N +K 2)=Ω 矛盾.于是,得到下面的定理.定理1.8 设T ɪB (H ),则T 具有W e y l 定理稳定性当且仅当下列条件成立:(1)T 满足B r o w d e r 定理;(2)对于任意K ɪK (H )都有a c c σ(T +K )=a c c σ(T ).证明 必要性.(1)显然成立.下面说明(2).由文献[5,引理2.1]可知:对于任意K ɪK (H )都有i s o σ(T +K )=σ0(T +K ).假设λ0∉a c c σ(T +K ),则λ0ɪi s o σ(T +K )ɣρ(T +K ),从而T +K -λ0I 是B r o w d e r 算子.结合(1)可知T -λ0I 是B r o w d e r 算子,因此λ0ɪσ0(T )ɣρ(T ),于是λ0∉a c c σ(T ).同理可以证得a c c σ(T +K )⊆a c c σ(T ).充分性.任取K ɪK (H ),设λ0ɪσ(T +K )\σw (T +K ),则T -λ0I 是W e y l 算子,从而T -λ0I 是B r o w d e r 算子,于是λ0∉a c c σ(T +K ).由推论1.7可知λ0ɪσ0(T +K )⊆π00(T +K ).反之,设λ0ɪπ00(T +K ),再由推论1.7可知λ0ɪσ0(T +K ),因此T +K -λ0I 是W e y l 算子,于是T +K 满足W e y l 定理.这样就证明了T 具有W e y l 定理稳定性.2 主要结论在这一节中,我们对一类具有特殊谱结构的算子的W e y l 定理的紧摄动给出等价刻画.定理2.1 设T ɪB (H ).若σ(T )=σS F (T )ɣσ0(T ),则对于任意K ɪK (H )\{0},T +K 满足W e y l 定理当且仅当下列条件成立:(1)对任意K ɪK (H )\{0},a c c σ(T +K )ɣ{λɪℂ:n (T +K -λI )=ɕ}ɣ{λɪσ(T +K ):n (T +K -λI )=0}都相同;(2)对任意K ɪK (H )\{0}都有a c c σ(T +K )ɣ[π00(T )ɘσb (T )]=a c c σ(T )ɣ[σS F (T )ɘi s o σ(T )].证明 首先证明必要性.分以下2种情形来完成.情形1 i s o σ(T )ɘσS F (T )=∅.此时i s o σ(T )=σ0(T ).从而π00(T )ɘσb (T )=∅且T 满足W e y l 定理,所以T 具有W e y l 定理稳定性.由定理1.8可知对任意K ɪK (H )都有a c c σ(T +K )=a c c σ(T ).于是(2)得证.为证明(1)我们断言:对任意K ɪK (H )都有a c c σ(T +K )ɣ{λɪℂ:n (T +K -λI )=ɕ}ɣ{λɪσ(T+K ):n (T +K -λI )=0}=a c c σ(T ).由于a c c σ(T +K )=a c c σ(T ),由推论1.7可知i s o σ(T +K )=σ0(T +K ),于是[{λɪℂ:n (T +K -λI )=ɕ}ɣ{λɪσ(T +K ):n (T +K -λI )=0}]ɘi s o σ(T +K )=∅,即{λɪℂ:n (T +K -λI )=ɕ}ɣ{λɪσ(T +K ):n (T +K -λI )=0}⊆a c c σ(T +K ).于是a c c σ(T +K )ɣ{λɪℂ:n (T +K -λI )=ɕ}ɣ{λɪ74第3期 杨莉莉,等:W e yl 定理及其紧摄动σ(T +K ):n (T +K -λI )=0}=a c c σ(T +K ).所以断言得证.情形2 i s o σ(T )ɘσS F (T )ʂ∅.由注解1.4可知存在K 0ɪK (H )且K 0ʂ0使得σ(T +K 0)=σS F (T +K 0)ɣσ0(T +K 0),i s o σ(T +K 0)=σ0(T +K 0)且a c c σ(T +K 0)=a c c σ(T )ɣ[i s o σ(T )ɘσS F (T )].此时容易看出T +K 0满足W e y l 定理.类似于情形1可以证明:对任意K ɪK (H )都有a c c σ(T +K )ɣ{λɪℂ:n (T +K -λI )=ɕ}ɣ{λɪσ(T +K ):n (T +K -λI )=0}=a c c σ(T +K 0).对于(2),下证对任意K ɪK (H )\{0}都有a c c σ(T +K )ɣ[π00(T )ɘσb (T )]=a c c σ(T +K 0).一方面,设λ0∉a c c σ(T +K 0),则λ0ɪσ0(T +K 0)ɣρ(T +K 0).所以T +K 0-λ0I 是B r o w d e r 算子,因此T -λ0I 是W e y l 算子.于是对任意K ɪK (H )\{0},T +K -λ0I 都是W e y l 算子.由σ(T )=σS F (T )ɣσ0(T )及T +K 满足W e y l 定理可知λ0∉σb (T )且λ0∉a c c σ(T +K ).于是λ0∉a c c σ(T +K )ɣ[π00(T )ɘσb (T )].包含关系a c c σ(T +K )ɣ[π00(T )ɘσb (T )]⊆a c c σ(T +K 0)得证.另一方面,任取K ɪK (H )\{0},设λ0∉a c c σ(T +K )ɣ[π00(T )ɘσb (T )],则λ0ɪi s o σ(T +K )ɣρ(T +K ).若λ0ɪρ(T +K ),则易知T +K 0-λ0I 是W e y l 算子,从而是B r o w d e r 的.于是λ0ɪi s o σ(T +K 0)ɣρ(T +K 0),即λ0∉a c c σ(T +K 0).若λ0ɪi s o σ(T +K ),此时断言λ0∉a c c σ(T +K 0).事实上,若λ0ɪa c c σ(T +K 0),则有λ0ɪσw (T +K 0).由λ0ɪi s o σ(T +K )及σw (T +K 0)=σw (T )=σw (T +K )⊆σ(T +K )可知λ0ɪi s o σw (T +K 0).由于T +K 0满足W e y l 定理,于是存在δ>0使得σ=B (λ0,δ)ɘσ(T +K 0)是σ(T +K 0)的一个开闭子集,且σ由λ0和T +K 0的可数个正规特征值构成.由文献[6,推论2.2]可知,此时T +K 0可分解为T +K 0=A *0B æèçöø÷,其中σ(A )=σ,σS F (A )={λ0}且σ(B )=σ(T )\σ.由文献[10,定理3.48]可知,存在紧算子K 1使得σ(A +K 1)=σS F (A +K 1)={λ0}.对算子A +K 1,由文献[6,引理4.8]可知存在紧算子K 2使得σ(A +K 1+K 2)=σS F (A +K 1+K 2)=π00(A +K 1+K 2)={λ0},所以A +K 1+K 2不满足W e y l 定理.令K 1=K 1+K 2000æèçöø÷,则T +K 0+K 1=A +K 1+K 2*0B æèçöø÷.可以看出λ0ɪπ00(T +K 0+K 1).此时K 0+K 1ʂ0.若不然,假设K 0+K 1=0,则λ0ɪπ00(T ).从而由λ0∉π00(T )ɘσb (T )可知λ0∉σb (T ),即λ0ɪσ0(T ).从而T +K 0-λ0I 是W e y l 算子,与 λ0ɪσw (T +K 0) 矛盾.因此K 0+K 1ʂ0.由已知条件可知T +K 0+K 1满足W e y l 定理,从而T +K 0+K 1-λ0I 是W e y l 算子.于是T +K 0-λ0I 是W e y l 算子,进而T +K 0-λ0I 为B r o w d e r 算子.所以λ0ɪi s o σ(T +K 0),与假设矛盾.断言得证.于是包含关系a c c σ(T +K )ɣ[π00(T )ɘσb (T )]⊇a c c σ(T +K 0)成立.接下来证明充分性.对于任意K ɪK (H )\{0},下面说明σ(T +K )\σw (T +K )=π00(T +K ).设λ0ɪσ(T +K )\σw (T +K ),则T -λ0I 是W e y l 算子,从而是B r o w d e r 算子,所以λ0∉a c c σ(T )ɣ[i s o σ(T )ɘσS F (T )].由(2)可知λ0∉a c c σ(T +K ),所以λ0ɪi s o σ(T +K )且0<n (T +K -λ0I )<ɕ.这说明λ0ɪπ00(T +K ),于是σ(T +K )\σw (T +K )⊆π00(T +K ).反之,设λ0ɪπ00(T +K ),分2种情形来讨论.情形1 i s o σ(T )ɘσS F (T )=∅.此时i s o σ(T )=σ0(T )且π00(T )ɘσb (T )=∅,于是条件(2)即为:对任意K ɪK (H )\{0}都有a c c σ(T +K )=a c c σ(T ).因此λ0∉a c c σ(T ).则λ0ɪσ0(T )ɣρ(T ),从而T +K -λ0I 是W e y l 算子.情形2 i s o σ(T )ɘσS F (T )ʂ∅.根据引理2.2可知,存在非零紧算子K 0使得σ(T +K 0)=σS F (T +K 0)ɣσ0(T +K 0)且i s o σ(T +K 0)=σ0(T +K 0).由条件(1)可知λ0∉a c c σ(T +K 0),于是λ0ɪσ0(T +K 0)ɣρ(T +K 0),即T +K 0-λ0I 是84 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2022年B r o w d e r 算子.因此λ0ɪρw (T +K ).包含关系σ(T +K )\σw (T +K )⊇π00(T +K )得证.例2.2 令H =l 2,设T ɪB (H )定义为T (x 1,x 2,x 3, )=(0,x 2,x 3,x 4, ),则σ(T )=σS F (T )ɣσ0(T ),而且a c c σ(T )ɣ[σS F (T )ɘi s o σ(T )]={1}.定义K 0ɪB (H )为K 0(x 1,x 2,x 3, )=(x 1,0,0, ).则K 0ɪK (H ).通过计算可知a c c σ(T +K 0)ɣ[π00(T )ɘσb (T )]=∅.于是存在紧算子K 0ɪK (H )\{0},使得定理2.1中条件(2)不成立.因此由定理2.1可知一定存在非零紧算子K ,使得T +K 不满足W e y l 定理.下面讨论复对称算子的W e y l 定理.首先看一下复对称算子的定义:H 上的映射C 称为是共轭算子,若C 是共轭线性,可逆且C -1=C ,并且任给x ,y ɪH 都有<C x ,C y >=<y ,x >;算子T ɪB (H )称为是复对称算子,若存在H 上的共轭算子C ,使得C T C =T *.用S (H )表示H 上的所有复对称算子全体.对复对称算子的W e y l 定理,文献[2]给出了非常好的结果.本文根据上面的结果,继续来研究复对称算子W e y l 定理的摄动.推论2.3 设T ɪS (H ),则对任意K ɪK (H )\{0},T +K 满足W e y l 定理当且仅当下列条件成立:(1)对任意K ɪK (H )\{0},a c c σ(T +K )ɣ{λɪℂ:n (T +K -λI )=ɕ}ɣ{λɪσ(T +K ):n (T +K -λI )=0}都相同;(2)存在K 0ɪK (H )使得T +K 0满足W e y l 定理,并且对任意K ɪK (H )\{0}都有a c c σ(T +K )ɣ[π00(T )ɘσb (T )]=a c c σ(T +K 0).证明 由于T ɪS (H ),则由文献[2,命题2.7]及引理1.2可知,存在紧算子K 1满足σ(T +K 1)=σS F (T +K 1)ɣσ0(T +K 1)且i s o σ(T +K 1)=σ0(T +K 1).显然,T +K 1满足W e y l 定理.必要性.类似于定理2.1的证明可知,对任意K (H )\{0}都有a c c σ(T +K )ɣ{λɪℂ:n (T +K -λI )=ɕ}ɣ{λɪσ(T +K ):n (T +K -λI )=0}=a c c σ(T +K 1).于是(1)成立.由定理2.1的证明可知,取K 0=K 1可得(2)成立.充分性.对任意非零K ɪK (H ),下面说明σ(T +K )\σw (T +K )=π00(T +K ).一方面,设λ0ɪσ(T +K )\σw (T +K ),从而T +K 0-λ0I 是W e y l 的.因为T +K 0满足W e y l 定理,所以λ0∉a c c σ(T +K 0).由(2)可知λ0∉a c c σ(T +K ),因此λ0ɪπ00(T +K ).另一方面,设λ0ɪπ00(T +K ),则λ0∉a c c σ(T +K )ɣ{λɪℂ:n (T +K -λI )=ɕ}ɣ{λɪσ(T +K ):n (T +K -λI )=0}.下面分2种情形进行讨论.情形1 K 1=0.此时有σ(T )=σS F (T )ɣσ0(T )且i s o σ(T )=σ0(T ),则i s o σ(T )ɘσS F (T )=∅,从而π00(T )ɘσb (T )=∅.于是,条件(2)即为a c c σ(T +K )=a c c σ(T +K 0)对任意非零K ɪK (H )都成立.若K 0=0,则λ0∉a c c σ(T ).这样就有T -λ0I 为B r o w d e r 算子,从而T +K -λ0I 为W e y l 算子.若K 0ʂ0,由条件(1)可知λ0ɪπ00(T +K 0)ɣρ(T +K 0).由于T +K 0满足W e y l 定理,于是T +K 0-λ0I 为W e y l 算子,从而T +K -λ0I 为W e y l 算子.情形2 K 1ʂ0.此时由条件(1)可知λ0∉a c c σ(T +K 1)ɣ{λɪℂ:n (T +K 1-λI )=ɕ}ɣ{λɪσ(T +K 1):n (T +K 1-λI )=0},即λ0ɪρ(T +K 1)ɣπ00(T +K 1).由T +K 1满足W e y l 定理可知T +K 1-λ0I 是W e y l 的,从而T +K -λ0I 是W e y l 算子.因此对于任意K ɪK (H )\{0},T +K 都满足W e y l 定理.进一步,得到下面的推论.推论2.4 设T ɪB (H )且σ(T )=σS F (T )ɣσ0(T ),则下列陈述等价:(1)T 具有W e yl 定理稳定性;94第3期 杨莉莉,等:W e yl 定理及其紧摄动05曲阜师范大学学报(自然科学版)2022年(2)对任意KɪK(H)都有a c cσ(T+K)=a c cσ(T).对于复对称算子,也有类似的结论.推论2.5设TɪS(H),则下列陈述等价:(1)T具有W e y l定理的稳定性;(2)对任意KɪK(H)都有a c cσ(T+K)=a c cσ(T).如例2.2中定义的算子T,即TɪB(l2)定义为T(x1,x2,x3, )=(0,x2,x3,x4, ).容易验算TɪS(l2).前面已经证明了存在非零紧算子K,使得T+K不满足W e y l定理,即T不具有W e y l 定理的稳定性.由于a c cσ(T)=∅,于是由推论2.4或者推论2.5可知,一定存在非零紧算子K0使得a c cσ(T+K0)ʂ∅.参考文献:[1]W E Y L H.Üb e r b e s c h rän k t e q u a d r a t i s c h eF o r m e n,d e r e nD i f f e r e n z v o l l s t e t i g i s t[J].R e n d i c o n t i d e lC i r c o l o M a t e m a t i c od i P a l e r m o,1909,27:373-392.[2]Z HUS.W e y l t h e o r e mf o r c o m p l e x s y mm e t r i c o p e r a t o r s[J].J o r n a l o fM a t h e m a t i c a lA n a l y s i s a n dA p p l i c a t i o n s,2019,474: 1470-1480.[3]孙晨辉,曹小红,戴磊.W e y l型定理及其摄动[J].数学学报(中文版),2009,52(1):75-82.[4]Z HUS,L ICG.S V E Pa n d c o m p a c t p 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谱范数和左右奇异向量
谱范数和左右奇异向量
谱范数是一种矩阵的范数，定义为矩阵的最大奇异值。
而左奇异向量和右奇异向量是奇异值分解（SVD）中的概念。
对于任意的矩阵A，其奇异值分解为A = UΣV^T，其中U和
V为正交矩阵，Σ为主对角线上元素非负且按降序排列的奇异
值组成的矩阵。
左奇异向量是矩阵A*A^T的特征向量，右奇异向量是矩阵
A^T*A的特征向量。
左奇异向量和右奇异向量是单位向量。
谱范数可以通过奇异值分解来计算，其定义为矩阵A的最大
奇异值，即σ1。
谱范数也可以被表示为矩阵A的右奇异向量
中对应于最大奇异值的那个向量的2范数。
谱范数的计算公式为：||A||₂ = σ₁ = max(σ₁, σ₂, …, σₙ)，其中σ₁为矩阵A的最大奇异值，σ₂, …, σₙ为A的其他奇异值。
换句话说，谱范数是矩阵A对应于单位范数向量x的最大列和，即||A||₂ = max(||Ax||₂ / ||x||₂)，其中||x||₂=1。
这可以解释为矩阵A作用于单位长度的向量x后所得到的向量的长
度的最大值。
因此，谱范数表示的是矩阵A对向量的“放大倍数”，是一种
度量矩阵线性变换的最大倍数的范数。
谱范数在矩阵理论、线性代数和优化理论中有重要应用。
上三角算子矩阵的几类固零谱
上三角算子矩阵的几类固零谱
刘爱春
【期刊名称】《应用泛函分析学报》
【年(卷),期】2018(020)004
【摘要】设MC表示Hilbert空间H1⊕H2上的上三角算子矩阵MC=(A0CB),用∩*表示∩C∈B(H2,H1)σ*(MC),其中*表示某类谱,称满足等式∩*=σ*(M0)的谱为固零谱,本文集中给出上三角算子矩阵的三类固零谱,并举例说明谱等式
σ*(M0)=σ*(A)∪σ*(B)对这三类固零谱失效.
【总页数】6页(P393-398)
【作者】刘爱春
【作者单位】呼和浩特民族学院数学系,呼和浩特010051;内蒙古大学数学科学学院,呼和浩特010021
【正文语种】中文
【中图分类】O175.3
【相关文献】
1.3×3阶上三角算子矩阵的点谱和剩余谱扰动 [J], 黄俊杰;吴秀峰;阿拉坦仓
2.一类3×3上三角算子矩阵的点谱和剩余谱 [J], 王玉红;侯国林;阿拉坦仓
3.上三角算子矩阵的左(右)Weyl谱与Weyl谱 [J], 陈晓玲;钟怀杰
4.缺项3×3阶上三角算子矩阵的可能点谱 [J], 吴秀峰; 黄俊杰
5.一类无界2×2上三角算子矩阵的谱 [J], 苏荣;阿拉坦仓;黄俊杰
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33上三角算子矩阵的weyl型定理
Weyl型定理是一种重要的数学定理，它可以用来描述3×3上三角算子矩阵。
它说明，对于任意一个3×3上三角算子矩阵A，其左上角的子矩阵B是一个非奇异矩阵，并且其谱半径（最大特征值）满足：
$$||B||<=||A||$$
其中$||B||$表示矩阵B的谱范数，$||A||$表示矩阵A的谱范数。
这个定理有助于我们更好地理解3×3上三角算子矩阵的性质。
Weyl型定理可以用来对3×3上三角算子矩阵进行有效的计算。
譬如，如果我们想计
算一个3×3上三角算子矩阵A的谱半径，那么我们可以先求出这个矩阵的左上角子矩阵B 的谱范数，然后再根据Weyl型定理求出矩阵A的谱半径。
Weyl型定理也可以用来分析3×3上三角算子矩阵的稳定性。
稳定性可以用来衡量一
个矩阵改变后其特征值的变化情况。
Weyl型定理告诉我们，如果一个3×3上三角算子矩
阵A满足：
$$||B||<||A||$$
那么这个矩阵A是稳定的，即当我们对矩阵A进行微小改变时，它的特征值不会发
生巨大变化。
总之，Weyl型定理是一种重要的数学定理，它可以用来分析3×3上三角算子矩阵的
性质、进行有效计算、以及评估矩阵的稳定性。
它为我们理解和使用三角算子矩阵提供了
便利。
有界线性算子的a-Weyl定理及亚循环性
有界线性算子的a-Weyl定理及亚循环性杨国增;孔莹莹;曹小红【摘要】设H为无限维复可分的Hilbert空间,B(H)为H上的有界线性算子的全体.称T∈B(H)满足a-Weyl定理,若σa(T)σea(T)=πa00(T),其中,σa(T)和σea(T)分别表示算子T∈B(H)的逼近点谱和本质逼近点谱,πa00(T)={λ∈isoσa(T):0＜dimN(T-λI)＜∞}.通过定义新的谱集,给出了算子函数满足a-Weyl定理的判定方法,研究了当T为亚循环算子时,算子函数满足a-Weyl定理的充要条件.%Let H be an infinite dimensional separable complex Hilbert space and B(H) be the algebra of all bounded linear operators on H.For T ∈ B(H),we call a-Weyl's theorem holds for T if σa(T) σea(T) =π00(T),where oa (T) and oea (T) denote the approximate point spectrum and essential approximate point spectrum respectively,andπa00(T) ={λ ∈ isoσa(t):0 ＜ dim N(T-λI) ＜∞ }.Using the new defined spectrum,we investigate a-Weyl's theorem for operator function.Meanwhile,we characterize the sufficient and necessary conditions for operator function satisfying a-Weyl's theorem if T is a hypercyclic operator.【期刊名称】《深圳大学学报（理工版）》【年(卷),期】2017(034)004【总页数】6页(P372-377)【关键词】线性算子理论;a-Weyl定理;逼近点谱;亚循环算子;算子函数;Fredholm 算子;谱集;Browder谱【作者】杨国增;孔莹莹;曹小红【作者单位】郑州师范学院数学与统计学院,河南郑州450044;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062【正文语种】中文【中图分类】O177.2设H为无限维复可分的Hilbert空间， B(H)为H上的有界线性算子的全体．对于T∈B(H)，令N(T)和R(T)分别表示算子T的零空间和值域，若R(T)闭且n(T)=dim N(T)有限，称T为上半Fredholm算子；若R(T)有有限的余维数d(T)=dim(H/R(T))=codim R(T)，则称T∈B(H)为下半Fredholm算子．若T既为上半Fredholm算子又为下半Fredholm算子，则T∈B(H)称为Fredholm算子．对于半Fredholm算子，其指标定义为ind(T)=n(T)-d(T)．其中， n(T)和d(T)分别为算子T的零空间维数和值域的余维数．特殊地，当n(T)=0且R(T)闭时，称T为下有界算子．指标为0的Fredholm算子称为Weyl算子．算子T的升标asc(T)为满足N(Tn)=N(Tn+1)的最小非负整数，若这样的整数不存在，则记asc(T)=∞；算子T的降标为满足R(Tn)= R(Tn+1)的最小的非负整数，同样若这样的整数不存在，则记des(T)=∞．当T为有限升标和有限降标的Fredholm算子时，称T为Browder算子．对T∈B(H)，记σ(T)，σw(T)，σp(T)，σa(T)，σb(T)，σab(T)、σSF(T)和σea(T)分别表示算子T的谱、Weyl谱、点谱、逼近点谱、Browder谱、Browder本质逼近点谱、半Fredholm谱和本质逼近点谱.记ρ(T)=C\σ(T)、ρa(T)=C\σa(T)、ρb(T)=C\σb(T)、ρab(T)=C\σab(T)、ρSF(T)=C\σSF(T)、ρea(T)=C\σea(T)．令Pab(T)={λ∈σa(T): T-λI为上半Fredholm算子，且asc(T-λI)<∞}，将T的正规特征值记作σ0(T)，即σ0(T)=σ(T)\σb(T)．对K⊆C，iso K表示集合K的孤立点集， acc K为K的聚点的全体；为单位圆盘；为单位圆周.令T∈B(H), 对x∈H, x在T下的轨道定义为Orb(T, x)={ x, Tx, T2x, …}. 若Orb(T, x)在H中稠密, 则称x∈H为算子T的亚循环向量. 若T有亚循环向量，则称T为亚循环算子，用HC(H)表示H上的亚循环算子的全体，表示HC(H)的范数闭包.文献[1]给出了的判定，即当且仅当下列条件成立：① σw(T)∪∂连通；②σ0(T)=∅；③ 任意λ∈ρSF(T)， ind(T-λI)≥0，其中，ρSF(T)={λ∈C: T-λI为上半或下半Fredholm算子}．自Weyl[2]证明了自伴算子满足Weyl定理后，又有学者证明了hyponormal、Toelitz算子[3]、seminormal算子和其他算子及Banach空间上的算子也满足Weyl定理[4-5]．近年来，关于Weyl定理的研究仍是一个热点，并产生众多成果[6-9]．A-Weyl定理是Weyl定理的一种重要变形，若或σea(T)=σab(T)，则称T∈B(H)满足a-Weyl (a-Browder)定理．其中，表示空间N(T-λT)的维数．显然，a-Weyl定理包含Weyl定理和a-Browder定理．Kato[10]介绍了Kato谱，定义为σK(T)=C\ ρK(T)．其中，ρK(T)={μ∈C:N(T-μI)⊆}.本研究定义一种新的谱．设σvaw(T)=C\ρvaw(T)，令ρvaw(T)={λ∈C∶dim N(T-λI)<∞}，且存在ε>0，使当时，μ∈ρea(T)∩ρK(T)}．显然，σvaw(T)⊆σea(T) ⊆σab(T)⊆σa(T)⊆σ(T)．设H(T)为在σ(T)的一个邻域上解析,但在σ(T)的任一个分支上不为常值的函数全体．本研究用谱集σvaw(T)刻画了对任意f∈H(T)， f(T)满足a-Weyl定理的判定方法，进而给出当T为亚循环算子时， f(T)满足a-Weyl定理的充要条件.令T∈B(H), 若σ为σ(T)中的一闭开子集,则存在一个解析的柯西邻域Ω满足σ⊆Ω，且∅其中，为集合Ω的闭包．令按Ω的正向积分，又令H(σ; T)=R(E(σ; T))．显然，若λ∈iso σ(T)，则{λ}为σ(T)中的闭开子集，记H({λ}; T)为H(λ; T)；除此之外，若dim H(λ; T)<∞，则λ∈σ0(T)[11]．为便于证明，本研究首先给出引理1至引理3．引理1[12] 设T∈B(H)，若σ(T)= σ1∪σ2，其中，σ1和σ2为σ(T)中的闭开子集且σ1∩σ2=∅, 则且T的分解为其中，σ(Ti)=σi(i=1, 2)．引理2[13] 设T∈B(H)，若asc(T)≤p (p为某个非负整数)，则N(Tk)∩R(Tp)={0}．其中，k=1, 2, …．引理3[14] 设T∈B(H)，若λ∈iso σ(T)，则下列叙述是等价的：① λ∈ρSF(T)；②λ∈ρw(T)；③ λ∈σ0(T)．定理1 设T∈B(H)，则下列叙述是等价的：1) σ(T)=σa(T)且T满足a-Weyl定理；2) ρvaw(T)={λ∈iso σ(T)∶n(T-λI)=0}∪σ0(T)∪ρ(T)；3) σ(T)=σvaw(T)∪{λ∈iso σ(T)∶n(T-λI)=0}∪σ0(T)．ρvaw(T)= {λ∈iso σ(T)∶n(T-λI)=0}∪σ0(T)∪ρ(T)假设λ∈ρvaw(T)且λ∉ρ(T)，则根据引理2，n(T-λI)<∞且λ∈iso σa(T)∪ρa(T)，由于σ(T)=σa(T)，则有λ∈iso σ (T)．若n(T-λI) =0，则λ∈{λ∈iso σ(T)∶n(T-λI)=0}；若0<n(T-λI)<∞，则根据引理3，有λ∈σ0(T)．其次，证明 2)⟹1)．若T-λI为下有界算子，则λ∈ρvaw(T)．当λ∈{λ∈isoσ(T)∶n(T-λI)=0}，根据引理3，λ∈ρ(T)，这与λ∈iso σ(T)矛盾；而当λ∈σ0(T)，λ∈ρ(T)，同样得到与λ∈σ0(T)矛盾．于是σ(T)=σa(T)．接下来证明T满足a-Weyl定理．由于[σa(T)\σea(T)]⊆ρvaw(T)，而[σa(T)\σea(T)]∩{λ0∈C∶n(T-λI)=0}=∅，[σa(T)\σea(T)]∩ρ(T)=∅，于是有[σa(T)\σea(T)]⊆σ0(T)⊆又因⊆ρvaw(T)，而∶n(T-λI)=0}=∅，∅，故有⊆σ0(T)⊆[σa(T)\σea(T)]．综上可得，即T满足a-Weyl定理．最后证明 2)⟹3)．对2)中的等式变形，可得该式等价于C= σvaw(T)∪{λ∈iso σ(T)∶n(T-λI)=0}∪σ0(T)∪ρ(T)上式等价于σ(T)=σvaw(T)∪{λ∈iso σ(T)∶n(T-λI)=0}∪σ0(T)．注解11) 在定理1中，σ(T)=σa(T)是本质的．例如，设T∈B(l2)定义为T(x1, x2, …)=(0, x1, x2, …)，则有σ(T)=，σa(T)=σea(T)=，∅，以及ρvaw(T)={λ∈C于是可得σ(T)≠σa(T)， T满足a-Weyl定理，但因{λ∈iso σ(T):n(T-λI)=0}∪σ0(T)∪ρ(T)={ λ∈C则有ρvaw(T)≠ {λ∈iso σ(T)∶n(T-λI)=0}∪σ0(T)∪ρ(T)2) 谱集σvaw(T)有可能为∅．例如，设T∈B(l2)定义为则σvaw(T)=∅．3) 当σvaw(T)=∅时， T不一定满足a-Weyl定理．例如，设T∈B(l2)为2)中定义的算子，则σvaw(T)=∅，且∅，于是T满足a-Weyl定理．再如，T∈B(l2)定义为则σvaw(T)=∅．但由于即于是T不满足a-Weyl定理．推论1 当且仅当σ(T)∈{λ∈iso σ(T):n(T-λI)=0}∪σ0(T)时，σvaw(T)=∅，σ(T)=σa(T)且T满足a-Weyl定理．注解21) 在推论1中, 当σvaw(T)=∅，σ(T)=σa(T)且T满足a-Weyl定理时，σ(T)为有限集．2) 当σ(T)为有限集时，推论1不一定成立．例如，设T∈B(l2)，定义为则有限，显然T不满足a-Weyl定理．推论2 当且仅当σ(T)为有限集且σp(T)=σ0(T)时，σvaw(T)=∅，σ(T)=σa(T)且T 满足a-Weyl定理．下面给出算子函数满足a-Weyl定理的判断方法．定理2 若σ(T)=σa(T)，则对任意的f∈H(T)， f(T)满足a-Weyl定理当且仅当下列条件成立：1) 对任意给定f∈H(T)，有f(σvaw(T))⊆σvaw(f(T))；2) T满足a-Weyl定理；3) σa(T)=σea(T)或ρvaw(T)=ρa(T)∪Pab(T)．条件1) 对任意给定f∈H(T)，设μ0∉σvaw(f(T))，则n(f(T)-μ0I)<∞，且存在ε>0使当时， f(T)-μI为上半Fredholm算子，ind(f(T)-μI)≤0且N(f(T)-μI)⊆由于f(T)满足a-Weyl定理，根据引理2，则μ0∈iso σa(f(T))∪ρa(f(T))．设f(T)-μ0I=(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nkg(T)，其中，λi≠λj(i≠j, 1≤i, j≤k)，g(T)可逆．若μ0∈ρa(f(T))，则λi∈ρa(T)，λi∈ρvaw(T)，故μ0∉f(σvaw(T))；若μ0∈iso σa(f(T))，则λi∈iso σa(T)∪ρa(T)．又因 n(T-λiI)<n(f(T)-μ0I)<∞，则λi∈ρvaw(T)，显然可得μ0∉f(σvaw(T))．于是，对任意给定f∈H(T)，有f(σvaw(T))⊆σvaw(f(T))．条件 2)显然成立．条件 3)分两种情况讨论．情况1：当∅时，由T满足a-Weyl定理可知σa(T)=σea(T)．情况2：当∅，即{λ∈iso σ(T)∶0<n(T-λI)<∞}≠∅时，下证{λ∈iso σ(T)∶0<n(T-λI)<∞}=∅；否则，取λ1={λ∈iso σ(T)∶0<n(T-λI) <∞}，λ2={λ∈isoσ(T)∶n(T-λI)=0}．令σ1={λ1}，σ2={λ2}，则σ1和σ2为σ(T)中的闭开子集，根据引理1， T有分解其中，σ(T1)={λ1}；σ(T2)={λ2}；σ(T3)=σ(T)\{λ1, λ2}； M为H(λ1; T1)与H(λ2; T2)的正交补空间．令f(T)=(T-λ1I)(T-λ2I)，由于则有{0}=σ(f(T1))=σ(f(T2))， 0∉σ(f(T3))，因而0∈iso (f(T))且0<n(f(T))<∞，即由f(T)满足a-Weyl定理可知， f(T)为上半Fredholm算子，且asc (f(T))<∞，从而有T-λ2I为上半Fredholm算子．又因为λ2∈iso σ(T)，由引理3可知，此时T-λ2I为Browder算子，再结合n(T-λ2I)=0可得， T-λ2I可逆，这与λ2∈iso σ(T)矛盾．由σ(T)=σa(T)知，{λ∈iso σa(T)∶n(T-λI)=0}=∅．又因T满足a-Weyl定理，于是就有ρvaw(T)=ρa(T)∪Pab(T)．充分性.情况1：设ρvaw(T)=ρa(T)∪Pab(T)，先证对于任意给定f∈H(T)，有σa(f(T))\σea(f(T))⊆设μ0∈σa(f(T))\σvaw(f(T))，则f(T)-μ0I为上半Fredholm算子且ind (f(T)-μ0I)≤0．不妨设f(T)-μ0I=(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nkg(T)，其中，λi≠λj(i≠j, 1≤i, j≤k)，g(T)可逆．于是， T-λiI为上半Fredholm算子．显然μ0∉σvaw (f(T))．根据1)，μ0∉f(σvaw(T))，则λi∈ρvaw(T)=ρa(T)∪Pab(T)，于是对每一个1≤i≤k， T-λiI为上半Fredholm算子且升标有限．这样就可推导出f(T)-μ0I为上半Fredholm算子且升标有限，故μ0∈iso σa(f(T))．反之，设μ0∈iso σa(f(T))且0<n(f(T)-μ0I)<∞．类似的，设f(T)-μ0I=(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nkg(T)，其中，λi≠λj(i≠j, 1≤i, j≤k)，g(T)可逆．则λi∈isoσa(T)∪ρa(T)且n(T-λiI)<∞，于是λi∈ρvaw(T)=ρa(T)∪Pab(T)，即T-λiI为上半Fredholm算子且ind(T-λiI)≤0 ，因此有μ0∈ρea(f(T))．这样就证明了当ρvaw(T)=ρa(T)∪Pab(T)时，对任意给定的f∈H(T)，有σa(f(T))\σea(f(T))⊆即f(T)满足a-Weyl定理．情况2：设σa(T)=σea(T)，此时∅．在这种情况下，可断言，对任意给定的f∈H(T)，有σa(f(T))=σea(f(T))且∅．事实上，设f(T)-μ0I为上半Fredholm算子且ind (f(T)-μ0I)≤0，并设f(T)-μ0I=(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nkg(T)，其中，λi≠λj(i≠j, 1≤i, j≤k)， g(T)可逆．由μ0∉σvaw(f(T))可知λi∈ ρvaw(T)=ρa(T)∪{λ∈iso σa(T):n(T-λI)=0}∪Pab(T)由于∅，则Pab(T)=∅．这样， n(f(T)-μ0I)=0，于是f(T)-μ0I为下有界算子．因此，σa(f(T))=σea(f(T))．若存在则μ0∈iso σa(f(T))，且0<n(f(T)-μ0I)<∞．类似的，设f(T)-μ0I=(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nkg(T)，其中，λi≠λj(i≠j, 1≤i, j≤k)， g(T)可逆．这时必然存在λj(λj∈iso σa(T))满足0<n(T-λjI)<∞，则这与∅矛盾．综上可知，对任意给定的f∈H(T)， f(T)满足a-Weyl定理．下面研究算子的亚循环性与a-Weyl定理的关系．注解31)当时，并不能推导出T满足a-Weyl定理．例如，设A, B∈B(l2)，且分别定义为A(x1, x2, …)=(0, x1, x2, …)和B(x1,x2, …)=(x2, x3, …)．令通过计算得σ(T)=σa(T)=，σea(T)=，∅，σw(T)=，σ0(T)=∅．可见，，但T并不满足a-Weyl定理．2)当T满足a-Weyl定理时，并不能推导出．例如，设T∈B(l2)定义为T(x1, x2, …)=(0, x1, x2, …)，通过计算可得σ(T)=σw(T)=，σa(T)= σea(T)=，∅，σ0(T)=∅，σvaw(T)=．于是有但T满足a-Weyl定理．当时，基于定理1和定理2，本研究给出T及其函数f(T)满足a-Weyl定理的充要条件．定理3 设T∈B(H)，则下列叙述等价.且对任意给定的f∈H(T)， f(T)满足a-Weyl定理；且T满足a-Weyl定理；3) σ(T)=σvaw(T)∪{λ∈iso σ(T): n(T-λI)=0}，且σw(T)∪∂连通；4) σ(T)=σvaw(T)∪{λ∈iso σ(T): n(T-λI)=0}，且σ(T)∪∂连通；5) ρvaw(T)=ρ(T)∪{λ∈iso σ(T): n(T-λI)=0}，且σw(T)∪∂连通．由可知，σ(T)=σa(T)且σ0(T)=∅．当T满足a-Weyl定理时，由定理1可得σ(T)=σvaw(T)∪{λ∈iso σ(T): n(T-λI)=0}；反之，首先证σ0(T)=∅．由于σ0(T)=σ0(T)∩σ(T)，而σ0(T)∩σvaw(T)=∅，σ0(T)∩{λ∈iso σ(T): n(T-λI)=0}=∅，于是有σ0(T)=σ0(T)∩σ(T) =∅．又由于ρSF(T)∩σ(T)=[ρSF(T)∩σvaw(T)]∪[ρSF(T)∩{λ∈iso σ(T): n(T-λI)=0}]，而[ρSF(T)∩{λ∈iso σ(T): n(T-λI)=0}]=∅，于是有ρSF(T)∩σ(T)=[ρSF(T)∩σvaw(T)]．由此可得，ρSF(T)⊆{λ∈ρSF(T): ind(T-λI)≥0}．因此有由定理1可知， T满足a-Weyl定理．1)⟹ 2)，显然成立．2)⟹ 1)．由可知σ(T)=σa(T)，σea(T)=σw(T)且σ0(T)=∅．根据定理2，只需证明σa(T)=σea(T)且对任意给定f∈H(T)，f(σvaw(T)) ⊆σvaw(f(T))．由于T满足a-Weyl定理，于是有σea(T)=σw(T)=σb(T)=σ(T)\σ0(T)=σ(T)=σa(T)．对任意给定f∈H(T)，设μ0∉σvaw(f(T))， f(T)-μ0I=(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nkg(T)，其中λi≠λj(i≠j, 1≤i, j≤k)， g(T)可逆．由ρvaw(·)的定义可知，存在ε>0，当时， f(T)-μI为上半Fredholm算子， ind(f(T)-μI )≤0，且N(f(T)-μI)⊆于是，当充分小时， f(T)-f(λ)I为上半Fredholm算子，ind(f(T)-f(λ)I)≤0且N(f(T)-f(λ)I)⊆对此λ，设其中，项式分解中的复数且h(T)可逆，则T-I对所有1≤i≤m来说均为上半Fredholm算子．由可知ind(f(T)-f(λ)I)≥0, 从而f(T)-f(λ)I为Weyl算子，因此可知T-I对于所有1≤i≤m来说均为Weyl算子．由T满足a-Weyl定理以及σ0(T)可知， T-I对于所有1≤i≤m来说均可逆．这样就证明了λ1∈isoσ(T)∪ρ(T) .同理可知，λi∈iso σ(T)∪ρ(T)，其中2≤i≤m. 显然， n(T-λiI)≤n(f(T)-μ0I)<∞．因此λ0∉iso σvaw(T)，1≤i≤m．于是有任给f∈H(T)，f(σvaw(T)) ⊆σvaw(f(T))．根据定理2，任给f∈H(T)， f(T)满足a-Weyl定理．3)⟹ 4)．因为σ(T)=σvaw(T)∪{λ∈iso σ(T): n(T-λI)=0} 而σw(T)∩σvaw(T)=σvaw(T)，σw(T)∩{λ∈iso σ(T): n(T-λI)=0}={λ∈iso σ(T): n(T-λI)=0}，则σw(T)=σw(T)∩σ(T)=σ(T)，故结论成立．4)⟹ 5)显然成立．从定理3的证明容易得出，若且T满足a-Weyl定理，则σ(T)=σw(T)，且对任意f∈H(T)， f(T)满足a-Weyl定理．推论3 下列叙述是等价的.1) σvaw(T)=∅，且f(T)满足a-Weyl定理；2) σvaw(T)=∅，且T满足a-Weyl定理；3) σ(T)={λ∈iso σ(T): n(T-λI)=0}且σw(T)∪∂连通．推论4 下列叙述是等价的.1) σvaw(T)=∅，且f(T)满足a-Weyl定理；2) σvaw(T)=∅，且T满足a-Weyl定理；3) σ(T)为有限集，σp(T)=∅且σw(T)∪∂连通．因此可证明，在推论4中，“σw(T)∪∂连通”可改为“σ(T)∪∂连通”．本研究基于新定义的谱集σvaw(T)，给出了对任意的f∈H(T)， f(T)满足a-Weyl 定理的判定方法，进而研究了当T为亚循环算子时， f(T)满足a-Weyl定理的充要条件．下一步，我们将对一般的算子T的函数演算满足Weyl’s定理进行刻画．【相关文献】[1] Herrero D A. 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算子函数演算的Wey1定理
算子函数演算的Wey1定理董炯;曹小红【摘要】设H为复的无限维可分的Hilbert空间,B(H)为H上的有界线性算子的全体.若σ(T)＼σw(T)=π00(T),则称T∈B(H)满足Weyl定理,其中σ(T)和σw(T)分别表示算子T的谱和Weyl谱,700(T)表示谱集中孤立的有限重特征值的全体.首先给出了Hilbert空间上有界线性算子Weyl-Kato分解的定义,并由Weyl-Kato分解的性质定义了一种新的谱集,利用该谱集刻画了算子函数演算满足Weyl定理的充要条件.%Let H be an infinite dimensional separable complex Hilbert space and B(H) the algebra of all bounded linear operators on H.An operator T∈ B(H) is said to satisfy Weyl's theorem if σ(T) σw (T) =π00 (T),where σ(T) and σw (T) denote the spectrum and Weyl spectrum of ope rator T respectively,and π00 (T) denotes the set of all isolated eigenvalues of finite multiplicity.In this note,it is given that the definition of the Weyl-Kato decomposition of a bounded linear operator on Hilbert ing the new spectrum defined by the definition of the Weyl-Kato decomposition,it is established that sufficient and necessary conditions for Weyl's theorem for the functions of operators.【期刊名称】《陕西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(045)005【总页数】6页(P6-11)【关键词】Weyl-Kato分解;Weyl定理;紧摄动【作者】董炯;曹小红【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710119;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710119【正文语种】中文【中图分类】O177.2谱理论一直是算子理论研究中的一个热点问题。
拓扑一致降标与Weyl定理的摄动
拓扑一致降标与Weyl定理的摄动
崔苗苗;曹小红
【期刊名称】《数学物理学报》
【年(卷),期】2015(035)002
【摘要】若σ(T)＼σw(T)(∈)π00(T),则称算子T满足Browder定理,其中σ(T)和σw(T)分别表示算子T的谱和Weyl谱,且π00(T)={λ∈isoσ(T);0＜dimN(T-λⅠ)＜∞}.若σ(T)＼σw(T)=π00(T),则称T满足Weyl定理.该文利用拓扑一致降标域的特征,研究了Browder定理在紧摄动下的稳定性,并且给出了Browder定理的紧摄动具有稳定性的算子的特征.
【总页数】8页(P324-331)
【作者】崔苗苗;曹小红
【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院西安710062;陕西师范大学数学与信息科学学院西安710062
【正文语种】中文
【中图分类】O177.2
【相关文献】
1.拓扑一致降标与性质（gω） [J], 戴磊
2.微小摄动下SVEP与Weyl型定理的关系 [J], 董炯;曹小红;刘俊慧
3.算子的亚循环性与拓扑一致降标 [J], 刘洋;曹小红
4.拓扑一致降标与Browder定理 [J], 孙晨辉;白珍贵;曹小红
5.Weyl型定理的一种新形式及其摄动 [J], 吴珍莺
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Weyl定理及其紧摄动
Weyl定理及其紧摄动
杨莉莉;曹小红
【期刊名称】《曲阜师范大学学报:自然科学版》
【年(卷),期】2022(48)3
【摘要】研究了一类具有特殊谱结构的有界线性算子的Weyl定理的紧摄动,同时还讨论了复对称算子的Weyl定理紧摄动.
【总页数】6页(P45-50)
【作者】杨莉莉;曹小红
【作者单位】陕西师范大学数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】O177.2
【相关文献】
1.拓扑一致降标与Weyl定理的摄动
2.Browder定理和Weyl定理
3.微小摄动下SVEP与Weyl型定理的关系
4.命题逻辑紧致性定理的拓扑证明与一阶逻辑紧致性定理在拓扑空间中的等价形式
5.Weyl型定理的一种新形式及其摄动
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] 2006 - 12 - 12 [修回日期 ] 2007 - 03 - 02 [基金项目 ] 国家自然科学基金资助项目 ( 10 471 025) ; 福建省自然科学基 金资 助项 目 [作者简介 ] 陈晓玲 ( 198 0 —) , 女 , 助教 , 硕士 , 从事泛函分析方面的研究.
的最小非负整数 k, 如果这样的 k不存在 , 则记 des ( T) = ∞ . 上半 Fredholm 算子集 Φ + ( X) = { T ∈ B ( X) : R ( T) 闭且 α ( T) < ∞ } , 下半 Fredholm算子全体 Φ - ( X) = { T ∈ B ( X) : β( T) < ∞ } , Fred 2 holm 算子集 Φ ( X) = Φ + ( X) ∩Φ - ( X) , 半 F redholm 算子集 Φ ± ( X) = Φ + ( X) ∪Φ - ( X) . 当 T ∈ Φ ± (X) 时 , 指标 ind ( T) = α ( T) - β( T) , Φ 0 ( X) = { T ∈Φ ( X) : in d ( T) = 0 }. 而左半 Fredholm算 子全体 Φ l ( X) = { T ∈B ( X) : R ( T) 闭且在 X 中可补 , α( T) < ∞} , 右半 Fredhol m 算子全体 Φ r ( X ) =
(2 006 J0 203)
第 1期
陈晓 玲 , 等 : 上三角算 子矩 阵的 左 (右 ) W eyl谱与 W eyl谱
93
定义 2 T的 W eyl谱 σw ( T) = {λ ∈ C : T - λ | Φ 0 ( X) } ; T的左 W eyl谱 σlw ( T) = {λ ∈ C : T λ | Φ -+ ( X) } , 其中 Φ -+ ( X) = { T ∈Φ + ( X) : ind ( T) ≤ 0 ; T的右 W eyl谱 σrw ( T) = { λ ∈ C: T - λ |
0 引言
设 X, Y表示复的无限维 Banach 空间 , B ( X, Y) 表示由 X到 Y的有界线性算子全体 , 当 X = Y时 ,
B ( X, Y) 简记为 B ( X) . A C B
给定 A ∈ B ( X) , B ∈ B ( Y) , 记 M c =
0
∈ B ( X � Y) , 其中 C ∈ B ( Y, X) . 在 M c 中 , 对
{ T ∈ B ( X ) : N ( T) 在 X中可补 , β ( T) < ∞ } . F ( X) 表示 X上有限秩算子集 , K ( X) 表示 X上紧算子
集 . 当 T ∈ B (X ) 时 , T的各种谱成份的定义如下 . 定义 1 T的孤立有限代数重特征值集 : σ0p ( T) = { λ ∈ C :λ是 σ ( T) 的孤立点 , 且谱投影空间 R ( E (λ ; T) ) 是 (非零 ) 有限维的 }. [收稿日期
(右 ) W eyl谱 σlw (σrw ) 的填洞情况 , 证明了 : σ3 (A) ∪σ3 (B) = σ3 (M c ) ∪W , 其中 ,
W 是 σ3 ( M c ) 的某 些洞的并 , σ3 ∈ { σw ,σlw ,σrw } , 分别找出了 W 的具体位置. [关键词 ] B anach空间 ; 算子矩阵 ; W eyl谱 ; 左 W eyl谱 ; 右 W eyl谱 [中图分类号 ] O 17712 [文 献标 志码 ] A
上三角算子矩阵的左
1
(右 ) W eyl谱 与 W eyl谱
2
陈晓玲 , 钟怀杰
(1. 集美大学理学院 , 福建 厦门 361021; 2. 福建 师范 大学数学与计算机科学学院 , 福建 福州 350007)
[摘要 ] 设 M c = W eyl谱 σ w 与左
Байду номын сангаас
A 0
C B
∈ B ( X � Y) 为定义在 B anach空间 X � Y上的上三 角算子矩 阵. 讨论 M c 的
第
13卷 第 1期
集美大学学报 (自然科学版 )
Journal of J i m ei University (Na tu ral Science)
Vol . 13 No. 1 Jan . 2008
2008 年 1月
[文章编号 ] 1007 - 7405 ( 2008 ) 01 - 0092 - 05
于任意给定的一个 C, 所确定的谱 σ (M c ) 与原分块中 σ ( A) , σ ( B ) 有什么关系 ? HAN 等在文献 [ 1 ] 中得到 : σ (A) ∪σ (B ) = σ (M c ) ∪W , 其中 W Α σ (A) ∩σ (B ) 且是 σ (M c ) 的某些洞的并 . 所谓紧 子集 K< C 的一个洞 , 是指 K的余集的一个有界连通分支 . 因此 , σ (M c ) 可通过填满它的某些 “ 洞” 而得到 σ (A ) ∪σ (B ) , 这一填洞现象得到了许多学者的关注 . 在过去的几年里 , 很多学者开始考虑 这样的问题 : 对于谱的精细结构中的各种特殊谱成份 , 是否也有这样的填洞情况 . 本文是这类研 究的继续 , 主要在 Banach空间中考虑 M c 的 W eyl谱 σw 和 左 (右 ) W eyl谱 σlw ,σrw 的填洞情况 . 本文中 , 对于 T ∈ B ( X, Y) , N ( T) 和 R ( T) 分别表示 T的零空间和值域 , α ( T) 为零维 dim N ( T) ,