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最新北京各区初中一模分类汇编四边形及答案

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人教中考数学一模试题分类汇编——平行四边形综合含答案解析

人教中考数学一模试题分类汇编——平行四边形综合含答案解析

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．（1）连结CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AE＝BD，求∠EDF的度数．【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2）∠EDF＝120°．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可．【详解】解：（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，即BC∥DG，由折叠可知，BC＝DG，∴四边形BCGD是平行四边形，∵AD⊥BD，∴∠CBD＝90°，∴四边形BCGD是矩形；（2）由折叠可知：EF垂直平分BD，∴BD⊥EF，DP＝BP，∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴AE PD1==BE BP∴AE＝BE，∴DE是Rt△ADB斜边上的中线，∴DE＝AE＝BE，∵AE＝BD，∴DE＝BD＝BE，∴△DBE是等边三角形，∴∠EDB＝∠DBE＝60°，∵AB∥DC，∴∠DBC＝∠DBE＝60°，∴∠EDF＝120°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度2．如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，分别延长AC至E，BC至F，且CE＝EF，延长FE交AD的延长线于G．（1）求证：AE＝EG；（2）如图2，分别连接BG，BE，若BG＝BF，求证：BE＝EG；（3）如图3，取GF的中点M，若AB＝5，求EM的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）5 2【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：∠CAD＝∠G，可得AE＝EG；（2）作辅助线，证明△BEF≌△GEC（SAS），可得结论；（3）如图3，作辅助线，构建平行线，证明四边形DMEN是平行四边形，得EM＝DN＝12AC，计算可得结论．【详解】证明：（1）如图1，过E作EH⊥CF于H，∵AD⊥BC，∴EH∥AD，∴∠CEH＝∠CAD，∠HEF＝∠G，∵CE＝EF，∴∠CEH＝∠HEF，∴∠CAD＝∠G，∴AE＝EG；（2）如图2，连接GC，∵AC＝BC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∴AG是BC的垂直平分线，∴GC＝GB，∴∠GBF＝∠BCG，∵BG＝BF，∴GC＝BE，∵CE＝EF，∴∠CEF＝180°﹣2∠F，∵BG＝BF，∴∠GBF＝180°﹣2∠F，∴∠GBF＝∠CEF，∴∠CEF＝∠BCG，∵∠BCE＝∠CEF+∠F，∠BCE＝∠BCG+∠GCE，∴∠GCE＝∠F，在△BEF 和△GCE 中，CE GCE F CG BF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEF ≌△GEC （SAS ），∴BE ＝EG ；（3）如图3，连接DM ，取AC 的中点N ，连接DN ，由（1）得AE ＝EG ，∴∠GAE ＝∠AGE ，在Rt △ACD 中，N 为AC 的中点，∴DN ＝12AC ＝AN ，∠DAN ＝∠ADN ， ∴∠ADN ＝∠AGE ，∴DN ∥GF ，在Rt △GDF 中，M 是FG 的中点， ∴DM ＝12FG ＝GM ，∠GDM ＝∠AGE ， ∴∠GDM ＝∠DAN ，∴DM ∥AE ，∴四边形DMEN 是平行四边形， ∴EM ＝DN ＝12AC ， ∵AC ＝AB ＝5， ∴EM ＝52． 【点睛】 本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键．3．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF 与BE交于点O．（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．【答案】（1）见解析；（2）12；探究：2或2．【解析】试题分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴OE=OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．（2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，∵△AOB与△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE，∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE=S△FOB，∴S△AOD=S△ABF，∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12．探究：解：分为两种情况：①如图1，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OB，A′O=CO，∴四边形A′DCB是平行四边形，∴BC=A′D=2，过B作BM⊥AC于M，∵AB=4，∠BAC=30°，∴BM=AB=2=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC=，∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2；②如图2，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OA′，BO=CO，∴四边形A′BDC是平行四边形，∴A′C=BD=2，过C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，∴CQ=A′C=1，∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；即△ABC的面积是2或2．考点：四边形综合题．4．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC．（1）求证：△AEF≌△DCE．（2）若DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6cm.【解析】分析：（1）根据EF⊥CE，求证∠AEF=∠ECD．再利用AAS即可求证△AEF≌△DCE．（2）利用全等三角形的性质，对应边相等，再根据矩形ABCD的周长为32cm，即可求得AE的长.详解：（1）证明：∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，∴∠AEF=∠ECD．在Rt△AEF和Rt△DEC中，∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=EC．∴△AEF≌△DCE．（2）解：∵△AEF≌△DCE．AE=CD．AD=AE+4．∵矩形ABCD的周长为32cm，∴2（AE+AE+4）=32．解得，AE=6（cm）．答：AE的长为6cm．点睛：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形的性质等知识点的理解和掌握，难易程度适中，是一道很典型的题目．5．点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点．（1）如图1，当点P与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系；（2）当点P运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P在射线OA上运动，恰好使得∠OEF＝30°时，猜想此时线段CF，AE，OE之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．【答案】（1）OE ＝OF ．理由见解析；（2）补全图形如图所示见解析，OE ＝OF 仍然成立；（3）CF ＝OE+AE 或CF ＝OE ﹣AE ．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质以及垂线，即可判定()AOE COF AAS ∆≅∆，得出OE =OF ； （2）先延长EO 交CF 于点G ，通过判定()AOE COG ASA ∆≅∆，得出OG =OE ，再根据Rt EFG ∆中，12OF EG =，即可得到OE =OF ； （3）根据点P 在射线OA 上运动，需要分两种情况进行讨论：当点P 在线段OA 上时，当点P 在线段OA 延长线上时，分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计算即可．【详解】（1）OE =OF ．理由如下：如图1．∵四边形ABCD 是矩形，∴ OA =OC ．∵AE BP ⊥，CF BP ⊥，∴90AEO CFO ∠=∠=︒．∵在AOE ∆和COF ∆中，AEO CFO AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AOE COF AAS ∆≅∆，∴ OE =OF ；（2）补全图形如图2，OE =OF 仍然成立．证明如下：延长EO 交CF 于点G ．∵AE BP ⊥，CF BP ⊥，∴ AE //CF ，∴EAO GCO ∠=∠．又∵点O 为AC 的中点，∴ AO =CO ．在AOE ∆和COG ∆中，EAO GCO AO CO AOE COG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，∴()AOE COG ASA ∆≅∆，∴ OG =OE ，∴Rt EFG ∆中，12OF EG =，∴ OE =OF ； （3）CF =OE +AE 或CF =OE -AE ． 证明如下：①如图2，当点P 在线段OA 上时．∵30OEF ∠=︒，90EFG ∠=︒，∴60OGF ∠=︒，由（2）可得：OF =OG ，∴OGF ∆是等边三角形，∴ FG =OF =OE ，由（2）可得：AOE COG ∆≅∆，∴ CG =AE ．又∵ CF =GF +CG ，∴ CF =OE +AE ；②如图3，当点P 在线段OA 延长线上时．∵30OEF ∠=︒，90EFG ∠=︒，∴60OGF ∠=︒，同理可得：OGF ∆是等边三角形，∴ FG =OF =OE ，同理可得：AOE COG ∆≅∆，∴ CG =AE ．又∵ CF =GF -CG ，∴ CF =OE -AE ．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角形的性质和判定，解决问题的关键是构建全等三角形和证明三角形全等，利用矩形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，根据线段的和差关系使问题得以解决．6．猜想与证明：如图1，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF 的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．【答案】猜想：DM=ME，证明见解析；（2）成立，证明见解析.【解析】试题分析：延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，则可以得到答案；（1）、延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，则可以得到答案；（2）、连接AE，根据正方形的性质得出∠FCE=45°，∠FCA=45°，根据RT△ADF中AM=MF得出DM=AM=MF，根据RT△AEF中AM=MF得出AM=MF=ME，从而说明DM=ME.试题解析：如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=DE，∴DM=HM=ME，∴DM=ME．（1）、如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=EM∴DM=HM=ME，∴DM=ME，（2）、如图2，连接AE，∵四边形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，∴AE和EC在同一条直线上，在RT△ADF中，AM=MF，∴DM=AM=MF，在RT△AEF中，AM=MF，∴AM=MF=ME，∴DM=ME．考点：（1）、三角形全等的性质；（2）、矩形的性质.7．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．【答案】（1）AG2=GE2+GF2（2）【解析】试题分析：（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．易证AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+x）2，解得x=，推出BN=，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题.试题解析：（1）结论：AG2=GE2+GF2．理由：连接CG．∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于对角线BD对称，∵点G在BD上，∴GA=GC，∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，∴四边形EGFC是矩形，∴CF=GE，在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，∴AG2=GF2+GE2．（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，∴∠AMN=30°，∴AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，∴1=x2+（2x+x）2，解得x=，∴BN=，∴BG=BN÷cos30°=．考点：1、正方形的性质，2、矩形的判定和性质，3、勾股定理，4、直角三角形30度的性质8．如图1所示，（1）在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P 是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN．（2）若将（1）中“正三角形ABC”改为“正方形ABCD”，N是∠DCP的平分线上一点，若∠AMN=90°，则AM=MN是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．（3）若将（2）中的“正方形ABCD”改为“正n边形A1A2…A n“，其它条件不变，请你猜想：当∠A n﹣2MN=_____°时，结论A n﹣2M=MN仍然成立．（不要求证明）【答案】0 (2)180 nn【解析】分析：（1）要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN．（2）同（1），要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN．详（1）证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．在正△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC．∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，∴∠BEM=60°，∴∠AEM=120°．∵N是∠ACP的平分线上一点，∴∠ACN=60°，∴∠MCN=120°．在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，∴△AEM≌△MCN（ASA），∴AM=MN．（2）解：结论成立；理由：在边AB上截取AE=MC，连接ME．∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，∴∠BEM=45°，∴∠AEM=135°．∵N是∠DCP的平分线上一点，∴∠NCP=45°，∴∠MCN=135°．在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，∴△AEM≌△MCN（ASA），∴AM=MN．（3）由（1）（2）可知当∠A n-2MN等于n边形的内角时，结论A n-2M=MN仍然成立；即∠A n-2MN=()02180nn-时，结论A n-2M=MN仍然成立；故答案为[()02180nn-]．点睛：本题综合考查了正方形、等边三角形的性质及全等三角形的判定，同时考查了学生的归纳能力及分析、解决问题的能力．难度较大．9．如图1，在菱形ABCD中，ABC=60°，若点E在AB的延长线上，EF∥AD，EF=BE，点P 是DE的中点，连接FP并延长交AD于点G．（1）过D作DH AB,垂足为H，若DH=，BE=AB,求DG的长；（2）连接CP，求证：CP FP；（3）如图2，在菱形ABCD中，ABC=60°，若点E在CB的延长线上运动，点F在AB的延长线上运动，且BE=BF，连接DE,点P为DE的中点，连接FP、CP，那么第（2）问的结论成立吗？若成立，求出的值；若不成立，请说明理由．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）根据菱形得出DA∥BC，CD=CB，∠CDG=∠CBA=60°，则∠DAH=∠ABC=60°，根据DH⊥AB得出∠DHA=90°，根据Rt△ADH的正弦值得出AD的长度，然后得出BE的长度，然后证明△PDG≌△PEF，得出DG=EF，根据EF∥AD，AD∥BC 得出EF∥BC，则说明△BEF为正三角形，从而得出DG的长度；（2）连接CG、CF，根据△PDG≌△PEF得出PG=PF，然后证明△CDG≌△CBF，从而得到CG=CF，根据PG=PF得出垂直；（3）过D作EF的平行线，交FP延长于点G，连接CG、CF证△PEF≌△PDG，然后证明△CDG≌△CBF，从而得出∠GCE=120°，根据Rt△CPF求出比值．试题解析：（1）解：∵四边形ABCD为菱形∴DA∥BC CD="CB" ∠CDG=∠CBA=60°∴∠DAH=∠ABC=60°∵DH⊥AB ∴∠DHA=90°在Rt△ADH中 sin∠DAH=∴AD=∴BE=AB=×4=1 ∵EF∥AD ∴∠PDG=∠PEB ∵P为DE的中点∴PD=PE∵∠DPG=∠EPF ∴△PDG≌△PEF ∴DG=EF ∵EF∥AD AD∥BC ∴EF∥BC∴∠FEB=∠CBA=60°∵BE=EF ∴△BEF为正三角形∴EF=BE=1 ∴DG=EF=1、证明：连接CG、CF由（1）知△PDG≌△PEF ∴PG=PF在△CDG与△CBF中易证：∠CDG=∠CBF=60° CD=CB BF=EF=DG ∴△CDG≌△CBF∴CG=CF ∵PG=PF ∴CP⊥GF（3）如图：CP⊥GF仍成立理由如下：过D作EF的平行线，交FP延长于点G连接CG、CF证△PEF≌△PDG ∴DG=EF=BF ∵DG∥EF ∴∠GDP=∠EFP ∵DA∥BC∴∠ADP=∠PEC∴∠GDP－∠ADP=∠EFP－∠PEC ∴∠GDA=∠BEF=60°∴∠CDG=∠ADC+∠GDA=120°∵∠CBF=180°－∠EBF=120°∴∠CBF=∠CDG ∵CD=BC DG=BF ∴△CDG≌△CBF∴CG=CF ∠DCG=∠FCE ∵PG=PF ∴CP⊥PF ∠GCP=∠FCP∵∠DCP=180－∠ABC=120°∴∠DCG+∠GCE=120°∴∠FCE+∠GCE=120°即∠GCE=120°∴∠FCP=∠GCE=60°在Rt△CPF中 tan∠FCP=tan60°==考点：三角形全等的证明与性质．10．（本题满分10分）如图1，已知矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，若将该纸片沿着过点B的直线折叠（折痕为BM），点A恰好落在CD边的中点P处．（1）求矩形ABCD的边AD的长．（2）若P为CD边上的一个动点，折叠纸片，使得A与P重合，折痕为MN，其中M在边AD上，N在边BC上，如图2所示．设DP＝x cm，DM＝y cm，试求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．（3）①当折痕MN的端点N在AB上时，求当△PCN为等腰三角形时x的值；②当折痕MN的端点M在CD上时，设折叠后重叠部分的面积为S，试求S与x之间的函数关系式【答案】（1）AD＝3；（2）y=－其中，0＜x＜3；（3）x=；（4）S=.【解析】试题分析：（1）根据折叠图形的性质和勾股定理求出AD的长度；（2）根据折叠图形的性质以及Rt△MPD的勾股定理求出函数关系式；（3）过点N作NQ⊥CD，根据Rt△NPQ 的勾股定理进行求解；（4）根据Rt△ADM的勾股定理求出MP与x的函数关系式，然后得出函数关系式.试题解析：（1）根据折叠可得BP=AB=6cm CP=3cm 根据Rt△PBC的勾股定理可得：AD＝3．（2）由折叠可知AM＝MP，在Rt△MPD中，∴∴y=－其中，0＜x＜3.（3）当点N在AB上，x≥3，∴PC≤3，而PN≥3，NC≥3.∴△PCN为等腰三角形，只可能NC＝NP．过N点作NQ⊥CD，垂足为Q，在Rt△NPQ中，∴解得x=．（4）当点M在CD上时，N在AB上，可得四边形ANPM为菱形．设MP＝y，在Rt△ADM中，，即∴ y=．∴ S=考点：函数的性质、勾股定理.。

2020北京中考一模四边形综合分类汇编

2020北京中考一模四边形综合分类汇编

2020北京中考各个城区一模四边形综合汇总类型一：旋转+手拉手通州延庆27．如图1，在等腰直角△ABC中，△A =90°，AB=AC=3，在边AB上取一点D（点D不与点A，B重合），在边AC上取一点E，使AE=AD，连接DE. 把△ADE绕点A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图2.（1）请你在图2中，连接CE和BD，判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由；（2）请你在图3中，画出当α =45°时的图形，连接CE和BE，求出此时△CBE的面积；（3）若AD=1，点M是CD的中点，在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段AM 的最小值是________________．图1图3图2类型二：对称+旋转燕山27．△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，M 为BC 边上的一个动点(不与点B ，C 重合)，连接AM ，以点A 为中心，将线段AM 逆时针旋转135°，得到线段AN ，连接BN ．(1)依题意补全图1；(2)求证：∠BAN ＝∠AMB ；(3)点P 在线段BC 的延长线上，点M 关于点P 的对称点为Q ，写出一个PC 的值，使得对于任意的点M ，总有AQ ＝BN ，并证明．图1 M C B A A BC 备用图类型三：旋转+对称+手拉手东城27．如图，在正方形ABCD 中，AB =3， M 是CD 边上一动点（不与D 点重合），点D 与点E 关于AM 所在的直线对称，连接AE ，ME ，延长CB 到点F ，使得BF =DM ，连接EF ，AF .（1） 依题意补全图1；（2） 若DM =1，求线段EF 的长；（3） 当点M 在CD 边上运动时，能使△AEF 为等腰三角形，直接写出此时tan ∠DAM 的值.图1DM备用图D C BA类型四：旋转+圆中直径所对的圆周角等于90°求最值石景山27．如图，点E 是正方形内一动点，满足90AEB ∠=°且45BAE ∠<°，过点D 作DF BE ⊥交BE 的延长线于点F ．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段EF ，DF ，BE 之间的数量关系，并证明．（3）连接CE，若AB =段CE 长度的最小值．ABCD E D CB A类型五：旋转+手拉手+直角三角形斜边中线等于斜边一半门头沟类型六：对称+特殊角平谷27．△ABC中，AB=BC，△ABC=90°，将线段AB绕点A逆时针旋转α（0°<α <90°）得到线段AD．作射线BD，点C关于射线BD的对称点为点E．连接AE，CE．（1）依题意补全图形；（2）若α=20°，直接写出△AEC的度数；，并证明．（3）写出一个α的值，使AE=2时，线段CE的长为31类型七：旋转+做垂直构造等腰直角三角形（全等）海淀27.已知∠MON=α,A为射线OM上一定点，OA=5,B为射线ON上一动点，连接AB，满足∠OAB，∠OBA均为锐角.点C在线段OB上(与点O，B不重合)，满足AC=AB，点C关于直线OM的对称点为D，连接AD,OD.(1)依题意补全图1;(2)求∠BAD的度数(用含α的代数式表示);(3)若tanα=3,点P在OA的延长线上，满足AP=OC，连接BP，写出一个AB的值，使得4BP//OD，并证明.27. 如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB =90°. 点P 在线段BC 上，延长BC 至点Q ，使得CQ =CP ，连接AP ，AQ . 过点B 作BD ⊥AQ 于点D ，交AP 于点E ，交AC 于点F ．K 是线段AD 上的一个动点（与点A ，D 不重合），过点K 作GN ⊥AP 于点H ，交AB 于点G ，交AC 于点M ，交FD 的延长线于点N ．（1）依题意补全图1；（2）求证：NM =NF ；（3）若AM =CP ，用等式表示线段AE ，GN 与BN 之间的数量关系，并证明．图1 备用图C B A PD FE C B APD F E27．四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转2α(045)α︒︒＜＜,得到线段CE ，连接DE ，过点B 作BF ⊥DE 交DE 的延长线于F ,连接BE ．（1）依题意补全图1；（2）直接写出∠FBE 的度数；（3）连接AF ，用等式表示线段AF 与DE 的数量关系，并证明．图1备用图房山27．如图27-1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点M为BC中点.点P为AB 边上一动点，点D为BC边上一动点，连接DP，以点P为旋转中心，将线段PD逆时针旋转90°，得到线段PE，连接EC.（1）当点P与点A重合时，如图27-2.①根据题意在图27-2中完成作图；②判断EC与BC的位置关系并证明.（2）连接EM，写出一个BP的值，使得对于任意的点D总有EM EC，并证明.顺义27．已知，如图，△ABC是等边三角形.（1）如图1，将线段AC 绕点A 逆时针旋转90°，得到AD ，连接BD ，∠BAC 的平分线交BD 于点E ，连接CE .①求∠AED 的度数；②用等式表示线段AE 、CE 、BD 之间的数量关系（直接写出结果）.（2）如图2，将线段AC 绕点A 顺时针旋转90°，得到AD ，连接BD ，∠BAC 的平分线交DB 的延长线于点E ，连接CE .①依题意补全图2；②用等式表示线段AE 、CE 、BD 之间的数量关系，并证明.类型八：对称+角平分线密云 图2图1A B C EDCB A27. 已知∠MCN=45°，点B在射线CM上，点A是射线CN上的一个动点（不与点C重合）. 点B关于CN的对称点为点D，连接AB、AD和CD，点F在直线BC上，且满足AF=AB. 小明在探究图形运动的过程中发现：AF⊥AD始终成立.（1）如图1，当0°＜∠BAC＜90°时.①求证：AF⊥AD②用等式表示线段CF、CD与CA之间的数量关系，并证明；（2）当90°＜∠BAC＜135° 时，直接用等式表示线段CF、CD与CA之间的数量关系是.丰台27. 已知∠AOB =120°，点P为射线OA上一动点（不与点O重合），点C为∠AOB内部一点，连接CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CQ ，且点Q 恰好落在射线OB 上，不与点O 重合.（1）依据题意补全图1；（2）用等式表示∠CPO 与∠CQO 的数量关系，并证明；（3）连接OC ，写出一个OC 的值，使得对于任意点P ，总有OP+OQ =4，并证明.O A B O AB图1备用图大兴。

2024年北京市九年级中考一模数学汇编：平行四边形(含解析)

2024年北京市九年级中考一模数学汇编：平行四边形(含解析)

2024北京初三一模数学汇编平行四边形一、单选题1．（2024北京朝阳初三一模）如图，四边形是正方形， 点分别在的延长线上， 且，设． 给出下面三个结论：①；②；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③2．（2024北京丰台初三一模）如图，在正方形中，点E ，F 分别是边上的点，，且，过点E 作于点H ，过点F 作于点G ，交于点D ，连接设，，，给出下面三个结论：①②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3．（2024北京平谷初三一模）如图，正方形中，点、、、分别为、、、边上的点，点、、为对角线上的点，四边形和四边形均为正方形，它们的面积分别表示为和，给出下面三个结论：ABCD E F ，AB BC ，BE CF =AD a AE b AF c ===，，a b c +>22ab c <2a >．ABCD AD AB ，AE AF =0AE ED <<EH BC ⊥FG CD ⊥EH FG ，OB OD BD ，，．AE a =ED b =BD c =a b +>c >a b +>ABCD E H G F AB BC CD AD K M N BD EKNF MHCG 1S 2S①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．②B ．①③C ．②③D ．①②③4．（2024北京东城初三一模）在平面直角坐标系中，点，，为的顶点，则顶点D 的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题5．（2024北京房山初三一模）如图，在矩形中，，分别为，的中点，则的值为 ．6．（2024北京顺义初三一模）如图，在矩形中，直线分别交于点E ，F ，O ，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）．7．（2024北京海淀初三一模）如图，在正方形中．点E ，F ，G 分别在边，，上，．若，，则的度数为 （用含的式子表示）．三、解答题8．（2024北京平谷初三一模）如图，在中，，，点D 为边中点，于E ，作的平分线交于点F ，过点E 作的垂线交于点G ，交于点H ．12S S =2DF AF =12924ABCD S S S =+正方形xOy ()0,2A ()1,0B -()2,0C ABCD Y ()3,2-()2,2()3,2()2,3ABCD M N BC CD MN ACABCD EF ,,AD BC BD BOF DOE △△≌ABCD CD AD BC FD CG <FG AE =1a ∠=2∠a ABC 90BAC ∠=︒AB AC =BC DE AB ⊥EDC ∠AC DF DF BC(1)依题意补全图形；(2)求证：；(3)判断线段、与之间的数量关系，并证明．9．（2024北京门头沟初三一模）如图，在四边形中，，，，点E 为中点，射线交的延长线于点F ，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长．10．（2024北京平谷初三一模）如图，中，，点D 、E 分别是边的中点，连接并延长，使，连接．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求证：四边形是菱形．DH BE =FD HC BE ABCD AD BC ∥90A ∠=︒BD BC =CD BE AD CF BCFD 1AD =2CF =BF Rt ABC △90ACB ∠=︒BC AB 、DE 2EF DE =AF CE 、ACEF 30B ∠=︒ACEF11．（2024北京通州初三一模）如图，将线段绕点A 逆时针旋转度（）得到线段，连结，点N 是的中点，点D ，E 分别在线段，的延长线上，且．(1)________（用含的代数式表示）；(2)连结，点F 为的中点，连接，，．①依题意补全图形；②若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．12．（2024北京东城初三一模）如图，四边形是菱形．延长到点E ，使得，延长到点F ，使得，连接，，，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求的长．13．（2024北京顺义初三一模）如图，在正方形中，点E ，F 分别在，的延长线上，且，的延长线交于点G ．(1)求的度数；AB α0180α︒<<︒AC BC BC AC BC CE DE =EDC ∠=αBD BD AF EF NF AF EF ⊥NF CE ABCD BA AE AB =DA AF AD =BD DE EF FB BDEF 120ADC ∠=︒2EF =BF ABCD DC CB BF CE =EB AF AGE ∠(2)在线段EG 上取点H ，使得，连接，．①依题意补全图形；②用等式表示线段与的数量关系，并证明．14．（2024北京海淀初三一模）如图，在平行四边形中，O 为的中点，点E ，F 分別在上，经过点O ，．(1)求证：四边形为菱形；(2)若E 为的中点，，．求的长．15．（2024北京东城初三一模）如图，在正方形中，将边所在直线绕点逆时针旋转度得到直线，作点关于直线的对称点，连接．(1)依题意补全图形；(2)求的度数；(3)延长分别交直线于点，试探究：线段和之间的数量关系，并证明．16．（2024北京东城初三一模）如图，在等腰中，平分，过点作交的延长线于，连接，过点作交的延长线于．GH AG =AH CH CH GB ABCD AC BC AD ，EF AE AF =AECF BC 3AE =4AC =AB ABCD AD D αDM A DM P CP DP 、DPC ∠DP CP 、AB AD 、E F 、DE BE 、AF ABC ,AB BC BO =ABC ∠A AD BC ∥BO D CD D DE BD ⊥BC E(1)判断四边形的形状，并说明理由；(2)若，求的长．ABCD 4,120AB ABE =∠=︒DE参考答案1．A【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明，结合三角形的三边关系判断①；完全平方公式结合勾股定理判定②；勾股定理判断③．【详解】解：∵正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；故①正确；∵，即：，∴，∴；故②正确；，且为动点，∴无法确定和的关系，故③错误；故选A ．2．A【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识点，①根据即可判断；②根据题意可推出四边形是正方形，结合即可判断；③证，结合即可判断；【详解】解：∵四边形是正方形，∴∴即：，故③错误；∵，，∴四边形均是矩形∵，∴四边形是正方形∴∴DAE BAF △≌△ABCD ,90ADAB BC DAB ABC ==∠=∠=︒BE CF =AE BF =DAE BAF △≌△AF DE c ==AD AE DE +>a b c +>222AD AE DE +=222+=a b c ()2222220b a a ab b c ab -=-+=->22ab c <c =,E F c 2a BD ==AFOE OE DE DO +>DEO BFO ≌△△BO DO BD +>ABCD ,AB AD BD ===AD AE ED BD =+=a b +=EH BC ⊥FG CD ⊥,,AEHB AFGD AFOE AE AF =AFOE AE AF OE OF a====OD ==∵∴①正确；∵,∴∵∴∴∵∴，故②正确；故选：A3．C【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质．根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质可得，，，进而得到，根据正方形的面积公式即可判断①；根据，，，即可判断②；由，，可判断③．【详解】解：①四边形是正方形，，四边形和四边形均为正方形，，，和都是等腰直角三角形，，，同理可得，，，，，故①错误；②和都是等腰直角三角形，，，四边形为正方形，，，故②正确；OE DE DO+>a b +>,AD AB AEAF ==DE BF=90,,DEO BFO OE OF ∠=∠=︒=DEO BFO≌△△OD BO ==BO DO BD+>c >12BH CH MH BC ===BK EK KN ==DN KN =13EK BD ==DF =E F F =FN EF =212299ABCD S BC S ==正方形221144ABCD S BC S ==正方形ABCD ∴45ABD CBD ∠=∠=︒ EKNF MHCG ∴90BHM CHM ∠=∠=︒90BKE NKE ∠=∠=︒∴BEK △B M H V ∴12BH CH MH BC ===BK EK KN ==DN KN =∴13EK BD BC ==∴222129S EK BC ⎫===⎪⎪⎭22221124S MH BC BC ⎛⎫=== ⎪⎝⎭∴12S S ≠ AEF △DFN △∴DF E F F = EKNF ∴FN EF =∴2DF AF =③由①知：，，，故③正确；故选：C ．4．C【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，勾股定理，设点D 的坐标为，由平行四边形对角线中点坐标相同可得，解方程即可得到答案．【详解】解：设点D 的坐标为，由平行四边形对角线中点坐标相同可得，∴，∴点D 的坐标为，故选：C ．5．/【分析】此题考查矩形的性质，三角形中位线定理．连接，利用三角形中位线定理得出，进而利用矩形的性质解答即可．【详解】解：连接， 四边形是矩形，，，分别为，的中点，是是中位线，，，212299ABCD S BC S ==正方形221144ABCD S BC S ==正方形∴122919244249ABCD ABCD ABCD S S S S S ++=⨯⨯=正方形正方形正方形(),m n 0212220022m n +-+⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩(),m n 0212220022m n +-+⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩32m n =⎧⎨=⎩()3,2120.5BD 12MN BD =BD ABCD AC BD ∴=M N BC CD MN ∴CDB △∴12MN BD =∴12MN AC =故答案为：．6．（答案不唯一）【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据矩形的性质得出，确定，再由全等三角形的判定即可证明．【详解】解：添加条件为：，证明：∵矩形，∴，∴，∵，，∴，故答案为：（答案不唯一）．7．/【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，过点G 作于点H ，证明，得出，求出，根据，即可求出结果．【详解】解：过点G 作于点H ，如图所示：∵四边形为正方形，∴，，，∵，∴四边形为矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，12OE OF =AD BC ∥DEO BFO ∠=∠OE OF =ABCD AD BC ∥DEO BFO ∠=∠DOE BOF ∠=∠OE OF =(ASA)BOF DOE △△≌OE OF =180α︒-180α-+︒GH AD ⊥()Rt Rt HL ADE GHF ≌DAE HGF ∠=∠90EOF ∠=︒2360DEA D EOF ∠+∠+∠+∠=︒GH AD ⊥ABCD AB BC CD AD ===90C D ∠=∠=︒AB CD ∥90GHD D C ∠=∠=∠=︒CDHG GH CD =GH AD =FG AE =()Rt Rt HL ADE GHF ≌DAE HGF ∠=∠90HGF HFG ∠+∠=︒90DAE HFG ∠+∠=︒90AOF ∠=︒∴，∵，∴，∵，∴．故答案为：．8．(1)见解析(2)见解析(3)，见解析【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）通过证明，得到，根据题意易得，由，可得为等腰直角三角形，于是；（3）过点作于点，得为的中位线，则，根据三角形内角和定理求得，于是，进而，以此得出，即，在中，利用勾股定理即可得到结论．【详解】（1）解：补全图形如图所示．（2）证明：平分，，，，在和中，，，，，，在中，，，为等腰直角三角形，，又，即，为等腰直角三角形，90EOF ∠=︒AB CD ∥1DEA ∠=∠2360DEA D EOF ∠+∠+∠+∠=︒236019090180a ∠=︒-∠-︒-︒=︒-180α︒-222BE HC DF +=ASA EDG HDG ≌DE DH =45B ∠=︒DE AB ⊥BDE △BE DE DH ==F FN CD ⊥N DE ABC BD CD =67.5CDF CFD ∠=∠=︒CD CF BD ==CN FN BE DE DH ====CD DH CD CN -=-CH DN =Rt DFN DF EDC ∠EDG HDG ∴∠=∠EH DF ⊥ 90EGD HGD ∴∠=∠=︒EDG △HDG △EGD HGD ∠=∠DG DG =EDG HDG ∠=∠(ASA)EDG HDG ∴ ≌D E D H ∴=ABC 90BAC ∠=︒AB AC =ABC ∴ 45B ∴∠=︒DE AB ∵⊥90DEB ∠=︒BDE ∴．（3）解：，证明如下：如图，过点作于点，则为等腰直角三角形，，，又为的中点，为的中位线，，，，平分，，，，即，，，，即，在中，由勾股定理得，．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定于性质、三角形中位线定理、角平分线的定义、勾股定理，解题关键是利用等腰直角三角形的性质将目标线段转化到直角三角形中，再根据勾股定理解决问题．9．(1)见解析(2)【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形、菱形的判定与性质．关键是掌握有一组邻边相等的平行四边形是菱形，以及直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．（1）先证明，则，得出四边形是平行四边形，结合即可求证四边形是菱形；（2）根据菱形的性质得出，进而得出BE DE DH ∴==222HC BE FD +=F FN CD ⊥N CFN 90DEB CAB ∠=∠=︒ DE AC ∴∥E AB DE ∴ABC BD CD ∴=45BDE ∠=︒ 135CDE ∴∠=︒DF EDC ∠67.5EDF CDF ∴∠=∠=︒45C ∠=︒ 18067.5CFD CDF C ∴∠=︒-∠-∠=︒CDF CFD ∠=∠CD CF BD ∴==CN FN BE DE DH ∴====CD DH CD CN ∴-=-CH DN =Rt DFN 222DN FN DF +=222HC BE FD ∴+=()AAS DEF CEB ≌DF BC =BCFD BD BC =BCFD 2BD DF CF ===3,AF AD CF AB =+===根据勾股定理即可得出【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∵点E 为中点，∴，在和中，，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形；（2）解：∵四边形是菱形，，∴，∵，，∴∴10．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由点D 、E 分别是边的中点，可得，且，则，进而可证四边形是平行四边形；（2）由E 为中点，可得，由，可得，证明是等边三角形，则，进而可证四边形是菱形．【详解】（1）证明：∵点D 、E 分别是边的中点，∴，且，∵，∴，∴四边形是平行四边形；（2）证明：中，，E 为中点，BF ==AD BC ∥DF BC ∥,DFE CBE FDE BCE ∠=∠∠=∠CD CE DE =DEF CEB DFE CBE FDE BCE CE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS DEF CEB ≌DF BC =BCFD BD BC =BCFD BCFD 2CF =2BD DF CF ===1AD =90A ∠=︒3,AF AD CF AB =+===BF ==BC AB 、∥D E A C 12DE AC =EF AC =ACEF AB 12CE AB AE ==30B ∠=︒60BAC ∠=︒AEC △AC EC =ACEF BC AB 、∥D E A C 12DE AC =2EF DE =EF AC =ACEF Rt ABC △90ACB ∠=︒AB∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴四边形是菱形．【点睛】本题考查了中位线，平行四边形的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，菱形的判定等知识．熟练掌握中位线，平行四边形的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，菱形的判定是解题的关键．11．(1)(2)①见解析；②，证明见解析【分析】本题考查了根据条件画图，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．（1）根据旋转和题意即可得出；（2）①根据题意画出图形即可；②延长至点，使，连接．证明四边形为平行四边形，证明，算出，，结合三角形中位线定理即可求解；【详解】（1）∵，由旋转得，∴，∵，∴．（2）①补全图形如图：②延长至点，使，连接．12CE AB AE ==30B ∠=︒60BAC ∠=︒AEC △AC EC =ACEF 1902α︒-CE =1902CDE DCE ACB α∠=∠=∠=︒-AF M FM AF =,,,BM DM EM AE ABMD ACE MDE V V ≌90α=︒45ECD EDC ∠=∠=︒A α∠=AB AC =18019022ABC ACB αα︒-∠=∠==︒-CE DE =1902CDE DCE ACB α∠=∠=∠=︒-AF M FM AF =,,,BM DM EM AE∵点为线段中点，∴四边形为平行四边形，，，，，，又，，∴，∴，，，，∴，∴，∵为中点，为中点，∴是中位线，，∴．12．(1)见解析(2)【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论；（2）由矩形的性质得，，再由菱形的性质得，，进而证明F BD ABMD ,AB DM AB DM ∴=∥180BAC ADM ∴∠+∠=︒180ADM α∴∠=︒-AF EF ⊥ AE ME ∴=,AB AC EC ED ==Q AC DM ∴=()ACE MDE SSS ≌1180902MDE ACE ACB α∠=∠=︒-∠=︒+11909022ADM MDE CDE ααα⎛⎫∴∠=∠-∠=︒+-︒-= ⎪⎝⎭180αα∴︒-=90α∴=︒45ECD EDC ∠=∠=︒CD =N BC F BD NF BDC 2CD NF ∴=CE=BDEF AB AD =BE DF =90DBF ∠=︒2BD EF ==60ADB ∠=︒AB AD =是等边三角形，得，则，然后由勾股定理求出的长即可．【详解】（1）证明：，，四边形为平行四边形，四边形为菱形，，，，平行四边形是矩形；（2）解：由（1）可知，，四边形是矩形，，，四边形是菱形，，，是等边三角形，，，即的长为【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．13．(1)(2)，证明见解析【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，三角形的全等判定，等腰直角三角形的性质，熟练的掌握它们的性质和判定，作出合理的辅助线是解决问题的关键．（1）根据题意可得，，，，由此可证，得到，再根据，，即可得到．（2）依据题意补充图形后，过点作交于点，根据，，可得到、为等腰直角三角形，再证，即可得到线段与的数量关系．【详解】（1）解：如图所示，为正方形，ABD △2AB AD BD ===24DF AD ==BF AE AB =Q AF AD =∴BDEF ABCD AB AD ∴=AE AB AF AD ∴===BE DF ∴=∴BDEF AB AD =BDEF 90DBF ∴∠=︒2BD EF == ABCD 1602ADB ADC ∴∠=∠=︒AB AD =ABD ∴ 2AB AD BD ∴===24DF AD ∴==BF ∴==BF 90AGE ∠=︒CH =AB BC =BF CE =90ABF BCE ∠=∠=︒ABF BCE ≌F E ∠=∠90E CBE ∠+∠=︒CBE GBF ∠=∠90AGE ∠=︒B BI AH ∥AF I GH AG =BI AH ∥GAH GBI AIB BHC ≌CH GB ABCD，，，， ，，，，，，．．（2）解：① 如图所示，在线段上取点H ，使得，连接，，② 过点作交于点，如图所示，，，为等腰直角三角形，，，，，为等腰直角三角形，，，即，（第一问已证），，∴AB BC =90ABC DCB ∠=∠=︒∴90ABF BCE ∠=∠=︒ 90AB BC ABF BCE BF CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ABF BCE ≌∴F E ∠=∠ 90E CBE ∠+∠=︒CBE GBF ∠=∠∴90F GBF ∠+∠=︒∴90FGB ∠=︒∴18090AGE FGB ∠=︒-∠=︒∴90AGE ∠=︒EG GH AG =AH CH B BI AH ∥AF I 90AGE ∠=︒GH AG =∴GAH ∴45GAH GHA ∠=∠=︒ BI AH ∥∴45GIB GAH ∠=∠=︒45GBI GHA ∠=∠=︒∴GBI ∴GB GI =∴AG GI GH GB -=-AI HB = ABF BCE ≌∴FAB EBC ∠=∠又 ，，，为等腰直角三角形，，．14．(1)证明见解析；(2)【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先得出，．结合线段中点，得出，得证，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答．（2）先得出，结合菱形性质，在中，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答．【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，．，．为的中点，．．．，四边形为平行四边形．，四边形为菱形．（2）解：为的中点，，．四边形为菱形，．．在中，由勾股定理得为的中点，【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确 AB BC =∴AIB BHC ≌∴CH BI = GBI ∴BI =∴CH =AFO CEO ∠=∠FAO ECO ∠=∠AO CO =AOF COE ≌122OA AC ==Rt AOE △OE = ABCD AD BC ∴∥AFO CEO ∴∠=∠FAO ECO ∠=∠O AC AO CO ∴=AOF COE ∴ ≌AF EC ∴=AF EC ∴AECF = AE AF ∴AECF O AC 4AC =122OA AC ∴== AECF AC EF ∴⊥90AOE ∴∠= ∴Rt AOE △OE ===E BC 2AB OE ∴==掌握相关性质内容是解题的关键．15．(1)见解析(2)(3)点在线段上时，；点在线段延长线上时，；点在线段延长线上时，，见解析【分析】本题考查四边形综合题，熟知轴对称作图及性质，根据题意分类讨论是解题的关键．（1）作点关于直线的对称点，连接即可；（2）连接，根据轴对称性质可得，，可求出，根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和可求出；（3）分三种情况，当交线段、线段延长线上、线段延长线上于点时，分别可证，进而可得，即可求证．【详解】（1）解：如图，作点关于直线的对称点，连接；（2）连接，点关于直线对称，垂直平分，，，，四边形为正方形，，，45DPC α∠=︒+E AB DE BE AF =+E AB AF DE BE =+E BA BE DE AF =+A DM P CP DP 、AP AD PD =ADM PDM α∠=∠=902CDP α∠=︒-()1180902452DPC αα∠=︒-︒+=︒+DP AB AB BA E CDF DAK △≌△DE EK =A DM P CP DP 、AP ,A P DM DM ∴AP ∴AD PD =∴PDM ADM α∠=∠=902PDC α∴∠=︒- ABCD AD DC ∴=∴DP DC =；（3）当交线段于点时，延长至，使，连接，，，又，在和中，，由（2）可知，，，，，，，，，即；当交线段延长线于点时，在延长线上截取，连接，()11802DPC PDC ∴∠=︒-∠45DPC α∴∠=︒+①DP AB E AB K BK AF =DK ,AD AB BK AF == DF AK ∴=,90CD AD CDA DAK =∠=∠=︒ CDF DAK DC AD CDF DAKDF AK =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩CDF DAK ∴△≌△F K ∴∠=∠∴45DCP DPC α∠=∠=︒+9045K F DCP α∴∠=∠=︒-∠=︒-DC AB ∥45CDK K α∴∠=∠=︒-9045EDK ADE CDK α∴∠=︒-∠-∠=︒-EDK K ∴∠=∠DE EK ∴=DE BE BK BE AF ∴=+=+DE BE AF =+②DP AB E AB BK AF =DK由同理可证，，，，，，即；当交线段延长线于点时，在上截取，连接，由题意可知，，，，，又，，在和中，①CDF DAK △≌△45K F α∴∠=∠=︒-9045EDK ADE CDK α∴∠=︒-∠-∠=︒-K KDE ∴∠=∠ED EK ∴=ED BK BE AF BE ∴=-=-AF DE BE =+③DP BA E BA BK AF =DK DP DC =()11802DCP PDC ∴∠=︒-∠()2360908102PDC ADM MDP ADC αα∠=∠+∠+∠=︒-+︒=︒- ()118081023152DCP αα∴∠=︒-︒+=-︒= AD AB DF AK ∴=CDF DAK DC AD CDF DAKDF AK =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩CDF DAK ∴△≌△，，又，，，，即．16．(1)四边形是菱形，理由见详解(2)【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．（1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用平行线的性质可得，，从而利用证明，进而可得，再利用对角线互相平分线的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，然后利用菱形的定义可得四边形是菱形，即可解答；（2）先利用角平分线的定义可得，再利用菱形的性质可得，从而可得是等边三角形，进而可得，然后利用垂直定义可得，从而可得，进而可得，再利用勾股定理进行计算，即可解答．【详解】（1）解：四边形是菱形，理由：，平分，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形；（2）平分，，，四边形是菱形，，是等边三角形，，315ADK DCP α∴∠=∠=-︒()90315405AKD DFC αα∴∠=∠=︒--︒=︒-()2360315405EDK EDA ADK ααα∠=∠+∠=︒-+-︒=︒- EDK AKD ∴∠=∠ED EK ∴=DE BE BK BE AF ∴=-=-BE DE AF =+ABCD AO CO =DAO ACB ∠=∠ADO CBO ∠=∠AAS ADO CBO ≌DO BO =ABCD ABCD 60DBC ∠=︒3BC CD AB ===BCD 4BD BC ==90BDE ∠=︒30E ∠=︒28BE BD ==ABCD AB BC = BO ABC ∠AO CO ∴=AD BE DAO ACB ∴∠=∠ADO CBO ∠=∠()ADO CBO AAS ∴ ≌DO BO ∴=∴ABCD AB BC = ∴ABCD BO ABC ∠120ABE ∠=︒1602DBC ABE ∴∠=∠=︒ ABCD 4BC CD AB ∴===BCD ∴ 4BD BC ∴==，，，，的长为BD DE⊥∵90BDE∴∠=︒9030E DBC∴∠=︒-∠=︒28BE BD∴==DE∴=== DE∴。

2024届北京市第四中学中考一模数学试题含解析

2024届北京市第四中学中考一模数学试题含解析

2024学年北京市第四中学中考一模数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下图是由八个相同的小正方体组合而成的几何体，其左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．中国在第二十三届冬奥会闭幕式上奉献了《2022相约北京》的文艺表演，会后表演视频在网络上推出，即刻转发量就超过810000这个数用科学记数法表示为（ ）A ．8.1×106B ．8.1×105C ．81×105D ．81×1043．若一组数据2，3，，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为( )A ．2B ．3C ．5D ．74．把直线l ：y=kx+b 绕着原点旋转180°，再向左平移1个单位长度后，经过点A （-2,0）和点B （0,4），则直线l 的表达式是（ ）A ．y=2x+2B ．y=2x-2C ．y=-2x+2D ．y=-2x-25．某校在国学文化进校园活动中，随机统计50名学生一周的课外阅读时间如表所示，这组数据的众数和中位数分别是（ ） 学生数（人）5 8 14 19 4 时间（小时）6 7 8 9 10 A ．14，9 B ．9，9 C ．9，8 D ．8，96．某种超薄气球表面的厚度约为0.00000025mm ，这个数用科学记数法表示为（ ）A ．72.510-⨯B ．70.2510-⨯C ．62.510-⨯D ．52510-⨯7．不解方程，判别方程2x 2﹣2x ＝3的根的情况( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有一个实数根D ．无实数根8．在﹣3，0，4，6这四个数中，最大的数是（ ）A ．﹣3B ．0C ．4D ．69．如图，以两条直线l 1，l 2的交点坐标为解的方程组是( )A ．121x y x y -=⎧⎨-=⎩B ．121x y x y -=-⎧⎨-=-⎩C ．121x y x y -=-⎧⎨-=⎩D ．121x y x y -=⎧⎨-=-⎩ 10．给出下列各数式，①2?--（） ②2-- ③2 2- ④22-（）计算结果为负数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．,A B 两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从A 地出发到B 地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车先出发40分钟后，乙车才出发.途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达B 地.甲、乙两车相距的路程y （千米）与甲车行驶时间x （小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距B 地还有____________千米.12．将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC ，设点A 表示的数为x ﹣3，点B 表示的数为2x+1，点C 表示的数为﹣4，若将△ABC 向右滚动，则x 的值等于_____，数字2012对应的点将与△ABC 的顶点_____重合．13．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=1．在边AB 上取一点O ，使BO=BC ，以点O 为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A′B′C′（点A 、B 、C 的对应点分别是点A′、B′、C′、），那么△ABC 与△A′B′C′的重叠部分的面积是_________．14．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，则AB的长是_____．15．将一次函数y=2x+4的图象向下平移3个单位长度，相应的函数表达式为_____．16．在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘﹣131，其浓度为0.0000872贝克/立方米．数据“0.0000872”用科学记数法可表示为________．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．18．（8分）已知顶点为A的抛物线y＝a(x－12)2－2经过点B(－32，2)，点C(52，2)．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线AB与x轴相交于点M，与y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM ＝∠MAF，求△POE的面积；(3)如图2，点Q是折线A－B－C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN′，若点N′落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．19．（8分）平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线2y x bx c ++＝经过点10（，）A 和30B （，），与y 轴相交于点C ，顶点为P .（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标；（2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA EC ＝，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN ，点Q 在直线MN 右侧的抛物线上，MEQ NEB ∠∠＝，求点Q 的坐标.20．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，CN 为⊙O 的切线，OM ⊥AB 于点O ，分别交AC 、CN 于D 、M 两点．求证：MD=MC ；若⊙O 的半径为5，AC=45，求MC 的长．21．（8分）“分组合作学习”已成为推动课堂教学改革，打造自主高效课堂的重要措施.某中学从全校学生中随机抽取部分学生对“分组合作学习”实施后的学习兴趣情况进行调查分析，统计图如下：请结合图中信息解答下列问题：求出随机抽取调查的学生人数；补全分组后学生学习兴趣的条形统计图； 分组后学生学习兴趣为“中”的所占的百分比和对应扇形的圆心角.22．（10分）先化简2211a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，然后从22a -≤<中选出一个合适的整数作为a 的值代入求值． 23．（12分）为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少3万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用为625万元，乙种套房费用为700万元．（1）甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？（2）如果需要甲、乙两种套房共80套，市政府筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有几种方案？哪一种方案的提升费用最少？24．如图，点A 的坐标为（﹣4，0），点B 的坐标为（0，﹣2），把点A 绕点B 顺时针旋转90°得到的点C 恰好在抛物线y=ax 2上，点P 是抛物线y=ax 2上的一个动点（不与点O 重合），把点P 向下平移2个单位得到动点Q ，则： （1）直接写出AB 所在直线的解析式、点C 的坐标、a 的值；（2）连接OP 、AQ ，当OP+AQ 获得最小值时，求这个最小值及此时点P 的坐标；（3）是否存在这样的点P ，使得∠QPO=∠OBC ，若不存在，请说明理由；若存在，请你直接写出此时P 点的坐标．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、B【解题分析】解：找到从左面看所得到的图形，从左面可看到从左往右三列小正方形的个数为：2，3，1．故选B．2、B【解题分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【题目详解】810 000=8.1×1．故选B．【题目点拨】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3、C【解题分析】试题解析：∵这组数据的众数为7，∴x=7，则这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，1，7，7，中位数为：1．故选C．考点：众数；中位数.4、B【解题分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式，然后将所得解析式绕着原点旋转180°即可得到直线l．【题目详解】解：设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ．∵A （−2，0），B （0，1）， ∴ ， 解得 ， ∴直线AB 的解析式为y ＝2x ＋1．将直线AB 向右平移1个单位长度后得到的解析式为y ＝2（x−1）＋1，即y ＝2x ＋2，再将y ＝2x ＋2绕着原点旋转180°后得到的解析式为−y ＝−2x ＋2，即y ＝2x−2，所以直线l 的表达式是y ＝2x−2．故选：B ．【题目点拨】本题考查了一次函数图象平移问题，掌握解析式“左加右减”的规律以及关于原点对称的规律是解题的关键． 5、C【解题分析】解:观察、分析表格中的数据可得：∵课外阅读时间为1小时的人数最多为11人，∴众数为1．∵将这组数据按照从小到大的顺序排列，第25个和第26个数据的均为2，∴中位数为2．故选C ．【题目点拨】本题考查（1）众数是一组数据中出现次数最多的数；（2）中位数的确定要分两种情况：①当数据组中数据的总个数为奇数时，把所有数据按从小到大的顺序排列，中间的那个数就是中位数；②当数据组中数据的总个数为偶数时，把所有数据按从小到大的顺序排列，中间的两个数的平均数是这组数据的中位数.6、A【解题分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【题目详解】70.00000025 2.510-=⨯，故选：A ．【题目点拨】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中110a ≤<，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．7、B【解题分析】一元二次方程的根的情况与根的判别式∆有关，24b ac ∆=-2(42(3)=--⨯⨯-420=>，方程有两个不相等的实数根，故选B8、C【解题分析】试题分析：根据实数的大小比较法则，正数大于0，0大于负数，两个负数相比，绝对值大的反而小．因此，在﹣3，0，1这四个数中，﹣3＜0＜1，最大的数是1．故选C ．9、C【解题分析】两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组成的方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组．【题目详解】直线l 1经过（2，3）、（0，-1），易知其函数解析式为y=2x-1；直线l 2经过（2，3）、（0，1），易知其函数解析式为y=x+1；因此以两条直线l 1，l 2的交点坐标为解的方程组是：121x y x y -=-⎧⎨-=⎩． 故选C ．【题目点拨】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．10、B【解题分析】∵①(2)2--=；②22--=-；③224-=-；④2(2)4-=；∴上述各式中计算结果为负数的有2个.故选B.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、90【解题分析】【分析】观察图象可知甲车40分钟行驶了30千米，由此可求出甲车速度，再根据甲车行驶小时时与乙车的距离为10千米可求得乙车的速度，从而可求得乙车出故障修好后的速度，再根据甲、乙两车同时到达B 地，设乙车出故障前走了t 1小时，修好后走了t 2小时，根据等量关系甲车用了122133t t ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭小时行驶了全程，乙车行驶的路程为60t 1+50t 2=240，列方程组求出t 2，再根据甲车的速度即可知乙车修好时甲车距B 地的路程.【题目详解】甲车先行40分钟（402603=h ），所行路程为30千米， 因此甲车的速度为304523=（千米/时），设乙车的初始速度为V 乙，则有4452103V ⨯=+乙， 解得：60V =乙（千米/时），因此乙车故障后速度为：60-10=50（千米/时），设乙车出故障前走了t 1小时，修好后走了t 2小时，则有121260502402145()4524033t t t t +=⎧⎪⎨⨯+++⨯=⎪⎩，解得：12732t t ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 45×2=90（千米），故答案为90.【点评】 本题考查了一次函数的实际应用，难度较大，求出速度后能从题中找到必要的等量关系列方程组进行求解是关键.12、﹣1 C ．【解题分析】∵将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC ，设点A 表示的数为x ﹣1，点B 表示的数为2x +1，点C 表示的数为﹣4，∴﹣4﹣（2x +1）=2x +1﹣（x ﹣1）；∴﹣1x =9，x=﹣1．故A表示的数为：x﹣1=﹣1﹣1=﹣6，点B表示的数为：2x+1=2×（﹣1）+1=﹣5，即等边三角形ABC边长为1，数字2012对应的点与﹣4的距离为：2012+4=2016，∵2016÷1=672，C从出发到2012点滚动672周，∴数字2012对应的点将与△ABC的顶点C重合．故答案为﹣1，C．点睛：此题主要考查了等边三角形的性质，实数与数轴，一元一次方程等知识，本题将数与式的考查有机地融入“图形与几何”中,渗透“数形结合思想”、“方程思想”等,也是一道较优秀的操作活动型问题.13、144 25【解题分析】先求得OD，AE，DE的值，再利用S四边形ODEF=S△AOF-S△ADE即可. 【题目详解】如图，OA’=OA=4，则OD=34OA’=3，OD=3∴AD=1，可得DE=35，AE =45∴S四边形ODEF=S△AOF-S△ADE=12×3×4-12×35×45=14425.故答案为144 25.【题目点拨】本题考查的知识点是三角形的旋转，解题的关键是熟练的掌握三角形的旋转.14、3cm．【解题分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA＝OB＝OD＝OC，由∠AOB＝60°，判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB即可．【题目详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝6cm∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ＝3cm ，∵∠AOB ＝60°，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝OA ＝3cm ，故答案为：3cm【题目点拨】本题主要考查矩形的性质和等边三角形的判定和性质，解本题的关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分． 15、y=2x+1【解题分析】分析：直接根据函数图象平移的法则进行解答即可．详解：将一次函数y=2x+4的图象向下平移3个单位长度，相应的函数是y=2x+4-3=2x+1；故答案为y=2x+1．点睛：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键．16、58.7210-⨯【解题分析】科学记数法的表示形式为ax10n 的形式，其中1≤lal<10，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数.【题目详解】解：0.0000872=58.7210-⨯故答案为：58.7210-⨯【题目点拨】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值.三、解答题（共8题，共72分）17、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）图见解析，点P 坐标为（2，0）．【解题分析】(1)根据网格结构找出点A 、B 、C 平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；(2))找出点A 、B 、C 关于原点O 的对称点的位置，然后顺次连接即可；(3)找出A 的对称点A ′，连接BA ′，与x 轴交点即为P ．【题目详解】(1)如图1所示，△A1B1C1，即为所求：(2)如图2所示，△A2B2C2，即为所求：(3)找出A的对称点A′(1，﹣1)，连接BA′，与x轴交点即为P；如图3所示，点P即为所求，点P坐标为(2，0)．【题目点拨】本题考查作图-旋转变换，平移变换，轴对称最短问题等知识，得出对应点位置是解题关键．18、(1) y＝(x－12)2－2；(2)△POE的面积为115或13；(3)点Q的坐标为(－54，32)或(，2)或，2)．【解题分析】（1）将点B坐标代入解析式求得a的值即可得；（2）由∠OPM=∠MAF知OP∥AF，据此证△OPE∽△FAE得OPFA=OEFE＝134＝43，即OP=43FA，设点P（t，-2t-1），列出关于t的方程解之可得；（3）分点Q在AB上运动、点Q在BC上运动且Q在y轴左侧、点Q在BC上运动且点Q在y轴右侧这三种情况分类讨论即可得．【题目详解】解：（1）把点B(－32，2)代入y＝a(x－12)2－2，解得a＝1，∴抛物线的表达式为y＝(x－12)2－2，（2）由y＝(x－12)2－2知A(12，－2)，设直线AB表达式为y＝kx＋b，代入点A，B的坐标得122322k bk b ⎧-=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得21 kb=-⎧⎨=-⎩，∴直线AB的表达式为y＝－2x－1，易求E(0，－1)，F(0，－74)，M(－12，0)，若∠OPM＝∠MAF，∴OP∥AF，∴△OPE∽△FAE，∴OP OE143FA FE34===，∴OP＝43FA＝43=，设点P(t ，－2t －1)，则()225t 2t 13+--=， 解得t 1＝－215，t 2＝－23， 由对称性知，当t 1＝－215时，也满足∠OPM ＝∠MAF ， ∴t 1＝－215，t 2＝－23都满足条件， ∵△POE 的面积＝12OE·|t|， ∴△POE 的面积为115或13； （3）如图，若点Q 在AB 上运动，过N′作直线RS ∥y 轴，交QR 于点R ，交NE 的延长线于点S ，设Q(a ，－2a －1)，则NE ＝－a ，QN ＝－2a.由翻折知QN′＝QN ＝－2a ，N′E ＝NE ＝－a ，由∠QN′E ＝∠N ＝90°易知△QRN′∽△N′SE ，∴QR N S '＝RN ES '＝QN EN ''，即QR 1＝=2a 12a ES a---=-＝2， ∴QR ＝2，ES ＝2a 12-- ， 由NE ＋ES ＝NS ＝QR 可得－a ＋2a 12--＝2， 解得a ＝－54， ∴Q(－54，32)， 如图，若点Q 在BC 上运动，且Q 在y 轴左侧，过N′作直线RS ∥y 轴，交BC 于点R ，交NE 的延长线于点S.设NE＝a，则N′E＝a.易知RN′＝2，SN′＝1，QN′＝QN＝3，∴QR＝5，SE＝5－a.在Rt△SEN′中，(5－a)2＋12＝a2，解得a＝355，∴Q(－355，2)，如图，若点Q在BC上运动，且点Q在y轴右侧，过N′作直线RS∥y轴，交BC于点R，交NE的延长线于点S.设NE＝a，则N′E＝a.易知RN′＝2，SN′＝1，QN′＝QN＝3，∴QR5SE5 a.在Rt△SEN′中，5a)2＋12＝a2，解得a 35，∴，2)．综上，点Q 的坐标为(－54，32)或(，2)或，2)． 【题目点拨】 本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质及勾股定理等知识点．19、（1）243y x x +＝﹣，顶点P 的坐标为21（，﹣）；（2）E 点坐标为22（，）；（3）Q 点的坐标为58（，）. 【解题分析】（1）利用交点式写出抛物线解析式，把一般式配成顶点式得到顶点P 的坐标；（2）设2E t （，），根据两点间的距离公式，利用EA EC ＝得到22222123t t ++（﹣）＝（﹣），然后解方程求出t 即可得到E 点坐标；（3）直线2x ＝交x 轴于F ，作2MH x ⊥直线＝于H ，如图，利用12tan NEB ∠＝得到12tan MEQ ∠＝，设243Q m m m +（，﹣），则2412HE m m QH m +＝﹣，＝﹣，再在Rt QHE 中利用正切的定义得到H 1tan HE 2Q HEQ ∠==，即24122m m m +﹣＝（﹣），然后解方程求出m 即可得到Q 点坐标.【题目详解】解：（1）抛物线解析式为13y x x ＝（﹣）（﹣）， 即243y x x +＝﹣， 221y x ＝（﹣）﹣，∴顶点P 的坐标为21（，﹣）； （2）抛物线的对称轴为直线2x ＝，设2E t （，）， EA EC ＝，22222123t t ∴++（﹣）＝（﹣），解得2t ＝，∴E 点坐标为22（，）； （3）直线2x ＝交x 轴于F ，作MN ⊥直线x=2于H ，如图，MEQ NEB ∠∠＝，而BF 1tan EF 2NEB ∠==， 1tan 2MEQ ∴∠=， 设243Q m m m +（，﹣），则22432412HE m m m m QH m ++＝﹣﹣＝﹣，＝﹣， 在Rt QHE 中，H 1tan HE 2Q HEQ ∠==， 24122m m m ∴+﹣＝（﹣），整理得2650m m +﹣＝，解得11m ＝（舍去），25m ＝， ∴Q 点的坐标为58（，）.【题目点拨】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和锐角三角函数的定义；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式.20、（1）证明见解析；（2）MC=154. 【解题分析】【分析】（1）连接OC ，利用切线的性质证明即可；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【题目详解】（1）连接OC ，∵CN 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CM ，∠OCA+∠ACM=90°，∵OM ⊥AB ，∴∠OAC+∠ODA=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，∴MD=MC；（2）由题意可知AB=5×2=10，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，∴△AOD∽△ACB，∴OD AOBC AC==，可得：OD=2.5，设MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，解得：x=154，即MC=154．【题目点拨】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，准确添加辅助线，正确寻找相似三角形是解决问题的关键.21、（1）200人；（2）补图见解析；（3）分组后学生学习兴趣为“中”的所占的百分比为30%；对应扇形的圆心角为108°. 【解题分析】试题分析：（1）用“极高”的人数÷所占的百分比，即可解答；（2）求出“高”的人数，即可补全统计图；（3）用“中”的人数÷调查的学生人数，即可得到所占的百分比，所占的百分比360,⨯即可求出对应的扇形圆心角的度数.试题解析：()15025%200÷=(人).()2学生学习兴趣为“高”的人数为：20050602070---=(人).补全统计图如下:()3分组后学生学习兴趣为“中”的所占的百分比为：60100%30%.200⨯= 学生学习兴趣为“中”对应扇形的圆心角为：30%360108.⨯=22、-1【解题分析】先化简，再选出一个合适的整数代入即可，要注意a 的取值范围.【题目详解】 解：2211a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭ (1)(1)12a a a a a ---=•- 1(1)12a a a a a -+-=•- 2a =， 当2a =-时，原式212-==-． 【题目点拨】 本题考查的是代数式的求值，熟练掌握代数式的化简是解题的关键.23、（1）甲、乙两种套房每套提升费用为25、1万元；（2）甲种套房提升2套，乙种套房提升30套时，y 最小值为2090万元．【解题分析】（1）设甲种套房每套提升费用为x 万元，根据题意建立方程求出其解即可；（2）设甲种套房提升m 套，那么乙种套房提升（80-m ）套，根据条件建立不等式组求出其解就可以求出提升方案，再表示出总费用与m 之间的函数关系式，根据一次函数的性质就可以求出结论.【题目详解】（1）设乙种套房提升费用为x 万元，则甲种套房提升费用为（x ﹣3）万元，则6257003x x=-， 解得x=1．经检验：x=1是分式方程的解，答：甲、乙两种套房每套提升费用为25、1万元；（2）设甲种套房提升a 套，则乙种套房提升（80﹣a ）套，则2090≤25a+1（80﹣a ）≤2096，解得48≤a≤2．∴共3种方案，分别为：方案一：甲种套房提升48套，乙种套房提升32套．方案二：甲种套房提升49套，乙种套房提升31套，方案三：甲种套房提升2套，乙种套房提升30套．设提升两种套房所需要的费用为y 万元，则y=25a+1（80﹣a ）=﹣3a+2240，∵k=﹣3，∴当a 取最大值2时，即方案三：甲种套房提升2套，乙种套房提升30套时，y 最小值为2090万元．【题目点拨】本题考查了一次函数的性质的运用，列分式方程解实际问题的运用，列一元一次不等式组解实际问题的运用．解答时建立方程求出甲，乙两种套房每套提升费用是关键，是解答第二问的必要过程．24、（1）a=12；（2）OP+AQ 的最小值为P 的坐标为（﹣1，12）；（3）P （﹣4，8）或（4，8）， 【解题分析】（1）利用待定系数法求出直线AB 解析式，根据旋转性质确定出C 的坐标，代入二次函数解析式求出a 的值即可； （2）连接BQ ，可得PQ 与OB 平行，而PQ=OB ，得到四边形PQBO 为平行四边形，当Q 在线段AB 上时，求出OP+AQ 的最小值，并求出此时P 的坐标即可；（3）存在这样的点P ，使得∠QPO=∠OBC ，如备用图所示，延长PQ 交x 轴于点H ，设此时点P 的坐标为（m ，12m 2），根据正切函数定义确定出m 的值，即可确定出P 的坐标．【题目详解】解：（1）设直线AB 解析式为y=kx+b ， 把A （﹣4，0），B （0，﹣2）代入得：402k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得：122kb⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AB的解析式为y=﹣12x﹣2，根据题意得：点C的坐标为（2，2），把C（2，2）代入二次函数解析式得：a=12；（2）连接BQ，则易得PQ∥OB，且PQ=OB，∴四边形PQBO是平行四边形，∴OP=BQ，∴5（等号成立的条件是点Q在线段AB上），∵直线AB的解析式为y=﹣12x﹣2，∴可设此时点Q的坐标为（t，﹣12t﹣2），于是，此时点P的坐标为（t，﹣12 t），∵点P在抛物线y=12x2上，∴﹣12t=12t2，解得：t=0或t=﹣1，∴当t=0，点P与点O重合，不合题意，应舍去，∴OP+AQ的最小值为5P的坐标为（﹣1，12）；（3）P（﹣4，8）或（4，8），如备用图所示，延长PQ交x轴于点H，设此时点P 的坐标为（m ，12m 2）， 则tan ∠HPO=2212m OH PH m m ==， 又，易得tan ∠OBC=12， 当tan ∠HPO=tan ∠OBC 时，可使得∠QPO=∠OBC ， 于是，得212m =， 解得：m=±4， 所以P （﹣4，8）或（4，8）．【题目点拨】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．。

2020年北京市中考数学各地区模拟试题分类(北京专版)(一)——四边形(含解析)

2020年北京市中考数学各地区模拟试题分类(北京专版)(一)——四边形(含解析)

2020年北京市中考数学各地区模拟试题分类（北京专版）（一）——四边形一．选择题1．（2020•西城区校级三模）内角和为720°的多边形是（）A．B．C．D．2．（2020•怀柔区模拟）如果一个正多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个正多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2020•平谷区二模）如图，螺丝母的截面是正六边形，则∠1的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°4．（2020•顺义区二模）如图，四边形ABCD中，过点A的直线l将该四边形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为α和β，则α+β的度数是（）A．360°B．540°C．720°D．900°5．（2020•东城区二模）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．6．（2020•房山区二模）如图，在▱ABCD中，延长AD至点E，使AD＝2DE，连接BE交CD于点F，交AC于点G，则的值是（）A．B．C．D．7．（2020•门头沟区一模）已知，如图，在菱形ABCD中．（1）分别以C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；（3）连接BM．根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（）A．∠ABC＝60°B．如果AB＝2，那么BM＝4C．BC＝2CM D．S△ABM＝2S△ADM8．（2020•平谷区一模）n边形的内角和为1800°，则该n边形的边数为（）A．12 B．10 C．8 D．6 9．（2020•丰台区一模）正六边形的每个内角度数为（）A．60°B．120°C．135°D．150°10．（2020•北京一模）如图，矩形ABCD中，BC＝2AB，点E在边AD上，EF⊥BD于点F．若EF＝1，则DE的长为（）A．B．C．2 D．3二．填空题11．（2020•朝阳区三模）如图，已知▱ABCD，通过测量、计算得到▱ABCD的面积约为cm2．（结果保留一位小数）12．（2020•昌平区二模）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝°．13．（2020•朝阳区二模）正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中，①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；②存在无数个四边形PMQN是菱形；③存在无数个四边形PMQN是矩形；④至少存在一个四边形PMQN是正方形．所有正确结论的序号是．14．（2020•朝阳区二模）如图的四边形都是矩形，根据图形，写出一个正确的等式：．15．（2020•密云区二模）如图，已知菱形ABCD，通过测量、计算得菱形ABCD的面积约为cm2．（结果保留一位小数）16．（2020•西城区二模）如图，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠E，点F在AB的延长线上，则∠CBF的度数是．17．（2020•北京二模）如图，∠1，∠2，∠3均是五边形ABCDE的外角，AE∥BC，则∠1+∠2+∠3＝°．18．（2020•北京二模）四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA的中点．有下列四个推断：①对于任意四边形ABCD，四边形MNPQ都是平行四边形；②若四边形ABCD是平行四边形，则MP与NQ交于点O；③若四边形ABCD是矩形，则四边形MNPQ也是矩形；④若四边形MNPQ是正方形，则四边形ABCD也一定是正方形．所有正确推断的序号是．19．（2020•顺义区一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F是对角线AC上的两个动点，且EF＝2，P是正方形四边上的任意一点．若△PEF是等边三角形，则符合条件的P点共有个，此时AE的长为．20．（2020•门头沟区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，B（3，0），△AOB是等边三角形，动点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BO匀速运动，动点Q同时从点A出发以同样的速度沿OA延长线方向匀速运动，当点P到达点O时，点P，Q同时停止运动．过点P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．设运动时间为t秒，得出下面三个结论，①当t＝1时，△OPQ为直角三角形；②当t＝2时，以AQ，AE为边的平行四边形的第四个顶点在∠AOB的平分线上；③当t为任意值时，DE＝AB．所有正确结论的序号是．三．解答题21．（2020•昌平区模拟）我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：，；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连结AD，DC，∠DCB＝30°．写出线段DC，AC，BC的数量关系为．22．（2020•西城区校级三模）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝6，tan C＝，DC＝16，求证：AF平分∠DAB．23．（2020•怀柔区模拟）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC为一条对角线，且∠BAC＝∠ADC．延长BC到点E，使CE＝AD，连接DE．（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；（2）连接AE交CD于点F，若AC＝10，tan B＝，求AE的长．24．（2020•朝阳区三模）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝BD，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．（1）求证：四边形BDEC是菱形；（2）连接BE，若AB＝2，AD＝4，求BE的长．25．（2020•昌平区二模）在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，点F在边AD上，且DF＝BE，连接DE，CF．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）若DE平分∠ADC，AB＝5，AD＝8，求tan∠ADE的值．26．（2020•石景山区二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝DC，DE平分∠ADC 交BC于点E，连接AE．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）连接AC交DE于点F．若∠ABC＝90°，AC＝2，CE＝2，求AB的长．27．（2020•平谷区二模）如图，在菱形ABCD中，延长AB到E，延长AD到F，使BE＝DF，连接EF，连接AC并延长交EF于点G．（1）求证：AG⊥EF；（2）连接BD交AC于O，过B作BM⊥EF于点M，若BD＝2，C为AG中点，求EM 的长．28．（2020•平谷区二模）如图，在△ABM中，∠ABC＝90°，延长BM使BC＝BA，线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连结DM，AD．（1）依据题意补全图形；（2）当∠BAM＝15°时，∠AMD的度数是；（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB是一定度数时，AM＝MD．小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE，就易证△ABM≌△AED，因此易得当∠AMD是特殊值时，问题得证；想法2：要证AM＝MD，通过第（2）问，可知只需要证明△AMD是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF，易证AD＝CF，通过△ABM≌△CBF，易证AM＝CF，从而解决问题；想法3：通过BC＝BA，∠ABC＝90°，连结AC，易证△ACM≌△ACD，易得△AMD是等腰三角形，因此当∠AMD是特殊值时，问题得证．请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMD是一定度数时，AM＝MD．（一种方法即可）参考答案一．选择题1．解：依题意有（n﹣2）•180°＝720°，解得n＝6．该多边形为六边形，故选：D．2．解：设正多边形的边数为n，由题意得：（n﹣2）•180°＝3×360°，解得：n＝8，故选：D．3．解：∵这个正六边形的外角和等于360°，∴∠1＝360°÷6＝60°．故选：C．4．解：如图：四边形ABCE的内角和为：（4﹣2）×180°＝360°，△ADE的内角和为180°，∴α+β＝360°+180°＝540°．故选：B．5．解：如图，设BC＝x，则CE＝1﹣x，∵两个正方形，∴AB∥EF，∴△ABC∽△FEC，∴，即，解得x＝，∴阴影部分面积为：S△ABC＝×1＝，故选：D．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴△DEF∽△ABE，∴，∵AD＝2DE，∴，∵AB＝CD，∴，∴FC＝2DF，∵AB∥CD，∴△GFC∽△GBA，∴，故选：A．7．解：A．连接AC，由作图知，AF是CD的垂直平分线，则AC＝AD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝AB＝BC，∠ABC＝∠ADC，∴AC＝AD＝CD，∴∠ADC＝60°，∴∠ABC＝60°，故A选项正确；B．∵AB＝2，∴AD＝2，∵AM垂直平分CD，∴DM＝CD＝1，∠AMD＝90°，∴AM＝，∵AB∥CD，∴∠BAM＝∠AMD＝90°，∴BM＝，故B选项错误；C．∵BC＝CD，CD＝2CM，∴BC＝2CM，故C选项正确；D．∵，AB•AM，∴S△ABM＝2S△ADM，故D选项正确．故选：B．8．解：设所求多边形边数为n，则（n﹣2）•180°＝1800°，解得n＝12．故选：A．9．解：根据多边形的内角和定理可得：正六边形的每个内角的度数＝（6﹣2）×180°÷6＝120°．故选：B．10．解：设AB＝x，则BC＝2x，∵矩形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2x，∴BD＝＝x，∵EF⊥BD，∴∠EFD＝∠A＝90°，∵∠EDF＝∠BDA，∴△EDF∽△BDA，∴＝，即＝，∴DE＝．故选：B．二．填空题（共10小题）11．解：如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，经测量AE≈0.7cm，BC≈1.1cm，S＝BC•DE＝1.1×0.7≈0.8（cm2），▱ABCD故答案为：0.8．12．解：由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°，故答案为：360．13．解：如图，作线段MN的垂直平分线交AD于P，交AB于Q．∵PQ垂直平分线段MN，∴PM＝PN，QM＝QN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠PAN＝∠QAN＝45°，∴∠APQ＝∠AQP＝45°，∴AP＝AQ，∴AC垂直平分线段PQ，∴MP＝MQ，∴四边形PMQN是菱形，在MN运动过程中，这样的菱形有无数个，当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形，∴①②④正确，故答案为①②④．14．解：根据图形可得：m（a+b）＝ma+mb．故答案为：m（a+b）＝ma+mb．15．解：连接AC、BD，如图所示：测量得：AC≈3.05cm，BD≈1.7m，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD≈×3.05×1.7≈2.6（cm2）；故答案为：2.6．16．解：∵∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠E，∴五边形ABCDE是正多边形，∵正多边形的外角和是360°，∴∠CBF＝360°÷5＝72°．故答案为：72°．17．解：∵AB∥CD，∴∠A+∠B＝180°，∴∠4+∠5＝180°，根据多边形的外角和定理得，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°．故答案为：180．18．解：①如图1所示：∵点M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA的中点，∴MN是△ABC的中位线，PQ是△ADC的中位线，MQ是△ABD的中位线，PN是△BCD的中位线，∴MN∥AC，MN＝AC，PQ∥AC，PQ＝AC，MQ＝BD，∴MN∥PQ，MN＝PQ，∴四边形MNPQ是平行四边形，①正确；②如图2所示：若四边形ABCD是平行四边形，点M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则四边形MNPQ是平行四边形，四边形ABNQ是平行四边形，∴MP与NQ互相平分，∴NQ的中点就是AC的中点，则MP与NQ交于点O，②正确；③若四边形ABCD是矩形，则AC＝BD，∴MN＝MQ，∴四边形MNPQ是菱形，不是矩形；③不正确；④∵四边形ABCD中，若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形MNPQ是正方形，∴若四边形MNPQ是正方形，则四边形ABCD不一定是正方形，④不正确；故答案为：①②．19．解：如图，当点P在AD上，且点E在点F上方时，过点PH⊥EF于H，∵△PEF是等边三角形，PH⊥EF，∴∠PEF＝60°，PE＝PF＝EF＝2，EH＝FH＝1，∴PH＝，∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，∴∠DAC＝45°，AC＝AB＝4，∵PH⊥AC，∴∠APH＝∠PAH＝45°，∴AH＝PH＝，∴AE＝﹣1，若点E在点F下方，则AE＝+1，同理可得：当点P在AB上时，AE＝﹣1或AE＝+1，当点P在CD或BC上时，AE＝4﹣2﹣（﹣1）＝4﹣﹣1或4﹣+1，故答案为：4，4﹣﹣1或4﹣+1或﹣1或+1．20．解：①如图1中，取OQ的中点H，连接PH．∵t＝1，∴AQ＝PB＝1，∵B（3，0），∴OB＝3，∵△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝3，∴OQ＝4，∵OH＝HQ＝AQ＝2，∴OH＝OP＝2，∵∠HOP＝60°，∴△HOP是等边三角形，∴PH＝OH＝HQ，∴PH＝OQ，∴△OPQ是直角三角形．故①正确，②当t＝2时，如图2中，由题意PB＝AQ＝2，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°，∵∠PBE＝60°，∴BE＝PB＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2，∴AE＝AQ＝2，∵四边形AEMQ是平行四边形，AQ＝AE，∴四边形AEMQ是菱形，∵∠QAE＝120°，∴∠MAE＝∠MAQ＝60°，∴△MAE是等边三角形，∴MA＝ME＜BM，∴点M不在AB的垂直平分线上，∴点M不在∠AOB的角平分线上，故②错误，③如图3中，作PM∥OA交AB于M．∵PM∥OA，∴∠BMP＝∠BAO＝60°，∠BPM＝∠AOB＝60°，∴△PMB是等边三角形，∴PB＝PM＝AQ，∵PE⊥BM，∴EM＝BM，∵∠AQD＝∠MPD，∠ADQ＝∠MQP，AQ＝PM，∴△ADQ≌△MDP（AAS），∴AD＝DM，∴DE＝DM+ME＝AM+BM＝（AM+BM）＝AB，故③正确，故答案为①③．三．解答题（共8小题）21．解：（1）学过的特殊四边形中是勾股四边形的有矩形，正方形；故答案为：矩形，正方形；（2）如图，（3）线段DC，AC，BC的数量关系为：DC2+BC2＝AC2．证明：如图2，连接CE，由旋转得：△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE，又∵∠CBE＝60°，∴△CBE为等边三角形，∴BC＝CE，∠BCE＝60°，∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝∠DCB+∠BCE＝30°+60°＝90°，∴DC2+EC2＝DE2，∴DC2+BC2＝AC2．故答案为：DC2+BC2＝AC2．22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∵DF＝BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）证明：∵四边形BFDE是矩形，∴∠BFC＝∠BFD＝90°，∵CF＝6，tan C＝＝，∴BF＝CF＝8，∴BC＝＝＝10，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC＝10，∴∠BAF＝∠DFA，∵DC＝16，∴DF＝DC﹣CF＝16﹣6＝10，∴AD＝DF，∴∠DAF＝∠DFA，∴∠BAF＝∠DAF，∴AF平分∠DAB．23．解：（1）四边形ACED是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∵又CE＝AD，∴四边形ACED是平行四边形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC＝∠ADC，∴∠ACD＝∠ADC．∴AC＝AD，∴四边形ACED是菱形；（2）∵tan B＝，∴∠B＝60°．∵AB∥BD，∴∠DCE＝∠B＝60°．∵四边形ACED是菱形，∴AC＝CE＝10，AE⊥DC，AE＝2EF，∴Rt△CFE中，∠DCE＝60°，∴∠CEF＝30°，∴CF＝CE＝5，由勾股定理得EF＝．∴AE＝．24．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∵AD＝BD，∴BD＝BC，∵CE∥BD，AD∥BC，∴四边形BDEC是平行四边形，又∵BD＝BC，∴四边形BDEC是菱形；（2）如图，连接BE交CD于O，∵四边形BDEC是菱形，∴DO＝CO＝CD＝1，BO＝BE，CD⊥BE，在Rt△BDO中，AD＝BD＝4，DO＝1，∴BO＝＝＝，∴BE＝2BO＝2．25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形；（2）解：如图所示：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝5，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∴∠DEC＝∠CDE，∴CD＝CE＝5，∴BE＝BC﹣CE＝8﹣5＝3，∵AE⊥BC，AD∥BC，∴∠AEB＝∠EAD＝90°，由勾股定理得：AE＝＝＝4，∴tan∠ADE＝＝＝．26．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED．∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE．∴∠CED＝∠CDE，∴EC＝DC，∵AD＝DC，∴AD＝EC，又∵AD∥EC，∴四边形AECD是平行四边形，∴四边形AECD是菱形．（2）解：如图所示：∵四边形AECD是菱形，∴AC⊥DE，．∴∠EFC＝90°，在Rt△EFC中，cos∠FCE＝＝，∴∠FCE＝30°，∵∠ABC＝90°，∴．27．解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC，∵BE＝DF，∴AD+DF＝AB+BE，即AF＝AE，∵∠DAC＝∠BAC，∴AG⊥EF；（2）如图，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，由（1）可知：AG⊥EF，∵BM⊥EF，∴四边形BOGM是矩形，∴GM＝OB＝BD＝1，OA＝OC＝AC，∵C为AG中点，∴AC＝CG，∴＝，∵BD∥EG，∴＝，即＝，∴EM＝3．所以EM的长为3．28．解：（1）由题意画出图形如图1，（2）如图1，∵∠BAM＝15°，∠ABC＝90°，∴∠AMB＝90°﹣15°＝75°，∵线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，∴CM＝CD，∠MCD＝90°，∴∠CMD＝∠MDC＝45°，∴∠AMD＝180°﹣∠AMB﹣∠DMC＝180°﹣75°﹣45°＝60°．故答案为：60°．（3）当∠AMB＝75°时，AM＝DM．想法1证明：如图2，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E，∵∠AEC＝∠C＝∠ABC＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCE正方形，∴AB＝AE，BC＝CE，由（2）可知CM＝CD，∴BM＝DE，∴△ABM≌△AED（SAS），∴AM＝AD，由（2）可知∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．想法2证明：如图3，过点C作CF∥AD交AB于点F，∵AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD＝CF，AF＝CD，∵AB＝AF+BF，BC＝BM+CM，AB＝BC，∴CD+BF＝BM+CM，∵CD＝CM，∴BF＝BM，又∵AB＝BC，∠FBC＝∠MBC＝90°，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∴AM＝AD，又∵∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．想法3证明：如图4，连接AC，∵BC＝AB，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠ACD＝45°，又∵CM＝CD，AC＝AC，∴△ACM≌△ACD（SAS），∴AM＝AD，∵∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．。

2024北京西城区初三一模数学试卷和答案

2024北京西城区初三一模数学试卷和答案

2024北京西城初三一模数 学考生须知：1. 本试卷共7页，共两部分， 28道题．满分 100分．考试时间120分钟．2. 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上， 在试卷上作答无效．4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5. 考试结束， 将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．第一部分 选择题一、选择题 (共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）A. 圆锥B. 三棱柱C. 三棱锥D. 四棱锥2. 2024年5.5G 技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G 初期的1Gbps 提升到10Gbps ，给我们的智慧生活“提速”.其中10Gbps 表示每秒传输10000000000 位(bit )的数据. 将10000000000用科学记数法表示应为（ ）A.110.110⨯ B. 10110⨯ C. 11110⨯ D. 91010⨯3. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.4. 直尺和三角板如图摆放，若155∠=︒，则2∠的大小为（ ）A. 35︒B. 55︒C. 135︒D. 145︒5. 不透明袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到蓝球的概率为（ ）A.14B.13C. 12D.236. 已知21a -<<-， 则下列结论正确的是（ ）A. 12a a <<-< B. 12a a <<-< C. 12a a <-<<D.12a a -<<<7. 若关于x 的一元二次方程 220kx x +-=有两个实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A. 18k ≤- B. 18k >-且0k ≠ C. 18k ≥-且0k ≠ D. 14k ≥-且0k ≠8. 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BC a =，AC b = (其中a b <)．CD AB ⊥于点D ，点E 在边AB 上，.BE BC = 设CD h =，AD m =，BD n =， 给出下面三个结论∶①()²²²n h m n +<+；②2222h m n >+；③AE 的长是关于 x 的方程 2220x ax b +-=的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③第二部分 非选择题二、填空题 (共16分，每题2分)9. 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是______．10. 分解因式：21236x y xy y -+=______．11. 方程43312x x =--的解为______.12. 在平面直角坐标系xOy 中，若函数()0ky k x=≠的图象经过点()1,8-和()2,n ， 则n 的值为______．13. 如图， 在ABCD Y 中，点E 在边AD 上，BA ，CE 的延长线交于点F ．若1AF =，2AB =， 则AEED= ．14. 如图， 在O 的内接四边形ABCD 中， 点A 是 BD的中点，连接AC ， 若130DAB ∠=︒，则ACB =∠_______︒．15. 如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD ，点A ，B ，C 在同一直线上， 点1O ，2O 分别为两个正六边形的中心． 则2tan O AC ∠的值为______．16. 将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为______，第37个空格所填入的数为______．3717. 计算： 112sin605-⎛⎫-+︒- ⎪⎝⎭．18. 解不等式组: ()21521.32x x x x ⎧+<+⎪⎨+-≥⎪⎩，19. 已知 240x x --=，求代数式2(2)(1)(3)x x x -+-+的值.20.如图，点E 在ABCD Y 的对角线DB 的延长线上，AE AD =，AF BD ⊥于点F ，EG BC ∥交AF 的延长线于点G ，连接DG ．（1）求证: 四边形AEGD 是菱形；（2）若 1tan 42AF BF AEF AB =∠==，，求菱形AEGD 的面积．21. 某学校组织学生社团活动，打算恰好用1000元经费购买围棋和象棋，其中围棋每套40元，象棋每套30元．所购买围棋的套数能否是所购买象棋套数的2倍?若能，请求出所购买的围棋和象棋的套数，若不能，请说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()()3,5,2,0A B -， 且与y 轴交于点 C ．（1）求该函数的解析式及点C 的坐标；（2）当2x <时， 对于x 的每一个值， 函数3y x n =-+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．23. 某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦(每串冰糖葫芦由5颗山楂制成)．同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到7.6kg 的山楂．甲、乙两位同学各随机分到了15颗山楂，他们测量了每颗山楂的重量(单位：g )，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ． 甲同学的山楂重量的折线图：b ． 乙同学的山楂重量：8， 8.8， 8.9， 9.4， 9.4， 9.4， 9.6， 9.6， 9.6， 9.8， 10， 10， 10， 10， 10c ． 甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数甲9.5m 9.2乙9.59.6n根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m ， n 的值；（2）对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量的方差越小，则认为这串山楂的品相越好．①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦．据此推断：品相更好的是 (填写“甲”或“乙”)；甲9.29.29.29.29.1乙9.49.49.48.98.8②甲同学从剩余的 10颗山楂中选出5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大．他已经选定的三颗山楂的重量分别为9.4，9.5，9.6，则选出的另外两颗山楂的重量分别为 和 ；（3）估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦．24. 如图， AB 为O 的直径， 弦CD AB ⊥于点H ，O 的切线CE 与BA 的延长线交于点E ， AF CE ∥， AF 与O 的交点为F .（1）求证: AF CD =；（2）若O 的半径为6， 2AH OH =，求AE 的长．25. 如图，点O 为边长为1的等边三角形ABC 的外心． 线段PQ 经过点O ，交边AB 于点P ， 交边AC 于点Q ． 若 12:APQ ABC AP x AQ y S S y ===，，，下表给出了x ，1y ，2y 的一些数据 (近似值精确到0.0001)．x0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.9511y 10.84620.750.68420.63640.60.57140.54840.52940.51350.52y 0.46540.450.44470.44550.450.45710.46610.47650.48780.5（1）补全表格；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中描出了部分点()()12,,x y x y ，．请补全表格中数据的对应点，并分别画出1y 与2y 关于x 的函数图象；（3）结合函数图象，解决下列问题：①当APQ △是等腰三角形时，1y 关于x 的函数图象上的对应点记为(),a b ，请在x 轴上标出横坐标为a 的点；②当2y 取最大值时，x 的值为 ．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点 ()()()2,2,,A y B y C m y -₁，₂，₃在抛物线 ²3y ax bx =++(0)a >上．设抛物线的对称轴为直线x =t ．（1）若 3y =₁，求t 的值；（2）若当 12t m t +<<+时，都有 y y y >>₁₃₂，求t 的取值范围．27. 在 ABC 中， 45ABC ACB ∠=∠=︒，AM BC ⊥于点M .D 是射线AB 上的动点 (不与点 A ， B 重合)， 点 E 在射线AC 上且满足 AE AD =，过点D 作直线BE 的垂线交直线BC 于点F ， 垂足为点 G ， 直线BE 交射线AM 于点P ．（1）如图1， 若点D 在线段AB 上， 当 AP AE =时，求 BDF ∠的大小；（2）如图2，若点D 在线段AB 的延长线上，依题意补全图形，用等式表示线段CF ，MP ，AB 的数量关系， 并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，已知O 的半径为1．对于O 上的点 P 和平面内的直线:l y ax =给出如下定义：点P 关于直线l 的对称点记为P '，若射线OP 上的点Q 满足OQ PP ='，则称点Q 为点P 关于直线l 的“衍生点”．（1）当0a =时，已知O 上两点 121.2P P ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，在点()112Q ，，232Q ⎫⎪⎪⎭， ()(341,1Q Q --，中，点1P 关于直线l 的“衍生点”是 ，点2P 关于直线l 的“衍生点”是 ；（2）P 为O 上任意一点， 直线y x m =+ ()0m ≠与x 轴， y 轴的交点分别为点 A ，B ． 若线段AB 上存在点S ，T ，使得点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”，点T 不是点P 关于直线l 的“衍生点”，直接写出m 的取值范围；（3）当11a -≤≤时，若过原点的直线s 上存在线段 MN ，对于线段 MN 上任意一点R ，都存在O 上的点P 和直线l ，使得点R 是点P 关于直线l 的“衍生点”． 将线段MN 长度的最大值记为()D s ，对于所有的直线s ，直接写出()D s 的最小值．参考答案第一部分 选择题一、选择题 (共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 【答案】C【分析】本题考查了几何体的侧面展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．根据侧面展开图为4个三角形，所以该几何体是三棱锥．【详解】解：∵侧面展开图为4个三角形，∴该几何体是三棱锥，故选C ．2. 【答案】B【分析】此题考查科学记数法的表示方法：10n a ⨯，110a ≤<，n 是整数，大于10的数的整数位数减去1即是n 的值，据此解答．【详解】1010000000000110=⨯，故选：B ．3. 【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．【详解】解：A ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；B ．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；C ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项符合题意；D ．既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项合题意．故选：D ．4. 【答案】D【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．根据平行线的性质得到3435∠∠==︒，再由邻补角互补即可得出结果．【详解】解：如图所示：1+3=90∠∠︒，∵155∠=︒，∴335∠=︒，由题意得，直尺的两边平行，∴3435∠∠==︒，∴21804145=︒-=︒∠∠，故选D ．5. 【答案】A【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及两次都摸到蓝球的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：列表如下：红蓝红（红，红）（红，蓝）蓝（蓝，红）（蓝，蓝）共有4种等可能的结果，其中两次都摸到蓝球的结果有1种，∴两次都摸到蓝球的概率为14．故选：A ．6. 【答案】A【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．由21a -<<-，可得12a <-<，然后判断作答即可．【详解】解：∵21a -<<-，∴12a <-<， ∴12a a <<-<，故选：A ．7. 【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得()2Δ1420k =-⨯-≥ 且0k ≠，求出k 的取值范围即可．【详解】解：∵一元二次方程220kx x +-=有两个实数根，∴()2Δ14200k k ⎧=-⨯-≥⎨≠⎩，∴18k ≥-且0k ≠，故选C ．8. 【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理，公式法解一元二次方程，关键在于找出各边的几何关系．【详解】解：∵在Rt BDC 中，222BD CD BC +=，即222n h a +=，在Rt ABC 中，222BC AC AB +=，即()222a b m n +=+，∴()222222n h a a b m n +=<+=+ ，即()²²²n h m n +<+，故①正确．∵在Rt BDC 中，222n a h =-，在Rt ADC 中，222m b h =-，∴222222n m a b h +=+-，又∵在Rt ABC 中，()222a b m n +=+，∴()22222n m m n h +=+-，即2222222n m n m mn h +=++-，即222mn h =，∴()()()222222220m nh m n mn m n m n +-=+-=->≠，∴2222m n h +>，故②错误．∵DE BE BD BC BD a n =-=-=-，∴()AE AD DE m a n m n a =-=--=+-，∵2220x ax b +-=的实数根为：()()222a m n x a m n -±+===-±+，∴AE 的长是关于 x 的方程 2220x axb +-=的一个实数根，故③正确．综上①③正确，故选：B ．第二部分 非选择题二、填空题 (共16分，每题2分)9. 【答案】3x ≥【分析】此题主要考查了分式有意义及二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．由分式有意义及二次根式有意义的条件，进而得出x 的取值范围．【详解】由二次根式的概念，可知30x -≥，解得3x ≥.故答案为：3x ≥10. 【答案】()26y x -【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再运用完全平方公式进行分解即可．【详解】解：()()222123612366x y xy y y x x y x -+=-+=-．故答案为：()26y x -．11. 【答案】=1x -【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解法是解决本题的关键．先去分母，转化为一元整式方程，再求解即可．【详解】解：()()42331x x -=-，4893x x -=-，解得：=1x -，经检验：=1x -是原方程的根，所以，原方程的根为：=1x -，故答案为：=1x -．12. 【答案】4-【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意，()1,8-和点()2,n ，都满足解析式()0k y k x=≠，即可求解．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．【详解】解：∵反比例函数()0k y k x =≠的图象经过点()1,8-和()2,n ，∴182n -⨯=，解得：n =-4故答案为：4-．13. 【答案】12【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由FAE CDE ∽，推出AE AF DE CD=．由平行四边形的性质得到AB CD ∥，2CD AB ==，推出FAE CDE ∽，得到AE AF DE CD=，而1AF =，于是得到12AE DE =．【详解】解： 四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴∥，2CD AB ==，FAE CDE ∴∽，∴AE AF DE CD=，1AF =Q ，∴12AE DE =．故答案为：12．14. 【答案】25【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理等知识，利用圆的内接四边形的性质求出BCD ∠的性质，然后利用圆周角定理求解即可．【详解】解：∵O 的内接四边形ABCD 中，130DAB ∠=︒，∴18500DA BCD B ∠︒∠==︒-，∵点A 是 BD的中点，∴ AD AB =，∴1252ACD ACB BCD ∠=∠=∠=︒，故答案为：25．15. 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．连接2O C ，过2O 点作2O E BC ⊥，垂足为E ，根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可．【详解】解：如图，连接2O C ，过2O 点作2O E BC ⊥，垂足为E ，设正六边形的边长为a ，则112O A O B O C a ===，在2Rt O CE 中，22,3606230O C a CO E =∠=︒÷÷=︒，∴21122EC O C a BE ===，22O E C ==，∴15222AE a a a =+=，∴22tan O E O AC AE ∠==．16. 【答案】 ①. 1 ②. 19【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握四则运算法则是解题关键．根据第1个数是第2个数的倍数可得第2个空格所填入的数；先得出这37个数的和也是第37个数的倍数，再求出这37个数的和，由此即可得．【详解】解：∵第1个空格填入37，第1个数是第2个数的倍数，∴第2个空格所填入的数为1，∵前36个数的和是第37个数的倍数，∴这37个数的和也是第37个数的倍数，又∵12337++++ ()()()137236182019=+++++++ 381819=⨯+703=3719=⨯，∴第37个空格所填入的数为19，故答案为：1，19．17. 【答案】5-【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先计算绝对值，负整数指数幂，代入三角函数值，化简二次根式，再合并即可．【详解】解∶112sin605-⎛⎫-+︒⎪⎝⎭52=+-=5-．18. 【答案】3x<【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．分别求出两个不等式的解，再求公共解，即得答案．【详解】原不等式组为()2152132x xx x⎧+<+⎪⎨+-≥⎪⎩①②解不等式①，得3x<，解不等式②，得7x≤，∴原不等式组的解集为3x<．19. 【答案】9【分析】本题考查了整式的化简求值，利用整体代入法解答是解题的关键．先化简原式，再将²40x x--=变形为24x x-=，最后将24x x-=以整体的形式代入原式，即得答案．【详解】2(2)(1)(3)x x x-+-+22(44)(23)x x x x=-+++-2221x x=-+，²40x x--=，24x x∴-=，∴原式22()19x x=-+=．20. 【答案】（1）见详解（2）32【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得出EF DF=，再证GEF△和ADF△全等，得出EF DF=，于是根据对角线相互平分的四边形AEGD是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出四边形AEGD是菱形；（2）分别求出AF 、EF 的长，即可得出对角线AG 、ED 的长，根据菱形的面积公式计算即可．【小问1详解】证明：AE AD = ，AF BD ⊥，EF DF ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，EG BC ∥，AD EG ∴∥，GEF ADF ∴∠=∠，在GEF △和ADF △中，GEF ADFEF DF EFG DFA∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(ASA)GEF ADF ∴△≌△，∴=GF AF ，EF DF = ，∴四边形AEGD 是平行四边形，AE AD = ，∴四边形AEGD 是菱形；【小问2详解】解：AF BD ⊥ ，AF BF =，AFB ∴ 是等腰直角三角形，4AB = ，∴由勾股定理得，4AF BF AB ====1tan 2AEF ∠= ，∴12AFEF =，12=，EF ∴=，四边形AEGD 是菱形，2AG AF ∴==2ED EF ==∴菱形AEGD 32=．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数，菱形的面积等，熟练掌握这些知识点是解题的关键．21. 【答案】购买围棋的套数不能是所购买象棋套数的2倍，理由见解析【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．设购买x 套围棋，y 套象棋，假设所购买围棋的套数能是所购买象棋套数的2倍，依题意得，403010002x y x y +=⎧⎨=⎩，计算求解，然后判断作答即可．【详解】解：设购买x 套围棋，y 套象棋，假设所购买围棋的套数能是所购买象棋套数的2倍，依题意得，403010002x y x y +=⎧⎨=⎩， 解得，10011y =，∵y 不为正整数，∴不合题意．答：所购买围棋的套数不能是所购买象棋套数的2倍．22. 【答案】（1）函数的解析式为2y x =+，点C 的坐标为()0,2（2）10n ≥【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当0x =时，求出2y =即可求解．（2）根据题意结合解出不等式32x n x -+>+结合2x <，即可求解．【小问1详解】解：将()()3,5,2,0A B -，代入函数解析式得，3520k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得12k b =⎧⎨=⎩，∴函数的解析式为：2y x =+，当0x =时，2y =，∴点C 的坐标为()0,2．【小问2详解】解：由题意得，32x n x -+>+，即24n x -<，又2x <，∴224n -≥，解得：10n ≥，∴n 的取值范围为10n ≥．23.【答案】（1）9.4，10（2）①甲，②9.3，9.6（3）160串【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可求解；（2）①根据方差的定义，即可求解；②根据题意可知，剩余两个山楂的重量应该尽可能大，且接近已有的三个山楂的重量，以保证方差最小，据此解答即可．（3）已知总重量和调查的平均数，用总数量除以调查的平均数先求出大概有多少个山楂，再用山楂数除以每串冰糖葫芦的山楂数即可求出能制作多少串冰糖葫芦．【小问1详解】解：根据甲的折线图可以看出，这组数据从小到大排列，中间第8个数为9.4，也就是说这组数据的中位数为9.4，所以9.4m =；根据乙同学的山楂重量数据可以发现，重量为10克出现的次数最多，也就是说这组数据的众数为10，所以10n =．【小问2详解】解：①根据题意可知甲同学的5个冰糖葫芦重量分布于9.19.2-之间，乙同学的5个冰糖葫芦重量分布于8.89.4-，从中可以看出，甲同学的5个数据比乙同学的5个数据波动较小，所以，甲同学的5个冰糖葫芦重量的方差较小，故甲同学冰糖葫芦品相更好．② 要求数据的差别较小，山楂重量尽可能大，∴可供选择的有9.3、9.6、9.9，当剩余两个为9.3、9.6，这组数据的平均数为9.48，方差为：222221[(9.39.48)(9.49.48)(9.59.48)(9.69.48)(9.69.48)]0.01365-+-+-+-+-⨯=，当剩余两个为9.6、9.9，这组数据的平均数为9.6，方差为：222221[(9.49.6)(9.59.6)(9.69.6)(9.69.6)(9.99.6)]0.0285-+-+-+-+-⨯=，当剩余两个为9.3、9.9，这组数据平均数为9.54，方差为：222221[(9.39.54)(9.49.54)(9.59.54)(9.69.54)(9.99.54)]0.04245-+-+-+-+-⨯=，据此，可发现当剩余两个为9.3、9.6，方差最小，山楂重量也尽可能大．【小问3详解】解：7.6千克7600=克，76009.5800÷=（个)，8005160÷=（串)，答：能制作160串冰糖葫芦．【点睛】本题考查了折线统计图，平均数，众数，中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．24. 【答案】（1）见解析 （2）12【分析】本题考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握切线的性质是解题的关键．（1） 连接OC ，OC 与AF 交于点G ，根据切线的性质得到90OCE ∠=︒，根据垂径定理得到 2AF AG =，然后证明OAG OCH ≌即可得到结论；（2）在Rt OCH 和Rt OCE 运用解直角三角形得到OE 长，然后利用AE OE OA =-解题即可．【小问1详解】证明: 如图， 连接OC ，OC 与AF 交于点 G .∵ CE 与O 相切， 切点为C ，∴CE OC ⊥.∴90OCE ∠=︒ .∵ AF CE ∥，∴ 90OGA OCE ∠∠==︒ .∴ OC AF ⊥于点 G .∴ 2AF AG =.∵CD AB ⊥ 于点 H ，∴90OHC ∠=︒， 2CD CH =.∴OGA OHC ∠∠=.又∵ AOG COH ∠∠=，OA OC =，∴ OAG OCH ≌.∴AG CH =.∴A F CD =；【小问2详解】解: ∵ O 的半径为6， 2AH OH =，∴2OH =， 4AH =.在Rt OCH 中， 190cos .3OHOHC COH OC ∠=︒∠==，在Rt OCE 中， 190cos 63OCE COE OC ∠=︒∠==，，，18cos OCOE COE ∴==∠，∴18612AE OE OA =-=-=.25. 【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）①见解析；②0.5或1【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出此时点Q 在点C 处，从而得出12APQ ABC S S =△△，即可得出答案；（2）根据解析（1）得出的数据，先描点，再连线即可；（3）①连接AO 并延长交BC 于点D ，连接OB ，根据等边三角形的性质求出23OA AD ==，当APQ △是等腰三角形时，AP AQ =，根据60PAQ ∠=︒，证明PAQ △为等边三角形，解直角三角形求出23a =，23b =，在函数图象上描出该点即可；②根据函数图象，得出2y 取最大值时x 的值即可．【小问1详解】解：当0.5x =时，点P 为AB 的中点，∵点O 为边长为1的等边三角形ABC 的外心，∴此时点Q 在点C 处，如图所示：∵ABC 为等边三角形，点P 为AB 的中点，点Q 在点C 处，∴12APQ ABC S S =△△，∴20.5APQABCS y S == ；填报如下：x 0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.9511y 10.84620.750.68420.63640.60.57140.54840.52940.51350.52y 0.50.46540.450.44470.44550.450.45710.46610.47650.48780.5【小问2详解】解：如图所示：【小问3详解】解：①连接AO 并延长交BC 于点D ，连接OB ，如图所示：∵ABC 为等边三角形，点O 为ABC 外心，∴30OBD BAD ∠=∠=︒，AD BC ⊥，1122BD BC ==，OA OB =，∴12OD OB =，AD ===，∴23OA AD ==，当APQ △是等腰三角形时，AP AQ =，∵60PAQ ∠=︒，∴PAQ △为等边三角形，∴60APQ ∠=︒，∴APQ ABC ∠=∠，∴PQ BC ∥，∴90AOP ADB ∠=∠=︒，∴2cos303AOAP ===︒，∴23AQ AP ==，∴23a =，23b =，∴此时在1y 关于x 的函数图象上标出点22,33⎛⎫⎪⎝⎭，如图所示：②根据函数图象可知，函数2y 的最大值为0.5，此时0.5x =或1x =．26. 【答案】（1）1-（2）13t ≤≤【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）把A 点的坐标代入解析式求得2b a =，然后利用对称轴公式即可求得；（2）由题意可知点1(2,)A y -在对称轴的左侧，3(,)C m y 在对称轴的右侧，点1(2,)A y -关于直线x t =的对称点为(22)t +，2(2,)B y 关于直线x t =的对称点为(22)t -，分两种情况讨论，得到关于t 的不等式组，解不等式组从而求得t 的取值范围．【小问1详解】解： 点(2,3)A -在抛物线23(0)y ax bx a =++>上，3423a b ∴=-+，2b a ∴=，12b t a∴=-=-；【小问2详解】解：0a > ，∴抛物线23(0)y ax bx a =++>开口向上，当x t >时，y 随x 的增大而增大，当12t m t +<<+时，都有132y y y >>，∴点1(2,)A y -在对称轴的左侧，3(,)C m y 在对称轴的右侧，点1(2,)A y -，2(2,)B y ，3(,)C m y 在抛物线23(0)y ax bx a =++>上，∴点1(2,)A y -关于直线x t =的对称点为(22)t +，2(2,)B y 关于直线x t =的对称点为(22)t -，当2t ≥时，则222221t t t t +>+⎧⎨-≤+⎩，解得03t <≤，23t ∴≤≤；当2t <时，则22212t t t +>+⎧⎨+≥⎩，解得12t ≤<，综上所述，t 的取值范围为13t ≤≤．27. 【答案】（1）67.5︒（2）2CF MP =，证明见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质求得345∠=︒，再根据等腰三角形性质与三我内角和定理求得267.5∠=︒，然后由余角性质得出2BDF ∠=∠，即可求解．（2）作CQ AP ∥交BE 于点 Q ，利用相似三角形的性质求得2CQ MP =，证明BDF CEQ ≌，得到BF CQ =，由勾股定理得BC ，即可由CF BF BC CQ =+=，得出结论．【小问1详解】解∶如图4．∵在ABC 中，45ABC ACB ∠=∠=︒，∴AB AC =，90BAC ∠=︒，1290∠+∠=︒．∵AM BC ⊥于点 M ， 3452BAC BM CM ∠∴∠==︒=，．∵AP AE =， 180318045267.522︒-∠︒-︒∴∠===︒．∵DF BE ⊥于点 G ，∴190BDF ∠+∠=︒，∴267.5BDF ∠=∠=︒．【小问2详解】解：补全图形，如图5．2CF MP =+．证明∶ 如图5， 作CQ AP ∥交BE 于点 Q ．∵CQ AP ∥，∴BMP BCQ∽∴MP BM CQ BC=，∵BM =CM ， AM ⊥BC ， 1902MP BM BCQ AMC CQ BC ∴==∠=∠=︒ 2518045CQ MP ACB BCQ ∴=∠=︒-∠-∠=︒，．445ABC ∠=∠=︒ ，∴45∠=∠，DBG ABE DG BE ∠=∠⊥ ，于点 G ， 90BAC ∠=︒，∴D E∠=∠ AD AE AB AC == ，，AD AB AE AC ∴-=-， 即BD CE =．∴BDF CEQ≌BF CQ =∶．．CF BF BC BC =+= ，，2CF CQ MP ∴=+=+．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，角平分线有关的角的计算，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．28. 【答案】（1）23Q Q ，（2）2m ≤≤2m -≤≤-（3）2-【分析】（1）先得出直线l 为0y =，根据轴对称得出121,.2P P ''⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，进而可得11PP '=，22P P '=，勾股定理求得点1234,,,Q Q Q Q 与原点的距离，进而根据新定义即可求解；（2）依题意，02PP '≤≤当线段AB 上存在一个点到原点的距离为2时，则符合题意，进而分0,0m m ><画出图形，即可求解；（3）根据题意，画出图形，就点P 的位置，分类讨论，根据新定义即可求解．【小问1详解】解：∵当0a =时，直线l 为0y =，即x 轴，∵121.2P P ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，∴121,.2P P ''⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，∴11PP '=22P P '=，∵()112Q ，， 232Q ⎫⎪⎪⎝⎭， ()(341,1Q Q --，∴1OQ ==，2OQ ==3OQ ==，42OQ ==，∴点1P 关于直线l 的“衍生点”是2Q ，点2P 关于直线l 的“衍生点”是3Q ，故答案为：23Q Q ，．【小问2详解】解：依题意，02PP '≤≤，由（2）可得当点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”则2OS ≤，∵P 为O 上任意一点， 直线y x m =+ ()0m ≠与x 轴， y 轴的交点分别为点 A ，B ．∴OA OB m ==，∴当线段AB 上存在一个点到原点的距离为2时，当0m >时，如图所示，当2OS =时，即S 与B 点重合时，存在点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”，则2m =则AB （除端点外）上所有的点到O 的距离都2<，∵对称轴为直线y ax =，不能为y 轴，则()0,2和()2,0-不是点P 关于直线l 的“衍生点”，则2m =符合题意，∵线段AB 上存在点S ，T ，使得点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”，点T 不是点P 关于直线l 的“衍生点”，∴m 2≥，当OS y x m '⊥=+，此时OS '最短，则当2OS '=时，m =，此时只有1个点到O 的距离为2，其他的点都不是点P 关于直线l 的“衍生点”，∴2m ≤≤根据对称性，当0m <时，可得2m -≤≤-；综上所述，2m ≤≤2m -≤≤-【小问3详解】∵11a -≤≤时∴随着a 的变化，点P 关于直线l 的对称点P '始终在圆上，如图所示，依题意，直线l 是经过圆心，且经过 AB 的直线，s 经过圆心，①当点P 在 AB （包括边界）上时，当,P P '重合时，当PP '为直径时，则2OQ PP '==，根据新定义可得02PP '≤≤，∴()2D s =，②当P 点在 AD 的内部的圆弧上时（不包括边界），当PP '为直径时，则2OQ PP '==，则对于线段 MN 上任意一点R ，都存在O 上的点P 和直线l ，使得点R 是点P 关于直线l 的“衍生点”．当P 在y 轴上时，两条边界线的正中间，则PP '，2PP OQ '≤=≤即()2D s =-综上所述，()2D s =．【点睛】本题考查了一次函数，圆的定义，轴对称的性质，勾股定理求线段长，理解新定义，熟练掌握几何变换是解题的关键．。

2020年部编人教版北京初三数学一模试题分类——四边形

2020年部编人教版北京初三数学一模试题分类——四边形

EDB OCA北京2020年初三数学一模试题分类——四边形（门头沟）23． 如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，分别过点C 、D 作CE ∥BD ，DE ∥AC ，CE 和DE 交于点E . （1）求证：四边形ODEC 是矩形；（2）当∠ADB =60°，AD=时，求tan ∠EAD 的值.（平谷）23．如图，BD 是△ABC 的角平分线，点E ，F 分别在BC ，AB 上，且DE ∥AB ，EF ∥AC ． （1）求证：BE =AF ； （2）若∠ABC =60°，BD =12，求DE 的长及四边形ADEF 的面积．（石景山）23．如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，AB 上的点，且AF AE ，连接EF 并延长，交CB 的延长线于点G ，连接BD ． （1）求证：四边形EGBD 是平行四边形；（2）连接AG ，若5FG =，1354K=，求AG 的长．（通州）23．已知菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点E ，点F 在BC 的延长线上，且CF=BC ，连接DF ，点G 是DF 中点，连接CG .求证：四边形 ECGD 是矩形.C DBA GFEBG FOB CD E A （西城）23．如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F ， E 为四边形ABCD 外一点，且∠ADE =∠BAD ，AE ⊥AC ． （1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）如果DA 平分∠BDE ，AB=5，AD=6，求AC 的长．（延庆）23. 如图，点O 是△ABC 内一点，连结OB 、OC ，并将AB 、OB 、OC 、AC 的中点D 、E 、F 、G 依次连结，得到四边形DEFG . （1）求证：四边形DEFG 是平行四边形；（2）如果∠OBC =45°，∠OCB =30°，OC =4，求EF 的长．（燕山）23．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于O 点，DE ∥AC ，CE ∥BD ．（1）求证：四边形OCED 为矩形；（2）在BC 上截取CF ＝CO ，连接OF ，若AC ＝8，BD ＝6，求四边形OFCD 的面积．（朝阳）23. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D作DE ∥AC 且DE=12AC ，连接 CE 、OE ，连接AE 交OD 于点F ．（1）求证：OE =CD ；（2）若菱形ABCD 的边长为2，∠ABC=60°，求AE 的长．D O FECAB（丰台）23．如图，菱形ABCD 中， 分别延长DC ，BC 至点E ，F ，使CE =CD ，CF =CB ，联结DB ，BE ，EF ，FD . （1）求证：四边形DBEF 是矩形；（2）如果∠A ＝60︒，菱形ABCD 的面积为38，求DF 的长．（海淀）23．如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接BE ，∠F =45°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形； （2）若AB =14，DE =8，求sin ∠AEB 的值．（房山）23．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作一条直线分别交DA 、BC的延长线于点E 、F ，连接BE 、DF ． （1）求证：四边形BFDE 是平行四边形；（2）若AB =4，CF =1，∠ABC =60°，求sin DEO ∠的值．（东城）23． 如图，ABC △中，90BCA ∠=︒,CD 是边AB 上的中线，分别过点C ，D 作BA ，BC的平行线交于点E ，且DE 交AC 于点O ，连接AE . （1）求证：四边形ADCE 是菱形； （2）若2AC DE =，求sin CDB Ð的值．FEDCB AA。

2024届北京市部分区重点中学中考四模数学试题含解析

2024届北京市部分区重点中学中考四模数学试题含解析

2024届北京市部分区重点中学中考四模数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知e 是一个单位向量，a 、b 是非零向量，那么下列等式正确的是（ ） A ．a e a =B ．e b b =C ．1a e a= D ．11a b a b= 2．下列运算正确的是（ ）A ．a 6÷a 2=a 3B ．（2a+b ）（2a ﹣b ）=4a 2﹣b 2C ．（﹣a ）2•a 3=a 6D ．5a+2b=7ab 3．如图，点A 所表示的数的绝对值是（ ）A ．3B ．﹣3C ．13D ．13-4．将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2不一定互补的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．汽车刹车后行驶的距离s （单位：m ）关于行驶的时间t （单位：s ）的函数解析式是s=20t ﹣5t 2，汽车刹车后停下来前进的距离是（ ）A ．10mB ．20mC ．30mD ．40m6．下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（ ）A ．23x x ≥⎧⎨>-⎩B ．23x x ≤⎧⎨<-⎩C ．23x x ≥⎧⎨<-⎩D ．23x x ≤⎧⎨>-⎩7．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点E 是△ABC 的内心，过点E 作EF ∥AB 交AC 于点F ，则EF 的长为( )A．52B．154C．83D．1038．下列运算正确的是（）A．a3•a2=a6B．（2a）3=6a3C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．3a2﹣a2=2a29．由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）A．B．C．D．10．已知21xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组71mx nynx my+=⎧⎨-=⎩的解，则m+3n的值是（）A．4 B．6 C．7 D．811．2018年，我国将加大精准扶贫力度，今年再减少农村贫困人口1000万以上，完成异地扶贫搬迁280万人．其中数据280万用科学计数法表示为( )A．2.8×105B．2.8×106C．28×105D．0.28×10712．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．已知一组数据4，x ，5，y ，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数是_____．14．为选拔一名选手参加全国中学生游泳锦标赛自由泳比赛，我市四名中学生参加了男子100米自由泳训练，他们成绩的平均数x 及其方差s 2如下表所示：甲 乙 丙 丁 x1′05″33 1′04″26 1′04″26 1′07″29 s 21.11.11.31.6如果选拔一名学生去参赛，应派_________去．15．.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是_______．16．若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m 2﹣m=0（m ＞0），当m=1、2、3、…、2018时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2018、β2018，则：112220182018111111...αβαβαβ++++++的值为_____．17．如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的0cm 刻度线与量角器的0°线在同一直线上，且直径DC 是直角边BC 的两倍，过点A 作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E ，则点E 在量角器上所对应的度数是____.18．已知关于X 的一元二次方程()2m 2x 2x 10-++=有实数根，则m 的取值范围是____________________三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和－1；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字－1、0和1．小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x ；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y ，设点P 的坐标为（x ，y ）．（1）请用表格或树状图列出点P 所有可能的坐标； （1）求点P 在一次函数y ＝x ＋1图象上的概率．20．（6分）如图，点D ，C 在BF 上，AB ∥EF ，∠A=∠E ，BD=CF ．求证：AB =EF ．21．（6分）某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元.甲 乙 价格(万元/台) 7 5 每台日产量(个)10060(1)按该公司要求可以有几种购买方案？如果该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择什么样的购买方案？ 22．（8分）综合与探究：如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，点()3,1C -在二次函数21332y x bx =-++的图像上．（1）求二次函数的表达式； （2）求点 A ，B 的坐标；（3）把△ABC 沿 x 轴正方向平移， 当点 B 落在抛物线上时， 求△ABC 扫过区域的面积．23．（8分）如图，已知△ABC ，按如下步骤作图：①分别以A 、C 为圆心，以大于AC 的长为半径在AC 两边作弧，交于两点M 、N ； ②连接MN ，分别交AB 、AC 于点D 、O ； ③过C 作CE ∥AB 交MN 于点E ，连接AE 、CD ．（1）求证：四边形ADCE 是菱形；（2）当∠ACB=90°，BC=6，△ADC 的周长为18时，求四边形ADCE 的面积．24．（10分）先化简代数式：222111a a a a a +⎛⎫-÷⎪---⎝⎭，再代入一个你喜欢的数求值. 25．（10分）武汉市某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动,采取随机抽样的方式进行问卷调查,问卷词查的结果分为“非常了解“、“比较了解”、“只听说过”,“不了解”四个等级,划分等级后的数据整理如下表：等级 非常了解 比较了解 只听说过 不了解 频数 40 120 36 4 频率 0.2m0.180.02(1)本次问卷调查取样的样本容量为 ，表中的m 值为 ；(2)在扇形图中完善数据,写出等级及其百分比；根据表中的数据计算等级为“非常了解”的频数在扇形统计图所对应的扇形的圆心角的度数；(3)若该校有学生1500人,请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数约为多少?26．（12分）某报社为了解市民对“社会主义核心价值观”的知晓程度，采取随机抽样的方式进行问卷调查，调查结果分为“A .非常了解”、“B .了解”、“C .基本了解”三个等级，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．这次调查的市民人数为________人，m ＝________，n ＝________；补全条形统计图；若该市约有市民100000人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对“社会主义核心价值观”达到“A .非常了解”的程度．27．（12分）如图所示，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、B【解题分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【题目详解】A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；B. 符合向量的长度及方向，正确；C. 得出的是a的方向不是单位向量，故错误；D. 左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误.故答案选B.【题目点拨】本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.2、B【解题分析】A选项:利用同底数幂的除法法则，底数不变，只把指数相减即可；B选项:利用平方差公式，应先把2a看成一个整体，应等于（2a）2-b2而不是2a2-b2，故本选项错误；C选项:先把（-a）2化为a2，然后利用同底数幂的乘法法则，底数不变，只把指数相加，即可得到；D选项:两项不是同类项，故不能进行合并．【题目详解】A选项:a6÷a2=a4，故本选项错误；B选项:（2a+b）（2a-b）=4a2-b2，故本选项正确；C选项:（-a）2•a3=a5，故本选项错误；D选项:5a与2b不是同类项，不能合并，故本选项错误；故选：B．【题目点拨】考查学生同底数幂的乘除法法则的运用以及对平方差公式的掌握，同时要求学生对同类项进行正确的判断．3、A【解题分析】根据负数的绝对值是其相反数解答即可．【题目详解】|-3|=3，故选A．【题目点拨】此题考查绝对值问题，关键是根据负数的绝对值是其相反数解答．4、D【解题分析】A选项：∠1+∠2=360°－90°×2=180°；B选项：∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，∵∠1+∠4=180°，∴∠1+∠2=180°；C选项：∵∠ABC=∠DEC=90°，∴AB∥DE，∴∠2=∠EFC，∵∠1+∠EFC=180°，∴∠1+∠2=180°；D选项：∠1和∠2不一定互补.故选D.点睛：本题主要掌握平行线的性质与判定定理，关键在于通过角度之间的转化得出∠1和∠2的互补关系.5、B【解题分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．【题目详解】∵s=20t-5t2=-5（t-2）2+20，∴汽车刹车后到停下来前进了20m．故选B．【题目点拨】此题主要考查了利用配方法求最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．6、D【解题分析】此题涉及的知识点是不等式组的表示方法，根据规律可得答案．【题目详解】由解集在数轴上的表示可知，该不等式组为23 xx≤⎧⎨-⎩，故选D．【题目点拨】本题重点考查学生对于在数轴上表示不等式的解集的掌握程度，不等式组的解集的表示方法：大小小大取中间是解题关键．7、A【解题分析】过E作EG∥AB，交AC于G，易得CG=EG，EF=AF，依据△ABC∽△GEF，即可得到EG：EF：GF，根据斜边的长列方程即可得到结论．【题目详解】过E作EG∥BC，交AC于G，则∠BCE=∠CEG．∵CE平分∠BCA，∴∠BCE=∠ACE，∴∠ACE=∠CEG，∴CG=EG，同理可得：EF=AF．∵BC∥GE，AB∥EF，∴∠BCA=∠EGF，∠BAC=∠EFG，∴△ABC∽△GEF．∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴EG：EF：GF=BC：BC：AC=4：3：5，设EG=4k=AG，则EF=3k=CF，FG=5k．∵AC=10，∴3k+5k+4k=10，∴k=56，∴EF=3k=52．故选A．【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构相似三角形以及构造等腰三角形．8、D【解题分析】试题分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加求解求解；根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘求解；根据完全平方公式求解； 根据合并同类项法则求解． 解：A 、a 3•a 2=a 3+2=a 5，故A 错误； B 、（2a ）3=8a 3，故B 错误；C 、（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2，故C 错误；D 、3a 2﹣a 2=2a 2，故D 正确． 故选D ．点评：本题考查了完全平方公式，合并同类项法则，同底数幂的乘法，积的乘方的性质，熟记性质与公式并理清指数的变化是解题的关键． 9、A【解题分析】试题分析：几何体的主视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1. 故选A ． 考点：三视图视频 10、D 【解题分析】分析：根据二元一次方程组的解，直接代入构成含有m 、n 的新方程组，解方程组求出m 、n 的值，代入即可求解. 详解：根据题意，将21x y =⎧⎨=⎩代入71mx ny nx my +=⎧⎨-=⎩，得：2721m n m n +=⎧⎨-+=⎩①②， ①+②，得：m+3n=8， 故选D ．点睛：此题主要考查了二元一次方程组的解，利用代入法求出未知参数是解题关键，比较简单，是常考题型. 11、B 【解题分析】分析：科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．详解：280万这个数用科学记数法可以表示为62.810，⨯ 故选B.点睛：考查科学记数法，掌握绝对值大于1的数的表示方法是解题的关键.12、B【解题分析】【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【题目详解】设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴1.5 150.5x，解得x=45（尺），故选B．【题目点拨】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、1.1【解题分析】【分析】先判断出x，y中至少有一个是1，再用平均数求出x+y=11，即可得出结论．【题目详解】∵一组数据4，x，1，y，7，9的众数为1，∴x，y中至少有一个是1，∵一组数据4，x，1，y，7，9的平均数为6，∴16（4+x+1+y+7+9）=6，∴x+y=11，∴x，y中一个是1，另一个是6，∴这组数为4，1，1，6，7，9，∴这组数据的中位数是12×（1+6）=1.1，故答案为：1.1．【题目点拨】本题考查了众数、平均数、中位数等概念，熟练掌握众数、平均数、中位数的概念、判断出x，y中至少有一个是1是解本题的关键.14、乙【解题分析】∵x丁〉x甲x〉乙＝x丙，∴从乙和丙中选择一人参加比赛，∵S 乙2＜S 丙2，∴选择乙参赛，故答案是：乙．15、【解题分析】先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出 OA ，最后用勾股定理即可得出结论．【题目详解】设圆锥底面圆的半径为 r ，∵AC=6，∠ACB=120°， ∴1206180l π⨯⨯==2πr ， ∴r=2，即：OA=2，在 Rt △AOC 中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，，故答案为．【题目点拨】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面展开图，勾股定理，求出 OA 的长是解本题的关键．16、40362019． 【解题分析】利用根与系数的关系得到α1+β1=-2，α1β1=-1×2；α2+β2=-2，α2β2=-2×3；…α2018+β2018=-2，α2018β2018=-2018×1．把原式变形，再代入，即可求出答案．【题目详解】∵x 2+2x-m 2-m=0，m=1，2，3， (2018)∴由根与系数的关系得：α1+β1=-2，α1β1=-1×2；α2+β2=-2，α2β2=-2×3；…α2018+β2018=-2，α2018β2018=-2018×1．∴原式=3320182018112211223320182018αβαβαβαβαβαβαβαβ+++++++⋯+ =222212233420182019+++⋯+⨯⨯⨯⨯ =2×（111111112233420182019-+-+-+⋯+-）=2×（1-12019） =40362019， 故答案为40362019． 【题目点拨】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 17、60.【解题分析】首先设半圆的圆心为O ，连接OE ，OA ，由题意易得AC 是线段OB 的垂直平分线，即可求得∠AOC ＝∠ABC ＝60°，又由AE 是切线，易证得Rt △AOE ≌Rt △AOC ，继而求得∠AOE 的度数，则可求得答案．【题目详解】设半圆的圆心为O ，连接OE ，OA ，∵CD ＝2OC ＝2BC ，∴OC ＝BC ，∵∠ACB ＝90°，即AC ⊥OB ，∴OA ＝BA ，∴∠AOC ＝∠ABC ，∵∠BAC ＝30°，∴∠AOC ＝∠ABC ＝60°，∵AE 是切线，∴∠AEO ＝90°，∴∠AEO ＝∠ACO ＝90°，∵在Rt △AOE 和Rt △AOC 中， AO AO OE OC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AOE ≌Rt △AOC (HL )，∴∠AOE ＝∠AOC ＝60°，∴∠EOD ＝180°﹣∠AOE ﹣∠AOC ＝60°，∴点E 所对应的量角器上的刻度数是60°，故答案为：60.【题目点拨】本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．18、m≤3且m≠2【解题分析】试题解析：∵一元二次方程()22210m x x -++=有实数根∴4-4（m -2）≥0且m -2≠0解得：m≤3且m≠2.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）见解析；（1）.【解题分析】试题分析：（1）画出树状图（或列表），根据树状图（或表格）列出点P 所有可能的坐标即可；（1）根据（1）的所有结果，计算出这些结果中点P 在一次函数图像上的个数，即可求得点P 在一次函数图像上的概率.试题解析：（1）画树状图：或列表如下：∴点P 所有可能的坐标为（1，-1），（1,0）（1,1）（-1，-1），（-1,0）（-1,1）.∵只有（1,1）与（-1，-1）这两个点在一次函数图像上，∴P（点P在一次函数图像上）=.考点：用（树状图或列表法）求概率.20、见解析【解题分析】试题分析：依据题意，可通过证△ABC≌△EFD来得出AB=EF的结论，两三角形中，已知的条件有AB∥EF即∠B=∠F，∠A=∠E，BD=CF，即BC=DF；可根据AAS判定两三角形全等解题.证明：∵AB∥EF，∴∠B=∠F．又∵BD=CF，∴BC=FD．在△ABC与△EFD中，∴△ABC≌△EFD（AAS），∴AB=EF．21、（1）有3种购买方案①购乙6台，②购甲1台，购乙5台，③购甲2台，购乙4台（2）购买甲种机器1台,购买乙种机器5台,【解题分析】（1）设购买甲种机器x台（x≥0），则购买乙种机器（6-x）台，根据买机器所耗资金不能超过34万元，即购买甲种机器的钱数+购买乙种机器的钱数≤34万元．就可以得到关于x的不等式，就可以求出x的范围．（2）该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，就是已知不等关系：甲种机器生产的零件数+乙种机器生产的零件数≤380件．根据（1）中的三种方案，可以计算出每种方案的需要资金，从而选择出合适的方案．【题目详解】解：(1)设购买甲种机器x台(x≥0),则购买乙种机器(6-x)台依题意,得7x+5(6-x)≤34解这个不等式,得x≤2,即x可取0,1,2三个值.∴该公司按要求可以有以下三种购买方案:方案一:不购买甲种机器,购买乙种机器6台.方案二:购买甲种机器l1台,购买乙种机器5台.方案三:购买甲种机器2台,购买乙种机器4台(2)根据题意,100x+60(6-x)≥380解之得x>12由(1)得x≤2,即12≤x≤2. ∴x 可取1,2俩值.即有以下两种购买方案：购买甲种机器1台,购买乙种机器5台,所耗资金为1×7+5×5=32万元； 购买甲种机器2台,购买乙种机器4台,所耗资金为2×7+4×5=34万元. ∴为了节约资金应选择购买甲种机器1台,购买乙种机器5台,.【题目点拨】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，正确确定各种情况，确定各种方案．22、（1）2113362y x x =-++；（2）(1,0),(0,2)A B -；（3）192． 【解题分析】（1）将点(3,1)C -代入二次函数解析式即可；（2）过点C 作CD x ⊥轴，证明BAO ACD ≅即可得到1,2OA CD OB AD ====即可得出点 A ，B 的坐标； （3）设点E 的坐标为()2(0)E m m ->，，解方程21132362m m -++=-得出四边形ABEF 为平行四边形，求出AC ，AB 的值，通过ABC 扫过区域的面积=EFC ABEF S S ∆+四边形代入计算即可．【题目详解】解：(1)∵点(3,1)C -在二次函数的图象上，21333132b ∴-⨯++=-． 解方程，得16b = ∴二次函数的表达式为2113362y x x =-++． (2)如图1，过点C 作CD x ⊥轴，垂足为D ．90CDA ∴∠=︒90CAD ACD ∴∠+∠=︒．90BAC ∠=︒，90BAO CAD ∴∠+∠=︒BAO ACD ∴∠=∠．在Rt BAO 和Rt ACD △中，∵90BOA ADC BAO ACD AB CA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BAO ACD ∴≅．∵点C 的坐标为(3)1-，， 1,312OA CD OB AD ∴====-=．(1,0),(0,2)A B ∴-．(3)如图2，把ABC ∆沿x 轴正方向平移，当点B 落在抛物线上点E 处时，设点E 的坐标为()2(0)E m m ->，． 解方程21132362m m -++=-得：3m =-(舍去)或72m =由平移的性质知，AB EF =且//AB EF ，∴四边形ABEF 为平行四边形， 72AF BE ∴== 2222215AC AB OB AO ==+=+=．ABC ∴扫过区域的面积=EFC ABEF S S ∆+四边形=171255222OB AF AB AC ⋅+⋅=⨯+⨯⨯ 192=． 【题目点拨】本题考查了二次函数与几何综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理解直角三角形，解题的关键是灵活运用二次函数的性质与几何的性质．23、（1）详见解析；（2）1．【解题分析】（1）利用直线DE 是线段AC 的垂直平分线，得出AC ⊥DE ，即∠AOD=∠COE=90°，从而得出△AOD ≌△COE ，即可得出四边形ADCE 是菱形.（2）利用当∠ACB=90°时，OD ∥BC ，即有△ADO ∽△ABC ，即可由相似三角形的性质和勾股定理得出OD 和AO 的长，即根据菱形的性质得出四边形ADCE 的面积.【题目详解】（1）证明：由题意可知：∵分别以A 、C 为圆心，以大于AC 的长为半径在AC 两边作弧，交于两点M 、N ；∴直线DE 是线段AC 的垂直平分线，∴AC ⊥DE ，即∠AOD=∠COE=90°；且AD=CD 、AO=CO ，又∵CE ∥AB ，∴∠1=∠2，在△AOD 和△COE 中∴△AOD ≌△COE （AAS ），∴OD=OE ，∵A0=CO ，DO=EO ，∴四边形ADCE 是平行四边形，又∵AC ⊥DE ，∴四边形ADCE是菱形；（2）解：当∠ACB=90°时，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，∴又∵BC=6，∴OD=3，又∵△ADC的周长为18，∴AD+AO=9，即AD=9﹣AO，∴可得AO=4，∴DE=6，AC=8，∴【题目点拨】考查线段垂直平分线的性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质等，综合性比较强.24、1 3【解题分析】先根据分式的运算法则进行化简，再代入使分式有意义的值计算. 【题目详解】解：原式2211(1)(1)a aa a a a ⎡⎤+-=-⋅⎢⎥-+-⎣⎦2(1)21(1)(1)a a a a a a+---=⋅+- 11a =+. 使原分式有意义的a 值可取2， 当2a =时，原式11213==+. 【题目点拨】考核知识点：分式的化简求值.掌握分式的运算法则是关键.25、 (1)200；0.6(2)非常了解20%，比较了解60%； 72°；(3) 900人【解题分析】（1）根据非常了解的频数与频率即可求出本次问卷调查取样的样本容量，用1减去各等级的频率即可得到m 值；（2）根据非常了解的频率、比较了解的频率即可求出其百分比，与非常了解的圆心角度数；（3）用全校人数乘以非常了解的频率即可.【题目详解】解：(1) 本次问卷调查取样的样本容量为40÷0.2=200；m=1-0.2-0.18-0.02=0.6 (2)非常了解20%，比较了解60%；非常了解的圆心角度数：360°×20%=72°(3)1500×60%=900(人)答：“比较了解”垃圾分类知识的人数约为900人.【题目点拨】此题主要考查扇形统计图的应用，解题的关键是根据频数与频率求出调查样本的容量.26、 (1)500，12，32；(2)补图见解析；(3)该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“A .非常了解”的程度．【解题分析】（1）根据项目B 的人数以及百分比，即可得到这次调查的市民人数，据此可得项目A ，C 的百分比；（2）根据对“社会主义核心价值观”达到“A ．非常了解”的人数为：32%×500=160，补全条形统计图；（3）根据全市总人数乘以A 项目所占百分比，即可得到该市对“社会主义核心价值观”达到“A 非常了解”的程度的人数．【题目详解】试题分析：试题解析：（1）280÷56%=500人，60÷500=12%，1﹣56%﹣12%=32%， （2）对“社会主义核心价值观”达到“A ．非常了解”的人数为：32%×500=160， 补全条形统计图如下：（3）100000×32%=32000（人），答：该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“A ．非常了解”的程度．27、证明见解析.【解题分析】试题分析：由1=2∠∠，可得,CAB EAD ∠=∠,,AC AE AB AD ==则可证明ABC ADE ≅，因此可得.BC DE = 试题解析：1=2∠∠，12,EAB EAB ∴∠+∠=∠+∠即CAB EAD ∠=∠,在ABC 和ADE 中，{AC AECAB EAD AB AD=∠=∠=(),ABC ADE SAS ∴≅.BC DE ∴=考点：三角形全等的判定．。

2020年部编人教版北京市数学中考一、二模拟题分类汇编：四边形

2020年部编人教版北京市数学中考一、二模拟题分类汇编：四边形

四边形1.（2020顺义一模19）已知：如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点E ，BD DC ⊥，45ABD ∠=︒，30ACD ∠=︒，23AD CD ==，求AC 和BD的长.2.（2020石景山一模19）已知：如图，在四边形ABCD 中，AD DC ⊥，△DBC 是等边三角形，︒=∠45ABD ，2=AD .求四边形ABCD 的周长.3.（2020西城一模19）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ， AC ⊥AB ，AB =2，且AC ︰BD =2︰3． (1) 求AC 的长； (2) 求△AOD 的面积．DCBADCBAE4.（2020平谷一模19）已知：如图，四边形ABCD 中，90A ∠=︒，120D ∠=︒，E 是AD 上一点，∠BED=135°，22BE =，23DC =,23DE =-． 求(1)点C 到直线AD 的距离； （2）线段BC 的长．5.（2020通州一模20）如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC ＝3，△DCE 是等边三角形，DE交AB 于点F ，求△BEF 的周长．6.（2020密云一模19）如图，已知菱形ABCD ，AB=AC ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接AE 、CF（1）证明：四边形AECF 是矩形； （2）若AB=8，求菱形的面积。

DA DFEB C7.（2020门头沟一模19）如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠ADC =120º，AB =AD ，E 是BC 的中点，DE =15，DC =24，求四边形ABCD 的周长．8.（2020丰台一模19）如图，四边形ABCD 中，AB = AD ，∠BAD =90°，∠CBD =30°，∠BCD =45°， 若AB =22.求四边形ABCD 的面积．9.（2020海淀一模19）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ,BD 相交于点E ,DAB ∠=CDB ∠=90︒,ABD ∠=45︒,∠DCA =30︒,6AB =.求AE 的长和△ADE 的面积．ABCD10.（2020怀柔一模19）将一副三角板如图拼接：含30°角的三角板（△ABC）的长直角边与含45°角的三角板（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝23，P是AC上的一个动点，连接DP．（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，求DP的长；（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；11.（2020房山一模19）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,A C=10,试求CD的长．12.（2020朝阳一模19）如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，∠B=60°，AD=6，AB=1033，AB⊥AC,在CD上选取一点E，连接AE，将△ADE沿AE翻折，使点D落在AC上的点F处．求（1）CD的长；（2）DE的长．F BA第19题图13.（2020昌平一模21）已知：如图，在□ABCD 中，∠BAD ，∠ADC 的平分线AE ，DF 分别与线段BC 相交于点E ，F ，AE 与DF 相交于点G ．（1）求证：AE ⊥DF ；（2）若AD =10，AB =6，AE =4，求DF 的长．14.（2020大兴一模19）已知：如图，过正方形ABCD 的顶点B 作直线BE 平行于对角线AC ，AE=AC （E ，C 均在AB 的同侧）.求证：∠CAE=2∠BAE .15.（2020东城一模20）如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED =2∠CED ，点G 是DF 的中点． （1）求证：∠CED =∠DAG ；（2）若BE =1，AG =4，求sin AEB 的值．EDCBA16.（2020燕山一模19）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，∠C＝60°，AD＝3，E为DC 中点，AE∥BC．求BC的长和四边形ABCD的面积．第五章四边形参考答案1.（2020顺义一模19）解：∵BD DC⊥∴90BDC∠=︒∵30ACD∠=︒，AD CD==∴60,30,DEC DAC ACD∠=︒∠=∠=︒tan302DE CD=⋅︒==∴24EC DE==，30ADE∠=︒…………………………………………1分EBACD∴ 2AE DE == ……………………………………………………… 2分- ∴ 246AC AE EC =+=+= ………………………………………………3分过点A 作AM BD ⊥,垂足为M ∵ 60AEB DEC ∠=∠=︒∴ 3sin 60232AM AE =⋅︒=⨯= 1cos60212ME AE =︒=⨯= ………………………………………………4分 ∵45ABD ∠=︒ ∴3BM AM ==∴ 31233BD BM ME DE =++=++=+ …………………………5分2.（2020石景山一模19）解：过点A 作BD AE ⊥于点E ………1分∵AD DC ⊥ ∴︒=∠90ADC ∵△DBC 是等边三角形 ∴︒=∠60BDC∴︒=∠30ADB ………………… 2分 在Rt △AED 中，2=AD ∴121==AD AE 由勾股定理得：3=DE ………………………………3分在Rt △AEB 中，︒=∠45ABD ∴1==AE BE∴2=AB ………………………………4分∴31+=BD∴31+===BD BC DC ∴322432222++=+++=+++AD CD BC AB …………5分 即四边形ABCD 的周长为3224++.3.（2020西城一模19）解：（1）如图2.∵平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O∴OA = 12 AC ，OB = 12 BD . …………… 1分∵AC ︰BD =2︰3， ∴OA ︰OB =2︰3 .设OA =2x (x >0)，则OB =3x .∵AC ⊥AB ，ABCDE图2∴∠BAC =90°.在Rt △OAB 中，OA 2+AB 2=OB 2. …………………………………… 2分 ∵AB =2，∴(2x )2+22=(3x )2. 解得x =±255(舍负).∴AC =2OA = 855. …………………………………………………… 3分（2）∵平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，∴OB =OD .∴S △AOD = S △AOB = 12 AO ·AB = 12×455×2= 455. ……………………… 5分4.（2020平谷一模19）解：（1）作CF ⊥AD 交AD 的延长线于F . …………..1分 ∵ ∠ADC =120°， ∴ ∠CDF =60°.在Rt △CDF 中，3sin 6023 3.2FC CD =⋅︒=⋅=………………………………………2分 即点C 到直线AD 的距离为3. （2）∵ ∠BED=135°，22BE = ∴ ∠AEB =45°. ∵ 90A ∠=︒， ∴ ∠ABE =45°.∴ 2.AB AE == ……………………3分 作BG ⊥CF 于G .可证四边形ABGF 是矩形. ∴ FG =AB =2，CG =CF -FG =1. ∵ 132DF CD ==∴ 2233 4.BG AF AE ED DF ==++=+= ………………………………..4分 ∴ 22224117.BC BG CG =+=+=……………………………………………… 5分5.（2020通州一模20） 解法一：∵矩形ABCD ，△DCE 是等边三角形，∴30ADF ECB ∠=∠=o ，3ED EC ==， 在Rt △ADF 中，90A ∠=o ，3AD =，∴tan AFADF AD∠=，G 第20题图A BDEFtan 33033AF ==o， ∴1AF =，∴312FB AB AF =-=-=，2FD =， ……………… 1分； ∴321EF ED DF =-=-=， ……………… 2分； 过点E 作EG CB ⊥，交CB 的延长线于点G . ……………… 3分； 在Rt △ECG 中，90EGC ∠=o ，3EC =，30ECG ∠=o ， ∴1322EG EC ==，cos GCECG EC∠=， cos 33032GC ==o ， ∴332GC =， ∴3133322GB GC BC =-=-=， 由勾股定理得，222EB EG GB =+，∴3EB =（舍去负值） ……………… 4分； ∴△BEF 的周长=33EF FB EB ++=+. ……………… 5分. 解法二：∵矩形ABCD ，△DCE 是等边三角形，∴60EDC ECD ∠=∠=o ，3ED EC ==，过点E 作EH CD ⊥交CD 于点H ，交AB 于点G . ……………… 1分； ∴点H 是DC 的中点，点G 是AB 的中点， 30FEG ∠=o ，3GH AD ==，在Rt △EHD 中，90EHD ∠=o ，3ED =， ∴sin EH EDH ED∠=， sin 3603EH ==o ∴332EH =∴3133322EG EH GH =-== 在Rt △EGF 中，90EGF ∠=o ，60EFG ∠=o ，H F E D CBA第20题图G∴sin EGEFG EF∠=，sin 60==o ∴1EF =， ……………… 2分；∴1122FG EF ==，∵点G 是AB 的中点，3AB =，∴1322GB AB ==，∴13222FB FG GB =+=+=， ……………… 3分；由勾股定理得，222EB EG GB =+，∴EB = ……………… 4分； ∴△BEF 的周长=3EF FB EB ++=……………… 5分.解法三：∵矩形ABCD ，△DCE 是等边三角形， ∴30ADF ECB ∠=∠=o ，3ED EC ==， 在Rt △ADF 中，90A ∠=o，AD =，∴tan AFADF AD∠=，tan 30==o∴1AF =，∴312FB AB AF =-=-=，2FD =， ……………… 1分； ∴321EF ED DF =-=-=， ……………… 2分； 过点B 作BG CE ⊥，交CE 于点G . ……………… 3分； 在Rt △BCG 中，90BGC ∠=o，BC =，30ECB ∠=o ，∴12BG BC ==，cos GC BCG BC∠=，cos 30==o∴32GC =， G 第20题图ABCDEF∴33322GE EC GC =-=-=， 由勾股定理得，222EB EG GB =+，或BG 是线段EC 的垂直平分线，∴3EB =（舍去负值）或BE =BC ， ………… 4分； ∴△BEF 的周长=33EF FB EB ++=+. ……………… 5分.6.（2020密云一模19）（1）Q 四边形ABCD 是菱形AB BC ∴=又AB AC =QE ∴是BC 的中点AE BC ∴⊥ ……………………………….1分0190∴∠=Q E 、F 分别是AD 、BC 的中点11 , EC=BC 22AF AD ∴= Q 菱形AECF ∴AD ∥BC∴AF ∥EC∴四边形AECF 是平行四边形………………2分又Q 0190∠=∴四边形AECF 是矩形………………………3分（2）在Rt ABE V 中228443AE =-=Q=843=323s ∴⨯菱形……………………5分7.（2020门头沟一模19）解：如图，过点A 作AF ⊥BD 于F ．∵∠BAD =120°，AB =AD ，∴∠ABD =∠ADB =30°．∵∠ADC =120°， ∴∠BDC =∠ADC －∠ADB =12030︒-︒=90°．在Rt △BDC 中，∠BDC =90°，DE =15，E 是BC 的中点，DC =24，∴BC=2DE =30．…………………………………2分∴2222302418BD BC DC =-=-=．………3分 ∵AD =AB ，AF ⊥BD ，∴1118922DF BD ==⨯=． 在Rt △AFD 中，∵∠AFD =90°，∠ADB =30°，∴3963cos cos 30DF DF AD AB ADB ====÷=∠︒．……………………………………4分∴四边形ABCD 的周长=AB +AD +DC +BC 6363243054123=+++=+． ………5分8.（2020丰台一模19）解：过点C 作CE ∥DB ，交AB 的延长线于点E ．∴∠ACE =∠COD =60°． -----------------1分又∵DC ∥AB ， ∴四边形DCEB 为平行四边形．---------------- 2分∴BD =CE ，BE = DC =3，AE =AB +BE =8+3=11． ---------------- 3分又∵DC ∥AB ，AD =BC ，∴DB =AC =CE ．∴△ACE 为等边三角形．∴AC =AE =11， ∠CAB =60°． ----------- 4分过点C 作CH ⊥AE 于点H ．在Rt △ACH 中， CH =AC ·sin ∠CAB =11×23=1132． ∴梯形ABCD 的高为1132． ------------- 5分9.（2020海淀一模19） 解：过点A 作AF ⊥BD 于F .∵∠CDB =90°,∠1=30°,∴∠2=∠3=60°. ………………………1分在△AFB 中，∠AFB =90°.∵∠4=45°，6AB =,∴AF =BF =3.………………………2分在△AFE 中，∠AFE =90°.∴1,2EF AE ==.………………………3分在△ABD 中，∠DAB =90°.∴23DB =.∴31DE DB BF EF =--=-.………………………4分∴1133(31)322ADE S DE AF ∆-=⋅=-⨯=.………………………5分 10.（2020怀柔一模19）解：（1）在Rt△ABC 中，AB ＝23，∠BAC＝30°∴BC＝3，AC ＝3．如图（1），作DF⊥AC∵Rt△ACD 中，AD ＝CD∴DF＝AF ＝CF ＝23 ………………………………………… 1分 ∵BP 平分∠ABC ∴∠PBC＝30° ∴CP＝BC·tan30°＝1 ∴PF＝21 ∴DP＝22DF PF +＝210． ………………………………………… 2分（2）当P 点位置如图（2）所示时，根据（1）中结论，DF ＝23，∠ADF＝45° 又PD ＝BC ＝3 ∴cos∠PDF＝PDDF ＝23 ∴∠PDF＝30°………………………………………… 3分∴∠PDA＝∠ADF－∠PDF＝15°………………………………………… 4分当P 点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF＝30°．∴∠PDA＝∠ADF＋∠PDF＝75°………………………………………… 5分11.（2020房山一模19）解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ． -------------------------1分在△ACB 中，∠ACB =90°, ∠A =60°,AC =10,∴∠ABC =30°, BC =AC tan60°=103, --------------------------------2分 ∵AB ∥CF ，∴∠BCM =30°．∴1sin 30103532BM BC =⋅︒=⨯= ----------------------------3分 3cos3010315CM BC =⋅︒=⨯=-------4分 在△EFD 中，∠F =90°, ∠E =45°,∴∠EDF =45°,∴53MD BM ==．∴1553CD CM MD =-=-． ----------5分12.（2020朝阳一模19）解：（1）∵AB ⊥AC ，∴∠BAC =90°.∵∠B =60°，AB =1033， ∴AC =10. ………………………………………………………………………1分∵∠D =90°,AD =6，∴CD =8. ………………………………………………………………………2分（2）由题意，得∠AFE =∠D=90°，AF=AD =6， EF=DE .∴∠EFC =90°,∴FC =4. … ……………………………………………………………………3分设DE =x ,则EF=x ,CE=8-x .在Rt △EFC 中，由勾股定理,得 2224(8)x x +=-.………………………4分解得x =3.所以DE =3. ……………………………………………………………………5分13.（2020昌平一模21）(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC .∴∠BAD +∠ADC=180°. ……………………………1分 ∵AE 、DF 分别平分∠BAD 、∠ADC ，∴111,222BAD ADC ∠=∠∠=∠ . ∴112()902BAD ADC ∠+∠=∠+∠=︒ .∴∠AGD=90°.∴AE ⊥DF . ……………………………………………2分(2)由（1）知：AD ∥BC ,且BC= AD = 10，DC =AB =6，∠1=∠3,∠2=∠4 .∴∠1=∠AEB ,∠2=∠DFC .∴∠3=∠AEB ,∠4=∠DFC .∴BE=AB =6，CF=DC =6.∴BF =4.∴EF =2. ……………………………………3分∵AD ∥BC ,∴△EFG ∽△ADG .∴15EG EF AG AD ==. ∴145EG EG =-. ∴EG=23. ∴AG=103. ……………………………………4分 由（1）知∠FGE=∠AGD=90°， 由勾股定理，得DG=2023 ，FG=423 .∴DF=82 . ……………5分14.（2020大兴一模19）证明：过A 作AG ⊥BE 于G ，连结BD 交AC 于点O ，………………1分∴ AGBO 是正方形.………………………………………………………2分∴ AG=AO=21AC =21AE ∴ ∠AEG=30°. ………………………………………………………3分∵ BE∥AC，∴ ∠CAE =∠AEG = 30 º.∴ ∠BAE = 45º – 30º = 15º . ∴ ∠CAE = 2∠BAE .……………………………………………………5分15.（2020东城一模20）（本小题满分5分）解：（1）证明：∵ 矩形ABCD ，∴ AD ∥BC .∴ ∠CED =∠ADE .又∵点G 是DF 的中点，∴ AG =DG .∴ ∠DAG =∠ADE .∴ ∠CED =∠DAG . …………………………2分(2) ∵ ∠AED =2∠CED ，∠AGE =2∠DAG ，∴ ∠AED =∠AGE .∴ AE =AG .∵ AG =4，∴ AE =4.在Rt △AEB 中，由勾股定理可求AB =15. E D CB A GO∴ 15sin 4AB AEB AE ∠==. …………………………5分 16.（2020燕山一模19）解： 过E 作EF ⊥BC 于F ，∵∠B ＝90°，∴AB ∥EF ，∵AE ∥BC ，∠B ＝90°，∴四边形 ABCD 是矩形．∵AE ∥BC ，∴∠AED ＝∠C ＝60°．在Rt △ADE 中，∠ADC ＝90°，AD ＝3，∴DE ＝3360tan =︒AD ＝1，AE ＝︒60sin AD ＝2． ………………………1分 又∵E 为DC 中点，∴CE ＝DE ＝1，在Rt △CEF 中，∠CFE ＝90°，∠C ＝60°，∴CF ＝CE ·cos 60°＝21，EF ＝CE ·sin 60°＝23．………………………2分 ∴BC ＝BF ＋CF ＝AE ＋CF ＝2＋21＝25． ………………………3分 ∴四边形ABCD 的面积ABCD S 四边形＝ADE S ∆＋ABCE S 梯形＝21AD ·DE ＋21(AE ＋ BC )·EF ＝21×3×1＋21×(2＋25)×23 ＝8313． ………………………5分。

北京中考一模数学试题分类 四边形

北京中考一模数学试题分类 四边形

（2016年北京市海淀区一模数学22题）22．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点B 作AC的平行线交DC 的延长线于点E . （1）求证：BD=BE ；（2）若BE =10，CE =6，连接OE ，求tan ∠OED 的值.（2016年北京市东城区一模数学22题）22．如图：在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线交BC 于点E （尺规作图的痕迹保留在图中了）， 连接EF ． （1）求证：四边形ABEF 为菱形；（2）AE ，BF 相交于点O ，若BF =6，AB =5，求AE 的长．O ED ABC（ 2016年北京市西城区一模数学21题）21．如图，在ABCD 中，过点A 作AE DC ⊥交DC 的延长线于点E ，过点D 作DF EA交BA 的延长线于点F ．（1）求证：四边形AEDF 是矩形；（2）连接BD ，若2AB AE ==，25tan FAD ∠=，求BD 的长．D（ 2016年北京市朝阳区一模数学22题）22．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在BC 边上，点F 在BC 延长线上，且∠CDF =∠BAE ． （1）求证：四边形AEFD 是平行四边形 ； （2）若DF =3，DE =4，AD =5，求CD 的长度．（ 2016年北京市丰台区一模数学22题）22. 如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，∠ABC 的平分线交AD 于点F ，AE与BF 相交于点O ，连接EF ．FEDCB A（1）求证：四边形ABEF 是菱形； （2）若AE= 6，BF = 8，CE = 3，求□ABCD 的面积．（ 2016年北京市石景山区一模数学23题）23．如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，过点B 作AC 的平行线交∠CAB 的平分线于点D ，过点D 作AB 的平行线交AC 于点E ，交BC 于点F ，连接BE ，交AD 于点G ． （1）求证：四边形ABDE 是菱形； （2）若BD =14，cos ∠GBH =87，求GH 的长．OFEDCBAHGF E DCB A（ 2016年北京市顺义区一模数学23题）23．如图，已知,E F 分别是ABCD 的边BC AD 、上的点，且BE DF ．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形； （2）若10BC ，90BAC ，且四边形AECF 是；菱形，求BE 的长．（ 2016年北京市通州区一模数学压轴题）23．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）如果点E是AB的中点，AC=4，EC=2.5，求四边形ABCD的面积．（ 2016年北京市怀柔区一模数学压轴题）（ 2016年北京市密云县一模数学压轴题）（ 2016年北京市平谷区一模数学压轴题）22．如图，□ABCD，点E是BC边的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC=∠DEC，连接CF，DE．（1）求证：四边形DECF是平行四边形；（2）若AB=13，DF=14，12tan5A ，求CF的长．FPFECDAB 23．如图，在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于E ，过E 做EF ⊥AD 于F ，连接BF 交AE 于P ，连接PD ．（1）求证：四边形ABEF 是正方形； （2）如果AB =4，AD =7，求tan ∠ADP 的值．（ 2016年北京市房山区一模数学压轴题） 22. 如图，在ABCD 中，E 为BC 中点，过点E 作 AB EG ⊥于G ，连结DG ，延长DC ，交GE 的延长线于点H.已知10BC =,45GDH ∠=︒，DG 82=.求 CD 的长.（ 2016年北京市延庆区一模数学压轴题）24. 如图，甲船在港口P 的南偏西60︒方向，距港口86海里的A 处，沿AP 方向以每小时15海里的速度匀速驶向港口P ．乙船从港口P 出发，沿南偏东45︒方向匀速驶离港口P ，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．（结果精确到1.414≈ 1.732≈ 2.236≈）（ 2016年北京市燕山区一模数学压轴题）22．如图，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，分别过点B ，D 作AD ，AB 的平行线交于点E ，且ED 交AC 于点F ，AD ＝2DF ． (1) 求证：四边形ABED 为菱形；(2) 若BD ＝6，∠E ＝60°，求四边形ABED 的面积．AFA C BED。

2021北京初三一模数学汇编：四边形(教师版)

2021北京初三一模数学汇编：四边形(教师版)

2021北京初三一模数学汇编：四边形1．（2021•燕山一模）如图，在ABCD中，AC，BD交于点O，且AO BO=．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）BDC∠的平分线DM交BC于点M，当3AB=，3tan4DBC∠=时，求CM的长．2．（2021•通州区一模）如图，在四边形ABCD中，90BCD∠=︒，对角线AC，BD相交于点N．点M是对角线BD中点，连接AM，CM．如果AM DC=，AB AC⊥，且AB AC=．（1）求证：四边形AMCD是平行四边形．（2）求tan DBC∠的值．3．（2021•西城区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，2CE DE BC==．DC的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．（1）求证：四边形AFGD为菱形；（2）连接AG，若2BC=，3tan2B=，求AG的长．4．（2021•顺义区一模）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且//DE AC，//CE BD．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若30BAC∠=︒，4AC=，求菱形OCED的面积．5．（2021•朝阳区一模）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点C 作//CE BD ，交AD 的延长线于点E ．（1）求证：ACD ECD ∠=∠；（2）连接OE ，若2AB =，tan 2ACD ∠=，求OE 的长．6．（2021•丰台区一模）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作AE BC ⊥于点E ，延长BC 到点F ，使CF BE =，连接DF ．（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）连接OE ，若10AD =，4EC =，求OE 的长度．7．（2021•平谷区一模）如图，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 是AC 的中点，连接BD ，过点C 作//CE BD ，过B 作//BE AC ，两直线相交于点E ．（1）求证：四边形DBEC 是菱形；（2）若30A ∠=︒，2BC =，求四边形DBEC 的面积．8．（2021•房山区一模）如图，四边形ABCD 是平行四边形，过点A 作AE BC ⊥交CB 的延长线于点E ，点F 在BC 上，且CF BE =，连接DF ．（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）连接BD ，若90ABD ∠=︒，4AE =，2CF =，求BD 的长．9．（2021•大兴区一模）如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，//DE AC交BC的延长线于点E．（1）求证：ADB E∠=∠；（2）若4AD=，4cos5ADB∠=，求AO的长．10．（2021•石景山区一模）如图，在ABCD中，2BC CD=，E，F分别是AD，BC的中点，连接EF．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）连接AF，若AF=60DEF∠=︒，则EF的长为；菱形EFCD的面积为．11．（2021•东城区一模）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE AC⊥于点E，DE的延长线交AB于点F，过点B作//BG DF交DC于点G，交AC于点M．过点G作GN DF⊥于点N．（1）求证：四边形NEMG为矩形；（2）若26AB=，8GN=，5sin13CAB∠=，求线段AC的长．12．（2021•海淀区一模）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE ED⊥．（1）求证：ABE ECD∆∆∽；（2）F 为AE 延长线上一点，满足EF AE =，连接DF 交BC 于点G ．若2AB =，1BE =，求GC 的长．13．（2021•门头沟区一模）已知：如图，在菱形ABCD 中，BE AD ⊥于点E ，延长AD 至F ，使DF AE =，连接CF ．（1）求证：四边形EBCF 是矩形；（2）若3sin 5A ∠=，3CF =，求AF 的长．2021北京初三一模数学汇编：四边形参考答案与试题解析一．解答题（共13小题）1．【分析】（1）由平行四边形性质和已知条件得出AC BD =，即可得出结论；（2）过点M 作MG BD ⊥于点G ，由角平分线的性质得出MG MC =．由三角函数定义得出4BC =，sin sin ACB DBC ∠=∠．，设CM MG x ==，则4BM x =-，在Rt BMG ∆中，由三角函数定义即可得出答案． 【解答】证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，2AC AO ∴=，2BD BO =．AO BO =，AC BD ∴=．ABCD ∴为矩形．（2）过点M 作MG BD ⊥于点G ，如图所示：四边形ABCD 是矩形，90DCB ∴∠=︒，CM CD ∴⊥， DM 为BDC ∠的角平分线，MG CM ∴=．OB OC =，ACB DBC ∴∠=∠．3AB =，3tan 4DBC ∠=， 3tan tan 4AB ACB DBC BC∴∠=∠==． 4BC ∴=．5AC BD ∴==，3sin sin 5AB ACB DBC AC ∠=∠==． 设CM MG x ==，则4BM x =-，在BMG ∆中，90BGM ∠=︒，3sin 45x DBC x ∴∠==-． 解得：32x =， 32CM ∴=． 2．【分析】（1）要证明四边形AMCD 是平行四边形，已知AM DC =，只需要证明//AM DC 即可；由条件可知()AMB AMC SSS ∆≅∆，推理可得45DCA MAC ∠=∠=︒，由内错角相等两直线平行可知//AM CD ，可得结论；（2）延长AM 交BC 于点E ，由等腰三角形三线合一可得点E 是BC 的中点，ME 是BCD ∆的中位线，则12ME CD =，进而13ME AE =，设AB a =，分别表达BC ，AE 及BE ，在Rt ABE ∆中，表达tan DBC ∠的值． 【解答】解：（1）证明：如图，点M 是BD 的中点，90BCD ∠=︒，CM ∴是Rt BCD ∆斜边BD 的中线，CM EM MD ∴==，又AB AC =，AM AM =，()AMB AMC SSS ∴∆≅∆，BAM CAM ∴∠=∠，BA AC ⊥，90BAC ∴∠=︒，45CAM ∴∠=︒，又AB AC =，45ACB ABC ∴∠=∠=︒，45DCA DCB ACB ∴∠=∠-∠=︒，DCA MAC ∴∠=∠，//AM CD ∴，又AM DC =，∴四边形AMCD 为平行四边形．（2）如图，延长AM 交BC 于点E ，AB AC =，90BAC ∠=︒，BAM CAM ∠=∠，AE BC ∴⊥，且点E 为BC 的中点，点M 是BD 的中点，点E 是BC 的中点，ME ∴是BCD ∆的中位线，2CD ME ∴=，又AM CD =，2AM ME ∴=，13ME AE ∴=，设AB a =，则BC =，12AE BC ==，136ME AE ∴==，又BE AE ==， 1tan 3MN DBC BN ∴∠==． 3．【分析】（1）由平行四边形的性质得到//AD BC ，AD BC =，由三角形的中位线定理得到//FG CE ，12FG CE =，即2CE FG =，结合条件得到AD FG =，证得四边形AFGD 是平行四边形，由已知条件证得AD DG =，根据菱形的判定定理即可证得结论；（2）由菱形的性质得到AO GO =，AG DF ⊥，根据三角函数和勾股定理求出AO ，即可得到AG ．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，AD BC =， F 为DC 的中点，G 为DE 的中点，//FG CE ∴，12FG CE =， 即2CE FG =，//FG BC ∴，//FG AD ∴，22CE BC AD ==，AD FG ∴=，∴四边形AFGD 是平行四边形，22CE DE BC AD ===，G 为DE 的中点， 2CE DG ∴=，AD DG ∴=，∴四边形AFGD 为菱形；（2）解：四边形ABCD 是平行四边形， 2AD BC ∴==，ADO B ∠=∠，四边形AFGD 为菱形，AO GO ∴=，AG DF ⊥，3tan 2B =，3tan 2ADO ∴∠=， ∴32AO DO =，设3AO x =，2DO x =，222AO DO AD +=，222(3)(2)2x x ∴+=，x ∴=AO ∴=，2AG AO ∴==．4．【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形OCED 是平行四边形，根据矩形的性质求出OC OD =，再根据菱形的判定得出四边形OCED 是菱形．（2）方法一：解直角三角形求出2BC =．AB =1142COD ABCD OCED S S S ∆==矩形菱形，即可求出菱形的面积．方法二：解直角三角形求出2BC =．AB DC ==OE ，交CD 于点F ，根据菱形的性质得出F 为CD 中点，求出112OF BC ==，22OE OF ==，即可求出菱形的面积． 【解答】（1）证明：//DE AC ，//CE BD ， ∴四边形OCED 是平行四边形，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ， OC OD ∴=，OCED ∴是菱形；（2）方法一：在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AC =，2BC ∴=，AB =1142COD ABCD OCED S S S ∆==矩形菱形， 122OCED S ∴=⨯⨯=菱形． 方法二：解：在矩形ABCD 中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AC =， 2BC ∴=，AB DC ∴==，如图，连接OE ，交CD 于点F ，四边形OCED 为菱形，F ∴为CD 中点， O 为BD 中点，112OF BC ∴==，22OE OF ∴==，11222OCED S OE CD ∴=⨯⨯=⨯⨯=菱形 5．【分析】（1）由矩形的性质可得OC OD =，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得结论；（2）由相似三角形的性质可求OF ，EF 的长，即可求解．【解答】证明：（1）四边形ABCD 是矩形， AC BD ∴=，OA OC =，OB OD =， OC OD ∴=，ODC OCD ∴∠=∠，//CE BD ，ODC DCE ∴∠=∠，ACD ECD ∴∠=∠；（2）过点O 作OF AD ⊥于F ，2AB CD ==，tan 2ADACD CD ∠==，4AD ∴=，//DO CE ， ∴1ADAODE OC ==，4DE AD ∴==，//OF CD ，AFO ADC ∴∆∆∽， ∴12AFFOAO AD CD AC ===，2AF DF ∴==，112OF CD ==，6EF ∴=，EO ∴=6．【分析】（1）根据菱形的性质得到//AD BC 且AD BC =，等量代换得到BC EF =，推出四边形AEFD 是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）由菱形的性质得10AD AB BC ===，由勾股定理求出8AE =，AC =线性质即可得出答案．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是菱形，//AD BC ∴且AD BC =，BE CF =，BC EF ∴=，AD EF ∴=，//AD EF ，∴四边形AEFD 是平行四边形，AE BC ⊥，90AEF ∴∠=︒，∴四边形AEFD 是矩形；（2）解：四边形ABCD 是菱形，10AD =，10AD AB BC ∴===，4EC =，1046BE ∴=-=，在Rt ABE ∆中，8AE =，在Rt AEC ∆中，AC ==四边形ABCD 是菱形，OA OC ∴=，12OE AC ∴==． 7．【分析】（1）先证四边形BECD 是平行四边形，由直角三角形的性质可证BD CD =，即可得结论；（2）由直角三角形的性质可得24AC BC ==，AB ==【解答】证明：（1）//CE BD ，//BE AC ，∴四边形BECD 是平行四边形，90ABC ∠=︒，D 是AC 中点，BD DC ∴=，∴四边形DBEC 是菱形；（2）30A ∠=︒，90ABC ∠=︒，2BC =，24AC BC ∴==，AB ==1112222CDB ABC S S ∆∆∴==⨯⨯⨯， 四边形BECD 是菱形2CDB DBEC S S ∆∴==菱形8．【分析】（1）由平行四边形的性质得到//AD BC 且AD BC =，证出BC EF =，推出四边形AEFD 是平行四边形，再矩形的判定定理即可得到结论；（2）由勾股定理得AB =ABD BEA ∆∆∽，得BD AB EA BE=，即可求解． 【解答】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴且AD BC =，CF BE =，BC EF ∴=， AD EF ∴=，//AD EF ，∴四边形AEFD 是平行四边形，AE BC ⊥，90AEF ∴∠=︒，∴平行四边形AEFD 是矩形；（2）解：CF BE =，2CF =，2BE ∴=，90AEB ∠=︒，AB ∴===//AD BC ，BAD EBA ∴∠=∠，90AEB ABD ∠=∠=︒，ABD BEA ∴∆∆∽， ∴BD AB EA BE=，即4BD ，解得：BD =9．【分析】（1）利用矩形的性质和已知条件先证明四边形ACED 是平行四边形，得出E DAC ∠=∠，再根据OA OD =，得出DAC ADB ∠=∠即可．（2）在直角三角形ABD 中，利用余弦的定义即可．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，又//DE AC ，∴四边形ACED 是平行四边形，E DAC ∴∠=∠，对角线AC 与BD 相交于点O ，12OA OC OB OD AD ∴====， DAC ADB ∴∠=∠， ADB E ∴∠=∠；（2）解：在直角三角形ABD 中，4AD =，4cos 5ADB ∠=， cos AD ADB BD ∠=， 5cos AD BD ADB∴==∠， 1522OA AD ∴==． 10．【分析】（1）由平行四边形的判定和中点性质可得DE CF CD ==，即可得结论；（2）过点F 作FH AD ⊥于H ，由勾股定理可求EH 的长，即可求解．【解答】证明：（1）在ABCD 中，2BC CD =，//AD BC ∴，2AD BC CD ==， E ，F 分别是AD ，BC 的中点，DE CF CD ∴==，又//AD BC ，∴四边形EFCD 是平行四边形，又CD DE =，∴四边形EFCD 是菱形；（2）如图，过点F 作FH AD ⊥于H ，四边形EFCD 是菱形，DE EF AE ∴==，60DEF ∠=︒，30EFH ∴∠=︒，12EH EF ∴=，FH ， 3AH AE EH EH ∴=+=，222AF AH HF =+，221293EH EH ∴=+，1EH ∴=，2EF DE ∴==，HF∴菱形EFCD 的面积2==故答案为：2，11．【分析】（1）证//AC GN ，90MEN ∠=︒，则四边形NEMG 是平行四边形，即可得出结论；（2）由矩形的性质得8EM GN ==，90EMG ∠=︒，再由锐角三角函数定义求出10BM =，由勾股定理得24AM =，则16AE AM EM =-=，然后证()BCM DAE AAS ∆≅∆，得16CM AE ==，即可求解．【解答】解：（1）证明：DE AC ⊥，GN DF ⊥，//AC GN ∴，90MEN ∠=︒，//BG DF ，∴四边形NEMG 是平行四边形，又90MEN ∠=︒，∴四边形NEMG 为矩形；（2）由（1）得：四边形NEMG 为矩形，8EM GN ∴==，90EMG ∠=︒，90AMB ∴∠=︒，26AB =，5sin 13BM CAB AB∠==， 10BM ∴=，24AM ∴==，16AE AM EM ∴=-=，四边形ABCD 是平行四边形，BC AD ∴=，//BC AD ，BCM DAE ∴∠=∠，90BMC ∠=︒，90DEA ∠=︒，BMC DEA ∴∠=∠，在BCM ∆和DAE ∆中，BCM DAE BMC DEA BC DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCM DAE AAS ∴∆≅∆，16CM AE ∴==，241640AC AM CM ∴=+=+=．12．【分析】（1）由余角的性质可得BAE DEC ∠=∠，可得结论；（2）由相似三角形的性质可求4EC =，由等腰三角形的性质和平行线的性质可证EG DG =，由勾股定理可求解．【解答】证明：（1）AE DE ⊥，90AED B C ∴∠=︒=∠=∠，AEB DEC AEB BAE ∴∠+∠=∠+∠，BAE DEC ∴∠=∠，ABE ECD ∴∆∆∽；（2）ABE ECD ∆∆∽， ∴AB BE EC CD=， ∴212EC =，AE EF =，90AED ∠=︒，AD DF ∴=，又90AED ∠=︒，ADE FDE ∴∠=∠，//AD BC ，ADE DEC FDE ∴∠=∠=∠，DG EG ∴=，222DG DC GC =+，22(4)4GC GC ∴-=+，32GC ∴=． 13．【分析】（1）由菱形的性质得出AD BC =，//AD BC ，求出EF BC =，再由平行四边形的判定得出四边形EBCF 是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论；（2）由菱形的性质得AB BC =，再由矩形的性质得EF BC =，3BE CF ==，然后由锐角三角函数定义得5AB =，则5EF BC AB ===，由勾股定理求出4AE =，即可求解．【解答】（1）证明：四边形ABCD 菱形， AD BC ∴=，//AD BC ，又DF AE =，DF DE AE DE ∴+=+，即：EF AD =，EF BC ∴=，∴四边形EBCF 是平行四边形，又BE AD ⊥，90BEF ∴∠=︒．∴四边形EBCF 是矩形；（2）解：四边形ABCD 菱形，AB BC ∴=，四边形EBCF 是矩形，EF BC ∴=，3BE CF ==，90AEB ∴∠=︒， 3sin 5BE A AB ∠==，3BE =， 5AB ∴=，5EF BC AB ∴===，4AE ==，459AF AE EF ∴=+=+=．。

四边形综合题2022年北京数学中考一模汇编

四边形综合题2022年北京数学中考一模汇编

四边形综合题2022年北京数学中考一模汇编1.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过B点作BF∥AC，过C点作CF∥BD，BF与CF相交于点F．(1) 求证：四边形BFCO是菱形；(2) 连接OF，DF，若AB=2，tan∠OFD=2，求AC的长．32.如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F．(1) 求证：BF=DE；的值．(2) 分别延长BE和AD，交于点G，若∠A=45∘时，求DGAD3.如图，在正方形ABCD中，AB=3，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF=DM，连接EF，AF．(1) 依题意补全图1；(2) 若DM=1，求线段EF的长；(3) 当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，直接写出此时tan∠DAM的值．4.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．(1) 求证：四边形ABCD是菱形；(2) 连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG=30∘，AE=2，求EG的长．5.四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α(0∘<α<45∘)，得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F，连接BE．(1) 依题意补全图；(2) 直接写出∠FBE的度数；(3) 连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．6.如图，四边形ABCD为矩形，点E为边AB上一点，连接DE并延长，交CB的延长线于点P，连接PA，∠DPA=2∠DPC．求证：DE=2PA．7.已知线段AB，过点A的射线l⊥AB．在射线l上截取线段AC=AB，连接BC，点M为BC的中点．点P为AB边上一动点，点N为线段BM上一动点，以点P为旋转中心，将△BPN逆时针旋转90∘得到△DPE，B的对应点为D，N的对应点为E．(1) 当点N与点M重合，且点P不是AB中点时，①据题意在图中补全图形；②证明：以A，M，E，D为顶点的四边形是矩形．(2) 连接EM．若AB=4，从下列3个条件中选择1个：① BP=1；② PN=1；③ BN=√2，当条件（填入序号）满足时，一定有EM=EA，并证明这个结论．8.如图，矩形ABCD，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E．过点D作DH⊥BE于H，G为AC中点，连接GH．(1) 求证：BE=AC．(2) 判断GH与BE的数量关系并证明．9.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OB，过点B作BE⊥AC于点E．(1) 求证：平行四边形ABCD是矩形；(2) 若AD=2√5，cos∠ABE=2√5，求AC的长．510.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=60∘，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接DF．(1) 求证：△ABF是等边三角形；(2) 若∠CDF=45∘，CF=2，求AB的长度．11.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC，DC，BC于点E，F，G，连接DE，DG．(1) 求证：四边形DGCE是菱形；(2) 若∠ACB=30∘，∠B=45∘，ED=6，求BG的长．12.如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B，C重合），连接DE，点C关于直线DE的对称点为Cʹ，连接ACʹ并延长交直线DE于点P，F是ACʹ的中点，连接DF．(1) 求∠FDP的度数；(2) 连接BP，请用等式表示AP，BP，DP三条线段之间的数量关系，并证明；(3) 连接AC，若正方形的边长为√2，请直接写出△ACCʹ的面积最大值．13.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点O关于直线CD的对称点为E，连接DE，CE．(1) 求证：四边形ODEC为菱形；(2) 连接OE，若BC=2√2，求OE的长．14.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=BC=2CD，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE，EF．(1) 求证：四边形CDEF为菱形；，求AD的长．(2) 连接DF交EC于G，若DF=2，CD=5315.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．(1) 求证：四边形BCFE是菱形；(2) 若∠BCF=120∘，CE=4，求菱形BCFE的面积．16.如图，直线l是线段MN的垂直平分线，交线段MN于点O，在MN下方的直线l上取一点P，连接PN，以线段PN为边，在PN上方作正方形NPAB．射线MA交直线l于点C，连接BC．(1) 设∠ONP=α，求∠AMN的度数；(2) 写出线段AM，BC之间的等量关系，并证明．17.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE=AB，连接DE，AC．(1) 求证：四边形ACDE为平行四边形；，求线段CE的长．(2) 连接CE交AD于点O．若AC=AB=3，cosB=1318.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90∘，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．(1) 求证：四边形DBEC是菱形；(2) 若AD=3，DF=1，求四边形DBEC面积．19.如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接FC．(1) 求证：∠FBC=∠CDF．(2) 作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG．①依据题意补全图形；②用等式表示线段DF，BF，CG之间的数量关系并加以证明．20.如图，在△ABD中，∠ABD=∠ADB，分别以点B，D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C，分别连接BC，DC，AC，记AC与BD的交点为O．(1) 补全图形，求∠AOB的度数并说明理由；，求BD的长．(2) 若AB=5，cos∠ABD=3521.正方形ABCD的边长为2．将射线AB绕点A顺时针旋转α，所得射线与线段BD交于点M，作CE⊥AM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN．(1) 如图1，当0∘<α<45∘时，①依题意补全图1；②用等式表示∠NCE与∠BAM之间的数量关系：；(2) 当45∘<α<90∘时，探究∠NCE与∠BAM之间的数量关系并加以证明；(3) 当0∘<α<90∘时，若边AD的中点为F，直接写出线段EF长的最大值．22.问题：将菱形的面积五等分．小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题．如图，点O是菱形ABCD的对角线交点，AB=5，下面是小红将菱形ABCD面积五等分的操作与证明思路，请补充完整．（1）在AB边上取点E，使AE=4，连接OA，OE；（2）在BC边上取点F，使BF=，连接OF；（3）在CD边上取点G，使CG=，连接OG；（4）在DA边上取点H，使DH=，连接OH．由于AE=+=+=+=．可证S△AOE=S四边形EOFB=S四边形FOGC=S四边形GOHD=S△HOA．23.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90∘，BC=CD=2√10，CE⊥AD于点E．(1) 求证：AE=CE；(2) 若tanD=3，求AB的长．24.在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90∘得到线段AQ，连接BP，DQ．(1) 依题意补全图1；(2) ①连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2=2AB2；②若点P，Q，C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为：．答案1. 【答案】(1) ∵BF∥AC，CF∥BD，∴四边形OBFC是平行四边形．∵矩形ABCD，∴AC=BD，BO=12BD，CO=12AC．∴OB=OC．∴四边形OBFC是菱形．(2) 连接FO并延长交AD于H，交BC于K．∵菱形OBFC，∴∠BKO=90∘．∵矩形ABCD，∴∠DAB=∠ABC=90∘，OA=OD．∴四边形ABKH是矩形．∴∠DHF=90∘，HK=AB=2．∴H是AD中点．∵O是BD中点，∴OH=12AB=1．∴FK=OK=OH=1．∴HF=3．∵tan∠AFD=23，∴HD=AH=2．∴BC=AD=4．由勾股定理：AC=√AB2+BC2=2√5．2. 【答案】(1) ∵四边形ABCD为菱形，∴CB=CD．又∵BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，∴∠BEC=∠DFC=90∘．∵∠C=∠C，∴△BEC≌△DFC．∴EC=FC．∴BF=DE．(2) 设AD=√2a．∵∠A=45∘，∴△DEG和△BEC都是等腰直角三角形．∵四边形ABCD是菱形，∴DGAD =DGBC=DECE．可求出CE=a，DE=(√2−1)a．∴DGAD=√2−1．3. 【答案】(1) 补全图形如图1所示．(2) 如图2，连接BM．∵点D与点E关于AM所在的直线对称，∴AE=AD，∠MAD=∠MAE．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABF=90∘，又∵DM=BF，∴△ADM≌△ABF，∴AF=AM，∠FAB=∠MAD．∴∠FAB=∠MAE，∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠MAE．∴∠FAE=∠MAB．∴△FAE≌△MAB(SAS)．∴EF=BM．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=AB=3．∵DM=1，∴CM=2．∴在Rt△BCM中，BM=√CM2+BC2=√13，∴EF=√13．(3) 当点M在CD边上运动时，若使△AEF为等腰三角形，则tan∠DAM=1或12．4. 【答案】(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠ADC．∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90∘．∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF．∴AB=AD．∴四边形ABCD是菱形．(2) 由（1）知AD∥BC．∴∠EAG=90∘，∠G=∠CEG=30∘．∴EG=2AE=4．5. 【答案】(1) 补全图形，如图1所示．(2) ∠FBE=45∘．(3) DE=√2AF．证明：如图2，作AH⊥AF，交BF的延长线于点H，设DF与AB交于点G，根据题意可知，CD=CE，∠ECD=2α，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90∘．∴∠EDC=90∘−α，CB=CE，∠BCE=90∘−2α，∴∠CBE=45∘+α，∠ADF=α．∴∠ABE=45∘−α，∵BF⊥DE，∴∠BFD=90∘，∵∠AGD=∠FGB，∴∠FBG=α，∴∠FBE=∠FEB=45∘，∴FB=FE，∵AH⊥AF，∠BAD=90∘，∴∠HAB=∠FAD，∴△HAB≌△FAD，∴HB=FD，AH=AF，∴HF=DE，∠H=45∘，∴HF=√2AF，∴DE=√2AF．6. 【答案】如图，取DE的中点F，连接AF．∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠DPC=∠ADP．∵∠BAD=90∘，DE．∴AF=DF=12∴∠ADP=∠DAF．∴∠AFP=2∠ADP=2∠DPC．又∵∠DPA=2∠DPC，∴∠DPA=∠AFP．DE，即DE=2PA．∴AP=AF=127. 【答案】(1) ①如图所示．②如图，连接AE，AM．BC．由题意可知：D在BC上，△ABC是等腰直角三角形，AM⊥BC，AM=12∵△DPE≌△BPN，BC，∠EDP=∠PBD．∴DE=BN=12∴∠EDB=∠EDP+∠PDB=∠PBD+∠PDB=90∘．∴ED⊥BC．∴ED∥AM，且ED=AM．∴四边形AMDE是平行四边形．又∵AM⊥BC，∴四边形AMDE是矩形．(2) ③证明：与（1）②同理，此时仍有△DPE≌△BPN，∴DE=BN=√2，DE⊥BC．取AM的中点F，连接FE．由AB=4，易得AM=2√2，FM=√2．∴ED∥FM，且ED=FM．∴四边形FMDE是平行四边形．又FM⊥BC，∴四边形FMDE是矩形．∴FE⊥AM且FA=FM=√2．∴EA=EM．8. 【答案】(1) ∵矩形ABCD，∴AB∥CD，又BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴BE=AC．BE．(2) GH=12连接BD，∵矩形ABCD，G为AC中点，∴G为BD中点，且AC=BD，∵DH⊥BE，BD，∴GH=12又∵BE=AC，BE．∴GH=129. 【答案】(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵OA=OB，∴OA=OC=OB=OD．∴AC=BD．∴平行四边形ABCD是矩形．(2) ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90∘．∴∠BAC+∠CAD=90∘．∵BE⊥AC，∴∠BAC+∠ABE=90∘．∴∠CAD=∠ABE．，在Rt△ACD中，AD=2√5，cos∠CAD=cos∠ABE=2√55∴AC=5．10. 【答案】(1) ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC．∴∠B+∠BAD=180∘．∵∠B=60∘，∴∠BAD=120∘．∵AE为∠BAD的平分线，∴∠FAB=60∘．∴△ABF是等边三角形．(2) 过点F做FG⊥CD于G．∵AB∥CD，∴∠FCD=∠B=60∘．∵FG⊥CD，∴∠FGC=90∘．∵∠FCD=60∘，∴∠GFC=30∘．∵CF=2，∴CG=1，FG=√3．∵∠CDF=45∘，∠FGD=90∘，∴DG=FG=√3．∴CD=√3+1．11. 【答案】(1) ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCG，∵EG垂直平分CD，∴DG=CG，DE=EC，∴∠DCG=∠GDC，∠ACD=∠EDC，∴∠EDC=∠DCG=∠ACD=∠GDC，∴CE∥DG，DE∥GC，∴四边形DECG是平行四边形，且DE=EC，∴四边形DGCE是菱形．(2) 如图，过点D作DH⊥BC．∵四边形DGCE是菱形，∴DE=DG=6，DG∥EC，∴∠ACB=∠DGB=30∘，且DH⊥BC，∴DH=3，HG=√3DH=3√3，∵∠B=45∘，DH⊥BC，∴∠B=∠BDH=45∘，∴BH=DH=3，∴BG=BH+HG=3+3√3．12. 【答案】(1) 由对称得：CD=CʹD，∠CDE=∠CʹDE，在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=90∘，∴AD=CʹD，∵F是ACʹ的中点，∴DF⊥ACʹ，∠ADF=∠CʹDF，∠ADC=45∘．∴∠FDP=∠FDCʹ+∠EDCʹ=12(2) 结论：BP+DP=√2AP．理由是：如图，作APʹ⊥AP交PD的延长线于Pʹ．∴∠PAPʹ=90∘，在正方形ABCD中，DA=BA，∠BAD=90∘，∴∠DAPʹ=∠BAP，由（1）可知∠FDP=45∘，∵∠DFP=90∘，∴∠APD=45∘，∴∠Pʹ=45∘，∴AP=APʹ，在△BAP和△DAPʹ中，∵{BA=DA,∠BAP=∠DAPʹ, AP=APʹ,∴△BAP≌△DAPʹ(SAS)，∴BP=DPʹ，∴DP+BP=PPʹ=√2AP．(3) √2−1．【解析】(3) 如图，过Cʹ作CʹG⊥AC于G，则S△ACʹC=12AC⋅CʹG．Rt△ABC中，AB=BC=√2，∴AC=√(√2)2+(√2)2=2，即AC为定值，当CʹG最大值，△ACʹC的面积最大，连接BD，交AC于O，当Cʹ在BD上时，CʹG最大，此时G与O重合，∵CD=CʹD=√2，OD=12AC=1，∴CʹG=√2−1，∴S△ACʹC=12AC⋅CʹG=12×2(√2−1)=√2−1．13. 【答案】(1) ∵四边形ABCD是矩形，∴OD=OC．∵点O关于直线CD的对称点为E，∴OD=ED，OC=EC．∴OD=DE=EC=CO．∴四边形ODEC为菱形．(2) 由（1）知四边形 ODEC 为菱形，连接 OE ．∴CE ∥OD 且CE =OD ．∴CE ∥BO 且CE =BO ．∴ 四边形 OBCE 为平行四边形．∴OE =BC =2√2．14. 【答案】(1) ∵E ，F 分别为 AC ，BC 的中点，∴EF ∥AB ，EF =12AB ，CF =12BC ．∵AB ∥CD ，∴EF ∥CD ．∵AB =2CD ，∴EF =CD ．∴ 四边形 CDEF 是平行四边形．∵AB =BC ，∴CF =EF ．∴ 四边形 CDEF 是菱形．(2) ∵ 四边形 CDEF 是菱形，DF =2，∴DF ⊥AC ，DG =12DF =1． 在 Rt △DGC 中，CD =53，可得 CG =√CD 2−DG 2=43． ∴EG =CG =43，CE =2CG =83． ∵E 为 AC 中点，∴AE =CE =83． ∴AG =AE +EG =4．在 Rt △DGA 中，AD =√AG 2+DG 2=√17．15. 【答案】(1) ∵ 点 D ，E 是 AB ，AC 中点，∴DE ∥BC ，DE =12BC ，又 BE =2DE ，即 DE =12BE ，∴BC =BE ，又 EF =BE ，∴EF∥BC，EF=BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又EF=BE，∴四边形BCFE是菱形．(2) ∵四边形BCFE是菱形，∴BC=BE，又∠BCF=120∘，∴∠BCE=60∘，∴△BCE是等边三角形，∴连接BF交EC于点O．∴BF⊥EC，在Rt△BOC中，BO=√BC2−OC2=√42−22=2√3，∴S△BOC=12⋅BO⋅OC=12×2√3×2=2√3，∴S菱形BCFE=4×2√3=8√3．16. 【答案】(1) 连接PM，如图1所示．因为l是线段MN的垂直平分线，所以PM=PN，所以∠ONP=∠OMP．因为四边形APNB是正方形，所以PA=PN，∠APN=90∘，所以PM=PA．所以∠ONP=∠OMP=α，∠MOP=∠PON=90∘．因为∠APC+∠CPN=90∘，∠CPN+∠ONP=90∘，所以∠APC=∠ONP=α，所以∠MPA=90∘−α−α=90∘−2α，所以∠PAM=12(180∘−∠MPA)=45∘+α，所以∠AMN=∠AMP−∠PMN=45∘．(2) 方法一：连接CN，AN，如图2所示，可证∠CNB=∠ANM，BNCN =ANMN=√22，所以△CBN∽△MAN．所以CBAM =CNMN=BNAN=√22．【解析】(2) 方法二：作AE⊥MN，交直线MN于点E，作AG⊥l，交直线l于点G，连接EP，如在△AGP与△OPN中，{∠ONP=∠GPA,∠AGP=∠PON, PN=AP,所以△AGP≌△PON(AAS)，所以PO=EO=AG，所以EP=√2OE=√2AG=AC．又因为∠APG=∠BAG，所以45∘−∠APG=45∘−∠BAG，即∠EPA=∠CAB，在△ACB与△EPA中，{EP=AC,∠EPA=∠CAB, AP=AB,所以△ACB≌△EPA(SAS)．所以BC=AE，所以AM=√2BC．17. 【答案】(1) ∵平行四边形ABCD,∴AB=DC，AB∥DC．∵AB=AE，∴AE=DC，AE∥DC．∴四边形ACDE为平行四边形．(2) ∵AB=AC，∴AE=AC．∴平行四边形ACDE为菱形．∴AD⊥CE．∵AD∥BC，∴BC⊥CE．在Rt△EBC中，BE=6，cosB=BCBE =13，根据勾股定理，求得BC=4√2．18. 【答案】(1) 在Rt△ABC中，∵CE∥DC，BE∥DC，∴四边形DBEC是平行四边形，∵D是AC的中点，∠ABC=90∘，∴BD=DC，∴四边形DBEC是菱形．(2) ∵F是AB的中点，∴BC=2DF=2，∠AFD=∠ABC=90∘，∴S菱形DBEC=2S△DBC=4√2，在Rt△AFD中，AF=√AD2−DF2=√32−1=2√2，∴S△DBC=12BC×BF=12×2×2√2=2√2．19. 【答案】(1) ∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=90∘．∴∠CDF+∠E=90∘．∵BF⊥DE，∴∠FBC+∠E=90∘．∴∠FBC=∠CDF．(2) ①②猜想：数量关系为：BF=DF+CG．证明：在BF上取点M使得BM=DF连接CM．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC．∵∠FBC=∠CDF，BM=DF，∴△BMC≌△DFC．∴CM=CF，∠1=∠2．∴△MCF是等腰直角三角形．∴∠MCF=90∘，∠4=45∘．∵点C与点G关于直线DE对称，∴CF=GF，∠5=∠6．∵BF⊥DE，∠4=45∘，∴∠5=45∘，∴∠CFG=90∘，∴∠CFG=∠MCF，∴CM∥GF．∵CM=CF，CF=GF，∴CM=GF，∴四边形CGFM是平行四边形，∴CG=MF．∴BF=DF+CG．20. 【答案】(1) 补全的图形如图2所示．∠AOB=90∘．证明：由题意可知BC=AB，DC=AB．∵在△ABD中，∠ABD=∠ADB，∴AB=AD．∴BC=DC=AD=AB．∴四边形ABCD为菱形．∴AC⊥BD．∴∠AOB=90∘．(2) ∵四边形ABCD为菱形，∴OB=OD．在Rt△ABO中，∠AOB=90∘，AB=5，cos∠ABD=3，5∴OB=AB⋅cos∠ABD=3．∴BD=2OB=6．21. 【答案】(1) ①补全的图形如图1所示．② ∠NCE=2∠BAM(2) 当45∘<α<90∘时，∠NCE=180∘−2∠BAM．证明：如图2，连接CM，交射线AM与CD的交点为H，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=90∘，直线BD为正方形ABCD的对称轴，点A与点C关于直线BD对称，∵射线AM与线段BD交于点M，∴∠BAM=∠BCM=α，∴∠1=∠2=90∘−α，∵CE⊥AM，∴∠CEH=90∘，∠3+∠5=90∘，又∵∠1+∠4=90∘，∠4=∠5，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2=90∘−α，∵点N与点M关于直线CE对称，∴∠NCE=∠MCE=∠2+∠3=180∘−2∠BAM．(3) √2+1．22. 【答案】3；2；1；EB；BF；FC；CG；GD；DH；HA23. 【答案】(1) （法一）过点B作BH⊥CE于H，如图1．∵CE⊥AD，∴∠BHC=∠CED=90∘，∠1+∠D=90∘．∵∠BCD=90∘，∴∠1+∠2=90∘，∴∠2=∠D．又BC=CD，∴△BHC≌△CED．∴BH=CE．∵BH⊥CE，CE⊥AD，∠A=90∘，∴四边形ABHE是矩形，∴AE=BH．∴AE=CE．(2) ∵四边形ABHE是矩形，∴AB=HE．=3，∵在Rt△CED中，tanD=CEDE设DE=x，CE=3x，∴CD=√10x=2√10．∴x=2．∴DE=2，CE=6．∵CH=DE=2．∴AB=HE=6−2=4．【解析】(1) （法二）过点C作CH⊥AB交AB的延长线于H．图略，证明略．24. 【答案】(1) 补全图形如图1．(2) ①连接BD，如图2，∵线段AP绕点A顺时针旋转90∘得到线段AQ，∴AQ=AP，∠QAP=90∘．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90∘．∴∠1=∠2．∴△ADQ≌△ABP．∴DQ=BP，∠Q=∠3．∵在Rt△QAP中，∠Q+∠QPA=90∘，∴∠BPD=∠3+∠QPA=90∘．∵在Rt△BPD中，DP2+BP2=BD2，又∵DQ=BP，BD2=2AB2，∴DP2+DQ2=2AB2．② BP=AB。

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2018北京各区初中一模分类汇编四边形及答案平谷22．如图，在□ABCD 中，BF 平分∠ABC 交AD 于点F ，AE ⊥BF 于点O ，交BC 于点E ，连接EF ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）连接CF ，若∠ABC=60°， AB= 4，AF =2DF ，求CF 的长．西城19．如图，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥于点D ，AB 的中点为E ，AE AC <． （1）求证：DE AC ∥．（2）点F 在线段AC 上运动，当AF AE =时，图中与ADF △全等的三角形是__________．ECBA延庆21．如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，点D ，F 分别是AC ，AB 的中点，CE ∥DB ，BE ∥DC ．（1）求证：四边形DBEC 是菱形；（2）若AD =3， DF =1，求四边形DBEC 面积.FEDCBA海淀21．如图，□ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，且AE ∥BD ，BE ∥AC ，OE = CD . （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若AD = 2，则当四边形ABCD 的形状是_______________时，四边形AOBE 的面积取得最大值是_________________.大兴21. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且DE=O C ，CE=O D ． （1）求证：四边形OCED 是菱形；（2）若∠BAC ＝30°，AC ＝4，求菱形OCED 的面积．怀柔21.直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，D 是斜边BC 上一点，且AB=AD ，过点C 作CE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，交AB 延长线于点F.(1)求证：∠ACB=∠DCE ；(2)若∠BAD=45°，AF B 作BG ⊥FC 于点G 接DG ．依题意补全图形，并求四边形ABGD 的面积．顺义21．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，BD =BC ，点E 为CD 的中点，射线BE交AD 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：四边形BCFD 是菱形；（2）若AD =1，BC =2，求BF 的长．C B E O AD F EA BCD门头沟21.在矩形ABCD 中，连接AC ,AC 的垂直平分线交AC 于点O ,分别交AD 、BC 于点E 、F ，连接CE 和AF ．（1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）若AB =4，BC =8，求菱形AECF 的周长．丰台21．已知：如图，菱形ABCD ，分别延长AB ，CB 到点F ，E ，使得BF = BA ，BE = BC ，连接AE ，EF ，FC ，CA ．（1）求证：四边形AEFC 为矩形；（2）连接DE 交AB 于点O ，如果DE ⊥AB ，AB = 4，求DE 的长．ABCEDF东城21．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使AE = AB ，连接DE ，AC .（1）求证：四边形ACDE 为平行四边形;（2）连接CE 交AD 于点O . 若AC=AB =3，1cos 3B ，求线段CE 的长.FAB房山21. 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，点,D E 分别是,BC AB 上的中点，连接DE 并延长至点F ，使2EFDE =，连接,CE AF .（1）证明：AF CE =；（2）若30B ∠=，AC =2，连接BF ，求BF 的长朝阳23．（本小题5分）如图，在菱形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，过点O 的线段EF 与一组对边AB ， CD 分别相交于点E ，F ． (1) 求证：AE =CF ；（2）若AB=2，点E 是AB 中点，求EF 的长．燕山23． 如图，在△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 的中点，BE=2DE ,延长DE 到点F ，使得EF=BE,连接CF ． （1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若∠BCF =120°，CE=4，求菱形BCFE 的面积．ABCD E F答案平谷22．（1）证明：∵BF 平分∠ABC ， ∴∠ABF =∠CBF ． (1)∵□ABCD ，∴AD ∥BC ．∴∠AFB =∠CBF ．∴∠ABF =∠AFB ．∴AB=AF ．∵AE ⊥BF ，∴∠ABF +∠BAO =∠CBF +∠BEO =90°． ∴∠BAO =∠BEO ． ∴AB=BE ． ∴AF=BE ．∴四边形ABEF 是平行四边形． ∴□ABEF 是菱形． (2)（2）解：∵AD=BC ，AF=BE ，∴DF=CE ． ∴BE =2CE ． ∵AB =4，∴BE =4． ∴CE =2．过点A 作AG ⊥BC 于点G ． (3)∵∠ABC =60°，AB=BE ， ∴△ABE 是等边三角形． ∴BG=GE =2． ∴AF=CG =4． ········································································· 4 ∴四边形AGCF 是平行四边形． ∴□AGCF 是矩形． ∴AG=CF ．在△ABG 中，∠ABC =60°，AB =4，∴AG=∴CF= (5)西城19.（1）证明：∵AD 平分BAC ∠， ∴12∠=∠，∵BD AD ⊥于点D ，321ECBA∴90ADB ∠=︒，∴ABD △为直角三角形． ∵AB 的中点为E ， ∴2AB AE =，2AB DE =， ∴DE AE =， ∴13∠=∠， ∴23∠=∠， ∴DE AC ∥． （2）ADE △．延庆21．（1）在Rt △ABC 中，∵CE //DC ，BE //DC ∴四边形DBEC 是平行四边形∵D 是AC 的中点，∠ABC =90°∴BD =DC ……1分 ∴四边形DBEC 是菱形 ……2分 （2）∵F 是AB 的中点∴BC =2DF =2,∠AFD =∠ABC =90° 在Rt △AFD 中,……3分 ∴……4分 (5)海淀21．（1）证明：∵AE BD ∥，BE AC ∥，∴四边形AEBO 是平行四边形. ………………1分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB =. ∵OE CD =,∴OE AB =.∴平行四边形AEBO 是矩形. ………………2分 ∴90BOA ∠=︒.∴AC BD ⊥.平行四边形ABCD 是菱形. ……………3分 正方形； ………………4分2. ………………5分大兴21.（1）证明：∵DE =OC ，CE =OD ，∴四边形OCED 是平行四边形 ………………………………1分∵矩形ABCD ，∴AC=BD，OC=12AC，OD=12BD.∴OC=OD.∴平行四边形OCED是菱形………………………………2分（2）解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC＝4，∴BC=2.∴AB=DC=…………………………………………………3分连接OE，交CD于点F. ∵四边形OCED为菱形，∴F为CD中点.∵O为BD中点，∴OF=12BC=1.∴OE＝2OF＝2 …………………………………………………4分∴S菱形OCED＝12OE·CD=12×2×＝5分怀柔21.(1)∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，………………………………1分∵∠ADB=∠CDE，∴∠ABD=∠CDE.∵∠BAC=90°，∴∠ABD+∠ACB=90°.∵CE⊥AE，∴∠DCE+∠CDE=90°.∴∠ACB=∠DCE. …………………………………2分（2）补全图形,如图所示: …………………………3分∵∠BAD=45°, ∠BAC=90°,∴∠BAE=∠CAE=45°, ∠F=∠ACF=45°,∵AE⊥CF, BG⊥CF,∴AD∥BG.∵BG⊥CF, ∠BAC=90°，且∠ACB=∠DCE,∴AB=BG.∵AB=AD，∴BG=AD.∴四边形ABGD是平行四边形.∵AB=AD∴平行四边形ABGD是菱形.…………………………………………………………………4分设AB=BG=GD=AD=x，∴BF=2BG=2x.∴AB+BF=x+2x=2+2.∴x=2，过点B作BH⊥AD于H.∴BH=22AB=1. ∴S 四边形ABDG =AD×BH=2. ……………………………………………………………………5分顺义21．（1）证明：∵BD=BC ，点E 是CD 的中点，∴∠1=∠2． …………………………………………………… 1分 ∵AD ∥BC ， ∴∠2=∠3．∴∠1=∠3．…………………………… 2分 ∴BD=DF ． ∵BD=BC ， ∴DF=BC ． 又∵DF ∥BC ，∴四边形BCFD 是平行四边形． ∵BD=BC ，∴□BCFD 是菱形． …………………………………………………… 3分 （2）解：∵∠A =90︒，AD =1，BD =BC =2，∴AB == ∵四边形BCFD 是菱形，∴DF =BC =2． ………………………………………………………… 4分 ∴AF =AD+DF =3．∴BF === 5分2门头沟21. （1）证明：∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AO =OC ，∠AOE =∠COF =90°，……………………1分∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EAO =∠FCO ， 在△AEO 和△CFO 中，∵∠EAO =∠FCO ，AO =CO ，∠AOE =∠COF ， ∴△AEO ≌△CFO （ASA ），∴OE =OF ． ……………2分 又∵OA =OC ，∴四边形AECF 是平行四边形，又∵EF ⊥AC ，∴平行四边形AECF 是菱形；……………3分（2）设AF =x ，∵EF 是AC 的垂直平分线， 321FEABCD∴AF =CF =x ，BF =8﹣x ， ………………………………………4分 在Rt △ABF 中，由勾股定理得：AB 2+BF 2=AF 2，42+（8﹣x ）2=x 2， 解得 x =5，∴AF =5，∴菱形AECF 的周长为20．…………………5分丰台21．（1）证明：∵BF =BA ，BE =BC ，∴四边形AEFC 为平行四边形.∵四边形ABCD 为菱形，∴BA =BC .∴BE =BF . ∴BA + BF = BC + BE ，即AF =EC .∴四边形AEFC 为矩形. ………………………2分（2）解：连接DB .由（1）知，AD ∥EB ，且AD =EB . ∴四边形AEBD 为平行四边形 ∵DE ⊥AB ，∴四边形AEBD 为菱形.∴AE =EB ，AB =2AG ，ED =2EG . ………………………4分 ∵矩形ABCD 中，EB =AB ，AB=4， ∴AG =2，AE =4.∴Rt △AEG 中，EG=∴ED= ………………………5分（其他证法相应给分）东城21.(1) 证明：∵平行四边形ABCD ， ∴=AB DC ，AB DC ∥. ∵AB =AE ，∴=AE DC ，AE DC ∥.∴四边形ACDE 为平行四边形. -------------------2分 (2) ∵=AB AC ， ∴=AE AC .∴平行四边形ACDE 为菱形. ∴AD ⊥CE . ∵AD BC ∥， ∴BC ⊥CE.在Rt △EBC 中，BE =6, 1cos 3BC B BE ==, ∴=2BC .根据勾股定理，求得BC 分房山21. 解：（1）∵D ，E 分别是BC ，AB 上的中点 ∴DE 为△ABC 的中位线∴DE ∥AC ，AC =2DE ……………………………………………………………1分 又∵DF =2DE∴EF=AC∴四边形ACEF为平行四边形∴AF=CE…………………………………………………………………………2分（2）∵∠ABC=90°，∠B=30°，AC=2∴BC=2 3 , DE=1, ∠EDB=90°……………………………………………3分∵D为BC中点∴BD= 3又∵EF=2DE∴EF=2∴DF=3 …………………………………………………………………………4分在△BDF中，由勾股定理得BF==……………………………………………………5分朝阳23.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO，AB∥CD . …………………………………………………1分∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO.∴△AOE≌△COF . …………………………………………………2分∴AE=CF .………………………………………………………………3分（2）解：∵E是AB中点，∴BE=AE=CF．∵BE∥CF，∴四边形BEFC是平行四边形.………………………………………4分∵AB=2，∴EF=BC=AB=2．……………………………………………………5分燕山23.（1）证明：∵点 D,E, 是 AB,AC 中点∴DE∥BC, DE=12 BC……………………….1′又BE=2DE,即DE=12BE∴BC=BE又EF=BE∴EF∥BC, EF=BC∴四边形BCFE是平行四边形……………………….2′又EF=BE∴四边形BCFE是菱形……………………….3′（2）∵四边形BCFE是菱形∴BC=BE又∠BCF=120°∴∠BCE=60°∴△BCE 是等边三角形∴连结BF 交EC 于点O ．∴BF ⊥EC在Rt △BOC 中，BO=32242222=-=-OC BC ……………………….4′322322121=⨯⨯=⋅⋅=∆OC BO S BOC∴∴……………………….5′38324=⨯=BCFE S 菱形。

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